CUADERNILLO DE EJERCICIOS DIGITALESTÁTICA INGENIERIA CIVIL UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN 1) Con una regla trazar gráficamente los componentes vertical y horizontal de los dos vectores que vez. Mide los componentes compara lo que determinaste con la respuesta debajo. Y 3 cm Y 6 cm V V 4 cm 4 cm X X 𝐹 = 40 kg Componente horizontal: 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝛼 50° 𝐹𝑥 = 40 cos 50° 𝐹𝑥 = 25.2) Encontrar gráficamente las componentes horizontal y vertical de una fuerza de 40𝑘𝑔.64 𝑘𝑔 Comprobación: 𝐹𝑅 = √(𝐹𝑥 )2 + (𝐹𝑦 )2 𝐹𝑅 = √(25.7)2 + (30.99 𝑘𝑔 ≈ 40 𝑘𝑔 .64)2 𝐹𝑅 = 39.7 𝑘𝑔 Componente vertical: 𝐹𝑦 = 𝐹 sen 𝛼 𝐹𝑦 = 40 𝑠𝑒𝑛 50° 𝐹𝑦 = 30. cuya dirección forma un ángulo de 50° por encima de la horizontal hacia la derecha. 32)2 + (10)2 𝐹𝑅 = 19. 3) Una caja es empujada sobre el suelo por una fuerza de 20 𝑘𝑔 que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical de la fuerza por el método gráfico.99 𝑘𝑔 ≈ 20 𝑘𝑔 .32 𝑘𝑔 Componente vertical: 𝐹𝑦 = 𝐹 sen 𝛼 𝐹𝑦 = 20 𝑠𝑒𝑛 30° 𝐹𝑦 = 10 𝑘𝑔 Comprobación: 𝐹𝑅 = √(𝐹𝑥 )2 + (𝐹𝑦 )2 𝐹𝑅 = √(17. Componente horizontal: 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝛼 𝐹 = 20 𝑘𝑔 𝐹𝑥 = 20 cos 30° 30° 𝐹𝑥 = 17. Comprobar los resultados. 4) Un bloque es elevado por un plano inclinado 20°. Y X 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝛼 F 𝐹𝑥 𝐹𝑦 30° 𝐹= 𝐹𝑥 cos 𝑥 8 𝐹= cos 30° 20° 𝐹 = 9. Hallar la magnitud y dirección de una fuerza que debe añadirse para hacer que la fuerza resultante sea nula. Calcular las componentes de 𝑥 e 𝑦 de cada una de las 3 fuerzas. Utilizar el método de descomposición rectangular para encontrar la resultante de la misma.20 𝑘𝑔 𝐹𝑦 = 100 𝑘𝑔 30° 53° 𝐹2 𝐹3 = 155 𝑘𝑔 𝐹𝑦 = 300 𝑠𝑒𝑛 45° 𝐹𝑥 = 300 cos 45 ° 𝐹𝑦 = 212.23 𝑘𝑔 5) Tres fuerzas actúan sobre un cuerpo situado en el origen.13 𝑘𝑔 . Indicar la cuarta fuerza mediante un diagrama.13 𝑘𝑔 𝐹𝑥 = −212. ¿Qué fuerza es necesaria para que la componente 𝐹𝑥 paralela al plano sea de 8 𝑘𝑔? Cuanto valdrá entonces la componente 𝐹𝑥 . 𝐹1 𝐹2 = 300 𝑘𝑔 𝐹𝑥 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝐹𝑦 = 𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐹1 = 200 𝑘𝑔 𝐹𝑥 = 200 𝑐𝑜𝑠 30° 𝐹𝑦 = 200 𝑠𝑒𝑛 30° 45° 𝐹𝑥 = 173. mediante una fuerza que forma un angulo de 30° con el plano. 93° -X −132.11 𝑘𝑔 Diagrama de la fuerza resultante: Y 188.28 𝑘𝑔 ∑ 𝐹𝑥= −132.78 𝑘𝑔 𝐹𝑥 = −93.21 𝑘𝑔 ∑ 𝐹𝑦= 188. 𝐹3 𝐹𝑥 = 155 cos 53° 𝐹𝑦 = 155 𝑠𝑒𝑛 53° 𝐹𝑦 = −123.35 𝑘𝑔 𝐹𝑅 2 2 𝐹𝑅 = √(∑ 𝐹𝑋 ) + (∑ 𝐹𝑦 ) = √(−132.21 188.35)2 = 230.21)2 + (188.35 𝛼 = 54.21 .35 𝛼 = tan−1 132. Ambos hombres empujan con las fuerzas 𝐹1 e 𝐹2 . Encontrar la intensidad y dirección de la fuerza mínima que debe ejercer el muchacho.28 𝑘𝑔 . 6) Dos hombres y un muchacho desean empujar un fardo en la dirección marcada con 𝑥.6 𝑘𝑔 ∑ 𝐹𝑥= 119.60 𝑘𝑔 𝐹𝑥 = 50 𝑘𝑔 𝐹2 𝐹𝑦 = 80 sen 30 ° 𝐹𝑥 = 80 cos 30 ° 𝐹𝑦 = −40 𝑘𝑔 𝐹𝑥 = 69.28 𝑘𝑔 ∑ 𝐹𝑦= 46. 𝐹1 = 100 𝑘𝑔 60° 30° 𝐹2 = 80 𝑘𝑔 𝐹1 𝐹𝑦 = 𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐹𝑥 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝐹𝑦 = 100 𝑐𝑜𝑠 60° 𝐹𝑥 = 100 𝑐𝑜𝑠 60° 𝐹𝑦 = 86. cuyos valores y sentidos están en la figura. 928 𝐹𝑥 = 4 ∑ 𝐹𝑥 = 4 + 3 = 7 ∑ 𝐹𝑦 = 6.928 − 4 = 2.928)2 = 7.7) Dos fuerzas F1 y F2 actúan en un punto. El valor de F1= 8 kg y su dirección forman un ángulo de 60° por encima del eje x en el primer cuadrante.928 𝐹𝑅 = √(7)2 + (2. F1= 8 kg 𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝐹𝑦 = 𝐹 sin 𝛼 𝐹𝑥 = 5 cos 53° 𝐹𝑦 = −5 sin 53° 𝐹𝑥 = 3 𝐹𝑦 = −4 60˚ 53˚ 𝐹𝑦 = 8 sin 60° 𝐹𝑥 = 8 cos 60 ° F2= 5 kg 𝐹𝑦 = 6. El valor de F2= 5 kg y su dirección forma un ángulo de 53° por debajo del eje x en el cuarto cuadrante. Cuál es el valor de la resultante. Cuáles son los componentes horizontales y verticales de la fuerza resultante.58 𝐹1 − 𝐹2 = 8 − 5 = 3 𝑘𝑔 . Cuanto es la magnitud del vector diferencia F1-F2. 227 𝑘𝑔 −0. Encontrar el valor y la dirección de F1 de F2.122° 0. 𝐹2 = √(𝐹𝑅 )2 + (𝐹1 )2 𝐹2 = √(10)2 + (10)2 𝐹𝑅 = 10 𝑘𝑔 𝐹2 = √200 𝐹2 = 14.137 𝑘𝑔 2 2 𝐹𝑅 = √(∑ 𝐹𝑋 ) + (∑ 𝐹𝑦 ) = √(0. 𝐹1 𝐹2 = 100 𝑘𝑔 𝐹𝑦 = 𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐹𝑥 = 𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝐹𝑥 = 80 𝑐𝑜𝑠 90° 𝐹𝑦 = 80 𝑠𝑒𝑛 90° 𝐹𝑥 = 0 𝑘𝑔 𝐹𝑦 = −80 𝑘𝑔 53° 𝐹3 = 60 𝑘𝑔 𝐹2 𝐹1 = 80 𝑘𝑔 𝐹𝑦 = 100 𝑠𝑒𝑛 53° 𝐹𝑥 = 100 cos 53 ° 𝐹𝑦 = 79.181 .137 𝛼 = tan−1 = 37. 60 kg horizontalmente hacia la izquierda. 100 kg y 53° por encima de la horizontal hacia la derecha. verticalmente hacia abajo.181 𝑘𝑔 𝐹𝑦 = 0 𝑘𝑔 𝐹𝑥 = 60 𝑘𝑔 ∑ 𝐹𝑦= −0. y es perpendicular a ella. 8) Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre un cuerpo de tal modo que la resultante tiene un valor igual a F1.137)2 = 0.863 𝑘𝑔 𝐹𝑥 = 60. Sea F1= R = 10 kg.181 𝑘𝑔 𝐹3 𝐹𝑥 = 60sen 90° 𝐹𝑦 = 60 cos 90 ° ∑ 𝐹𝑥= 0.181)2 + (−0.14 𝑘𝑔 𝐹1 = 10 𝑘𝑔 Nor-este 45° 9) Hallar por el método de descomposición rectangular la resultante del siguiente conjunto de fuerzas: 80 kg. 28 𝑁 . La cuerda BC permanece horizontal debido al rodillo en C.5 m.5 m de largo puede soportar una fuerza máxima de 3500 N.5 ∑ 𝐹𝑥 = 0.75 m. Considere y 0. 2m 3500 𝑁 A A Y 30° B B C C 200 𝑘𝑔=1962 N 0. y AB tiene una longitud de 1. UNIDAD 2. EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA. Determine la fuerza en cada cuerda para mantener el equilibrio de la caja de 200 kg. Si la cuerda AB de 1. 𝑇𝐵𝐴 sin 30° − 1962 = 0 1962 𝑇𝐵𝐴 = sin 30° 𝑇𝐵𝐴 = 3924 𝑁 𝑇𝐵𝐶 = 𝑇𝐵𝐴 cos 30 𝑇𝐵𝐶 = 3924(cos 30) 𝑇𝐵𝐶 = 3398. determine la fuerza en la cuerda BC y la distancia y de modo que se pueda sostener la caja de 200 kg.75 𝜃 = sin−1 = 30° 1. 1. 𝑇𝐵𝐴 cos 30° − 𝑇𝐵𝐶 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0. 5) 𝑐. 𝑜 = 0.5 𝑐. 𝑜 = sin 34.10° ℎ 1.21 𝑁 𝑐.∑ 𝐹𝑥 = 3500 cos 𝜃 − 𝑇𝐵𝐶 = 0 ∑ 𝐹𝑌 = 3500 sin 𝜃 − 1962 = 0 1962 𝜃 = sin−1 3500 𝜃 = 34. 𝑜 𝑐.10(1.84 𝑚 . 𝑜 𝑦= = = sin 34.10 𝑇𝐵𝐶 = 2891.10 − 𝑇𝐵𝐶 = 0 𝑇𝐵𝐶 = 3500 cos 34.10 ∑ 𝐹𝑥 = 3500 cos 34. 2.000 50.51(0.68) 𝑇𝐵𝐶 = 22.68) 𝑇𝐵𝐷 sin 70 + (𝑇𝐵𝐷(0. si el barco se mueve hacia delante con velocidad constante.68)) sin 60 = 50.30 𝑁 .000 = 0 𝑇𝐵𝐷 cos 70 𝑇𝐵𝐶 = cos 60 𝑇𝐵𝐶 = 𝑇𝐵𝐷(0. −𝑇𝐵𝐷 cos 70 + 𝑇𝐵𝐶 cos 60 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0. Determine la fuerza en cada una de las retenidas BC y BD. C D 30° 20° 30° 20° 60° 60° B A 50 kN 50 kN ∑ 𝐹𝑥 = 0. 𝑇𝐵𝐷 sin 70 + 𝑇𝐵𝐶 sin 60 − 50.722. El suspensor de remolque AB está sometido a la fuerza de 50 kN ejercida por un remolcador.528 𝑇𝐵𝐶 = 32.51 𝑁 1.000 𝑇𝐵𝐷 = = 32.251.722. 𝜃 30° A B C D ∑ 𝐹𝑥 = 0. Si el bloque D pesa 300 lb y el bloque B pesa 275 lb. Si el bloque B pesa 200 lb y el bloque C pesa 100 lb. −200 cos 𝜃 + 100 cos 30 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0. determine el peso requerido del bloque C y el ángulo para lograr el equilibrio.433) = 64. determine el peso requerido del bloque D y el ángulo para lograr el equilibrio.433 200 𝜃 = cos −1(0.34 + 100 sin 30 = 0 𝐷 = 230. 200 sin 𝜃 + 100 sin 30 − 𝐷 = 0 100 cos 30 cos 𝜃 = = 0.27 𝑙𝑏 𝜃 30° A 275 lb B 300 lb C D .3.34 200 sin 64. determine la masa del bloque en D. 3m 4m C B 𝑘𝐴𝐶 = 20 𝑁⁄𝑚 3m 𝑘𝐴𝐵 = 30 𝑁⁄𝑚 A D Y TAB TAC X 2(9. Si el bloque se mantiene en la posición de equilibrio mostrada.81) N . Los resortes se muestran en la posición de equilibrio.4. La longitud no alargada del resorte AB es de 3 m. Determine el alargamiento en los resortes AC y AB cuando el bloque de 2 kg está en equilibrio. 5 490. 𝑇𝐵𝐸 sin 30 − 441. determine la masa máxima del candelabro que se puede sostener.816 cos 30 𝑇𝐷𝐵 sin 45 + 𝑇𝐷𝐵0.5 𝑇𝐷𝐵1.11 = 490.Determine la tensión desarrollada en cada cable usado para sostener el candelabro de 50 kg.6 𝑁 ∑ 𝐹𝑥 = 0.816) 𝑇𝐷𝐶 = 360.9 𝑁 𝑇𝐷𝐶 = 𝑇𝐷𝐵0. 𝑇𝐷𝐵 𝑠𝑖𝑛 45 + 𝑇𝐷𝐶 𝑠𝑖𝑛 30 − 490.5. −𝑇𝐵𝐸 cos 30 + 441.816 sin 30 = 490. A 30° C B 45° 30° D ∑ 𝐹𝑥 = 0. −𝑇𝐷𝐵 cos 45 + 𝑇𝐷𝐶 cos 30 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0.816 𝑇𝐷𝐶 = 441.5 = 0 𝑇𝐷𝐵 cos 45 𝑇𝐷𝐶 = = 𝑇𝐷𝐵 0.11 𝑇𝐷𝐵 = 441.9 cos 45 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0.5 𝑇𝐷𝐵 = 1.9(0. Si la tensión desarrollada en cada uno de los cuatro cables no debe exceder 600 N.9 sin 45 = 0 . 20N . 441.89 600 Sen 45 +489.89 Sen 30= w W= 669.9 cos 45 𝑇𝐵𝐸 = cos 30 𝑇𝐵𝐸 = 360.80 ∑ 𝐹𝑥 = −600 cos 45 + 𝑇𝐷𝐶 cos 30 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 600 𝑠𝑒𝑛 45 + 𝑇𝐷𝐶 𝑠𝑒𝑛 30 − 𝑤 = 0 600 𝑐𝑜𝑠 45 𝑇𝐷𝐶 = cos 30 TDC= 489. 6. Determine el peso máximo de la cubeta que puede sostener el sistema de cables.26)(1. −𝑇𝐵𝐴 + 43.57 4 ∑ 𝐹𝑋 = 0.13 3 −100 ( ) + 𝑇𝐸𝐷 𝐶𝑂𝑆 30 0 = 0 5 .57 ( ) + 𝑇𝐵𝐶 𝐶𝑜𝑠 30 = 0 5 3 −43.57 ( ) + 𝑇𝐵𝐶 𝑆𝑒𝑛 30 = 0 5 𝑇𝐵𝐶 = 52.652 𝑇𝐸𝐷 = 30.28 4 −𝑇𝐵𝐴 + 43.57 ( ) + 52.652 = 50 = 𝑇𝐸𝐷 = 1. de forma que ninguno de los cables desarrolle una tensión superior a 100 lb. C B 30° A 4 5 D 3 30° E 3 ∑ 𝐹𝑋 = 0.44) = 𝑇𝐵𝐸 = 43. determine la tensión desarrollada en cada uno de los cables. Si la cubeta de 50 lb.44) ( ) + 𝑇𝐶𝐷 𝑠𝑒𝑛 30 = 50 𝑙𝑏 5 50 𝑇𝐸𝐷 1.26 𝑇𝐸𝐵 = 𝑇𝐸𝐷 1.44 = 𝑇𝐸𝐵 = (30.44 4 (𝑇𝐸𝐷 1. −𝑇𝐶𝐵( ) + 𝑇𝐸𝐷 cos 30 = 0 5 4 𝑇𝐶𝐵 ( ) + 𝑇𝐶𝐷 𝑠𝑒𝑛 30 − 500𝐿𝑏 = 0 5 𝑇𝐸𝐷 cos 30 𝑇𝐸𝐵 = 3/5 TEB= TED 1.25 𝐶𝑜𝑠 30 = 0 5 𝑇𝐵𝐴 = 80. 64 .28 4 100(5)+ 69. 4 100 ( ) + 𝑇𝐸𝐷 𝑆𝑒𝑛 30 − 𝑤 = 0 5 60 𝑇𝐸𝐵 = 𝐶𝑂𝑆 30 𝑇𝐸𝐵 = 69.28 Sen 30 – w = 0 W= 114. . La cubeta y su contenido tiene una masa de 60 kg. Si el cable BAC tiene 15 m de longitud.7. No tome en cuenta el tamaño de la polea. determine la distancia y de la polea ubicada en A necesaria para lograr el equilibrio. el platillo P de 2 kg. La cuerda BCA tiene 2 m de longitud. determina la masa D en el platillo. Si s=0. Una balanza se construye con la masa de 10 kg.75 m. No tome en cuenta el tamaño de la polea.8. . y el arreglo de polea y cuerda. 81)𝑁 = 0 98.16° 150 600 𝑚𝑚 tan 49. ∑ 𝐹𝑍 = 0.EJERCICIOS 3D: La lámpara de 10 kg que se muestra en la figura 3-11a está suspendida de tres cuerdas que tienen la misma longitud. 3[(50𝑁) cos 𝛾] − 10(9. si la fuerza desarrollada en cualquier cuerda no puede ser mayor que 50 N.1 𝛾 = cos−1 = 49. Determine su mínima distancia vertical s medida desde el techo.16° = 𝑠 𝑠 = 519 𝑚𝑚 . 318𝐹𝐵 − 0. 0.848𝐹𝐵𝑘 = −0.318𝐹𝐶𝑖 − 0.848𝐹𝐶𝑘 𝐹𝐷 = 𝐹𝐷𝑖 𝑊 = {−40 𝐾}𝑙𝑏 ∑ 𝐹 = 0.Determine la fuerza en cada cable que se h usado para sostener la caja de 40 lb que se muestra en la figura.848𝐹𝐶 − 40 = 0 𝐹𝐵 = 𝐹𝐶 = 23.318𝐹𝐶 + 𝐹𝐷 = 0 ∑ 𝐹𝑌 = 0.24𝐹𝐶 = 0 ∑ 𝐹𝑍 = 0.318𝐹𝐶𝑖 − 0.318𝐹𝐵𝑖 − 0.424𝐹𝐵𝑗 + 0. 𝐹𝐵 + 𝐹𝐶 + 𝐹𝐷 + 𝑊 = 0 −0.424𝐹𝐶𝑗 + 0. −0.424𝐹𝐵𝑗 + 0.848𝐹𝐶𝑘 + 𝐹𝐷𝑖 − 40𝐾 = 0 ∑ 𝐹𝑋 = 0.848𝐹𝐵 + 0.424𝐹𝐵 + 0. −0.848𝐹𝐵𝑘 −3𝑖 − 4𝑗 + 8𝑘 𝐹𝐶 = 𝐹𝐶 [ ] √(−3)2 + (−4)2 + (8)2 = −0. −3𝑖 − 4𝑗 + 8𝑘 𝐹𝐵 = 𝐹𝐵 [ ] √(−3)2 + (−4)2 + (8)2 = −0.424𝐹𝐶𝑗 + 0.6 𝑙𝑏 𝐹𝐷 = 15.0 𝑙𝑏 .318𝐹𝐵𝑖 − 0.