CALCUL DES POUTRES CONTINUES DE PLANCHERSommaire 1. PREAMBULE : LES TYPES D’ANALYSE POSSIBLES SUIVANT l’EUROCODE 2 ............... 3 1.1 – L’analyse linéaire élastique (ELS et ELU) ............................................................................. 3 1.2 – L’analyse linéaire élastique avec redistribution limitée (ELU) .............................................. 3 1.3 – L’analyse plastique (ELU)...................................................................................................... 3 1.4 – L’analyse non linéaire (ELS et ELU) ..................................................................................... 3 2. – RAPPELS RdM FONDAMENTAUX ........................................................................................... 4 2.1 – Calcul des sollicitations dans une travée ................................................................................ 4 2.2 – Calcul des moments sur appuis : ............................................................................................ 5 3. – APPLICATION AUX POUTRES SELON L’EUROCODE 2 ...................................................... 6 3.1 – Cas de charges à prendre compte : ......................................................................................... 6 3.1.1 Charges permanentes : ........................................................................................................... 6 3.1.2 Charges d’exploitation : ......................................................................................................... 6 3.2 – Portées de calcul à prendre en compte : ................................................................................. 6 3.3 – Largeur des tables des sections en Té (EC2, §5.3.2.1) ........................................................... 8 3.4 – Ecrêtement des moments sur appuis :..................................................................................... 8 3.5 – Application : détermination des valeurs des moments maxi en travée et sur appuis pour une poutre de 2 travées de même longueur et chargée uniformément....................................................... 10 3.6 – Tableaux de résultats dans le cas particulier des poutres de travées de même portée .......... 12 4. – REDISTRIBUTION DES MOMENTS [EC2, § 5.5] ................................................................... 14 4.1 – pourquoi redistribuer les moments sur appuis ? ................................................................... 14 4.2 – Aspect réglementaire ............................................................................................................ 14 4.3 – Exemple 1 d’application de la redistribution des moments .................................................. 16 4.4 – Exemple 2 d’application de la redistribution des moments .................................................. 18 5. – COMMENT REDUIRE LES MOMENTS SUR APPUIS ? ........................................................ 20 5.1 – Prise en compte des déformations d’effort tranchant : ......................................................... 21 5.1.1 Principe : .............................................................................................................................. 21 5.1.2 Application à l’Exemple 2 précédent : ................................................................................. 21 5.2 – Prise en compte des inerties des sections en té. : .................................................................. 23 5.2.1 Principe : .............................................................................................................................. 23 5.2.2 Application à l’Exemple 2 précédent : ................................................................................. 25 Calcul des poutres continues de plancher – p. 1/28 Figures Fig. 1 – Numérotation des appuis et des travées .................................................................................................... 5 Fig. 2 – Portée utile Leff pour différentes conditions d’appui .................................................................................... 7 Fig. 3 - Définition de la distance forfaitaire entre points de moment nul Lo ............................................................. 8 Fig. 4 - Largeur participante de section en Té ......................................................................................................... 8 Fig. 5 – Moments dans l’axe de l’appui et au nu de l’appui .................................................................................... 9 Fig. 6 – Écrêtage du moment sur appui et diffusion de l’effort de compression dans l’appui ................................. 9 Fig. 7 – Poutres continues de même portée – Toutes travées chargées (charges permanentes) ....................... 12 Fig. 8 - Poutres continues de même portée – Travées impaires chargées .......................................................... 12 Fig. 9 - Poutres continues de même portée – Travées paires chargées .............................................................. 12 Fig. 10 – Poutres continues de même portée – Chargement par paires de travées adjacentes .......................... 13 Fig. 11 – Moments avant et après redistribution ................................................................................................... 16 Fig. 12 - Exemple de redistribution des moments ( = 0,8) et gain d’acier sur appui ........................................... 18 Fig. 13 - Exemple de redistribution des moments ( = 0,8145) et gain d’acier sur appui ..................................... 20 Fig. 14 - Exemple de redistribution des moments ( = 0,80) et gain d’acier sur appui ......................................... 28 Tableaux Tab. 1 – Équations des 3 moments ......................................................................................................................... 5 Tab. 2 – Charges permanentes – toutes travées chargées .................................................................................... 6 Tab. 3 – Charges d’exploitation : Exemple pour une poutre sur 5 appuis (n appuis = n combinaisons) ................ 6 Tab. 4 - Moments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement sur toutes les travées ............................................................................................................................................................. 12 Tab. 5 - Moments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement des travées impaires ................................................................................................................................................................. 12 Tab. 6 - Moments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement des travées paires ..................................................................................................................................................................... 12 Tab. 7 - Moments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement par couples de travées adjacentes ........................................................................................................................................... 13 Tab. 8 - Coefficient de redistribution : = Maprès/Mavant (Fig. 11 et Tab. 9) ......................................................... 15 MEd Tab. 9 - Coefficient de redistribution en fonction du moment réduit avant = avant redistribution .......... 15 2 bd fcd Tab. 10 – Valeurs des coefficients de souplesse et des rotations ........................................................................ 24 Calcul des poutres continues de plancher – p. 2/28 modèles de bielles et tirants). Cette analyse fait l’objet d’un cours ultérieur.1.5 (8) indique que « dans les bâtiments. On l’utilise notamment pour le calcul au flambement avec effets du second ordre (méthode d’intégration des courbures). les déformations d’effort tranchant peuvent être prépondérantes suivant la géométrie de la structure. Ces deux analyses font l’objet de ce cours.4 – L’analyse non linéaire (ELS et ELU) Ce calcul tient compte du comportement non linéaire du matériau.1 – L’analyse linéaire élastique (ELS et ELU) C’est le calcul qui suit la théorie de l’élasticité linéaire (de la RdM). 3/28 . NOTA concernant l’influence des déformations d’effort tranchant : Dans le cadre des méthodes définies précédemment.1. Calcul des poutres continues de plancher – p. L’Annexe Nationale complète cette prescription en précisant que ce point est vérifié si les hauteurs des poutres sont inférieures au cinquième de leur portée. 1. C’est un calcul particulièrement adapté au matériau « béton-armé » qui peut conduire à des économies notables. Cette redistribution permet d’économiser de l’acier sur appuis et est autorisée par le comportement du matériau « béton-armé » à l’ELU. les déformations des éléments linéaires et des dalles dues à l’effort tranchant et à l’effort normal peuvent être négligées lorsqu’on prévoit qu’elles seront inférieures à 10% des déformations de flexion ». Cette analyse fait l’objet d’un cours ultérieur. On prend en compte l’inertie non fissurée des sections et pour le béton on tient compte du module Ecm et des diagrammes contrainte-déformation linéaires. 1. PREAMBULE : LES TYPES D’ANALYSE POSSIBLES SUIVANT l’EUROCODE 2 1.2 – L’analyse linéaire élastique avec redistribution limitée (ELU) Ce calcul suit également la théorie de l’élasticité linéaire mais on procède à une redistribution limitée des moments sur appuis.3 – L’analyse plastique (ELU) Ce calcul peut être effectué pour des éléments suffisamment ductiles et permet d’envisager la création de mécanisme (méthode des lignes de rupture. L’Eurocode 2 §5. 1. 1] : M(x) = Moment à mi-travée pour des moments sur appuis M1 et M2 : Abscisse du point de moment maximal : xM = 0.5 = M0 + 1 2 2 Equation générale de la courbe M(x) des moments [eq.( MM 4M0 L M M .2.L2 8 p.5 + (M1 M2 ) 2 16M0 Abscisses des deux points de moments nuls : x0 = xM ± L Effort tranchant à l’abscisse x : V(x) = p. – RAPPELS RdM FONDAMENTAUX 2.x. 4/28 .x) + 2 1 L 2 Calcul des poutres continues de plancher – p.1 – Calcul des sollicitations dans une travée Notations pour ces rappels : p : charge uniforme sur la travée considérée L : portée de la travée considérée M1 : moment sur l’appui gauche de la travée en valeur algébrique M2 : moment sur l’appui gauche de la travée en valeur algébrique Moment isostatique : Moment à l’abscisse x : p.L dM(x) 0 dx MM = M0.(L x) Mx = pour M1 = M2 = 0 2 M0 = p.(L x) x x M1.(1 ) M2 .x.5 L + déterminé par résolution de Moment maximal en travée : M2 M1 8M0 . 2 L L M M M0. Charges uniformes totales Li L L L 1 p .L3 Mi-1 + 2 ( i + i1 ) Mi + i1 Mi+1 = . 0 L i1 E.(pi + pi+1) Mêmes inerties. 5/28 .g + d 5 Avec les coefficients de souplesse de la travée i : L i 2 x Li dx ai = 1 . 1 et Tab. Charges quelconques Li L L L Mi-1 + 2 ( i + i1 ) Mi + i1 Mi+1 = . i1(x)1 . Li E. 1 – Numérotation des appuis et des travées Tab. Suivant les différents cas de portés.6 E (g .d) Ii I i Ii1 Ii1 4 Inerties variables Charges quelconques bi Mi-1 + (ai+1 + ci) Mi + bi+1 Mi+1 = .2.I (x) bi = 1 .I (x) Calcul des poutres continues de plancher – p. pi i-1 d Li+1. Charges uniformes totales Mi-1 + 4 Mi + Mi+1 = . Charges uniformes totales L2 4 1 1 3 3 (pi Li + pi+1 Li1) 4 Mi-1 Li + 2(Li + Li+1) Mi + Li+1 Mi+1 = - 2 Inerties constantes. i i i1 i 1 4 Ii Ii1 Ii I i Ii1 Ii1 3 Inerties constantes.2 – Calcul des moments sur appuis : L’équation des trois moments entre dans le cadre de la méthode de calcul élastique à comportement linéaire de l’EC2. l’équation des trois moments est donnée par (Fig. moments d’inertie et charges.Ii (x) x L i x dx 2 x dx ci = . 0 L i E. 1 – Équations des 3 moments Mêmes portées et mêmes inerties.L3 p . 1) : g Li.Ii1(x) et Li x dx 0 i i g = i (x) . pi+1 i i+1 Fig. L E.Ii (x) 0 Li 0 i i E = module d'Young Ii = moment d'inertie constante de la travée i Ii(x) = moment d'inertie variable de la travée i L = portée identique pour toutes les travées Li = portée de la travée i Mi = moment sur l'appui i pi = charge répartie uniforme sur la totalité de la travée i i(x) = moment de la travée i rendue isostatique sous le même chargement d = rotation à droite de l'appui i de la travée i+1 rendue isostatique sous le même chargement g = rotation à gauche de l'appui i de la travée i rendue isostatique sous le même chargement L i1 x dx d = . L E. Calcul des poutres continues de plancher – p. Le chargement des travées dépend également de la nature des charges 3.1 – Cas de charges à prendre compte : Les cas de charges à considérer doivent permettre de déterminer les valeurs maximales des moments en travée et sur appuis. Pour des appuis larges. Leff = Ln + a1 + a2 a1 et a2 sont définis sur la figure 2.1.1 Charges permanentes : Tab. – APPLICATION AUX POUTRES SELON L’EUROCODE 2 3. § 5.3.les travées impaires chargées . 3 – Charges d’exploitation : Exemple pour une poutre sur 5 appuis (n appuis = n combinaisons) 0 travées paires 1 2 3 4 a) 1 0 travées impaires 2 1 3 2 4 3 5 4 b) 1 travées adjacentes de l’appui 2 0 2 1 3 2 4 3 5 4 c) 1 travées adjacentes de l’appui 3 0 2 1 3 2 4 3 5 4 d) 1 travées adjacentes de l’appui 4 0 2 1 3 2 4 3 5 4 e) 1 2 3 4 5 3.2 Charges d’exploitation : Pour les bâtiments (EC2.1.1.2 – Portées de calcul à prendre en compte : Alors que le BAEL prescrit de prendre en compte la portée entre nus des appuis. 2 – Charges permanentes – toutes travées chargées Toutes les travées 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 3. La longueur Leff ainsi que le calcul des aciers sur appuis dépendent des types d’appuis. l’influence de la raideur de l’appui modifie la répartition des moments. on peut limiter les combinaisons aux trois cas suivants pour les charges variables : . l’Eurocode 2 prend en compte une portée de calcul pouvant atteindre la portée entre axes.deux travées adjacentes quelconques chargées.3 (1)P).les travées paires chargées . Tab. 6/28 . L’EC2 limite la prise en compte de largeurs d’appui à la hauteur de la poutre. 5 h .5 h .5 t] ai = Min[0. 0. 0. 0.5 h .5 h . 7/28 h .5 t] Ln Leff t e) Console Fig.h h ai = Min[0. 0.5 t] Ln Ln Leff Leff t t b) Eléments continus axe d'appui a) Eléments isostatiques Leff h ai = Min[0.5 t] ai Ln Ln Leff t t c) Appuis considérés comme des encastrements parfaits d) Présence d'un appareil d'appui h ai = Min[0. 2 – Portée utile Leff pour différentes conditions d’appui Calcul des poutres continues de plancher – p. 0.sup.1 b1 bw b1 bw beff.7 L2 L1 Lo = 0. 6) : .t2 FEd.sup t .2 b2 + 0.t 8 8 avec : q = FEd.Définition de la distance forfaitaire entre points de moment nul Lo Le débord participant (efficace) de table est limité (Fig.3. 4 .2 Lo] avec : Lo : distance entre points de moment nul (Fig. 3 .2 b2 b2 b Fig.2 b1 + 0. 0. 4) La largeur participante de la table est donnée par : beff = bw + beff.2 = Min[b2 .15 L2 + L3 L2 L3 Fig.1 Lo .15 L1 + 0. 3) bi : demi-portée de la dalle entre poutre (Fig. §5.1 Lo .15 L2 Lo = 0. Calcul des poutres continues de plancher – p.Largeur participante de section en Té 3.3 – Largeur des tables des sections en Té (EC2.2.85 L1 Lo = 0.1) Lo = 0.1 = Min[b1 .4 – Ecrêtement des moments sur appuis : Les moments sur appuis calculés avec la portée définie précédemment peuvent être écrêtés d’une valeur : M = q.2 beff beff. 0.3. 0.2 Lo] .à droite : beff.1 + beff. 8/28 .à gauche : beff. 5 – Moments dans l’axe de l’appui et au nu de l’appui Ma MEd = FEd. 6 – Écrêtage du moment sur appui et diffusion de l’effort de compression dans l’appui Calcul des poutres continues de plancher – p.Ma2 Mn2 Ma1 Mn1 Moments nuls Moment max a1 a2 Ln Leff Fig. 9/28 .sup Fig.sup. t/8 parabole Me Mn arctg(2/3) a2 a1 t FEd. le bras de levier n’augmente pas et le calcul doit être effectué avec le moment maximal M a qui peut être tout de même écrêté.Ma2 + 4 1 (1 – 1) .section au milieu de l’appui : Asa = e . Le bras de levier au milieu de l’appui étant alors plus grand qu’au droit de l’appui. 2). Mo 3. voile) (voir cas c et e de la Fig. z n s On doit vérifier que le moment au nu de l’appui (Mn) vaut au minimum 65% du moment (Ma). p.5. poteau.5 – Application : détermination des valeurs des moments maxi en travée et sur appuis pour une poutre de 2 travées de même longueur et chargée uniformément Portée des travées 1 et 2 : L Charge linéaire uniforme : p 1er cas : travées 1 et 2 chargées : p L M1 M2 L M3 Par application de l’équation des 3 moments (1) : M1 4. 2). Valeur du moment maximum : MM M0.section au nu de l’appui : Asn = z a s Mn .p2 . b et d de la Fig. Mo = p.Ma1 + 4 2 (1 – 2) .L2 16.L4 9 p.5 M0 2 8 16 16 M2 M1 L 3. on peut considérer l’existence d’une diffusion de l’effort de compression de la partie inférieure (moment négatif) dans l’appui (Fig. 1] respectivement avec x = a1 et x = a2 on obtient : Mn1 = (1 – 1) Ma1 + 1.M2 M3 2.p.5.L . Dans le cas d’un appui non monolithe (mur en maçonnerie.p. 6).L (symétrique sur la travée 2) 8. 2 . Moment à mi-travée : M0. appareil d’appui…) (voir cas a.L Point de moment maximum : x M 0.5 (M1 M2)2 L2 8.16 128 (valeur identique sur la travée 2) Calcul des poutres continues de plancher – p.M0 8 8 Avec M1 = M3 = 0 M2 p. la section d’acier nécessaire est la plus grande des deux valeurs : M .Pour des poutres ou dalles coulées de façon monolithique sur les éléments en béton qui les supportent (poutre. Mo Mn2 = (1 – 2) Ma2 + 2. L2 4 L2 8 M1 M2 L2 L2 L2 p. p. Dans le cas d’une poutre chargée uniformément par une charge p : En posant : 1 = a1 / Leff 2 = a2 / Leff .L2 .p.L 0.Leff2 / 8 Et en transformant l’équation [eq. 10/28 . .M0 16 8 . p.5 M0 2 8 32 32 M2 M1 L 7.2ème cas : travée 1 chargée : p M1 L M2 L M3 1 Par application de l’équation des 3 moments (2) : M1.(2.L3 4 L2 16 M1 M2 L2 L2 L2 p.p. 3.L 0.L).p.5.L . L’application de la formule des 3 moments à des cas généraux (n travées de portées identiques et chargées uniformément) par résolution matricielle effectuée sur EXCEL conduit à l’établissement des tableaux donnés dans le paragraphe qui suit. Valeur du moment maximum : MM M0.L4 49 3.L 512 Pour la travée 2 non chargée le moment évolue linéairement de M2 p.M2 M3.L 8.M0 32 16 .2. Ces tableaux permettent de déterminer instantanément les valeurs des moments maxima sur appuis et en travée.p. Moment à mi-travée : M0.L2 2 16.L 2. p.5.5 (M1 M2)2 L2 p 2 .L Point de moment maximum : x M 0. 2 .L . 11/28 .M0 16 16 Avec M1 = M3 = 0 M2 p. L2 sur l’appui gauche à 16 M3 = 0 sur l’appui droit. Calcul des poutres continues de plancher – p.p. 65 11.33 12.91 10.67 -24.08 12.84 -9.82 -21.88 12. 8 .63 -18.09 12.13 24.86 -18.60 -18.46 29.33 -26.54 -9.00 10.45 12.67 30.76 22.09 -11.70 -25.47 12.11 -23.93 -37.00 14.Moments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement sur toutes les travées appui n° travée n° 3 appuis 4 appuis 5 appuis 6 appuis 7 appuis 8 appuis 9 appuis 2 3 4 1 2 3 4 14.00 -25.33 6 appuis -38.85 -21.82 -25.00 27.00 -20.86 -9.93 10.00 -21.49 -9.25 6 7 8 5 6 7 8 -38.67 21.03 -19.96 -9.93 -37.83 24.88 12.91 29.00 -25.83 22.00 -25.00 -25.00 -28.88 -23. 5 .87 -9.88 6 -19.00 -26.33 12.00 29.25 1 2 5 6 7 8 5 6 7 8 -9.00 -22.Moments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement des travées paires appui n° travée n° 1 3 appuis -32.00 -26.59 12.03 -23.87 1 3 9. 6 .49 -12.86 4 -20.00 5 appuis -37.00 -20.85 4 5 6 p 1 2 3 4 5 6 Fig.91 22.71 -12.33 -26.33 -23.93 3 2 -32.50 12.59 -18.60 -20.93 -18.51 -9.87 -21.00 7 appuis -37.00 -20.33 -24.52 2 5 4 -37.40 -25.76 24.51 -14.11 -23.00 10.09 12.87 4 3 -40.46 12.67 -19.86 -9.6 – Tableaux de résultats dans le cas particulier des poutres de travées de même portée 1 2 3 4 5 6 p 1 2 3 4 5 6 Fig.70 -24.71 -21.81 -12. 7 – Poutres continues de même portée – Toutes travées chargées (charges permanentes) Tab.71 -24.00 -24.00 4 appuis -40.Poutres continues de même portée – Travées paires chargées Tab.93 29.3.00 23.99 10.47 -23.69 11.71 -12.42 11.00 40.33 27.67 -24.00 -28.00 -18.00 -23.Poutres continues de même portée – Travées impaires chargées Tab.71 -11.85 -18.86 3 4 5 6 p 1 2 3 4 5 6 Fig.61 12.89 -21.54 -12.47 -24. 9 .08 -12.40 -21.85 -25.22 12.82 -25.25 -11.93 -18.67 -23.00 -10.61 -18.35 -13.70 12.25 3 7 8 5 6 7 8 9.88 11.50 12.85 2 -16.33 -23.52 11.67 -23.00 -22.50 -10.45 29.52 5 4 10.67 -23.84 -13. 12/28 .Moments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement des travées impaires appui n° travée n° 3 appuis 4 appuis 5 appuis 6 appuis 7 appuis 8 appuis 9 appuis 2 1 10.52 -24.00 Calcul des poutres continues de plancher – p.91 -18.93 10.88 10.87 12.22 -8.91 -37.04 9.42 12.00 12.85 -18.93 3 2 10.00 -16.91 -18.45 9.67 -19.04 12.82 8 appuis -37.81 -11.67 -25.82 11.93 22.67 -25.00 -18.99 12.47 29.63 -25.86 -12.56 23. 4 .96 12.45 13.50 30.87 9 appuis -37.35 -9.00 12.00 -18.83 -25.82 12.87 -11.00 -23.87 -23.00 -18.65 12.89 -18.83 11.33 -21. 16 6 5 418.00 -74.33 388.00 -71.40 19.57 13.00 -69.40 -69.00 104.00 -9.13 -76.00 -8. 1&2 5 ap.00 -56.45 -9.00 17.71 208.93 enveloppe 13.13 18.67 388.46 18.88 -70.71 207.13 18.13 -26.40 19.50 209.62 -27.00 -26. Les valeurs pour les couples de travées chargées situées en partie droite sont symétriques Portée des travées 1 et 2 : L Charge linéaire uniforme : p 1er cas : travées 1 et 2 chargées : p M1 L Par lecture dans le Tab.87 17.00 390.57 -25.50 260.82 -9.57 9 ap.55 -5822 1456 -388.00 -8.57 2 -8.16 18.57 -55. 1&2 2&3 enveloppe 7 ap.00 13.11 -28.86 17.64 -70.87 -70.62 -27.00 104.31 -25.03 1449 -362.87 -9.31 -25.00 104.00 278.76 -9.99 258.75 -9.67 388.14 -27. 10 – Poutres continues de même portée – Chargement par paires de travées adjacentes Tab.00 -1060 97.37 -70.69 1449 2897 258.67 283.82 -76.82 -9.00 3881 970.39 19.39 17.45 103.1 2 3 4 5 6 p 1 2 3 1 2 4 5 3 4 6 5 6 p 1 2 3 1 2 4 5 3 4 6 5 6 p 1 2 3 4 5 6 Fig.57 -56.00 enveloppe 13.22 18.00 97.67 97.57 13.13 284.57 -25.33 -26.00 258.92 4&5 776. 13/28 .57 -55.75 -9.0 -8.67 -69.67 -69.00 13.03 97.00 8 7 8 -11644 2911 776.57 -55.88 -70.00 18.50 -26.57 2&3 -55.00 -28.20 18.99 -9.75 -9.46 -9.40 -69.86 103.00 776.87 7 6 3120 780.61 13.75 -9.6 263.57 -8.00 18. 4 pour 3 appuis : M2 p.62 -8.75 -9.16 18.62 -8.14 -27.00 104.03 264.91 18.00 264. 1&2 2&3 enveloppe 6 ap.46 -25.57 388.13 -1059 97.40 -69.96 -388.55 18. 7 .87 -25.76 -9.13 -70.33 -26. 1&2 13.00 -26.86 103.33 258.13 96.46 18.87 -8.00 Ce tableau n’est donné que pour les couples de travées chargées situées en partie gauche.46 4 224.62 -8.76 258.62 -8.00 -28.01 18.03 -71.13 5 112.62 -27.70 -30.00 208.23 18.13 -76.50 209.96 -25.16 284.00 208.86 104.71 3&4 207.62 -28.33 17.13 97.13 -5432 1358 -362.99 17. 1&2 2&3 3&4 enveloppe 8 ap.00 -69.73 13.86 17.88 97.16 -9.00 1456 -363.98 -25.00 776.14 -27.16 1560 -390.40 4 3 -60.00 17.10 18. M2 L M3 L2 8 Calcul des poutres continues de plancher – p.27 776.62 3 2 18.33 19. 1&2 2&3 3&4 1 13.96 -8.00 -56.55 -70.99 -9.46 103.00 17.00 19.13 104.96 -25.76 3951 -987.Moments maximaux en travée et sur appuis de travées de même portée avec chargement par couples de travées adjacentes appui n° travée n° 4 ap.67 17.57 13.11 18.13 18.66 -9.16 18.00 -1040 97.23 18.27 -14485 21728 43456 3621 -5432 -10864 965.00 836.82 17.13 -388.14 -27.10 18.75 -9.00 104.86 17.20 -76.64 -25.62 -27. § 5.45 512 Valeur du moment à mi-travée : M0.35g à l’ELU à l’ELU (cas de charge symétrique pour obtenir le moment maximal sur la travée de droite). L2 9 . Ces valeurs maximales ne sont pas issues du même cas de chargement.p.5 p.50q à l’ELU M3 L’utilisation de l’enveloppe des sollicitations engendrées par ces différents chargements donne donc une sécurité vis-à-vis de la vérification de l’équation : M0.1 – pourquoi redistribuer les moments sur appuis ? L’application de la méthode RdM des 3 moments vue précédemment permet de déterminer les valeurs maximales des moments en travée et sur appuis.Valeur du moment maximum : MM p. Calcul des poutres continues de plancher – p. 4.p.L2 14.35g + 1.2 – Aspect réglementaire L’Eurocode 2 permet de redistribuer les moments sur appuis en les multipliant par un coefficient .5 = M0 + M1 M2 2 4.5] 4. 5 pour 3 appuis : M2 p. 14/28 . Ce coefficient est borné 0. Par exemple pour une poutre sur 3 appuis : Le moment maximal sur la travée de gauche est donné par le chargement : p1 p2 M1 L M2 L avec M3 p1 = 1. Cette redistribution est favorable vis-à-vis du dimensionnement car ce sont souvent les moments sur appuis qui conditionnent le coffrage. Le moment maximal sur appui central est donné par le chargement : p1 p2 M1 L M2 L avec p1 = p2 = 1.L2 10.0. L M2 pour la travée 1 L2 pour la travée 2 32 – REDISTRIBUTION DES MOMENTS [EC2.50q p2 = 1.7 ≤ ≤ 1. Valeur du moment maximum : MM p.35g + 1. M3 L2 16 L2 49 .22 128 identique dans les deux travées 2ème cas : travée 1 chargée : p L M1 Par lecture dans le Tab. 7720 0. déterminé par les cas c) et suivants (voir Tab.8900 0.8951 0.54 + 1.7092 0.7661 0.7492 0.7 0.22 0.7 0.7412 0.7 0.les éléments sont sollicités principalement en flexion (donc pas pour les poteaux) . on lit = 0.8181 0.44 + 1.9467 1 1 8 0.8492 0.7875 0.7069 0.8620 0.7632 0.9403 1 1 7 0.le rapport des portées est compris entre 0. 15/28 .8803 0.25 xu ≥ 0.7907 0.2 0.7138 0.7 0.Coefficient de redistribution : = Maprès/Mavant (Fig. 8 .7 0.7024 0.257 (0.6 Le coefficient de redistribution peut être différent pour chaque combinaison de charges.9222 0.7812 0.7575 0.8709 0. En particulier. 9.7 0.8 cu2 d B ou C (ductile ou très ductile) = 0.8074 0.8331 0.6 + 1.7334 0.7519 0.7 0.7001 0.7115 0. l’annexe nationale française l’autorise également en ELS. L’EC2 de base l’a limitée à l’ELU.7972 0.9672 1 1 0.29 ≥ 0.Il faut néanmoins veiller à ce que le moment au nu de l’appui après redistribution ne soit pas inférieur à 65% du moment maximum RdM sur l’appui. On procède alors par itérations successives ou bien on utilise l’abaque de la Fig. fck = 60 MPa : cu2 = 2.6 + 1.3 0 0.7259 0.1 . On ne connaît le coefficient de redistribution que si l’on connaît le moment redistribué (soit après exprimé en moment réduit : = M / (bd2fcd)). fck = 70 MPa : cu2 = 2.8293 0.24 0.25 xu ≥ 0.8255 0. Tab. Nota important : l’Eurocode 2 partie feu limite également la valeur de . 9) Classe d’acier fck ≤ 50 MPa fck > 50 MPa A (peu ductile) = 0. L’EC2 l’autorise sous les conditions suivantes : .7 0.9 .28 0.7603 0.7 cu2 d Pour fck = 55 MPa : cu2 = 3.27 0.8370 0.7 0.8006 0. 4 xu ) ≥ 0.26 0.9341 1 1 6 0.7162 0. Pour un avant de 0.9746 1 2 0.21 0.25 0.7360 0.9055 0.8450 0.721 0.7386 0.7465 0.9533 1 1 9 0.25 en 1re colonne et colonne 7).7046 0.7 0. 4 xu ) ≥ 0.44 + 1.7939 0.7 0.8 d = 0.8074 ce qui correspond à un après de 0. moins on peut redistribuer) par l’intermédiaire de la hauteur comprimée xu Tab.9109 0.8218 0. 9 .7 0. 11 ou le Tab.7234 0.8040 0.7309 0.257 x 0.Coefficient de redistribution en fonction du moment réduit avant = MEd 2 bd fcd avant redistribution (fck ≤ 50 MPa) avant ≤ 0.7 0.7547 0.25 (0.8851 0.8074 = 0.7 0.7690 0.9985 1 5 0.9601 1 1 Exemple d’utilisation du tableau.7284 0.7 0.9822 1 3 0.le coefficient de redistribution = Maprès/Mavant est fonction de l’état de sollicitation de la section (plus la section est sollicitée.8410 0.9280 0. 4 ci-dessus) soit diminué pour être rapproché du (voire égal au) moment des cas de charges a) et b).7186 0.7 0.8664 0.8576 0. on peut le choisir de telle sorte que le moment maximal en valeur absolue sur appui.8533 0.7 .54 + 1.2075 Calcul des poutres continues de plancher – p.7 0.8109 0.7781 0.5 et 2 .9165 0.8145 0. fck ≥ 80 MPa : cu2 = 2.7 0.9902 1 4 0.9002 0.7 d = 0. 11 et Tab.7843 0.7750 0.25 (0.8756 0.23 0.7438 0. 5 0.5. Section 0.t 2 0.2 L 2 0.2 0. L eff.255 0.5 = Mo + M / 2 Moment maximal en travée : MM = M0.15 cla 0.40 0. 11 – Moments avant et après redistribution 4.25 0. après 0.5 0.L21 p 2 .t 1 0.15 0.t 3 6.75m Cas de charges à considérer a) les deux travées avec la charge q pour le calcul du moment maximal sur appui central b) la travée gauche avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée gauche c) la travée droite avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée droite Calcul des moments Moment sur appui : M = - p1.9 h = 0.t 2 6.40 m .3 0.40 0.5 + (M)2 16.5.70 m ht.30 m .75m L eff.1 L1 0.35 m 0.30 m Charge permanente g = 40 kN/m et charge d’exploitation : q = 24 kN/m.5 0. 2 on détermine les portées de calcul des 2 travées.5 0.40 0.3 0. 0. 0.5. 16/28 .1 cla e ss B es ss A C et tribution ) .2 0.30 6. Hauteur utile a priori : d = 0.48 avant 0.Mo Calcul des poutres continues de plancher – p.40 6.63 m Portées à prendre en compte Par application de Fig.L22 16 Moment à mi-travée : M0.30 0. Poteaux 0.372 0.8 (0 posible comprimés conseillés 7) (0.294 Fig.3 – Exemple 1 d’application de la redistribution des moments Deux travées de 6m40 entre nus de poteaux.5.05 0 0 0.1 0. 0.25 pas de aciers redis- 0.05 0. 17/28 Moment maxi en travée 1 MM 328.8 les moments du cas de (a) deviennent ceux du cas (d) suivant : Cas de charge Charge en travée 1 Charge en travée 2 d 90 90 Moment (1) isostatique Mo 512.1 102.707 On peut donc redistribuer jusqu’à 0.6 -410.L 8 La solution optimale est de redistribuer suffisamment pour diminuer le moment sur appui.6 Supposons que nous ne connaissions par la nature de l’acier qui sera utilisé sur le chantier.5 -410.35 0.5 136. 9 : ligne 0.6 Moment sur appui M -512.3 a 90 b 90 54 512. doit être égal au maximum des deux cas (b) et (c) : le coefficient de redistribution devient : = 410.8 puisque la limite est 0. Donc.5 (1) × 512. sans augmenter le moment en travée.fcd = 0.35 × 40 = 54 kN/m Cas de charge Charge en travée 1 Charge en travée 2 90 Moment (1) isostatique Mo 512.221 Lecture du Tab. par prudence nous retiendrons ≥ 0.1 Calcul des poutres continues de plancher – p.707.8 Pour = 0. une fois redistribué.35 × 40 + 1.50 × 24 = 90 kN/m Charge p en travée non chargée : 1.8 pour les aciers de classe A (peu ductile) et 0.7 2 (1) Moment isostatique : M0 = p.7 = 0. Moment relatif : MEd 2 b.3 Moment maxi en travée 1 MM 288.632 16.1 c 54 90 307.1 Moment à mi-travée 1 Mt 307.6 Moment sur appui M (1) -410.80 512.1 .d .1 307. le moment sur appui maximal. 9 précédent. Donc : = 0. On vérifie que l’on a le droit de redistribuer cette valeur en utilisant le Tab.22 et colonne 1 (pour un millième) : 0.1 = 0.5126 0. augmenter une section d’acier en travée se répercute sur une longueur plus grande qu’en chapeau).35 g = 1.6 Moment à mi-travée 1 Mt 256.Charge p en travée chargée : 1.50 q = 1. obtenu avec le cas (a).5 328.35 g + 1.6 = 410. mais on est limité ici par la condition qu’on s’est imposée de non augmentation du moment en travée (raison économique.7 pour les aciers de classe B et C. 8) et gain d’acier sur appui Vérifications M1 M2 410.t 2 0.1 M0 307.5.40 m .75 6. Poteaux 0.c.5.40 0.t 3 6.65Ma 363 0. 0. 18/28 .40 0.30 6. 0.35 m 0.6 2 2 Mn 0.30 0. 12 .70 m ht.75m Calcul des poutres continues de plancher – p.5 0.75 cas b cas a : avant redistribution cas d : après redistribution q g cas b.2 L 2 0.63 m Portées à prendre en compte Par application de Fig.75m L eff. L eff.5 OK M0.d 137 cas a 103 cas c appui 0.40 6.30 m .d 328 308 256 288 cas a cas c.30 m Charge permanente g = 47 kN/m et charge d’exploitation : q = 28 kN/m.5 0.5.65 513 333.5 0.5 OK 4.9 h = 0.d -363 cas b -410 q g -438 cas a -513 cas c q g Fig.t 1 0.5 512. 2 on détermine les portées de calcul des 2 travées. Section 0.mi-travée valeurs maximales cas b. Hauteur utile a priori : d = 0.1 L1 0.5.40 0.t 2 6.5 0.40 6.4 – Exemple 2 d’application de la redistribution des moments Deux travées de 6m40 entre nus de poteaux.Exemple de redistribution des moments ( = 0. 9 : ligne 0. par prudence nous retiendrons ≥ 0.50 q = 1.0 (1) × 600. une fois redistribué.4 -481.45 600.9 (1) : Moment isostatique : M0 = p.6 = 489.632 16.5 = Mo + M / 2 Moment maximal en travée : MM = M0.45 105.45 kN/m Cas de charge Charge en travée 1 Charge en travée 2 105.6 Moment sur appui M (1) -489.6006 0.25 et colonne 9 (pour 9 millièmes) : 0.fcd = 0. On vérifie que l’on a le droit de redistribuer cette valeur en utilisant le Tab.259 Lecture du Tab. 9 précédent.9 160.8 pour les aciers de classe A (peu ductile) et 0.L22 16 Moment à mi-travée : M0.1 384.5 + (M)2 16.35 × 47 + 1.0 360. le moment sur appui maximal.8145.35 × 47 = 63.6 Moment sur appui M -600.Mo Charge p en travée chargée : 1.3 Moment maxi en travée 1 MM 337.80 600.45 63.L2 8 La solution optimale est de redistribuer suffisamment pour diminuer le moment sur appui.45 105.0 120.50 × 28 = 105.d2 .6 Supposons que nous ne connaissions par la nature de l’acier qui sera utilisé sur le chantier. Donc : = 0.45 kN/m Charge p en travée non chargée : 1. Moment relatif : MEd b.8145 Pour = 0.35 0. Donc. 19/28 Moment maxi en travée 1 MM 380.2 Moment à mi-travée 1 Mt 356.L21 p 2 .7 pour les aciers de classe B et C.35 g = 1.8145 les moments du cas de (a) deviennent ceux du cas (d) suivant Cas de charge Charge en travée 1 Charge en travée 2 d 105.8145 L’état de sollicitation de la section ne permet de redistribuer que jusqu’à 0. doit être égal au maximum des deux cas (b) et (c) : le coefficient de redistribution devient : = 481. La courbe des moments en travée sera au dessus de celles des cas (b) et (c).6 -481.8 puisque la limite est 0.35 g + 1.45 Moment (1) isostatique Mo 600.45 b 105.45 361.8 a 105. sans augmenter le moment en travée.2 c 63.6 Moment à mi-travée 1 Mt 300.2 Calcul des poutres continues de plancher – p. obtenu avec le cas (a).0 = 0.7 = 0.9 .45 Moment (1) isostatique Mo 600.Cas de charges à considérer d) les deux travées avec la charge q pour le calcul du moment maximal sur appui central e) la travée gauche avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée gauche f) la travée droite avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée droite Calcul des moments Moment sur appui : M = - p1. Sur appuis : la section de la poutre à considérer est rectangulaire car on ne peut pas bénéficier d’une table de compression.8145) et gain d’acier sur appui Vérifications M1 M2 489.7 OK M0.2 M0 360. 13 . 20/28 .65 601 390. il est important de diminuer les moments sur appuis.40 6.Exemple de redistribution des moments ( = 0.c -425 cas b -481 q g -514 cas a -489 -601 cas c q g Fig. On est donc doublement pénalisé sur appuis.5 5.65Ma 425 0. On peut utiliser les méthodes suivantes : Calcul des poutres continues de plancher – p.75 cas b cas a : avant redistribution q g cas b.0 604. En travée : la hauteur de la poutre peut être optimisée par la prise en compte du plancher qui fait office de table de compression.6 2 2 Mn 0.mi-travée valeurs maximales cas b cas d 381 360 356 384 cas d 300 338 cas a cas c 137 cas a 103 cas c appui 0. OK – COMMENT REDUIRE LES MOMENTS SUR APPUIS ? Les moments sur appuis obtenus sont généralement supérieurs (en valeur absolue) aux moments maximaux en travée et conditionnent le dimensionnement des sections des poutres.75 6. Si l’on veut limiter la hauteur des poutres pour des raisons de coût ou de gain de hauteur sur le bâtiment. M1 + (b2 .1.1 Principe : La rotation due à l’effort tranchant vaut : = La flèche due à l’effort tranchant vaut : fV = Avec : G = V G.L . b) prise en compte des inerties variables des sections en Té en travées et des sections rectangulaires dans les zones d’appui (voir clause 5.3.2 pour des sections non fissurées (EC2-1-1.d2 ) .I Pour l’exemple 2.S' 2 Pour les travées d’inertie constante l’équation des trois moments complète devient : (b1 .2 Application à l’Exemple 2 précédent : On rappelle que dans le cas d’une poutre d’inertie constante de longueur L. M2 = -g + d 5. l’équation des 3 moments complète se simplifie à l’expression : p.b.I L.E.I 24.1.M1 12.5 de l’EC2 (vue précédemment).1. §3. d) méthode des rotules plastiques selon la clause 5.3 (4)).1 – Prise en compte des déformations d’effort tranchant : 5.h pour une section rectangulaire 6 9 .L3 2 2.1 (8) de l’EC2).E.1. les coefficient de souplesse a.E.1 (4) de l’EC2). 2 S’ = . 10 4 En posant d1 = 1 L1.L3 et d = 24. 21/28 .a) prise en compte des déformations d’effort tranchant.I 3. 5 S’ = . constitué d’une poutre à 2 travées de longueur identique.S' Calcul des poutres continues de plancher – p.G. b et c peuvent s’écrire simplement : ac L 3.2.S' M G.d1).S' E 2(1 ν) : coefficient de poisson prenant la valeur 0 pour des sections fissurées et 0.L3 p.E.E. 5.6 de l’EC2.I De même les expressions des rotations peuvent s’écrire de la manière suivante : g = p .G.E. d’inertie constante et chargées uniformément.G.I et b L 6.S '1 pour une section circulaire et d2 = 1 L2 . Ces deux méthodes peuvent ensuite être cumulées avec les méthodes suivantes : c) redistribution limitée des moments selon la clause 5. Mo + (a2 + c1 + d1 + d2) . ce qui se traduit par des diminutions d’autant plus importantes que le rapport h/L est grand (voir clause 5. 3 361. les valeurs calculées précédemment sont modifiés comme suit : Cas de charge Charge en travée 1 Charge en travée 2 105.0 Moment à mi-travée 1 Mt 302.9 385.7 162.45 105.6 -477.6 Moment maxi en travée 1 MM 339. 22/28 .45 Moment (1) isostatique Mo 600.45 600. Calcul des poutres continues de plancher – p.64 Nous pouvions effectivement ne pas prendre en compte l’influence des déformations d’effort tranchant.L2 8 L’influence des déformations d’effort tranchant est très faible pour l’Exemple 2 considéré (1%).6 Moment sur appui M -596.4 -477.70 1 L 6.1 (1) : Moment isostatique : M0 = p.45 63.75 9.En tenant compte de d1 et d2.3 122. Nous sommes dans le cadre de la remarque de l’Annexe Nationale qui précise que les déformations d’effort tranchant peuvent être négligées lorsqu’on vérifie le rapport : h 1 L 5 nous avons ici h 0.45 361.45 b 105.6 a 105.6 c 63. bi . Mi+1 = .5.x(L x) dx 2 EI L. 23/28 . Le premier point de moment nul est à l’abscisse x1 = 1. Mi-1 + (ai+1 + ci) .3.2 – Prise en compte des inerties des sections en té.1 Principe : Comme nous l’avons vu dans le paragraphe 3.2. Mi + bi+1 .rotation à gauche de l’appui : g = 0 L L 2 EI x p. 0 La prise en compte forfaitaire des tables de compression conduit à découper chaque travée de la poutre en 3 tronçons : .L Calcul des poutres continues de plancher – p.section rectangulaire d’inertie I1 entre le deuxième point de moment nul et l’appui droit. il est possible de considérer une largeur de table de compression de façon forfaitaire entre les points de moment nul de chacune des travées.g + d L avec [5] 2 x dx a = 1 0 L L EI 2 x dx c = 0 L L EI x x dx b = 1 0 L L EI Pour une charge uniformément répartie p : L x p.section rectangulaire d’inertie I1 entre l’appui gauche et le premier point de moment nul .rotation à droite de l’appui : d = .x(L x) dx .L Le second point de moment nul est à l’abscisse x2 = (1-2). 1 . La méthode des 3 moments est toujours applicable pour déterminer les moments sur appuis mais c’est l’équation générale [5] qu’il faut alors utiliser. : 5.section en Té d’inertie I2 entre les deux points de moments nuls . dλ λ 2 .114 4.012 0.1215 0. 24 E I1 I2 I1 : moment d’inertie de la section rectangulaire et I2 : moment d’inertie de la section en Té g = rotation à gauche de l’appui Calcul des poutres continues de plancher – p.913 .8905 .757 . 24 E I1 I2 L 0.886 . 24 E I1 I2 - p L3 0.486 3.85 0.087 4.913 .1095 0.243 3. 24 E I1 I2 =a L 0.757 .3.973 .027 7.85 Travée de rive droite 0.15 0.15 0.087 4.243 3. 24 E I1 I2 c L 3.g p L3 0.027 7. on obtient : Tab.85 a L 0. 24 E I1 I2 - = . 24 E I1 I2 p L3 0.973 .On pose ainsi : 1 distance relative entre l’appui gauche et le premier point de moment nul 2 distance relative entre le deuxième point de moment nul et l’appui droit 3 distance relative entre l’appui gauche et le deuxième point de moment nul = 1 – 2 4 distance relative entre le premier point de moment nul et l’appui droit = 1 – 1 I1 moment d’inertie de la section brute rectangulaire I2 moment d’inertie de la section brute en Té Les paramètres de l’équation générale [5] deviennent ainsi : 3 1 2 L λ13 λ 33 λ13 1 λ 33 L λ .1095 0. 24 E I1 I2 b L 0.2. = = E I1 I2 I1 L EI 3 E I1 I2 I1 λ1 λ3 0 0 L λ λ 2 1 a= L λ 32 λ 34 λ 32 1 λ 34 3 E I1 I2 I1 b= L 3λ12 2λ13 3λ 32 2λ 33 3λ12 2λ13 1 3λ 32 2λ 33 6 E I1 I2 I1 g = L 0 d = - p L3 2 . 24 E I1 I2 p L3 0.514 .15 0.8905 . 24/28 . 24 E I1 I2 L 3. 24E I1 I2 I1 Par application des valeurs 1 et 2 recommandées par la clause 5.1 (2) de l’EC2.988 . 24 E I1 I2 L 3.012 0.dλ x dx c = . 10 – Valeurs des coefficients de souplesse et des rotations Travée de rive gauche 0 0. 24 E I1 I2 L 0. 24E I1 I2 I1 p L3 4λ 32 3λ 24 4λ 34 3λ 44 4λ 32 3λ 24 1 4λ 34 3λ 44 .8785 .(λ λ 3 ) dλ 2EI = p L3 4λ13 3λ14 4λ 33 3λ 34 4λ13 3λ14 1 4λ 33 3λ 34 .15 0 1 0.85 1 Travée intermédiaire 0.988 .dλ λ 2 . 24 E I1 I2 d g - p L3 0. 35 m 0. = 0.1 : Les deux travées étant identiques on obtient pour chacune : - à gauche : à droite : avec : beff.2.b w ). 25/28 . Largeur de table à prendre en compte : d’après EC2. §5. 12 Aire : St = (beff-bw).h3 4 0.0215 m4.2 b1 + 0.1 + beff.20 m Moment statique des différentes sections par rapport à la fibre supérieure : h 2 t St.148 m beff.646m Inertie des sections à prendre en compte : Section rectangulaire 0. 0.0459 m3.187 m Inertie de la section en Té par partir des calculs précédent et par application du théorème d’Huygens : Ig = I + S.1 = Min[b1 . 0. Position du centre de gravité de la section complète par rapport à la fibre supérieure : yg = (M1 + Mt) / (S1 + St) = 0. avec : t = 0.2 Lo] = 1.3. 12 Aire : S1 = bw.148 m Lo = 5. 2 M 1 = S 1. Valeurs des coefficients de souplesse et des rotations : On étudie deux cas : a) les deux travées avec la charge q pour le calcul du moment maximal sur appui central b) la travée gauche avec la charge q pour le calcul du moment maximal en travée gauche Calcul des poutres continues de plancher – p.5.d² On obtient : I2 = 0.h = 0.2 b2 + 0.245 m².2 Lo] = 1.1 Lo . 0. Mt = = 0.00153 m .010 m . Section en Té avec les débords calculés ci-dessus : I2 It Inertie des débords : (b eff .00 m La largeur participante de la table vaut : beff = bw + beff.1 Lo .2 = Min[b2 .t 3 4 0. 0.t = 0.2.459 m².738 m b1 = b2 = 3.2 Application à l’Exemple 2 précédent : On considère que la poutre supporte une dalle d’épaisseur 20cm et que la portée de la dalle entre nus de poutres est de 6m00.2 = 2.70 m ht : I1 b w .08575 m3. 243 3. 24 E I1 I2 0. 24 E I1 I2 0.0049 L 0.00228 p L3 0.00228 p L3 0.1095 0.988 .027 7.087 4.8905 .45 p L3 0.15 0 1 0.8905 .0049 c L 3.087 4.cas a) : Travée de rive gauche 0 0.00205 d g - - cas b) : Travée de rive gauche 0 0.45 Travée chargée p = 105.0018 b L 0. 24 E I1 I2 -0.00137 p L3 0.45 p L3 0.988 .0049 L 0. 24 E I1 I2 0.0018 b L 0.012 0.0034 Chargement (kN/ml) Travée chargée p = 105.15 0. 24 E I1 I2 -0. 24 E I1 I2 0.85 1 Travée de rive droite 0.757 .00124 d g - - Calcul des poutres continues de plancher – p. 24 E I1 I2 0. 24 E I1 I2 0.0034 L 3.913 .00205 p L3 0. 24 E I1 I2 0.087 4.027 7.757 .00228 p L3 0.85 a L 0.012 0.1095 0.243 3.988 . 24 E I1 I2 0.973 . 24 E I1 I2 0.913 .973 .1095 0.988 .913 .012 0. 24 E I1 I2 0.027 7.0049 c L 3.913 .8905 .243 3.087 4. 24 E I1 I2 0. 24 E I1 I2 0.0034 L 3.15 0.45 Travée déchargée p = 63. 24 E I1 I2 0.973 . 24 E I1 I2 0. 24 E I1 I2 -0.757 .757 .012 0.85 a L 0.00205 p L3 0. 24 E I1 I2 0.1095 0. 24 E I1 I2 0.15 0 1 0.8905 .85 1 Travée de rive droite 0.973 .0018 L 0.027 7.0034 Chargement (kN/ml) Travée chargée p = 105. 24 E I1 I2 -0.0018 L 0. 26/28 .243 3. 3 Supposons que nous ne connaissions par la nature de l’acier qui sera utilisé sur le chantier.45 Moment (1) isostatique Mo 600.35 0. mais on est limité ici par la condition qu’on s’est imposée de non augmentation du moment en travée (raison économique.4 Moment maxi en travée 1 MM 389. Donc : = 0.0 Moment à mi-travée 1 Mt 413. 9 : MEd 2 b.80. Moment relatif : Lecture du Tab.6 -375.45 Moment (1) isostatique Mo 600.7 pour les aciers de classe B et C.4683 0.7 c 63.0 = 0.L2 8 Redistribution du moment sur appui : Le moment sur appui maximal.45 600.8 pour les aciers de classe A (peu ductile) et 0.45 105.4 -375.45 b 105.8 puisque la limite est 0.fcd = 0.0 413.45 105.2 a 105. une fois redistribué.7 = 0.d .70.0 173.45 63. Pour = 0. doit être égal au maximum des deux cas (b) et (c) : le coefficient de redistribution devient : = 375.80 les moments du cas de (a) deviennent ceux du cas (d) suivant : Cas de charge Charge en travée 1 Charge en travée 2 d 105. augmenter une section d’acier en travée se répercute sur une longueur plus grande qu’en chapeau).1 427.0 Calcul des poutres continues de plancher – p.632 16.Cas de charge Charge en travée 1 Charge en travée 2 105.45 361.6 Moment sur appui M -468.202 : 0.70 On peut donc redistribuer jusqu’à 0.3 Moment à mi-travée 1 Mt 366. obtenu avec le cas (a). par prudence nous retiendrons ≥ 0.7 .2 (1) : Moment isostatique : M0 = p.1 (1) × 468.80 468. 9 précédent. On vérifie que l’on a le droit de redistribuer cette valeur en utilisant le Tab.8 198.3 = 375.6 Moment sur appui M (1) -375. 27/28 Moment maxi en travée 1 MM 427. 40 = .468.3 kNm C’est équivalent à une redistribution de 22% Calcul des poutres continues de plancher – p.6 kNm 8 Avec prise en compte des inerties des sections en Té et avant redistribution nous avons le moment sur appui central qui vaut : M1 = - p.d 428 413 366 389 cas a cas c.d 198 cas a 174 cas c appui 0.40 6.Exemple de redistribution des moments ( = 0.L2 = . 14 .600. 28/28 .L2 11.d -322 cas b -375 q g -385 cas a -468 cas c q g Fig.mi-travée valeurs maximales cas b.75 6.80) et gain d’acier sur appui NOTA : Sans prise en compte des inerties des sections en Té et avant redistribution nous avions le moment sur appui central qui valait : M1 = - p.75 cas b cas a : avant redistribution cas d : après redistribution q g cas b.c.