Cours de Plasticité des StructuresProf. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Master en Génie Civil Option : Structures ET Matériaux Cours : Plasticité des Structures Partie 1 Prof. Mimoune Fatima Z. & Prof. Mimoune Mostefa 1 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Partie 1 CRITERES DE PLASTICITE. Critères de plasticité (ou d’écoulement) : Un critère de plasticité est une relation contraintes entre les composantes du tenseur des agissant sur un élément du matériau et un ou plusieurs paramètres C définissant l’état actuel de cet élément (ex : Ecrouissage). Cette relation est telle que : , L’élément a un comportement élastique (À l’intérieur du domaine élastique). , L’élément est plastifié (sur la frontière). (Surface d’écoulement). On ne peut pas avoir cette situation (À l’extérieur du domaine élastique). La fonction f est appelée aussi Fonction de charge du matériau, Le critère de plasticité étant alors la condition . Les critères que nous allons présenter sont utilisés couramment pour les métaux, le béton, les sols. Ces critères sont déduits à partir d’essais. Il n’a jamais été démontré par la théorie que tel matériau doit répondre à tel critère particulier, d’équation donnée. Critères de TRESCA : Le critère de TRESCA s’exprime par : , 2 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Est égal au diamètre du cercle de MOHR. Donc ce critère est atteint en un point lorsque le cercle de MOHR est tangent aux droites d’équations , c’est-à-dire lorsque la contrainte de cisaillement maximale au point considéré est égale à . Le critère de TRESCA signifie que, la plastification se produit quand le cisaillement maximum (observable sur deux facettes) atteint la valeur critique . Cette signification à une résonance en termes de glissements cristallographiques. En traction pure on a : En cisaillement pur : donc : lorsque et Les facettes dont la normale fait un angle de Et avec les directions principales sont soumises au cisaillement maximum. Le critère est atteint lorsque cette contrainte de cisaillement pur vérifie : Dans le cas général de contraintes tri directionnelles, chacune des contraintes principales peut être la plus grande ou la plus petite , aussi dans l’espace des contraintes principales, le domaine d’élasticité défini par le critère de TRESCA est délimité par six plans d’équations : avec : 3 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa La surface frontière (Ou d’écoulement) du domaine est un prisme de génératrice parallèle, a la direction (à l’axe 1, 1 ,1) et de section droite constitué par un hexagone régulier de coté égal à : . (1,1,1) Le plan A à pour équation Le plan B à pour équation Le plan C à pour équation Etat plan des contraintes : C'est-à-dire : 4 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa La direction z est une direction principale . Notons contraintes principales. On considère six cas suivants relatives de - le critère s’écrit - le critère s’écrit - le critère s’écrit - le critère s’écrit - le critère s’écrit - le critère s’écrit et , et les deux autres . La frontière du domaine élastique (d’écoulement) est composée de six segments de droites, formant un hexagone, qui est par ailleurs l’intersection du cylindre de l’espace des contraintes principales avec le (Figure ci-dessous). Critère de TRESCA en contraintes planes (Frontière d’écoulement). 5 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Cercle de MOHR Physiquement les deux (2) faces correspondent à des régimes différents de déformation plastique. x z y a a b b a a 6 Cours de Plasticité des Structures Les plans excités Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa sont bissecteurs des directions y et z. Les glissements s’effectuents de préférances selon les plans excités, l’élément de matière s’allonge selon la direction y, se raccourciera selon la direction prévilégiée z ne se déforme pas selon x. x z y Plans excités sont bissecteurs des directions x et y . L’élément se déformera dans de le plan xy et ne se déformera pas selon la direction z. Détérmination de la frontière d’écoulement de TRESCA : Le critère est entièrement détérminé par un seul paramétre, , contrainte d’écoulement en traction simple. Cette simplicité vient des trois propriétés contenus impliciment dans le critère : - Isotropie de la matière. - Absence d’effet BAUSHINGER. - Plastification indépendante de la pression hydrostatique. Une expérience unique suffit à déterminer entièrement la surface d’écoulement. Autrement dit un essai de traction permet de connaitre le seuil de plasticité sous n’importe quel autre système de contraintes. 7 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Flexion d’une poutre avec cisaillement : Donc : G Critère de VON MISES : C’est le critère le plus utilisé, il est applicable à un corps plastiquement isotrope. Son expression dans un système d’axes quelconques : Et dans le système d’axes principaux : Dans l’espace des contraines principales, la frontière du domaine (surface d’écoulement) d’élasticité est un cylindre de section circulaire de rayon parallèle a la direction (1,1,1). 8 et de génératrice Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Le critère est entièrement détérminé par un seul paramètre , contrainte d’écoulement en traction simple. Une expérience unique suffit à détérminer entièrement la surface d’écoulement. Le critère de VON MISES signifie : la plastification se produit quand l’énergie élastique de distorsion emmagasinés à un instant donné. La pression hydrostatique ne joue aucun role dans la plastification. (1,1,1) (Claperon). En traction pure : Donc : En cisaillement pur : , 9 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Etat plan des contraintes : Ou dans les axes principaux : Équation d’une ellipse a 45 des axes. C’est l’intersection du cylindre de section circulaire avec le plan . Ce qui conduit au domaine d’élasticité represnté sur la figure ci-dessous : Poutre fléchie : 10 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Ecart entre les deux critères : Les deux critères (TRESCA et VON MISES) sont souvent utilisés pour les métaux : compte tenu de leur quasi équivalance , c’est la commodité des calculs qui fixe le choix beaucoup plus que la nature du matériau. On préfère pour l’acier, en général le critère de V.MISES, car le rapport entre la contrainte de plastification en traction pure et en cisaillement pur est plus proche de (V.MISES) que de 2 (TRESCA). Notion de contrainte tangentielle octaédrale : L’état de contrainte octaédrale est celui défini par rapport à la facette dont la normale par rapport au repère principal est appelée trisectrice. Critère de COULOMB : Le critère de Coulomb est donné sous la forme : , et : Contraintes principales en un point du corps. : Angle de frottement interne. : Cohésion. 11 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Ce critère est utilisé pour les sols. On peut remarquer que et représentent respectivement l’abscisse du centre est le rayon du cercle de Mohr. Lorsque les valeurs des contraintes satisfant la relation définissant le critère de COULOMB, le cercle de MOHR est tangent aux deux droites d’équation : Ces deux droites sont les enveloppes des cercles de MOHR limites, figure ci-dessous : c -c Fonction de charge (Surface de charge) : A chaque stade de la déformation il existe une limite actuelle d’écoulement (seuil actuel ) dépendant de l’histoire des déformations antérieures. On peut la respecter par : : Fonction de charge. : temps cinématique repérant les états succéssifs de l’élément. Si l’isotropie n’est pas conservée, la fonction f est representé dans un espace à 6 dimensions. 12 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Partie 2 COMPORTEMENT PLASTIQUE. La plasticité est la proprieté qu’ont certains corps de subir de grandes déformations sans se rompre. Les déformations plastiques apparaissent lorsque les contraintes dépassent un certain seuil dit LIMITE D’ECOULEMENT OU SEUIL DE PLASTICITÉ (Yield-Point). En théorie de plasticité le temps physique n’intervient pas au point de vue comportement (vitesse de déformation). Origine de la déformation plastique : Le solide est un assemblage de grains cristallins. La déformation plastique peut être due : Aux mouvements relatifs des grains (cas des terres), le frottement entre les grains explique l’irréversibilité des mouvements. Aux déformations permanentes des grains, c’est le cas des métaux et des roches, du moins à la température ordinaire. Les déformations des grains sont dues principalement à des glissements dans une direction de rangée atomique suivant des plans parallèles du réseau cristallin. Le glissement résulte de la propagation d’un défaut (dislocation) dans l’arrangement régulier du réseau (glissement progressif). Pour les cristaux métalliques, la résistance au glissement ne dépend pratiquement pas de la contrainte normale au plan de glissement. Essai de traction-compression (Effet BAUSHINGER) : Lorsque qu’on effectue un essai de traction avec plastification suivi d’un déchargement, le diagramme contrainte-déformation est comme indiqué aux figures 3.1 et 3.2 pour respectivement l’acier doux et l’acier à haute résistances. 13 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa B A C 0 B Fig. 3.1 : Acier ` Doux B A 0 C B` Fig.3.2 : Acier à haute résistance Dans les deux cas, le comportement est reversible, donc élastique le long de 0A mais aussi le long de BC, parallèle à 0A. Pour les deux aciers, au point B la déformation élastique est égale à la longueur du segment CB`. Cette partie reversible de la déformation s’annule en C lorsque la contrainte reprend la valeur zéro. La déformation plastique ne varie pas entre B et C et est égale à la longueur du segment OC. En tout point du trajet OABC, la déformation totale est la somme de la déformation élastique et de la déformation plastique : 14 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Lorsqu’on fait suivre le déchargement d’une compression, le diagramme est comme indiqué à la figure pour l’acier doux. Si la contrainte en compression : , on dira que l’écrouissage a été isotrope. B A 0 E Si la contrainte en compression : C , on dira qu’il y’a « Effet BAUSHINGER ». C’est un cas fréquent. Malgréé cela la théorie de la plasticité c’est surtout développé dans le formalisme de l’écrouissage isotrope. Effet BAUSHINGER : L’écrouissage est en général orienté. C’est pourquoi par suite de déformation plastique, le matériau acquiert ce que l’on appelle ANISOTROPIE DE DÉFORMATION. Une des manifestations de ce phènomène est l’effet BAUSHINGER qui consiste en ce que la déformation plastique préallable d’un signe diminue la résistance du matériau par rapport à la déformation plastique suivant du signe opposé. Ecrouissage : 15 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa En général la limite d’écoulement augmentre avec la déformation plastique (passage de A à B). On dit qu’il y’a ecrouissage ou durcissement. Dans un agregat polycristallin, il y’a des raisons supplémentaires de durcissement. La déformation plastique commence dans les cristaux les plus favorablement orientés , elle se pousuit ensuite, mais plus difficilement, danes les autres ; Les dislocations sont bloquées aux forntières des grains. Dans un sens plus général, le mot écrouissage désigne l’ensemble des modifications subies par les propriétés mécaniques du matériau par suite des déformations plastiques : Deux d’entre elle sont importantes : Une matière initialement isotrope devient anisotrope par suite de déformations qui deviennent importantes. Si la limite d’écoulement (Seuil de plasticité) se trouve augmenté pour une charge de même sens que celle qui a produit les déformations (passage de à ), en revanche elle est, en général diminuée en valeur absolue pour charge de sens opposé (passage de à ). Ce phénomène est appelé effet BAUSHINGER, qui est souvent important pour les petites déformations plastiques, s’attenue pour les grandes déformations. Modèles utilisés : On utilise souvent en pratique des modèles simplifiés : Le modèle élastique est parfaitement plastique (sans écrouissage). 16 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Dans lequel, les déformations augmentent beaucoup plus rapidement en fonction de la charge dans la phase plastique que dans la phase élastique. Le modèle rigide parfaitement plastique : dans lequel, les déformations élastiques sont négligées vis-à-vis des déformations plastiques. 0 Lois de la déformation plastique : En plasticité : * Il n’y a pas de rotation entre la déformation permanente totale (à partir de l’état neutre ou sans contraintes) et l’état de contraintes actuel. Supposons qu’on décharge une éprouvette de traction sur laquelle on a dépassé le seuil de plasticité, puis qu’on la recharge en torsion jusqu'à la limite d’écoulement nouvelle : On 17 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa modifie ainsi complètement l’état de contraintes sans qu’on change la déformation permanente. La déformation actuelle dépend essentiellement de l’histoire du changement (de l’ordre de succession des états de contraintes) ou plutôt du trajet de chargement, trajet suivi par le point entre l’état initial et l’état final. On peut établir une relation entre les accroissements infinitésimaux de contraintes (Lorsqu’on franchit la limite actuelle d’écoulement) et les déformations infinitésimales qui en résultent. Où : Les ne dépendent nullement des accroissements de contraintes Les . sont les déformations permanentes mesurées à partir de l’état actuel. : doit s’annuler pour toutes les vitesses de contraintes qui maintiennent l’état de contrainte à la limite d’écoulement, c’est-a-dire sont elle que : : Différentielle à écrouissage constant. On en déduit : D’où : Lorsque Tandis que : La relation (Charge). Lorsque (charge ou variation neutre). a une conséquence remarquable : Les accroissements de contraintes n’y figurent que par le scalaire 18 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Par conséquent, les directions principales de la déformation permanente et les rapports des dilatations principales ne dépendent nullement des accroissements de contraintes. Le tenseur est symétrique, puisque contraintes actuel est symétrique. Il dépend de l’état de et de l’écrouissage. Principe du travail plastique maximal (R.HILL 1951) : Dans la déformation plastique réelle, le travail des contraintes réelles est supérieure ou moins égal, à celui de tout autre tenseur de contraintes admissibles (c'est-à-dire tel que . Relation de PRANDTL-REUSS : Les problèmes de déformation plastique sont de deux types dans les uns, les déformations plastiques sont limitées par la présence de zones encore élastique, elles sont alors généralement du même ordre que les déformations élastiques. Dans les autres cette limitation n’existe pas. Dans le 2ème cas (écoulement plastique) on peut négliger les déformations élastiques vis-à-vis des déformations plastiques. Il n’en est pas de même dans le 1 er cas (déformations plastiques contenues ou élastoplastiques). P Zones plastiques locales Pour obtenir les déformations complètes, on doit ajouter aux déformations plastiques les déformations élastiques. Correspondant aux variations de contraintes. 19 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Or, les vitesses de déformation élastique peuvent s’exprimer sous la forme : On obtient alors pour les vitesses de déformation totale, dans le cas d’un corps écrouissable : si si ou et . . Dans le cas de l’isotropie, en adoptant le critère de V.MISES : ; (a) L’équation PRANDTL-REUSS 20 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Avec : Pour un corps écrouissable. Si et Pour le corps parfaitement plastique. Si et (Pas de paramètre d’écrouissage). Dans les autres cas. On peut écrire les variations de PRANDTL-REUSS en isolant la partie sphérique et la partie déviatrice : …… (b) ….. (c) : si Arbitraire si et et ; Pour le corps écrouissable. ; Pour le corps parfaitement plastique. Dans les autres cas. 21 Cours de Plasticité des Structures Prof. Mimoune Fatima Zohra & Prof. Mimoune Mostefa Par intégration des équations (a) ou (b) et (c), il est alors possible de calculer soit les déformations pour un trajet de charge imposé, soit les contraintes pour un trajet de déformation imposé. 22