2º de Ciencias SocialesI.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Experimentos aleatorios: Se llama experimento aleatorio a aquél en el que es imposible predecir el resultado de una prueba aislada, aunque dicha prueba se haya realizado otras veces y en las mismas condiciones iniciales. Un experimento cuyo resultado pueda predecirse se llama determinista. Espacio muestral: Se llama espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se suele representar por E. Sucesos: Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral, o lo que es lo mismo, a cualquier conjunto de resultados que pueda obtenerse en un experimento aleatorio. Se llama suceso elemental a los subconjuntos de E formados por un único elemento. El espacio muestral, E, se llama suceso seguro. El conjunto vacío, , se llama suceso imposible. Diremos que dos sucesos son incompatibles si no se pueden dar simultáneamente. Diremos que dos sucesos son compatibles si se pueden dar simultáneamente. Dos sucesos son contrarios si siempre que no se verifica uno, se verifica el otro. (Observar la diferencia entre sucesos incompatibles y contrarios) Operaciones con sucesos: Dado que los sucesos son conjuntos, se puede operar con ellos como se opera con conjuntos, creando nuevos sucesos a partir de otros. Suponiendo que el suceso A significa “obtener p” y el B “obtener q”, entonces: A B significa “obtener p o q” y se denomina suceso disyunción. A B significa obtener p y q” y se denomina suceso conjunción. A B significa obtener p pero no q” y se denomina suceso diferencia. A o A c es el suceso contrario a A y significa “obtener no p”. Sucesos incompatibles: Teniendo en cuenta las operaciones con sucesos, podemos decir que: Dos sucesos A y B son incompatibles si A B . Frecuencias: Supongamos un experimento H, de un espacio muestral E, que se repite N veces, y que n veces aparece repetido un cierto suceso A. Entonces se llama frecuencia relativa del suceso A al n cociente , es decir: N nº de veces que ocurre A n fr(A) nº de pruebas realizadas N La frecuencia relativa tiene unas propiedades básicas que son: 1. fr(E ) 1 2. 0 fr( A) 1 Para todo A 3. fr A B fr( A) fr(B) siempre que A B 1 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Probabilidad: Si se repite muchas veces un experimento aleatorio, se observa que, a la larga, la frecuencia relativa de cada suceso A va estabilizándose en torno a un número real fijo llamado probabilidad de A, que representaremos por p(A). La probabilidad cumple las siguientes propiedades: 1. p(E ) 1 2. p( ) 0 3. A B p( A) p(B) 4. p Ac 1 p( A) 5. pA B p( A) p(B) p A B Regla de Laplace: Dado que la probabilidad nació al intentar estudiar las posibilidades de ganancia en los denominados juegos de azar (dados, cartas,…), en estos y muchos casos, todos los sucesos elementales tienen las mismas posibilidades de ocurrir, por lo que es lógico suponer que tienen la misma probabilidad. Entonces, dado un suceso A, los elementos de A se llaman casos favorables, con lo que, si en un experimento son igualmente probables todos los casos posibles, resultaría la definición clásica de probabilidad: nº casos favorables p(A) nº casos posibles Probabilidad condicionada: Si en un experimento aleatorio se hace una prueba y se informa que el resultado obtenido es el suceso A, entonces, la probabilidad de otro suceso B se llama probabilidad de B condicionada por A, se p A B designa por p(B/A) y se define de la siguiente forma: p(B / A) p( A) Diremos que A y B son sucesos independientes si se verifica que p A B p( A)·p( B) (Esta última igualdad significa que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro) Teorema de la Probabilidad total: Sean A1, A2, …, An un sistema completo de sucesos tales que P Ai 0 , y B un suceso del que se conocen las probabilidades condicionadas P B / Ai entonces la probabilidad de B se expresa: n P B P Ai ·P B / Ai i 1 Teorema de Bayes: Si A1, A2, …, An es un sistema completo de sucesos tales que P Ai 0 , y B un suceso del que se conocen las probabilidades condicionadas PB / Ai , entonces se verifica que: pAi ·P B / Ai P Ai / B n P Ai ·P B / Ai i 1 2 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 1.- Obtener el espacio muestral de los siguientes experimentos: a) Lanzar un dado y una moneda. b) Lanzar dos dados. c) Lanzar tres monedas. 2.- Consideremos, entre los habitantes de un municipio, los sucesos A = {ser socio del casino}, B = {ser socio del club de fútbol local} y C = {ser socio de alguna asociación juvenil}. a) Expresar en función de A, B y C las siguientes situaciones: a. Ser socio de alguna de las asociaciones. b. Ser socio de las tres asociaciones. c. Ser socio, sólo, del casino. d. Ser socio de, como máximo, una o dos asociaciones. e. No ser socio de ninguna de las tres. f. Ser socio de una sola asociación. b) Describir el significado de los siguientes sucesos: a. A B C b. A B C C c. A B C d. A B C C e. C A B f . A B A C B C 3.- Si los sucesos A, B y C representan: A = {llueva hoy}, B = {llueva mañana}, C = {llueva pasado mañana}, expresar, mediante las operaciones con sucesos, las siguientes situaciones: a) Llueva uno de esos tres días, por lo menos. b) Llueva hoy, pero no mañana ni pasado. c) No llueva ninguno de los tres días. d) Llueva, como máximo, dos de esos tres días. e) Llueva hoy, pero no mañana. 4.- (PROBABILIDAD CONDICIONADA) De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 4 negras se hacen dos extracciones sin reponer la sacada. Hallar la probabilidad de los sucesos: A = {sacar dos bolas blancas} y B = {sacar bolas de diferentes colores} 5.- (SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES) En el experimento de lanzar tres monedas, hallar la probabilidad de los siguientes sucesos: A = {sacar más caras que cruces}, B = {sacar al menos una cruz}, C = {sacar como máximo dos cruces}. 6.- Las probabilidades de los sucesos A, B y A B son p(A) 1, p(B) 2 , p(A B) 1 . Con estos datos, 3 5 15 calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que se cumpla alguno de los sucesos A o B. b) Que no se cumpla A y sí B. c) Que se cumpla uno solamente. d) Que no se cumpla ni A ni B. e) ¿Son A y B incompatibles? ¿son A y B independientes? 7.- En un banco hay dos alarmas A y B. En caso de atraco, la probabilidad de que se activen A, B o ambas, es: p(A) 0'75, p(B) 0'85 , p(A B) 0'65 . Calcular la probabilidad de que: a) Se active alguna de las dos b) Se active sólo una de ellas c) No se active ninguna. 3 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 8.- Sean los sucesos: A = {ser oyente de RNE}, B = {ser oyente de la SER} y C = {ser oyente de M80}. Expresar mediante las operaciones de sucesos: a) Ser oyente de, al menos, una emisora. b) Ser oyente de RNE, pero no ser de la SER ni de M80. c) Oír sólo dos emisoras. d) No oír más de una emisora. e) Oír alguna emisora, pero no las tres. 9.- Un cartero reparte tres cartas al azar entre tres destinatarios. Calcular la probabilidad de que al menos una de las tres cartas llegue a su destino correcto. 10.- En una ciudad hay dos periódicos A y B. Describir, mediante las operaciones con sucesos, las siguientes situaciones: a) Ser lector de algún periódico. b) Leer sólo uno de ellos. c) Leer los dos. d) No leer ninguno. Si en esa ciudad se sabe que los porcentajes de ciudadanos que leen A, B o los dos son, respectivamente, 50%, 45% y 20%, hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos descritos. 11.- Sean los sucesos A = {llueva hoy}, B = {llueva mañana}, con las probabilidades p(A)=0’6, p(B)=0’3 y p(B/A)=0’5, se pide la probabilidad de que: a) Llueva los dos días b) Llueva sólo hoy c) Llueva sólo uno de esos días. 12.- Un dado numerado del 1 al 6 se ha cargado de modo que la probabilidad de obtener un número sea proporcional a dicho número. Si se lanza una vez, hallar la probabilidad de que salga una puntuación impar. 13.- (TABLAS DE CONTINGENCIA) En una comunidad, el 58% de sus habitantes son lectores del diario A, el 35% del B y el 12% de ambos. Si se elige un ciudadano al azar, calcular las probabilidades de: a) Sea lector de algún diario. b) No lea la prensa. c) Lea sólo el diario A. d) Lea sólo uno de los dos diarios. 14.- Una entidad bancaria tiene tres sistemas de alarma independientes, cada uno con una probabilidad de 0’9 de dispararse en caso de robo. Si se produce un robo, calcular la probabilidad de que: a) Ninguna alarma suene, b) Suene una sola alarma, c) Alguna alarma suene. 15.- En una población hay tres periódicos, A, B y C. Se sabe que: el periódico A lo leen el 20% de los habitantes, el periódico B lo leen el 10% de los habitantes, el periódico C lo leen el 5% de los habitantes. Además, A y B lo leen el 4%, A y C el 3%, B y C el 2% y finalmente los tres periódicos lo leen el 1%. Elegido un habitante al azar, hallar la probabilidad de que no lea ninguno de los tres periódicos. 16.- Un colegio tiene 5.000 estudiantes y se sabe que 300 leen inglés, 200 francés, 50 alemán, 20 francés y alemán, 30 inglés y francés, 15 inglés y alemán, además 10 leen los tres idiomas. Si al azar se elige un estudiante del colegio, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante lea a) dos y solamente dos idiomas? b) al menos un idioma? 4 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 17.- Se lanzan dos dados. Si la suma de los puntos de las caras superiores es 7, hallar la probabilidad de que en alguno de los dos salga 3. 18.-De una baraja de 40 cartas se extraen sucesivamente dos cartas. Hallar la probabilidad de que ambas sean reyes si: a) la primera carta se devuelve a la baraja. b) la primera carta no se devuelve a la baraja. 19.- Sea el experimento que consiste en extraer sucesivamente tres bolas de una caja que contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 2 negras. Hallar la probabilidad de que salgan en el orden roja, blanca y negra. 20.- Se lanza una moneda tres veces al aire. Hallar la probabilidad de que salga la primera vez cara, la segunda cruz y la tercera cara. 21.- Se lanzan un dado y una moneda. Hallar la probabilidad de que salga 3 y cara. 22.- En un colegio hay 60 alumnos de 2º de Bachiller. De ellos 40 estudian inglés, 24 francés y 12 los dos idiomas. Se elige al azar un alumno del curso, y si A y B son los sucesos A = {el alumno elegido estudia inglés}, B = {el alumno elegido estudia francés}. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos: a) A b) B c) A B d) A B e) A B C f ) B / A g) B / A B h) A / A B i) A / BC 23.- Un dado lastrado de tal modo que la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número (por ejemplo, la probabilidad de que salga 4 es el doble de la probabilidad de que salga 2). ¿Cuál es la probabilidad de que salga 3 si se sabe que salió número impar? ¿Cuál es la probabilidad de que salga número par si se sabe que salió un número mayor que 3? 24.- Una urna contiene 8 bolas rojas y 4 bolas blancas. Se sacan tres bolas de la urna, una tras otra. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca. 25.- Se dan a un jugador cuatro cartas de una baraja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro sean oros? 26.- En un taller el 25% de los trabajadores son mecánicos, el 15% electricistas y un 10% tienen las dos especialidades. Se selecciona un trabajador del taller al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado sea mecánico o electricista? b) Si se sabe que el trabajador seleccionado es mecánico, ¿cuál es la probabilidad de que sea electricista? c) Si se sabe que el trabajador seleccionado es electricista, ¿cuál es la probabilidad de que sea mecánico? 27.- ¿Cuál es la probabilidad de ganar en una tómbola sabiendo que sólo se puede jugar tres veces y que la probabilidad de ganar es 0’02? 5 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 28.- Se reparten, al azar, cinco premios entre cuatro mujeres y seis hombres. Calcular la probabilidad de que: a) Las cuatro mujeres resulten premiadas, b) Se premie a alguna mujer. 29.- Se tira un dado dos veces y se consideran los sucesos A = {sacar suma 7} y B = {al menos una puntuación es múltiplo de 3}. ¿Son A y B sucesos independientes? 30.- Se tienen los sucesos A y B. Si las probabilidades p(A) = 0’7, p(B) = 0’6 y p AC BC 0'58 : a) ¿Son independientes A y B? b) Hallar la probabilidad de que no se cumpla ni A ni B. 31.- En una clase de Ciencias Empresariales, el 65% de los alumnos aprueban Economía y el 50% Estadística. Se sabe además, que la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Estadística es 0’8. Calcular el porcentaje de alumnos que: a) aprueba las dos asignaturas. b) Suspende Estadística y aprueba Economía. 32.- Se estima que la probabilidad de que un hombre de 40 años cumpla 65 es de 0’76. Si tres amigos se reúnen para celebrar su cuadragésimo cumpleaños, hallar la probabilidad de que en su 65 aniversario: a) Vivan los tres amigos. b) Los tres hayan fallecido. c) Viva alguno de ellos. d) Viva dos de los 3 amigos. 6 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 1. Dos urnas tienen las composiciones siguientes: A1 = {5 bolas blancas (b) y 3 bolas negras (n)} y A2 = {3b y 3n}. Se escoge una urna al azar y se efectúan dos extracciones de ella, sin reemplazamiento. Halla la probabilidad de extraer: a) 2 bolas blancas. b) Una de cada color. c) Si se realiza el experimento con reemplazamiento, resolver los apartados anteriores. 2. En un distrito universitario los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: 20% Arquitectura, 35% Medicina y 45% Económicas. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios cada año es del 5%, 12% y 18%, respectivamente. Si seleccionamos un alumno al azar, ¿cuál será la probabilidad de que haya acabado la carrera? Y si ha acabado la carrera, ¿cuál es la probabilidad de que sea la de Económicas? 3. Los alumnos de cierto instituto están repartidos de la siguiente forma: 40% en tercero de ESO, 25% en cuarto, 15% en primero de bachillerato y el resto en segundo de bachillerato. El porcentaje de aprobados de cada uno está en el 30% para 3º, el 40% para 4º, 60% para 1ºBach y 70% en 2ºBach. Elegido al azar un alumno de este centro, se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado? b) ¿Y de que sea de primero de bachillerato y haya suspendido? 4. En un centro escolar los alumnos de segundo de bachillerato pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso escolar, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? Sabiendo que es una chica, ¿cuál es la probabilidad de que estudie francés? 5. En el primer curso de una carrera universitaria hay cuatro grupos (A, B, C y D), cada uno con el mismo número de alumnos. En una determinada asignatura han aprobado el 40% de alumnos del grupo A, el 50% del grupo B, el 35% del grupo C y el 55% del grupo D. Se elige un alumno de ese primer curso al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado? b) Sabiendo que no ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca a los grupos A o C? c) Si ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que no pertenezca al grupo D? 6. En una ciudad el 35% de los censados vota al partido A, el 45% al partido B, y el 20% se abstiene. Se sabe, además, que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen son mayores de 60 años. Elegido al azar un vecino de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de 60 años? 7. Un ratón huye de un gato. Puede entrar por cada uno de los callejones A, B o C. En cada uno de ellos el gato puede alcanzarlo o no. Se dan las siguientes probabilidades: P(entre por A)=P(A)=0’3; P(B)=0’5 y P(C)=0’2; P(lo cace habiendo entrado en A)=P(+/A)=0’4; P(+/B)=0’6 y P(+/C)=0’1. a) Calcular la probabilidad de que el gato cace al ratón. b) Vemos al gato perseguir al ratón, al poco rato llega con él en las fauces. ¿En cuál de los tres caminos lo habrá cazado? No lo sabemos, pero calculemos qué probabilidad tiene de haberlo en cada uno de ellos. (Expresarlo en %). 7 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 8. Sea el experimento que consiste en lanzar una moneda al aire. Si sale cara acudimos a la urna A cuya composición es: 4 bolas azules, 3 rojas y 3 verdes, y extraemos una bola; si sale cruz, vamos a la urna B compuesta por: 5 A, 2 R y 3 V y, nuevamente extraemos una bola. Hallar: a) El espacio muestral del suceso compuesto. b) Hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos del espacio muestral. c) Probabilidad de obtener bola roja. d) Probabilidad de que sabiendo que la bola extraída es roja, pertenezca a la urna B. 9. Tenemos dos urnas con las siguientes composiciones: A (3 azules, 4 blancas, 5 rojas), B (7 A, 6 B y 5 R). Extraemos una bola de cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? ¿Y de que sean de distinto color? 10. Una urna contiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se extraen tres bolas, sin fijarnos en el color, y se dejan aparte. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente que se extraiga sea blanca? ¿Y de que sea negra? 11. Hay una epidemia de cólera (C). Consideramos como uno de los síntomas la fiebre (F), pero este síntoma se presenta, también, en personas con intoxicación (I) e incluso en algunas que no tienen nada serio (N). Las probabilidades son: P(F/C) = 0’99, P(F/I) = 0’5 y P(F/N) = 0’004. Se dan los siguientes porcentajes: el 2% de la población tiene cólera, el 0’5% intoxicación y el resto nada serio. a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga fiebre. b) Si una persona tiene fiebre, calcular la probabilidad de que tenga cólera. 12. Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna B tiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas que resultan ser las dos blancas. Hallar la probabilidad de que la urna elegida sea la A. 8 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 1. En un supermercado el 70% de las compras las realizan mujeres, de las compras realizadas por éstas, el 80% supera los 12 €, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad. a) Elegido un ticket de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 12 €? b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los 12 €, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? 2. En un determinado curso están matriculados 80 varones y 40 mujeres. Aprueban el curso completo 60 varones y 32 mujeres. Hallar: a) Probabilidad de que un alumno del curso sea varón y apruebe. b) Probabilidad de que una de las personas matriculadas suspenda. c) Una de las personas matriculadas ha aprobado, halla la probabilidad de que sea mujer. 3. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas. Si la carta extraída es rey, nos dirigimos a la urna I; en caso contrario, nos dirigimos a la urna II. A continuación extraemos una bola. El contenido de la urna I es de 7 bolas blancas y 5 negras y el de la urna II es de 6 bolas blancas y 4 negras. Halla: a) La probabilidad de que la urna extraída sea blanca y de la urna II. b) La probabilidad de que la bola extraída sea negra. 4. En una ciudad, el 55% de los habitantes consume pan integral, el 30 % consume pan de multicereales y el 20 % consume ambos. Se pide: a) Sabiendo que un habitante consume pan integral, ¿cuál es la probabilidad de que coma pan de multicereales? b) Sabiendo que un habitante consume pan de multicereales, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma pan integral? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan? 5. Si A y B son dos sucesos tales que: P(A) = 3/8 , P(B) = 1/2 y P(AB) = 1/4 , Calcular P A B y P AB 6. Tengo dos urnas, dos bolas blancas y dos bolas negras. Se desea saber cómo debo distribuir las bolas en las urnas para que, al elegir una urna al azar y extraer de ella una bola al azar, sea máxima la probabilidad de obtener una bola blanca. La única condición exigida es que cada urna tenga al menos una bola. 7. Se estima que sólo un 20% de los que compran acciones en Bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el 80 % obtienen beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, sólo un 10% obtienen beneficios. Se desea saber: a) El tanto por ciento de los que compran acciones en Bolsa que obtienen beneficios. b) Si se elige una persona al azar que ha comprado acciones en Bolsa y resulta que ha obtenido beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que tenga conocimientos bursátiles? 9 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 8. El equipo directivo de cierta empresa del sector de hostelería está constituido por 25 personas de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona a una mujer y si sale cruz a un hombre. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés, determina, justificando la respuesta, la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés. 9. El 40% de las declaraciones del impuesto sobre la renta son positivas. Un 10% de las que resultaron positivas lo fueron como consecuencia de errores aritméticos en la realización de la declaración. Si hay un 5% de declaraciones con errores aritméticos, ¿qué porcentaje de éstos resultaron positivos? SOLUCIONES: 1) a) 0’65 b) 0’4 2) a) 0’5 b) 0’23 c) 0’35 3) a) 0’54 b) 0’4 4) a) 0’36 b) 0’67 c) 0’35 5) a) 0’75 b) 0’375 6) Prob. Máx. 2/3 7) a) 24 % b) 2/3 8) 0’683 9) 80 % 10 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Sea una variable aleatoria discreta, X, que toma valores xi (i= 1, 2, ….n) a los que se les asigna su probabilidad de ocurrir, pi. Valor esperado: Se llama también esperanza matemática. Coincide con la media de la distribución de probabilidad. μ=∑ xi·pi La desviación típica es x i 2 pi 2 La función de distribución, F(x), asigna a cada valor real la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que él, F (x i ) P(X x i ) P(X x j ) siendo j 1,2,3...,i DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes. Deben verificar tres condiciones: 1. Resultados dicotómicos: Los resultados de cada prueba se pueden clasificar en "éxito" si verifican cierta condición, o "fracaso" en el caso contrario. 2. Independencia de las pruebas: El resultado de una prueba cualquiera es independiente del resultado obtenido en la prueba anterior, y no incide en el resultado de la prueba siguiente. 3. Estabilidad de las pruebas: La probabilidad p de obtener un resultado considerado como un éxito se mantiene constante a lo largo de toda la serie de pruebas. Se representa por B(n, p), en donde n es el número de veces que se repite la experiencia y p la probabilidad del éxito de la experiencia. n La fórmula de la probabilidad binomial es: P( X k ) p k (1 p)nk k Siendo los valores de la variable k = 0, 1, 2,……, n. n n! el número combinatorio es k (n k )!·k! La media o valor esperado es μ = np. La desviación típica n·p·(1 p) DISTRIBUCIÓN NORMAL La variable aleatoria X es una variable continua. Depende de dos parámetros: la media, μ, y la desviación típica, σ. Se representa por N(μ, σ). El cálculo de probabilidades de una distribución normal se reduce a calcular áreas bajo la curva normal (campana de Gauss). Para ello se utiliza la tabla de la distribución normal estándar, que tiene μ = 0 y σ = 1. En los demás casos se tipifica la variable antes de utilizar la tabla, con objeto de establecer la equivalencia entre unos valores y otros. La equivalencia entre la variable X, con distribución N(μ, σ), y la variable Z, con distribución X N(0, 1) es Z La distribución binomial B(n, p) se aproxima a la normal N(μ, σ), cuando n·p≥5 y n·(1-p) ≥5 11 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales DISTRIBUCIONES DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1.- Un distribuidor de llantas las vende en lotes de cuatro. La distribución de probabilidad del número de defectuosas en cada lote es la siguiente: K 0 1 2 3 4 P(Y = K) 0’9 0’05 0’03 0’015 0’005 Calcular la media y la desviación típica. Obtener la función de distribución y dibujarla. 2.- La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X viene dada por la tabla: X -2 -1 0 1 2 3 Pi 0’07 m 0’36 0’1 0’22 0’04 Calcular: P(X = -1), P(X = 2), P(X = 1’5), P(X≥1’5) y P(X≤1’8). Calcular y dibujar la función de distribución. Calcular la esperanza matemática de la distribución. 3.- Un monedero tiene tres monedas de 0’20 €, cinco de 0’05 € y 2 de 0’01 €. Se sacan dos monedas sin reposición y se anota el total de euros extraídos. Hallar la función de probabilidad y la media de la distribución. 0 si x 1 1 si 1 x 2 8 4.- Se considera la función de distribución de la variable X: 3 F (x) si 2 x 3 83 si 3 x 4 4 1 si 4x a) Hallar la función de probabilidad correspondiente; b) Calcular p1 x 3, p1 x 3, p1 x 3 ; c) Dibujar la función de probabilidad y la de distribución. 5.- Se lanzan tres monedas y se observa la variable X: número de caras menos número de cruces sacadas. Establecer la distribución de probabilidad X. Calcular la media y la desviación típica. Hallar la función de distribución y dibujarla. 6.- Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad: X 3 4 5 6 7 8 P(X) 1/9 1/18 1/3 5/18 m 1/6 Completar la distribución de probabilidad. Calcular la media, desviación típica y la función de distribución. Representar gráficamente las funciones. 7.-Se lanza tres veces una moneda trucada, donde la probabilidad de obtener cara es p(c)=1/4. Hallar las probabilidades de los sucesos A = {obtener tres caras}, B = {obtener al menos una cara}. Realizar el mismo problema considerando p(c) = ¾. 8.- Un examen de opción múltiple está compuesto de 8 preguntas, con tres respuestas posibles cada una, de las que sólo una es correcta. Suponiendo que uno de los estudiantes que realiza el examen responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 5 o más preguntas?. ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna? 12 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 9.- Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de sacar cara es 7/11. Se lanza la moneda 10 veces. Encontrar: a) La probabilidad de sacar 8 caras. b) La probabilidad de sacar al menos una cruz. 10.- La probabilidad de que un tirador haga blanco de un disparo es de 0’4. Si efectúa 6 disparos, hallar: a) La probabilidad de que acierte los 6 disparos. b) La probabilidad de que acierte 4 disparos como máximo. c) El número medio de aciertos. 11.- Supongamos que el 40% de los españoles tiene RH+. Si se toma una muestra de 5 personas, ¿qué probabilidad hay de que todos sean RH+? ¿Y de que no lo sea ninguno? 12.- Un sistema de protección contra cohetes está construido con n unidades de radar que funcionan independientemente, cada uno con una probabilidad de 0’9 de detectar un cohete que ingresa en la zona que cubren todas las unidades. Se pide: a) Si n = 5 y un cohete entra en la zona, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro unidades de radar lo detecten? b) ¿Cuál debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar el cohete que entra en la zona sea de 0’999? 13.- Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?: a) Ninguno tenga efectos secundarios. b) Al menos dos tengan efectos secundarios. c) ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera el laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar? DISTRIBUCIÓN NORMAL 1.- Utilizando la tabla de distribución normal, calcular la probabilidad de que: a) P z 1'47 b) P z 0'79 c) P z 0'16 d) P z 2'12 e) P 2 z 0'03 f) P 0'25 z 2'22 g) P 1'15 z 3'1 h) P 2 z 0'03 i) P z 4 2.- Utilizando la tabla de la normal calcular el valor de k: a) P z k 0'9292 b) P z k 0'2142 c) P z k 0'4404 d) P z k 0'9830 e) P 2 z k 0'4652 f) P k z 2'22 0'5855 g) P k z 3'1 0'1241 h) P k z 0'03 0'55 i) P z k 1 3.- La altura de una población se distribuye normalmente con media 170 cm y una desviación típica de 6 cm. Calcular la probabilidad de que elegido un individuo al azar tenga estatura: a) Comprendida entre 158 y 182 cm. b) Menor que 170 cm. c) Mayor que 176 cm. d) Menor o igual que 166 cm. 13 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 4.- Un equipo de fútbol ha conseguido en las últimas temporadas unos resultados que se distribuyen normalmente con una media de 25 victorias y una desviación típica de 5. ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 30 partidos por temporada? ¿Y de que gane menos de 20 partidos por temporada? 5.- Se tiene una población en la que la distribución de sus pesos es normal media 72’5 kg y la desviación típica es de 9 kg. Se pide: a) ¿Qué porcentaje de esa población tiene un peso superior a 90 kg? b) Si elegimos una muestra de población de 100 personas, ¿cuántas tienen su peso comprendido entre 75 y 80kg? 6.- Dos componentes de un sistema funcionan independientemente, distribuyéndose el rendimiento de la primera según una normal N(6, 1’5) y el de la segunda N(43, 3’5). El sistema funciona si el rendimiento de la primera componente está entre 3 y 8 y el de la segunda entre 38 y 48. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? 7.- El peso de los adultos de una población se distribuye normalmente con una media de 65 kg y desviación típica de 3 kg. Se eligen dos individuos al azar. Calculando las correspondientes probabilidades, justificar qué es más probable: a) Que cada uno de los individuos tenga un peso comprendido entre 63’5 y 66’5 kg. b) Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 62 y 68 kg y el otro no tenga un peso comprendido entre 62 y 68 kg. 8.- La altura de los mozos de un llamamiento al servicio militar sigue una distribución normal de media 1’7 m y desviación típica 0’1 m. Se desea saber: a) Probabilidad de que un mozo, al azar, tenga una altura entre 1’7 y 1’9 m. b) Si el llamamiento consta de 50.000 mozos y se libran por falta de talla los que tienen una altura inferior a 1’5 m, ¿cuál es el número esperado de libramientos por esta causa? USO INDIRECTO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 9.- Supongamos que los pesos (en kilogramos) de una población de individuos sigue una distribución normal N(74, 4). a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo pese más de 70 kg? b) ¿Qué porcentaje menos de 92 kg? c) ¿Qué porcentaje entre 70 y 92 kg? d) ¿Qué peso debe tener un individuo para que el 16’6% de la población pese más que él? e) ¿Y qué peso para que el 35% pese menos? 10.- Los 600 soldados de un cuartel poseen alturas que se distribuyen según una normal 166 cm y 12 cm . Hallar el número aproximado de soldados cuya altura esté comprendida entre los 165 y 182 cm. ¿Cuántos medirán más de 190 cm? Si los mandos del ejército deben formar un batallón de “gastadores” con el 4% de los soldados más altos, ¿a partir de qué altura deben seleccionarse éstos? 11.- Para aprobar unas oposiciones se necesita obtener de 100 puntos, o más, en una prueba. Por experiencias anteriores se sabe que la distribución de los puntos obtenidos por los opositores es una normal de media 110 puntos y desviación típica 15. a) ¿Qué probabilidad tiene un opositor de aprobar? b) Si se sabe que hay 1.000 opositores y sólo 300 plazas, ¿cuántos puntos se deberá exigir para ajustar el número de plazas al número de opositores aprobados? 14 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 12.- En una cierta población el coeficiente de inteligencia (C.I.) se distribuye normalmente N(98, 22). Sabiendo que un 3% de los individuos son deficientes, un 70% normales, un 22% muy inteligentes y un 5% genios, ¿qué C.I. ha debido tomarse como frontera entre las distintas clases de individuos? 13.- A lo largo de diferentes pruebas de acceso a la Universidad, se ha encontrado que la distribución de las calificaciones siguen una normal de media 6’3 puntos y desviación típica 0’7. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la nota de un estudiante elegido al azar sea superior a 7’6? b) Si un centro presenta 200 alumnos a la prueba, ¿cuántos de ellos, en media, superan a la misma? c) Si un alumno tiene un 7’4, ¿cuántos alumnos de los 200 le superan? d) ¿Qué nota hay que sacar para entrar en Medicina si sólo pueden entrar en dicha carrera un 5%? LA NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL 14.- Un examen tiene 40 preguntas del tipo Verdadero/Falso, el examen se aprueba si se contestan correctamente al menos 22 preguntas. Si un alumno responde a las preguntas lanzando una moneda correcta, se pide: a) Probabilidad de aprobar el examen. b) Probabilidad de que el número de preguntas acertadas esté comprendido entre 25 y 30. 15.- Se ha encuestado a la población de cierto municipio, encontrándose que un 34% son socios del casino. Elegidos 50 ciudadanos al azar, ¿cuál será la probabilidad de haya exactamente 18 socios? ¿Y más de 20? 16.- En un proceso de control de calidad se sabe que el 3% de los artículos son defectuosos. Si éstos se colocan en cajas de 300, se pide: a) Probabilidad de que una caja contenga 10 o más artículos defectuosos. b) Probabilidad de que el número de defectuosos esté comprendido entre 15 y 20, ambos inclusive. c) Si se rechazan todas las cajas con más de 10 defectuosos y se examinan 125 cajas, ¿cuántas de ellas se rechazarán? 17.- El porcentaje de españoles con estudios medios es del 35%. Elegidos 8 al azar, calcular la probabilidad de que entre 3 y 5 (ambos inclusive) tengan estudios medios, aplicando: a) La distribución binomial. b) La aproximación de la normal a la binomial. 18.- La tasa de desempleo en una comunidad es del 16% de los trabajadores. Se selección a una muestra de 100 trabajadores. Calcular la probabilidad de que la muestra contenga: a) Al menos 10 desempleados. b) No más de 5 desempleados. c) Exactamente 8 desempleados. 15 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Población: es el conjunto de todos los individuos que son objeto de un estudio estadístico. En la práctica, cuando se desea estudiar alguna característica de una población, hay que recurrir al estudio de una muestra, bien porque no es posible acceder a la población, si esta es muy grande, o bien porque al hacer el estudio se produzca la destrucción de los individuos de la población. Muestra: es el conjunto de individuos de una población que se selecciona para hacer un estudio estadístico. Características de una muestra: Para que las conclusiones del estudio de la muestra sean fiables, la muestra debe elegirse de forma aleatoria, representativa y del tamaño adecuado. EJERCICIO DE APLICACIÓN: Supongamos que en 2º de bachillerato hay 120 alumnos que provienen de cuatro zonas próximas al centro escolar. Las zonas y el número de alumnos de cada una de ellas están representadas en la figura: ZONA A ZONA D 20 alumnos 8 alumnos CENTRO ESCOLAR ZONA B 32 alumnos ZONA C 60 alumnos Nos proponemos hacer un estudio estadístico con el fin de determinar algunas características socioeconómicas de las familias de todo segundo. Para ello decidimos obtener datos de una muestra de 30 alumnos, a los que haremos las siguientes preguntas: ¿Hay vídeo en tu casa? ¿Tienen ordenador? ¿Son tres o más hermanos? ¿Qué nota sacaste en el último examen de Matemáticas? Los resultados aparecen en la tabla que se adjunta. Métodos de muestreo Veamos cómo se puede elegir la muestra para realizar la encuesta a 30 de los 120 alumnos de Bachillerato. Lo ideal sería obtenerla por procedimientos aleatorios; no vale hacerla a ojo, ni preguntar a los 30 primeros que lleguen a clase, por ejemplo. El método empleado puede ser: Muestreo aleatorio simple: Esquemáticamente podemos asignar a cada uno de los 120 alumnos un número del 1 al 120 y, de forma aleatoria, se eligen 30 números. Se hace la encuesta a los 30 alumnos correspondientes. Este método de muestreo debe satisfacer dos criterios: 1. Cada individuo debe tener la misma probabilidad de ser elegido para la muestra. Esto es, la probabilidad de cualquier alumno es 1/120. 2. La probabilidad de un individuo no debe afectar a la probabilidad de que sea seleccionado otro cualquiera. Esto implica que la elección debería hacerse con reemplazamiento; aunque ello comporte que algún alumno pueda ser elegido más de una vez. 16 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Nota: Si la elección se hace sin reemplazamiento, la probabilidad de elección del primer alumno es 1/120, la del segundo 1/119 y así sucesivamente. Obviamente, las probabilidades son distintas, el proceso deja de ser aleatorio simple. Muestreo sistemático: Para realizar el muestreo sistemático se ordenan previamente los individuos de la población; después se elige uno de ellos al azar, a continuación, a intervalos constantes, se eligen todos los demás hasta completar la muestra. En nuestro caso, hay que elegir uno de cada 4 (120:30 = 4); podemos pues, sortear un número del 1 al 4. En el supuesto de que saliera el 3, la muestra elegida estaría formada por los individuos 3, 7, 11, …, 115, 119, que hacen un total de 30. Análogo resultado se obtendría si sorteáramos el primer número entre los 120. Si, por ejemplo, saliese el 29, la muestra sería 29, 33, 37, …, 117, 1, 5, …, 25. Nota: este criterio altera los criterios de aleatoriedad, pues una vez elegido el primer individuo, los demás tienen la probabilidad 1 o 0 de salir. Además, si la población de partida presenta algún tipo de regularidad, la muestra puede no ser representativa de ella. Muestreo estratificado (proporcional): Este tipo de muestreo divide la población total en clases homogéneas, llamadas estratos, por ejemplo, por grupos de edades, por sexo, por número de habitantes de las distintas zonas. Hecho esto, la muestra se escoge aleatoriamente en número proporcional al de los componentes de cada estrato. CONTINUACIÓN DEL EJERCICIO DE APLICACIÓN a) Utilizar el método aleatorio simple para obtener una muestra de 30 alumnos entre los 120 que se dan en la tabla. b) Para la muestra hallada, calcular el porcentaje de poseedores de vídeo y de ordenador, si son tres o más hijos y la nota media de Matemáticas. Comparar los resultados con los totales de la población que son: 80 Vídeos (V): 0'7 70 % 120 39 Ordenadores (O): 0'325 32 ,5% 120 48 Hermanos (H): 0'4 40 % 120 Notas (N): 5'5 2'04 c) Repetir lo mismo para un muestreo sistemático y comparar los resultados. 17 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Tabla: Datos reales de 120 alumnos de 2º de bachillerato Alumno V O T N Alumno V O T N Alumno V O T N Zona A Zona B Zona C 1 0 1 1 5 41 1 0 0 7 81 1 0 0 5 2 1 0 0 4 42 0 1 0 6 82 0 1 0 7 3 1 1 0 9 43 1 0 1 4 83 1 0 1 4 4 0 0 1 7 44 1 0 0 5 84 1 0 1 6 5 1 0 0 6 45 0 0 1 8 85 0 0 1 5 6 1 0 1 3 46 1 1 0 3 86 1 1 0 6 7 1 0 1 6 47 0 1 1 5 87 0 0 0 6 8 0 1 0 5 48 1 0 0 4 88 1 0 0 2 9 1 0 0 7 49 0 1 0 5 89 1 0 0 7 10 1 0 1 5 50 1 0 1 7 90 0 0 1 2 11 1 1 1 6 51 0 0 1 9 91 0 1 1 6 12 0 0 0 1 52 1 0 1 5 92 1 0 0 5 13 1 0 0 9 Zona C 93 1 1 0 6 14 1 1 0 8 53 0 0 0 10 94 0 0 1 9 15 1 0 0 2 54 1 0 1 6 95 1 0 0 7 16 0 1 0 10 55 1 0 1 5 96 1 0 1 5 17 1 0 1 4 56 0 0 0 3 97 1 0 0 5 18 1 1 0 5 57 1 1 0 5 98 0 1 0 8 19 0 0 1 6 58 1 0 0 2 99 1 0 0 5 20 1 1 0 6 59 1 0 1 1 100 0 0 0 6 Zona B 60 1 0 0 5 101 1 0 0 6 21 0 1 0 1 61 1 0 1 2 102 0 1 1 3 22 1 0 0 7 62 0 0 1 8 103 1 0 1 6 23 1 1 0 5 63 1 1 0 5 104 0 0 1 8 24 1 0 1 4 64 1 0 0 10 105 1 0 1 4 25 1 0 1 6 65 0 0 1 4 106 0 0 0 7 26 1 0 0 8 66 1 0 0 6 107 0 0 0 5 27 1 0 1 7 67 1 0 0 3 108 1 0 0 6 28 0 0 0 5 68 1 0 1 5 109 1 1 1 9 29 1 1 0 2 69 1 1 1 4 110 0 0 0 7 30 1 0 0 9 70 1 0 0 5 111 1 1 0 6 31 1 1 1 10 71 1 0 1 6 112 1 1 1 5 32 0 0 0 6 72 1 0 0 3 Zona D 33 1 0 0 3 73 1 1 0 7 113 1 0 0 6 34 1 0 0 4 74 1 0 1 6 114 1 1 1 4 35 1 0 0 5 75 1 1 0 4 115 0 0 1 5 36 0 1 0 3 76 0 1 0 5 116 1 1 0 6 37 1 0 1 5 77 1 1 1 4 117 1 1 0 7 38 1 1 0 4 78 1 0 0 6 118 1 0 0 8 39 1 0 0 6 79 1 0 1 9 119 1 1 1 9 40 0 0 1 2 80 1 1 0 5 120 0 0 0 3 V: poseen video. Respuestas: O: tienen ordenador. 1: Sí. T: son tres o más hermanos. 0: No N: nota del último examen de Matemáticas Al final tendremos un número considerable de muestras de tamaño 30. ¿Serán fiables los resultados obtenidos de cada muestra? 18 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Teorema central del límite: Dada una población que tiene de media y de desviación típica , la distribución de las medias muestrales de tamaño n, X , tiene las siguientes características: - La media es - La desviación típica es n - Si el tamaño n de la muestra es grande (n≥30), la distribución de la variable X se aproxima a una distribución normal N , n Si n<30 pero la población sigue una distribución normal, las medias muestrales también se ajustarán a una normal. Si la población que se estudia sigue una distribución binomial de parámetro p, la distribución de proporciones muestrales de tamaño n, cuya variable se representa por p̂ , tiene las siguientes características: - La media es p - La desviación típica es p·q donde q=1–p n - Si el tamaño n de la muestra es grande (n≥30), la distribución de la variable p̂ se aproxima a una distribución normal N p, p·q n Intervalo de confianza para la media: El intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de confianza 1– es X z 2 · , X z 2 · donde z/2 es un valor que en una N(0, 1) cumple que n n P(–z/2≤z≤z/2)=1–. Intervalo de confianza para la proporción: pq pq pˆ z / 2 · , ˆ z / 2 · p n n El nivel de confianza 1– es la probabilidad que se tiene de que la media (proporción) de la población pertenezca al intervalo dado. El nivel de significación es la probabilidad de que la media (proporción) de la población no esté en dicho intervalo. p·q El error máximo admisible es E z / 2 · ó E z / 2 · , según sea el caso. n n El tamaño de la muestra se obtiene despejando n en la ecuación anterior. 19 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 1.- Supongamos que tenemos una población formada sólo por cuatro elementos, con valores 2, 4, 6 y 8. Formar todas las muestras posibles de tamaño 2 y comprobar la relación indicada entre las distribuciones de la población y de las medias muestrales. 2.- En el último año, el peso de los recién nacidos en una maternidad se ha distribuido según una ley normal 3.100 g y desviación típica 150 g . a) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese más de 3.130 g? b) ¿Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de recién nacidos? c) ¿Cuál será la probabilidad de que la media de una muestra de 100 recién nacidos sea superior a 3.130g? 3.- Sabiendo que la proporción de alumnos, con dos o más hermanos, entre los 120 considerados en la tabla, es p =0’4, hallar el intervalo de probabilidad para la proporción de: a) Las muestras de tamaño 30, con una confianza del 75%. b) Las muestras de tamaño 49, con una confianza del 86%. 4.- Sabiendo que la proporción de alumnos con vídeo, entre los 120 considerados en la tabla, es p = 0’7, hallar el intervalo de probabilidad para la proporción de: a) Las muestras de tamaño 30, con una confianza del 75%. b) Las muestras de tamaño 49, con una confianza del 86%. 5.- En una oposición en la que participan miles de candidatos se hizo un examen tipo test. Las calificaciones se distribuyeron normalmente con media 72 puntos y desviación típica 10 . a) ¿Cuál es la probabilidad de que un opositor elegido al azar obtenga más de 76 puntos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 64 opositores obtenga un promedio superior a 76 puntos? 6.- Hallar los intervalos de probabilidad con una confianza de 0’9, 0’95 y 0’99 para el peso medio de una muestra de 100 recién nacidos, sabiendo que sigue una distribución normal de media 3.100 g y desviación típica 150 g . Interpretar el resultado. 7.- Para las muestras de tamaño 36 extraídas de la población de alumnos de la tabla anterior, donde las notas poseen una media y desviación típica 5'5 2'04 , hallar los intervalos de probabilidad para un nivel de confianza del 75’4% y del 86’64%. Interpretar los resultados. 20 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL 1.- Para una muestra de 30 alumnos se obtuvo una nota media, en el último examen de matemáticas, de x 5'83 , con una desviación típica de s 1'92 . Determinar el intervalo de confianza al 80%. Interpretar el enunciado. 2.- El peso medio de una muestra de 100 recién nacidos es de 3.200g. Sabiendo que la desviación típica de los pesos de la población de recién nacidos es 150 gramos, hallar el intervalo de confianza para la media poblacional para una significación de 0’05. 3.- Para una muestra de tamaño 81 de alumnas de 2º de bachillerato se obtuvo una estatura media de 167cm. Si por trabajos anteriores se sabe que la desviación típica de la altura de la población de chicas de segundo de bachillerato es de 8cm, construye los intervalos de confianza para la estatura media de la población: a) al 90%; b) al 95%. 4.- El nivel de colesterol (en mg/dl) para una muestra de 144 personas mayores de 60 años sigue una Normal de media x 235 , con desviación típica s = 45. ¿Se puede admitir que la media de colesterol de la población de mayores de 60 años es de 225, con un nivel de confianza del 96%? 5.- En una oposición en la que participaron miles de candidatos se hizo un examen de tipo test. La desviación típica de las calificaciones fue 10 . a) Si se elige una muestra de tamaño 100, con media muestral 71 puntos, ¿cuál será el intervalo de confianza para la media poblacional con una probabilidad del 90%? b) Ídem con n = 40, x 74 y 0,05 . INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL 6.- En una muestra de 30 alumnos se les preguntó si poseían o no ordenador. Las respuestas fueron: sí, 11; no, 19. Construye el intervalo de confianza para la proporción de alumnos que poseen ordenador, con una confianza del 95,44%. 7.- Determinar el intervalo de confianza para la proporción poblacional de fumadores entre los jóvenes menores de 21 años, con una significación de 0’05, a partir de una muestra de tamaño 900, cuando no se conocen valores de p anteriores. Considerar dos casos a) p pˆ y b) p = q = 0,5. La proporción de fumadores en la encuesta ha sido pˆ 0,30 . 8.- En una muestra tomada al azar, de 400 personas, se encontraron 85 que no tenían sensibilidad ecológica. Calcular el intervalo de confianza al 99% para la proporción de insensibles en toda la población. 9.- Debido al gran número de aspirantes, unas oposiciones se celebran en distintas aulas a la vez. En una de esas aulas se esperaba un total de 80 opositores; si se presentaron sólo 60 de ellos, calcular el intervalo de confianza para la proporción de presentados en su totalidad. 10.- Una encuesta realizada a 1.100 personas da los siguientes porcentajes de voto para dos partidos de ámbito nacional: partido A, 37%; partido B, 39%. Si el mismo día que se hizo la encuesta, que se supone realizada correctamente, se hubiesen celebrado elecciones, ¿resultaría estadísticamente extraño que las hubiese ganado el partido A?. Pongamos una confianza del 95%. 21 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales ERROR MÁXIMO ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA LA MEDIA POBLACIONAL 11.- Para una muestra de tamaño 81 de alumnas de 2º de bachillerato se obtuvo una estatura media de 167 cm. Si por trabajos anteriores se sabe que la desviación típica de la altura de la población de chicas de segundo de bachillerato es de 8 cm: a) ¿Qué error máximo se admite para la media poblacional para una significación del 10%? ¿Y para una confianza del 95%? b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario en cada caso, si se admite un error de 1cm? 12.- Para 96 familias españolas, elegidas al azar, se ha determinado que la televisión permanece encendida en casa una media de 217 minutos diarios. La desviación típica de la muestra fue de 40 minutos. a) Par una fiabilidad del 95%, ¿qué error se asume cuando se da por bueno ese dato para la totalidad de las familias españolas? b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario para reducir el error a la mitad? 13.- En cierta población, el coeficiente de inteligencia tiene una desviación típica 22 . ¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza de la media, al 95%, tenga un error inferior a 3 puntos? 14.- Se ha extraído una muestra de 145 alumnos de una escuela de arte a los que se les ha propuesto un test de habilidad. La media y desviación típica obtenida de la muestra son 82 y 14, respectivamente. A partir de los datos, calcular el intervalo en el cual se hallará la media de la población al nivel de confianza del 95%. ¿Con qué nivel de confianza podremos asegurar que la media poblacional se encontrará en el intervalo (79, 85)? 15.- Sabiendo que X sigue una ley N (, 4), calcular el tamaño muestral mínimo para que, con una confianza del 99%, el intervalo x 1'5, x 1'5 contenga el parámetro . 16.- El número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una ley normal de media días y desviación típica 3 días. a) Determine un intervalo de confianza para estimar , a un nivel del 97%, con una muestra aleatoria de 100 enfermos cuya media es 8,1 días. b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria para poder estimar con un error máximo de 1 día y nivel de confianza del 92%? ERROR MÁXIMO ADMISIBLE Y TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL 17.- En una muestra telefónica realizada a 70 familias, 15 declaran que ven determinado programa televisivo. a) ¿Cuál es la proporción en el conjunto de las familias, con una confianza del 95%? b) Si con la misma confianza se admite un error máximo del 2%, ¿a cuántas familias habrá que encuestar? 18.- Una multinacional está estudiando la posibilidad de instalar un nuevo sistema de producción en sus empresas; antes de hacerlo decide consultar a sus trabajadores. Como no tiene ninguna referencia previa sobre la opinión de sus empleados, supone que tal opinión está dividida en dos partes iguales: 50% a favor y 50% en contra. Si desea una fiabilidad en la encuesta del 99%, con un error máximo del 4%, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra? 22 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 19.- ¿De qué tamaño conviene tomar la muestra de una línea de producción para tener una confianza del 95% de que la proporción estimada no difiere de la verdadera en más de un 5%? Se sabe por estudios previos que la proporción de objetos defectuosos es del orden de 0,05. 20.- En una muestra aleatoria de 1.000 personas, están a favor de que el Ministerio de Economía mantenga la presión fiscal el 65% de los encuestados. ¿Con qué confianza podremos asegurar que el porcentaje poblacional que está de acuerdo en mantener esta medida es el 65%, con un error máximo de estimación del 3,87%. 21.- Se pretende conocer la proporción de personas solteras del país. Se establece un margen de confianza del 99% y se quiere que el error máximo sea del 3%. ¿Cuántos individuos deben componer la muestra? 22.- La proporción de individuos daltónicos varones de una población es p. Se desea estimar dicha proporción a partir del porcentaje observado en una muestra de tamaño n que es del 30%. Calcular el tamaño de la muestra a fin de que el error cometido sea inferior al 3,1% con una probabilidad del 90%. 23.- Queremos estimar con un error máximo del 2% el porcentaje de audiencia televisiva del partido Real Madrid – Barcelona. Deseamos una confianza del 95% para nuestros resultados. ¿Cuántos telespectadores deberán ser encuestados? 24.- En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17,4 años. Se sabe que la desviación típica de la población normal de la que procede esa muestra es de 2 años. a. Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media. b. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza, al 90%, tenga de amplitud a lo sumo 0,5? 23 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales AUTOEVALUACIÓN 1ª PARTE DEL CURSO 1. Se tienen los sucesos A y B. Si las probabilidades p(A) = 0’7, p(B) = 0’6 y p AC BC 0'58 : c) ¿Son independientes A y B? d) Hallar la probabilidad de que no se cumpla ni A ni B. 2. Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera es 0’6. La probabilidad de que pase la segunda es 0’8 y la de que pase ambas es 0’5. Se pide: a) Probabilidad de que pase al menos una prueba. b) Probabilidad de que no pase ninguna prueba. c) ¿Son ambas pruebas sucesos independientes? d) ¿Cuál es la probabilidad de que pase la segunda si sabemos que pasó la primera? 3. Un examen de opción múltiple está compuesto de 10 preguntas, con tres posibles respuestas cada una de las que solo una es correcta. Suponiendo que un estudiante responde al azar, calcular la probabilidad de que: a) no acierte ninguna. b) acierte al menos 3 preguntas. c) acierte más de 8 preguntas. d) las acierte todas. 4. Una encuesta revela que el 30% de la población tiene estudios, de los cuales el 12% no tiene trabajo. Del 70% que no tiene estudios, un 25% no tiene trabajo. Determinar razonadamente: a) El tanto por ciento de la población que no tiene trabajo. b) La probabilidad de que tenga estudios una persona elegida al azar entre las que tienen trabajo. 5. La estatura, en centímetros, de los estudiantes varones de 2º de bachillerato de un centro sigue una normal N(170, 15). Se pide: a) La probabilidad de que, al elegir un estudiante al azar, mida entre 169 y 172cm. b) A partir de qué estatura serán los estudiantes que se elegirán para organizar un equipo de baloncesto, si se desea que estén entre el 15% de los más altos del centro. 6. a) En una ciudad de 12.000 habitantes, 4.000 son menores de 20 años, 6.000 tienen entre 20 y 60 años, y los 2.000 restantes son mayores de 60 años. Se desea tomar una muestra de tamaño 90 para estudiar su modo de emplear el tiempo libre, ¿cuántas personas de cada grupo de edad debemos elegir? b) Si sabemos, por un estudio hecho años atrás, que la media de tiempo dedicado a formación para la población es 2,5 horas al día, con una desviación típica de 2 horas, ¿qué distribución seguirán las medias muestrales de las muestras de tamaño 90? 7. Queremos estimar con un error máximo del 2% el porcentaje de audiencia televisiva del partido Real Madrid – Barcelona. Deseamos una confianza del 95% para nuestros resultados. ¿Cuántos telespectadores deberán ser encuestados? 8. En una muestra aleatoria de 1.000 personas, están a favor de que el Ministerio de Economía mantenga la presión fiscal el 65% de los encuestados. ¿Con qué confianza podremos asegurar que el porcentaje poblacional que está de acuerdo en mantener esta medida es el 65%, con un error máximo de estimación del 3,87%. 24 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales CONTRASTE DE HIPÓTESIS A partir de una muestra aleatoria y significativa deseamos extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis, previamente emitida, sobre el valor de un parámetro desconocido de la población (la media o la proporción). El método que usaremos para contrastar la hipótesis comprende los siguientes pasos: 1. Enunciar la hipótesis, que se llama Hipótesis nula y se designa por H0. La hipótesis contraria se llama Hipótesis alternativa y se designa por H1. 2. Construir la zona de aceptación, para un nivel de significación (si no se indica cuál lo elegiremos nosotros), fuera de la cual solo se encuentra el ·100% de los casos más raros (región crítica). 3. Verificar la hipótesis a partir del correspondiente estadístico (media o proporción) obtenido de la muestra de tamaño n con la que se trabaja. 4. Decidir si se acepta o no la hipótesis. Si el valor calculado del estadístico cae dentro de la zona de aceptación, se acepta la hipótesis nula H0. En caso contrario, se rechaza. El contraste de hipótesis puede ser bilateral o unilateral, según sea el tipo de hipótesis nula que se plantee. Contraste bilateral si H0: =k (p=k) Contraste unilateral si H0: ≥k (p≥k) POSIBLES ERRORES EN EL CONTRASTE DE HIPÓTESIS El contraste de hipótesis es el procedimiento que nos permite decidir si una hipótesis se acepta o se rechaza, o determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados. En este proceso se puede incurrir en dos tipos de error según sea la situación real y la decisión que se tome: H0 cierta H0 falsa H1 cierta Decisión: se rechaza H0 Error tipo I Decisión correcta Decisión: no se rechaza H0 Decisión correcta Error tipo II Obviamente, rechazar la hipótesis nula H0 implica aceptar la hipótesis alternativa H1. 25 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales EJEMPLOS DE CONTRASTE DE HIPÓTESIS EJEMPLO 1.- Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, a un nivel de significación de 0,05? Enunciamos las hipótesis Ho: µ = 6; H1: µ ≠6 (contraste bilateral) si Ho es cierta las medias muestrales se distribuyen N(6;0,4) Para =0,05 se tiene que /2=0,025 como P(z<z/2)=1–0,025=0,975 entonces z/2=1,96 Calculamos la zona de aceptación: 6 1,96 2,4 ; 6 1,96 2,4 = (5,22;6,78) 36 36 El valor obtenido en la muestra es x =5,6 y como 5,6 (5,22;6,78) aceptaremos la hipótesis nula ¿Se aceptaría la hipótesis para =0,01? En otra muestra de 81 estudiantes se obtuvo una nota media de 6,2. ¿Se confirma la hipótesis anterior a un nivel de significación de 0,01? EJEMPLO 2.- Se cree que la altura media de los habitantes de cierta población es como mucho 170cm, con una desviación típica de 8cm. En una muestra de 100 personas se observa una altura media de 172cm. ¿Podemos aceptar la hipótesis con un nivel de significación del 5%? Enunciamos las hipótesis Ho: µ ≤170; H1: µ > 170 (contraste unilateral) Las medias muestrales se distribuyen N(170;0,8) Para =0,05 se tiene que P(z<zα)=1–0,05=0,95 entonces z=1,645 Calculamos la zona de aceptación: ;170 1,645 8 ( ;171 ,32) 100 El valor obtenido en la muestra es x =172 y como 172 (– ; 171,32) rechazaremos la hipótesis nula y la altura media ha aumentado Si el nivel de significación fuese 0,01 ¿se aceptaría la hipótesis anterior? EJEMPLO 3.- Un sociólogo ha pronosticado que, en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar, con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico. Enunciamos las hipótesis H 0 : p ≥ 0 , 4 0 ; H 1 : p < 0 ,4 0 (contraste unilateral) Las proporciones muestrales se distribuyen N(0,40; 0,035) Para α=0,01 se tiene que P(z<z)=1–0,01=0,99 le corresponde un valor crítico z= 2,33 La zona de aceptación para la proporción es 0,4 2,33 0,40 · 0,60 ; (0,3192 ; ) 200 el valor del estadístico es pˆ 125 0,625 y se tiene que 0,625 (0,3192; ) por tanto 200 Aceptamos la hipótesis nula y podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que la abstención será como mínimo del 40%. 26 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales EJEMPLO 4.- La cuota de pantalla (share medio) de una cadena de televisión está en el 27%. Tras una campaña publicitaria para promocionar la cadena, se realiza una encuesta entre 800 televidentes, obteniéndose una cuota de pantalla del 30%. ¿Puede asegurarse, con una significación de 0’05, que la campaña publicitaria ha dado resultado? Enunciamos las hipótesis H 0 : p = 0 , 2 7 ; H 1 : p > 0 , 2 7 (contraste unilateral) Las proporciones muestrales se distribuyen N(0,27; 0,016) Para α=0,05 se tiene que P(z< z)=1–0,05=0,95 entonces corresponde un valor crítico z= 1,645 La zona de rechazo para la proporción es 0,27 1,645 0,27 · 0,73 ; (0,2958 ; ) 800 el valor del estadístico es pˆ 0,30 y se tiene que 0,30 (0,2958; ) por tanto Rechazamos la hipótesis nula y podemos afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la campaña ha dado resultado. EJEMPLO 5.- En las últimas votaciones, hace un año, el 53% de los votantes de un pueblo estaba a favor del alcalde. Se acaba de realizar una encuesta a 360 personas elegidas al azar y 176 de ellas estaban a favor del alcalde. ¿Se puede afirmar, con un nivel de confianza del 90%, que el alcalde pierde popularidad? Enunciamos las hipótesis H 0 : p = 0 , 5 3 ; H 1 : p < 0 , 5 3 (contraste unilateral) Las proporciones muestrales se distribuyen N(0,53; 0,026) Para α=0,10 se tiene que P(z< z)=1–0,10=0,90 entonces corresponde un valor crítico z= 1,28 La zona de rechazo para la proporción es ; 0,53 1,28 0,53 · 0,47 (; 0,4963 ) 360 176 el valor del estadístico es pˆ 0 ,49 y se tiene que 0,49 (–; 0,4963) por tanto 360 Rechazamos la hipótesis nula y podemos afirmar, con un nivel de confianza del 90%, que el alcalde pierde popularidad. 27 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA POBLACIONAL (BILATERAL, TIPO Zα/2) 1.- Se quiere comprobar si el peso de los paquetes de café puestos a la venta por cierta casa comercial es el que indica en el envoltorio. Si se toma una muestra de 100 paquetes y resulta un peso medio de 0’978 kg, y una desviación típica de 0’1 kg, ¿se puede afirmar con una significación de 0’05 que el peso medio de los paquetes es de 1 kg? 2.- La dirección de una empresa afirma que el tiempo medio dedicado al bocadillo de media mañana es de 15 minutos. Los sindicatos no creen lo mismo pues han hecho una encuesta entre 35 empleados elegidos al azar y ha resultado que el tiempo medio dedicado al bocadillo es de 7 minutos con una desviación típica de 2 minutos. Con un nivel de significación igual a 0’05, ¿se puede creer en la afirmación de la dirección? 3.- La longitud media de los ejes fabricados por una compañía es de 7’05 mm, con una desviación típica de 0’15 mm. Una muestra de 36 ejes, seleccionada como control del proceso dio una media de 6’95 mm. ¿Cabe esperar a partir de este dato que haya algún fallo en el proceso de producción? Considérese nivel de significación del 5%. 4.- Se está estudiando el absentismo laboral de los trabajadores de unos grandes almacenes. Se ha elegido al azar 30 trabajadores, encontrándose que faltaron al trabajo una media de 2’3 días/mes, con desviación típica s = 0’8. a) Determinar el intervalo de confianza del 90% para el número de días de absentismo de los trabajadores de esa empresa. b) Antes de la realización de la encuesta, los representantes sindicales aseguraron que el absentismo era inferior a 2 días/mes, ¿tenían razón? 5.- Hace algunos años la media de estatura de los españoles adultos (varones) era de 170 cm, con σ = 9 cm. Pasado un tiempo, un muestreo realizado a 36 adultos da una media de 172 cm. a) ¿Se puede afirmar, con una confianza del 90%, que esa diferencia de 2 cm es debida al azar? b) ¿No es posible que la estatura media haya aumentado? c) ¿Cambiarían las conclusiones si esa media de 172 cm se hubiese obtenido tras un muestreo de tamaño n = 900? CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA MEDIA POBLACIONAL (UNILATERAL TIPO Zα) 6.- La Concejalía de Salud de una ciudad tiene serias dudas sobre el nivel de proteínas de los ciudadanos: se sospecha que ha descendido. Tal nivel es considerado normal si vale 7’25 gramos por decilitro, con desviación típica de 0’71. Para contrastar las dudas se realiza un muestreo con 35 personas, del que se obtiene una media de x 6'85 . Si se desea una confianza en los resultados del 97’5%, ¿puede asegurarse que el nivel de proteínas ha descendido? 7.- Casillas afirma que el precio medio de cada jugador extranjero en la liga de fútbol española es superior o igual a 6’5 millones de euros, Iniesta opina lo contrario. Para dilucidar quién de ellos tiene razón, estadísticamente hablando, deciden calcular el precio medio y la desviación típica de 30 jugadores foráneos elegidos al azar, obteniéndose las siguientes cantidades: 6’12 millones y 2’6 millones, respectivamente. A un nivel de significación del 5%, ¿cuál es la hipótesis de mayor verosimilitud? 28 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 8.- Se sabe que los niños de 10 años con dificultades de aprendizaje obtienen, en un determinado test, una puntuación de 52 puntos, con una desviación típica de 22 puntos. Un equipo de psicólogos infantiles está ensayando unas nuevas técnicas de aprendizaje que, según ellos, aseguran adelantos importantes en los niños. Para contrastar esta hipótesis se realiza un experimento con 30 niños a los que se les aplicó las nuevas técnicas; su puntuación media en el mismo test fue de 57 puntos. ¿Para una significación de 0’05 puede afirmarse que las nuevas técnicas son mejores? 9.- Los psicólogos del problema anterior no se desaniman ante la confirmación de su teoría. Deciden experimentar de nuevo, realizando algunos retoques en las técnicas, ampliando el tamaño muestral a 100 niños y exigiéndose una confianza del 97’5%. Si obtienen en el mismo test una media de 56’5 puntos, ¿puede afirmarse que sus técnicas son mejores? 10.- Admitimos que el peso de los adultos de la población española se distribuye normalmente con media 65 kg y desviación típica 12 kg. Se elige una muestra al azar de 50 individuos naturales del norte de España, resultando un peso medio de 70 kg. Para una significación de 0’05, ¿puede decirse que los naturales de esa región pesan más que el resto de la población? 11.- Una empresa fabrica cuerdas cuya resistencia media a la rotura es de 300 kg y su desviación típica 24 kg. Una muestra de 64 cuerdas fabricadas mediante un nuevo proceso de fabricación dio una resistencia media de 310 kg. La compañía desea estudiar si, efectivamente, el nuevo proceso da mejores resultados que el antiguo a un nivel de significación del 5%. 12.- Un estudio sociológico afirma que el gasto medio de los jóvenes en el fin de semana se distribuye según una normal de media 50 € y desviación típica 0’90 €. Se desea contrastar esta hipótesis, pues se tiene la sospecha de que los gastos medios son, en la actualidad, mayores. Para ello se ha elegido una muestra aleatoria formada por 55 jóvenes y se calculó el gasto medio de la muestra, que resultó de 55€. ¿Podemos afirmar que el gasto medio de los jóvenes es superior, al nivel de significación del 10%? 13.- Se cree que la altura media de los habitantes de cierta población es, como mucho, 170 cm, con desviación típica de 8 cm. En una muestra de 100 personas se observa una altura media de 172 cm ¿Podemos aceptar la hipótesis con un nivel de significación del 5%? 14.- Una encuesta, realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleo en la misma es de 6’5 años, con una desviación típica de 4. ¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o igual que 6? Justificar adecuadamente la respuesta. 15.- La Concejalía de Juventud de un Ayuntamiento maneja el dato de que la edad a la que los hijos se independizan de sus padres es una variable normal con media 29 años y desviación típica 3 años. Aunque la desviación típica no plantea dudas, se sospecha que la media ha descendido, sobre todo por la política de ayuda al empleo que ha llevado el Ayuntamiento. En un estudio reciente sobre 100 jóvenes que se acaban de independizar, se ha obtenido una media de 28’1 años de edad. Con un nivel de significación del 1%, ¿puede defenderse que la edad media no ha disminuido, frente a que si lo ha hecho como parecen indicar los datos? 16.- Un fabricante de lámparas asegura que la vida útil de sus lámparas es de, por lo menos, 1.600 horas. Se hizo un seguimiento sobre la duración de 100 lámparas seleccionadas aleatoriamente, dando una media de 1.526 horas y una desviación típica de 150. ¿Se puede afirmar que la duración de las lámparas es de, al menos, 1.600 horas, a un nivel de significación del 2%? 29 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL (BILATERAL TIPO Zα/2) 17.- Supongamos que, respecto a una determinada ley, el 52% de los ciudadanos está en contra. Pasado el tiempo, una encuesta realizada a 400 personas indica que los ciudadanos en contra han descendido hasta el 49%. Para una significación de 0’05 nos planteamos: a) ¿Ha cambiado realmente la opinión pública, o tal resultado es debido al azar? b) ¿Se admite que ha disminuido el porcentaje de ciudadanos en contra de esa ley? (Zα) 18.- Un laboratorio de farmacia afirma que un producto que elabora es efectivo para aliviar una cierta molestia en el 90% de los casos en 12 horas. Ese medicamento recetado a una muestra aleatoria de 300 personas enfermas dio buen resultado, al cabo de 12 horas, en 240 casos. ¿Se puede afirmar a un nivel de significación 0’1 que la afirmación del laboratorio es correcta? 19.- El Ayuntamiento de Santa Cruz de Tenerife afirma que el 65% de los accidentes juveniles de los fines de semana son debidos al alcohol. Un investigador decide contrastar dicha hipótesis, para lo cual toma una muestra formada por 35 accidentes y observa que 24 de ellos han sido debidos al alcohol. ¿Qué podemos decir sobre la afirmación del Ayuntamiento? 20.- En una ciudad se desconoce el porcentaje de alumnos de 4º de E.S.O. que elegirán la modalidad de Bachillerato de Humanidades o de Ciencias Sociales. Por tal motivo se hará una encuesta a 81 estudiantes, elegidos entre varios centros educativos. Cincuenta de ellos afirman que desean estudiar alguno de los dos Bachilleratos indicados. Si en los años anteriores el porcentaje de alumnos que elegían estos Bachilleratos era del 46%, ¿puede afirmarse, con una confianza del 95% que las intenciones de los alumnos han variado? 21.- Un dentista afirma que el 40% de los niños de 10 años presentan indicios de caries dental. Tomada una muestra de 100 niños, se observó que 30 presentaban indicios de caries. Utilizando la aproximación normal, comprueba, a nivel de significación del 5%, si el resultado proporciona evidencia que permita rechazar la afirmación del dentista. CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL (UNILATERAL TIPO Zα) 22.- Una asociación ecologista se opone a la construcción de una presa aduciendo que la mayor parte de los habitantes de la zona se opone también a su construcción. Para comprobar tal opinión se realiza un estudio preguntando a 400 ciudadanos; de ellos, están en contra de la presa 220. Para un nivel de confianza del 95%, ¿puede asegurarse que la mayoría de los habitantes de la zona se oponen a la construcción de la presa? 23.- Raquel le dice a Gazmira que al menos un 15% de los alumnos de Instituto tiene moto. Gazmira realiza una encuesta aleatoria entre 200 estudiantes del Centro y encuentra que 17 de ellos tiene moto. Con un nivel de significación del 10%, ¿quién de las dos tiene razón, estadísticamente hablando? ¿La hipótesis que defiende Gazmira es la nula o la alternativa? 24.- Después de una huelga entre el funcionariado, los sindicatos convocantes afirman que el porcentaje de trabajadores que acudieron a su labor fue inferior a igual al 3%. Se ha preguntado a 30 funcionarios, elegidos al azar, y se ha obtenido que 24 de ellos se pusieron en huelga. ¿Proporciona la muestra suficiente evidencia para rechazar la hipótesis sindical, a un nivel de significación del 5%? 30 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 25.- La cuota de pantalla (share medio) de una cadena de televisión está en el 27%. Tras una campaña publicitaria para promocionar la cadena, se realiza una encuesta entre 800 televidentes, obteniéndose una cuota de pantalla del 30%. ¿Puede asegurarse, con una significación de 0’05, que la campaña publicitaria ha dado resultado? 26.- Un experto, basándose en los anteriores comicios, sostiene que si se celebraran elecciones generales en este momento tan sólo acudirían a votar el 48% de la población. No obstante, en un sondeo electoral realizado recientemente entre 1.500 personas, 800 tienen intención de votar. ¿Supone esto, con un nivel de confianza del 99%, que el experto se equivoca y que la intención es mayor? 27.- Se afirma que, en una determinada ciudad, al menos el 30% de las familias poseen ordenador. Se toma una muestra aleatoria de 200 familias de la ciudad y resulta que 50 poseen ordenador. A un nivel de significación de 0’05, ¿hay suficiente evidencia para refutar la afirmación? 28.- El 42% de los escolares de un cierto país suelen perder al menos un día de clase a causa de gripes y catarros. Sin embargo, un estudio sobre 1000 escolares revela que en el último curso hubo 450 en tales circunstancias. Las autoridades sanitarias defienden que el porcentaje del 42% para toda la población de escolares se ha mantenido. Contrasta, con un nivel de significación del 5%, la hipótesis defendida por las autoridades sanitarias, frente a que el porcentaje ha aumentado como parecen indicar los datos, explicando claramente a qué conclusión se llega 29.- Un fabricante de pilas anuncia que como máximo hay un 2% de defectuosas. Para contrastarlo se toma una muestra aleatoria de 100 pilas y se observa que 8 son defectuosas. Con un nivel de significación del 5%, ¿debemos aceptar lo que dice el fabricante? 30.- Una academia que prepara oposiciones por correspondencia afirma que al menos el 80% de sus alumnos aprueban. Con el fin de contrastarlo se elige aleatoriamente una muestra de 50 alumnos de los que 38 aprueban. ¿Se puede admitir la propaganda de la academia a un nivel de significación del 5%? 31.- Según la ley electoral de cierto país, para obtener representación parlamentaria un partido político ha de conseguir, en las elecciones correspondientes, al menos el 5% de los votos. Próximas a celebrarse tales elecciones, una encuesta realizada sobre 1.000 ciudadanos elegidos al azar revela que 36 de ellos votarán al partido A. ¿Puede estimarse, con un nivel de significación del 5% que A tendrá representación parlamentaria? ¿Y con un nivel de significación del 1%? 32.- En las últimas votaciones, hace un año, el 53% de los votantes de un pueblo estaba a favor del alcalde. Se acaba de realizar una encuesta a 360 personas elegidas al azar y 176 de ellas estaban a favor del alcalde. ¿Se puede afirmar, con un nivel de confianza del 90%, que el alcalde pierde popularidad? 33.- Se efectúan 60 lanzamientos de una moneda, obteniendo 39 veces cara. ¿Está la moneda trucada con un nivel de significación del 5%? ¿Y para un nivel de significación del 1%? 31 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales PROBLEMAS DE REPASO: ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS. 1.- Para una muestra de 36 alumnos se ha obtenido una media en matemáticas de 5’2. Si la desviación típica para la población es de 2’04. Hallar: a) Intervalo de confianza con un nivel de significación de 0’1. b) Intervalo de confianza para un nivel de significación de 0’05. 2.- El peso medio de una muestra de 1000 recién nacidos es 3200 g. Sabiendo que la desviación típica de los pesos de la población de recién nacidos es 150 g, hallar el intervalo de confianza para la media poblacional para una significación de 0’05. 3.- Para determinar la proporción de jóvenes menores de 21 años que son fumadores, se hace una muestra de tamaño 300. El resultado fue de 96 fumadores y 204 no fumadores. Si por estudios anteriores se sabe que la proporción poblacional de fumadores era 0’35, ¿cuál será el intervalo de confianza, con una significación 0’01, para la proporción de fumadores en la actualidad? 4.- En una muestra de 30 alumnos se preguntó si poseían o no ordenador. Las respuestas fueron: sí, 11; no, 19. Construir el intervalo de confianza para la proporción de alumnos que poseen ordenador, con una confianza del 95’44%. 5.- Se desea realizar una investigación para estimar el peso medio de los hijos recién nacidos de madres fumadoras. Se admite un error máximo de 50 gramos, con una confianza del 95 %. Si por estudios anteriores se sabe que la desviación típica del peso medio de tales recién nacidos es de 400 gramos, ¿qué tamaño mínimo de muestra se necesita en la investigación? 6.- En una región española, la nota media de los estudiantes de primero de Bachillerato fue, el año pasado, de 5’7 puntos, con una desviación típica = 0’5. En diversos centros de Bachillerato, situados en la zona este de la región, se hace un muestreo de 49 alumnos, obteniéndose una nota media de 5’85. En otros centros de la zona oeste, un muestreo de tamaño 100 da una media de 5’6. Para una confianza del 95%, ¿puede afirmarse que las diferencias de cada zona respecto a la media general sean debidas al azar? 7.- Un estudio sociológico afirma que el 70% de las familias se sienta a la mesa para cenar con la TV encendida. Se desea contrastar la veracidad de esta afirmación y se toma una muestra de 50 familias de las cuales 34 ven la TV mientras cenan. Decidir si la afirmación es cierta con un nivel de significación de 0,01. 8.- Un partido político desea saber con un nivel de significación del 0,01 si la proporción de votantes será mayor del 35%. Para ello se elige una muestra de 1200 votantes y obtiene que 336 son partidarios de darle el voto. ¿Se puede aceptar que la proporción de votantes estará en la proporción deseada? 32 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Si se estudia la temperatura de una ciudad a lo largo de un día habrá una temperatura para cada hora; si se elabora una tabla con los países de la Comunidad Europea y su superficie en km2, habrá una cantidad para cada país. FUNCIONES: Se dice que se tiene una función cuando a cada elemento de un conjunto se le asocia un único elemento de otro conjunto. Se llama variable independiente, y se representa por la letra x, a cualquier elemento del primer conjunto. Se llama variable dependiente, y se representa por la letra y, a cualquier elemento del segundo conjunto. Expresión algebraica o ecuación: cuando es posible, los valores de la variable dependiente se obtienen a partir de la variable dependiente por medio de una fórmula, que se denomina ecuación o expresión algebraica de la función. Las funciones se suelen representar gráficamente en un sistema de ejes cartesianos, formado por dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado origen de coordenadas. En el eje horizontal se representan los valores de la variable independiente y en el eje vertical los de la variable dependiente. Cada punto es un par ordenado (x, y). Este conjunto de puntos recibe el nombre de gráfica de la función. Analizando la gráfica de una función podemos estudiar su continuidad, su crecimiento y decrecimiento, los valores máximos o mínimos que alcanza, si es o no periódica, simétrica... ALGUNAS FUNCIONES QUE ESTUDIAREMOS SON: función lineal: que se llama también función de proporcionalidad directa, es de la forma y = ax. En estas funciones las variables x e y son directamente proporcionales. “a” se llama constante de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Función afín: es de la forma y = ax+b. En este caso “a” es la pendiente de la recta, “b” es la ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que no pasa por el origen. a ax b Función de proporcionalidad inversa: es de la forma y , o también y . x x Su gráfica es una hipérbola. Función cuadrática: es de la forma y = ax2+bx+c. Su gráfica es una parábola con b vértice en el punto de abscisa x . Si a<0, el vértice es el punto máximo de la 2a parábola y, si a>0, el vértice es su punto mínimo. Otras funciones interesantes, aunque no nos ocuparemos de ellas por el momento, son: Función exponencial (y=ex) Función logaritmo neperiano (y=Lnx) Funciones trigonométricas (y=Cosx, y=Senx, y=Tgx) Aspectos fundamentales de una función son: su dominio, puntos de corte con los ejes, regiones en donde toma valores positivos o negativos, y puntos máximos o mínimos. Estos datos nos ayudarán a representarla gráficamente. 33 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 1.- Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1 x a) y b) y 2 c) y x 2 x x 4 d) y x 2 4 e) y x 3 f ) y 7 2x 2.- Hallar el dominio de las funciones: 1 2x 1 a) f (x) 2 b) g(x) 2 c) h(x) x 2 16 x 16 x 5x 6 x 2 3x 2 x 1 d) s(x) 2 e) r (x) 4 x 2 f ) t( x) x 5x 4 x 3 3.- Calcular el dominio de las funciones: x 2 si x 0 x x 1 si x 0 a) f (x) 2 b) g(x) 2 x si x 0 x si x 2 1 x si x 1 x 1 si x 0,1 c) h(x) d ) t( x) x si 1 x 3 2 x 1 si x 1,2 1 si x 3 x 5 4.- Representar gráficamente las funciones: x 1 si x 2 x 2 1 si x 1 a) f (x) b) g(x) 2 x 1 si x 2 2 x 2 si x 1 x 2 si x 2 x si x 5 2 2 c) h(x) x 4 si 2 x 1 d) t(x) x 1 si 5 x 0 2x 1 si x 1 2x 1 si x 0 x 3 si x 0 2 si x 1 2 e) e(x) g) l(x) x si 0 x 2 1 si x 1 x 2 si x 2 x 1 5.- Partiendo de la gráfica de la función y = 2x, dibujar mediante traslación, las gráficas de las funciones: y = 2x + 1, y = 2x + 4, y = 2x – 3. Hallar los puntos de corte con los ejes de estas funciones. 6.- Dadas las funciones y = ax + 2, y = 6x – b, y = -2x-1: a) Hallar a para que las dos primeras sean paralelas. b) Hallar b para que las dos últimas corten en la misma posición al eje Y. c) Hallar a para que la primera y la última sean perpendiculares. 7.- Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el borde de una ventana. Su altura sobre el suelo, h, pasados t segundos está dada por la expresión h 36 24 t 5t 2 . Representar esta función y deducir: a) La altura inicial de la pelota. b) La máxima altura que alcanza y en qué instante. c) Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo. 34 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 8.- Supongamos que para calcular el importe del recibo de la luz se sigue la siguiente regla: Por un consumo menor o igual que 100 kw/h se paga 8 € sea cual sea la energía consumida. Si el consumo sobrepasa los 100 kw/h se pagará 0’10 € por cada kw/h que pase de 100, además de los 8 € por los 100 primeros. Ahora bien, si el consumo pasa de 500 kw/h entonces en lugar de pagar cada kw/h que pase de los primeros 100 a 0’10 €, se pagará a 0’15 €, además, claro está de los 8 € correspondientes a los primeros 100. Teniendo en cuenta todo lo anterior: a) Calcular la función que proporciona el importe del recibo de la luz en función del consumo de energía eléctrica. b) Representar gráficamente dicha función. c) Calcular el dominio y el recorrido. 9.- Una empresa de alquiler ofrece dos contratos diferentes al contratar un determinado modelo de coche: Contrato A: 30 € / día y kilometraje ilimitado. Contrato B: 6 € / día y 0’06 € por kilómetro. Un turista quiere hacer un viaje de 10 días, pero no sabe exactamente cuántos kilómetros va a recorrer. Se pide: a) Determinar cuál de los dos contratos es más económico en función de los kilómetros recorridos. Hallar los intervalos en los que se da esta situación. b) Calcular cuántos kilómetros ha de recorrer diariamente para que los contratos sean igual de económicos. c) Hacer una representación gráfica. 10.- El valor de un producto electrónico, en función del número de meses que lleva vendiéndose, x, viene dado por: E(x) (x 25)(x 75) a) Representar gráficamente la función. ¿Cuándo crece y cuándo decrece? b) ¿En qué momento alcanza el producto su valor máximo y cuál es éste? c) Si se deja de comercializar cuando vale 475 €, ¿en qué momento sucede esto? 11.- El manual de usuario de un vehículo afirma que el ruido producido por el motor sigue, aproximadamente, la fórmula r (t) at 2 5t 8 , donde t es el número de años de antigüedad del vehículo; a es un número fijo, que se denomina coeficiente de atenuación, y r es el nivel de ruido, medido en decibelios. En el informe de la última revisión del vehículo, que tiene 4 años de antigüedad, figura que la medición de ruido fue de 36 decibelios. a) ¿Cuál es el coeficiente de atenuación? b) ¿Cuántos decibelios producirá en ocho años? c) Si a un vehículo no se le permite circular cuando supere los 108 decibelios de ruido, ¿cuántos años durará? 12.- Dos fuentes de energía producen electricidad a la vez durante 10 horas, según las funciones: x f (x) x 2 10 x 600 y g(x) 615 ; con 0 x 10 2 a) ¿En qué momentos están produciendo la misma cantidad de energía las dos fuentes? d) ¿En qué intervalo es decreciente la producción de la primera fuente? e) ¿En qué momento es máxima la producción conjunta de las dos fuentes? 35 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Tipo Ejemplos: 3x 2 x 1 2 3 3x x 2 2 lim lim x x lim x x x 2 x x 2 x 1 2 2 2 x x x x x 1 2 lim x 1 2 x 1 2 lim x 1 4 lim x x 3 x x 3 x 1 2 x x 3 x 1 2 x 3 1 lim x x 3 x 1 2 lim x x 1 2 0 Ejercicios: 2x 2 5x 1 x 3 x 6 3 a) lim b) lim c) lim x x2 2 x x2 2 x x x 3 0 Tipo Ejemplos: 0 x 1 2 lim x 1 2 x 1 2 lim x 3 lim 1 1 x 3 x 3 lim x 3 x 3 x 3 x 1 2 x 3 x 1 2 x 3 x 1 2 4 x2 4 x 2x 2 x 2 lim lim lim 4 x 2 x 5x 6 2 x 2 x 2x 3 x 2 x 3 Ejercicios: x2 x 2 x2 x 2 9 x2 2x 4 x a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 5x 2 x 2 2 x 2 x 0 1 1 x x x2 x x 6 3 f ) lim g) lim 3 h) lim i) lim x 1 1 1 x x 0 x 4 x 2 4 x 1 x 0 2 x 2 x x 3 x 3 Tipo Ejemplo: 3x 2 x 3 x 2 x 3 x x 2 5x lim 3x lim lim 5 x x 2 x x 2 x x 2 Ejercicios: 1 x2 3 x 5 2 3x 7 a) lim b) lim 2 c) lim 2 2 x 1 x 1 x 1x 2 x 2 x 2 x 11 x 18 x 0 x 2 x x x 6x 2 6x 2 4x 2 1 d) lim x 2 e) lim x f ) lim 5 x x x 2 x x 2 x 2 x 1 36 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 1.- Calcula los límites de las siguientes funciones: x 2 6x 8 x5 1 x 2 2x 1 a) lim b) lim c) lim x 4 x4 x 1 x 2 1 x 1 x 3 3 x 2 3 x 1 2 x 3 14 x 2 12 x 4 x 2 6 x 3 2x 2 2x 4 7 x 8 d) lim 3 e) lim f ) lim 6 x 1 x 10 x 2 27 x 18 x 0 x x 3 x 5 x 2 4 x 7 x 2 8 g) lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 h) x lim x 2 3 x 2 5 i) x lim x 2 1 x 2 1 x 12 x 12 j) lim x x 2x 3 x k) 2x 2 4 x 5 lim x x 3 3 x 2 l) lim x 5x 3 5 x 3 2x x 2x 1 2x 9x 2 2 3 3 m) lim n) lim ñ) lim x 2 3 x x 1 x 7x 2 o) lim 2 x 2 x 12 x 3 x x 6 p) lim x 3x 2 q) lim x x 1 x 4x 2 7x 2 x 2 2x x 12 2x 2 r ) lim 2 s) lim 2 t) lim x 2 x 4 x 1 3 x 6 x 3 x 1 x 2 2x 1 x 3, si x 2 2.- Dada la función: f (x) 2 x 3, si x 2 a) Hallar el dominio. b) Representar f(x). c) Calcular lim f(x) si x 4, x 4, x 2 , x 2 d) Estudiar la continuidad de la función. 3.- Clasifica las discontinuidades de cada función en el punto indicado: 1 a) f ( x) en x 3 x 3 x si x 1 b) g( x ) 2 en x 1 x 2 si x 1 1 x 1 x0 3 x 9 4.- Calcula el límite de la función: f (x) 2 0 x 3 para 4–, 4+, 4, –1–, –1+, –1, 0–, 0+, 0, 3–, 3+, 3. x 9 x3 3x x 3 2x 2 8 5.- Estudia la continuidad de la función: f (x) x 2 2x 37 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales (VARIACIÓN DE FUNCIONES) 6.- Dada la gráfica de la imagen, se pide: a) Hallar el dominio y el recorrido de la función. b) Intervalos de crecimiento. c) Asíntotas. d) Estudiar la continuidad y clasificar las discontinuidades. 7.- Dadas las gráficas siguientes: a) Hallar el dominio y el recorrido de la función. b) Intervalos de crecimiento. c) Asíntotas. d) Estudiar la continuidad y clasificar las discontinuidades. x| x | 8.- Explica por qué no existe el límite de la función f (x) cuando x 0 x 9.- La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites que se piden: Y 8 6 4 2 X 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 a) lim f x b) lim f x c) lim f x d) lim f x e) lim f x x x x 3 x 3 x 0 10.- Representa los siguientes límites: lim f x lim f x x 2 x 2 38 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 11.- Calcula el límite de la siguiente función en el punto x = 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha: f x 1 x 3 12.- Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas: x x2 x x4 a) lim x b) lim x x 3 4 x 3 4 13.- A partir de la gráfica de f(x) señala si es continua o no en x = 0 y en x = 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad. Y 8 6 4 2 X 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 x 2 2x si x 1 14.- Estudiar la continuidad de: f x 3x 1 si x 1 39 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Representar las siguientes funciones: D 1,1 R 1, 1 2 D 2,2 Puntos de corte : 1 ,0 , 1 ,0 , 0 , 1 R 2 2 2 Puntos de corte : 0 ,0 1 1 Positiva : 1, 2 2 ,1 Positiva : ,2 0,2 Negativa : 2,0 2, 1 1 Negativa : ,1 , 1, * Creciente : ,2 2,2 2, * 2 2 Máximos : No hay Creciente : 0,1 1, Mínimos : No hay Decrecient e : ,1 1,0 Máximos : No hay Asíntotas verticales : x 2, x 2 Asíntota horizontal : y 0 1 Mínimos : 0, Discontinu idad : x 2, x 2 2 Asíntotas verticales : x 1, x 1 Asíntota horizontal : y 1 Discontinu idad : x 1, x 1 D 2,2,4 R D 2,5 1 R 2, Puntos de corte : 0, , 3,0 2 Puntos de corte : 2,0 , 0 ,24 ,0 Positiva : 4 ,3 2,2 Positiva : 2,2 4 ,5 Negativa : , 4 3, 2 2 , Negativa : 2,4 * Creciente : 0 ,2 2, * Decrecient e : ,4 4 ,2 2,0 Creciente : 2,0 3,5 Decrecient e : 0 ,3 1 Mínimo : 0, Máximos : 0,2 2 Mínimos : 3,2 Asíntotas verticales : x 2, x 2, x 4 Asíntota vertical : x 5 Asíntota horizontal : y 0 Discontinu idad : x 2, x 2, x 4 40 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales AUTOEVALUACIÓN 2ª PARTE DEL CURSO 1. Se está estudiando el absentismo laboral de los trabajadores de unos grandes almacenes. Se ha elegido al azar 30 trabajadores, encontrándose que faltaron al trabajo una media de 2’3 días/mes, con desviación típica s = 0’8. a) Determinar el intervalo de confianza del 90% para el número de días de absentismo de los trabajadores de esa empresa. b) Antes de la realización de la encuesta, los representantes sindicales aseguraron que el absentismo era inferior a 2 días/mes, ¿tenían razón? 2. Se trabaja con la hipótesis de que a uno de cada 10 alumnos de 2º de bachillerato le gustan las Matemáticas. a) Elegidos 400 alumnos, 50 declaran sentir gusto por la mencionada asignatura. Con un nivel de significación del 10% se puede aceptar la hipótesis de partida? b) Sobre la muestra estudiada en el apartado anterior, ¿se obtendría la misma conclusión si 0'02 ? 3. La longitud media de los ejes fabricados por una compañía es de 7’05 mm, con una desviación típica de 0’15 mm. Una muestra de 36 ejes, seleccionada como control del proceso dio una media de 6’95 mm. ¿Cabe esperar a partir de este dato que hay algún fallo en el proceso de producción? Considérese nivel de significación del 5%. 4. En las últimas votaciones, hace un año, el 53% de los votantes de un pueblo estaba a favor del alcalde. Se acaba de realizar una encuesta a 360 personas elegidas al azar y 176 de ellas estaban a favor del alcalde. ¿Se puede afirmar, con un nivel de confianza del 90%, que el alcalde pierde popularidad? 5. Representar gráficamente las funciones siguientes, Indicando: dominio, recorrido, asíntotas y cortes x 1 con los ejes. a) f (x) x 2 3 x 4 b) g(x) 2 c) t( x ) d ) s(x) x 2 6 x 10 2 x 2 6. Calcular los límites: x a) lim x 2 4 x x 2 7 b) lim x2 4 x 2 x 3 2 x 2 5 x 10 c) lim 5 2x 3 2x x 2 3 d) lim x 12 x 2 3 x 2 6x 3 x 2 1 si x 0 7. Dada la función f (x) x 2 si 0 x 4 , estudiar su continuidad y representarla. Indicar, en su 6 si x 4 caso, qué tipo de discontinuidades presenta. 8. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el borde de una ventana. Su altura sobre el suelo, h, pasados t segundos está dada por la expresión h 36 24t 5t 2 . Representar esta función y deducir: a) La altura inicial de la pelota. b) La máxima altura que alcanza y en qué instante. c) Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo. 41 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 1.- Derivar: x7 a) y 5 x 3 b) y 7 x 4 c) y 5 x d) y 8 4 e) y ax n f) y x g) y h) y 3 x 3 2.- Derivar: a) y 3x 2 x 3 b) y 7 x 4 5x 2 9x c) y ax 2 bx c 1 1 d) y 3x 2 2x 5 e) y 7 x 2 25 x 4 f ) y x3 x2 x 1 x x2 3.- Derivar: x 2 3x 1 x 1x 1 1 a) y b) y c) y 2 x 3 x 2 2 x x 1 3 x x 2 x 3 2 1 d) y e) y f) y 4 x 2x x 4.- Derivar las siguientes funciones (discriminar aquéllas en las que se utiliza la regla de la cadena): 1 1 x 1 a) y 5x 4 7 x 3 8 x 2 3 b) y x 3 x 2 3 2 5 6 c) y x 2 x 3 d) y x 2 3x 1 3 2 3 x 3 e) y f ) y 4 x 6x 5 x 3 3 x 1 1 g) y h) y 5 x 3x 2 3 2 4 x 3x x 2x 2 3x 5 4 3 x x 3x 2 1 i) y j) y x x3 x 2 5.- Derivar: x2 5 a) y b) x2 1 x 2 1 3 2 4x x2 x 1 c) y d ) y x 12 3x 2 e) y x 2 · x 2 f ) y x 4 2x 1 x2 4 g) y 2 x 4 h) y x2 1 x 2 2 1 2 x 12 x 1 2 i) y j) y x 12 x 1 42 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 1.- Hallar los máximos y los mínimos de las siguientes funciones: a) y x 3 x 2 1 b) y 3 x 2 2 x 3 c) y x 2 4 x 5 d ) y x 3 x 2 x 2.- Dada la función f (x) ax 3 bx 2 2x 1 , hallar los valores de a y b para que tenga un máximo para x = –2 y un mínimo para x = 3. 3.- La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es de 20 cm. ¿Cuáles serán sus valores si el área es máxima? 4.- Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta a 9 €/m y las de los otros lados 1 €/m, ¿cuál es el área del mayor campo que puede cercarse con 280 €? 5.- Se desea partir un alambre de 1 m de longitud en dos trozos y construir con cada uno de ellos un cuadrado. ¿Cómo se debe partir el alambre para que la suma de las áreas de los dos cuadrados sea lo más pequeña posible? 6.- De una lámina cuadrada de cartón de 12 cm de lado se ha recortado un cuadrado igual en cada esquina para formar, doblando convenientemente los bordes, una caja de base cuadrada. Calcular la longitud del lado del cuadrado que se debe recortar para que la capacidad de la caja sea máxima. 7.- El movimiento de un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba viene expresado por la función y = 20t – 5t2. Encontrar la altura máxima que alcanza. 8.- Hallar b y c en la función y = x2 + bx + c sabiendo que su gráfica pasa por el punto (0,1) y que tiene un mínimo en x = 2. 9.- Se desea construir una caja rectangular cerrada de base cuadrada y volumen 27 dm3. Hallar las dimensiones para que la superficie de la caja sea mínima. 10.- Hallar dos números cuya suma sea 5 y su producto máximo. 11.- La gráfica de una función y = f(x) verifica las siguientes condiciones: lim f (x) , lim f (x) , f(-4) = 0, f(0) = 0, f(2) = -4, f(4) = 0, f’(-2) = 0, f’(2) = 0, f’’(2) = 0. Dibujarla. x x 43 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales PROBLEMAS DE FUNCIONES (Propuestos en PAU) 1.- En una potabilizadora se puede producir P(x) toneladas de agua potable si se emplea un número x de trabajadores. Si la producción de toneladas de agua viene dada por la fórmula P(x) x(60 x) , se pide: a) ¿Cuántos trabajadores se tiene que contratar para que la potabilizadora produzca lo máximo posible? b) Hacer la gráfica de la producción y averiguar a partir de cuántos trabajadores la empresa tiene que dejar de producir. 2.- Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kg de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función B(x) 2x x 2 0,84 , siendo B(x) el beneficio expresado en euros, cuando x es el precio de cada kg expresado en euros. a) Representar B(x). b) ¿Entre qué precios por kg se produce beneficio para el almacenista? c) ¿Qué precio por kg maximiza el beneficio de éste? d) Si se tiene en el almacén 10.000kg de fresas, ¿cuál será el beneficio total máximo que podrá obtener? 3.- El precio de un artículo, que ha estado los últimos 6 años en el mercado, en función del tiempo t (en años) ha seguido la siguiente función: P(t) 3t 4 si 0 t 2 2 2t 20 si 2 t 6 a) Representar la función precio en los últimos 6 años. b) Estudiar cuándo ha sido creciente y cuándo decreciente el precio del artículo. c) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo? ¿Cuál es su precio actual? 4.- Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación C(x) en euros, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la expresión: C(x) 10x 2 1850x 25.000 . El precio de venta de cada juguete es de 50€. a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función beneficio, entendido como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios? 5 - Un banco lanza al mercado un plan de inversiones cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad que se invierte, x, en miles de euros, por medio de la expresión R(x) 0,001x 2 0,4 x 3,5 . Se pide: a) Deducir razonadamente qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan; b) ¿Qué rentabilidad se obtendría? 44 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 6.- Los beneficios, en cientos de miles de euros, estimados para una empresa durante los próximos 5 años, vienen dados por la función B(t) t 6 , si 0 t 5 , siendo t el tiempo en años. 2 t4 a) ¿Cuándo deja la empresa de tener pérdidas? b) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que los beneficios sean iguales a 125.000 euros? c) ¿Para qué valores la derivada de la función es positiva? Justificar la respuesta 7.- Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante los próximos años, por la función 15000 t 10000 f (t) , siendo t el número de años transcurridos. Se t4 pide: a) Tamaño actual de la población. b) ¿Cuántos años han de pasar para que haya 8750 individuos? c) Si esta función fuese válida indefinidamente, ¿se estabilizaría el tamaño de la población? 8.- Las pérdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenas de miles de euros cuando ha 2t 4 transcurrido t años, sigue la función f (t) t2 a) Determinar el año en que la empresa deja de tener pérdidas b) ¿Es creciente la función ganancia? c) ¿En qué año supera los 100.000 euros? d) ¿Existe límite para la ganancia? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite? 9.- La función f(x) da las ganancias de una empresa, en miles de euros, en función del tiempo 1 x si 0 x 3 transcurrido, x en años, desde su creación: f (x) 2 x3 si x 3 x 1 a) ¿Cuál es la ganancia, en euros, acumulada durante el primer año y medio? b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las ganancias c) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razonar la respuesta 10.- El número de flexiones por minuto que es capaz de hacer una persona, que empieza su entrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función f (x) 36 x 8 , siendo x = ”días de x 2 entrenamiento” y f(x) = ”número de flexiones”. a) ¿Es f(x) una función creciente? ¿Por qué? b) ¿Cuántos días de entrenamiento son necesarios para hacer 28 flexiones por minuto? c) ¿Hacia qué valor se aproxima el número de flexiones cuando crece el número de días de entrenamiento? 45 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales FUNCIONES: APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS 1.- El beneficio mensual de un empresario por la fabricación de x unidades diarias de un producto, en cientos de euros, viene dado por la función B(x) 0,05x 2 200x 1.000 , calcular: a) La tasa de variación media del beneficio cuando pasa de fabricar 1.000 a fabricar 1.200 piezas diarias. b) La tasa de variación instantánea cuando fabrica 1.000 unidades diarias. c) Si con el utillaje actual sólo puede fabricar hasta 1.500 unidades diarias, ¿cuántas debería fabricar para obtener el máximo beneficio? d) Renovando el utillaje podría llegar a fabricar hasta 2.500 unidades diarias. ¿Cuántas unidades diarias debe fabricar si renueva el utillaje para obtener el máximo beneficio? Sol.: a) 90; b) 100; c) 1.500; d) 2.000 2.- La demanda de un modelo de bomba hidráulica fabricado por una empresa está en función del precio de venta. A un precio de p cientos de euros, la empresa vende (10.000 – 50p) bombas al mes. Hallar: a) La función I(p) que da el ingreso mensual de la empresa. b) El precio al que debería vender cada bomba para que el ingreso mensual sea máximo. ¿Cuánto sería ese ingreso máximo? Sol.: a) 10.000p – 50p2; b) p=100 I=500.000 cientos de euros 3.- Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero? Sol.: precio de venta 95 cént. 4.- Cierta empresa vende bombillas a 70 céntimos de euro la unidad. A este precio una cadena de supermercados le compra 6.000 bombillas cada mes. El fabricante desea elevar el precio de la bombilla y estima que por cada céntimo de aumento en el precio, su cliente comprará 80 unidades menos cada mes. Sabiendo que el precio de coste de una bombilla es de 30 céntimos, ¿a qué precio debe venderlas el fabricante para ganar el mayor beneficio posible? Sol.: precio 87,5 céntimos 5.- A un vendedor de ordenadores le cuesta 1.400 euros cada modelo PC-AVANT. Ha comprobado que, al precio de 2.400 euros la unidad, vende 30 ordenadores mensualmente y que, por cada 20 euros de descuento en el precio puede vender 3 unidades más al mes. Calcular a qué precio debe venderlos para obtener el máximo de beneficio posible. ¿Cuál es ese beneficio? Sol.: precio 2.000€, con un beneficio de 54.000€ 46 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro escalonado y después resolverlo de abajo arriba. Para conseguirlo se efectúan cuatro transformaciones lineales: Multiplicar una ecuación (o fila de la matriz) por un número distinto de cero. Sumar a una ecuación (o fila de la matriz) otra multiplicada por un número. Intercambiar ecuaciones (o fila de la matriz). Cambiar el orden de las incógnitas. Dado que las transformaciones sólo afectan a los coeficientes de las incógnitas y a los términos independientes, se puede trabajar con la matriz ampliada del sistema. Al proceso por el que se eliminan algunos términos se le suele llamar hacer ceros. Si una fila está formada toda ella de ceros se elimina. La matriz asociada al sistema toma finalmente, una de las formas siguientes: ¡ 0 ¡ Es un S.C.D., hay tantas ecuaciones como incógnitas. 0' 0 ¡ 0 0 0 ¡ ¡ 0 ¡ Es un S.C.I., hay menos ecuaciones que incógnitas. 0 0 ¡ Si aparece una fila de ceros, salvo el último elemento, significa que se ha llegado a una ecuación de la forma 0 x 0y ... 0t k 0 , que es una igualdad imposible, por tanto es un S.I. EJEMPLOS: x 2y z 9 1 2 1 9 1 2 1 9 1 2 1 9 x y z 10 1 1 1 10 F 2F 1 0 3 2 19 3F 35F 2 0 3 2 19 S.C .D. 2x y z 5 2 1 1 5 F 3 2 F 1 F 2 0 0 7 56 0 5 1 13 Tiene una única solución, que se da en forma de terna (x, y, z). x 2y 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 x 3y z 4 1 3 1 4 F 2F 1 0 1 1 1 F 35F 2 0 1 1 1 S.C .I. F 3 2 F 1 0 1 1 1 2x y 5z 1 2 1 5 1 0 5 5 5 0 0 0 0 Tiene infinitas soluciones. Se obtienen dos de las incógnitas en función de los valores de la tercera. xyz 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xz 1 1 0 1 1 F 3F 12F 2 1 0 1 1 S.I. 2x y 2z 4 2 1 2 4 0 0 0 2 No tiene solución. 47 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales 1.- Resolver y clasificar los siguientes sistemas: (REVISAR SISTEMAS HOMOGÉNEOS) x y 1 2 x y z 5 3x y 2z 12 a) y z 1 b) 3x 2y 4 c ) x y 2 z 4 2 x z 1 2 x 6y 2z 1 x 2y 2 x 2 y 3 2 x y 3z 3 2 x 5y 3z 0 d ) 2 x y 5z 4 e) 4 x y 5z 5 f ) 2 x y 0 2 x 3y z 4 x z 1 x y z 0 x 2 y 3 z 2 x z 7 5x y z 13 g) x 8 y 27 z 0 h) y z 8 i) x 2y 3z 12 x y z 1 x 2y 3z 19 2 x y z 9 4 x y 5z 25 x y z 6 x y z 0 j) 7 x 5y z 17 k) x y z 4 l) 2 x 4 y z 4 3x y z 21 3x y z 8 x 3y 4 z 4 2.- Tres personas, A, B y C, deciden realizar un negocio en común; el capital necesario es de 8.600 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B, C paga 3€. Se pide: a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto aporta cada persona. b) Resolver el sistema planteado por el método de Gauss. 3.- Alba reúne en una colección de vídeos de deportes, música y películas un total de 20. Los vídeo de deporte y música, juntos, son el triple que los de películas. Si compra un vídeo de música más, su número igualaría al de deportes. ¿Cuántos vídeos tiene de cada tipo? 4.- La edad de una madre es, en la actualidad, el triple que la de su hijo. La suma de las edades del padre, madre e hijo es 80 años y dentro de 5 años, la suma de las edades de la madre y el hijo será 5 años más que la del padre. ¿Cuántos años tienen el padre, la madre y el hijo en la actualidad? 5.- La ampliación de capital de una empresa se realiza a través de tres opciones A, B, y C. Los precios de cada una de la opciones son, respectivamente, 100, 200 y 300 €. La recaudación total fue de 42.500 € y el número total de acciones fue de 200. Si las acciones de A hubieran sido las de B y las de B las de a se obtendría u a recaudación de 40.000 €. Calcular el número de acciones de cada tipo. 6.- El administrador de la comunidad de vecinos está tratando de descubrir cuánto cobran a la hora un electricista, un fontanero y un albañil. Sabe que: En el 4ºA el electricista estuvo 1 hora y el albañil 2 horas y tuvieron que pagar 78 € de mano de obra. En el 3ºD pagaron 85 € por las dos horas que estuvo el fontanero y la hora que estuvo el albañil. En mi casa estuvieron 1 hora el fontanero, 1 hora el electricista y 3 horas el albañil y nos cobraron 133 €. ¿Cuánto cobra por hora cada profesional? 48 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales MÁS PROBLEMAS CON SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- El testamento de un padre de tres hijos contiene las siguientes disposiciones: “La parte de mi hijo mayor será la media de la parte de los otros dos, más 3.000 euros; la parte de mi segundo hijo será exactamente la media de las partes de los otros; la parte del más joven será la media de los otros dos, menos 3.000 euros”. Estudiar la dependencia de las ecuaciones del sistema descrito. 2.- La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma de la de las decenas más el doble de la de las unidades. Si se invierte el orden de las cifras el número disminuye en 297 unidades. Calcular dicho número. 3.- Una madre y sus dos hijos tienen un total de 60 años; el hijo mayor tiene tres veces la edad del menor, y la madre tiene el doble de la suma de las edades de sus hijos. Plantear un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que resuelva el problema. 4.- Las tres cifras de un número suman 18. Si a ese número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtiene 594; la cifra de las decenas es media aritmética entre las otras dos. Hallar dicho número. 5.- La suma de las edades, en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es 73 años. Dentro de 10 años la edad del padre será el duplo de la edad del hijo menor. Hace 12 años la edad del hijo mayor era doble de la edad de su hermano. Hallar la edad de cada uno. 6.- Tres jugadores convienen en que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con 200 euros. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego? (Nota: doblar en el juego es poner una cantidad igual a la del otro) 7.- El gasto mensual en salarios de una empresa de 36 trabajadores es de 54.900 euros. Hay tres categorías de trabajadores: A, B y C. El salario mensual de un trabajador de la categoría A es de 900 €, el de uno de B es de 1.500 € y el de uno de C es de 3.000 €. Sin despedir a nadie, la empresa quiere reducir el gasto salarial en un 5%. Para ello ha rebajado un 5% el salario a la categoría A, un 4% a B y un 7% a C. Averiguar cuántos trabajadores hay de cada categoría. 8.- El presupuesto para muebles en un instituto es cinco veces la suma del de libros más el de material de oficina. El presupuesto para libros es el triple del de material de oficina. La suma de lo presupuestado para muebles y material de oficina es 7 veces lo destinado a libros. a) ¿Se puede saber con estos datos el dinero destinado a cada compra? b) Determinar las cantidades si para libros hay 1.800 €. 9.- Los 176 niños de una población rural están distribuidos en tres colegios: A, B y C. Los matriculados en C suponen la cuarta parte de los matriculados en A, y la diferencia entre el número de alumnos de A y el de alumnos de B es inferior en una unidad al doble de matriculados en C. Averiguar cuántos niños recibe cada uno de los colegios. 10.- Para la compra de un artículo de precio 10,70 € se utilizan monedas de 1 €, de 50 céntimos de euro y de 20 céntimos de euro. El número total de monedas excede en una unidad al triple de monedas de 1 €. El 30% de la suma del número de monedas de 1 € con el doble del número de monedas de 50 céntimos coincide con el número de monedas de 20 céntimos. Hallar el número de monedas que se utilizan de cada clase. 49 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales REPASO DE INECUACIONES 1.- Resolver las siguientes inecuaciones: a) x 2y 2 b) y 3 c) x 2 d) x y e) x 4y 2 f ) y 3 2x 2.- a) Representar los semiplanos: 2x y 80 x 2y 100 x 0 y 0 b) Indicar la región del plano que pertenezca a todos los semiplanos (región factible). PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal es un conjunto de técnicas que pretende optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal de varias variables llamada función objetivo sujeta a una serie de restricciones expresadas por medio de ecuaciones o inecuaciones lineales. Los programas lineales suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan y pueden ser: a) Factibles, si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las restricciones. A su vez, pueden ser con solución única o con solución múltiple. b) No factibles, cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, las restricciones son inconsistentes. Propiedades: Si existe una única solución que optimice la función objetivo esta se encuentra en un vértice de la región factible acotada, nunca en el interior. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos del segmento que determinan esos vértices. En este caso hay solución múltiple. Si la región factible no está acotada, el programa lineal puede carecer de solución, pero si existe solución esta se encuentra en los vértices de la región factible. Ejemplo: Hallar el valor máximo de la función z=2x+2y (función objetivo) cuando x e y están sujetas a las restricciones: x 0; x 2y 4; 6x 5y 30 ; y 0 Pasos para resolver el problema: a) Representamos la región factible dibujando las rectas x 0; x 2y 4; 6x 5y 30 ; y 0 , viendo qué puntos cumplen las restricciones. b) A continuación calculamos los vértices de la región, donde se cortan las rectas anteriores dos a dos: A(4, 0), B(5, 0), C(0, 6) y D(0, 2). c) Calculamos el valor de la función objetivo en cada vértice: zA=8, zB=10, zC=12, zD=4 d) En este caso la región factible es acotada con solución única, pues el valor máximo se alcanza en el vértice C(0, 6) y vale 12. C D A B 50 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (Propuestos en PAU) 1.- Una fábrica de tabletas de chocolate tiene almacenados 600 kilos de chocolate y 400 kilos de almendras. La fábrica produce dos tipos de tabletas A y B. Las del tipo A llevan 300gr de chocolate y 100gr de almendras y se venden a 2 euros y las de tipo B llevan 200gr de chocolate y 100gr de almendras y se venden a 1,5 euros. a) ¿Cuál es la cantidad óptima que debe fabricar de cada tipo para que los ingresos sean máximos? b) Con la producción óptima, ¿cuánto sobra de chocolate y de almendras? 2.- Para seguir una dieta de adelgazamiento, se recomienda un preparado dietético mezclando dos productos A y B, con las siguientes condiciones: (1) La cantidad de producto B no debe superar la cantidad de producto A. (2) La cantidad de mezcla ingerida no debe superar los 200 gramos. (3) La cantidad de producto A no debe superar los 150 gramos. Si, en cada gramo, el producto A contiene 0,4gr de vitaminas y el producto B contiene 0,3gr de vitaminas, a) Representar la región factible. b) ¿Cuántos gramos de cada producto hay que incluir en la mezcla para maximizar su contenido vitamínico? 3.- Dos compuestos medicinales tienen dos principios activos A y B. Por cada píldora, el primer compuesto tiene 2 unidades de A y 6 de B, mientras que el segundo compuesto tiene 4 unidades de A y 4 unidades de B. Durante un periodo de tiempo, un paciente debe recibir un mínimo de 16 unidades tipo A y un mínimo de 24 unidades tipo B. Si el coste de cada píldora del primer compuesto es de 0,50€ y el coste de cada píldora del segundo compuesto es de 0,90€, a) Representar la región factible. b) Calcular el número óptimo de píldoras de cada compuesto que debe recibir el paciente para minimizar los costos. 4.- Un servicio técnico tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. Para el presente año ha de conseguir como clientes al menos 20 empresas y a un número de clientes particulares que, como mínimo, debe ser el doble que el número de empresas. Además tiene un límite global de 90 clientes anuales. Si cada empresa le produce 280€ de ingresos anuales y cada particular 170€ anuales: a) Plantear el problema que maximiza los ingresos anuales y representar gráficamente el conjunto de soluciones posibles. b) ¿Qué solución le proporcionaría los mayores ingresos anuales? ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos? 5.- Una empresa fabrica dos productos P1 y P2 que se venden a 50 euros y 44 euros la unidad, respectivamente. Para ello alquila dos máquinas, M1 y M2, al precio de 5 euros por hora y 6 euros por hora, respectivamente. Las horas de funcionamiento de cada máquina necesarias para la fabricación de una unidad de cada producto así como la disponibilidad máxima semanal de cada máquina vienen dadas en la siguiente tabla: Producto P1 Producto P2 Disponibilidad M1 2 horas 2 horas 80 horas M2 4 horas 2 horas 100 horas El coste de material utilizado en la fabricación de una unidad del producto P1 es de 10 € y en una unidad del producto P2, es de 8 €. Se desea saber cuántas unidades de cada producto se han de fabricar para maximizar el beneficio. Analizar gráficamente qué ocurre si el precio de P2 se reduce en 2 €. 51 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales MÁS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1.- Con 80 Kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 € y 150 €, respectivamente. Para la de montaña son necesarios 1 Kg de acero y 3 de aluminio y para la de paseo 2 Kg de cada uno de los metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el máximo beneficio? 2.- Un centro dedicado a la enseñanza de las nuevas tecnologías tiene dos cursos: uno elemental y otro de perfeccionamiento, para los que dedica distintos recursos. Por motivos de organización pueden atender entre 20 y 65 estudiantes del curso elemental y entre 20 y 40 estudiantes del de perfeccionamiento. El número máximo de estudiantes que se atiende es de 100, siendo los beneficios obtenidos por cada estudiante en el curso elemental de 145 euros, y de 150 euros cada uno del segundo nivel. ¿Cuántos estudiantes de cada nivel deben matricular para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál sería este beneficio? 3.- Sea la región del plano definida por las inecuaciones: x y 1 0 0x3 0 y 2 a) ¿Para qué valores (x, y) de la región considerada es máxima la función z 5x 2y ? b) ¿Para qué valores (x, y) es mínima? 4.- En la región determinada por x y 2, x y , x 0 e y 0 , hallar las coordenadas de los puntos en los que la función f (x , y) 3x 4y alcanza su mínimo y su máximo. 5.- Hallar los valores de x e y que hacen máxima la función z=8x+5y, sujeta a las restricciones adjuntas: x e y deben ser números naturales x y 7 3x y 12 x 3 6.- Una fábrica de cajas de cartón hace dos tipos de cajas. Unas cajas con base cuadrada que vende a 0,12 euros unidad y en las que gasta 2m de cinta adhesiva y 0,5m de rollo de cartón y otras de base rectangular que vende a 0,08 euros unidad y en las que se gasta 4m de cinta adhesiva y 0,25m de rollo de cartón. Si la fábrica dispone de 440m de cinta adhesiva y de 6,5m de rollo de cartón, ¿cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para que el valor de la producción sea máximo? 7.- Para la desinfección de una piscina es necesario un mínimo de 24 litros de un producto A y un mínimo de 25 litros de otro producto B. En el mercado se comercializan dos preparados M y N al precio de 10 y 30 euros el litro, respectivamente: En la composición de M hay un 10% de A y un 50% de B; en la de N hay un 40% de A y un 10% de B. ¿Cuántos litros de M y N necesitamos para desinfectar la piscina con el mínimo coste posible? 8.- Una empresa dedicada a la fabricación de piezas de automóvil tiene dos factorías que producen, respectivamente, 8.000 y 15.000 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres fábricas que necesitan 10.000, 7.000 y 6.000, piezas, respectivamente. Los costes del transporte, en euros, por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo? 52 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales PARA REPASAR 1.- En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 € y el precio de cada helado es de 4 € el de vainilla, 5 € el de chocolate y 6 € el de nata. Conocidos los gustos de los estudiantes, se sabe que el número de helados de chocolate ha de ser la mitad que los de nata. Plantear y resolver un sistema de ecuaciones para calcular cuántos helados de cada sabor se compran a la semana. 2.- En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio, G(x), en cientos de €, está relacionado con sus ingresos mensuales, x, en cientos de euros, a través de la siguiente expresión: 0'02 x 1 si 0 x 100 G(x) 30 x si 100 x 2 x 2300 a) Estudiar la discontinuidad del gasto. ¿El gasto en ocio de una familia es “sensiblemente” distinto si sus ingresos son ligeramente inferiores o superiores 100 (en cientos de euros)? b) Justificar que el gasto en ocio es siempre creciente. c) Justificar que ninguna familia realiza gastos en ocio superior a 150 (en cientos de €). x 2 9x 16 3.- La función B(x) representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de x venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcular el número de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máximo y determinar dicho beneficio máximo. 4.- El despertador de Javier no funciona muy bien, pues el 20% de las veces no suena. Cuando suena, Javier llega tarde a clase con probabilidad 0’2, pero si no suena, la probabilidad de que llegue tarde a clase es 0’9. a) Determinar la probabilidad de que llegue tarde a clase y haya sonado el despertador. b) Determinar la probabilidad de que llegue temprano. c) Javier ha llegado tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador? 5.- El peso de los pollos de una granja es Normal con µ = 2’6 kg y σ = 0’5. Se experimenta un nuevo tipo de alimentación con 50 crías. Cuando se hacen adultos, se les pesa y se obtiene µ = 2’78 kg. Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede “afirmar” que la media del peso de los pollos ha aumentado con la nueva alimentación? ¿Y con una confianza del 95%? 6.- En las últimas votaciones, hace un año, el 53% de los votantes de un pueblo estaba a favor del alcalde. Se acaba de realizar una encuesta a 360 personas elegidas al azar y 176 de ellas estaban a favor del alcalde. ¿Se puede afirmar, con un nivel de confianza del 90%, que el alcalde no ha perdido popularidad? 7.- En una empresa que fabrica microcircuitos se ha comprobado que el 4% de estos son defectuosos. Un cliente va a comprar un paquete de 500 microcircuitos procedentes de la fábrica. Determina: a) El número de microcircuitos defectuosos en el paquete de 500. ¿Y de no defectuosos? b) La probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos (en un paquete de 500) esté entre 20 y 30. c) La probabilidad de que en un paquete de 500 haya más del 5% de microcircuitos defectuosos. 53 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales AUTOEVALUACIÓN FINAL 1. Se sortea un crucero entre los 120 clientes de una agencia de viajes. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el crucero a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe ya que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea mujer? 2. a) Si A y B son sucesos tales que p(A) 1, p(B) 3 , p(A B) 2 . Con estos datos, calcular la 3 5 3 probabilidad de los siguientes sucesos: p(A B), p( A B), p(B A), p(A B) . b) ¿Son A y B son compatibles? ¿Son independientes? Justificar ambas respuestas. 3. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se les ha preguntado la cantidad de dinero que tienen en la cartera, obteniéndose una media muestral de 110 €. Se sabe que la desviación típica de la población es de 20 €. a) Obtener un intervalo de confianza, al 90%, para la cantidad de dinero en la cartera de la población. b) Si deseamos que el error cometido, con el mismo nivel de confianza, sea la décima parte del apartado anterior, ¿cuál ha de ser el tamaño de la muestra? 4. En el año 2006 se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el 63% de los adultos tenía teléfono móvil. Para contrastar si esta proporción se mantiene a principios de 2011 se encuestó a 160 adultos de los cuales 110 tenían teléfono móvil. a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta que la proporción de adultos con teléfono móvil sigue siendo, como máximo, del 63%? b) Y si la encuesta hubiese sido sobre 224 personas, de las cuales 154 tenían teléfono móvil, con un nivel de significación del 5%, ¿se tomaría la misma decisión? x x 2 2x 5. a) Calcular: lim x 1 x ; lim x x 2 4 x 5 x x 2 1 si x 0 b) Dada la función f (x) x 2 si 0 x 4 , representarla. Indicar su dominio, su recorrido y estudiar 6 si x 4 su continuidad. ¿Qué tipos de discontinuidad presenta? 6. La velocidad, en metros por segundo, que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros, viene dada en función de los metros recorridos, x, por la función f (x) 0,00055 x ·300 x . Deducir de forma razonada: a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? ¿Cuál es esa velocidad? b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando? ¿Y disminuyendo? Justificar aplicando derivadas c) ¿A qué velocidad llega a la meta? 7. La tarifa de un anuncio por palabras depende de la zona (A, B o C) en que se coloque en un determinado periódico. La suma de las tarifas de B y C es el triple que la tarifa de A. Si se ponen diez anuncios en cada tarifa, el precio total es de 840 euros, pero si se ponen diez en la zona A y veinte en la zona B, el precio total es de 600 euros. a) Plantear el correspondiente sistema. b) ¿Cuánto vale un anuncio en cada una de las zonas? 8. a) Representar el recinto que cumple las siguientes restricciones: x 3y 9; 2x y 8; x 0; y 0 ; b) Determinar el punto de dicho recinto en el que la función f (x , y) 3x 5y adquiere su valor máximo. 54 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales Tabla de derivadas (K es constante, y, f, g son funciones dependientes de la variable independiente x) Constante y=k y’ = 0 Lineal y = k·x y’ = k Suma y f g y' f 'g' Producto y f ·g y' f '·g f ·g' f f '·g f ·g' Cociente y y' g g2 y xn y' n·x n1 Potencia y fn y' n· f n1 · f ' 1 y x y' 2 x Raíz cuadrada f' y f y' 2 f 1 y ln x y' x Logaritmo neperiano f' y ln f y' f y ex , y ax y' e x , y' a x ·lna Exponencial y ef , y af y' f '·e f , y' f '·a x ·lna 55 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power 2º de Ciencias Sociales ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR, N(0, 1) K (z0) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 http://www.terra.es/personal/jariasca/selectiv/normal.htm 56 Departamento de Matemáticas I.E.S. 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