CT2121 EXPERIMENT31 Augustus 2011 cursusjaar 2011-2012 1 Voorwoord Het vak CT2121 Experiment (2 ECTS) is een onderdeel van de opleiding bachelor Civiele Techniek. Het vak bestaat uit een samenhangend geheel van experimenten, met het doel de studenten te leren hoe ze voor een wetenschappelijk onderzoek verschillende grootheden kunnen meten en hoe ze hierbij om moeten gaan met de eventuele fouten behorende bij de gebruikte meetmethode. Tijdens de experimenten wordt er gemeten aan civieltechnische materialen als beton, hout, staal, aluminium en bitumen. Bij het materiaal aluminium bijvoorbeeld rekent de student de E-modulus uit op twee verschillende manieren en analyseert hij of zij de krachtswerking in een statisch bepaalde constructie. Het experiment van beton is zo opgezet, dat de studenten hun eigen betonkubussen ontwerpen, maken en testen. De sectie Civieltechnische Materiaalkunde is hoofdverantwoordelijke voor het vak en verzorgt de experimenten 2, 3, 6 en 7. De sectie Constructie Mechanica verzorgt experiment 1, dat ongeveer een vierde van de tijdsbesteding van de student voor het vak beslaat. Tenslotte nemen de sectie Verkeersbouwkunde en de sectie Staal en Houtconstructies respectievelijk experiment 4 en 6 voor hun rekening. Het dictaat bestaat uit een theoretisch gedeelte (hoofdstuk 2 tot en met 4) en het gedeelte waarin alle experimenten beschreven staan (hoofdstuk 5). Wij vernemen graag alle op- en aanmerkingen die een bijdrage kunnen leveren aan de verbetering van dit vak. Namens Sectie Civieltechnische Materiaalkunde Dr. Henk M. Jonkers, CT2121-coördinator, kamer 6.19, tel. 015-2782313, E-mail:
[email protected] Oghuzan Copuroglu, UD, CiTG/Materials & Environment Student assistenten EXPERIMENT kamer 6.01, E-mail:
[email protected] Dit dictaat is gebaseerd op het dictaat van voorgaande jaren samengesteld door de heer Dr. Alex L.A. Fraaij, UHD, CiTG/Materials & Environment 2 Inhoudsopgave Voorwoord 1 2 Studiehandleiding CT2121 Meettheorie 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Grootheid, eenheid en dimensie Meetmethoden, fouten en enige statistische principes Enige instrumentkarakteristieken bij statische metingen Afronding, significante cijfers en het verwerpen van getallen Het trekken van een rechte lijn door een reeks meetpunten (kleinste kwadratenmethode) Fouten voortplanting 3 5 9 9 13 18 22 25 29 35 35 37 39 40 43 44 45 45 46 47 50 52 54 55 56 59 61 69 70 3 Meetinstrumenten 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 De schuifmaat De schroefmicrometer De digitale voltmeter De bepaling van de temperatuur: thermometer, thermokoppel en bimetaal De meetbeugel De LVDT (Linear Variable Differential Transformer) 4 Het rekstrookje 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Inleiding Rekstrookjes Brug van Wheatstone Meetschakelingen Normaalkracht Buigend moment Dwarskracht Randapparatuur voor de rekstrookjes: de ‘Peekelkast’ 5 Experimenten 5.1 Experiment 1 Onderzoek naar validiteit van buigingstheorie Bijlage 5.1.1: Het tekenen van regressielijnen Bijlage 5.1.2: Het gebruik van Maple bij Constructie Mechanica 3 5.4: Het materiaal beton en haar toepassing Bijlage 5.7 Experiment 2 Bepaling E-modulus van aluminium op twee manieren Experiment 3: Vervalt Experiment 4 Bepaling van penetratie-index (PI) van bitumen Experiment 5 Staal Experiment 6 Hout: Onderzoek naar de samenwerking van een samengestelde houten ligger Opdracht Hout-1 Opdracht Hout-2 Experiment 7 Bepaling sterkte-eigenschappen van zelfverdichtend.6: Niet-destructief onderzoek Bijlage 5.7.5: Nog enige opmerkingen over beton en betonsterkte Bijlage 5. hoge sterkte beton 5.2.7.6 5.5 5.7 Constructieve aspecten van gewapend beton Bijlage 5.2 5.1.7.4 5.8 Productinformatie cementsoorten 79 90 100 103 106 118 136 136 138 148 172 175 179 182 186 4 .7.7. Inleiding 5.7. De aandachtsgebieden en de te volgen stappen bij de (handmatige) berekening van betonmengsels Bijlage 5.3. Opdrachten 5.3 5.7.7. afhankelijk van het totaal aantal studenten. onder andere de sterkte en de stijfheid van verschillende materialen. Het Experiment is geroosterd in de kwartalen 1. Het meten van bepaalde grootheden is een vereiste om fysische en mechanische eigenschappen van een materiaal of een constructie te onderzoeken. Studenten die niet het gehele tweede jaar nog moeten doorlopen. moeten zich aansluitend als tweede groep inschrijven. Organisatie experimenten Het EXPERIMENT begint met het introductiecollege voor alle studenten gezamenlijk. In dit vak leert de student het omgaan met meettechnieken en het bepalen en berekenen van de nauwkeurigheid van deze meetmethoden. Algemene vakbeschrijving Het Experiment CT2121 is een verplicht tweedejaars vak voor Bachelors studenten Civiele Techniek. 2 en 4 van het collegejaar en bestaat uit 7 verplichte experimenten. verdeeld over 6 practicummiddagen. Aan het einde van het cursusjaar wordt de “Eindtoets” afgenomen. heb je een computerprogramma nodig en twee invulbladen. Van alle experimenten zijn invulbladen beschikbaar. Deze toets gaat voor het grootste deel over hoofdstuk 2 maar nu ook over hoofdstuk 5. Het gaat hierbij om eigenschappen die relevant zijn voor de civiele wetenschap.1 Studiehandleiding CT2121 In deze handleiding vind je informatie over de zaken over de organisatie van het vak CT2121. De omvang van het vak is 2 ECTS. Om experiment 1 te kunnen uitvoeren. De zeven verplichte experimenten (beschreven in hoofdstuk 5) zijn onderverdeeld in 6 practicummiddagen. Voor experiment 2 tot en met 7 geldt dat de invulbladen na afloop van een experiment van een cijfer worden voorzien. Wanneer je jezelf voor een groep hebt ingetekend. Roostering Alle deelnemers aan het vak CT2121 delen zich op in 50-60 groepen. Daarnaast is er een introductiecollege. deze zullen uitgereikt worden tijdens het betreffend experiment. In het startcollege zal een korte introductie gegeven worden voor het vak CT2121 en hoofdstuk 2 tot en met 4 van het dictaat behandeld worden en wordt ingegaan op de theorie van experiment 7: Bepaling sterkte-eigenschappen van zelfverdichtend beton. Dit gebeurt bij het intekenen voor de verschillende practicumdagen.7. Deze zijn te vinden op de site van de student-assistenten constructie5 . staan de weken waarin je een practicummiddag hebt vast. Elke groep bestaat uit 5 studenten. Reguliere tweedejaars dienen als eerste groep in te tekenen. Dit gebeurt in overleg met Dr. en een tijdstip voor wanneer je aan Experiment 1 kunt beginnen. Het gemiddelde van deze cijfers is het eindcijfer voor het vak. volgt uitsluiting van het betreffende experiment. Ingetekend dient te worden voor vijf practicumdagen.68. Op de intekenlijst worden 50-60 groepen onderscheiden van 5 personen.nl/~studass/CT2121/vakbeschrijving/.tudelft. zoals cijferlijsten. Er zal dan gezocht worden naar een inhaalmogelijkheid. Intekenen Intekenen voor de experimentele practicumdagen is verplicht voor aanvang van de cursus. Om dit experiment goed te laten keuren dien je een afspraak te maken bij de studentassistenten constructiemechanica op kamer 6. en dit kan op de intekenlijst op het publicatiebord bij kamer 6.01. Ook voor vragen mag je intekenen. Hierop komt alle actuele informatie te staan. Cijferregeling De sectie Civieltechnische Materiaalkunde is verantwoordelijk voor de verwerking van de cijfers en het doorgeven van de cijfers aan de Onderwijsadministratie. Herkansingsmogelijkheden Wanneer je met goede reden niet bij een practicummiddag aanwezig kunt zijn. Wanneer je niet van te voren hebt afgemeld en geen goede reden kan geven. Nadere informatie zal tijdens de cursus via Blackboard verstrekt worden. Het maken van een afspraak doe je door je in te tekenen op één van de lijsten die buiten de kamer aan de muur hangen. 6 . Voor aanvang van de eerste practicummiddag waarin experiment 7 gegeven wordt. moeten zich op donderdag 8 of vrijdag 9 september inschrijven. Je tekent je éénmaal in voor een groep en dan staan de data voor de vijf practicummiddagen en de begindatum voor experiment 1 vast. meld dit dan van te voren bij de student-assistenten. dient een betonmengselberekening gemaakt te worden. Ir. Oghuzan Copuroglu.mechanics. Voor alle (deel)experimenten en de eindtoets wordt een cijfer toegekend. Het is tevens verplicht om je aan te melden via Blackboard en te enrollen in de cursus CT2121. Reguliere tweedejaars dienen zich uiterlijk woensdag 7 september 17:30 te hebben ingetekend. Studenten die niet het gehele tweede jaar nog moeten doorlopen. aankondigingen en resultaten van (deel)experimenten. Een uitleg over het computerprogramma en over de opgave is te vinden op de bovengenoemde website.citg.mechanica www. 1 t/m §4.01.6.8 eens een keertje door.7. en bij experiment 2: bepaling E-modulus van aluminium op twee manieren. Jonkers (k. email: sa.ctm@citg.) zijn de studentassistenten van Civieltechnische Materiaalkunde de contactpersonen. Henk M.4.m.19. Lees §: 4. 82313.tudelft.68. kamer CT 6. tel. email: studass. 015-2787953. email:
[email protected]@tudelft.1 t/m §3. inhalen e.d.4 en §:3. 015-2783654. §:4.1 t/m §5. 0152787953. h.tudelft. kamer CT 6.In hoofdstuk 2 en 3 wordt de theorie gepresenteerd die nodig is voor het begrijpen van de meetapparatuur en de meettechnieken en voor het bepalen van de nauwkeurigheid van een meetmethode.01. kamer CT 6. Daarna zijn er nog eventuele toelichtingen en bijlagen te vinden voor extra informatie betreffende het experiment. Lees §: 5.tudelft. vooral bij experiment 1: onderzoek naar de validiteit van buigingstheorie.6 en §:4.nl Inhoud dictaat De hoofdstukken in deze handleiding hebben de volgende onderwerpen: .3. (De aandachtsgebieden en de te volgen stappen bij de (handmatige) berekening van betonmengsels) 7 . Van elk experiment wordt eerst een uitleg gegeven wat het doel van het experiment is en hoe het experiment uitgevoerd kan worden.7 door voordat je de betreffende proef gaat doen en bestudeer §:5.nl of dr. Dit meetinstrument wordt in een apart hoofdstuk beschreven omdat dit bij verschillende experimenten een belangrijk meetinstrument is.In hoofdstuk 4 wordt het rekstrookje beschreven.nl Voor inhoudelijke vragen over de experimenten 2 tot en met 7 kun je één van de studentassistenten Civieltechnische Materiaalkunde raadplegen. tel.Contactpersonen Voor algemene zaken en organisatie betreffende het vak CT2121 en voor de organisatie van experiment 2 tot en met 7 (intekenen. tel.ctm@citg. .6 en §:5.4. tel. 6. Leesadvies: Bestudeer hoofdstuk 2 en §: 3.Na dit theoretisch gedeelte van het dictaat worden de 7 experimenten elk apart beschreven. . §:5.nl) Voor inhoudelijke vragen en vragen met de betrekking tot de organisatie van experiment 1 (Mechanica-proef) kun je terecht bij de studentassistenten Constructie Mechanica. 8 . In tabel 2. Daarvoor is mechanica nodig. Als derde moeten de belastingen en materiaaleigenschappen gekoppeld worden (c). hun symbool. We hebben kansrekening en statistiek nodig om de ontwerpbelasting te bepalen. Je weet nooit precies hoe sterk een constructie in bijvoorbeeld beton is. eenheid en dimensie Bij het construeren moeten we de afmetingen berekenen van een constructie. bijvoorbeeld een ‘draagfunctie’. We maken sinds 1960 gebruik van een internationale stelsel van eenheden.en rektoestanden in de constructie uitrekenen We weten dat er niet één belasting op een constructie aangrijpt. permeabiliteit. De materiaalkunde kan de materiaaleigenschappen echter heel precies afschatten. de belastingen schatten b. zoals sterkte. (1) Functie draagfunctie afsluitende functie figuur 2.1 Grootheid.1 wordt een overzicht gegeven van de basisgrootheden. Ook in de materiaaleigenschappen zit een spreiding (b). Om dit te kunnen doen moeten we: a. zie figuur 2. Dus grootheid = getalwaarde * eenheid. Hiertoe moet het bepaalde eigenschappen bezitten. Met mechanica kan je controleren of de materialen in de constructie de ontwerpbelasting kunnen dragen.1 (2) Eigenschappen sterkte waterdichtheid (3) Grootheden druksterkte permeabiliteit (4) Waarden x (MPa) x (m/s) van functie naar eigenschappen naar grootheden en naar waarden Grootheden bezitten dus een dimensie. maar dat er bepaalde kansen zijn op een bepaald belastingsniveau (a). uitzettingscoëfficiënt en warmtegeleiding). de SIeenheid die daarbij hoort en het symbool van de eenheid.2 Meettheorie 2. de materiaaleigenschappen kennen c. 9 . aan de hand van de belastingen de spanning. We kunnen immers niets anders doen dan de zaken te vergelijken met bepaalde standaarden. Een materiaal moet dus een bepaalde functie vervullen. en die sterkte moet een bepaalde waarde bezitten.1. Système International (SI). De materiaaleigenschappen karakteriseren we door grootheden (zoals druksterkte. Een meting levert een getal op dat de verhouding is tussen de waarde van een fysische grootheid en de eenheid waarin deze wordt uitgedrukt. 2 Grootheid Frequentie Kracht Energie Vermogen Elektrische lading Elektrische potentiaal Elektrische weerstand Elektrische capaciteit Elektrische geleiding Magnetische flux Zelfinductie Magnetische inductie Lichtstroom (flux) Verlichtingssterkte Druk Radioactiviteit Afgeleide eenheden Eenheid van de afgeleide grootheid hertz newton Joule watt coulomb volt ohm farad siemens weber henry tesla lumen lux pascal becquerel Symbool van de eenheid Hz N J W C V Ω F S Wb H T lm lx Pa BQ Definitie 1 Hz = 1 s-1 1 N = 1 kg.1 Grootheid Lengte Massa Tijd Temperatuur Elektrische stroomsterkte Hoeveelheid lichtsterkte Vlakke hoek 1) Overzicht van grondgrootheden en grondeenheden van het S.m/s2 1 J = 1 Nm 1 W = 1 J/s 1 C = 1 A.s 1 V = 1 J/C 1 Ω = V/A 1 F = 1 C/V 1 S = 1 Ω-1 1 Wb = 1 Vs 1 H = Vs/A = Wb/A 1 T = 1 Wb/m2 = 1 Vsm –2 1 lm = 1 cd.2. tabel 2. zie tabel 2. tabel 2.sr 1 lx = 1 lm/m2 1 Pa = 1 N/m2 Aantal splitsingen per seconde 10 . We spreken dan ook van afgeleide grootheden. Hierbij maken we gebruik van fysische betrekkingen tussen de diverse grootheden. eenhedenstelsel Symbool van de grootheid l m t T I Iv α Eenheid van de grootheid meter kilogram seconde kelvin ampère candela radiaal steradiaal mol Symbool van de eenheid m kg s K A cd rad sr mol Dimensie [L] [M] [T] [Θ] [I] [J] [-] [-] [N] Ruimtehoek 1) Ω Hoeveelheid n materie 1) aanvullende grootheden.I.We drukken de in de techniek gebruikte grootheden uit in de grondeenheden. 3.8x106.Voorbeeld 1 Snelheid v= dx/dt met: x = afgelegde weg in meters. Voorbeeld 5 Elasticiteitsmodulus E volgens de wet van Hooke bij lineaire elasticiteit E= dσ N/m 2 dus E is in = Pa dε m/m Bij de berekeningen kunnen zeer grote of juist zeer kleine getallen ontstaan. t tijd in seconde. Voorbeeld 2 Lineaire uitzettingscoëfficiënt α = dε dT met: ε = Δl/l l = oorspronkelijke proefstuklengte Δl = (delta l ) de lengtetoename. De dimensie is dan [L/T]. Let op: in dit geval is Δl niet een meetfout maar een lengteverandering. dus van machten van 10. Zie tabel 2. micro. dus v is in (m/s). etc. 11 . We drukken α dus uit in K-1 (dimensie [Θ-1]) Voorbeeld 3 Soortelijke massa ρ massa/volume dus: ρ = m/V met m = massa (met eenheid kg) en V = volume (met eenheid m3) De eenheid van ρ is dus kg/m3 (dimensie [M/L3]) Voorbeeld 4 Spanning σ = kracht/oppervlak dus: σ = Newton/meter2 = N/m2 = Pa. De regel is dat van decimale veelvouden gebruik wordt gemaakt. We gebruiken in dit geval voorvoegsels die een vermenigvuldigingsfactor betekenen. bijvoorbeeld deci. bijvoorbeeld 2. 109 N/m2 = 210 GPa.1.106 N/m2 = 240 MPa.000.000. Estaal = 2.000 N/m2 = 240.105 N/mm2 = 2.000 kg wordt m = 4. Spanning σ = 240.1.1011 N/m2 wordt ook wel geschreven als E = 210.106 kg.tabel 2.3 Erkende voorvoegsels Voorvoegsel yotta zetta exa peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca Symbool Y Z E P T G M k H da Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 Voorvoegsel deci centi milli micro Nano Pico Femto atto Zepto yocto Symbool d c m μ N p F a Z y Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24 Het is gebruikelijk om het aantal factoren 10 een veelvoud van 3 te laten zijn Voorbeeld 6 Massa m = 4. 12 . Maar ook instrumenten geven geen exacte uitkomsten. De afwijkingen t.o. Deze worden veroorzaakt door: • variaties in proefstukafmeting. Na n metingen kan men dan het rekenkundig gemiddelde uitrekenen: ∑ xi x= i n (2. Er zijn altijd onnauwkeurigheden en fouten. Toevallige fouten (imprecision) Hier gaat het om metingen waarbij steeds een andere uitkomst wordt verkregen.v.2 Meetmethoden. De standaard afwijking s: Ook kan men een spreidingsmaat uitrekenen die aangeeft in welke mate de getallen onderling afwijken. Hij of zij moet kunnen aangeven waar de fouten (marges) liggen en hoe deze doorwerken in het eindresultaat. gebruiken we instrumenten om te meten. fouten en enige statistische principes Als observeren met het blote oog niet nauwkeurig genoeg is. We kunnen dan uit een steekproef van n getallen de standaard afwijking s uitrekenen volgens de formule: ∑ ( x i -x ) sn = i n 2 (2. Dit zijn niet reproduceerbare fouten. Degene die de meting uitvoert moet zich hiervan bewust zijn. de gemiddelde waarde kan men niet echt voorspellen.1) n Als de meetserie groot is.2) n-1 13 . Enige statistische principes Het gemiddelde van een meetserie: Stel dat een individuele meting de waarde xi oplevert.2. • fouten door degene die de meting uitvoert. dus het proefstuk zelf. • fouten geïntroduceerd via de meetopstelling. Het blijkt dat wél statistiek kan worden toegepast op dit soort fouten. zeggen we dat het gemiddelde nadert naar de verwachtingswaarde μ. In deze paragraaf worden een aantal dingen behandeld die meespelen in de foutenanalyse. wél het resultaat. figuur 2.2 0. In de literatuur kom je in plaats van de standaardafwijking s ook vaak de notatie ‘σ’ tegen. ni = frequentie = aantal kubussen in sterkteklasse i met fractie klassenmidden xi (MPa) gemiddelde: x = Σxi ∗ ni Σni ( MPa ) 0.1 30 35 40 45 50 55 uitkomst n = totaal aantal waarnemingen = Σni s= Σ( ni * ( xi − x ) ) 2 ( Σni ) − 1 = standaard afwijking Bi = klassenbreedte (MPa) = in dit voorbeeld 5 Mpa figuur 2.2 is een histogram getekend van sterktecijfers van betonkubussen.3. De dimensie van gemiddelde μ en standaardafwijking σ kan uiteraard wél kracht/oppervlak zijn.4 0. Het histogram geeft per kolom het aantal kubussen dat we aantreffen in een bepaald sterktegebiedje. 1 2πσ −⎜ fractie Gauss-curve F ( x ) = ⋅e ⎛ ( μ − x )2 ⎞ ⎟ 2 ⎝ 2σ ⎠ σ σ μ uitkomst Gemiddelde = μ Standaardafwijking = σ (pas op: verwar het symbool σ hier niet met het door ons gebruikte symbool voor spanning. In figuur 2. die men ook wel ‘standaarddeviatie’ noemt. des te meer wijken de getallen xi van elkaar af.3 Gauss-curve of normale verdeling voor betonkubussen Een uitspraak over de gemiddelde meetuitkomst en de foutenmarge hierin: Een uitspraak over een gemiddelde meetuitkomst en de foutenmarge hierin zou kunnen zijn: 14 .3 0. Het totale oppervlak onder de Gausscurve is gelijk aan 1. Weergave van metingen in histogrammen: We kunnen een reeks getallen (onze herhaalde metingen xi) ook in een histogram weergeven. Men noemt σ2 de “variantie”. zie figuur 2. dus uit te drukken in N/mm2).Hoe groter sn. De afleiding wordt niet gegeven.2 Histogram Door het histogram te normeren kunnen we de Gauss-curve construeren. Ruwweg geldt sn → σ als n groot is (n → oneindig). tabel 2. Hierbij is Y bijvoorbeeld 64% of 90% of 95% en is Δx > 0 de meetfout.015 1.895 1.4.645 95% 12.5) 15 .365 2.262 1. n > 12).571 2.4) Soms doet zich het probleem voor dat men slechts één meting (= x) kan doen.3% is k = 1.Δx en x + Δx . Onder de relatieve fout verstaan we het getal: Δx x ×100% (2.3) Δx noemen we de absolute fout.833 1. Toch zal men een uitspraak moeten doen over de absolute fout Δx. In het engels heet Sn ‘the best estimate of standard error’.3).860 1. In het algemeen gebruikt men (als een grootheid via meerdere metingen bepaald is) de formule: x= x ± k. Als Y = 68. Hierbij zal men gebruik moeten maken van de instrumentkarakteristieken.182 2.s n = x ± k.353 2.706 4.920 2. In de literatuur noemt men Sn = sn/√n ook wel de ‘standaardfout’.Sn = x ± Δx met x = gemiddelde meetuitkomst n (2.96 (we moeten n wél voldoende groot nemen. Een aantal waarden voor k zijn gegeven in tabel 2. bijv. Als Y = 90% is k = 1. Er geldt dan: meetuitkomst = x ± Δxvolgens opgave instrumentbouwer (2.3 is een statistische factor die afhangt van de gekozen waarde Y en van het aantal metingen n.314 2.65 en als Y = 95%.943 1.306 2.Er is een kans van Y% dat de uitkomst zich bevindt tussen x .447 2.776 2. is k = 1. De waarnemer bepaalt de grootte van Y naar eigen goeddunken en de waarde Δx volgt uit de standaardafwijking sn óf uit de instrumentkarakteristieken (zie paragraaf 2.960 De bovengenoemde waarde (zie formule 2.303 3.132 2.3) De factor k in formule 2.4 k-waarden Aantal metingen 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∞ Betrouwbaarheidsinterval 90% 6. Let op: met ‘de laatste digit’ wordt bedoeld een 1 op de positie van het meest rechter getal op display. in dit geval is het meetinterval 1 mm. Het aardige van digitale weegschalen is dat het aantal digits bepalend is voor de nauwkeurigheid. In dit voorbeeld gaat het om 5 cijfers in de display.0017? (nog onafgerond) Duidelijk is dat bij een meting xi = 129.46 gram.5 ± 0.4 ook als x = 1295.5 mag je gerust als juist aannemen. Dit getal moeten we uiteraard afronden dus Δx = 1.96x0. In de handleiding van de door de waarnemer gebruikte digitale weegschaal staat echter dat het apparaat tot op 0. afgerond 0. In het algemeen kunnen we stellen dat de grootst mogelijke fout de helft is van dit kleinste interval.5 min.139 kg. Zijn weegschaal geeft de uitkomst in grammen (let op: dit is massa). (bijvoorbeeld 50%.Voorbeeld 7 Iemand meet 12 maal met een duimstok met millimeterschaal de lengte van een stalen staafje en vindt xgem = 129.4 g.5 ± 0.46 gram is dus kleiner dan de werkelijke nauwkeurigheid van het apparaat.7 mm had kunnen worden afgelezen.1 × 10-3 kg. Was het proefstuk bijvoorbeeld 129.01 gram.3 of 129. Hij/zij zou dan een bepaald percentage hiervan. maar de Δx = 0. 16 . In dit geval dus een halve minuut. Nemen we ¼ van het kleinste meetinterval.14 en dit is veel groter dan Δx = 0.47 (in grammen) af te ronden tot x = 129.003/√12 = 129. Aangezien het om een digitale display gaat.1 = 1.3951 g.1% van de displayuitkomst + ‘de laatste digit’ nauwkeurig is. dan had er in de display gestaan: x = 129.2951 + 0.5 ± 0. Hij leest op de digitale display af: x = 1295. 1295.4 na afronden). In het tweede geval geldt dan: Δx = 0.5 mm net zo goed 129. Het kleinste meetinterval is dus 1 minuut.3 mm.01 = 0. immers Δx = 0.1 = 1.003 mm.1 = 1.5 ± 1.45 < x < 129. 15% of 10% afhankelijk van de scherpte van de ogen en de spierbeheersing) kunnen nemen. dus x = 1295.3 mm en volgt x = 129. Het is dus reëler om een deel van het kleinste meetinterval. kan de meetuitkomst liggen tussen 1295. Dit betekent dat in het eerste geval Δx gelijk is aan 0. kan je de meetuitkomst opschrijven als: meetuitkomst = 36. De afrondingsfout die de display maakt om 129. Voorbeeld 9 Iemand leest een digitale klok af die de tijd in minuten aangeeft. Als de aflezing 36 minuten is. Voorbeeld 8 Iemand wil met een digitale weegschaal het gewicht van een proefstuk bepalen.14 kg.6 (in dit geval vinden we dus eveneens Δx = 1.1 / 100 + 0. Mag hij dan stellen: x = 129. dan is: Δx = ¼ = 0. dus Δx blijft 1.1.462 gram.1 ≤ x ≤ 1295.0017 is irreëel klein gezien de toepassing van een duimstok. als meetfout te nemen.2956 + 0.12946 + 0.2 gram.5 mm en s12 = 0. De door de medewerker gevonden waarde van x = 129.1. nummer 11) en een goede nulpuntinstelling kan men de systematische fouten verminderen.4). Dus: meetuitkomst = 5.3. Bij een toevallige fout voor grootheid x schrijven we: meting = x ± Δx met Δx > 0. Men moet dan nagaan of bij één van beide. Een systematische fout komt steeds terug bij iedere meting en is dus reproduceerbaar. figuur 2.88 V.4 aflezing bij een analoge voltmeter Systematische fouten (bias) Hierbij maakt men met het meetinstrument een fout die in het algemeen alleen op te sporen is met een ander instrument.87 ± 0.87 V. Het laatste cijfer heeft hij geschat (zie figuur 2. iets mis is. bij een systematische fout geldt: meting = x + (Δx)syst waarbij Δx zowel positief als negatief kan zijn. een schuifmaat die in een verkeerd temperatuurdomein wordt toegepast. Realistischer is het om te stellen dat de uitkomst ligt tussen 5.Voorbeeld 10 Iemand leest bij een analoog instrument (dat is een instrument met een wijzer en een afleesschaal) een waarde af van 5. of bij allebei.865 en 5. Voorbeelden zijn: meetklokken die te snel of te langzaam lopen.86 en 5.01 V. De uitkomst zal liggen tussen 5.875 V bij iemand met scherpe ogen. De fout werkt maar in één richting door. Door een goede calibratie (zie paragraaf 2. 17 . De toevallige fout kan de gemiddelde uitkomst zowel vergroten als verkleinen. Let op: precisie is niet gelijk aan nauwkeurigheid (accuracy).0 bar. Het meetbereik (range) is 0 . Voor een nauwkeuriger meting moet de onderzoeker een instrument kiezen met een kleiner meetbereik en met een kleinere onnauwkeurigheid. lage nauwkeurigheid figuur 2.3 Enige instrumentkarakteristieken bij statische metingen Tolerantie De tolerantie (lineariteitsfout. Door de fabrikant van het apparaat wordt dit vaak als een percentage van de volle-schaal (= full scale reading) aflezing opgegeven bij analoge instrumenten. Instrumenten met een hoge precisie (high precision instruments) geven na vele metingen van dezelfde grootheid een geringe spreiding in uitkomsten. ( f. (in)accuracy. tolerance.2. lage precisie. Precisie De precisie (precision) is gekoppeld aan herhaalbaarheid (repeatability) en reproduceerbaarheid (reproducibility). dus: meetuitkomst = 1. Stel dat de aflezing is: 1. De maximale fout is dan 0. onnauwkeurigheid) geeft aan in welke mate een aflezing fout kan zijn.1 bar.0 ± 0. error. lage nauwkeurigheid grote nauwkeurigheid grote nauwkeurigheid Vergelijking onnauwkeurigheid en precisie Met herhaalbaarheid wordt aangegeven of bij herhaalde metingen bij dezelfde omgevingscondities de meetresultaten dicht bij elkaar liggen. lage precisie. Met reproduceerbaarheid kijkt 18 . grote precisie.5 grote precisie.s.1 bar.en y-richting een proefstuk onder een boor moet plaatsen (Zie figuur 2.1 bar. Het centrum van het assenstelsel is het raak(target)punt. Voorbeeld 11 Een manometer geeft aan: Inaccuracy is ± 1% f.5).10 bar. Neem als voorbeeld een robot die met twee motoren in x. = full scale).s. De mogelijke fout is bij analoge instrumenten nog steeds 0. Deze fout is door calibratie (zie hieronder) te verwijderen. lees je een waarde ≠ 0 af). Meetbereik Met het meetbereik (range of span) worden de minimale en de maximale waarden die door een instrument te meten zijn vastgelegd. Statische gevoeligheid De statische gevoeligheid (sensitivity) geeft aan in welke mate het uitgangssignaal. dus de aflezing (= output) verandert als het ingangsignaal (= meting.6. Statische afwijking De statische afwijking (offset of bias) is een constante meetfout. zie figuur 2.6 het meetinstrument is lineair tussen de punten A en B. Vaak gaat het om een fout in de nulaf-lezing (dus terwijl je nul moet aflezen. input) verandert. Lineariteit Met lineariteit (linearity) geeft het instrument een lineair verband tussen de gemeten grootheid (input) en de aflezing (output reading). figuur 2.men naar het dicht bij elkaar liggen van de meetresultaten bij herhaalde metingen als kleine wijzigingen zijn opgetreden in de locale meetcondities.6) Δinput 19 .5 is dit: Δoutput tg α = gevoeligheid = (2. In figuur 2. 7. die pas begint bij 15 km/uur. relatieve vochtigheid.7 nulpuntafwijking en schaalfactorafwijking. zal pas na een bepaalde minimum waarde de meetwijzer zichtbaar verplaatsen. zie figuur 2.Nulpuntafwijking en schaalfactorafwijking Nulpuntafwijking (zero drift) en schaalfactorafwijking (sensitivity drift of scale factor drift) geeft aan hoe de aflezing (output) verandert als de omgevingscondities veranderen (vaak door temperatuur. Zie ook figuur 2. gemeten aflezing (y) gemeten gemeten normaal gemeten grootheid Zero drift normaal Sensitivity drift normaal Zowel nulpuntverschuiving als verandering in gevoeligheid figuur 2. Als het ingangssignaal langzaam stijgt vanaf de nulwaarde. de stippellijn geeft de calibratielijn weer onder standaardcondities.). luchtdruk etc. uitgangssignaal (output reading) gemeten grootheid (ingangssignaal. Een voorbeeld is de snelheidsaanwijzing in een auto. input) figuur 2. 20 .9b.8). Hysterese Met hysterese (hysteresis) wordt bedoeld dat het verloop van het uitgangssignaal bij toenemend ingangssignaal verschilt van de curve die wordt verkregen bij afnemend ingangssignaal (zie figuur 2.8 hysterese Drempelwaarde De drempelwaarde (treshold value). of alcoholthermometer niet onmiddellijk de juiste temperatuur aanwijst. 21 . Het hangt sterk af van hoe de outputschaal is onderverdeeld (zie figuur 2.McGraw-Hill) Calibratie De calibratie (calibration) is het experimenteel bepalen van het verband tussen ingangsen uitgangsgrootheid. kan het uitgangssignaal naijlen t. 30 50 70 90 110 120 km/uur De resolutie is hier ¼ x 20 = 5 km/uur aflezing = 80 ± 5 km/uur figuur 2.v. Engineering Experimentation. IJking Een ijking (calibration by a National Bureau of Standards) is een calibratie door een officieel erkende bevoegdheid.9a Snelheidsmeter van een auto 2. Houdt er rekening mee dat een kwik.o. In het kader van dit practicum wordt hier verder niet meer op ingegaan. Men moet zijn meetinstrument dus zorgvuldig kiezen al naar gelang de omgeving. Gedrag van meetinstrumenten bij dynamische metingen Als de ingangsgrootheid snel in de tijd verandert.Resolutie Bij de resolutie (resolution of readability) gaat het om een minimale ingangssignaalverandering die nodig is om een afleesbare verandering in uitgangssignaal te krijgen in vol bedrijf.9).en tijdfactoren. Wel wordt erop gewezen dat u bij een bepaalde practicumproef de temperatuur van opwarmend water moet kunnen meten. Doebelin. het reeds veranderde ingangssignaal.9b) Drempelwaarde en resolutie (Uit: E. 36 is geschat en we zijn er niet echt zeker van. Stel hij vond Volume = 6.04).3. De 6 is niet geheel zeker.36 Ω af. rechts achter de komma. De onzekerheid zit in de 0.0 ml. Bij het laatste voorbeeld had een macht van 10 opgegeven moeten worden. We geven de foutenmarge in een meting dus aan via het aantal significante cijfers. Significante nullen. dit zijn dan de betekenisvolle cijfers in een gemeten of berekende grootheid.4 en 6. Het laatste (meest rechter) cijfer van de significante cijfers is dan het cijfer waar we niet meer echt zeker van zijn.35 wordt 6. bij voorkeur 103 dus: (7. De wijzerschaal is onderverdeeld in streepjes met als kleinste interval 0. en als de 6 zeker is. De uitkomst had 5 ml dan wel 7 ml kunnen zijn.2.41 wordt dus 8.36 Ω hebben we te maken met 3 significante cijfers.28 wordt dus 9.103 kg/m3 is fout (7.9 ± 0. Het getal 4. Afronding Bij het weglaten van niet-significante cijfers (= afronden) wordt een cijfer beneden de 5 zonder meer weggelaten.87 ± 0. significante cijfers en het verwerpen van getallen Significante cijfers Een onderzoeker leest op een analoge weerstandmeter 8. Het voorlaatste cijfer 3 is wel zeker.04). In het voorbeeld van de 8. mogen niet weggelaten worden. Voorbeeld 13 De soortelijke massa van een legering: (7.1 Ω.103 kg/m3 is fout (7874 ± 40) kg/m3 is fout In het tweede en derde geval klopt het aantal cijfers achter de komma bij de meetuitkomst niet met dat van de mogelijke absolute fout.874 ± 0. dus volume = 6 ± 1 ml.4 Afronding. Willen we een 5 afronden dan gold de regel dat het nieuwe laatste cijfer altijd even is: 6. Bij een cijfer boven de 5 moeten we het voorafgaande cijfer met één vermeerderen. Bij de uitkomst van Volume = 6 weten we dat het om 1 significant cijfer gaat. De 6 in 8. Voorbeeld 12 Iemand meet met een maatcilinder een volume van 6 ml. 8.103 zonder nog even rekening te houden met eventuele afronding.103 kg/m3 is goed (7.040).04).860 is alleen juist als de nul geschat is. Bij het noteren van getallen houden we de regel aan dat het voorlaatste getal zeker is en het laatste getal niet zeker is.4. Dit getal bestaat uit 2 significante cijfers. 9.874 ± 0.45 wordt 22 . 1 wordt 90.v. Als we een grootheid moeten uitrekenen aan de hand van een aantal andere meetuitkomsten.01 als afrondingseenheid.06113888 wordt: 0. • 2. Dus: a = 0. 0.26. dan moeten we er voor waken om in een te vroeg stadium af te ronden.80 × 102 + 1.332 + 1. met alle elektronische hulpmiddelen. zie voorbeeld 13.16 = 380 + 1. Het cijfer 8 is immers 8.264 wordt dan 7.4 (volgens de norm NEN 1047.03 dan bepalen we de grootste decimale eenheid a uit s/2 waarbij we alleen kijken naar 10. Tegenwoordig. (3 significante cijfers i. Na afronden volgt: 381 (= 3. Een uitkomst x = 7.12 wordt 1.2 dan afronden op het eerste cijfer na de komma.245 dan wordt dit na afronden 9.6109 wordt: 13 (2 significante cijfers i.01. 6. dan moet dat in één stap gebeuren. maken we gebruik van de afrondingsprocedures in de rekenmachine zelf.16 = 381. Is bijvoorbeeld sn = 0. • 6. 0.2786 kg wegen samen 2.45 afgerond moet worden tot 6. aan de hand van de berekende spreiding in de uitkomsten (in de formule: uitkomst = gemiddelde ± Δx).85). dit aantal is maatgevend: • 89.m. Het afronden laten we (volgens de norm NEN 1047) afhangen van de uitkomst van de standaardafwijking sn.04 = 0. omdat we 23 .4 na afronden. 8 voorwerpen van 0.2. • 2. 1967).v.0000……… Opmerking over het afronden De hierboven beschreven regels werden met name gebruikt in de tijd dat men nog geen beschikking had over computers en rekenmachines en tussentijds moest afronden om de berekeningen mogelijk te maken.81. 1. 2.1.229 kg en niet 2 kg. Stel s = 0.8 × 4. Is de uitkomst 9.8).16. • 3.5.097 – 0.102).03/2 geeft 0.ook 6.m. We ronden bij het EXPERIMENT alleen de einduitkomst handmatig af. Exacte getallen Bij een vermenigvuldiging of deling met een exact getal stellen we per definitie dat. Het afronden bij optellen en aftrekken Let hierbij op het getal met het minste aantal significante cijfers achter de komma. In veel handboeken stelt men echter dat 6.9039 = 12. dat getal in principe uit een oneindig aantal significante cijfers bestaat. Het afronden bij vermenigvuldigen en delen Let hierbij op het getal met het minste aantal significante cijfers. Vervolgens zorgen we ervoor dat de absolute fout “past” bij het aantal significante cijfers. dit aantal is maatgevend.0611.85 / 112. Als we meer dan één decimaal willen afronden.98 na afronden. 0. • 4. behalve als het gaat om een getal met laatste nullen zonder komma.5).3 (3 significante cijfers). 2 of 3 significante cijfers gaat. A = 3.54 1.73 1.66 × 8.45 en D = 2.00003490 bevat 4 significante cijfers. • 4.102 is daarentegen een getal met 1 significant cijfer.93 × 2. Daar is het per definitie niet gedefinieerd.66.dan een cumulatie van afrondingsfouten krijgen. • 400: Bij dit getal weten we niet of het om 1. Bij tussenuitkomsten laten we daarom vaak twee onzekere cijfers toe.102 is een getal met 2 significante cijfers. De toetswaarde hangt af van het aantal waarnemingen (zie tabel 2.00. Men bepaalt uit de n waarnemingen het gemiddelde xgem en de standaardafwijking sn.96 2. tabel 2. Mag hij dat getal dan weglaten? Chauvenet heeft hier een toets voor ontwikkeld. Pas in de einduitkomst moeten we afronden op één onzeker laatste cijfer.65 1.0000349 bevat 3 significante cijfers. • 0. B = 8. Nullen in een getal En nul links van het meest linkercijfer ≠ 0 telt niet als een significant cijfer: 0.38 1. Een nul rechts van het meest rechtercijfer ≠ 0 telt wel mee als significant getal.11 = 65. Als xi − x sn groter dan een bepaalde toetswaarde wordt. • 4. Het criterium van Chauvenet Stel dat iemand n metingen verricht en dat er een sterk afwijkend xi getal wordt gevonden.11 3.13 24 .860 bevat 4 significante cijfers. dan mag het getal weggelaten worden.80 1. Let op: Het is de bedoeling dat de test slechts één keer op een reeks getallen wordt toegepast.102 heeft 3 significante cijfers (we zien immers een komma in het getal).9 maar: 30.5 toetswaarden voor het verwerpen van een meting Aantal metingen 3 4 5 6 7 10 15 Toetswaarde 1. Voorbeeld 14 A × B = C en C × D = E. Een nul tussen 2 cijfers ≠ 0 telt mee als een significant getal: 803 is een getal van 3 significante cijfers.927 nu nog niet afronden op drie significante cijfers 30.45 = 30. • 4. namelijk kubus nr.13 (tabel 2.0 44.2 ± k.2 ± 1. Lijn l2 laat men zo goed mogelijk aansluiten bij de groep meetpunten die rechts van de centroïde boven de getrokken beste rechte (= l1) liggen en die links daarvan 25 . De uitkomst voor de druksterkte wordt nu: druksterkte = 44. Bij de zesde kubus vindt hij voor x6 − x / sn een waarde van 3.73 0.5 |Xi-Xgemiddeld|/sn 0.92 0.21 0.62 vóór de toets n = 15 xgem = 42.Voorbeeld 15 Iemand bepaalt de druksterkte van 15 betonkubussen.64. Deze waarde is groter dan de waarde 2. Ter schatting van de mogelijke fouten zijn nog twee gestippelde lijnen getrokken.0 40.43. Hij vindt één uitschieter. Zie figuur 2.0 13.6/√14.5 50.33 0.6). De beste schatting van de rechte lijn gaat in ieder geval door de centroïde.3.45 0.43 verwijder 0.5 47. Hier is 22 maal een meting verricht bij steeds een ander ingangssignaal (= input xi).5 Het trekken van een rechte lijn door een reeks meetpunten (kleinste kwadratenmethode) In een x-y grafiek zetten we op de x-as (= de abscis) de onafhankelijke parameter uit en op de y-as (= de ordinaat) de afhankelijke parameter.2 MPa s14 = 3. Hier is a de richtingscoëfficiënt en b het snijpunt met de y-as.09 0.5 44.27 0.8 MPa ná de toets n = 14 xgem = 44.62 0.26 3.0 44.5).6 uitkomsten bij 15 betonkubussen kubusnummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 σ druk in MPa 40.0 45. 6 (zie tabel 2. De formule van een rechte lijn is y = ax + b. Door het gemiddelde over xi en het gemiddelde over yi te bepalen kan je de centroïde of het zwaartepunt van de lijn vastleggen. dit is het punt (x. 6 weglaten. Bij het meten gaat het om respectievelijk het ingangssignaal (= xi) en het uitgangssignaal (= yi).0 36. Bij een betrouwbaarheid van y = 90% was k = 1.39 0.0 47.1 MPa s15 = 8. dus volgt er: druksterkte = 44. y ) .21 0.10.0 46.0 43.0 45. Zo op het oog lijkt het er op dat het verband tussen y en x lineair is.6 MPa 2.0 46.6 MPa.26 0.56 0. dus hij mag kubus nr. tabel 2. De richtingscoëfficiënt α2 van l2 kan men opvatten als de grootst mogelijke geachte waarde α van de gezochte rechte.onder l1 liggen. Dit maakt het ons mogelijk om een schatting te geven van de helling van de lijn en zijn fout: helling = α ± Δα. Zonder bewijs wordt gegeven hoe men dan a.9) (2.10 grafiek van meetpunten met onbekende fout In veel gevallen is het ingangssignaal nauwkeurig bekend. x y figuur 2. dus Δx→ 0. Op dezelfde wijze is het snijpunt b met de y-as af te schatten: snijpunt met y-as = b ± Δb. a= nΣx y − ( Σx )( Σy ) i i i i 2 2 nΣ x − ( Σ x ) i i met n = aantal meetpunten (2. Δa en Δb kan uitrekenen. b.10) met: 26 .8) uitkomst helling = a ± k ⋅ Sn ( a) met: Sn (a) = “standard error” van de helling a= nσ n ( n − 2) ⋅ ( nΣxi − (Σxi ) 2 2 (2. Er treedt alleen spreiding op in de yi waarden.7) 2 (Σy )(Σx ) − (Σx y )(Σx ) i i i i i b= 2 2 nΣx − (Σx ) i i (2. Lijn l3 geeft dan op dezelfde wijze de kleinst mogelijke waarde voor α. 621 0.7 rtest bij verschillend aantal meetpunten. Sn(a).497 0. Tabel 2.Sn(b) = b ± Δb (2. dan zal |r| naar nul toe gaan. 27 . Tijdens de experimenten kunt u gebruikmaken van de in de practicumruimte aanwezige computers en van de spreadsheet.14) Als alle punten echt op één rechte lijn liggen is |r| = 1.582 Aantal meetpunten 10 11 12 13 14 15 122 rtest bij 90% betrouwbaarheid 0. maar van een puntenwolk.150 De waarden a. Sn(b). en r zijn met een spreadsheet (LOTUS. als rtest < rmeting wijst dit op een rechtlijnig verband Aantal meetpunten 3 4 5 6 7 8 9 rtest bij 90% betrouwbaarheid 0.12) waarbij bijvoorbeeld k = 1 kan worden aangehouden (dus betrouwbaarheid y = 68.7 gebruikt worden.988 0.521 0.669 0.8 geeft een voorbeeld van hoe zo’n spreadsheet de regressiegegevens weergeeft.n σ n = nΣyi − (Σyi ) − 2 2 2 2 ( nΣxi yi − Σxi Σyi ) ( nΣxi − (Σxi ) ) 2 2 2 (2. b. tabel 2. met: S n (b ) = n ⋅ σ n (Σxi ) 2 n( n − 2)( nΣxi − (Σxi ) ) 2 2 (2.900 0. EXCEL of QUATTRO) programma eenvoudig te bepalen. Hiervoor kan tabel 2.3%).476 0.441 0.729 0.11) en k ⋅ S n ( a ) = Δa Voor het snijpunt met de y-as geldt: snijpunt met y-as = b ± k. Als er helemaal geen sprake is van een rechte lijn. Als |r| > testwaarde rtest mag men stellen dat het om een redelijk rechtlijnig verband gaat.13) Men kan ook de correlatiecoëfficiënt r uitrekenen uit: r= nΣxi yi − Σxi Σyi ( nΣxi − (Σxi ) ) ⋅ ( nΣyi − (Σyi ) ) 2 2 2 2 (2.805 0.457 0.549 0. Als er zowel negatieve als positieve x-coördinaten voorkomen.5 0.3733 (= b) Std Error of Y Est 1.4 4.2 4 5 6.8 5 7 7.476 Wat te doen als er sprake is van Δx én van Δy? Zijn er onzekerheden in de ingang.11 grafiek van meetpunten en foutengebiedjes 28 .2 0.11.3 8 9 10 10 y-coörd.tabel 2. 0. In figuur 2. De beste rechte is die rechte die door de centroïde gaat en die zo goed mogelijk bij alle meetpunten aansluit (dit is dus lijn l ).8 4. dan kan men te werk gaan zoals in figuur 2. kan men de lijnen a en b gebruiken om Δb te bepalen met b = snijpunt van de beste rechte met de y-as.11 met alleen xi > 0 zal men de lijnen c en d gebruiken om Δb te bepalen. x y figuur 2.en de uitgangsignalen.5 0.1300 (= a) helling 0880 (=(Sn(a)) Std Err of Coeff. De lijnen a en b geven een soort bandbreedte aan. dus r = 0.8 Voorbeeld regressieberekening met een spreadsheetprogramma x 0 0.9465 (= r2) 13 aantal 11 vrijheidsgraden 1.9 1.8 11 10 13 Regressie Output snijpunt .973 > rrest = 0.1 7.1 1 3. dus zijn er bij ieder meetpunt een duidelijke Δx en een Δy.036 (Sn= (b)) 2 r 0.0 3. De lijnen c en d worden gebruikt om de uiterste waarden voor de richtingscoëfficiënt te bepalen.0. .6 Fouten voortplanting In een experiment worden vaak verschillende grootheden (a.. . In de formules hieronder wordt steeds gesproken over Δa.12 onzekerheidsinterval van grootheid a We zeggen dus: uitkomst bij een grootheid (a) = a ± Δa.sn/√n met n = aantal metingen. of als we statistiek kunnen toepassen: uitkomst = agem ± k. . b. Het gaat hier om de product.. Stel het gaat om een grootheid y..2. dus hoe schat je nu Δy of Syn in: uitkomst = y ± Δy of uitkomst y ± k.Syn? In de literatuur worden 3 methoden gegeven die hieronder zonder bewijs zijn overgenomen.. Scn. Δy. maar je kan hiervoor ook invullen San.en optelregel. Er wordt alleen uitgegaan van toevallige fouten en van de aanname dat de fouten Δa.. ..15) Nu zal iedere subgrootheid (a.16) 29 . Δb. (2.) (2. y = f (a. Syn. (Noot: verwar deze y niet met de ‘Y %’ gebruikt bij formule 2. Δc. c.. Sbn. ware fout Gevonden waarde: a Maximale absolute fout: Δa Werkelijke.) zijn eigen absolute meetfout met zich meebrengen..) gemeten waarvan de waarde in een formule moeten worden ingevuld om de uiteindelijk gewenste grootheid te berekenen.. Hoe kom je nu tot een schatting van het onzekerheidsinterval voor de grootheid y. c. b. . b. de foutenberekening via de totale differentiaal en de foutenvoortplantingwet van Gauss. Δb. c..Sn = agem ± k.12.. Δc..3).onafhankelijk van elkaar zijn. maar onbekende waarde: a’ Δa Relatieve fout δ a = a amin Δa a’ a Δa amax onzekerheidsinterval van a figuur 2. zie figuur 2. . 19) als y = a / b dan ook = + Δb b (2.. 30 .22) ΔC = 0 dus : Δy = Δa a ⋅ y = C ⋅ Δa Opmerking: Als een grootheid meer dan eenmaal in een formule voorkomt. maar niet: y = a − Δa a + Δa er is immers maar één grootheid a in het geding. dus: als y = a + b dan Δy = Δa + Δb als y = a .17) (2.b dan ook Δy = Δa + Δb (2. dan Δy y Δy y Δy y = Δa a Δa a + Δb b + Δc c + .1 De optel.en productregel Optelling en aftrekking Hierbij telt men de absolute fouten op. Voorbeeld 16 y= a a Δy y =2 Δa a Het is duidelijk dat y = 1 en Δy = 0.a geldt Δy y = ΔC C + Δa a = Δa a (2. (2.6. mogen we in verband met een mogelijke afhankelijkheid deze regels niet zonder meer toepassen...21) Een constante C als y = C . De uitkomst is fout omdat y = a + Δa a + Δa = 1 óf y= a − Δa a − Δa = 1 mogelijk zijn.20) als y = a dan geldt n = n⋅ Δa a (2.18) Vermenigvuldigen en delen Hierbij telt men de relatieve fouten op: als y = a ⋅ b ⋅ c ⋅ .2. .. c. b. Voorbeeld 18 Hier wordt dus gebruik gemaakt van de partiële differentiaal een eenvoudige berekening van de partiële differentiaal: stel: y= a×b c 6 δy δx . Voor de partiële differentialen volgt nu: = c .24) 31 . 2..Voorbeeld 17 y= a+b b Δy y = Δa a + Δb b Men dient hier de formule te schrijven als: y = a/b + 1.23) De fout (Δy) wordt hier gelijkgesteld aan de som van: de partiële afgeleide van f naar a maal de fout in a (Δa) + de partiële afgeleide van f naar b maal de fout in b (Δb) + de partiële afgeleide van f naar c maal de fout in c (Δc). b. (2. Deze formule is zeer geschikt voor het doorrekenen van systematische fouten. Voor de berekening van δy δa b 6 dy ∂a wordt verondersteld dat b en c con- δy δb en δy δc =− worden a en c resp. c.. Er volgt dan: .6. zijn bekend...6. dan geldt: S ny = ⎛ δ f ⎞ S 2 + ⎛ δ f ⎞ S 2 + ⎛ δ f ⎞ ⋅ S 2 + .) dan geldt: Δy = δf δa ⋅ Δa + δf δb ⋅ Δb + δf δc ⋅ Δc + . ... a en b constant veron6 dersteld. δy δb = a × 6b c 5 en δy δc a×b c 2 2. .3 De fouten voortplantingswet van Gauss bij statistisch geïnterpreteerde foutenintervallen Als y = f (a. In dit voorbeeld volgt dan geldt er: y = a×b ×c 6 −1 voor de berekening van de partiële differentiaal stant zijn.) en enz. ⎜ ⎟ an ⎜ ⎟ bn ⎜ ⎟ cn ⎝ δa ⎠ ⎝ δb ⎠ ⎝ δc ⎠ 2 2 2 (2.2 Foutenberekening via toepassing van de totale differentiaal Als y = f(a.. 03 × 10 N / mm 6 5 2 dus E = (2. 32 . dus Δd d = 0. 00 ± 0. 005 = 0. 005 = 0. 4 × 10 + 4. 4 ⋅ 10 × 0. 01 = 1%.10 × 10 N / mm 5 10 + 1. 01 ⋅ 10 + 4. 001 mm dus De toegepaste kracht was F = (21. 0 ± 0. 5 mm dus Δd d = 0. 4 ⋅ 10 × 10 = 2 6 6 2 6 2 12 −6 2 2 2 2 10 × 10 2 −1 = 2.100 ± 0.10 ± 0. 0 ± 0.1 ⋅ 10 + 4. 5% Δe e = 0. 05 mm.03) x 105 N/mm2 met ΔE E = 1. 0 × 10 × 10 3 2 Vervolgens moet ΔE bepaald worden: ⎛ δ E ⎞ ΔF 2 + ⎛ δ E ⎞ ⋅ ΔL2 + ⎛ δ E ⎞ Δd 2 + ⎛ δ E ⎞ Δe 2 = ΔE = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝δF ⎠ ⎝δL ⎠ ⎝ δd ⎠ ⎝ δe ⎠ 10 × 0.Voorbeeld 19: bepaling ΔE via de fouten-voortplantingwet van Gauss Iemand wil de E-modulus van staal bepalen. 8 ⋅ 10 = 0. Volgens de waarnemer was meetlengte L = 100. 6% . 5% 2 σ ε = F/A e/ L = F⋅L d ⋅e 2 = 21. 4 × 10 = 6 6 6 6 10. Hij gebruikt de wet van Hooke: σ = Eε dus E = σ ε Hij gebruikt een stalen staaf met rechthoekige doorsnede d x d = d2 met dikte d = 10. Hij vindt voor de verlenging e een uitkomst 0. 5 + 1764 ⋅ 10 × 0. 5% Hij meet de lengte (L) en hij meet over die lengte (L) de verlenging (e) als er een kracht (F) wordt toegepast. 005 = 0. 05 + 4.1)103 N dus E= ΔF F = 0. 01 ⋅10 5 + 0.10 x 10 21.e d 10 δd neem aan dat F.e 2 2 = 2.e F d .L d ⋅e 2 = f ( F .1 x 10 3 neem aan dat F.1 ⋅ 10 x 0. 063 x 10 dus E = (2. L en e constant zijn δE δe =− F ⋅L d . L en d constant zijn dus: ΔE = δE δF Δf + δE δL ΔL + δE δd 3 Δd + δE δe Δe = 10 x 0.e 2 2 =− E e =− 2.02 ⋅10 5 = 0.01⋅10 5 + 0. 0 x 10 E L 5 3 = 10 neem aan dat L. 03 = 3% ΔE = 0. 05 + 2.02 ⋅10 5 + 0. d en e constant zijn δE 2⋅ F ⋅ L 2E 2 x 2. d en e constant zijn = = = 2. 06) ⋅ 10 N / mm 5 2 Deze benadering geeft dus een wat grotere onzekerheidsinterval dan de foutenvoortplantingwet van Gauss. 33 .10 ± 0. 005 + 0.10 x 10 100 5 = 2. 01 + 0.1 x 10 10 −1 5 = −2. L. 005 + 0.1 ⋅ 10 + 2.06 ⋅10 5 N / mm 2 Voorbeeld 21: bepaling van ΔE via de productregel ΔE E = ΔF F + ΔL L + 2 Δd d + Δe e 5 = 0.1 x 10 6 neem aan dat F. 01 = 0.Voorbeeld 20: bepaling van ΔE via totale differentiaal E= F . e ) δE δF δE δL = L d .1 x 105 =− 3 =− =− = −42 x 103 d .1 ⋅ 10 x 10 = 3 3 6 −3 0. d . 5 + 42 ⋅ 10 x 0. 03 ⋅ E = 0. 34 . 2) Meestal stelt men dat de meetfout tweemaal de afleesfout is.1) Hebben we een nonius met 20 nd op 19 sd dan is 1 nd = (19/20). De afleesfout is dan te schatten uit: afleesfout = 1 2 ( sd . Dus 1 nd = 0. nonius figuur 3.2 zien we 10 noniusdelen (10 nd) op 9 schaaldelen (9sd). Een lengte bepaling volgt dan uit L = (meting – nulstand) met ΔL = meetfout + meetfout = 2 maal meetfout.9 sd en 1 sd .1 Schuifmaat In figuur 3.2 nonius en afleesfout 35 . De reden is dat in gesloten stand de schuifmaat niet exact de waarde nul oplevert (en ook niet een afleesfout van nul geeft).nd ) = 1 2 10 ( 1 ⋅ sd ) = 0.sd en is de afleesfout: afleesfout = 1 2 ( sd − nd ) = 1 1 2 20 ( ⋅ sd ) = 0.1 nd = 0.2. Zie figuur 3.3 Meetinstrumenten 3.1 De schuifmaat Bij de schuifmaat maken we gebruik van de gewone millimeterverdeling (1 schaaldeel = 1 sd = 1 mm) en van een nonius (of vernier). 05 ⋅ sd (3.1 sd. 1 outside jaws 2 inside jaws 3 depth bar 4 step surface 5 main beam 6 slider 7 main scale 8 nonius scale 9 clamp screw 10 reference surface figuur 3. 0 0 5 5 N 10 L 10 15 20 sd nd sd-nd b. 025 ⋅ sd (3.1 en figuur 3. afleesfout nonius ½ (sd–nd) a. 4.26 mm Aflezing: 9.15 mm + aflezing = 9.In figuur 3. nonius b. Het 4e noniusstreepje valt samen met een deelstreep van de hoofdverdeling. Hier gaat het om een schuifmaat met 20 nd op 39 sd.3 Voorbeeld 23 schuifmaat 20 nd op 39 sd Zie figuur 3. Voorbeeld 22 Zie figuur 3. Dan hebben we 40 nd op 39 sd. dus het getal achter de komma volgt uit het 1e noniusstreepje dat samenvalt met de mm-verdeling maal (nu) 2 x 0.1 nd) = 5 + 0.02 mm + 36 .05 = 0. dus is de aflezing: A: 9 mm B: 3 x 0. meting figuur 3.3.4 sd.02 = 0.05 mm a. In figuur 3. De aflezing wordt dan: (met 1 sd . met 1 sd − 1 nd = 1 50 = 0. 975sd en 1 sd − 1 nd = 0. 02mm.025 = 0. A: 9 mm B: 13 x 0.15 ± 0.26 ± 0.4 = 5.2 vind je de nulwaarde van de nonius tussen de 5 en de 6 van de hoofdschaalverdeling.05 mm. De aflezing wordt dan: 1 nd = 49 50 sd . Denk in gedachten tussen ieder noniusstreepje nog een extra deelstreep. het gaat om een schuifmaat met 50 nd op 49 sd. met 1 nd = 39 40 sd = 0.3b valt het 3e noniusstreepje samen met de hoofdschaalverdeling.1 sd): 5 sd + 4 (1 sd . 025mm Nu is dat extra streepje er echter niet.1 nd = 0. 5/50 = 0.a. de nonius b. in lengterichting. De trommels s en O draaien met K mee. Een zeer geoefende waarnemer kan de trommelschaaldelen nog in tienden nauwkeurig aflezen. A A1 F P S O L S C M O K B figuur 3.nulmeting. een aflezing figuur 3. De schaal LM is opgedeeld in 50 sd die éénmaal geheel rond gaan als A1 een halve mm is verplaatst.5 de schroefmicrometer 37 . Bij een diktemeting geldt evenals bij de schuifmaat dat de uitkomst volgt uit: uitkomst = diktemeting . dus 1 sd = 1 mm.4 schuifmaat 0. Dit betekent dat 1 trommelschaaldeel = 0. Dit brengt de absoluut mogelijke fout in een diktemeting op 0.2 De schroefmicrometer Bij gebruik houd je handvat C in je handpalm en neem je het proefstuk tussen A en A1.002 = 0. schaaldelen in mm.002 + 0. Onder de lijn staan streepjes die halve mm markeren.01 mm.002 mm. evenals de trommel-schaal LM.004 mm. De aflezing van schaal P geeft boven de getrokken lijn. dus 0. De meest nauwkeurige aflezing is dan in: 1 10 ⋅ 1 50 ⋅ 1 2 = 10 -3 mm = 1 μ m Meestal neemt men als afleesfout het dubbele.02 mm 3. Je schuift A1 naar A toe door aan de knop K te draaien. 003 6. 6 0.001 Aflezing 0.370 mm 7.7 schroefmicrometer met nonius 38 .01 mm draairichting bij nauwkeurige aflezing 1 micron verschil P M hoofd as met schaalverdeling 1 sd = 1 mm 2 micron verschil figuur 3. De aflezing is: hoofdschaal trommelschaal Aflezing 7 mm 0.7). 09 10 = 0. Nu is 1 sd van deze trom- melschaal 0.1 nd = 0. In dit geval vinden we 10 nd op 9 sd (van de trommelschaal).6 schroefmicrometer 0.001 mm.6.01 mm dus 1 nd = De aflezing wordt dan: Hoofdschaal Trommelschaal nonius : 3 x 0.01 mm Voorbeeld 25 De schroefmicrometer met nonius (figuur 3. 009 sd met 1 sdtrommel .213 mm mm mm + mm figuur 3.21 0.Voorbeeld 24 Zie figuur 3.37 mm + L 1 sd = 0. 3.3 De digitale voltmeter Bij het experiment is de METRA Hit 12S in gebruik (zie figuur 3.8). Bij het meten van spanningsverschillen in gelijkstroom moet u knop 6 op V zetten. Hierdoor worden de twee linker stekkeringangen (7) geopend. U kunt hier nu bijvoorbeeld de stekkers van een thermokoppel of van een meetbeugel (zie respectievelijk paragraaf 3.4 en 3.5) in steken. Zet u knop 6 op Ω en oC dan kunt u weerstanden meten. Door daarna op de gele knop 5 te drukken komt u in het (in geel aangegeven) oC domein terecht en kunt u met een speciale taster temperaturen meten, zie paragraaf 3.4. Volgens de fabrikant is de fout afhankelijk van het ingestelde meetbereik en van wat u meet (volts, Ohms, oC, etc.), zie tabel 3.1. tabel 3.1 fouten bij de digitale aflezing Meetfunctie ≈ 30 mV ≈ 300 mV ≈3V ≈3 0 V o C Fout opgegeven als ± (% aflezing + n digits) = intrinsic error ± (0,5 % + 3 digits) ± (0,5 % + 3 digits) ± (0,25% + 1 digit) ± (0,25% + 1 digit) 1% Gevoeligheid 10 μV 100 μV 1 mV 10 mV 0,1 oC Door achter elkaar op knop 4 (auto/man) te drukken kunt u de range instellen als u Volts of mV wilt meten. U ziet rechts op de display de letter V dan veranderen in mV. Als u door blijft drukken komt u weer in het V-bereik terecht, etc. Let er op dat u bij uw voltmetingen met gelijkstroom V bezig bent, dus rechtsboven in de display staat dan DC (= direct current). 39 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. LCD scherm ON / OF knop knop voor data opslag range selectie multi-functie knop schakelaar voor meet functies verschillende ingangen symbool voor ”continu aan” digitaal display met weergave van decimaal punt en polariteit weergave van manuele range, data opslag en min/max data weergave van geselecteerde functie eenheid weergave buiten range weergave weergave van analoge indicatie schaal van analoge indicatie indicatie van negatieve analoge range overschrijding batterij indicatie zoemer bij indicatie eenheid weergave bij temperatuur indicatie figuur 3.8 digitale voltmeter 3.4 De bepaling van de temperatuur: thermometer, thermokoppel en bimetaal 3.4.1 De thermometer Hierbij gaat het om vloeistof in glas meetinstrumenten (zie figuur 3.9). Er zijn diverse temperatuurschalen in gebruik. Het verband tussen F en oC is als volgt: o F = 32, 0 + 9 5 o C (3.3) Hoge precisie thermometers zijn af te lezen tot 0,05 oC. Ook geeft men bij dergelijke instrumenten wel een nauwkeurigheid van 0,15% van de volle schaal (f.s.). Voor gewone thermometers geldt een nauwkeurigheid van ± 1% van volle schaalaflezing. 40 veiligheidsreservoir capillaire buis stam temperatuur sensor figuur 3.9 Kwik in glasthermometer en verband tussen Kelvin, Celcius, Fahrenheit en Rankine schalen 3.4.2 Het bimetaal Het bimetaal (zie figuur 3.10) bestaat uit twee metaalstrookjes met verschillende thermische uitzettingscoëfficiënten die op elkaar zijn geplakt. r figuur 3.10 een bimetaal 3.4.3 (Elektrische) weerstand-temperatuurdetectoren Bij elektrische geleiders is de weerstand (R) afhankelijk van de temperatuur (T). Men legt voor metalen het gedrag van zo'n geleider vast middels de temperatuurcoëfficiënt voor de weerstand (αw): αw = 1 dR R dT ( C ) o −1 (3.4) (3.5) Voor grote temperatuurbereiken gebruikt men de relatie: R = Ro (1 + α 1T + α 2T + ...) 2 41 2 2 42 . output ( mV ) = C1 (T1 − To ) + C 2 (T1 − T0 ) + . Figuur 3...6) Hierbij is T1 de temperatuur van het meetpunt en T0 de temperatuur van (in het geval van figuur 3.4 De thermokoppels Hierbij maakt men gebruik van het ontstaan van een potentiaalverschil als twee vlakken van verschillende metalen elkaar raken. Eén las wordt gebruikt bij het meetpunt (T in de figuur) en de tweede thermokoppel wordt in smeltend ijs gehouden.11) smeltend ijs in water. T metaal M2 K figuur 3..002 tot 0. Het spreekt vanzelf dat het uitgangssignaal afhangt van de 2 metalen die aan elkaar geknoopt zijn én van de temperatuur. platina.0067 0. constantaan. ter referentie. 3.2 Elektrische weerstandscoëfficiënt αw Metaal Nikkel Staal Aluminium Koper Platina αw (oC-1) 0.4..0045 0.en kwikthermometers en van temperatuurtasters die u direct op de voltmeter kunt aansluiten. Het gaat hier om dunne metaaldraadjes van koper. voltmeter metaal M1 metaal M1 T = meetpunt waar met de “warme” las de temperatuur wordt gemeten K = “koude” las in water met smeltend ijs.11 is er voor gezorgd dat de 2 takken die naar de voltmeter gaan van hetzelfde materiaal zijn. Er geldt bij benadering: (3.. enz.11 Thermokoppel circuit ter bepaling van de temperatuur T Bij het practicum is een koperdraadje vastgeknoopt aan een koper-nikkel-legeringdraadje.11 geeft een gebruikelijke meetopstelling. staallegeringen. We gebruiken bij het meten steeds twee thermokoppels. Er zijn vele thermokoppels op de markt.0043 0. Bij de opstelling van figuur 3.tabel 3..00392 Bij het practicum kunt u gebruik maken van alcohol.006 0. 13 Front van kastje behorende bij de meetbeugel Bij de meetbeugel hoort een (voeding)kastje waarin meteen de versterker.5 De meetbeugel De meetbeugel is een roestvaststalen strip die gebogen is in een U-vorm (zie figuur 3. dus meer of minder uitbuigen.x (3.en het uitgangsignaal: T = α0 + α1. De stekkers van de meetbeugels worden op de ingangsbussen van de versterker zó aangesloten. U moet wél het meetbereik handmatig instellen op mV. met tekst en stekkerbusjes zoals weergegeven in figuur 3.Bij het experiment meten we in het temperatuurbereik van 0 . De meetbeugel wordt tussen twee nokken B en C geklemd.13. zie paragraaf 4. Als het proefstuk vervormt. Op positie A zijn aan twee kanten rekstrookjes geplakt. Deze kastjes hebben een blauw frontplaatje.12 meetbeugel ingang rekstrook meetversterker voor halve brug uitgang figuur 3. In dit geval mag men nog uitgaan van een lineair verband tussen het ingang.12).7) met T = temperatuur in oC en x = thermokoppel potentiaalverschil tussen metaal A en B in mV. Het meetcircuit is gelijk aan de halve brug (van Wheatstone) bij buiging. De output van de thermokoppels kunt u tijdens het practicum opmeten met de digitale voltmeter. dat de kleuren van 43 .3. de brug van Wheatstone en de voeding zijn opgenomen. A meetbeugel asjes met schroefdraad vergrote meetbeugel figuur 3. zal de meetbeugel mee vervormen. 3. Deze nokken zijn op het proefstuk geplakt.100 oC. Hier wordt dus niet een absolute fout bedoeld. De rode en zwarte banaanstekker van de LVDT worden aangesloten op de overeenkomstige bussen van een RS Power Supply. dus: Volt = a0 + b0 ΔL met ΔL = verplaatsing van het kernstaafje. 44 . De LVDT moet worden aangesloten op een RS Power Supply (12 Volt à 5 Volt). Een LVDT geeft in een beperkt domein een lineair verband tussen de verplaatsing van de kern en het aantal volts als uitgangssignaal. output voltage secundaire spoel kern verplaatsing primaire spoel input voltage figuur 3. De uitgangsspanning wordt gemeten met de universeel meter METRAHit 12S op. Bij deze LVDT’s zit een elektronische oscillator en demodulator ingebouwd. De uitgangsgelijkspanning wordt gemeten met de universeelmeter METRAHit 12 S op het bereik -6 < Volt < +6. Gebruik hier de groene en witte banaanstekkers voor. hierbij is D-G de voedingsspanning van de brug en F de meetspanning. De stekkers hebben verschillende kleuren om te voorkomen dat de ingangsstekkers in de bussen voor het uitgangssignaal worden geplugd en omgekeerd. Het grote voordeel van een meetbeugel is dat u deze van het proefstuk kan verwijderen en dat u dus niet steeds rekstrookjes hoeft te plakken. Het apparaat is als het ware een transformator met een uitgangsspanning die afhankelijk is van de verplaatsing van de kern ten opzichte van het spoelensysteem én van de grootte van de voedingsspanning (zie figuur 3. De V kabeltjes van het uitgangssignaal worden in de voltmeter geplugd. Deze verzorgt de voedingsspanning van de LVDT. 3.14 schema van een LVDT De LVDT’s die bij het practicum gebruikt worden zijn van het type DC (gelijkspanning). maar een verplaatsing ter grootte ΔL.14).de stekkers en bussen hetzelfde zijn.6 De LVDT (Linear Variable Differential Transformer) Bij dit instrument beweegt een metalen kern in een stelsel van spoelen. Er bestaat dan een lineair verband tussen de trekkracht N en de verlenging Δl = l’ . ondanks de vernuftige apparatuur die men in de loop der jaren hiervoor ontwikkelde.1 een trekstaaf Bij zeer goede benadering gedragen veel materialen zich lineair-elastisch. Vervormingen tengevolge van een verandering van de spanningstoestand kunnen gemeten worden. Dit had Lord Kelvin reeds in 45 . Pas in 1939 hebben Simons en Ruge het rekstrookje ontdekt.1 Inleiding In de civiele techniek speelt in veel gevallen de grootheid “spanning” een belangrijke rol. figuur 4. Dit maakt gebruik van de eigenschap dat de weerstand van een metalen elektrische geleider beïnvloed wordt door een mechanische belasting. niet heel erg nauwkeurig.1 Deze staaf met een dwarsdoorsnede A heeft in onbelaste toestand een lengte l en na het aanbrengen van een trekkracht N een lengte l’.4 Het rekstrookje 4. De grootheid “spanning” is in feite een hypothetische grootheid. De definitie van spanning impliceert namelijk een continue structuur van het materiaal. Ondanks deze toch wel sterke vereenvoudiging van de werkelijkheid blijkt het spanningsbegrip voldoende mogelijkheden te bieden om het gedrag van materialen en van constructies op realistische wijze te kunnen beschrijven.l: N= EA Δ (4.ε (4. De ‘rekmeting’ berustte in aanvang op het rechtstreeks meten van een lengteverandering en was. Vaak is het immers deze grootheid waaraan de bruikbaarheid van een constructie(deel) of de toelaatbaarheid van een belasting wordt beoordeeld. terwijl deze in werkelijkheid voor elk materiaal discontinu is.1) In termen van spanningen (σ = N/A ) en de rekken (ε = Δl/l ) staat deze betrekking bekend als de wet van Hooke: σ = E.2) Hierin is de elasticiteitsmodulus E een materiaalconstante. Als voorbeeld kan dienen de prismatische staaf in figuur 4. foliestrookjes en halfgeleiderstrookjes (figuur 4. Het mechanisch effect wordt dus met een rekstrookje omgezet in een elektrisch effect. figuur 4. A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede en ρ de soortelijke weerstand. 4. Koper heeft een temperatuurcoëfficiënt die bijna 400 maal groter is.3) Hierin is l de lengte. 6 ⋅ 10 −8 Ωm ρ = 1. Om een indruk te krijgen van de grootte van ρ volgen hieronder enkele waarden (bij kamertemperatuur): • • • Constantaan Aluminium Koper ρ = 49 ⋅ 10−8 Ωm ρ = 2. 6 ⋅ 10 −8 Ωm Als de temperatuur verandert. 46 . wat veel nauwkeuriger te meten is.1856 ontdekt.2 Rekstrookjes Een rekstrookje bestaat uit een drager van isolerend materiaal waarin (veelal opgevouwen) een elektrische geleider is ingebed.2 voorbeelden van rekstrookjes Voor de elektrische weerstand R [Ω . Bij het gebruik van rekstrookjes zal men rekening moeten houden met deze weerstandsverandering door temperatuurwisselingen. Voor constantaan is de temperatuurcoëfficiënt verwaarloosbaar klein (Δρ/ρ per graad Kelvin). Er bestaan verschillende typen. zoals draadstrookjes. Het geheel is zo geconstrueerd dat.2). wanneer een rekstrookje op de juiste wijze op een oppervlak is aangebracht. verandert ook de soortelijke weerstand ρ. Ohm] van een geleider geldt: R=ρ A (4. de geleider nauwkeurig de vervorming van dit oppervlak volgt. namelijk 10-5K-1. 4.6a.4) De evenredigheidsconstante K wordt door de fabrikant van de rekstrookjes opgegeven.3 Brug van Wheatstone 4.6b) 47 . De brug wordt naar Wheatstone genoemd als in de vier takken uitsluitend weerstanden zijn opgenomen (zie figuur 4.5a.1 Inleiding Een rekstrookje is geen meetelement. Dit doen we door de rekstrookjes in een brug van Wheatstone te schakelen. I1 = U in R1 + R2 en I2 = U in R3 + R4 (4. Dat wil zeggen dat I1 door R2 gaat en I2 door R4. Constantaan heeft een K-waarde van ongeveer 2. bij vervorming verandert de weerstand en deze weerstandsverandering moeten we meten.3). De spanningen over de weerstanden R2 en R4 bedragen dan: U 2 = I1 R2 = R2 R1 + R2 U in en U 4 = I 2 R4 = R4 R3 + R4 U in (4. 4. kunnen we met behulp van de wet van Ohm de waarden van de stromen I1 en I2 berekenen. 4.3 brug van Wheatstone Wanneer op de brugschakeling een voedingsspanning Uin wordt gezet.In het lineair-elastische gebied van het geleidemateriaal blijkt een vrijwel lineair verband te bestaan tussen de weerstandsvariatie (ΔR/R) en de rek (ε = Δl/l ): ΔR R =K⋅ Δ = K ⋅ε (4. figuur 4.2.3.5b) De uitgangsspanning Uuit wordt met een zodanig hoge weerstand belast dat daar geen stroom doorgaat. 4).12) 48 . een (belast) rekstrookje.2 Kwart brug Stel R1 is een rekstrookje dat op een materiaal is geplakt (zie figuur 4. kunnen we R1 berekenen uit: R1 = R2 R3 R4 (4. In onbelaste toestand is de brug in evenwicht.11) =− ≈− 1 U in ( 2R + ΔR1 ) 2 R 4R Worden als brugweerstanden rekstrookjes opgenomen.4 kwartbrug: slechts 1 variabele weerstand De uitgangsspanning wordt dan: U uit U in = R2 R1 + ΔR1 + R2 − R4 R3 + R4 (4.9) 4.8) R1 R2 R3 R4 De brug is in evenwicht als U2 = U4.10) Als alle vier de weerstanden dezelfde orde van grootte R hebben.3. Door Uin aan te brengen en R2 zodanig in te stellen dat Uuit = 0.7) U uit U in = R2 R1 + R2 − R3 + R4 (4. Voor R2 nemen we een variabele weerstand met afleesbare waarde (weerstandsbank). dus: R1 ≈ R2 ≈ R3 ≈ R4. dan geeft dit: U uit R ΔR1 ΔR (4. ΔR R = Kε (4.De uitgaande spanning is: ofwel: U uit = U 2 − U 4 = ⎜ ⎛ R2 ⎝ R1 + R2 R4 − ⎞ ⎟ U in R3 + R4 ⎠ R4 (4. Het quotiënt R3/R4 wordt de brugverhouding genoemd. dan zijn volgens formule 4. R1 is een weerstand met een onbekende waarde. Uuit is dan nul en er geldt dan: = Stel dat R3 en R4 vaste weerstanden zijn met bekende waarden. Na het belasten van het materiaal is de weerstand R1 + ΔR1 proefstrook F R1 = actief rekstrookje F figuur 4.4 de weerstandsveranderingen evenredig met de rekken. 4 Volle brug Als alle vier de weerstanden een verandering ondergaan geldt: U uit U in = R2 + ΔR2 R1 + ΔR1 + R2 + ΔR2 − R4 + ΔR4 R3 + ΔR3 + R4 + ΔR4 (4.3.15) Als ΔR1 en ΔR2 even groot zijn en hetzelfde teken hebben dan wordt het quotiënt nul. 4.13) Dit voorbeeld.14) Als alle vier de weerstanden dezelfde orde van grootte R hebben. dan geeft dit: U uit U in = ( 2 R + ΔR1 + ΔR2 ) 2 R R ( ΔR2 − ΔR1 ) ≈ ΔR2 − ΔR1 4R = 1 4 K ( −ε1 + ε 2 ) (4.Door deze uitdrukking te substitueren in formule 4.5). noemen we een ‘halve brug’.3.16) Dit voorbeeld waarbij twee rekstrookjes belast zijn. Dit identieke rekstrookje dient op een onbelast deel van het materiaal geplakt te worden dat in dezelfde fysische omstandigheden verkeert als R1 (zie figuur 4. waarbij één rekstrookje (R1) belast is. noemen we een ‘kwart brug’.5 kwartbrug met temperatuur compensatie 4. Zijn ΔR1 en ΔR2 in absolute waarde even groot.3 Halve brug Als R1 en R2 beide op het belaste materiaal geplakt zijn. dan krijgen we als uitgangsspanning: U uit U in = R2 + ΔR2 R1 + ΔR1 + R2 + ΔR2 − R4 R3 + R4 (4. dus: R1 ≈ R2 ≈ R3 ≈ R4.11 ontstaat: ε1 = − 4 U uit K U in (4. De meting is dan temperatuur gecompenseerd. maar ΔR1 is negatief.17) 49 . dan krijgen we: U uit U in = ΔR 2R →ε=± 2 U uit K U in (4. R1 = actief F F dummy R3 = passief (spanningsloos) (zelfde materiaal) (zelfde temperatuur) figuur 4. Om weerstandsveranderingen ten gevolge van temperatuurveranderingen te elimineren kan voor R3 een zelfde rekstrookje als R1 genomen worden. b en c zijn aangebracht. Voorts zijn er nog twee dummy rekstrookjes d. dan geeft dit: U uit U in ≈ 1 4R ( −ΔR1 + ΔR2 + ΔR3 − ΔR4 ) = K 4 ( −ε1 + ε 2 + ε 3 − ε 4 ) = 1 4 K εm (4. wanneer voor alle vier de weerstanden in de brug rekstrookjes worden opgenomen. Uit deze formule blijkt dat. dus: R1 ≈ R2 ≈ R3 ≈ R4. De gevoeligheid van een ‘halve brug’ is tweemaal zo groot als die van een ‘kwart brug’ en die van een ‘volle brug’ tweemaal zo groot als die van een ‘halve brug’. 4. Deze schakeling wordt de ‘volle brug’ genoemd omdat alle vier de rekstrookjes een weerstandsverandering ondergaan. De keuze voor soort schakeling hangt echter niet alleen af van de gevoeligheid maar ook van wat er gemeten moet worden. en ter plaatse van doorsnede II de rekstrookjes e en g. Figuur 4. figuur 4. werkt het instrument als een rechtstreekse spanningsmeter. dat niet het gemeten spanningsverschil maar de rekwaarde εm wordt afgelezen.Als alle vier de weerstanden dezelfde orde van grootte R hebben. Door de schaal van de spanningsmeter zodanig te ijken.4 Meetschakelingen De rekmetingen worden verricht aan een (vlak) model dat is opgebouwd uit staven met een rechthoekige doorsnede.6 aangebrachte rekstrookjes 50 .18) Dit is de werkformule voor de brug van Wheatstone als rekmeter.6 toont een stukje van een staaf waarop ter plaatse van doorsnede I de rekstrookjes a. de rekwaarde εm onafhankelijk is van de (voor alle rekstrookjes gelijk veronderstelde) weerstandsverandering door temperatuurwisselingen en de meting dus temperatuurgecompenseerd is. Op grond van de hypothese van Bernoulli (vlakke doorsneden blijven vlak) is het rekverloop in een doorsnede in het algemeen geval lineair in z (zie figuur 4. Is de staaf prismatisch en wordt de x-as gekozen in het normaalkrachtencentrum van de doorsnede.ΔT en κT = 0 .8 rekverloop t. dan zijn de constitutieve betrekkingen: N = EA(ε − εT ) M = EI ( κ − κT ) (4.21) εT en κT karakteriseren het rekverloop εT ten gevolge van een temperatuurverandering van de vezels wanneer de staaf vrij kan vervormen en dus spanningsloos blijft (N= 0 en M= 0). N en M De wijze van opleggen en belasten van het model is zodanig dat de staaf wordt belast in het (x-z)-vlak.8b).19) ε is de rek van de “vezel” in de x-as. Als α de lineaire uitzettingscoëfficiënt is ondergaan alle ‘vezels’ in dat geval een gelijke rek α.7 rekverloop in doorsnede I t. κ is de ‘helling’ van het rekdiagram.g.figuur 4.v.v. Op grond van de kleine afmetingen en de goede warmtegeleiding wordt aangenomen dat overal in het model dezelfde temperatuur heerst. Een wijziging van de omgevingstemperatuur heeft dus slechts een gelijkmatige temperatuurverandering in model en dummy tot gevolg. zodat geldt: εT = α.g. figuur 4.8a.ΔT (zie figuur 4. Dit is weergegeven in figuur 4.7): ε( z ) = ε + κ ⋅ z (4. temperatuurverandering bij vrije staafvervorming 51 .20) (4. К en α.23 en voer in.28) (4. Volgens (4. 4. εc en εa kan rechtstreeks de grootte van de normaalkracht N en het buigend moment M (in doorsnede I) worden berekend.5 Normaalkracht Ter bepaling van de normaalkracht N in doorsnede I zal men de rekstrookjes a en c als R2 en R3 opnemen in de brug van Wheatstone. maar dan had dit rekstrookje wel op precies de goede plaats moeten worden aangebracht.27) dan vindt men: N= 1 2 1 2 EA(ε a + ε c − 2ε d ) (4. Het zal duidelijk zijn dat de meting volgens bovenstaande uitdrukking nauwkeuriger werkt en daarom de voorkeur verdient.22) (4. het weerstandmoment W (formule 4.27).25 en formule 4.De constitutieve vergelijkingen worden nu: N = EA(ε − α ⋅ ΔT ) (4. ter hoogte van het normaalkrachtencentrum.ΔT kunnen worden gevonden uit de rekmetingen: ε= κ= εa + εc 2 −ε a + ε c h (4.9).26) Voor ε had ook de rek in rekstrookje b kunnen worden aangehouden.26 in formule 4. Substitueer formule 4.24) (4. formule 4.23) M = EI ⋅ κ De waarden van ε.22 en formule 4. W = I 1 2 h (4. Voor de overblijvende weerstanden R1 en R4 worden twee dummy rekstrookjes gebruikt (zie figuur 4.24.29) M = EW ( −ε a + ε c ) Uit de meting van de rekken εa.25) De lengte veranderingen van de ‘vezels’ ten gevolge van uitsluitend een temperatuurverandering is aan de dummy te meten: α ⋅ ΔT = ε d (4.18) ( U uit U in = K 4 ( −ε1 + ε 2 + ε3 − ε 4 ) = 1 4 K ε m ) wordt nu gemeten: 52 . figuur 4. een andere mogelijkheid voor het meten van de normaalkracht is een schakeling in de vorm van een ‘kwart brug’ (zie figuur 4.31: N= 1 2 EA ⋅ ε m (4.10 kwart brug Volgens formule 4.18 wordt nu gemeten: ε m = −ε d + ε a + ε d − ε d = ε a − ε d (4.9 halve brug Deze schakeling is een ‘halve brug’. Deze is echter twee maal minder gevoelig.30) en vindt men voor de normaalkracht volgens formule 4.33) 53 .31) figuur 4.ε m = −ε d + ε a + ε c − ε d = ε a + ε c − 2ε d (4.10).32) en vindt men voor de normaalkracht: N = EA ⋅ ε m (4. 11.12 volle brug Volgens de werkformule wordt nu gemeten: ε m = −ε a + ε c + ε c − ε a = −2ε a + 2ε c (4. figuur 4. zie figuur 4.35) Deze schakeling is een ‘halve brug’.6 Buigend moment Voor het bepalen van het buigend moment in doorsnede I hoeft men in de brugschakeling alleen de weerstanden R1 en R2 (rekstrookje a en een dummy rekstrookje) om te wisselen.36) en vindt men voor het buigend moment: M= 1 4 EW ⋅ ε m (4.11 halve brug Men meet dan: ε m = −ε a + ε d + ε c − ε d = −ε a + ε c (4.12). een andere mogelijkheid voor het meten van het buigend moment is een schakeling in de vorm van een ‘volle brug’ (zie figuur 4. De gevoeligheid van deze schakeling is tweemaal zo groot.37) 54 . figuur 4.34) en vindt men voor het buigend moment M volgens formule 4.4.29: M= 1 2 EW ⋅ ε m (4. dan is in dat gebied de dwarskracht V constant en geldt: V= ΔM Δx = M ( II ) − M ( I ) Δ (4. Als dus het buigend moment lineair verloopt tussen de doorsneden I en II.41) en levert de schakeling een methode om het momentenverschil en daarmee de dwarskracht te meten: V= M ( II ) − M ( I ) Δ = 1 EW 2 Δl ⋅ εm (4.39) waarbij Δl de afstand is tussen beide doorsneden.13 voldoende klein wordt genomen. Hartsuijker): V = lim ΔM Δx Δx →0 = dM dx (4. gemeten op de hiervoor beschreven wijze.13. geeft in het algemeen een goede benadering van de werkelijkheid. g. Dit is weergegeven in figuur 4. figuur 4. a en c.C.40) Volgens de werkformule meet men nu: ε m = −ε e + ε g + ε a − ε c (4.13 meting voor dwarskracht Overeenkomstig formule 4. zolang de afstand Δx in figuur 4. 55 . deel 1 – Evenwicht .42) Als het buigend moment niet lineair verloopt tussen de doorsneden I en II is de dwarskracht niet meer constant.29 geldt: M ( II ) − M ( I ) = 1 2 EW {( −ε e + ε g − ( −ε a + εc ) = ) } 1 2 EW −εe + ε g + ε a − εc ( ) (4. De dwarskracht. e.7 Dwarskracht Voor het meten van de dwarskracht maakt men gebruik van de uit het momentenevenwicht van een staafelementje afgeleide betrekking (zie: Toegepaste Mechanica .38) De dwarskracht V kan men dus vinden als de helling van de momentenlijn. De weerstanden R1 t/m R4 worden in de brug van Wheatstone gevormd door de rekstrookjes bij resp.4. figuur 4.43) 100 ⎝K⎠ β is een correctiefactor. R3 en R4 op de juiste wijze aan en uit (zie ook figuur 4.15.4. Rekstrookjes zijn stukjes metaal waarvan de elektrische weerstand verandert als de rek verandert.14). Op het stekkerdoosje dat hierop aangesloten wordt is een grafische voorstelling van de Brug van Wheatstone aangebracht.en meetkast. betekent dit dat (bij een ‘kwartbrug’ met K = 2) bij een wijzeruitslag van 100% de rek gelijk is aan 100 με. Bovendien is een kleurcode op het doosje én op de stekkers aangebracht.14) te verbinden.14 bovenaanzicht van het stekkerdoosje en schakelsysteem bij rekstrookproeven.1. schakelt u de weerstanden R1. Door de juiste stekkers in de juiste gaatjes te stoppen. Op dit kastjes worden de rekstrookjes aangesloten.8 Randapparatuur voor de rekstrookjes: de ‘Peekel-kast’ Bij de metingen worden rekstrookjes gebruikt die op een proefstuk zijn geplakt. D R E actief F actief of dummy R G R D-G voedingsspanning van de brug van Wheatstone E-F meetspanning F en F' doorverbinden bij 1/4 brug Dit kastje is via een kabel aangesloten op de ingangsplug aan de voorzijde van de Peekelkast. die is aangesloten op een voedings. kunnen de microrekken van deze strookjes afgelezen worden op de Peekelkast. geldt dat dan een 100% wijzeruitslag gelijk is aan 1000 με. De Peekelkast heeft een analoog uitgangssignaal met een (wijzer)schaal van 0 tot 100% (zie figuur 4. Als de Rangeknop op 100 staat. De gebruikte voedings. Door deze rekstrookjes aan een stekkerdoosje (zie figuur 4. 56 . Rechts op het front zit een schakelknop Range. R2.15). Als de Rangeknop op 1000 staat. De grootte van de factor β is gegeven in tabel 4. Bij deze oefening worden alleen de halve bruggen gebruikt. In formule: wijzeruitslag × range ⎛ 2 ⎞ aantal με = ×⎜ ⎟× β (4. inplugpunt D G E F Halve brug rode stekker zwarte stekker niet gebruikt gele stekker F’ figuur 4.en meetkast is type CA 660 van het fabrikaat Peekel: de zogenaamde Peekelkast. zodat u de kwartbruggen én de halve brug zelf kunt samenstellen. Vóórdat u gaat meten moet dus eerst de wijzer op nul staan. De meetfout volgt uit de afleesfout (Δμεaflees) én de nauwkeurigheidsspecificatie van het apparaat (Δμεspecificaties).input brug configuratie output range selector calibratie knop power knop accu controle meter polariteit grove balans grove balans fijne balans figuur 4. Volgens de specificaties is Δμεspecificaties = 1% van de volle uitslag.2 sd gesteld worden. De afleesfout kan op 0.1 Peekelkast Overzicht correctiefactoren β β 1 1/(1+ν) *) ½ 1/4 Brugtype: kwartbrug halve brug bij trekproef met 1 langs.en 1 dwarsstrookje halve brug bij buiging met 1 strookje op trek en 1 strookje op druk Volle brug bij buiging *) Ν = dwarscontractiecoëfficiënt Links onder op de Peekelkast zitten knoppen waarmee u in onbelaste toestand de brug moet balanceren. 57 .15 tabel 4. 2 sd = 1 x 100 100 x 0. 2 με omdat 1 sd = 1 με We houden dus aan: Δμε = 1 με. een rekstrookje met K-waarde = 2. K = 2 en β = 1.v. 58 . 2 × 1 × 1000 100 = 2 με omdat 1 sd = 10 με De absolute fout die we nu op het practicum aanhouden is dan Δμε = 10 με. Er geldt dan bij volle uitslag ( wijzeruitslag = 100% ) × range 100 × 1000 100 sd ≡ 100 = 100 = 1000 με 1% van 1000με geeft Δμε = 10με De afleesfout ( Δμε ) aflees = 0. 2 sd = 0. 2 με = 0. aannemende dat bij de nulstelling geen fouten worden gemaakt. Voorbeeld 27 Bepaling Δμε als range = 100.b. 100sd (volleuitslag ) ≡ wijzeruitslag × range 100 × 100 = = 100με 100 100 Δμεspec is 1% van 100 με = 1 με De afleesfout is: Δμε aflees = 0. Stel de rangeknop staat op 1000 en β = 1 (dus kwartbrug).Voorbeeld 26 Bepaling Δμε m. Aan het eind van iedere experimentbeschrijving zijn invulbladen te vinden. de uitvoering van de opdracht en het beschikbare materiaal beschreven. 59 . Per experiment is het doel. die gebruikt dienen te worden tijdens de practicummiddagen. die van nut kunnen zijn voor het beter begrijpen van het desbetreffende experiment. de opdracht. Bij sommige experimenten zijn toelichtingen en bijlagen te vinden.5 Experimenten In dit hoofdstuk worden alle te verrichten experimenten behandeld. 60 . Hiervoor zijn langs de staven op verschillende plaatsen rekstrookjes bevestigd (figuur 5.5.1.1.1.1 Mechanica Experiment 5. Model In onderstaand figuur 5.1. Figuur 5.1 Handleiding Experiment 1 Met de theorie uit het eerste studiejaar kunnen eenvoudige statisch bepaalde constructies worden geanalyseerd.2 foto van rekstrookjes 61 . De werkelijke krachtsverdeling en vervorming van het spant wordt gemeten met behulp van rekstrookjes.1 staat een voorbeeld van een statisch bepaalde constructie waarin de krachtsverdeling gemeten kan worden. Doel Het doel van dit experiment is de buigingstheorie te valideren.2). gebruikmakend van een statisch bepaald spant.1.1 driescharnierenspant Figuur 5. Hiervoor is een berekeningsmethodiek gepresenteerd voor buiging en extensie waarvan de modelvorming gebaseerd is op een aantal aannamen die in de boeken van Hartsuijker te vinden zijn. Deze gemeten krachtsverdeling kan vervolgens vergeleken worden met de analytisch berekende waarde. 68 om het uiteindelijke verslag van het experiment te laten goedkeuren. In de meting die met het programma gedaan wordt worden dan ook voor elke doorsnede rekken aan de onder.tudelft. Dit betekent niet dat alles uitgetypt dient te worden. Wanneer er tussendoor vragen zijn of u wilt deelvragen laten aftekenen kunt u natuurlijk altijd langskomen of een afspraak maken door in te tekenen op de lijsten bij kamer 6. (hoek)punten van de constructie (in model 1 bestaat punt E niet) a t/m f: afmetingen van de constructie (in model 1 en 4 bestaat f niet) bb en hh zijn de doorsnede afmetingen E is de elasticiteitsmodulus F is de puntlast op de constructie r1 t/m r4 zijn de locaties van de doorsneden waar de rekstrookjes zitten Zoals gezegd zijn de locaties van de rekstrookjes vastgelegd met parameters r1 t/m r4. In het computerprogramma wordt een tekening gegeven van het spant zoals dit gesimuleerd wordt.In dit experiment wordt geen gebruik gemaakt van een fysiek model. Een net. Begin op tijd (minimaal twee weken voor de onderstaande inleverdatum!). In deze doorsneden is aan de bovenkant.68) en werk zorgvuldig! De deadline die je hieron- 62 . ga met duidelijke vragen naar de studentassistenten (k6.mechanics. Verslaglegging en assistentie Alle opgaven dienen op een verzorgde wijze. Ervaring wijst uit dat het experiment nog wel eens moeilijkheden kan opleveren. In totaal zijn er 3 verschillende spanten aanwezig in het programma. en aan de onderkant een rekstrookje bevestigd. In de tekeningen van deze spanten zijn een aantal parameters weergegeven die van belang zijn voor het uitwerken van het experiment. Dit computerprogramma kan zowel thuis als op de faculteit gedownload worden vanaf Blackboard of van de onderstaande website: http://www. handgeschreven verslag voldoet.citg.nl/~wmn/edu/TUD_CT/software/experiment/ Installeer het programma op je eigen computer of laptop. ingeleverd te worden. Het programma kan niet worden geïnstalleerd op de onderwijscomputers op de faculteit maar kan in de COO-zalen wel vanaf een usb-stick worden gedraaid. in de vorm van een verslag. • • • • • • A t/m E en S. De meetopstelling wordt door een (Windows) computerprogramma gesimuleerd. en heeft de voorkeur.en bovenkant van die doorsnede gegeven. Bij het gebruik van Maple is een uitdraai van de maplesheet voldoende en hoeven de vergelijkingen niet helemaal overgetypt / overgeschreven te worden. Hierbij dient wel vermeld te worden dat het een compleet en duidelijk leesbaar verslag moet zijn! Voordat het verslag kan worden ingeleverd dient het compleet goedgekeurd te zijn door de studentassistenten. De parameters zijn voor elke student verschillend. Van iedere student wordt verwacht dat zij zich eenmaal intekent op de lijsten bij de studentassistenten op kamer 6.68. 2 (vanaf blz. In Bijlage 5. houdt dit in dat je de benodigde waarden opnieuw zult moeten uitrekenen! Voorkennis Bij dit experiment wordt uitgegaan van voorkennis die is opgedaan bij de volgende vakken: • CT1031: Statica • CT1041: Sterkteleer Inleverdata De actuele inleverdata per groep zijn te vinden op de Blackboard pagina van het vak CT2121 en op http://www. Maple Het gebruik van Maple wordt ten zeerste aangeraden bij het uitwerken van het experiment. Enkele resultaten die je gevonden hebt tijdens dit experiment heb je nodig bij dit practicum.citg.citg. De resultaten die je nodig zal hebben bij het volgende practicum moet je invullen op het resultatenformulier.tudelft.nl/~studass onder het kopje extra informatie. Te laat is te laat en heeft de consequentie dat het vak volgend jaar over gedaan moet worden! Aansluiting Practicum CT2031 Dit Experiment wordt opgevolgd door het Matrixframe Practicum van het vak CT2031.mechanics. Dit formulier is samen met het aftekenformulier te vinden bij deze opdracht.mechanics.der kunt vinden voor het inleveren van het verslag is een harde. Wanneer je geen formulier hebt. 70) wordt een korte introductie gegeven voor het gebruik van Maple. Zonder dit formulier kun je niet beginnen aan het Matrixframe Practicum.tudelft. Bewaar dit formulier goed. 63 . Ook zijn er extra voorbeelden te vinden op: www.1.nl/~studass/CT2121/inleverdata. CT2121 Naam Model: EXPERIMENT 1 ONDERZOEK NAAR DE VALIDITEIT VAN DE BUIGINGSTHEORIE FORMULIER 1: AFTEKENFORMULIER Studienummer Inleverdatum: Projectgroep LET OP: NA HET JUIST INVULLEN VAN DE VERPLAATSINGEN BIJ ONDERDEEL 4 KRIJG JE EEN AUTORISATIECODE TE ZIEN.1 1.1 3.6 3.2 3.7 4.3 1.4 2. DEZE CODE IS SLECHTS 1 KEER ZICHTBAAR! SCHRIJF DEZE DAAROM DIRECT OP IN HET DAARVOOR BESTEMDE VAK HIERONDER!! Autorisatie code: De ruimte hieronder niet beschrijven! Vraag 1.1 4.4 3.1 2.5 3.2 Paraaf Opmerkingen 64 .2 3.2 1.3 3. 65 . H8 en voor informatie over de differentiaalvergelijking voor buiging wordt verwezen naar H8. Toegepaste Mechanica. ONDERDEEL 4: BEPALING VERVORMINGEN EN VERPLAATSINGEN Bij dit onderdeel wordt gekeken naar de theoretische vervormingen en verplaatsingen van het spant. Hiervoor wordt verwezen naar Hartsuijker. Toegepaste Mechanica. ONDERDEEL 3: HET EXPERIMENT In dit onderdeel wordt het experiment gesimuleerd met behulp van het computerprogramma. Mocht dit toch voorkomen fris je kennis dan weer eens op met Hartsuijker. Aangeraden wordt om nog eens H4 uit Hartsuijker. Door de vragen een voor een netjes uit te werken is het mogelijk een experimentele krachtsverdeling te vinden.De opdracht Dit experiment bestaat uit vier onderdelen: ONDERDEEL 1: BEPALING EXACTE KRACHTSVERDELING In dit onderdeel moet een handberekening worden gemaakt waarbij gebruik gemaakt wordt van de kennis die is opgedaan bij CT1031. Dit zou geen problemen mogen opleveren. deel 2. H4 en H5. Toegepaste Mechanica. De krachtsverdeling zoals die in onderdeel 1 is gevonden is dus de basis voor dit onderdeel. Deel 2 door te lezen. Toegepaste Mechanica. ONDERDEEL 2: BEPALING SPANNINGEN In dit onderdeel moeten voor een doorsnede het normaalspanningsdiagram en het schuifspanningsdiagram berekend en getekend worden. Bij dit onderdeel moet je zelf de gemeten rekken om te zetten naar de vervormingsgrootheden van de doorsnede (εnc en κ). deel 2.2. Er wordt alleen gekeken naar de vervormingen en verplaatsingen ten gevolge van buiging. Deel 1. Voor de bepaling van de verplaatsingen door buiging wordt verwezen naar: Hartsuijker. ‘experiment’.2 Teken de momentenlijn voor de constructie. Toegepaste Mechanica. Deel 2 Om verder te kunnen gaan met onderdeel 3 moet van een aantal punten de waarden van het moment. Bij het 2e jaars Matrixframe practicum in de 2e periode ga je met deze resultaten verder rekenen. Het profiel van de staaf is te vinden in de figuur die je door het programma hebt laten genereren. Bereken tevens de krachten in het scharnier S (N.4 Teken de normaalkrachtenlijn voor de constructie.3 Teken de dwarskrachtenlijn voor de constructie. Dit kan gedaan worden door op de knop ‘check forces’ te drukken en het programma te volgen.* 1. Wat kun je zeggen over deze waarde? Tip: bestudeer nog eens Hartsuijker. V en M).1 Bepaal de oplegreacties en teken deze zoals ze in werkelijkheid werken. Integreer de oppervlakte van het diagram door gebruik te maken. Gevraagd: 2.* 1. Voor een overzicht van de constructie waarvoor je de berekeningen moet uitvoeren kun je rechts op de knop ‘view a drawing’ drukken (druk dit figuur af voor in je verslag en schrijf het modelnummer op het aftekenblad). Let goed op de richting waarin de dwarskracht werkt. Als alles goed is ingevoerd verschijnt er een nieuwe optie in het programma.Opgaven In onderstaande tekst wordt telkens aangegeven wanneer het programma benodigd is om gegevens in te voeren of op te zoeken. 66 . Bewaar je verslag en hiermee ook deze resultaten goed. Onderdeel 2: Bepaling spanningen In dit onderdeel wordt gevraagd de spanningen in een bepaalde doorsnede te berekenen en te tekenen. Je krijgt nu links in beeld je parameters te zien. de maten bb en hh zijn parameters gegeven door het computerprogramma. Het is de bedoeling dat in het verslag zowel de antwoorden op de onderstaande vragen als de antwoorden die in het programma moeten worden ingevoerd worden gepresenteerd. Gevraagd: 1.2 Bereken en teken het schuifspanningsdiagram voor staaf BS bij B. 1.* * Gebruik de juiste vervormingstekens! NB: Maak duidelijke tekeningen en de schrijf de waarden bij alle karakteristieke punten erbij. Izz en schuifspanning in de computer worden ingevoerd.1 Bereken en teken het normaalspanningsdiagram voor staaf BS bij B. in het daarvoor bestemde invoerveld. 2. de normaalkracht. Onderdeel 1: Bepaling exacte krachtsverdeling Open het programma en voer je studienummer in. 6 Teken de momentenlijn. Hierbij moet de opmerking die je bij de vorige vraag gemaakt hebt over de regressielijnen in acht worden genomen. Geef aan hoe met dit rekdiagram de waarden voor ε NC en κ gevonden kunnen worden. Met behulp van het programma kunnen metingen aan de constructie worden uitgevoerd. Gevraagd: 3.5 kN . Op een aantal plaatsen in de constructie zijn rekstrookjes (voor een uitleg over rekstrookjes zie het 2121 dictaat) aangebracht.Onderdeel 3: Het experiment In het voorgaande onderdeel zijn de momentenlijn.3 Teken voor alle vier de doorsneden waar rekstrookjes aangebracht zijn de regressielijn voor zowel de kromming κ als voor de rek in het normaalkrachtencentrum εNC (in totaal dus 8 regressielijnen). Met een klik op een van de radiobuttons voor verschillende belastingen (die in het programma linksonder worden weergegeven) wordt als het ware elke keer een rekmeting gesimuleerd. Het computerprogramma dient in dit experiment als proefopstelling. 3. V.10 kN . 3. en de normaalkrachtenlijn voor een statisch bepaald spant berekend en getekend. Geef in de tabel ook het procentuele verschil tussen de uitkomsten aan. Deel 2 3. Wat valt er op aan de startwaarde van de regressielijnen? Tip: bestudeer nog eens paragraaf 4.0 kN . de dwarskrachtenlijn.* Maak hierbij gebruik van Excel. en geef ze in het verslag weer in een aantal overzichtelijke tabellen: . en de normaalkrachtenlijn die volgen uit het experiment.20 kN Denk eraan dat het programma bij elke meting ook een meetfout genereert. Met een proefopstelling kunnen deze lijnen op juistheid gecontroleerd worden.2 uit Hartsuijker. Schrijf de waarden er duidelijk bij! 3.7 Zet de uitkomsten uit onderdeel 1 en de voorgaande vraag in een tabel (voor elk punt. en N).15 kN . * Voor een uitleg over het tekenen van regressielijnen met behulp van Excel zie handleiding. Toegepaste Mechanica. 67 . Let op: bij het gebruik van Excel moet het aantal decimalen in de vergelijking van de regressielijnen vergroot worden voor een accuraat resultaat.1 Bepaal de rekken in de rekstrookjes bij de volgende belastingen. de dwarskrachtenlijn.5 Bereken de normaalkracht en het moment ter plaatse van de rekstrookjes bij belasting door kracht F. Vergelijk nu de uitkomsten en verklaar eventuele verschillen. 3. A t/m E en S dus de M.4 Bepaal voor belasting F (de belasting die gebruikt is in onderdeel 1) de rek in het NC en de kromming voor de vier doorsneden.2 Teken voor rekstrookje 1 het rekdiagram en laat duidelijk zien uit welke twee delen (ten gevolge van het moment en de normaalkracht) dit rekdiagram is opgebouwd. Met behulp van deze rekstrookjes kunnen de rekken aan de boven en onderzijde van de staaf worden gemeten bij een bepaalde belasting. Verzamel de waarden voor de verschillende doorsneden in een tabel. 3. Geef duidelijk de onbekenden aan en maak een tekening met hierin de aangenomen hoeken en richtingen. Voeg een uitdraai hiervan toe aan het verslag. Gebruik deze randvoorwaarden en de vergelijkingen van deelvraag 2 om met Maple de zakkingslijn van deze staaf te bepalen en te tekenen. de rotatie en de zakking van staaf AB in het lokale assenstelsel van de staaf. De verplaatsingen van de knooppunten zullen worden gebruikt in het Matrixframe practicum. de rotatie. Bepaal de horizontale en verticale verplaatsing van het hoekpunt B. het moment. Druk hiervoor op de knop ‘check displacements’ en volg het programma. 2.2 Bepaal met behulp van de differentiaalvergelijking voor buiging de algemene vergelijkingen voor de dwarskracht. Beantwoord de volgende deelvragen: 1. Als normaalkrachtvervorming de enige vervorming is. Tip: Bedenk dat de rotaties in de opleggingen nog onbekend zijn! 4. Als de waarden juist zijn ingevoerd krijg je een unieke autorisatiecode. b. het moment en de dwarskracht. de constitutieve vergelijking en de kinematische vergelijking voor het geval buiging en leidt hiermee de differentiaalvergelijking af. Stel de vergelijkingen op waarmee de horizontale en verticale verplaatsing van het schanier S. 3. Deze code is maar één keer zichtbaar. Let op: In deze berekening worden normaalkrachtvervormingen verwaarloosd. Schrijf deze direct op het voorblad! NB: Bewaar de resultaten van deze opgave goed. De verplaatsingen ten gevolge van buiging kunnen bepaald worden met behulp van de momentenvlakstellingen. bepaald kan worden. Geef de evenwichtsvergelijking. Bepaal met behulp van deze differentiaalvergelijking de algemene vergelijkingen voor de zakking.Onderdeel 4: Bepaling vervormingen en verplaatsingen In dit onderdeel wordt gevraagd om de verplaatsingen van de constructie te bepalen.1 a. Stel de randvoorwaarden voor staaf AB op. mag je deze niet verwaarlozen. en van het punt waar de kracht F aangrijpt. Gevraagd: 4. als gevolg van alleen buiging. 4. als gevolg van alleen buiging. 68 . Als laatste kunnen nu de verplaatsingen van het scharnier S en punt B in het programma worden ingevoerd. Hierbij moet gebruik worden gemaakt van de exacte oplossing van de krachtsverdeling uit onderdeel 1. Zet de tabellen met meetgegevens achter elkaar in EXCEL .Kies in het dropdown menu ‘chart’ de optie ‘add trendline’.Maak aan de hand hiervan voor ieder doorsnede een F-ε en F-κ grafiek waarin de waarden uit de tabel tegen elkaar uitgezet zijn (selecteer voor het maken van een grafiek de rij met krachten (zonder eenheid!) en de rij met rekken (van dat bepaalde rekstrookje) en kies vervolgens in het dropdown menu ‘insert’ de optie ‘chart’.Kies vervolgens op het tabblad ‘type’ de optie ‘lineair’ en vink op het tabblad ‘options’ het vakje ‘display equation on chart’ aan. . Kies in het volgende venster: ‘chart type: XY (scatter)’).1 Het tekenen van regressielijnen Het tekenen van een regressielijn met behulp van EXCEL gaat als volgt: .Bijlage 5. . 4 F-ε en 4 F-κ grafieken) bij de uitwerkingen worden gevoegd! Om de waarde van de rek bij de gegeven kracht F te kunnen bepalen kan de formule voor de trendlijn handmatig uit de grafiek worden overgenomen of gebruik worden gemaakt van het commando ‘TREND’ in Excel (voor meer info zie de help van Excel).Selecteer de grafiek. Laat in iedere grafiek een regressielijn tekenen.Kies in het dropdown menu ‘chart’ de optie ‘add trendline’.Selecteer de grafiek. Van alle doorsneden moet een grafiek (totaal dus 8 grafieken. . . . Extrapoleren van de regressielijn (indien nodig). 69 . .1.Gebruik onder het tabblad ‘options’ de optie ‘forecast forward’. 418 en 429 en deel 2 blz.w l=10.4 statisch onbepaalde ligger Omdat de belasting niet met één functievoorschrift voor de gehele ligger kan worden beschreven moeten de liggerdelen (velden) AC en CB afzonderlijk worden bekeken. wII(x). φI(x). Voor elk veld geldt de 4e orde differentiaalvergelijking voor buiging: EI d w dx 4 4 = q( x ) (5. 29. Meer informatie hierover vind je op: http://www. Op de ligger werkt een gelijkmatig verdeelde belasting die alleen aangrijpt op liggerdeel AC. 504 en 506. 415. MAPLE versie 7 is beschikbaar voor studenten via de campuslicentie van de TU-Delft en wordt geleverd in het gratis 1e jaars studenten (software) pakket. zie Hartsuijker.1.dto. De ligger is in B volledig ingeklemd.3 weergegeven constructie.tudelft.Bijlage 5.1.1) Om de grootheden w.1.0 m z. blz. De oorsprong van het assenstel x-z-assenstelsel wordt in A gekozen. Voorbeeld 1: vergelijkingen oplossen Het voorbeeld betreft de in figuur 5. toegepaste mechanica – deel 1. etc. etc. q=10 kN/m A a=4. 70 .nl/homestud.0 m C EI=10000 kNm2 B x figuur 5.1.htm Om het gebruik van MAPLE te demonstreren worden in deze toelichting twee voorbeelden uitgewerkt om het werken met vergelijkingen en het oplossen van stelsels te demonstreren. φ. dus: voor liggerdeel AC: voor liggerdeel CB: wI(x). M en V in de velden AC en CB van elkaar te kunnen onderscheiden krijgen ze in veld AC een index I en in veld CB een index II.2 Het gebruik van Maple bij ConstructieMechanica MAPLE is een krachtige tool om op een gestructureerde wijze ‘lastig’ en ‘vervelend’ rekenwerk te verrichten. De ligger AB wordt belast met een gelijkmatig verdeelde belasting die alleen aangrijpt aan op het liggerdeel AC. Aangezien de gelijkmatig verdeelde belasting nul is op het liggerdeel BC is de particuliere oplossing voor dit deel van de ligger gelijk aan nul. Ter plaatse van de veldovergang in C moeten vier overgangsvoorwaarden worden opgesteld.5 rand.3) In totaal zijn er 8 onbekende integratieconstanten: C1 t/m C4 (veld AC) en D1 t/m D4 (veld CB). q=10 kN/m A V(a) wI (x) Randvoorwaarden: wI ( 0) = 0 w(a) C Overgangsvoorwaarden: wI ( a ) = wII ( a ) wII (x) M(a) B ϕ(a) Randvoorwaarden: wII (l ) = 0 M I (0) = 0 ϕ II (l ) = 0 ϕ I ( a ) = ϕ II ( a ) M I ( a ) = M II ( a ) VI ( a ) = VII ( a ) figuur 5.2) homogene oplossing particuliere oplossing Per liggerdeel kan het verplaatsingsveld worden opgesteld. Deze zijn te berekenen met behulp van de rand.1. Er geldt: wI ( x ) = C1 + C2 x + C3 x + C4 x + 2 3 qx 4 24 EI wII ( x ) = D1 + D2 x + D3 x + D4 x 2 3 (5.V.4) 71 .en overgangsvoorwaarden. voor buiging in het geval van een gelijkmatig verdeelde belasting q(x) = q is: w( x ) = C1 + C2 x + C3 x + C4 x + 2 3 qx 4 24 EI (5.en overgangsvoorwaarden wordt gebruik gemaakt van de volgende betrekkingen: dwI dwII ϕI ( x) = − dx d wI dx 2 2 ϕ II ( x ) = − dx d wII dx 2 2 M I ( x ) = − EI VI ( x ) = dM I dx en M II ( x ) = − EI VII ( x ) = dM II dx (5.1.1.4.De algemene oplossing van de 4e orde D. De rand en overgangsvoorwaarden zijn weergegeven in figuur 5.1.1. Ter plaatse van de randen A en B gelden (per rand) twee randvoorwaarden.en overgangsvoorwaarden Bij het uitwerken van de rand. 5) Bij de uitwerking van de rand. wI ( a ) = wII ( a ) ϕ! ( a ) = ϕ II ( a ) M I ( a ) = M II ( a ) VI ( a ) = VII ( a ) (5. q:=10. Formule 5.1. > restart.1. Uitwerking in MAPLE In MAPLE kan gewoon met symbolen worden gewerkt.1. Het is dus niet nodig om alle vergelijkingen eerst met de hand uit te werken. Vervolgens kunnen de variabelen worden gedeclareerd. > a:=4.Samenvatting De zakkingslijn voor dit buigingsprobleem wordt dus beschreven met de twee functies (formule 5.1. Deze 8 onbekenden worden bepaald met behulp van de eerder genoemde 4 randvoorwaarden en 4 overgangsvoorwaarden uit figuur 5.1.3 en formule 5. In dit voorbeeld dus kN en m. EI:=10000.4 kunnen direct worden overgenomen in MAPLE.1.3) waarin 8 integratieconstanten voorkomen. Let erop dat alle grootheden in dezelfde eenheden worden ingevoerd. de belasting q en de buigstijfheid EI. wordt afgesloten. l:=10. w2 := D1 + D2 x + D3 x 2 + D4 x 3 72 . De in rood aangegeven tekst is de in te typen tekst. Na het aanmaken van een nieuw rekenblad wordt gestart met het commando restart.4 gegeven betrekkingen.1. Met dit commando worden alle eerder berekende variabelen gewist. Dit zijn voor dit voorbeeld de afmetingen a en l. w1 := C1 + C2 x + C3 x 2 + C4 x 3 + 1 x4 24000 > w2:=D1+D2*x+D3*x^2+D4*x^3. In blauw is het resultaat dat MAPLE geeft weergegeven.en overgangsvoorwaarden wordt gebruik gemaakt van de onder formule 5.1.4. a := 4 l := 10 q := 10 EI := 10000 Vervolgens worden de verplaatsingsfuncties (1) voor de beide liggerdelen ingevoerd: > w1:=C1+C2*x+C3*x^2+C4*x^3+(1/(24*EI))*q*x^4. formule 5. Let er op dat ieder commando met een . 0. x := 0 > eq1:=w1=0.x). Er hoeft dus niets met de hand uitgeschreven of vereenvoudigd te worden. Uitwerken levert: > x:=0. M1 := −20000 C3 − 60000 C4 x − 5 x 2 M2 := −20000 D3 − 60000 D4 x > V1:=diff(M1. > phi1:=-diff(w1. φ1 := −C2 − 2 C3 x − 3 C4 x 2 − 1 x3 6000 φ2 := −D2 − 2 D3 x − 3 D4 x 2 > M1:=EI*diff(phi1. Randvoorwaarden in A (x=0) Bij de twee randvoorwaarden in A moet x de waarde nul krijgen. a of l wordt toegekend en dat na het oplossen van de vergelijkingen x weer als variabele wordt hersteld. x=l Het is van belang dat voor het opstellen van de vergelijkingen aan x de juiste waarde. Tussen haakjes moet worden aangegeven welke functie gedifferentieerd moet worden en naar welke variabele moet worden gedifferentieerd.x). x=a. eq2 := −20000 C3 = 0 73 .x). De rand.en overgangsvoorwaarden gelden voor drie verschillende plaatsen in de ligger: twee randvoorwaarden in A: vier overgangsvoorwaarden in C: twee randvoorwaarden in B: x=0.x). In MAPLE kunnen vergelijkingen expliciet worden vermeld. eq2 etc. Voor het differentiëren in MAPLE wordt gebruik gemaakt van het diff commando.Voor het verwerken van de randvoorwaarden en overgangsvoorwaarden worden de betrekkingen volgens (2) ingevoerd. In dit voorbeeld wordt gebruik gemaakt van de afkorting eq1. V1 := −60000 C4 − 10 x V2 := −60000 D4 Voor de verdere uitwerking van het probleem moeten nu de 8 vergelijkingen worden ingevoerd. M2:=EI*diff(phi2. eq1 := C1 = 0 > eq2:=M1=0. phi2:=-diff(w2.x). Je kunt zelf een naam verzinnen voor iedere vergelijking.x). V2:=diff(M2. D2. D3 = . 375000 3750 375 250 125000 Vervolgens wordt met het commando assign de oplossing toegewezen aan de 8 variabelen C1 t/m D4. C4 = . 74 .eq5. Het probleem is nu opgelost.Overgangsvoorwaarden in C (x=a) De vier overgangsvoorwaarden worden als volgt ingevoerd: > x:=a. solution := { C1 = 0. x := 4 > eq3:=w1=w2.D4}). Om de oplossing te kunnen tekenen moet de waarde van x. eq6 := −60000 C4 − 40 = −60000 D4 Randvoorwaarden in B (x= l ) De twee randvoorwaarden in B leiden tot: > x:=l.C3.eq2. > assign(solution).eq6. De oplossing wordt eerst opgeslagen in een variable waarvan de naam vrij mag worden gekozen. {C1. worden gewist. eq7 := D1 + 10 D2 + 100 D3 + 1000 D4 = 0 > eq8:=phi2=0. De 8 vergelijkingen met 8 onbekenden moeten nu alleen nog worden opgelost.C2.eq8}. C3 = 0.D1. eq3 := C1 + 4 C2 + 16 C3 + 64 C4 + 4 = D1 + 4 D2 + 16 D3 + 64 D4 375 > eq4:=phi1=phi2. D1 = . eq4 := −C2 − 8 C3 − 48 C4 − 4 = −D2 − 8 D3 − 48 D4 375 > eq5:=M1=M2.eq3. > solution:=solve({eq1. D4 = D2 = 27 } 1250 73 41 -4 -1 -59 . In dit geval wordt de naam solution gebruikt. eq5 := −20000 C3 − 240000 C4 − 80 = −20000 D3 − 240000 D4 > eq6:=V1=V2. die na het formuleren van de randvoorwaarden in B nog op l staat.C4.D3. x := 10 > eq7:=w2=0.eq4.eq7. Hiervoor beschikt MAPLE over een “solver” die wordt aangeroepen met solve. Immers x moet weer een ‘echte’ variabele worden. C2 = . eq8 := −D2 − 20 D3 − 300 D4 = 0 Alle informatie is nu ingevoerd. style=line): display({F. Uiteraard kunnen op soortgelijke wijze ook de figuren voor de dwarskracht.y=-0. > with(plots): F:=plot(w1.G}). Hieronder is weergegeven hoe dat in MAPLE wordt ingevoerd. Dit wordt aan de lezer overgelaten."w"].05.. figuur 5.1.l.a.05.05.0.y=-0. 41 59 1 x− x3 + x4 3750 125000 24000 − 4 27 1 2 73 + x− x + x3 375 1250 250 375000 Dit resultaat kan ook grafisch worden weergegeven.x=0.x=a. het moment en de hoekverdraaiing worden samengesteld. 75 .5 weergegeven.labels=["x-as". title="Zakking"... print(w2).05.style=line): G:=plot(w2. Merk op dat MAPLE de positieve as naar boven uitzet.0. Om in één figuur de totale oplossing te kunnen tekenen moeten de “plotjes” van beide zakkingslijnen wI en wII worden gecombineerd.> x:='x'.. Het resultaat is in figuur 5. x := x De gevonden verplaatsingvelden kunnen netjes worden weergegeven met: > print(w1).6 zakkingslijn staaf AB Met dit commando krijgen de plaatjes voor wI en wII eerst een eigen tijdelijke naam F en G waarna met het display commando deze plaatjes in één figuur worden afgebeeld.1. De kubus met riblengte a en gewicht G wordt in evenwicht gehouden door zes krachten F1 t/m F6.6) Dit stelsel vergelijkingen kan. zonder vereenvoudigen. Gegeven is dat voor de hoek α tussen de werklijnen van de krachten geldt: tan α =3/4.7 kubus met krachten De evenwichtsvergelijkingen die voor dit probleem kunnen worden opgesteld zijn: (5.Voorbeeld 2: werken met matrices Het tweede voorbeeld betreft het evenwicht van een star blok zoals in deel 1 van Hartsuijker op pagina 89 wordt beschreven. als volgt in matrix-vorm worden weergegeven: 76 .1.1. figuur 5. Deze moet aangeroepen worden om de oplosroutines actief te maken.0. Je mag zelf een naam geven aan zowel de matrix als de vector met bekenden. a:=1.(4/5)].0.(3/5)*a.1.0]]).1.1. Vervolgens kunnen de matrix en de vector met bekenden worden ingevoerd. In dit voorbeeld wordt de matrix A en de vector b genoemd.(-3/5)*a.(5.0.0.7) De vector met onbekenden wordt gevormd door de krachten Fi. G := 24 a := 1 Het oplossen van matrices gebeurt met behulp van de bibliotheek (library) linalg.8) Uitwerking in MAPLE Allereerst wordt een schoon MAPLE werkblad gemaakt en worden de variabelen geïnitialiseerd: > restart.(3/5).0].0.(4/5).-a.0. the protected names norm and trace have been redefined and unprotected De waarschuwing die MAPLE geeft is niet relevant.0].0.0.1. (3/5). > G:=24.0. 77 .[0.(-4/5)*a. Dit stelsel kan formeel geschreven worden als: [A].0.a.0.{x} = {b} (5.(4/5)*a.(4/5).0]. [0.-a.[0.[a.[(5/4). De invoer moet zorgvuldig gebeuren dus let op de syntax: > A:=matrix([[0. Het commando daarvoor is: > with(linalg): Warning.(3/5)]. 0. 12.5*G*a.v.00000002 ] Opmerkingen t.99999999. 24.a.-0. 0 ] Het oplossen van de vector met onbekenden.’ de Enter-toets wordt ingedrukt.5*G*a. -4.00000002.0.0. 40.⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ A := ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 5 4 0 1 0 0 3 5 4 5 0 4 5 3 5 0 0 1 0 1 0 -1 0 4 5 3 5 0 -3 5 -4 5 0 1 0 0 0 -1 3 5 4 5 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ > b:=vector([0.G. Voor het invoeren van nieuwe MAPLE commando’s tussen bestaande regels moet in het menu gebruik worden gemaakt van: Insert -> Execution Group -> Before cursor Voor het verwijderen van een commando moet in het menu gebruik worden gemaakt van: Edit -> Delete paragraph Let er op dat bij fouten altijd het rekenblad met de menu-handeling: Edit → Execute → Worksheet opnieuw wordt doorgerekend. wordt de opdracht ook ingevoerd en door Maple verwerkt. b := [ 0.00000001. Anders bestaat de kans dat variabelen toch ‘oude’ niet bedoelde waarden behouden. -27.0]). Maple Opdrachten in Maple moeten worden afgesloten door een ‘. wordt de opdracht ingevoerd en de reactie van Maple verschijnt op het scherm.b). Er verschijnt echter geen reactie op het scherm. 0.00000002. Als na een ‘. Als je na een ‘:’ de Enter-toets indrukt. x := [ -0.’ of een ‘:’. 20..0. geen problemen meer opleveren. -20. 78 . voor de bij ConstructieMechanica voorkomende opgaven. de zes krachten gaat als volgt: > x:=linsolve(A. -12. Hiermee zijn de meest voorkomende MAPLE handelingen uitgelegd en mag het gebruik van MAPLE. 5.2 Experiment 2: Bepaling E-modulus van aluminium op twee manieren 5.2.1 Doelstelling Bij deze proef worden de doorbuiging en de rek gemeten van een aluminium lat die aan 2 zijden rotatievrij opgelegd is en op 2 plaatsen belast wordt met een brug. Het doel van deze opdracht is het experimenteel bepalen van de E-modulus van aluminium op twee manieren, door middel van de doorbuiging en de rek. De belasting wordt achtereenvolgens aan deze beide grootheden gerelateerd, waarna de E-modulus als enige onbekende overblijft. Een belangrijke eigenschap van het meten is, dat het ook bij de meest nauwkeurige methoden nooit geheel foutloos kan geschieden. Om dat duidelijk te maken moet een foutenanalyse gemaakt worden waaruit blijkt dat het resultaat dat voortkomt uit de metingen een zekere foutenmarge heeft. Er moet worden bepaald welke methode voor het meten van de E-modulus van aluminium het nauwkeurigst is. figuur 5.2.1: proefopstelling bij 4-puntsbuigproef met LVDT 79 5.2.2 Opdracht Dit experiment bestaat uit vier opdrachten. Deze worden achtereenvolgens kort beschreven. Opdracht 1: Bepaling afmetingen Van de aluminium lat worden de opleglengte (rolmaat), de breedte (schuifmaat) en de hoogte (schroefmicrometer) bepaald. Vervolgens wordt het weerstandsmoment en het traagheidsmoment van de aluminium lat berekend. Opdracht 2: Calibratie van de LVDT Door het indrukken van de LVDT (linear variable differential transformer, ook wel verplaatsingsopnemer genoemd) geeft de voltmeter een bepaalde spanning aan. Door de LVDT aan te sluiten op een schroefmicrometer en van deze de stand te veranderen kan een verschil in output van de voltmeter worden waargenomen. De indrukking wordt uitgezet tegen de spanning in een calibratiegrafiek. Deze relatie is een rechte lijn in het lineaire meetgebied. Deze calibratie is nodig om bij de volgende opdrachten de doorbuiging van de aluminiumlat (in millimeters) te kunnen bepalen met behulp van de LVDT (aflezing in volts). Opdracht 3: Bepaling E-modulus m.b.v. doorbuiging Met behulp van LVDT wordt de doorbuiging gemeten. Door middel van de formule voor de doorbuiging als functie van de lengte, de belasting, het traagheidsmoment en de Emodulus kan deze laatste dan bepaald worden als de overige grootheden worden gemeten of berekend. Opdracht 4: Bepaling E-modulus m.b.v. rek Met behulp van rekstroken in het midden van de lat wordt op deze plaats de rek gemeten. Het moment wordt berekend uit positie en grootte van de belasting. Uit de lineaire relatie tussen rek en moment volgens de wet van Hooke volgt, wanneer rek en moment beide bekend zijn, de E-modulus. Beschikbare apparatuur en materialen • • • • • • • • • • • belastingframe LVDT (Linear Variable Differential Transformer) voedingskast voor de LVDT digitale voltmeter calibratiebank LVDT inbussleutel zes platte gewichten elk met massa 2000 gram (ΔMgewicht/Mgewicht × 100 = 0,1%) rolmaat schuifmaat schroefmicrometer computer met spreadsheetprogramma Excel 80 • • aluminium lat met op zes posities rekstrookjes (type 1-LY 61-6/120) met R=120 Ω en k=2,03 brug van Wheatstone met analoog uitgangssignaal (Peekelkast) *) aluminium lat meetbruggetje meetklokje slede met LVDT figuur 5.2.2: Schematisering proefopstelling bij 4-puntsbuigproef met LVDT *) De gewichten bij voorkeur recht boven elkaar plaatsen. 5.2.3 Uitvoering opdracht 1 Bepaling afmetingen • • bepaal de breedte en de hoogte van de aluminium lat met respectievelijk een schuifmaat en een schroefmicrometer. Meet de breedte en de hoogte zes keer en bereken het gemiddelde, bepaal met behulp van een statistische berekening de fout die veroorzaakt wordt door de spreiding in de materiaalafmetingen. In paragraaf 2.2 is uitleg te vinden over deze fouten en statistische principes. De fout die optreedt is: waarbij: n = aantal metingen k = statistische factor, afhankelijk van het aantal metingen, zie tabel 2.4 sn = standaard afwijking, zie paragraaf 2.2, bepaal de gemaakte meetfout. Dit is de fout die gemaakt wordt ten gevolge van afleesfouten en de onnauwkeurigheid van de meetapparatuur, bepaal welke fout je uiteindelijk neemt voor Δb en Δh, meet de opleglengte van de aluminium lat en de opleglengte van het gewichtsbruggetje met een rolmaat. Bepaal hierbij de meetfout, bereken het weerstandsmoment (voor een rechthoekige doorsnede): 1 W = bh 2 6 Δ = k ⋅ sn / n (5.2.1) • • • • (5.2.2) • • bereken met behulp van de productregel of de methode van Gauss (zie pararaaf 2.6 “Foutenvoortplanting”) de fout ΔW in het weerstandmoment. Schrijf ook de berekening op, bereken het traagheidsmoment: I= 1 3 bh 12 (5.2.3) 81 figuur 5. Schrijf ook hier de berekening op.2. 5. De voltmeter geeft op dit punt een spanning van 0 Volt aan. De spreadsheet gebruikt de ‘kleinste kwadratenmethode’ om de helling van de curve 82 . het punt bij 0 V nog 5 mm verder en 5 mm minder ver in.3: calibratie-opstelling van de LVDT met slede.2. begin met de calibratie: druk de LVDT t. Stel de voeding in op 5 Volt. de output van de LVDT hangt af van het niveau van de voeding (5 of 12 Volt). de helling van de curve (aantal Volts per mm indrukking) en de fout in deze helling bepaald. Lees bij elke millimeter de voltmeter af en noteer deze waardes op het invulformulier. zodanig dat de LVDT tot het midden van zijn twee uitersten is ingedrukt. LVDT en schroefmicrometer • • • • zet de schroefmicrometer in de calibratiebank.4 Uitvoering opdracht 2 Calibratie van de LVDT • • plaats de LVDT in de calibratiebank.o.00 mm staat. je kunt de LVDT dan nog maar 3 mm verder indrukken).v.• bereken met behulp van de productregel of de methode van Gauss de fout ΔI. De gemeten waardes moeten hiervoor ingevuld worden in de spreadsheet. zorg dat de schroefmicrometer zo staat dat de LVDT nog 5 mm méér én 5 mm minder ingedrukt kan worden (voorkom dat de schroefmicrometer bij 0 V op bijvoorbeeld 3. met de spreadsheet op de computer in de practicumruimte worden de calibratiecurve. met behulp van de helling van de calibratiecurve kan de doorbuiging van de lat bepaald worden: w= Outputi − Output0 a • • • (5.4: voorbeeld calibratiecurve van de LVDT (zorg er dus voor dat je in het lineaire meetgebied blijft). Δa en de relatieve fout op het invulformulier. Doe zo 6 metingen.2. paats de LVDT onder het midden van de aluminium lat en verricht de nulmeting (zonder gewichten op het gewichtsbruggetje). plaats vervolgens steeds een gewicht met een massa van 2 kg op de gewichtsbrug en noteer de output van de voltmeter. zodat de alle metingen gedaan worden in het gebied waarin het verband tussen indrukking en output van de LVDT lineair is (het gebied waarvoor de calibratie gedaan is). Wanneer de brug niet in het midden kan staan vanwege de rekstrookjes.4) Waarin: w Outputi Output0 a = doorbuiging [mm] = output voltmeter bij meting i [V] = output voltmeter bij nulmeting [V] = helling calibratiecurve [V/mm] Het verband tussen doorbuiging en belasting is als volgt: 83 .2. Uitgangssignaal [V] Indrukking LVDT [mm] figuur 5.5 Uitvoering opdracht 3 Bepaling E-modulus m. 5. Zorg dat de LVDT bij deze meting voldoende ingedrukt is.te bepalen (zie paragraaf 2.2. pas dan de opleglengte van de lat aan (opnieuw meten) zodanig dat de brug wel in het midden kan.v.b. doorbuiging • plaats het gewichtsbruggetje nauwkeurig in het midden van de aluminium lat.5). Noteer de helling a. Let op: zet de gewichtsbrug niet op de rekstrookjes. Immers.en productregel’ (paragraaf 2.1 Fla 3 1 Fla 2lb 1 Fla lb2 w= ⋅ + ⋅ + ⋅ 3 EI 2 EI 8 EI = belasting (een enkele puntlast) [N] 1 la = ( lo − lb ) = [mm] 2 = opleglengte gewichtsbruggetje [mm] lb lo = opleglengte aluminium lat [mm] E = E-modulus [N/mm2] I = traagheidsmoment [mm4] Let op: het totale gewicht op de gewichtsbrug (twee puntlasten) is dus 2F. Neem voor ΔF/F 0.2.1) Δ = k⋅s / n n Bij de tweede methode worden in een grafiek horizontaal de belasting en verticaal de doorbuiging uitgezet.) verwerk de meetresultaten in de spreadsheet op de computer in het laboratorium. De helling van de grafiek is recht evenredig met de E-modulus.5 de 4-punts buigproef • Met bovenstaande formules kan per meting de E-modulus bepaald worden. bepaal met behulp van de ‘optel. Deze gemiddelde E-modulus noemen we de E-statistisch.6) de ‘ΔEtheoretisch’.5) Waarin: F w la ½ lb ½ lb la figuur 5. Met behulp van de kleinste kwadratenmethode (paragraaf 2.1%. 84 . F F (5. In paragraaf 3.3 staat uitgelegd hoe de meetfout van de voltmeter bepaald moet worden. De fout ΔE wordt weer bepaald met de formule (5.5) worden de helling a en Δa bepaald. Van deze zes waardes wordt vervolgens de gemiddelde E-modulus bepaald en de standaardafwijking sn. Wanneer de helling a en Δa bekend zijn kunnen E en ΔE bepaald worden. Bereken voor één meting de E-modulus en maak voor deze berekening een theoretische foutenanalyse.2. In de spreadsheet wordt de E-modulus op twee manieren bepaald.2. (Wat bij deze berekening van de theoretische fout buiten beschouwing gelaten mag worden is de onnauwkeurigheid van het in het midden van de lat plaatsen van de LVDT en de gewichtsbrug. dan ontstaat het σ-ε diagram van aluminium. Bij de eerste manier wordt per meting de E-modulus uitgerekend. als de belasting F naar spanning σ getransformeerd wordt en de doorbuiging f naar rek ε. 2*104 N/mm2.8 wordt uitgelegd hoe Δμε bepaald kan worden. Noteer ook deze zevende meting. Net als bij opdracht 3 wordt de Emodulus per meting en met behulp van de regressielijn bepaald.8) M = Fl a • Bereken de E-modulus voor één meting en maak een theoretische foutenanalyse met behulp van de productregel of de fouten-voortplantingswet van Gauss.7) Voor het verband tussen buigend moment en rek geldt: W Waarin: σ = normaalspanning ten gevolge van buiging (N/mm2) ε = rek [-] Wanneer de gewichtsbrug in het midden van de opleglengte van de lat staat geldt voor het buigend moment: (5.v.2. rek • zet de gewichtsbrug nauwkeurig in het midden van de aluminium lat en sluit rekstrookje C.• geef tenslotte aan welke ΔE aangehouden kan worden als een goede afschatting van de onnauwkeurigheid in E.b. In paragraaf 4. haal tenslotte de zes gewichten van het bruggetje en lees wederom de wijzerstand en range af. waarvan de helling uiteraard de Emodulus is. Bepaal zo voor dezelfde meting ook de theoretische ΔE.6) De waarde van K kan afgelezen worden op de groene schaalverdeling van de Peekelkast wanneer de calibratieknop ([cal]-knop) ingedrukt wordt. 85 . 5.5 omdat we een halve brug gebruiken.8.6 • • • Uitvoering opdracht 4 Bepaling E-modulus m. Conclusie • • Wat is de waarde van E±ΔE van de aluminiumlegering? Motiveer je keuze.2. De regressielijn is in dit geval het σ-ε-diagram van aluminium. verwerk de meetresultaten met de spreadsheet. D of E aan op het schakeldoosje. figuur 4.2.15) op nul. Mogelijk is deze waarde ongelijk aan de beginstand ondanks het feit dat bij aanvang van de meting de wijzer op nul is gezet. M σ = = E . Vergelijk deze waarde van de E-modulus van aluminium met de literatuurwaarde 7.ε (5. Stel de wijzer van de Peekelkast (zie paragraaf 4. voor het omrekenen van wijzeruitslag en range naar microrek geldt: με = wijzeruitslag ⋅ range 2 ⋅ ⋅β K 100 (5.2. plaats vervolgens steeds een massa van 2 kg op de gewichtsbrug (tot een totaal van 12 kg) en noteer de wijzeruitslag en de range waarin deze wijzeruitslag is afgelezen. De waarde van β is 0. • • • welke methode is het nauwkeurigst. de methode met de LVDT of met de rekstrookjes? hoe zou je de methode met de LVDT het beste nauwkeuriger kunnen maken? en hoe de methode met de rekstrookjes? 86 . (Ruimte voor aantekeningen) 87 . 88 . 5.3 Experiment 3 Bepaling soortelijke massa op verschillende manieren Dit experiment vervalt in 2011-2012 89 . Het restant wordt het ‘long residu’ genoemd.Experiment 4: Bepaling van penetratie-index (PI) van bitumen 5. vulstof) die door het bindmiddel bitumen aan elkaar gehecht worden. is bitumen dat in de wegenbouw wordt toegepast. Bitumen is een product dat wordt verkregen door destillatie van ruwe aardolie in olieraffinaderijen. Dit kan door middel van ‘penetratie’ en ‘verwekingspunt ring en kogel’. Het destillatieproces van ruwe aardolie is schematisch weergegeven in figuur 5.1. vervolgens kerosine (tussen 200 oC en 300 oC) en gasolie (tussen 300 oC en 350 oC).1 bereiding van bitumen uit aardolie Het gedrag van bitumen onder belasting wordt sterk beïnvloed door de temperatuur en door de tijdsduur van de belasting.2 Theorie Bitumen Het meest gebruikte materiaal voor het verharden van wegen is asfalt. het ‘short residu’. waardoor de volgende fracties (smeeroliën) eerder (dus bij lagere temperaturen) kunnen worden bereikt.1 Doelstelling Doel van dit experiment is het thermoplastische gedrag van bitumen op verschillende manieren te onderzoeken. Het restant van deze destillatie. gas benzine kerosine gasolie ruwe olie long residu gasolie smeerolie smeerolie short residu asfaltbitumen figuur 5. Destillatie berust op het principe dat bij verwarming van de aardolie de fracties met het laagste kookpunt het eerst verdampen. waardoor het gedrag van bitumen het midden houdt 90 .4. Dit bestaat uit een mengsel van minerale toeslagstoffen (grind of steenslag.4. Om te voorkomen dat door te hoge temperaturen de resterende destillatie producten structuurveranderingen ondergaan.4. Zo verkrijgt men allereerst benzine (tussen 30 oC en 200 oC in dampvorm overgaand).4. destilleert men het ‘long residu’ verder onder verminderde druk. zand. Hieruit wordt de penetratie-index bepaald. 5. 4.tussen viskeus en elastisch.4. Het verwekingspunt ring en kogel geeft de temperatuur aan.4. te weten de penetratie en het verwekingspunt ring en kogel (Tr&k): Bij de bepaling van de penetratie wordt bij een bepaalde temperatuur de hardheid weergegeven door de diepte die een naald met een totaalgewicht van 100 gram gedurende 5 seconden in het monster bitumen dringt (figuur 5. waarbij het bitumen onder voorgeschreven belasting een bepaalde vervorming vertoont (het moment waarop een kogeltje door een met bitumen gevuld ringetje zakt. het is een visco-elastisch materiaal. Vanwege dit thermoplastisch karakter van bitumen is het nodig om de hardheid (viscositeit) door meting te bepalen.4.4 mm 91 .2). In het practicum wordt de penetratie echter bij twee temperaturen gemeten.2 bepaling van de penetratie (schematisch) Meestal wordt de penetratie gemeten bij de standaardtemperatuur van 25 oC. want dan kan de penetratie-index PI (een maat voor de temperatuurgevoeligheid) van het bitumen worden berekend of uit een grafiek worden afgelezen.z.w. zie figuur 5. d.3. het bitumen de bodemplaat 25. figuur 5. 100 t = 0 sec t = 5 sec 100 25º C 25º C figuur 5.4 mm (1 inch) onder het ringetje raakt). In het meetpracticum dienen twee van deze empirische meetmethoden (die ook nu nog gebruikt worden) te worden uitgevoerd.3 bepaling van de penetratie (schematisch) Uitgebreide informatie over (proeven op) bitumen en asfalt is onder meer te vinden in: 25. en uitwendige vlakke bodem. gekookt gedestilleerd water. (1/10 massadeel vloeibare zeep) goed met elkaar gemengd. Tenslotte bestaat de derde opdracht uit het vaststellen van de penetratie-index (PI) van het bitumen met behulp van de meetwaarden van de twee voorgaande empirische proeven. 2 stalen kogeltjes zonder roest en glad van oppervlak.4. waarbij diverse bindmiddelen een zelfde viscositeit bezitten.3 Opdracht Dit experiment is onderverdeeld in 3 opdrachten.1 s.1 maten van monsterbakjes Middellijn inwendig (mm) 55 70 Hoogte inwendig (mm) 35 45 Penetratie (mm) tot 200 200 – 350 Voor opdracht 2: Droogstoof 125 oC (± 5 oC). Breukelen. naaldhouder en minimaal 3 penetratienaalden. monsterbakjes volgens de maten in tabel 5. Vereniging tot Bevordering van Werken in asfalt (VBW-Asfalt). (zie proefomschrijving). 2 koperen ringetjes (conisch of met fitting). bekerglas met inhoud van 600 ml. chronometer. Handleiding asfaltonderzoek.en waterbouw. anti-plakmiddel: 1 massadeel glycerol. Vereniging tot Bevordering van Werken in asfalt (VBW-Asfalt).Asfalt in wegen. inhoud ± 350 ml. thermometer. De tweede opdracht is het meten van de verwekingstemperatuur van bitumen door middel van de ring en kogelproef. regelbaar verwarmingstoestel bijvoorbeeld een bunsenbrander of een elektrische verwarmingseenheid. koperen of glazen plaat. Beschikbare apparatuur en materialen Voor opdracht 1: Penetrometer. bakje met een in. 1 massadeel talkpoeder. Deze naald met een gewicht van 100 gram laat men 5 seconden in het monster bitumen indringen bij een temperatuur van 25 oC en 40 oC. Bewaar het gekookte gedestilleerde water in een koelruimte (5 oC). tabel 5.05 gram zijn. raamwerk met steunen voor ringen enz. thermometer. driepoot. minimum inhoud 10 dm3. 5.4. 92 . Uitgave 2. Deze moeten roestvrij zijn en glad gepolijst. metronoom of automaat ± 0. Uitgave 1. pleisterspatel van ± 20 cm. chronometer. brandergaasjes.4. Thermostaatbad. De eerste opdracht is het bepalen van de hardheid van bitumen door het meten van de indringing van een standaardnaald. Hierbij wordt een temperatuur bepaald.1. koelruimte (5 oC). Het gezamenlijk gewicht van de naald + houder moet 100 ± 0. Breukelen. 1 mm als het verschil van eindstand en beginstand. Dan staat de naald juist op het bitumenoppervlak.Voor opdracht 3: Een nomogram voor de bepaling van de PI. Zorg voor een goede temperatuur. of penetraties gemeten bij twee verschillende temperaturen. op de voet van de penetrometer. • zet de staaf van de volgwijzer op de naaldhouder. • breng het monsterbakje over in het bakje met de vlakke bodem (onder water uitvoeren). gevuld met water waarin het monsterbakje. • bereken de penetratie als het gemiddelde van de 5 enkelvoudige waarnemingen die in getalwaarde niet meer mogen uiteenlopen dan in tabel 5. • verricht een nieuwe enkelvoudige waarneming indien het monsterbakje heeft bewogen. 1½ à 2 uur voor het grote monsterbakje). Herhaal deze proef vier maal. • 93 . Het monsterbakje blijft ondergedompeld. Gebruik steeds verschillende naalden. Uitvoering opdracht 1 Meting penetratie bij twee verschillende temperaturen vul het monsterbakje tot 3 à 4 mm onder de rand. verwissel het water uit het bakje met vlakke bodem voor nieuw uit het thermostatische bad bij wisseling van de naald.1 mm dan de naald in het monster laten staan. Zorg er voor dat de penetraties minstens 10 mm van de wand en van elkaar af geschieden. • reinig de penetratienaald met in tolueen gedrenkte watten en droog hem met watten. Opmerking: Voor het vasthouden van het monsterbakje kan heel goed gebruik worden gemaakt van een zogenaamde kroesetang. • verwijder de naald.4. • lees de eindstand af en bepaal de indringing in een veelvoud van 0. Reinig de naaldhouder en wrijf deze met een zachte doek schoon en droog (nooit invetten). de wijzerplaat op de nulstand. Doe dit voorzichtig. indien mogelijk. • laat het kleine monsterbakje gedurende 1 à 1½ uur bij kamertemperatuur afkoelen. de verwekingstemperatuur en de penetratie bij 25 oC. • plaats het monsterbakje en het bakje met vlakke bodem in het thermostaatbad van 25 oC of 40 oC (1 à 1½ uur voor het kleine monsterbakje. • laat de naald 5 seconden in de bitumen dringen. • plaats het bakje met de vlakke bodem. • plaats de naald in de naaldhouder. • lees de beginstand af of draai.2 is aangegeven. Opmerking: Bovenstaande punten zijn reeds door de begeleider gedaan. is echter de indringing groter dan 200 ± 0. • breng de naaldhouder met naald voorzichtig draaiend naar beneden totdat de naald en haar spiegelbeeld in het bitumenoppervlak elkaar raken. het grote bakje 1½ à 2 uur. zodat geen luchtbellen worden ingesloten. tijdgebrek). Giet het voorbereide en nog warme bitumen (± 130 oC tot 140 oC) in de ringen (kop erop). gebruik hiervoor de centreergeleiders. • plaats de ringen in de houder. Opmerking: De punten 1 t/m 6 zijn reeds door de begeleider gedaan. In deze tabel zijn de maximaal toelaatbare verschillen tussen 3 afzonderlijke waarnemingen vermeld. plaats de ringen. Bijvoorbeeld: penetratie is 52 (25°C.5 wordt gehanteerd.• • geef het resultaat op als veelvoud van 0.v.v. (Vervalt voor het practicum i. wrijf de glazen of koperen plaat in met het anti-plakmiddel.4. • koel het geheel gedurende 30 minuten af bij kamertemperatuur (± 20 oC). • plaats de thermometer (onderkant kwikrand is onderkant ring). afgerond op hele getallen met de bijbehorende temperatuur.2 Maximaal toelaatbare verschillen tussen de afzonderlijke waarnemingen Grootste toelaatbare verschil tussen grootste en kleinste uitkomsten van de enkelvoudige waarnemingen.1 mm. • snijd met de verwarmde pleisterspatel (niet te heet) de bitumen gelijk met de bovenkant ring. 5 s) vergelijk deze berekeningswijze (die ontleend is aan de Standaard RAW-Bepalingen 2000) met een berekening waarbij het Chauvenet-criterium zoals beschreven in paragraaf 2. • koel de plaat met ringen 5 à 10 minuten in de koelruimte en stoot dan de ringen van de plaat. de ring en kogel proef bereid het monster bitumen voor.m. • vul het bekerglas met gekookt gedestilleerd water (5 oC) tot een hoogte van minimaal 102 mm tot maximaal 108 mm.2 gehanteerd die is ontleend aan de Standaard RAW Bepalingen 2005. 2 4 6 8 Penetratie (0. 100 g. het belastingsgewicht en de belastingtijd. • plaats het geheel 15 minuten in de koelruimte (5 oC). • • • 94 . tabel 5.m.4. In de praktijk wordt tabel 5. • plaats de houder met de ringen in het bekerglas.1 mm) groter dan tot en met 49 0 149 50 249 150 350 250 Uitvoering opdracht 2 Meting verwekingstemperatuur d. • plaats de kogels midden op de gevulde ringen. die op ± 125 oC in de droogstoof zijn verwarmd op de plaat (de grootste opening naar boven). • het verwekingspunt R(ing) en K(ogel) is het gemiddelde van de twee waarnemingen. De stijgsnelheid van de temperatuur is zeer belangrijk! • op het moment dat de bitumen (+ kogel) uit de eerste én uit de tweede ring de onderste plaat raakt. Opmerking: De afstelling van het verwarmingstoestel kan beter eerst worden geregeld met een blanco proef (dus zonder bitumen in de ringen). Na 3 minuten mag de afwijking niet meer dan 0.zet het geheel op het verwarmingstoestel en voer de temperatuur op met een gelijkmatige snelheid van 5 oC per minuut. moet de temperatuur worden afgelezen.5 oC. • herhaal de proef indien de afgelezen temperaturen voor de beide proefstukken meer dan 1 oC verschillen. afgerond op 0. • Uitvoering opdracht 3 tie-index • • Bepaling van de penetra- bereken de PI bepaal de PI uit het nomogram (figuur 5.4. Figuur 5.4).4.4 nomogram voor de bepaling van de PI 95 . Vermijd tocht door eventueel afschermen.5 oC per minuut zijn. CT2121 Experiment 4 Bitumenproeven Naam Student 1 Student 2 Practicumbegeleider Datum Studienummer Groep Proef 1 Penetratieproef Penetratie (0. meting Temperatuur Ring & Kogel TR&K (°C) Bitumen 40/60 Bitumen 80/100 1 2 Gemiddelde X 96 .1 mm) Bitumen 40/60 T = 25°C T = 40°C Nr. meting Bitumen 80/100 T = 25°C 1 2 3 4 5 Gemiddelde X Standaardafwijking sn Fout ΔX Proef 2 Ring & Kogel proef Nr. log( penT1 ) − 1952 TR & K − 50.b.v.v.Opdracht 1 Bereken voor het bitumen 40/60 de Penetratie-index PI1 op basis van de gemeten gemiddelde penetraties bij 25°C en bij 40°C m.b. de formule: PI 2 = 20. A waarin: A= log( penT2 ) − log( penT1 ) T2 − T1 met T2 = 40°C en T1 = 25°C Berekening: Opdracht 2 Bereken zowel voor bitumen 40/60 als voor bitumen 80/100 de Penetratie-index PI2 op basis van de gemeten gemiddelde penetratie bij 25°C (T1) en de gemiddelde Temperatuur Ring & Kogel (TR&K) m. A 1 + 50.log( penT1 ) + 120 Berekening: 97 .TR & K + 500. de formule: PI1 = 20 − 500. v.Opdracht 3 Bepaal zowel voor bitumen 40/60 als voor bitumen 80/100 de Penetratie-index PI3 op basis van de gemeten gemiddelde penetratie bij 25°C (T1) en de gemiddelde Temperatuur Ring & Kogel (TR&K) m. Samenvatting PI-waarden Bitumen 40/60 PI1 PI2 PI3 Bitumen 80/100 --- Kritische beschouwing van proefresultaten Vraag 1 Bepaal met behulp van het toetscriterium van Chauvenet of bij het bitumen 40/60 de uiterste gemeten penetratiewaarden bij 40°C gezien mogen worden als goede metingen.b. onderstaande grafiek. 98 . Standaard RAW Bepalingen) uit de handleiding gehanteerd betreffende de grootst toelaatbare verschillen tussen 3 afzonderlijke metingen bij de penetratieproef. of U 3 waarnemingen heeft die aan deze tabel voldoen.Vraag 2 Geef een opsomming van de mogelijke fouten bij de penetratieproef en bij de Temperatuur Ring & Kogel proef. °C. Ga voor bitumen 40/60 na. en geef de orde van grootte van deze fouten in termen van penetratiewaarde resp. Vraag 5 Welk criterium is het strengste: het criterium van Chauvenet (vraag 1) of het RAW-criterium (vraag 4)? 99 .4.1 mm) & Kogel proef (°C) Vraag 3 Verklaar het verschil van de 3 verkregen PI-waarden voor bitumen 40/60. zowel voor de penetratieproef bij 25°C als voor de penetratieproef bij 40°C. Mogelijke fout Penetratieproef bij Penetratieproef bij Temperatuur Ring 25°C (0. Wat is de meest betrouwbare PI-waarde? Vraag 4 In de praktijk wordt tabel 5.2 (ontleend aan de zgn.1 mm) 40°C (0. 100 .5.5 Experiment 5: Staal Wordt uitgereikt tijdens het practicum. Ruimte voor aantekeningen staalproef 101 . 102 . bv Kerto-S. zie figuur 1 ).en timmerhout. De fineerlagen worden met elkaar verlijmd. Paralgordingen lel verlijmd LVL wordt op vele plaatsen in houtconstructies toegepast: als volle wand liggers. Uit deze platen kan elke gewenste maat gezaagd worden. Imperfecties in de dimensies die zich natuurlijkerwijs kunnen voordoen bij het drogen van hout. waardoor platen met een dikte tussen de 21 en 90mm kunnen worden gemaakt. LVL is een plaatmateriaal dat is opgebouwd uit vurenhout fineerlagen van ca.5. 103 . als staven van vakwerkliggers (zie figuur 3).6 Experiment 6: Onderzoek naar de sa- menwerking van een samengestelde houten ligger INLEIDING In dit onderdeel van het Experiment onderzoeken we de sterkte. LVL onderscheidt zich van multiplex door de onderlinge oriëntatie van de fineerlagen. Bij multiplex worden de lagen om-en-om haaks op elkaar geplaatst (de richting van de houtvezels is voor elke fineerlaag precies 90 graden gedraaid ten opzichte van de onder en/of bovenliggende laag). etc. figuur 1 Parallel verlijmd LVL– foto: documentatie Kerto-S figuur 2 Kruislings verlijmd LVL – foto: documentatie Kerto-Q LVL is sterker. maar de lagen kunnen ook in een verhouding van 1:5 kruislings (bv Kerto-Q zie figuur 2) worden verlijmd. rechter. Laminated Veneer Lumber). Bij LVL kunnen de fineerlagen waaruit de plaat is opgebouwd allemaal dezelfde oriëntatie hebben (we noemen dit parallel verlijmd. MATERIAAL Voor het plaatmateriaal wordt gebruik gemaakt LVL (gelamineerd fineerhout.en stijfheids eigenschappen van houten plaatmaterialen èn de effectiviteit van verbindingstechnieken waarmee van afzonderlijke stroken van dit materiaal een samengestelde doorsnede kan worden gemaakt. De breedte van de platen is maximaal 2.of schijfwerking (kruislings verlijmd LVL) maar ook als liggers of staven die overwefiguur 3 Kerto S toepassing als vakwerk staven en gend op trek. LVL is geschikt voor vele toepassingen – zowel voor elementen met plaat. zoals kromtrekken. etc. splijten. lichter en veel dimensie (vorm) stabieler dan traditioneel zaag.50 meter en de lengte van LVL platen is maximaal 25 meter. en scheluwtrekken zijn bij LVL niet aanwezig.en/of drukkrachten worden belast. 3 mm dikte. Opdracht Hout-1: bepaling van de materiaal eigenschappen van de lagen Elke practicumgroep krijgt een aantal stroken LVL. De proef waarmee de effectiviteit van de verbinding wordt vastgesteld. Door middel van een vierpuntsbuigproef worden de Elasticiteits-modulus (E) en de buigsterkte (fm) van deze stroken bepaald. Er wordt gekeken naar visuele kenmerken van de stroken die onderlinge verschillen in sterkte en stijfheid kunnen verklaren. Ook hiervoor wordt gebruik gemaakt van een vierpuntsbuigproef.BESCHRIJVING VAN DE PRACTICUM OPDRACHT De opdracht van het practicum CT2121-Hout is het bepalen van de effectiviteit van de verbindingsmiddelen waarmee een samengestelde doorsnede van stroken LVL kan worden gemaakt. Bij een perfecte verbinding tussen de lagen resulteert een traagheidsmoment heeft dat gelijk is aan het traagheidsmoment van een massieve balk. Door stroken van het plaatmateriaal op elkaar te monteren wordt een balk met een samengestelde doorsnede gemaakt. respectievelijk 2 los gestapelde stroken worden bekeken met betrekking tot het vervormingsgedrag en de bezwijk- 104 . Maar hoe goed zorgen mechanische verbindingsmiddelen voor de samenwerking tussen de lagen? Hiertoe gaan we 2 typen samengestelde liggers onderzoeken: een ligger die is samengesteld uit 2 stroken LVL die los op elkaar liggen. Tijdens de eerste practicum middag (het Hout-1 deel) worden proeven uitgevoerd om de materiaal eigenschappen te bepalen van de stroken LVL waarmee de samengestelde doorsnede wordt gemaakt. In de praktijk kan een gelijmde verbinding worden beschouwd als een verbinding die volledige samenwerking tot stand brengt. Als er geen verbinding is tussen de lagen (bij een losse stapeling). geldt dat het traagheidsmoment van de balk gelijk is aan de som van de traagheidsmomenten van de lagen. De mate van samenwerking tussen de lagen van de doorsnede is afhankelijk van het type verbindingsmiddel dat gebruikt wordt. een ligger samengesteld uit 2 stroken die aan elkaar zijn geschroefd. Om de effectiviteit van de verbinding tussen de lagen te kunnen bepalen is het noodzakelijk om de eigenschappen van de stroken waaruit de doorsnede wordt samengesteld te kennen. wordt uitgevoerd tijdens de tweede middag (het Hout-2 deel) van het practicum. De stijfheid en sterkte van deze balk zijn afhankelijk van de samenwerking tussen de verschillende lagen van de doorsnede. Opdracht Hout-2: bepaling van de effectiviteit van de verbinding tussen de lagen Tijdens de tweede middag van het houtpracticum gaat het er om een ‘samenwerkingsfactor’ te bepalen voor een specifieke (mechanische) verbinding waarmee twee stroken zijn verbonden. Ook wordt gekeken naar de bezwijkmechanismen die optreden. Met behulp van de proef resultaten van de Hout-1 middag kan worden voorspeld hoe een doorsnede bestaande uit twee los op elkaar geplaatste stroken zich zal gedragen bij de vierpuntsbuigproef die tijdens de Hout-2 practicummiddag zal worden uitgevoerd. De verschillen tussen de geschroefde. geboute of met stiften samengestelde doorsnede en 2 gelijmde. gebout of met stiften verbonden. De volumieke massa van de stroken wordt bepaald. P5 20 .P4 16 . Tenslotte wordt gekeken naar de kwaliteit van de voorspellingen die gedaan zijn aan de hand van de meetresultaten uit de eerste practicummiddag.P4 24 -P5 24 Er worden verschillende uitvoeringen van samengestelde doorsneden beproefd. De verschillen betreffen: het patroon van de verbindingsmiddelen hart-op-hart afstanden stift diameters type verbindingsmiddel aantal lagen .P5 16 figuur 4: voorbeelden van samengestelde doorsneden 105 . .P4 20 .kracht. Aan het einde van beide practicummiddagen moeten de invulformulieren worden ingeleverd bij de student-assistent die het practicum begeleidt. L F/2 L F/2 L figuur 5: schematisatie 4-puntsbuigproef Procedure Voorbereidingen Stap 1: Identificatie proefstukken Begin met het nummeren van de proefstukken. gevolgd door een scheidingsteken en de aanduiding voor het type plaatmateriaal en vervolgens een cijfer 1 t/m 6. De verhouding tussen de breedte. 3:1 Om de proeven uit te voeren wordt een 4-punts buigproef opstelling gebruikt. Kerto-S.b. De aanduiding voor het type plaatmateriaal wordt bepaald door de laagopbouw van de proefstukken: Kerto-Q heeft een opbouw waarbij de fineerlagen waaruit in een verhouding van 1:5 kruislings (90o ten opzichte van elkaar verdraaid) verlijmd zijn. proefstuk nr. Gebruik hiervoor de codering die bestaat uit jullie CT2121 practicumgroepsnummer. Schrijf goed leesbaar! 106 .v.Peter de Vries 2011-2012 Uitvoering Hout-1 opdracht Bepalen van de materiaal eigenschappen van de stroken. Code: S Voorbeeld codering: 24-S1 (groep 24. 2 van de proefstukken worden belast tot bezwijken en 4 worden niet-destructief beproefd. een merkstift.en dikte afmetingen van de proefstukken is ca. De 4 niet-destructief beproefde lamellen worden gebruikt om de samengestelde doorsnede te maken waarmee tijdens de tweede practicummiddag proeven worden uitgevoerd om de samenwerkingsfactor van een verbinding te bepalen. Code: Q Kerto-S alle fineerlagen hebben dezelfde richting. 1) Breng de codering aan op de bovenzijde (vrij te kiezen) van het proefstuk m. Per groep worden 6 stroken LVL beproefd. Noteer de dikte op 0. Zie onderstaande figuur.1 mm en de lengte en breedte op 1 mm nauwkeurig. meet dan de grootste kwastdiameter (tot op 1 mm nauwkeurig) en noteer deze in de tabel op het antwoordformulier. Het gedeelte van het proefstuk tussen deze lijnen is het meetgebied (aan boven. Per proefstuk worden de afmetingen genoteerd in de tabel op het antwoord formulier.PF 24 meetgebied Stap 4: opmeten/noteren kwastafmetingen in meetgebied Als er zich in het meetgebied kwasten bevinden in de buitenste fineerlaag.als de onderzijde van het proefstuk Stap 5: gewicht proefstukken Bepaal van alle proefstukken het gewicht.en onderzijde van het proefstuk). haaks op de lengterichting van het proefstuk. de breedte en de lengte van de proefstukken gemeten. noteer dan “foutvrij (FV)” bij het betreffende proefstuk. 5m 13 m 5m 13 m 1 .Stap 2: Opmeten proefstukken Met behulp van een schuifmaat worden de hoogte. Noteer dit op 1 gram nauwkeurig in de tabel 107 . Doe dit voor zowel de boven. Stap 3: markeren meetgebied Markeer het midden van de bovenzijde van het proefstuk met een stip en breng aan weerszijden van dit punt op 135 mm afstand een lijn aan. Als er geen kwasten in het middengedeelte zitten. Er wordt een vervormingsgestuurde proef uitgevoerd. II. Als er een kwast in de buitenste fineerlagen aanwezig is. Gebruik hiervoor de proefstukken 1 en 2. Fmax. Dit kan zijn: Uitknikken van de bovenste fineerlaag of Trekbreuk van de onderste fineerlaag. 108 . Noteer alle bevindingen voor een proefstuk in het opmerkingenveld bij het betreffende proefstuk. De proefbank is zo ingesteld dat een proefstuk binnen 300 sec behoort te bezwijken. IV. Uitvoering destructieve beproevingen I. schat dan de afstand van de breuklocatie tot het hart van de kwast op 10 mm nauwkeurig.i U figuur 6: typisch beproevingsresultaat van de destructieve proeven III.i F Umax. Destructief De proeven worden uitgevoerd om de buigsterkte van het materiaal te bepalen.Uitvoering experimenten De lamellen kunnen nu beproefd worden. Hij/zij zal het beproevingsapparaat bedienen. Zorg ervoor dat de kern van de LVDT (verplaatsingsopnemer) precies op het gemarkeerde middenpunt van het proefstuk komt te staan. Breng een proefstuk aan in de proefopstelling. V. Noteer het de bezwijkbelasting Fmax. Haal het proefstuk uit de proefopstelling en beoordeel bij welk bezwijkmechanisme het proefstuk is bezweken. De begeleider voert in het meetprogramma de proefstukcode in als filenaam voor de proefresultaten.i in de tabellen op het practicum antwoordblad. Zorg ervoor dat het gemarkeerde meetgebied aan de bovenzijde van het proefstuk exact tussen de belastingsinleidingspunten komt te zitten. Meet de afstand vanaf het hart van het proefstuk tot het midden van de bezwijklocatie op 10 mm nauwkeurig. 5Fmax. Hiertoe wordt tijdens de beproeving de grootte van vervorming U0.est. Voor de schatting van de bezwijkbelasting.est U figuur 7: kenmerkend verloop van de vervorming als functie van de belasting bij de niet-destructieve proeven 109 .5 Fmax.est. Tijdens de uitvoering van de beproeving wordt de toename van belasting gestopt bij het krachtnivo F ≈ 0.est 0.est.2 bij F ≈ 0. wordt de gemiddelde bezwijkbelasting van de 3 destructief beproefde stroken gebruikt. Uitvoering niet-destructieve beproevingen I.5 Fmax. F dF dU 0.2 Fmax.2 Fmax.est.2 F max. De combinatie van kracht en bijbehorende vervorming van het scherm is af te lezen.est U0. Zorg ervoor dat het gemarkeerde meetgebied aan de bovenzijde van het proefstuk exact tussen de belastingsinleidingspunten komt te zitten en dat de kern van de LVDT (verplaatsingsopnemer) precies op het gemarkeerde middenpunt van het proefstuk komt te staan. De begeleider voert in het meetprogramma de proefstukcode in als filenaam voor de proefresultaten.est.destructief De andere 4 te beproeven proefstukken zullen niet-destructief worden belast om de elasticiteitsmodulus van de individuele lamellen te bepalen.est U0. De belasting op deze proefstukken bedraagt daarom maximaal 50% van de geschatte bezwijkbelasting Fmax. De maximale belasting op de proefstukken gelijk is aan ca. Er wordt weer een vervormingsgestuurde proef uitgevoerd.5 Fmax.Niet . 0.est genoteerd en vervolgens de vervorming U0.. Deze stroken worden later (tijdens de 2e practicummiddag) gebruikt om de samengestelde doorsnede mee te maken en mogen dus niet beschadigen. We doen dit op een lineair gedeelte van het last-zakkingsdiagram. Om de elasticiteitsmodulus van het materiaal te bepalen moeten we de relatie tussen de vervorming en de belasting bepalen.2Fmax. Breng een proefstuk aan in de proefopstelling.5 bij F = 0. Bepaal op basis van de proefresultaten de gemiddelde bezwijkbelasting Fmax. Hij/zij zal het beproevingsapparaat bedienen.est van een proefstuk uit de serie. Fmax. Ook bij dit nivo van de belasting wordt combinatie van kracht en vervorming genoteerd (stappen II en III). 5 en de bijbehorende vervorming U0.2 en de bijbehorende vervorming U0. dikte van het proefstuk 6 110 . Verwerking beproevingsresultaten Bepaling buigsterkte L F/2 L F/2 L figuur 8: mechanicaschema 4-puntsbuigproef De buigsterkte van het materiaal is (per definitie) gelijk aan: fm = M bezwijk W 1 W = b ⋅ h 2 . met b. Noteer de grootte van de kracht F0.2 Fmax.II.2 bij F ≈ 0. Noteer de grootte van de kracht F0. De belasting wordt van het proefstuk gehaald en het proefstuk kan uit de proefopstelling worden verwijderd.est III.5 bij F ≈ 0. h: breedte resp.est IV.5 Fmax. L F/2 L F/2 L Tijdens de beproeving registreren we de totale kracht F op het proefstuk en de bijbehorende zakking U van het midden van het proefstuk ten opzichte van de punten waar de belasting wordt ingeleid (zie figuur 2).2Fmax.est 0.Bepaling E-modulus van de proefstukken Uit de toegepaste mechanica weten we dat bij belastingsconfiguratie als bij een vierpuntsbuigproef. Ten gevolge van deze belasting zal de ligger doorbuigen (zie figuur 9). De grootte van M is gelijk aan ½F.5Fmax.5 Fmax.est U0. belast door een constant buigend moment M. met lengte L. L L L F/2 F/2 L M U M = 1/2FL figuur 9: mechanica schema van de proef Door nu het proefresultaat te koppelen aan het mechanicamodel kunnen we de elasticiteits modulus van een proefstuk uitrekenen.est 111 ΔU U .2 F max. Het vergeet-mij-nietje voor de doorbuiging U in de middendoorsnede van een ligger op 2 steunpunten.est U0. belast door een constant buigend moment luidt: 1 M ⋅ L2 ⎫ 3 3 ⎪ 8 EI ⎪ U = 1 F ⋅ L ⇒ E = 1 F ⋅ L (1) ⎬ 16 EI 16 U.I 1 M = F⋅L ⎪ ⎪ 2 ⎭ U= de doorbuiging van de middendoorsnede ten opzichte van de punten waar de puntlasten aangrijpen [mm] F= kracht behorend bij doorbuiging U [N] L = lengte [mm] I= het traaheidsmoment van het proefstuk E= elasticiteitsmodulus U= F ΔF dF dU 0.L De relatie tussen de doorbuiging U en met moment M kan worden beschreven door gebruik te maken van een ‘vergeet-mij-nietje’ uit de toegepaste mechanica. het middelste gedeelte van het proefstuk kunnen beschouwen als een ligger op twee steunpunten. Uit het resultaat kan immers de grootte van de hellingshoek ΔU (U 0. Opdracht 2: Vergelijk de beproevingsresultaten voor de buigsterkte en geef een verklaring voor verschillen tussen proefstukken.k en E0. Opdracht 5: Vergelijk de beproevingsresultaten voor de E-modulus en geef een verklaring voor verschillen tussen proefstukken Opdracht 6: Vergelijk de beproevingsresultaten voor de E-modulus met de door de producent opgegeven waarden van de elasticiteitsmodulus. Opdracht 3: Vergelijk de beproevingsresultaten voor de buigsterkte met de tabelwaarden voor het materiaal dat jullie beproefd hebben.5 -U 0.0.2 ) de kracht-doorbuigings lijn worden afgeleid. In de tabel vindt je o. Opdracht 7: Verklaar het verschil tussen de waarden in tabel 1 voor E0.mean. E= 1 L3 ΔF .Op basis van een proefresultaat kan uitdrukking (1) gebruikt worden om de elasticiteitsmodulus (F -F ) ΔF = 0.mean voor Kerto-Q en Kerto-S. ⋅ 16 I ΔU Opdrachten Opdracht 1: Bereken de buigsterkte van de destructief beproefde proefstukken en vul de resultaten in op het antwoordformulier. Opdracht 4: Bereken de elasticiteitsmodulus van de niet-destructief beproefde proefstukken en vul de resultaten in op het antwoordformulier.a.edge. In de onderstaande tabel 1 staan de door de producent van Kerto opgegeven waarden van de materiaal eigenschappen.5 0.2 van te berekenen. Verklaar het verschil tussen de door jullie gevonden gemiddelde waarde van de buigsterkte en de tabelwaarde fm.k. de karakteristieke (5% ondergrens) waarde voor de buigsterkte en elasticiteitsmodulus van Kerto-S en Kerto-Q. 112 . Verklaar het verschil tussen de door jullie gevonden gemiddelde waarde van de elasticiteitsmodulus en de tabelwaarde E0. Tabel 1: eigenschappen Kerto 113 . Antwoordformulier Experiment 6 Hout – 1 Bepaling materiaal eigenschappen lamellen Datum Begeleider CT2121 Groepsnummer Type proefstukken Personalia Student 1 Student 2 Student 3 Student 4 Student 5 naam studienr opmerking Er wordt gebruik gemaakt van een 4-puntsbuigproef met de onderstaande maatvoering L F/2 L F/2 L Proefopstelling L [mm] 300 mm 114 . f [N/mm2] Gemiddelde Soortelijke massa [kg/m3] Tbv niet-destructieve metingen 1 2 Gemiddelde bezwijklast (Fmax.1 mm nauwkeurig Op 1 mm nauwkeurig Op 1 mm nauwkeurig Op 1 mm nauwkeurig Op 10 gr nauwkeurig 2 proefstuk Weerstandsmoment W [mm3] Buigsterkte fm.est) [kN] 0.est [kN] 115 .Destructieve proeven proefstuk Breedte [mm] Dikte [mm] Lengte [mm] Grootste kwast bovenzijde [mm] Grootste kwast onderzijde [mm] Gewicht [gr] proefstuk Bezwijklast [kN] bezwijkmechanisme Afstand breuk – grootste kwast [mm] Opmerkingen mbt proefstuk en/of beproeving 1 1 2 precisie Op 1 mm nauwkeurig Op 0.5 Fmax.f [N/mm2] Soortelijke massa [kg/m3] Gemiddelde Buigsterkte fm.est [kN] 0.2 Fmax. t.Niet destructieve proeven proefstuk Breedte [mm] Dikte [mm] Lengte [mm] Grootste kwast bovenzijde [mm] Grootste kwast onderzijde [mm] Gewicht [gr] 3 4 5 6 precisie Op 1 mm nauwkeurig Op 0.1 mm nauwkeurig Op 1 mm nauwkeurig Op 1 mm nauwkeurig Op 1 mm nauwkeurig Op 10 gr nauwkeurig proefstuk 3 4 5 6 Opmerkingen m. proefstuk en/of beproeving proefstuk F0.5 [N] U0.b.2 [N] U0.2 [mm] F0.5 [mm] proefstuk Traagsmoment I [mm4] Elasticiteitsmodulus E [N/mm2] Soortelijke massa [kg/m3] Gemiddelde Elasticiteitsmodulus [N/mm2] Gemiddelde Soortelijke massa [kg/m3] 3 4 5 6 3 4 5 6 116 . mean.edge. Verklaar het verschil tussen de door jullie gevonden gemiddelde waarde van de buigsterkte en de tabelwaarde fm. Opdracht 5: Vergelijk de beproevingsresultaten voor de E-modulus en geef een verklaring voor verschillen tussen proefstukken Opdracht 6: Vergelijk de beproevingsresultaten voor de E-modulus met de door de producent opgegeven waarden (zie tabel 1) van de elasticiteitsmodulus.0. Verklaar het verschil tussen de door jullie gevonden gemiddelde waarde van de elasticiteitsmodulus en de tabelwaarde E0.k. Opdracht 7: Verklaar het verschil tussen de waarden in tabel 1 voor E0.Antwoorden op vragen bij destructieve proeven Opdracht 2: Vergelijk de beproevingsresultaten voor de buigsterkte en geef een verklaring voor verschillen tussen proefstukken. Opdracht 3: Vergelijk de beproevingsresultaten voor de buigsterkte met de waarden in tabel 1 voor het materiaal dat jullie beproefd hebben.k en E0. 117 .mean voor Kerto-Q en Kerto-S. geldt dat het traagheidsmoment van de balk gelijk is aan de som van de traagheidsmomenten van de lagen waaruit deze is samengesteld.P5 20 .P4 16 . De stijfheid en sterkte van een samengestelde doorsnede zijn afhankelijk van de samenwerking tussen de verschillende lagen. Bij volledige samenwerking heeft de samengestelde doorsnede een traagheidsmoment dat gelijk is aan het traagheidsmoment van een massieve balk met afmetingen die resulteren uit het samenvoegen van de lagen. In de praktijk kan een gelijmde verbinding worden beschouwd als een verbinding die volledige samenwerking tot stand brengt.Peter de Vries 2011-2012 Opdracht Hout-2: Samengestelde doorsnede: bepaling van de effectiviteit van de verbinding tussen twee lamellen Inleiding Door twee (of meerdere) lagen hout op elkaar te monteren kan een samengestelde doorsnede worden gemaakt met een groter draagvermogen en een grotere stijfheid dan de som van die van de afzonderlijke lagen (lamellen). De effectiviteit van de samenwerking is onder andere afhankelijk van het type verbindingsmiddel dat gebruikt wordt om de lagen te verbinden.P5 16 figuur 10: voorbeelden van samengestelde doorsneden 118 . Maar hoe goed zorgen mechanische verbindingsmiddelen ( stalen stiften. schroeven ) voor de samenwerking tussen de lamellen? -P 4 24 Er worden verschillende uitvoeringen van samengestelde doorsneden beproefd. De verschillen betreffen: het patroon van de verbindingsmiddelen hart-op-hart afstanden stift diameters type verbindingsmiddel aantal lagen -P 5 24 -P 4 20 . Als er geen samenwerking is tussen de lamellen (bij een losse stapeling). De laag met de grootste elasticiteitsmodulus draagt het grootste deel van de 119 . De vervormingen van beide liggers zijn identiek. Beide liggers dragen een eigen deel van de belasting.De mechanica De sterkte. Als de ligger wordt belast. De verschuiving is het grootst (en tijdens de uitvoering van de proeven duidelijk zichtbaar) bij de opleggingen. Geef in een derde tekening aan waar langs de ligger-as verschuivingen zullen optreden. Op het contactvlak tussen de lagen kunnen geen schuifkrachten (krachten evenwijdig aan de ligger-as) overgedragen tussen de boven.v de bovenzijde van de onderste laag. Teken op het antwoordblad de momenten. In de onderstaande figuren is de betekenis van het samenwerken zichtbaar gemaakt door te kijken naar het buigspanningsverloop over de hoogte van de doorsnede.en stijfheidseigenschappen van een samengestelde doorsnede bestaande uit twee lagen wordt in sterke mate bepaald door de eigenschappen van de verbinding tussen de twee lagen. zal de onderzijde van de bovenste laag verschuiven t.en dwarskrachtenlijnen voor een 4puntsbuigproef.en onderlaag.o. 1 2 3 Figuur 2: verloop buigspanning over doorsnede voor verschillende vormen van samenwerking Geval 1 Er is geen verbinding tussen beide lagen (zie figuur 2: 1). 120 ./ onderzijde van de onderste laag. Geval 2 Er is een zodanige verbinding tussen de beide lagen en dat geen verschuiving kan optreden tussen de onderzijde van de bovenste laag en de bovenzijde van de onderste laag (zie figuur 2: 2).en onderlaag en de stijfheid van de verbinding resulteert een bepaalde effectieve buigstijfheid van de samengestelde doorsnede. De verbinding is echter niet zo stijf dat verschuiving tussen de onderzijde van de bovenste laag en de bovenzijde van de onderste laag volledig wordt verhinderd. Er is nu overdracht van schuifkrachten op het contactvlak tussen beide lagen. Het traagheidsmoment van de doorsnede is in dit geval gelijk aan de som van de traagheidsmomenten van de individuele lagen plus een gereduceerde ‘Steiner-bijdrage’ van beide lagen. De samenwerking is niet-volledig. We spreken van volledige samenwerking. Afhankelijk de eigenschappen van boven. De kritische buigspanning (inleiden van het bezwijken van de doorsnede) kan zowel worden bereikt aan de bovenzijde van de bovenste laag als aan de onderzijde van de onderste laag. De kritische buigspanning (inleiden van het bezwijken van de doorsnede) kan ook nu zowel worden bereikt aan de bovenzijde van de bovenste laag als aan de onderzijde van de onderste laag. Het traagheidsmoment van de doorsnede is gelijk aan de som van de traagheidsmomenten van de individuele lagen plus de ‘Steiner-bijdragen’ van beide lagen. De samengestelde doorsnede van geval 2 bezwijkt als de buigspanning in de uiterste vezel de buigsterkte bereikt van de betreffende laag. schroeven of stiften) verbonden lagen is in het algemeen niet-volledig. De kritische buigspanning (inleiden van het bezwijken van de doorsnede) kan zowel worden bereikt in de boven.belasting. De samengestelde doorsnede bezwijkt als de buigspanning in de uiterste vezel de buigsterkte bereikt van de betreffende laag. Volledige samenwerking tussen beide lagen kan worden bereikt door gelijmde verbindingen tussen beide lagen. Geval 3 Er is een verbinding tussen de beide lagen waardoor overdracht van schuifkrachten kan plaatsvinden op het contactvlak tussen beide lagen. De samenwerking bij mechanisch (mbv spijkers. Het traagheidsmoment van de doorsnede is gelijk aan de som van de traagheidsmomenten van de individuele lagen./ onderzijde van de bovenste laag als in de boven. De samengestelde doorsnede van geval 1 bezwijkt als in één van beide lagen de buigspanning de buigsterkte van de laag bereikt wordt. breedte: b1 E1 σ1 ε0 σ 0. Doordat de lagen met elkaar zijn verbonden is de kromming voor beide lagen gelijk. σ2 ten gevolge van verschil in elasticiteitsmoduli E1 en E2 is het spanningsverloop dis-continu Stel: positie neutrale lijn : afstand a vanaf het contactvlak tussen beide lagen. contactvlak de rek over de hoogte verloopt continu. Voor de rek op afstand z van de neutrale lijn geldt: ε (z) = κ ⋅ z ε1 = κ ⋅ (a + t1 ) ε0 = κ ⋅ a ε 2 = κ ⋅ (t2 − a ) De bijbehorende spanningen zijn (σ =E ⋅ ε ) σ 1 = E1 ⋅ ε1 σ 0.1 σ 0. Belangrijk is hierbij te realiseren dat hoewel de rek ε over de hoogte van de doorsnede continue verloopt ( de kromming van beide lagen is gelijk en er zijn geen verschuivingen ter plaatse van het contactvlak). Ten gevolge van de externe belasting ontstaat in een doorsnede een kromming κ .Berekening van de effectieve buigstijfheid van de doorsnede Om deze effectieve buigstijfheid te bepalen moeten we de ligging van de neutrale lijn kennen.1 = E1 ⋅ ε 0 σ 0. breedte: b2 E2 ε2 geen verschuiving t.2 laag 2. In het geval van volledige samenwerking wordt de ligging van de neutrale lijn bepaald door de eigenschappen van beide lagen. en de elasticiteitsmodulus van de lagen is in het algemeen niet hetzelfde! De afleiding van de plaats van de neutrale lijn verloopt als volgt: ε1 t1 a t2 laag 1.2 = E2 ⋅ ε 0 σ 2 = E2 ⋅ ε 2 121 . het verloop van de spanningen niet continu hoeft te zijn! Immers: σ = E ⋅ ε .p.v. samenwerking (volledige 'Steiner' aandeel) B S Voor een bekend geval. leidt dit tot: E1 = E2 = E t1 = t2 = t b1 = b2 = b a= (− E1 ⋅ t12 + E2 ⋅ t2 2 ) =0 2 ⋅ ( E1 ⋅ t1 + E2 ⋅ t2 ) 1 1 + 2 ⋅ ) ⋅ bt 3 12 4 1 1 = E ⋅ 8 ⋅ ⋅ bt 3 = 4 ⋅ 2 ⋅ E ⋅ ⋅ bt 3 12 12 ( EI )eff = E ⋅ (2 ⋅ ( EI )eff Bij volledige samenwerking is de buigstijfheid van een doorsnede bestaande uit twee lagen met gelijke dikte en elasticiteitsmodulus viermaal zo groot als de som van de buigstijfheden van de twee afzonderlijke lagen. a negatief betekent: de neutrale lijn ligt in laag 1. waarbij beide lagen identiek zijn. met b1 = b2 2 2 2 ( − E1 A1t1 + E2 A2t2 ) a ( E1 A1 + E2 A2 ) = 2 E1 a= ( − E1 A1t1 + E2 A2t2 ) 2( E1 A1 + E2 A2 ) a positief betekent: de neutrale lijn ligt in laag 2. Er geldt: t t ( EI )eff = E1 I1 + E2 I 2 + (a + 1 ) 2 ⋅ E1 ⋅ A1 + ( 2 − a ) 2 ⋅ E2 ⋅ A2 2 2 eigen buigstijfheden maximale toename buigstijheid t.g.v.Voor de bepaling van de positie van de neutrale lijn geldt dat de som van de krachten boven en onder de neutrale lijn gelijk moet zijn aan 0. ( EI )eff = E ⋅ 1 ⋅ b ⋅ (2t )3 12 122 . Er wordt immers geen externe axiale kracht op het proefstuk uitgeoefend. kan de effectieve buigstijfheid van de samengestelde doorsnede worden bepaald. Σ H=0 levert: ε (ε1 + ε 0 ) ε t1b1 + E2 0 ab2 = E2 2 (t2 − a )b2 2 2 2 2 t (t − a ) 2 a E1κ (a + 1 )t1b1 + E2κ b2 = E2κ 2 b2 . Als de ligging van de neutrale lijn bekend is. blijft de bijdrage van de eigen traagheidsmomenten aan (EI)eff gelijk. De grootte van de verschuiving is afhankelijk van de stijfheids eigenschappen van de verbinding. Dit geldt ook voor de 4-puntsbuigopstelling die we gebruiken. Doordat de kromming van beide lagen gelijk blijft.Bij niet-volledige samenwerking verloopt het bepalen van de effectieve buigstijfheid van de samengestelde doorsnede niet zo recht-toe-recht-aan. In het algemeen is er voor in het geval van niet-volledige samenwerking geen analytische oplossing te geven voor (EI)eff. We kunnen de effectiviteit van de verbinding uitdrukken in de vorm van de samenwerkingsfactor γ . Volledige samenwerking: (EI )eff = B + S met E: de som van de eigen buigstijfheden van beide lagen S: de toename van de buigstijfheid bij volledige samenwerking tussen de lagen Onvolledige samenwerking: Geen samenwerking: ( EI )eff = B + γ ⋅ S ( EI )eff = B Tijdens de Hout-2 middag van het practicum CT2121 bepaal je de samenwerkingsfactoren γ voor verschillende patronen van verbindingsmiddelen. We hebben bij de afleiding van de buigstijfheid bij volledige samenwerking gezien dat (EI)eff bepaald wordt door de eigen traagheidsmomenten ( B ) en het zgn. is het verloop van de rek over de hoogte van de doorsnede in dit geval niet continu. Bij niet-volledige samenwerking blijft gelden dat de kromming κ gelijk is voor beide lagen ( de vervorming van beide lagen is identiek ). Doordat ter plaatse van het contactvlak van beide lagen verschuivingen optreden. maar ook van de grootte van de kracht die op het contactvlak tussen de lagen moet worden overgedragen. Wel kunnen we kwalitatief aangeven hoe de stijfheid van de verbinding invloed heeft op de effectieve buigstijfheid van de samengestelde doorsnede. 123 . Het ‘Steiner’-aandeel van de effectieve buigstijfheid wordt echter bepaald door de mate waarin de verbinding tussen de twee lagen verschuiving verhinderd. ‘Steiner’-aandeel ( S ). Deze kracht is afhankelijk van de plaats langs de ligger-as. Zie bijlage 1 voor de manier om de beproevingsresultaten ( de relatie tussen kracht en doorbuiging ) te verwerken tot een waarde voor de effectieve buigstijfheid van de samengestelde doorsnede.Uitvoering van de experimenten De vier proefstukken die tijdens het Hout-1 practicum niet-destructief werden beproefd. We zullen deze aanduiden met proefstuk 1 en proefstuk 2. De samengestelde doorsnede wordt niet-destructief beproefd in de 4-puntsbuigopstelling. waarbij de groep verbindingsmiddelen zich telkens op een andere plaats langs de ligger-as bevindt. Om te voorkomen dat door de beproeving schade ontstaat aan één van beide lagen is de belasting op het proefstuk ( Fmax ) begrensd tot maximaal 0. 124 . Bij het laatste experiment in de serie zal de doorsnede worden belast tot bezwijken. Elk experiment wordt uitgevoerd om de effectieve buigstijfheid van het middengedeelte van de samengestelde doorsnede te bepalen. Vul nu eerst de twee eerste bladzijden van het antwoordblad in.5 x de geschatte bezwijkbelasting van de samengestelde doorsnede. Er wordt een serie experimenten uitgevoerd met beide samengestelde doorsneden. worden gebruikt om 2 samengestelde doorsneden te maken. Voor verschillende plaatsingen van de verbindingsmiddelen (patronen) wordt de grootte van de samenwerkingsfactor bepaald. Dit gebeurt op dezelfde manier als tijdens de hout-1 middag. 2 op basis van het proefresultaat. De tweede proef is identiek aan de eerste. gevolgd door een minusteken. De hout-1 proefstukken die gebruikt moeten worden om de samengestelde doorsneden te maken.5 bij F ≈ 0.resp. Verwijder de teflonvellen en voer nogmaals de proef uit. De effectieve buigstijfheid van de samengestelde doorsnede wordt nu volledig bepaald door de eigenschappen van de individuele lamellen. is per practicumgroep in de tabel voorgeschreven. Bepaal de effectieve buigstijfheid (EI)eff. Ook de verbinding die tussen de boven.en onderlaag moet worden gemaakt. Door een teflonlaag aan te brengen tussen de lamellen wordt overdracht van schuifkrachten op het contactvlak volledig uitgesloten. Is de oppervlaktewrijving tussen de lagen van invloed op de samenwerking? Bediscussieer je bevindingen op het antwoordformulier. In de tabel staat aangegeven welk proefstuk gebruikt moet worden als boven. 125 . Breng de teflonlagen aan.5 Fmax o bepaal hieruit de hellingshoek van het last-zakkings diagram o gebruik deze hoek om (EI)eff te bepalen Vergelijk de waarde (EI)eff. onderlaag van elke balk. staan in deze tabel aangegeven. Vergelijk (EI)eff.In de practicum ruimte is een tabel aanwezig met de resultaten van de beproevingen die tijdens het Hout-1 gedeelte werden uitgevoerd.2 met (EI)eff.1 . maar nu zonder de teflonlaag. en code C1 voor proefstuk 1 en het code C2 voor proefstuk 2. Met beide proefstukken wordt de onderstaande serie proeven uitgevoerd: Proef 1 De lamellen worden op elkaar geplaatst met op het contactvlak twee teflon vellen.1 met de som van de buigstijfheden van beide lagen. Bepaal de effectieve buigstijfheid (EI)eff. Proef 2 De eerste proef werd uitgevoerd om de invloed op de samenwerking door schuifkrachten ten gevolge van wrijving in het contactvlak tussen beide lagen uit te sluiten.1 van de samengestelde doorsnede op dezelfde manier als je dit gedaan hebt bij het hout-1 onderdeel (zie bijlage 1): o registreer de doorbuigingen U0. Codeer de proefstukken op de bovenste laag met het practicumnummer. plaats het proefstuk in de opstelling en (studentassistent) voer vervolgens de proef uit.2 Fmax en U0.2 bij F ≈ 0. Bediscussieer je bevindingen op het antwoordformulier. Boor alle gaten in het proefstuk exact volgens het aangegeven patroon. Plaats het proefstuk in de opstelling en bepaal de effectieve buigstijfheid (EI)eff. . Proef 3 7.3 voor proefstuk 1 en (EI)eff. Werkvolgorde: 1. 5. 3. Breng (met een fineliner of balpen) op de zijkant van het proefstuk verticale streepjes aan met een onderlinge afstand van ca. Plaats beide stroken LVL zorgvuldig op elkaar. Zorg ervoor dat het boorgat loodrecht op het vlak van de lamellen wordt aangebracht en dat de gaten niet worden ‘uitgelubberd’ door het boren. De stroken LVL zijn nu ten opzichte van elkaar gefixeerd. Werk hierbij nauwkeurig en zorgvuldig. Eén groepslid boort de gaten. 20 mm. de proefresultaten worden gebruikt in het kader van lopend onderzoek van de sectie Houtconstructies. zoals aangegeven op het groepsformulier. en niet scheef inslaat. maak hiervan dan een aantekening op je antwoordformulier. Mocht dit toch gebeuren. 126 .en eindvlakken exact overeenkomen. Gebruik voor proefstuk 1 verbindingsmiddelen patroon 3 Gebruik voor proefstuk 2 verbindingsmiddelen patroon 4 Het is van groot belang dat de stiften precies in de voorgeboorde gaten terecht komen. De stiften moeten worden aangebracht overeenkomstig de op het groepsformulier aangegeven patronen. Voor de verbindingen wordt gebruik gemaakt van stalen stiften met een diameter van 4 of 8 mm. 2. Begin met het boren van het middelste gat en breng hierin een stift aan. 6. 4. Maak gebruik van het antwoordformulier om de meetwaarden te registreren. De overige groepsleden zorgen ervoor dat dit correct gebeurt en dat de stroken niet ten opzichte van elkaar verdraaien tijdens het boren.Vervolgens worden de voorbereidingen getroffen om de mechanische verbindingen te beproeven. Zorg ervoor dat de zij. Teken op de bovenste laag het patroon af van de verbindingsmiddelen.4 voor proefstuk 2 op dezelfde manier als je dit eerder gedaan hebt. Zorg er dus voor dat je de stiften goed recht. Breng nu de stiften aan overeenkomstig het verbindingsmiddelen patroon dat hoort bij jullie practicumgroep. Bepaal de samenwerkingsfactor γ patroon −3 of γ patroon − 4 . Bepaal de samenwerkingsfactor γ patroon −5 . Bepaal nogmaals de effectieve buigstijfheid (EI)eff. maar deze keer tot bezwijken.5 en de samenwerkingsfactor voor patroon 5. 8. Maak gebruik van het antwoordformulier om de meetwaarden te registreren.5 van de samengestelde doorsnede op dezelfde manier als je dit eerder gedaan hebt. 127 . Maak gebruik van de mechanica theorie die hiervoor is behandeld. Proef 5 Het proefstuk wordt nu nogmaals belast. Verwijder het proefstuk uit de opstelling. Noteer de bezwijkbelasting op het antwoordformulier. Proef 4 Plaats het proefstuk terug in de opstelling en bepaal de effectieve buigstijfheid (EI)eff. Maak gebruik van het antwoordformulier om de meetwaarden te registreren. Beantwoord de vragen en lever het formulier in bij de begeleider van het practicum. Maak gebruik van de mechanica theorie die hiervoor is behandeld. Breng vervolgens de stiften aan overeenkomstig patroon 5 dat hoort bij je groep. Noteer de plaats in de doorsnede waar als eerste de buigsterkte bereikt wordt (bezwijken op druk aan de bovenzijde van bovenste laag of bezwijken op trek aan de onderzijde van de onderste laag) Noteer alle berekeningsresultaten en waarnemingen op het antwoordblad. Uit het resultaat kan immers de grootte van de hellingsΔF hoek van de kracht-doorbuigings lijn worden afgeleid. L F/2 L F/2 L Tijdens de beproeving registreren we de totale kracht F op het proefstuk en de bijbehorende zakking U van het midden van het proefstuk ten opzichte van de punten waar de belasting wordt ingeleid (zie figuur 2). belast door een constant buigend moment luidt: 1 M ⋅ L2 ⎫ U= 3 3 ⎪ 8 EI ⎪ U = 1 F ⋅ L ⇒ EI = 1 F ⋅ L (1) ⎬ 16 EI 16 U 1 M = F⋅L ⎪ ⎪ 2 ⎭ U= de doorbuiging van de middendoorsnede ten opzichte van de punten waar de puntlasten aangrijpen [mm] F= kracht behorend bij doorbuiging U [N] L = lengte [mm] EI = buigstijfheid van de doorsnede Op basis van een proefresultaat kan uitdrukking (1) gebruikt worden om de effectieve buigstijfheid van de samengestelde doorsnede te berekenen.L L L L F/2 F/2 L M U M = 1/2FL Door nu het proefresultaat te koppelen aan het mechanicamodel kunnen we de effectieve buigstijfheid ( het product van traagheidsmoment en elasticiteits modulus) van de samengestelde doorsnede uitrekenen.5 Fmax.est ΔF U0.Bijlage 1: Bepaling effectieve buigstijfheid (EI)eff van het proefstuk Bij een vier-puntsbuigproef hebben we in het middelste gedeelte van het proefstuk te maken met een ligger op twee steunpunten.est U0.5Fmax. figuur 11: mechanica schema van de proef Het vergeet-mij-nietje voor de doorbuiging U in de middendoorsnede van een ligger op 2 steunpunten.est dF dU 0. De relatie tussen de doorbuiging U en M kan worden beschreven door gebruik te maken van een eenvoudig model ( een vergeet-mij-nietje) uit de toegepaste mechanica. belast door een constant buigend moment M.2 F max. ΔU (EI)eff 1 ΔF = L3 ⋅ 16 ΔU F ΔU 0. Ten gevolge van deze belasting zal de ligger doorbuigen (zie figuur 9). De grootte van M is gelijk aan ½F.est U 128 . met lengte L.2Fmax. Antwoordblad Experiment 6 Hout – 2 Bepaling samenwerkingsfactoren Datum Begeleider CT2121 Groepsnummer Type proefstukken Personalia Student 1 Student 2 Student 3 Student 4 Student 5 Er wordt gebruik gemaakt van een 4-puntsbuigproef met de onderstaande maatvoering Q / S naam studienr opmerking L F/2 L F/2 L Proefopstelling L [mm] Patroon verbindingsmiddelen 300 mm Zie tabel resultaten Hout-1 129 . Indicatie van de belastingsnivo’s waarbij de combinatie kracht – vervorming dient te worden genoteerd: Kerto-Q (Q) Kerto-S (S) 0.est [kN] 0.est [kN] 0.3 De waarden die in onderstaande tabellen moeten worden ingevuld.7 1.8 0.9 2.2 Fmax. kunnen worden terug gevonden op de resultaten tabel die in de practicumruimte komt te hangen.5 Fmax. Proefstuk 1 Proefstukcode ( Hout-1 code ) Dikte (t) [mm] Buigstijfheid (EI) [Nmm2] Rekstijfheid (EA) [N] Positie neutrale lijn bij volledige samenwerking (a) [mm] Som eigen buigstijfheden (B) [Nmm2] Steiner component bij volledige samenwerking (S) [Nmm2] Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 Bovenlaag (laag 1) Onderlaag (laag 2) Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 Bovenlaag (laag 1) Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 Onderlaag (laag 2) Proefstuk 2 Proefstukcode ( Hout-1 code ) Dikte (t) [mm] Buigstijfheid (EI) [Nmm2] Rekstijfheid (EA) [N] Positie neutrale lijn bij volledige samenwerking (a) [mm] Som eigen buigstijfheden (B) [Nmm2] Steiner component bij volledige samenwerking (S) [Nmm2] Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 Zie tabel resultaten Hout-1 130 . Resultaten beproevingen Proefstuk 1 F0.2 U0.2 F0.5 U0.2 U0.5 ΔF ΔU ΔF ΔU (EI)eff proef [N] [mm] [N] [mm] [N] [mm] [N/mm] [Nmm2] [-] 1 teflon 2 zonder 3 4 Patroon 5 5 Patroon 5 Patroon 3 γ Bezwijkbelasting: kN boven / onder (omcirkel wat van toepassing is) Laag die als eerste bezwijkt: Proefstuk 2 F0.5 ΔF ΔU ΔF ΔU proef [N] [mm] [N] [mm] [N] [mm] [N/mm] [Nmm2] [-] 1 teflon 2 zonder 3 4 Patroon 5 5 Patroon 5 Patroon 4 (EI)eff γ Bezwijkbelasting: kN boven / onder (omcirkel wat van toepassing is) Laag die als eerste bezwijkt: 131 .2 F0.5 U0. 4 en 5. Verklaar de onderlinge verschillen. Is de oppervlaktewrijving tussen de lagen van invloed op de samenwerking? Bediscussieer je bevindingen op het antwoordformulier Vergelijk de samenwerkingsfactor die je vindt voor de patronen 3. Vergelijk (EI)eff.2 met (EI)eff.1 met de som van de buigstijfheden van beide lagen. 132 . Bediscussieer je bevindingen en geef een verklaring voor eventuele verschillen.Antwoorden op vragen Vergelijk de waarde (EI)eff.1 . Verbindingsmiddelen patronen 133 . 2 3 4 3 5 6 4 5 7 134 .A100 300 mm 300 mm 300 mm 20 mm 60 mm 20 mm 50 mm patroon 1. 2 3 4 3 5 6 4 5 7 135 .B100 300 mm 300 mm 300 mm 50 mm 50 mm 50 mm patroon 1. door het vaststellen van de relatie tussen de bovengenoemde aspecten.5. Een tweede doel is derhalve de vergelijking van de druksterkten. hoeveelheid) • de temperatuur • het al dan niet aanwezig zijn van “thickeners” 136 . een eenvoudigere en betrouwbaardere methode te vinden om na te gaan of een betonmengsel zelfverdichtend is.1 Inleiding Doelstelling Het doel van dit experiment is om de sterkte van zelfverdichtend beton te bepalen.7. De centrale vraagstelling van dit onderzoek luidt: Hoe hangen de “smeuïgheid” en de ”stabiliteit” van betonmengsels af van de waterlaagdikte rondom de cement. Aanleiding: De “verwerkbaarheid” van beton kent een aantal deelaspecten: • de “smeuïgheid” van de specie • de stabiliteit van de specie • de waterafscheiding • de invloed van de tijd en de temperatuur De “smeuïgheid” van de specie hangt af van: • de pasta laagdikte rondom de zand. Wetenschappelijk onderzoek Jullie zullen binnen dit practicum een bijdrage leveren aan een wetenschappelijk onderzoek. bepaald met behulp van de destructieve en non-destructieve proeven. De druksterkte kan ook bepaald worden door non-destructieve proeven.en vulstofkorrels en van de pastalaagdikte rondom de zanden grindkorrels waarbij de overige parameters constant worden gehouden en waarbij wordt uitgegaan van een lage wcf.en grindkorrels • de waterlaagdikte rond de cement. Met behulp van verschillende destructieve proeven kan van het beton de druksterkte. Het doel van dit onderzoek is om. splijtsterkte/ treksterkte en buigsterkte bepaald worden. hoge sterkte beton 5.7 Experiment 7 Bepaling sterkteeigenschappen van zelfverdichtend.en vulstofkorrels (dit is dus rechtstreeks gekoppeld aan de water-bindmiddel factor) • de textuur van het zand en grind • de superplastificeerder (soort. Eén traject waarbij voor gelijke flowvalue een snelle afname van de waterlaagdikte nodig is bij toenemende pasta laagdikte (toenemende vetheid van de specie).1.en vulstofkorrels.7. dit is voornamelijk het geval bij geringe waterlaagdikten. 2.1 lijnen van gelijke vloeimaten In het onderzoek wordt dus een gebied onderzocht met de wat hogere waterlaagdikten rondom de cement. Een tweede traject waarbij de invloed van de pasta laagdikte wat minder is. Dit is met name het geval bij grotere waterlaagdikten. dus bij hogere wcf.7.en vulstofdeeltjes. 137 . dus bij lage wcf. Uitgangspunt: Uitgangspunt van de beproevingen is het werk van Krell die aangeeft hoe de flowvalue afhangt van de waterlaagdikte en de pasta laagdikte. Duidelijk is dat er twee gebieden zijn: 1.De “stabiliteit” en de ”waterafscheiding” hangen af van de ”hechtkracht” van de pasta aan het zand en het grind en de waterlaagdikte rondom de cement. zie figuur 5. figuur 5. 7.5.2 Opdrachten Dit experiment bestaat uit vijf opdrachten. Het programma geeft als uitvoer de samenstelling van het betonmengsel en de kosten per kubieke meter beton. Optimalisatie kan bereikt worden door minimalisatie van de kosten. Opdracht 3: Vervaardiging van beton aan hand van de berekende betonmengselsamenstelling Aan de hand van de uitlevering van de betonmengselberekening zou het beton samengesteld en gestort kunnen worden. 138 . Met behulp van deze meetwaarden kan door middel van een grafiek de druksterkte van het beton vastgesteld worden.7.3 laat zien welke stappen er genomen moeten worden om een betonmengsel te ontwerpen en §:5. verdichtingmaat. Deze worden achtereenvolgend kort beschreven. schudmaat. maar vanwege het onderzoek dat uitgevoerd wordt. zal die uitlevering niet gebruikt worden.4 geeft een voorbeeldberekening. Opdracht 2: Computerberekening van betonmengselsamenstelling Met de eigen mengselberekening ga je gedurende ongeveer 30 minuten oefenen met het computerprogramma ‘mengselberekening’. Opdracht 1: Handmatige berekening betonmengselsamenstelling De opdracht is om een handmatig geschreven berekening van een betonmengselsamenstelling te overleggen inclusief de grafiek van de mengselcurve voordat aan de computerberekening begonnen kan worden. Opdracht 4: Bepalen van druksterkte van beton met behulp van nondestructieve proeven De non-destructieve proeven bestaan uit het meten van de doorloopsnelheid van het beton met behulp van de ultrasone meetmethode en het meten van de terugslagwaarde van het beton met behulp van de Schmidthammer. dichtheid en luchtgehalte bepaald worden en jullie zullen de mate van segregatie bepalen en de viscositeit. Van het gestorte beton moeten de zetmaat. Jullie ontvangen echter een uitlevering van jullie begeleider tijdens het practicum. Paragraaf 5.7. Met behulp van dit computerprogramma kan de eigen mengselberekening geoptimaliseerd worden. Ook is in de inhoud te zien welke gegevens nog ingevuld moeten worden en wat de resultaten zijn van alle werkbladen. Ten slotte is in de toelichting een invulformulier te vinden voor de handmatige berekening. De treksterkte wordt bepaald met behulp van de Braziliaanse splijtproef en tenslotte wordt de buigsterkte van het beton bepaald door een driepuntsbuigproef uit te voeren op een gewapende en een ongewapende betonnen balk. Hierbij kan gebruik worden gemaakt van het invulformulier. vat voor bepalen luchtgehalte. Zonder deze handmatige berekening kunt u niet deelnemen aan de computeroefening betonmengselberekening.10 in het berekeningsvoorbeeld uit §:5. Ontwerp een betonmengsel dat voldoet aan de eisen.3. drukpers tot 5000 kN. superplastificeerder. Uitvoering opdracht 2 Computerberekening van betonmengselsamenstelling Het computerprogramma is gemaakt in Excel met verschillende werkbladen. Uitvoering opdracht 1 Handmatige berekening betonmengselsamenstelling Op basis van de toelichting tijdens het verplichte college en de toelichtingen moet je de samenstelling van een betonmengsel handmatig berekenen.Opdracht 5: Bepalen van sterkte-eigenschappen van beton met behulp van destructieve proeven De druksterkte van het vervaardigde beton wordt met behulp van een drukpers bepaald.7. ultrasoon doormeetapparaat. verschillende weegschalen. In de toelichting op deze opdracht wordt ingegaan op het berekenen van betonsamenstellingen en is er een voorbeeld van een handmatige berekening gegeven. De opdracht is om een handmatig geschreven berekening te overleggen inclusief de grafiek van de mengselcurve voordat je aan de computerberekening van het betonmengsel begint. De parameters per groep zullen op Blackboard te vinden zijn. is te zien of het 139 . Het eerste werkblad is de inhoud en vanuit hier kan de gebruiker naar alle werkbladen toe.7. scharnierend blad. kegelmantel. waarbij het uitgangspunt voor de ontwerpcriteria afhankelijk is van het nummer van de groep waarvoor je je ingeschreven hebt. Lees de toelichting eerst voor je aan de opdracht begint. vulstoffen. verdichtingsmal. Wanneer dat is gedaan. Schmidthammer. invulformulieren. Beschikbare apparatuur en materialen Computerprogramma ‘mengselberekening’. hoogoven en portlandcement. gewassen en gedroogd rivierzand en riviergrind. luchtbelvormer. Ga voor de specifieke zeefanalysen van het zand en grind uit van tabel 5. Het is de bedoeling dat aan de hand van de handmatig gemaakte berekening de gegevens ingevuld kunnen worden. 1 Hoeveelheid cement nr. De kosten van het beton per kubieke meter is terug te vinden in het werkblad uitlevering en het werkblad kosten.19 euro Droog milieu.en grindgehalte en er kan eventueel gebruikt worden gemaakt van vulstoffen zoals vliegas of pigmenten.2 werkblad inhoud uit het mengselberekeningprogramma 140 .7. Wanneer dat niet het geval is. INHOUD Afmetingen Betondekking Betonkwaliteit Betonsoort Bindtijdregelaars e. 2 Hulpstof anders dan AEA en superplastificeerder Inerte vulstoffen Kleinste afmeting Kosten Milieuklasse Luchtbelvormer luchtgehalte Mengselcurve Mengselgrootte Persoonlijke gegevens Puzzolanen Sterkte betonmengsel Sterkte referentiebeton Sulfaatexpansie Superplastificeerder Type beton Uitlevering Verwerkbaarheid Vezels Vochtgehalte toeslagmateriaal Volumefracties Volumieke massa gedroogd toeslagmateriaal Vulstof 3 Water wcf Wapening Zeefanalyse % zand en grind De waarde van w/(c+kv) is voldoende laag volgens de NEN-norm. Het mengsel is te optimaliseren door kleine wijzigingen aan te brengen in het cementgehalte.0 Zie ook <<grenslijnen >> 40 Zie <<gegevens >> U haalt de gewenste sterkte waarschijnlijk wel Zie <<consistentiegebied >> figuur 5.5 301 0 geen hulpstof kg/m3 kg/m3 265 110. watergehalte. kan het mengsel geoptimaliseerd worden door de kosten proberen te minimaliseren.d.2 is het werkblad inhoud weergegeven. Als het mengsel dan voldoet aan de criteria. geen grondwater geen luchtbelvormer 2. Ook kan bijvoorbeeld voor een ander type cement gekozen worden.B31.mengsel voldoet aan de vooraf gestelde criteria. De mengselcurve voldoet wel aan gebied A31. zand.5 ENCI geen cement 71 Het chloridegehalte is voldoende laag half platisch Zie ook <<grootste korrel >> wand U voert in <<persoonlijkegegevens >> diverse gegevens in over het mengsel. moet eerst nagegaan worden wat het probleem is en vervolgens moet het probleem opgelost worden.7. Cementsoort 1 Cementsoort 2 Cementsterkte Chloridegehalte Consistentiegebied D nom Elementtype Gegevens Gehalte fijn Grootste korrel Grenslijnen Hoeveelheid cement nr.5 . In figuur 5. voorgespannen beton geen superplastificeerder 32 B35 normaal beton CEM I 52. 3) Nadat de componenten samen voldoende zijn gemengd. Het mengel heeft bijvoorbeeld 320 kg cement en 70 kg vliegas bij een w/c waarde van 0. grind en water in de vrije val betonmolen voormengen en daarna het cement toevoegen. 2) Het afgewogen zand. wordt de aangemaakte betonspecie in de kruiwagen gestort.Wanneer het mengsel geoptimaliseerd is.b. Gemeten worden: • luchtgehalte [%] • verdichtingstijd [s] • zetmaat [mm] • schudmaat [mm] • verdichtingsmaat [-] • verschil korrelverdeling in centrum van de uitgevloeide specie en aan de rand [-] • de viscositeitcoëfficiënt en de yield-value • volumieke massa [kg/m3] • temperatuur [°C] Ga voor het vervaardigen van het mengsel en de proefstukken als volgt te werk: 1) De hoeveelheden van de te mengen bestanddelen afwegen. Uitvoering opdracht 3 Vervaardiging beton na de berekende betonmengselsamenstelling In het volgende wordt uitgegaan van een fictief mengsel. 4) Hiervan neemt men een monster ter bepaling van de betonspecie eigenschappen. het luchtmeet toestel volgens NEN-Norm 5962 • verschil korrelverdeling in centrum van de uitgevloeide specie en aan de rand • de viscositeitcoëfficiënt en de yield-value • de temperatuur • de verdichtingstijd 141 . Deze uitlevering dient na de optimalisatie in het computerprogramma bij de begeleiders te worden ingeleverd. het meetvat volgens NEN-Norm 5959 • het luchtgehalte van de betonspecie behalen m. Het mengsel dat u gaat maken zal uiteraard een andere samenstelling hebben.v. Van de betonspecie moeten de volgende bepalingen worden verricht. kan de uitlevering van het ontworpen betonmengselsamenstelling in het invulformulier ingevuld worden. te weten: • de zetmaat volgens NEN-Norm 5956 • de verdichtingsmaat volgens NEN-Norm 5958 • de schudmaat volgens NEN-Norm 5957 • de volumieke massa van de betonspecie bepalen m.b.v.50 en bevat 1% superplastificeerder en grind tot 16 mm. De groep daarna doet vervolgens hetzelfde en hierdoor krijgen wij inzicht wanneer een flow van 550 of 600 mm wordt bereikt en wanneer segregatie optreedt. Vervolgens zal een groep het mengsel maken met een afnemende pasta laagdikte. de datum van storten en vergeet ook niet je naam te vermelden. De rheologische eigenschappen worden ook daar weer gemeten. water en vulstof te gebruiken bij gelijkblijvende hoeveelheden zand.en grindkorrels door meer cement. 142 .5) Met de beschikbare hoeveelheid betonspecie worden 4 kubusmallen en twee mallen voor betonnen balken gevuld en vervolgens met de trilnaald mechanisch verdicht. Later zullen andere groepen studenten de mengsels maken met een andere wcf en uiteindelijk zal figuur 5. grind en bij gelijke water-bindmiddelfactor. 7) De opslag en conditionering van de betonkubussen en betonbalken moet conform NEN-Norm 5965 worden uitgevoerd.7. 6) Geef op elk vervaardigd stuk beton aan wat de sterkte van het beton is. zodat je ze in opdracht vier en vijf weer kunt gebruiken. De in te stellen verdichtingtijd hangt nauw samen met de wcf van het mengsel. Een volgende groep start weer vanuit het laatste mengsel en past nu een “thickener” toe. De volgende groep studenten verhoogt in het kader van het onderzoek de pasta laagdikte rondom de zand.1 gereconstrueerd kunnen worden en kunnen de gebieden worden aangeven waarin segregatie optreedt. 3 kubusdruksterkte σk afgeleid van terugslagwaarde R en doormeetsnelheid V Ultrasoon doormeten Schakel apparatuur in. Er geldt: V = Dkubus / t (D= 150 mm) 3) De meetafstand moet met een nauwkeurigheid van 1 % bekend zijn.3 en Bijlage 5.b.7.7. 143 . • de terugslagwaarde R met behulp van de Schmidthammer.7.v. Met behulp van deze gegevens kan aansluitend de vergelijkende druksterkte worden berekend aan de hand van de correlatiegrafiek (zie figuur 5.Uitvoering opdracht 4 Bepalen van druksterkte beton m.3). 1) Smeer de oppervlakte van beide meetkoppen in met contactpasta (betonietpoeder in glycerine) en druk de meetkoppen (in lijn) tegen twee parallelle kubusvlakken. figuur 5. te weten: • de doorloopsnelheid V met behulp van de ultrasone meetmethode. nondestructieve proeven Van 4 betonkubussen worden de volgende waarden bepaald. 2) De afgelezen voortplantingstijd (in microseconden) is de looptijd t. • tussen de stalen drukplaat en de kubus. Er bestaat een meervoudige correlatiegrafiek waarbij met een gevonden akoestische doormeetsnelheid en de R waarde de kubusdruksterkte kan worden bepaald. mag geen verdeelmateriaal (bijv. Daarna moet de belastingssnelheid laag worden ingesteld 0.Bepaling van de terugslagwaarde R De Schmidthammer wordt stevig op het betonoppervlak gedrukt. moet worden genoteerd. de zogenaamde terugslagwaarde R. In vroegere voorschriften was dit wel toegestaan. Met behulp van een streepwijzer wordt de terugkaatsing vastgelegd op een schaal. Ga na welk bezwijkmechanisme van toepassing is. Bereken de optredende spanningen in de balk bij de buigproef. De hoogste waarde F.6 ± 0. In dit practicum zal er gebruik worden gemaakt van kleinere kubussen (150 x 150 x 150 mm). De formule voor de berekening van de drukspanning luidt: σdruk = F / A (MPa) (5. destructieve proeven Door middel van verschillende drukproeven worden de volgende waarden bepaald: • de druksterkte van 3 kubussen volgens NEN 5968 • de splijtsterkte van een kubus • de buigsterkte van een gewapende balk en een ongewapende balk Bepaal de karakteristieke sterkte.3 weergegeven.2): • de afgewerkte zijde van het proefstuk moet naar de kolomzijde van de drukpers gericht zijn. karton) worden aangebracht.7. Deze correlatiegrafiek is in figuur 5. Doordat er dan echter geen wrijving tussen drukplaat en proefstuk optreedt. hoe de betondruksterkte moet worden gemeten (zie ook Bijlage 5.b.v. die de beproevingsapparatuur tijdens de meting aangeeft. Vergelijk deze druksterkte met de op non destructieve wijze bepaalde druksterkte.15.1) 144 . dus er zal een correctiefactor gebruikt moeten worden van 1. • tot circa 50 % van de geschatte breukbelasting mag de belasting snel op de kubus worden aangebracht. Uitvoering opdracht 5 Bepalen van sterkte-eigenschappen beton m. Hierdoor wordt inwendig een veer gespannen.7.7.4 MPa per seconde. wordt een lagere drukspanning gemeten. aangegeven in procenten. waarna de veer een inwendige massa op het oppervlak slingert. Deze grafiek geldt echter voor kubussen van 200 x 200 x 200 mm. De drukproef In de Voorschriften Beton Technologie (VBT 1995) staat omschreven. 04 tot 0. AS = 113 mm2 Eigen gewicht balk: 0. De breukbelasting moet worden afgelezen en opgeschreven. De belastingssnelheid is 0.w. Voor de situering van het betonnen balkje in de proefopstelling en de opbouw van deze proefopstelling (zie figuur 5. d.2) De afgewerkte zijde moet nu naar voren worden gericht.5).4 spanningsverloop bij splijtproef Buigsterkte betonbalk De gewapende betonnen balken worden beproefd middels een 3 puntsbuigproef. Ook de proefopstelling is weergegeven.4 kg Staalkwaliteit:FeB 500.184 kN =18.12 × 0. Er geldt: σ splijt = 2 F π × A [ MPa] (5. σdruk F σtrek F σdruk figuur 5. een treksterkte van 500 N/mm2 145 .Splijtproef De splijtsterkte wordt met de zogenaamde Braziliaanse splijtproef bepaald.7.8 × 24 = 0. zoals in figuur is geschetst.7.06 (MPa) per seconde.5 schematisering proefopstelling en doorsnede balk Gegevens betonnen balk: Afmetingen: b × ht = 80 x 120 mm h = 100 mm lengte (l) = 800 mm Opleglengte: lt = 700 mm Wapening: 1 × Ø12.7.z. De triplex latjes geven de kracht door aan de kubus. h = 80 F ht = 120 h = 100 Ø12 lt = 700 figuur 5.7.08 × 0. 9h Muitwendig = 1/4 F × lt met: f’b = betondruksterkte = 0. Minwendig = Muitwendig Bezwijken van de betondrukzone.7. Minwendig = Muitwendig Bezwijken (vloeien) van de wapening.9h Muitwendig = 1/4 F × lt met: As = oppervlakte doorsnede wapening fs = treksterkte staal h = nuttige hoogte balk lt = opleglengte balk Momenten evenwicht om punt B. zie figuur 5.3) 146 .6 krachtenspel in het midden van de balk Momenten evenwicht om punt A. Daarbij kan worden gekeken naar het momenten evenwicht om punt A en om punt B.6 (zie ook Bijlage 5.Bij het berekenen van de bezwijkbelasting moet een evenwicht in de maatgevende doorsnede.7. op x =1/2 B. l.6 × 35 = 21 N/mm2 Naast deze twee criteria is er nog het criterium van de afschuiving Krachtenevenwicht Bezwijken ten gevolge van het afschuifdraagvermogen van de balk.7. worden gevonden. A N’b Muitw B Ns figuur 5.75 × 0. Minwendig = Ns × Z = fs × As × 0.4). Hierbij is niet het maximale moment maatgevend maar de maximale dwarskracht.2 N/mm2 Max.7. Toelaatbare schuifspanning: τl = 1. Betondrukkracht N'b = 0.52 × h × f’b Minwendig = N'b Nb × Z = N'b Nb × 0. schuifspanning: τmax = Vmax / (b × h) met: Vmax = maximale dwarskracht (=1/2 F) (5. Grote vervormingen kunnen alleen optreden.4: f cbr = M W = ⎡ N / mm 2 ⎤ ⎦ 2bh ⎣ 2 3Flt (5. waarbij de eerste scheur ontstaat! Welk van bovenstaande bezwijkcriteria is van toepassing geweest bij het bezwijken van de balk: Het bezwijken van het staal. Is bij deze balk een goed bezwijkmechanisme ontstaan? 147 . moet men dit kunnen waarnemen aan de grote vervormingen die ontstaan. indien het wapeningsstaal gaat vloeien.Opdracht Ga na. bij welke kracht het balkje zal bezwijken volgens bovenstaande uiterste bezwijktoestanden. alvorens te beproeven. volgens welk mechanisme en waar ontstaat de eerste scheur! Bereken na het beproeven de buigsterkte van het betonnen balkje met behulp van de formule 5.4) F is nu de kracht. Voordat bezwijken optreedt. het bezwijken van het beton in de drukzone of overschrijding van maximale schuifspanning in de balk.7. De balk ‘waarschuwt’ dan.7. Bedenk dat een cement CEM 32.5 cement en dat mengsels met meer dan 350 kg cement/m3 beton duurder zijn dan mengsels met 280 kg/m3. milieuklasse en verwerkbaarheidklasse. de duurzaamheid. NEN-EN 480 Hulpstoffen voor beton. permeabiliteit. prijs. Deze keuze moet je maken aan de hand van de op te geven betonkwaliteit. 148 . maar leidt niet op tot het niveau van Betontechnoloog. Een voorbeeld is de NEN-EN 206 voor beton en (voorheen) Voorschriften Beton VBT 1995 (NEN 5950). In Bijlage 5. de juiste keuze” vind je een overzicht van in Nederland beschikbare cementen.5 (voor de betekenis van deze aanduiding wordt verwezen naar Bijlage 5. NEN-EN 197 Cement en NEN 5917 Toeslagstoffen voor beton. isolatievermogen. Je moet zelf voor je betonmengsel een geschikte keuze maken. Ook moet de betonsamenstelling getoetst worden aan de eisen die in de normen zijn vermeld. kleur en structuur.d. maar oppervlaktewater dat voldoet aan bepaalde kwaliteitseisen is over het algemeen ook geschikt als aanmaakwater (NEN-EN 1008). Water dat als drinkwater kan worden gebruikt kan altijd als aanmaakwater gebruikt worden. volumieke massa.7. moet men een cementsoort en cementklasse kiezen. de groene sterkte (sterkte na ontkisten). enz.5 en het dictaat Duurzame Bouwmaterialen) goedkoper is dan een CEM 42.5. Deze opdracht is bedoeld om je kennis te laten maken met betonmengselberekeningen. Dit voldoet aan de gestelde eisen.3 De aandachtsgebieden en de te volgen stappen bij de (handmatige) berekening van betonmengsels Inleiding Bij het ontwerpen van een betonsamenstelling moet men met vele zaken rekening houden. is gewoon leidingwater. A) A1) De samenstellende componenten De soort cement Afhankelijk van de vereiste milieuklasse en de druksterkte ontwikkeling e. het luchtgehalte.7.7. Deze cursus wordt afgesloten met het examen Betontechnoloog BV. Een betontechnoloog heeft de cursus Betontechnologie gevolgd van de Betonvereniging te Gouda.4 uit de ENCI brochure "Cement. de dichtheid. Voorbeelden zijn NEN-EN 450 Vliegas in beton. De kwaliteitseisen van de samenstellende componenten van beton zijn in diverse normen vastgelegd. krimp en kruip. De betontechnoloog zal met al deze aspecten rekening moeten houden bij zijn betonmengselberekeningen. de snelheid van verharden. Het water dat bij het practicum gebruikt wordt. Er worden eisen gesteld aan de verwerkbaarheid van de betonspecie. Kwaliteitseisen aan cementen en sterkte eisen zijn vastgelegd in de normen NEN-EN 197 (vroeger NEN 3550 en NEN 3072). Je kunt deze zeven in het laboratorium tijdens de betonoefening bekijken. Ter bepaling van de mengselsamenstelling gaat men in eerste instantie uit van de gradering van het toeslagmateriaal.7. Dit rivierzand en grind moet voldoen aan eisen gesteld in de normen NEN-EN 1744.1). Hiervoor maakt men gebruik van de zeven voor zand en grind (volgens NEN 2560. De zeefrest wordt naar gewicht en percentage in de zogenaamde zeefstaat bijgeschreven (zie tabel 5.A2) Het toeslagmateriaal Voor het practicum gebruik je gedroogd betonzand en grind. De fijnheidmodulus heeft de beperking dat we een zelfde waarde kunnen verkrijgen voor twee materialen die toch een verschillende korrelopbouw hebben. NEN 5915 t/m 5925 en NEN 5941. (5.6) 149 . Deze is ingevoerd door Duff Abrams. Men brengt het toeslagmateriaal op de bovenste zeef aan en zo kan men door middel van trillen het materiaal in fracties verdelen.Fa/100 + pb.7. zie figuur 5. nl. NEN 5905.7. Er geldt: F = ∑ (cumulatieve zeefresten)/100 (5. Uit de zeefstaat kunnen we de korrelfijnheid vastleggen met behulp van de fijnheidmodulus F. Daartoe zal men een zeefanalyse uitvoeren. moet de korrelopbouw van het zand en het grind worden bepaald. De zeven met opeenvolgend grotere maaswijdten stapelt men op elkaar.7. een pionier op het gebied van de betontechnologie. NEN-EN 12620.: Fz = pa. De fijnheidmodulus F is gerelateerd aan het oppervlak boven het zeefdiagram waarbij de zeefopeningen op een logaritmische schaal zijn uitgezet. NEN 5916).7. Op elke zeef blijft materiaal liggen dat groter dan de zeefmaas is en dit heet zeefrest.F /100 met p = percentage.5) Hierbij wordt het materiaal < 125 µm niet meegerekend. a = zand a en b = zand b en pa + pb = 100%. Om een inzicht te krijgen in de korrelverdeling van de beschikbare toeslagmaterialen. Een voordeel is. ook de fijnheidmodulus van het nieuwe zandmengsel kennen. dat als we twee zandsoorten mengen. 2 2 C16 0 0 0 1190 23.1 100 1 mm 100 10.0 25 10 0.02 *) Het materiaal < 125 µm (de rest) wordt niet bij de berekening van F betrokken.74 7.0 15 153 3. 0 cum.2 97 2 mm 80 8.8 26 C8 0 0 0 2525 50. zeefresten in % [V/V] 20 40 60 80 100 31.4 82 0 0 100 125 µm 166 16. (Zie hiervoor punt 12 van ad B “Mengselberekening” in deze paragraaf). De vraag is nu. Het begrip fijnheidmodulus wordt nog gebruikt bij de mengselberekeningsmethode volgens Rengers-Antonisse.5 0.7.7.1 voorbeeld zeefstaten zand en grind Zeven Cumulatieve zeefresten: volgens (gram) Zand % Cumulatieve % (gram) Grind % Cumulatieve NEN (afgerond) % (afgerond) 2560 C63 0 0 0 0 0 0 31.4 0 0 Totaal 1000 100 274 5000 100 702 Fijnheidmodulus F 2.7 zeefdiagram met logaritmische schaal 150 .5 0 0 0 112 2.5 1 2 4 8 16 logaritmische schaal NEN 2560 figuur 5.2 100 500 µm 210 21.25 0.6 7 1010 20.tabel 5.6 99 0 0 100 Rest*) 14 1.5 77 C4 66 6. hoeveel van het zand en het grind we samen moeten mengen om een goede korrelstapeling te krijgen.125 0.0 46 0 0 100 250 µm 364 36. het gehele mengsel wordt als een cement van klasse 32. Vulstoffen zijn: steenmeel. maar ruwweg maak je met 0. 151 . de toegevoegde massa van cement + vulstoffen.o. Steenmeel is een inert materiaal. betekent dit niet dat je 0. Het gaat hier om hele fijne poeders. De hoeveelheid toe te voegen hulpstof is in de orde van grootte van 1% t.A3) Vulstoffen Men kan vulstoffen toepassen indien men een extra hoeveelheid fijn materiaal wil inbouwen of indien men de hoeveelheid fijn materiaal moet aanvullen. Vliegas wordt in belangrijke mate reeds in beton en cement toegepast. Als je 0. De meeste hulpstoffen zijn vloeistoffen en bevatten ruwweg 70% water.v met c = cement en v = vliegas (in kg/m3 beton) Bij portlandvliegascement kijkt men niet hoeveel vliegas in de cement zit (dit is ongeveer 20%).7.5% luchtbellen in het beton. Een superplastificeerder mag je toepassen als je met een bewust lage watercementfactor (zie het dictaat Duurzame Bouwmaterialen) wilt werken en toch een goede verwerkbaarheid wil verkrijgen. Dus als je hulpstoffen toevoegt. Bij toepassing van een luchtbelvormer om het beton vorst-dooi bestand te maken. op 0. Luchtbelvormers dien je toe te passen indien je een beton voor milieuklasse XF2 of XF4 moet maken (zie hiervoor verderop in de tekst bij ad B). 26 en 83 mag een gedeelte van het vliegas dat naast portlandcement wordt toegepast (het gaat hier dus niet om vliegas die in de kant en klare portlandvliegascement zit) als cementmateriaal worden toegerekend. Hierbij is de portland klinker extra fijn gemalen. soms fijner dan cement en altijd < 125 µm. B) Mengselberekening Het betonmengsel moet voldoen aan een bepaalde sterkteklasse. De mengselberekening zal geschieden aan de hand van een 15 tal aandachtspunten. Volgens CUR-aanbeveling nr. milieuklasse en aan een bepaalde verwerkbaarheid. Je moet hierdoor dus corrigeren op de toe te voegen waterhoeveelheid.4 gesteld. De aanwijzingen voor het gebruik en voor de toe te voegen hoeveelheden staan op de containers. Hoeveel luchtbelletjes gevormd worden is luchtbelvormer en cementsoort afhankelijk. A4) Hulpstoffen Hulpstoffen kan men gebruiken om de verwerkbaarheid te verbeteren. In het laboratorium zijn luchtbelvormers en superplastificeerders aanwezig. moet je rekening houden dat je het watergehalte in de specie iets verhoogt. de binding te versnellen of te vertragen en om luchtbelletjes in het beton aan te brengen.v. creëer je een beton met zeer veel en zeer fijne luchtbelletjes (ongeveer 60 μm groot). De andere drie reageren in het poriënwater van beton in meer of mindere mate met de kalk die door de cementreactie wordt ontwikkeld.5% luchtbelvormer 3.5% van zo’n luchtbelvormer toepast. Deze komen hieronder ter sprake.5% luchtbelletjes creëert. Men mag dan werken met de "k-factor". Deze ontwerpcriteria heb je op basis van je studienummer kunnen genereren volgens de opdracht mengselberekening. Deze waarde is bij gebruik van portland cement.5 opgevat. vliegas en micro-silica.2 à 0.7) creken = c + k. Hierdoor mag men rekenen met een (fictief) cementgehalte van: (5. Te denken valt aan rivierzand en grind. Zie hiervoor Betonkwaliteit (punt B. enz. Voor het betonpracticum kan je gebruik maken van gedroogd rivierzand en grind.5 80 90 100 0.5 II I 0. Hierbij zijn selectiecriteria: soortelijke massa (dus de uiteindelijke massa van de betonconstructie). 0 cumulatieve zeefresten in % [V/V] 10 20 30 40 50 60 70 A31. maken we een zogenaamd continue mengsel. lichtgewicht toeslag.d. sterkte. Deze wordt bepaald door constructietype.5 mm.5 1 2 4 8 16 31.5 zou vallen. Door deze keuze is in NEN 5950 meteen het gebied vastgelegd. In het practicum maken we gewoon beton met een grootste korreldiameter van 16 mm.7. Figuur 5. waarbinnen de mengselcurve van het zand + grind terecht moet komen.5 mm 152 .125 0. Bij een discontinue korrelgradering zal bijvoorbeeld een bepaalde zandfractie afwezig zijn. maar het verdient toch aanbeveling om het mengselontwerp af te stemmen op de ontwerpgebieden I dan wel II.7). men spreekt van een graderinggebied A-B (I) dan wel A-C (II). transport en stortmethode e. prijs.25 C31. De nominale korrel Een tweede keuze is de grootste korrel die kan worden toegepast. betonpuingranulaat. Hiervan is de soortelijke massa 2650 kg/m3.5 dan zou men kunnen volstaan met wat minder cement dan indien de mengselcurve binnen de grenslijnen A31.7. Valt de mengselcurve binnen de grenslijnen A31. Aard van het toeslagmateriaal Eén van de keuzen die gemaakt moet worden.5 B31.B1. is die van de aard van het toeslagmateriaal. beschikbaarheid.8 grenslijnen korrelgroep 0 – 31.8 geeft de gebieden voor een grootste korrel van 31. B2. wapeningsdichtheid.5 en C31.5 en B31.d. slijtvastheid e. In de nieuwe normen NEN-EN 206-1 en in NEN 8005 zijn géén eisen meer opgenomen over de korrelopbouw van het zand en grind. Aangezien we in het practicum gebruik maken van gewoon zand en grind.5 zeefmaas grootte volgens NEN 2560 figuur 5. gebroken steenslag. B3. De waterbehoefte De derde keus is de waterbehoefte van het mengsel, zodat we aan de vereiste verwerkbaarheid (de consistentieklasse) kunnen voldoen. Tabel 5.7.2 geeft een overzicht van de consistentieklassen. Tabel 5.7.3 geeft richtwaarden (dus geen voorschriften) voor de waterbehoefte. De richtwaarden zijn opgesteld voor Portlandcement-CEM I 32,5. Hoogovencement (hoc) en Portland vliegascement (pvlc) hebben een ongeveer 10% kleinere waterbehoefte dan de richtwaarden. Bij consistentieklassen 4 en hoger moet de verwerkbaarheid worden verkregen door het gebruik van superplastificeerders. De verwerkbaarheid wordt vaak gecontroleerd m.b.v. de zetmaat. In eerste instantie neemt deze weinig toe bij toename van de waterhoeveelheid, later neemt deze snel toe bij een kleine toename van de hoeveelheid water (zie figuur 5.7.9). In ad B4 wordt verder ingegaan op de methodes die gebruikt worden om de verwerkbaarheid te meten. tabel 5.7.2 Consistentie droog aardvochtig half plastisch plastisch zeer plastisch vloeibaar zeer vloeibaar a) overzicht van consistentiegebieden (NEN 8005) Verdichtingsmaat C klasse [-] C0 ≥ 1,46 C1 1,45 – 1,26 C2 (1,25 – 1,11) a) (1,10 – 1,04) a) C3 Zetmaat S klasse (mm) S1 S2 S3 S4 S5 (10 – 40) a) 50 - 90 100 – 150 (160 -210) a) (≥ 220) a) Schudmaat F klasse (mm) F1 F2 F3 F4 F5 F6 (≤ 340) a) (350-410) a) (420-480) a) 490 – 550 560 – 620 (≥ 630) a) niet maatgevend voor de betreffende consistentieklasse C0 en C1: NEN-EN 12350-4 S2 en S3: NEN-EN 12350-2 F4 en F5: NEN-EN 12350-5 tabel 5.7.3 richtwaarden voor de waterbehoefte (liters water /m3 beton) grootste zeefmaat (mm) 8 11,2 16 22,4 31,5 63 ontwerpgebied I II I II I II I II I II I II aardvochtig 165 185 160 180 155 175 150 170 145 165 140 155 half plastisch 180 200 175 195 170 190 165 185 160 180 155 170 plastisch 195 215 190 210 185 205 180 200 175 195 168 190 zetmaat [mm] water hoeveelheid [liter/m3] figuur 5.7.9 waterhoeveelheid-zetmaatcurve 153 B4. Bepalen van de consistentie Verdichtingsmaat Men meet de verdichtingsmaat door een mal eerst zonder verdichting langzaam met specie te vullen. Daarna wordt de specie zolang verdicht tot ze niet verder meer inzakt (ziefiguur 5.7.10) Als s de zakking is en de oorspronkelijke hoogte 400 mm dan is de verdichtingsmaat: V = 400 400 − s (5.7.8) Bij een zeer natte beton is de verdichtingsmaat dus 1. Het beton is dan zeer vloeibaar en verdichten heeft dan geen effect. Hoe groter de waarde V, des te droger is de specie en des te meer effect bij verdichten. 200 200 200 s 400 figuur 5.7.10 verdichtingsmaat Zetmaat Een tweede methode om het vochtgehalte te controleren is de zetmaat. Men bepaalt de zetmaat door eerst een losse kegelmantel met een hoogte van 300 mm op een vlakke ondergrond op een standaard wijze met specie te vullen. De specie wordt met een staaf gepord. Daarna wordt de kegelmantel rechtstandig naar boven getrokken. Als de specie zeer droog is blijft de daarmee gevormde kegel in de oorspronkelijke vorm en is dan ook 300 mm hoog. Als zij plastisch is zakt zij bijv. 120 mm in. Wij zeggen dan dat de zetmaat respectievelijk 0 en 120 mm is (zie figuur 5.7.11). De zetmaat is vooral bruikbaar voor nattere species, de verdichtingsmaat voor de drogere species. Over het hele gebied is de schudmaat te gebruiken. Schudmaat en de vloeimaat De schudmaat wordt bepaald na de uitvoering van de zetmaat (zie figuur 5.7.11). De oorspronkelijke kegel moet dan op een tafel geplaatst worden waarvan het blad aan één zijde voorzien is van een scharnier. Het blad wordt dan opgetild tot een hoogte van 40 mm en 154 h losgelaten. Dit wordt tien keer herhaald. De oorspronkelijke kegel is dan in elkaar gezakt tot een plattere koek waarvan de gemiddelde middellijn de schudmaat genoemd wordt. Men ziet tevens of de specie na het schudden nog samenhang heeft of dat er een sterke ontmenging is opgetreden. Bij zelfverdichtend beton is het niet nodig om de ingezakte betonkegel na de zetmaattest te schudden vanwege de zeer hoge vloeibaarheid van de betonspecie. Men spreekt dan van de vloeimaat, zie figuur 5.7.12. Zetmaat figuur 5.7.11 zetmaat en schudmaat 155 7.7.en milieu-invloeden.7. Naast de bepaling van de vloeimaat gebruikt men ook de V-trechtertest om de uitvloeibaarheid van zelfverdichtend beton te meten. Het spreekt vanzelf dat beton binnenshuis minder zwaar belast wordt dan beton in een industrieklimaat of in zeewater. blz.12 en tabel 5.850 consistentieklasse VF1 VF2 trechtertijd (s) <8 9 .7. 2007. Hier wordt de code VF gebruikt bij de consistentieklasse. Milieuklasse Het beton moet weerstand kunnen bieden tegen de weers. Soen.H. In de nieuwe betonnorm NEN-EN 206-1 zijn de milieuklassen gekoppeld aan diverse aantastingsmechanismen.12 het meten van de vloeimaat (NEN-EN 12350-8) en de V-trechter (NEN-EN 12350-9) test bij zelfverdichtend beton tabel 5.De vloeimaat geeft men de code SF.650 660 . Praktische Betonkennis van H. zie tabel 5. 156 .13. Foto’s uit: Cement & Beton 5. 174 en 175 figuur 5.750 760 .5 en figuur 5.25 consistentieklasse SF1 SF2 SF3 B5. zie figuur 5.4 indeling in Slump-Flow SF (vloeimaat) en indeling in VF-time VF (trech tertijd) bij de consistentieklassen van zelfverdichtend beton vloeimaat in mm 550 .4.7.7.H. tabel 5.7.5 klasseaanduiding X0 XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3 XF1 XF2 XF3 XF4 XA1 XA2 XA3 milieuklasse-aanduiding en aantastingmechanismen Beschrijving van het milieu Geen risico op corrosie of aantasting Corrosie ingeleid door carbonatatie Droog (binnenshuis) of permanent onder (zoet) water Nat, zelden droog (langdurig vochtcontact en ook funderingen) Matige vochtigheid, buiten beschut tegen regen Wisselend nat en droog (bijvoorbeeld buiten onbeschut) Corrosie ingeleid door chloriden anders dan afkomstig uit zeewater Matige vochtigheid, chloriden in de lucht Nat, zelden droog (zwembaden bijv. en omgeving met industriewater) Wisselend nat en droog (brugdelen blootgesteld aan spatten met chloride-houdend water vanwege dooizouten, parkeerdekken) Corrosie ingeleid door chloriden afkomstig van zeewater Blootgesteld aan zouten in de lucht maar niet in direct contact met zeewater Blijvend onder zeewater Getijde- en spat- en stuifzones (delen van constructies in zee) Aantasting door vorst/dooi-wisselingen met en zonder dooizouten Niet-volledig verzadigd met water zonder dooizouten (verticale oppervlakken van wegconstructies blootgesteld aan regen en vorst Niet-volledig verzadigd met water met dooizouten (verticale oppervlakken van wegconstructies blootgesteld aan vorst en verstoven dooizouten) Verzadigd met water zonder dooizouten Verzadigd met water met dooizouten of zeewater Chemische aantasting Zwak chemisch milieu (bijv. ≥ 200 en ≤ 600 SO4-2 mg/liter in het grondwater) Matig agressief chemisch milieu (bijv. ≥ 600 en ≤ 3000 SO4-2 mg/liter in het grondwater) Sterk agressief chemisch milieu (bijv. ≥ 3000 en ≤ 6000 SO4-2 mg/liter in het grondwater) Figuur 5.7.13 voorbeeld milieuklassen in de woningbouw 157 B6. Cementsoort en cementklasse De keuze van het cement dient gedaan te worden aan de hand van het eisenpakket en de milieuklasse. Hierbij moet worden gekeken naar duurzaamheid, ontkistingstijd, temperatuurgradiënt e.d. In NEN 5950 werd bijvoorbeeld gesteld dat voor de milieuklassen sterk agressief en zeer sterk agressief een sulfaatbestand (hoogoven)cement moet worden gebruikt (dit is de keuze van de cementsoort). Ook voor milieuklassen met zeewater geniet een dergelijk cement de voorkeur. De keuze van de cementklasse hangt mede af van de sterkte die nodig is onmiddellijk na ontkisten. In onze practicumopdracht is ten aanzien van de sterkte alleen een eis gesteld voor de betonkwaliteit, dus de sterkte na 28 dagen verharding. Je hoeft dus geen rekening te houden met een hoge groene sterkte (sterkte na ontkisten, zie het dictaat Duurzame bouwmaterialen). De Bijlage 5.7.5 "Cement, de juiste keuze" kan bij deze keus behulpzaam zijn. In deze folder vind je bovendien gegevens over de normsterkte van de cementen, de specifieke oppervlakte en de soortelijke massa's. (N.B. een klasse 32,5 cement zal je niet veel meer op de Nederlandse markt tegenkomen). De normsterkte van cement is de gemiddelde sterkte van een standaard mortel die is gemaakt met de bewuste cement. Bij een mortel ontbreekt de grindfractie 4 - 32 mm. B7. Segregatie Als het grind zich onder natuurlijk verval scheidt van de cementpasta, dan spreekt men van segregatie. Er kleeft dan te weinig pasta aan het grind, waardoor het betonmengsel geen geheel meer vormt. Dit gaat ten koste van de sterkte van het beton. Op sommige plaatsen zit relatief veel cementpasta en op andere plaatsen relatief veel grind. Om te ontdekken of er segregatie optreedt gaan we, nadat de zetmaat is bepaald, na of er ontmenging is opgetreden. Bij het mengsel in figuur 5.7.14 is er duidelijk iets misgegaan. Figuur 5.7.14 zó wil je niet dat je beton er uit komt te zien 158 B8. De watercementfactor De sterkte van beton wordt in zeer belangrijke mate bepaald door de watercementfactor wcf, ook wel opgegeven als w/c, dus in liter water / kg cement, (zie figuur 5.7.15). Met een wcf = 0,60 is bijvoorbeeld geen C55 te maken (voor de betonkwaliteit, zie ad B9). Bij zeer lage wcf neemt de sterkte weer af, omdat het betonmengsel dan niet meer goed te verwerken is. Door een juiste dosering van cement, vulstof en de moderne generatie superplastificeerders kan tegenwoordig met lagere wcf hoge sterkte beton gemaakt worden. Te denken valt dan aan beton met een wcf van ongeveer 0,35 en zelfs lager. Een juiste keuze is dus van groot belang. NEN 8005 heeft afhankelijk van de milieuklasse (grens)waarden opgegeven voor de maximale wcf en het minimum cement- en luchtgehalte, zie figuur 5.7.16. Als je de waterbehoefte reeds gekozen hebt, ligt na de keuze van de wcf het cementgehalte vast. Immers c = w/wcf (in kg/m3). Bij de controle van de betonkwaliteit controleren we of er voldoende cement aanwezig is in het mengsel. Heb je moeite met de keuze van een geschikte waarde voor de wcf, dan kan je gebruik maken van een benaderingsformule. Met deze (praktijk) formule kan je een richtwaarde van de wcf bepalen. fcm(n) = a × Nn + (b / wcf) - c (N/mm2) (5.7.9) Hierbij stelt fcm(n) de gemiddelde kubusdruksterkte van het betonmengsel voor na n dagen verharding bij 20 oC en Nn de normsterkte van het toegepaste cement na n dagen verharding. De coëfficiënten a, b en c zijn vermeld in tabel 5.7.6 en tabel 5.7.7 geeft een overzicht van de normsterkten van een aantal cementsoorten en -klassen. Tabel 5.7.8 geeft een overzicht van de waarden die men aan kan houden voor de gemiddelde kubus druksterkten van beton na 28 dagen verharding indien men de bovenvermelde formule toepast. Aangezien bij dit practicum geen eisen gesteld zijn voor bijvoorbeeld de sterkte na 3 dagen verharding, kan je de 28 daagse sterkten nemen bij de berekening van de wcf. 65 (gem.) betondruksterkte [N/mm2] 55 45 35 25 15 CEM I CEM I CEM I 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 52,5 42,5 32,5 watercementfactor w/c figuur 5.7.15 cementklasse – sterkterelatie 159 afhankelijk van de milieuklasse conform NEN 8005.Figuur 5. 2007).16 Eisen aan de betonsamenstelling.7. (Kopie uit Tabellenbijlage CB5 bij Cement & Beton 5. 160 . 7. maar de kans dat een waarde lager is dan de 'karakteristieke sterkte'.80 0. die met een waaschijnlijkheid van 5% wordt onderschreden. C20/25.9 in de voorspelling van de gemiddelde betonsterkte.klasse CEM II 42.7 normsterkten van cement (= gemiddelde morteldruksterkte) in MPa 3 dagen 23 18 23 28 dagen 45 45 45 cementsoort en .7. zie ook tabel 5. De berekening van de kans is afgeleid uit de statistiek.5 CEM IV 32. C28/35.6 De coëfficiënten a. Niet de gemiddelde waarde is dus maatgevend. C60/75. a 0.8 Betonkwaliteit C8/10 C12/15 C20/25 de karakteristieke sterkten en eisen voor de gemiddelde kubusdruksterkten (in MPa) van beton na 28 dagen verharding.5 3 dagen 35 23 44 28 dagen 55 55 60 Cementsoort en . Karakteristieke sterkte 10 15 25 Gemiddelde sterkte *) ≥ 18 ≥ 23 ≥ 33 Betonkwaliteit C28/35 C35/45 C45/55 Karakteristieke sterkte 35 45 55 Gemiddelde sterkte *) ≥ 43 ≥ 54 ≥ 64 *) Als minstens 6 kubussen getest zijn.85 0. C80/95.7.5 CEM III 32. C90/105 en C100/115.5 CEM I 42.5 B9.17).7. b en c in formule 5.7.7.7. Zie ook tabel 5.klasse CEM I 32.9. Tabel 5. Onder de karakteristieke waarde wordt verstaan die waarde.5 CEM III 42.7. 161 .75 b 33 25 18 c 62 45 30 cementsoort ENCI CEM I en CEM II/B-V ENCI CEM III/A ENCI CEM III/B Tabel 5.tabel 5. C35/45 en C45/55 waarbij het getal links van de deelstreep de cilinderdruksterkte voorstelt en het tweede getal (na de deelstreep) de karakteristieke kubusdruksterkte in N/mm2. De sterkteklasse In de Voorschriften Beton worden de volgende druksterkteklassen onderkend: Voor normaal beton onderscheidt men C12/15. Voor de druksterkte is er sprake van een zogenaamde normale verdeling van een groot aantal resultaten welke met de waarschijnlijkheidskromme van Gauss kan worden beschreven (zie figuur 5. Bij hogesterktebeton onderscheidt men de sterkteklassen C53/65. C70/85. 48 à 1. Met consumentenrisico wordt bedoeld het onterecht goedkeuren van “slechte” beton.k × s. 35.11) Ruwweg kan men voor k de waarde 1.7. Bij beton is xk een voorgeschreven waarde. dit is om te verzekeren dat aan de vereiste sterkte wordt voldaan.64 (deze waarde komt uit de ideale normale oneindig grote verdeling) wordt eigenlijk alle risico bij de producent gelegd (zie ook boek Duurzame Bouwmaterialen). Goedkeurcriteria Uit de statistiek volgt: xk = xgem . bijv.f (x) karakteristieke sterkte σ σ 5% figuur 5.en producentenrisico.7. Met producentenrisico wordt bedoeld het onterecht afkeuren van goede beton. 45 MPa. 25. Bij een kleiner aantal proefstukken neemt de waarde van k toe. Het minimum aantal gedrukte kubussen waarbij gekeurd mag worden is zes. Als k = 1. anders wordt het beton te duur. 162 . Er moet ook consumentenrisico ingebouwd worden. Het goedkeurcriterium bij n = 12 proefstukken In NEN 5950 is aangegeven dat nu geldt: xgem ≥ xk + k × s (5.5. Uitgaande van een normale verdeling geldt: xgem = xk + k × s (5. In het maatschappelijk verkeer is dit niet juist.53 aanhouden om een maatschappelijk verantwoord producentenrisico en consumentenrisico in te bouwen. De goedkeuring van een mengsel wordt echter aan de hand van xgem bepaald. Neem tijdens het practicum voor n = 5 (5 kubussen) een waarde aan van k = 2. Betonconstructies worden met xk (de karakteristieke waarde) berekend waarbij xk geldt voor een verharding van 28 dagen.17 Gauss-kromme μ-σ μ μ+σ x B10.10) met s = de standaard afwijking en k een factor die afhangt van het aantal geteste kubussen en het consumenten.7. De berekening met n = 6 en n = 12 proefstukken is toegestaan volgens de NEN 5950-norm. Is de wcf te hoog. Bedenk echter dat cement de duurste component is. Controle op de maximale wcf De wcf mag niet te groot worden. De keuze van het cementgehalte B13. waar men dus niet beneden mag komen.16. We nemen de hoeveelheid zand + grind samen gelijk aan 163 . maar dat hoeft niet overal in de wereld zo te zijn. bij een constant cementgehalte. Het cementgehalte volgt uit c = w / wcf met c en w in kg/m3. In de betonnorm is het minimale cementgehalte gegeven. maar in de huidige normen is dit niet meer vermeld. In deze handleiding geven we alleen de werkwijze van Rengers en Antonisse met de fijnheidmodulus. anders is er niet goed verdicht en is er geen goede beton gemaakt. het cementgehalte verhogen. Het gaat om totaal andere verdeling van luchtbelletjes dan bij beton zonder luchtbelvormer. dient het luchtgehalte van de specie laag te zijn. een (super)plastificeerder moet toepassen. In dit geval echter zal je.7. Dit mag dan gelden bij het gangbare Nederlandse productieproces. om de vereiste verwerkbaarheid nog te kunnen behouden. Deze zijn vermeld in figuur 5.7. Hiervoor geldt ruwweg dat het luchtgehalte in de specie < 2% moet zijn.16. Hierbij stellen we pz = het percentage zand en pg = het percentage grind. Bedenk wel dat bij deze milieuklasse dit luchtgehalte (> 3%) bereikt wordt via de luchtbelvormer.7. zoals de methode van Rengers en Antonisse. Voor beton in milieuklasse XF2 en XF4 (ingeval van vorst/dooi-wisselingen met dooizouten) is echter een minimum luchtgehalte voorgeschreven in verband met een goede vorst dooi bestandheid. B12.7. Deze getallen zijn vermeld in figuur 5.9 de goedkeur-eis bij verschillende aantallen proefstukken Stel: k × s ≈ 6 *) k × s ≈ 9 *) k k = 1. B14. dan kan men bij gelijkblijvend watergehalte.25 goedkeur eis: xgem ≥ xk + k × s xgem ≥ xk + k × s *) aantal proefstukken: n = 12 n=6 Dit betekent dat ruwweg is aangenomen dat s ≈ 4 MPa. Je weet echter nog niet of je zand-grind mengsel wel in het A-B (I) gebied valt of in het A-C (II) gebied. Je kan ook de waterhoeveelheid verlagen. dus hou het cementgehalte zo laag mogelijk. de methode van het benaderen van een gekozen gradering en grafische methoden. zie figuur 5. Het luchtgehalte In gewoon beton zonder luchtbelvormer. Je kan uitgaan van een betonmengsel voor gewoon gewapend beton. Ligt je mengselcurve in het II-gebied dan is het raadzaam om wat meer cement te gebruiken.tabel 5.53 k = 2. Bepaling van het toeslagmateriaal mengsel Er bestaan diverse methoden om het percentage zand en grind te berekenen. In de voormalige betonnormen (VBT) was dat zelfs voorgeschreven. zodat de wcf kleiner zal worden.16. De betonnorm geeft dus grenswaarden waar men beneden moet blijven. B11. totdat je zelf vindt dat je een goede mengselkromme gemaakt hebt.92 0 0 0 1.2 10. De fijnheidmodulus bedraagt voor het zand: Fz = 2.0 64.8 36.0 64. Stel bijvoorbeeld dat we een zand. dus pz + pg = 100%. mits je maar binnen de grenslijnen blijft van figuur 5.7. Je kan hiermee net zo lang doorgaan. zand 0 0 0 3 9 28 60 94 100 2. pompbeton gebruikt of dichte wapeningsnetten toepast.12) met: z = zetmaat in mm (zie tabel 5. Tabel 5. Je kan een willekeurig percentage zand kiezen.94 Cumulatieve zeefrest in % grind 0.08 × c (5.8 60. Het programma biedt je de gelegenheid om ook je eigen mengselcurve te maken.0 64.2).1 3.en grindsoort hebben zoals weergegeven in tabel 5. Stel verder dat c = 311 kg/m3 en z = 70 mm.64 x grind 0 28 70 94 100 100 100 100 100 6.9 44.4% verlagen.5 mm is. zie figuur 5.7. Maakt men dikke wanden.2 64.7.0 64. Ook als men luchtbelvormers toepast (3 . Het computerprogramma rekent de mengselcurve volgens Rengers-Antonisse uit.7. 164 . kan men de berekende pz met 2 . we nemen nu het midden van het betreffende consistentiegebied (voor consistentiegebied S2 wordt het dus 70 mm). terwijl de grootste grindkorrel 31. dan kan men pz met 4% verminderen. behoeft dus niet het Rengers-Antonisse mengsel te zijn.6 33. Het betonmengsel dat je ten slotte gaat maken. Volgens de formule is dan pz = 36.10.10 is ook de uiteindelijke mengselcurve berekend.100%.7. afgerond 36% dus pg = 64%. waarna de mengselkromme op het scherm verschijnt.5% lucht in de specie).05 × z .0 0 17.0.94.1 21.0 mengsel 0 18 45 61 67 74 86 98 100 5.18.7. De richtwaarde voor het zandpercentage wordt nu bepaald met de formule: pz = 10 × Fz + 28 + 0.49 De berekende mengselcurve valt inderdaad in het ontwerpgebied I.36 x zand 0.5 C16 C8 C4 2 mm 1 mm 500 µm 250 µm 125 µm Fijnheidsm. Men kan correctiefactoren toepassen om een geschikte aanpassing te krijgen voor bepaalde gebruiksdoeleinden. Nu kan het mengsel bepaald worden. In tabel 5.7. c = cementgehalte in kg/m3 en Fz = fijnheidmodulus van het zand. Men kan bijvoorbeeld het percentage zand met 4% verhogen als men dunne vloeren en wanden maakt.02%.10 voorbeeld mengselberekening (bron: Cement en Beton 1 Betontechnologie 1998) Zeven volgens NEN 2560 31.18. 18 korrelgradering zand-grindmengsel B15. De hoeveelheid grind Mg (in kg) is nu ook bekend: Mg = Vzand+grind × 2.7.65 . Zo kunnen de volumina van de verschillende componenten berekend worden.7. De uitleveringsberekening Met een uitleveringsberekening berekent men de hoeveelheden te gebruiken materiaal.4 (bijvoorbeeld: CEM I: 3150 kg/m3). De soortelijke massa van zand en grind kan je op 2650 kg/m3 stellen.Vlucht . kan je dus het volume aan zand + grind berekenen.7.Mz (kg) (5.Vcement (liter = dm3) (5. De soortelijke massa van het zand en grind is door 1000 gedeeld omdat we over zijn gegaan op liters.figuur 5.15) 165 . Er wordt ook gedeeld door 100 omdat pz als percentage is weergegeven. levert de totale massa aan zand + grind. We gaan uit van 1 m3. dus van 1000 liter.Vwater . Dit volume vermenigvuldigd met de soortelijke massa. het cementgehalte en het watergehalte reeds vastgesteld zijn. Aangezien het percentage lucht. Er geldt dus: Vzand + grind = 1000 . dus de toe te voegen zandmassa is nu te berekenen: Massa zand Mz (kg): Mz = Vzand + grind × 2.7. Het percentage zand pz is ook al vastgesteld.13) Bedenk dat 1% lucht 10 liter aan ruimte inneemt.65 × pz /100 (kg) (5.14) als V in dm3 (liters) is uitgedrukt. De soortelijke massa van je gekozen cementsoort vind je in Bijlage 5.7. 11 effectief luchtgehalte. Delen door de volumieke massa levert het volume aan fijn zand (in liters). Als in tabel 5.7. Tabel 5. Als het totale gehalte aan fijn materiaal te laag is. of een combinatie van beide mogelijkheden moeten uitvoeren. De rechter kolom is een aanbeveling (maar geen eis) voor beton zonder superplastificeerder. micro silica en steenmeel behoren ook tot het zeer fijne materiaal. te rekenen als fijn materiaal (liter) 0 10 20 30 40 gemeten luchtgehalte in de specie (%) 2 3 4 5 6 Het volume aan cement + water + (eventueel) lucht is nu bekend. De middelste kolom is een eis en daar moet in ieder geval aan voldaan worden. verwerkbaarheid liter/m3 180 170 165 158 150 130 grootste zeefmaat D (mm) 8 11.7.11 minimum hoeveelheid fijn materiaal < 250 µm in liters per 1 m3 beton minimum gehalte fijn (liter per m3 beton) 140 130 125 120 115 105 bovengrens i.7.m. Controle op het gehalte aan fijn materiaal De NEN 8005 eist voor beton een minimum gehalte aan fijn materiaal < 250 µm in 1 m3 beton. De aan het mengsel toegevoegde massa zand Mz is reeds berekend.11 geeft een overzicht. Tabel 5. dus je weet hoeveel kg zand kleiner is dan 250µm. Vliegas.B16.4 31. Onder dit fijne materiaal mag men rekenen: cement.7. tabel 5.v.7. Cement is immers veel duurder dan zand. Je moet alleen nog het volume aan de fijne zandfractie < 250 µm berekenen. het fijne zand < 250 µm en een gedeelte van het lucht indien luchtbelvormers zijn toegepast.12 geeft richtwaarden voor het mee te rekenen luchtvolume als fijne fractie. tabel 5.2 16 22. mee te rekenen als fijn materiaal (liter/m3) effectief luchtgehalte. In de praktijk maakt men vaak gebruik van een tweede fijnere zandsoort om voldoende fijn materiaal in het mengsel te krijgen. zal je het cementgehalte moeten verhogen.5 63 Bij gebruik van een luchtbelvormer mag een gedeelte van de ingesloten lucht worden meegerekend.10 op de zeef van 250 µm 94% blijft liggen dan is 6% < 250 µm. of meer zand in het mengsel moeten stoppen (dus pz verhogen ten koste van pg). 166 . Controle op chloridegehalte In gewoon gewapend beton mag niet meer dan 0. Voegt men bijvoorbeeld een goede. B17. Voegt men daarentegen het zeer fijne micro silica toe. fijne vliegas (bedoelt wordt: mooie ronde korrels en weinig onverbrande kool) als vulstof toe. Het computer mengselprogramma berekent het automatisch. dan zal de waterbehoefte enigszins verlaagd worden.Bedenk wel dat een extra hoeveelheid fijn materiaal de waterbehoefte zal doen veranderen. In voorgespannen beton mag niet meer dan 0.2% chloride aanwezig zijn. dan zal men met superplastificeerders moeten gaan werken. 167 . Deze berekening kun je voor dit practicum overslaan.4% chloriden (gebaseerd op het cementgewicht) aanwezig zijn. 8) te krijgen en kiezen voor een watergehalte van 165 liter/1m3 beton.C) Voorbeeld opdracht betonmengselberekening Opgave: Maak een betonmengsel dat voldoet aan: Sterkteklasse: C20/25 Milieuklasse: XC4 (wisselend nat en droog) Consistentiegebied: S2 (half plastisch) Grootste toepasbare korrel: 32 mm C1) Kies aard toeslagmateriaal: Gekozen wordt voor gewoon rivierzand en -grind. C2) Kies bruikbaar Dmax gebied: In dit voorbeeld stellen we dat de hoeveelheid staalwapening en de betonafmetingen niet zodanig zijn dat het verstandig is om grind tot 16 mm nemen en daarom wordt gekozen voor Dmax = 31.5 R te gebruiken op grond van de folder ‘ENCI Cement altijd de juiste keuze’ (Bijlage 5.7.12 Zeven volgens NEN 2560 31. 168 .5 C16 C8 C4 2 mm 1 mm 500 µm 250 µm 125 µm Fijnheidsm.3 beschikbaar.12. C4) Kies de cementsoort en de -klasse aan de hand van het eisenpakket en de milieuklasse: Gekozen wordt om een portlandcement CEM I 32.5 mm.7.7.7. is het niet nodig om te corrigeren op het vochtgehalte van het toeslagmateriaal (hetgeen in de praktijk uiteraard meestal wel het geval is omdat het toeslagmateriaal buiten wordt opgeslagen).8 mengsel C3) Herleid uit de gevraagde verwerkbaarheid de waterbehoefte: Hiervoor is tabel 5.01 Cumulatieve zeefrest in % grind x% zand (100-x)% grind 2 22 67 96 99 100 100 100 100 6.7. toe te passen zand en grind zand 0 0 0 4 14 30 59 94 100 3. We streven ernaar om de mengselcurve in het ontwerpgebied I (zie figuur 5.9. Stel dat beschikbaar is gedroogd zand en grind volgens tabel 5.5). tabel 5. Omdat het zand en het grind gedroogd zijn. 50. b en c behorende bij deze cementsoort zijn te vinden in tabel 5.7.als het cementgehalte verhogen zodat wcf gelijk blijft aan 0.16) mag de wcf echter niet groter worden dan 0.11). óf we moeten zowel het water. We stellen dus: wcf = 0.7.7.7.16. Bij een C20/25 nemen we een gemiddelde kubusdruksterkte aan van: fcm(n) = 33 MPa.60. (zie tabel 5. dan kunnen we altijd nog een superplastificeerder toevoegen. Voor de zekerheid stellen we: xgem= 35 MPa. C7) Bereken het cementgehalte: Om te voldoen aan het consistentiegebied S2 met een grootste korrel van 32 mm. De normsterkte N van het gekozen cement is N = normsterkte cement na 28 dagen = 45 à 49 MPa (zie tabel 5.c (N/mm2) waarbij n = 28 dagen.7. dan volgt: c = 160/0.7. C9) Bepaal het toeslagmateriaalmengsel: We berekenen de hoeveelheid zand en grind met de formule van Rengers-Antonisse: (5. Het minimum cementgehalte is 300 kg/m3 en dat is minder dan het berekende cementgehalte (in ad C7).2 bij consistentiegebied S2 en we stellen z gelijk aan 70 mm.12 en is gelijk aan 3. Het cementgehalte c was = 320 kg/m3. hadden we gekozen voor een watergehalte van 165 liter.en luchtgehalte: Zie hiervoor figuur 5.50 = 350 kg/m3.5). Na omrekenen geeft de formule: wcf = 0.7.50 = 320 kg/m3. We proberen het cementgehalte iets omlaag te krijgen en dat kan alleen door wat minder water te gebruiken: Stel we nemen 160 liter water. We nemen aan: N28d = 45 MPa. b = 33 en c = 62.8.0.C5) Bepaal voor de gevraagde druksterkte de watercementfactor met de formule: (5. Er volgt dan: c = w/wcf = 165/0.50.7. Er volgt: 169 .9 en formule 5.7.85. C6) Controleer op de toegestane maximum watercementfactor: Volgens de opgegeven milieuklasse (figuur 5.9) Gemiddelde betonsterkte = fcm(n) = a × Nn + (b / wcf) .7. De waarde z (= zetmaat) kan worden genomen als het midden tussen de marges aangegeven in tabel 5. Mocht bij een eerste proefmengsel blijken dat het beton iets te “droog”is.50. zie tabel 5.7. De factoren a.6: a= 0. Er wordt bij onze milieuklasse niets gezegd over minimum luchtgehalte en we kiezen een luchtgehalte na het trillen van de specie van 2% (dus er zal 20 liter lucht in het beton aanwezig zijn na trillen).05 × z .7. tabel 5.01 in dit voorbeeld. C8) Controleer op minimaal voorgeschreven cement.7 of de cementfolder in Bijlage 5.12) pz = 10 × Fz + 28 + 0.08 × c Fz (=fijnheidmodulus) volgt uit de zeefanalyse van het zand. Het is dus niet nodig om het zandpercentage te wijzigen.08 × 320 = 36 % Er blijft voor het grind dus over 100 .4 64 64 64 64 mengsel 1 14 43 63 68 75 85 98 100 5.05 × 70 .7.7. De mengselcurve wordt vervolgens berekend in tabel 5.01 + 28 + 0.50 63.00 8.50 1.19).5 C31.3 14. Hierbij is uitgegaan van gewassen en gedroogd zand en grind. Grenslijnen A31.9.25 0.4 5.00 4.4 63.5 B31.13 0.13.19 korrelgradering zand-grindmengsel 170 .0 10.8 36 1.8 21.00 31.pz = 10 × 3.00 Zeefopening figuur 5.36 = 64%.47 Als we deze mengselcurve uitzetten in een zeefdiagram. zeefdoorval (%) 60 40 20 0 16.01 Cumulatieve zeefrest in % grind 36% zand 64% grind 2 22 67 96 99 100 100 100 100 6.13 Zeven volgens NEN 2560 31.2 33.5 Mengselcurve 100 80 Cum.9 61.8 0 0 0 1.00 0.5 C16 C8 C4 2 mm 1 mm 500 µm 250 µm 125 µm Fijnheidsm. toe te passen zand en grind zand 0 0 0 4 14 30 59 94 100 3.7.0.7.00 2. tabel 5. dan zien we dat de curve keurig tussen de grenslijnen A en B valt (zie figuur 5.1 42. waarvan aan zand: 0.65 = 1903.7.4 = 121 liter fijn materiaal. Voor de dichtheid van het gekozen cement wordt nu 3150 kg/m3 aangenomen (zie de folder in Bijlage 5.7.320 / 3.7. We verwaarlozen daarom tijdens het practicum het chloridegehalte van dit gewassen zand en grind. dit is dus 20 liter.160 .150 = 718. Volgens de voorschriften moet er in beton met een grootste korrel van 32 mm minimaal 115 dm3 fijn materiaal aanwezig zijn (tabel 5. De 2% lucht is in dit geval niet aanwezig in de vorm van luchtbelletjes met een orde van grootte van 60 µm zoals in het geval van een luchtbelvormer.04 + 160 × 0.36 × 1903.7 kg zand+grind moeten toevoegen. Aangezien we geen luchtbelvormer gebruiken kunnen we het aanwezige lucht niet meetellen bij het gehalte fijn.98) / 100) × 718. dus ons mengsel voldoet.11).4 × 2.13) 171 .16 kg (per 1 m3 beton). Dit is gerelateerd aan het cementgewicht: (0. Met een soortelijk gewicht voor maaszand en -grind van 2.4 liter.05% dus ruimschoots onder de maximale waarde voor gewapend beton.16 / 320) × 100 = 0. Voor 1 m3 (= 1000 liter) beton blijft dan voor het zand en grind over: Vzand + grind = 1000 . (5. Uit de folder ENCI/Productinformatie lezen we dat het chloridegehalte van de toe te passen cement ongeveer 0.15 + ((100 .04 % bedraagt. C12) Chloridegehalte per kg cement: We nemen aan dat in het toe te passen water ongeveer 0. C11) Controle op gehalte fijn: Het gehalte fijn bestaat uit het cement.7 = 685 kg en aan grind: 0.13 zien we dat 2% van het toeslagmateriaalmengsel (de rechterkolom) kleiner is dan 250 µm en we hebben dus: 320 / 3.65 kg/dm3 volgt dan dat we 718.Vcement (liter = dm3) = 1000 . In totaal is dan aanwezig: (320 × 0.(2% van 1000) .02) / 100 = 0.64 × 1872 = 1218 kg.02% chloride aanwezig is. eventuele vulstoffen en de fractie zand < 250 µm.Vwater .Vlucht .7.C10) De uitleveringsberekening: We nemen aan dat het betonmengsel na verdichten 2% lucht bevat.5) en voor het zand en grind nemen we een waarde 2650 kg/m3 aan. In tabel 5. gaat dit naar de constructeur die het ontwerp gaat berekenen. zal de helft van de constructie niet de gewenste sterkte hebben. waarmee men naar de architect kan gaan. af van de bedrijfsprocessen binnen het gebouw. Bij een trap kan er een persoon van 100 kg overheen lopen of iemand van 60 kg. de constructie berekend worden.a.en gebruikseisen (bijvoorbeeld opslag van goederen).4 Het materiaal beton en haar toepassing Van idee tot betonconstructie Voordat een bouwwerk kan worden ontworpen. e. Dit hangt o. Bij het beproeven van 100 kubussen zullen er dan 5 minder sterk zijn dan aangenomen en 95 sterker.7. kunnen de randvoorwaarden en uitgangspunten voor het ontwerp opgesteld worden. Het berekenen van de constructies Bij het berekenen van de constructie moet eerst bekend zijn wat de belastingen op de constructies worden. 172 . Als het ontwerp naar wens is.Bijlage 5. Als we dat wel zouden doen. zie figuur 5. sneeuw. het eigen gewicht van de constructie en de inrichtings. Een belangrijk deel van het ontwerp is de materiaalkeuze.). Als bekend is hoe het gebouw gebruikt gaat worden.7. De constructeur moet dus een eerste afschatting maken van de afmetingen van de diverse constructieonderdelen. trillingen. Vaak is het verstandig om reeds bij het ontwerp een constructeur te betrekken. Vervolgens kan in combinatie met de afmeting en de sterkte eisen (gesteld aan de toegepaste bouwmaterialen). Het is nu niet aan te bevelen om een constructie te berekenen met een materiaalsterkte die het gemiddelde van de gevonden waarden bedraagt. Het begrip spreiding in de belasting De belasting vertoont een zekere spreiding. De belasting volgt uit externe factoren (wind. In het vervolg van het verhaal gaan we er van uit dat gekozen is om de constructie in gewapend beton uit te voeren. Als hier met de gemiddelde waarde zou worden gerekend zal de helft van de optredende belastingen groter zijn dan waarmee de trap berekend is. Afgesproken is om te rekenen met een 5 % ondergrens.20. moet eerst bepaald worden wat de bestemming is van het gebouw en hoe het ingericht gaat worden.d. De architect maakt aan de hand van de voorwaarden een ontwerp. Bij de belasting is nu uitgegaan van een 5 % bovengrens (vrij vertaald: Er is een kans dat van de 100 belastingsgevallen er 5 hoger zijn dan waarmee gerekend is). Er is dus echter altijd nog een (weliswaar zeer kleine) kans dat plaatselijk in de constructie de belasting een spanning groter dan K oplevert samen met een precies daar optredende zeer lage materiaalsterkte (dus een waarde kleiner dan B in figuur 5. Plaatselijk zou dus overbelasting op kunnen treden.21 vanwege het toepassen van een extra materiaalfactor.7. dat wil zeggen dat de materiaalsterkte plaatselijk een factor 1.7. de minder belaste constructiedelen gaan de extra belasting van de overbelaste delen dragen. 173 .μ σ x f(x) = verwachtingswaarde = (gemiddelde) = (variantie)1/2 = sterkte individuele kubus = frequentie figuur 5. d.7. sterkere bouwmaterialen gebruiken.21). des te kleiner is de kans op bezwijken. De afstand tussen de 5 % bovengrens van de belasting en de 5 % ondergrens van de sterkte heeft te maken met de belastingfactoren (in de volksmond: veiligheidscoëfficiënt γ) en materiaalfactoren. Het bouwen met een 100 % zekerheid op ‘niet bezwijken’ is echter economisch niet haalbaar. (je schuift hier de rechter Gauss curve naar rechts) bij gelijkblijvende afmetingen.7. Het vergroten van de veiligheidsfactor kan op een aantal manieren aanleiding geven tot sterkere constructies: • • • meer materiaal gebruiken waardoor de spanningen in de constructie lager worden (je schuift als het ware de linker Gauss-curve naar links) bij gelijkblijvende materiaalsterkte.z. die niet meteen tot bezwijken aanleiding hoeft te geven.21.w. omdat in de praktijk de spanning meestal ‘herverdeeld’ wordt over de rest van de constructie. een combinatie van de beide werkwijzen. Voor de bouw wordt uitgegaan van een veiligheidscoëfficiënt van ongeveer 1.7 groter moet zijn dan de waarde K in figuur 5.7. Hoe groter we de veiligheidscoëfficiënt kiezen (in de civiele techniek: “belastingsfactoren”) in combinatie met de materiaalfactoren. In werkelijkheid past de civiel ingenieur per belastingstype een verschillende γ waarde toe en is de in de berekening toegepaste materiaalrekensterkte iets lager dan de waarde B in figuur 5.20 De Gauss-curve Het begrip 'Veiligheid' De curve voor belasting en voor de sterkte kunnen in een grafiek worden getekend. is dan wel erg klein geworden.7.7. De kans dat plaatselijk in de constructie overbelasting optreedt tegelijk met een toevallige erg lage lokale materiaalsterkte. Tegenover deze zekerheid in bovengenoemde gevallen staan echter wel de sterk verhoogde bouwkosten. omdat γ groter is gemaakt. De grootte van de veiligheidsfactor is dus een politieke en een economische keuze.curve I: verdelingscurve van spanningen x veroorzaakt door de belastingenafmetingen combinatie van het gebouw. 174 . curve II: sterkte-verdeling van bet gekozen bouwmateriaal figuur 5. De eisen betreffende de materiaalfactoren en de minimumvoorwaarden voor de belastingsfactoren zijn in voorschriften vastgelegd.21) kleiner geworden.21 De verdeling van de spanningen veroorzaakt door de belastingen (de linker Gauss-curve) en de verdeling van de materiaalsterkte-uitkomsten (de rechter Gauss-curve) In beide gevallen is uiteraard het overlappinggebied (de cirkel in figuur 5. Een kerncentrale wordt bijvoorbeeld met een grotere veiligheid gebouwd dan een tuinhuisje. 7. Enkele factoren zijn: 175 . die kubussen van 15 x 15 x 15 cm3 na 28 dagen verharding bij 20 oC en een bepaalde vochtigheid van de omgeving. Zo leggen de Voorschriften Beton Technologie vast dat de druksterkte bepaald moet worden: • • • van kubussen van 15 x 15 x 15 cm3 die volgens een voorgeschreven manier verdicht worden en waarvan de drukvlakken een voorgeschreven vlakheid en evenwijdigheid bezitten. met behulp van een drukpers waarvan de nauwkeurigheid is omschreven en de stalen drukplaten een voorgeschreven vlakheid en stijfheid bezitten en waarvan ook de drukkracht met een voorgeschreven snelheid wordt opgevoerd. In de betonvoorschriften worden de volgende betonkwaliteiten onderscheiden zoals vermeld in tabel 5. Daarbij moet worden afgesproken hoe men aan deze waarden komt. Er zijn diverse eigenschappen die tezamen de kwaliteit bepalen. Hiervoor moet het 28 dagen de tijd hebben gehad om te verharden. Het onderstaand rijtje geeft een opsomming: • druksterkte • splijtsterkte • elasticiteitsmodulus • volumieke massa • krimp • kruip • dichtheid. waterdoorlatendheid • slijtvastheid • weerstand tegen chemische en weersinvloeden De grootte van de eigenschappen is afhankelijk van een aantal praktische zaken. Dat is echter vaak niet het geval: de krimp bijvoorbeeld kan dan stijgen en de duurzaamheid hangt in veel gevallen net zoveel van het soort cement of als van de sterkte. Daarom volgt eerst een korte bespreking van deze factoren. bereiken.7. Nadat we het mengsel hebben samengesteld en hebben verwerkt tot kubussen kunnen we het beton beproeven.5 a) Inleiding Nog enige opmerkingen over beton en betonsterkte Het is de gewoonte dat de kwaliteit van beton wordt aangeduid met de druksterkte.Bijlage 5. b) Betonkwaliteit De kwaliteit van beton is niet in één getal uit te drukken. Men neemt dan stilzwijgend aan dat de andere eigenschappen beter worden als de druksterkte hoger is.70 MPa bij “normaal” beton. Het tweede getal in de codering geeft de karakteristieke druksterkten van 150 x 150 x 150 mm3 kubussen. na een voorgeschreven periode van verharding in een geconditioneerde omgeving. De druksterkte van beton dat in constructies wordt toegepast varieert van 15 .8 (getallen in MPa). Met behulp van deze beproevingen kunnen we een uitspraak doen over enkele eigenschappen van het beton. We noemen dit destructief onderzoek. kan een spreiding in de meetresultaten ontstaan als gevolg van: • verschillen in watercement factor (wcf. geschiedt doorgaans bij 20 oC en een luchtvochtigheid van 95 %. nog maanden na het storten doorgaat. Ouderdom en verhardingsomstandigheden van het proefstuk Omdat het verhardingsproces.22.22 beproeving voor druksterkte en bijbehorend spanningvervormingsdiagram 176 . is afgesproken de eigenschappen na 28 dagen verharding te meten. De druksterkte bepalen we met behulp van enkele drukproeven op betonnen kubussen.b1. Een cilinder geeft een wat lagere sterkte dan een kubus. ongelijkmatig drukvlak) c) Druksterkte en elasticiteitsmodulus De druksterkte (bezwijkdruk) na 28 dagen verharding.) en menging van de componenten • verschillen in verdichting • verschillen in cementkwaliteit • verschillen in nabehandeling • wisselende beproevingomstandigheden (bijv. Het eerste getal achter de “C” in tabel 5. De kans op een zwakke plek in een grotere kubus is namelijk hoger en er speelt een “opsluitingseffect” mee tijdens de drukproef. zodat de bezwijkbelasting hoger wordt. De grootte van de bezwijkdruk van constructiebeton varieert afhankelijk van de bovengenoemde factoren tussen de 15 en 70 MPa. Het verharden op zich.7. figuur 5. Wijze van uitvoeren van de proef De snelheid waarmee de belasting wordt aangebracht (dF/dt) heeft invloed op de bezwijkbelasting. Door de manier van inklemmen. dus ook de sterkteopbouw.8 geeft de cilinderdruksterkte. Een kleinere kubus geeft weer een wat hogere sterkte. Afmeting en vorm proefstuk Als we een grotere kubus van beton zouden gebruiken dan de gebruikelijke 150 x 150 x 150 mm3. onder de hierboven geschetste omstandigheden is een belangrijke eigenschap. b2. Ook zal de sterkte afhankelijk zijn van de vorm van het proefstuk. zie figuur 5. b4. b3. Spreiding in de resultaten Bij een serie proefstukken. Als we een materiaal in een richting (uniaxiaal) belasten.7. vinden we een lagere sterkte. zal het in de andere richtingen willen uitzetten.7. wordt dit laatste echter tegengewerkt. zie figuur 5.7. Hoe dat komt zal tijdens het practicum worden uitgelegd.4. Wanneer we de indrukking ε als functie van de aangebrachte belasting (σ = kracht per eenheid van oppervlak) uitzetten volgt figuur 5. In een proefstuk.7. In eerste instantie gedraagt het beton zich bijna lineair elastisch. Bij de splijtproef wordt de kracht via smalle houten latjes aan de proefkubus doorgegeven. We zien dat de E bij σ = 0 het grootst is en dan langzaam afneemt tot een minimale waarde bij de bezwijklast σbreuk. ontstaan nl. De eerste afgeleide: dσ/dε wordt de elasticiteitsmodulus E genoemd.7. Er wordt onderscheid gemaakt tussen de zuivere treksterkte en de buigsterkte. Daarna gaan ook tijdsafhankelijke en plastische vormveranderingen optreden (viskeuze vervormingen).De drukspanning berekenen we aan de hand van de bepaalde bezwijklast met behulp van de formule: σ = F/A (5.7. dat op buiging wordt belast. 64 Fmax 2 (5. De verkregen E wordt daarom de statische E genoemd: Estat. Binnen betonconstructies liggen de belastingen rond 30 % van de bezwijkbelasting in verband met veiligheidsfactoren. Bovendien worden de meetresultaten door kleine scheurtjes in initiële trekspanningen in het materiaal te veel beïnvloed.2) met: d Fmax: de maximale voortgekomen kracht en d2: beproevingoppervlakte A Kenmerken van de splijtproef: • het vochtgehalte van het proefstuk heeft weinig invloed. De zuivere treksterkte wordt daarom meestal indirect bepaald via een splijtproef. dat de E bij 30. Behalve σbreuk is ook de E bij ca.14) met: F de bezwijklast in Newton en A het beproevingsoppervlak in m2.2): σ spl = 2 zodat voor de zuivere treksterkte geldt: Fmax πd 2 (5. d) Treksterkte / Splijtsterkte In tegenstelling tot de druksterkte is de treksterkte niet eenduidig geformaliseerd. Een zuivere trekproef. σ spl = 0.15) 177 . ook trekspanningen. Uit het σ. 30 % van σbreuk een belangrijke maat. • de krachtenoverdracht vindt plaats via de cementsteen.ε diagram zien we. is te kostbaar voor controleonderzoek. Het breukvlak van een gedrukte kubus vertoont een typische zandlopervorm. Daarom wordt in de betonliteratuur voor de Estat wel 30 of 40 % bezwijkbelasting genomen. Na εbezwijk heeft de E natuurlijk geen betekenis meer. waarbij het proefstuk aan de stalen platen van de drukpers wordt vastgelijmd.22 (rechts).7. dat wil zeggen met een lineair verband tussen spanning en vervorming. De splijtsterkte volgt uit formule (5.7. 40 of 50 % van de bezwijkbelasting ongeveer even groot is. De druksterkte is dus niet een fysische materiaalgrootheid (zoals de dichtheid) maar wel een grootheid waarmee verschillende betonsoorten onderling vergeleken kunnen worden (kwaliteitsindruk). Ten slotte moet de spreiding van de resultaten op een afgesproken manier aangegeven worden.• het proefstuk bezwijkt in het verticale vlak tussen de latjes. verdichting. Maar vooral ook dat het spanningspatroon zal verschillen. Steeds realiseert men zich dat: temperatuur. snelheid van belasten in de constructie meestal verschillend kunnen zijn. vochtgehalte. afmetingen. 178 . 7. Deze staat in relatie met de druksterkte van het materiaal. figuur 5. Het principe berust op het feit dat een massa.7. Door tevens een meting te doen op een referentie proefstuk met bekende sterkte eigenschappen. Volgens bovenstaande bewering geldt: Edyn = E0.23 is het eerste deel van het σ-ε diagram vergroot weergegeven. 1. welke op een oppervlak valt.6 Niet-destructief onderzoek Naast het hiervoor beschreven destructieve onderzoek kennen we ook een non destructief onderzoek. brengen we zeer kleine spanningsveranderingen aan rond σ = 0. Doordat er vele factoren in het spel zijn. Met andere woorden de terugkaatsing zegt iets over de oppervlaktevervorming van het beschouwde materiaal en daarmee over de hardheid. 2a) Akoestisch doormeten en E dynamisch In figuur 5. is een aantal non destructieve methoden ontwikkeld. Om het bouwwerk niet te hoeven beschadigen en toch een indruk te krijgen van de sterkte.Bijlage 5. De E bij σ = 0 wordt E0 genoemd. De snelheid van de geluidsgolf hangt af van de samenstelling van het beton en de vochtigheden.23 σ-ε diagram Wanneer we het beton akoestisch doormeten. 2. is de spreiding in de meetwaarden. We mogen de nietdestructieve methoden daarom alleen gebruiken als vergelijkende meting. Elektronische methode (of akoestische methode) Voortplantingssnelheid van trillingen wordt gemeten voor het bepalen van de sterkte van het gemaakte beton. Mechanische methode Meting van de Schmidthammer terugslagwaarden. Een nadeel van alle nietdestructieve methoden. 179 . De resterende arbeid wordt gebruikt om de massa terug te kaatsen. De Schmithammer geeft een indruk van de oppervlaktehardheid van beton. kan toch een goede indruk worden verkregen over de sterkte van het beton op de bouwplaats. is het bovendien erg moeilijk deze spreiding te verkleinen. arbeid verliest als gevolg van vervorming aan de raakvlakte. Uit de doorloopsnelheid van de geluidsgolf kan een zgn. dynamische elasticiteitsmodulus Edyn worden berekend. Met behulp van een ultrasoon doormeetapparaat wordt de doorloopsnelheid van een geluidsgolf door het proefstuk gemeten.7. De doorlooptijd t wordt met het meetapparaat gemeten.16) ρ Hierin is ρ de volumieke massa (≈ 2400 kg/m3). Dit komt omdat bij uitdroging de poriën zich vullen met lucht. Het gevolg is dat de puls wordt uitgerekt. Is in de specie ook lucht aanwezig. Er volgt dus: Edyn = ρ. maatgevend te zijn voor de sterkte na een bepaalde tijd. grind etc. De snelheid v volgt uit: v = s/t waarbij s = 0. dan blijkt de verhouding: (water + lucht)/cement in volumedelen. toeslagmateriaal en water is verschillend: Cementsteen: ca. v2 (5. Discontinuïteiten in het beton De doorloopsnelheid van de geluidsgolf in cementsteen. terwijl toch een lagere voortplantingssnelheid wordt gemeten. Vochtgehalte Een variatie in het vochtgehalte door vochtopname ofwel uitdroging. Bij droog beton is de sterkte hoger. 2b) Spreidingsoorzaken van akoestische methoden Er zijn drie oorzaken voor de spreiding in de meetresultaten: 1. 2.18) De voortplantingssnelheid van de geluidsgolf hangt af van de betonsamenstelling. Omdat de sterkte van de cementsteen steeds lager is dan die van het zand en 180 . Dus niet de hoeveelheid toeslagmateriaal of de korrelopbouw van het toeslagmateriaal maar alleen de W/C factor.Het verband tussen doorloopsnelheid v en Edyn luidt: ν= Edyn (5.7. Aangezien er geen geluidsoverdracht plaatsvindt tussen vaste stof en lucht. 4000 m/s Zand en grind: ca. beïnvloedt de geluidsmeting tegengesteld als uit oogpunt van sterkte wordt verwacht.15 m (bij het doormeten van een betonkubus). 6000 m/s Water: 1200 à 1500 m/s Bovendien reflecteert de geluidimpuls op de overgang tussen water.7. 3. Eén van de eerste onderzoekers naar de druksterkte heeft vastgesteld dat deze grootheid bij volledig verdicht beton voor een bepaald cement uitsluitend afhing van de W/C factor. Cement en cement-toeslagverhouding Op basis van de porositeit van het beton. kunnen we inzien dat ook deze eigenschappen de akoestische meting beïnvloeden. wordt de weglengte van de golf dus vergroot. is het te begrijpen dat in eerste instantie de kwaliteit van de cementsteen en niet de hoeveelheid ervan bepalend is voor de sterkte. dat met dit cement vervaardigd is.15). voorspeld worden voor verschillende W/C factoren (zie figuur 5. Kent men de normsterkte van het cement na 28 dagen (bepaald aan mortels van 1 cement : 3 zand) dan kan de sterkte van beton. 181 .grind.7. in de trekzone.25 spanning-rek diagram voor scheurvorming Maar wanneer onder in de balk. Mits op de juiste plaats van wapeningsstaal voorzien.7. Het gevolg hiervan is dan reeds bij een zeer kleine belasting op bijvoorbeeld een betonnen balk onder invloed van buigende momenten scheurvorming gaat optreden.7. figuur 5. In dat geval zal het staal grotendeels de taak van het opnemen van de trekspanningen van het beton overnemen. Deze wape182 . zal het beton daar scheuren.Bijlage 5. Daarom wordt in het gewapend beton op die plaats. rechtlijnig en symmetrisch verlopen. Laten wij hierbij als voorbeeld nemen een betonnen balk die aan de uiteinden op twee steunpunten vrij is opgelegd (figuur 5. een wapening van stalen staven aangebracht.24).7 Gedrag bij buiging Constructieve aspecten van gewapend beton Beton is een materiaal met als eigenschap dat het een grote druksterkte en een geringe treksterkte bezit. als de spanningen σ. Het materiaal is homogeen en de wet van Hooke wordt gevolgd (figuur 5.7.7. kan de balk in staat worden gesteld een belangrijk grotere belasting te dragen. de treksterkte van het beton wordt overschreden. Ten gevolge van het eigen gewicht en van de op de balk aangebrachte belasting buigt de balk door.7. In elke dwarsdoorsnede ontstaat een buigend moment. zullen over de dwarsdoorsnede zowel de vervormingen E. in de langsrichting van de balk.24 balk op twee steunpunten vrij opgelegd Zolang deze spanningen niet te groot worden. figuur 5.25). waarbij in het bovenste gedeelte drukspanningen. Bij een dergelijke samenwerking van staal en beton wordt gesproken van ‘Gewapend beton’. Bij vergroting van de belasting zou de balk na toenemende scheurvorming spoedig bezwijken. in het onderste gedeelte trekspanningen optreden. ook omgekeerd is dit het geval. 183 .7.5. Afschuiving is altijd gekoppeld aan een variërend buigend moment. het staal neemt de trekkrachten van het beton over. ander mechanisme. Als uitgangspunt voor de berekening hanteert men het begrip dwarskracht. figuur 5.7. Dit naast eisen van het niet bezwijken bij een bepaalde overbelasting en het niet overschrijden van bepaalde vervormingen in de gebruikstoestand.ning gaat nu haar functie vervullen. Dit is afhankelijk van het afschuifdraagvermogen van de balk. zullen er scheuren ontstaan onder een hoek van ca. Zolang de daardoor ontstane scheurtjes klein zijn en een bepaalde wijdte niet overschrijden.27). Bij het berekenen van gewapende betonconstructies wordt dan ook als een der eisen gesteld. 45° met een horizontaal. dat de scheurwijdte in de gebruikstoestand een bepaalde waarde niet mag overschrijden.26 spannings-rekdiagram na scheurvorming Gedrag bij afschuiving Naast het breukmechanisme van buiging van een betonnen balk kan een tweede.27) dan zal het gedeelte links van de doorsnede willen afschuiven van het gedeelte rechts van de doorsnede (zie de getekende pijltjes).26). is een dergelijke scheurvorming toelaatbaar te achten. zal in het beton van de trekzone scheurvorming optreden (figuur 7. Het rekt derhalve en omdat het beton deze vervorming niet kan volgen. Tussen het aangrijpingspunt van de belasting F en de oplegging van de balk (gedeelte A) kan het afschuifmechanisme optreden (figuur 5. Beschouwen we een willekeurige doorsnede X-X (figuur 5. Omdat in de doorsneden over de afstand A twee mechanismen aanwezig zijn. leiden tot bezwijken.7.7. en buigende momentenlijn 184 .27 belastingsituatie met bijbehorende dwarskracht.7.figuur 5. 185 . 8 Productinformatie Cementsoorten Folder ENCI “De Juiste Keuze” 186 .Bijlage 5.7. 5 R CEM I 32. Een specifiek werkterrein is voor dit cement moeilijk aan te wijzen.5 R wordt veel gebruikt in ambachtelijke toepassingen en voor het voegen van metselwerk.25 Grootte 8 5 0. Beton. Portlandcement 32. Voor beton kan het cement in combinatie met alle andere ENCI cementen worden toegepast. Het cement heeft een lange verwerkingstijd en een rustige sterkteontwikkeling.PORTLANDCEMENT 32. behalve met metselcement. Verpakt portlandcement 32.en mortelspecies gemaakt met dit cement. geschikt voor tal van toepassingen.5 R werkt goed samen met alle gangbare hulpstoffen.7 96 4 Eenheden % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) minuten Eenheden m2/kg ρm (kg/m3) De soortelijke massa is 3150 kg/m3 ρs (kg/m3) Dit is het “stortgewicht” Joule per gram - Normsterkte cement (N/mm2) 21 ± 2 35 ± 3 49 ± 4 Betondruksterkte (N/mm2) - 187 . De hydratatiesnelheid is weinig warmtegevoelig.04 0.5 R is een goed en betrouwbaar portlandcement. zijn goed af te werken. Toepassing Door het universele karakter van dit cement is het bijna overal in de bouw te vinden. De aanvangssterkten zijn bescheiden. Eigenschappen Begin binding Specifiek oppervlak Volumieke massa Hydratatiewarmte (isotherm) C-waarde Samenstelling C3A-gehalte Al2O3-gehalte Chloridegehalte (Cl ) Na2O equivalent Portlandcementklinker Nevenbestanddelen tijdstip na aanmaak (in dagen) 1 2 7 28 - Grootte 145 280 3150 1300 > 270 1.5 R ENCI Maastricht Productomschrijving Portlandcement 32. maar met technologisch uitgekiende mengsels zijn hoge eindsterkten te realiseren. 5 is een snel verhardend portlandcement met een hoge aanvangssterkte. nominaal 16 mm. Het is zeer geschikt voor producten die kort na het storten moeten worden voorgespannen of ontkist.5 Mengselgegevens: Cementgehalte 340 kg/m3.03 0. Het cement ontwikkelt tamelijk veel warmte in beton. wcf 0.PORTLANDCEMENT 52. rond.5 N Productomschrijving Portlandcement 52. zijn goed af te werken. toeslagmateriaal hard. De hydratatiesnelheid is weinig warmtegevoelig. gradering in A16 B16 Verwerkbaarheid: Consistentiegebied 3 wordt bereikt door het toevoegen van een variabele hoeveelheid superplastificeerder.44.en mortelspecies gemaakt met dit cement.15 Grootte 8 5 0. behalve met metselcement. dicht. Zeer hoge eindsterkten zijn mogelijk. Beton. Voor beton kan het cement in combinatie met alle andere ENCI cementen worden toegepast. Let op: de vermelde betondruksterkte geldt alleen voor het betonmengsel van de hieronder gegeven tabel “Betononderzoek” 26 ± 3 40 ± 3 69 ± 4 Betononderzoek Op dit cement wordt betononderzoek uitgevoerd in groep 52. Het cement werkt goed samen met alle gangbare hulpstoffen.7 96 4 Normsterkte cement (N/mm2) 20 ± 2 31 ± 3 62 ± 3 Eenheden > minuten m2/kg ρm (kg/m3) De soortelijke massa is 3150 kg/m3 ρs (kg/m3) Dit is het “stortgewicht” Joule per gram Eenheden % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) Betondruksterkte (N/mm2). 188 . In sommige gevallen wordt het op de bouwplaats ingezet. Als gevolg van de snelle sterkteontwikkeling is de verwerkingstijd kort. Toepassing Dit cement wordt voornamelijk toegepast bij het fabriceren van betonproducten.5 N ENCI Maastricht CEM I 52. Eigenschappen Begin binding Specifiek oppervlak Volumieke massa Hydratatiewarmte (isotherm) C-waarde Samenstelling C3A-gehalte Al2O3-gehalte Chloridegehalte (Cl ) Na2O equivalent Portlandcementklinker Nevenbestanddelen Tijdstip na aanmaak (in dagen) 1 2 7 28 - Grootte 135 420 3150 1100 > 270 1. als snel moet worden voorgespannen of ontkist. Portlandcement 52. Toepassing Dit cement wordt voornamelijk toegepast bij het fabriceren van betonproducten.en mortelspecies gemaakt met dit cement. 189 . rond. als zeer kort na het storten moet worden voorgespannen of ontkist. Mengselgegevens: Cementgehalte 340 kg/m3.15 Grootte 8 5 0. nominaal 16 mm. dicht.5 R is een zeer snel verhardend portlandcement met een zeer hoge aanvangssterkte.5 R om de temperatuursinvloed op de verhardingssnelheid te compenseren. wcf 0. Eigenschappen Begin binding Specifiek oppervlak Volumieke massa Hydratatiewarmte (isotherm) C-waarde Samenstelling C3A-gehalte Al2O3-gehalte Chloridegehalte (Cl-) Na2O equivalent Portlandcementklinker Grootte 135 540 3150 1050 > 270 1. Bij koud weer vervangen betoncentrales bij het produceren van betonspecie soms circa 30 % CEM III/B 42. Beton.5 door eenzelfde hoeveelheid CEM I 52.5 R Productomschrijving Portlandcement 52. Het is geschikt voor producten die kort na het storten moeten worden voorgespannen of ontkist. De betonspecie moet in korte tijd worden gestort.44. Het cement ontwikkelt in beton veel warmte en daarmee moet terdege rekening worden gehouden. verdicht en afgewerkt. behalve met metselcement. toeslagmateriaal hard. In sommige gevallen wordt het op de bouwplaats ingezet. gradering in A16-B16 Verwerkbaarheid: Consistentiegebied wordt bereikt door het toevoegen van een variabele hoeveelheid superplastificeerder.5 R ENCI Maastricht CEM I 52.PORTLANDCEMENT 52. Als gevolg van de zeer snelle sterkteontwikkeling is de beschikbare verwerkingstijd buitengewoon kort. Zeer hoge eindsterkten zijn mogelijk. zijn goed af te werken. Het cement werkt goed samen met alle gangbare hulpstoffen en kan in combinatie met alle andere ENCI cementen worden toegepast.04 0.5.5 R is uitstekend te gebruiken als "aanjager" in betonspecie met CEM III/B. De hydratatiesnelheid is weinig warmtegevoelig.7 100 Eenheden minuten m2/kg ρm (kg/m3) ρs (kg/m3) Joule per gram Eenheden % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) De soortelijke massa is ρm = 3150 kg/m3 Betondruksterkte (N/mm2) tijdstip na aanmaak (in daNormsterkte cement Let op: de vermelde betondrukgen) (N/mm2) sterkte geldt alleen voor het betonmengsel van de hieronder gegeven tabel “Betononderzoek” 1 30 ± 2 36 ± 3 2 40 ± 2 49 ± 3 7 28 63 ± 2 74 ± 3 Betononderzoek Op dit cement wordt betononderzoek uitgevoerd in groep 52. PORTLANDVLIEGASCEMENT 32. Kenmerkend van dit cement is de doorlopende sterktetoename na 28 dagen. toeslagmateriaal hard.t. n.25 - Samenstelling C3A gehalte Al2O3 Chloridegehalte (Cl¯ ) Na2O-equivalent Portlandcementklinker Poederkoolvliegas Nevenbestanddelen tijdstip na aanmaak (in dagen) 1 2 7 28 Grootte n. hebben een geringe water-behoefte en zijn zeer goed af te werken.5.5 R CEM II/B-V 32. n.8 69 27 4 Normsterkte cement (N/mm2) 21 ± 2 34 ± 3 48 ± 3 Eenheden n. Het haalt alle positieve invloeden uit het toegevoegde poederkoolvliegas. Daarnaast wordt het cement gebruikt voor de productie van blokken en stenen.t. Mengselgegevens: Cementgehalte 330 kg/m3.v. busbanen e.t.5 Verwerkbaarheid: Consistentiegebied 3 wordt bereikt door een variabele hoeveelheid water.v. Het cement ontwikkelt weinig warmte in het beton.03 0.5 R werkt goed samen met alle gangbare hulpstoffen. Het beton is tamelijk donker van kleur. gemaakt met dit cement. gradering in A31. betonnen parkeerplaatsen. 190 . Mits goed samengesteld en verwerkt.d.t. 0. Portlandvliegascement 32. Bovendien zal het beton vorst-dooizoutbestand zijn.5 R. De sterkteontwikkeling verloopt ongeveer even snel als van een CEM I 32. Toepassing Het cement leent zich uitstekend voor het vervaardigen van betonwegen. behalve met metselcement. % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) Betondruksterkte (N/mm2) Let op: de vermelde betondruksterkte geldt alleen voor het betonmengsel van de hieronder gegeven tabel “Betononderzoek” 21 ± 2 32 ± 3 46 ± 3 Betononderzoek Op dit cement wordt betononderzoek uitgevoerd in groep 42. zal beton gemaakt met dit cement een verhoogde sulfaatbestandheid en een zeer goede weerstand tegen ASR ontwikkelen. nominaal 31.5 R vormt een optimale combinatie van portlandcementklinker en poederkoolvliegas.v. wat vaak tot verrassend hoge betonsterkten leidt na 56 en 90 dagen. dicht. wcf circa 0.5 mm.v.50.5 R ENCI Maastricht Productomschrijving Dit portlandvliegascement 32. Beton.en mortelspecies. Bij gebruik van een luchtbelvormer zal een hogere dosering nodig zijn dan normaal. rond. Eigenschappen Grootte Eenheden Begin binding 170 minuten De soortelijke massa is Specifiek oppervlak 420 m2/kg ρm = 2900 kg/m3 Volumieke massa 2900 1100 ρm (kg/m3) ρs (kg/m3) Hydratatiewarmte > 270 Joule per gram (isotherm) C-waarde 1.5-B31. Voor beton kan het cement in combinatie met alle andere ENCI cementen worden toegepast. en wordt daarin veel toegepast. zijn zeer goed af te werken. behalve met metselcement.v. 0. Voor beton kan het cement in combinatie met alle andere ENCI cementen worden toegepast.t. Bij toepassing van een luchtbelvormer zal een iets hogere dosering nodig zijn dan normaal.8 69 27 4 Eenheden minuten m2/kg ρm (kg/m3) ρs (kg/m3) Joule per gram n. Eigenschappen Begin binding Specifiek oppervlak Volumieke massa Hydratatiewarmte (isotherm) C-waarde Samenstelling C3A-gehalte Al2O3-gehalte Chloridegehalte (Cl-) Na2O equivalent Portlandcementklinker Poederkoolvliegas Kalksteenmeel tijdstip na aanmaak (in dagen) 1 2 7 28 Grootte 175 420 2950 1150 > 270 n. n. Het cement is alleen verpakt leverbaar. n. Grootte n.t.v.PORTLANDCOMPOSIETCEMENT 32.5 N ENCI Maastricht Productomschrijving Dit speciale portlandcement biedt een lange verwerkingstijd en een rustige sterkte-ontwikkeling.t.v.t.en mortelspecies gemaakt met dit cement.t.5 N CEM II/B-M (V-L) 32. Eenheden n.t.v. Beton.04 0. Toepassing Voornamelijk cementdekvloeren en klein betonwerk op de bouw. Portlandcomposietcement 32. % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) Normsterkte cement (N/mm2) 20 ± 3 33 ± 4 46 ± 5 Betondruksterkte (N/mm2) De soortelijke massa is ρm = 2950 kg/m3 191 .5 N werkt goed samen met alle gangbare hulpstoffen. Het cement is bij uitstek geschikt voor cementdekvloeren en voor klein betonwerk op de bouw.v.v. 50 Grootte n.t. een zeer duurzaam beton. wcf circa 0.t. rond.t. maar versnelt sterk bij temperatuurverhoging en vertraagt bij temperatuurverlaging. De sterkteontwikkeling verloopt bij kamertemperatuur ongeveer even snel als van CEM I 32. Mengselgegevens: Cementgehalte 330 kg/m3.03 0. De dichte poriestructuur die hoogovencementbeton zo duurzaam maakt.5 N CEM III/B 42.t. ASR-bestand. is beton gemaakt met dit cement sulfaatbestand.v. De vorstbestandheid is geen probleem.HOOGOVENCEMENT 42. Het cement werkt goed samen met alle gangbare hulpstoffen. nominaal 31. is voorzichtigheid geboden. Het beton is opvallend licht van kleur. Bij toepassing in constructies die aan dooizouten kunnen worden blootgesteld. 0. dicht.v.50.5 LH HS is zeer warmtegevoelig en dat maakt het cement bij uitstek geschikt voor het werken met versnelde verharding door middel van verwarming. Voor beton kan het cement in combinatie met alle andere ENCI cementen worden toegepast.5.v. toeslagmateriaal hard. maar ook constructies waarin de warmtegevoeligheid van het cement van nut is zoals "warme gietbouw". heeft een hoge weerstand tegen chloride-indringing en is bestand tegen zeewater.5 Verwerkbaarheid: Consistentiegebied 3 wordt bereikt door een variabele hoeveelheid water 192 . gradering in A31. kortom.5 mm. maakt het beton tevens gevoelig voor vorst-dooizoutschade. Beton.5 22 75 3 Normsterkte cement (N/mm2) Eenheden minuten m2/kg ρm (kg/m3) ρs (kg/m3) Joule per gram Eenheden n. Bij dikwandige constructies is de lage warmteproductie een groot voordeel. of in een ander agressief milieu. Het cement ontwikkelt weinig warmte in het beton. zelfs als aan alle aanwijzingen voor milieuklasse 3 wordt voldaan.v.5-B31. % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) De soortelijke massa is ρm = 2950 kg/m3 Betondruksterkte (N/mm2) tijdstip na Let op: de vermelde betondruksterkte geldt alleen voor het betonmengsel van de hieronder aanmaak (in dagen) gegeven tabel “Betononderzoek” 1 2 12 ± 2 11 ± 2 7 38 ± 3 33 ± 3 28 60 ± 5 50 ± 6 Betononderzoek Op dit cement wordt betononderzoek uitgevoerd in groep 42.5N NEN 3550: LH/HS ENCI Maastricht Productomschrijving De hydratatiesnelheid van hoogovencement 42. behalve met metselcement. Toepassing Dit cement heeft een breed toepassingsgebied: constructies in of aan zee. Mits goed samengesteld en verwerkt. Eigenschappen Begin binding Specifiek oppervlak Volumieke massa Hydratatiewarmte (isotherm) C-waarde Samenstelling C3A-gehalte Al2O3-gehalte Chloridegehalte (Cl-) Na2O equivalent Portlandcementklinker Hoogovenslak Nevenbestanddelen Grootte 230 515 2950 1050 < 270 1.5 R. n. n.en mortelspecies met dit cement hebben een geringe waterbehoefte en zijn zeer goed af te werken. t.v.d.5 N ENCI Maastricht Productomschrijving Composietcement 42.8 57 22 21 Eenheden minuten m2/kg ρm (kg/m3) ρs (kg/m3) Joule per gram Eenheden n. Aangezien composietcement 42.5 Mengselgegevens: Cementgehalte 330 kg/m3.t. 0. Verder wordt het cement gebruikt voor de productie van blokken en stenen.v. Beton.en mortelspecies met dit cement hebben een geringe waterbehoefte en zijn zeer goed af te werken.v. Eigenschappen Begin binding Specifiek oppervlak Volumieke massa Hydratatiewarmte (isotherm) C-waarde Samenstelling C3A-gehalte Al2O3-gehalte Chloridegehalte (Cl-) Na2O-equivalent Portlandcementklinker Hoogovenslak Poederkoolvliegas Grootte 180 480 2900 1050 < 270 1. maar het cement ontwikkelt weinig warmte in het beton. behalve met metselcement.5 is een cement met een lange verwerkingstijd en een rustige sterkteontwikkeling.5 mm.5 een nieuwe cementsoort is. Bij toepassing van een luchtbelvormer zal een iets hogere dosering nodig zijn dan normaal.v. wcf circa 0. en wordt daarin veel toegepast.50. Het cement werkt goed samen met alle gangbare hulpstoffen. gradering in A31. De hydratatiesnelheid is warmtegevoelig. is het onderzocht conform CUR aanbeveling 48. n.5 N CEM V/A (S-V) 42.5 van ENCI IJmuiden en vertoont bovendien nog een aanmerkelijke sterktetoename na 28 dagen.5-B31. tenzij een cement met het predicaat LH of HS vereist is. Toepassing Het cement leent zich uitstekend voor het vervaardigen van betonwegen en andere verhardingen zoals parkeerplaatsen. De sterkteontwikkeling van dit cement verloopt ongeveer even snel als die van CEM III/B 42. % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) De soortelijke massa is ρm = 2900 kg/m3 tijdstip na aanmaak (in dagen) 1 2 7 28 Normsterkte cement (N/mm2) 19 ± 3 30 ± 3 53 ± 4 Betondruksterkte (N/mm2) Let op: de vermelde betondruksterkte geldt alleen voor het betonmengsel van de hieronder gegeven tabel “Betononderzoek” 17 ± 3 27 ± 4 49 ± 4 Betononderzoek Op dit cement wordt betononderzoek uitgevoerd in groep 42. Voor beton kan het cement in combinatie met alle andere ENCI cementen worden toegepast.5 Verwerkbaarheid: Consistentiegebied 3 wordt bereikt door een variabele hoeveelheid water 193 .35 Grootte n.t. busbanen e. Gebleken is dat dit cement mag worden toegepast in alle milieuklassen. dicht.02 0. n. nominaal 31. toeslagmateriaal hard.t.COMPOSIETCEMENT 42. rond. 5 N + NEN 3550: LH/HS ENCI IJmuiden Productomschrijving Hoogovencement 42. Het cement werkt goed samen met alle gangbare hulpstoffen. heeft een hoge weerstand tegen chloride-indringing en is zeewaterbestendig. Voor dikwandige constructies is de lage warmteproductie een groot voordeel. Voor beton kan het cement in combinatie met alle andere ENCI cementen worden toegepast.02 0. Mits goed samengesteld en verwerkt. Het cement ontwikkelt weinig warmte in het beton.HOOGOVENCEMENT 42. 0. De sterkteontwikkeling versnelt sterk bij temperatuurverhoging en vertraagt bij temperatuurverlaging.v.t.t.v. is beton gemaakt met dit cement sulfaat-bestand.t.50 Grootte n. Bovendien is het cement veel sneller. De dichte poriestructuur die hoogovencementbeton zo duurzaam maakt. n. maakt het beton tevens gevoelig voor vorst-dooizoutschade.5 N + CEM III/B 42.6 24 72 4 Eenheden minuten m2/kg ρm (kg/m3) ρs (kg/m3) Joule per gram Eenheden n. n. Eigenschappen Begin binding Specifiek oppervlak Volumieke massa Hydratatiewarmte (isotherm) C-waarde Samenstelling C3A-gehalte Al2O3 Chloridegehalte (Cl-) Na2O equivalent Portlandcementklinker Hoogovenslak Nevenbestanddelen tijdstip na aanmaak (in dagen) 1 2 7 28 Grootte 175 545 2950 1050 < 270 1. Het beton is opvallend licht van kleur. zelfs als aan alle aanwijzingen voor milieuklasse 3 wordt voldaan. De vorstbestandheid is geen probleem. Beton.en mortelspecies met dit cement hebben een geringe waterbehoefte en zijn zeer goed af te werken. Het wordt om die reden veel toegepast voor betonproducten waaraan hoge duurzaamheideisen worden gesteld. kortom. De hydratatiesnelheid is zeer warmtegevoelig en dat maakt het cement bij uitstek geschikt voor het werken met versnelde verharding door middel van verwarming. een zeer duurzaam beton. behalve met metselcement.v.5 LH HS plus bezit alle eigenschappen van een ENCI hoogovencement in klasse III/B.t. De warmtegevoeligheid van het cement maakt het bovendien zeer geschikt voor het werken met versnelde verharding door middel van verwarming.v. % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) % (m/m) De soortelijke massa is ρm = 2950 kg/m3 Normsterkte cement (N/mm2) 16 ± 2 41 ± 2 58 ± 3 Betondruksterkte (N/mm2) - 194 . Toepassing Dit cement leent zich vooral voor gebruik in constructies waar een hoogovencement op z'n plaats is en waar bovendien een snelle sterkte-ontwikkeling gevraagd wordt. Bij toepassing in constructies die aan dooizouten kunnen worden blootgesteld is voorzichtigheid geboden. ASR-bestand. (Ruimte voor aantekeningen) 195 .