Cours Hydrostatique TC3 v2008

Institut National AgronomiqueDépartement du Génie Rural Section Hydraulique Agricole Fouad Sellam Contact : [email protected] Objectifs et Moyens   Etablir les bases fondamentales de la mécanique des fluides Illustrations à travers des applications pratiques par les TD et TP LIQUIDES LIQUIDES STATIQUE STATIQUE F 0 i DYNAMIQUE DYNAMIQUE F  0 GAZ GAZ i Compressibilité Compressibilité Densité Densité Fluides au repos Statique des fluides Fluides en mouvement Dynamique des fluides Viscosité Viscosité Pression de vapeur Fluide = Eau Tension superficielle HYDROSTATIQUE HYDRODYNAMIQUE .2..1..Le Système d’Unités SI I.Densité Relative : I...La Viscosité Cinématique .Densité de masse ou ‘’ Masse Volumique ‘’ : b.Les Densités a.2.2....1..PLAN SOMMAIRE           I.INTRODUCTION I.Les Propriétés des Fluides I.Poids Spécifique : c..2.Les Viscosités a.La Viscosité Dynamique b. ..II..3..1.1.Cas des Forces de Pression exercées par les Fluides sur des Surfaces Planes  II.4..Equation Fondamentale de l’Hydrostatique  II.5.2.Loi de Pascal  II...Cas des Forces de Pression exercées par les Fluides sur des Surfaces Courbes  .Notion de Pression  II.Dispositifs de mesure de la pression  II..2.Forces de Pression des Fluides sur les Surfaces  II.STATIQUES DES FLUIDES  II.2.2. .2.1..Les Pertes de Charge Locales ou Singulières III.2..           III.DYNAMIQUE DES FLUIDES III..4..4.2.Branchements de Conduites III.Equation Générale d’Ecoulement ou Equation de Bernoulli III.1..1.Conduites à Section variable ( Conduites multiples ) ..2.2..Conduite à Section Constante ( Conduite simple ) III..3.Les Principes de Base III.4.Les Pertes de Charge Linéaires ou Réparties III.Les Pertes de Charge III.2.1.1.1..1..Principe de Conservation de Masse ou Equation de Continuité III.Les Régimes d’Ecoulement : Le Nombre de Reynolds III. nottingham. Sellam Handbook of applied Hydraulics .ead.SUPPORTS BIBLIOGRAPHIQUES       Polycopiés d’Hydraulique Générale et Appliquée .html . I.uk/~eazksim/fluids1/index. Naoumenko Hydraulique générale .univ.fr/~chaussed/ http://www. Carlier Polycopiés ‘’ Exercices d’Hydraulique générale avec corrigés ‘’ .ac. Tome 1 et 2 .angers. Davis et Sorensen http://www. Tome 1-2 . F. Equation de Bernoulli et de Continuité .Hydrodynamique : ..Calcul des Forces de pression hydrostatiques sur les parois planes et courbes • 2..Branchement de conduites .Hydrostatique : .Calcul des Pressions à l’aide des manomètres .• 1. • 1.Le Débimètre de Venturi .Ecoulement à travers les orifices et ajutages ..Hydrostatique : .Centre de pression hydrostatique • 2..Hydrodynamique : .        APPLICATIONS : Hydrologie des cours d’eau Systèmes de distribution d’eau Constructions des barrages et autres ouvrages hydrauliques Irrigation et Drainage Stations de pompage d’eau ( pompes et turbines hydrauliques ) Hydraulique souterraine ( écoulements des nappes d’eau souterraines et forages d’eau ) . . 1.I..Le Système d’Unités SI Grandeur de Base Nom de L’Unité Symbole Dimension Longueur Mètre m L Masse Kilogramme kg M Temps Seconde s T . s-2 ML-2T-2 Viscosité Kg/m/s .m/s .m-1.s-2 LT-2 Force Kg.s-2 ML2T-2 Puissance Kg. Pa (Pascal) ./s2 .m . kg.s-1 ML-1T-1 . kg.s-3 ML2T-3 Pression Kg/m/s2 . kg. N (Newton) .m.s-1 LT-1 Accélération m/s2 .m2. W (Watt) .s-2 MLT-2 Energie Kg. m.Caractéristique Unité SI Dimension Vitesse m/s . J (Joule) .m-2.m-3 ML-3 Poids Spécifique Kg/m2/s2 . kg.s/m2 .m/s2 .m2. N.m-1. N. N/m2 . kg.s-2 ML-1T-2 Masse Spécifique Kg/m3 .m2/s3 .m2. m. N. kg. N/m3 . kg. 2..I.2.Les Propriétés des Fluides I..1.Les Densités   M V Unités kg Kg m3 m3 Valeurs Particulières : • Eau : ρw = 1000 kg/m3 • Mercure : ρHg = 13546 kg/m3 Dimensions ML-3 . Poids Spécifique : W Mg   V V   g  Unités Kg m x m3 s2 N (Newton) N m3 Dimensions ML-2T-2 Valeurs Particulières : • Eau : γw = 9.814 x 1000 = 9814 N/m3 • Mercure : γHg = 9..b.814 x 13546 = 132940 N/m3 . Densité Relative :  D   Valeurs Particulières : • Eau : Dw = 1 • Mercure : DHg = 13.m Kg .6 3 Kg ..m 3 Unité Adimensionnel ( sans unité ) .c. 2.2.Les Viscosités La viscosité µ est une propriété d’un fluide due à la cohésion et à l’interaction entre les molécules qui présentent une résistance aux déformations . Tous les fluides sont visqueux et obéissent à la loi de viscosité établie par Newton : du   dy  : Contrainte de déformation tangentielle du dy : Gradient de vitesse d’écoulement  : Viscosité dynamique ..I. .552 kg.14 x 10-3 kg.m-1.m-1.m-1.m 2  kg.s-1 .La Viscosité Dynamique   du  Force Vitesse ForcexTemps     N .s-1 Valeurs Particulières : • Eau : µw = 1.a.m 1 .s 1 du Surface Dis tan ce dy Surface dy Remarque :  est généralement exprimée en Poise (Po) : 10 Po = 1 kg.s-1 • Mercure : µHg = 1.s. 14 x 10-6 m2.s-1 .s-1 • Mercure : υHg = 1..b.s-1 Valeurs Particulières : • Eau : υw = 1.La Viscosité Cinématique     Unité : m2/s Dimension : L2T-1 Remarque :  est généralement exprimée en Stokes (St) : 104 St = 1m2.145 x 10-4 m2. 520 10 1.010 25 0. °C υeau .140 20 1.724 40 0.897 30 0.556 60 0.310 15 1.790 5 1. m2/s ( x 10-6) 0 1.477 100 0.296 .804 35 0.661 50 0.  f (T  c ) Température . M   V    1000 Kg / m 3   g    9814 N / m 3 D        du dy     D  1   1.14x106 m2 / s .14x103 Kgm1s1   1. . II..Notion de Pression P  F S Force  Surface Unité : N/m2 ou kg.s-2 Dimension : ML-1T-2 Remarque : La pression peut aussi s’exprimer en : Pascal ( Pa ) : 1 Pa = 1 N/m2 Bar ( Bar ) : 1 Bar = 105 N/m2 .m-1.1. . y et s : Etablissons la relation entre Px .Loi de Pascal : Pression en un point d’un fluide Ps B Blaise Pascal (1623(1623-1662) z s A Px C y F  E Considérons un élément d’un fluide ABCDEF ( prisme triangulaire ) et soient Px .2.II. Py et Ps les pressions dans les 3 directions x . Py et Ps ! x Py D . yz .Force due à Px : Fxx  Px .sz car donc : Px . sin  )   Ps .yz et puisque le fluide est en équilibre : d’où : sin   Px  Ps Fxx  Fyx  Fsx  0 y s .( ABFE )  Px .Composante due à Ps : Fsx   Ps .( ABCD.* Selon l’axe des x : .Force due à Py : F yx  0 .Ps . yz . yz  0 et donc : y s Fsx   Ps . cos  )   Ps .(CDEF )  Py . xz . xz  0 et donc : x s Fsy   Ps .* Selon l’axe des y: .Force due à Px : Fxy  0 .Composante due à Ps : Fsy   Ps .Force due à Py : Fyy  Py .sz car donc : Py .( ABCD.xz et puisque le fluide est en équilibre : d’où : cos   x s Py  Ps Fyy  Fxy  Fsy  0 .Ps .xz . Px  Ps P y  Ps Px  Py  Ps La pression d’un fluide en un point est la même dans toutes les directions . Equation Fondamentale de l’Hydrostatique Densité ρ P2 Surface A Problème : Positif Exprimer la variation de Pression P1 – P2 h Poids W Z2 Z1 P1 Plan de Référence .II.3.. .Force due à la pression P1 : F1 P1   F1  P1 A A F2 P2   F2  P2 A A P1 Plan de Référence W  Mg  Vg Volume de fluide : V  Ah  AZ 2  Z 1  W  AZ 2  Z1 g F1  F2  W  0 Z2 Z1 3...Densité ρ P2 Surface A n F  0 i 1 1.Force due à la pression P2 :  Positif P1 A  P2 A  AZ 2  Z1 g  0 P1  P2  g Z 2  Z1   gh .Poids du fluide : M V h Poids W 2. le terme Z+P/ρg reste constant .P1  P2  g ( Z 2  Z1 )  P1  gZ1  P2  gZ 2 P1   gZ 1  P2   gZ Z  2 P  g P1 P2   Z1   Z2 g g  C ste Sur un même plan horizontal ( axe de référence OO’ ) . On aura : P1  P0   gh Et si P0 = 0 : P1   gh La pression augmente donc linéairement en fonction de la profondeur .En posant Z2-Z1 = h et P2 = P0 . toutes les pressions sont égales ( Pressions Isobares ) .Surface A Densité ρ P2 P1 Positif W P1 A  P2 A  0  0 P1  P2 ( car la composante du poids W selon l’horizontale est nulle ) Sur un même plan horizontal . Po h M Au point M . d’où : PM  Patm   gh : Pression Absolue Et si l’on néglige l’influence de la pression atmosphérique ( Patm = 0 ) : PM   gh : Pression Effective . la pression est égale à : P M  Po   gh A la surface libre du fluide . la pression est généralement représentée par la pression atmosphérique Patm . On a vu que : avec : P Z   C g Z L ste : hauteur de position ou côte géométrique P L  g P Z L g : Hauteur piézométrique : Hauteur ou charge totale . est égale à : Patm  Pabs hvide  g . la pression absolue est inférieure à la pression atmosphérique : PM  Patm   gh  Patm Il se crée alors une dépression dont la hauteur correspondante .Dans certains cas . appelée ‘’ Hauteur du Vide ‘’ . on aura : mgZ Nm  : Energie potentielle de position P mg Nm g : Energie potentielle de pression mgE p Nm  : Energie potentielle totale .On a vu que : P ste Z  C  Ep g Si l’on multiplie les 2 termes de cette équation par le poids élémentaire mg . Les tubes manométriques : utilisés pour la mesure de pressions relativement faibles ( … en laboratoires ) .4.Les manomètres mécaniques : utilisés pour la mesure de pressions relativement plus élevées ( 1 à 2 Kg/cm2 ) Tube Vertical Tube en U Tube Incliné Incliné . Il existe 2 types de dispositifs de mesure des pressions : .II..Dispositifs de mesure de la pression Le dispositif utilisé dépend de l’importance des pressions à mesurer . h1 et h2 : Hauteurs Manométriques C’est un dispositif utilisé uniquement pour la mesure des pressions des Liquides et non les gaz .∙ Mesure des pressions par les tubes manométriques : Manomètre PA  gh1 h1 h2 Densité ρ PB  gh2 A B .PA et PB : Pressions Manométriques . Le tube manométrique en forme de ‘’ ⋃ ‘’ : Patm E Densité ρ h2 A h1 B C Densité ρm D’après la loi de l’hydrostatique . on peut écrire que : P B  PC .. Patm E Densité ρ h2 A h1 B C Densité ρm  Partie Gauche :  Partie Droite : PB  PA  gh1 PC  PE   m gh 2  Patm   m gh 2 Et si on ne tient pas compte de Patm : PC   m gh 2 . Si    PA   m g  h2  h1  m   0    m  PA   m gh2 . sa densité est négligeable devant celle du liquide manométrique : .Conclusion : PB  PC Et finalement : PA   gh 1   m gh 2 PA   m gh2  gh1 Remarque : le fluide de densité ρ est un gaz . .Mesure de la différence de pression par un manomètre en U : Problème : Calcul de la différence de pression PA–PB B Densité ρ F h2 h A h1 C E Densité ρm On peut écrire que : PC  P E .  Branche de Gauche : PC  PA   gh1 B  Branche de Droite : F h2 h A et comme h1 C PE  PB  g(h2  h)  m gh PC  PE E PA  gh1  PB  g ( h2  h )   m gh Et donc : PA  PB   g ( h 2  h1 )  (  m   ) gh et si le fluide est un gaz ( ρm >> ρ ) : PA  PB   m gh . que l’on préfère utiliser du Mercure comme liquide manométrique . C’est pour cela. Illustration : Quelle serait la hauteur manométrique nécessaire pour mesurer une pression P = 120 KN/m2 : a.814 x10 * Cas du Mercure : 120 x10 3 P   Hg gh  h    0. et compte tenu de sa densité élevée .9m!  Hg g 9.Dans le cas d’un manomètre à eau b....814 x13546 P .23m! 3  w g 9.Manomètre à Eau et manomètre à Mercure : Les manomètres à eau sont utilisés pour mesurer des pressions relativement faibles car leur utilisation pour les fortes pressions conduirait à l’élaboration de tubes de dimensions trop exagérées.Dans le cas d’un manomètre à Mercure 3 * Cas de l’Eau : P 120 x10 P   w gh  h    12. Il s’agit de tracer le graphique d’évolution de la pression sur une surface en tenant compte du fait que la pression varie linéairement avec la profondeur selon la loi P   gh Densité ρ Densité ρ P0 y h h P  gy H P  gh H P  gh P  gH Surface non immergée P  gH Surface immergée . F Force P  S Surface 2 N / m ( Pa) . P1 P4 P2 P3 P1  P2  P3  P4 . Patm PA  Patm  gh Pression Absolue h  A P A   gh Pression Effective .  P1 P2 P3 P4 h P1  P2  P3  P4  gh La pression dans un fluide ne dépend que de la profondeur et pas de la forme du récipient. . 1 2 PC  PD C D A B P A  PB P1 1 1 P2 2 2 Z1 Z2 Axe de référence P1 P2 Z1   Z2   Cste g g Calculer la Pression P1 1 Eau ( densité ρw = 103 Kg/m3 ) Rappel : règle à suivre 1.- Ecrire l’é quation de base du systè l’équation système y = 1,6 m 2.- Diviser le systè système en branches : Patm = 0 3.- Exprimer les pressions par branche 4 4.- Revenir à l’équation ’équation de base : Δh = 0,6 m 2 3 Mercure ( densité ρm = 13546 Kg/m3 ) Branche droite : P2  P1   gy Branche gauche : P2  P3 P4  Patm  0 P3   m gh  P4   m gh P2  P3  P1   gy   m gh P1  mgh   gy  gmh   y A.N. : P1  9,81413546x0,6  1000 x1,6 64062N / m 2  64 KN / m 2  64kPa h2=8 cm .  P1  P2 2 . h4=14 cm .  P5  P6 Problème : Calculer PA-PB . h5=9 cm Selon la loi de la statique des fluides .  P3  P4 3.ρ3 = 8040 Kg/m3 3 4 ρ1 = 8810 Kg/m3 ρ5 = 1230 Kg/m3 h3 A B h5 h1 h2 h4 1 2 ρ2 = 13550 Kg/m3 5 6 ρ4 = 1000 Kg/m3 h1=20 cm . on peut écrire que : 1. h3=40 cm . 3 4 h3-h2 h3 A B h5 h1 h2 h4 1 P1   1 gh1  PA 2 5 6 P2   2 gh2   3 g h3  h2  P3  PA  1 gh1   2 gh2   3 g h3  h2  P3  PA   2 gh2  3 g h3  h2  1 gh1  P3 3 4 h3 A B h5 h1 h2 h4 1 2 P5   4 gh3  P4 5 6 P6  4 gh4  5 gh5  PB   4 gh 4   5 gh 5  PB  P4   4 gh 3  PB   4 gh 3   4 gh 4   5 gh 5  P4 PB   4 g ( h3  h4 )   5 gh5  P4 Nous avons donc : PA   2 gh2   3 g h3  h2  1 gh1  P3 PB   4 g (h3  h4 )   5 gh5  P4 d’où : PA  PB  2 gh2  3 g h3  h2  1 gh1  P3  4 g (h3  h4 )  5 gh5  P4 P3  P 4 et comme On aura donc : PA  PB  2 gh2  3 g h3  h2  1gh1  4 g (h3  h4 )  5 gh5 ou bien PA  PB  g2  3 h2  3  4 h3  4h4  5h5  1h1 Application numérique : Uniformisation unités : h1=0,20m ; h2=0,08m ; h3=0,40m ; h4=0,14m ; h5=0,09m PA  PB  9,814x13550 8040x0,08  8040  1000x0,4  1000x0,14  1230x0,09  8810x0,2 Ce qui donne : PA  PB  17130 N / m 2  17 ,1KN / m 2  17 ,1kPa F Force P  S Surface F=PxS Surface Plane Surface Courbe A A Eau Eau h h F F B B . . Cas des surfaces immergées inclinées Surface du liquide de densité ρ Patm  0 hc O h dF hi  h  y sin  yi B y yc C A y x dA dy Problème : Exprimer la Force de pression résultante F agissant sur la surface AB ainsi que la profondeur de son centre d’application . . dF  PdA  ghdA F   dF    ghdA AB h  y sin   F   g sin   ydA AB  ydA  y A AB  g  hdA AB ‘’ Moment Statique ‘’ de la surface AB par rapport à Ox c AB Ordonnée du centre de gravité de la surface AB F   g sin  y c A   gy c sin  A hc : Profondeur du centre de gravité de AB F  ghc A Eau (ρ = ρω ) F   w ghc A . gy sin dA   gy AB AB AB 2 sin  dA g sin  y AB 2 dA ? . y D  ghc Ay D  gyD yc sin  . A  AB i   ydF   y. de la force résultante est égal à la somme des moments élémentaires ‘’ :  F    o i AB avec : et  o F  F . hC hD F h y yC x C yD D Point d’application Centre de gravité y Pour déterminer hD . il suffit d’utiliser le principe des moments : ‘’ Le moment . la profondeur du point d’application de la force résultante F . par rapport au point O . Conclusion : Le point d’application de la résultante F se trouve toujours plus bas que le centre de gravité d’une distance égale à : I ' cc  h  h D  hC  hc A ' . I ox I ox  yc A Remarque : Utilisation du théorème de Huygens : 2 I ox  I cc  y c A avec Icc : Moment d’inertie de la surface AB par rapport à un axe passant par son centre de gravité C . La formule précédente devient alors : ou bien selon la verticale I 'cc hD  hc  ' hc A 2 I cc  y c A I cc yD   yc  yc A yc A avec : .I’cc : Moment d’inertie de la surface A’ par rapport à l’axe passant par son centre de gravité .IOX AB y C sin  .A’ : Projection verticale de la surface AB .A oF   i   gy AB Et donc : yD D  et i  g sin.le terme y 2 dA AB On aura donc : et représente le ‘’ Moment d’Inertie ‘’ de la surface AB par rapport à l’axe Ox = Iox o F  gyD yc sin. A   g sin  . SURFACE ET MOMENT D’INERTIE DE QUELQUES FIGURES PARTICULIERES A  2 h 3 h c c I cc bh 2 bh  36 h 2 h 3 c c b Triangle r D c A  bh I cc bh  12 3 b Rectangle r c D2 A  r   4 r 4 D 4 I cc   4 64 2 2 r Demi Cercle Cercle a c c b Ellipse c r A   ab I cc a 4b  4 c 4 r 3  r D2 A   2 8 r 4 D 4 I cc   8 128 . Cas des surfaces immergées verticales Surface du liquide de densité ρ Patm  0 hD h hc hi B dF Même raisonnement que pour la surface Inclinée mais avec :   90  sin   1 dy C F D dA A F  ghc A I cc hD  hc  hc A . Cas des surfaces partiellement immergées B hc hD H C F D A F  ghc A Attention !!! Seule la surface ‘’mouillée’’ est prise en compte . Force F : F  ghc A avec 2..Surface immergée horizontale Liquide de densité ρ F Cas particulier des Surfaces immergées horizontales h hc A C B Surface A 1.Profondeur du point d’application : hc  h F  ghA hD  hc  h .. .  A dAx x dFx h dFz dFz H dF  dFx dAz dA dF B z dF Composante horizontale dFx  dF sin  Composante verticale dFz  dF cos  . 1. ..Composante horizontale dFx  dF . sin   ghdAsin   ghdAz d’où :  dF x car dAsin  dAz  FH   g  hdA z   gh c Az Az  FH  gh c Az avec : Az : Projection verticale de la surface courbe AB hc : Profondeur du centre de gravité de Az CONCLUSION : Le calcul de la composante horizontale FH est ramené au calcul d’une force de pression sur une surface plane verticale . . W B CONCLUSION : Le calcul de la composante verticale FV se résume donc au calcul du Poids du fluide représenté par le volume déplacé par la surface AB .2.Composante verticale dFz  dF . cos   ghdA cos   ghdAx d’où :  dF z car dA cos   dA x  Fv  g  hdAx  g  dW gW Ax  W Fv  gW Avec W : Volume délimité par : A ♦ La surface courbe AB ♦ La surface libre du fluide ♦ Les 2 verticales menées des 2 extrémités A et B de la surface . . Dans le cas général .Le calcul des 2 composantes FH et FV permet ensuite de déterminer la résultante F par l’expression : 2 F  FH  FV 2 ♦ Position du point d’application de la Force de Pression : Le point d’application de la résultante F est obtenu si l’on connaît les composantes FH et FV . il faudra établir l’équation de la courbe AB et celle du segment représentant la force F ( équation d’une droite ) en tenant compte que l’angle d’inclinaison de la force résultante F par rapport à l’horizontale est obtenu par la formule suivante : Fv   arctg FH . A F  ghc A hC hD C F F Surface A D B A C c hC y hD A hc  yc sin  B I cc h D  hc  hc A hC hD D Su rf ac C F D eA I cc yD  yc  yc A Surface A B Et puis hD  yD sin  . A A’ Projection verticale hD FH F C FH D FV B’ B FH  ghc A A 2 F  FH  FV Surface plane ! hc 2 W Fv  gW B Règle de délimitation 1.Surface libre du liquide 2.Les 2 verticales passant par les 2 extrémités de la surface courbe AB ....La surface courbe AB 3. .Les 2 verticales passant par les 2 extrémités de la surface courbe AB .La surface courbe AB 3..W W 1.Surface libre du liquide h W 2.. . Le schéma montre une vanne AB rectangulaire retenant un niveau d’eau et immergée à une profondeur h .5 KN 2  .Calcul de la force F : b hc  sin  h 2 A  ab F   w ghc A Application numérique b  F   g sin  hab 2  3  F  10 3 x 9 .814  sin 30  1  2 x 3  51502 N  51 . Calculer la force de pression exercée par l’eau sur cette vanne ainsi que la profondeur hD de son point d’application a=2m h=1m hD F hc b 2 C b=3m D  30 . 7.3.814.La vanne AB est de forme d’un triangle isocèle de base b=3m et de hauteur h=2m .2 A   3m 2 2 2 hc  y  F   w ghc A  103. b  3m y  3m hD hC A h 3 h  2m C F D B 1.3  108935N  109KN . On demande de calculer la force de pression F exercée sur cette vanne ainsi que la profondeur hDde son centre de poussée .7 m 3 3 bh 3 ..9.Force de pression : F Application numérique :   w gh c A h 2  3   3. 7   3.Profondeur du centre de pression : I CC h D  hc  hc A Moment d’inertie d’une surface triangulaire par rapport à un axe passant par son centre de gravité : 3 I CC bh  36 D’où : I CC bh 3 h2 22 hD  hc   hc   hc   3.76m bh hc A 18hc 18 x3.7 36hc 2 ..2. a = 2 m .y a A H1 b H2 B Données : H1 = 10 m . y = 1 m . H2 = 8 m . b = 4 m . y H1 F1 F2 H2 FR  F1  F2 . F1   ghc1 A1 hc1 b 2 y H1 F1 C1 a b H2 b 4 hc1   y   1  3m 2 2 A1  axb  2 x 4  8 m 2 b  F1    g   y  ab 2  F1  235kN . F2   ghc2 A2 y hc2  a H1 H2 H1  yb b b' 2 b' ? b’ C2 F2 H2 H1  y  b H 2  H1  y  b 8 10  1  4 hc1    1.5m 2 2 F2  88kN A2  aH 2  H1  y  b 2x8 10  1  4 6m2  H2  H1  y  b  F2   g H2  H1  y  ba 2   . FR  F1  F2  235  88  147kN . Déterminer la force résultante exercée sur cette vanne Eau: ρ ω  10 3 Kg/m3 h = 3m FH R R F FV R 2 F  FH  FV 2 L . La largeur de la vanne est L = 5m et son rayon R = 4m .Une vanne radiale est localisée à la base d’un mur vertical . 4 KN R R 4  h   3  5m 2 2 R  FH   ghc A   g   h RL 2  .Calcul de la composante horizontale FH : h = 3m h = 3m Projection verticale hc R R 2 C R Projection verticale R L FH    gh c A L A  RL  4 x 5  20 m 2 hc  FH  981400 N  981..a. La surface courbe 3.Calcul de la composante verticale : FV   gW .Surface libre du liquide 2..Détermination du volume W : 1..b.Les verticales des 2 extrémités de la surface courbe h R W1 W W2 W1  RhL W W1 W2 R FV  1205159 N  1205kN R 2 W2  L 4 R 2 FV   gW   g W1  W2   g ( RhL  L) 4 R FV   g (h  ) RL 4 ... 4kN FV  1205 kN 2 FR  FH  FV 2 2 2 FR  981.c..4  1205  1554KN .Calcul de la force résultante F : FH  981. 814   5  9814000 N 2 FH  9814 kN 3 Calculer la force de pression hydrostatique exercée par l’eau du barrage sur la vanne segment de rayon r et de largeur b = 5 m .FH ? 2 FH    ghc A H hc  2 A  H  b r  20 m H  20 m c  hc  H 2 FH FH vanne F H FV FH    g H Hb 2  barrage H2 FH    g b 2 20 2 A.2 F  FH  FV   60 1. : FH  10  9.N. N .2.14 x 20 x 60  9814 x 20 x 5 x   20 x cos 30   1772813 N 2 180   FV  1773 kN FV  . : 1  3.  FV ? FV   gW   60 r  20 m H  20 m W W1W2 W W1 W2 r H  r cos W2  S 2  b  α/2 H r 2 1   W2  rbH cos 2 2  2 b 360   S   r 2   S1 α W  W1  W 2  r 2b  1  1    r W   rbH cos  rb   H cos  360 2 2 2 2   180 1   r FV   grb  H cos  2 2  180 360° r 2  S1  360  W1  S1  b W1  r 2b  360 A. 2 F  FH  FV 2 2 2 F  9814  1773  9972 kN .