Estadística.Clase Práctica: Problemas Aplicando el Teorema de Bayes Nombre________________________________________ Objetivo: Modelando los problemas y con una calculadora en línea resolver ejercicios de probabilidades aplicando el teorema de Bayes Teoría Planteo del Teorema de Bayes El teorema de Bayes, enunciado por el filósofo inglés Thomas Bayes y publicada por primera vez en 1763, parte de una situación en la que ocurran una serie de sucesos Ai que son una partición completa de un espacio muestral Ω y donde P (Ai) 0. Pero también dentro del mismo espacio muestral existe un suceso B, tal que P (B) 0, y que las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso A i que haya ocurrido. Ver Diagrama. A1 A2 B An Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai . Se resalta que al disponer información de B se cambian las probabilidades de Ai. El teorema se presenta algebraicamente de la siguiente manera: P(B\Ai )P(Ai ) 𝑃(𝐴𝑖 \𝐵) = n ∑i=1 P(B\Ai )P(Ai ) Página 1 Ejercicios. Antes de resolver los ejercicios debe plantear el mismo en forma de “diagrama” donde se observe las dos variables del modelo y sus probabilidades. Ejemplo Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. (probabilidad Total) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? 1. Abrimos la plantilla de Bayes en Visio (doble clic sobre el archivo de la plantilla) Página 2 2. Comenzar a editar la plantilla con la información del ejercicio. Recuerde que los las probabilidades de los eventos que suman 1 van fuera del circulo, y dentro las que no necesariamente suman 1 y corresponden al suceso. La probabilidad que va al centro es la probabilidad Total, o la probabilidad de que cualquier pieza no importa de que maquina sea defectuosa. Máquinas 0.45 0.30 0.25 Defectuoso = 0.038 0.03 0.04 0.05 A B C 3. Vaya a la calculadora e bayes en línea http://www.ugr.es/~jsalinas/bayes.htm Página 3 4. En la calculadora coloque en la primera columna las probabilidades de los eventos (que suman 1) y en la segunda columna las probabilidades del suceso (que no necesariamente suma 1) Si solo hay dos o tres eventos, no elimine el cero de las casillas que no utilice porque la calculadora no funciona entonces. 5. Presionamos en Calcular Pr(Ai/B) que es lo que estamos buscando, el otro botón es para cuando no ocurre el suceso. Página 4 6. Con esta información podemos contestar las preguntas. Responda con todas las palabras necesarias que esta en una computadora no en el cuaderno así que no hay problema con el gasto de papel y tinta. Las preguntas planteadas inicialmente fueron: Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. (probabilidad Total) La probabilidad que cualquier pieza elegida al azar sea defectuosa es de 0.038 o 3.8% Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. La probabilidad que la pieza defectuosa haya sido producida por la máquina B es de 0.32 o 32% ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? La máquina que tiene la mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es la máquina A con 0.36 o 36% Página 5 Ejercicio B El reporte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el día de mañana: que llueva: probabilidad del 50%, que salga el sol: probabilidad del 30% y que esté nublado: probabilidad del 20%. Según estos posibles estados meteorológicos y datos históricos de comportamiento vehicular, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: si llueve: probabilidad de accidente del 20%, si sale el sol: probabilidad de accidente del 10% y si está nublado: probabilidad de accidente del 5%. Si se sabe que ocurrió un accidente, ¿Cuál es la probabilidad de que haya llovido? ¿Cuál es la probabilidad de que haya salido el sol? ¿Cuál es la probabilidad de que haya estado nublado? Ejercicio C Enigma S.A., empresa de manufactura, utiliza tres líneas de producción diferentes, A1, A2 y A3, para fabricar un componente en particular. De los fabricados por la línea A1, 5% necesita volver a trabajarse para corregir un defecto, en tanto que 8% de los componentes de A2 necesitan volver a trabajarse para corregir un defecto y 10% de los de A3 necesitan volver a trabajarse para corregir un defecto. Se sabe que el 50% de todos los componentes son producidos por la línea A1, en tanto que 30% son producidos por la línea A2 y el 20% vienen de la línea A3. Si un componente seleccionado al azar necesita volver a trabajarse para corregir un defecto, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la línea A1? Ejercicio D Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97. Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero Página 6 supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas. ¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética? Ejercicio E. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña. Ejercicio F. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? . Construir los diagramas de cada problema en Visio Resolver los problemas usando la siguiente Calculadora Digital en Línea http://www.ugr.es/~jsalinas/bayes.htm y subir el informe en Word al grupo de la clase. Página 7