ÁNGULOS ENTRE LAS MANECILLAS(HORARIO Y MINUTERO) PROF: JORGE HUASASQUICHE REYES. Las posiciones de las manecillas de un reloj dependen una de la otra. 1 división <> 1 minuto <> 6º Análisis del recorrido de las agujas | | ÷ | \ . | | ÷ | \ . | | ÷ | \ . º Minutero Horario x xº 12 x x min. div. 12 x x div. div. 12 RELACIÓN ENTRE EL RECORRIDO DEL MINUTERO Y EL HORARIO M=12 H M: Recorrido del minutero en minutos H: Recorrido del horario en minutos Ejemplo Ilustrativo: Grafique la posición de las agujas y el ángulo recorrido por el horario, cuando son las 7:20 Para el análisis de los recorridos se inicia desde la hora exacta, en este caso, empezamos desde las 7:00, se observa que desde esa hora hasta la hora indicada han transcurrido 20 minutos, entonces el minutero ha hecho un recorrido de 20 minutos, mientras que el horario habrá barrido un ángulo de 10º. º Minutero Horario 20 20 min =10º 2 A una determinada hora, las manecillas de un reloj forman dos ángulos: " " o y " " u (ver figura); convencionalmente el que se calcula es el menor ángulo " " o , pero si nos pidieran calcular el otro ángulo " " u , bastaría con recordar que: " 360º" o u + = . o | 360º + = Para calcular el ángulo que forman las manecillas de un reloj a una determinada hora o para calcular la hora conociendo el ángulo que forman las manecillas, debemos tomar como punto de partida la hora exacta más próxima, pero anterior a la hora indicada como dato. MÉTODO PRÁCTICO PARA CALCULAR EL ÁNGULO ENTRE LAS MANECILLAS DEL RELOJ I) CUANDO EL MINUTERO SE ENCUENTRA ANTES QUE EL HORARIO 11 30H m 2 o = ÷ ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 4:10? Solución: 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 1 0 º 2 0 m i n u t o s 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 o u 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 30º 30º 30º 12 1 11 30º 6º 6º 6º 6º 6º 3 0 º 3 0 º En el minutero se cumple: "x" divisiones <> "x" minutos MINUTERO MINUTERO HORARIO HORARIO (div - min) (grados) (div-min) (grados) 60 360º 5 30º 30 180º 2,5 15º 15 90º 5/ 4 7,5º 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 o II) CUANDO EL HORARIO SE ENCUENTRA ANTES QUE EL MINUTERO 11 m 30H 2 o = ÷ ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 4:40? Solución: CRITERIOS A TOMAR EN CUENTA Criterio 1: Cuanndo sean las 12:20, el valor de H asumirá el valor de cero. ( H 0 y M=20 = ) ( ) ( ) 11 20 30 0 2 u = ÷ 110º u = Criterio 2: Si la hora es expresada en el formato de las 24 horas, ésta debe expresarse en notación de las 12 horas (su forma tradicional). Es decir, si son las 19:40 horas, por lo tanto: H 7 y M=40 = . ( ) ( ) 11 40 30 7 2 u = ÷ 10º u = Criterio 3: Si nos dicen que las manecillas del reloj se encuentran superpuestas, entonces el ángulo entre las manecillas (“ o ”) será cero (0º), podemos utilizar cualquiera de las dos fórmulas Criterio 4: Si nos indican que las manecillas están opuestas, entonces el valor de “ o ” es 180º. Criterio 5: Si nos piden hallar una determinada hora por primera vez, se considera que el minutero se encuentra antes que el horario, utilizaremos: 11 30H m 2 o = ÷ Criterio 6: Si nos piden hallar una determinada hora por segunda vez, se considera que el horario se encuentra antes que el minutero, utilizaremos: 11 m 30H 2 o = ÷ Problema 1 ¿Qué hora indica el reloj? a) 2:51 b) 2:52 c) 2:53 d) 2:54 e) 2:54’ 30’’ Solución: Problema 2 Observando el gráfico determinar qué hora es: a) : 5 25 7 6 b) : 25 7 5 6 c) : 25 12 5 6 d) : 25 4 7 6 e) : 25 3 4 6 Solución: 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 o 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 o x º 2 | | | \ . 30º 2 o ( ) " x" min < > 6x º 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 o 2 o 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 2 o o 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 30º 2 o 30º ÷o ( ) " x " m i n < > 6 x º o 30º 30º 30º 30º Problema 3 ¿Qué hora indica el gráfico? a) 3:38 b) 3:36 c) 3:37 d) 3:39 e) 3: 37’ 30’’ Solución: Problema 4 ¿Qué ángulo formarán las manecillas de un reloj a las 4:34? a) 50º b) 67º c) 54º d) 45º e) 34º Solución: Problema 5 ¿A qué hora entre las 3 pm y las 4 pm, las manecillas de un reloj forman un ángulo de 80º por primera vez? a) 9 3 h 1 min 11 b) 4 3 h 6 min 11 c) 5 3 h 5 min 11 d) 3 3 h 7 min 11 e) 8 3 h 2 min 11 Solución: Problema 6 ¿Qué angulo formarán las manecillas de un reloj cuando sean 54 minutos antes que la 1:20 pm? a) 60º b) 36º c) 45º d) 50º e) 33º Solución: Problema 7 ¿A qué hora entre las 13 y las 14 horas, las manecillas de un reloj se superponen? a) 3 13 h 7 min 11 b) 5 13 h 6 min 11 c) 5 13 h 5 min 11 d) 7 13 h 3 min 11 e) 2 13 h 8 min 11 Solución: 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 | | | \ . º x 2 ( ) " x " m i n < > 6 x º 2 1 0 º o + o 12 6 3 9 2 1 4 5 7 8 10 11 2 1 0 º o + o TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE FALTA TRANSCURRIR Para este tipo de problemas se emplean de manera práctica, los siguientes esquemas: Problema 1 El tiempo que falta para las 11 a.m. dentro de 10 minutos es excedido en 6 minutos por los 3/5 del tiempo transcurrido del día. ¿Qué hora es? a) 10:05 a.m. b) 6:50 a.m. c) 9:55 a.m. d) 9:50 a.m. e) 10:15 a.m Solución: Problema 2 Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada, pero dentro de 40 minutos faltarán para las 4 a.m., el mismo tiempo que transcurrió desde la 1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es? a) 2:20 a.m. b) 2:30 a.m. c) 2:30 a.m. d) 4:15 a.m. e) 6:12 a.m. Solución Problema 3 Un alumno le dice a su amiga: “cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual a las horas por transcurrir te espero donde ya tú sabes”. ¿A qué hora es la cita? a) 12 a.m. b) 10 p.m. c) 7 a.m. d) 9 p.m. e) 11 p.m. Solución: Problema 4 Dentro de 4 h se verificará que el tiempo transcurrido del día será 8/3 de lo que falta por transcurrir, más 2 horas. ¿Qué hora será cuando transcurran a partir de estos momentos cierta cantidad de horas numéricamente igual a la décima parte del ángulo que forman las agujas actualmente (sexagesimales)? a) 9: 00 p.m. b) 2:00 p.m. c) 6:00 p.m. d) 8: 00 pm e) 10:00 p.m. 1 día < > 24 h Tiempo transcurrido Tiempo que falta transcurrir Hora exacta Tiempo transcurrido Tiempo que falta transcurrir Hora exacta Hora ( 1 ) Hora ( 2 ) Dentro de 10 min Tiempo transcurrido Lo que faltará para las 11, pero dentro de 10 min. 0 : 00 11: 00 a.m. 5x 10 3x 6 11 horas <>11 60 min. <> 660 min. Aquí está la hora exacta Esto es 6 menos 3 que los 5x 5 Aquí está la hora exacta Dentro de 40 min Tiempo transcurrido desde la 1:00 a.m. hasta hace 40 min. Lo que falta para las 4:00 a.m. pero dentro de 40 min. 0 : 00 4 :00 a.m. x 40 min 3 horas < >3 60 min. < > 180 min. 40 min x Hace 40 min Horas Transcurridas Horas por transcurrir 0:00 24:00 a b 1 día <> 24 horas a b Aquí está la hora pedida Solución: Del enunciado, podemos construir el siguiente gráfico: PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS: Surgen como consecuencia del funcionamiento de aquellos relojes defectuosos (malogrados), los cuales registran adelantos o retrasos respecto a la hora señalada por un reloj de funcionamiento normal. Para este tipo de problemas debemos tener en cuenta las siguientes relaciones: Hora Real=Hora Marcada Adelanto Hora Real=Hora Marcada+Atraso Para que un reloj vuelva a marcar la hora exacta sus manecillas deben estar en la misma posición, esto ocurrirá cuando el horario dé una vuelta completa, por ello tendrían que transcurrir 12 horas de adelanto o atraso (720 minutos). Problema 1 A partir de las 10 a.m. de hoy lunes, un reloj empieza a atrasarse por cada hora, 3 minutos. ¿Qué hora estará marcando el día martes a las 6 pm? a) 3:26 p.m. b) 4:24 p.m. c) 5:06 p.m. d) 3:56 p.m. e) 4:21 p.m. Solución: . OBS Puedes utilizar la regla de tres para tener el atraso total: x 3 min 32=96 min Luego se tiene que: Hora marcada = Hora real Atraso Total = 6:00 pm 96 min = 4: 24 p.m. Rpta. Problema 2 Un reloj se adelanta 1 min por hora, si empieza correctamente a las 12 del mediodía del día jueves 16 de setiembre. ¿Cuándo volverá el reloj a señalar la hora correcta? a) 10 de octubre b) 16 de octubre c) 30 de setiembre d) 4 de octubre e) 20 de octubre Solución: OBS Si uno hace girar en cualquier sentido las manecillas hasta que el horario complete una vuelta, retornando a la posición en que se encontraba se verá que dicho reloj, continúa marcando la hora correcta. Problema 3 Un reloj se adelanta 7 minutos cada hora y otro se atrasa 13 minutos cada hora, ambos relojes se ponen a la hora a las 12 del día ¿Después de cuánto tiempo el primero estará alejado 30 minuos respecto al otro? a) 20 min b) 70 min c) 90 min d) 15 min e) 315 min Horas Transcurridas Horas por transcurrir 0:00 24:00 8x 2 1 día <> 24 horas 3x La hora dentro de 4 horas Hora que marca un reloj que se atrasa. Hora Real Hora que marca un reloj que se adelanta ATRASO TOTAL ADELANTO TOTAL 10 : 00 a.m. 6 : 00 p.m. tiempo transcurrido 32 horas Lunes Martes Atraso Total Tiempo Transcurrido 3 min 1 H x min 32 min Tiempo Transcurrido Adelanto Total 1 H 1 min x 720 min Solución: El primer reloj se adelanta 7 minutos en 1 hora El segundo reloj se atrasa 13 minutos en 1 hora Entonces se puede concluir que en una hora los dos se alejarán: 7 13 20min Problema 4 Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2 horas y otro se adelanta 2 minutos cada hora, si se malograron en el mismo instante. A partir de este último momento, después de cuántos días volverán a marcar simultáneamente la hora correcta. a) 20 b) 45 c) 120 d) 60 e) 95 Solución: Debemos encontrar un tiempo en que ambos se distorsionan 12 H o un múltiplo de 12 H, pero primero hallemos por separado el tiempo en que se adelantan o se atrasan 12 H o 720 min. Primer reloj Segundo reloj Luego marcará la hora correcta cada 20 días y el otro cada 15 días; por lo tanto para que ambos coincidan en marcar la hora correcta, deberá transcurrir un tiempo común que contenga exactamente a 20 y 15, el cual será: MCM 20,15 60 Rpta. NOTA: Unl caso sería, que ambos relojes coincidan con la hora marcada y otro es que marquen ambos la hora correcta (que en algunos casos pueden coincidir) Problema 5 Según una leyenda hace mucho tiempo existía un pueblo que el día lo dividía en 8 horas y cada hora en 80 minutos. Si ellos indicaban que eran las 5 horas con 30 minutos, ¿Qué hora sera realmente según un reloj actual? a) 4:30 p.m. b) 4:20 a.m. c) 6:30 p.m. d) 5:30 p.m. e) 4:7’30’’ p.m. Solución: 3 43 5 H 30 min <> 5 H+ H H 8 8 Luego: TE QUIERO VER: 1. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj, a las: 12 h 20 min? a) 98º b) 125º c) 110º d) 136º e) 240º 2. Hallar el suplemento del complemento del ángulo que forman las manecillas a las 4:20 p.m. a) 90º b) 100º c) 110º d) 80º e) 170º 3. Entre las 4 y las 5, a qué hora por primera vez se forma un ángulo de 65º. a) 4 h 10 min b) 7 4 h 33 min 11 c) 4 h 35 min d) 5 4 h 35 min 11 e) 3 4 h 29 min 11 4. ¿Cuántos minutos después de las 3 horas se forma un ángulo de 53º, luego que el minutero sobrepasó al horario? a) 20 min b) 22 min c) 18 min d) 26 min e) 16 min 5. Heber le dice a su enamorada:”Te espero en el lugar de siempre, cuando después de las 8 p.m. las manecillas de mi reloj estén en línea recta”. ¿A qué hora exactamente es la cita? a) 8 8 h 10 min 52 s 11 b) 9 h 10 min 50 s c) 8 h 15 min d) 8 9 h 10 min 52 s 11 e) 6 8 h 10 min 54 s 11 6. El examen semanal del GRUPO PRE empieza a las 4:15 p.m. y debe terminar entre las 6 y las 7 p.m., cuando las manecillas del reloj de la academia formen un ángulo de 40º por segunda vez. ¿Cuánto tiempo dura el examen? a) 2 h b) 2 h 15 min c) 2 h 20 min d) 2 h 25 min e) 2 h 10 min 7. Rosita se dirige a su trabajo, cuando las manecillas de su reloj están superpuestas entre las 8 y las 9 a.m., y llega a su trabajo entre las 2 y las 3 p.m. ¿en cuánto tiempo Rosita llego a su trabajo? a) 2 h b) 3 h c) 4 h d) 6 h e) 7 h 1 Tiempo Transcurrido Atraso Total 2 H 3 min T 720 min 2 Tiempo Transcurrido Atraso Total 41 H 2 min T 720 min Actual Antigüedad 24 H 8 43 x 8