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Cours de ProbabilitésA. HAILY 1 Probabilités 1.1 Notion d’événement aléatoire . I La théorie des probabilités est la discipline mathématique qui a pour but l’étude des phénomènes aléatoires, c’est à dire les phénomènes liés au hasard. I Une expérience aléatoire, par exemple : tirage d’une carte, lancement d’un dé, etc..., est une action qui débouche sur plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir à l’avance. I En économie et dans les sciences sociales on rencontre de nombreux exemples de phénomènes aléatoires : évolution d’un population, bénéfices d’un société, cours d’une action en bourse, etc... I Lors d’une expérience aléatoire, chaque résultat possible est une éventualité ou épreuve qui peut se réaliser ou non. On convient de noter toutes ces éventualités (réalisées ou non), par un ensemble Ω, E, etc... . Par exemple, lors du jet d’un dé, les éventualités sont l’apparition des chiffres 1,2,3,4,5, ou 6. L’ensemble de toutes ces éventualités est alors Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} I Un événement est un ensemble d’éventualités issues d’une expérience aléatoire. On convient de noter les événements par des lettres A, B, C, . . .. Exemple 1.1.1 Expérience aléatoire : jet d’un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 jusqu’à 6. Evénement A : ’apparition du chiffre 6’, on note A = {6} Evénement B : ’apparition d’un chiffre pair’, on note B = {2, 4, 6}. Evénement C : ’apparition d’un chiffre < 4’ on note C = {1, 2, 3}. IUn événement peut être certain, par exemple apparition d’un chiffre plus petit ou égal à 6, c’est l’ensemble de toutes les éventualités Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. IUn événement peut être impossible, il n’a alors aucune chance de se réaliser, on le note ∅, ensemble vide. Par exemple’ apparition du chiffre 7. 1.2 Opérations sur les événements Si A et B sont des événements alors : A et B noté aussi A ∩ B, est la réalisation simultanée de A et de B. A ou B noté aussi A ∪ B , est la réalisation de A ou de B. non A ou A, est l’événement contraire ou complémentaire de A. Le contraire de l’événement certain est l’événement impossible. Le contraire de l’événement impossible est l’événement certain. On a les règles suivantes : non(non A) = A. non(A et B) = nonA ou nonB. non(A ou B) = nonA et nonB. Exemple 1.2.1 Dans le jet d’un dé on considère les deux événements : A, le nombre obtenu est pair, A = {2, 4, 6}. B, le nombre obtenu est ≥ 3, B = {3, 4, 5, 6}. L’événement ’A et B’ est {4, 6}. L’événement ’A ou B’ est {2, 3, 4, 5, 6}. l’événement ’non A’ est {1, 3, 5}. L’événement ’obtenir un nombre > 6’ est impossible, c’est ∅. L’événement ’obtenir un nombre ≤ 6’ est certain, c’est Ω. 1  I Deux événements sont dits incompatibles ou exclusifs, si A et B est l’événement impossible ∅, c’est à dire ne se réalisent pas simultanément. Par exemple ’avoir un chiffre pair’ et ’avoir un chiffre impair’ lors d’un lancer de dé, ne peuvent pas se réaliser simultanément. 1.3 Notion de Probabilité Lors d’une expérience aléatoire, la probablité d’un événement est la mesure des chances que cet événement puisse se réaliser. Par exemple, lorsqu’on lance une pièce de monnaie équilibrée, on a 50% des chances d’avoir face et 50% des chances d’avoir pile. On dit que la probabilité d’apparition de pile et aussi celle de face est égal à 1/2. I Soit une expérience aléatoire dont l’événement certain est noté Ω. Une probabilité sur Ω est une fonction P qui à chaque événement A associe un nombre P (A) compris entre 0 et 1, telle que : 1 - P (Ω) = 1. 2 - Plus généralement, si A1 , A2 , . . . , An , ... est une suite d’événements deux à deux incompatibles, alors P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ...) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + (An )... Cas particulier, si A et B sont deux événements incompatibles, alors P (AouB) = P (A) + P (B). Propriétés : 1 - Pour tous événements A et B tels que A ⊂ B, on a P (A) ≤ P (B), en particulier 0 ≤ P (A) ≤ 1. 2 - P (∅) = 0. 3 - P (non A) = 1 − P (A). La probabilté de la non réalisation de A. 4 - P (A ∩ non B) = P (A) − P (A ∩ B). C’est la probabilité de réalisation de A mais non celle de B. 5 - Si A et B sont deux événements quelconques alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 1.4 Exemple fondamental : Probabilité Uniforme On suppose qu’on se place dans une expérience aléatoire avec un nombre fini n d’issues Ω = {ω1 , . . . , ωn }, 1 et que tous les événements élémentaires ωi ont la même probabilité. On a par conséquent P ({ωi }) = et si A n est événement, alors card(A) P (A) = card(Ω) ou encore Nombre de cas favorables P (A) = Nombre de cas possibles Exemple 1.4.1 Dans un sac, on dispose de 10 boules numérotées de 1 à 10 indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard, quel est la probabilté qu’elle porte un numéro supérieur ou égal à 7 ? Ici toutes les boules ont la même probabilité d’apparition, donc la probabilité est uniforme. Par ailleurs, l’événement cherché est A = {7, 8, 9, 10}. La probabilité de réalisation de A est nombre d’éléments dans A 4 2 P (A) = = = nombre d’éléments dans Ω 10 5 Exemple 1.4.2 2 On lance deux dés numérotés de 1 à 6. Quelle est la probabilité que la somme des numéros obtenus soit égale à 7? Ici le nombre nombre de cas possible est 36, les cas favorables sont (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Donc 6 1 la probabilité cherchée est = . 36 6 Remarque Dans beaucoup de problèmes, la probabilité est mise sous une forme d’une proportion ou un pourcentage, par exemple, dire que 1% d’une population est atteinte d’une maladie, cela veut dire que la probabilité qu’une personne soit atteinte de cette maladie est égal à 1/100 = 0, 01. 1.5 Probabilité conditionnelle I On considère l’expérience aléatoire suivante : On lance un dé dont les 6 faces sont numérotées de 1 à 6 et on considère l’événement A ’le chiffre obtenu est ≤ 3’ et l’événement B ’le chiffre obtenu est ≤ 5’. La probabilité de l’événement A est égale à 1/2. Si maintenant on est informé que l’événement B s’est réalisé, cette probablité devient 3/5. I Donc la probabilité d’un événement peut varier selon la réalisation ou non d’un autre événement. Une information supplémentaire peu faire varier la probabilté. D’où la notion de probabilité conditionnelle, c’est la probabilité de réalisation de A en tenant compte de la réalisation de B. I Soient A, B deux événements avec P (B) 6= 0. On appelle probablité conditionnelle de A sachant B, c’est à dire sachant que B est réalisé, le nombre P (A ∩ B) P (A|B) = P (B) De même on a P (A ∩ B) P (B|A) = P (A) Donc on a P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A) Exemple 1.5.1 On jette deux dés. Sachant que les numéros obtenus sont différents. Quelle est la probabilité que leur somme soit égale à 8 ?. Soit A l’événement ’la somme des chiffres est 8’, B l’événement ’les deux chiffres sont distincts’. On demande 4 30 4 2 de calculer P (A|B). On a P (A ∩ B) = et P (B) = . Par suite, P (A|B) = = . 36 36 30 15 Remarque. La probabilité conditionnelle vérifie les propriétés d’une probabilité ordinaire. En particulier, si A B et C sont des événements, on a P (A ∪ B|C) = P (A|C) + P (B|C) − P (A ∩ B|C) P (A ∩ non B|C) = P (A|C) − P (A ∩ B|C) 1.6 Indépendance Deux événements A et B sont dits indépendants, si la réalisation ou non de l’un n’influe pas sur la proba- bilté de réalisation de l’autre, i.e. même si on suppose que B est réalisé, la probabilité de A ne change pas : P (A) = P (A|B), on a donc : 3  A et B sont indépendants ⇔ P (A ∩ B) = P (A)P (B) Exemple 1.6.1 On jette deux dés (ou de deux pièces de monnaies) équilibrés , évidemment les résultats des deux dés sont 1 1 1 indépendants. La probabilité d’avoir 2 six est . = . 6 6 36 Exemple 1.6.2 1 1 1 la probabilité d’avoir deux filles ou deux garçons dans une famille de deux enfants est . = . 2 2 4 I Attention : ne pas confondre événements indépendants et incompatibles. 1.7 Les deux types de tirages Soit un sac contenant 3 boules blanches et 4 noirs. On tire une première boule puis une deuxième. Calculer la probabilités que les deux boules soient blanches. Considérons les deux événements : A’la première boule tirée est blanche’ B’la première boule tirée est blanche’ L’événement dont on cherche la probablité est A et B. En utilisant les probabiltés conditionnelles on a : P (A ∩ B) = P (A).P (B|A) 3 On a P (A) = . Le calcul P (A).P (B|A), dépend du fait si la première boule tirée est remise ou non dans le 7 sac. On va considérer ces deux cas : I La boule est remise dans le sac, on a P (B|A) = P (B), les deux tirages sont indépendants, la probablité 3 3 9 cherchée est P (A ∩ B) = . = . 7 7 49 I la boule n’est pas remise dans le sac, si A est réalisé, il ya alors une boule blanche en moins dans le sac, la probablité du deuxième tirage dépend du premier et on a P (B|A) = 26 . La probabilté cherchée est alors 3 2 6 1 P (A ∩ B) = . = = . 7 6 42 7 A retenir : Tirages avec remise = Tirages indépendants Tirages sans remise=Tirages dépendants 1.8 Formule des probabilités totales I On considère une expérience aléatoire d’événement certain Ω. Deux événements H1 , H2 sont dits complémentaires, s’ils sont incompatibles et l’un deux se réalise à chaque épreuve, i.e. H1 ou H2 = Ω, l’événement certain. Plus généralement, des événements H1 , . . . , Hn sont dits complémentaires, s’ils sont 2 à 2 incompatibles et tels que H1 ou H2 ou . . . ou Hn = Ω. I Soit H1 , . . . , Hn des événement complémentaires et A est un événement quelconque, on a la formule suivante dite des probablités totales : P (A) = P (A|H1 )P (H1 ) + . . . + P (A|Hn )P (Hn ) Cas particulier, n = 2. On a Ω = H1 ou H2 . On a alors : P (A) = P (A|H1 )P (H) + P (A|H2 )P (H2 ) 4 Exemple 1.8.1 Dans une usine on dispose de deux machines A e B qui fabriquent un certain type de pièces. La machine A fabrique 60% des pièces et B fabrique les 40% restants. On remarque que 10% des pièces fabriquées par A sont défectueuses alors que 8% des pièces fabriquées par B sont défectueuses. Une pièce est prise au hasard à la sortie de l’usine, quelle est la probabilité qu’elle soit défectueuse ? On considère les événements : A ’ la pièce est fabriqué par A. B ’ la pièce est fabriqué par B. D ’ la pièce est défectueuse’. Les données sont P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 4, P (D|A) = 0, 1, P (D|B) = 0, 08. Par ailleurs, on a A ou B = Ω, car toutes les pièces sont fabriquées soit par A soit par B. D’autre part, A et B = ∅. D’où : P (D) = P (D|A)P (A) + P (D|B)P (B) = 0, 1 × 0, 6 + 0, 08 × 0, 4 = 0, 06 + 0, 032 = 0, 0932 On prend une pièce au hasard et on constate qu’elle est défectueuse, avec quelle probabilité provient-elle de la machine A ? P (D|A)P (A) 0, 06 Ici on demande de calculer P (A|D) = = ≈ 64, 4% P (D) 0, 0932 5 2 Analyse combinatoire Introduction L’analyse combinatoire est la discipline qui s’intéresse au dénombrement des dispositions possibles d’un certain nombre d’objets. L’analyse combinatoire répond à la question suivante : De combien de façons possibles peut-on ranger p objets parmi n ? Une disposition est caractérisée par deux paramètres : l’ordre et la répétition. 2.1 Arrangements sans répétition On appelle arrangement (sans répétition) de p éléments parmi n toute disposition ordonnée sans répétition de p éléments. Par exemple les arrangements de 2 objets parmi a, b, c sont ab, ac, ba, ac, ca, cb. Le nombre d’arrangements de p éléments parmi n est égal à n! Apn = (n − p)! (n! = 1 × 2 × 3 × . . . × n, par convention 0! = 1) 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, .... Exemple 2.1.1 Pour accéder à une base de données il faut taper un mot de passe constitué par 4 lettres différentes de l’alphabet latin. Combien de mots de passe peut-on avoir ? Chaque mot de passe est un arrangement de quatre lettres ¤¤¤¤ parmi 26, car il y a un ordre et pas de 26! répétition. Le nombre de mots de passe possibles est par conséquent égal à A426 = = 26.25.24.23 = 258800 22! Donc si on tape au hasard un mot de 4 lettre, on a une chance sur 258800 de tomber juste sur le mot de passe de cette base de données. La probabilité de tomber juste est de 1/258800 Exemple 2.1.2 12 candidats se présentent aux élections d’un conseil d’administration comportant 8 places différentes. Combien de listes possibles y-a-t-il ? Chaque liste possible est un arrangement de 8 candidats parmi 12. Le nombre de listes possibles est 8 12! A12 = = 12.11.10.9.8.7.6.5 = 19958400. 4! 2.2 Permutations Le cas particulier où n = p, un arrangement est alors appelé permutation. Les permutations de a, b, c sont abc, acb, bac, bca, cab, cba. Le nombre de permutations de n objets est égal à n! Exemple 2.2.1 On dispose de 4 chaises numérotées. De combien de façons possibles peut-on placer 4 personnes sur ces chaises ? Ce nombre est celui des permutations de 4 objets, c’est 4! = 24. Les 4 ! = 24 permutations de 4 éléments distincts a, b, c, d : sont abcd bacd cabd dabc abdc badc cadb dacb acbd bcad cbad dbac acdb bcda cbda dbca adbc bdac cdab dcab adcb bdca cdba dcba. 6 2.3 Combinaisons Une combinaison de p éléements parmi n est une disposition non ordonnée sans répétition de p éléments parmi n, c’est à dire un sous ensemble de p éléments d’un ensemble à n éléments. Par exemple les combinaisons de deux éléments parmi a, b, c, d sont : {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d} ¡n¢ Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est noté p ou Cnp ¡ ¢ n! où Cnp = np = p!(n − p)! Exemple 2.3.1 Quel est le nombre de trinôme possibles qu’on peut former avec 18 étudiants. Chaque trinôme est une combinaison de 3 étudiants parmi 18 (Il n ya ni ordre ni répétition). D’où le nombre 18! 18.17.16 de trinômes est Cnp = = = 816. 3!15! 6 2.4 Arrangements avec répétition On appelle arrangement avec répétition de p éléments parmi n, toute suite ordonnée avec répétition de p éléments parmi n. Les arrangements avec répétition de deux éléments parmi a, b, c sont : aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc. Le nombre d’arrangements avec répétition de p éléments parmi n est égal à np Exemple 2.4.1 Pour accéder à une base de données on doit taper 4 lettres. Combien de mots de passes existe-il ? Chaque mot de passe est un arrangement avec répétition de 4 lettres parmi 26. Le nombre total de mots de passe est 264 = 456976. 7 3 Variables aléatoires discrètes 3.1 Notion de variable aléatoire Soit Ω un espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle (en abrégé v.a.r), est une application de Ω dans R, telle que pour tout nombre réel, l’ensemble {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} soit un évèénement. Exemple 3.1.1 1 - Soit Ω l’ensemble des étudiants d’une classe. On définit une variable aléatoire X par X(ω) est la note obtenue dans un contrôle par l’étudiant ω. 2 - Le nombre de voitures qui passent dans une autoroute en une journée 3 - Le temps d’attente devant un guichet d’une banque. 3.2 Variables aléatoires discrètes Définition 3.1 Une variable aléatoire X est dite discrète, si l’ensemble des valeurs qu’elles prend forment un ensemble discret : X(Ω) = {x1 , x2 , . . . xk , . . .}. Si X est une v.a.r discrète, on pose alors P (X = xk ) = pk . On dit alors que les nombres p1 , p2 , . . . , pk , . . ., définissent la distribution de probabilité ou la loi de probabilité de X. Lorsque l’ensemble des valeurs de X est fini, x1 , . . . , xn , avec une distribution p1 , p2 , . . . , pn , on peut mettre sa distribution sous forme d’un tableau. x1 x2 ... xn p1 p2 ... pn Notons que p1 + p2 + . . . = 1. Exemple 3.2.1 Soit l’expérience qui consiste à jeter deux fois une pièce de monnaie et de noter le nombre de faces obte- nues. Ce nombre noté X, c’est une variable aléatoire sur l’ensemble Ω = {(F, F ), (F, P ), (P, F ), (P, P )}. On a : X(F, F ) = 2, X(F, P ) = X(P, F ) = 1, X(P, P ) = 0. On obtient le tableau suivant : xk 0 1 2 1 1 1 pk 4 2 4 Exemple 3.2.2 Cas ou l’ensemble des valeurs de X est infini Un sac contient 3 boules blanches et 2 noires indiscernables. On tire au hasard une boule si elle est noire on la remet dans le sac et on recommence, si elle est blanche on s’arrête. Soit X le nombre de tirages nécessaires pour tirer une boule blanche. X est une variable aléatoire dont les valeurs sont 1, 2, . . . , n, . . .. 2 La probabilité de tirer à chaque fois une boule noire est. Soit l’événement la boule blanche est tirée au 5 k-ème coup, c’est NNNN...NB (k − 1 fois N et 1 fois B). On a alors P (X = k) = 25 52 ... 25 53 = 35 ( 25 )k−1 8 3.3 Moyenne, variance et écart-type Soit X une variable aléatoire discrète dont la distribution est définie par P (X = xk ) = pk . On appelle espérance ou moyenne de X, le nombre : Si l’ensemble des valeurs de X est fini, on pose : Pn E(X) = k=1 pk xk = p1 x1 + . . . + pn xn Si l’ensemble des valeurs de X est infini, on pose : P+∞ E(X) = k=1 pk xk Exemple 3.3.1 Soit la variable aléatoire discrète de répartie selon le tableau suivant : xk 0 1 2 1 1 1 pk 4 2 4 1 1 1 Alors E(X) = .0 + .1 + .2 = 1. 4 2 4 Exemple 3.3.2 Dans une classe de 25 étudiants, les notes d’un contrôle sont réparties comme suit : Notes xk 6 8 10 11 12 14 16 18 Nombre d’étudiants ayant la note xk 2 3 4 3 5 3 3 2 Soit la variable aléatoire X(ω)=note obtenue par l’étudaint ω. Son espérance est : 1 E(X) = (2.6 + 3.8 + 4.10 + 3.11 + 5.12 + 3.14 + 3.16 + 2.18) = 11, 80 25 C’est ce qu’on appelle la moyenne de la classe. Propriétés de l’espérance mathématique Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes et a, b deux nombres réels. On a : E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) E(αX) = αE(X) E(αX + b) = αE(X) + b On appelle variance de X le nombre réel positif : V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 9  3.4 Les principales lois discrètes . 1 - Loi uniforme discrète. On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur {x1 , x2 , . . . , xn } si 1 pour tout k on a pk = . n Dans la loi uniforme, tous les événements élémentaires ont la même probabilité de réalisation. Par exemple 1 le jet d’un dé équilibré tous les chiffres de 1 à 6 ont la même probablité d’apparition qui est égale à pk = 6 2 - Loi binômiale. B(n, p) On appelle experience aléatoire élémentaire, une expérience qui a deux issues : le succès avec la probabilité p et l’echec avec une probabilité q = 1 − p. 1 5 Par exemple on jette un dé la probablité d’avoir un 6 est p = , la probabilité du contraire est q = 1 − p = . 6 6 On répète n fois la même expérience élémentaire indépendamment l’une de l’autre, on note X la variable aléatoire nombre de succès obtenues, alors la loi de X est donnée par : pk = P (X = k) = Cnk pk q n−k n! Pour k = 0, 1, . . . , n et Cnk = k!(n − k)! On dit alors que X suit la loi binômiale B(n, p) On alors E(X) = np et Var(X) = npq. Exemple 3.4.1 On lance 5 fois un dé et on considère la X la variable aléatoire ’nombre de 1 obtenus’. Ici X suit une loi binômiale avec n = 5 et p = 61 . La probabilité d’obtenir 3 fois le chiffre 1 est : P (X = 3) = C53 ( 16 )3 ( 56 )2 = 10 × 25 65 ≈ 0, 032 3 - Loi de Poisson de paramètre λ. Pλ . C’est la loi définie pour tout k ∈ N par λk pk = P (X = k) = e−λ k! E(X) = λ et Var(X) = λ. Exemples de phénomènes qui suivent une loi de Poisson : - Nombre de clients servis dans un guichet. - Nombre de voitures qui passent dans une autoroute durant une journée. etc... C’est aussi la loi des événements rares, par exemple nombre d’accidents ou les effets secondaires des médicaments (pharmacovigilance). Exemple 3.4.2 10 Le nombre de clients servi par un guichet en une heure suit une loi de Poisson de parmètre 5. Quelle est la probabilité que 3 clients soient servis ? 53 Reponse : P (X = 3) = e−5 ≈ 0, 14 3! Propriété importante Si une variable aléatoire X suit une loi binômiale B(n, p), et si n est assez grand, p assez petit, np n’est pas très grand, on peut approcher la loi de X par la loi de Poisson de paramètre λ = np. Pratiquement on peut faire cette approximation dès que n > 30, p < 0, 1 et np < 15. Exemple 3.4.3 On suppose que 2% des articles produits par une usine sont défectueux. Soit X la variable aléatoire ’nombre d’article defecteux dans un échantillon de 100 articles’. Calculer, en justifiant, la probabilité que dans un échantillon de 100 articles il y en a 3 défectueux. La loi de X est binômiale. On a n = 100 > 30, p = 0, 02 < 0, 1, np = 2 < 15. Doncvon peut approcher la loi 23 de X par la loi de Poisson de paramètre λ = 100 × 0, 02 = 2. D’où P (X = 3) = e−2 ≈ 0, 18. 3! 11 4 Variables aléatoires Continues 4.1 Lois continues, fonction de répartition Soit X une variable aléatoire. On appelle fonction de répartition, la fonction F : R → R, définie par F (x) = P (X ≤ x). On a P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a). Une variable aléatoire X est dite continue, s’il existe une fonction positive intégrable f telle que Z x F (x) = f (t)dt −∞ On a alors f (x) = F 0 (x) la dérivée de F lorsque celle-ci existe. Si X est une variable aléatoire continue de fonction de répartition F , alors on a : P (X ≤ b) = F (b) P (X ≥ a) = 1 − F (a) P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) Rx L’espérance de X est égale à E(X) = −∞ tf (t)dt. La variance Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 . 4.2 Lois continues usuelles . 1 - Loi uniforme continue sur [a, b], notée U [a,b] . On dit qu’une v.a. X est uniforme sur l’intervalle [a, b], si sa fonction de répartition est donnée par :   0x − a  si x ≤ a F (x) = si x ∈ [a, b]  b−a  1 si x ≥ b a+b (b − a)2 E(X) = , Var(X) = . 2 12 12  2 - Loi exponentielle de paramètre λ notée Eλ On dit qu’une v.a. X est uniforme sur l’intervalle [a, b], si sa fonction de répartition est donnée par : ½ 0 si x < 0 F (x) = 1 − e−λ.x si x ≥ 0 1 1 E(X) = , Var(X) = 2 . λ λ La loi exponentielle est usuellement utilisée dans les phénomènes d’attente, la durée de vie, etc... Exemple 4.2.1 La durée de vie d’un matériel électronique est une variable aléatoire exponentiellev moyenne 5 ans. Quelle est la probabilté que le matériel dure plus de 6 ans. 1 1 On a ici une loi exponentielle de paramètre λ. On donne la moyenne qui est m = 5 = . D’où λ = = 0, 2. λ 5 6 − La probabilté cherchée est P (X ≥ 6) = 1 − F (6) = e 5 = 0, 30. 3 - Loi normale de moyenne m et d’écart-type σ notée N (m, σ 2 ) On définit d’abord la fonction gaussienne Z x 1 t2 Π(x) = √ e− 2 dt 2π −∞ Usuellement les valeurs de Π sont données dans des tables. On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type σ notée N (m, σ 2 ), si sa fonction de répartition est donnée par : x−m F (x) = Π( ) σ E(X) = m, Var(X) = σ. La loi normale est l’une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires. Elle est aussi utilisée dans les mesures les défauts de fabrication etc.. 13  Intégrale Π(t) de la Loi Normale Centrée Réduite N (0, 1). Z t 1 x2 Π(t) = P (X ≤ t) = √ e− 2 dx et Π(−t) = 1 − Π(t). −∞ 2π t 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 14 Exemple 4.2.2 Une usine fabrique des barres de fer dont la longueur est une loi normale de moyenne 20 cm et d’écart-type 0,5 cm. Quelle est la proportion des barres de longueur est supérieure à 21 cm ? x−m Soit X la variable aléatoire longueur de la barre. La fonction de répartition de X est F (x) = Π( )= σ x − 20 Π( ) 0, 5 1 On cherche P (X > 21) = 1 − F (21) = 1 − Π( ) = 1 − Π(2) 0, 5 La table de la loi normale donne Π(2) = 0, 9772, donc P (X > 21) = 0, 0228. 4 - Loi de Pareto de paramètre x0 et α > 0, Par(x0 , α) On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Pareto de paramètre α > 0, si sa fonction de répartition est donnée par : ½ 0 si x < x0 F (x) = 1 − ( xx0 )α si x ≥ x0 Domaine d’application de la loi de Pareto, par exemple en économie la distribution des revenus dans un pays. Autres domaines d’application : distribution des ordinateurs en fonction de diverses mesures de leur taille (taille de la mémoire centrale, taille de la mémoire du disque dur), distribution des centraux téléphoniques privés en fonction du nombre de postes connectés. Exemple 4.2.3 Dans un pays le revenu en dollars par habitant suit une loi de Pareto Par(200, 1.5). Quelle est la proportion d’habitants ayant un revenu inférieur à 350 dollars ? 200 1,5 Réponse : P (X < 350) = 1 − ( ) ≈ 0, 57. 350 15  Exercices Exercice 1 On considère les ensembles : E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {0, 3, 6, 9, 12} 1 - Déterminer A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A. 2 - Si X ⊂ E, note X̄, le complémentaire de X dans E. Déterminer A ∩ B et Ā ∪ B̄. Comparer ces deux ensembles. Exercice 2 Les étudiants de 1ère année ont le choix entre deux options obligatoires. 840 étudiants sont inscrits à la première option et 620 sont inscrits à la seconde. Par ailleurs, 60 étudiants plus courageux se sont inscrits aux deux options. Combien d’étudiants la promotion comporte-t-elle ? Exercice 3 Les 120 éttudiants d’une section ont passé trois contrôles : Maths, Physique et Informatique. 70 étudiants ont obtenu la moyenne en maths, 60 en Physique, 65 en Informatique, 50 en Maths et Physique, 40 en Maths et Informatique, 30 en Physique et Informatque et 20 dans les trois contrôles. Calculer : 1 - Le nombre d’étudiants qui n’ont obtenu la moyenne dans aucun des trois contrôles. 2 - Le nombre d’étudiants qui ont obtenu la moyenne dans un seul contrôle. 3 - Le nombre d’étudiants qui ont obtenu la moyenne dans exactement deux contrôles. Exercice 4 On tire 3 cartes d’un jeu de 32. Combien de mains (combinaisons de 3 cartes) contiennent au moins un co eur ? Exercice 5 Combien de plaques d’immatriculation de véhicules peut-on former si chaque plaque contient deux lettres différentes suivies de trois chiffres différents ? Même problème mais en interdisant que le premier chiffre soit un 0. Exercice 6 Un cadenas à numéros a trois roues, chacune porte les numéros 0 à 9. Combien de ”nombres” secrets y a-t-il ? Exercice 7 D’un tas de 52 cartes, on tire une carte on ne la remet pas dans le tas puis on tire une deuxième carte. Combien de tirages possibles y a-t-il ? Exercice 8 Un resturant propose un menu contenant une entrée, un plat principal et un dessert. Pour l’entrée le client à le choix entre une soupe ou une salade. Pour le plat principal le choix entre viande, poulet ou poisson. Pour le dessert il y a le choix entre yaourt, crème carmel ou un fruit. 1 - Combien y a-t-il de menus possibles ? 2 - Si dans le restaurant il y a 19 clients, montrer que au moins deux clients ont commandé le même menu. Exercice 9 Un mot est une chaı̂ne formée de 32 bits. Combien y-a t-il de mots possibles ? Exercice 10 16 Dans une classe de 11 garçons et 9 filles on doit choisir 3 d’entre eux pour représenter la classe à un concours inter-écoles. 1 - De combien de façons peux-on constituer l’équipe ? 2 - Idem si on impose de choisir un garçon et deux filles ? Exercice 11 Une association qui comprend 30 membres, dont 20 hommes et 10 femmes, va procéder à l’élection de son comité de direction. Il faudra élire un président, un secrétaire et un trésorier. Les postes ne sont pas cumulables. 1) Combien de comités différents sont possibles ?. 2) Combien de comités différents sont envisageables si on suppose au moins une femme dans le comité. Exercice 12 Une urne contient cinq boules blanches et quatre boules rouges indiscernables au toucher. 1. On tire successivement sans remise deux boules de l’urne. a) Combien y a-t-il de tirages possibles ? b) Combien y a-t-il de tirages possibles contenant deux boules rouges ? 2. Reprendre la première question, en supposant que les trois boules sont tirées simultanément. Comparer les résultats obtenus dans les deux questions. Exercice 13 Trois boules sont tirées d’un sac contenant des boules blanches et des boules rouges. Soient les événements : A=”la première boule est blanche” ; B=”la deuxième boule est blanche” ; C=” la troisième boule est blanche”. Exprimer les événements suivants en terme de A, B et C : D=” toutes les boules sont blanches ”, E=” les deux premières sont blanches”, F=” au moins une est blanche”, G=” une boule au plus est blanche”, H=”toutes les boules sont rouges” K=” seulement la troisième est blanche”. Exercice 14 Un jeu de toto foot consiste à prévoir les résultats de dix matchs de football en inscrivant les prévisions sur une feuille réponse. Pour chaque match trois résultats sont possibles : victoire d’une équipe, victoire de l’autre équipe, match nul. Quelle est la probabilité de gagner si on a joué une feuille ? Exercice 15 On fait remplir un questionnaire à 20 questions binaires. Quelle est la probabilité qu’un candidat répondant au hasard obtienne au moins 16 bonnes réponses ? Exercice 16 Deux joueurs jouent successivement à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée. Le gagnant est celui qui obtient face le premier. Quelle est la probabilité que le premier qui a commencé gagne ? Exercice 17 Dans le jeu du Loto où il faut cocher 6 numéros parmi 49, calculer la probabilité des événements suivants : i) ”Avoir exactement 3 bons numéros sur 6”. ii) ”Avoir exactement 4 bons numéros sur 6”. iii) ”Avoir exactement 5 bons numéros sur 6, sans le complémentaire”. iv) ”Avoir exactement 5 bons numéros sur 6 ainsi que le numéro complémentaire”. v) ”Avoir les 6 numéros”. 17 Exercice 18 Un sac contient 3 boules blanches et 7 noires. On tire successivement 3 boules sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir les trois boules blanches ? Exercice 19 On étudie une maladie rare qui atteint 1 individu sur 1000. On met au point un test pour détecter si un individu est infecté par la maladie. Lorsqu’ un individu est malade, le test a une probabilité de 0.99 de se révéler positif. Si un individu n’est pas porteur de la maladie, le test a une probabilité 0.98 de l’identifier comme tel. On teste un individu et le résultat est positif. 1) Quelle est la probabilité que l’individu ainsi testé soit effectivement infecté ? 2) Le test est-il efficace ?. Exercice 20 Dans un pays la population active comprend 44,7% de femmes. Le taux de chômage chez les hommes est 10,8% ; il est chez les femmes 14,3% . On tire au sort une personne parmi les actifs. a) Avec quelle probabilité est-elle au chômage ? b) Sachant qu’elle est au chômage, avec quelle probabilité est-ce une femme ? Exercice 21 Pour juger de l’éfficacité d’une compagne publicitaire ayant porté sur un produit, on a sondé 1500 personne ; 1000 dans la région du Nord et 500 dans la région du sud. Les résultats sont : Région connaissent le produit connaissent le produit ne connaissent pas et le consomment et ne le consomment pas le produit Nord 80 150 770 Sud 50 130 320 Calculer les probabilités suivantes : 1. Probabilité de connaı̂tre le produit. 2. Probabilité de connaı̂tre le produit et le consommer. 3. Probabilité de connaı̂tre le produit et ne pas le consommer. 4. Probabilité d’être du nord. 5. Quelle est la probabilité pour qu’une personne qui connaisse le produit soit consommatrice de ce produit ? 6. Quelle est la probabilité pour qu’une personne prise au hasard du sud ne connaisssent pas le produit ? Exercice 22 Avec quelle probabilité une famille de 3 enfants comporte-t-elle au moins un garçon ? Exercice 23 1 Trois tireurs tirent sur une cible indépendamment l’un de l’autre. Chacun a une probabilité de 3 d’atteindre la cible. Quelle est la probabilité que la cible soit atteinte par au moins l’un des trois tireurs. Exercice 24 Une compagnie d’assurance répartit les assurés en 3 classes : personnes à bas risque, risque moyen et haut risque. Ses statistiques indiquent que la probabilité qu’une personne soit impliquée dans un accident sur une période d’un an est respectivement de 0,05, 0,15 et 0,30. On estime que 20 % de la population est à bas risque, 50 % à risque moyen et 30 % à haut risque. 1. Quelle est la proportion d’assurés qui ont eu un accident ou plus au cours d’une année donnée ? 2. Si un certain assuré n’a pas eu d’accidents l’année passée, quelle est la probabilité qu’il fasse partie de la classe à bas risque ? Exercice 25 18  Une variable aléatoire X est répartie selon le tableau suivant : xk 1 2 3 4 pk 0.1 p1 p2 0.3 Déterminer p1 et p2 sachant que E(X) = 2.7. Exercice 26 On dit qu’une variable aléatoire discrète X suit une loi uniforme sur l’ensemble {x1 , x2 , . . . , xn }, si P (X = 1 xk ) = . n Soit X une variable aléatoire discrète uniforme sur {1, 2, . . . , n} Calculer E(X) et σ(X). Exercice 27 On lance deux dés équilibrés, on note X la variable aléatoire qui donne le plus grand des deux numéros apparus. 1 - Donner sous forme de tableau la loi de probablité de X. 2 - Calculer son espérance et son écart type. Exercice 28 Les notes d’un contrôle continu d’une classe sont réparties selon le tableau suivant : Notes 6 8 10 11 12 13 15 18 Nombres d’étudiants 2 4 6 4 4 5 3 2 Calculer la moyenne de la classe et son écart type. Exercice 29 On lance 5 fois un dé équilibré. Soit X la variable aléatoire nombre de 6 obtenus. Trouver la loi de X, calculer son espérance et son écart type. Exercice 30 Un contrôle rigoureux des ampoules électriques fournies par un atelier a permis de constater que sur 14 760 ampoules, il y avait 738 ampoules défectueuses. Soit X le nombre des ampoules défectueuses figurant dans un lot de 60 ampoules. 1. Indiquer la loi de probabilité de X. 2. Quelle est la probabilité d’avoir plus de 3 ampoules défectueuses dans un lot de 60 ampoules ? 3. Quelle est la probabilité d’avoir 78 ampoules bonnes dans un lot de 80 ampoules ? Exercice 31 Une compagnie d’assurance automobile gère 100 polices. On admet que chaque automobiliste a une probabilité de 0,004 d’avoir un accident durant l’année. Soit X la variable aléatoire qui désigne le nombre d’accidents en- registrés. 1. Indiquer la loi de probabilité de X. 2. Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X. 3. Chaque accident coûte à la compagnie 4000dhs ; soit la variable aléatoire Y qui désigne le coût annuel total. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance mathématique et son écart type. 19 Exercice 32 Le service ” Accidents de circulation ”d’une société d’assurance, déclare qu’en une journée donnée, la société enregistre en moyenne 4 accidents dans la zone urbaine et 2 accidents en milieu rural. Soit X la variable aléatoire, qui désigne le nombre d’accidents enregistrées dans le milieu urbain en une journée, et Y la variable aléatoire qui désigne le nombre d’accidents enregistrées dans le milieu rural en une journée. 1. Calculer la probabilité pour que la compagnie enregistre en une journée donnée 3 accidents dans le milieu urbain. 2. Calculer la probabilité pour que la compagnie enregistre en une journée donnée plus de 2 accidents dans le milieu rural. 3. Calculer la probabilité pour que la compagnie enregistre en une journée donnée un total de 4 accidents (dans les deux milieux urbain et rural). 4. Chaque accident dans le milieu rural coûte à la compagnie 4 000DH, et 5 000DH dans le milieu urbain. Calculer le coût moyen à la compagnie en une journée, sa variance et son écart type. Exercice 33 On jette simultanément 2 dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 1 - Quelle est la probabilité d’obtenir un double 6 ? 2 - Quelle est la probabilité d’obtenir deux numéros dont la somme est 4 ? 3 - On appelle S la somme des deux numéros obtenus. Donner la loi de probabilité de S. Calculer l’espérance mathématique de S. Exercice 34 Dans une urne, il y a une 30% de boules noires et 70% de boules blanches. On tire une boule au hasard, si elle est noire on arrête, sinon, on la remet dans l’urne et on recommence. Soit X la v.a. donnant le nombre de tirages nécessaires pour s’arrêter. Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance. Exercice 35 On suppose que dans un livre de 500 pages, il y a 300 erreurs d’impression distribuées au hasard. On note X le nombre d’erreurs contenu dans une page ouverte au hasard. 1 - Quel est la loi de probabilité de X ? 2 - Calculer la probabilités que la page contient exactement deux erreurs. 3 - Calculer la probabilités que la page contient au moins deux erreurs. Exercice 36 On suppose que 2% des articles produits par une usine sont défectueux. Calculer la probabilités que dans un echantillon de 100 articles il y en a 3 défectueux. Exercice 37 1 La probablité qu’un tireur atteint une cible est égale à . 3 1 - Si le tireur tire 5 fois, quelle est la probabilité qu’il atteigne la cible au moins 2 fois ? 2 - Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité d’atteindre la cible soit plus grande que 0.9 ? Exercice 38 20 Un fabricant d’ordinateurs portables souhaite vérifier que la période de garantie qu’il doit associer au disque dur correspond à un nombre pas trop important de retours de ce composant sous garantie. Des essais en laboratoire ont montré que la loi suivie par la durée de vie, en années, de ce composant est la loi exponentielle de moyenne 4. 1. Préciser la fonction de répartition de cette loi ainsi que son espérance E(X) et son écart type σ. 2. Quelle est la probabilité qu’un disque dur fonctionne sans défaillance plus de quatre ans ? 3. Quelle est la probabilité qu’un disque dur fonctionne sans défaillance six ans au moins, sachant qu’il a fonc- tionné déjà cinq ans. 4. Quelle est la probabilité que la durée de vie appartienne à l’intervalle : [E(X) − σ, E(X) + σ] ? 5. Pendant combien de temps, 50 % des disques durs fonctionnent-ils sans défaillance ? 6. Donner la période de garantie optimum pour remplacer moins de 15 % des disques durs sous garantie. Exercice 39 On admet que le nombre d’accidents survenant quotidiennement sur une autoroute est une v. a. de Poisson de paramètre 3. a. Quelle est la probabilité qu’il survienne 3 accidents ou plus lors d’un jour donné ? b. Même question si l’on sait qu’un accident au moins a eu lieu. Exercice 40 On veut tester un échantillon de taille n d’un grand lot de pneus. On estime que 5% des pneus présentent un défaut. Trouvez la taille n pour que la probabilité de n’observer aucun pneu défectueux dans l’échantillon soit d’environ 10% ? Exercice 41 Dans une ville, la consommation journalière d’eau (en millions de litres) est une variable aléatoire dont la fonc- tion de répartition est donnée par F (x) = 0 si x < 0 et x x −x F (x) = 1 − e− 2 − e 2 , si x ≥ 0 2 1 - Quelle est la probabilité que la consommation journalière de cette ville ne dépasse pas 5 millions de litres ? 2 - Si la ville ne peut fournir plus de 8 millions de litres par jour, quelle est la probabilité qu’une journée, la ville ne puisse répondre à la demande ? 3 - Quelle devrait être la capacité journalière de la ville pour que la probabilité de répondre à la demande soit de 95% ? Exercice 42 La durée de vie d’une certaine composante électronique est distribuee normalement avec une moyenne 2000 heures et un écart type 250 heures. Le fabriquant offre une période de garantie de 75 jours. Chaque pièce re- tournée engendre une perte de 200 dh et chaque pièce non retournée engendre un gain de 200 dh. a) Quelle est la proportion de composantes retournées ? b) Quel est le gain espere par pièce ? c) Quelle doit être la période de garantie du fabriquant s’il veut au maximum 5% de retour et quel est la gain espere dans ce cas ? Exercice 43 La distribution d’un type de résistances est normale. 10% des resistances excedent 9,25 ohms et 5% ont une résistance inferieure a 8,5 ohms. Quelles sont la moyenn et l’écart type ? 21 Exercice 44 Un entrepreneur doit estimer le temps nécessaire à l’execution d’un travail. Les incertitudes dues au marché du travail, à l’approvisionnement en matériaux, aux mauvaises conditions atmosphériques . . . constituent une inconnue. Néanmoins, il affirme qu’il a une probabilité de 10 % de réaliser le travail en plus de 190 jours et une probabilité de 5 % que le travail soit terminé en moins de 50 jours. Soit X la variable aléatoire, supposée normale, désignant le nombre de jours nécessaires à l’exécution du travail. 1. Donner l’espérance et la variance de X. 2. Que vaut la probabilité que la durée du travail dépasse 200 jours ? Exercice 45 Sur une route principale où la vitesse est limitée à 80 km/h, un radar a mesuré la vitesse de toutes les automobiles pendant une journée. En supposant que les vitesses recueillies soient distribuées selon une loi normale avec une moyenne de 72km/ h et un écart-type de 8 km/h, répondez aux questions suivantes. 1. Quelle est la proportion de conducteurs qui devront payer une amende pour excès de vitesse ? 2. Sachant qu’en plus de l’amende, un excès de plus de 30 km/h implique un retrait de permis, quelle est la proportion des conducteurs qui vont se faire retirer le permis parmi ceux qui vont avoir une amende ? 22