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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICODIVISIÓN DE INGENIERÍA INDUSTRIAL CUADERNILLO DE APUNTES: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I ELABORADO POR: ING. OSCAR EDUARDO PÉREZ GAONA LA PAZ, ESTADO DE MÉXICO FEBRERO 2010 Índice. ÍNDICE INTRODUCCIÓN……………………………………………………………….. CAPITULO 1. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN OPERACIONES Y FORMULACIÓN DE MODELOS. DE PÁG iv 1.1. Definición, desarrollo de la investigación de operaciones………….…. 1.1.1. Antecedentes históricos de la investigación de Operaciones…… 1.1.2. Definición…………………………………………………..………….. 1.2. Fases de estudio de la investigación de operaciones………....………. 1.2.1. Proceso de investigación de operaciones…………………….…… 1.3. Principales aplicaciones de la investigación de operaciones……..….. 1.4. Formulación de problemas lineales…………………….……….………. 1.4.1. Tipos de modelo…………………………………………....………… 1.4.2. Tipos de formatos para programación lineal.………….…………. 1.5. Formulación de problemas más comunes….………………………….. 1.5.1. Modelación y formulación de problemas……………….………….. Ejercicios I. Formato estándar y canónico……………………………………. Ejercicios II. Modelación………………………………………………………... CAPITULO 2. EL MÉTODO SIMPLEX. 2.1. Teoría del método simplex…………………….………………………….. 2.2. Método de las variables artificiales………………………………………. 2.2.1. Método de la gran M o método penal………………………………. 2.2.2. Método de la doble fase…………………………..…………….…… 2.2.3. Método gráfico………………………………………………………… 2.2.3.1. La desigualdad ≤ representada en el eje cartesiano…........ 2.2.3.2. La desigualdad ≥ representada en el eje cartesiano…..… 2 2 4 4 6 7 8 8 10 16 16 34 43 52 63 63 73 83 83 84 i Índice. 2.2.3.3. Método general……………………………..………………… Ejercicios III. Problemas método grafico…………………………………….. Ejercicios IV. Resolución de modelos de programación lineal…………….. 87 93 96 CAPITULO 3. TEORÍA DE L A DUALIDAD SENSIBILIDAD. Y ANÁLISIS DE 3.1. Formulación de un problema dual……………………….……………… 3.2. Dualidad……………………………………………………………………. 3.2.1. Forma canónica………………………………………………………. 3.2.1.1. Transformación………………………………………………… 3.3. Transformación alterna dual……………………………………………… 3.4. Transformación alterna dual simplex……………………………………. 3.5. Análisis de sensibilidad……………………………………………………. 3.5.1. Forma matricial de la tabla simplex y las relaciones vectoriales Implicadas…………………………………………………………….. 3.5.1.1. Cambio en el vector A………………………………………… 3.5.1.2. Cambio en el vector B………………………………………... 3.5.1.3. Cambio en el vector C………………………………………… Ejercicios V. Dualidad………………………………………………………….. 101 102 102 103 112 116 125 125 126 131 140 149 CAPITULO 4. TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN. 4.1. Definición de un problema de transporte………………………………... 4.1.1. Algoritmo de transporte………………………………………….…… 4.2. Método de voguel………………………………………………………….. 4.3. Método esquina noreste…………………………………………………... 152 154 159 160 ii Modelos de transporte y asignación…………………………. 4.5 Método húngaro……………………………………………………………. 161 165 172 APENDICE A..Índice.Sistema de Ecuaciones Lineales…. Método de costo mínimo…………………………………………………. 4...4. Ejercicios VI.………………………. 177 iii . el ramo de la investigación de operaciones dentro del área de Ingeniería Industrial pareciera ser una de ellas. y más aún aquellas que son de índole de aplicación en las diferentes áreas de la ingeniería. El presente trabajo tiene como propósito fundamental ayudar a facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje de la materia de Investigación de Operaciones I en el área de las ingenierías. contiene un gran número de ejemplos ilustrativos (resueltos paso a paso). muestra la evolución y el campo de aplicación de esta iv . donde se muestran las técnicas matemáticas estudiadas. El desarrollo del presente material está diseñado en capítulos. Las matemáticas hoy en día son asignaturas prioritarias en la vida de los estudiantes de las carreras de las ingenierías.Introducción INTRODUCCIÓN. teniendo siempre en cuenta que para su comprensión se necesitará tener ciertos conocimientos en álgebra lineal y lógica matemática. cubriendo temas básicos y apegándose al programa de estudios vigente. Dicho material puede ser empleado como un libro de texto para estudiantes y de apoyo para los docentes en esta área Por el contenido de sus temas y sus aplicaciones pueden ser bastante interesantes para los alumnos.O) y formulación de modelos. mostrando siempre al inicio el objetivo del mismo. el cual para su entendimiento se encuentra de la siguiente manera: En el capítulo I: Metodología de l a i nvestigación d e o peraciones(I. que se imparte en el quinto semestre de la carrera de ingeniería industrial del TESOEM. en mucho de los casos parecieran ser motivo de deserción y simplemente dificultad muy grande para culminar sus estudios o en algunos de los casos terminen recursándola. v .Introducción área. al igual que las condiciones de cómo calcular las condiciones de optimalidad en los modelos de programación lineal. en este capítulo no solo se describe el método simplex como método para solución de los modelos de programación lineal. (cambio de vector en A. Se contará con una serie de ejercicios para reforzar el conocimiento aprendido al final de cada capítulo y sus soluciones se encuentran en el los mismos ejercicios. En el capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad. se describen otros métodos como el doble fase. en este apartado es de suma importancia ya que describe la relación dual que todo modelo primal de programación lineal posee. en esta sección del presente trabajo se describen las parte de un modelo de transporte empleado en el área de logística de una organización sin importar su giro comercial o manufacturero. costo mínimo.C) En el capítulo IV: Transporte y asi gnación. donde lo importante el cumplir en tiempo y forma los pedidos de los diferentes clientes ubicados en diferentes regiones pero el costo mínimo de operación. para ello se detallan los métodos de solución como lo es el método de Voguel. cada uno de ellos con las condiciones que se necesitan para llevarlos a la práctica. esto queda en el entendido al final de cada capítulo. manejando los conceptos básicos para la formulación de los modelos de programación lineal y la aplicación de estos últimos a diferentes casos de la vida diaria y del mundo industrial. húngaro ente otros.B. En el capítulo II: El método Simplex. el método de la gran M y el método gráfico. Además de cuenta con un apéndice. en el cual creemos que favorecerá de manera importante en un mejor desarrollo de los temas para el profesor en su enseñanza y para un buen aprendizaje del alumno. vi .Introducción El apéndice I. los cuales son base para el entendimiento de Investigación de Operaciones I. en la solución de los métodos de los modelos de programación lineal. Esperamos que la obra sea de gran utilidad para profesores y alumnos y que sea un fuerte material de apoyo en el curso. muestra sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de solución como puede ser por el método de Gauss Jordan o determinantes (sus propiedades). O) Y FORMULACIÓN DE MODELOS.METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (I. Objetivo: El estudiante co nocerá y apl icará la metodología de l a I .O y l a f ormulación de modelos de Programación Lineal. CAPÍTULO I: . se incluyeron la probabilidad y estadística tan útiles en cualquier estudio moderno. 1. pero no fue hasta la Segunda Guerra Mundial. l os m odelos l ineales d e l a Investigación de O peraciones t ienen c omo pr ecursores a J ordan en 1 873. cuando empezó a tomar auge. c onvirtiéndose en i mportante i nstrumento de competencia para los presupuestos y contratos.1. pl aneación f inanciera.) Los inicios de lo que hoy se conoce como Investigación de Operaciones se remota a l os años 1759 c uando el ec onomista Quesnay em pieza a ut ilizar modelos pr imitivos de programación m atemática. La P rogramación Li neal ( PL) t uvo un g ran impulso p ara l a i nvestigación industrial dando entrada l as e mpresas a m uchos es pecialistas. compras. AÑO 1759 AUTOR Quesnay TÉCNICA DESARROLLADA Modelos primarios de programación matemática .1. m ercadotecnia. control de inventarios. transporte y m uchas ot ras m ás. pl aneación de pr oducción. La s iguiente tabla es boza par te d e l os es tudios y t écnicas e n q ue s e apoyaron los grupos de IO en el desarrollo de esta disciplina. en vez de los simples promedios. Minkowsky en 18 96 y a F arkas en 1 903. l as t écnicas P ert. Más tarde. empezaron a e mplearse con éxito. DEFINICIÓN. ot ro ec onomista d e nombre Walras. L os m odelos di námicos pr obabilísticos tiene su origen con Markoiv a fines del siglo pasado. hac e us o de técnicas s imilares. Antecedentes históricos de la Investigación de Operaciones (I. En l a ac tualidad el u so d e l a I O es extenso e n ár eas de: C ontabilidad.O. ACONTECIMIENTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.1. DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. y la simulación.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 2 1. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 3 1873 1874 1896 1897 1903 1905 1920-1930 1937 1937 1939 1941 1947 1958 1950-1956 1958 1956-1962 1957 1958 1963 Jordan Warlas Minkousky Farkas Farkas Erlang Konig. . para el lo s e c itan l os siguientes autores. Actualmente esta s e encuentra t odavía en una e dad i ncipiente d onde hay mucho por hacer en el desarrollo de este campo fértil. húngaro. Ahora que se ha visto una breve reseña de la Investigación de Operaciones y c aracterísticas es enciales. sistemas desiguales Programación entera Redes de flujo Simulación y programación discreta Análisis de decisiones Inventarios Algoritmo de punto interior Tabla1. m. es i mportante de finirla.Egervary Morgestern Von Neuman Kantorovich Hitchcook Dantzin George Bellman Richard Kun-Tucker Gomory Ford-Fulkerson Markowitz Raifa Arrow-Karlin Karmaskar Narend Modelos lineales Modelos primarios de programación matemática Modelos lineales Modelos dinámicos probabilísticos Modelos dinámicos probabilísticos Líneas de espera Asignación Lógica estadística Teoría de juegos Planeación en producción y distribución Transporte Método Simplex Programación dinámica Programación no lineal.Fuente: Elaboración Propia. ” (Winstone.2 FASES DE ESTUDIO DE LA OPERACIONES. por lo regular en condiciones que requieren la asignación de recursos escasos. i ncorporando factores como el r iesgo y l a i ncertidumbre p ara pr edecir y c ontrolar l os r esultados d e cursos de acción alternativos.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 4 1. administración y optimización de los recursos de una empresa con el fin de hacer buen uso de ellos. como lo muestra la siguiente figura: .1. 2000:20) Con base a las definiciones anteriores se puede decir que la Investigación de Operaciones es la aplicación de los métodos científicos a problemas complejos que surgen en la dirección. 2002:22) No obstante. 2008:01) Finalmente Prawda lo conceptualiza como “una herramienta de aplicación en grupos interdisciplinarios.” (Thierauf. INVESTIGACIÓN DE Su es tudio c onsiste en des arrollar m odelos c ientíficos. del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a fin de que produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización. Winstone lo describe “como un enfoque científico en la toma de decisiones que busca el mejor diseño y operar un sistema.” (Prawda.2 Definición Thierauf la define como “un método científico para dar a los departamentos ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones con las operaciones que estén bajo su control. 1. 2007 . VARIABLES RELEVANTES SISTEMA ASUMIDO RELACIONES RELEVANTES SISTEMA REAL MODELO CUANTITATIVO MÉTODO DE SOLUCIÓN SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL SISTEMA REAL JUICIO Y EXPERIENCIA DEL TOMADOR DE DECISIONES SOLUCIÓN DEL MODELO INTERPRETACIÓN DESICIONES Figura 1. Fuente: Arreola.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 5 CICLO OPERATIVO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Interpretar resultados y dar soluciones. 4. 3. es decir.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 6 1. identificar las variables implicadas.Formulación y definición del problema. 5. DESCRIPCIÓN DE LAS FASES PARA EL DESARROLLO DE I.Solución del modelo. 5.Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico.. qué se desea optimizar. Debe ser un modelo tal que relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del sistema.Fuente: Elaboración Propia. El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases: 1.Construcción del modelo.2... 1. 2..-Una vez que se tiene el modelo.En esta fase del proceso se necesita: una descripción de los objetivos del sistema. determinar las restricciones del sistema.-Requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. 3. 2.Validación del modelo..1 Proceso de Investigación de Operaciones. .. 4.-Debe decidir el modelo a utilizar para representar el sistema. con el tiempo se podra ajustar el modelo.. Figura 2. ya sean controlables o no.Implementación de resultados.O. se procede a derivar una solución matemática empleando las diversas técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y ecuaciones. . reemplazo de equipo.  Finanzas y contabilidad.  Mercado y distribución. l ocalización d e bo degas y c entros distribuidores. es dec ir. Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con múltiples ac tividades. la hace no s olo una h erramienta pr opia de l a I ngeniería I ndustrial.3 PRINCIPALES APLICACIONES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. mezclas óptimas de manufactura. des cribiéndose a c ontinuación algunas rúbricas de su aplicación.  Planeación. ubicación y tamaño de pl anta. el tráfico de m ateriales y el control d e calidad. sustitución de materiales. La Investigación de Operaciones es un campo tan amplio que su versatilidad. comprar o rentar. pued e ser em pleada en ot ros c ampos de l a c iencia.  Compras y materiales. inversiones al ternas. m uestreo para l a s eguridad e n a uditorías y reclamaciones. tanto s imultáneas c omo l as q ue d eben esperar para ejecutarse. env asado. clasificación y as ignación a tareas de m ejor ac tuación e i ncentivos a l a producción. pr edicción de l a demanda y ac tividad c ompetidora. Las cantidades y fuentes de suministro. Los a nálisis de flujo de e fectivo.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 7 1. La planeación y control de la producción.  Manufactura. La aut omatización y l a di sminución de c ostos. c apital r equerido d e l argo pl azo. El des arrollo e i ntroducción d e pr oducto. r eclutamiento de personal.  Personal. costos fijos y variables. d) MODELOS D E M ATENIMIENTO: E ste i nvolucra t anto el en foque d e inventario como el de reemplazo. S e considera en cierto grado un m odelo de inventario porque tanto las refacciones como los aditamentos en general están en espera de ser utilizados. L os métodos d e an álisis par a formular pol íticas ópt imas de r eemplazo.4. reemplazo. . El pr oblema d e i nventario c onsiste básicamente en determinar cuánto y cuándo pedir. los modelos se c lasifican de ac uerdo c on l as d os c ategorías pr eviamente c itadas. E n l a primera de ellas s e t rata de c alcular un d eterminado per iodo d e t iempo óptimo de us o del a ctivo des pués del c ual debe r eemplazarse. Tipos de modelo. Es también modelo de reemplazo porque el mantenimiento involucra el cambio de partes una vez que fallan.1. se trata también de definir un l apso de tiempo durante el c ual s e m inimice el c osto t otal s e r eemplazo de l os ac tivos i ndividuales dentro de es te m ismo i ntervalo de t iempo y el de r eemplazar t odos l os activos al final del mismo. lo hace total e impredeciblemente Por esta razón. asignación de recursos.4. S e pu ede t ratar de un equipo que s e det eriora a t ravés del tiempo o bien de un equipo que mantiene un nivel más o menos constante y cuando falla. sino la utilidad total. este consiste en elaborar un programa de producción o u na mezcla d e p roducción q ue maximice no l a contribución individual de los productos. líneas de espera. mantenimiento. e) MODELOS D E ASI GNACIÓN D E R ECURSOS: E ste s urge c uando s e desarrollan actividades al ternativas e i nterdependientes q ue c ompitan p or recursos limitados en un periodo determinado.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 8 1. c) MODELOS D E R EEMPLAZO: E l r eemplazo de un ac tivo depe nde de s u naturaleza. E n l a segunda categoría. 1. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS LINEALES. b) MODELOS D E L ÍNEA D E E SPERA: Es tán r elacionados c on aq uellos problemas en donde un g rupo de s ervidores at ienden a u n c onjunto de clientes. La I nvestigación d e Operaciones ha desarrollado m odelos e specíficos para solucionar problemas generales clasificados como de inventario. a) MODELOS D E INVENTARIO: C omprenden aquellos pr oblemas relacionados con el almacenamiento de un recurso en espera de satisfacer una de manda futura. ... .n +……+ +……+ +……+ +……+ +……+ +……+ a1nXn a2nXn . . 2007) La programación lineal son modelos destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos). bm ≤ Función objetivo Maximizar o Minimizar Variables a definir s. .. E n datos nec esarios par a un m odelo de programación lineal que maneja la asignación de r ecursos a ac tividades particular. (Amza. este modelo consiste en elegir valores de x1.x2. .. . Ahora se pu ede f ormular al m odelo m atemático para este problema general d e asignación d e r ecursos a actividades. . . para i= 1.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 9 f) MODELOS D E C OMPETENCIA: E ste t ipo d e modelo s e ut iliza par a analizar aquellas situaciones donde dos o más oponentes racionales tratan de seleccionar estrategias que optimicen un cierto objetivo. . Algunas d e l as siguientes r estricciones no s e pueden e mplear e n u n modelo de pr ogramación lineal.. recursos) Variables Objeto de estudio (definición) a) VARIABLES D E D ECISIÓN: C on estas s e hace r eferencia al c onjunto d e variables c uya m agnitud s e des ea determinar r esolviendo el m odelo d e programación lineal. ( No s e p ermite multiplicación d e v ariables ni v ariables el evadas a p otencias).a ( restricciones.a a11X1 + a12X2 a21X1 + a22X2 . La c aracterística distintiva de l os modelos es q ue l as funciones q ue representan el obj etivo y l as r estricciones s on l ineales.2. am1X1 + am2X2 Xn0. .. amnXn ≤ ≤ b1 b2 .xn para: Max o Min z= C1 X1 + C2X2 +……+ Cn Xn s.…. N o s e per miten d esigualdades de l os t ipos m enorestrictamente o mayor-estrictamente. d) LINEALIDAD: Se refiere a que las relaciones entre las variables. dado que cuando se tiene u na desigualdad de este tipo. . llamada variable faltante dado que solamente tomara v alores pos itivos. e) DESIGUALDADES: L as desigualdades u tilizadas par a r epresentar l as restricciones deben ser cerradas o f lexibles. Tipos de formatos para programación lineal. o abiertas.  La desigualdad tipo ≤ puede convertirse a una función.4.2. tanto en la función objetivo como en las restricciones deben ser lineales.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 10 b) RESTRCCIONES: Están constituidas por el conjunto de desigualdades que limitan l os v alores q ue p uedan t omar l as v ariables de d ecisión en la solución. c uando el l ado i zquierdo s ea menor al l ado derecho. a) Desigualdad del tipo ≤ convertir a una igualdad. 7x1+8x2-9x3≤6 Puede reemplazarse por: 7X1+8X2-9X3+X4≤6 x4≥0 7X1+8X2-9X3+S4=0 S4≥0 x4.s4=variables de holgura=variable faltante. c) FUNCIÓN OBJETIVO: Es la función matemática que relaciona las variables de decisión. 1. si se le suma al de lado izquierdo una nueva variable no neg ativa. f) CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDAD: E n l a pr ogramación l ineal l as variables de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos. m enor – igual(≤) o mayor – igual(≤). no se permiten valores negativos. Ejemplo: Transformar las desigualdades del tipo ≤ a una ecuación. es d ecir. l lamada variable so brante. En programación lineal se emplean 2 tipos de formatos a) Formato Canónico: Un modelo de pr ogramación l ineal es tá en f ormato c anónico. Ejemplo: Transformar las desigualdades del tipo ≥ a una ecuación. dado que si se le resta del lado izquierdo una n ueva v ariable no neg ativa.a [ 2x1+2x2-7x3≤10]-1 .. Min s. estos deben ser ≥0 s. x2 ≥0 Minimizar todos los signos de la desigualdad.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 11 b) Desigualdad del tipo ≥ convertir a una igualdad.s4=variables de holgura=variable sobrante.Formato Canónico. c uando el l ado izquierdo sea mayor que el derecho.a z0 = 2x1 + 3x2 + 8x3 2x1 + 2x2 . si t odas l as variables son no neg ativas y las r estricciones s on del t ipo para un objetivo de ≤ maximización o s i t odas l as r estricciones son d el ≥ ipo t para un objetivo de minimización. t al nom bre obedece a q ue di cha v ariable t omara un valor pos itivo.7x3 ≤ 10 7x1 + 2x2 + 5x3 = 9 8x1 + 9x2 + 5x3 ≤ 1 x1 . A la Variable faltante y sobrante se l es l lama Variables de holgura.  La d esigualdad t ipo≥ procediendo d e l a misma forma q ue l a an terior s e puede convertir en una ecuación. 1. Puede reordenarse como: -9X1+4X2-3X3≥12 -9X1+4X2-3X3-X4≥12 X4≥0 -9X1+4X2-3X3-S4=0 S4≥0 x4. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 12 Esto equivale a -2x1-2x2+7x3≥-10 ----------------------------------------------------------------------------Esto equivale a 7x1+2x2+5x3≤9 7x1+2x2+5x3≥9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ I8x1+9x2+5x3I≤1 Esto equivale a 8x1+9x2+5x3≤1 8x1+9x2+5x3≥-1 ---------------------------------------------------------------------------------[8x1+9x2+5x3≤1]-1 Esto equivale a -8x1-9x2-5x3≥-1 --------------------------------------------------------------------------------- . S1 5x3 x3 S2 5x3 x1. Z0=2x1+3x2+8x3-S1-S2-S3 s.x2.x3. 3x2 + 8x3 ≤ = ≥ ≤ 10 9 3 1 x2 .S3≥0 - S3 = = = = 10 9 3 1 Ejercicio: R ealizar el planteamiento c orrespondiente al problema de P L q ue s e muestra a continuación.x3. Min s.a 2x1 7x1 3x1 18x1 + + + + x2 2x2 3x2 9x2 + + + 7x3 .S1.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 13 b) Formato Estándar: Un modelo de P rogramación Li neal es ta e n formato es tándar s i t odas l as variables s on n o n egativas y t odas l as r estricciones s on i gualdades.S2.Formato estándar.a x1 2x1 Zo=7x1+8x2-9x3+10x4 + + - x2 x2 x2 + 2x3 + 5x4 5x3 + 8x4 Ix3 + x4I x1.7x3 2x2 + 5x3 3x2 + x3 9x2 + 5x3 x2 ≥0 x3 irrestricta. 2. Max s.x2.a z0 = 2x1 2x1 7x1 3x1 18x1 x1 + + + + + .. t anto en Maximización como en Minimización.x4≥0 = ≥ ≤ ≤ 9 7 4 7 a) Realizar formato estándar b) Realizar formato canónico . S2.a Zo=7x1+8x2-9x3+10x4-0s1+0s2+0s3+0s4 x1 + x2 . S3.S4 x1.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 14 Max s. x2. S4≥0 + S3 = ≥ ≤ ≤ ≤ 9 7 4 7 -7 Zo=7x1+8x2-9x3+10x4 x1+x2-2x3+5x4=9 x1+x2-2x3+5x4≤9 x1+x2-2x3+5x4≥9 [x1+x2-2x3+5x4≥9]-1 Esto equivale a -x1-x2+2x3-5x4≤-9 -------------------------------------------------------------------------------------------------------[2x1+x2≥7]-1 Esto equivale a -2x1-x2≤-7 -x2+5x3+8x4=4 -x2+5x3+8x4≤4 -x2+5x3+8x4≥4 -------------------------------------------------------------------------------- .2x3 2x1 + x2 . x3.S1. Max + 5x4 + 8x4 + x4 + x4 - S1 + S2 .x2 + 5x3 x3 x3 b) Formato Canónico. x4. a x1 -x1 -2x1 + x2 x2 x2 x2 + + 2x3 2x3 + 5x4 5x4 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 9 -9 -7 4 7 7 Zo=7x1+8x2-9x3+10x4 5x3 + 8x4 x3 + x4 -x3 x4 x1.x2.x3.x4≥0 .Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 15 Ix3+x4I≤7 Esto equivale a x3+x4≤7 x3+x4≥-7 --------------------------------------------------------------------------------[x3+x4≥-7] Esto equivale a -x3-x4≤7 FORMATO CANÓNICO Max s. V.5. Modelación y Formulación de Problemas 1) La e mpresa A NCE S . t anto de l sistema productivo como del producto. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS MÁS COMUNES. x1= Unidades del producto 1 a fabricar el próximo mes. 1. E l pr oducto 1 r equiere 0. Variables de decisión. s e d ebe que en el s iguiente m es s olo s e di spondrán de 1 200m2 de lámina q ue c onsumen l os productos 1 y 2.80m2. Costo de vta. 50m2 por unidad y el producto 2 requiere 0. x2= Unidades del producto 2 a fabricar el próximo mes. t roquelado. la cual consta de 4 productos.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 16 1. . Demanda Mensual(unidades) ($/unidad) ($/unidad) mínima Máxima 1 100 50 500 5000 2 300 200 750 6000 3 160 100 650 8000 4 250 150 0 3500 Además.. Producto Formular un modelo de programación lineal.A de C . A c ontinuación s e pr esenta l a i nformación r elevante. ac abado y empacado. es maltado.5.1. pr oduce una l ínea d e ar tículos de P eltre para uso casero. El sistema de manufactura se di vide en 5 et apas: C ortado. Información sobre el sistema productivo (Índice de producción Unidades/hrs) Departamento Corte Troquelado Esmaltado Acabado Empacado Producto 1 25 14 17 20 50 Producto 2 6 8 9 4 13 Producto 3 20 20 33 50 Producto 4 10 10 8 8 20 Capacidad (horas/mes) 400 380 490 450 400 Información sobre el producto Precio de vta. x3= Unidades del producto 3 a fabricar el próximo mes. X3. Max.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 17 x4= Unidades del producto 4 a fabricar el próximo mes.X2.X4≥0 . Zo= (100-50)x1+(300-200)x2+(160-100)x3+(250-150)x4 Zo= 50x1+100x2+60x3+100x4 Restricción de capacidad 1/25 X1 1/14 X1 1/17 X1 1/20 X1 1/50 X1 + + + + + 1/6 X2 1/8 X2 1/9 X2 1/4 X2 1/13 X2 + 1/50 X3 + + + + 1/20 X3 1/20 X3 1/33 X3 + + + 1/10 X4 1/10 X4 1/8 X4 1/8 X4 1/20 X4 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 400 380 490 450 400 CORTADO TROQUELADO ESMALTADO ACABADO EMPACADO Demanda 500≤X1≤5000 750≤X2≤6000 650≤X3≤8000 0≤X4≤3500 Entrada de materia prima 0.80 X2≤1200 Xj≥0 j= 1.4 X1.3.50X1+0.2. X3.3.a 1/25 X1 1/14 X1 1/17 X1 1/20 X1 1/50 X1 X1 X1 + + + + + Zo= 50x1+100x2+60x3+100x4 1/6 X2 1/8 X2 1/9 X2 1/4 X2 1/13 X2 + + + + + 1/20 X3 1/20 X3 1/33 X3 + + + + 1/10 X4 1/10 X4 1/8 X4 1/8 X4 1/20 X4 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 400 380 490 450 400 380 490 450 400 8000 650 3500 0 1200 1/50 X3 + X2 X2 X3 X3 X4 X4 0.4 X1.X4≥0 .Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 18 Max s.80X2 ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ Xj≥0 j= 1.50 X1 + 0.2.X2. .Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 19 2) Un ganadero dec ide elaborar una m ezcla para al imentos de animales a base d e al falfa. D e c ada 100Kg d e mezcla. x4= Kg de maíz a utilizar en los 100Kg de mezcla. s orgo. av ena. maíz. x5= Kg de harina a utilizar en los 100Kg de mezcla. ni m ás de 12 Kg de s oya por c/100kg de mezcla. no más de 40 sean de calcio. y como máximo 35Kg de fosforo. Variables de decisión x1= Kg de alfalfa a utilizar en los 100Kg de mezcla. n o s e pu ede us ar m ás d e 10K g har ina. x2= Kg de soya a utilizar en los 100Kg de mezcla. Ingredientes Proteína (%) Calcio (%) Fosforo (%) Precio (Kg) Alfalfa 25 50 25 7 Sorgo 40 20 40 9 Avena 10 30 60 8 Maíz 65 15 20 20 Soya 40 20 40 5 Harina 30 20 50 15 Además. x5= Kg de soya a utilizar en los 100Kg de mezcla. s oya y har ina. se desea que al menos 30Kg de ellos sean proteínas. A continuación se presenta la información del contenido de la mezcla y los precios de los ingredientes a combinar. x3= Kg de avena a utilizar en los 100Kg de mezcla. 20X2 0.5.20X5 0.25X1 0.30X6 0.X3.X2. Nutrición 0.50X1 0.20X4 + + + 0.60X3 + + + 0.10X3 0.6 Min s.25X1 + + + 0.20X4 + + + 0.30X3 0.3.30X3 0.25X1 0.40X5 0.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 20 Min Var.X4.X5.40X5 X5 X5 + + + 0.30X6 0.40X5 + + + 0.50X6 ≥ ≥ ≤ 30 40 35 Proteína Calcio Fosforo Disponibilidad X5 Capacidad total (Mezcla total) X1 + X2 Xj≥0 + X3 + X4 + X5 + X6 = 100 Kg X6 ≤ ≤ 10 12 Harina soya j=1.a 0.10X3 0.20X6 0.4.40X2 + + + 0.65X4 0.15X4 0.2.50X1 0.X6≥0 + X3 + X4 + + .25X1 + + + Zo= 7x1+9x2+8x3+20x4+5x5+15x6 0.15X4 0.40X2 0.40X2 + + + Zo= 7x1+9x2+8x3+20x4+5x5+15x6 0.40X2 0.60X3 + + + 0.65X4 0.50X6 X6 X6 ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ = 30 40 35 10 12 100 X1 + X2 X1.20X2 0.20X5 0.40X5 0.20X6 0. x2= Los barriles de petróleo importado con una mezcla regular. los cuales se venden en 8 y 15 pesos por barril respectivamente. x4= Los barriles de petróleo importado con una mezcla extra.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 21 3) La refinería azteca produce 2 tipos de gasolina sin plomo regular y extra. x3= Los barriles de petróleo nacional con una mezcla extra. x1= Los barriles de petróleo nacional con una mezcla regular. Presión máxima de vapor 23 23 Octanaje mínimo 88 93 Demanda Entrega máxima mínima barriles/semana barriles/semana 100000 50000 20000 5000 Regular Extra Las características del inventario refinado son las siguientes Presión máxima de vapor 25 15 Octanaje mínimo 87 98 Demanda Entrega máxima mínima barriles/semana barriles/semana 40000 8 60000 15 Regular Extra Que cantidades de los 2 petróleos nacional e importado debe mezclar la azteca a fin de acrecentar sus ganancias semanales. Max Z0=12(X1+X2) Z0=12(X1+X2)+14(X3+X4)-8(X1+X3)-15(X2+X4) Z0=12X1+12X2+14X3+14X4-8X1-8X3-15X2-15X4 Z0=4X1-3X2+6X3-X4 . Ambos tipos se pr eparan d el i nventario de azteca del pet róleo de az teca nac ional refinado y del petróleo i mportado r efinado y deb e d e c umplir c on l as siguientes especificaciones. X2.X3.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 22 s.X4≥0 .a X1 X1 X1 X1 2X1 + + + + X2 X2 X2 + 10X2 SX2 2X3 X3 X3 X3 6X3 2X3 + + X4 X4 X4 + SX4 8X4 ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 100000 20000 50000 5000 40000 60000 0 0 0 0 X1. Periodo 1 2 3 4 5 6 Horas del día 3-7 7-11 11-15 15-19 19-23 23-3 (24 hrs) Número 7 20 14 20 10 5 mínimo x1= El número de personas asignadas o requeridas en el periodo 1. x4= El número de personas asignadas en el periodo 2. Min s.X2. Un cajero trabaja 8hrs consecutivas.a X1 X1 + + Zo= x1+x2+x3+x4+x5+x6 X6 X2 X2 + X3 X3 + X4 X4 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 7 20 14 20 10 5 + X1. E l periodo uno s igue inmediatamente después del periodo 6. empezando al i nicio de un o de l os 6 periodos.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 23 4) Una t ienda de aut oservicio f unciona l as 24 hor as t iene l os siguientes requerimientos m ínimos para l os c ajeros.X4.X5. D etermine e l núm ero requerido de empleados en cada uno de los periodos.X3.X6≥0 X5 X5 + X6 . x5= El número de personas asignadas en el periodo 2. x6= El número de personas asignadas en el periodo 2. x3= El número de personas asignadas en el periodo 2. x2= El número de personas asignadas en el periodo 2. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 24 5) La e mpresa h a des tinado un pr esupuesto d e $4.a X1 X2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 20 10 25 4 30 20 Zo= 50x1+90x2+35x3+70x4+25x5 X3 X4 X1 + X2 X5 Comerciales de TV .000 f amilias pot encialmente compradoras. 4. 3. 1.500..000 para la c ompaña publicitaria del pr imer m es. 2.000 de pesos en .000x5≤4..V. x3= Número de comerciales en periódico diario durante el primer mes.El m ensaje d ebe llegar a por l o menos 2. Variables de decisión x1= Número de comerciales T.000x3+120.V nocturna durante el primer mes.V. el consejo de ad ministración h a sugerido al departamento de mercadotecnia los siguientes lineamientos. x2= Número de comerciales T.T.000x4+20.000 s.. 000.000x1+150.No deben de gastarse más de 2.000. ¿Cuál debe ser la campaña publicitaria para este primer mes? Plante un Modelo de PL. para resolver este problema.000.000x2+60.El mensaje debe publicarse en un periódico local por lo menos un domingo. Max Presupuesto 100.Deben utilizarse por los menos 20 comerciales de T. x4= Número de comerciales en periódico dominical durante el primer mes.V matutina durante el primer mes.. ad emás. x5= El Número de comerciales en noticiario de radio durante el primer mes. X3.X3.000 20 10 25 4 30 2.000X3 + 150.000.000X5 X4 + 70.000X2 X2 + 60.000X1 100.000 1 2.000x3+70.X2.X4.000X2 X5 5.5 X1.000x4+50.000x5≥2.X4.000X1 + + X2 50.000 Periódico dominical x4≥1 Gasto T.4.000X1 X1 + Zo= 50x1+90x2+35x3+70x4+25x5 150.000x2≤2.X5≥0 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≤ 4.000 Xj≥0 j= 1.V 100.500.000x1+50.X2.500.2.000x2+30.000X5 + 30.000.000 .a 100.000X3 X3 + 120.000X4 + 20.000X4 X4 + X1 10.X5≥0 Max s.000x1+150.000.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 25 Cobertura de audiencia 10.000X2 X1.3. 000.000. c) Cuanto esfuerzo de ventas debe dedicarse a c/canal de distribución. Dichos canales de distribución alternativos abren el m ercado a personas i nteresadas en r adio c omunicación c omo afición y como enlace entre botes de pesca y su estación de base. productora de r adio portátiles pa ra intercomunicación (solamente entre dos personas: transmisora y receptora). el núm ero de uni dades f abricadas y vendidas es el mismo. en el siguiente mes. la empresa debe decidir: a) Cuantas unidades producir por c/canal de distribución. ¿ Qué estrategia de ventas debe adoptar la empresa? Es decir.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 26 6) La e mpresa olle S . el c ual t iene diversas f unciones.V. Canal de distribución Industrial Tienda Marítimo Utilidad unitaria($) 20.000 12. va a promover s u n uevo r adio c on un alcance de 4 0Km.000 1. El pr incipal c anal de di stribución es tá en focado a mayoristas en el ár ea de c omunicación i ndustrial. l a firma es tá considerando dos alternativas de distribución: una cadena de autoservicio y mayorista de equipos marítimos. A continuación se resume la información preparada por olle S. el c osto pu blicitario y el t iempo el v endedor por u nidad s on distintos p ara c ada canal de di stribución. D ado q ue l a c ompañía s olo produce baj o pe dido. 250 al canal marítimo. .000 18. S i l a capacidad de pr oducción s e es tima en 1 000 uni dades y l as horas ho mbre de u n v endedor di sponibles en el pr óximo m es s on 2.000 Costo publicitario ($/unidad) 1.A de C . también el gasto publicitario no debe exceder de $ 1. ha es tablecido q ue en l a es trategia d e ventas a seguir deben venderse por lo menos 100 unidades al canal tienda.000. b) Cuanto gasto publicitario se debe hacer en c/canal de distribución. costo pu blicitario y hr /hombre de v endedor por c ada unidad vendida. as í m ismo. con respecto a l a ut ilidad. Además.V.000 Esfuerzo de ventas (hr-hombre/unidad) 4 6 7 El di rector g eneral de l a empresa.800 3.A de C. l a utilidad d el pr oducto varía con l a al ternativa de di stribución seleccionada. Lo anterior ha sido estimado con base en experiencias con radios similares. Debido a l a di ferencia de c ostos d e c omercialización y de pr omoción. 000 1.X2.X3≥0 .000x2+18.000X2 6X2 X2 X2 + + + 18.000x2+18.000.3 + X1.000X2 6X2 X2 X2 X3 + + + 1.000 2000 1000 100 250 Zo= 20.000 100 250 Zo= 20. x2= Unidades producidas para el mercado tiendas.000x3 4X1 + Capacidad productiva X1 Mercado tienda Mercado marítimo Xj≥0 j= 1. x1= Unidades producidas para el mercado industrial.X2.000x1+12. x3= Unidades producidas para el mercado marítimo.000 2.a 1.000x3 X1.a Publicidad 1.000x1+12.000X3 7X3 X3 ≤ ≤ ≤ ≥ ≤ 1.000X3 7X3 X3 X3 ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ 1.000.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 27 X= U nidades de r adios por tátiles en s us diferentes m ercados para pr oducir el siguiente mes.800X1 4X1 X1 + + + 12. Objetivo Max s.800X1 Esfuerzo de ventas + 3.2.X3≥0 Max s. 10 onzas de azúcar y 8 on zas de g rasas. C ada barra d e chocolate c uesta $ 35. El contenido nutricional por unidad de c/alimento se da en la siguiente tabla. x4= Rebanadas de pastel de queso con piña consumidas al día.50 y cada rebanada de pastel de queso con piña cuesta $20.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 28 7) Mi dieta requiere que todo los alimentos que ingiera pertenezcan a una d e los c uatro “ grupos bá sicos de al imentos” ( pastel d e c hocolate. cada botella de bebida de c ola cuesta $7. b ebidas c arbonatadas y pas tel d e q ueso).00.oo. c ada b ola d e helado de c rema c uesta $40 . Min s. x2= Cantidad de helado de crema con chocolate consumida al día(1 bola) x3= Botellas de bebida de cola consumidas al día. x1= Cantidad de barras de chocolate consumidas al día. P or ahor a hay l os siguientes c uatro al imentos: bar ras de c hocolate. bebida d e c ola y pas tel de q ueso c on pi ña. todos los días debo ingerir por lo menos 500 calorías.00.50x3+20x4 . hel ado de crema d e chocolate. P lantee u n m odelo d e P L q ue pued a em plear par a cumplir mis necesidades nutricionales al costo mínimo.a 400X1 3X1 2X1 2X1 + + + + 200X2 2X2 2X2 4X2 + + 4X3 X3 + + 4X4 5X4 + 150X3 + 500X4 ≥ ≥ ≥ ≥ 500 6 10 8 calorías chocolate Azúcar Grasas Zo= 35x1+40x2+7. hel ado d e crema. Tipo de alimento Calorías Barra de chocolate 400 Helado de crema con 200 chocolate(1 bola) Bebida de 150 cola(1 botella) Pastel de queso con 500 piña Definición de la variable Chocolate(onzas) 3 2 0 0 Azúcar(onzas) 2 2 4 4 Grasas(onzas) 2 4 1 5 X= Cantidad de calorías a consumir en los diferentes alimentos al día. De acuerdo al nutriólogo. 6 onzas de chocolate. X2.X3.a Zo= 35x1+40x2+7.X3.X2.50x3+20x4 400X1 3X1 + + 200X2 2X2 2X2 4X2 + + + 150X3 4X3 X3 + + + 500X4 4X4 5X4 ≥ ≥ ≥ ≥ 500 6 10 8 2X1 + 2X1 + X1.X4≥0 .X4≥0 Min s.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 29 X1. La s partes s e producen en c uatro o peraciones ( departamentos).15 3 0. s e dedica a l a fabricación d e dos r efacciones par a u na em presa m etalmecánica.A d e C .20 2 0. Las h oras hom bre asumidas por cada parte en cada departamento son: Departamento Parte 1 Parte 2 (operación) 1 0.2 j= 1. Variables de decisión Xi= Unidades a fabricar de las refacciones i por semana ai=horas/hombre a asignar en el departamento j por semana i= 1.V.2.10 0.10 0.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 30 8) El t aller de máquinas y her ramientas Era S . La empresa pi ensa por t anto.3.15 4 0.10 La e mpresa g ana $100 y $12 9 por uni dad de l as partes 1 y 2 respectivamente. Las h oras maquina son suficientes aunque se tiene una fuerte limitación en m ano de obra c alificada. se ha llegado al siguiente resultado: Asignación posible de mano de obra Únicamente a departamento 1 Únicamente a departamento 2 Únicamente a departamento 3 Únicamente a departamento 4 A departamento 1 o departamento 2 A departamento 3 o departamento 4 Plantee un modelo de PL.05 0. L uego de c onsiderar l a ex periencia y habi lidad de l os trabajadores actuales.4 Hr/hombre Disponibles/semana 480 400 500 200 350 370 .20 0. q ue l as hor as-hombre disponibles r estringen s u c apacidad de pr oducción. 20X2 0.10X1 + 0.20X1 0.15X2 ≤ a3 0.20X1 + + 0.05X1 + 0.X2.10X2 ≤ a4 Asignación de horas/hombre para cada departamento a1 a2 a3 a4 a1 a3 + + a2 a4 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 480 400 500 200 480 500 + + + + + + 350 350 370 370 400 200 = = = = + + 830 750 870 570 350 370 = = 1230 1070 Modelo matemático Max s.10X1 0.a2.a4≥0 a4 a4 .10X2 a1 a2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≤ 0 0 0 0 830 750 870 570 1230 1070 Zo= 100x1+120x2 - a3 a1 - a4 a2 + a2 a3 a3 + a1 X1.05X1 + + + + 0.10X1 0.15X2 0.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 31 Max Zo= 100x1+120x2 horas/hombre disponibles 0.20X2 0.a 0.15X2 0.a1.15X2 ≤ ≤ a1 a2 0.a3.10X1 0. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 32 9) PCP S.A de C.V produce rollos de papel en un a ncho estándar de 20 pies c/u, l os pe didos d e l os c lientes en r ollos de di versos anc hos; s e producen recortando el tamaño estándar de 20 pi es. Los requerimientos promedio de los clientes están dados de la siguiente forma: Rollos de 5 pies 150 unidades Rollos de 7 pies 200 unidades Rollos de 9 pues 300 unidades ¿Qué combinación es la mejor para optimizar los rollos? A 20 ft b) c) 5 ft 7 ft 9 ft Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 33 Tipo de corte 5ft I 4 II 1 III IV 2 V VI 2 Definición de la variable x1= No. de cortes del rollo tipo I. x2= No. de cortes del rollo tipo II. x3= No. de cortes del rollo tipo III. x4= No de cortes del rollo tipo IV x5= No. de cortes del rollo tipo V. x6= No de cortes del rollo tipo VI. Min s.a 4X1 + X2 2X2 + + 2x4 2x3 + 2x4 7ft 2 1 1 9ft 2 2 1 - Desperdicio(ton) 0 1 2 1 4 3 Zo= 0x1+x2+2x3+x4+4x5+3x6 + + X1,X2,X3,X4,X5≥0 x5 x5 2x6 ≥ ≥ ≥ 150 200 300 Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 34 EJERCICIOS I. FORMATO ESTANDAR Y CANÓNICO. Instrucciones: Dados l os s iguientes m odelos de programación l ineal, expresarlos en f ormato es tándar y c anónico ( solamente c onsidere v ariables d e holgura). SOLUCIONES 1.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=2X1+2X2 s.a MIN Z=2X1+2X2 s.a 3X1+2X2≥3 2X1 ≤3 X2≥4 X1,X2≥0 3X1+2X2-S1 2X1 X2 =3 +S2 =3 +S3=4 X1,X2,S1,S2,S3≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=2X1+2X2 s.a 3X1+2X2≥3 -2X1 ≥-3 X2≥4 X1,X2,≥0 X2≥0 MIN Z=3X1+8X2 s.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=3X1+8X2 s.X2.a MAX Z=3X1+8X2 s.≥0 .Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 35 2.a 8X1+2X2≤4 -4X1 ≤-3 X1+1/2X2≤3 X1.S2.S3≥0 FORMATO CANÓNICO X1+1/2X2≤3 X1.S1.X2.a 8X1+2X2≤4 -4X1 ≥3 8X1+2X2-S1 -4X1 X1+1/2X2 =4 -S2 =3 +S3=3 X1. X2.a X1+2X2 ≥3 X1+ X1-2X2 X1.a -X1-2X2 4X2-3X3 -X1-1/4X2 X1-2X2 -X1+2X2 X1.X2.S3≥0 FORMATO CANÓNICO =4 =5 -S3 =4 =5 2X2-3X3+S2 1/4X3 2X2-3X3 ≤5 X1+ X1-2X2 X1.X2.S1.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 36 3.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=X1+2X2+3X3 s.a 8X1+2X2-S1 MAX Z=X1+2X2+3X3 s.≥0 ≤-3 ≤-3 ≤3 ≤5 ≤-5 .S2.X3≥0 1/4X3≥4 =5 MIN Z=X1+2X2+3X3 s. - FORMATO ESTANDAR MIN Z=8X1+2X2 s.X2≥0 =4 3X1+8X2 -S2 =-4 3X1+8X2 +S3=4 X1.S1.S3≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=8X1+2X2 s.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 37 4.a -2X1-X2 3X1+8X2 -3X1-8X2 X1.X2.X2. ≥4 ≥-4 ≥4 ≥0 .a 2X1+X2≤4 I3X1+8X2I≤4 X1.S2.a 2X1+X2-S1 MAX Z=8X1+2X2 s. X2.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=4X1+8X2 s.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 38 5. ≥-4 ≥-3 ≥-4 ≥0 .S1.X2≥0 X2 =4 =3 +S3 =4 X1.S2.a X1+4X2-S1 X1+8X2 -S2 MIN Z=4X1+8X2 s.a -X1-4X2 X1+8X2 8X2 X1.X2.S3≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=4X1+8X2 s.a X1+4X2≤4 X1+8X2≥3 X2≤4 X1. X2.X2.X3≥0 -3X3 I ≥4 ≤8 -3X3+S1 -3X3 +S2 +S3 =4 =5 =4 X1+2X2 X1.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=8X1+2X2+X3 s.≥0 -3X3 +3X3 ≤-3 ≤-4 ≤8 .Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 39 6.a X1 X1 MAX Z=8X1+2X2+X3 s.X2.a IX1 X1+2X2 X1.S3≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=8X1+2X2+X3 s.S1.S2.a X1 -X1 X1+2X2 X1. X2≥0 MIN Z=4X1+2X2 s.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 40 7.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=4X1+2X2 s.X2.S2≥0 FORMATO CANONICO MIN Z=4X1+2X2 s.a X1+2X2 =4 =3 +S2 =3 -3X1+X2 -S1 2X2 X1.a X1+2X2≤4 -3X1+X2≥3 2X2≤3 X1.X2.S1. ≥-4 ≥4 ≥3 ≥-3 ≥0 .a -X1-2X2 X1+2X2 -3X1+X2 -2X2 X1. a X1 2X2 2X1+ 4X3 -3X3 ≤0 ≥4 ≤5 MIN Z=2X1+8X2+4X3 s.X3≥0 X1.S3≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=2X1+8X2+4X3 s.a X1 -3X3 2X2 2X1 +4X3 ≤-3 ≤-3 ≤5 X1.- FORMATO ESTANDAR MAX Z=2X1+8X2+4X3 s.S1.≥0 .S2.X2.X2.X2.a X1 -3X3+S1 2X2 2X1+ 4X3 -S2 -S3 =0 =5 =5 X1.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 41 8. Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 42 9. ≥4 ≥-9 ≥-5 ≥0 .X2.a X1+4X2≥4 -4X1-2X2≤9 3X2≤5 X1.- FORMATO ESTANDAR MIN Z=X1-2X2 s.X2.a X1+4X2-S1 -4X1-2X2 +S2 3X2 MIN Z=X1-2X2 s.a X1+4X2 4X1+2X2 -3X2 X1.S1.X2≥0 =4 =9 +S3 =5 X1.S2≥0 FORMATO CANÓNICO MIN Z=X1-2X2 s. 00 5. 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de ar ándano.80 3. La solución de cada uno de los problemas se encuentra al final de esta sección.00 1.80 5.00 4.. MODELACIÓN.20 Modelo . S i l os d atos del i nventario s on l o q ue s e pr esentan a continuación ¿Qué cantidad de cada bebida de fruta deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo mínimo? Jugo de naranja(%) Bebida A Bebida B Bebida C Bebida D Bebida E 40 5 100 0 0 Jugo de toronja (%) 40 10 0 100 0 Jugo de Arándaro (%) 0 20 0 0 0 Existencia (gal) 200 400 100 50 800 Costo ($/gal) 1.La regiomontana es una fábrica que produce 3 diferentes sombreros: Su capacidad de producción mensual es como sigue. Capacidad de producción (sombreros/mes) Norteño 650 Lona 900 Articela 700 La producción mensual se reparte en tres diferentes distribuidoras que se localizan dentro del área metropolitana de la ciudad..Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 43 EJERCICIOS II.40 Zona Sur $7. Los costos unitarios de transporte para cada modelo se muestra a continuación Modelo Norteño Lona Articela Zona Norte $3.00 Zona Rosa $5.75 2. Instrucciones: Plantee el Modelo de Programación Lineal para cada uno de los siguientes problemas.75 0. 50 0 g al q ue contengan por lo menos 20% de jugo de naranja.50 0. PROBLEMAS 1.00 2.-25 2.Un pr oveedor de be pr eparar 5 b ebidas de fruta e n ex istencia.50 2. Hora 4.. Por tal motivo. ya que no es tá del todo convencido con el número de enfermeras que laboran en la sección de e mergencias. el cual arrojo los siguientes datos Número mínimo requerido de enfermeras 0a4 40 4a8 80 8 a 12 100 12 a 16 70 16 a 20 120 20 a 24 50 De ac uerdo c on l a L ey F ederal del T rabajo c ada e nfermera de be t rabajar 8 hr s consecutivas por día. ordeno un estudió estadístico. Costo por Producto Producto hr ($) I II 1 10 2 3 2 5 3 2 Precio Unitario de 75 70 Venta Formule un Modelo de programación lineal Máquina Producto III 4 1 55 Producto IV 2 2 45 Capacidad (hr) 500 380 . La s ig.. Tabla muestra los datos pertinentes de problema. Formule un modelo de programación lineal que cumpla con los requerimientos citados.Un Hospital está realizando estudios sobre Ingeniería Industrial para optimizar con l os r ecursos c on q ue c uenta.En d os m áquinas se pr ocesan c uatro pr oductos de forma s ecuencial. U na de l as pr incipales pr eocupaciones del Director del Hospital es el área de per sonal.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 44 Los requerimientos mensuales de cada distribuidor son como sigue: Distribuidora Zona Norte Zona Rosa Zona Sur Demanda (sombreros/mes) 750 900 600 3. Una c omunidad h a r eunido $2 50.Una c ompañía M anufacturera l ocal p roduce c uatro diferentes pr oductos metálicos q ue debe n m aquinarse p ulirse y ens amblarse.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 45 5. ¿ Qué s itios deberá des arrollar l a comunidad? Sitio Capacidad. 400 horas para el pul ido y 400 hr para el e nsamble. según la producción. L a nec esidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes: Producto I Producto II Producto III Producto IV Maquinado (hr) 3 2 2 4 Pulido (hr) 1 1 2 3 Ensamble (hr) 2 1 2 1 La compañía dispone semanalmente de 480 hr para el maquinado.. a f in de c umplir l as c ondiciones d e contrato e incrementar la ganancia total? 6.000 p ara des arrollar nu evas ár eas par a la eliminación de desechos. cuyos costos de desarrollo y capacidades s e muestras a c ontinuación. ton/semana Costo $1000 A 20 145 B 17 92 C 15 70 D 15 70 E 10 84 F 8 14 G 5 47 .$6 y $8 respectivamente. Las g anancias u nitarias s on: $6.. pero solo como máximo 25 unidades del producto IV. La compañía tiene un contacto con el distribuidor en el que se compromete a entregar 50 unidades semanalmente del producto I y 100 unidades de cualquier combinación de los productos I. II y III. $4. ¿Cuántas Unidades de cada producto debe fabricar s emanalmente l a empresa. Hay siete sitios disponibles. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑬𝑬 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎. 000. 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟎𝟎. Los pr éstamos p ara c asa de ben s er i guales o c uando menos al 50% de l os pr éstamos per sonales. Además por política del banco la relación global de pagos irrecuperables no debe ser mayor al 0. 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒍𝒍. 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟏𝟏 −𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟎𝟎.03 Agrícola 12.000. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 − 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎..05 Comercial 10% 0. F ormule un modelo de programación lineal que le permita a la empresa incrementar sus utilidades. 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑨𝑨 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟎𝟎. 𝑴𝑴𝑪𝑪𝑪𝑪 𝟎𝟎. 𝑪𝑪 . 𝒛𝒛 = 𝟏𝟏. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟎𝟎. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. par a au tomóvil y c asa ha bitación. Soluciones de los Modelos de programación Lineal 1.Banco az teca v a a r ealizar s us pr ácticas de pr éstamo p ara el pr óximo año . 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 Definir Variables.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 46 7.02 El banco debe asignar por lo m enos ek 40% de l os fondos totalkes a préstamos agrícolas y c omerciales. 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. para ello dispone de $20. 𝟗𝟗𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑫𝑫 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝟕𝟕𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏. además de la probabilidad de no pago Préstamo Tasa de Interés Probabilidad Inc Personas 14% 0.04% Nota: U n pago q ue no s e c ubre no g enera i nterés.1 Automóvil 13% 0.07 Casa Habitación 12% 0.5% 0. 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. Los préstamos que esta obligado a solicitar son los siguiente. 𝒙𝒙𝟒𝟒 . 𝒙𝒙𝟐𝟐 . 𝒙𝒙𝟐𝟐 . 𝑴𝑴𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟑𝟑 . 𝒙𝒙𝟔𝟔=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟔𝟔. 𝒙𝒙𝟓𝟓 . 𝑪𝑪 𝒛𝒛 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝒙𝒙𝟔𝟔 𝒙𝒙𝟔𝟔 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏 . 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 47 ≤ 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒙𝒙 𝟓𝟓 ≤ 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 2 Definir Variables.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙 𝟒𝟒 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏 . 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟑𝟑. 𝒙𝒙𝟔𝟔 ≥ 𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝒙𝒙𝟔𝟔 ≥ 𝟒𝟒𝟎𝟎 ≥ 𝟖𝟖𝟎𝟎 ≥ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ≥ 𝟕𝟕𝟎𝟎 ≥ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 ≥ 𝟓𝟓𝟎𝟎 . 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟐𝟐. 𝒙𝒙𝟒𝟒 . 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟒𝟒. 𝒙𝒙𝟑𝟑 . 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟏𝟏. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟓𝟓. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑬𝑬𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑼𝑼𝑼𝑼𝑵𝑵𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟒𝟒 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑬𝑬𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑼𝑼𝑼𝑼𝑵𝑵𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑬𝑬𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑼𝑼𝑼𝑼𝑵𝑵𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝑹𝑹𝒍𝒍𝒍𝒍𝑪𝑪(𝟐𝟐) 𝒚𝒚 𝑺𝑺𝒋𝒋𝒆𝒆(𝟑𝟑) Definir Variables 𝑴𝑴𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒛𝒛 = 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝟕𝟕𝒙𝒙𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝟓𝟓.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 48 3 𝒙𝒙=𝑳𝑳𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒍𝒍𝑪𝑪𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒆𝒆𝒃𝒃𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝒑𝒑𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪 𝒍𝒍𝒋𝒋𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒋𝒋 𝑪𝑪 = 𝑴𝑴𝒍𝒍𝑪𝑪𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒆𝒆𝒃𝒃𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝒑𝒑𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍𝒍𝒍𝑵𝑵𝒍𝒍𝒆𝒆𝑪𝑪𝒅𝒅ñ𝒍𝒍(𝟏𝟏). 𝒙𝒙𝟑𝟑 . 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟓𝟓. 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏 . 𝑪𝑪 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟑𝟑 ≤ 𝟔𝟔𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑 ≤ 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≤ 𝟕𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟏𝟏 ≥ 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 4 Definir Variables. 𝑨𝑨𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪(𝟏𝟏) 𝒋𝒋 = 𝑳𝑳𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒛𝒛𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒛𝒛𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑵𝑵𝒍𝒍𝒆𝒆𝑪𝑪𝒅𝒅(𝟏𝟏). 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝟒𝟒. 𝑳𝑳𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪(𝟏𝟏). 𝒙𝒙𝟒𝟒. 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑪𝑪𝒙𝒙 𝒛𝒛 = 𝟕𝟕𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟕𝟕𝟎𝟎𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟏𝟏𝟎𝟎) ≤ 𝟑𝟑𝟖𝟖𝟎𝟎(𝟓𝟓) . 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝟏𝟏 + 𝟑𝟑. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑬𝑬𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑼𝑼𝑼𝑼𝑵𝑵𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝒙𝒙𝟐𝟐 . 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑬𝑬 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑩𝑩 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝟑𝟑. 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟗𝟗𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟕𝟕𝟎𝟎𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟕𝟕𝟎𝟎𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟖𝟖𝟒𝟒𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟒𝟒𝟕𝟕𝒙𝒙𝟕𝟕 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏. 𝟕𝟕 𝒙𝒙𝑪𝑪 ≥ 𝟎𝟎 𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟕𝟕 ≤ 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 . 𝟐𝟐. 𝒙𝒙𝟔𝟔=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑭𝑭 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑬𝑬𝑴𝑴𝑨𝑨𝑵𝑵𝑨𝑨𝑳𝑳𝑴𝑴𝑬𝑬𝑵𝑵𝑷𝑷𝑬𝑬. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑬𝑬𝑴𝑴𝑨𝑨𝑵𝑵𝑨𝑨𝑳𝑳𝑴𝑴𝑬𝑬𝑵𝑵𝑷𝑷𝑬𝑬. 𝑴𝑴𝑪𝑪𝒙𝒙 𝑴𝑴𝑪𝑪𝒙𝒙 𝒁𝒁 = 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟒𝟒 s. 𝒙𝒙𝟐𝟐 .Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 49 5 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟒𝟒 Definir Variables. 𝟔𝟔. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑫𝑫 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑬𝑬𝑴𝑴𝑨𝑨𝑵𝑵𝑨𝑨𝑳𝑳𝑴𝑴𝑬𝑬𝑵𝑵𝑷𝑷𝑬𝑬.a 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟖𝟖𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏 ≥ 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 ≥ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏 . 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≥ 𝟎𝟎 6 Definir Variables. 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑬𝑬𝑴𝑴𝑨𝑨𝑵𝑵𝑨𝑨𝑳𝑳𝑴𝑴𝑬𝑬𝑵𝑵𝑷𝑷𝑬𝑬. 𝟒𝟒. 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑨𝑨 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟑𝟑 . 𝒙𝒙𝟕𝟕=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑮𝑮 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝟓𝟓. 𝒛𝒛 = 𝟎𝟎. 𝑴𝑴𝑪𝑪𝒙𝒙 𝒍𝒍. 𝑪𝑪 7. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟔𝟔𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝒙𝒙𝟑𝟑 . 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎(𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟖𝟖𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆í𝒑𝒑𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒑𝒑𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪. 𝟎𝟎𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟑𝟑)𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝑪𝑪𝒍𝒍𝒆𝒆 𝒑𝒑𝒍𝒍𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒑𝒑𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆. 𝒙𝒙𝟐𝟐 . 𝟏𝟏𝟑𝟑(𝟎𝟎. 𝒙𝒙𝟒𝟒 . 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒛𝒛 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟒 . 𝟗𝟗𝟕𝟕)𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝒍𝒍𝒆𝒆ó𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆. 𝟏𝟏𝟒𝟒(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟓𝟓)𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟓𝟓(𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 ) ≥ 𝟖𝟖. 𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝟎𝟎. Definir Variables. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝟕𝟕𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟗𝟗𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓(𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟎𝟎)𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟖)𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏 . 𝟎𝟎𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎.Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos 50 𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒅𝒅𝒍𝒍. al igual que la forma detallada del procedimiento del método simplex. Objetivo: El a lumno an alizará f undamentos d e l a Programación Lineal y el procedimiento gráfico de solución.CAPÍTULO II: EL METODO SIMPLEX. . El interés en la forma estándar de PL. El algoritmo simplex está diseñado para localizar de m anera eficiente la óptima entre estas soluciones básicas. utilizando variables de hol gura o de s uperávit. 3X2 2X2 2X2 X2 X2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 6 3 5 4 0 . par a c onvertir l as r estricciones d e desigualdad en ecuaciones. s iempre enc ontraremos s oluciones básicas factibles.1. La t ransición d el punto ex tremo geométrico (o es quina) de l a s olución al método s implex r adica en i dentificar al gebraicamente l os punt os extremos.Z=4X1+3X2 s. El método S implex es un pr ocedimiento iterativo q ue per mite i r m ejorando l a solución a cada paso. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. E ste resultado es la idea clave para el desarrollo del método simplex algebraico general para resolver cualquier modelo de Programación Lineal. se basa en las soluciones básicas de las ec uaciones l ineales s imultáneas. b) Criterio de f actibilidad: E ste c riterio nos asegura q ue s i c omenzamos c on una s olución b ásica f actible i nicial. P ara lograr es ta m eta. Es la técnica para solucionar problemas de programación lineal. 52 2. El método g ráfico m uestra q ue l a s olución ó ptima d e P rogramación Lineal siempre está as ociada c on un punto de es quina ( también c onocido matemáticamente c omo punto e xtremo) del espacio d e l a s olución. Se fundamenta en 2 criterios: a) Criterio d e optimalidad: E ste pr incipio garantiza que nunc a enc ontraremos soluciones inferiores a la del punto ya considerado.Capítulo II: El método simplex. EJEMPLO 1: MAX…………………………. E sta s olución bás ica ( algebraica) d efine completamente t odos l os pu ntos ex tremos ( geométricos) del espacio de l a solución. pr imero c onvertimos el m odelo a l a forma e stándar d e P L.a 2X1 -3X1 2X1 X1 + + + . s4≥0 + S2 = = = = 6 3 5 4 Zo=4x1+3x2+0s1+0s2+0s3+0s4 + S3 + S4 Paso 2: n= Incógnitas ó No.s1.Capítulo II: El método simplex. de Restricciones m= 4 No.s3. Paso 4: Igualar a cero la función objetivo. . Nota: Se llaman no básicas a aquellas que su valor es cero. 53 Paso 1: Obtener su forma estándar añadiendo las variables de holgura respectivas en función del signo de la desigualdad. para conformar una matriz identidad.x2. de variables n= 6 n-m= 6-4= 2 m=No. Zo=-4x1-3x2-0s1-0s2-0s3-0s4=0 Paso 5: Armar el tablero inicial VARIABLE DE ENTRADA MATRÍZ IDENTIDAD ZONA ∞ BASE Z S1 S2 S3 S4 Z 1 0 0 0 0 X1 -4 2 -3 0 2 X2 -3 3 2 2 1 S1 0 1 0 0 0 S2 0 0 1 0 0 S3 0 0 0 1 0 S4 0 0 0 0 1 VARIABLE DE SALIDA Sol 0 6 3 5 4 6/2 = 3 3/-3 = -1 5/0 = ∞ 4/2 = 2 A la integración de t oda la fila de la variable de s alida con la columna de v ariable de entrada se multiplica por su inverso. Paso 3: Preguntar ¿Se puede resolver con la solución más sencilla? es decir.a 2x1 -3x1 + 3x2 + S1 + 2x2 2x2 2x1 + x2 x1. de variables no básicas. se tienen 4 holguras positivas.s2. para obtener lo que se llama eje pivote. Max s. SEGUNDA LEY Para elegir la variable de entrada se toma el elemento más negativo de la zona ∞. d onde l os numeradores s e t oman de l a c olumna de l a s olución ( únicamente d e l as restricciones y donde los denominadores serán los números correspondientes en la c olumna de v ariable ent rada). la variable de s alida se elige tomando el menor cociente positivo tanto para Maximizar como Minimizar. 54 Nota: Los c oeficientes de l as v ariables bás icas en c ualquier t abla s implex s e conforma una matriz de identidad. no c ocientes negativos. S2=3. N o s e ad miten i ndeterminaciones.Capítulo II: El método simplex. para el caso de maximización y viceversa para minimización. En la tabla es la exposición donde S1=6. S3=5 y S4=4 PRIMERA LEY Una tabla es óptima para el caso de maximización cuando todos los elementos de la zona ∞ sean positivos o cero y viceversa para el caso de minimización. TERCERA LEY Para definir l as variables de s alida s e forman c ocientes. . 57 5/2 = 2. . Nota 2: Una solución no factible es una solución para que al menos una restricción se viole.. entrando X2.Capítulo II: El método simplex. SOL X1 X2 S2 S3 = 3/2 =1 = 11/2 3 MAX Z= 9 S1= 0 S4= 0 2 Variables no básicas Nota 1: S olución factible es aq uella par a l a q ue t odas l as r estricciones s e satisfacen.ITERACIÓN BASE Z X2 S2 S3 Z 1 0 0 0 X1 0 0 0 0 X2 0 1 0 0 S1 1/2 1/2 -7/4 1 S2 0 0 1 1 S3 0 0 0 0 S4 3/2 -1/2 13/4 1 Sol 9 1 11/2 3 X1 0 1 0 -1/4 0 0 3/4 3/2 Como la zona Z son todos los números positivos y ceros se dice que la tabla es óptima.5 0 1 1/2 0 0 0 1/2 2 2/1/2 = 4 Se multiplica por ½ toda la fila de la variable de salida S1. 2..ITERACIÓN VARIABLE DE ENTRADA VARIABLE DE SALIDA BASE Z S1 S2 S3 X1 Z 1 0 0 0 X1 0 0 0 0 X2 -1 2 7/2 2 S1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 S4 2 -1 3/2 0 Sol 8 2 9 5 2/2 = 1 9/ 7/2 = 2. 55 1. obteniendo el eje pivote 1 arriba de este último y abajo se tendrá que hacer ceros. 5≤3 2x2≤5 2(1)≤5 2≤5 2x1+x2≤4 2(3/2)+1≤4 4≤4 EJEMPLOS 2: Resolver el siguiente problema.a 2x1+3x2≤6 Zo=4(3/2)+3(1) 9=9 2(3/2)+3(1)≤6 6≤6 -3x1+2x2≤3 -3(3/2)+2(1)≤3 -2. MAX s.a 3X1 2X1 2X1 + + 9X2 2X2 4X2 + + + 2X3 3X3 9X3 X3 + + + . 7X4 9X4 6X4 X4 ≤ ≤ ≤ ≥ 10 15 5 0 Z=2X1-3X2+4X3+5X4 X1 . X2 . 56 Comprobación Zo=4x1+3x2 s. Llevándola a su forma estándar Z=2X1-3X2+4X3+5X4+0S1+0S2+0S3 Z=-2X1+3X2-4X3-5X4-0S1-0S2-0S3=0 3X1 2X1 2X1 + + 9X2 2X2 + + 2X3 3X3 9X3 + + + m=3 7X4 9X4 6X4 + S1 + S2 + S3 = = = 10 15 5 4X2 + n=7 n-m= 7-3=4 variables no básicas .Capítulo II: El método simplex. .83 Se multiplica toda la fila de S 3 de la base por 1/6 para hacer un eje pivote X4 igual a 1.Iteración BASE Z S1 S2 Z 1 0 0 X1 0 0 0 X2 7 3 -6 X3 5 -23/2 -6 X4 1 -2 3 S1 0 1 0 S2 0 0 1 S3 0 0 0 1 Sol 5 5/2 10 5/2 X1 0 1 2 9/2 3 0 0 Es óptimo porque la zona ∞ son ceros y positivos..66 =5/6=0.5 =0.333=2.666= 6.25 =7..5/-1=-7. en l a i ntersección de l a c olumna d e v ariable de ent rada c on l a fila de la variable de s alida. mediante adiciones y sustracciones. Variable de entrada 57 BASE Z S1 S2 S3 Z 1 0 0 0 X1 -2 3 2 2 X2 3 9 -2 4 X3 -4 2 3 9 X4 -5 7 9 6 S1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 Sol 0 10 15 5 Variable de salida =10/7=1. h aciendo c ero ar riba de es te y debaj o d e es te.8333/0.Capítulo II: El método simplex.Iteración BASE Z S1 S2 X4 Z 1 0 0 X1 -1/3 2/3 -1 X2 19/3 -8 X3 7/2 -21/2 X4 0 1 0 S1 0 0 1 S2 0 0 0 1 S3 5/6 -7/6 -3/2 1/6 Sol 25/6 25/6 15/2 5/6 =4. 2.42 =15/9=1. 1.5 13/3 -17/2 0 1/3 2/3 3/2 0 0 Se multiplica toda la fila de X4 por 3.1666/0. Capítulo II: El método simplex. + S2 n=5 . 58 SOL S1 X1 S2 = 5/2 = 5/2 = 10 Z= 5 X2= 0 X3= 0 X4= 0 S3= 0 Solución óptima finita única Comprobación Zo=2(5/2)-3(0)+4(0)+5(0) Z=5 3x1+9x2+2x3+7x4≤10 3(5/2)+9(0)+2(0)+7(0)≤10 7.a X1 -3X1 4X1 + + + 2X2 2X2 2X2 ≤ ≤ ≤ ≥ 8 4 24 0 X1 .Z=2X1+X2 s.5≤10 2x1-2x2+3x3+9x4≤15 2(5/2)-2(0)+3(0)+9(0)≤15 5≤15 2x1+4x2+9x3+6x4≤5 2(5/2)+4(0)+9(0)+6(0)≤5 5≤5 EJEMPLO 3: MAX………………………….a x1 -3x1 4x1 + 2x2 + 2x2 + 2x2 m=3 + S1 8 = 4 = + S3 = 24 n-m=5-3=2 Variables no básicas. X2 Llevándolo a su forma estándar Zo=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 Zo=-2x1-x2-0s1-0s2-0s3 s. iteración BASE Z S1 S2 X1 X1 S1 S2 Z 1 0 0 0 =6 =2 = 22 X1 0 0 0 1 X2 0 3/2 7/2 1/2 Z= 12 S1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 X2= 0 S2= 0 S3 1/2 Variable de salida Sol 12 2 22 6 Solución óptima finita única -1/4 3/4 1/4 . 59 Variable de entrada BASE Z S1 S2 S3 Z 1 0 0 0 X1 -2 1 -3 4 X2 -1 2 2 2 S1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 Sol 0 8 4 24 8/1 = 8 4/ 3 = 1..333 24/4 = 6 1.Capítulo II: El método simplex. Capítulo II: El método simplex.333 Variable de entrada 1.a 3X1 -2X1 -4X1 + + X2 4X2 3X2 + 8X3 X3 + 2X3 ≤ ≤ ≤ ≥ 7 12 10 0 Z=X1-3X2-2X3 X1 .Iteración BASE Z S1 X2 S3 Z 1 0 0 0 X1 1/2 5/2 -1/2 -5/2 X2 0 0 1 0 X3 2 2 0 8 S1 0 1 0 0 S2 -3/4 1/4 1/4 -3/4 S3 0 0 0 1 Sol -9 10 3 1 =10/2=5 =3/0=∞ =1/8=0. Llevándolo a su forma estándar Z=X1-3X2-2X3+0S1+0S2+0S3 Z=-X1-3X2-2X3-0S1-0S2-0S3=0 3X1 -2X1 -4X1 + X2 4X2 + 8X3 m=3 + 2X3 + S1 = + S2 + Variable de entrada 7 12 10 = S3 = + 3X2 n=6 n-m= 6-3=3 variables no básicas BASE Z S1 S2 S3 Z 1 0 0 0 X1 -1 3 -2 -4 X2 3 -1 4 3 X3 2 2 0 8 S1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 Sol 0 7 12 10 Variable de salida =7/-1=-7 =12/4=3 =10/3=3..125 Variable de salida . 60 EJEMPLO 4: MIN s. X2 . Capítulo II: El método simplex. 61 2. X1 X2 X3 =78/25 = 114/25 = 11/10 Z= -319/25 S1= 0 S2= 0 S3= 0 Solución óptima finita única ...Iteración Variable de entrada BASE Z S1 X2 X3 Z 1 0 0 0 X1 9/8 25/8 -1/2 -5/16 X2 0 0 1 0 X3 0 0 0 1 S1 0 1 0 0 S2 -9/16 7/16 1/4 -3/32 S3 -1/4 -1/4 0 1/8 Sol -37/4 39/4 3 1/8 Variable de salida 3.Iteración BASE Z X1 X2 Z 1 0 0 X1 0 1 0 X2 0 0 1 X3 0 0 0 S1 -9/25 8/25 4/25 S2 -18/25 7/50 8/25 S3 -4/25 -2/25 -1/25 1/10 Sol -319/25 78/25 114/25 11/10 X3 0 0 0 1 1/10 -1/20 La zona ∞ son seros y negativos por lo tanto es optima. Z=2X1-5X2 s.3 2.Capítulo II: El método simplex.5 16/ 3 = 5.a 3X1 2X1 + + 8X2 3X2 ≤ ≤ ≥ 12 16 0 X1 .Iteración BASE Z X2 S2 Solución X2 S2 = 3/2 = 23/2 Z= 15/2 S1= 0 X1=0 Variables no básicas Z 1 0 0 X1 -31/8 3/8 7/8 X2 0 1 0 S1 -5/8 1/8 3/8 S2 0 0 1 Sol 15/2 3/2 27/2 .. X2 Llevando a su forma estándar Zo=2x1-5x2+0s1+0s2 Zo=-2x1-x2-0s1-0s2=0 s. 62 EJEMPLO 5: MIN…………………………. n=4 1.a 3x1 2x1 + 8x2 + 3x2 m=2 + S1 = 12 + S2 = 16 n-m=4-2=2 Variables no básicas.-Iteración BASE Z S1 S2 Z 1 0 0 X1 -2 3 2 X2 5 8 3 S1 0 1 0 S2 0 0 1 Sol 0 12 16 12/8 = 1. 63 2.2. p ara ello l a función objetivo deberá ser ajustada adecuadamente. Son variables ficticias y no t ienen ningún significado físico directo en términos del problema original. 2. Las variables artificiales se reconocerán por la variable Wn Ejemplo 1 MIN…………………………. Proceda con los pasos regulares del Método Simplex.Se expresa en problema en la forma estándar. 3. El método de la gran M es empleado para resolver modelos de programación lineal.. las restricciones son del tipo ≥ o =... Método de la gran M o método penal.Z=4X1+X2 s.1. Esas variables artificiales y su presencia es una violación a las leyes del álgebra. Nota: Las variables artificiales proporcionan un artificio matemático para obtener la solución inicial.Capítulo II: El método simplex. c uando en s us r estricciones al m enos u na de el las el s igno de l a desigualdad es di ferente es decir. 2. as . algoritmo matemático para resolver este tipo de modelos obedece a los siguientes pasos: 1. Esta dificultad se supera asegurando que esas variables artificiales sean ceros (0) en la solución final.Utilizar las v ariables ar tificiales par a l a s olución b ásica i nicial. X2 3X2 X2 X2 = ≥ ≤ ≥ 3 6 3 0 No se puede aplicar el Simplex Se tiene que emplear la técnica de Variables Artificiales PASO1: P asar a formato es tándar y a ñadir v ariables ar tificiales en l restricciones y que estas sean ≥. MÉTODO DE LAS VARIABLES ARTIFICIALES.Se añaden las V ariables no n egativas en c ada una de las ecuaciones.2. cuyas restricciones originales tengan (≥ ) o (=). el ≤.a 3X1 4X1 X1 X1 + + + . 64 Formato estándar.a 3X1 4X1 X1 X1 + + + . S1 m=3 + S1 + . Por lo tanto hay 3 Variables básicas PASO 2: Se añade en la función objetivo el coeficiente M contrario a s u espíritu de di cha función p or c ada v ariable ar tificial c ontenida en l as r estricciones y s e iguala a cero la función objetivo. X2 3X2 X2 X2 . S1 + S1 + . W2 + W1 + W2 = = = ≥ 3 6 3 0 Siempre se considera la variable artificial en vez de la de holgura en la base. MIN…………………………. S2 S2 . MIN…………………………. la variable a contemplar será la artificial y en las desigualdades ≤ será siempre en la base de las variables de holgura.Capítulo II: El método simplex. S2 = = = 3 6 3 X1 . PASO 3: Armar el Tablón en la base s iempre que la desigualdad sea de signo (≥ o =).Z=4X1+X2-0S1-0S2+MW1+MW2 Z-4X1-X2-0S1-0S2-MW1-MW2=0 s.Z=4X1+X2 s. . no importa si es Maximización o Minimización. W1 .a 3X1 4X1 X1 + + + X2 3X2 X2 X2 . n=4 S2 ≥ 0 n-m=4-3=1Variables no básicas. E l aj uste s olo s e l leva a c abo en l a f unción objetivo. intercambiando la columnas o filas en el siguiente orden X1. 65 BASE Z W1 W2 S2 Z 1 0 0 0 X1 -4 3 4 1 X2 -1 1 3 1 S1 0 0 -1 0 S2 0 0 0 1 W1 -M 1 0 0 W2 -M 0 1 0 Sol 0 3 6 3 NOTA 1: Se forma l a Matriz i dentidad con l as variables ar tificiales ac ompañadas con las de holgura. Variable de entrada Variable de salida BASE Z W1 W2 S2 Z 1 0 0 0 X1 7M-4 3 4 1 X2 4M-1 1 3 S1 -M 0 -1 W1 0 1 0 W2 0 0 1 S2 0 0 0 Sol 9M 3 6 3 =3/3=1 =6/4=1.5 =3/1=3 1 0 0 0 1 𝑋𝑋1 = 3𝑀𝑀 + 4𝑀𝑀 = 7𝑀𝑀 − 4 = −4 + 7𝑀𝑀 𝑊𝑊1 = 1𝑀𝑀 + 0𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑋𝑋2 = 𝑀𝑀 + 3𝑀𝑀 = 4𝑀𝑀 − 1 = −1 + 4𝑀𝑀 𝑆𝑆1 = 0𝑀𝑀 − 1𝑀𝑀 = 0 − 𝑀𝑀 = −𝑀𝑀 𝑊𝑊2 = 0𝑀𝑀 + 1𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴 . S1.Capítulo II: El método simplex. S2. W1. BASE Z W1 W2 S2 Z 1 0 0 0 X1 -4 3 4 1 X2 -1 1 3 1 S1 0 0 -1 0 W1 -M 1 0 0 W2 -M 0 1 0 S2 0 0 0 1 Sol 0 3 6 3 PASO 4: H acer el aj uste. W2. esto es par a M aximizar y M inimizar. X2. E liminar l as –M d e l a z ona∞. para ello cada variable artificial se multiplica por el mismo coeficiente con signo opuesto y se suman las variables ar tifíciales y la c antidad s erá adi cionada en l a función o bjetivo z ona ∞. Iteración BASE Z X1 W2 S2 Z 1 0 0 0 X1 0 1 4 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = (4 − 7𝑀𝑀)1 = 4 − 7𝑀𝑀 + 9𝑀𝑀 = 4 + 2𝑀𝑀 X2 5/3M+1/3 1/3 5/3 S1 -M 0 -1 W1 -7/3M+4/3 1/3 -4/3 W2 0 0 1 S2 0 0 0 Sol 2M+4 1 2 1 =1/0. X1 -4+7M NEGATIVO POSITIVO X2 -1+4M NEGATIVO POSITIVO Minimizar el más positivo de la zona ∞ para la variable de entrada.Capítulo II: El método simplex.66=1. se multiplica por 4-7M. En caso de la Función Objetivo se sigue toda la fila. 66 PASO 5: Se sigue o apl ica el método simplex y los criterios de f actibilidad.. .2 =2/0.0 1 2/3 0 -1/3 0 0 Se elige la variable de entrada el más positivo de la zona ∞ X2= 1/3+5/3M W1= 4/3-7/3M el más positivo. checar operaciones: 1 4 7 1 5 𝑋𝑋2 = 4 − 7𝑀𝑀 � � = − 𝑀𝑀 + ( −1 + 4𝑀𝑀) = + 𝑀𝑀 3 3 3 3 3 1 4 7 4 7 𝑊𝑊1 = 4 − 7𝑀𝑀 � � = − 𝑀𝑀 + 0 = − 𝑀𝑀 3 3 3 3 3 𝑊𝑊2 = 4 − 7𝑀𝑀(0) = 0 𝑆𝑆2 = 4 − 7𝑀𝑀(0) = 0 𝑆𝑆1 = 0(4 − 7𝑀𝑀) = 0 − 𝑀𝑀 = −𝑀𝑀 𝑋𝑋1 = 4 − 7𝑀𝑀(1) = 4 − 7𝑀𝑀 + ( −4 + 7𝑀𝑀) = 0 1. negativo. 7M ≥ 4M por lo tanto 7M es la variable más positiva y entra X1. Toda la fila del renglón W 1 se multiplica por 1/3 para obtener 1 y tiene que ser el eje pivote.33=3 =2/1.66=3. según sea el caso para maximizar o minimizar el coeficiente M no tiene valor. .6/0.Iteración.Iteración. BASE Z X1 X2 S2 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 X2 0 0 1 Sol 18/5 3/5 6/5 6/5 =0.4=3 0 0 3.2/-0.Capítulo II: El método simplex. 1 5 1 5 1 5 𝑋𝑋2 = �− − 𝑀𝑀� 1 = − − 𝑀𝑀 + + 𝑀𝑀 = 0 3 3 3 3 3 3 1 5 3 1 1 1 𝑆𝑆1 = �− − 𝑀𝑀� − = + 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = + 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = 3 3 5 5 5 5 1 5 −4 4 4 4 7 8 𝑊𝑊1 = �− − 𝑀𝑀� = + 𝑀𝑀 + − 𝑀𝑀 = − 𝑀𝑀 3 3 5 15 3 3 3 5 1 5 3 1 1 𝑊𝑊2 = �− − 𝑀𝑀� = − − 𝑀𝑀 + 0 = − − 𝑀𝑀 3 3 5 5 5 S1 1/5 1/5 -3/5 2/5 W1 8/5-M 3/5 -4/5 1/5 W2 -1/5-M -1/5 3/5 -2/5 S2 0 0 0 1 NOTA: Los empates se rompen arbitrariamente..6=-2 =1. hay que multiplicarlo por cada uno de los nú meros q ue se e ncuentran en l a c olumna c on s igno opuesto al ej e pivote y sumarlo en la respectiva fila.2/0. BASE Z S1 X2 S2 Z 1 0 0 0 X1 -1 5 3 2 X2 0 0 1 0 S1 0 1 0 0 W1 1-M 3 1 -1 S2= 0 W1= 0 W2= 0 W2 -M -1 0 0 S2 0 0 0 1 Sol 3 3 3 0 VARIABLES BÁSICAS S1 X2 =3 =3 MIN Z= 3 VARIABLES NO BÁSICAS.. 67 NOTA: Arriba y abajo del eje pivote ceros. 2.2=3 =1. X2 m=3 . MAX………………………….a 2X1 X1 X1 n=6 . W2 W2 + W1 = = = ≥ 8 30 10 0 n-m=6-3=3 Variables no básicas. 68 Ejemplo 2. S1 . BASE Z W1 S2 W2 Z 1 0 0 0 X1 -4 2 0 1 X2 -1 1 3 0 S1 0 -1 0 0 S2 0 0 1 0 W1 M 1 0 0 W2 M 0 1 0 Sol 0 8 30 10 . W1 + X2 3X2 S1 + S2 + . X2 + X2 3X2 ≥ ≤ = ≥ 8 30 10 0 Z=4X1+X2-0S1+0S2-MW1-MW2 Z-4X1-X2+0S1-0S2+MW1+MW2 s. S2 .a 2X1 X1 Formato estándar X1 .Capítulo II: El método simplex.Z=4X1+X2 s. 69 BASE Z (-M) (-M) W1 S2 W2 Z 1 0 0 0 X1 -4 2 0 1 -2M -1M X2 -1 1 3 0 -M -0M S1 0 -1 0 0 M 0 S2 0 0 1 0 -M 0 W1 M 1 0 0 0M 0M W2 M 0 1 0 0M -M Sol 0 8 30 10 -8M -10M Variable de salida SUMO W1+W2 por el ajuste Variable BASE Z W1 S2 W2 1..Iteración BASE Z 3M+4 X1 S2 W2 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 1/2M-1 1/2 3 -1/2 S1 -1/2M-2 -1/2 0 1/2 Z 1 0 0 0 X1 -3M-4 2 0 1 X2 -M-1 1 3 0 S1 M -1 0 0 de entrada W1 0 0 1 0 S2 0 0 1 0 Variable de entrada W2 0 0 0 1 Sol -8M 8 30 10 =8/2=4 =30/0=∞ =10/1=10 W1 3/2M+2 1/2 0 -1/2 S2 0 0 1 0 W2 0 0 0 1 Sol -6M+16 4 30 6 Variable de salida =8/-1/2=-8 =30/0=∞ =6/0.5=12 .Capítulo II: El método simplex. Capítulo II: El método simplex. 70 2.Iteración Variable de entrada Variable de salida BASE Z X1 S2 1/2M+2 S1 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 -1 0 3 -1 S1 0 0 0 1 W1 M 0 0 -1 S2 0 0 1 0 W2 M+4 1 0 2 Sol 40 10 30 12 =10/0=∞ =30/3=10 =12/-1=12 3.Iteración BASE Z X1 X2 S1 V.. no Básicas S2=0 W1=0 W2=0 . Básicas X1=10 X2=10 S1=22 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 1 0 S1 0 0 0 1 W1 M 0 0 -1 S2 1/3 0 1/3 1/3 W2 M+4 1 0 2 Sol 30 10 10 22 V. . 8X2 6X2 6X2 X2 ≤ ≥ = ≥ 12 16 8 0 Z=-3X1-6X2 Formato estándar Z=-3X1-6X2+0S1-0S2+MW1+MW2 Z+3X1+6X2-0S1+0S2-MW1-MW2=0 s. 71 EJEMPLO 3 MAX…………. 8X2 6X2 6X2 X2 m=3 . S1 . S2 .a [4X1 2X1 3X1 + 8X2 6X2 6X2 ≥ ≥ = -12]-1 16 8 -4X1 2X1 3X1 X1 + + .Z=-3X1-6X2 s. W1 + S1 S2 + W1 + . W2 W2 = = = ≥ 12 16 n-m=6-3=3 Variables no básicas. BASE Z S1 W1 W2 Z 1 0 0 0 X1 3 -4 2 3 X2 6 8 6 -6 S1 0 1 0 0 S2 0 0 -1 0 W1 -M 0 1 0 W2 -M 0 0 1 Sol 0 12 16 8 .Capítulo II: El método simplex.a -4X1 2X1 3X1 X1 n=6 + + . Capítulo II: El método simplex. 72 BASE Z S1 W1 W2 Z 1 0 0 0 X1 3 -4 2 3 X2 6 8 6 -6 S2 0 0 -1 0 S1 0 1 0 0 W1 -M 0 1 0 W2 -M 0 0 1 Sol 0 12 16 8 Variable de entrada BASE Z X1 S2 Z 1 0 0 X1 5M+3 -4 2 3 X2 6 8 6 -6 S2 -M 0 -1 10 S1 0 1 0 0 W1 0 0 1 0 W2 0 0 0 1 Sol 24M 12 16 8 =12/-4=-3 =16/2=8 =8/3=2.6 S1 0 1.-Iteración BASE Z X1 W1 5M+4 X1 Z 1 0 0 X1 0 0 0 Variable de entrada Variable de salida X2 10M+12 0 10 -2 S2 -M 0 -1 10 S1 0 1 0 0 W1 0 0 1 0 W2 -5/3 M-1 4/3 -2/3 1/3 Sol 32/3 M-8 68/3 32/2 8/3 =22.66/0=∞ =10.66/10=5.33 =2.66/-2=-1.33 0 1 2.- Iteración BASE Z S1 10M+2 V. Básicas X1=24/5 X2=16/5 S1=68/3 X2 X1 Z 1 0 0 0 X1 0 0 0 1 X2 0 0 1 0 S2 6/5 0 -1/10 -1/5 S1 0 1 0 W1 -M-6/5 0 1/10 W2 -M-1/5 4/3 -1/15 1/5 Sol -104/5 68/3 16/15 24/5 0 1/5 V. no Básicas S2=0 W1=0 W2=0 MAX Z=104/5 Capítulo II: El método simplex. 73 2.2.2. Método de la Doble Fase. El procedimiento de la doble fase es similar al Método de la M en sus pasos 1 y 2, solo que en su paso 4 se sustituye la función (F.O), por una función que será la de objetivo de es tudio, la cual se obtiene a partir de l a suma de tantas variables artificiales como sean necesarias agregar en la forma estándar. MIN………………Z=2X1+X2 s.a 3X1 4X1 X1 X1 + + + , X2 3X2 2X2 X2 ≥ ≥ ≥ ≥ 3 6 3 0 No se puede hacer por Método simplex Paso 1: Formato Estándar. Z=2X1+X2-S1-S2-S3+W1+W2+W3 Z-2X1-X2-0S1+0S2+S3+W1+W2+W3 3X1 4X1 X1 X1 + + + , X2 3X2 2X2 X2 S1 S2 + S3 W1 + W2 = = = ≥ 3 6 3 0 + W3 Paso 2: Despejar las variables artificiales de cada restricción: siempre se tomara en cuenta los signos ≥ o = y se suman todas las variables artificiales, tomando una nueva función objetivo. MIN………………a=W1+W2+W3 s.a W1 W2 W3 = = = = 3 6 3 12 3X1 4X1 X1 8X1 X2 3X2 2X2 6X2 + S1 + S2 + S1 + S2 + + S3 S3 a Se iguala la función objetivo a l a constante obtenida de la suma de cada una de ellas, en este caso a 12. Capítulo II: El método simplex. 74 MIN………………a=12-8X1-6X2-S1-S2-S3-0W1+0W2+0W3 Igualando a a+8X1+6X2-S1-S2-S3-0W1+0W2+0W3=12 s.a 3X1 4X1 X1 X1 + + + , X2 3X2 2X2 X2 , S1 S1 , S2 S2 + , S3 S3 , W1 W1 + , W2 W2 = = = ≥ 3 6 3 0 Variable de salida + , W3 W3 n-m=8-3=5 variables no básicas Fase 1 Base a W1 W2 W3 a 1 0 0 0 X1 8 3 4 1 X2 5 1 3 2 S1 -1 -1 0 0 S2 -1 0 -1 0 Variable de entrada S3 -1 0 0 -1 W1 0 1 0 0 W2 0 0 1 0 W3 0 0 0 1 SOL 12 3 6 3 =3/3=1 =6/4=1.5 =3/1=33 1.- Iteración Base a X1 W2 W3 a 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 10/3 1/3 5/3 5/3 S1 5/3 -1/3 4/3 1/3 S2 -1 0 -1 0 S3 -1 0 0 -1 W1 -8/3 1/3 -4/3 -1/3 W2 0 0 1 0 W3 0 0 0 1 SOL 4 1 2 2 2.-Iteración Base a X1 X2 W3 a 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 1 0 S1 -1 -3/5 4/5 -1 S2 1 1/5 -3/5 1 S3 -1 0 0 -1 W1 0 3/5 -4/5 1 W2 -2 -1/5 3/5 -1 W3 0 0 0 1 SOL 0 3/5 6/5 0 0.6/0.2=3 1.2/-0.6=-2 0/1=0 no Básicas S2. 3 2 1 6 1 3 𝑍𝑍 = 2 � + 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 � + − 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3 5 5 5 5 5 5 𝑍𝑍 = 2 6 1 3 6 4 + 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 + − 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3 5 5 5 5 5 5 3 1 12 𝑍𝑍 − 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 = 5 5 5 S3 -1/5 1/5 -3/5 -1 SOL 12/5 3/5 6/5 0 𝑍𝑍 = 12 3 1 + 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3 5 5 5 𝑍𝑍 = 2𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 𝑋𝑋2 = Se iguala a 12/5 Armar nuevamente el tablón sin las variables artificiales. 2/5S1 + 1/5S3 = 3/5 + 1/5S1 3/5S3 = 6/5 S1 + S2 S3 = 0 Despejar c ada una d e l as ec uaciones d e l a base obtenidas en l a F ase I con l a variable respectiva 𝑋𝑋1 = 3 2 1 + 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 5 5 5 6 1 3 − 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3 5 5 5 Sustituimos los valores X1. 75 Base a X1 X2 S2 X1 X2 a 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 0 1 S1 0 -2/5 1/5 -1 S2 0 0 0 1 S3 0 1/5 -3/5 -1 W1 -1 2/5 -1/5 1 W2 -1 0 0 -1 W3 0 0 0 0 SOL 0 3/5 6/5 0 Fase 2: Lleva de la función objetivo a a la función objetivo inicial Z.Capítulo II: El método simplex. S3=0 La tabla es óptima porque se tienen 0 y negativos en la zona ∞ . S1. X2 en la función objetivo Z. Básicas X1=3/5 X2=6/5 V. la función original. Base a X1 X2 S2 a 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 0 1 S1 -3/5 -2/5 1/5 -1 S2 0 0 0 1 V. 6 =2/-1=-2 =11/3=3.6=1 3.a W1 W2 W3 = = = = 13 2 11 26 3X1 4X1 5X1 12X1 + 5X2 X2 3X2 7X2 + S1 + S2 + S1 + S2 + + S3 S3 a Fase 1 Base a W1 W2 W3 a 1 0 0 0 X1 13 3 4 5 X2 7 5 -1 3 𝑎𝑎 + 13𝑋𝑋1 + 7𝑋𝑋2 − 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆2 − 𝑆𝑆3 = 26 S1 -1 -1 0 0 S2 -1 0 -1 0 S3 -1 0 0 -1 W1 0 1 0 0 W2 0 0 1 0 W3 0 0 0 1 SOL 26 13 2 11 =13/5=2. W2 W2 = = = ≥ 13 2 11 0 + . S3 S3 .6=4.66 1. 76 EJERCICIO 1 MIN………………Z=8X1+2X2 3X1 4X1 5X1 X1 + + .6 =0/1.6/4.2=1 .Capítulo II: El método simplex. W1 W1 + .-Iteración X1 0 0 0 1 X2 0 1 0 0 X2 0 1 0 0 S1 -9/4 -25/16 -85/16 15/16 S1 6 -1 -1 3 S2 -1 0 0 0 S2 -1 0 -1 0 S3 7/4 3/16 23/16 -5/16 S3 -1 0 0 -1 W1 -7/5 1/5 1/5 -3/5 W1 1/4 5/16 17/16 -3/16 W2 0 0 1 0 W2 0 0 1 0 W3 0 0 0 1 W3 -11/4 -3/16 -23/16 5/16 SOL 39/5 13/5 23/5 16/5 SOL -1 2 0 1 =2/-0.. S2 S2 + . S1 S1 .Iteración Base a X2 W2 W3 Base a X2 W2 X1 a 1 0 0 0 a X1 1 44/5 0 3/5 0 23/5 0 16/5 2. W3 W3 MIN………………a=W1+W2+W3 s.18=10.6/0.2 =2.2/3.31=3.43=0 1/-0.3 =4. 5X2 X2 3X2 X2 . -Iteración.Capítulo II: El método simplex. S2 =0 . 77 3. no Básicas S1. Base a X2 S3 X1 a 1 0 0 0 Fase 2: X1 0 0 0 1 X2 0 1 0 0 S1 -67/92 -20/23 -85/23 -5/23 Z X2 X1 20/23 S1 85/23 S1 5/23 S1 20 𝑆𝑆 23 1 + S3 = = 2 0 1 S2 -1 0 0 0 S3 0 0 1 0 W1 -24/23 4/23 17/23 1/23 W2 -28/23 -3/23 16/23 5/23 W3 -1 0 -1 0 SOL -1 2 0 1 Cambiando de a 𝑋𝑋2 = 2 + 𝑋𝑋1 = 1 + 𝑆𝑆3 = 0 + 85 𝑆𝑆 23 1 Min 𝑍𝑍 = 8 �1 + 𝑍𝑍 = 8 + 5 20 𝑆𝑆1 � + 2 �2 + 𝑆𝑆1 � 23 23 40 40 𝑆𝑆1 + 4 + 𝑆𝑆 23 23 1 80 𝑆𝑆 = 12 23 1 0 0 1 0 2 0 1 80 𝑆𝑆 23 1 5 𝑆𝑆 23 1 𝑍𝑍 = 12 + 𝑍𝑍 − S3 Base a X2 S3 X1 a 1 0 0 0 X1 0 0 1 0 X2 0 1 0 0 S1 -80/23 -26/23 -85/23 -5/23 S2 0 0 0 0 SOL 12 MIN Z=12 X2=2 S3=0 X1=1 V. X2 2X2 X2 X2 ≥ ≥ ≤ ≥ 4 2 3 0 Paso 1: Formato Estándar.a 4X1 -X1 X1 + + . W1 W2 = = = 4 2 6 + - 4X1 X1 3X1 - X2 2X2 3X2 + + S1 + S1 + S2 S2 F Se iguala la función objetivo F+3X1+3X2-S1-S2=6 NOTA: P ara el caso de M aximizar en el Método d e l a d oble f ase se m aneja con los criterios de Minimización al momento de definir Variables de entrada y salida esta tiene alcance tanto en las iteraciones desarrolladas en la Fase I y Fa se I I. qu edando ópt ima c uando en l a z ona todos sean negativos o ∞. F=W1+W2 F+3X1+3X2-S1-S2=6 4X1 -X1 + + X2 2X2 X2 S1 S2 + + S3 W1 + W2 = = = 4 2 3 + W3 Paso 2: Despejar las variables artificiales de cada restricción. 78 EJEMPLO MAX………………Z=3X1+5X2 s. Solo este criterio aplicara para Maximizar bajo el método de la doble fase. ceros. .Capítulo II: El método simplex. 79 TABLON Base F W1 W2 S3 Base F W1 W2 S3 F 1 0 0 0 F 1 0 0 0 X1 3 4 -1 0 X1 3 4 -1 0 X2 3 1 2 1 X2 3 1 2 1 S1 -1 -1 0 0 S1 -1 -1 0 0 S2 -1 0 -1 0 S2 -1 0 -1 0 S3 0 0 0 1 W1 0 1 0 0 W1 0 1 0 0 W2 0 0 1 0 W2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 SOL 6 4 2 3 SOL 6 4 2 3 =4/1=4 =2/2=1 =3/1=3 1.5=-2 =2/0.5=0.Capítulo II: El método simplex. Llevar de la función Objetivo F a Z.5=4 2. .-Iteración Base F W1 X2 S3 F 1 0 0 0 X1 9/2 9/2 -1/2 1/2 X2 0 0 1 0 S1 -1 -1 0 0 S2 1/2 1/2 -1/2 1/2 W1 0 1 0 0 W2 -3/2 -1/2 1/2 -1/2 S3 0 0 0 1 SOL 3 3 1 2 =3/4. Encontrando l as ec uaciones de c ada una de l as v ariables bás icas de l a t abla óptima.66 =1/0.-Iteración Base F X1 X2 S3 F 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 1 0 S1 0 -2/9 -1/9 1/9 S2 0 1/9 -4/9 4/9 W1 -1/2 2/9 1/9 -1/9 W2 -1 -1/9 -1/18 -4/9 S3 0 0 0 1 SOL 0 2/3 4/3 5/3 Fase 2. (2) Ec.6.Capítulo II: El método simplex. 80 X1 X2 - 2/9S1 1/9S1 1/9S1 + + 1/9S2 4/9S2 4/9S2 + S3 =2/3 =4/3 =5/3 Ec. (6) Sustituyendo a X1 y X2 y S3 de las ecuaciones 4. (1) a X2 de la Ec (2) y S3 de la Ec.a 4(2/3)+4/3≥4 4≥4 -2/3+2(4/3)≥2 2≥2 . (1) Ec.5. (3) Despejando a X1 de la Ec. Z=3X1+5X2 𝒁𝒁 = 𝟑𝟑�𝟐𝟐�𝟑𝟑 + 𝟐𝟐�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 � + 𝟓𝟓�𝟒𝟒�𝟑𝟑 + 𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟒𝟒�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 � 𝒁𝒁 = 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟑𝟑�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟑𝟑 + 𝟓𝟓�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝒁𝒁 − 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 = TABLON Base Z X1 X2 S3 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 𝒁𝒁 = 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟑𝟑 + 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 VARIABLES BASICAS X2 0 0 1 0 S1 -1 -2/9 -1/9 1/9 S2 17/9 1/9 -4/9 4/9 S3 0 0 0 1 SOL 26/3 2/3 4/3 5/3 X1=2/3 X2=4/3 Z=26/3 S3=5/3 VARIABLES NO BASICAS S1=S2=0 COMPROBACIÓN Z=3(2/3)+5(4/3)=26/3 s. (3) X1 X2 S3 = = = 2/3 4/3 5/3 + + 2/9S1 1/9S1 1/9S1 + 1/9S2 4/9S2 4/9S2 Ec. (5) Ec. (4) Ec. Capítulo II: El método simplex. esta dado en la siguiente tabla: ESPECIE BETA GLOBO F1 2 3 F2 3 1 PESO PROMEDIO 3 lb 2 lb Si ex isten 6 00 l b d e c omida f1 y 300 l b de c omida f2 diariamente. S3 S3 . W1 W1 = = = ≥ 400 600 300 0 . MAX………………Z=X1+X2 s. S2 + + . 81 EJERCICIO 2 Un estanque de peces es abastecido cada primavera con dos especies: beta y globo. X1= No.a 3X1 2X1 3X1 X1 + + + . dado que lo mínimo para lo cual fue construida es de 400 lb? Definición de Variables. S1 S1 + S2 . 2X2 3X2 X2 X2 ≥ ≤ ≤ ≥ 400 600 300 0 MIN………………Z=X1+X2-0S1+MW1+0S2+0S3 Z=-X1-X2+0S1+MW1-0S2-0S3 3X1 2X1 3X1 X1 + + + . 2X2 3X2 X2 X2 . El peso promedio de los peces y el requerimiento promedio de alimento para cada pez. si hay dos tipos de comida f1 y f2 disponibles en el tanque. X2= No. de peces globo que deben haber en el estanque o pecera. de peces beta que deben haber en el estanque o pecera. ¿ Cuántos peces deben existir en la pecera. Capítulo II: El método simplex.-Iteración Base Z X2 S1 X1 Z 1 X1 0 X2 0 S1 0 W1 M S2 2/7 S3 17/21 SOL 1500/7 0 0 0 0 X1 0 0 0 1 X1 X2 0 1 0 0 X2 -M-2/3 1 7/3 1/3 S1 -2/3 -1 7/3 1/3 S1 M -1 0 0 W1 M+2/3 1 -7/3 -1/3 W1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 S2 0 0 1 0 S3 M+1/3 -1 -2/3 1/3 S3 1/3 -1 5/3 2/3 SOL 100M+100 100 400 100 SOL 500/3 100 500/3 200/3 Base Z X2 S2 X1 0 0 1 0 0 3/7 -2/7 1200/7 0 0 0 1 -1 3/7 5/7 500/7 0 1 0 0 0 -1/7 3/7 300/7 CONCLUSIÓN: D ebe de ha ber e n l a pecera 214 p eces. .-Iteración Z 1 0 0 0 3. de l os c uales 43 d eben ser beta y 171 deben ser globo.-Iteración Base Z W1 S2 X1 Z 1 0 0 0 2. 82 Base Z W1 S2 S3 AJUSTE Base Z W1 S2 S3 Z 1 0 0 0 Z 1 0 0 0 X1 -1 3 2 3 X2 -1 2 3 1 S1 0 -1 0 0 W1 M 1 0 0 S2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 SOL 0 400 600 300 X1 -3M-1 3 2 3 X2 -2M-1 2 3 1 S1 M -1 0 0 W1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 SOL -400M 400 600 300 400/3=133 600/2=300 300/3=100 1. hacia adentro. l as r estricciones t ecnológicas ( recursos) s e i dentifican c on l os ejes coordenados. l os ej es c oordenados p ueden as ociarse y a sea con las variables o c on las restricciones tecnológicas del problema. Método Gráfico. El método g ráfico soluciona problemas de P L p or m edio de l a representación geométrica del objetivo. El método g ráfico par a r esolver un p rograma l ineal c on d os v ariables s e comprende mejor concentrándose primero en las restricciones y posteriormente en la función objetivo. el método se denomina método gráfico en recursos. 2X1+X2≤4 2X1+X2=4 X2 X1 0 2 X2 4 0 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 X1 .Y satisfacen todas las restricciones.3.2.1. X 2 o X. las restricciones estructurales y las condiciones técnicas. 2. considerando una restricción a la vez. P ara determinar los valores X 1.2. el proceso se c onoce c omo método gráfico de actividades. La desigualdad ≤ representada en el eje cartesiano Cuando el signo de la restricción es menor o i gual≤) el sentido del vector ira ( dirigido hacia el origen es decir. 83 2. Un problema de PL con m restricciones y n variables (las condiciones técnicas no se incluyen en la dimensión del problema) se dice que posee una dimensión de (m×n).3. En es ta r epresentación g eométrica.Capítulo II: El método simplex. C uando l a forma alternativa. Cuando los ej es c artesianos es tán r elacionados c on l as v ariables ( actividades) del problema. 3.2.X2≥0 2 D 1 A 1 2 Z=9 C 3 B 4 5 6 X1 .A 2X1+3X2≤6 4 2 1 3 3 -3X1+2X2≤3 2X2≤5 2X1+X2≤4 X1.2.Capítulo II: El método simplex. 3X1-X2≥4 3X1-X2=4 X1 0 4/3 X2 -4 0 1 1 2 3 4 4 5 MAX Z=4X1+3X2 S. 84 2. La desigualdad ≥ representada en el eje cartesiano Cuando el signo de la restricción es mayor o i gual≥) el sentido del vector ira ( dirigido hacia afuera del origen es decir hacia afuera. 1 2𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 = 4 … … … … … … … … 𝐴𝐴𝐸𝐸. B. para lo cual se empleara un sistema de ecuaciones formando en la intersección de ambos puntos.Capítulo II: El método simplex. Punto B 𝑍𝑍 = 4�3�2� + 3(1) = 9 > 8 𝑃𝑃𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴𝑆𝑆 𝐶𝐶 > 𝑃𝑃𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴𝑆𝑆 𝐵𝐵 La recta 4 se intercepta con X1 2X1+X2=4 X2=0 X1=2 Sustituyendo los valores en la función objetivo Z Z=4X1+3X2 =4(2)+3(0)=8 es menor que 9 por lo tanto es óptima. el punto más alejado parece C. Punto C Recta 1 y Recta 4 se interceptan 2𝑋𝑋1 + 3𝑋𝑋2 = 6 … … … … … … … … 𝐴𝐴𝐸𝐸. B. 85 Solución Como l a función e s M aximizar s e bus ca el p unto m ás alejado del origen y s i fuera Minimizar viceversa observando el polígono A. 2 3� ~ 𝑅𝑅 �−1� � �1 2 2 4 0 3� 2 −2 3 �~ −2 X1= 3/2 X2= 1 𝑅𝑅1 �−3�2� + 𝑅𝑅1 �1 0 MAX Z=9 𝑋𝑋1 𝑅𝑅1 �1�2� � 2 2 𝑅𝑅2 𝑋𝑋2 3 1 3� 2 1 1 3�2 6 � ~ 𝑅𝑅1 (−2) + 𝑅𝑅2 � 2 1 4 3� 1 ~ �1 0 0 3�2� 1 1 Sustituir los valores de X1 y X2 en la función objetivo. . C. D. 3. 86 Esta versión del método gráfico asocia una variable a c ada eje coordenado y luego realiza tres pasos básicos: 1. .Sombrear esa porción de l a grafica que satisfaga las restricciones formuladas hasta el momento.. 2.Dibujar línea correspondiente de la función.. 4.Identificar el sentido de la línea dependiente del sentido de la desigualdad en la restricción.a 2X1 -3X1 2X1 X1 + + + . se vale solucionar el problema por partes a condiciones de que las soluciones nieguen la totalidad.Capítulo II: El método simplex.. EJEMPLO 1. En esta primera instancia se trabajara con las restricciones prescindiéndole la función objetivo..Reemplazar el s igno de l a des igualdad en una r estricción p or un s igno d e igualdad y c alcular l as i nterceptas donde l a ec uación s atisface su c ondición de igualdad. MAX………………Z=4X1+3X2 s. 3X2 2X2 2X2 X2 X2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 6 3 5 4 0 OBSERVACIONES • • • Hay dos variables Todas las restricciones son ≤ Es un problema de Maximización Descartes menciono para solucionar un problema complejo. Tomaremos l a pr imera r estricción y l a t ransformaremos e n u na i gualdad y s e harán o encontraran las interceptas. . Son los puntos en que la curva corta al eje de coordenadas. o s olución espacio y t iene l a propiedad de cumplir c on t odas las condiciones del modelo no negatividad.3.3.Graficar interceptos El área bordeada se llama solución factible o conjunto convexo.1 X1 0 3 X2 2 0 -3X1+2X2=3-----------. Método General.2 X1 0 -1 X2 3/2 0 2X1=5-----------.3 X1 5/2 X2 0 2X1+X2=4--------------.Localizar interceptas.. X4=0 X1=0 X3=0 X2=0 Y0=0 2.Capítulo II: El método simplex. 87 2. 2X1+3X2=6-----------.2.4 X1 0 2 X2 4 0 3.. Estos puntos también tienen una cualidad de que al menos una de sus variables vale 0 (cero). 1) Z=4X1+3X2 Z=4(1. 20X2 5X2 2X2 X2 ≤ ≤ ≤ ≤ 4000 1500 800 0 .1).0) Z=4X1+3X2 Z=4(0)+3(0) Z=0 (1. por el punto (1.1) Z=4X1+3X2 Z=4(1)+3(1) Z=7 (0. 88 Se le llama restricción redundante a la restricción cuya preferencia o aus encia no m odifique par a n ada el ár ea de l a s olución f actible. (1.5.5)+3(1) Z=9 Z=4X1+3X2=4 4X1+3X2=4 4X1+3X2=4 4X1+3X2=4 X1 0 1 X2 4/3 0 X1 0 7/4 X2 7/3 0 X1 0 -3 X2 0 4 X1 0 6/4 X2 3 0 La función objetivo Z genera una familia finita de rectas paralelas cuyos valores máximos o mínimos se dan exactamente en puntos o esquinas del área. Trabajando exclusivamente con la función objetivo si esta parte del punto (1. 1). MAX………………Z=10X1+15X2 s.a 10X1 5X1 4X1 X1 + + + .5.0) o por el punto (1.Capítulo II: El método simplex.0) Z=4X1+3X2 Z=4(1)+3(0) Z=4 (1. s in em bargo t odos l os puntos de esa área deberán cumplir dicha condición. EJEMPLO 2.0). para (0. 100) Z=10(100)+15(100) Z=2500 (150.Capítulo II: El método simplex. 89 10X1+20X2=4000 X1 0 400 X2 200 10 5X1+5X2=1500 X1 0 300 X2 300 0 4X1+2X2=800 X1 0 200 X2 800 0 (100.130) Z=10(130)+15(130) Z=3250 10X1+20X2=2500 10X1+20X2≤3000 10X1+20X2≤3250 X1 250 0 X2 0 166.100) Z=10(150)+15(100) Z=3000 (130.66 X1 300 0 X2 0 200 X1 325 0 X2 0 216 . 333 EJEMPLO 3. El monto de los préstamos para automóviles debe ser cuando menos 2 v eces mayor q ue el de l os préstamos p ersonales.33 Z=10(2000/15)+15(2000/15)= 3333. L a experiencia p asada ha demostrado q ue l os a deudos no c ubiertos constituyen el 1% de l os pr éstamos personales. . 𝑋𝑋1 = Z=10X1+15X2 4000 − 20𝑋𝑋2 4000 − 20(133. C omo deben as ignarse l os fondos para m aximizar la ut ilidad del banco s i l os i ntereses anual para pr éstamos per sonales s on de 14% y del 12 % para préstamos para automóviles.Capítulo II: El método simplex. X2= Prestamos personales.33) = 10 10 X1=2000/15=133.333 DESPEJANDO A X1 DE LA EC(1). X1= Automóviles. Un b anco as igna un m áximo d e $20 . 90 10X1+20X2=4000 [4X1+2X2≤800]1/4 10X1+20X2=4000 [ X1+2/4X2=200]-10 15X2=2000 X2=2000/15 X2=133.000 en pr éstamos per sonales y de automóviles. 12)-0. X2≥0 X1 X2 0 20000 20000 0 X1 0 10 X2 0 20 30 25 20000 B S.a 0.14) +X2(0.5 X1=N=Kg Mezcla barata X2=Kg Mezcla cara MAX Z=10X1+15X2 s.2X1+0.8X1+0.5X2≤1800 0.1X2 Restricciones.5 20000 B 0.5X2≤1200 X1≥0 X2≥0 X1 0 2250 X2 3600 0 X1 0 6000 X2 2400 0 .F 20 15 10 5 10 15 20 25 Z=1. 91 Max Z= X1(0.B.Capítulo II: El método simplex.13X1+0.12X2=15 Si Z = 2. X1+X2≤20000 X1. Capítulo II: El método simplex. 92 X2 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 6000 X1 SBF . 𝑥𝑥2 ≥ 0 . Problemas Método Grafico. 𝑎𝑎 8𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 16 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 12 𝑥𝑥1 . 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. Problemas del método grafico 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 6 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 4 2𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 ≥ 20 𝑥𝑥1 . 93 EJERCICIOS III. la solución se presenta en cada uno de los problemas. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑥𝑥1 . INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes ejercicios por el método grafico.Capítulo II: El método simplex. 𝑥𝑥2 ≥ 0 . 94 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 6𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑠𝑠.Capítulo II: El método simplex. 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 100 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 80 ≤ 40 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 . 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 6 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 12 ≥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 . 𝑎𝑎 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≥ 12 2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1 . Capítulo II: El método simplex. 95 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑥𝑥2 ≥ 0 . 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 8 𝑥𝑥2 ≤ 5 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≤ 4 𝑥𝑥1 . 𝑥𝑥2 . 𝑎𝑎 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 15 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥3 ≤ 20 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 25 𝑥𝑥1 . 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 V. Resolución de Modelos de Programación Lineal. 96 EJERCICIOS IV. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 V.50 V. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑥𝑥2 = 7.No Básicas 𝑥𝑥2 = 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = −66.Capítulo II: El método simplex. 𝑎𝑎 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 ≥ −7 2𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 8 𝑥𝑥1 .3336 𝑠𝑠3 = 17. 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 𝑠𝑠.333 𝑠𝑠2 = −40 𝑠𝑠3 = −40 𝑠𝑠4 = 26.00 Solución 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 11.a ≤ 61 2 𝑥𝑥1 −3𝑥𝑥2 ≤ 85 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 40 8𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 50 𝑥𝑥1 .6667 𝑠𝑠2 = 28. 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥2 s.3333 𝑉𝑉. 𝑥𝑥2 ≥ 0 Solución 𝑥𝑥1 = 5. 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 𝑠𝑠.6667 𝑥𝑥1 = 𝑠𝑠1 = 0 Solución 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 𝑠𝑠.No Básicas 𝑥𝑥2 = 13. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≤ 16 5𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 ≤ 29 3𝑥𝑥1 + 7𝑥𝑥2 ≤ 17 𝑥𝑥1 . 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 75 𝑉𝑉.No Básicas NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE . Instrucciones: Resolver los siguientes m odelos de programación lineal por el método apropiado.5 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥3 = 0 𝑠𝑠1 = 15 𝑠𝑠2 = 7.6667 𝑉𝑉.5 𝑠𝑠3 = 22. 𝑥𝑥2 .6667 𝑠𝑠1 = 5. 25 𝑥𝑥2 = 1. 𝑥𝑥3 ≥ 0 NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE. 𝑥𝑥2 .40 𝑉𝑉. . 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 6 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 9 𝑥𝑥1 .No Básicas 𝑠𝑠1 = 0 𝑠𝑠2 =0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 8.75 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑥𝑥1 = 1. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 Solución 𝑥𝑥1 = 22.50 𝑠𝑠1 = 6 𝑠𝑠2 = 9 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 10𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 𝑠𝑠.5 𝑥𝑥2 = 0. 𝑥𝑥2 .50 𝑉𝑉. 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 𝑠𝑠.60 V. 𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑥𝑥1 = 3. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 11 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 9 𝑥𝑥1 .50 𝑥𝑥3 = 0 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑥𝑥3 ≥ 0 Solución 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 27𝑥𝑥3 = 2 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥3 ≥ 4 𝑥𝑥1 . 𝑥𝑥2 ≥ 0 97 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 12.20 𝑥𝑥2 = 2.Capítulo II: El método simplex. 𝑎𝑎 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 6 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 1 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 ≤ 2 𝑥𝑥1 . 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 𝑠𝑠.Capítulo II: El método simplex. 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑥𝑥2 = 12. 𝑥𝑥2 . 𝑥𝑥2 . 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑥𝑥1 = 1 𝑥𝑥3 = 2 V. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 20 6𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≥ 30 7𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 ≥ 40 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 ≥ 50 𝑥𝑥1 .No Básicas 𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0 𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥3 =0 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≥ 8 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≥ 6 𝑥𝑥1 .No Básicas 𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0 𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥3 =0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 17. 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑥𝑥1 = 0. Solución 98 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 7 𝑉𝑉. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 3 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 1 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 2 𝑥𝑥1 .No Básicas 𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0 𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥2 =0 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 8 𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 Solución .5 𝑉𝑉.5 𝑥𝑥3 = 2 V. 𝑥𝑥2 .80 V. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 𝑠𝑠.8 𝑥𝑥2 = 1. 𝑥𝑥2 ≥ 0 NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 𝑠𝑠.No Básicas 𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0 𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 =0 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 150 𝑉𝑉. 99 𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 7𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 Solución 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5000𝑥𝑥1 + 7000𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑥𝑥3 ≥ 0 𝑥𝑥3 = 50 V. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 42 3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 60 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 18 𝑥𝑥1 . 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 20 2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 50 𝑥𝑥1 . 𝑎𝑎 −2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1 .Capítulo II: El método simplex. 𝑥𝑥2 ≥ 0 NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE . 𝑥𝑥2 . Objetivo: El alumno conocerá y aplicará el concepto f undamental de l a dual idad y l a r elación matemática con e l problema pr imal. CAPÍTULO III: .TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. al i gual qu e la metodología del anál isis d e sensibilidad para determinar el efecto que t ienen l os cambios r ealizados en el modelo de Programación Lineal. 3 … … .3 … … . Uno de los descubrimientos más importantes durante el desarrollo inicial de la programación lineal fue el concepto de dualidad y sus importantes ramificaciones. 1) Los c oeficientes de l a f unción o bjetivo del problema pr imal s on l os l ados derechos de las restricciones funcionales del problema dual. 𝑚𝑚 s. Esencia de la Teoría de Dualidad Dada nuestra forma es tándar par a el pr oblema primal. t al c omo s e resume a continuación.El objeto de un problema debe ser opuesto al otro. La dualidad parte dependiendo de su origen: Cuando el primo esta en formato canónico.2.3…………m 𝑗𝑗 = 1. Este descubrimiento revelo que asociado a todo problema de programación lineal.n Y � 𝑎𝑎𝑖𝑖. tiene la forma que muestra en la derecha. presente a s u l ado e l problema dual.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 101 3. con el problema de maximización. per o en di ferentes l ugares. el problema dual está conformado por minimización.1 FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA DUAL.2. .3……….a � 𝑎𝑎𝑖𝑖.. Desde di stintos puntos d e v ista l as r elaciones e ntre el problema du al y el original (llamado Primal) son muy útiles.2. PROBLEMA PRIMAL MAX 𝑍𝑍 = � 𝐶𝐶𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑗𝑗 𝑗𝑗 =1 𝑛𝑛 PROBLEMA DUAL MIN 𝑊𝑊 = � 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑗𝑗𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚 s. . el pr oblema du al u sa l os m ismos parámetros q ue el pr oblema pr imal. A un más.a Y Xj≥0 para j=1.𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑗𝑗 ≤ 𝑏𝑏 𝑗𝑗 =1 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = 1. 1. 𝑚𝑚 En consecuencia.2.𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≤ 𝑐𝑐 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚 Y i≥0 para i=1. existe otro llamado DUAL. . que es el problema original.El problema de Maximización..1 FORMA CANÓNICA.Las variables de ambos problemas deben ser no negativas..El vector de recursos (transporte) de un problema se convierte en el vector de coeficientes objetivo del otro y viceversa. Un pr oblema de maximización se e ncuentra e n forma c anónica s i en l a definición d el m odelo m atemático t odas s us r estricciones s on d el t ipo ≤ que y todas sus variables son mayores o iguales a cero. a s u vez al pr oblema or iginal al c ual s e hac e referencia un dual. 5. 4.2. si el problema es primo su dual entonces es: MAX Z 0=CX AX≤b X≥0 MIN Y0=bt ATY≥Ct 3. 6. Max Z= CX Sujeta a Ax≤b X≥0 .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 102 2.Cada r estricción en un pr oblema t iene asociada un a v ariable en el ot ro y viceversa.La matriz de c oeficientes tecnológicos de un pr oblema es la transpuesta de la matriz de coeficientes tecnológicos de otros. Por tanto.. Debe contar con todas sus restricciones y el ≤ de Min ≥. se está también solucionando un problema estrechamente relacionado.2 DUALIDAD. a t al problema se le l lama el pr oblema DUAL. 3... se le llama también el problema PRIMAL 3. Se dice que con la solución de todo problema de programación lineal. son los coeficientes tecnológicos de la restricción j del dual. s on l os c oeficientes del l ado derecho dual. Todo problema en forma canónica tiene como problema dual a uno también en forma Canónica: PRIMAL MAX Z=CX Sujeta a Ax≤b X≥0 DUAL MIN Z=Wb Sujeta a wA≥c W≥0 Todo problema en forma canónica tiene como problema dual a uno también en forma canónica: PRIMAL DUAL MIN Z=CX Sujeta a Ax≥b X≥0 MAX Z=Wb Sujeta a wA≤c w≥0 . t odas s us r estricciones s on del t ipo mayor o igual que y todas sus variables son mayores o iguales a cero.  Todo problema de m inimización primal tiene un problema de maximización en su dual. s on l os coeficientes tecnológicos de la variable i del dual. Min Z=CX Sujeta a Ax≥b X≥0 3.  Los c oeficientes del l ado d erecho d el pr imal.1 TRANSFORMACIÓN.  Los coeficientes tecnológicos de la variable j del primal.1.  Cada restricción del primal implica una variable dual.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 103 Un pr oblema de minimización se enc uentra e n forma c anónica s i en l a definición del m odelo matemático.  Los c oeficientes t ecnológicos de l a r estricción i del pr imal.2.  Cada variable primal implica una restricción dual.  Todo problema de m aximización primal tiene un problema de m inimización en su dual. 4X2 2X2 2X2 X2 + + .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 104 EJEMPLO 1. S2. S3 BASE W S1 S2 S3 W Y2 S2 S3 W Y2 Y3 S3 W 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Y1 -8 2 4 0 -16/5 2/5 16/5 2/5 24/5 2/5 8/5 -6/5 Y2 -12 5 2 1 0 1 0 2 0 1 0 2 Y3 -5 0 2 1 -5 0 2 1 0 0 1 0 S1 0 1 0 0 12/5 1/5 -2/5 1/5 7/5 0 1/2 -1/2 S2 0 0 1 0 0 0 1 0 5/2 0 1/2 -1/2 S3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 SOL 0 4 2 1 48/5 4/5 2/5 1/5 53/5 4/5 1/5 0 -X3+S3 -2X2+S2 X2+S3 5X3+W 0X3+X2 12x2+W . Z =4X1+2X2+X3 ≥ X3 X3 X3 ≥ ≥ ≥ 8 12 15 0 A= MAX -8X1 2X1 4X1 0 + + + W=8Y1+12Y2+5Y3 12Y2 5Y2 2Y2 Y2 + + + 5Y3 0 2Y3 Y3 = ≤ ≤ ≤ 0 4 2 1 NOTA: Se aplica Método Simplex para resolver. 2Y1 4Y1 0 n=6 + + + 5Y2 2Y2 Y2 m=3 + + 2Y3 Y3 + S1 + S2 + S3 = = = 4 2 1 6-3=3 variables no básicas Básicas= S1. MODELO PRIMAL MODELO DUAL MAX 2X1 5X1 X1 + + . Básicas X2=4/5 X3=1/5 S3=0 V.X2.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 105 No básicas= X1.X3 COMPROBACIÓN 8(0)+12(4/5)+5(1/5)=53/5 V. no Básicas. X1=0 S1=0 S2=0 . 19Y2 5Y2 2Y2 Y2 ≥ ≥ ≥ ≥ 85 115 150 0 MAX 18X1 -19X1 W =85X1+115X2+50X3 + 14X2 5X2 + + 4X3 2X3 ≤ ≤ 4 2 FORMATO ESTANDAR. MAX W =85X1+115X2+50X3 18X1 -19X1 M=5 + - 14X2 5X2 n=2 + + 4X3 2X3 5-2=3 + S1 + S2 = = 4 2 .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 106 EJEMPLO 2. Utilizando el problema du al r esuelva el s iguiente modelo d e P rogramación Lineal. MODELO PRIMAL MIN G= 4Y1+2Y2 18Y1 14Y1 4Y1 Y1 + . 19Y2 5Y2 2Y2 Y2 ≥ ≥ ≥ ≥ 85 115 150 0 MODELO DUAL MIN G= 4Y1+2Y2 18Y1 14Y1 4Y1 Y1 + . Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 107 Base W S1 S2 w X2 S2 W 1 0 0 1 0 0 X1 -85 18 -19 440/7 9/7 -88/7 X2 -115 14 -5 0 1 0 X3 -50 4 2 -120/7 2/7 24/7 S1 0 1 0 115/4 1/4 5/4 S2 0 0 1 0 0 1 SOL 0 4 2 230/7 2/7 27/7 115Y2+W Base W W X2 X3 X1 229/3 7/3 -11/3 X2 0 1 0 X3 0 0 1 S1 10 1/74 35/96 S2 5 -1/12 7/24 SOL 50 0 1 V. Básicas X2=0 X3=1 V. no Básicas X1=0 S1=0 S2=0 . a -X1 -2X1 -X1 . X2 X2 . X2 X2 + X2 X2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ -6 0 -2 -2 0 FORMATO ESTANDAR Z=4X1+3X2+0S1+0S2+0S3+0S4 Z-4X1-3X2-0S1-0S2-0S3-0S4=0 s.a Y1 2Y1 Y1 Y2 Y1 .a -X1 -2X1 -X1 X1 .S3 + X2 X2 +S1 +S2 +S3 +S4 .S1 .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 108 EJEMPLO 3. FORMATO CANÓNICO MIN Z=4X1+3X2 s. Y2 + Y2 Y2 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 6 0 2 2 0 X1 MIN Z=4X1+3X2 s.S4 = = = = ≥ -6 0 -2 -2 0 Tablon Base Z S1 S2 S3 S4 Z 1 0 0 0 0 X1 -4 -1 -2 -1 0 X2 -3 -1 1 0 -1 S1 0 1 0 0 0 S2 0 0 1 0 0 S3 0 0 0 1 0 S4 0 0 0 0 1 SOL 0 -6 0 -2 -2 X1=-4/-1=4 X2=-3/-1=3 S1=0/1=0 S2=0/0=∞ S3=0/0=∞ S4=0/0=∞ 1.S2 ..ITERACIÓN Base Z X2 S2 S3 S4 Z 1 0 0 0 0 X1 -1 1 -3 -1 1 X2 0 1 0 0 0 S1 -3 -1 1 0 1 S2 0 0 1 0 0 S3 0 0 0 1 0 S4 0 0 0 0 1 SOL 18 6 -6 -2 4 X1=-1/-3=1/3 X2=0/0=∞ S1=-3/1=-3 S2=0/1=0 S3=0/0=∞ S4=0/0=∞ . .a 4+2≥6 6≥6 2(2)-4≥0 0≥0 X1≥2 2≥2 .ITERACIÓN Base Z X2 X1 S3 S4 V. Básicas X2=4 X1=2 S3=0 S4=2 MIN Z=20 Z 1 0 0 0 0 X1 0 0 1 0 0 X2 0 1 0 0 0 S1 -10/3 -2/3 -1/3 -1/3 -2/3 S2 -1/3 1/3 -1/3 -1/3 1/3 S3 0 0 0 1 0 S4 0 0 0 0 1 SOL 20 4 2 0 -2 V. no Básicas S1=0 S2=0 COMPROBACIÓN Z=4(2) +3(4) =20 s.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 109 2. 58 S1=2 S2=0/0=∞ S3=0/0=∞ S4=0/1=0 .-ITERACIÓN Base Z S1 S2 S3 S4 Z 1 0 0 0 0 Y1 0 1 0 0 0 Y2 -44/5 -7/5 -2/5 17/5 -17/5 S1 2/5 1/5 -4/5 -2/5 1/5 S2 0 0 1 0 0 S3 0 0 0 1 0 S4 0 0 0 0 1 SOL -16/5 -8/5 42/5 23/5 -23/5 Y1=0/0=∞ Y2=44/17=2.05 S1=0/1=0 S2=0/0=∞ S3=0/0=∞ S4=0/0=∞ 1.S4 = = = = ≥ -8 2 3 -3 0 S4 0 0 0 0 1 SOL 0 -8 2 3 -3 Y1=-2/5=-0. FORMATO CANONICO MIN Z=2X1+6X2 s.S3 +S1 +S2 +S3 +S4 .a -5X1 4X1 X1 X1 + + .S2 . 7X2 6X2 2X2 X2 ≥ ≤ = ≥ 8 2 3 0 MIN Z=2X1+6X2 s.a 5y1 4y1 y1 -y1 y1 + .4 Y2=-6/-7=.S1 .a 5y1 -4y1 y1 y1 -y1 TABLON Base Z S1 S2 S3 S4 Z 1 0 0 0 0 Y1 -2 5 4 1 -1 Y2 -6 -7 -6 2 -2 S1 0 1 0 0 0 S2 0 0 1 0 0 S3 0 0 0 1 0 + 7y2 6y2 2y2 y2 2y2 ≤ ≤ ≤ ≥ ≤ -8 2 3 3 -3 FORMATO ESTANDAR Z=2X1+6X2+0S1+0S2+0S3+0S4 Z-2X1-6X2-0S1-0S2-0S3-0S4=0 s. 7y2 6y2 2y2 2y2 y2 .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 110 EJEMPLO 4. -ITERACIÓN Base Z Y1 S2 S3 Y2 V.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 111 2. Básicas Y1=5/17 S2=152/17 Y2=23/17 COMPROBACIÓN Z=2(5/17)+6(23/17)=148/17 -5(5/17)+7(23/17)≥8 8≥8 MAX Z=148/17 Z 1 0 0 0 0 Y1 0 1 0 0 0 Y2 0 0 0 0 1 S1 -2/17 2/17 -14/17 0 -1/17 S2 0 0 1 0 0 S3 0 0 0 1 0 S4 -44/17 -7/17 -2/17 1 -5/17 SOL 148/17 5/17 152/17 0 23/17 V.-ITERACIÓN Base Z Y1 S2 S3 S4 Z 1 0 0 0 0 Y1 0 1 0 0 0 Y2 -2 2 -14 0 -17 S1 0 0 0 0 1 S2 0 0 1 0 0 S3 0 0 0 1 0 S4 -2 -1 -1 1 5 SOL 6 3 -10 0 -23 Y1=0/0=∞ Y2=-2/-17=0.11 S1=0/1=0 S2=0/0=∞ S3=0/0=∞ S4=0/0=∞ 3. no Básicas S1=0 S3=0 S4=0 . a X1+9X2≤60 2X1+3X2≤45 5X1-2X2≤20 X2≤30 X1. Cuando un modelo no está en forma canónica puede seguirse la siguiente tabla de transformación: PRIMAL FUNCIÓN OBJETIVO VARIABLE RESTRICCIÓN DUAL Tabla 2. debe hac erse un aj uste al modelo poder manejar v ariables n o-positivas y l as variables libres. esto es. por lo t anto.3 TRANSFORMACIÓN ALTERNA DUAL. variables s in r estricción de s igno ( Xk≥0 ´0 Xk≤0). EJEMPLO1.X2≥0 . en un momento dado se puede estar utilizando variables no-positivas (Xk≤0) y variables libres.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 112 3. al d efinir al algoritmo Simplex siempre se trabaja c on variables n o-negativas y as í deb e c ontinuar. Fuente: IPN-UPIICSA DUAL MINIMIZACIÓN ≥ ≤ = ≥0 ≤0 LIBRE FUNCIÓN OBJETIVO RESTRICCIÓN VARIABLE PRIMAL MAXIMIZACIÓN ≥0 ≤0 LIBRE ≤ ≥ = Como se observa en l a tabla de transformación anterior. MAX Z= 5X1+6X2 s. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 113 DIAGRAMA DE TRUCKER X1 Y1 Y2 Y3 Y4 1 2 5 0 5 Tabla 3.Y4≥0 Observaciones de este caso en particular: a) Que el problema dual tiene menor número de restricciones que el primario.a Y1+2Y2+5Y3≥5 9Y1+3Y2-2Y3+Y4≥6 Y1. Fuente: IPN-UPIICSA. d) Un problema busca maximizar y en otro minimizar. e) El pr oblema d e maximización t iene s ignos ≤ en t odas l as r estricciones. tanto que el de minimización tiene signos ≥ en todas las restricciones. f) Las variables en los dos problemas son no negativas.Y3.Y2. X2 9 3 -2 1 6 ≤60 ≤45 ≤20 ≤30 MIN G= 60Y1+45Y2+20Y3+30Y4 s. . c) Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son los coeficientes de la función objetivo en el otro problema. b) Cada r estricción e n u n pr oblema c orresponde c on una v ariable e n el ot ro problema. Acomodando el modelo nos queda.a a11x1+a12x2=b1…………………….a a11x1+a12x2≤b1 a21x1+a22x2≤b2 a21x1+a22x2≤b2 X1.X2≥0 .. a11x1+a12x2≤b1 [a11x1+a12x2≥b1 ]x-1 para invertir el sentido de la desigualdad y dejarlo en forma canónica. MAX Z=C1+C2 s.X2≥0 Trabajando con la restricción Rs 1. PRIMAL MAX Z=C1+C2 s.Rs 1 a21x1+a22x2=b2…………………….Rs 2 X1. Se hace el mismo procedimiento.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 114 ¿Qué sucede cuando se tiene una restricción en forma de igualdad? EJEMPLO: Obtenga el modelo Dual a partir de Primario.. -a11x1-a12x2≤-b1 NOTA: Lo mismo pasa con Rs2. y2≥0 FACTORIZANDO MIN G=b1(y+1-y-1)+b2y2 s. y2≥0 Siempre que tengamos una restricción en el problema primario en forma (=) la variable dual correspondiente será dual y viceversa. .y2≥0 Sustituyendo la expresión del paréntesis por y1 el modelo nos queda así: MIN G=b1y1+b2y2 s. irrestricta.y-1.a a11y+1-a11y-1+a21y2≥C1 a12y+1-a12y-1+a22y2≥C2 y+1.a a11(y+1-y-1)+a21y2≥C1 a12(y+1-y-1)+a22y2≥C2 y+1.a a11y1+a21y2≥C1 a12y1+a22y2≥C2 y+1 Libre. a11 -a11 a22 C2 ≤b1 ≤b1 ≤b1 MIN G= b1-b1+b2 s.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 115 X1 Y1 Y1 Y3 X2 a11 -a11 a21 C1 DUAL. no restringida.y-1. el procesos finaliza y la solución factible óptima se encuentra. OPTIMALIDAD • La v ariable d e e ntrada es s eleccionada de l as v ariables no bás icas. La función objetivo puede ser de maximización o minimización. No toma en cuenta cocientes as ociados con de nominadores positivos o c eros. t odo el procedimiento es exactamente igual si fuera Min.4 TRANSFORMACIÓN ALTERNA DUAL SIMPLEX. en caso de empate procedemos de forma arbitraria. es decir. y si todas las variables básicas son no n egativas. el c ociente más próximo a cero. se hacen c ocientes c uyos deno minadores s erán nec esariamente n egativos y se t oman d e l a ecuación pivote. Se escoge el cociente más próximo a 0 para minimización. Se t oman l os v alores abs olutos de l os c ocientes ( prescindiendo de l os negativos) y s e el ige. Se aplica a problemas que tiene factibilidad dual inicial. Y s i t odos l os denominadores s on 0 o pos itivos. que son óptimos pero infactibles simples. Cuando s e t iene un c aso d e M ax en el m étodo D ual-Simplex. par a det erminar l a v ariable de e ntrada. La factibilidad dual se reconoce expresando las restricciones en la forma canónica (≤). Condiciones FACTIBILIDAD • La variable de salida es la variable básica que tiene el valor más negativo. el pr oblema n o t iene s olución f actible. los empate se deciden arbitrariamente.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 116 3. L os n umeradores s erán l os nú meros correspondientes en la función objetivo. . excepto que al definir la variable de e ntrada s e hacen c ocientes c uyos de nominadores s erán n ecesariamente negativos tomados d e l a ec uación pi vote y l os nu meradores s erán l os números correspondientes en la función objetivo. Se añade variables de holgura positivas: Zo=2x1+x2+0s1+0s2+0s3 Zo=-2x1-x2-0s1-0s2-0s3 s.a -3x1 -4x1 -x1 .x2≥0 NO SE PUEDE RESOLVER POR EL METODO SIMPLEX PASO1...Se expresan las restricciones del problema únicamente las restricciones en la forma canónica: MIN Z=2X1+X2 s.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 117 EJEMPLO MIN Z=2X1+X2 s.a -3x1-x2≤-3 -4x1-3x2≤-6 -x1-2x2≤-8 x1.x2≥0 PASO2.a 3x1+x2≥3 4x1+3x2≥6 x1+2x2≥8 x1.3x2 .2x2 + S1 + S2 = = = -3 -6 -8 + S3 .x2 . BASE Z S1 S2 S3 Z 1 0 0 0 −2 = 0.4 −5/3 −1/3 =1 −1/3 BASE Z X1 X2 S3 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 1 0 S1 -2/5 -3/5 4/5 1 S2 1/5 -1/5 3/5 1 S3 0 0 0 1 Sol 12/5 3/5 6/5 0 V.3 −3 BASE Z S1 X2 S3 Z 1 0 0 0 X1 -2/3 -5/3 -4/3 5/3 X2 0 0 1 0 S1 0 1 0 0 S2 -1/3 -1/3 1/3 -1/3 S3 0 0 0 1 V.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 118 PASO 4.salida Sol 0 -3 -6 -8 V entrada −1 = 0. salida Sol 2 -1 2 1 V.5 −4 X1 -2 -3 -4 -1 X2 -1 -1 -3 -2 S1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 V. entrada −2/3 = 0. no básicas S2=0 S1=0 . básicas X1=3/5 X2=6/5 S3=0 V. V.-Se define la variable de salida. X1= Cantidad de vitamina 1 a emplear en la E. X4= Cantidad de vitamina 4 a emplear en la E.Se define la variable de entrada. se desea que la ensalada vitamínica contenga por lo menos 10 unidades de vitamina A y 25 unidades de v itamina C . se elige por el valor más negativo de la columna de solución. VERDURAS (UNIDADES DE VITAMINA/Kg) VITAMINAS A C COSTO 1 2 1 100 2 0 2 80 3 3 2 95 4 4 1 100 5 1 3 110 X= Cantidad de las diferentes verduras a emplear en la E. l a r elación neta del c ontenido vitamínico y el costo de las verduras se proporcionan en la siguiente tabla.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 119 Como hay factibilidad se puede aplicar el método Dual-Simplex. PASO5.4. l a c ual puede prepararse a partir de 5 v erduras b ásicas di sponibles y de finidas c omo 1.V. EJEMPLO.V. para ello se formaran cocientes en los que los denominadores de la ecuación pivote y que pertenezcan a las variables no básicas. .. Los numeradores serán los números correspondientes a la función objetivo. de Monterrey es tá interesado e n pr eparar l o q ue ha bau tizado como la ensalada vitamínica.3. X5= Cantidad de vitamina 5 a emplear en la E.V.2. El entrenador de Básquetbol de l os B orregos del Tec. PASO 6. X3= Cantidad de vitamina 3 a emplear en la E.V.5.V. X2= Cantidad de vitamina 2 a emplear en la E. W2≥0 i=1.3. 4X4 X4 X4 + + .2.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 120 MAX Z=100X1+80X2+95X3+100X4+110X5 s. 2X2 X2 + + . Y2 2Y2 2Y2 Y2 3Y2 Y2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ 100 80 95 100 110 0 + . X5 3X5 X5 ≥ ≥ ≥ 10 52 0 2X1 X1 + 2X2 Xi≥0 + + 3X3 2X3 + + 4X4 X4 + + X5 3X5 -S1 -S2 + W1 + W2 = = 10 25 S1.S2.a 2X1 X1 X1 DUAL MIN F=10Y1+25Y2 s.4.5 .a 2Y1 3Y1 4Y1 Y1 Y1 MAX Z= 100X1+80X2+95X3+100X4+110X5-0S1-0S2-MW1-MW2 Z-100X1-80X2-95X3-100X4-110X5+0S1+0S2+MW1+MW2=0 + + + + + .W1. 3X3 2X3 X3 + + . ITERACIÓN BASE Z 1 0 0 X1 -380/11 5/11 2/11 X2 -200/11 -2/11 8/11 X3 208/11 7/11 5/11 X4 0 1 0 X5 0 0 1 S1 -190/11 -3/11 1/11 S2 -390/11 1/11 -4/11 W1 190/11+M 3/11 -1/11 W2 340/11+M -1/11 -4/11 Sol 10600/11 -5/11 9/11 Z X4 X5 .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 121 BASE Z W1 W2 Z 1 0 0 X1 -100 2 1 X2 -80 0 2 X3 -95 3 2 X4 4 1 X5 1 3 S1 0 -1 0 S2 0 0 -1 W1 M 1 0 W2 M 1 0 Sol -100 -100 AJUSTE BASE Z W1 W2 Z 1 0 0 X1 -100-3M X2 -80-2M X3 -95-5M X4 -100-5M X5 110-3M S1 M -1 0 S2 M 0 -1 W1 0 1 0 W2 0 0 1 Sol -35 10 25 2 1 0 2 3 2 4 1 1 3 1 ITERACIÓN BASE Z 1 0 0 X1 -100/3-5/3M X2 -26/3+2/3M X3 65/5-7/3M X4 -193/3-1/3M X5 0 S1 M S2 -110/3+4/3M W1 0 W2 110/3+4/3M Sol 2750/3 Z W1 X5 5/3 1/3 -2/3 2/3 7/3 2/3 11/2 1/3 0 1 -1 0 1/3 -1/3 1 0 -1/3 1/3 5/3 25/3 2. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 122 3 ITERACIÓN BASE Z 1 0 0 X1 0 1 0 X2 -32 -2/3 4/5 X3 67 7/5 1/5 X4 76 11/5 -2/5 X5 0 0 1 S1 -38 -3/5 1/5 S2 -24 1/5 -2/5 W1 38+M 3/5 -1/5 W2 25+M -1/5 2/5 Sol 980 1 8 Z X1 X5 4 ITERACIÓN BASE Z 1 0 0 X1 0 1 0 X2 120 2 4 X3 105 2 1 X4 0 1 2 X5 190 3 5 S1 0 0 1 S2 -100 -1 -2 W1 M 0 -1 W2 100+M 1 2 Sol 2500 25 40 Z X1 X5 Conclusión. Se necesitan 25 unidades de vitamina 1 y 40 unidades de vitamina 5 para preparar una ensalada vitamínica con 2500 unidades. . Y2 TABLON Base Z S1 W1 Z 1 0 0 Y1 -3 1 -1 Y2 -4 -2 -1 2Y2 Y2 + + 6Y3 3Y3 Y3 + S1 + = W1 Libre = ≥ 2 5 0 Y3 -6 1 3 S1 0 1 0 W1 -M 0 1 SOL 0 2 5 . Y1 -Y1 Y1 .a. 2Y2 Y2 Y2 + 6Y3 3Y3 Y3 ≤ = ≥ = 2 5 0 0 Libre o irrestricta MIN Z=3Y1+4Y2+6Y3+0S1+MW1 Z-3Y1-4Y2-6Y3-0S1-MW1 s. MODELO PRIMAL MODELO DUAL MAX X1 -2X1 -X1 X1 X2 + X2 X2 3X2 ≤ = ≤ ≤ Z =2X1+5X2 3 4 6 0 MIN W=3Y1+4Y2+6Y3 Y1 Y1 Y1 .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 123 EJEMPLO. .66 1.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 124 AJUSTE Base Z S1 W1 Z 1 0 0 Y1 -3-M 1 -1 Y2 -4-M -2 -1 Y3 -6+3M 1 3 S1 0 1 0 W1 -M 0 1 SOL 5M 2 5 =2/1=2 =5/3=1. Básicas S1=11/3 Y3=5/3 Z=10 Z 1 0 0 Y1 -5 2/3 -1/3 Y2 -6 -7/3 -1/3 Y3 0 0 1 S1 0 1 0 W1 2-M 1/3 1/3 SOL 10 11/3 5/3 V. no Básicas Y1=0 Y2=0 W1=0 .ITERACIÓN Base Z S1 W1 V. Una solución es óptima solo en la que se refiere al modelo específico que se usa p ara r epresentar un pr oblema r eal es tudiado. pero no pu ede ser c onfiable hasta v erificar u n b uen c omportamiento al hacer c ambios e n s us par ámetros. 3. En tal caso la programación lineal tiene el recurso de revisar la solución óptima del pr oblema para aj ustarla a l o q ue j uzga v alido p or l os r esponsables d e l a decisión o bi en e n r espuesta a c ambios ( solo di scretos. Forma Matricial de la Tabla Simplex y las Relaciones Vectoriales Implicadas. Estos parámetros por lo general son valores estimados sin la deseable precisión debido a las dificultades normales para conseguir registros confiables.5 ANALISIS DE SENSIBILIDAD. érminos i ndependientes.1. Donde: Z= Al valor de la función objetivo. que al cambiar de valor. p or t al m otivo a es te análisis t ambién s e l e c onoce c omo análisis de la paso optimalidad. b= Es un vector c olumna de t restricciones. Por tal motivo es importante verificar los parámetros sensibles. es posible calcular el intervalo de v alores permitidos que no pierdan lo óptimo.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 125 3. los cambios que ocurren en c ualquier ec onomía dan l ugar a q ue pr ecios. También se puede determinar el intervalo para conservar la factibilidad (los valores no negativos de una variable). El método de modelo de programación lineal es estático y por tal motivo puede resultar inoperante con el transcurso del tiempo. E l análisis de sensibilidad tiene el propósito de investigar el defecto sobre la solución óptima entregada por el método simplex con los cambios a los valores originales. En g eneral s e pueden presentar c ambios q ue no a fecten l a o ptimalidad d e la solución obtenida pero también ocurrir que se pierda esa condición. conforme a la función objetivo. pue s l os c ambios continuos forman par te d e l a pr ogramación p aramétrica no i ncluida aquí) del entorno ec onómico.5. c onforme a l as C= Es un vector renglón de coeficientes. r ecursos di sponibles o requeridos ya no se puedan considerar para otro tiempo. A= A las matriz de coeficientes tecnológicos conforme las restricciones. c ostos. se pierde el óptimo en este caso. . es decir. s i pr ovoca per dida de o ptimalidad de l a solución que se está realizando y en tal caso se procede a la siguiente etapa. B-1= Es la inversa de una matriz B formada por las columnas aj de coeficientes aij de r estricciones. Y= Es un vector renglón de variables duales (precios sombra) los que se localizan como coeficientes en las variables de holgura y/o artificiales del renglón Z. Cuando el coeficiente 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 cambia de signo se ent iende q ue el c ambio pr opuesto. Usando la fórmula de 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵 −1 𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = 𝑌𝑌𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 se revisa si el coeficiente indicador de 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 cambia de s igno.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 126 CB= Es un vector r englón de c oeficientes de v ariables de f unción obj etivo conforme transpuesto s e u biquen en l a c olumna d e b ase ( básicas en l a t abla simplex). 3. 1= Matriz identidad. ETAPA Los cambios en A para variables básicas resultan en cálculos muy complicados aij de el los.1. c onforme a v ariables b ásicas ( columna de base) en l a t abla simplex. siendo mejor recalcular con el simplex para cambio de coeficientes aij de la matriz A de r estricciones en variables no b ásicas solo i nteresa manejar los pues el resto queda igual y se puede así: 1. Cambio en el vector A. XN= Es el vector de variables no básicas.5. 0= Vector cero. N= Matriz de coeficientes tecnológicos.1. XB= Es u n v ector c olumna c on v alores de v ariables bás icas e n l a c olumna de solución. . no básicos. Cambios en l a m atriz A de c oeficientes t ecnológicos de r estricciones en variables no básicas. s i no ocurre el c ambio de s igno en t al coeficiente n o es nec esario a plicar l a 2 etapa y a q ue el c ambio pr opuesto no afecta la optimalidad del problema. S e apl ica el s implex has ta r e opt imizar dado el s iguiente modelo d e programación lineal suponga que el coeficiente -1 cambia a 2. X3 X3 X3 ≥ = ≥ 8 20 0 2. EJEMPLO 1: Min Z=3X1-X2+4X3 s. 2X2 X2 + . X1 -3M 1 0 X3 X3 X3 X2 1+2M 0 2 .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 127 Se aplica la fórmula de de 𝐴𝐴∗ = 𝐵𝐵 −1 𝐴𝐴 con la cual se calcula la nueva columna 𝑎𝑎∗ 𝑗𝑗.. S1 -M -1 0 W1 W1 + . ETAPA Min Z=3X1-X2+4X3-0S1+MW1+MW2 X1 2X2 X1 BASE Z W1 W2 1. W1 0 1 0 W2 W2 W2 0 0 1 = ≤ ≥ Sol 28M 8 20 3 4 0 X2 0 0 0 X3 -9/2-M -1 1/2 S1 -M -1 0 W1 0 1 0 W2 -1/2-M 0 1/2 Sol -10+8M 8 10 . S1 S1 X3 -4 -1 1 + .ITERACIÓN BASE Z W1 X2 Z 1 0 0 X1 -3M 1 0 . Z 1 0 0 X2 + .a X1 X1 . .ITERACIÓN BASE Z X1 X2 Z 1 0 0 X1 0 1 0 X2 0 0 1 X3 -15/2-M -1 1/2 S1 -3 -1 0 W1 3-M 1 0 W2 -1/2-M 0 1/2 Sol 14 8 10 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝑌𝑌𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = �3. −1�2� � 2 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = �3.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 128 2. −1�2� � � − 4 = 3�2 ≥ 0 ∴ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑖𝑖𝑚𝑚𝑎𝑎𝑜𝑜𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝 1 �0 0 1 0 0 2 3 2 � − [3 −1 4] = �0 1 3� � ≥ 0 2 0 6 −1� � = −1 2 ETAPA 2 1 0 1 0 2 1 0 �0 1� � � � = �0 1 2 0 2 1 Z 1 0 0 Z 1 0 0 X1 0 1 0 X1 -3/4 1/2 1/4 X2 0 0 1 X2 0 0 1 X3 3/2 2 1/2 X3 0 1 0 𝐴𝐴∗ = 𝐵𝐵 −1 𝐴𝐴 2 1 0 2 2 1� � = �0 1� � �1� = �1� � 2 2 2 S1 -3 -1 0 S1 -9/4 -1/2 1/4 W1 3-M 1 0 W1 9/4-M 1/2 -1/4 W2 -1/2-M 0 1/2 W2 -1/2-M 0 1/2 Sol 14 8 10 Sol 8 4 8 BASE Z X1 X2 BASE Z X3 X2 . −2] Z=5X1-6X2-7X3 2X1 6X1 2X1 X1 + + .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 129 EJEMPLO 2 MIN s. 6X3 X3 2X3 X3 ≥ ≤ = ≥ 30 12 12 0 Z=5X1-6X2-7X3-0S1+0S2+MW1+MW2 Z-5X1+6X2+7X3+0S1-0S2-MW1-MW2=0 2X1 6X1 2X1 BASE Z W1 S2 W2 + + 10X2 3X2 2X2 Z 1 0 0 0 + + X1 -5+4M 2 6 2 6X3 X3 2X3 X2 6+12M 10 -3 2 X3 7-4M -6 1 2 S1 -M -1 0 0 W1 0 1 0 0 S1 + S2 + S2 0 0 1 0 W2 + W1 = = = W2 0 0 0 1 30 12 12 Sol 42M 30 12 12 1.a Suponga que el vector de la columna 𝑎𝑎1 [2.2] cambia a 𝑎𝑎1 [6.. 10X2 3X2 2X2 X2 + + .6.ITERACIÓN BASE Z W1 S2 X3 Z 1 0 0 0 X1 -12+4M 8 5 1 X2 -1+16M 16 -4 1 X3 0 0 0 1 S1 -M -1 0 0 W1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 W2 -7/2+2M 3 -1/2 1/2 Sol -42+66M 66 6 6 .6. .ITERACIÓN BASE Z X2 S2 X3 Z 1 0 0 0 X1 23/2 1/2 7 1/2 X2 0 1 0 0 X3 0 0 0 1 S1 -1/16 -1/16 -1/4 1/16 W1 1/16-M 1/16 1/4 -1/16 S2 0 0 1 0 W2 -53/16-M 3/16 1/4 5/16 Sol -303/8 33/8 45/2 15/8 FASE 2 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝑌𝑌𝑎𝑎 − 𝐶𝐶 = �1�16 REOPTIMIZO BASE Z X2 S2 X3 Z 1 0 0 0 X1 2 0 7 -1 X2 0 1 0 0 1 ⎡ �16 ⎢ 1� 4 ⎢ −1� ⎣ 16 X3 0 0 0 1 6 −53� � � 6 � = 2 > 0 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑂𝑂𝑃𝑃𝑂𝑂𝑃𝑃𝑂𝑂𝐴𝐴𝑂𝑂𝑃𝑃𝑃𝑃𝐴𝐴𝑃𝑃 0 16 −2 0 3�16⎤ 6 0 1 1�4 ⎥ � 6 � = � 7 � ⎥ −2 −1 0 5�16⎦ W1 1/16-M 1/16 1/4 -1/16 S2 0 0 1 0 S1 -1/16 -1/16 -1/4 1/16 W2 -53/16-M 3/16 1/4 5/16 Sol -303/8 33/8 45/2 15/8 3..Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 130 2.ITERACIÓN BASE Z X2 S2 X3 Z 1 0 0 0 X1 0 0 1 0 X2 0 1 0 0 X3 0 0 0 1 S1 1/112 -1/16 -1/28 3/112 W1 -1/112-M 1/16 1/28 -3/112 S2 -2/7 0 1/7 1/7 W2 -379/112-M 3/16 1/28 39/112 Sol -2481/56 33/8 45/14 285/56 . . Cambio en el vector B A partir de l a de finición por pr oducto d e m atrices y v ectores de una t abla simplex óptima se obtiene.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 131 4.1. esto es. Cuando s e m odifica el v alor de l as c omponentes d el v ector de r ecursos b a (b+Δb). Para el análisis de sensibilidad se requiere saber la composición matricial de la tabla s implex y l as r elaciones v ectoriales implicadas.ITERACIÓN BASE Z X2 S2 X3 Z 1 0 0 0 X1 0 0 1 0 X2 0 1 0 0 X3 -1/3 7/3 4/3 112/3 S1 0 0 0 1 W1 -M 0 0 -1 S2 -1/3 1/3 1/3 16/3 W2 -7/2-M 1 1/2 13 Sol -46 16 10 190 3. al hacer el cambio se debe tener que B-1(b+Δb)≥0 A partir de la ley distributiva para la suma se tiene (𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝒃𝒃 + 𝑩𝑩−𝟏𝟏 ∆𝒃𝒃 ) ≥ 0 Este es u n s istema de i necuaciones q ue nos per mite d eterminar t odas l as posibles combinaciones que permite determinar todas las posibles combinaciones para los cambios en b.. A sí el anál isis de sensibilidad determinara l os i ntervalos de l os r oles par a c ada p arámetro en e l modelo q ue p ermita m antener al c onjunto de v ariables b ásicas en es tas condiciones.2. s ólo deb e v erificarse q ue s e s iga m antenimiento l a factibilidad de l as variables básicas. (CB B-1 N-CN)≥0 y B-1b≥0 Para el v ector de v ariables bás icas o ptimas XB*=B-1b. L a l ocalización de estos vectores y matrices en la tabla forman parte de la estructura matricial. des pués de r ealizar l as c orrespondientes operaciones. se define Δb tal q ue per mita en t odo c aso m antener c omo ninegativas a todas las variables óptimas en XB.5. De es ta úl tima ex presión. .s2≥0 Producto utilidad Personal T. . EJEMPLO 1: Z=5x1+3x2+0s1+0s2 Z-5x1-3x2-0s1-0s2=0 s.s1. ∆𝑏𝑏𝑚𝑚 ⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠ (𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏 + 𝐵𝐵 −1 ∆𝑏𝑏 ) ≥ 0 Siguiendo estas condiciones para mantener la factibilidad de la solución básica óptima s e enc uentra el r ango de v alores p ara c ada r ecurso b 1. � . ∆𝑏𝑏 = ⎜ .a 3x1 + 5x2 + 5x1 + 2x2 x1.x2. ∆𝑏𝑏𝑖𝑖 ⎞ 0 ⎞ ⎛ ⎛ ∆𝑏𝑏 = ⎜ .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 132 Analizando sólo los cambios de uno de los recursos a la vez se tiene: ∆𝑏𝑏1 0 0 .3 =2/2/5=2 . ⎟ . máquina BASE Z S1 S2 1 ITERACIÓN Z 1 0 0 A 5 C1 5 5 X1 -5 3 5 S1 + B 3 C2 5 2 X2 -3 5 2 S2 = = 15 10 disponible 15 10 S1 0 1 0 S2 0 0 1 Sol 8 15 10 b 15/3 = 5 10/5 = 2 BASE Z S1 X1 Z 1 0 0 X1 0 0 0 X2 -1 19/5 2/5 S1 0 1 0 S2 1 -3/5 1/5 Sol 10 9 2 =9/19/5=2. ⎟ . l a s olución es e l rango de valores que satisfacen. ∆𝑏𝑏 = � . 5] �19� 15 19 Zo= CBXB 5� � 19 −2� 19 𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏 � 10 � 20 5 −3 = � 19 19 � −2 5 19 19 5 personas 𝐵𝐵 −1 −3� 19� 5� 19 . X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19 ¿Qué pasaría si trabajo con 5 personas.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 133 2. Maximizar para producto A y producto B y que el Tiempo de Máquina sean 5 horas? b+Δb 𝐵𝐵 −1 5 −3 5 � 𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 (𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏) = � 19 19 � � � = 2 × 1 −2 5 5 19 19 25 −15 10 19 � = � �19� ≥ 0 � = � 19 𝑋𝑋𝐵𝐵 15� −10 25 19 19 19 10 𝑍𝑍𝑜𝑜 = [3. ITERACIÓN BASE Z X2 Z 1 0 X1 0 0 X2 0 1 S1 5/19 5/19 S2 16/19 -3/19 Sol 235/19 45/19 Es lo único que se toma de la solución factible. BASE Z X2 X1 Z 1 0 0 X1 0 0 1 X2 0 1 0 5 −3 50� 10 19 � 𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 (𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏) = � 19 19 � � � = � −20� −2 5 20 19 19 19 S1 5/19 5/19 -2/19 S2 16/19 -3/19 5/19 -10/19 80/19 Sol Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad −10� −60� 19� ≥ 0 19� = � 80� 100� 19 19 5 19 𝑠𝑠1 = 5 19 134 3 ITERACIÓN.Aplicar Dual Simplex.5] � 3 10� 𝑋𝑋1 3 . BASE Z S1 X1 Z 1 0 0 X1 0 0 1 X2 -1 19/3 2/5 S1 0 1 0 S2 1 -3/5 1/5 -2 4 Sol 𝑍𝑍𝑜𝑜 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵−1 � 𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 16 𝑠𝑠2 = 19 −3 19 𝑋𝑋2 = 𝑠𝑠2 = 1 = 0.6 � = [0.6 −3 5 Se toma este porque no se hace cíclico BASE Z S2 X1 Z 1 0 0 X1 0 0 1 X2 16/3 -19/3 5/3 S1 5/3 -5/3 1/3 S2 0 1 0 Sol 10/3 10/3 � 𝑍𝑍𝑜𝑜 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵1 = [𝑆𝑆2 . 𝑋𝑋1 ] � 10� 𝑆𝑆2 3� = �0 + 50� � = 16.26 −19 5 1 = 1. S1 0 1 0 0 S2 S2 + . x2 X1 -2 1 0 6 + .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 135 EJEMPLO 2: Z=2X1+X2 C1 s.-ITERACIÓN BASE Z X1 S2 S3 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 -1 0 1 8 S1 2 1 0 -6 S2 0 0 1 0 S3 0 0 0 1 Sol 12 6 4 12 =6/0=∞ =4/1=4 12/8=1. S2 0 0 1 0 S3 S3 = = = ≥ S3 0 0 0 1 6 4 48 0 Sol 0 6 4 48 =6/1=6 =4/0=∞ =48/6=8 1. X2 -1 0 1 8 S1 S1 + .5 .a X1 6X1 + X2 8X2 C3 C4 ≤ ≤ ≤ 6 4 48 C5 b1 b2 b3 C2 Z=2X1+X2+0S1+0S2+0S3 Z-2X1-X2-0S1-0S2-0S3=0 x1 6x1 x1 Z 1 0 0 0 Tablón BASE Z S1 S2 S3 x2 + 8x2 . R1 1 3� � 4 −3� 4 −3 4 3 � 4 ∆𝑏𝑏1 ∆𝑏𝑏1 Para el recurso 2 (X≤4) ∆𝑏𝑏1 0 0 6 ∆𝑏𝑏1 −1� 5� 1 8� � 0 � ≥ � 2� 3� 0 0 1�8 2 0 0 -∞ -6 ∆𝑏𝑏1 −6 −6 −5 3 −5� 0 0� ≥ � 2� ≈ − � 4 ∆𝑏𝑏1 � ≥ 2 −3 −3 −3� 0 0 ∆𝑏𝑏1 2 2 4 −10 3 2 = ∆𝑏𝑏1 ≤ 2 ∆𝑏𝑏1 ≥ − ∆𝑏𝑏1 ≥ −6 10 3 ∞ R2 ∆𝑏𝑏1 ≥ −5� 2 � 3� 4 b1[-∞. (Análisis de sensibilidad) X1≤6……….8] .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 136 BASE Z X1 S2 X2 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 0 1 S1 1/2 1 3/4 -3/4 S2 0 0 1 0 B-1 S3 1/8 0 -1/8 1/8 Sol 27/2 6 5/2 3/2 B 1 0 �0 1 0 0 1 3� � 4 −3� 4 I 0 0� 1 0 0 1 −1� 1 8 � �0 0 0 1�8 1 �0 6 B-1 0 0 � 1 1� 𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏 0 8 1 0 1 0 0 0 0 −3� 1 −1� 8� � 4 1 0� = �0 1 3� 1� 0 1 0 0 8 4 0 I 0 0� 1 � 𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 ∙ 𝐵𝐵 B 6 6 0 1 0 0 5 �2� = � 0 5� 𝑏𝑏 �0 1 1� � 2 6 0 8 3� 36 0 2 𝐵𝐵 −1 ∆𝑏𝑏 ≥ −𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵 −1 � 𝑥𝑥 𝐵𝐵 0 6 3� � = � 4 � 2 48 12 Para el recurso 1. 20 𝑏𝑏 � 5 � 𝑥𝑥𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏 � 14 20 𝑥𝑥𝐵𝐵 � 15 � −15 20 0 0 73� −7� 5 4 � ≥ 0 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑚𝑚𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥 4� � 7� −53� 0 4 4 1 0 3� 𝑥𝑥𝐵𝐵 � 4 1 � −3� 0 4 0 −1� 20 8� � 5 � 1� 14 8 . 5. ∞ +� b2[4-5/2.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 137 1 3� � 4 −3� 4 ∞ 0 0 �0 ∆𝑏𝑏2 0 0 0 0 6 0 −1� 5� 1 8� �∆𝑏𝑏1 � ≥ − � 2� 1� 3� 0 0 8 2 -∞ -2 -1 0 −6 −6 0 −5 −5 0� ≥ � �2� ≈ �∆𝑏𝑏2 � ≥ 2 −3 −3� 0 2 2 = ∆𝑏𝑏1 𝜀𝜀�−5�2 .-∞] ∆𝑏𝑏2 ≥ − 5�2 0≥ 3 2 0 ≥ −6 1 2 Para el recurso 3 (6X1+8X2≤48) 1 3� � 4 −3� 4 0 �0 0 0 0 6 0 1 −1�8� � 0 � ≥ − �5�2� 3� ∆𝑏𝑏3 0 1�8 2 -∞ 12 -6 0 ∆𝑏𝑏1 0 −6 0 0 1 3 −1� ∆𝑏𝑏 −5� − 𝑏𝑏 0 8 3� ≥ � 2� ≈ − � 4 ∆𝑏𝑏1 � ≥ � 8 3 � 1 −3 −3� 0 1�8 ∆𝑏𝑏3 𝑏𝑏 ∆𝑏𝑏1 2 8 3 4 = ∆𝑏𝑏3 ≥ − 0 ≥ −6 20 ∆𝑏𝑏3 ≤ −12 ∆𝑏𝑏3 ≥ 20 −5� 2 � 1� 8 Qué pasaría si el vector b valiera 20. 14 será óptimo y factible. ITERACIÓN.X2≥0 Análisis de sensibilidad Z=2X1+5X2 𝑋𝑋1 𝑍𝑍 = [𝑋𝑋1 . 𝑆𝑆2 .6 S2=0/0=∞ S3=0. (X dual simplex xK salió ≤ a 0) TABLON Base Z X1 S2 X2 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 0 1 S1 1/2 1 3/4 -3/4 S2 0 0 1 0 S3 1/8 0 -1/8 1/8 SOL 0 20 73/4 -53/4 X1=0/0=∞ X2=0/1=0 S1=0.125=1 4. Base Z X1 S2 X2 Z 1 0 0 0 X1 0 1 0 0 X2 2/3 4/3 1 -4/3 S1 0 0 0 1 S2 0 0 1 0 S3 5/24 1/6 0 -1/6 SOL 7/3 5 53/3 Calculando la función objetivo Z.0] � 5 � = � + 0 + 0� = 14�3 3 53� 3 EJEMPLO 3: MAX s.75=-0...0.a X1-X2≤3 -2X1-X2=4 -X1+3X2≤6 X1.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 138 3. 7� 3 14 𝑍𝑍 = [2.5/0. 𝑆𝑆1 ] � 𝑆𝑆2 � 𝑆𝑆1 � 𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 .125/0.ITERACIÓN. .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 139 MAX Z=2X1+5X2+0S1-MW 1+OS2 Z-2X1-5X2-0S1+MW 1-OS2=0 X1 -2X1 -X1 Tablón BASE Z S1 W1 S2 AJUSTE Z 1 0 0 X1 -2 1 -2 1 X2 -5 -1 -1 3 + X2 X2 3X2 + S1 + S2 + W1 = ≤ ≥ 3 4 6 Método de la gran M S1 0 1 0 0 W1 M 0 1 0 S2 0 0 0 1 SOL 0 3 4 6 BASE Z S1 W1 S2 Z 1 0 0 X1 -2+2M 1 -2 1 X2 -5+M -1 -1 3 S1 0 1 0 0 W1 0 0 1 0 S2 0 0 0 1 SOL 4M 3 4 6 1.ITERACIÓN BASE Z S1 W1 X2 Z 1 0 0 X1 -11/3+2/3M 2/3 -2/3 -1/3 X2 0 0 0 1 S1 0 1 0 0 W1 0 0 1 0 S2 5/3-1/3M 1/3 1/3 1/3 SOL 10-6M 5 6 2 . 0 … … … 0).3. … . 3.5. de forma similar al utilizar la ley distributiva se obtiene: Este s istema enc uentra t odo el espacio de posibles s oluciones para l os cambios simultáneos en las componentes del vector de costos básicos. ∆𝑐𝑐 = �0. ∆𝑐𝑐𝑐𝑐 ) .1.ITERACIÓN BASE Z X1 W1 X2 Z 1 0 0 X1 0 1 0 0 X2 0 0 0 1 S1 11/2-7/2M 3/2 7/2 1/2 W1 0 0 1 0 S2 7/2-3/2M 1/2 3/2 1/2 SOL 25/2-47/2M 15/2 47/2 9/2 No tiene solución factible pues se vuelve cíclica y no se puede realizar análisis de sensibilidad en el modelo primal. Si es la modificación de un c osto básico se utilizará (CB+ΔC). Cambio en el vector C. La solución es el rango de valores que satisfacen (𝒄𝒄𝑩𝑩 𝑩𝑩−𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝑵𝑵 + ∆𝒄𝒄 𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝑵𝑵) ≥ 𝟎𝟎 ∆𝑐𝑐 = (∆𝑐𝑐1 . ∆𝑐𝑐 = (0. se tiene: (𝑪𝑪𝐵𝐵 𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝑵𝑵 − 𝒄𝒄𝑵𝑵 + ∆𝑪𝑪 𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝑵𝑵) ≥ 0 Siguiendo es tas c ondiciones par a m antener l as c ondiciones ópt imas de l a solución básica se encuentra el rango de valores para cj.. ∆𝑐𝑐𝑗𝑗 . … … 0. de t al forma que en el r englón c ero de l a t abla s implex s e s iga m anteniendo l a pr opiedad [(CB+ΔC)B-1N-CN]≥0. .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 140 2. analizando sólo el cambio de cada uno de los costos básicos a la vez.0�. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 141 EJEMPLO: 𝑍𝑍 = 5𝑋𝑋1 − 6𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 − 0𝑆𝑆1 + 0𝑆𝑆2 + 𝑂𝑂𝑊𝑊1 + 𝑂𝑂𝑊𝑊2 𝑍𝑍 − 5𝑋𝑋1 + 6𝑋𝑋2 + 7𝑋𝑋3 + 0𝑆𝑆1 − 0𝑆𝑆2 − 𝑂𝑂𝑊𝑊1 − 𝑂𝑂𝑊𝑊2 + + 6X3 X3 2X3 Sj≥0 + S1 + S2 + W1 + WK≥0 W2 2X1 6X1 2X1 Xi≥0 TABLON + + 10X2 3X2 2X2 = = = 30 12 12 BASE Z W1 S2 W2 AJUSTE BASE Z W1 S2 W2 Z 1 0 0 0 Z 1 0 0 0 X1 -5 2 6 2 X2 6 10 -3 2 X3 7 -6 1 2 S1 0 -1 0 0 W1 -M 1 0 0 S2 0 0 1 0 W2 -M 0 0 1 Sol 0 30 12 12 X1 -5+4M 2 6 2 X2 6+12M 10 -3 2 X3 7-4M -6 1 2 S1 -M -1 0 0 W1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 W2 0 0 0 1 Sol 42M 30 12 12 . 𝑆𝑆2 .0.0] 𝐵𝐵 −1 𝑋𝑋𝐵𝐵 = [𝑋𝑋2 . 𝑆𝑆2 . 𝑊𝑊1 .. −7]𝐶𝐶𝑜𝑜𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜 ∆𝐶𝐶 𝐵𝐵 𝑁𝑁 ≥ [𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝑁𝑁 − 𝐶𝐶𝑁𝑁 ] 𝑋𝑋𝑁𝑁 = [𝑋𝑋1 .ITERACIÓN BASE Z W1 S2 X3 Z 1 0 0 0 X1 -12+8M 8 5 1 X2 -1+16M 16 -4 1 X3 0 0 0 1 S1 -M -1 0 0 W1 0 1 0 0 S2 0 0 1 0 W2 -7/2+2M 3 -1/2 1/2 Sol -42+66M 66 6 6 2..0.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 142 1.ITERACIÓN BASE Z X2 S2 X3 Z 1 0 0 0 X1 23/2 1/2 7 1/2 X2 -1+16M 16 -4 1 N X3 0 0 0 1 S1 -1/16 -1/16 -1/4 1/16 W1 1/16-M 1/16 1/4 -1/16 S2 0 0 1 0 B-1 W2 -53/16-M 3/16 1/4 5/16 Sol -303/8 33/8 45/2 15/8 𝐶𝐶𝐵𝐵 = [−6. 𝑊𝑊2 ] 𝐶𝐶𝑁𝑁 = [0. 𝑋𝑋3 ] −1 −1 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚 × (𝑛𝑛 − 𝑚𝑚) 𝑁𝑁 = 3 × 4 B-1N 𝑁𝑁 = 3 × (7 − 3) ⎡1 ⎢2 1 0 𝑁𝑁 = ⎢7 0 0 ⎢1 0 1 ⎢ 2 ⎣ −1 ⎤ 16 ⎥ −1⎥ 4⎥ 1⎥ 16 ⎦ 1/16 = � 1/4 −1/16 0 3/16 1 1/4 � 0 5/16 .0. −𝟓𝟓𝟑𝟑� . 𝟎𝟎] = − �𝟖𝟖 = [− 13�8 53 1� 27 16 − �16 − �128] 𝟓𝟓𝟑𝟑 𝟏𝟏� 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟔𝟔 − �𝟏𝟏𝟔𝟔 − �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 Análisis de sensibilidad para el costo 2 ∆𝐶𝐶2 ≥ 13 1� ∆𝐶𝐶 ≥ −1� 16 2 16 ∆𝐶𝐶2 ≥ −1 1� ∆𝐶𝐶 ≥ 13� 8 2 8 𝟏𝟏 𝟏𝟏� 𝟏𝟏𝟔𝟔 ⎡ �𝟖𝟖 𝟏𝟏� [∆𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎] ⎢𝟏𝟏�𝟒𝟒 𝟒𝟒 ⎢ 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎣ 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟔𝟔 �𝟏𝟏𝟑𝟑�𝟖𝟖 ∆𝑪𝑪𝟏𝟏 .𝟑𝟑� 𝟏𝟏 𝟏𝟏� 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖⎤ 𝟏𝟏𝟔𝟔 ⎡ �𝟖𝟖 𝟏𝟏� 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎥ = [−𝟔𝟔� + 𝟎𝟎 − 𝟕𝟕� − 𝟔𝟔� + 𝟎𝟎 + 𝟕𝟕� − 𝟏𝟏𝟖𝟖� + 𝟎𝟎 + 𝟑𝟑𝟓𝟓� − 𝟔𝟔� 𝟏𝟏𝟏𝟏 [−𝟔𝟔 𝟎𝟎 − 𝟕𝟕] ⎢𝟏𝟏�𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝟒𝟒 ⎥ 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟖𝟖 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 + 𝟎𝟎 − �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ⎢ 𝟑𝟑� 𝟓𝟓� 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎣ 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖⎦ 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 1 ⎡ �16 ⎢ 1� 4 ⎢ −1� ⎣ 16 0 1 0 3� 16⎤ 1� ⎥ 4⎥ 5� 16⎦ Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad ⎡1�2 1 ⎢ 7 0 ⎢1 � 0 ⎣ 2 0 0 1 −1� 16⎤ −1� ⎥ = 4⎥ 1� 16 ⎦ 1 1� 16 ⎡ �8 1� ⎢1� 4 ⎢ 4 1� −1� ⎣ 8 16 3� 1 16 �128⎤ 1� −1� ⎥ 4 4⎥ 3� 5� 128⎦ 16 143 �− 𝟏𝟏𝟑𝟑�𝟖𝟖 𝟓𝟓𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟏� 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟔𝟔 − �𝟏𝟏𝟔𝟔 − �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� − [𝟎𝟎. −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟔𝟔 . 𝟓𝟓𝟑𝟑�𝟏𝟏𝟔𝟔 . 𝟏𝟏𝟕𝟕�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∆𝑪𝑪𝟏𝟏 � ≥ 𝟏𝟏𝟑𝟑�𝟖𝟖 . 𝟎𝟎. −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟔𝟔 ∆𝑪𝑪𝟏𝟏 .6 27 ∞ . 𝟏𝟏𝟕𝟕�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 3� ∆𝐶𝐶 ≥ 53� 16 2 16 ∆𝐶𝐶2 ≥ 27 ∆𝐶𝐶2 ≥ 17. 𝟏𝟏� . −𝟏𝟏𝟕𝟕� 𝟒𝟒 𝟒𝟒 ⎥ 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� 𝟑𝟑 𝟓𝟓� 𝟏𝟏𝟔𝟔 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖⎦ -∞ -1 0 𝑍𝑍 = 5𝑋𝑋1 − 6𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 13 17. 𝟓𝟓𝟑𝟑�𝟏𝟏𝟔𝟔 ∆𝑪𝑪𝟏𝟏 . 𝟎𝟎.6 1� 27 126 ∆𝐶𝐶2 ≥ �128 𝟑𝟑� 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖⎤ 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎥ ≥ −�−𝟏𝟏𝟑𝟑� . −6) ∪ (6. 𝟏𝟏𝟕𝟕�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 1� ∆𝐶𝐶 ≥ −1� 16 3 16 ∆𝐶𝐶3 ≥ 9 ∆𝐶𝐶3 ≥ 1 3� 27 128 ∆𝐶𝐶2 ≥ �128 𝟑𝟑� 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖⎤ 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎥ ≥ −�−𝟏𝟏𝟑𝟑� . 𝐶𝐶3 = (−∞.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad ∆𝐶𝐶2 ≥ 27 [27. ∞ +) 1 9 10 13 ∞ . −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟔𝟔 . ∞+] 144 Análisis de sensibilidad para el costo 3 ∆𝐶𝐶3 ≥ 10. 𝟏𝟏𝟕𝟕�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 � ≥ 𝟏𝟏𝟑𝟑�𝟖𝟖 . 𝟓𝟓𝟑𝟑�𝟏𝟏𝟔𝟔 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 . −𝟏𝟏𝟕𝟕� 𝟒𝟒 𝟒𝟒 ⎥ 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� 𝟑𝟑 𝟓𝟓� 𝟏𝟏𝟔𝟔 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖⎦ -∞ 0 Haciendo lo del costo 3. 1) ∪ (13. 𝟏𝟏� . ∞ +) ∆𝐶𝐶3 (−∞. −𝟓𝟓𝟑𝟑� . 𝟓𝟓𝟑𝟑�𝟏𝟏𝟔𝟔 .6 ∆𝐶𝐶3 ≥ 13 5� ∆𝐶𝐶 ≥ 53� 16 16 3 1� ∆𝐶𝐶 ≥ 13� 8 3 8 𝟏𝟏 𝟏𝟏� 𝟏𝟏𝟔𝟔 ⎡ �𝟖𝟖 𝟏𝟏� ⎢𝟏𝟏� [𝟎𝟎 𝟎𝟎 ∆𝑪𝑪𝟏𝟏 ] 𝟒𝟒 ⎢ 𝟒𝟒 𝟏𝟏� −𝟏𝟏� ⎣ 𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟔𝟔 �𝟏𝟏𝟑𝟑�𝟖𝟖 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 . −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟔𝟔 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 . restándole a es -7 para obtener el más óptimo. X6. X7 son variables de holgura. 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝜋𝜋𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 𝜋𝜋 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵−1 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝐵𝐵 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 BASE Z X5 X1 X3 Z 1 0 0 0 X1 0 1 1 0 X2 2 -2 -24 0 X3 0 0 0 1 X4 21/2 15/2 6 0 X5 0 1 0 0 X6 3/2 -1/2 2 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴 0 X7 5/4 3/4 1 1 SOL 5/4 3/4 1 1 𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵−1 𝑏𝑏 1 −1�2 �0 2 0 0 1 0 �0 1 0 0 1 �0 0 1 𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 → 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 𝐵𝐵 B-1 3� 1 4 1 � �0 1 0 I 1 ⃗ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 → 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵 0 1 1 1 1�2� �0 0 1 0 1 1�4 𝐴𝐴 = �0 1� 2 0 0 A=BA 1 0 1 �4 0� �0 1� 2 1 0 0 −1 −1� � 2 1 1� 4 1� 2 0 0 0 1 0� 0 1 0 0� 1 5� 4 𝐴𝐴 = �1� 2 0 −1 9 −12 −1�2 3� 0 0 1 −8 1 −2 �1 −24 0 0 −1 −1� � 2 1 15� 2 6 � 0 .Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 145 Completa la siguiente tabla óptima y obtenga el modelo original sabiendo X5. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 𝐶𝐶𝐵𝐵= 𝜋𝜋𝐵𝐵 = �0 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 = �0 3�4 1 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = �0 0 𝐶𝐶𝐵𝐵= �0 3�4 3� 2 1 1�4 5� � � 4 1 1�2 0 0 1� � 2 �0 2 �0 2 0 21�2� = �0 3�2 −18 1� 2 𝑍𝑍𝑗𝑗− 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝜋𝜋𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 1� 0 4 −1 3�4 1� −1� � � 1 � = �0� 2 2 1 1 0 1 5� 4 5� � �1 4 �2 0 1� 2 −8 3� 1� � � 4� = 5� 4 2 1 1 −1 −1� � 2 1 146 𝐶𝐶= �3�4 0 21�2� = �3�4 −18 𝐶𝐶 = �3�4 −20 9� � − �0 2 −6� 1� 2 2 −1 9 −12 −1�2 3� − 𝐶𝐶 0 0 1 0 9� � − 𝐶𝐶 2 21� � 2 Z=3/4X1-20X2+1/2X3-6X4 s.a 5/4X1 1/2X1 X1 , 8X2 12X2 X2 , X3 1/2X3 X3 X3 + + , 9X4 3X4 X4 ≤ ≤ ≤ ≥ 0 0 1 0 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 147 Completa la siguiente tabla óptima y obtenga el modelo original sabiendo X4, X5 son variables de holgura de la primera y segunda restricción. 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝜋𝜋𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 𝜋𝜋 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵−1 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝐵𝐵 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 BASE Z X1 X2 Z 1 0 0 X1 0 1 X2 0 -0 X3 5/3 1/2 2/3 X4 2 1/2 0 B -1 X5 1/3 0 1/2 SOL 120 25 20 0 1 -1 A=B ª 𝑋𝑋𝐵𝐵= 𝐵𝐵−1 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 → 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 𝐵𝐵 1� � 2 0 � I B-1 0 1 0 �� � 1� 0 1 3 B-1 I 1 ⃗ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 → 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵 2 0 1 0 �� 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐵𝐵 = � 0 3 0 1 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝐵𝐵 = �2 2 𝐴𝐴 = � 0 0 1 � 3 2 1 0 2 0 �� � 0 1 0 3 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 = [4,1] � 𝑍𝑍𝑗𝑗− 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝜋𝜋𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = �0 0 2 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = � 0 𝐶𝐶𝐵𝐵= [4 1] 25 � = [100 + 20] = 120 20 5� � = �2, 3 0 25 50 �� � = � � 3 20 60 1� � �2 3 0 1� � �2 3 0 1� 2� 2� 3 0 � 3 0 1 � 3 2 Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 𝐶𝐶= �4 �0 1 8�3� − �0 0 5�3� = �4 0 5�3� = [4 1 1 8�3� − 𝐶𝐶 148 1] Z=4X1+X2+X3 s.a 2X1 X1 , 3X2 X2 + + , X3 2X3 X3 ≤ ≤ ≥ 50 60 0 Y2≥0 Z=8 Y1=0 Y2=2 Y3=1 2.....a X1+5X2≤10 X1+3X2≤6 2X1+2X2≤8 2.Modelo Primal Min Z=12X1+26X2+80X3 s.. MODELO DUAL 1.Modelo Primal Min Z=2X1+X2 s.Y2≥0 3. Instrucciones: Dado el Modelo Primal obtener su Modelo Dual y resolverlo por el método apropiado.a Y1+Y2+2Y3≥2 5Y1+3Y2+2Y3≥1 Y1.Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 149 EJERCICIOS V.Max Z=4Y1+10Y2+6Y3 s. Dualidad.Max Z=25Y1+30Y2 s.a 4Y1+7Y2≥1 8Y1+5Y2≥3 6Y1+9Y2≥-2 Y1.a 2Y1+4Y2+Y3≤12 6Y1+2Y2+Y3≤26 5Y1+Y2+2Y3≤80 Y1.a X1+5X2≤10 X1+3X2≤6 2X1+2X2≤8 3.a 2X1+6X2+5X3≥4 4X1+2X2+X3≥10 X1+X2+2X3≥6 1.Y2≥0 Z=72 Y1=0 Y2=0 Y3=12 NO TIENE SOLUCIÓN .Min Z=10Y1+6Y2+8Y3 s.Modelo Primal Max Z=2X1+X2 s.. Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad 150 4.- Min 4.- Modelo Primal Max Z=10X1+15X2+20X3+25X4 s.a 8X1+6X2-X3+X4≥16 3X1 +2X3-X4=20 Z=16Y1+2Y2 s.a 8Y1+3Y2≥10 6Y1 ≥15 NO TIENE SOLUCIÓN -Y1+2Y2≥20 -Y1 Y1,Y2≥0 ≥0 5.- Modelo Primal Min Z=X1+2X2+X3 s.a X2+X3=1 3X1+X2+3X3=4 5.- Max Z=Y1+4Y2 s.a Y2≤1 Y1+Y2≤2 Y1+3Y2≤1 Z=1.333 Y1=0 Y2=0.3333 TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN. Objetivo: El al umno establecerá l os problemas de transporte y asi gnación c omo un a variable de l m odelo d e P rogramación Lineal así mismo aprenderá y aplicará la m etodología de s olución d e los mismos. CAPÍTULO IV: Capítulo IV: Transporte y Asignación. 152 4.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE. En s u de finición más s imple el M odelo de T ransporte t iene q ue v er c on l a determinación d e u n plan de c osto mínimo par a t ransportar una m ercancía o producto de u na ó v arias par tes ( plantas pr oductoras) a varios des tinos (almacenes o bodegas). El m odelo de t ransporte es b ásicamente un m odelo de P rogramación Li neal que s e pue de r esolver a t ravés del m étodo s implex, s in em bargo s u es tructura especial h ace p osible el des arrollo de u n pr ocedimiento al terno de s olución conocido como Modelo o Técnica de transporte; entre las técnicas más conocidas para resolver el modelo de transporte se presentan: A) Método de la esquina noroeste. B) Costo mínimo. C) Aproximación de Voguel. El método de transporté toma como referencias transportar una mercancía de varias partes a varios destinos y los datos más representativos que se consideran son: 1.-Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2.-Costo Mínimo. 3.-Aproximación de Voguel. El modelo de t ransporte t oma r eferencia transportar una mercancía de v arias partes a varios destinos y los datos más representativos que se consideran son: a) Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. b) El c osto de t ransporte unitario de l a mercancía d e c ada fuente a c ada destino. 2.3. 153 ESQUEMA EN EL MODELO DE TRANSPORTE I A II B III C IV Un problema de t ransporte i ncluye M f uentes.2.5.5.6………m uni dades de � 𝑎𝑎𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 =1 𝑚𝑚 𝑛𝑛 .6…….n unidades de producto los números ai y bj son enteros positivos.4. El co sto C ij de t ransportar un a uni dad d e or igen i al des tino j par a c ada i corresponde una j . E l obj etivo de desarrollar un pr ograma de t ransporte q ue cumpla c on t odas l as dem andas a par tir d el i nventario ac tual y a un c osto d e embarque mínimo se considera que el suministro y la demanda total son iguales.4. ai cuando i = 1. a c ada u na de l as c uales corresponde l a di sponibilidad d e producto h omogéneo y n des tinos a c ada un o de l os c uales r equiere bj y j=1.3.Capítulo IV: Transporte y Asignación. a � 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑏𝑏𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1.. 3. 154 Se g arantiza c reando y a un des tino ficticio c on u na de manda i gual al excedente. Demanda A B C D origen 1 2 3 4 En c ada un a d e l as c asillas de c olocan los c ostos de t ransporte del or igen al destino trabajándose con una matriz de (m) renglones (n) columnas. o un origen ficticio con un suministro igual al faltante si la demanda excede al suministro total sea X ij el núm ero des conocido de uni dades q ue s e em barcan del or igen i al des tino j entonces t odo m odelo de t ransporte t endrá c omo p atrón el s iguiente m odelo matemático.1 ALGORITMO DE TRANSPORTE. 2.2 … … 𝑛𝑛) 𝑗𝑗 =1 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑗𝑗 ≥ 0 4.2 … … 𝑚𝑚) 𝑗𝑗 =1 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 =1 𝑚𝑚 Min 𝑛𝑛 s. 1.Se inicia el algoritmo con la verificación siguiente: ..Para v isualizar m ejor l os datos e i niciar el al goritmo s e r ealiza l a s iguiente tabla.Analizar qué datos se tienen. 𝑍𝑍 = � � 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑗𝑗 � 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1..Capítulo IV: Transporte y Asignación. si la demanda total es menor que le suministro total.1. . los costos de transporte son los que se muestran en la matriz.Se i nicia el al goritmo as ignado c antidades en l as r egiones q ue c ontengan e l costo m ínimo. Los costos de la columna No.Primera asignación. Demanda origen 1 2 3 b1 500 A 6 3 9 350 B 8 5 4 650 C 6 7 6 500 D 4 4 4 700 E 3 6 5 a1 1250 900 550 2700 Se interpreta la columna A y el renglón 1 como: En l a fábrica 1 s e t ienen 1250 unidades pr oducidas p ara o frecer y s e demandan 500 unidades en el renglón A. al aum entar en 3 0. e mpezando por el m ás baj o y as í s ucesivamente hasta s atisfacer demanda y oferta. y ahor a s í podemos seguir con el algoritmo.4 valen cero.. La primera asignación o distribución de la oferta se realiza de la siguiente manera: a). � 𝑎𝑎1 = � 𝑏𝑏1 Demanda origen 1 2 3 b1 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 =1 𝑚𝑚 𝑚𝑚 155 A C1A C2A C3A B C1B C2B C3B C C1C C2C C3C D C1D C2D C3D a1 40 50 20 110 10 40 30 30 Como s e o bserva. . 4. Por ejemplo: Se tienen 3 fábricas y 5 al macenes. el s istema s e eq uilibró.Capítulo IV: Transporte y Asignación. Capítulo IV: Transporte y Asignación. ahí se designa la cantidad que satisfaga la demanda total o parcial quedando la tabla de la siguiente manera: Demanda origen 1 2 3 b1 A 6 3 9 500 350 B 8 5 4 650 C 6 7 6 500 D 4 4 4 700 E 700 a1 3 6 5 1250 900 550 2700 550 Al realizar la asignación se ha satisfecho la demanda de la región E a un costo mínimo. 156 Se busca el costo mínimo. pero la oferta del renglón 1 t odavía no s e distribuye ya que quedan 550 unidades disponibles. a hí s e asigna l a c antidad p ara s atisfacer t otal o parcialmente l a demanda quedando lo siguiente: Demanda origen 1 2 3 b1 500 A 6 3 9 500 B 8 5 4 350 C 6 7 6 650 D 4 4 4 500 E 700 a1 3 6 5 1250 900 550 2700 550 400 Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando: Demanda origen 1 2 3 b1 500 700 0 A 6 3 9 500 0 B 8 5 4 350 C 6 7 6 650 D 500 E 4 4 4 700 a1 3 6 5 1250 900 550 2700 550 50 400 500 0 700 0 . Ahora s e o bserva c ual es el s iguiente c osto m ínimo. es te s e enc uentra e n l a región ( 2 A ). Capítulo IV: Transporte y Asignación.Cálculo de la función Z para la primera asignación. en este momento la primera asignación termina.. 5. calculándose ésta de la siguiente manera: . 157 Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna la cantidad quedando: Demanda origen 1 2 3 b1 500 A 6 3 9 500 0 B 8 5 350 C 6 7 6 650 D 500 E 4 4 4 700 a1 3 6 5 1250 900 550 2700 550 50 400 200 4 Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando: Demanda origen 1 2 3 b1 500 350 0 500 0 700 0 A 6 3 9 500 0 B 8 5 350 50 C 6 7 200 D 500 E 4 4 4 700 a1 3 6 5 1250 900 550 2700 550 50 400 200 4 6 500 0 350 0 Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando: Demanda origen 1 2 3 b1 500 650 450 400 700 0 A 6 3 9 500 0 B 8 5 350 50 C 6 7 6 D 500 E 4 4 4 700 a1 3 6 5 1250 900 550 2700 550 50 400 200 400 200 4 350 0 650 400 0 500 0 700 0 Se observa en la tabla que toda la oferta ha sido distribuida para satisfacer las demandas totales. se entiende como Z el costo de distribución a diferentes centros de consumo. Se s abe q ue el D . o sea. Matamoros.. s us almacenes en Toluca. El costo promedio en pesos de enviar un automóvil de una planta productora a alguno de los centros de distribución se presentan en la siguiente tabla: Destino D. Monterrey Guadalajara Demanda Toluca 25 50 34 50 Mérida 40 55 41 20 Baja Matamoros California 50 45 25 52 15 25 36 20 Cancún 30 40 42 25 Oferta 60 40 30 𝑍𝑍 = 300 + 2000 + 2100 + 1500 + 2800 + 1400 + 1200 = 11300 a) Determinar el Modelo de Programación Lineal para este problema. Si se asignó o aumentó una unidad en el renglón 1 A se desbalancea tanto la columna c omo el r englón.F. Matamoros 20 y Cancún 25. que se analizan. Baja California 15. Cancún. haciendo esto en renglones (ij) en los cuales se haya asignado alguna cantidad. M onterrey pr oduce 50 automóviles y Guadalajara produce 30 automóviles.Una vez que se ha encontrado el valor de la función Z el costo de di stribución se verifica si en realizada este costo que se ha encontrado es el mínimo. B aja C alifornia. M érida. Este mismo análisis se realiza para cada renglón donde se incrementa o di sminuye la unidad y así se desbalancea el sistema. s olo q ue de ben estar formados por líneas rectas horizontales y verticales todas ellas. Monterrey y G uadalajara. EJEMPLO 1: La e mpresa F ord Motor C ompany des ea el aborar un pl an de t ransporte semanal para enviar automóviles de sus plantas productoras ubicadas en el D.Capítulo IV: Transporte y Asignación.F. pr oduce s emanalmente 60 uni dades. . por t al m otivo s e t iene q ue di sminuir es a uni dad de dicha columna y renglón para que el sistema no se desbalancee. Nota: L a c onfiguración d e l os c iclos ( LOPPS) es c ualquiera. Por ello se realiza un análisis de costos de oportunidad. b) Calcule una solución que usted considere viable para este modelo. Mérida 20. 𝑍𝑍 = (6 × 50) + (4 × 500) + (3 × 700) + (3 × 500) + (7 × 400) + (4 × 350) + (6 × 200) 158 6.F. Por su parte el almacén de Toluca requiere 50 autos semanalmente. Costo de envío = 25𝑋𝑋11 + 40𝑋𝑋12 … … … … … … … … … + 42𝑋𝑋35 𝑋𝑋11 + 𝑋𝑋21 + 𝑋𝑋31 ≤ 50 𝑋𝑋12 + 𝑋𝑋22 + 𝑋𝑋32 ≤ 20 𝑋𝑋13 + 𝑋𝑋23 + 𝑋𝑋33 ≤ 15 𝑋𝑋14 + 𝑋𝑋24 + 𝑋𝑋34 ≤ 20 𝑋𝑋15 + 𝑋𝑋25 + 𝑋𝑋35 ≤ 25 Oferta 𝑋𝑋11 + 𝑋𝑋12 + 𝑋𝑋13 + 𝑋𝑋14 + 𝑋𝑋15 ≤ 60 s.Min C. PROCEDIMIENTO 1. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑁𝑁𝑚𝑚ó𝑣𝑣𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑣𝑣𝑖𝑖𝑎𝑎𝑑𝑑𝑁𝑁𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑁𝑁𝑜𝑜𝑖𝑖𝑜𝑜𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑁𝑁 𝑗𝑗. Capítulo IV: Transporte y Asignación. 2.Se c onstruye una matriz de o ferta y dem anda colocando e n cada u na de l as casillas y pestaña que indique el costo.a 𝑿𝑿𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑁𝑁𝑁𝑁. 159 𝑋𝑋21 + 𝑋𝑋22 + 𝑋𝑋23 + 𝑋𝑋24 + 𝑋𝑋25 ≤ 40 𝑋𝑋31 + 𝑋𝑋32 + 𝑋𝑋33 + 𝑋𝑋34 + 𝑋𝑋35 ≤ 30 Este al goritmo es un m étodo es pecializado par a el formato d e un m odelo de transporte el cual puede resolverse mediante 3 métodos: 4....Se selecciona en penalización mayor ya sea en renglón de columna.Se r ealiza pen alizaciones entre c asilla de m enor c osto y l a c asilla de m enor costo siguiente para cada renglón y para cada columna se restan.2 MÉTODO DE VOGUEL Este pr ocedimiento es uno de l os m étodos m ás ac eptados q ue s e bas a en encontrar la diferencia de costos menores (método heurístico). . 3. .Ajustan valores de oferta y demanda y se tachan valores de asignación.Capítulo IV: Transporte y Asignación. Para ejemplificar este método se utilizara el ejemplo 1. 8.F. Monte Gauda Demanda Toluca 35 X 15 Mérida X 5 15 B.Se ubica la casilla con menor costo seleccionada en el paso anterior. X 20 X Matamoros 50 25 52 X 20 X Cancún 25 X X Oferta 60 40 30 5 2 15 25 50 34 50 9 40 55 41 45 25 36 20 11 30 40 42 20 0 25 × 35 + 34 × 15 + 55 × 5 + 41 × 15 + 25 × 15 + 25 × 20 + 30 × 25 = $ 3900 15 0 25 25 10 4. se hace la máxima asignación de dicha casilla. s e hac e l a máxima asignación posible.Se s elecciona l a casilla de l a es quina ( noroeste d e l a m atriz). . 6. 7.-Se s elecciona l a mayor pen alización s iguiente y s e ubi ca al r englón o l a columna q ue l a t enga par a u bicar a l a c asilla de m enores c ostos y hac er l a máxima asignación..C.Si en al gún del p roblema no es pos ible ut ilizar los pas os 2 -7(utilice c osto mínimo) continúe con este proceso hasta agotar oferta y demanda.3 MÉTODO ESQUINA NORESTE. Fuente Destino D... Es el método menos óp timo ya q ue ú nicamente h ace r eferencia a l a p osición de los datos de la oferta y la demanda sin hacer referencia o considerar los costos.. 160 4. Se diseña una matriz de oferta y demanda. PROCEDIMIENTO 1.En caso de empate se procede arbitrariamente. 5. Monte Gauda Demanda Toluca 50 X X Mérida 10 10 X B. 4.. 4.C. utilizando las rutas baratas.Se s elecciona d e l a m atriz l a c asilla c on m enor c osto pos ible y s e r ealiza en ella la máxima asignación posible. Fuente Destino D. .Se continúa con este proceso hasta que la oferta y la demanda quede cero. 3. 161 2. Trata de localizar una mejor solución inicial del modelo de transporte. PROCEDIMIENTO 1.Con l a s ub m atriz obt enida se r epiten l os p asos a nteriores t achando previamente las casillas que no tienen asignación.Se c onstruye una matriz de o ferta y dem anda colocando en cada una de las casillas una pestaña que indique el costo.Capítulo IV: Transporte y Asignación.-continua c on es te pr ocedimiento has ta q ue l os v alores de l a o ferta y l a demanda queden satisfechos. X 15 X Matamoros X Cancún X Oferta 60 40 0 25 40 55 25 15 5 25 36 20 0 X 25 42 40 30 0 30 25 0 50 0 20 0 25 × 50 + 40 × 10 + 55 × 20 + 25 × 15 + 25 × 15 + 36 × 5 + 42 × 25 = $ 4180 15 0 0 25 0 4. 2..Se ajustan valores de oferta y demanda tachando en cada caso las casillas que no tienen asignación... en caso de empates se procede de manera arbitraria.F. 3..Se ajustan los valores de l a oferta y la demanda y si alguno de los destinos o de las partes se ha agotado ya no se considera para el siguiente pedido..4 MÉTODO DE COSTO MINIMO. F. 162 Cancún 10 5 10 Fuente Destino D. Monte Gauda Demanda Toluca 50 X X Mérida X X 20 B. X 15 X Matamoros 50 25 52 X 20 X Oferta 60 40 0 25 40 55 41 45 25 36 20 0 30 40 42 40 25 0 30 10 50 0 20 0 25 × 50 + 41 × 20 + 25 × 15 + 25 × 20 + 30 × 20 + 40 × 5 + 42 × 20 = $ 3865 15 0 0 25 10 .Capítulo IV: Transporte y Asignación.C. de Memphis Denver Nueva York Chicago Los Ángeles Boston DESTINOS Origen Memphis Denver Nueva York Chicago Demanda 350 Nueva York Chicago 8 13 12 6 0 350 130 Los Ángeles 25 26 16 14 130 Boston 28 25 17 16 90 X 0 0 0 0 Cap. debido a l as irregularidades en l as tarifas aéreas la empresa cree que podría ser más barato enviarlos primero a Nueva York y Chicago y luego a los destinos finales. 163 EJEMPLO 2. La f abrica S. f ábrica dispositivos mecánicos en 2 f ábricas una e n Memphis y otra en Denver. La de Memphis puede fabricar 150 dispositivos por día y la de D enver puede producir 200 dispositivos por día y enviarlos por aire a l os clientes de l os Á ngeles y B oston.V.Capítulo IV: Transporte y Asignación. l os c lientes en c ada c iudad r equieren de 1 30 dispositivos por día.A de C . De Producción 150 200 350 350 1050 Memphis 0 Denver 0 Nueva York 8 15 0 6 Chicago 13 12 6 0 Los Ángeles 25 26 16 14 0 Boston 28 26 17 16 0 15 0 6 . L a em presa q uiere m inimizar el c osto t otal de env iar l os di spositivos requeridos a sus clientes. Los c ostos de env iar por v ía aér ea un di spositivo s e muestra en l a s iguiente tabla. De Producción 150/20 200/70 350 350 15 0 6 350 26 16 14 130 350 90 1050 𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (130 × 25) + (130 × 25) = $6500 b) MÉTODO ESQUINA NORESTE. Origen Memphis Denver Nueva York Chicago Demanda X X 350 X Nueva York Chicago 8 X X X 350 13 12 6 0 Los Ángeles 25 130 X X X Boston X 130 X X X 20 70 28 25 17 16 130 Cap. 164 a) MÉTODO VOGUEL.Capítulo IV: Transporte y Asignación. De Producción 15 0 6 0 130 14 130 16 90 90 350 350 130 130 𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (180 × 8) + (200 × 15) + (130 × 14) + (130 × 16) = $10. Origen Memphis Denver Nueva York Chicago Demanda Nueva York 180 200 X X Chicago 8 X X 350 350 13 12 Los Ángeles X X X Boston X X X X X X X Cap.200 . Paso 2 . e n el cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. E ncuentre. p ara es ta nuev a m atriz el c osto m ínimo e n cada c olumna. Se puede resolver eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro: Paso 1. 165 a) MÉTODO COSTO MÍNIMO. Origen Memphis Denver Nueva York Chicago Demanda X X Nueva York 8 15 0 6 Chicago X Los Ángeles 60 70 Boston X 130 X 90 X X 90 90 Cap.. Construya una nu eva matriz. q ue n o está cubiertos por l as l íneas di bujadas en el paso 2.Empiece por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de la matriz de c ostos. Regrese al paso 2. el costo mínimo d e s u r englón. S i s e requieren m líneas para cubrir todos los ceros.Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en l a matriz de costos r educidos. De Producción 150/60 13 12 6 0 25 26 16 14 28 25 17 16 X 350 X X 350 X X X X 350 350 130 130 𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (60 × 25) + (70 × 26) + (130 × 25) = $6570 4. al restar de c ada costo. . Ahora reste k de c ada elemento no c ubierto de l a matriz de c ostos reducidos y sume k a c ada elemento de l a m atriz de c ostos r educidos c ubierto por d os líneas.5 MÉTODO HUNGARO.Capítulo IV: Transporte y Asignación. C onstruya una n ueva m atriz ( la m atriz de c ostos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.Dibuje el m ínimo número de l íneas ( horizontales o verticales) que s e necesitan p ara c ubrir t odos l os c eros e n l a m atriz de c ostos r educidos. siga con el paso 3.. Paso 3. Un problema d e a signación es un pr oblema d e t ransporte b alanceado.. Capítulo IV: Transporte y Asignación. Maquina 1 2 3 4 Tarea 1 14 2 7 2 Tarea 2 5 12 8 4 Tarea 3 8 6 3 6 Tarea 4 7 5 9 10 Se agarra el mínimo de cada máquina. Maquina 1 2 3 4 Tarea 1 14 2 7 2 Tarea 2 5 12 8 4 Tarea 3 8 6 3 6 Tarea 4 7 5 9 10 5 2 3 2 . t odas l as v ariables en l a s olución ó ptima de ben s er valores enteros. as í s e c aracteriza por el conocimiento del c osto de as ignación de c ada pu nto d e o ferta a c ada pun to d e demanda. Como todas l as ofertas y de mandas para el pr oblema de asignación s on números en teros. P lantea l a mejor asignación posible mediante el método húngaro. 166 Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que todas l as o fertas y dem andas s on i guales a 1. La empresa tiene 4 maquinas y 4 t areas por completar cada máquina se debe de as ignar par a c ompletar un a t area. La matriz de c ostos d el pr oblema d e asignación se l lama: m atriz de costos. EJEMPLO 1. E l t iempo r equerido p ara pr eparar c ada máquina p ara c ompletar c ada t area s e muestra en l a s iguiente t abla. Se c uenta c on 5 e mpleados p ara l levar acabo 4 t areas. el t iempo q ue t oca a cada persona r ealizar c ada t area s e m uestra en l a s iguiente t abla. 167 Se resta a toda fila Maquina 1 2 3 4 Tarea 1 9 0 4 0 Tarea 2 0 10 5 2 Tarea 3 3 4 0 4 Tarea 4 2 3 6 8 Maquina 1 2 3 4 Tarea 1 0 0 5 0 Tarea 2 0 9 6 1 Tarea 3 4 3 0 3 Tarea 4 0 0 - EJEMPLO 2. D etermine l a asignación d e e mpleados a l as t areas q ue r educe el t iempo total r equerido par a efectuar las 4 tareas. Persona 1 2 3 4 5 22 18 26 16 21 18 20 22 - 30 27 28 25 18 22 28 14 28 18 0 20 0 0 .Capítulo IV: Transporte y Asignación. 27 …. 3 e n cantidades de 45 y 2 5 uni dades r espectivamente l as t arifas s e p resentan en la siguiente tabla: i/j 1 2 3 4 1 …. Una c orporación n ecesita t ransportar 70 uni dades de u n pr oducto 1. 2 . 3 56 27 …. 38 56 34 2 38 …. 168 1 2 3 4 5 22 18 26 16 21 18 20 22 - 30 27 28 25 18 22 28 14 28 18 0 20 0 0 0 12 0 14 15 0 0 0 24 0 14 25 6 0 23 0 20 6 16 26 1 2 3 4 5 X14= 1 Persona X22= 3 Personas X31= 3 Personas X43= 4 Personas X52= 5 Personas 0 14 2 12 17 0 0 0 0 0 12 27 8 0 25 0 22 8 14 28 EJEMPLO 3. 19 …. 19 4 34 …. .Capítulo IV: Transporte y Asignación. se permiten los envíos empleando intermediarios. ningún e mbarque requiere del vuelo directo. Origen 1 2 3 4 Demanda X 70 X 45 2 38 0 27 70 X X 3 56 70 4 34 0 19 X Oferta 70 70 70 25 280 130 27 0 19 X 0 25 0 X 115 95 130 X14= 70 X21= 70 X32= 70 X41= 45 X43= 25 𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (25 × 19) + (70 × 34) = $2855 .Capítulo IV: Transporte y Asignación. 169 Determine u n pr ograma de embarque que as igne el n úmero r equerido de artículos a c ada d estino a un c osto mínimo de t ransporte. Las unidades producidas en los turnos normales no se encuentran disponibles e n embarques dur ante l a es tación d e producción g eneralmente s e venden a la siguiente estación. 170 EJEMPLO 4. Aquellas unidades que no se venden se agregan al inventario que se acumulan a un c osto de $0. . La empresa tiene un inventario inicial de 200 unidades el 1 de enero pero como se pl anea d escontinuar el pr oducto a finales de añ o s e desea q ue s e t enga un inventario de 0. $9. En un a c ompañía i ndustrial s e deb e de pl anear par a c ada una d e l as estaciones del pr óximo año l as c apacidades de pr oducción d e l a c ompañía as í como s us de mandas esperadas t odo e n un idades. s e m uestran en l a s iguiente tabla. Determine u n pr ograma de producción q ue c ubra el total de demandas a un costo mínimo.00 en primavera.70 por unidad por unidad por estación. el tiempo extra varía según la estación del año siendo de $8.00 en invierno. Primavera Demanda Capacidad Normal Capacidad Tiempo 250 200 100 Verano 100 300 50 Otoño 400 350 100 Invierno 500 150 Los costos de producción normal para la compañía son de $7.Capítulo IV: Transporte y Asignación. En cambio las unidades producidas e n t iempo ex tra deb en d e e mbarcarse en l a misma estación qu e s e produce.00 en verano y $10.00 por unidad. Capítulo IV: Transporte y Asignación.4 X X Ficticia 0 0 X Oferta 200 300 250 150 350 100 200 100 0 0 50 X 0 150 7 X 7.7 7 100 X 0 X X X 0 250 0 1.1 0 X 0 X X 0 X X 9 X 0 50 0 X 50 0 0 X X 0 X 0 50 0 50 100 50 0 X X 0 X 0 X 10 150 0 150 250 50 100 400 250 𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (150 × 7) + (100 × 7) + (200 × 2.7 Invierno 8. 171 Orígenes Capacidad Normal en Primavera Capacidad Normal en Verano Capacidad Normal en Otoño Inventario Inicial Capacidad en Tiempo Extra Primavera Capacidad en Tiempo Extra Verano Capacidad en Tiempo Extra Otoño Capacidad en Tiempo Extra Invierno Primavera 0 200 X Verano 7 X Otoño 7.70 0 X 200 2.4 0 X 100 0 0 X 0 8 X 0.1) = $2170 500 400 200 100 50 200 150 1450 . 172 EJERCICIOS VI. Una compañía suministra bienes a tres clientes y cada uno requiere 30 unidades. Debido a que la medicina es perecedera solo puede utilizarse durante el mes de compra. De Almacén 1 Almacén 2 Cliente 1 $15 $10 Cliente 2 $35 $50 Cliente 3 $25 $40 Solución Cliente1 Almacen 1 Almacén 2 Escacez Demanda 15 10 90 Cliente 2 35 50 80 Cliente 3 25 40 110 suministro 40 30 20 30 30 30 Problema 2 Un hos pital necesita comprar 3 g alones de m edicina p erecedera q ue utilizara durante el mes actual y cuatro galones para uso durante el siguiente mes. por consiguiente durante los siguientes dos meses.Capítulo IV: Transporte y Asignación. con el cliente 1 s e incurre en un costo de penalización de $90. Los costos de enviar una u nidad desde el almacén a los clientes se muestra en la siguiente tabla. Dos empresas Daisy y Louroach venden las medicinas. . Hay una penalización por cada unidad no suministrada al cliente. Modelos de Transporte y Asignación Instrucciones: Dado el Modelo resolverlo por el método apropiado. Formule un modelo de transporte equilibrado p ara minimizar l a s uma de es casez y c osto d e envió. Problema 1. La compañía tiene dos almacenes el almacén 1 tiene 40 unidades disponibles y el almacén dos 30 u nidades disponibles. la medicina es escaza. F ormule un m odelo d e t ransporte e quilibrado par a minimizar el costo de comprar medicina innecesaria. el hospital está limitado a comprar a los sumo 5 galones de cada empresa. Las compañías cargan los precios como se v e en l a t abla s iguiente. con el cliente 2 d e $80 y con el cliente 3 $110. 000 galones de la es tación 3.000 galones de la estación 2 y 350. s on 100. 173 De Daisy Loroach Solución Daysy Loroach Demanda 3 Precio del mes actual por galón ($) $800 $710 Precio del mes siguiente por galón($) $720 $750 Mes 1 800 710 Mes 2 720 750 Ficticio 0 0 suministro 5 5 4 3 Una g asolinera p uede c omprar s u c ombustible para au tos a c ualquiera de l os tres proveedores.000 de la estación 1. 180.Capítulo IV: Transporte y Asignación. Las necesidades de la gasolinera para el siguiente mes en cada una de s us es taciones a l os q ue l es p uede dar s ervicio es c omo s igue. C ada pr oveedor pu ede s uministrar a l as es taciones de l as gasolineras a los precios de centavos por galán como se ve en la siguiente tabla De Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3 Estación 1 Gasolina 92 91 87 Estación 2 Gasolina 89 91 90 Estación 3 de gasolina 90 95 92 . 000 3 120. E stas c apacidades s on d e 3 20.000 g al.000 100.000 galones par a el pr oveedor 1.00 150. 000 galones p ara el proveedor 3.000 El pr oveedor 1 ent regara 320. el pr oveedor 3 ent regara 100.000 gal respectivamente a las estaciones 1.00 gal y 30.2 y 3 .000 180. el pr oveedor 2 ent regara 120. D etermine u na p olítica de c ompra q ue c ubra l os requerimientos de la estación de gasolina a un costo mínimo.Capítulo IV: Transporte y Asignación.000 350.000 Demanda 100.000 90 2 320. Solución Estación1 Estación2 Estación 3 Ficticia suministro 1 92 89 320.000 60. 2 70. 174 Problema 3 Cada proveedor t iene l a c apacidad e n c uanto al nú mero t otal d e g alones q ue puede pr oporcionar d urante un m es d ado.000 270.000 g alones par a el pr oveedor 2 y 190.00 g al al a eropuerto 2 y conserva 15 0.000 91 91 95 150. 000 g al al aer opuerto 3.000 87 90 92 190. 000 4.Capítulo IV: Transporte y Asignación. De Compañía 1 Compañía 2 Compañía 3 Compañía 4 Ruta 1 4. l a c ompañía 3 recorre la ruta 3 y la compañía 4 recorre la ruta 4. . l a c ompañía 2 r ecorre l a ruta 2.000 0 3000 0 Ruta 2 5.000 Ruta 4 0 4.000 0 5. Solución La c ompañía 1 r ecorre l a r uta 1.000 4.000 Suponga q ue a c ada l icitante s e l e pue de as ignar una ruta.000 0 0 Ruta 3 0 0 2. utilice e l método húngaro para minimizar el costo de recorrer las cuatro rutas de autobuses. 175 Problema 4 El consejo de Chicago de la Educación está aceptando ofertas en relación con las cuatro rutas del autobús escolar d e l a c iudad. C uatro compañías hicieron la s ofertas como se muestra en la siguiente tabla. APENDICE A. . −𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 = 0 3𝑋𝑋1 + 2𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋3 = 0 −3𝑋𝑋1 + 4𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 + 𝑋𝑋4 = −2 5𝑋𝑋1 − 3𝑋𝑋2 + 10𝑋𝑋3 − 𝑋𝑋4 = −1 2𝑋𝑋1 + 5𝑋𝑋3 − 6𝑋𝑋4 = 0 Operaciones que no alteran la soluciones de un sistema de ecuaciones. 2.no homogénea -Por sus soluciones -Tiene alguna solución -Consistente o incompatible -No tiene solución Todo sistema de ecuaciones lineales homogénea es constante. -Por sus términos independientes o constantes es homogénea Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones -Cuando algún termino (constante) es diferente a cero.APENDICE A 177 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Un conjunto de ecuaciones.Sumar a una ecuación un múltiplo de otra ecuación. todos tienen la misma variable y pueden tener un número finito de ecuaciones.. tiene por lo menos la solución trivial y se puede verificar si es la única solución o hay varias.JORDAN 1.Multiplicar una ecuación por un número diferente de cero.. 3.. METODO DE GAUSS . .Intercambio de dos ecuaciones. 2𝑋𝑋1 4𝑋𝑋1 2𝑋𝑋1 +5𝑋𝑋2 +3𝑋𝑋3 +3𝑋𝑋2 −8𝑋𝑋3 = 8 −9𝑋𝑋3 = 9 −5𝑋𝑋3 = 7 𝑋𝑋1 +8𝑋𝑋2 −7𝑋𝑋3 = 12 .APENDICE A 178 2X1 3X1 9X1 X1 2X1 9X1 X1 0X1 + 7X2 + 5X2 + 4X2 2X2 + + + + + + + 3X3 2X3 X3 X3 3X3 X3 X3 5X3 0X3 + + + + + + + + X4 2X4 7X4 X4 X4 7X4 X4 X4 0X4 - = = = = = = = = = 6 4 2 -2 6 2 -2 10 0 + 0 3X1 2X1 9X1 X1 - + 5X2 + 7X2 + 4X2 2X2 11X2 22X2 + + + + + 2X3 3X3 X3 X3 5X3 10X3 + + + + - 2X4 X4 7X4 X4 X4 2X4 = = = = = = 4 6 2 -2 10 20 + 7X2 + 4X2 2X2 11X2 + 0X2 X1 X1 0X1 - 2X2 - X3 + X4 = -2 X2 + 0X2 + 5/11X3 + 0X3 . sea el número de variables. EJEMPLO 2.1/11X4 + 0X4 = 10/11 = 0 1/11X3 5/11X3 0X3 9/4X4 1/11X4 0X4 = = = -2/11 10 0 0X1 + X2 0X2 + + Despejando X1 de la ecuación 1. Cuando se tiene el mismo número de variables y ecuaciones. 𝑋𝑋1 = −2�11 + 1�11 𝑋𝑋3 − 9�11 𝑋𝑋4 Cuando se tienen mayor numero de variables que ecuaciones se tienen un sin número de soluciones. se puede tener una solución única o en su efecto el mayor número de ecuaciones. APENDICE A 179 2 4 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 X1=3 X2=2 X3=1 8 1 -13 -29 0 1 0 0 5 3 3 8 8 29 13 -11 -8 -9 -5 -7 -7 19 9 6 :8 :9 :7 :12 :12 :-39 :-17 :-16 :12 :-16/11 :-17 :39 :4/11 :16/11 :1 :35/11 1 4 2 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 8 3 3 5 8 -11 13 29 -7 -9 -5 -8 -7 6 9 19 :12 :9 :7 :8 :12 :-16 :-17 :-39 :4/11 :16/11 :21/11 :35/11 :3 :2 :1 :0 -7 -6/11 9 19 -29/11 -6/11 1 35/11 -29/11 -6/11 21/11 35/11 0 1 0 0 0 0 1 0 EJEMPLO 3. 2X1 4X1 2X1 2 4 2 -3 -6 -3 5 2 -11 3X2 6X2 3X2 7 3 -15 + + :1 :2 :1 5X3 2X3 11X3 + + 2 0 0 7X4 3X4 15X4 3 0 0 = = = 5 -8 -16 1 2 1 7 -11 -22 :1 :0 :0 . 𝑆𝑆.APENDICE A 180 2 0 0 2 0 0 2 0 0 -3 0 0 -3 0 0 -3 0 0 5 -8 0 5 -8 0 0 1 0 7 -11 0 7 -11 0 1/8 11/8 0 :1 :0 :0 :1 :0 :0 :1 :0 :0 𝑋𝑋1 = 2 0 0 2 0 0 2 0 0 -3 0 0 -3 0 0 -3/2 0 0 5 0 0 5 0 0 0 1 0 7 11/8 0 7 11/8 0 1/16 11/8 0 :1 :0 :0 :1 :0 :0 :1/2 :0 :0 𝑋𝑋3 = 1 3 1 + 𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋4 2 2 16 𝑋𝑋2 = 𝑆𝑆 𝑋𝑋4 = 𝑡𝑡 −11 𝑋𝑋 8 4 Donde X2 Y X4 E.R 𝑋𝑋1 = 1 3 1 11 � + 𝑆𝑆 − 𝑡𝑡. 𝑡𝑡� 2 2 16 8 𝑋𝑋3 = 1 3 1 + 𝑆𝑆 − 𝑡𝑡 2 2 16 −11 𝑡𝑡 8 . − 𝑡𝑡. 𝑡𝑡. 9X1 6X1 3X1 9 6 3 3 0 0 3 0 0 -3 -2 -1 -1 0 0 -1 0 0 5 3 3 3 -3 -4 0 1 0 3X2 2X2 X2 6 1 14 14 -27 -36 13 9 0 + + + :4 :5 :-8 :8 :21 :28 :13 :-7 :0 𝑋𝑋1 = 5X3 3X3 3X3 + + + 3 6 9 3 0 0 1 0 0 6X4 X4 14X4 -1 -2 -3 -1 0 0 -1/3 0 0 = = = 3 3 5 3 1 -4 0 1 0 4 5 -8 14 1 6 14 9 -36 -13/3 9 0 :-8 :5 :4 :8 :-7 :28 :13/3 :-7 :0 𝑋𝑋3 = −7 − 9𝑋𝑋4 𝑋𝑋4 = 𝑅𝑅 𝑋𝑋2 = 𝑡𝑡 13 1 13 + 𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋4 3 3 3 Donde X2 Y X4 E. −7 − 9𝑅𝑅.R 13 1 13 � + 𝑡𝑡 + 𝑅𝑅. 𝑅𝑅� 3 3 3 𝑋𝑋1 = 𝑋𝑋3 = −7 − 9𝑅𝑅 13 1 13 + 𝑡𝑡 + 𝑅𝑅 3 3 3 .APENDICE A 181 EJEMPLO 3. APENDICE A 𝑎𝑎11 �𝑎𝑎 21 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 ⎛ ⎜ ⎝ 𝑎𝑎13 1 �~� 𝑎𝑎23 𝑎𝑎21 1 0 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 1 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 𝑏𝑏1 𝑏𝑏1 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) − 𝑎𝑎12 (𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ) + = 𝑎𝑎11 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2 𝑎𝑎11 (𝑏𝑏1 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2 ) = 𝑎𝑎11 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) 𝑎𝑎11 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) 𝑎𝑎11 ∆= �𝑎𝑎 21 𝑏𝑏1 1 ⎞ ⎛ 𝑎𝑎11 ~ 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ⎟ ⎜ 0 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ⎠ ⎝ 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎21 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎22 𝑋𝑋2 = 𝑏𝑏2 𝑎𝑎11 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎12 𝑋𝑋2 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 ≠ 0 182 𝑎𝑎12 𝑏𝑏1 1 ⎛ 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 � ~ ⎜ 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2 0 𝑎𝑎11 ⎝ 0 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑏𝑏1 ⎞ 𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ⎟ 1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ⎠ 𝑏𝑏1 ⎞ 𝑎𝑎11 ~ 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ⎟ 𝑎𝑎11 ⎠ 𝑋𝑋2 = 𝑏𝑏 𝑎𝑎12 � � 1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2 ∆1 𝑏𝑏2 𝑎𝑎22 𝑋𝑋1 = = 𝑎𝑎 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 � 11 𝑎𝑎12 � ∆ 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 � = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑎𝑎 𝑏𝑏1 � 11 � ∆2 𝑎𝑎22 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎12 = ∆ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟 11 �𝑎𝑎 𝑎𝑎22 � 21 . 𝑎𝑎21 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎22 𝑋𝑋2 +.. . +𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑗𝑗 = ∆𝑗𝑗 𝑗𝑗 = 1 … … … … … . +𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1 𝑎𝑎12 𝑎𝑎22 𝑎𝑎𝑛𝑛2 𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑎𝑎2𝑛𝑛 � 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 . 2X1-3X2=4 7X1+6X2=-10 2 −3 ∆= � � = 12 − (−21) = 33 7 6 ∆1 −6 −2 = = 33 11 ∆ 2 4 ∆2 = � � = −20 − 28 = −48 7 −10 𝑋𝑋2 = 𝑋𝑋1 = ∆2 −48 −16 = = ∆ 33 11 4 ∆1 = � −10 −3 � = 24 − 30 = −6 6 Sistema cuadrado tiene el mismo número de ecuaciones que variables.. +𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2 𝑎𝑎11 ∆= �𝑎𝑎21 𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛2 𝑋𝑋2 +..APENDICE A 183 EJEMPLO 1. 𝑛𝑛 ∆ � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗 � 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 =1 𝑎𝑎11 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎12 𝑋𝑋2 +. 2 �5 1 1 3 3 2 5 � + 1(−1)1+2 � 3 2� = 2(−1)1+1 � 4 3 1 4 3 2 𝑀𝑀34 = �3 4 EJEMPLO 3. 4 �3 1 −3 5 −3 5 4 � + 2(−1)2+2 � −2 8 � = 3(−1)2+1 � −7 −5 1 −7 −5 5 �0 7 = 2(9 − 8) − (15 − 2) + 3(20 − 3) = 2 − 13 + 57 = 40 2 5 3 � + 3(−1)−1+3 � � 3 1 −1 4 −3 5 � + 8(−1)2+3 � � 1 −7 −5 EJEMPLO 4.𝑀𝑀11 2 −3 � 5 4 APENDICE A 𝑀𝑀41 2 −5 2 𝑀𝑀23 = �5 −9 7� 4 −6 2 −7 −1 4 = �−9 2 7� −6 1 2 −5 1 2 = � 7 −1 4� −9 2 7 −5 1 7 −1� −6 1 −5 7 −9 −6 1 −1 2 1 2 4� 7 2 184 EJEMPLO 2. = −3(50) − (25) − 8(−25) = −150 + 50 + 200 = 100 6 3 5 3 � = 25 − 21 = 4 1 0� = � 7 5 4 5 4 9 � − 1� 16 81 EJEMPLO 5. = (405 − 225) − (324 − 144) + (100 − 80) = 180 − 180 + 20 = 20 1 �4 16 1 5 25 1 5 9�=� 25 81 9 4 5 �+� � 81 16 25 . Si se multiplica un renglón o una columna por un número real el valor del determinante queda multiplicado por ese número. 2 4) � 4 EJERCICIO -1 0 0 0 2 4 0 0 3 3 6 0 4 1 -2 3 5 1 4 -7 1 −3 5) � � = −4 − (−18) = 14 6 −4 7 2 -5 6 -1 0 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 3 3 6 0 0 0 −6 � = 4 − (24) = 28 𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎 2 4 2 � � = −12 − 2 = 14 1 −3 4 1 -2 3 0 0 5 1 4 -7 1 0 7 2 -5 6 5 -5 El determinante tendrá el valor de la diagonal que esta de color. 4.Si intercambio dos columnas o renglones. 3.APENDICE A 185 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. = (−1)(4)(6)(3)(1)(−5) = −77 ..Si un renglón o columna es múltiplo de otro renglón o columna entonces el determinante vale cero..Si a un renglón o columna se le suma un múltiplo de otro renglón o columna. el valor determinante es cero. 2..Si un renglón o columna de un determinante consta únicamente de ceros.. el valor del determinante no cambia. el valor del determinante es cero. Ejemplos de las propiedades: 2 2) � 4 −5 � = −20 − (−20) = 0 −10 −3 � = 2 − (−12) = 14 2 1 3) � 4 Multiplicando el primer renglón por 2. 5.. 1. 1) .APENDICE A 186 SISTEMA CUADRADO 2X1 3X1 2 ∆= �3 3 3X1 + X2 4X2 2X2 + X3 2X3 4X3 = = = 4 11 11 −1 2 −1 −1 2 −1 (−)(−1) � 0 −1 −6� = (−)(−) � 0 −1 6 � = (−)(−)(−1)(−1)60 = 60 0 11 −6 0 0 60 −4 −1 −1 −1 (−) � 4 ∆1 = � 11 −4 −2� = −11 −2 4 −2 2 4 ∆2 = �3 11 3 11 4 −1 −1 4 (−) � 0 27 11 −2� = 11 4 0 3 −1 −6� = 180 6 −1 −1 −1 2 4 −2� = (−1) � 4 3 −2 4 −2 3 −1 −1 2 −1 −2� = (−1) � 0 11 −6� 4 0 −1 6 2 −1 ∆3 = �3 4 3 −2 −1 −1 4 2 −1 −1 4 (−1) �−2 11 3� = (−) � 0 −2� = 4 11� = 60 4 4 11 3 0 −2 11 4 −1 2 4 −1 2 4 (−1) � 4 3 11� = (−) � 0 11 27� = 60 11� = 11 −2 3 11 0 −1 3 𝑋𝑋1 = 𝑋𝑋2 = 𝑋𝑋3 = ∆1 180 = =3 ∆ 60 ∆2 60 = =1 ∆ 60 ∆3 60 = =1 ∆ 60 SOLUCIÓN UNICA (3. -2) 𝑋𝑋2 = 𝑋𝑋1 = 1 −1 −3 2 � = −12 0 4 −1 2 −2 −2� = 12 0 −6 ∆3 −12 = = −2 ∆ 6 . X1 2X1 4X1 + + X2 X2 X2 + + + 2X3 2X3 4X3 = = = -1 -4 -2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ∆= �2 −1 2� = �0 −3 −2� = (−1) �0 −3 −2� = 6 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎 4 1 4 0 −3 −4 0 0 −2 −1 1 2 −1 1 2 −1 ∆1 = �−4 −1 2� = � 0 −5 −6� = (−) � 0 −2 1 4 0 −1 0 0 1 −1 2 1 ∆2 = �2 −4 2� = �0 2 −2 4 0 −1 1 −4� = �0 −2 0 1 2 1 −2 −2� = �0 2 −4 0 1 −1 1 −3 −2� = �0 −3 2 0 ∆2 12 = =2 ∆ 6 ∆1 6 = =1 6 ∆ 2 1 −6 −5� = 6 0 −1 1 1 ∆3 = �2 −1 4 1 𝑋𝑋3 = SOLUCIÓN UNICA (1. 2.APENDICE A 187 EJEMPLO 1. APENDICE A 188 .