Critics Velocities at axis- FE, Rayleight and Dunkerley's Method

UNIVERSIDAD DE CHILEFA C U LTA D D E C I E N C I A S F Í S I C A S Y MATEMÁTICAS D E PA R TA M E N T O I N G E N I E R Í A M E C Á N I C A CO NT R OL 3 ELEMENTOS DE MÁQUINAS ME5500 Alberto Baeza Barrera pedro Pino TOrres 4. Desprecie la masa del eje en sus cálculos. El módulo de elasticidad del acero es 30 x 106 psi. Desprecie la masa del eje en sus cálculos. determine un diámetro adecuado en forma analítica y verifique mediante una modelación por elementos finitos en el programa ADINA. y del método de elemento finito.ÍNDICE DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA El eje de acero mostrado en la Fig. 1 opera a una velocidad de 650 rpm. Desprecie la masa del eje en sus cálculos PROFESOR A L E J A N D R O O R T I Z B E R N A D I N . Investigue sobre los métodos de Dunkerley y Rayleigh para responder de manera fundada. Comente sobre la validez de las ecuaciones de Dunkerley y de Rayleigh. 3. Determine la velocidad crítica del eje mediante una modelación por elementos finitos utilizando el programa ADINA. Determine la velocidad crítica del eje utilizando las ecuaciones de Dunkerley y de Rayleigh. ¿Es aceptable por criterio de velocidad crítica el eje presentado en la Figura 1? Si no lo es. 2. Muestre claramente las condiciones de borde (desplazamientos/rotaciones y fuerzas) consideradas. En un informe presente el desarrollo de los siguientes puntos: 1. 08 x 10−4 [ pulg ][5] 6 EIL lbf δ 22= 30 x 60 2 ( 90 −602−302 ) ≅5. viendo que el eje corresponde a un cuerpo elástico. por lo cual los coeficientes de influencia corresponden a δ 11= 70 x 20 2 ( 90 −702−202 ) ≅ 3.7854 ) ( 90 ) ≈1. tenemos que su inercia es I= π d 4 π 24 = ≅ 0.21E-04 5.09 x 10−4 [ pulg ][6] 6 EIL lbf Y gracias al teorema de reciprocidad de Maxwell. que en este caso serían los cojinetes.08E-04 3. debida a una carga unitaria en la ubicación j del eje.7854 [ pulg 4 ] [3] 64 64 Para cálculos posteriores es útil ocupar la calcular la siguiente expresión 6 EIl=( 6 ) ( 30 x 10 6 ) ( 0.207 x 10−4 [ pulg ][7 ] 6 EIL lbf Resumiendo 1 2 δ [pulg/lbf] 1 2 3. Es fácil observar que este problema corresponde a uno del tipo que poseen apoyos simples con cargas intermedias. las cuales corresponden a las deflexiones transversales en la ubicación i de un eje. tenemos que δ 12=δ 21= 30 x 20 ( 902−20 2−302 ) ≅3.2723 x 1010 [lbf ∙ pulg3 ][4] Luego. se utilizan coeficientes de influencia.09E-04 .21E-04 3.06[ rad ][2] s Dada las condiciones geométricas del eje.R E S U LTA D O S PREGUNTA 1 Por enunciado tenemos que el módulo de Young corresponde a E=30 × 106 [ psi ] [1] Además se nos indica que el eje gira a una velocidad angular igual a ω=650 [ rpm ] ≅ 68. 06264 [ pulg ] [8] y 2=δ 21 w 1+ δ 22 w2=0.09[ ][13] 0.Una vez obtenidos los coeficientes de influencia. es directo calcular las deflexiones.856 [ lbf ∙ pulg ][ 11] ∑ wi yi2=120∗0. la velocidad crítica según Rayleigh es ω1 = √ [ ] 386. obtenemos .06264+80∗0. para luego reemplazarlas en [10] ∑ wi yi =120∗0.9731 s min VELOCIDAD CRÌTICA –DUNKERLEY La expresión para la velocidad crítica según Dunkerley es n 1 1 = [14] 2 ∑ ω1 i=1 ωii 2 El término ωii en estos momentos es desconocido para nosotros.856 rad rev ≅74.079242 ≅0.9731 [ lbf ∙ pulg2 ] [ 12 ] Reemplazando ambas sumatorias.374 =929.87 [16] w1 δ 11 s min g rad rev ≅ 97. sin embargo.20 =975.07924=13. reemplazando [16] y [17] en [14].06264 2+ 80∗0.151 =708. mediante las siguientes expresiones y 1=δ 11 w1 +δ 12 w 2=0.07924 [ pulg ] [9] VELOCIDAD CRÌTICA . mediante los coeficientes de influencia es fácilmente obtenible ω 1 = i δ ii [15] 2 g ωii ω11 = ω22 = √ √ [ ] [ ] [ ] [ ] g rad rev ≅102. el método de Rayleigh para masas concentradas establece que ω1 = √ g∑ w i yi [10] ∑ w i y i2 Con el fin de simplificar los cálculos se calcularan las dos sumatorias por separados.RAYLEIGH En el caso de un ensamble de elementos.1∗13.5 9 [17] w 2 δ 22 s min Finalmente. Para esto. A continuación. Para la modelación en ADINA se hace uso del elemento “Beam”. Las condiciones de borde aplicadas sobre las “uniones” entre los distintos elementos se representan con una letra “B” y son tal que permiten rotaciones y desplazamiento en el eje Y. la cual es uniforme a lo largo de todo el eje. El valor obtenido para la frecuencia natural se encuentra entre los dos valores obtenidos de manera teórica.01∗10−4 [ 18 ] 2 ∑ 2 ω1 i=1 ωii ω1 ≅ √ [ ] [ ] 10000 rad rev ≅ 70. Estas condiciones se pueden apreciar con una letra “C” en la figura XX. cual se divide el eje en 3 secciones diferentes. de.49 ≅673. 08 [19] 2. y se muestra a continuación: ω adina=72. Las condiciones de borde impuestas en los dos extremos permiten la rotación solamente en el eje Z.01 s min PREGUNTA 2 Para desarrollar esta pregunta se hace uso del método del elemento finito con la ayuda del software ADINA. seleccionando una sección circular de diámetro 2 [in]. lo cual tiene como consecuencia la existencia de 3 densidades diferentes para cada sección de la viga.4 [ ] rad [18] s . se pueden observar imágenes de la modelación realizada en ADINA: Figura xx: Eje de Acero modelado en ADINA.2 1 1 = ≅ 2. donde las cargas de los cojinetes se modelan como masas pertenecientes a la viga. en pos de calcular la frecuencia natural del eje. es posible determinar las deflexiones dadas por y 1=F 1 δ 11 + F 2 δ 12[19] y 2=F 1 δ 21 + F 2 δ 22 [20] Las cuales pueden surgir producto del peso de los cojinetes como este caso. si se deja esbozar ciertas ideas sobre la validez de esta ecuación. escritas con las fuerzas de inercia. Al referirse a la última parte en donde se estudia la velocidad crítica según Dunkerley. o de las fuerzas centrifugas mi ω 2 y i . buscaremos la velocidad crítica para un eje con dos cargas. se dice a modo de conclusión que: “…Si se desprecia el término o los términos de modo superior. 372.374. VELOCIDAD CRÌTICA –DUNKERLEY De modo análogo al anterior. se tienen 4 coeficientes de influencia. se hace una breve acotación. se revisó el libro guía en el cual. en comparación a la ecuación anterior. …”. El conjunto de ecuaciones anteriores. es posible observar que en la pag. Para notar la causa raíz. pag. la velocidad crítica según Dunkerley es una medida subestimada de la velocidad crítica real del eje. δ 12 . a modo de primer acercamiento a los antecedentes de las ecuaciones utilizadas para encontrar las velocidades críticas. como el de este informe  Para un sistema de dos cargas. en otras palabras.PREGUNTA 3 VELOCIDAD CRÌTICA – RAYLEIGH Al revisar el libro guía del curso. se representan como . sin embargo no se profundiza o se hace mención a las razones de este comportamiento. δ 21 y δ 22 . la cual dice “… La ecuación de Rayleigh sobreestima la velocidad crítica. los cuales para este caso serán δ 11 .  A partir de los coeficiente de influencia. la estimación de la primera velocidad crítica es menor de lo que en realidad sucede…”. . el y 1 e y 2 . m (¿¿ 1 δ 11−1/ω 2) ¿ m ¿ m2 δ 12 (¿¿ 2 δ 22−1/ω2 ) m1 δ 21 |¿|=0 [23 ] Lo que significa que una deflexión distinta de cero solo existe en los valores definidos de ω . . deben ser determinante de los coeficientes de cero (problema del valor característico).=0 [25 ] 2 ω ω ( ) ( ) Las raíces de esta ecuación pueden escribirse como 1/ ω2 2 1 1 − 2 2 ω ω1 O bien y . Para evitar la solución trivial y 1= y 2 . En consecuencia nuestra ecuación podría escribirse como ( 1/ω12 )( 1 1 − 2 =0[26] 2 ω ω2 ) . δ11 + m2 ω y 2 δ 12 [21] 2 2 y 2=m1 ω y1 δ 21 +m 2 ω y 2 δ 22 [22] Estas se pueden re-escribir como m m (¿ ¿2 δ 12 ) y 2=0 (¿¿ 1 δ 11 −1/ω2 ) y 1 +¿ ¿ m m 2 (¿ ¿ 2 δ 22−1/ω ) y 2=0 (¿ ¿ 1 δ 21 ) y 1 +¿ ¿  El conjunto de ecuaciones tiene dos ecuaciones simultaneas en términos de y 1 e y 2 . Expandiendo el determinante se obtiene m1 δ 11 m2 δ 22− m1 δ 11 ω 2 − m2 δ22 2 ω + 1 −m1 δ 12 m 2 δ 21=0 [24] 4 ω 1 2 1 −( m1 δ 11 +m 2 δ 22 ) 2 +.2 2 y 1=m1 ω y 1 . en las velocidades críticas. Así. 2 1 1 1 − + 2 2 2 ω ω1 ω 2 ( ) ( 1 +. . ω1 puede aproximarse mediante 1 1 1 = 2 + 2 [ 30 ] 2 ω1 ω 11 ω 22 Despreciando de esta manera 1 . De esta manera la ecuación [29] se puede reescribir como ` 1 1 1 1 + 2 = 2 + 2 [ 29 ] 2 ω1 ω2 ω11 ω22  El siguiente paso que se hace es ordenar las velocidades ω1 <ω 2 . lo cual tiene un efecto de ω22 subestimación de la velocidad crítica real para el eje . .=0 [ 27 ] 2 ω )( ) Comparando las ecuaciones [27] y [25] se observa que 1 1 + 2 =m1 δ 11 + m2 δ 22 [ 28 ] 2 ω1 ω2 La velocidades críticas estarían dada por 1/ ω11 2=m1 δ 11 y 1/ω222=m2 δ 22 . por lo que imponen a modo de aproximación que la primera velocidad critica o fundamental. Seguidamente ven que al críticas de modo que ordenar de esta forma se cumple que 1/ ω12 >> 1/ω22 . VELOCIDAD CRÍTICA – MÉTODO NUMÉRICO (FE) . fuesen valores que netamente dependieran del diámetro del eje.78 [ ¿ ] Obteniendo las siguientes velocidades críticas  Dunkerley ω1 =136 . fue necesario crear una planilla de cálculo en el cual las velocidades críticas según Dunkerley y Rayleigh. . Luego de realizar la tabla. expresada en [rad/s]. lo cual es una forma conservadora de diseñar un eje. ya que el caso crítico es para la velocidad crítica según Dunkerley. Como sabemos de la pregunta 3. por lo cual cumplir la condición de seguridad según esta velocidad crítica es un poco más difícil en comparación con Rayleigh. con el nuevo diámetro obtenido. 27 [ ] rad s Luego de esto y a modo de verificación. hasta encontrar un valor que cumpliera con el criterio de seguridad para ambos valores de las velocidades críticas. es por esto. para de esta manera proceder a iterar manualmente. Al verificar si la configuración estudiada cumplía con el criterio de seguridad anteriormente mostrado. la velocidad crítica según Dunkerley es menor que lo que en realidad sucede. Para poder rediseñar el eje. la cual da un valor de: ω n=137 [ ] rad s La cual cumple estrictamente con el criterio de seguridad. se rediseña el eje en ADINA. 18  [ ] rad s Rayleigh ω1 =143. y se calcula nuevamente la frecuencia natural. por lo cual fue inmediato realizar un rediseño del eje. fue posible percatarse que éste no lo hacía. se comenzó a iterar hasta que se encontró que el valor para el diámetro que satisfacía el criterio de seguridad es d n=2. que hubiese dado lo mismo fijarse si para ambos valores de velocidad crítica cumplía.PREGUNTA 4 Por el criterio de seguridad expresado en el libro guía se tiene que la velocidad de operación debe cumplir con: 2∙ ω operación ≤ ω 1 (X ) Donde ω1 representa la frecuencia natural de la barra obtenida mediante ADINA. favor revisar la planilla de cálculo Excel adjunta.Para un mayor detalle y entendimiento de los cálculos realizados y criterios expuestos. .