Module: Théorie des mécanismes Pr Ahmed El Khalfi FST Fès Plan du cours • Type de liaisons • Liaisons simples et composées • Liaisons parfaites • Modélisation de l'effort mécanique de contact d'une liaison : torseur cinématique et torseur statique d'une liaison. Dualité des torseurs. Pression de contact • Modélisation d'un mécanisme : graphe d'un mécanisme, schéma cinématique, … • Mécanisme de liaisons en parallèles, en série • Introduction à la mécanique de contact Pr. A. El Khalfi 2 Objectifs du module L’objectif du module Théorie des mécanismes est maîtriser le comportement d'un mécanisme afin : • d'obtenir une précision voulue de mise en position d'une pièce par rapport à une autre, • d'éviter une usure prématurée, un coincement, ou un montage impossible, • de connaître précisément la position relative de chaque liaison, entre elles ainsi que les torseurs d'action mécanique correspondants. Pr. A. El Khalfi 3 • de localiser, quand elles existent, les inconnues de liaison (inconnues hyperstatiques) que l'on ne peut pas déterminer uniquement par application du principe fondamental de la statique (ou de la dynamique) à ce mécanisme. • de proposer, éventuellement, des modifications pour rendre le mécanisme isostatique (sans inconnue hyperstatique). • de savoir à quelles conditions géométriques de position relative des liaisons correspondent les inconnues hyperstatiques (le degré d'hyperstaticité d'un mécanisme peut dépendre de sa position et évoluer). Pr. A. El Khalfi 4 Liaisons mécaniques Hypothèses Hypothèses : • Les pièces modélisées par des solides indéformables. • Les liaisons sans frottement donc parfaites. • Les liaisons sans jeu donc sans mobilités parasites. • Les liaisons à contact bilatéral, c'est-à-dire des liaisons dans lesquelles le contact est supposé maintenu si le sens des actions mécaniques est inversé. Cette hypothèse concerne les liaisons ponctuelle, linéaire rectiligne et appui plan. • Les pièces sont de masse nulle, les effets d'inertie étant nuls, on pourra écrire le principe fondamental de la statique pour tout sous ensemble de pièces d'un mécanisme Pr. A. El Khalfi 6 Est-ce qu’une liaison ? • On appelle liaison mécanique l'ensemble des mouvements qui peuvent exister entre deux solides ayant une zone commune de contact. Montage de la scie sauteuse : Pour modéliser une liaison il faut tenir compte des caractéristiques technologiques (fonctions, jeu, …) en plus des caractéristiques géométriques, Pr. A. El Khalfi 7 Surface de contact élémentaire • De point de vue géométrique, la forme de la surface de contact définit le type de liaison entre les solides en contact. • Les surfaces géométriques élémentaires obtenues à partir des principaux procédés d'usinage sont : le plan, le cylindre, la sphère, … Surfaces planes Parallélépipède rectangle Surface plane Surface cylindrique Surface sphérique Cylindre Sphère Surface conique Surface torique Surface plane Pr. A. El Khalfi Cône Tore 8 Type de contact Pour étudier modéliser la liaison entre solides, il faut identifier la nature des surfaces des éléments en contact : • • • • • Contact plan/sphère ponctuel Contact plan/cylindre linéaire rectiligne Contact plan/plan contact plan ou appui plan Contact cylindre/sphère linéaire annulaire Contact cylindre/cylindre surface cylindrique ou pivot glissant • Contact sphère/sphère surface sphérique ou rotule / sphérique Rmq : Le contact surfacique peut être de type : • plane Ex : Base de cône sur parallélépipède • cylindrique Ex : cylindre dans cylindre (de mêmes diamètres) • conique Ex : cône dans cône (de mêmes conicités) • sphérique Pr. A. El Khalfi 9 Exemples de contact Contact sphère-plan Contact ponctuel Contact = un point Zone de contact La zone de contact est ici un point le contact est dit alors ponctuel Contact cylindre- cylindre Zone de contact = Surface cylindrique La zone de contact est une surface cylindrique Pr. A. El Khalfi 10 Exemples de contact Contact entre l’excentrique et la chape de la scie sauteuse Excentrique Chape La surface cylindrique de l’excentrique est en contact avec la surface cylindrique de la chape La surface de contact est surfacique cylindrique (cylindre/cylindre) Pr. A. El Khalfi La surface de contact est surfacique plane (plan sur plan) Chape Excentrique 11 Mouvements d'un solide libre • Mouvement élémentaires possibles : translation et rotation • Un solide libre dans l’espace subit au maximum six mouvements élémentaires indépendants, appelés degré de liberté (d.d.l.) Pr. A. El Khalfi 12 Liaison et mouvement d’un solide De point de vue cinématique, on dit qu’il existe une liaison entre deux solides (en contact direct ou non) à chaque fois que un ou plusieurs mouvement (ou degrés de libertés) sont supprimés Pr. A. El Khalfi 13 Exemple Pour l’assemblage de la chape et l’excentrique de la scie sauteuse permet un seul mouvement qui est la rotation autour de l’axe y Mobilités ou ddl Tx Ty Tz Rx Ry Rz Liaison excentrique-chape 0 0 0 0 1 0 La liaison réalisée entre ces deux ensembles possède un seul degré de liberté : une rotation autour de l’axe y Pr. A. El Khalfi 14 Degré de mobilité et mouvements relatifs Le degré de mobilité subsistants dans un contact entre deux solides S1 et S2 correspondent aux mouvements relatifs indépendants autorisés au sein de ce contact : • Aux paramètres X, Y, Z sont associés des mouvements relatifs de translation • Aux paramètres θx, θy, θz sont associés des mouvements relatifs de rotation Dans la base R, six mvts peuvent donc être mis en évidence: • 3 rotations Rx, Ry et Rz autour d’axes parallèles respectivement à (ox), (oy) et (oz) • 3 translations Tx, Ty et Tz dans les directions respectives (ox), (oy) et (oz) Pr. A. El Khalfi 15 Vitesses de pivotement et roulement Soient les solides 1 et 2 en contact ponctuel en M et en mouvement l’un par rapport à l’autre. 𝜋: plan tangent en M aux deux solides et la normale au plan P en M Le torseur cinématique entre 2 et 1 a pour expression en M : Ω2∕1 𝜏𝑀2∕1 = 𝑉2∕1 (𝑀, 𝑛2 1 , 𝑡2 1 ) : Repère local dans le plan tangent 𝜋 Le vecteur rotation peut s’écrire : Ω2∕1 = Ω𝑝,2∕1 𝑛2 1 + Ω𝑟,2∕1 𝑡2 1 • Ω𝑝,2∕1 : Vitesse de pivotement • Ω𝑟,2∕1 : Vitesse de roulement Pr. A. El Khalfi 16 Conditions de maintien de contact • Condition cinématique de maintien du contact : Il faut que la vitesse soit constamment contenue dans le plan 𝜋 , c.à.d. : 𝑉𝑀,2∕1 . 𝑛2 1 = 0 • Condition de roulement sans glissement : Pr. A. El Khalfi 𝑉𝑀,2∕1 = 0 17 Surfaces axoides • La vitesse de glissement étant nulle mais il peut y avoir roulement des deux solides l’un sur l’autre. • Dans ce cas, le point M appartient à l’axe central du torseur cinématique du mouvement de S2/S1. Comme il n’y a pas de glissement, l’axe central est aussi l’axe instantané de rotation de S2 par rapport à S1, est porté par cet axe dans le plan π • Le lieu des positions successives de l’air sur chacun des solides définit les "surfaces axoïdes" Pr. A. El Khalfi 18 Type de contact et imperfections du contact Contact unilatéral / Contact bilatéral - Contact unilatéral est un contact est un contact qui varie dans le temps; Exemple : un livre posé sur une table. Le livre peut être : • posé (il y a contact avec la table) • ou enlevé (pas de contact avec la table) On parle alors de contact unilatéral - Techniquement, s’il y a impossibilité d’enlever le livre de la table alors le contact devient contact bilatéral ou contact permanent Pr. A. El Khalfi 20 Imperfections du contact Le contact réel entre solides peut faire apparaître des imperfections : défauts micro et macro-géométriques, rugosité, problème de forme, .. Autres imperfections possibles : déformations dues aux efforts, frottement qui entraîne de l’usure et des pertes d’énergies Pr. A. El Khalfi 21 Jeu dans un contact de solides • Les jeux sont nécessaires au bon fonctionnement du mécanisme. • les jeux sont nécessaires au montage et ils autorisent des petits déplacements radiaux et angulaires. • Les jeux interdisent donc une coïncidence parfaite des surfaces, par conséquent les jeux constituent une imperfection. Pr. A. El Khalfi 22 Contact réel / contact parfait La difficulté de prendre en compte tous ces imperfections dans le calcul des mécanismes nous conduit à considérer : le modèle de liaison parfaite Pr. A. El Khalfi 23 Liaisons simples Une liaison simple est obtenue par le contact de deux surfaces simples : plan, cylindre, sphère Les surfaces de contact sont appelées : surfaces fonctionnelles Pr. A. El Khalfi 24 Liaisons composées Une liaison composée est obtenue par une association cohérente de plusieurs liaisons élémentaires : Association Appui plan + Linéaire rectiligne + Ponctuelle liaison complète Association appui plan+Linéaire rectiligne liaison glissière Pr. A. El Khalfi Association linéaire annulaire +Appui plan liaison pivot Association rotule + ponctuelle liaison sphérique à doigt 25 Pr. A. El Khalfi 26 Liaisons directes / indirectes • Une liaison directe est une liaison qui n’implique que les solides concernés par le contact. • Une liaison indirecte nécessite des éléments technologiques (éléments de construction : boulons, goupilles, …) pour assurer le contact. Exemple : La liaison d'encastrement entre les pièces 1 et 2 est garantie par l’ensemble vis-écrou 3 Pr. A. El Khalfi 27 Pr. A. El Khalfi Eléments de construction 28 Pr. A. El Khalfi 29 Liaisons parfaites Liaison parfaite Une liaison entre solides est dite parfaite lorsque on vérifie les hypothèses suivantes : • les possibilités de mouvement relatif sont étudiées à partir des surfaces de contact géométriquement parfaites. • les surfaces de contact permettent un jeu fonctionnel nul. • le contact entre solides est supposé sans frottement. Pr. A. El Khalfi 31 Modélisation d’une liaison parfaite Une liaison parfaite est régie par une ou plusieurs équations de type : • Géométrique si elle relie des paramètres géométriques non indépendants : x (déplacement) et q (rotation) • Mécanique si elle relie des composantes de forces ou de couples en faisant intervenir les lois de certaines résistances passives : adhérence ou frottement, résistance au roulement, résistance de l’air,... • Cinématique si elle relie les vitesses entre elles : pignons, roulements sans glissement,... Pr. A. El Khalfi 32 Torseur cinématique d'une liaison Une liaison peut être paramétré par un torseur cinématique : c (1/ 2) V A A Résultante du torseur Moment du torseur A : centre de la liaison En utilisant la loi de distribution des vitesses : VP V A AP Le torseur cinématique en un point P quelconque est : Pr. A. El Khalfi V V P P A A AP 33 Torseur mécanique d'une liaison Hypothèses : • • • Le contact S1/S2 est parfait; ni adhérence, ni frottement La force élémentaire 𝑑𝑓 de l'effort (21) est perpendiculaire à la surface élémentaire ds entourant le point de contact P L'action mécanique résultant du contact S2/S1 est modélisée par le torseur statique s ( 21) Pr. A. El Khalfi df R S AP d f M A A S A A : centre de la liaison 34 En utilisant la loi de distribution des moments : M P M A R AP avec R S df Le torseur statique en un point P quelconque est : Pr. A. El Khalfi R R R M M R AP P P A A 35 Pr. A. El Khalfi En résumé : Torseurs cinématique et mécanique . 36 Dualité des torseurs cinématique et mécanique • Pour une liaison parfaite les phénomènes de frottement et de dissipation sont négligés • La puissance développée par les actions mécaniques de liaison est donc nulle . • Ceci implique que le co-moment des torseurs cinématique et mécanique est nul : On déduit : Pr. A. El Khalfi On dit que les deux torseurs cinématique et mécanique sont réciproques ou duales 37 Conséquence On considère : • Nombre d'inconnues (Ns) statiques par liaison est : Ns ≤6 • Nombre d’inconnues cinématiques (Nc) ou degré de mobilité (ddl) par liaison est : Nc ≤6 . • Les nombre Ns et Nc sont indépendants • L'équation du co-moment : 𝑉𝑥 𝑅𝑥 + 𝑉𝑦 𝑅𝑦 + 𝑉𝑧 𝑅𝑧 + 𝜔𝑥 𝑀𝑥 + 𝜔𝑦 𝑀𝑦 + 𝜔𝑧 𝑀𝑧 = 0 Chacun des 6 monômes doit être nul, il suffit donc que l'un des deux termes du monôme soit nul. On déduit que : Ns+Nc=6 • Les torseurs cinématique et mécanique sont réciproques, on peut donc formuler la proposition suivante : Là où il n'existe aucune action mécanique transmissible il y a possibilité de mouvement Pr. A. El Khalfi 38 Liaisons normalisées 1-Liaison pivot z Z z z x y y x x y Degrés de liberté Nature du contact :Surface cylindrique + appui plan Liaison pivot d’axe x Pr. A. El Khalfi 0 Rx 0 0 0 0 40 Pr. A. El Khalfi Exemples de liaison pivot 41 Pr. A. El Khalfi Exemple Arbre épaulé dans un alésage 42 Pr. A. El Khalfi Exemples 43 2-Liaison ponctuelle z Z z Y Z X x x y x y Degrés de liberté Le contact est ponctuel de type sphère-plan Pr. A. El Khalfi Tx Rx Ty Ry 0 Rz 44 3-Liaison linéaire rectiligne z z Z x x y z y x y Degrés de liberté Nature du contact : Ligne Tx Rx Liaison linéaire rectiligne de normale z d’axe x Ty 0 0 Rz Pr. A. El Khalfi 45 Exemple • Systèmes de bridage de pièces cylindriques (exemple Vé réglable) • Le contact entre les plans du vé et la pièce cylindrique à usiner est un contact linéique. Pr. A. El Khalfi 46 4-Liaison linéaire annulaire d’axe x z z Z x x z y y x y Degrés de liberté Le contact est une ligne circulaire de type sphère-cylindre Pr. A. El Khalfi Tx Rx 0 0 Ry Rz 47 Exemple Roulement à rotule : Permet un rotulage important, ils sont montés par paire pour réaliser une liaison pivot, dont un des roulements est libre axialement dans l’alésage. Pr. A. El Khalfi 48 5-Liaison appui plan de normale Z z z Z z y x x y Le contact est plan de type PlanPlan de normale Z appui plan de normale Z Pr. A. El Khalfi x y Degrés de liberté Tx 0 Ty 0 0 Rz 49 6-Liaison rotule z Z z z y x x y x y Degrés de liberté Le contact est sphérique de type sphère-sphère Rotule Pr. A. El Khalfi 0 Rx 0 0 Ry Rz 50 Pr. A. El Khalfi 7-Liaison à doigt 51 8-Liaison pivot glissant z Z x z z y y x y x Degrés de liberté Tx Rx Le contact est une surface cylindrique de type cylindre-cylindre Liaison pivot glissant d’axe x Pr. A. El Khalfi 0 0 0 0 52 Pr. A. El Khalfi Exemple 53 9-Liaison hélicoïdale Liaison hélicoïdale apparaît entre deux solides, si au cours de leurs mouvements relatifs, les deux solides peuvent glisser et tourner selon une même droite commune. z Z x z z y y x y x Degrés de liberté Nature du contact :Surface hélicoïdale Liaison hélicoïdale d’axe x Pr. A. El Khalfi Tx Rx 0 0 0 0 54 • Le degré de liberté est 1 • Torseur cinématique: { wx,0,0 ; Vx,0,0 } en tout point de l'axe (A,x) avec Vx=k wx • Torseur mécanique : { 0 ,Y,Z ; 0,My,Mz } en tout point de l'axe (A,x) avec X=k Mx Pr. A. El Khalfi 55 Exemple Etau ou Vis à billes La translation et la rotation sont proportionnelles et possèdent une direction commune Les deux mouvements sont conjugués Pr. A. El Khalfi 56 10-Liaison glissière d’axe x z Z z z y x x y Le contact est surfacique de type surface-surface planes sécantes Pr. A. El Khalfi x y Degrés de liberté Tx 0 0 0 0 0 57 Pr. A. El Khalfi Exemple 58 Type de contact NOM DE LA LIAISON SURFACES GENERALEMENT ASSOCIEES A L'ASSEMBLAGE Cylindre creux / Cylindre plein + plan \ plan. Cylindre creux / Cylindre plein + contact ponctuel 1 paire de plans non parallèles (ou plus) / 1 paire de plans Plan / Plan + contact linéique Hélicoïdale Filetage / taraudage Pivot glissant Cylindre creux / Cylindre plein Appui plan Plan / Plan Rotule Sphère creuse / sphère pleine Plan et arête Plan et génératrice de cylindre Sphère et cylindre Plan et sphère Plan et pointe de cône Pivot Glissière Linéaire rectiligne Linéaire circulaire Ponctuelle Pr. A. El Khalfi DEFINIE PAR Son axe de rotation Son axe de translation Son axe de translation et de rotation conjuguées Son axe de rotation et de translation Sa normale au plan Son centre La normale au plan. + La direction de la droite de contact Son axe de translation + Son centre Sa normale au plan de contact 59 Liaison complète ou Encastrement Liaison Complète De point de vue cinématique, une liaison complète n’autorise aucun degré de mobilité entre deux solides en contact direct ou indirect Pr. A. El Khalfi 61 Pr. A. El Khalfi Liaison complète par adhérence • • • • • • Surfaces assurant la MIP : Surfaces planes Eléments assurant le MAP : Boulon H - Vis H Surfaces assurant la MIP : Surfaces cylindriques Eléments assurant le MAP : Boulon Surfaces assurant la MIP : Surfaces cylindriques Eléments assurant le MAP : Ecrou et rondelle à encoches MIP : MIse en Position - MAP : MAintien en Position 62 Eléments de construction Boulons Pr. A. El Khalfi Ecrous Rondelle 63 Pr. A. El Khalfi Vis 64 Liaison complète par obstacle Lorsque l’adhérence ne suffit plus pour transmettre l’effort, le plus souvent, on ajoute au dispositif réalisant les fonctions techniques 1 et 2, un élément dont l’unique objectif est de transmettre l’effort en s’intercalant comme obstacle Goupille Pr. A. El Khalfi • Surfaces assurant la MIP : Surfaces cylindriques • Eléments assurant le MAP : Goupille cylindrique montée serrée • Surfaces assurant la MIP : Surface cylindrique + surface plane • Eléments assurant le MAP : Clavette parallèle+ rondelle+ vis 65 Goupilles & clavettes Le rôle des goupilles est d’assurer une liaison complète par obstacle Pr. A. El Khalfi • Goupille cylindrique exigent des usinages avec des ajustements très précis • Goupille conique : La forme conique permet le maintien de la goupille dans son logement par "coincement« • Goupille cannelée : Goupillage économique. Le plus souvent, trois cannelures à 120°, assurent le maintien par déformation élastique. • Goupille élastique : Goupillage économique. Obtenue par enroulement d’une tôle d’acier, elle se maintien dans son logement par déformation élastique. 66 Une clavette Une clavette est une pièce qui a pour fonction de lier en rotation deux pièces (liaison de moyeux) Pr. A. El Khalfi Clavette 67 • Clavette parallèle : Le logement (rainure) peut être à bouts droits ou à bouts ronds, le second étant plus onéreux. • Clavette disque : Fraisage de l’arbre très simple donc peu onéreux Pr. A. El Khalfi 68 Les cannelures Les cannelures permettent de réaliser une liaison complète et de transmettre des couples importants Pr. A. El Khalfi Véritables clavettes taillées dans l’arbre 69 Les formes spéciales Pas de pièce supplémentaire pour réaliser l’obstacle, les deux pièces à assembler possèdent des formes autres que cylindriques de révolution. • Surfaces assurant la MIP : Embout carré + Surface plane (épaulement) • Eléments assurant le MAP : Rondelle + Ecrou H Pr. A. El Khalfi 70 Liaisons complètes permanentes Assemblage par ajustement serré Montage par presse Pr. A. El Khalfi 71 Liaison complète : la soudure • De tous les procédés de base d’assemblage, le soudage est l’un des plus important, il existe de nombreuses méthodes pour souder deux pièces. • Lorsqu’un métal d’apport de composition différente des deux pièces à assembler est utilisé, on ne parle plus de soudage, mais de brasage. Pr. A. El Khalfi Soudage en angle : 1- Métal de base, 2- Cordon de soudure, 3- Source d'énergie, 4- Métal d'apport 72 Liaison complète : Le collage L’ajustement entre les pièces à coller doit être précis. C’est un procédé rapide Pr. A. El Khalfi 73 Pr. A. El Khalfi 74 Pr. A. El Khalfi 75 Exemples de liaisons complètes indémontables Pr. A. El Khalfi 76 Résumé de liaisons Pr. A. El Khalfi Liaisons normalisées 78 Pr. A. El Khalfi Liaisons normalisées 79 Pr. A. El Khalfi Liaisons normalisées 80 Modélisation de mécanisme Pr. A. El Khalfi Exemples Cardan Compresseur Moteur Plateforme Honda Pompe Grinder Equilibreuse Scie 82 Un mécanisme Un mécanisme est un ensemble de pièces mécaniques reliées entre elles par des liaisons cinématiques dans le but de réaliser une ou plusieurs fonctions Un mécanisme est doté : • d'éléments {q1} menant ou pièces d’entrée qui permettent d'animer le mécanisme et lui fournissent l’énergie motrice nécessaire • d'éléments {q2} menés ou pièces de sortie par lesquelles l’énergie sort du mécanisme • d'éléments {q3} liés au bâti (éléments de fixation) Pr. A. El Khalfi 83 Un mécanisme On distingue deux types de mécanismes : • Les mécanismes de transmission d'effort sans mvt où le mvt d’entrée et le mvt de sortie sont de même nature Mécanisme de positionnement (exemple : montage d'usinage) • Les mécanismes de transformation de mvt où le mvt d’entrée et le mvt de sortie sont différents Mécanisme de transmission de mouvement (exemples : réducteur, bielle-manivelle) Pr. A. El Khalfi 84 Fonctionnel d'un mécanisme • La fonction d'un mécanisme est de transformer les signaux d'entrée (mvt ou autres) en signaux de sortie. • Un signal d'entrée ou de sortie peut être une grandeur physique : effort, vitesse, fréquence, impulsions, … s(t) Mécanisme e(t) L'aspect fonctionnel d’un mécanisme se concrétise par une "loi d'entréesortie" qui peut être une relation géométrique, cinématique, mécanique ou énergétique, … entre les paramètres d'entrée et de ceux sortie : Pr. A. El Khalfi Loi E/S : s(t)=f(e(t)) 85 Modélisation d’un mécanisme Modéliser un mécanisme, c’est : • Concevoir un système mécanique doté d’une fonction particulier. • Proposer des solutions d’amélioration sur un système mécanique existant pour le rendre plus perfectionné. • Il est plus souvent difficile de réaliser en une seule liaison la fonction souhaitée. Généralement, il est nécessaire de combiner plusieurs liaisons élémentaires pour ale but souhaitée. Pr. A. El Khalfi 86 Exemple de mécanisme : Borne réglable Structurer l'ensemble de ses pièces par l'intermédiaire de liaisons afin de rendre la borne réglable opérationnel pour un travail précis vue éclatée vue assemblée BORNE RÉGLABLE Pour réaliser ce mécanisme, il faut : • Comprendre d'abord le fonctionnel du mécanisme • Réaliser une étude rigoureuse de l’équilibre de tout le mécanisme Pr. A. El Khalfi 87 Accouplements : mécanisme ou pas ? Les accouplements sont des éléments de liaison entre un arbre moteur et un arbre récepteur et ils permettent de compenser les défauts d’alignement des arbres reliés. • Les accouplement ne sont pas des mécanismes car ils ne comportent que deux éléments et ils sont incapables de transformer un mouvement • Leur vitesse de sortie est inférieure ou égale à leur vitesse d’entrée (embrayage, coupleur) • Les efforts appliqués à l’élément d’entrée sont transmis sans changement à la sortie Pr. A. El Khalfi 88 Exemple d'application des accouplements Pr. A. El Khalfi 89 Analyse des mécanismes Analyser un mécanisme : c'est proposer des solutions de calcul cinématique, mécanique ou énergétique entre les différents éléments d’entrée et de sortie du mécanisme Pour calculer un mécanisme, trois approches sont proposées : • Approche cinématique : mettre en évidence les mouvements relatifs des composants du mécanisme • Approche mécanique (ou statique) : mettre en évidence les efforts mécaniques pour étudier l'équilibre de chaque composant • Approche énergétique : mettre en évidence les puissances transmises par le mécanisme Pr. A. El Khalfi 90 Classe d'équivalence ou groupe cinématique • Les éléments d’un système mécanique n’ayant pas de mouvements relatifs entre eux, définissent ce qu'on appelle : Classe d'équivalence. • Chaque élément d'un mécanisme ne peut-être que dans une et une seule classe d'équivalence • L'ensemble des classes d'équivalences forme le mécanisme entier. • Les classes d'équivalence sont connus en théorie des mécanismes par GROUPES CINÉMATIQUES" ou "SOUS-ENSEMBLES CINÉMATIQUES" et elles représentent des entités cinématiques indépendantes du mécanisme, Pr. A. El Khalfi 91 Graphe des liaisons d'un mécanisme Soit un mécanisme composé de Ns groupes cinématiques et Nl liaisons Le graphe des liaisons est une représentation graphique dans laquelle les groupes cinématiques (sommets) sont reliés par les différentes liaisons possibles (lignes) : Pr. A. El Khalfi 92 Exemple mécanisme : un vélo Classes d'équivalences : • 0 : le sol • 1 : roue avant • 2 : Roue arrière • 3 : Fourche + guidon • 4 : Cadre + selle Pr. A. El Khalfi • • • • Liaisons : L1 : liaison ponctuelle de au point A de normale z L2 : liaison ponctuelle de au point B de normale z L3 : liaison pivot d’axe (C, y) L4 : liaison pivot d’axe (D, y) 93 Graphe d’une borne réglable Embase : {3, 6, 7, 4, 8 } Vis de manœuvre : {5 } Cale : {1 } Pion : {2 } Après avoir dénombré les différentes classes d'équivalences, on affecte les liaisons mécaniques qui les relient entre elles. A chaque contact entre deux classes, il y a une liaison. Le résultat de l'étude sur l'exemple le graphique ci-dessus : Pr. A. El Khalfi 94 Exclus des classes d'équivalence, les éléments de construction (boulons, rivets, goupilles, roulements, ressorts, ….) et les pièces déformables tels que : Pr. A. El Khalfi 95 Schéma cinématique minimal • Le schéma cinématique est une représentation graphique dans laquelle les sommets décrivent les liaisons et les lignes représentent solides du mécanisme. • Un schéma cinématique est dit "minimal" lorsque le graphe cinématique ne représente que les groupes cinématiques (pas tous les solides) avec les liaisons du mécanisme Pr. A. El Khalfi 96 Pourquoi un schéma cinématique ? Le schéma cinématique : • peut être représenté en 2D ou en 3D • représente le comportement cinématique du mécanisme • permet d’aider le concepteur à comprendre le fonctionnement du mécanisme et visualiser le paramétrage du mécanisme • permet de faciliter le calcul des torseurs cinématiques et mécaniques du mécanisme Pr. A. El Khalfi 97 Construction d’un schéma cinématique 1 METHODE D’ELABORATION ETAPE 1 : REPERER LES GROUPES CINEMATIQUES Hélicoïdale Glissière ETAPE 2 : ETABLIR LE GRAPHE DES LIAISONS Pivot ETAPE 3 : IDENTIFIER LES LIAISONS ENTRE LES GROUPES ETAPE 4 : CONSTRUIRE LE SCHEMA CINEMATIQUE MINIMAL 2 - Choisir un point de vue de représentation (plan x,y) 3 Pivot glissant 4 - Repérer la position relative des liaisons (au centre du contact réel) Plus besoin du plan… Pr. A. El Khalfi y x 98 Schéma cinématique METHODE D’ELABORATION ETAPE 1 : REPERER LES GROUPES CINEMATIQUES ETAPE 2 : ETABLIR LE GRAPHE DES LIAISONS 1 Glissière Pivot ETAPE 3 : IDENTIFIER LES LIAISONS ENTRE LES GROUPES ETAPE 4 : CONSTRUIRE LE SCHEMA CINEMATIQUE MINIMAL - Choisir un point de vue de représentation (plan x,y) Hélicoïdale 2 3 Pivot glissant 4 - Repérer la position relative des liaisons (au centre du contact réel) Plus besoin du plan… - Placer les liaisons sur les points identifiés précédemment - Relier les liaisons entre elles en respectant les blocs (couleurs) - Terminer l’habillage du schéma Les classes d'équivalence sont représentées par des traits qui symbolisent les "jonctions matière" entre les différentes liaisons Pr. A. El Khalfi 99 Graphe des liaisons et schéma cinématique Pr. A. El Khalfi 100 Exemple de mécanisme : Serre-joint Le serre-joint est un outil permettant de maintenir en position (d'immobiliser) une ou plusieurs pièces entre elles afin de leur apporter une modification comme : soudage, collage, perçage, …. Pr. A. El Khalfi 101 Structure d'un mécanisme Les mécanismes spatiaux : • Les axes de rotation sont quelconques • les éléments se meuvent dans l’espace Les mécanismes sphériques : • Tous les axes de rotation sont concourants, • les éléments n’effectuent que des rotations Les mécanismes plans : • Les axes de rotation sont parallèles • les mouvements des éléments sont coplanaires et normaux aux axes de rotation. Pr. A. El Khalfi 102 Classification des mécanismes Hypothèses de travail Pour modéliser un système mécanique ou mécanisme, on utilise le plus souvent les hypothèses suivantes : • Les pièces du mécanisme sont considérés indéformables • Les liaisons entre pièces solides sont sans jeu • Les surfaces de contact entre pièces solides sont géométriquement parfaites • Le contact entre différents pièces solides sont de type : plan, sphère, cylindre, hélicoïde, … Un mécanisme modélisé dans ces conditions est appelé : Modèle cinématique Pr. A. El Khalfi 104 Chaine fermée d’un mécanisme Une chaine fermée est un chemin fermé extrait d'un graphe qui part d'un sommet et y revient sans passer plus d'une fois par un même sommet Une chaîne est dite complexe lorsque elle est constituée de plusieurs cycles Pr. A. El Khalfi 105 Cyclomatique d’un mécanisme • Le nombre cyclomatique g d’un mécanisme est le nombre de cycles indépendants que constitue le graphe cinématique. • La théorie des graphes montre que le nombre g ne dépend que du nombre Nsolides des groupes cinématique et du nombre Nliaisons de liaisons : Pr. A. El Khalfi 𝜸= 𝑵𝒍𝒊𝒂𝒊𝒔𝒐𝒏𝒔 – 𝑵𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆𝒔 + 𝟏 106 Exemple 𝑵𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆𝒔 = 𝟓 𝒆𝒕 𝑵𝒍𝒊𝒂𝒊𝒔𝒐𝒏𝒔 = 𝟔 𝜸=𝟐 • Les deux chaînes fermées indépendantes sont : 1-2-5-1 et 2-3-4-5-2 • Il existe une troisième chaîne fermée, 1-2-3-4-5-1, mais déduite des deux précédentes. • Le nombre cyclomatique définit le nombre minimal de chaîne à étudier pour décrire le mécanisme. Pr. A. El Khalfi 107 Mécanisme à cycles On parle de mécanisme à cycles lorsque le graphe des liaisons vérifie : • Le nombre de cyclomatique du mécanisme est supérieur à zéro • Chaque sommet du graphe des liaisons appartient au moins à un cycle Exemple : Le mécanisme "Réducteur" présenté ci-dessous par son schéma cinématique et son graphe des liaisons qui montre un seul cycle : Pr. A. El Khalfi •L(1/0)= "liaison pivot " •L(2/0)= "liaison pivot " •L(1/2)="contact ponctuel" 108 Mécanisme à seul cycle Un mécanisme en chaîne fermée est un mécanisme à un seul cycle et n'ayant pas de groupe cinématique en dehors de la chaîne Pr. A. El Khalfi 𝑁𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒𝑠= 𝑁𝑙𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑠 109 Mécanisme à graphe complexe Un mécanisme est dit complexe lorsque le graphe des liaisons vérifie : • Le nombre cyclomatique est supérieur à zéro • Le graphe comporte au moins un solide ne fait partie d'aucun cycle Mécanisme : Borne réglable : g=6-5+1=2 Le faite que le solide 5 n’appartient à aucun cycle, ceci n'affecte pas le nombre cyclomatique, puisqu’il apporte à la fois un sommet et une liaison Pr. A. El Khalfi 110 Mécanisme à chaîne ouverte Un mécanisme à chaine ouverte est un mécanisme dont le graphe des liaisons est de nombre cyclomatique nul Exemple : Cas des bras articulés utilisés en robotique Pr. A. El Khalfi 111 Mobilité ou DDL d'un mécanisme • La mobilité d’un mécanisme est le nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour décrire sa cinématique. • La mobilité d'un mécanisme n’est pas égale à la somme des mobilités de chacune de ses liaisons. • Le graphe des liaisons peut être utilisé pour déterminer la mobilité et les paramètres indépendants du mécanisme. • Pour un mécanisme à chaines fermés, il est possible d’écrire des équations supplémentaires de fermeture (d'après théorie des graphes) permettant de réduire le nombre de mobilité du mécanisme Pr. A. El Khalfi 112 Modélisation des mécanismes à chaines fermées Analyse géométrique Pour l'étude géométrique d'un mécanisme en boucle fermée, il suffit d'écrire la relation vectorielle reliant les points caractéristiques de chaque solide Oi étant le point caractéristique du solide Si Cette relation vectorielle projetée sur le repère de travail, permet d’écrire 3 équations scalaires reliant les différents paramètres géométriques du mécanisme. Pour d'un mécanisme plan (2D), le nombre d’équation se réduit à deux. Pr. A. El Khalfi 114 Analyse cinématique • La cinématique est l'étude des mouvements possibles entre solides sans tenir compte des causes qui les provoquent • Hypothèse : Eléments du mécanisme sont des solides indéformables ou groupes cinématiques • Un groupe cinématique (par abus on l'appelle solide indéformable) correspond à un groupe de pièces n'ayant pas mvt entre elles au cours du fonctionnement normal, appelées Groupes de pièces cinématiquement lié ou groupes cinématiques Pr. A. El Khalfi 115 Détermination du nombre d'équations • Les chaînes fermées indépendantes du mécanisme étant dénombrées • le mécanisme est déterminé par l'application de la loi de bouclage cinématique appliquée sur chacune des chaînes : Pr. A. El Khalfi Pour un cycle e, on a : 𝜏𝑐 𝑖 (𝑖 + 1) 𝑒 = 0 𝑖 • c : torseur cinématique • e : indice de la chaine fermée • i : indice des éléments de la chaine fermée 116 • Il y a autant d'équations torsorielles indépendantes que de chaînes fermées indépendantes. • Pour un mécanisme de g chaines fermées, le nombre Nc d’équations cinématiques à résoudre est : 𝑁𝑐 = 6 𝛾 Car chaque chaine fermée possède 6 équations cinématiques (6 composantes). Pr. A. El Khalfi 117 Exemple L'exemple ci-dessous présente deux chaines fermées : Nsolides=5 et Nliaisons=6 g=2 Chaînes fermées indépendantes : 1-2-5-1 et 2-3-4-5-2 Au total : • 𝜏 𝐿1 + 𝜏 𝐿2 + 𝜏 𝐿5 = 0 𝑁𝑐 = 6𝛾 = 6 𝑥 2 • 𝜏 𝐿2 + 𝜏 𝐿3 + 𝜏 𝐿4 + 𝜏 𝐿5 = 0 = 12 équations à résoudre Si l'on somme les 2 équations précédentes, on obtient : 𝜏 𝐿1 + 𝜏 𝐿2 + 𝜏 𝐿3 + 𝜏 𝐿4 + 𝜏 𝐿5 = 0 qui correspond à la troisième chaîne fermée trouvée, 1-2-3-4-5-1 Pr. A. El Khalfi 118 Système d’inconnues cinématiques d’une chaine fermée Le nombre d'inconnues cinématiques 𝐼𝑐 d'un mécanisme est la somme des mobilités de chacune des liaisons présentes dans le mecanisme : Le système des équations cinématiques peut s'écrire : Si Rang[NC]=IC implique la solution du système est nulle, on a alors : • tous les paramètres cinématiques sont nuls • le mécanisme forme une structure rigide; aucun mvt n'est possible Pr. A. El Khalfi 119 Mobilité ou d.d.l d'un mécanisme La mobilité ou d.d.l. d'un mécanisme est le nombre de mouvements indépendants que permet le mécanisme. Elle est calculée par la relation : m = IC - Rang[NC] Nombre d'inconnues m≥0 Rang[NC] ≤ min(IC,NC) Pr. A. El Khalfi Rang (Nc) Rang (Nc) Nc m = IC - Rang[NC] h = NC – Rang[NC] Ic Nombre d'équations m Ic = 0 h 120 Mobilité, c’est quoi exactement ? La mobilité m d'un mécanisme correspond généralement aux paramètres d'entrée du mécanisme permettant de construire la loi entrée-sortie du mécanisme Paramètres d'entrée du mécanisme Un mécanisme peut posséder plusieurs mobilités ou au contraire aucune auquel cas il est immobile Pr. A. El Khalfi 121 Mobilité utile et mobilité interne • La mobilité utile 𝑚𝑢 est le nombre de mouvements à fournir (via un actionneur, par exemple) au mécanisme pour le mettre en mouvement • La mobilité interne 𝑚𝑖 est le nombre de mouvements indépendants ne faisant intervenir aucun des paramètres d'entrée-sortie • La mobilité du mécanisme est : 𝑚 = 𝑚𝑢 + 𝑚𝑖 • Les mobilités utile et interne relèvent de l'interprétation technologique que l'on donne aux différents mouvements possibles trouvés au sein du mécanisme • La théorie des mécanismes seule ne permet pas de faire de distinction ! Pr. A. El Khalfi 122 Mécanisme : Bielle- manivelle –piston • mu =1 • mi = 0 • Mobilité : m=1 Pr. A. El Khalfi 123 Indice de mobilité d'un mécanisme à chaines fermé L’indice de mobilité d'un mécanisme à chaines fermées est défini par la relation : 𝐼𝑐 − 𝑁𝑐 Le nombre [𝐼𝑐 − 𝑁𝑐 ] est un entier relatif, peut être positif ou négatif Pr. A. El Khalfi 124 Liaisons parallèles et liaisons en série Liaisons en parallèle Une chaine de liaisons entre deux solides est dite "en parallèle" si chacune des liaisons permet de relier directement les deux solides. Le graphe traduisant cette définition a la forme suivante : Dans ce cas, on a égalité des torseurs cinématiques Pr. A. El Khalfi 𝝉𝒄𝑳𝟏 = 𝝉𝒄 𝑳𝟐 = ⋯ = 𝝉𝒄 𝑳𝒏 126 Liaison équivalente pour une chaine à liaisons en parallèles Une liaison est dite équivalente à un ensemble de liaisons cinématiques en parallèles situées entre les solides Sp et Sq s'elle autorise le même mouvement relatif Sp/Sq que chacune des liaisons. Le torseur cinématique de la liaison équivalente est : Pr. A. El Khalfi 𝝉𝒄𝒑 ∕ 𝒒 𝑳𝒆𝒒 = 𝝉𝒄 𝑳𝟏 = 𝝉𝒄 𝑳𝟐 = ⋯ = 𝝉𝒄 𝑳𝒏 127 Liaisons en série Une chaine de n liaisons est dite "en série" s’elles réalisent entre les solides Sp et Sq une chaine ouverte de liaisons disposées l'une à la suite de l'autre par l'intermédiaire de (n-1) solides Le graphe traduisant cette définition a la forme suivante : Pr. A. El Khalfi 128 Liaison équivalente pour une chaine à liaisons en série Une liaison est dite équivalente à un ensemble de liaisons cinématiques en série situées entre les solides Sp et Sq s'elle autorise le même mouvement relatif Sp/Sq que l'ensemble des liaisons. Le torseur cinématique de la liaison équivalente est : Pr. A. El Khalfi 𝝉𝒄𝒑 ∕ 𝒒 𝑳𝒆𝒒 = 𝝉𝒄 𝑳𝟏 + 𝝉𝒄 𝑳𝟐 + ⋯ + 𝝉𝒄 𝑳𝒏 129 Bouclage cinématique d'une chaine fermée Une chaine est fermée si les deux solides extrêmes sont reliés directement entre eux par une liaison Le graphe traduisant cette définition a la forme suivante : Le torseur cinématique de la liaison équivalente est : Pr. A. El Khalfi 𝝉𝒄𝑳𝟏 + 𝝉𝒄 𝑳𝟐 + ⋯ + 𝝉𝒄 𝑳 𝒏 = 𝟎 Relation du bouclage cinématique 130 Applications Calcul d'une chaine en série Le mécanisme ci-dessous présente 2 liaisons positionnées en série: • L1 : une liaison rotule • L2 : une liaison plane 𝐴𝐵 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 R(A,x,y,z) est un repère ortho. lié au corps S1 de la pompe Pr. A. El Khalfi Déterminer la nature de la liaison équivalente 132 Solution L1 la liaison rotule (centrée en A) entre le solide S1 et S2 𝜏𝑐(1/2) L2 la liaison plane (centrée en B) entre le solide S1 et S0 (le bâti) 𝜏𝑐(1/2) 𝜔𝑥1 = 𝜔𝑦1 𝜔𝑧1 𝐿1/𝐴 𝐿2/𝐵 0 = 0 𝜔𝑧2 0 0 0 𝑉𝑥2 𝑉𝑦2 0 𝐴 𝐵 Exprimons les torseurs cinématiques de chacune des liaisons au même point (par exemple le point A) : Pr. A. El Khalfi 𝑉𝑥2 0 𝑉𝑥2 + 𝑎𝜔𝑧2 0 𝑉𝑦2 𝑉(𝐴) = 𝑉𝑦2 + 0 ⋀ −𝑎 = 𝜔𝑧2 −𝑏 0 0 𝑉 (𝐵) 𝜏𝑐(1/2) 𝐿2/𝐴 = 0 0 𝜔𝑧2 Ω L2 𝐵𝐴 𝑉𝑥2 + 𝑎𝜔𝑧2 𝑉𝑦2 0 𝐴 133 Les 2 liaisons sont positionnées en série, la relation fermeture cinématique du système mécanique s’écrit donc : 𝜏𝑐 (1/2) 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 On déduit : 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝜔𝑧 𝑉𝑥 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝐿𝑒𝑞/𝐴 𝐴 𝑉𝑥 𝑉𝑦 𝑉𝑧 = 𝜏𝑐 (1/2) 𝜔𝑥1 = 𝜔𝑦1 𝜔𝑧1 𝐴 0 0 0 𝐴 𝐿1/𝐴 + 𝜏𝑐 (1/2) 0 + 0 𝜔𝑧2 𝜔𝑥1 𝜔𝑦1 = 𝜔𝑧1 + 𝜔𝑧2 𝐿2/𝐴 𝑉𝑥2 + 𝑎𝜔𝑧2 𝑉𝑦2 0 𝐴 𝑉𝑥2 + 𝑎𝜔𝑧2 𝑉𝑦2 0 Le torseur présente cinq inconnues cinématiques non nulles, avec trois degrés de liberté en rotation et 2 degrés de liberté en translation La liaison équivalente est une liaison ponctuelle Pr. A. El Khalfi 134 Calcul d’un assemblage avec clavette z • • • • L1 : appui plan de normale (ox) L2 : appui plan de normale (ox) L3 : encastrement L4 : pivot glissant d'axe (oy) Pr. A. El Khalfi S3 : Clavette S2 : Arbre y O S1 : Alésage Calculer la liaison équivalente 135 Corrigé Les liaisons appui-plan L1 et L2 sont en parallèles et ont la même normale (ox), le torseur cinématique de la liaison équivalente s'écrit : 𝜏𝑐 (1/3) 𝐿∗ = 𝜏𝑐 (1/3) 𝐿1 = 𝜏𝑐 (1/3) • Torseur de la liaison L3 : 𝜏𝑐 (3/2) 𝐿3 = • Torseur de la liaison L4 : 𝜏𝑐 (1/2) 𝐿4 = 0 0 0 0 𝜔𝑥4 0 0 0 0 𝐿2 𝜔𝑥 0 0 = 0 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑂 𝑂 0 𝑉𝑦4 0 𝑂 La chaine étant fermée avec des liaisons L1 , L2 , L3 et L4 qui sont en série la loi cinématique de fermeture s'écrit donc : Pr. A. El Khalfi 𝜏𝑐(1/3) 𝐿∗ + 𝜏𝑐 (1/3) 𝐿3 + 𝜏𝑐 (1/3) 𝐿4 = 0 136 On a donc : On déduit : 𝜔𝑥 0 0 0 𝑉𝑦 𝑉𝑧 𝑂 0 0 + 0 0 0 0 𝜔𝑥= 0 0 = 𝜔𝑥4 0=0 𝑂 0 = 𝜔𝑥4 0 0=0 𝑉𝑦 = 𝑉𝑦4 𝑉𝑧 = 0 0 𝑉𝑦4 0 𝑂 𝑂 Leq est une liaison glissière de direction (oy) • On constate que deux équations de type (0=0) ne servent pas à la résolution du mécanisme • Ces deux équations définissent le nombre d'hyperstatisme du mécanisme on dit que le degré d'hyperstatisme du mécanisme est égal à 2 • Le nombre d'hyperstatisme définit le nombre de degré de liberté pour garantir un montage et un fonctionnement sans contraindre le mécanisme Pr. A. El Khalfi 137 Hyperstatisme / isostatisme d'un mécanisme Un mécanisme hyperstatique / isostatique • Un mécanisme est dit hyperstatique lorsque les liaisons cinématiques du mécanisme interdisent de façon surabondante des degrés de liberté en vue d’obtenir les mouvements de sortie attendus. • Un mécanisme est dit isostatique lorsque les liaisons cinématiques du mécanisme interdisent de façon optimale des degrés de liberté en vue d'obtenir les mouvements de sortie attendus. • Un système en chaîne ouverte est toujours isostatique Pr. A. El Khalfi 139 Hyperstatisme d'un mécanisme dans le système des inconnus cinématiques Pour un mécanisme à chaines fermées le système des inconnues cinématiques s’écrit : m = IC - Rang[NC] h = NC – Rang[NC] L'hperstatisme h d'un mécanisme est le nombre de conditions géométriques et/ou dimensionnelles qu'il faut imposer au mécanisme pour que celui-ci fonctionne correctement : • Lorsque h = 0, on qualifie le système d’isostatique. • Lorsque h > 0, on qualifie le système d’hyperstatique. Pr. A. El Khalfi 140 Exemple d’interprétation de l’hyperstatisme Il s'agit d'un mécanisme constitué de deux pièces de géométrie parfaite. La pièce 1 est guidée par rapport à la pièce 0 par deux liaisons "pivot glissant" Pour que le mécanisme fonctionne correctement, il faut que : • les axes des deux alésages soient parallèles deux conditions géométriques. • l’entraxe des deux cylindres du solide 1 soit le même que l’entraxe des deux alésages du solide 0 1 condition dimensionnelle Il faut donc imposer 3 conditions Degré d’hyperstatisme est 3 Pr. A. El Khalfi 141 Exemple En éliminant certaines liaisons (mobilité) le mécanisme devient enfin hyperstatique Pr. A. El Khalfi 142 Mécanisme hyperstatique et isostatique ? Mécanisme isostatique • Bonne connaissance des surfaces de contact • Montage facile • Cotation simplifiée • Fabrication aisée Mécanisme hyperstatique • Rigidité • Stabilité Pr. A. El Khalfi Calcul : L=1400 , D=20 , F = 1 kN • Isostatique : flèche = 34mm • Hyperstatique : flèche = 9 mm 143 Avantages et inconvénients des mécanismes hyperstatiques - Pour un mécanisme hyperstatique : • Chaque hyperstaticité correspond à une contrainte géométrique forte. • La mise en position des pièces doit être plus précise pour permettre le montage. Le système est alors plus rigide - La contrepartie des mécanismes hyperstatiques est qu’ils sont plus difficiles à réaliser et donc plus coûteux. Pr. A. El Khalfi 144 Remarque • Un mécanisme hyperstatique est souvent plus rigide qu'un mécanisme isostatique, ce qui est un facteur de précision de position d'une pièce par rapport à une autre. • Une telle construction est généralement employée pour des mécanismes de transmission d'actions mécaniques importantes. Pr. A. El Khalfi 145 Difficultés des mécanismes hyperstatiques • Lors de la conception d’un mécanisme d’hyperstaticité h, il faut prendre des précautions pour mettre en place les h conditions géométriques à respecter : coaxialité, distance, parallélisme, perpendicularité, …. • La recherche du degré d'hyperstatisme étant faite sur un schéma où les liaisons sont parfaites où les frottement et les jeu sont négligeables et les solides sont indéformables. • Pour construire un mécanisme réellement hyperstatique, le constructeur doit interpréter les conclusions de l'étude théorique faite en fonction des solutions technologiques envisagées : le solide est-il réellement rigide, le jeu du modèle de liaison est-il réellement négligeable, … Pr. A. El Khalfi 146 Avantages et inconvénients des mécanismes isostatiques Avantages : • Un système isostatique est plus économique puisqu’il n’est pas nécessaire de lui imposer des contraintes géométriques coûteuses. • Il est possible de quantifier les inconnues de liaison permettant ainsi de dimensionner les différents composants du mécanisme. • Il est plus facile à réaliser du point de vue des contraintes dimensionnelles et géométriques • Se prête facilement aux calcul mécanique Inconvénients : • Il est souvent moins rigide qu’un mécanisme hyperstatique Pr. A. El Khalfi 147 Calcul de l'hyperstatisme d'un mécanisme Le degré d’hyperstatisme h d'un mécanisme est déterminé par : h = NC - Rang[NC] h ≥ 0 , en effet Rang[NC] ≤ min(IC,NC) Par un calcul cinématique, si on a : 𝜔𝑥 = 0 0 = 𝜔𝑥4 0=0 Le degré d'hyperstatisme est : Pr. A. El Khalfi Nc=6 0=0 𝑉𝑦 = 𝑉𝑦4 𝑉𝑧 = 0 𝑂 Rang[Nc]=4 h=2 148 • Si h0 : Le mécanisme est dit hyperstatique Il y a donc dépendance entre les équations issues du bouclage cinématique (équations sous forme 0=0) • Si h=0 : Le mécanisme est dit isostatique les 6 équations issues du bouclage cinématique sont indépendantes Pr. A. El Khalfi 149 En résumé Formules de mobilité Le degré de mobilité m et le degré d'hyperstatisme h d'un mécanisme sont liés par la relation : m – h =IC - NC = IC-6g • IC : le nombre d'inconnues cinématiques • Nc : nombre d'équations cinématiques (=6g) • g : le nombre de cylomatique du mécanisme o Indice de mobilité du mécanisme mc= m - h= IC - NC o Mécanisme à une boucle m – h = IC - 6 o Mécanisme plan Pr. A. El Khalfi m – h = IC - 3 g 150 o Le système du bouclage cinématique : Pr. A. El Khalfi m = IC - Rang[NC] et h = NC – Rang[NC] 151 Approche statique des mécanismes Approche statique On considère le mécanisme de graphe cinématique suivant : • Ns : Nombre de sommets (pièces) du graphe • NL : Nombre de lignes (liaisons) du graphe On appelle action mécanique toute cause susceptible : • de maintenir un corps au repos • de créer un mouvement • de déformer un corps Pr. A. El Khalfi 153 Nombre d'équations & d'inconnues L'approche statique consiste à étudier le mouvement ou l'équilibre de chacune des pièces du mécanisme par rapport à un référentiel (par exemple :la Bâti) Pour le mécanisme étudié on dénombre Ns-1 solides • Nm : Nombre d'équations Pr. A. El Khalfi Nm = 6 (Ns-1) 154 Torseur des actions mécaniques transmissibles d'une liaison • Le contact S1/S2 est parfait : aucune adhérence et ni frottement • La force élémentaire df de l'effort (21) est perpendiculaire à la surface élémentaire ds entourant le point de contact P • L'action mécanique résultant du contact S2/S1 est modélisée par le torseur statique t s ( 21) Pr. A. El Khalfi df R S M A A S AP df A A : centre de la liaison 155 En utilisant la loi de distribution des moments : M P M A R AP avec R S df Le torseur statique en un point P quelconque est : Pr. A. El Khalfi R R 0 M M P P A A R AP 156 Hypothèse de liaison parfaite L'hypothèse des liaisons parfaites entraine que le torseur des actions mécaniques transmissibles et le torseur cinématique sont réciproques : 𝜏𝑐(𝑖/𝑗) 𝑒 . 𝜏𝑠 (𝑗 → 𝑖) 𝑒 = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟𝑐ℎ𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒 Pour une liaison parfaite e donnée à k inconnues cinématiques 6-k inconnues d'actions mécaniques transmissibles Pr. A. El Khalfi 157 Système d'équations L'équilibre étant établit pour chaque solide, le système d'équations s'écrit : Poids - Couple ou effort, moteur ou résistant - actions externes ou internes dues à des éléments déformables - ... Forces dynamiques Le nombre Im : • est le nombre d'inconnues d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons du mécanisme. • est la somme des inconnues d'actions mécaniques transmissibles par des liaisons. 158 Pr. A. chacune El Khalfi Exemple Posons : l=AB y z Liaison rotule Liaison rotule X1 0 1s Y1 0 Z 0 1 A x Equilibre au point A X2 2s Y2 Z 2 0 0 0B X 2 l 0 Cette équation ne peut être utilisée (elle correspond à la M 2 ( A) M 2 ( B) R( 21) BA Y2 0 lZ 2 mobilité du système) Z 0 lY 2 2 X1 0 X 2 1 2 Y 0 s A s A 1 Y2 Z 0 Z 1 2 Pr. A. El Khalfi 0 X1 X 2 00 lZ 2 Y1 Y2 0 lZ 2 lY2 Z1 Z 2 0 lY2 Il y a 5 équations utiles et 6 inconnues Le système est hyperstatique de degré 1 159 On constate que : • Le système comporte 5 équations avec six inconnues • le Rang est égal à 5 • Il faut donc fixer un paramètre pour pouvoir calculer les autres On dit alors que le système est hyperstatique de degré 1 • • Le système comporte une équation surabondante de forme (0=0) Cette équation représente la mobilité du mécanisme (m=1) Pr. A. El Khalfi 160 Mécanisme isostatique • Un mécanisme est isostatique si le PFD suffit à déterminer toutes les inconnues des liaisons • Le mécanisme isostatique est un mécanisme dont les liaisons réduisent les mobilités pour obtenir la cinématique désirée Pr. A. El Khalfi 161 Exemple y z x Liaison pivot-glissant Liaison rotule X1 0 1s Y1 0 Z 0 1 A S1 0 2 Y s 2 Z 2 S2 0 0 0B Posons : l=AB Equilibre au point A Cette équation ne peut être utilisée (elle correspond à la mobilité du système) 0 l 0 M 2 ( A) M 2 ( B) R( 21) BA Y2 0 lZ 2 Z 0 lY 2 2 0 X1 0 00 X1 0 0 1 2 Y s A s A 1 0 Y2 lZ 2 Y1 Y2 0 lZ 2 Z 0 Z 1 2 lY2 Z1 Z 2 0 lY2 Pr. A. El Khalfi Il y a 5 équations pour 5 inconnues de liaison Mécanisme isostatique 162 Hyperstatisme - isostatisme - Un système mécanique est isostatique si le nombre d'inconnues statiques est égal au nombre d'équations indépendantes issues du P.F.D - Un système est hyperstatique si le nombre d'inconnues des liaisons Im est supérieur au nombre Rang(Nm) d'équations indépendantes : h=Rang(Nm)-Im Pr. A. El Khalfi 163 Résolution d'un mécanisme hyperstatique Dans le cas d'un mécanisme hyperstatique, la résolution du problème statique, à l’aide seulement du P.F.D, est impossible. On propose : • rendre le système isostatique • utiliser des équations supplémentaires : relations géométriques, lois sur le frottement, compatibilité cinématique, … • utiliser des hypothèses simplificatrices : mécanisme plan, composantes négligées, … • garder le système hyperstatique et trouver un autre moyen pour calculer les efforts • garder le système hyperstatique et s’assurer que les inconnues hysperstatiques soient négligeables Pr. A. El Khalfi 164 Quelle approche faut-il privilégier ? Pour une recherche de mobilité et de degré d'hyperstatisme, l'approche cinématique est à privilégier car : • Les grandeurs manipulées sont observables et mesurables • Le nombre d'équations à manipuler est en général bien inférieur à celui obtenu par l'approche statique L'approche statique est privilégiée pour dimensionner les composants d'un mécanisme, il suffit de connaître les torseurs d'actions mécaniques transmissibles par les liaisons. Pr. A. El Khalfi 165 Degré d'hyperstatisme Le système d'équation s'écrit sous la forme : avec Rang[Nm] ≤ min(Im,Nm) Le degré d'hyperstatisme h d'un mécanisme est : h = Im - Rang[Nm] Le nombre h est toujours positif car Rang[Nm] ≤ min(Im,Nm) Pr. A. El Khalfi 166 Mobilité d'un mécanisme La mobilité d'un mécanisme peut aussi être défini comme : Im m = Nm - Rang[Nm] Nm Rang (Nm) Rang (Nm) h Im = Eff orts ext m Le nombre m exprime le nombre d'équations de forme (0=0) ne servant pas à la résolution pour l'équation homogène associée Pr. A. El Khalfi 167 Relation utile 𝑚 − ℎ = 𝑁𝑚 − 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝑁𝑚 ) − 𝐼𝑚 − 𝑅𝑎𝑛𝑔(𝑁𝑚 ) = 𝑁𝑚 − 𝐼𝑚 𝑂𝑟 𝑁𝑚 = 6 (𝑛 − 1) 𝑂𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑡 ∶ 𝑚 − ℎ = 6(𝑛 − 1) − 𝐼𝑚 𝑃𝑜𝑢𝑟𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑗, 𝑜𝑛 𝑎 ∶ Icj + Imj = 6 n 𝑃𝑜𝑢𝑟𝑛 𝑙𝑖𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑠, 𝑜𝑛 𝑎 ∶ j Icj + Imj = Ic + Im = 6n On déduit finalement que : m − h = 6(n − 1) − Im = Ic − 6 • Cette formule est utile pour calculer le degré d’hyperstatisme d'un mécanisme connaissant sa mobilité et la nature de ses liaisons. • Par contre, pour identifier les inconnues hyperstatiques dans le système, il faut obligatoirement dresser tout le système et détecter les inconnues incalculables. Pr. A. El Khalfi 168 Indice de mobilité On a : 𝑁𝑚= 6(𝑁𝑠 − 1) 𝑁𝐿 𝐼𝑚= 𝑁𝐿 𝐼𝑚𝑒 = 𝑒 (6 − 𝐼𝐶𝑒 ) = 6𝑁𝐿 − 𝐼𝐶 𝑒 L'indice de mobilité est : mC = Nm-Im= 6 (NS-1)-(6NL-IC)= IC- 6(NL-NS+1) =IC-NC Pr. A. El Khalfi 169 Résumé L’étude cinématique et l’étude statique conduisent à la même valeur de l’indice de mobilité à condition qu’il y ait dualité entre le torseurs cinématiques et ceux des efforts transmissibles des liaisons. Cette dualité est acquise lorsque les liaisons sont parfaites Pr. A. El Khalfi 170 En résumé Approche cinématique Approche dynamique Nombre de pièces d'un mécanisme Ns Nombre de liaisons Nl Nombre cyclomatique g=Nl-Np+1 Nombre d'équations Nc=6g Nm=6(Ns-1) Nombre d'inconnues Ic Im Indice de mobilité Ic - N c N m - Im Mobilité d'un mécanisme m = IC - Rang[NC] m = Nm - Rang[Nm] Degré d'hyperstaticité h = NC - Rang[NC] h = Im - Rang[Nm] Approche globale Ic - N c = m - h N m - Im = m - h Pr. A. El Khalfi 171 Pr. A. El Khalfi Modèle cinématique 172 Méthode générale de résolution d'un problème de statique Pr. A. El Khalfi 173 Mécanisme à chaine ouverte Mécanisme à chaine ouverte • Un mécanisme peut être à chaine ouverte, c’est-à-dire le graphe des liaisons n’est pas bouclé, c’est généralement le cas des manipulateurs et robots. • Un graphe est dit ouvert s'il existe un ou plusieurs sommets par lesquels ne passe aucun cycle Pr. A. El Khalfi 175 Chaîne ouverte : Une chaine de liaisons est dite ouverte s'il n'existe pas de boucle. En partant du bâti, on va de solide en solide jusqu’au solide final. Un mécanisme à chaîne ouverte de solides est, le plus souvent, un robot. Le premier solide étant le bâti et le dernier l'élément de préhension ou pince. Pr. A. El Khalfi 176 Etude statique d’une chaine ouverte Supposons que la chaine ouverte ci-contre soit dans une configuration d’équilibre Etudions successivement l’équilibre des sous-ensembles : 𝑆𝑛 , 𝑆𝑛 , 𝑆𝑛−1 , 𝑆𝑛 , 𝑆𝑛−1 , 𝑆𝑛−2 , … , 𝑆𝑛 , 𝑆𝑛−1 , … , 𝑆1 Le sous-ensemble 𝑆𝑛 , … , 𝑆1 est soumis 𝐿 • au torseur mécanique 𝜏𝑠 𝑛 par la liaison 𝐿𝑛 • à l’action des efforts extérieurs 𝜏𝑒𝑥𝑡 L’équilibre du sous-ensemble 𝑆𝑛 , … , 𝑆1 permet d’écrire : 𝐿 𝜏𝑠𝑛 = 𝜏𝑒𝑥𝑡 Pr. A. El Khalfi 177 Même raisonnement est valable pour les sous-ensembles : 𝑆𝑛 , 𝑆𝑛−1 , 𝑆𝑛 , 𝑆𝑛−1 , 𝑆𝑛−2 , … , 𝑆𝑛 , … , 𝑆1 A l’équilibre : • • 𝐿𝑒𝑞 𝜏𝑠 𝐿𝑒𝑞 𝜏𝑠 𝑆𝑛,𝑆𝑛−1 = 𝜏𝑒𝑥𝑡 𝑆𝑛,𝑆𝑛−1 ,𝑆𝑛−2 = 𝜏𝑒𝑥𝑡 • … • 𝐿𝑒𝑞𝑆𝑛 ,…,𝑆1 𝜏𝑠 Pr. A. El Khalfi = 𝜏𝑒𝑥𝑡 178