ÉC O L E P O L Y T E C H N I Q U E FÉ DÉR A L E D E L A U S A N N EChristophe Ancey Laboratoire hydraulique environnementale (LHE) École Polytechnique Fédérale de Lausanne Écublens CH-1015 Lausanne Notes de cours Hydraulique à surface libre crues, vagues, et ruptures de barrage Phénomènes de propagation, outils de simulations, applications ! Version provisoire ! version 5.1 du 5 février 2013 TABLE DES MATIÈRES 1 Table des matières 1 Équations de base en hydraulique 1.1 Équations de Saint Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 Obtention des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forme conservative et non conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Écoulement sur lit mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résistance à l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites d’utilisation des équations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . Hauteur critique et régimes associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ressaut hydraulique stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjugaison d’une courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ressaut hydraulique mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équation de convection (ou d’advection) . . . . . . . . . . . . . . . . . Équation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équation de convection-diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Processus à l’équilibre : équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 12 13 15 15 17 25 26 26 28 30 32 32 33 35 36 38 39 39 39 42 42 44 49 49 49 52 52 54 Courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autres équations utiles en hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ondes de crue et inondations 2.1 Phénomènes physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 2.3 Inondation et crue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dommages causés par les inondations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Crues torrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Origine des crues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimation du débit par corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 2.3.2 Méthode Crupédix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courbe enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode du gradex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode QdF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Estimation du débit par la méthode du gradex . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 2.4.2 . .2 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . .2 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2. . . . . . . . .5 TABLE DES MATIÈRES Estimation du débit par des méthodes de transformation pluie-débit . . . . . . . . Phénomène physique . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . 4 Rupture de barrage 4. . . . .1 3. . . . . . . . . . . . . . . Ondes solitaires . . . . . . . . . . . . . . .2 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 3. . . . . . . . . . . .2 3. . . . Résultat des expériences pour des écoulements granulaires . . . . . . . . . .5 3. . . Ondes de Stokes . . . . . . . . .4 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations de Saint-Venant et ondes dynamiques . . . . . . . . . .5. .2 Rupture de grand barrage . . . . . . . Modèle d’Airy . . . . . . . . . .8 3. Vague . . . . . . . .2 3. . . . . .3 2. . . . . . .3 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 2. . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes cnoïdales . . . . . .2 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 3. . . . . . . . . . . Trains d’onde .6. . . . Ondes linéaires . . . . .4 Phénomènes physiques . . . . . . . . . .4. .2 3. . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tsunami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . Méthode Socose . . . . . .9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . .7. . . .1 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modèle approximatif de tsunami arrivant de haute mer . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . .1 4. . . . . . . . . . . . . . . . Stabilité linéaire des équations de Saint-Venant . .7.2 2. . . . . . . 3. . . Remontée . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 3. . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode SCS . . . . . . .4 3. . . . . . . . .6. . . Mascaret Houle et vagues dues au vent . . . .3 3. . . . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . Rupture de petit barrage d’accumulation .9. . . . . . Onde cinématique . . . . . . . . . . . . . .1 Rupture de barrage et phénomènes similaires . 3 Vagues 3. . . . . . . . . . .6. .5. . Résultat des expériences pour des blocs solides . . . . .5. . . . . . . . Modèle réservoir GR4 . . . . . . .5 3. . . . . .9 Classification . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2. . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . .1. .1 2. . . . . . .2 Méthode rationnelle . . . . . . . 59 60 60 63 66 72 73 75 77 77 82 84 89 89 91 92 92 93 96 96 97 100 101 102 102 105 106 106 108 110 114 114 115 117 117 117 122 Calcul de la propagation d’une onde de crue . . . . . . .4. . Ressaut mobile . .7 3. . Onde diffusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . .1 3. . . . . . . . Similitude du problème . . . .1 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vague d’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 3. . . . . . . . . . . . Protection contre les vagues et surverses . . . .TABLE DES MATIÈRES 4. . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . .3 4. . . . . . . .5 4. . . . . . . Rupture de barrage en régime laminaire . . . . . . . .2 4. . . . . .7. . . 3 122 126 126 131 133 136 138 139 139 144 147 147 151 151 151 151 152 Rupture de barrage en ingénierie des risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 4.7 4.4 4. . .8. Rupture de barrage dans un lit mouillé . . .1. . .1 4. . . . . . . . . . . . . .5. . . Rupture de digue . . . . . . .3 4. . . . . .1. . . . . . . . . .6 4. . . . . . . . . . . Protection contre les avalanches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plan des études en ingénierie . . . . . . . . . . .4 4. . Évacuateur de crue . Rupture instantanée ou graduelle d’un barrage . . . . . . . . . . . . . .3 Méthode de Whitham : rupture de barrage sur fond plat . . . . . . . .5 4. . . . . . . . . . 4. . . Rupture de barrage d’un fluide non visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Rupture de barrage d’un volume infini (solution de Ritter) . . . . . . . . .8 4. . Sécurité des barrages . . . . . .2 4. . . . . . . . . . . Effet du frottement . . . . . . Rupture de terrils et bassins de décantation .1 Rupture de lac morainique et glaciaire . . . . .8. . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . doit faire l’objet d’une autorisation de l’auteur. et tenseurs sont en gras . mais d/dt (qu’il ne faudra donc pas confondre avec la différentielle ordinaire selon t). C J’emploie les notations usuelles modernes : – les exemples sont le plus souvent introduits à l’aide de « ♣ Exemple. – le symbole ∼ ou ≈ veut dire « à peu près égal à » . Les unités sont précisées entre crochets . et kilogramme [kg] pour la masse. j’emploie le symbole † en exposant : A† veut dire « transposée de A ». – les variables sont en italique . Ce travail est soumis aux droits d’auteurs. – le symbole ∝ veut dire « proportionnel à » .TABLE DES MATIÈRES 5 Avant-propos e recueil de notes contient les principales notions du cours d’hydraulique avancé. – les unités employées sont celles du système international : mètre [m] pour les longueurs. Les notions essentielles des méthodes numériques sont également vues. matrices. la définition est plus précise et dans certains cas peut ne signifier pas l’équivalence des ordres de grandeurs. alors cela veut dire que la limite limx→M u/v est finie (elle n’est ni nulle ni infinie) .sty de Bernard Gaulle. – les notions qui dépassent le cadre de ce cours et qui ne sont données qu’à titre d’exemple sont signalées par le symbole ⋆ dans le titre . – les fonctions. Lorsque par exemple on a u = O(v ) avec u(x) et v (x) deux fonctions continues dans le voisinage d’un point M. En fait. – je n’emploie pas la notation D/Dt pour désigner la dérivée particulaire. Tous les droits sont réservés . . – les problèmes d’interprétation sont indiqués par le symbole dans la marge . – les notions qui nécessitent des compléments mathématiques sont annoncées à l’aide de la tête de Homer . – » et on indique la fin d’un exemple par le symbole « qed » ⊓ ⊔. A La gestion typographique du français a été réalisée avec L TEXà l’aide du package french. toute copie. L’objet est ici de fournir les bases mathématiques et le concepts physiques permettant de faire des calculs d’écoulements fortement instationnaires dans les rivières. un hommage aux Simpson . partielle ou complète. – pour la transposée d’une matrice ou d’un vecteur. – le symbole o (o minuscule) signifie « est négligeable devant » . et nombres sans dimension sont en roman . – les vecteurs. – le symbole O (O majuscule) signifie généralement « est de l’ordre de ». opérateurs. seconde [s] pour le temps. Je considère que le contexte est suffisant pour renseigner sur le sens de la différentielle et préfère garder le symbole D/Dt pour d’autres opérations différentielles plus complexes . vitesse de cisaillement vitesse moyennée selon la hauteur d’écoulement vitesse moyennée dans le temps vitesse fluctuation de vitesse échelle de vitesse vitesse. composante de la vitesse dans la direction x vitesse de glissement.6 TABLE DES MATIÈRES Nomenclature Symboles romans Variable a B C Cf c D f g h hc hn k ks K ℓ ℓ L∗ n p P∗ Q q R RH Re S T t u u∗ u ¯ ⟨u⟩ u u′ U∗ v v v V Signification rayon d’une particule largeur au miroir coefficient de Chézy coefficient de frottement célérité des ondes tenseur des taux de déformation coefficient de frottement (Darcy-Weisbach) accélération de la gravité hauteur d’écoulement hauteur critique hauteur normale vecteur normal unitaire rugosité coefficient de Manning-Strickler échelle de longueur largeur longueur caractéristique vecteur normal unitaire pression échelle de pression débit débit par unité de largeur rayon de courbure rayon hydraulique nombre de Reynolds section d’écoulement tenseur des extra-contraintes (appelé encore partie déviatorique) temps vitesse. composante de la vitesse dans la direction y vitesse quadratique moyenne vitesse volume de contrôle . TABLE DES MATIÈRES 7 Symboles grecs Variable χ δ δ γ ˙ ϵ κ µ ϱ σ σ θ τ τp ξ Signification périmètre mouillé fonction de Dirac petite variation taux de cisaillement rapport d’aspect constante de von Kármán viscosité dynamique masse volumique contrainte contrainte normale angle de pente contrainte de cisaillement contrainte de cisaillement à la paroi variable de similitude . . dont les variations sont faibles (rayon de courbure infini). En 1871. turbulence et perte de charge dans les conduites. 1. Ses travaux de recherche ont couvert un champ considérable de domaines scientifiques et d’application : hydraulique maritime. (H2) On considère un mouvement essentiellement bidimensionnel (z n’intervient pas dans les calculs). Il en est de même pour les hauteurs d’écoulement. (H3) Il n’y a pas de variation significative de la section d’écoulement sur de courtes distances (les variations sont toujours progressives). typiquement pour une rivière de 10 km et profonde de 10 m.1. 1. c’est-à-dire la surface d’écoulement est à peu près plane. d’inclinaison θ par rapport à l’horizontale.1 Obtention des équations Hypothèses Nous allons utiliser ici les hypothèses simplificatrices suivantes : (H1) On s’intéresse à un écoulement d’eau le long d’un profil bidimensionnel curviligne (voir fig. qui varient doucement d’un point à l’autre de l’écoulement sur un même bief. Le rapport caractéristique ϵ = H∗ /L∗ – appelé rapport d’aspect – est petit devant 1 (avec H∗ : échelle de hauteur et L∗ échelle de longueur) . il étudia aussi à l’École Nationale des Ponts et Chaussée. où il fit l’essentiel de sa carrière. On rattache un système de coordonnées cartésiennes (x. Elles permettent de calculer les hauteurs d’eau et vitesses moyennes le long de la direction d’écoulement en fonction du temps. théorie des fluides visqueux. y . Polytechnicien de formation.1 Équations de Saint Venant 1 L es équations de Saint-Venant 1 sont une forme intégrée (intégration selon la hauteur) des équations de Navier-Stokes. z représente une direction latérale). il avait pressenti l’importance de la turbulence dans le calcul des pertes de charge.1). Les lignes de courant sont donc parallèles à la surface libre. Adhémar Barré de Saint-Venant (1797–1886) était un mécanicien français. on a ϵ = 10−3 ≪ 1. z ) à ce repère (x est orienté selon la ligne de plus grande pente.9 Équations de base en hydraulique 1. Avant Reynolds. . On parle de régime graduellement varié ou bien d’approximation des grandes longueurs d’onde pour désigner ce régime ou cette approximation. Il s’agit donc d’un régime peu éloigné du régime permanent uniforme. il proposa un jeu d’équations aux dérivées partielles décrivant le mouvement unidimensionnel d’une onde de crue. élasticité. y est normale au plan de glissement. Les calculs peuvent être généralisés à la dimension 3. 1. navigation le long des canaux et sur route. Elles ne sont applicables qu’en régime graduellement varié. elle-même à peu près parallèle à la ligne de fond. t) et v (x. donne : h∫ (x. ∂t ∂x (1.t).t) h(x. (H7) Il n’y a pas de variation de masse durant l’écoulement (apport ou perte d’eau).t) = 0.0. c’est-à-dire le long de la direction y .t) θ x Figure 1. puis de les simplifier en supprimant les termes de faible influence. pas d’érosion. 2001)).1) où u et v sont les composantes de la vitesse selon les directions x et y .t) + v (x.y.0. voir § 3. pas de dépôt) et de rugosité uniforme tout le long du bief considéré. À la surface libre et au fond.1 : notation employée dans la description des profils en long.h. On va donc essentiellement ici considérer le cas b(x. Conservation de la masse Considérons l’équation de conservation de la masse ∂ϱ/∂t + ∇ · (ϱu) = 0. D’où l’on déduit l’équation moyennée de conservation de la masse : ∂h ∂hu + = 0.t)( 0 ∂ ∂u ∂v + dy = ∂x ∂y ∂x ) ∫h 0 u(x. (H6) La masse volumique de l’eau ϱ est constante (pas d’effet du transport solide en suspension). Le principe de base dans les modèles de type Saint-Venant est de partir des équations locales de conservation de la masse et de la quantité de mouvement.10 1.2). (H5) La surface d’écoulement exerce une contrainte de frottement τp sur l’écoulement.h.t) = 0 dt ∂t ∂x (1. Équations de base en hydraulique (H4) Les lignes de courant au sein de l’écoulement ne subissent pas de bifurcation brutale.t)dy − u(h) ∂h − v (x.2) compte tenu de la définition de la surface libre (voir le livret « complément de cours » pour plus de détails).t) y lit b(x. Le cas d’un lit mobile peut également être traité dans le présent cadre théorique (mais on ne fournira ici aucune démonstration. L’intégration de cette équation selon la hauteur d’écoulement.t) = dh ∂h ∂h = + u(x. (H8) Le lit est fixe (pas de transport solide. où u désigne la vitesse locale de l’écoulement. de les intégrer suivant la verticale pour les moyenner. voir (Gray. (H9) La pente locale n’est pas trop forte (tan θ doit être inférieur à 10–20 %) sinon il y a un risque d’instabilité de la surface libre (« roll waves » ou train d’onde. ∂x (1.h. la composante normale de la vitesse v doit satisfaire respectivement v (x.3) .9. surface libre s(h. µ gH∗ cos θ On suppose qu’on est en régime turbulent : Re ≫ 1. On note que dans les équations apparaît parfois le produit ϵRe. une échelle de temps T = U∗ /L∗ .5) On va maintenant utiliser le fait que ϵ ≪ 1 et que le nombre de Reynolds Re ≫ 1 (écoulement turbulent).1 Équations de Saint Venant où l’on a défini les valeurs moyennes de la façon suivante : ¯(x. on va se servir de l’analyse dimensionnelle pour simplifier l’équation de conservation de la quantité de mouvement.1.t)dy. comme il y a plus de termes que dans l’équation de conservation de la masse et comme certains ont un effet mineur sur la dynamique de l’écoulement.4) ( ) ˆxy ˆyy ∂p ˆ dˆ v ϵRe ∂T ∂T ϵ Re = 2 −1 − + ϵ2 + ϵ2 . 0 Conservation de la quantité de mouvement La même procédure peut être appliquée à l’équation locale de conservation de la quantité de mouvement : ϱdu/dt = ϱg − p1 + ∇ · T.t) h∫ (x.y.y ˆ= . on définit également une échelle de vitesse U∗ = gH∗ cos θ (de telle sorte que Fr = O(1)) dans la direction de l’écoulement.x ˆ= . et les nombres sans dimension de Reynolds et de Froude Re = U∗ ϱU∗ H∗ et Fr = √ . dont la valeur est indéfinie . L∗ H∗ L∗ P∗ L’équation locale de quantité de mouvement s’écrit donc dˆ u ϵRe = 2 ϵRe ˆ Fr dt 3 ( ) ˆxx ∂ T ˆxy 1 ∂p ˆ ∂T tan θ − + ϵ2 + . Toutefois. ˆ ∂y ˆ ∂x ˆ ∂y ˆ Fr dt (1.v ˆ= . Outre les échelles de longueur et de hauteur √ (L∗ et H∗ ) introduites précédemment. On suppose que le nombre de Froude n’est ni très grand. V∗ = ϵU∗ l’échelle de vitesse dans la direction normale au lit (y ). donc l’ordre de grandeur de la pression est la pression hydrostatique). une échelle de pression P∗ = ϱgH∗ cos θ (écoulement à surface libre. T ˆyy = µU∗ Tyy . et p T ˆ= .t) 11 f (x. ∂y ˆ . ni très petit : Fr = O(1) (il peut être plus petit ou plus grand que 1). ϵ ∂x ˆ ∂x ˆ ∂y ˆ (1. où T représente le tenseur des extra-contraintes et p la pression.5) se simplifie considérablement puisque la plupart des termes sont négligeables sauf la pression et le terme de gravité ∂p ˆ −1 − = 0.t) = f 1 h(x. on va ici supposer que ϵRe = O(1) (ce qui implique donc ϵ2 Re ≪ 1). T ˆxy = µU∗ Txy . et t U∗ V∗ L∗ H∗ T∗ tandis que les contraintes sont transformées de la façon suivante p ˆxx = µU∗ Txx . L’équation (1. On peut alors adimensionnaliser toutes les variables u ˆ= v x y u ˆ= t . . 4) seule la composante avec Txx disparaît .0. Cela implique que toute tranche d’écoulement peut être traitée comme localement uniforme. 1. qui relie le carré de la vitesse moyenne à la moyenne du carré de la vitesse u2 1 = h ∫h ¯2 .6) ∂hu2 ∂αhu ¯2 ∂hu ¯2 = ≈ .12 1. ∂x ∂x ∂x Une autre approximation. Avec une telle hypothèse. cela implique que.1.3) et de la quantité de mouvement (1. ∂x (1. Une approximation courante est d’écrire α = 1. Le système d’équations (1.t). On peut ainsi transformer le terme ∂hu2 /∂x dans l’équation (1. Une approximation courante est d’introduire un paramètre.3–1. on utilise alors les formules classiques telles que celles de Manning-Strickler ou Chézy pour calculer τp . Équations de base en hydraulique qui une fois remise sous forme dimensionnelle et après intégration. dt ∂x ∂y Sans difficulté nous obtenons l’équation moyennée de conservation de la quantité de mouvement après avoir intégré l’équation précédente selon y entre 0 et h : ∂hu ∂hu2 ϱ + ∂t ∂x ( ) = ϱgh sin θ − ∂hp ¯ − τp .6) est appelé la forme conservative des équations de SaintVenant car leur obtention et leur forme finale reflètent directement le principe général de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sur un volume de contrôle . ˆ ∂x ˆ ∂y ˆ dt qui remise sous forme dimensionnelle donne ϱ ∂p ∂Txy du = ϱg sin θ − + . appelé parfois le paramètre de quantité de mouvement de Boussinesq. la pression moyenne est p ¯. Puisque nous avons supposé que les variations de hauteur le long de l’axe x sont faibles (approximation d’onde longue).2 Forme conservative et non conservative Le jeu d’équations du mouvement moyen composé de la conservation de la masse (1.6) n’est pas fermé car le nombre d’inconnues dépasse le nombre d’équations. pour toute quantité m relative au mouvement de l’écoulement. les autres termes sont a priori du même ordre de grandeur ˆxy dˆ u ∂p ˆ ∂T = tan θ − + .6) où la contrainte de frottement (appelée aussi contrainte pariétale) est τp = Txy (x. Dans l’équation (1. u2 (y ) dy = αu 0 Généralement on a 1 ≤ α ≤ 5/4. il est possible de calculer la contrainte à la paroi en considérant que son expression en fonction de u et h est identique à celle du régime permanent . nous avons : ∂m/∂y ≫ ∂m/∂x. elles . est relative au calcul des contraintes. nous montre que la distribution de pression est hydrostatique p = ϱg (h − y ) cos θ. que nous avons implicitement utilisée ci-dessus. Il faut aussi préciser des conditions aux limites. par exemple : – propagation d’une crue dans une rivière . ∂t ∂x ∂x Formes conservative et non conservative sont strictement équivalentes sur le plan mathématique tant que les solutions u ¯ et h sont continues. . les types de problème que l’on peut résoudre sont très divers. l’information se propage uniquement de l’amont vers l’aval (il n’y a pas de remontée d’informations).1.1 Équations de Saint Venant 13 peuvent d’ailleurs être obtenues de cette façon sans passer par une intégration de la forme locale des équations du mouvement. La condition à la limite doit être posée à l’amont. La condition à la limite doit être posée à l’aval pour un simple problème de type cours de remous. la forme non conservative fournit une solution fausse au niveau de la discontinuité. mais également de l’aval vers l’amont (il y a une remontée d’informations). les équations de Saint-Venant sont composées : – d’une équation de conservation de la masse ∂h ∂hu ¯ + = 0. En pratique. Pour la résolution numérique des équations. On utilise souvent en pratique une forme dite non conservative de l’équation de la quantité de mouvement. qui dépendent principalement du type de régime (super. dans le cas de solutions discontinues (formation d’un ressaut hydraulique par exemple). Selon le problème. h). Les équations de Saint-Venant permettent de résoudre un grand nombre de problèmes hydrauliques dès lors que la courbure de la surface libre n’est pas trop forte. il faut connaître la loi de frottement τp (¯ u.8) (1.3 Synthèse Écoulement unidirectionnel Dans le cas d’un écoulement unidirectionnel sur fond fixe et sans transport solide. – pour un régime subcritique. ∂t ∂x – d’une équation de conservation de la quantité de mouvement : ∂u ¯ ∂u ¯ ∂h τp +u ¯ = g sin θ − g cos θ − . il faut préciser principalement les conditions initiales. ∂t ∂x ∂x ϱh (1.ou subcritique) : – pour un régime supercritique. qui consiste à se servir de l’équation (1. il est préférable d’employer la forme conservative lorsque des solutions discontinues sont possibles. en particulier lorsqu’il n’y a pas de ressaut hydraulique séparant un régime supercritique d’un régime subcritique ou bien lorsqu’il y a une chute d’eau au niveau d’un seuil. En revanche. l’information se propage non seulement de l’amont vers l’aval. les conditions aux limites peuvent être superflues ou bien non compatibles avec les conditions initiales. Dans un problème d’évolution. il est nécessaire de spécifier à la fois les conditions initiales et les conditions aux limites . Dans un problème d’évolution. On obtient facilement en faisant ainsi ( ) ∂u ¯ ∂u ¯ ∂h ϱh +u ¯ = ϱgh sin θ − ϱgh cos θ − τp .3) pour transformer les termes ∂hu ¯ en ∂ u ¯. 1.1.7) Pour boucler ces équations. on déduit que le nombre de Froude est défini comme √ u ¯ Q B Fr = = √ . B avec B la largeur au miroir.7)–(1. Équations de base en hydraulique – évolution d’une ligne d’eau en fonction du débit fourni.8) ont été écrites pour un canal infiniment larges et hu ¯ représente le débit par unité de largeur. C’est ce que l’on va voir dans le reste de ce cours. et sans transport solide. 1. RH ).10) Formulations conservatives (1.12) Rappelons que h = S/B et u ¯ = Q/S .14 – rupture de barrage dans une rivière . les équations de Saint-Venant sous forme conservative sont : ∂h ∂hu ¯ + = 0. t). ∂t ∂x ∂x ϱ (1.11) (1. Pour un écoulement à travers une section quelconque.10) et non conservatives (1. Dans le cas d’un écoulement unidirectionnel sur fond fixe. Il peut alors être nécessaire de formuler les équations de Saint-Venant non pas en termes de hauteur et de vitesse. Cette formulation est dite conservative. mais en termes de hauteur et débit. ∂t ∂x ∂Q ∂Q2 S −1 ∂h τp + = gS sin θ − gS cos θ −χ . De là. Formulation conservative Sur le plan physique. mais le débit et la hauteur. infiniment large. c gS 3/2 . ce n’est pas la vitesse et la hauteur qui se conservent quand on écrit les principes de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. On a alors : ∂S ∂Q + = 0.9)–(1. Si des discontinuités apparaissent (ressaut hydraulique). ∂t ∂x ∂x ϱ (1. la célérité des ondes est √ c= gS . ∂t ∂x ∂hu ¯ ∂hu ¯2 ∂h τp + = gh sin θ − gh cos θ − . On pourrait les écrire de façon plus générale pour une section S (x. Dans cette forme générale. Écoulement à travers des sections quelconques Les équations (1.9) (1.10) sous peine de trouver de mauvaises solutions. t) par laquelle transite un débit Q(x. il est impératif de travailler avec la formulation conservative (1. la loi de frottement s’exprime comme une fonction τp (¯ u.7)–(1.8) sont équivalentes tant que les solutions sont continues.9)–(1. la contrainte pariétale s’écrit τp = ¯2 ϱg u . E le taux d’érosion du lit (nombre de particules par unité de surface et par unité de temps qui sont entraînées par l’écoulement). canal en terre : K = 40 − 60 m1/3 s−1 . dite « résistance de forme ». etc. rivière végétalisée ou torrent : K = 10 m1/3 s−1 . 1. rectiligne. ∂t ∂x (1. ∂t b > 0). et qs le débit solide (résultat net entre érosion et sédimentation du lit). L’équation de conservation de la quantité de mouvement doit être modifiée en conséquence ∂u ¯ ∂s τp ∂u ¯ +u ¯ = g sin θ − g cos θ − . Comme très souvent en pratique. rivière à galet. D le taux de dépôt. lit en tresses. K 2 R1/3 H (1. ∂t b < 0) ou déposition (engravement du lit. dite « résistance de peau ». liée aux structures morphologiques (dunes. il faudrait aussi tenir compte d’une résistance liée à la sinuosité du lit (méandrement.t) la cote du lit (par rapport à un niveau de référence).1.13) avec b(x. mais on généralise les formules de résistance de peau ou ajuste ses paramètres pour tenir compte des autres processus. . – une résistance à plus grande échelle. section uniforme : K = 30 − 40 m1/3 s−1 .).5 Résistance à l’écoulement La résistance à l’écoulement traduit la résistance qu’exerce le fond (lit fixe ou mobile) sur l’écoulement d’eau. c’est-à-dire le frottement exercé par les grains composant le lit.14) avec K le coefficient de Manning-Strikler. ce qui explique pourquoi beaucoup de formules empiriques font appel au diamètre des grains comme paramètre d’influence .1 Équations de Saint Venant 15 1. on ne cherche pas à calculer individuellement les contributions à la résistance totale du lit sur l’écoulement. Notons aussi que pour la plupart des applications. alternance de seuils et mouilles) qui accroissent la dissipation d’énergie au sein de l’écoulement. 2001). rivière avec méandre. etc.1. il est fréquent d’employer des valeurs de K tabulées en fonction du type de cours d’eau : – – – – – canal en béton lisse : K = 65 − 90 m1/3 s−1 . on utilise des modèles « filaires » (unidimensionnels) pour représenter des écoulements tridimensionnels. On considère qu’il existe deux processus de résistance : – une résistance à l’échelle des particules. il faut compléter ces équations par l’équation d’Exner qui décrit l’érosion ou l’engravement du lit : ∂b ∂qs =D−E =− . ∂t ∂x ∂x ϱh avec s = b + h la cote de la surface libre (Gray.1.4 Écoulement sur lit mobile En présence de transport solide. sinuosité. La pente locale peut varier doucement autour de θ selon qu’il y a aggradation (érosion du lit. : K = 20 − 30 m1/3 s−1 . La loi la plus employée car valable pour une large gamme de débits et de rugosité est la loi de Manning . Pour les applications en ingénierie. ce diamètre caractéristique sert aussi à définir une échelle caractéristique ks = 2d90 . qui fournit des résultats bien meilleurs que la formule de Keulegan pour des lits très rugueux (h/ks < 5). Les équations obtenues par Rickenmann (1990) en sont un exemple . par exemple la loi historique de Meyer-Peter & Müller (1948) pour les rivières à pente douce : K= 26 d90 1/6 . L’idée est qu’un lit torrentiel peut être scindé en une partition de grains immobiles (blocs de taille supérieure au d90 ) et de grains mobiles . Yager et al. où d90 est diamètre des gros blocs (90 % des blocs ont un diamètre plus petit que d90 ) . la formule de Parker donne √ C = 8. La formule est valable tant que le fond est suffisamment rugueux. Cette formule peut se généraliser à des géométries plus complexes en substituant la hauteur h par le rayon hydraulique RH . Il existe plusieurs approches pour quantifier de façon plus préciser la dépendance de K vis-à-vis de θ et h/d90 : – l’approche empirique consiste à corréler – à partir d’expériences sur des canaux en laboratoire ou des données de terrain – le coefficient K et les paramètres caractérisant le lit. mais avec un √ coefficient C = gκ−1 ln(11h/ks ) fonction de la hauteur d’eau et de la rugosité.. . 1984) (Smart & Jaeggi. pour des lits à gravier (fond mobile). 1983) : K= 26 1/6 ks = 23. 2002). 1991. il est assez fréquent de considérer que le coefficient K est une fonction de la pente θ et la submersion relative h/d90 . on préfère employer une loi puissance de type Manning-Strickler plutôt qu’une loi logarithmique pour relier le coefficient de Chézy aux paramètres hydrauliques. qui est utilisée notamment dans la formule de Keulegan (voir infra ).15) avec κ la constance de von Kármán et ks une taille caractéristique des rugosités du lit (ks ≈ 2d90 ). s’inspirant de la pratique en turbulence atmosphérique avec la prise en compte de la canopée (Katul et al. Pour les torrents. la loi de Keulegan est une formule bien adaptée pour les écoulements sur des lits à gravier. Wiberg & Smith. des chercheurs ont proposé des idées fondée sur la théorie de la couche limite. Notons que de nos jours. on a utilisé le profil de vitesse logarithmique (en principe valable uniquement près du fond) pour décrire tout le profil de vitesse d’un écoulement hydrauliquement turbulent dans un canal. – de façon plus anecdotique. Équations de base en hydraulique Une approche moins grossière consiste à relier à la rugosité du lit. Par exemple. c’est-à-dire h/ks < 10..16 1. ou bien sa variante actuelle (formule de Jäggi. soit encore : τp = κ2 ϱu ¯2 .10 g ( h ks )1/6 . ln (11h/ks ) 2 (1. Pendant longtemps. 1973. Fondée sur cette approximation. 2007). – une approche théorique dite de répartition des contraintes permet de rendre compte des effets liés à la distribution granulométrique dans le calcul de la résistance (Ackers & White.2 d90 1/6 . Elle revient à supposer que la contrainte à la paroi serait similaire à celle donnée par la formule de Chézy. en particulier pour les lits à gravier : ce sont les bancs alternés. En cas de crue.3(b) montre la bathymétrie du Rhin près de son débouché dans la Mer du Nord. 1.8) sont particulièrement adaptées aux canaux à faible pente et aux rivières avec un lit bien défini. à travers lesquels sinue le cours d’eau lorsque le niveau de l’eau est bas. morphologiques.7)–(1. mais une multitude de bras. La figure 1.1. La figure 1. et hydrauliques.2 : la rivière Thur (Suisse) rectifiée [Martin Jaeggi]. c’est-à-dire des dépôts assez régulièrement disposés le long du cours d’eau.8) – soit en considérant lisse.5 montre des séries de bancs alternés sur un canal en Suisse . En général.1 Équations de Saint Venant 17 On se reportera à la publication « Rauheiten in ausgesuchten schweizerischen Fliessgewässern » (en allemand) du Bundesamt für Wasser und Geologie (maintenant rattaché à l’Office fédéral de l’énergie) pour une analyse de 12 cours d’eau en Suisse pour différents débits. où il n’y a pas un seul chenal d’écoulement. D’autres formes de structures morphologiques peuvent apparaître. La figure 1. les bancs sont généralement recouverts d’eau.3(a) montre le lit d’un canal en sable lors d’expériences en laboratoire. mais au contraire développe des structures morphologiques de taille très variable allant de petits monticules de quelques grains jusqu’à des dunes.13) et en la couplant avec les équations de Saint-Venant (1. Ces bancs jouent un grand rôle sur le plan hydraulique à la fois comme dissipateurs d’énergie et comme zones tampon pour le bilan sédimentaire . Cet ouvrage fournit une estimation du paramètre de Manning-Strickler K en fonction des conditions hydrologiques. le lit d’un cours d’eau ne reste que rarement plan (lisse).7)–(1. granulométriques. Ces structures se forment spontanément dès lors qu’un transport solide même faible et intermittent se produit. Cela peut se traiter dans le cadre des équations de Saint-Venant : – soit en tenant compte de l’équation d’Exner (1.1.2 montre un exemple de rivière aménagé en Suisse centrale. Une conséquence sur le plan hydraulique est en général un accroissement de la dissipation turbulente. Un cas apparenté est la formation de lits en tresse. sur le plan écologique.6 Limites d’utilisation des équations de Saint-Venant Les équations de Saint-Venant (1. ils peuvent également revêtir un rôle important. mais en majorant la perte de charge hydraulique (c’est-à-dire en augmentant τp pour tenir compte de la dissipation d’énergie supplémentaire). La figure 1. Figure 1. De telles structures existent dans les cours d’eau aménagés et les rivières naturelles. Ces singularités peuvent être naturelles (comme une cascade ou bien un élargissement brutal du lit) ou artificielles. c’està-dire des sections où le comportement de l’écoulement change fortement. Parmi ces dernières. Équations de base en hydraulique écoulement (a) (b) Figure 1.6 offre un exemple spectaculaire de lits en tresse dans une rivière à gravier de Nouvelle-Zélande. (b) bathymétrie du Rhin aux Pays-Bas : développement de dunes [Wibers & Blom] et au Japon tandis que la figure 1.18 1. . il faut mentionner les ouvrages hydrauliques (tels que les seuils.3 : expériences de laboratoire avec développement de dunes [Gary Parker]. Les équations de Saint-Venant ne sont pas adaptées lorsqu’il existe des singularités. 4 : ondulation (« ripple » en anglais) du lit (lac Tahoe. Ancey]. . les ponts et passages busés. Nevada. États-Unis) [C.1. ou bien encore être d’un gabarit insuffisant pour la section mouillée de l’écoulement.1 Équations de Saint Venant 19 Figure 1. Les ponts et buses peuvent obstruer l’écoulement (dépôt de flottants ou de sédiment). voire forcer la rivière à changer de lit. les dérivations). tous ces phénomènes pouvant généralement causer le débordement de la rivière. se mettre en charge. les prises d’eau. (b) formation de bancs alternés sur la rivière Naka (rectifiée) [S. Ikeda]. Équations de base en hydraulique (a) (b) Figure 1. .5 : (a) formation de bancs alternés dans le Rhin en Suisse [Martin Jaeggi].20 1. .6 : lit à tresses (rivière torrentielle Rakaia.1 Équations de Saint Venant 21 Figure 1. Nouvelle Zélande) [DR].1. France) en août 2005 [DR]. (c) Crue du Doménon (Isère.22 1. (b) Passage busé sous une chaussée [C. . Équations de base en hydraulique (a) (b) (c) Figure 1.7 : (a) seuil avec prise d’eau pour la production électrique. Ancey]. 8 : (a) l’Isère en crue à l’amont de Grenoble en juin 2008. Ancey]. .1 Équations de Saint Venant 23 (a) (b) Figure 1.1. (b) plaine agricole inondée par l’Isère en crue [C. . Source : Eva Gertsch (Gertsch. Équations de base en hydraulique (a) (b) Figure 1.9 : Vue du même bief du Rote Bach (BE) le 28 juillet 2003 et 4 août 2004.24 1. 2009). les équations de Saint-Venant cessent toutefois d’être valables (violation de l’hypothèse H3). Puisque le régime est permanent (∂t h = 0). donc h(x) admet une tangente verticale (un « mur d’eau » vertical). ϱh ce qui donne finalement l’équation différentielle du premier ordre : τp g sin θ − dh ϱh = . c’est-à-dire le calcul de la ligne d’eau d’un écoulement en régime permanent (la variation de la cote de la surface libre z = h(x) le long d’un bief ou d’un tronçon quelconque de rivière). on puisse rencontrer Fr = 1.2. Physiquement. 1 − Fr2 (1. Dans de telles conditions. dx q2 g cos θ − 3 h On emploie souvent aussi une forme condensée dh = dx tan θ − τp ϱgh cos θ .8) fournit u ¯ dh τp d¯ u = g sin θ − g cos θ − . Cela implique notamment que sous certaines conditions. . ce qui mathématiquement impliquent que h′ est infini.16) (1. le nombre de Froude u ¯ q Fr = √ =√ 3 gh cos θ gh cos θ n’est pas constant.7) implique que le débit (par unité de largeur) est également constant : ∂hu ¯ = 0 ⇒ q = hu ¯ = cste.17).2 Courbe de remous 25 1.17) où l’on prendra garde que. dx dx ϱh où l’on a remplacé les dérivées partielles par des dérivées selon x car il n’y a plus qu’une seule variable. dx dx h h dx En substituant dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement. En se servant de la relation hu ¯ = q . 3 h dx dx ϱh ( ) et après arrangement des termes dh q2 g cos θ − 3 dx h = g sin θ − τp . la conservation de la masse (1. donc un dénominateur nul dans l’équation différentielle (1. ∂x Le long du bief. contrairement à ce qu’on a fait pour l’adimensionnalisation des équations de Navier-Stokes.2). La conservation de la quantité de mouvement (1. mais ils sont toujours liés par la condition hu ¯ = cste. Examinons ce qui passe pour un canal infiniment large.2 Courbe de remous La première application des équations de Saint-Venant concerne la courbe de remous. h(x) et u ¯(x) peuvent donc varier. on tire − dh τp q 2 dh = g sin θ − g cos θ − .1. on a d¯ u d 1 q dh =q =− 2 . cette discontinuité (la variation brutale de hauteur) se traduit par l’existence d’un ressaut hydraulique (voir § 1. mais varie avec x. Le débit critique ne dépend pas (directement) de la pente. c’est-à-dire une accélération brutale et un raidissement de la surface libre (passage d’un seuil par exemple. avec Q le débit total et B la largeur au miroir.2. (1. La hauteur critique étant définie comme étant Fr(hc ) = 1. La pente du canal et/ou la hauteur pour lesquelles on a Fr = 1 s’appelle la pente critique et la hauteur critique hc . mais uniquement du débit liquide. La tranche amont (resp. en introduisant le débit par unité de largeur q = Q/B . ce qui est physiquement impossible. régime super-critique plus couramment appelé régime torrentiel pour lequel on a h < hc . – soit une « chute » d’eau. 1.2 Ressaut hydraulique stationnaire Au niveau d’un ressaut. aval) est référencée par l’indice 1 (resp. 2). un ressaut provoque une augmentation de hauteur. Notons que l’écoulement va de la gauche vers la droite et il faut se souvenir que dans ce sens d’écoulement. On utilise alors le théorème de quantité de mouvement de part et d’autre du ressaut (sur un volume de contrôle) pour simplifier le problème et déduire les caractéristiques du ressaut.à supercritique). . On fait les hypothèses suivantes – l’écoulement est permanent et le débit par unité de largeur vaut q . La longueur du volume de contrôle est L. Notons ce point important : lorsque le nombre de Froude prend la valeur 1. la courbure de la ligne d’eau est trop importante et les équations de Saint Venant cessent d’être valables. Dans le cas d’un canal rectangulaire. Équations de base en hydraulique 1.2.2) lorsqu’on passe d’un régime super. on tire : ( hc = q2 g cos θ )1/3 .1 Hauteur critique et régimes associés La hauteur croît ou décroît selon le signe respectif du numérateur et du dénominateur dans l’équation différentielle : jf − i dh = 2 . il se forme – soit une discontinuité de la surface libre appelée ressaut qu’il faut étudier avec des outils spécifiques (cf.18) dx Fr − 1 ce qui donne différentes formes de courbes de remous. on tire que : ( )1/3 hc = 1 Q2 g cos θ B 2 . donc à un ralentissement de l’écoulement). § 1. – Fr > 1. régime sub-critique plus couramment appelé régime fluvial pour lequel on a h > hc . jamais une diminution (en effet le ressaut est associé à une dissipation d’énergie.26 1. avec transition d’un régime sub. le dénominateur est nul et en ce point la dérivée devient infinie.à subcritique . En fait au voisinage de ce point. On distingue deux régimes selon la valeur du nombre de Froude : – Fr < 1. Pour cela on considère un volume de contrôle (par unité de largeur) de part et d’autre du ressaut.2. – L’équation de quantité de mouvement ∫ ∂V ϱu(u · n)dS = ∫ V ϱgdV − ∫ ∫ pndS + ∂V ∂V T · ndS projetée le long de la direction d’écoulement donne : 1 2 ϱq (u2 − u1 ) = −Lτp + ϱg (h2 1 − h2 ). la pression est hydrostatique loin du ressaut .10 : simulation d’un ressaut au laboratoire (a) et schématisation d’un ressaut (b). Quand on peut négliger le frottement τp .19) . (1.2 Courbe de remous 27 (a) L ∂V h2 h 1 u2 u1 (b) Figure 1. 2 On suppose que l’on connaît les conditions à l’amont et on veut déduire ce qui se passe à l’aval. On considère un volume de contrôle dont les frontières englobent le ressaut.1. le fond est peu rugueux. le profil de vitesse est uniforme . on tire : h2 1 = h1 2 (√ ) 1 + 8Fr2 1−1 . – L’équation de continuité donne : u1 h1 = u2 h2 = q . le ressaut est immobile (sa vitesse de déplacement est nulle) . – – – – – l’écoulement est unidirectionnel . 28 1. qui sert à alimenter le laboratoire d’hydraulique Saint-Falls (SAFL) à Minneapolis. la courbe de remous n’est alors pas calculée car c’est juste un point.11 montre que le rapport h2 /h1 varie de façon à peu près linéaire avec le nombre de Froude amont F r1 . 1.11 : variation du rapport h2 /h1 en fonction du nombre de Froude. La perte de charge associée s’écrit : (√ ∆H = H2 − H1 = h2 − h1 + 2 (h2 − h1 )3 u2 2 − u1 = = h1 2g 4h1 h2 1+ (√ 8Fr2 1 −3 )3 ). dont la position n’est pas a priori fixée par une singularité. En effet. ce qui permet de justifier notre approximation. Expérimentalement on trouve que : L Fr = 160 tanh − 12. la position du ressaut hydraulique est donc très simples à établir.12 montre un ressaut au pied du seuil. Cela n’est toutefois pas toujours le cas.2.19) s’appelle équation de conjugaison et les hauteurs h1 et h2 sont dites conjuguées.3 Conjugaison d’une courbe de remous Les ressauts hydrauliques stationnaires sont souvent observés au pied d’aménagements hydrauliques tels que les évacuateurs de crue des barrages ou les seuils. il est souvent considéré que de tels aménagements sont des points singuliers ou singularité : la longueur de l’aménagement est très petite par rapport à la longueur caractéristique du bief étudié que l’on peut la considérer nulle . . lorsque les conditions hydrauliques varient doucement et se caractérisent par le passage d’un régime supercritique à un régime subcritique. Pour déterminer la position du ressaut. Équations de base en hydraulique 6 5 h2 /h1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Fr1 Figure 1. Dans un tel cas. En modélisation hydraulique. h1 20 pour 2 < Fr < 16. il se forme un ressaut. 16 1+ 8Fr2 1 −1 La longueur du ressaut n’est en général pas très élevée. La figure 1. L’équation (1. La figure 1. dont la position coïncide avec la position de l’aménagement. org/Hydraulic_jump.13(a). admettons que l’on ait calculé la courbe de remous subcritique h = h2 (x) partant . l’autre en régime supercritique à l’amont. h(x) courbe de remous amont. (b) Principe de calcul de la position du ressaut à l’aide de la courbe conjuguée.12 : ressaut hydraulique stationnaire sur le Mississippi au pied du seuil du Saint-Falls Laboratory de Minneapolis (États-Unis). l’une en régime subcritique à l’aval. (5. il faut appliquer la méthode dite de « conjugaison ».10) avec Fr > 1 D A C B régime supercritique ressaut régime subcritique x h(x) intersection de la conjuguée et de h1 (x) h2 (x) courbe de remous aval.13) D’ x Figure 1. Par exemple. qui se résout avec une condition à la limite en D). Cette méthode repose en effet sur l’équation de conjugaison (1.thefullwiki. Positionner le ressaut c’est donc positionner le segment vertical BC de telle sorte que la hauteur hD vérifie la courbe de remous de la branche subcritique et que la hauteur hC fasse de même pour la branche supercritique. La branche AB est la courbe de remous du régime supercritique (elle se calcule en résolvant (1.1. Ce problème peut se résoudre simplement en traçant la conjuguée d’une des branches et en cherchant son intersection avec l’autre branche. h2 (hauteur aval) et h1 (hauteur amont). les points B (hauteur h1 ) et C (hauteur h2 ) localisent le ressaut hydraulique. la branche CD est la courbe de remous du régime subcritique (elle se calcule en résolvant (1.18) avec une condition à la limite en A) . éq.13(b). (5. Cette équation fournit les hauteurs de part et d’autre du ressaut.13 : (a) ressaut stationnaire entre deux courbes de remous.2 Courbe de remous 29 Figure 1. Chacune de ces hauteurs doit également se trouver sur la courbe de remous : comme le montre la figure 1. comme le montre la figure 1.18). (5. éq. Source : www. qui apparaît comme discontinuité.19).10) avec Fr < 1 (a) D A E’ h1 (x) B (b) h′ 1 conjuguée de h2 (x) par l’éq. Pour les équations de Saint-Venant sous forme conservative (1. sur fond horizontal et sans frottement. 2 h 1 v1 2 2 + gh2 1 /2 = h2 v2 + gh2 /2. √ 1. les signes + et − sont employés pour désigner ce qui se passe à droite et à gauche respectivement de la discontinuité x = s(t). Équations de base en hydraulique du point D en résolvant (1.18) . où les doubles crochets représentent la variation brutale de u au passage du choc JuK (1.22) où l’on a la relation : A(u) = ∇u F(u).9)–(1. On aurait pu procéder avec l’autre branche. Il faut noter au passage que c’est même une stratégie plus efficace car on note que dans la précédente méthode. dont le mascaret (voir § 3. ces discontinuités sont les ondes de choc lors du passage du mur du son. ce qui demande un peu plus de travail numérique pour trouver la solution. ces discontinuités sont les ressauts hydrauliques mobiles. on peut calculer la courbe conjuguée D’E’ h = h′ 1 (x) (le prime désignant la hauteur conjuguée) en se servant de (1.7) est un exemple. les conditions de Rankine-Hugoniot s’écrivent : s ˙ JhK = JhuK.19) : h2 1 = h′ 2 1 ′ (√ ) 1 + 8Fr2 1−1 (1.x>s lim u− x→s. il nous fournit la position du ressaut. Comme ce point appartient à la courbe de remous supercritique et qu’il vérifie la relation de conjugaison (1. .x<s lim u. alors on a v = u − s ˙ .19).20) avec Fr1 = q/ gh13 . peuvent admettre des solutions discontinues. l’inconnue h′ 1 (x) apparaît à la fois dans le dénominateur du membre de gauche et dans la définition du nombre de Froude. s ˙ JhuK = Jhu2 + gh2 /2K. ∂t ∂x (1.4 Ressaut hydraulique mobile Toutes équations (ou systèmes d’équations) qui se mettent sous la forme d’une équation d’évolution ∂u ∂u + A(u) · = 0. ce qui conduit strictement au même résultat. En hydraulique. On peut éliminer la vitesse du choc pour obtenir un système d’équations qui fournit la valeur de (h2 v2 ) lorsqu’on connaît (h1 v1 ) h1 v1 = h2 v2 .21) ∂t ∂x ou bien sous la forme dite conservative ∂u ∂ + F(u) = 0.10). avec s ˙ la vitesse de propagation du choc.2. Si l’on écrit ces relations dans un repère lié à l’onde de choc.23) = u+ − u− = x→s.30 1. L’intersection de la courbe conjuguée h = h′ 1 (x) avec la branche supercritique h = h1 (x) se fait au point B. Pour les équations. (1. Toute discontinuité située en x = s(t) se propage à la vitesse s ˙ donnée par la condition de Rankine-Hugoniot s ˙ JuK = JF(u)K. 2 Courbe de remous On a ainsi : h 2 v2 − h 1 v1 . 2+ 1− h2 − h1 2 2 s ˙= ce qui donne la vitesse de propagation du ressaut et u2 (h2 |h1 v1 ) : √ 31 u2 = u1 ∓ (h2 − h1 ) √ g h1 + h2 . h2 − h1 (h2 u2 − h1 u1 )2 gh2 gh2 2 1 = h2 u2 − h1 u2 . les termes sources tels que le frottement ne peuvent influer sur la dynamique du ressaut). . 2 h1 h2 s ˙ = u1 ∓ g h2 (h1 + h2 ) . cette relation est toujours vérifiée (la discontinuité étant supposée ponctuelle. 2 h1 Pour les cas avec frottement et pente non nulle.1. ∂t ∂x (1. On parle de convection ou d’advection (la convection est plus souvent employée en thermique pour décrire le transfert de chaleur).2 du complément de cours – Qu’est-ce qu’une équation différentielle hyperbolique? Relire l’annexe 1. Quand l’advection est linéaire et se fait sans amortissement.7.1 Équation de convection (ou d’advection) – Qu’est-ce qu’une équation aux dérivées partielles du premier ordre? Voir la définition au § 1.3. phénomènes ondulatoires . C’est une équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre.14 : advection d’une quantité f . l’équation caractéristique associée .32 1. L’équation la plus simple qui soit représentative de la convection est la suivante ∂f ∂f +u = 0. celui-ci sera généralement transporté à la même vitesse que l’eau. avec plus particulièrement le § 1. La convection est un mode de transfert d’un élément ou d’une quantité où celle-ci est advectée par le fluide. si on libère un polluant dans un cours d’eau. Par exemple. Équations de base en hydraulique 1. f u(t2 − t1 ) t1 t2 x Figure 1.3 Autres équations utiles en hydraulique Nous allons maintenant voir les principaux types d’équations aux dérivées partielles rencontrées en hydraulique : – – – – transport par convection (ou advection) . 1. transport par diffusion .1.4 du complément de cours – Connaissez-vous la méthode des caractéristiques pour résoudre une équation aux dérivées partielles? Voir la méthode au § 1. phénomènes d’équilibre. le transport est une simple translation sans changement de forme.4.5.24) où f (x. t) est une quantité advectée par un courant d’eau à la vitesse constante u.5 du complément de cours – Savez-vous mettre une équation aux dérivées partielles sous forme caractéristique? Voir la méthode au § 1. 27) Pour de la diffusion d’un gaz dans un milieu poreux on a k = 1 (f représente la concentration) . on a k = 3 (f représente la hauteur de fluide) .25) avec α = k/(ϱC ) la diffusivité thermique.3. on a k = 5. ϱ la masse volumique.3 du complément de cours – Qu’est qu’une solution auto-similaire? Voir la méthode au § 1. outre le mouvement moyen. l’équation de diffusion est ∂f ∂ ∂f =κ fk . toute fonction F (x − ut) dont l’argument est x − ut est solution de l’équation (1. L’une des caractéristiques de cette solution est que la forme initiale F (x) (à t = 0) est conservée tout le long du mouvement : elle est simplement translatée de ut comme le montre la figure 1. pour la diffusion de chaleur lors des premiers instants d’une explosion nucléaire. La matière diffuse également.1. cela veut dire que la solution de l’équation caractéristique est x − ut = cste . (1. t) varie au cours du temps dans un matériau (en dimension 2) selon l’équation ∂T = α∆T = α ∂t ( ∂2T ∂2T + ∂x2 ∂y 2 ) . ∂t ∂x (1.26) avec D le coefficient de diffusion et f (x.24).2 Équation de diffusion – Qu’est-ce qu’un laplacien? Voir la définition au § 1. . dt u 1 0 33 Comme u est supposée constante. La température T (x. il existe des fluctuations de vitesse qui dispersent rapidement un élément ou un fluide dans le volume.5 du complément de cours La diffusion est un mode de transfert d’un élément sous l’effet de l’agitation thermique (mouvement brownien) ou bien de la turbulence. Dans un cours d’eau. On parle alors d’équation de diffusion non linéaire. 1.3. C la chaleur massique. t) est ici une quantité telle que la concentration d’un polluant dans une rivière. L’équation de diffusion est la suivante en dimension 1 ∂2f ∂f = D 2.5 du complément de cours – Qu’est-ce qu’une équation différentielle du second ordre? Voir la définition au § 1. mais dépende de la fonction f .24) est dx dx dt df = u ou bien encore = = . y . ∂t ∂x ∂x ( ) (1. Il est fréquent que le coefficient de diffusion ne soit pas constant.3 Autres équations utiles en hydraulique à l’équation aux dérivées partielles (1.7. pour la diffusion d’un fluide newtonien sur un substrat horizontal. k la conductivité thermique. C’est une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre.14. lorsqu’on a D(f ) = κf k . Un des exemples classiques de diffusion est l’équation de diffusion d’un soluté dans un aquifère ou bien l’équation de diffusion de la chaleur. Par exemple. Il s’agit ici d’équations linéaires. t) = √ 4πDt ∫ ∞ −∞ g (ζ )e− (x−ζ )2 4Dt dζ. la condition initiale est donc f (x. Cette intégrale signifie que la concentration f à tout temps t et pour tout x est la somme des contributions élémentaires induites par la distribution de source d’intensité g (ζ ) par unité de longueur. On note que m n’est pas déterminé par l’équation différentielle. on lâche un volume V de polluant initialement contenu en un point x = 0 . bien plus simple à résoudre. c’est-àdire une quantité localisée en un point. Voyons cela en pratique dans un cas particulier où l’on suppose que dans une retenue d’eau au repos (lac). quoique le front s’étale de plus en plus. la somme de deux solutions est également solution. t √ √ ∫ ∞ − x2 avec b une constante d’intégration. Comme −∞ e 4D dx = 2 Dπ . s’appelle problème de Green. il existe parfois des solutions analytiques à l’équation (1. Notons que la solution obtenue a un intérêt général car elle est la solution particulière du problème dit de Green. d’où la solution x2 V f (x. où V est le volume ∫ total (supposé constant) de matière qui diffuse. donc a = 0. avec a une constante d’intégration. En général. En substituant la forme f = t−1/2 F (ξ ) dans l’équation (1. 0) = g (x).34 Solution auto-similaire au problème de Green 1. Comme la solution est attendue être symétrique en x = 0 (donc en ξ = 0). L’avantage de ce changement de variable est qu’on transforme l’équation aux dérivées partielles en équation différentielle ordinaire linéaire d’ordre 2. . on a F ′ = 0 en x = 0 (F doit admettre une tangente horizontale en ce point). Un changement de variable ∫ 1 donne f (x)dx = tm+1/2 F (ξ )dξ = V .28) 4πDt Comme le montre la figure 1. Par exemple. on obtient une équation différentielle ordinaire pour F et ce faisant. qui donne en intégrant une première fois ξF + 2DF ′ = a.26) sous la forme de solution auto-similaire tm F (ξ ) avec ξ = x/tn . Il est donc nécessaire que m = − 2 car V ne dépend pas de t. on a transformé un problème aux dérivées partielles en problème différentiel ordinaire : F + ξF ′ (ξ ) + 2DF ′′ (ξ ) = 0. La solution générale s’écrit alors 1 f (x. Ce problème où la condition initiale est une « impulsion ». Équations de base en hydraulique Selon les conditions initiales imposées. on déduit que b = V /2 Dπ . Puisque l’équation différentielle est linéaire. Quand on substitue f par cette forme dans l’équation (1.26). mais il l’est par les conditions aux limites. t) = √ e− 4Dt . la forme du front de diffusion reste identique au cours du temps (elle est en forme de cloche). 0) = δ (x) où δ est la fonction Dirac (δ (x) = 1 si x = 0 et δ (x) = 0 si x ̸= 0). (1. on impose que la quantité de matière diffusée soit constante ∫ ∞ −∞ f (x)dx = V. t) = √ e− 4Dt . Une nouvelle intégration donne ξ2 x2 b F (ξ ) = be− 4D ⇒ f (x.26). dans les problèmes physiques.15. admettons que la condition initiale soit plus complexe : f (x. on trouve que n = 1 2 . 15 : diffusion d’une quantité f . 1.5. t = 5.t ) 0. On a alors ∂· ∂ · ∂ζ ∂ · ∂τ = + . t = 1. τ = t. C’est le phénomène couramment rencontré en hydraulique.26) vue plus haut. ∂τ ∂ζ qui est similaire à l’équation de diffusion (1. .1. t = 0.3 Autres équations utiles en hydraulique 35 0. Par exemple. L’équation caractéristique est donc ∂f ∂f ∂2f df = +u = D 2.6 f ( x.29) où D et u sont supposées constantes. dt ∂t ∂x ∂x (1.2 0 10 5 0 5 10 x Figure 1.1. le déversement d’un polluant dans une rivière conduit à un transport de ce polluant par diffusion (turbulente) et convection (advection à la vitesse de l’eau). ∂ζ ∂τ L’équation (1. Calcul avec D = 1 m2 /s et au temps t = 0. ∂ζ ∂· ∂ · ∂ζ ∂ · ∂τ = + . On peut se ramener à un problème de diffusion linéaire par le changement de variable suivant (qui revient à faire un changement de référentiel et à se placer dans le référentiel du cours d’eau) ζ = x − ut.3.8 0. ∂t ∂ζ ∂t ∂τ ∂t ∂· ∂· = −u + . et t = 10 s. ∂x ∂ζ ∂x ∂τ ∂x ∂· = .3 Équation de convection-diffusion La convection-diffusion est la combinaison des deux phénomènes.4 0.29) devient alors ∂2f ∂f = D 2. on a observé que l’onde s’est déplacée d’une distance cδt. ce qui en pratique implique que la vitesse des crêtes dépend de la longueur d’onde. c’est-à-dire les crêtes de la vague se déplacent à une vitesse constante qui est indépendante de la longueur d’onde. crête amplitude A longueur d’onde λ dépression Figure 1. t) = ∇ϕ) et g l’accélération de la gravité. On recherche souvent les solutions sous la forme d’harmoniques (onde périodique) : ϕ(t) = A exp[ı(kx − ωt)] = Re(A) cos(kx − ωt) − Im(A) sin(kx − ωt).31) . (1. appelée vitesse de groupe. On introduit alors la vitesse de phase cp ω (k ) . d’où le nom de relation de dispersion pour ω (k ).4 Équation des ondes Les ondes dynamiques sont les solutions d’une équation différentielle telle que l’équation aux dérivées partielles (du second ordre) suivante : 2 ∂2ϕ 2∂ ϕ = c . Cette forme n’est pas exhaustive . k le nombre d’onde (λ = 2π/k est la longueur d’onde ). y. la relation n’est pas linéaire. l’équation des ondes de surface s’écrit (voir § 3.16 : longueur d’onde et amplitude d’une onde harmonique. 2 ∂t ∂y avec ici ϕ le potentiel de vitesse (u(x. ce qui aboutit finalement à une séparation ou dispersion de l’onde. dk (1. La période est définie comme T = λ/c. Équations de base en hydraulique 1. par exemple. où A est l’amplitude. Dans la plus plupart des systèmes que l’on va étudier dans ce cours. La relation de dispersion ω (k ) est ici linéaire puisqu’on a : ω (k ) = ck .3. on introduit aussi une fréquence f définie comme f = ω/(2π ) : c’est le nombre d’oscillations complètes durant une seconde à une position donnée. Il existe une troisième vitesse. qui représente la vitesse à laquelle l’énergie associée à l’onde se propage : cp = cg = dω .2) : ∂2ϕ ∂ϕ = −g . chaque composante harmonique se déplace à sa propre vitesse.36 1. ω la fréquence angulaire . Cela veut dire que pendant un intervalle δt.30) ∂t2 ∂x2 avec c la vitesse (de phase). La vitesse de l’onde est ici c = ω/k . k Dans un processus physique où les ondes résultent de la superposition de plusieurs ondes harmoniques de longueur d’onde différente. Il existe deux sens de propagation : – onde progressive f = f (x − ct) : l’onde va dans le sens x > 0 . Cela permet notamment de montrer que la solution générale de l’équation des ondes (1. mais ont un comportement aléatoire. la linéarité permet d’appliquer le principe de superposition. ∂t ∂x ) ce qui permet également de transformer une équation aux dérivées partielles du second ordre en un système d’équations du premier ordre { ft − cfx = v. on a cg ≤ cp . En général. on se sert de cette fonction sous une autre forme. qui permet de déterminer les composantes qui ont le plus de poids : le spectre de fréquence.30) peut se factoriser ainsi 2 ∂2f 2∂ f − c = ∂t2 ∂x2 ( ∂ ∂ −c ∂t ∂x )( ∂ ∂ +c f = 0. L’équation différentielle (1. On introduit aussi le spectre de fréquence en prenant la transformée de Fourier de l’autocovariance (cela est aussi le résultat du théorème de Wiener-Khinchin) : E (ω ) = 1 π ∫ ∞ −∞ R(s)e−iωs ds = 2 π ∫ 0 ∞ R(s) cos(ωs)ds .30) s’écrit f = a(x − ct) + b(x + ct). ce qui implique que toute combinaison de solutions est également solution (principe de superposition). pour la plupart des phénomènes physiques.1.17 : déplacement vers la droite à la vitesse c d’une onde progressive. les ondes ne sont des formes régulières et périodiques. la dépendance en temps disparaît. – onde régressive f = f (x + ct) : l’onde va dans le sens x < 0. vt + cvx = 0. Remarquons que dans bien des cas d’intérêt pratique. Une onde stationnaire résulte de la superposition d’une onde régressive et d’une onde progressive de même amplitude. Une fonction aléatoire f (x. Le plus souvent. Dans les problèmes d’intérêt pratique.t) peut se caractériser à l’aide de sa densité de probabilité. les équations sont linéaires . Dans ce cas.3 Autres équations utiles en hydraulique φ cδt 37 x Figure 1. Notons par ailleurs que que l’équation (1.30) est linéaire. Lorsqu’elle est stationnaire (c’est-à-dire lorsque ses moments tels que la valeur moyenne ne dépendent pas du temps) alors l’autovariance R(s) sert à caractériser la fonction : R(s) =< f ′ (t)f ′ (t + s) > où f ′ (t) = f (t)− < f (t) > désigne la fluctuation par rapport à la valeur moyenne < f (t) >. avec a et b deux fonctions quelconques (solution dite d’Alembert ). avec µ la viscosité et k la perméabilité du milieu. On peut reformuler cette équation de la façon suivante u = −∇ψ avec ψ = −kp/µ . alors elle est reliée au gradient de pression p par : u = −k ∇p/µ. Équations de base en hydraulique qui est une fonction réelle paire.3. L’équation de continuité (incompressibilité du fluide) impose que div u = 0. 1. Le prototype de l’équation elliptique est l’équation de Laplace : uxx + uyy = 0.5 Processus à l’équilibre : équation de Laplace – Qu’est-ce qu’une équation aux dérivées partielles elliptique? Voir la définition au § 1. Une propriété fondamentale du spectre de fréquence est que l’intégrale : ∫ ω2 E (ω )dω ω1 représente la contribution à la variance < f ′2 (t) > de tous les modes dans la gamme de fréquence ω1 ≤ ω ≤ ω2 . .38 1. si la vitesse u suit la loi de Darcy. on dit que u dérive du potentiel ψ .25) en régime permanent (∂t T = 0) devient elliptique. (1.3. En effet. l’équation de la chaleur (1. soit encore ∇ · ∇ψ = 0 ⇒ ∆ψ = 0.32) Par exemple. Ainsi. l’écoulement lent d’eau dans un milieu poreux est également une équation de Laplace. L’équation de Laplace sert à décrire un grand nombre d’écoulements stationnaires dans les problèmes environnementaux.5 du complément de cours – Qu’est ce que l’opérateur ∇ ? Voir la définition au § 1.1 du complément de cours Les équations elliptiques traduisent en général comment un processus à l’équilibre est organisé spatialement. ou comme « une accumulation d’eau provenant de drainages.1 Phénomènes physiques Inondation et crue Une inondation peut être définie selon les auteurs comme une « irruption d’eau sur un terrain normalement sec » comme une « submersion par l’eau débordant du lit normal d’un cours d’eau ». par les équations de Saint-Venant ou des équations approchées tirées des équations de Saint-Venant. Les causes des inondations sont multiples et peuvent être classifiées comme on le montre ci-après. on parle souvent de « crue éclair » (flash flood en anglais). de piémont. à des degrés divers de précision. Il s’agit d’une situation temporaire qui peut être dommageable (destruction d’habitations. 2. de courte durée et ont un débit de pointe relativement élevé. . Elles sont soudaines. sur des zones qui ne sont pas normalement submergées ».39 Ondes de crue et inondations C e chapitre traite des crues lentes ou rapides. elles peuvent être extrêmement dévastatrices. d’autant plus qu’elles ont une capacité de charriage très importante. ou de collines. pouvant conduire aux laves torrentielles. Inondations fluviales et crues On fait la distinction entre crue et inondation : – les inondations fluviales sont les plus fréquentes et également les plus dommageables. La crue de l’Elbe en Tchéquie et en Allemagne en août 2002 est un exemple récent d’inondation sur une vaste échelle . – crues torrentielles sous forme de crues liquides (avec transport solide) . Les crues de l’automne 2000 sur le Val d’Aoste. par exemple). Pour souligner leur caractère brutal. – les crues sont des phénomènes brutaux qui surviennent à la suite de violentes précipitations sur un périmètre limité et souvent dans un contexte montagneux.1 2.1. Elles surviennent à la suite de longues périodes de pluie ou de la combinaison de pluies avec la fonte des neiges et glaces. par exemple) ou bénéfique (apport d’alluvions fertilisants. 2 Tous ces phénomènes peuvent être calculés. Nous commençons par décrire les phénomènes physiques de façon qualitative avant d’aborder chacun d’eux à travers des équations. la haute Maurienne. Elles peuvent concerner des surfaces très importantes (plusieurs centaines à milliers de km2 ). En zone de montagne. On va s’intéresser à une multitude de phénomènes tels que : – crues lentes des grands fleuves conduisant souvent à des inondations . – les inondations dues aux précipitations convectives d’été peuvent avoir des effets catastrophiques sur des régions fortement urbanisées. on estima le débit à 6000 m3 /s contre 160 m3 /s pour le débit de pointe annual. continues et intenses. Source : http://euspaceimaging.. Ondes de crue et inondations et le Valais (Gondo. qui affectent principalement les Pays-Bas (tempête de janvier 1953). Pour en savoir plus http://geoconfluences. Fully pour le Valais) sont des exemples de crues quasi concomitantes sur une période de temps courte. les volumes d’eau ruisselée sont également importants . Si des précipitations accompagnent ce vent. Le sol se sature et de grands volumes d’eau ruissellent . – les inondations dues aux grandes marées. qui sur l’Europe sont bien établis : – les inondations hivernales.1 : crue du Rhône (région d’Arles. – les inondations dues à la fonte des neiges se produisent lorsque le stock neigeux est encore important au printemps et lorsque du vent chaud provenant du sud traverse les Alpes.40 2.ens-lsh. On peut relier les inondations à des scénarios météorologiques. qui apportent des précipitations pouvant être longues. causées par des dépressions d’ouest associées à un front chaud. la crue de l’Ouvèze à Vaison-la-Romaine fit 41 morts en 1992. France) en décembre 2003.fr/doc/transv/Risque/RisqueDoc. octobre 1988) . .htm.com. Elles sont de type « crue éclair » (Nimes. Ces crues font souvent des victimes compte tenu de leur soudaineté et de la force du courant (la crue d’octobre 1988 à Nîmes fit 10 morts à Nîmes. Les crues du sud-est de la France offrent des exemples dramatiques de crues éclair sur de grands bassins-versants dans un contexte de colline : pour la crue historique du Tarn de mars 1930. la crue de l’Aude fit 35 victimes en 1999) (Gaume et al. Figure 2. 2009). Autres phénomènes D’autres types d’inondations. après un hiver très humide. soit par un apport direct (pluie). plus anecdotiques pour nos contrées. par conséquent. le ruissellement sur les chaussées lors de violents orages peut provoquer des inondations dans les maisons attenantes.1 Phénomènes physiques Remontées de nappe 41 Les remontées de nappe surviennent à la suite de la saturation du sol en eau et. Débordement de lac Les lacs. Source : Thierry Hauteville. Les photographies de la figure 2. due à des phénomènes oscillatoires . Rupture de barrage On se reportera au chapitre 4 pour plus de renseignements. à des obstructions de cours d’eau ou de drain. leur maison restant inondée pendant deux à trois mois. plus de 3000 personnes sont sinistrées dans la région d’Abbeville (Somme). Dans les zones urbanisées (l’Oise en France) ou certaines régions géologiquement favorables (avec des terrains aquifères calcaires ou crayeux comme dans la Somme).2. Ces problèmes sont souvent associés à un dysfonctionnement du réseau d’évacuation des eaux pluviales. Au printemps 2001.2 : inondations lors de l’orage du 5 juin 2000 à Châtel (Haute-Savoie). sont également possibles. ruissellement à partir des versants). lorsqu’il n’est plus en mesure d’absorber de nouvelles quantités d’eau. ces remontées de nappe causent des inondations assez fréquentes. soit par un apport indirect (écoulement souterrain. ou à des orages particulièrement intenses.2 montrent un exemple d’inondations provoquées le ruissellement des eaux sur les chaussées goudronnées de Châtel à la suite d’un violent orage sur le Morclan en juin 2000. Ruissellement Dans les zones urbanisées. peuvent voir leur niveau d’eau augmenter de plusieurs mètres. lorsque leur exutoire a une capacité d’évacuation (naturelle ou artificielle) limitée. Figure 2. Parmi ceux-ci. comme ce fut le cas au Tessin en 1993 avec le lac Majeur. mentionnons le phénomène de seiche. où le sédiment est relativement fin et transporté en suspension dans l’eau.5 % de la surface du pays. Durant la même période. qui se produisent dans les torrents et les rivières de montagne ou de piémont. On distingue : – les crues avec charriage : le cours d’eau transporte du sédiment grossier par roulement. 1999). Les inondations des cotes de l’Océan Indien en Asie du Sud-Est à Noël 2004 ou les inondations à la Nouvelle-Orléans après le passage de l’ouragan Katrina sont des exemples d’inondations dues à des tsunamis ou des cyclones. bien que les plaines inondables ne représentent qu’une partie infime du territoire. Ce type de crue se produit dans les cours d’eau dès que le débit est suffisamment fort pour mettre en mouvement les matériaux composant le lit de la rivière. Inondation nombre (part en %) 430 (18 %) 900 (37 %) 420 (17 %) 210 (9 %) 330 (14 %) 130 (5 %) 2410 (100 %) Pertes économiques millions US$ (part en %) 41 230 (15 %) 192 690 (69 %) 37 540 (13 %) 4 130 (1 %) 1 950 (1 %) 2 280 (1 %) 279 810 (100 %) Pertes en vie humain e nombre (part en %) 1 800 (1 %) 222 780 (88 %) 3 670 (2 %) 4 480 (2 %) 15 810 (6 %) 3 290 (1%) 251 820 (100 %) Europe Asie Amérique du Nord Amérique du Sud Afrique Océanie Totaux dans les grandes étendues d’eau fermées (par exemple les grands lacs aux États-Unis).1 : statistiques des inondations catastrophiques par continent sur la période 1985–1999 d’après les données de MünchenRe. Cette situation est évidemment à mettre en relation avec les grands fleuves chinois et la situation particulière du Bengladesh. représentant 30 % (respectivement 25 %) de l’ensemble des catastrophes naturelles. Par exemple. les marées de tempêtes associées aux cyclones tropicaux. Dans ce dernier pays. Ondes de crue et inondations Tableau 2. elle représente 1. avec une échelle granulométrique étendue (du micromètre à plusieurs déci- .1. 85 % du territoire national est exposé à d’importants risques d’inondations. les tsunamis affectant principalement les côtes japonaises. soit environ la moitié du nombre total de victimes imputées aux catastrophes naturelles (MunichRe.1. les mouvements d’affaissement du terrain ou encore l’écroulement d’un barrage naturel.2 Dommages causés par les inondations Les inondations représentent chaque année un pourcentage important des pertes économiques dues aux catastrophes naturelles (49 % du total mondial en 1999). Parmi l’ensemble des continents. celui des pertes en vies humaines est de 88 %. mais elle concentre 250 millions d’habitants et 45 % de la production du riz et des autres céréales y est produite. Pour la période 1985–1999. 2. et celui des pertes économiques est de 68 % des totaux respectifs mondiaux. le nombre d’événements ayant provoqué des dommages s’élevait à 2410 pour l’ensemble de la planète (430 pour l’Europe). saltation le long du lit (processus appelé charriage). pour le Yangtse. elles ont provoqué la mort de plus de 250 000 personnes (1 800 pour l’Europe). La situation chinoise n’est pas en reste. 2. les rivières torrentielles et les torrents peuvent transporter des volumes importants de matériaux. l’Asie est celui qui paie le plus lourd tribut aux inondations : le pourcentage d’événements dommageables est de 37 %. Contrairement aux rivières de plaine.3 Crues torrentielles Les crues torrentielles sont des écoulements d’eau avec un fort transport solide.42 2. glissement. Certains torrents comme le Nant du Pissot au-dessus de Villeneuve (Vaud) ne fournissent des laves qu’en moyenne une fois par siècle . la concentration solide est très importante (de l’ordre de 70– 80 %). D’autres torrents sont plus actifs car le terrain présente souvent une instabilité à un niveau local (berges) ou étendu (mouvement de terrain affectant une grande partie du bassin-versant). mètres). l’exhaussement du lit. En Europe. Les éruptions volcaniques peuvent en effet déposer des quantités colossales de cendres. le transport par charriage est instable. Source : Agence Spatiale Européenne. Le mélange prend alors souvent l’apparence d’une boue ou d’un béton.2. Des catastrophes récentes en Indonésie. Des crues comme celle de Brigue en septembre 1993 (Valais) peuvent provoquer des dommages importants en provoquant l’obstruction des ponts. Signalons que certains écoulements naturels sont très proches des laves torrentielles que nous rencontrons dans les Alpes : – les lahars sont des écoulements d’un mélange d’eau et de cendres. La gravité est en effet suffisante à maintenir les particules en mouvement une fois qu’elles ont été érodées. elles sont plus proches d’une avalanche que d’une crue. et d’eau . l’inondation des berges.3 : l’Elbe en crue le 19 août 2002 : situation en temps normal (à gauche) et situation le 19 août 2002. – les laves torrentielles : lorsque la pente est forte. La plupart des torrents peuvent produire avec une fréquence plus ou moins importante des laves torrentielles. que l’on rencontre dans les régions volcaniques. et un important dépôt solide . Une lave torrentielle est donc un transport en masse d’un mélange de blocs. d’une certaine façon. de terre. qui peut produire plusieurs laves torrentielles chaque année. Philippines (volcan Pinatubo en octobre 1991) sont consécutives à de fortes pluies. Les laves torrentielles ont donc un comportement mécanique très différent des crues liquides et. C’est le cas par exemple de l’Illgraben.1 Phénomènes physiques 43 Figure 2. la catastrophe de Sarno et Quindici (Italie) en mai 1998 . qui sont ensuite très facilement érodables. ce sont souvent des torrents à clappiers : le matériau mobilisé par les laves torrentielles provient de l’éboulement de falaises (les éboulis sont les « clappiers » ou clappes) et il faut plusieurs années à décennies pour former un stock suffisant de matériau mobilisable. Les crues sont lentes et étalées sur plusieurs jours à semaines. – certains mouvements de terrain ou écroulements peuvent se mettre à accélérer brutalement et causer des écoulements proches des laves torrentielles lorsque la teneur en eau est suffisante. elle fit 137 morts et environ 300 Me de dommages . En novembre 1985. Un exemple est fourni par la crue de l’Arc (Haute Maurienne) et celle du Guil en juin 1957 et de nombreux autres rivières de la chaîne frontalière : le mois de mai 1957 avait été plus froid que la normale et un important stock de neige subsistait en altitude. La saison à risque est la fin du printemps (mai et juin). des valeurs dépassant 20 m3 /s/km2 ont été observées (crue de l’Orba dans les Alpes italiennes en août 1935 ou bien du Tech en octobre 1940 dans les Pyrénées) lors d’épisodes de pluie diluviens et hors normes (pour l’Europe) sur des massifs montagnes proches de la Méditerranée . isolant toute la vallée de Maurienne. et concernent une vallée entière. seul un bassin-versant est touché de façon isolée. En conditions exceptionnelles. En juillet 1965.3 à 0. très exceptionnellement en hiver. qui engloutit la ville d’Armero et d’autres villages (23 000 morts environ). La saison à risque est l’été (juin à septembre). Les débits spécifiques de pointe se situent dans une fourchette large 1–10 m3 /s/km2 pour une période de retour T = 10 ans. Le coefficient d’écoulement est souvent moyen (0.6 à 1) . au-dessus de 2000 m. Les . les températures se sont mises à s’élever très brutalement (plus de 20°C) sous l’effet de l’arrivée d’air chaud et humide de Méditerranée. durent plusieurs jours. 2. – la fonte des neiges au printemps ou bien un important redoux accompagné de pluie durant l’hiver ou le printemps. Le coefficient d’écoulement est élevé (de 0. qui coupa la route nationale et la ligne de chemin de fer. l’éruption du volcan Mount Saint Helens aux États-Unis provoqua un affaissement complet du versant nord du volcan et causa la formation de lahars dévastateurs . le volcan Nevado del Ruiz en Colombie entra en éruption . – au cours des éruptions volcaniques. La saison à risque est en général l’automne et le début du printemps. la fusion de la glace forma une coulée de cendres. la vallée de la rivière North Fork Toutle fut comblée de sédiments sur une longueur d’environ 22 km et sur une épaisseur moyenne de 45 m (épaisseur pouvant localement atteindre les 200 m) . Les débits spécifiques de pointe dépassent exceptionnellement 1 m3 /s/km2 pour T = 10 ans. – les pluies soutenues sur de longues périodes (plusieurs jours.44 2.8).2 Origine des crues Dans les Alpes. Les débits spécifiques de pointe dépassent exceptionnellement 1–2 m3 /s/km2 pour T = 10 ans. le glissement de terrain de la Ravoire de Pontamafrey (France) accéléra soudainement après un printemps humide et forma une lave torrentielle de plusieurs centaines de milliers de m3 . semblables aux lahars. Les crues sont lentes. Ondes de crue et inondations est due à un mouvement de terrain affectant des sols volcaniques (dépôt de cendres du Vésuve) . Au début de juin. Le plus souvent. Les crues sont rapides et ne durent en général que quelques heures. le mélange de cendres et d’eau (par exemple résultant de la fusion d’un manteau neigeux ou d’un glacier) peut provoquer des coulées froides de cendres. parfois plusieurs semaines) liées au passage d’un ou plusieurs systèmes dépressionnaires bien organisés sur les Alpes. on observe trois scénarios majeurs dans la formation des crues : – les pluies brèves et intenses : typiquement des orages de fin d’après-midi l’été quand il faut chaud et humide. En mai 1980. voire tout un massif ou une région. la géologie du sous-sol. nature.2.) . – l’altitude et ses effets sur la limite des neiges. – la densité du réseau hydrographique drainant le bassin-versant . Le débit de crue dépend foncièrement de l’intensité des pluies : plus l’intensité est forte. le ruissellement est faible (forte résistance. La réponse d’un bassin-versant à une pluie est variée. ce qui a conduit à des crues extrêmes. – la nature des sols. mais peu soutenues. entrent le plus souvent dans cette catégorie. pente modérée). Toutefois. À ces chutes de pluie s’est ajoutée la fonte rapide du manteau neigeux. Aucune crue ne survient après des précipitations longues. route. En général. végétation dense. etc. nature pédologique du sol. un débit moyen journalier de moyen interannuel pour le mois de juin est Q 500 m3 /s a été enregistré le 14 juin 1957 (voir figure 2. Le torrent de l’Alptal (SZ) en est un exemple . Certains bassins-versants sont sensibles à tous les scénarios décrits ci-dessus tandis que d’autres ne réagissent qu’à un scénario précis. réseau racinaire. végétation. etc. – réponse moyenne (groupe 2) : le bassin-versant répond de façon atténuée aux pluies mêmes intenses ou soutenues sur plusieurs jours. des concours de circonstances font qu’exceptionnellement des crues peuvent se produire avec des débits importants . etc. l’existence de surfaces imperméables (glacier. raides et peu végétalisés.5).2 Origine des crues 45 précipitations faibles du mois de juin se sont intensifiées avec l’arrivée d’air froid de Scandinavie. – le couvert végétal : densité. le temps mis par l’eau pour atteindre l’exutoire peut différer notablement . pergisol/permafrost. Les petits bassins-versants de montagne. plus le débit de pointe est élevé. la capacité d’infiltration est bonne. – la possibilité de blocage de cellules orageuses ou un effet de barrière sur le passage d’une perturbation. La réponse d’un bassin-versant à une pluie dépend : – de la forme générale du bassin-versant : selon que le bassin-versant est de forme oblongue ou ramassée. . Ainsi à Saint-Michel-de-Maurienne. la capacité d’infiltration et de résurgence. – réponse lente (groupe 3) : le bassin-versant ne répond pas ou faiblement aux pluies. . – l’inclinaison moyenne des pentes . On peut distinguer trois classes de réponses : – réponse rapide (groupe 1) : le bassin-versant répond à peu près systématiquement et de la même façon aux pluies brèves et intenses. alors que le débit ¯ = 84 m3 /s. Le débit de pointe est généralement faible et l’onde de crue est assez étalée. Le temps de montée et la durée spécifique de la crue sont courts. (c) la vallée creusée par la rivière North Fork Toutle après le passage des lahars de mai 1980 causés par l’irruption du Mount Saint Helens (source : USGS).46 2. OFEG) .4 : (a) Brigue en septembre 1993 (cliché J.-P. Marso) . (b) la plaine autour du Nevado del Ruiz couverte par les dépôts de lahars (source : J. Ondes de crue et inondations (a) (b) (c) Figure 2. . Jordan. 2.5 : débit journalier de l’Arc à Saint-Michel-de-Maurienne (Savoie) en juin 1957. (a) variation du débit moyen journalier en juin 1957.2 Origine des crues 47 500 400 300 200 100 0 0 5 10 15 jour 20 25 30 (a) (b) Figure 2. Q m3 s . (b) variation du débit de l’Arc en 1957 et comparaison avec les moyennes mensuelles. Schwyz Alptal. Schwyz Toulon Mont Lozère Mont Lozère Mosnang Alptal. surface occupée par la végétation selon son type.31 0. D’après (Graff. surface S du bassin-versant (km2 ). Ondes de crue et inondations . 2004). région et localité où le débit est estimé.1 3.64 Alpes-du-Sud Suisse Centrale Nom Groupe 1 Laval Erlenbach Groupe 2 Rimbaud Latte Sapine Groupe 3 Rietholzbach Lumpenenbach Vogelbach Brusquet 20 65 87 20 15 15 53 40 40 44 1.1 4. nature géologique du terrain.3 76 55 10 5.5 0. pluie décennale horaire P10 (1) et journalière P10 (24).08 Suisse Centrale Suisse Centrale Suisse Centrale Alpes-du-Sud 140 110 92 molasse flysh flysh marnes 2.48 Tableau 2.93 1.19 0.3 7 68 0 10 60 22 40 58 20 32 35 Région Localité Qs.5 2.10 (m3 /s/km2 ).7 35 14.1 1.2 3.2 : nom de la rivière.86 0.10 % nu % pâturage % boisé Pente P10 (1) P10 (24) 100 120 160 Géologie marnes flysh gneiss granit granit 0. débit spécifique de pointe en conditions décennales Qs. S Draix Alptal.54 Alpes-du-Sud Massif Central Massif Central 3.55 1. pente moyenne (%) du bassin-versant. Schwyz Draix 13 2. 6 : valeur du paramètre R dans la méthode Crupédix. le bassin de la Seine et de la Meuse.3 Estimation du débit par corrélation 49 2.1 Estimation du débit par corrélation Méthode Crupédix La méthode Crupédix est une formule qui permet d’évaluer le débit de pointe de période de retour T = 10 ans. et R un coefficient régional qui vaut R = 1 partout en France sauf sur le Massif Central.3 2. Selon Galéa & Ramez (1995). le Languedoc-Roussillon.10 =Q 80 ( )2 [m3 /s]. et 2Qcrup. les Pyrénées.4 et 52 000 km2 : Qcrup. La formule a été obtenue à partir d’une analyse statistique sur 630 bassins-versants documentés français dont la taille variait entre 1.10 la pluie journalière décennale (en mm).3.10 = RS 0.2 Courbe enveloppe Plusieurs formules empiriques ont été calées en corrélant (par régression linéaire) le débit de pointe mesuré/estimé et la superficie d’un bassin versant sous la forme d’une loi puissance Qp = aS b (2.2. ˆ p. 2. avec S la surface du bassin-versant en km2 . Figure 2. il y a seulement une probabilité de 70 % que le vrai débit se situe entre 1 2 Qcrup.1) .3.8 Pj. Pj. la Vendée et une partie de l’Aquitaine. 2007) (Spreafico et al. Ariège.. Haute-Loire. ces courbes cherchent à fournir une borne maximale des débits de pointe.72 0. Dordogne. Pour des terrains vallonnés. Drôme.357 0.2 b 0.4 cf 7. bordés de collines peu élevées.. Corse. e Alpes maritimes.. Bretagne. Pour des terrains vallonnés des Préalpes. 2010). 2007) (Lang & Lavabre.566 S 20 à 400 km2 S ≤ 104 km2 1 à 104 km2 1 à 104 km2 S ≥ 100 km2 1 à 104 km2 1 à 104 km2 1 à 104 km2 10 à 500 km2 1 à 104 km2 T T = 100 rare a rare rare extrême b T ∼ 1000 ans T ∼ 1000 ans T ∼ 1000 ans T = 100 ans T = 100 ans Source (Lang & Lavabre. 2003) (Spreafico et al. La figure 2..75 0.2 S. Aude.. Préalpes.5 − 4. Extrême ici veut dire que la crue était exceptionnelle et correspondait à la plus grosse crue connue..66 0. Ardèche.72 0.7 montre des courbes enveloppes de crues éclair pour différentes régions en Europe. Pyrénées orientales. on a c = 2. Cévennes. d Pyrénées. on a c = 6 − 9. 2009).43 0. c Bassin de la Loire.6 0.4 16. D’après (Marchi et al. dans le monde. On parle de courbe enveloppe car en général.3 : valeurs des coefficients a et b selon le contexte météorologique. avec (a) selon la localisation du bassin versant et (b) la nature de la mesure. Moselle. a et b sont deux paramètres qui dépendent du contexte hydrologique. 2010) (Lang & Lavabre. 2007) (Lang & Lavabre. Le tableau 2. 2007) (Gaume et al. 2003) Rare ici veut dire que la période de retour est dans une fourchette T = 100 − 1000 ans.6 0. Pyrénées centrales et occidentales.. Une courbe enveloppe d’équation un peu plus complexe que la loi puissance (2.50 2.1) a été ajustée sur des données de crue issues de plusieurs bassins-versants dans le monde : Qp = 3009. Pour des bassins-versants à forte pente. Ondes de crue et inondations avec Qp le débit de pointe (en m/cube/s). et en Suisse.4 donnent ces valeurs pour des crues sur différents bassinsversant suisses. 2009) (Gaume et al. (S + 41.. Le tableau 2.05 7.1) pour des crues éclair en Europe. Saône. 2009) (Marchi et al. S la superficie (en km2 ).7 : variation du débit spécifique (de pointe) en fonction de la superficie du bassin versant. Tarn.72 0. on a c = 4 − 6. Figure 2. S la superficie (en km2 ) (Hingray et al. en France. on a c = 9 − 12 sauf en zone glaciaire (c = 3 − 5) .3 fournit les valeurs de a et b de l’équation (2. Tableau 2. f Pour des terrains relativement plats.78 avec Qp le débit de pointe (en m/cube/s). 2010) (Marchi et al. Zone géographique Gard Monde Méditerranée Europe Monde Zone océanique c Zone de piedmont d Zone méditerranéenne e Suisse Suisse a b a 30 350 97 230 850 4.31)0. 2003).58 0.44 5.74 .41 0.83 0. Valais oriental Valais central Oberland oriental Tessin oriental Tessin occidental Grisons orientales Grisons occidentales a 1.73 0. Thurgovie Zürich Argovie.69 0.64 0.78 0.59 0. Neuchâtel Jura bernois Saint Gall.74 0.98 2.68 7.3 Estimation du débit par corrélation 51 Tableau 2.2.86 0.4 : valeurs des coefficients a et b pour calculer le débit de pointe centennal selon les régions en Suisse. Région Jura.54 0.60 0.58 0.66 4.18 17. Bâle Alpes vaudoises Berne Mont-Blanc.83 12.79 0.65 7.9 4.4 0. Adapté de (Spreafico et al.61 0.41 b 0..3 1.36 1. Ainsi deux pluies extrêmes P1 et P2 de période de retour respective T1 et T2 vérifient la relation T2 P2 − P1 = G ln . Des variations de cette méthode ont été proposées. En conséquence. Dans cette méthode. On se sert du temps de concentration tc comme durée caractéristique car c’est la durée optimale de pluie : en effet. (2. mais seule une partie du bassin-versant contribue à la crue (puisque toutes les gouttes d’eau n’ont pas pu atteindre l’exutoire) et donc le début résultant est plus que le débit Qc généré par une pluie de durée tc . lorsque sur un bassin-versant on dispose de données de pluie sur une période suffisamment longue (quelques dizaines d’années). ce qui explique son large succès et sa popularité.2) et en considérant que la période de retour pour laquelle on observe la saturation du sol est T = 10 ans. Cette eau ruisselée participe directement au volume de crue . toute l’eau qui continue de précipiter ruisselle au sol. 3. donc le débit résultant est aussi plus faible. la prise en compte du type de conditions météorologiques a permis d’améliorer la performance de cette méthode (Paquet et al. – l’infiltration dans le sol diminue au cours du temps du fait de la saturation progressive du sol. – lorsque le sol est saturé. tout le bassin-versant contribue.3) Gq = 3. l’intensité de pluie (rappelons la loi de Montana Im = ad−b ) est supérieure à l’intensité Ic associée au temps b tc (Ic = at− c ). En particulier. En se servant de la relation (2.. le débit décennal Q10 et le temps de concentration doivent être estimés indépendamment. c’est-à-dire S Gp . 1967). la « formulation esthétique » lisse la transition entre les régimes des crues ordinaires et des crues extrêmes. 2006). . on admet l’hypothèse du gradex : la courbe intensité-fréquence des pluies de durée tc est parallèle à la courbe intensité-fréquence du débit. Ondes de crue et inondations 2. Lorsque le sol est saturé. (2. Le principe de la méthode est très simple.52 2.6 un facteur de conversion des unités. tc le temps de concentration en h. une pluie de durée d < tc .1 Estimation du débit par la méthode du gradex Méthode du gradex La méthode du gradex a été proposée à la fin des années 1960 par Pierre Guillot et Daniel Duband (EDF) (Guillot & Duband. Cette méthode se fonde sur les observations suivantes : – la plupart des pluies maximales annuelles sont distribuées selon une loi exponentielle ou une loi de Gumbel.2) T1 avec G > 0 un coefficient exprimé en mm (si les pluies en mm) et appelé le gradex des pluies .6tc avec S la superficie du bassin-versant en km2 . on peut estimer les débits extrêmes en considérant que le gradex des débits Gq (en m3 /s) équivaut à celui des pluies Gp (en mm) lorsqu’on les exprime dans la même unité. De ces observations.4) 10 avec Q10 le débit de pointe décennal. mais l’intensité moyenne associée est plus faible. on aboutit à une approximation dite du gradex de la loi intensité-fréquence pour les débits T Q = Q10 + Gq ln . Plus récemment. (2.4 2.4. tout surcroît de pluie pendant une durée égale au temps de concentration tc se transforme intégralement en un surcroît de débit sur une durée à peu près égale à tc (à 10–20 % près). Lorsque d > tc . 2.4 Estimation du débit par la méthode du gradex 53 Figure 2.8 : extrapolation de la distribution des débits moyens journaliers max. annuels par la distribution des pluies journalières maximales annuelles. D’après (Djerboua et al., 2004). 54 2. Ondes de crue et inondations 2.4.2 Méthode QdF La méthode QdF est une méthode développée par Prudhomme, Galéa, et Javelle au Cemagref de Lyon (France), qui permet de donner une relation intensité-fréquence pour le débit en fonction du débit décennal (qui doit être connu ou bien évalué par ailleurs), de la superficie du bassin-versant, du gradex des pluies, et du type de réponse du bassin-versant. Principe Il y a trois idées de base : 1. L’idée fondamentale de la méthode QdF est qu’on peut étudier les hydrogrammes de crue en les caractérisant par des débits Q moyens ou bien systématiquement dépassés sur des durées d variables ; chaque hydrogramme est valable pour une période de retour ou fréquence F donnée. D’où le nom QdF. 2. L’extrapolation des quantiles de débit se fait selon une approche de type gradex : on suppose que la courbe Q(T ) varie parallèlement à la courbe des pluies P (T ) pour les périodes de retour T suffisamment grandes. 3. Pour une même région, le comportement des bassins-versants est à peu près identique. Il existe une « loi-maîtresse » valable régionalement qui permet de représenter la réponse hydrologique des bassins-versants à l’aide d’une seule courbe adimensionnelle. Il existe donc également des « marqueurs » qui permettent d’adimensionnaliser les variables hydrologiques. Ici, on va considérer deux marqueurs ou échelles (durée et débit) D∗ et Q∗ , qui sont propres à chaque bassin-versant ; le principe de régionalisation affirme que les débits et durées sur un bassin-versant (BV) sans observation peuvent être estimés à partir des débits et durées observées sur un bassin-versant de référence par une simple loi d’homothétie ( Q(T, d) Q(T, d) = , Q∗ Q∗ BV de réf. BV non obs. ( ) ( ) d d = . D∗ BV de réf. D∗ BV non obs. ) ( ) Variables hydrologiques employées Pour faire les calculs d’hydrogramme, on ne sert pas du débit instantané Q(t) car il y a trop d’informations. À la place, on suppose que tout hydrogramme peut se présenter sous la forme d’un hydrogramme synthétique de crue, avec une courbe montante et une courbe descendante (décrue), appelé encore hydrogramme mono-fréquence car il n’y a qu’un seul pic de crue. On introduit deux variables qui permettent de réduire l’information nécessaire (voir figure 2.9) : – le débit seuil Qs (d) de durée d est la plus grande valeur de débit qui est systématiquement dépassée au cours d’une durée d de la crue. La forme supposée de l’hydrogramme fait que la relation Qs (d) est unique et continue ; – le débit moyen Qm (d) de durée d est la valeur moyenne du débit sur une durée d. Pour un pays au climat tempéré comme la France, on considère deux échelles de débit et de temps, qui sont appelées marqueurs : – Q∗ = Q10 le débit de pointe instantané de la crue décennale. Ce débit sert à sépa- 2.4 Estimation du débit par la méthode du gradex Q 55 Qm Qs d t Figure 2.9 : définition du débit seuil Qs (débit systématiquement dépassé pendant une durée) et du débit moyen Qm . rer les débits ordinaires correspondant aux petites crues fréquentes et les débits plus importants ; – l’échelle de temps (durée) D∗ peut être définie comme le temps de concentration tc ou bien la durée spécifique ds . L’avantage de ds est que c’est une donnée mesurable alors que tc reste une quantité plus conceptuelle. Les autres données du problème peuvent s’exprimer en unités de temps ou de débit. Par exemple, quand on utilise le gradex des pluies pour différentes durées d, on peut le transformer en gradex adimensionnel de la façon suivante : tout d’abord, on transforme les unités de mm en m3 /s à l’aide de la relation ˜ p [m3 /s] = S Gp [mm], G 3,6d avec S la surface du bassin-versant exprimée en km2 et d la durée de la pluie en h. Sélection d’un modèle Pour la France métropolitaine, il existe trois réponses types de bassin-versant : – type « Soyans » : le bassin-versant typique est celui du Roubion (Drôme provençale). Il est caractéristique des bassins-versants avec des écoulements rapides et un faible stockage (climat à dominante continentale). Les crues ne durent généralement pas très longtemps ; l’hydrogramme est pointu. Les crues extrêmes ne sont pas en continuité avec les crues ordinaires ; – type « Florac » : le bassin-versant typique est celui de la Mimente à Florac, dans la partie méridionale des Cévennes (Lozère), donc sous influence climatique méditerranéenne. Ce bassin sert de référence pour des crues rapides, mais avec un stockage ; une partie de l’eau stockée est restituée durant la crue, ce qui allonge la durée de la crue et augmente son volume, sans toutefois accroître le débit de pointe ; – type « Vandenesse » : le bassin-versant typique est celui de la Dragne (Nièvre, Bourgogne). Les crues sont volumineuses et s’étalent sur des durées longues comme c’est souvent le cas pour régions à dominante océanique. (2.5) 5). G ˜ p (d = gradex de débit à l’aide de la relation (2. 12. On reporte sur la figure 2. 7. 11. d) = A(η ) ln T + B (η ) pour 0. l’étude des pluies a donné les estimations suivantes du gradex des pluies : Gp = 3. G 3 ˜ ˜ p /Q10 .26 m /s. 3. mais il est vraisemblable qu’il faille choisir d’autres sites de référence.7) avec η = d/D∗ En pratique. G ˜ p (d = 6) = 0. d) − Q(10. d) A(η ) T − 10 = C (η ) ln 1 + pour 20 ≤ T ≤ 1000 ans. Γi ). voire Vandenesse. On note qu’aux temps courts (η < 2). les caractéristiques d’un bassin-versant varient d’amont en aval. Vandenesse. Gp (d = 24) = 0. quel est le modèle le plus approprié pour décrire un bassin-versant quelconque pour lequel on n’a pas ou peu de données hydrologiques? La réponse apportée par la méthode QdF est la suivante : on trace la variation ˜ p /Q10 des pluies en fonction de la durée η (adimensionnelle) du gradex adimensionnel Γ = G de la pluie et on compare cette courbe avec les courbes limites séparant les domaines Soyans. Q∗ ) ( Q(T.7 mm pour d = 1 h. Γ). Selon sa situation et sa taille. plus le volume de crue tend à être important et moins l’hydrogramme est pointu. le comportement est de type Soyans. – Sur un petit bassin-versant du Chablais. 6. il est possible d’appliquer la méthode QdF.9) .5).10 la courbe empirique Γ = Γ(η ) et les limites entre les comportements de type Soyans. 4. Γ=G ♣ Exemple. Cela fournit G ˜ p (d = 3) = 1. et Florac. On reporte ensuite les couples (η. 2.56 2. 5. puis la « formation esthétique » (pour 20 ≤ T ≤ 1000) : Q(T. et 2) = 1. Ces courbes limites sont au nombre de deux 1 . avec une modification du régime des crues : plus la taille augmente. on calcule le gradex Gp des pluies associées à ces durées et à l’aide de l’équation (2. on considère des durées de pluie allant de 1 2 D∗ à 5D∗ . Une même rivière peut générer des crues de type « Soyans » dans la partie supérieure et des crues « Vandenesse » à sa confluence. et Vandenesse. mais qu’aux temps longs (η > 2) le comportement se rapproche de celui de Florac.8 mm pour d = 2 h. Une estimation empirique du débit décennal donne Q10 = 3 m3 /s et une durée spécifique ds = 1 h.580 L1 (η ) = (2.6) (2.5 ≤ T ≤ 20 ans. G ˜ p (d = 12) = 0. Q∗ C (η ) 10 (2. On pose D∗ = ds . caractérisé par des crues rapides et brèves. On forme ensuite la suite (ηi .4 mm pour d = 24 h. La question qui se pose est : parmi ces modèles de référence.33 m3 /s.05 m3 /s. 0.5 mm pour d = 3 h. Comme on se situe dans un contexte de petit bassin-versant de montagne.0 mm pour d = 6 h. Ondes de crue et inondations Pour les régions tempérées hors de France métropolitaine. avec ηi = di /D∗ et Γi = G où di = 1.65 m3 /s. le gradex des pluies est transformé en ˜ p (d = 1) = 2.332 1 L2 (η ) = . on exprime ces gradex de pluie en gradex de débit et on les norme en les divisant par Q10 pour obtenir ˜ p /Q10 . Le quantile de débit suit une loi de Gumbel pour les petites périodes de retour (T ≤ 20 ans).768η + 2.9 mm pour d = 12 h. et 24 h. 8.02 m3 /s.8) (2.41 m3 /s. d’une superficie de 2 km2 . Loi débit-fréquence La loi débit-fréquence est fondée sur la méthode du gradex dans sa version dite « formulation esthétique ».419η + 1. 0. Florac. le comportement retenu est de type Soyans. Γi ) – et les courbes à tiret représentent les courbes L1 et L2 .12 2.0 2. Modèle Soyans Florac Vandenesse α1 2.097 α1 1.5 1.2 0. α1 η + α2 Les lois (2. Les paramètres des lois changent selon le type de variable employée.6 0. B .016 α1 1.1 0.5 0.10 2.635 A α2 4. B .3 0.96 1.010 0.039 0.9) sont valables aussi bien pour des débits moyens Qm (d) ou des débits seuils Qs (d). respectivement.18 2.040 0.50 3.050 0.56 6.569 1.010 α1 2.10 : variation de Γ en fonction de η pour le Chablais.57 3.8–2.86 3.172 α1 0.045 B α2 2.87 1.6 : valeurs des coefficients αi pour les fonctions A.0 20. Les fonctions A.0 10.385 α3 0.78 3.60 3. et C lorsqu’on cherche à calculer le débit seuil sur une période d.13 1.2 0.53 6.690 1.05 3.910 α3 0.083 C α2 0.970 A α2 4.4 0.95 1.0 Vandenesse Florac Soyans Η Figure 2.91 1.046 0. B .910 B α2 2. l’on opte pour un débit moyen Qm ou un débit seuil Qs . où Q(10.07 0.0 0.48 α3 0 0 0.2.1 0.5 : valeurs des coefficients αi pour les fonctions A. et C sont de la forme f (η ) avec f (η ) = 1 + α3 .4 Estimation du débit par la méthode du gradex 57 0.75 α3 0.085 0 Tableau 2.674 C α2 0. Tableau 2. Les tableaux et fournissent les valeurs des paramètres selon que.017 0.099 0.8).660 1.77 1.19 α3 0 0 0.013 .49 2.774 α3 0. Modèle Soyans Florac Vandenesse α1 0. et C lorsqu’on cherche à calculer le débit moyenné sur une période d.56 1.0 5.10 2. d) est le débit décennal obtenu à l’aide de l’équation (2. La courbe continue représente la courbe empirique Γ = Γ(η ) pour un poste du Chablais – simple interpolation linéaire des points (ηi . une courbe de décrue : Q = Qs (T. – t > ds . Le débit à l’instant t se calcule à partir du débit seuil dépassé sur une durée d = t − ds Q/dm . dp ).11 : principe de formation de l’hydrogramme. d). donc un débit observé sur une durée dp = 1 s = 0.0003 h . Ondes de crue et inondations La formulation QdF en termes de débit seuil permet d’obtenir un hydrogramme de crue synthétique. une courbe (droite) de montée : Q = Qm t/ds . un débit de pointe : Qp = Qm (T.58 Hydrogramme synthétique 2. 8 Qp 6 Q m3 s 4 2 d 0 0 1 2 3 4 5 t h Figure 2. Il y a une augmentation linéaire du débit Q jusqu’au temps t = ds où le débit atteint le débit de pointe Qp . – t = ds . . Cet hydrogramme est par ailleurs consistant avec les quantiles de débit moyen Qm . L’hydrogramme pour une crue de période de retour T est défini par : – t < ds . C’est le débit moyen instantané. Le modèle Topmodel développé par Beven et Kirby est l’un des plus connus.5 Estimation du débit par des méthodes de transformation pluie-débit 59 2. c’est-à-dire le volume d’eau précipité auquel on a retranché l’eau interceptée par la végétation et l’eau infiltrée dans le sol. 1994. 2007). qui affinent la description des crues en scindant le bassin-versant en plusieurs unités hydrologiquement homogènes. drainage. et l’eau . le ruissellement direct.5 Estimation du débit par des méthodes de transformation pluie-débit Les débits dans les rivières sont souvent des données peu disponibles : hormis pour certaines grandes villes ou bien pour des sites avec un intérêt hydroélectrique. Notons que que nous ne parlerons pas ici des modèles spatialement distribués. la rétention dans le sol. et écoulement dans le cours d’eau jusqu’à l’exutoire. Nous allons passer en revue quelques-uns des modèles les plus connus Comme toute simplification de la réalité. puis Minerve a été développée à l’EPFL pour décrire des crues sur des bassins-versants alpins (Bérod. Comme par ailleurs les débits peuvent varier de façon substantielle le long des cours d’eau en fonction des apports par les affluents et que les séries de données sont souvent courtes. etc. où le sol est modélisé comme un réservoir. il reste difficile d’estimer les quantiles de débit en un point donné d’un cours d’eau. – le nombre de paramètres conceptuels qui sont introduits et qui rendent difficile les procédures de calage. En effet. on entre véritablement dans le domaine des outils utilisables aussi bien pour la prévision de crues que dans les calculs hydrauliques. Nous voyons ensuite deux méthodes un peu plus élaborées : le modèle SCS et sa variante française SoCoSe. Jordan. Les différentes transformations sont basées sur des représentations le plus souvent conceptuelles du fonctionnement du bassin-versant. . Ces modèles tiennent compte d’une multitude de processus hydrologiques pour évaluer l’apport des précipitations et . Il est dès lors très tentant de contourner cette difficulté en cherchant à relier les débits aux pluies qui sont censées les générer. – un module de transformation de la pluie efficace en volume de crue. il y a peu de postes de mesures installés. qui a été utilisée dès la moitié du xixe siècle. Nous décrivons ensuite un modèle conceptuel un peu plus complexe. Cette transformation nécessite de connaître les pertes dues à l’interception par les végétaux. avec parfois une approximation physique du comportement réel. Avec ce type de modèles. plus faciles à mesurer . les pluies sont mieux connues. l’atmosphère. Un modèle comme le modèle suédois HBV (hydrologisca byrans vattenbalansavdelning) est par exemple utilisé en Suisse pour la prévision des crues sur le Rhin jusqu’à Bâle. Ces méthodes calculent le débit à partir du volume d’eau ruisselé. Cette transformation nécessite de modéliser les différents processus de ruissellement. Très tôt les hydrologues ont donc cherché à développer des modèles de transformation pluie-débit qui visent à reproduire la génération d’une crue à partir de la pluie. Ce modèle calcule le débit de pointe à partir du volume d’eau précipité et d’un temps caractéristique (temps de concentration). Nous commençons par décrire une méthode très simple dite « méthode rationnelle ». La classe de modèles Orage. Il y a en général deux sous-modèles dans un modèle de transformation pluie-débit : – un module de passage de la pluie brute (pluie précipitée) à la pluie efficace (pluie participant à la crue).2. ce type de modélisation est limité par – la complexité des interactions entre le sol. leur distribution spatiale est un peu mieux appréhendée que les débits et leur distribution temporelle se prête bien à une analyse statistique de type théorie des valeurs extrêmes. Socont. on tire Qp = Cip S. Le débit drainé par une parcelle du bassin-versant est ensuite évacué par un cours d’eau . on modifie la formule de la façon suivante Cip S [m3 /s]. La pluie est supposée d’intensité ip constante sur une durée t = tc et le volume de crue est proportionnel au volume de pluie. interception par les végétaux. de durée 2tc et de débit de pointe Qp . sans observations. (2. évaporation.1 Méthode rationnelle La méthode la plus ancienne d’estimation du débit de pointe à partir des pluies est appelée méthode rationnelle. on parle de routage de crue (flood routing). De l’égalité Vc = CVp . On peut alors utiliser des outils de calcul hydraulique tels que les équations de Saint-Venant. La réponse en débit est un hydrogramme triangulaire. Notons que ip est généralement exprimé en mm/h alors que Qp est en m3 /s.2 Méthode SCS Cette méthode a été développée au cours des années 1960 au Soil Conservation Service (SCS) de l’United States Forest Administration (USFA). Ondes de crue et inondations leur effet sur la génération d’une crue : infiltration. On suppose que le coefficient de proportionnalité est C (0 < C ≤ 1). Le volume de crue est 1 Vc = 2 × Qp tc . ce qui explique son nom. Elle repose sur les quatre hypothèses suivantes : – lorsque la pluie tombe.60 2.10) . Le volume de pluie est Vp = tc ip S . 2. Pour que la formule précédente soit dans ces unités. Il faut transformer la pluie brute Pb en pluie utile Pu Pu = Pb − I.6 i Qp ip Q tc tc 2 tc Figure 2. Qp = 3. fusion de la neige et des glaciers. une partie est interceptée par la végétation. 2. mais le lecteur peut se référer au cours d’hydraulique ainsi qu’à des livres spécialisés (Brutsaert. 2 avec S la surface du bassin-versant. appelé encore coefficient de ruissellement de pointe. Elle s’applique pour les petits bassins-versants en milieu rural. 2005).5.12 : principe de transformation pluie-débit dans la méthode rationnelle.5. Ce type de procédures sort du cadre de ce cours. 25 I Pu R J Figure 2.95 0.2 0.5 Estimation du débit par des méthodes de transformation pluie-débit Tableau 2.5–0. peu pentu (i < 2 %) terrain peu perméable et pentu (i > 5 %) Pb 61 C 0. où I est l’interception par la végétation (en mm).13 : schéma de la méthode SCS. .2.11) – Le rapport entre l’eau ruisselée (R) et l’eau précipitée (Pu ) est égal au rapport entre la quantité d’eau J (t) infiltrée au temps t et la quantité maximale d’eau J∞ que le sol peut recevoir quand il y a saturation R(t) J (t) = .13) C’est une loi empirique tirée des observations. – la pluie qui atteint le sol participe au ruissellement R(t) et à l’infiltration J (t) Pu = R + J.2J∞ .12) Cette hypothèse très forte peut être démontrée dans le cas où la saturation dans le sol au cours du temps suit une loi de Horton (variation exponentielle de l’intensité d’infiltration) (Yu.1–0. Pu J∞ (2.05–0. Type de surface zone urbanisée zone résidentielle lâche dense parcs pelouse terrain meuble.2 0.5 0. – l’interception par la végétation est indépendante de la pluie utile et est reliée à la capacité maximale d’infiltration I = 0. (2.15–0.7 : quelques valeurs guides de C selon l’occupation du sol. (2.3–0.7–0.75 0. 1998). Rappelons que le facteur 3. Le volume de crue étant R. tm le temps de montée (estimé ici à tm = 0. la relation est aussi fonction d’un seul paramètre (capacité maximale d’infiltration du sol) J∞ qui doit être calé (voir ci-dessous). on déduit que la quantité d’eau ruisselée vaut R= 2 Pu (Pb − 0. dont le débit de pointe peut être estimé en considérant un hydrogramme triangulaire (voir figure 2. Ondes de crue et inondations En combinant les équations (2.375tc ).12). Le bassin-versant doit être subdivisé en parcelles de surface Si à interception Ji homogène.13).10) à (2. Pu P u + J∞ De là.2 [m3 /s]. Cette pluie brute génère une crue.8J∞ Dans ce modèle. Le temps de concentration doit être estimé indépendamment. Pu + J∞ Pb + 0. Ce paramètre dépend de l’état d’humidité dans le sol et du type d’occupation des sols. puis en servant de la relation empirique (2.375tc td = 0.14 : hydrogrammme de crue dans la méthode SCS.4 1000 − 10 . on déduit Qp = 2 SR SR ≈ 0. L’interception moyenne du bassin-versant est alors calculée par une moyenne pondérée J∞ ∑ Ji = .6tc tm avec S la surface du bassin-versant en km2 . S S i i Chaque valeur de Ji est évaluée à partir du coefficient de ruissellement Cn ( ) Ji = 25.2J∞ )2 = . 3.14). Reste à évaluer le seul paramètre du modèle. qui est la capacité maximale d’infiltration du sol) J∞ .6 provient de la conversion des unités en m3 /s. on tire la relation R Pu = .62 2. Cn .625tc Figure 2. la quantité d’eau ruisselée dépend de façon non linéaire de la quantité de pluie reçue Pb . tc le temps de montée en h. on déduit que si tc est le temps de concentration. Q Qp t tm = 0. La méthode Socose introduit donc un indice k appelé « indice pluviométrique » k= 24b 21 P10 √ .69 + 0. Elle a été ajustée sur 5000 crues survenues dans 187 bassins-versants de 2 à 200 km2 .25ds )1−b . ds en h.5. La méthode Socose définit également deux paramètres J ρ = 1 − 0. ta la température moyenne annuelle réduite au niveau de la mer (en °C). S 1+ √ 30 3 ds avec b le coefficient de Montana (P = at1−b ). Le passage de la pluie locale à la pluie moyenne sur le bassin-versant se fait à l’aide du coefficient d’épicentrage ka .3 Méthode Socose La méthode Socose est une variante française de la méthode SCS. elle introduit les expressions suivantes pour le paramètre de rétention J et la durée spécifique ds (en remplacement du temps de montée) √ ln ds = −0.2. culture jachère céréales légumineuse prairie bois pistes. Pa le cumul annuel moyen de précipitations (en mm).2 S J = 260 + 21 ln − 54 L √ Pa . Sol A : sol sablonneux (très perméable) . routes végétation lâche dense lâche dense lâche dense sol A 77 63 61 64 55 30 45 25 72 sol B 86 74 73 75 69 58 66 55 82 sol C 91 82 81 83 78 71 77 70 87 sol D 94 85 84 85 83 78 83 77 89 2. La pluie totale durant l’événement de durée ds est donc P (2ds ) = a(1. L le chemin hydraulique le plus long jusqu’à l’exutoire. P10 avec J exprimée en mm.2 k (1.8 : quelques valeurs guides de Cn selon le type de sol et la densité de la végétation.5 Estimation du débit par des méthodes de transformation pluie-débit 63 Tableau 2. Par rapport à la méthode SCS. P10 ta Pa . sol C : sol argileux à limoneux (peu perméable) . sol D : sol argileux (très peu perméable). P10 la pluie maximale journalière décennale (en mm). 1994).25ds )1−b . sol B : sol sableux ou limoneux (perméable) . développée par Claude Michel au Cemagref. D’après (Ponce. La méthode propose un hyétogramme de projet 1−b ]3/7 P (t) = a [( t t ds )2 s + 2d t −2 valable pour 0 < t ≤ 2ds qui représente la pluie d’intensité maximale.32 ln S + 2. S la surface en km2 – avec S ≥ 2 km2 – (voir figure 2.15). 64 2. (1.15 : (a) distribution du cumul annuel moyen de précipitations Pa sur la France et (b) distribution des températures moyennes annuelles ramenées au niveau de la mer ta . et ξ est un paramètre proche de 1.16). qui est déterminé à partir d’une abaque (voir figure 2. Ondes de crue et inondations (a) (b) Figure 2. Le débit de pointe décennal est kS ρ2 [m3 /s].25ds )b 15 − 12ρ Q10 = ξ . 5 Estimation du débit par des méthodes de transformation pluie-débit L’hydrogramme associé à cette méthode a pour équation Q(τ ) = Q10 avec τ = 2t/(3ds ) un temps adimensionnel. 2τ 4 . .2. 1 + τ8 65 Figure 2.16 : valeur du coefficient ξ en fonction du paramètre ρ et du coefficient de Montana b. Le modèle prend en compte quatre phénomènes (voir figure 2. – une fois que la capacité d’interception est saturée. 2001) : il s’agit d’un modèle à un réservoir et 4 paramètres . Oudin et al.4 Modèle réservoir GR4 Principe Les modèles à n réservoirs et p paramètres sont des représentations conceptuelles du fonctionnement d’un bassin-versant qui généralisent le modèle SCS. Il existe plusieurs formulations de ce modèle. Nous considérons ici un des modèles qui offre le meilleur compromis entre simplicité et performance (Perrin et al. nous ferons une présentation générale indépendante du pas de temps (on emploie donc des équations différentielles au lieu des équations de bilan employées dans les modèles d’ingénierie).5.66 2.. 2005).. La quantité d’eau ruisselée par unité de temps est liée à la pluie précipitée dP = I (t)dt dR(t) = X1 dP. 2004).. une partie de l’eau infiltrée est restituée avec un temps de latence au cours d’eau en crue. (2. On les prend égales à une valeur X2 (en mm) . La principale nouveauté est qu’on considère maintenant que le sol agit comme un réservoir et qu’en conséquence.14) . qui généralement se distinguent par le pas de temps employé : les modèles de type GR4H à pas de temps horaire pour les crues rapides et les modèles GR4J à pas de temps journalier pour les crues lentes (Perrin et al. Il offre une approximation satisfaisante des petits bassins-versants rapides (Graff. il y a ruissellement. 2003. dP = I dt Q X2 t X4 dR = X1 dP (1 − X1 )dP V DH = X3 V dt Figure 2.17 : schéma de principe d’un modèle réservoir GR4. ce modèle est appelé GR4 (pour Génie Rural à 4 paramètres) et fait partie d’une classe de modèles conceptuels de transformation pluie-débit développés par Claude Michel au Cemagref (Rojas-Serna. Ici.17) : – les pertes initiales (interception par la végétation) sont en général faibles. Ondes de crue et inondations 2. 2008). La lame totale d’eau transmise au cours d’eau est T = R + H .82 9. donc td = X4 . L’idée de base est calquée sur la théorie de la réponse linéaire. . q (t) = avec ici η = t/X4 .6 46. et X4 sont données dans le tableau 2.4 71. X2 .5 22.72 X4 h 0. On suppose que l’hydrogramme est symétrique. Tableau 2. drainage des sols. dont l’hydrogramme est appelé l’hydrogramme unitaire instantané.15) avec X3 un taux de vidange linéaire (exprimé en %/h) .6 5. ce passage est complexe car il implique des processus très différents : ruissellement le long du sol.5 22.07 0.9. une partie de l’eau (1 − X1 )I dt est infiltrée et stockée dans un réservoir dont le volume initial est nul V (0) = 0 . Cette pluie se produisant à l’instant t = 0 génère une crue unitaire. Mathématiquement. Les valeurs moyennes des coefficients X1 . dans le cadre de la théorie de la réponse linéaire. – le temps de montée tm de l’hydrogramme est noté X4 (en h). on remplace tous ces processus par une « boîte noire ».86 0. (2. son équation est 3 2 η pour 0 ≤ η ≤ 1.6 31. – dans le même temps dt. On peut l’exprimer de la façon suivante : on considère une pluie unitaire de durée infinitésimale (c’est-à-dire la quantité de pluie est de 1 mm et la durée est infiniment petite) . 2X4 3 (2 − η 2 ) pour 1 ≤ η ≤ 2.64 1. cette impulsion initiale est une fonction de Dirac δ .63 1. Adapté de (Graff.11 0.31 0.8 X2 mm 7.28 13.54 3. l’unité de q est m/(km s) (le fait que l’on introduise l’unité m/km est justifié pour que le débit final Q soit en m3 /s).2 11.7 26.38 0.1 17 12.78 1.08 Région X1 % 57.4 X3 %/h 2. Nom Groupe 1 Laval Erlenbach Groupe 2 Rimbaud Latte Sapine Groupe 3 Rietholzbach Lumpenenbach Vogelbach Brusquet Surface km2 0.28 3. La fonction q est aussi appelée fonction de transfert car elle permet de passer d’une pluie quelconque au débit induit par cette pluie.63 R/T % 91 53 57 41 34 41 41 56 54 Alpes-du-Sud Suisse Centrale Alpes-du-Sud Massif Central Massif Central Suisse Centrale Suisse Centrale Suisse Centrale Alpes-du-Sud Il reste une dernière opération pour passer de la pluie au débit. q (t) = 2X4 q (t) = 0 pour η > 2.19 0.5 35.93 1.03 1. etc. 2004). propagation d’une intumescence de crue le long d’un cours d’eau à la géométrie plus ou moins complexe (cours d’eau principal et tributaires). X3 . Sur le plan physique.55 1.5 0.5 Estimation du débit par des méthodes de transformation pluie-débit 67 avec X1 un coefficient sans dimension (exprimé en %) . V est un volume par unité de surface.90 2.4 13. Une partie du volume stocké est restituée par des écoulements hypodermiques au cours d’eau dH (t) = X3 V (t)dt.6 40 75. il s’exprime donc en mm.4 16.88 0.96 0.4 14. La figure 2.9 : valeurs moyennes des coefficients pour les différents bassins-versants.64 1.5 0. qui permet de relier le débit à la pluie nette par l’intermédiaire d’une fonction de transfert.2.2 2.4 15.18 montre l’allure de l’hydrogramme pour le modèle étudié ici . 4 0.16) par un produit de convolution discret . En intégrant sur le temps et en multipliant par la surface S du bassin-versant.0 0.6 0. c’est un point que nous n’aborderons pas ici.19.18 : hydrogramme unitaire q (η ) d’un modèle réservoir GR4. En pratique. la réponse totale du système est la somme de toutes les contributions élémentaires. la pluie I (τ )dτ provoque une crue élémentaire I (τ )q (t − τ )dτ .4 1.5 1.0 q 0.0 0.16) où S est ici exprimé en km2 .68 1. Comme le système est supposé linéaire. qui vaut I fois la pluie unitaire δ (t − τ ). il est alors d’usage de remplacer l’équation (2. la pluie n’est pas une fonction continue.0 Figure 2. où τ est une variable d’intégration.2 1. on peut par définition écrire ∫ P (t) = I (τ )dτ. on déduit le débit résultat de la pluie P (t) ∫ Q(t) = S I (τ )q (t − τ )dτ.0 t X4 2.5 2.2 0. . On peut interpréter I (τ )dτ comme pluie de durée dτ . mais une succession de valeurs discrètes (un histogramme) . En effet. Cette opération est un produit de convolution entre l’intensité nette I et la fonction de transfert q . (2.8 0. Comme le schématise la figure 2. Comme une pluie unitaire provoque une crue unitaire q (t − τ ). une pluie complexe peut être décomposée en une succession d’impulsions. Ondes de crue et inondations 1. (b) décomposition d’une pluie complexe en une série d’impulsions élémentaires.5 Estimation du débit par des méthodes de transformation pluie-débit 69 P Q (a) t P Q t (b) dτ Figure 2. .2.19 : (a) réponse à une impulsion de pluie. X3 ( ) Le flux d’eau restituée au torrent à l’instant t0 ≥ t > t1 est donc ˙ = X3 V + X1 I0 = I0 (1 − X1 )e−(t−t1 )X3 (e(t−t1 )X3 − 1) + X1 . Ondes de crue et inondations On va examiner ici la solution dans le cas d’une pluie d’intensité constante pendant une durée t0 . Le volume V obéit à l’équation dV dP = −X3 V (t) + (1 − X1 ) . dt X1 −(t0 −t1 )X3 (t0 −t1 )X3 avec pour condition initiale V (t0 ) = V0 = I0 1− (e − 1). la pluie est interceptée. Le bilan hydrique dépend du niveau dans le réservoir. . T À l’instant t0 . Jusqu’au temps t1 = X2 /I0 .70 Application 2.17) Considérons une pluie d’intensité constante I = dP/dt = I0 . il n’y a pas d’eau qui atteint le sol . commence à ruisseler et à s’infiltrer. l’eau touche le sol. T qui peut s’intégrer facilement numériquement (et peut s’intégrer à la main. dt dt (2. Pour t ≥ t1 . T En changeant la variable d’intégration. on obtient la relation suivante ∫ t Q(t) = S 0 ˙ (t − τ )q (τ )dτ. mais plus laborieusement). on suppose que t1 < t0 .16) en remplaçant I par T ∫ Q(t) = S ˙ (τ )q (t − τ )dτ. Le flux total d’eau restituée au torrent à l’instant t > t0 est donc ˙ = X3 V = X3 V0 e−(t−t0 )X3 . la pluie s’arrête. La solution est X3 e V (t) = V0 e−(t−t0 )X3 . La résolution de l’équation (2. qui commence à t = 0 et s’arrête à un instant t0 .17) fournit V (t) = I0 1 − X1 −(t−t1 )X3 (t−t1 )X3 e (e − 1). Le niveau dans le réservoir diminue selon l’équation d V (t) = −X3 V (t). Durant les premiers instants. T ˙: Le débit résultant est obtenu par le produit de convolution (2. X2 = 15 mm.2.5.5 Estimation du débit par des méthodes de transformation pluie-débit 71 15 10 T 5 0 0 (a) 2 4 t 6 8 10 8 6 Q 4 2 0 0 (b) 2 4 t 6 8 10 Figure 2.2 h−1 . X1 = 0. . (b) hydrogramme résultant. et X4 = 1 h. Calcul effectué avec : I0 = 15 mm/h pendant t0 = 3 h . paramètres du bassin-versant : S = 1 km2 .20 : (a) variation de la lame d’eau totale T . X3 = 0. ∂t ∂x ∂x h force motrice inertie pression frottement (2.2. Ondes de crue et inondations 2.6 Calcul de la propagation d’une onde de crue – Vous souvenez-vous des équations de Saint-Venant? Voir la définition au § 1. Le mouvement résulte alors de l’équilibre de deux processus : – équilibre frottement ↔ force motrice.19) Comme on l’a vu au chapitre 1. les équations de Saint-Venant s’écrivent dans leur formulation non conservative : ∂h ∂hu ¯ + = 0. La hauteur varie au cours du temps.7). Il se produit alors un équilibre entre trois processus : gradient de pression. Signalons enfin qu’il s’agit là d’ondes continues (c’est-à-dire dont les variables u ¯(x.2) . Si l’écoulement est uniforme.1. t) sont des fonctions continues).6.2.6.72 2. et frottement aux parois.18) (2. De l’eau au repos ou bien en écoulement permanent (sur une faible pente) présente une surface libre. – Y a-t-il une différence entre choc et ressaut? Voir la définition dans l’annexe 2. l’équation de conservation de la quantifié de mouvement (2. – équilibre gradient de pression ↔ inertie. On parle d’approximation d’onde dynamique (voir § 3. les deux processus dominants sont les termes inertiels et le gradient de pression. Notons que toutes les combinaisons de processus ne sont pas physiquement possibles ou intéressantes. Les équations de Saint-Venant peuvent également générer des ondes discontinues. À noter également que si l’amplitude de l’onde est trop importante. il n’est rapidement plus possible de négliger le gradient de pression. On parle d’approximation d’onde cinématique (voir § 2. frottement. mais cette variation est tellement lente et de si petite amplitude qu’à tout instant. Il est assez fréquent que seuls deux de ces processus soient prédominants par rapport aux autres même dans un régime qui n’est pas permanent uniforme. t) et h(x.1. Cet équilibre peut se maintenir lorsque l’on n’est pas trop éloigné du régime permanent uniforme. force motrice due à la gravité. inertie négligeable).1. On parle d’onde diffusive (voir § 2. l’écoulement local se comporte comme s’il était dans un régime permanent uniforme (gradient de pression nul. § 2. gradient de pression hydrostatique.19) traduit l’équilibre entre plusieurs processus : termes inertiels. on ne traduit là que la condition (exacte) d’équilibre. ∂t ∂x ϱ τp ∂u ¯ ∂u ¯ ∂h = ϱg sin θ − ϱg cos θ − + ϱu ¯ . Il faut rappeler . qui peut être parcourue d’ondes.2). force motrice. § 2. toutes les phénomènes ondulatoires ne peuvent être étudiés à l’aide de ces équations. appelées ondes de choc en physique et mascaret ou ressaut en hydraulique (voir § 3. Si les équations de Saint-Venant s’avèrent très utiles pour étudier les ondes.1). – Que veut dire « conservatif » et « non conservatif » quand on parle d’équation? Voir la définition dans l’annexe 2. Dans le cas d’un écoulement unidimensionnel. On parle assez souvent de vagues dans le langage courant pour désigner ces ondes. Si l’onde peut être considérée comme une petite perturbation de la surface libre. 18)–(2. ˆ ∂ x ˆ ∂t (2.19) s’écrivent donc : ˆ ˆu ∂h ∂h ˆ + = 0.3.1. Définition Même pour des écoulements non permanents et non uniformes.7.3.2. τ ˆp = U∗ L∗ L∗ ϱgH∗ sin θ H∗ avec U∗ .2. t= . – Qu’est ce que la convection? la diffusion? Voir les définitions au § 1.6.1 et au 1. C’est par exemple ce qui se passe sur de grandes fleuves lors de crue : le niveau d’eau monte tellement lentement que la vitesse de l’écoulement s’adapte à la hauteur en suivant une loi de régime permanent. de longueur.6 Calcul de la propagation d’une onde de crue 73 que les équations de Saint-Venant sont fondées sur l’approximation d’écoulement peu épais ou d’onde longue (voir chap. – Qu’est ce que la méthode aux perturbations? Voir la définition dans l’annexe 1. Les équations de Saint-Venant (2. L∗ .3.2. – Qu’est ce que l’adimensionnalisation des équations? Voir le cours de mécanique des fluides. x ˆ= .21 : la crue de la Seine de 1910 à Paris [DR]. et h . Fixons quelques ordres de grandeur pour comprendre ce qui se passe et pour cela mettons de nouveau les équations sous forme adimensionnelle en introduisant des échelles : u ˆ= x ˆ tU∗ τp u ¯ ˆ= h . 1). 2. et H∗ des échelles de vitesse. Figure 2. les variations dans l’espace et dans le temps sont tellement faibles que localement tout se passe comme si l’écoulement était permanent uniforme.1 Onde cinématique – Vous souvenez-vous des équations de Saint-Venant? Voir la définition au § 1.20) . de profondeur. . § 1. qui est à l’origine une équation aux dérivées partielles.24) qui n’est rien d’autre que la condition d’équilibre pour le régime permanent uniforme. On note que l’onde de crue se déplace plus rapidement que l’écoulement moyen (50 % plus vite) et elle se déplace d’autant plus vite que la hauteur est grande. Pour un canal de section quelconque.18) : ∂h ∂hu ¯ + = 0.1 et ε ∼ 10−3 (si l’on s’intéresse à de longs linéaires de rivière). la vitesse est la variable « esclave » . ∂S . en première approximation. avec C le coefficient de Chézy et i = tan θ la pente.23) (2. se réduit à l’équation scalaire τ ˆp = 1. On conclut que l’équation de conservation de la quantité de mouvement. ˆ h ou sous forme dimensionnelle τ ˆp = sin θ. ∂t ∂x √√ avec c = u ¯ + hu ¯′ = 3 ¯′ 2 C i h la vitesse de propagation de l’onde (vitesse d’advection) et u est la dérivée de u ¯(h) par rapport à h. on tire de (2.22) Les valeurs typiques que l’on a au cours d’une crue lente sont : Fr ∼ 0. on obtient une vitesse d’advection égale à c = 5¯ u/3.74 ( ) 2. c’est-à-dire u ¯(h) = C i h. On voit dans le bilan de quantité de mouvement que tous les termes sont petits sauf le terme moteur sin θ et le terme de frottement. soit une valeur légèrement supérieure à celle obtenue avec la formule de Chézy. Autrement dit.21) ( ) = sin θ − cos θε ˆ ∂h τp 1 − . Ondes de crue et inondations √ En introduisant le nombre d’aspect ε = H∗ /L∗ et le nombre de Froude Fr = U∗ / gH∗ . c’est-à-dire la relation obtenue en régime permanent. on obtient la relation u ¯=u ¯(h). On peut. en résolvant l’équation (2. considérer qu’en toute section la vitesse d’écoulement s’adapte immédiatement à tout changement de profondeur. l’équation de conservation de la quantité de mouvement s’écrit également : ∂u ˆ ∂u ˆ Fr ε +u ˆ ˆ ∂x ∂t 2 2 U∗ ∂u ˆ ∂u ˆ ϱ + ϱu ˆ ˆ L∗ ∂x ∂t = ϱg sin θ − ϱg cos θ ˆ H∗ ∂ h τp − . ˆ ∂x ˆ ϱgH∗ h (2. ϱgh (2. ˆ ∗ L∗ ∂ x ˆ hH (2.18). Prenant √ √ l’exemple d’une courbe de tarage fondée sur la loi de Chézy. la hauteur d’eau varie en fonction des apports amont (c’est la variable « maître ») et la vitesse s’ajuste en fonction de h. les termes inertiels jouent un rôle faible dans la propagation des ondes. Dans ce cas-là.24) – en considérant une loi de type Chézy ou Manning-Strickler par exemple –. on peut montrer en suivant la même procédure que la célérité des ondes est donnée par : ∂Q c= . Si on prend une loi de Manning-Strickler. ∂t ∂x la relation ∂h ∂h + c(h) = 0. On peut calculer les caractéristiques de l’onde de crue à l’aide de l’équation de continuité (2. Équation d’onde cinématique On vient de voir que le cas d’une crue lente (typiquement ce qui se passe pour de grands bassins-versants). découverte indépendamment une trentaine d’années après par Seddon dans son étude de la rivière Missouri. L’approximation d’onde cinématique offre une bonne description des ondes de crue en particulier lorsque l’écoulement est suffisamment rapide (Fr = O(1)). mais peut varier relativement lentement. Cela implique que pour les rivières à faible pente.2. puis en les soustrayant membre à membre. diplômé de l’École des Ponts et Chaussées.2 Onde diffusive – Qu’est ce que la convection-diffusion? Voir la définition au § 1.3.26) ∂x ϱgh cos θ avec τp (q. (2.6. semble-t-il. 2. Un autre problème majeur rencontré avec l’approximation d’onde cinématique est que ce modèle conduit à la formation d’onde de choc (ressaut hydraulique) compte tenu du caractère hyperbolique de l’équation du mouvement sans que cela corresponde à ce qui est observé.3. on ne peut pas négliger le gradient de pression puisqu’il est du même ordre de grandeur.8) amputée des termes inertiels ∂h τp = tan θ − . On se retrouve alors avec l’équation de continuité (1. Il montra notamment comment on pouvait estimer la vitesse de propagation d’une crue en fonction de la hauteur d’eau et du débit. un amortissement important de l’onde se produit et l’approximation d’onde diffusive est alors en général plus précise. que la force motrice.8) disparaissent. Un problème apparaît assez rapidement dans la dérivation de l’équation de l’onde cinématique : en général. (2.26) par rapport à t. Leur avantage par rapport aux ondes dynamiques réside principalement dans un traitement mathématique allégé. La solution générale est donc de forme f (x − ct) : il s’agit d’une onde progressive (« travelling wave » en anglais) qui ne se propage que dans un seul sens contrairement aux équations dynamiques. on obtient une équation du second ordre de la forme ∂2q ∂ = 2 ∂x ∂t ( τp .7)–(1. où l’on considère que la vitesse n’est pas reliée univoque à la hauteur d’écoulement.7) ∂h ∂q + = 0. .25) ∂t ∂x et l’équation de conservation de la quantité de mouvement (1. De la sorte. En différentiant (2. la pente du lit est très très faible et il n’est pas rare que sin θ ∼ ε ou sin θ ≪ ε dans l’équation (2. Les ondes cinématiques ne sont en fait que des approximations des ondes dynamiques lorsque les propriétés dynamiques de la transmission d’onde sont négligeables.6 Calcul de la propagation d’une onde de crue avec Q le débit total et S la section mouillée (formule de Kleitz 1 -Seddon). les termes inertiels dans les équations de Saint-Venant (1. h) donnée par une loi de type Chézy ou Manning-Strickler. En particulier. 75 Notons qu’il s’agit d’une équation de type convectif (ou équation d’advection). Charles Kleitz (1808–1886) était un hydraulicien français. Un modèle un peu plus fin est l’approximation d’onde diffusive.22). Dans la limite des petits nombres de Froude (Fr → 0). voire supérieur. Sa formule fut. ϱgh cos θ ) 1. Les ondes de crue dans les gros cours d’eau peuvent souvent être traitées dans le cadre des ondes cinématiques. il s’intéressa à la propagation des crues et aux hydrogrammes de crue.25) par rapport à x et (2. Il travailla principalement sur l’aménagement du Rhône et son travail d’ingénieur l’amena à publier des travaux en hydraulique. ∂x (2. on aboutit à l’équation d’évolution de q ∂q ∂τp = ϱgh cos θ ∂t ∂q ∂2q + ∂x2 ∂τp τp − ∂h h )( ∂τp ∂q ∂q . Cela montre que dans le cadre de l’approximation linéaire (petite perturbation autour du régime d’équilibre) l’onde de débit est advectée à une vitesse C = 5 3 u0 . c’est-à-dire on décompose les variables q = q0 + q ′ et h = h0 + h′ . 2 3 dh0 On vérifie que le coefficient d’advection dans le modèle d’onde diffusive est le même que le coefficient déterminé dans l’approximation d’onde cinématique. h0 ) ∂q ′ = ϱgh0 cos θ ∂t ∂q0 ∂τp (q0 . L’approximation de équation (2. mais il s’agit en fait d’une équation d’advection-diffusion linéaire. dont la résolution est rendue ici peu aisée car les coefficients d’advection et de diffusion dépendent non seulement de q . l’onde diffusive tend à s’étaler au cours du mouvement.27) Il s’agit d’une équation d’advection-diffusion non linéaire. on a τp = d’où l’on déduit ϱg u ϱg q 2 ¯2 = . ∂t ∂τp 1 ∂q . ∂q ϱgh cos θ ∂t )−1 Après réarrangement des termes. h′ ) représente la perturbation de l’état d’équilibre. h0 ) ∂q ∂τp (q0 .76 soit encore en se servant de l’équation de continuité (2. Cette équation peut être simplifiée si on la linéarise. mais aussi de h.27) au premier ordre est alors ∂q ′ . K 2 h1/3 K 2 h7/3 1 5 dq0 D = q0 cot θ et C = u ¯0 = . dont le coefficient est : ∂τp (q0 . ∂h0 h0 ) Dans le cas d’une loi de Manning-Strickler. où (q0 . h0 ) désigne l’état de l’écoulement en régime permanent uniforme et (q ′ . h0 ) − . . Contrairement à l’onde cinématique qui se raidit au cours de sa propagation. h0 ) D = ϱgh0 cos θ ∂q0 et le coefficient d’advection est ( )−1 ( ( )−1 ( )−1 ∂ 2q′ + ∂x2 ( )( )−1 . Ondes de crue et inondations ∂q . C=− ∂τp (q0 . h0 ) ∂q ∂τp (q0 . mais diffuse également avec un coefficient D proportionnel au débit initial q0 . h0 ) − ∂h0 h0 ∂τp (q0 . h0 ) τp (q0 .28) Cette équation peut sembler de prime abord compliquée.25) ∂2q ∂ = 2 ∂x ∂h τp ∂h ∂ τp + ϱgh cos θ ∂t ∂q ϱgh cos θ ( ) 1 ∂τp τp ∂q =− − + 2 ϱgh cos θ ∂h ϱgh cos θ ∂x ( )−1 ( ( ) ( ) 2. h0 ) τp (q0 . ∂x (2. 77 C e chapitre traite des vagues et des mouvements à la surface d’une étendue d’eau : – vagues à la surface d’un plan d’eau (mer.7 ! En février de la même année. lac) dues au vent ou à des courants . Les vagues sont souvent associées au milieu marin. etc. à des degrés divers de précision.1). le paquebot Queen Elisabeth II essuya une violente tempête dans l’Atlantique nord et l’équipage a mentionné avoir observé fondre sur eux un mur d’eau de 30 m de haut . Ces vagues ont été immortalisées par une estampe japonaise (voir fig. au moins dans le cas unidimensionnel. il est apparu que plusieurs processus ondulatoires bruités et non linéaires peuvent donner naissance à des oscillations d’amplitude exceptionnelle. dite hauteur significative (on est en pratique assez loin du schéma d’Airy où les vagues sont des oscillations sinusoïdales de la surface).1 Phénomènes physiques Le mot « vague » (wave en anglais.) dans une retenue d’eau . À l’approche des côtes. Welle en allemand) désigne une multitude de phénomènes. soit un rapport de 2. lac. Appelées « vagues scélérates » en française. des expériences en laboratoire ont également montré que l’on pouvait générer artificiellement de tels phénomènes . La théorie des ondes de Korteweg et de Vries (description à l’ordre 3 des ondes à la surface d’une étendue d’eau) permet de justifier. cours d’eau). l’amplitude des vagues reste à peu près constante même si elles fluctuent considérablement autour d’une hauteur moyenne. mais les observations fiables se sont multipliées au xxe siècle : en janvier 1995. l’existence de ces vagues exceptionnelles . 3. – vagues dues à l’instabilité de la surface libre. avalanche. Il existe également des cas où des vagues peuvent atteindre de très grande amplitude en haute mer de façon quasi-surnaturelle. où une onde se propage à la surface d’une étendue d’eau (océan. 3 Vagues Tous ces phénomènes peuvent être calculés. la plate-forme pétrolière Draupner en Mer du Nord fut impactée par une vague scélérate dont la hauteur a été évaluée à environ 27 m lors d’une tempête (alors que la hauteur significative était de 10 m). le bateau quoiqu’endommagé put regagner le rivage. 3. ces vagues ont longtemps été considérées comme des inventions de marins. par les équations de Saint-Venant ou des équations approchées tirées des équations de Saint-Venant.5). En haute mer. Bien qu’il soit toujours difficile d’expliquer la physique du phénomène. – vagues géantes telles que les tsunamis . – vagues d’impulsion consécutives à l’entrée d’un écoulement (écroulement rocheux. Nous commençons par décrire les phénomènes physiques de façon qualitative avant d’aborder chacun d’eux à travers des équations. la conservation de l’énergie entraîne un accroissement de l’amplitude des vagues selon un schéma qui est décrit plus loin pour décrire les tsunamis (voir § 3. les ondes d’impulsion (impulse wave en anglais. estampe peinte dans les années 1820 et extraite des 36 Vues du Mont Fuji par l’artiste japonais Katsushika Hokusai (Metropolitan Museum of Art. Ce sont le plus souvent de petites intumescences : – liées à un obstacle (ou un objet mobile) . Le transfert de quantité de mouvement entre la masse glissante et l’eau provoque la formation d’une vague qui peut être dévastatrice.1 : la « grande vague de Kanagawa ». New York). Les effets sont assimilables à . Plus exceptionnellement. – induites par une variation du niveau de l’eau . Impulswelle en allemand) sont des vagues créées par l’entrée d’une masse solide (comme un glissement de terrain) dans un volume d’eau. – provoquées par le vent. Vagues Figure 3. Des vagues peuvent également s’observer dans les rivières et les lacs. Notamment.78 dans des canaux. 3. États-Unis) [C.2 : vague le lac Tahoe (Nevada. des vagues plus importantes peuvent se former dans les lacs et les rivières. Ancey]. Figure 3. Celle-ci ravage tout le pourtour de la baie . (b) Impact d’une vague sur une culée de pont (détruit lors de la crue) sur la rivière Whanguehu en NouvelleZélange [DR]. Les grands lacs suisses ont subi au cours des derniers siècles des dommages conséquents dus à des ondes d’impulsion comme le récapitule le tableau 3. un mouvement de terrain se produisit à la suite d’un tremblement de terre en Alaska . Ainsi. la vague finit par se recroqueviller sur elle-même.1. Tableau 3.1 : formation de vagues d’impulsion sur les grands lacs suisses.. plusieurs bâtiments détruits 457 morts 1 mort 650 sans-abris. 33 bâtiments détruits 10 morts.3 : (a) déferlement d’une vague (la vitesse en crête étant supérieure à la vitesse en pied de vague. la masse de rocher pénétra dans l’eau d’une vaste baie bordant l’océan Pacifique et provoqua la formation d’une vague gigantesque. 26 maisons détruites 400 sans-abris. 2009). D’après (Huber. elle a notamment remonté le versant d’une colline sur 524 m de hauteur (par rapport au niveau) de la mer (voir fig. ceux d’un tsunami. en 1958.5) (Weiss et al. 20 habitations détruites 72 m de quai détruits 1 mort 1946 1963 lac de Walenstadt lac des 4 Cantons (Obermatt) 1 mort 2 morts . 3. provoquant un « déferlement »).3.1 Phénomènes physiques 79 (a) (b) Figure 3. Date 563 1435 1795 1801 1806 1862 1887 1891 1923 Lieu lac Léman lac de Zoug lac des 4 Cantons (Weggis) lac des 4 Cantons (Sisikon) lac de Lauerz (Goldau) lac de Lugano (Morcote) lac de Zoug (Zoug) lac Léman (Montreux) lac de Davos Cause rupture d’une embâcle sur le Rhône rupture d’une berge glissement de terrain éboulement rocheux éboulement rocheux glissement de terrain rupture des quais rupture des quais rupture d’une berge entraînant la vidange partielle du lac éboulement rocheux éboulement rocheux Dommages tsunami sur le lac Léman 60 morts. 1982). 80 3. Vagues (a) (b) Figure 3.4 : (a) vue aérienne de Lituya Bay en 1958 après la vague catastrophique ; le passage de la vague dans la forêt permet d’évaluer la remontée de la vague sur les berges [D.J. Miller, USGS] ; source : geology.com. (b) Schéma du glissement avec représentation des grandeurs géométriques ; source : (Weiss et al., 2009) et www.drgeorgepc.com. Tableau 3.2 : liste des principales catastrophes dues à des vagues d’impulsion dans le monde. On indique la date de l’événement, le lieu et le pays, le volume du mouvement de terrain responsable de la vague, la hauteur de runup, et le nombre de victimes. D’après (Heller, 2007). Date 22/02/1756 21/05/1792 27/08/1883 13/03/1888 04/07/1905 07/04/1934 13/09/1936 09/07/1958 22/03/1959 09/10/1963 18/03/1971 18/05/1980 Lieu Tjelle Shimabara Krakatau Ritter Island Disenchantment Bay Tajford Ravnefjell Lituya Bay Pontesei Vajont lac Yanahuin Mount St. Helens Pays Norvège Japon Indonésie Papouasie EUA Norvège Norvège EUA Italie Italie Pérou EUA Volume [Mm3 ] 15 500 5000 29 2 1 31 5 240 0,1 430 Runup [m] 46 10 35 20 35 62 74 524 270 30 200 Victimes 38 ∼ 15000 ∼ 36000 ∼ 100 0 41 73 2 1 ∼ 2000 ∼ 500 0 3.1 Phénomènes physiques 81 (a) (b) Figure 3.5 : vague d’impulsion créée par un éboulement rocheux de 300 000 m3 dans un lac morainique sous le glacier de Grindelwald (BE) le 22 mai 2009 ; source : Tages Anzeiger. 82 3. Vagues 3.2 Équations de Saint-Venant et ondes dynamiques – Qu’appelle-t-on « équation des ondes »? Voir la définition au § 1.3.4. Les ondes dues à la gravité (gradient de pression) provoque des ondes dynamiques à la surface des écoulements. On parle d’onde de gravité ou onde de surface. Leurs caractéristiques générales peuvent se déduire en considérant en première approximation que les effets visqueux sont d’influence négligeable sur la propagation de ces ondes. Une des caractéristiques souvent rencontrées pour les ondes est qu’elles transmettent une information, une énergie, etc., mais ne sont pas associées à un mouvement des particules. Ce phénomène est bien visible à la surface d’un lac ou d’une mer : les vagues ne sont pas associées à un transport de particule. Ainsi, une bouée à la surface de l’eau est soulevée, puis rabaissée, mais reste grosso modo à la même place. Considérons donc une intumescence d’épaisseur η se déplaçant à la surface d’une nappe d’eau peu épaisse (profondeur h0 ) et au repos. Si on suppose que cette onde n’induit pas de transport de fluide durant son mouvement, alors le débit doit être nul d(ηu) = 0. Considérons l’équation (1.7) de continuité des équations de Saint Venant ¯ ∂h ∂hu + = 0, ∂t ∂x avec h = h0 + η , soit encore ∂η ∂u ¯ + h0 = 0, ∂t ∂x (compte tenu de d(ηu) = 0). L’équation de conservation de la quantité de mouvement (1.8) s’écrit : ∂u ¯ ∂u ¯ ∂h τp +u ¯ = −g − . ∂t ∂x ∂x ϱh En linéarisant l’équation (c’est-à-dire en supprimant le terme convectif u∂u/∂x en supposant que la vitesse induite par la vague est faible) et en considérant un fluide non visqueux (τp = 0), on tire : ∂u ¯ ∂η = −g . ∂t ∂x En combinant équation de la masse et équation linéarisée de quantité de mouvement, on tire que : ∂2η ∂2η = gh , 0 ∂t2 ∂x2 ce qui montre que la vitesse de l’intumescence √ satisfait l’équation typique des ondes dynamiques (1.30), vue précédemment avec c = gh0 . On peut aboutir au même résultat sans passer par l’approximation de Saint Venant, ce qui permet de calculer la vitesse des ondes lorsque la profondeur d’eau est quelconque. C’est ce que l’on va voir maintenant en considérant les équations locales du fluide parfait au lieu des équations moyennées. 2 Équations de Saint-Venant et ondes dynamiques 83 η h0 Figure 3.3. .6 : déplacement d’une intumescence à la surface de l’eau (au repos). u · u) − u · ∇u. . L’équation de conservation de la masse devient alors : ∇2 ϕ = 0. on va employer la méthode de séparation des variables. (appelée équation de Laplace) tandis que l’équation de quantité de mouvement 2 1 ∂ ∇ϕ 1 + ∇ (∇ϕ · ∇ϕ) = g − ∇p. où la vitesse est remplacée par le potentiel ∇ϕ. soit ∇ × u = 0 . on reconnaît une variante de l’équation de Bernoulli. en particulier en développant la notion d’isostasie (en bref. Il s’est illustré dans ses jeunes années pour ses travaux d’observation en astronomie. on a non-pénétration. On s’est servi de u × (∇ × u) = ∇( 1 2 1 ∇( 2 u · u) = u · ∇u. le mouvement pendulaire. les variations du champ de gravitation terrestre dues au relief). ce qui lui a valu d’être nommé « astronome royal ». Or comme ∇ × u = 0. ∂y (3.3) ( ) ( ) (3. poste qu’il continuera d’exercer jusqu’à ses 80 ans. donc v=0⇒ ∂ϕ = 0 en y=0. du 1 = g − ∇p.84 3.3 Modèle d’Airy Une des premières assez complètes pour décrire le mouvement d’une onde de gravité est due à Airy 1 .1) Pour trouver une solution à (3. les ondes de gravité. Il s’est également beaucoup intéressé aux phénomènes ondulatoires. (3. cette méthode est utile lorsqu’on considère que ce qui se passe dans une direction est découplé (ou indépendant) de ce qui se passe dans l’autre direction. y. dt ϱ On introduit le potentiel des vitesses ϕ : u = ∇ϕ . Il a aussi contribué à la géodésie. Sir George Biddell Airy était un mathématicien et physicien britannique (1801–1892). Physiquement. physiquement cela veut dire qu’il n’y a pas de vorticité dans l’écoulement (déplacement de tourbillon dans l’écoulement). t) = F (x − ct)G(y ).1). Mathématiquement cela implique que le rotational du champ de vitesse est nul. Au fond. on obtient l’égalité 2.2) ∂t ϱ Il faut tenir compte des conditions aux limites. en termes de composantes des vitesses on a donc : ∂ϕ ∂ϕ u= et v = . ∂t 2 ϱ avec ψ le potentiel gravitaire (g = −∇ψ ) . les équations du mouvement sont les équations d’Euler : ∇ · u = 0. 1. ∂t 2 ϱ soit encore en intervertissant les opérations de différentiation spatiales et temporelle : ∂ϕ 1 1 ∇ + ∇ϕ · ∇ϕ = ∇ −ψ − p . notamment les arcs-en-ciel. Si l’on considère un mouvement d’une onde provoquant une variation de la surface libre d’un fluide parfait initialement au repos (pas de mouvement hormis celui induit par l’onde). Cette équation peut encore s’écrire (après intégration) ∂ϕ 1 = −ψ − p. Vagues 3. Recherchons des solutions sous forme d’onde progressive : ϕ(x. ∂x ∂y On suppose également l’écoulement irrotationnel. donc on peut déterminer deux vitesses (une négative. on tanh kh ≈ kh. d’où l’on tire : c = ± gλ/(2π ). F G 85 avec k une constante (k est interprétée par la suite comme le nombre d’onde).2). De plus. B . Toutes les ondes de surface ont la même vitesse de propagation quelle que soit leur longueur d’onde λ . on tanh kh ≈ 1. Ces ondes sont désignées sous le terme général de houle. ( )2 dy dh = dt dt ω k = g tanh kh.5) . 2 ∂t ∂y C’est l’équation des ondes de surface d’un courant d’eau. on tire qu’à la surface libre (pour y = h) on a : ∂2ϕ ∂ϕ = −g . La vitesse des ondes de surface dépend de la longueur d’onde λ. √ – en eau peu profonde (c’est-à-dire h ≪ λ). k (3.3 Modèle d’Airy Le report dans l’équation ∇2 ϕ = 0 donne : F ′′ G′′ =− = −k 2 . d’où l’on tire : ∂h ∂ϕ ∂h ∂h ∂ϕ = + ≈ .3). Pour déterminer la relation de dispersion et les constantes d’intégration A. C . ce qui est possible lorsque l’amplitude de la vague est petite devant sa longueur d’onde). on tire : ∂ϕ = −gh en y=h.3. La solution générale est : F = A cos[k (x − ct)] + B sin(x − ct) et G = Ceky + De−ky . à la surface libre. d’où l’on tire : c = ± gh. ∂y ∂t ∂x ∂x ∂t En différentiant (3.4) ∂t De plus. on a la condition cinématique : v= or v = ∂ϕ/∂y et u = ∂ϕ/∂x. on obtient : c2 = On peut faire les remarques suivantes : – la vitesse apparaît au carré.4) par rapport à t. qui va être considérée à la surface libre y = h(x. puis en reportant l’expression de ∂h/∂t déterminée dans la condition sur v à la surface libre. t) de telle sorte que le terme de pression (p = 0) puisse être omis. et D. Après calcul. (3. Une condition est donnée par (3. C’est la vitesse critique (correspondant à Fr = 1). La relation de dispersion est obtenue en reportant les expressions de F et G dans chacune des conditions aux limites pour éliminer les constantes d’intégration. si on ne retient que les termes de premier ordre (c’est-à-dire on néglige ∇ϕ · ∇ϕ. il faut prendre en compte les conditions aux limites. √ – en eau profonde (c’est-à-dire h ≫ λ). Une autre est donnée par l’équation de Bernoulli (3. l’autre positive) avec des sens de propagation opposés . Il n’y a pas de « contrôle » aval. on est dans le premier cas de figure (eaux peu profondes). soit encore : c= √ gh(Fr ± 1). la célérité des ondes est calculée par√ rapport à la vitesse moyenne u ¯ : les ondes de gravité se propagent donc à la vitesse c = u ¯ ± gh. On tire le résultat important : – en régime fluvial Fr < 1. la modification des conditions d’écoulement entraîne une modification de ce qui se passe à l’amont une fois que l’onde a remonté l’information . dont la taille décroît avec la profondeur . Vagues Dans le cas des cours d’eau. – en régime torrentiel Fr > 1. h la profondeur d’eau. les ondes se propagent d’amont vers l’aval et d’aval vers l’amont.9 montre le schéma typique d’une vague considérée comme un train de déformation sinusoïdale de la surface libre d’une étendue d’eau : les particules de fluide décrivent des ellipses fixes. de même. k où c est la célérité de l’onde. L’information se propage dans les deux sens.5) : c2 = ( )2 ω k = g tanh kh. et dans un écoulement rapide d’eau. dans un écoulement lent d’eau (au centre) tel que v < gh.7 : propagation d’une onde circulaire se déplaçant à la vitesse √c = gh dans de l’eau au repos (au centre). en eau profonde (lorsque la profondeur dépasse la moitié de la longueur d’onde). La théorie d’Airy (voir § 3. L’information ne se propage que dans le sens de l’écoulement.3) permet de caractériser le mouvement d’ondes de gravité sinusoïdales. Une modification de l’écoulement se produit à l’amont est répercutée à l’aval et. ces ellipses sont des cercles. et ω la fréquence angulaire. .86 3. k le nombre d’onde (k = 2π/λ avec λ la longueur d’onde). La figure 3. avec notamment la relation de dispersion (3. c’est l’amont qui dicte ce qui se passe dans le bief. √ avec Fr = u ¯/ gh le nombre de Froude. u−c u u+c au repos subsonique supersonique √ Figure 3. Si on réitère le raisonnement précédent pour un fluide en écoulement à la vitesse moyenne u ¯. les ondes se propagent d’amont vers l’aval uniquement. 3. l’angle du sillage est à peu près le même (angle de Kelvin). fonds Digital collection. University of Washington.8 : (a) le canard crée un sillage et il n’y a pas d’intumescence. (c) bateau à l’approche de Villeneuve. . Source : Vaughan Cornish (1910). Quel que soit l’objet en mouvement.3 Modèle d’Airy 87 (a) (b) (c) Figure 3. Le canal est-il en nage supersonique? (b) sillage d’un bateau sur le lac Léman. les champs de vitesse et de pression sont reportés.88 3.9 : mouvement d’oscillation [Fabrice Ardhuin. SHOM]. Le diagramme à droite montre la trajectoire presque circulaire de particules fluides selon leur profondeur. À gauche. . Le calcul a été réalisé pour une vague d’Airy de période T = 2 s de période. Vagues Figure 3. U= – La théorie des ondes linéaires s’applique pour des ondes longues (λ/h > 20) caractérisées par un petit nombre d’Ursell (typiquement U ≪ 100).4 Vague 89 3. À noter que l’équation date de 1895 .11 dresse un tel tableau en fonction des valeurs adimensionnelles de la profondeur d’eau et de la hauteur de vague. les ondes en eau peu profonde ou bien des ondes longues . – vague causée par les tremblements de terre : tsunamis. on distingue : – les ondes cnoïdales : ce sont des solutions de l’équation de Korteweg-de-Vries 3 (KdV).1 Vague Classification Les vagues sont des ondes à la surface de l’eau. Lorsque l’on doit étudier des propagations d’ondes dans les deux directions de la surface de l’eau. cette équation décrit le mouvement unidimensionnel d’une onde disperse. Son nom est principalement associé à ses travaux sur les ondes solitaires (solitons) avec son doctorant Gustav de Vries (1866–1934). on a : – λ/h ≤ 2. – La théorie des ondes non linéaires s’applique dès lors que le cadre d’approximation des ondes linéaires n’est plus valable.3. Selon le mécanisme physique qui est impliqué dans la propagation des ondes. Quelques mots d’explication supplémentaires.3 et 3. elle n’est pas liée à la profondeur totale d’eau. Ces ondes servent souvent à décrire des vagues formées par le vent sur des eaux peu profondes. C’est la théorie d’Airy (vue au § 3. on distingue : – force motrice due à la gravité : onde gravitaire . La figure 3.4. les ondes intermédiaires (on ondes de transition) . On introduit le nombre d’Ursell Hλ2 (3. – λ/h > 20. Une dernière classification propose en fait des tableaux des théories et des équations utilisées pour décrire le mouvement des ondes. Si on prend l’origine des ondes. – vague due aux forces de tension à la surface de l’eau : onde capillaire. – vague causée par les mouvements de la lune (forçage astronomique) : marées . Si on prend le rapport λ/h (avec λ la longueur d’onde et h la hauteur d’eau). La notion d’eau profonde se fait toujours à travers le rapport λ/h .4 3. .2) qui est utilisée pour décrire le mouvement des vagues. Parmi les ondes non linéaires. Il en existe plusieurs classifications selon le ou les critère(s) considéré(s).6) h3 pour distinguer les ondes linéaires des ondes non linéaires. Rappelons que les vagues sont alors des combinaisons d’harmoniques. les ondes en eau profonde ou bien des ondes courtes . L’équation de Benjamin-Bona-Mahony (1972) est maintenant préférée car elle est plus précise quand on tend vers le domaine des ondes courtes. √ Son domaine d’application est celui des ondes longues λ > 5h et de période τ > 7 h/g .4. c’est-à-dire des fonctions périodiques sinusoïdales. « onde linéaire » veut dire que l’équation du mouvement est une équation différentielle linéaire. on emploie les équations de Boussinesq (1872) ou ses variantes. Diederik Johannes Korteweg (1848–1941) est un mathématicien appliqué hollandais. on distingue – vague causée par le vent (forçage météorologique) : houle . – 2 < λ/h ≤ 20. incluant une dispersion à la fois en amplitude et en fréquence. Ici. 3. de taille différente. Elles ont des propriétés remarquables qui les distinguent des autres ondes : – la forme est stable (pas de dispersion) et ne présente qu’une seule crête . Il est principalement connu pour sa découverte de l’onde solitaire et l’étude qu’il en a faite en laboratoire. Vagues Figure 3. pas de déferlement) . – les ondes solitaires ou solitons : ce sont des cas particuliers d’ondes cnoïdales (forme asymptotique). – deux solitons qui se croisent ou se dépassent ne coalescent pas . meilleure est en principe la précision. La zone bleue correspond à la théorie des ondes de Stokes. John Scott Russell (1808–1882) était un ingénieur naval et un mathématicien britannique. Les ondes solitaires ont été décrites pour la première fois par John Scott Russell 4 dans un canal reliant Édimbourg à Forth-Clyde en Écosse en 1834. mais il faut que la longueur d’onde soit relativement courte pour qu’une convergence rapide soit assurée. D’après une classification proposée par Le Méhauté (1976). de la période τ = λ/c.90 3.10 : domaine de validité des différentes théories en fonction de la hauteur de la vague H . Plus l’ordre du développement est important. qui consiste à rechercher des solutions sous la forme de série tronquée. La zone jaune correspond à la théorie d’Airy wave theory. La zone bleu-clair est le domaine des ondes cnoïdales. – la vitesse dépend de la taille de la vague et sa largeur dépend de la profondeur d’eau . – les ondes courtes sont généralement étudiées à l’aide de la théorie de Stokes. Russell observa la formation d’une onde de forte amplitude générée par l’arrêt brusque d’une barge qu’il venait . de la hauteur d’eau h. – l’onde peut se propager sur de très grandes distances sans atténuation apparente (pas de dispersion. – si la profondeur d’eau vient à diminuer. En 1834. le soliton peut se scinder en deux solitons. 4. 2 Ondes linéaires On appelle ondes linéaires des ondes de faible amplitude telles que le nombre d’Ursell U ≪ 100. je la perdis dans les sinuosités du canal » (traduction par M.11 : reproduction en 1995 de l’observation d’une onde solitaire faite par Russell dans le canal de l’Union. crêtes pointues faible faible λ/H > 10 solitaire U ∼1 période infinie pas de creux mascaret U ≫1 période infinie pas de creux Transport de masse Incorporation d’air Rapport λ/H fort fort infini fort fort infini 3.4. elle s’accumula autour de la proue dans un état de violente agitation. pour disposer d’un modèle théorique décrivant le mouvement d’une telle onde. La hauteur de l’onde diminuait graduellement. H. et après l’avoir suivie pendant un mille ou deux. de l’anglais Rayleigh (1876). .3) . puis. Il observa que la forme et la vitesse de la vague restaient inchangées tout le long de son parcours : « Je ne puis donner une idée plus nette du phénomène qu’en décrivant les circonstances dans lesquelles il m’apparut pour la premier fois.4 Vague 91 Figure 3. dont la surface était arrondie. Il faudra attendre les travaux du français Boussinesq (1871). se mit à cheminer en avant avec une grande vitesse sous la forme d’une seule grande ondulation. laissant tout à coup le bateau en arrière. lisse et parfaitement déterminée.7) d’emprunter. D’après un document du Département de mathématiques de l’université de Heriot-Watt.3 : classification et principales caractéristiques des ondes. (3. J’observais le mouvement d’un bateau que deux chevaux tiraient rapidement dans un canal étroite. Onde : Valeurs de U Périodicité Creux linéaire U →0 périodique creux et crêtes identiques nul nulle λ/H > 150 Stokes U < 10 périodique creux plats. Cette onde continua sa marche dans le canal sans que sa forme et sa vitesse parussent s’altérer en rien.3. Rappelons que les ondes linéaires sont composées d’harmoniques de la forme η = A cos[k (x − ct)]. Bazin). Ces ondes sont décrites dans le cadre de la théorie d’Airy (voir § 3. Tableau 3. H.5 pieds de hauteur). Je la suivis à cheval et la retrouvai cheminant encore avec une vitesse de 8 à 9 milles à l’heure et conservant sa figure initiale (environ 30 pieds de longueur sur 1 pied à 1. on les appelle donc également ondes d’Airy. Darcy et M. et des hollandais Korteweg et de Vries (1895). crêtes pointues faible faible λ 2< < 20 H cnoïdale U > 25 périodique creux plats. lorsque ce bateau vint à s’arrêter tout à coup : mais il n’en fut pas de même de la masse d’eau qu’il avait mise en mouvement dans le canal . Il suivit à cheval cette vague sur plusieurs kilomètres. 13.4.0 5. 2 16 sinh3 (kh) (3.0 100.9) avec H la hauteur de la vague.4. 3.5 1. Comme le montre la figure 3. c’est-à-dire une onde linéaire en eau profonde : √ c/c0 → λ/(2πh).6 0. une onde de Stokes présente des crêtes plus pointues et des creux plus plats qu’une onde linéaire (sinusoïdale).12 : variation de la célérité c/c0 (courbe continue) en fonction du rapport λ/h pour des ondes d’Airy.92 3. 3.8) √ gh la vitesse de propagation des ondes en eau peu profonde. dont le profil de hauteur comporte une harmonique (partie linéaire) et une contribution nonlinéaire représentant les effets d’ordre supérieur quand λ/h η (x. une équation aux dérivées partielles non linéaire d’ordre 3 : ∂η √ ∂η 3 + gh + ∂t ∂x 2 Une solution de cette équation est ( √ g ∂η 1 3 √ ∂ 3 η η + h gh 3 = 0.0 10.4 Ondes cnoïdales Les ondes cnoïdales sont des solutions périodiques de l’équation de Korteweg-de-Vries (KdV). t) = 1 1 cosh(kh) cos(tω − kx) + kH 2 (cosh(2hk ) + 2) cos(2(kx − tω )).3 Ondes de Stokes Les ondes de Stokes sont des ondes assez proches des ondes linéaires : ce sont des ondes périodiques.10) η (x.0 50. ∆ .2 1. h ∂x 6 ∂x ) (3. La courbe pointillée correspond à l’approximation des ondes en eau peu profonde : c → c0 . et c la célérité. k = 2π/λ le nombre d’onde (λ la longueur d’onde).4 0. 1. La courbe tiretée représente la propagation de la houle.0 0.2 0.0 0. Vagues avec A l’amplitude de l’onde.8 c c0 0. dont l’expression est fournie par la relation de dispersion c2 = avec c0 = g tanh(kh) λ tanh(kh) = c2 = c2 tanh(2πh/λ) 0 0 k kh 2πh (3. t) = η2 + H cn x − ct .0 Λh Figure 3.1 0. 4 0 50 100 150 200 x Figure 3. on a : ( ) h 1 c −1 → .4 0. La figure 3. Pour m = 0.6 93 0.4. K(m) l’intégrale elliptique complète du premier type. on observe que les crêtes de la vague sont séparées par des creux de plus en plus aplatis. elle garde une certain individualité (comme on note en physique « photon ». on a un profil proche d’une onde linéaire (sinusoïdale). m est un paramètre dit paramètre elliptique. .11) c0 H 2 3. Pour m = 0. etc. définie comme (c/c0 − 1)h/H . la déformation est relativement faible par rapport au cas précédent. On l’appelle également soliton car contrairement aux autres ondes non linéaires qui se dispersent et s’amortissent. 1964).13 : profil de hauteur d’une onde de Stokes (trait continu) comparé au profil de hauteur d’une onde linéaire (courbe tiretée). cette vitesse relative tend vers −∞ alors que pour m → 1. C’est de là d’où vient le nom d’onde cnoïdale. Pour m = 0.05.4 Vague 0. ω = 1 s−1 . t = 1 s. (3. Les longueur d’onde λ et célérité c sont données par : √ λ=h √ H 16 mh 3 E(m) 1 K(m) et c = gh 1 + 1− m− 3 H mh 2 2 K(m) [ ( )] .2 0.2 Η 0.14 trois profils de vagues cnoïdales pour trois valeurs différentes de m.0 0. cn la fonction elliptique cn 5 de Jacobi et E(m) l’intégrale elliptique complète du second type (Abramowitz & Stegun.5 Ondes solitaires Une onde solitaire est un cas particulier d’onde cnoïdale qui correspond au cas asymptotique m → 1 (c’est-à-dire une longueur d’onde infiniment grande). des entités qui se comportent comme des particules élémentaires). 3 H où H est la hauteur de la vague. Sa vitesse est obtenue à 5..15 montre la vitesse relative d’une onde cnoïdale. et h = 10 m. avec pour altitude des creux : H E(m) η2 (m) = 1−m− m K(m) ( ) √ λ =h et ∆ = 2K(m) 4 mh .5.95. en fonction du paramètre elliptique m. Pour m → 0. Calcul avec H = 1 m.3. On a report sur la figure 3. « proton ». Le profil d’un soliton est η (x. 1996) et sech la sécante hyperbolique (sech = 1/ cosh).11).14 : profil d’une onde cnoïdale pour différentes valeurs du paramètre elliptique m : m = 0. dont le plus souvent on prend un développement limité à l’ordre 1 en H/h : ( ) 1H 2 1 + c2 = c2 ≈ g (h + H ) .0 3.2 0.6 0. m = 0.4 0. m = 0. – il n’y a pas de creux (η2 = 0) .0 4 2 0 2 4 x Figure 3. 0 2h C’est donc une vitesse peu différente de la vitesse en eau peu profonde.15 : célérité relative d’une onde cnoïdale en fonction de m.20 0.5 (courbe pointillée).01 0.00 m Figure 3.02 0. Vagues 0. avec β −2 = 4h2 (h + H )/3a ≈ 4h3 /(3a) (Drazin & Johnson.50 1.16 montre un profil type d’one solitaire. La figure 3.05 0.95 (courbe tiretée).8 Η Η2 H 0. t) = H sech2 (β (x − ct)).10 0.05 (courbe continue). – le profil est constant au cours du temps (pas de dispersion). On note que contrairement aux cas précédents – l’onde n’est pas périodique (période de retour infiniment longue) . partir de l’équation (3. 0 10 c c0 1 h H 20 30 40 50 0.94 1. . 0 5 0 5 x Figure 3.4 0.0 0.8 0.16 : profil de hauteur d’une onde solitaire avec H = 1.2 0.4 Vague 95 1.3. .6 Η 0. 17 : tsunami arrivant sur les cotes du Srilanka à Kalutara en décembre 2004. mais tant qu’ils se propagent en haute mer (en eau profonde). tsunami de décembre 2004 en Asie).1 Tsunami Introduction Un tsunami est une onde liée au mouvement rapide d’un grand volume d’eau en haute mer à d’un séisme (destruction de Lisbonne en 1755. Figure 3. d’une éruption volcanique sous-marine (éruption du Krakatoa en 1883). Vagues 3. qui ne met en mouvement qu’une faible épaisseur d’eau près de la surface. Alaska en 1958). Source : DigitalGlobe.5. la hauteur de l’intumescence est faible.5 3. La longueur d’onde est généralement très grande (quelques dizaines à centaines de km). d’un glissement de terrain sous-marin de grande ampleur (baie de Lituya. C’est à l’approche des côtes que l’onde gagne en amplitude et déferler sur le littoral. Contrairement à la houle (vagues formées par le vent à la surface des océans). L’énergie associée au mouvement de l’eau est donc considérable. voire imperceptible. Les tsunamis se déplacent à très grande vitesse (plusieurs centaines de km/h).96 3. en provoquant d’énormes dommages. . le tsunami provoque un déplacement d’eau sur une grande épaisseur. ∂t ∂x (3.18) et u0 (x) = 0. . t) = A cos(ωt + ϕ). On cherche la solution sous la forme d’un développement asymptotique h(x.12) (3. . g la gravité. ces équations deviennent ∂h1 ∂h0 u ¯1 ∂h1 u ¯0 + + = 0.14) (3.2 Modèle approximatif de tsunami arrivant de haute mer Les équations de Saint-Venant (1.17) et le troisième terme dans (3. qui est non linéaire. Il se produit un train d’ondes dans l’océan (x → ∞). h∞ pour x ≥ L. disparaît dans (3. On suppose que h∞ ≪ L de telle sorte que β soit petit. l’équation (3.30) √dans le cas où h0 est constant (indépendant de x). ∂t ∂x ∂x (3. c’est-à-dire une succession de vagues. À l’ordre ϵ0 .18) devient ∂ 2 h1 ∂ 2 h1 ∂h1 = gβx + gβ . ∂t ∂x ∂u ¯ ∂u ¯ ∂h +u ¯ = −g . . dont la hauteur par rapport au niveau de la mer est η (x. t) = u0 (x) + ϵu1 (x. L’eau initialement au repos est perturbée par une secousse en haute mer. avec ici la célérité des ondes égale à c = gh0 .7–1. t) = h0 (x) + ϵh1 (x.16) (3.8) s’écrivent pour un écoulement non frottant le long d’un fond horizontal ∂h ∂hu ¯ + = 0.3. voir figure 3.15) où l’on note que le terme convectif.17) et (3.13) avec u ¯(x. Considérons le cas où le fond marin est constituée d’un haut fond et d’une plage faiblement inclinée (voir figure 3. u(x.17) (3.12–3. Dans ce cas. Les équations de Saint-Venant (3. . On part d’un état à l’équilibre ou h = h0 (x) et u = u0 (x) = 0. ∂t ∂x ∂h0 . 2 ∂t ∂x ∂x ( ) (3.13) à l’ordre ϵ0 s’écrivent donc ¯0 ∂h0 ∂h0 u + = 0.19) . t) + . t) la vitesse moyenne de l’eau.5 Tsunami 97 3.16) est en fait nul car u0 = 0. 2 2 ∂t ∂x ∂x (3.5.18) où l’on reconnaît les équations des ondes (1. avec A et ϕ deux constantes. t) + .16) peuvent se combiner pour donner une seule équation régissant h1 ∂ 2 h1 ∂h1 ∂h1 = gh0 . t) la profondeur d’eau. ∂t ∂x ∂x ∂u ¯1 ∂h1 = −g . . h(x. où ϵ est petit (on prendra ϵ = β . .18) { h0 (x) = βx pour 0 ≤ x ≤ L. 0 = −g ∂x qui sont trivialement vérifiées. Il s’ensuit que les équations (3. dont les solutions sont de la forme y = aJ0 (x) + bY0 (x) avec a et b deux constantes d’intégration et J0 la fonction de Bessel d’ordre 0 du premier type. ce qui donne compte tenu de la condition aux limites 2ω J0 √ ( H (x) = A 2ω J0 √ ( gβ √ x ) gβ √ ). Quoique très simplifié (notamment on ignore les effets non linéaires. Vagues Figure 3.18 : modèle simplifié de tsunami.19. dx 4αs ds d2 H 1 d2 H 1 dH = − . L’équation différentielle régissant H est x dH ω2 d2 H + + = 0.20) (3. La solution s’écrit donc H (s) = aJ0 (s). ce modèle permet de démontrer l’amplification d’une vague venant de haute mer à l’approche d’une cote. dx2 dx gβ avec H (L) = A. . l’amplitude de l’onde augmente tandis que sa longueur d’onde diminue quand elle approche la plage située en x = 0. c’est-à-dire sous la forme h1 (x.21) On aboutit alors à l’équation de Bessel d’ordre 0 : y ′′ + y ′ /x + y = 0. L Comme le montre la figure 3.98 x=L h1 h0 = βx h0 = h∞ 3. t) = cos(ωt + ϕ)H (x). Y0 la fonction de Bessel d’ordre 0 du second type qui n’est pas bornée en x = 0 . 2 2 2 2 dx 16α s ds 16α2 s3 ds (3. On recherche une solution avec des variables séparables. Cette équation peut être résolue en faisant le changement de variable : √ x = 2αs2 avec α = gβ/(8ω 2 ) de telle sorte que 1 dH dH = . qui deviennent de plus en plus importants à l’approche de la plage). on a donc nécessairement b = 0. 4 0 10 20 x 30 40 50 Figure 3. .2 0.8 0.0 0.5 Tsunami 99 1.2 0.4 J0 0.3.19 : fonction de Bessel J0 .0 0.6 0. Vagues 3.100 3. et les effets de l’onde de submersion sur la digue 3. en ingénierie on a besoin d’étudier la possibilité qu’une onde d’impulsion soit générée (par une avalanche ou un mouvement de terrain) et se propage jusqu’à la digue . des formes plus complexes peuvent être observées. 2005b) . le principal problème est alors d’évaluer la force d’impact de la vague. 3.. Sur la base d’essais en laboratoire. – soit d’une masse granulaire (Huber. En général. (2008a ) montrent ainsi que le rapport entre l’amplitude maximale amg d’une vague générée par l’entrée d’une masse granulaire et l’amplitude maximale abs d’une vague induite par un bloc solide varie à peu près linéairement avec le nombre de Froude amg − abs = 1 − 0. Ce scénario peut se justifier soit par la topographie des lieux et les caractéristiques de l’écoulement entrant dans le lac. 2000. La masse était constituée – soit d’un bloc solide. À petit nombre de Froude. Heller et al. Heller et al. la hauteur de remontée (run-up).6 Vague d’impulsion L’entrée d’un écoulement gravitaire (tel qu’une avalanche ou un écroulement rocheux) produit une onde d’impulsion..25Fr. 1980. Walder et al.20. Ces ondes ont principalement été étudiées en laboratoire à l’aide de modèles réduits. C’est le type d’expériences le plus commun (Noda.. et les effets sur un obstacle. 2003a . Zweifel et al.. 1992. 2006.22) √ avec Fr = us / gh et us la vitesse d’impact à l’entrée dans le lac d’une profondeur h. un écoulement granulaire produit une vague dont l’amplitude est double par rapport à celle générée par un bloc solide. Fritz et al. La consistance de la masse entrant dans la retenue a un rôle assez important car elle conditionne l’amplitude des vagues générées. l’expérience consiste à lâcher une masse dans une retenue d’eau. Heinrich.20 : l’étude d’une vague d’impulsion nécessite de s’intéresser à la formation de la vague. on considère la propagation d’ondes planes (voir fig. dans les expériences en laboratoire. 2008b). formation de la vague propagation submersion Figure 3. Watts. . avec des front d’onde à symétrie circulaire ou présentant des motifs plus complexes (notamment en cas de diffraction de l’onde).. Cette différence s’estompe avec le nombre de Froude En général.b. sa propagation. Un paramètre important du problème est la géométrie de propagation de l’onde : dans la plupart des cas.21). 2003. 1970. Dans la réalité. soit par le pouvoir directeur de l’onde. en particulier. amg (3. Panizzo et al. le volume par unité de largeur. t∗ = ts h0 s ts gh0 ∗ √ g u0 . Vℓ le volume par unité de largeur. ∂t ∂x ∂y ϱ ∂x (3.24) (3. on peut montrer que la propagation de l’intumescence peut s’écrire en fonction de trois variables sans dimension : η = η ∗ f (Vℓ∗ . 1998). Suivant Hammack (1973) et Walder (2003). Vℓ∗ = 2 . Fr sin θ). p la pression. du nombre de Froude. (a) Onde plane. (b) Onde circulaire. P Désigne le point d’impact.21 : géométrie de propagation d’une onde d’impulsion. ∂x ∂y ∂u ∂u 1 ∂p ∂u +u +v =− . u0 la vitesse de l’avalanche à l’impact. 1957) ∂u ∂v + = 0. v ) les composantes de la vitesse dans un repère cartésien (x.23) (3. h0 gh0 respectivement sous forme adimensionnelle : l’amplitude de l’intumescence.1 Similitude du problème Les équations d’ondes s’écrivent (Stoker. (u.22 : vague générée par une avalanche ou un mouvement de terrain dans une retenue d’eau. ∂t ∂x ∂y ϱ ∂x ∂v ∂v ∂v 1 ∂p +u +v =− − g. le problème à résoudre se réduit à déterminer la fonction f (Vℓ∗ .3. Fr sin θ) donnant l’amplitude sous forme adimensionnelle en fonction du temps.25) avec h(x. Par analyse dimensionnelle. le temps. et h0 la hauteur d’eau initiale dans la retenue. et du volume par unité . avec 2Vℓ Vℓ η = ∗√ . et Fr = √ . t∗ . t) la hauteur d’eau totale (h = h0 + η ). On introduit les échelles suivantes : ts temps caractéristique de submersion de l’avalanche. y : verticale). et le nombre de Froude.6 Vague d’impulsion P P 101 r γ (a) (b) Figure 3. t∗ . y ) rattaché à la retenue (x : horizontale. 3.6. D’après (Vischer & Hager. Figure 3. 102 3. Vagues de largeur. Cette fonction peut être déterminée numériquement ou bien à l’aide d’expériences à échelle réduite. Dans ce cas-là, on peut utiliser les données obtenues par Bowering, Huber (1980), ou bien Walder & Watts (2003). 3.6.2 Résultat des expériences pour des blocs solides Les expériences ont été réalisées en plaçant un bloc solide sur une rampe inclinée, puis en le laissant glisser gravitairement jusqu’à ce qu’il impacte la retenue. Les blocs ont le plus souvent un front pointu pour simuler l’effet d’un front progressif (peu raide). La masse du bloc, la hauteur d’eau, l’inclinaison de la rampe, la longueur de la zone de glissement étaient autant de paramètres qui permettaient d’explorer un assez large spectre de conditions initiales ou d’écoulement. La plupart des expériences ont été réalisées avec des nombres de Froude à l’impact de l’ordre de 1 à 4. Nous reportons les données de Huber (1980) et Walder et al. (2003). On note une certaine correspondance entre données même si elle n’est pas parfaite. Notamment, Huber conclut à un effet du nombre de Froude à l’impact alors que les expériences plus récentes (et à nombre de Froude moins élevé) ne permettent pas de mettre en évidence une telle dépendance. Ces données permettent d’arriver à calculer de façon empirique l’amplitude de l’onde comme suit )−0.68 ( η t∗ s = 1,32 , h0 Vℓ∗ ∗ si l’on cherche une dépendance en fonction de t∗ s et Vℓ , ou bien sous la forme η = AVℓ∗m (Fr sin θ)n , h0 si on cherche plutôt à exprimer cette dépendance en fonction du nombre de Froude et de la largeur, avec A ∼ 0,4 (0,35 − 0,5), n ∼ 0,35 (0,25 − 0,5), et m ∼ 0,35 (0,3 − 0,4). √ Concernant la demie-longueur d’onde, on a λ ≈ 0,27ts gh. 3.6.3 Résultat des expériences pour des écoulements granulaires Ondes planes Heller (2007) a mené une étude détaillée des vagues d’impulsion générées par l’entrée d’une masse granulaire dans un canal. Selon lui, la plupart des résultats peuvent être commodément synthétisés à travers des relations les liant à un nombre sans dimension P, qu’il a appelé « paramètre d’impulsion » s P = Fr h ( )1/2 ( ϱs Vs ϱf h2 )1/4 cos1/2 α, (3.26) avec s l’épaisseur de l’écoulement, h la hauteur d’eau, ϱs la masse volumique solide, ϱf la masse volumique du fluide √ (eau), Vs le volume de l’écoulement granulaire par unité de largeur (de canal), Fr = us / gh le nombre de Froude avec us la vitesse de l’écoulement solide à l’entrée dans la retenue (voir fig. 3.25). Heller (2007) a montré que les paramètres suivants se calculaient à l’aide de P : – l’amplitude maximale de la plus grosse vague d’impulsion est donnée par 4 amax = hP4/5 , 9 (3.27) 3.6 Vague d’impulsion 103 Figure 3.23 : données obtenues par Huber (1980). η h0 Figure 3.24 : données obtenues par (Walder et al., 2003). avec un écart relatif maximum de ±30 %. La position à laquelle ce maximum est atteint 1/2 avec une incertitude de l’ordre de ±50 %. est estimée par la formule : xmax = 11 2 hP Huber & Hager (1997) avaient obtenu une relation un peu différente ( amax (x) = 0,88h sin α ϱs ϱf )1/4 ( Vs h2 )1/2 ( )1/4 h x . (3.28) 104 s 3. Vagues us a α H h x Figure 3.25 : vague générée par une avalanche ou un mouvement de terrain dans une retenue d’eau. D’après (Heller, 2007). La hauteur maximale est proportionnelle à l’amplitude de la vague : 5 5 Hmax (x) = amax = hP4/5 ; 4 9 – le volume maximal de la plus grosse vague (par unité de largeur) est Vmax = h2 P6/5 , avec un écart relatif maximum de ±50 % ; – l’amplitude des vagues décroît au cours de leur propagation selon une loi 3 x a(x) = hP4/5 5 h ( )−4/15 (3.29) (3.30) , (3.31) avec un écart relatif maximum de ±30 ; – les vagues se déplacent à une vitesse (en crête) proche de celle d’un soliton ( c = c0 a2 1+2 2 h )1/2 , (3.32) avec un écart relatif maximum de ±15 % ; – la période de la plus grande vague d’impulsion vérifie à peu près la relation √ τ =9 h 1/2 P , g ( )1/2 (3.33) tandis que la longueur d’onde de cette vague est λ = cτ = 9hP 1/2 a2 1+2 2 h ; (3.34) – la nature de la vague d’impulsion générée dépend d’une multitude de paramètres. En première approximation, on peut différencier les cas possibles à l’aide du nombre de Froude et du nombre adimensionnel Q : ( )1/3 ( Q= s h ϱs Vs ϱf h 2 ) cos α, (3.35) −7/5 – une onde de Stokes quand Q < 4 , 5 Fr −7/5 ≤ Q ≤ 11Fr−5/2 , – une onde cnoïdale quand 4 5 Fr – un mascaret quand Q > 11Fr−5/2 . L’incertitude sur les résultats est évaluée à ±15 %. (3.37) avec δ l’angle du parement par rapport à l’horizontale (18◦ ≤ δ ≤ 90◦ dans les expériences de Müller). Comme précédemment.25h π 2δ )1/5 ( H h )4/5 ( H λ )−3/20 . H h R hb δ Figure 3. ϱs la masse volumique solide. 3.6 Vague d’impulsion Ondes circulaires 105 Sur la base d’essais en laboratoire.29). et λ la longueur d’onde. L’amortissement de l’onde est plus marqué que pour une onde plane.21 pour la notation) : ( amax (r) = 1. (3. ϱf la masse volumique du fluide (eau). et Vs le volume de l’écoulement granulaire par unité de largeur (de l’écoulement entrant dans le lac).36) avec h la hauteur d’eau. 1998) ( R = 1.3.66h sin α cos 2 2δ 3 )( ϱs ϱf )1/4 ( Vs h2 )1/2 ( )2/3 h r . H la hauteur maximale de la vague donnée par (3. dont une estimation est fournie par (3.26 : remontée (runup) d’une vague contre un barrage.4 Remontée Sur la base de 200 expériences en laboratoire. la vitesse maximale (en crête) est proche de celle d’une onde solitaire : c2 = g (h + amax ). Müller a calculé la hauteur de remontée (runup) R d’une onde d’impulsion le long d’un obstacle (tel que le parement d’un barrage) (Vischer & Hager. 3.6. Huber & Hager (1997) ont proposé la formule suivante pour calculer l’amplitude maximale d’une onde d’impulsion en fonction de l’angle γ et de la distance r (voir fig. Ces résultats sont valables pour des distances dans la fourchette 5 < r/h < 30.34). . par exemple lors d’un lâcher de barrage ou bien lors d’une crue rapide sur un cours d’eau à pente suffisamment forte.1 et revoir l’interprétation hydraulique d’un choc au § 1. § 2. France) [http://archaero. c’est une caractéristique essentielle . À la suite de l’élévation du niveau d’eau dans l’océan. 3. où le phénomène est fréquent et attire les surfeurs en nombre. Tous les fleuves ne connaissent pas des mascarets . La vague peut dépasser 1 m de hauteur et se déplacer à plus de 10 km/h lors des grandes marées d’équinoxe. Les surfeurs donnent une échelle de la taille du phénomène.1 Phénomène physique Un mascaret désigne la vague créée par la marée montante dans un estuaire. faible hauteur d’eau dans le fleuve et pente douce du lit . Jusqu’à la construction du chenal de Rouen dans les années 1960. De tels ressauts peuvent se former sur tout type de cours d’eau lorsqu’une grande quantité d’eau arrive brutalement. Le débit instantané a été estimé à 600 m3 /s et le front devait se propager à une vitesse d’environ 8 m/s.7. Un mascaret est une forme particulière de ressaut hydraulique. l’estuaire de la Seine était également réputé pour ses mascarets. Figure 3. pas de vent contraire.htm]. Le mascaret est une onde avec un front raide qui se propage dans les cours d’eau : c’est typiquement ce qu’on appelle une discontinuité ou un choc .27 : mascaret sur la Dordogne près de Libourne (Vayres. La figure 3.106 3. il faut en effet des conditions assez particulières pour que ces vagues se forment : – – – – amplitude suffisante de la marée .com/mascaret. En France.2 ainsi que dans l’annexe 2. Gironde. de l’eau remonte à contre courant dans le fleuve.1. estuaire en entonnoir pour amplifier l’effet de la marée .29 montre un ressaut hydraulique dans la rivière Zavragia au Tessin lors de la grosse crue de juillet 1987. c’est principalement l’estuaire de la Dordogne et celui de la Gironde dans la région bordelaise.7 Mascaret – Qu’est-ce qu’un ressaut hydraulique? Voir la définition mathématique dans l’annexe 2. Vagues 3. toutefois. On montre ci-après qu’on peut .29 : arrivée du front d’une crue sur la rivière Zavragia (Tessin) . Venzin].28 : mascaret sur la Seine (Caudebec-en-Caux. les deux clichés sont pris à 15 mn d’intervalle [T. des équations non linéaires aux dérivées partielles hyperboliques.7 Mascaret 107 Figure 3. France) [R. Figure 3.3. Huon]. La forme de la surface libre près d’une discontinuité ne peut plus être étudiée par les équations de Saint-Venant à cause de la courbure de la surface libre et de la dissipation d’énergie libre . la dynamique des discontinuités reste entièrement dictée par ces équations. x2 ] = [x1 . La vitesse s’écrit alors de manière relative comme : u′ = u − s ˙ : Ju′ hK = 0.7. Homme curieux. De même. qui décrivent la variation brutale de masse et de quantité de mouvement au passage de la discontinuité. la théorie de la musique.10)– le long d’un segment [x1 . et la mécanique des sols. il est à l’origine de la thermodynamique moderne.108 3. On redéveloppe ici cet argument mathématique général en se focalisant sur aux équations de Saint-Venant (en prenant soin de les mettre sous une forme conservative). d’un point de vue mathématique. On trouve donc que la quantité (flux de masse) uh se conserve à travers le choc quand on exprime cette quantité dans un repère mobile rattaché au choc. puis en faisant le passage à la limite x1 → s et x2 → s. 7. x2 ]. ϱ ) Quand on fait la décomposition [x1 .30 : déplacement d’un mascaret (« onde de choc »). – Mascaret induit par une vanne en translation. Rankine s’intéressa plus particulièrement aux applications de cette théorie pour concevoir des machines à vapeur. Avec le physicien allemand Rudolf Clausius et son compatriote William Thomson (lord Kelvin).9)–(1. s] + [s. les mathématiques. comme l’apparition d’une discontinuité. on a évoqué la formation d’un ressaut mobile. Pierre-Henri Hugoniot (1851–1887) était un autodidacte féru de mathématiques et de mécanique des fluides. la fatigue des métaux. 2 Notons que le terme source ϱg sin θ − τp /ϱ n’a aucune influence sur les conditions de RankineHugniot. dites relations de Rankine 6 -Hugoniot 7 . On intègre le système d’équations (1. Il s’est spécialement intéressement aux problèmes d’onde de choc dans les gaz. 3. il faut également se servir de la conservation de la masse dans le référentiel mobile). Sa publication scientifique a été extrêmement importante. on obtient pour la conservation de la masse : s ˙ JhK = JuhK.4. x2 ] comprenant le point x = s(t) où se produit un choc (ressaut hydraulique mobile). il s’intéressa également à des domaines aussi variés que la botanique. Vagues dériver un jeu d’équations. . s ˙ h1 h2 x = s(t) Figure 3.2 Ressaut mobile Au § 1. William John Macquorn Rankine (1820–1872) était un physicien écossais. ainsi que pour la quantité de mouvement : 1 s ˙ JhuK = Ju2 h + g cos θh2 K. le flux de quantité de mouvement u′2 h + g cos θh2 /2 se conserve : Ju′2 h + g cos θh2 /2K = 0 (pour montrer cette dernière relation.2. L’équation de conservation de la masse s’écrit alors : d dt x2 ∫ x2 x1 2 hdx + [uh]x x1 = 0 d dt ∫ x1 1 2 hudx + [u h + g cos θh2 ]x x1 = 2 2 ∫ x2 ( x1 τp gh sin θ − dx. ♣ Exemple. 6. 75 1.31 : tracé des courbes 2F r2 η (trait discontinu) et (1 − η )2 (1 + η ) = 2F r2 η (trait continu). c’est une condition de dissipation d’énergie qui permet de choisir la bonne solution). On peut calculer la vitesse de l’intumescence créée par le mouvement de l’eau. En éliminant s ˙ . donc une vitesse s ˙ < 0.5 (tiret long) et F r = 1. La vitesse de cette vanne est V .5 (tiret court). Si on se replace dans le repère fixe. on tire la relation : (1 − η )2 (1 + η ) = 2F r2 η.5 2 Η Figure 3. dont l’intersection nous fournit la valeur η voulue et donc nous permet de calculer la vitesse de propagation du mascaret. √ où F r = V / gh2 est le nombre de Froude et η = h1 /h2 .25 0 0.31 les deux courbes 2F r2 η et (1 − η )2 (1 + η ) = 2F r2 η . En effet. on trouverait une valeur de η < 1.5 0.5 1.75 0. on peut écrire : s ˙ (h2 − h1 ) = −V h1 . 2 1. dans ce cas-là. il faut que s ˙ > 0 or s ˙ = V η (η − 1)−1 . 8. la solution est plus complexe : elle comprend une onde simple de détente précédée d’un mascaret. Il y a deux solutions à cette équation mais une seule 8 permet d’avoir η > 1 (dans le cas plus général. ce qui n’a pas de sens . Notons sur ce même graphique que si l’on se place dans le cas F r > 1.25 1 0. d’où il faut que η > 1. en fait. On reporte sur la figure 3.7 Mascaret 109 Considérons une vanne qui à l’instant t = 0 se met en mouvement de translation le long d’un canal plat où l’eau est initialement au repos. .5 1 1. 2 2 s ˙ (−V h1 ) = gh2 2 /2 − (h1 V + gh1 /2).3. On a tracé 2F r2 η pour deux valeurs de F r : F r = 0. On observe alors des vagues alors qu’il n’y a pas vent . cette hauteur croît et la vague peut devenir déferlante. cette hauteur correspond à la moyenne des hauteurs de vague les plus importantes. Jean Guichard. ce qui produit l’écume si caractéristique (à gauche). Cela est particulier vrai aux abords des côtes avec un vent de terre. Les hauteurs de vague sont souvent décrites à l’aide de la loi de Rayleigh 10 . mais du temps des premiers manuels de l’USACE. La dernière notion-clé est naturellement la vitesse caractéristique du vent. alors il est possible de faire émerger des lois à partir des mesures accumulées en différents endroits en mer. on parle de houle. Vagues 3. qui est défini comme étant la plus grande distance sur une étendue d’eau. ces vagues peuvent se propager jusqu’à des secteurs sans vent. Parmi les nombreuses méthodes de calcul des effets du vent sur les vagues. Le Huffington Post. les techniques empiriques par corrélation de données ont connu un certain succès.8 Houle et vagues dues au vent Sur les grandes étendues d’eau. – la hauteur spécifique Hs est la moyenne de cette population. les vagues créées par le vent sont de hauteur très faible. On introduit ainsi la hauteur significative de la façon suivante 9 : – on détermine la probabilité d’observer une certaine hauteur de vague. Lors des tempêtes. mais à l’approche du littoral. Source : photographie de droite. le vent peut former des successions de vagues à leur surface. Comme il y a toujours une forte composante aléatoire dans les vagues. – on considère la population de vague qui constitue le tiers supérieur (voir figure 3. L’idée de base est que si l’on emploie les bons nombres sans dimension (tels que le nombre de Froude). 10. et suivant une loi de Gauss avec la même variance.110 3. La définition a changé au cours du temps. On définit ainsi une hauteur caractéristique qui serait la hauteur vers laquelle tendraient toutes les hauteurs de vague au bout d’une certaine distance. sur laquelle souffle le vent sans rencontrer d’obstacle d’une côte/berge à l’autre (ou bien d’une côte à un point donné). Figure 3. alors la norme de la vitesse (u2 + v 2 )1/2 suit une loi de Rayleigh. De nos jours on définit cette hauteur plutôt à partir de l’énergie des vagues. il convient de définir la hauteur caractéristique sur un plan statistique. les vagues peuvent atteindre des hauteurs de plusieurs mètres et interagir fortement avec des obstacles. non corrélées entre elles.32 : par mer calme. Une fois générées par le vent. La distribution de Rayleigh est en fait souvent utilisée pour le vent : si on suppose que les deux composantes u et v (dans un référentiel cartésien) sont des variables indépendantes. comme ici le phare de Kéréon dans le Finistère (à droite).33) . Cette 9. Il est aujourd’hui courant d’introduire la vitesse de frottement u∗ comme grandeur caractéristique. La seconde notion importante est celle de fetch F . dont l’amplitude croît généralement avec la force du vent. . La direction du vent n’est pas nécessairement celle des vagues ni celle du fetch. 0125F ˆ . p ˆ 1/3 U ˆ 1/3 F (3. il existe un réseau de capteurs météorologiques : Anetz (72 stations automatiques mesurant en continu de nombreux paramètres). les lois d’échelle ont été recherchées sous la forme de produits de monômes : ˆ ˆ s = aF ˆpU ˆ p . fetchs. 1973). q .33 : définition de la hauteur significative à partir de la densité de probabilité des hauteurs de vague.6 × 10 U F (3. Acronyme pour JOint North Sea WAve Project. Munk and Bretschneider (1947. H Par la suite. La formule dite Jonswap 11 (1973) donne la hauteur significative des vagues à partir d’une analyse de tempêtes sur la mer du Nord : √ −3 ˆ ˆ ˆ. En Suisse (et ailleurs). r. avec a.39) ( ) ˆ = 1 pour cette méthode (profil de vitesse plat). qui a été calé sur des données de l’Atlantique nord durant la seconde guerre mondiale : ˆ s = 0.5 × 10−3 ˆ f = . √ Elle se définit à partir de la contrainte τ exercée par le vent sur la surface d’eau : u∗ = τ /ϱ (ϱ étant ici la masse volumique de l’air). On introduit de la façon suivante les hauteurs significatives. et f H 2 u2 u u g ∗ ∗ ∗ Parmi les premières lois proposées. 1952. un projet collectif entrepris au début des années 1970. il y a le modèle SMB. b. ˆ = gH . la détermination du vent est beaucoup plus épineuse. p.283 tanh 0. Il faut ensuite relier cette vitesse de surface avec la vitesse du vent loin du sol (ou de l’eau). Enet (44 stations mesurant les vents et 11.38) tandis que la fréquence du pic est donnée par 3. U ˆ = U . Si la mesure du fetch ne pose pas de avec U problème insurmontable. et f ˆr ˆ s H p = bF U . F ˆ = gF .3. Hs = 1. . du nom de ses auteurs Sverdrup. et fréquence (des pics du spectre) sous forme adimensionnelle : ˆ = u∗ f .8 Houle et vagues dues au vent 111 vitesse est simplement la vitesse fictive de glissement du vent à la surface de l’étendue d’eau. P (H ) vague la plus probable hauteur moyenne hauteur significative H 1/3 des vagues ont une hauteur plus grande que H2/3 H2/3 Figure 3. et s des paramètres calés sur des mesures. Toutes ces formulées ont été calées sur des étendues d’eau dont le fetch dépasse 2 km.3 × 10−4 F 0.40) (2π )4 avec α = 8. Washington. Waterways Experiment Station.5 F 0.5 U 0. USACE Waterways Experiment Station.25 + 5. Il existe de nombreuses formulations empiriques (voir par exemple (?)). 1985. Lausanne. Journal of Physical Oceanography.5 U F 0.5 F 0. 2011. Vicksburg.62 × 10−2 F 0. dissipation turbulence) doivent contrebalancer cette croissance.76 − 4.5 × 10−3 g −0.24 F 0. 2008 .87 – – US Army Corps of Engineers. Mississippi.5 U cos ϕ F ≤ 32 km. Coastal Engineering Manual. Smith s’intéresse aux vagues dans un contexte de fjord et d’embouchures. Au-delà d’une certaine hauteur.85 0. Sur la base de considérations sur la conservation de l’énergie. 566-592. Washington. on a aussi reporté le coefficient de corrélation rp quand il est connu. Wind products for the use in coastal wave and surge models.5 rp – 0. à 10 m du sol) et un fetch F (en m). Tableau 3. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes.24 23 Hs = 1. Hs = 5. Pougatsch. 2008. ϕ est l’angle entre la direction du vent et celle des vagues. b a Le spectre de fréquence des vagues doit fortement s’atténuer car le vent ne peut pas créer des vagues indéfiniment hautes.5 U Hs = 3.5 F > 32 km. E. Le tableau 3.25 f ( )4 ) (f − fp )2 γ avec Γ = exp − 2 2β 2 fp Γ ( ) 12. et col. J.5 U 0.. Pour chaque méthode.4 : détermination de la hauteur significative pour un vent U (en m/s.7 × 10−3 g −0. Wind-wave generation on restricted fetches. Les barrages : du projet à la mise en service.62 U 1. c Demirbilek et col.112 3. Demirbilek et col. 1993. la plupart d’entre elles étant résumées dans le manuel « Coastal Engineering Manual » de l’USACE 12 .6 × 10−3 g −0. d Walsh.5 ϕ1. US Army Corps of Engineers. e A. Hs = 0.. Auteur Jonswap (1973) a Donelan (1982) b Demirbilek (1993) c Walsh (1985) d Smith (1991)b Molitor (1935) e Hs (m) Hs = 1. (3. Les données de la mer du Nord (projet Jonswap) ont modulé ce spectre : α 2 −5 2 S (f ) = g f [m s] (3. Directional wave spectra measured with the surface contour radar.4 fournit l’ordre de grandeur la hauteur significativeHs des vagues à l’aide de formules empiriques. Le problème de l’extrapolation de cette mesure ponctuelle pour en déduire ce qui se passe plus loin (à quelques kilomètres) ou plus haut (dans la couche limite) est très ardu. Smith. 15. Coastal Engineering Manual. 1991. des phénomènes (effondrement de la crête de vague. modulent la vitesse à la surface de la retenue en se servant de la relation empirique de Garratt entre vitesses du vent à 10 m et à 3 m.63 Hs = 1. Phillips émit l’idée que le spectre de fréquence devait tendre vers la fonction limite quand f → 0 α 2 −5 2 S (f ) = g f [m s]. Il est delà possible de déduire des courbes intensitédurée-fréquence.1 × 10−3 un nombre sans dimension. Schleiss et H.38 ϕ1. Vicksburg. Vagues certains paramètres relatifs à la neige).3 × 10−4 F 0. Donelan propose une formulation différente calée sur des mesures sur les Grands Lacs américains .66 × 10−3 g −0.83 – 0.41) (2π )4 avec la fonction de modulation ( fp E (f ) = exp −1. US Army Corps of Engineers.. 8 Houle et vagues dues au vent 113 et où fp est la fréquence de pic donnée par exemple par la loi (3.3.39).09 pour f > fp et γ = 3.07 pour f < fp et β = 0. .3. β = 0. en anglais. avec une mise en charge locale de l’écoulement. Un autre problème lié à l’apparition de ces instabilités est la formation d’eau blanche similaire à l’écume des vagues : en déferlant. Source http://people. avec usure prématurée des parements en béton) et .34 : train d’ondes dans un évacuateur de crue et sur la chaussée après une chute de pluie.1 Trains d’onde Problématique Un écoulement à surface libre devient instable lorsque sa vitesse augmente. le mélange eau + air forme une émulsion qui peut être dangereuse pour des installations à cause de la cavitation (explosion des bulles contre les parois. pour lesquels il est essentiel de s’assurer qu’il n’y a pas de mise en pression de l’écoulement . L’apparition de train d’ondes sur un écoulement à surface libre dans une conduite peut générer un écoulement pulsé.114 3. on parle de vagues de roulement (roll waves ) car ces ondulations sont en fait de petites vagues déferlantes. Ces ondulations sont des perturbations de l’écoulement. suivie d’un retour à la pression hydrostatique. Elles peuvent néanmoins poser problème pour certains problèmes en ingénierie lorsqu’on doit connaître la hauteur maximale de l’écoulement et/ou imposer une certaine continuité à cet écoulement.html Ces instabilités se manifestement fréquemment. les vagues emprisonnent de l’air et il se forme alors de petites bulles .edu/ shreyas/Research. Vagues 3.9.harvard. Cette instabilité se manifeste par l’apparition d’ondulations de la surface libre.9 3. En français on désigne ces ondulations sous le terme générique de train d’ondes (car il s’agit d’une succession d’ondes balayant la surface libre) . notamment sur les coursiers raides tels que des évacuateurs de crue ou bien sur des chaussées et trottoirs en pente lorsque l’eau de pluie ruisselle jusqu’à former une lame d’eau. Par exemple. Elles ne sont en général pas considérées dans les calculs en hydraulique car elles ne modifient pas le comportement général de l’écoulement tant que leur amplitude est modérée.seas. un écoulement en charge exerce en effet des contraintes bien plus importantes sur les parois. un écoulement à surface libre peut emprunter des passages busés. Figure 3. Pour ces raisons.U = .7–1. vue vers l’amont. En substituant cette décomposition dans l’équation (3. ∂t ∂x (3. vue vers l’aval et à droite. BE.43) où le vecteur U′ = (η. (3. Source Digital collection of the university of Washington de l’accentuation du caractère pulsé. (3. 3. avec κ et η la perturbation de la hauteur et celle de la vitesse.9 Trains d’onde 115 Figure 3. à gauche. respectivement.2 Stabilité linéaire des équations de Saint-Venant Nous suivons la méthode employée par Trowbridge (1987) pour calculer le domaine de stabilité des équations de Saint-Venant. et S = τp g sin θ − ϱh g cos θ u ¯ u ¯ Considérons maintenant que l’on a une solution U0 = (H. U ) à ces équations et qu’on perturbe cette solution pour savoir si elle stable U = U0 + U′ .42) ∂t ∂x avec : ( ) ) ( ) ( 0 u ¯ h h A= .9. . κ) est la perturbation.3. Les équations de Saint-Venant (1.35 : train d’ondes dans la rivière (canalisée) Grünnbach (près du village de Merlingen. lac de Thoune. on obtient une équation linéarisée gouvernant les perturbations U′ ∂ U′ ∂ U′ + A(U0 ) · = S(U′ ). il convient en général de limiter voire d’empêcher de telles instabilités de se produire.8) s’écrivent sous la forme condensée ∂ ∂ U+A· U = S.44) . Cliché de Vaughan Cornish (1910). Suisse) .42) et en gardant uniquement les termes du premier ordre. En prenant par exemple une contrainte de frottement à la Chézy (τp = ϱg u ¯2 /C 2 ).116 Nous supposons que la solution peut s’écrire sous la forme η = Re(∆ei(nx−ct) ). Ce système admet aucune solution triviale pourvu que son déterminant soit nul. 3.48) (3.46) où Aij est la composante (i. (3. √ avec Fr = u ¯/ gh cos θ le nombre de Froude.52) On peut montrer que la source d’énergie pour que l’instabilité se développe est fournie par le travail de la gravité . (3. 2 La plus grande partie imaginaire est √ Θ ci = αi + r sin . Le symbol i est le nombre imaginaire. et c une constante complexe qui reste à déterminer. puis considérant que 2αi est toujours positive. on trouve que le critère d’instabilité est Fr > 2. (3. on obtient après réarrangement : 2 2 r > 2αi + r cos Θ ⇔ βi > 4αi (βr αi − βi αr ). Dans le cadre de la théorie de la stabilité linéaire.51) Le critère d’instabilité est le suivant : ( ∂τp H − τp ∂H )( ∂τp ∂τp H − τp > gH cos θ ∂H ∂U ) ( )2 (3. j ) de la matrice A.47) mise sous la forme (3. with 1 ∂ (τp /ϱ ¯H ) A22 + A11 −i . n est le nombre d’onde (qui est un réel positif). En prenant la 2 + r cos Θ racine carrée de chaque des membres de cette équation. 2 2 ∂U [ ( )] ∂ (τp /ϱ ¯H ) ∂ (τp /ϱ ¯H ) − A12 β = βr + iβi = n n (A12 A21 − A22 A11 ) + i A11 . En substituant la forme complexe (3.53) .45) dans (3. l’écoulement est linéairement instable si la puissance des forces gravitaires excède l’énergie dissipée aux frontières par τp . 2 c=α± (3.48) peut être écrite √ iΘ/2 √ Θ re ⇒ ci = Im(c) = αi ± r sin .45) où ∆ et X sont les amplitudes complexes respectivement de la hauteur et de la vitesse.50) Nous cherchons maintenant quel domaine cette expression est positive : ci > 0. ∂U ∂H α = αr + iαi = n (c − α)2 = reiΘ . La partie imaginaire de la solution à l’équation (3.44) fournit le système suivant [ nA11 − c ∂ (τp /ϱ ¯H ) nA21 − i ∂H nA12 ∂ (τ /ϱ ¯H ) nA22 − c − i p ∂U ][ ∆ X ] = 0. L’équation de dispersion est obtenue en calculant le déterminant du système et en l’exprimant en fonction de c c2 − 2αc − β = 0. κ = Re(Xei(nx−ct) ). Vagues (3.44) est caractérisée par une partie imaginaire de c positive. l’écoulement est supposé devenir instable dès qu’une solution au système (3.47) Nous cherchons maintenant une solution à l’équation (3.49) (3. La partie réelle de c peut être interprétée comme la vitesse de propagation des perturbations tandis que sa partie imaginaire reflète le taux de croissance (ou de décroissance) de l’amplitude. Comme tout ouvrage de génie civil. 4. 1936) . Des blocs rocheux (jusqu’à 600 t !) sont entraînés et détruisent le quartier de Malpasset. qui peuvent aboutir à des accidents plus ou moins graves. les barrages peuvent connaître des défaillances de sécurité. La masse d’eau dévaste Longarone. – aux États-Unis. Pirago. Le taux de rupture moyen annuel est d’environ 3 pour l’ensemble des barrages construits dans le monde. mais actuellement le nombre de ruptures va en diminuant (Marche. 2008). l’alimentation en eau. le barrage-voûte barrant la rivière Reyran cède à cause d’un défaut géologique dans le massif où s’ancrait la voûte. ou bien la régulation des cours d’eau (Marche.1.1 Rupture de grand barrage Causes de rupture La rupture d’un barrage peut être causée par : – par l’érosion provoquée par une surverse intempestive en cas de trop-plein (résultant . Le barrage n’a subi que de très légers dommages. causant environ la mort de 100 personnes (Visentini. ce sont 423 victimes qui sont déplorées. France) : le 2 décembre 1959.117 Rupture de barrage 4. – Vajont (Italie) : le 9 octobre 1963 un glissement de terrain a mobilisé 260 Mm3 de terres et de roches dans la retenue du Vajont barrée par un barrage-voûte achevé en 1959 (Panizzo et al. Quelques catastrophes ont causé des dommages considérables et provoqué la mort des centaines ou des milliers de personnes : – Malpasset (Var. Villanova et Faè et de nombreux petits villages aux alentours (voir fig. Deux vagues d’une hauteur prodigieuse (150–200 m) se sont engouffrées dans l’étroit ravin à l’aval du barrage 150 mètres de haut. ce qui entraîna la rupture de la digue de Zerbino. Une vague d’une hauteur de 20 mètres dévasta la vallée de l’Orba.3).. On estime à 1909 le nombre de personnes tuées. 2008). En tout. I 4. – Le barrage de Molare (bordure sud des Alpes italiennes au nord-est de Gênes) céda en août 1935 après des pluies diluviennes. 2005a ). Les évacuateurs de crue furent dans l’impossibilité d’évacuer le débit de crue généré par des pluies d’une intensité exceptionnelle (environ 500 mm dans la journée du 13 août 1935). une retenue d’environ 5 millions de m3 implantée à 1500 m d’altitude a cédé en décembre 2005 et a généré une onde de submersion dévastatrice (dénivellation de l’ordre de 700 m). Une vague de 40 mètres déferle sur la vallée et atteint la ville de Fréjus.1 Rupture de barrage et phénomènes similaires 4 l existe aujourd’hui environ 45 000 barrages dans le monde pour la production hydroélectrique. Rivalta. à Taum Sauk dans les collines du Missouri. La rupture du barrage provoqua une crue majeure jusqu’à Fréjus. – la rupture ou l’affaissement de la paroi du barrage. qui ont amené à un niveau d’eau trop important dans la retenue . Rupture de barrage Figure 4. le barrage de Taum Sauk s’est ainsi rompu à la suite de défaillances de plusieurs systèmes de contrôle et de pompage. la retenue de Malpasset (Var.1 : rupture du barrage de Taum Sauk dans le Missouri (États-Unis) en décembre 2005. causant la mort de 423 personnes . En décembre 2005. France) céda. En décembre 1959. libérant 48 millions de m3 d’eau. d’une crue ou bien d’une arrivée d’eau mal contrôlée). . – par des fuites dans les conduites d’eau sous pression . – par l’infiltration d’eau ou des phénomènes de « renard » dans les remblais .118 4. – la surverse induite par une seiche. La catastrophe du Vajont résulta d’un glissement de terrain. Figure 4.1 Rupture de barrage et phénomènes similaires 119 Figure 4. – problème de fondation (25 % des ruptures documentées) .4. .2 : barrage du Vajont après le mouvement de terrain du 9 octobre 1963. qui en pénétrant dans le lac de retenue a provoqué une vague qui submergea le barrage-voûte et s’engouffra dans un ravin étroit . qui peut induire la rupture du barrage ou bien la formation de vagues déferlantes.3 : village de Longarone avant et après la catastrophe de 1963. – la probabilité de rupture d’un barrage en béton est peu dépendante de leur hauteur (probabilité de l’ordre de rupture de 0.6 % pour des barrages jusqu’à 100 m de haut ). Selon Marche (2008). – par un tremblement de terre. une avalanche. l’analyse des ruptures de barrage à travers le monde amène aux observations suivantes : – il y a deux causes principales de rupture : – capacité insuffisante de l’évacuateur (35 % des ruptures documentées). ou un mouvement de terrain entraînant une grande masse d’eau par-dessus le barrage. notamment aux États-Unis. respectivement) .120 4. – les barrages en remblai présent un taux de rupture deux fois plus important que les barrages en béton (1.11 contre 0. – l’adoption de mesures réglementaires.54 %. Rupture de barrage – la probabilité de rupture d’un barrage en remblai croît avec la hauteur. passant de 0. .2 % pour les toutes petites hauteurs (moins de 10 m) à 14 % pour les grands barrages (hauteur supérieure à 50 m) . comme la capacité minimale d’évacuation. – la phase de remplissage et les cinq premières années de service sont les plus critiques . a permis d’améliorer la sécurité des barrages. ÉtatsUnis Dolgarrog. Californie. 17 morts St.1 : liste de quelques grands accidents intervenus sur des barrages de retenue artificielle. Californie. États-Unis Fréjus. 145. Détails défaut de construction. États-Unis Italie Mississippi.1 Rupture de barrage et phénomènes similaires Barrage du Vajont Virginie occidentale.8 Mm3 d’eau furent libérés. détruisant plusieurs villages et tuant 125 personnes la crue tua environ 26000 personnes . États-Unis 1976 Idaho. Pennsylvania.Tableau 4. Don. États-Unis Italie Buffalo Creek 1972 ouverture d’une faille géologique entraînant la rupture de la voûte subsidence causée par la sur-exploitation des champs de pétrole voisins vague d’impulsion créée par l’entrée massive d’un gigantesque mouvement de terrain affaissement d’une digue d’un terril minier (charbon) sous l’effet de fortes pluies pluies extrêmes dépassant la capacité du barrage Barrages Banqiao et Shimantan 1975 Teton Dam Géorgie. Missouri. 13000 têtes de bétail emportées 39 fatalities and a major clean up effort. Pennsylvania.org pour de plus amples informations. États-Unis Chine 1963 Los Angeles. France Baldwin Hills Reservoir 1963 277 habitations détruites. En tout. Nom Dale Dike Reservoir Année 1864 South Fork Dam 1889 Llyn Eigiau Dam ∼ 600 morts 421 morts 1925 village de Dolgarrog endommagé. Royaume-Uni Valencia. Francis Dam 1928 rupture consécutive à de fortes pluies (630 mm en 5 j) instabilité géologique non détectée Malpasset 1959 Lieu South Yorkshire. renard Val di Stava Big Bay Dam 1985 2004 renard dans un barrage minier 0. 5 morts. Se reporter au site www. le centre de Sheffield dévastés (plusieurs centaines de morts) 2200 morts à Johnstown. fuite dans le mur rupture consécutive à de fortes pluies (mais barrage mal entretenu) Dommages Loxley.hydrocoop. 268 morts. Royaume-Uni Johnstown. 4. entraînant la mort de 2000 personnes environ une crue d’un volume 0. Lawn Lake Dam 1982 Unknown.000 moururent à cause des épidémies et de la famine. États-Unis renard Kelly Barnes Dam 1977 destruction de plusieurs villages. États-Unis . ÉtatsUnis Pakistan Lesterville.5 Mm3 d’un mélange de produits miniers et d’eau en résulta. 6 millions d’habitations furent détruites 11 personnes tuées. 62 bâtiments détruits 104 bâtiments détruits pluies extrêmes sur-remplissage accidentel du barrage (erreur de consigne) ∼ 70 morts pas de victime 121 Barrage de Shakidor Taum Sauk reservoir 2005 2005 Rocky Mountain National Park. possibly design error as dam was raised several times by owners to improve power generation. USA. causant la mort de campeurs à l’aval et 31 millions US$ de dommages à la ville d’Estes Park (Colorado). 4 : barrage de Malpasset. Ainsi. En mars 2006. On prévoit au cours des 10–20 prochaines années un accroissement considérable du nombre de petites retenues (d’un facteur 3 environ d’après les études prospectives) et une augmentation du volume de stockage (qui passerait de l’ordre de 50 000 m3 en moyenne actuellement à quelques centaines de milliers de m3 dans le futur). pour assurer l’approvisionnement en eau potable lors des pics de fréquentation touristique. Durant le « petit âge glaciaire » (de la fin du xvie siècle au milieu du xixe siècle). Les petites retenues peuvent connaître des accidents plus ou moins graves.2 Rupture de petit barrage d’accumulation Les Alpes ont été équipées au cours du xxe siècle d’un grand nombre de barrages pour la production d’électricité.1. 4. 4.3 Rupture de lac morainique et glaciaire Aux risques qualifiés d’anthropiques mentionnés plus haut. entraînant une ruine partielle ou totale. une retenue pour la production de neige de culture à Pelvoux (Hautes-Alpes.1. elles sont en général assez hautes (avec un rapport hauteur/largeur assez faible) et raides . . Leur retrait a laissé des moraines. heureusement sans conséquence pour le camping (vide en saison) situé en contrebas. Plus récemment.122 4. France) a été impactée et vidée par une avalanche. qui ont piégé une partie des eaux de fonte des glaciers. sans réel liant si ce n’est une gangue de glace qui peut assurer une certaine cohésion . au cours des 10–20 dernières années. dans une moindre mesure. en août 2004 et au printemps 2005. Ces moraines sont en général constituées de matériaux très grossiers. deux ouvrages ont connu une rupture lors de leur mise en eau en France. Rupture de barrage Figure 4. des petits barrages ont été construits pour la production de neige de culture dans les stations de ski et. [DR]. il faut également ajouter les risques liés aux lacs naturels : – notamment ceux qui sont en train de se former à la suite du retrait glaciaire. les glaciers des Alpes avaient fortement avancé. 4. (b) Ruines du barrage de SaintFrancis (Californie) en 1928. ce qui forme un lac naturel. – outre ces lacs périglaciaires.1 Rupture de barrage et phénomènes similaires 123 (a) (b) Figure 4. [DR]. d’un déplacement du sol à la suite d’un tremblement de terre. les glaciers peuvent former des lacs glaciaires ou des poches d’eau en leur sein. le cours d’eau peut être barré. – certains lacs peuvent se former lorsqu’une vallée drainée par un cours d’eau est soudainement obstruée. La rupture des glaces emprisonnant le volume d’eau conduit à des crues importantes . En effet. à la suite d’un écroulement rocheux. . d’un dépôt d’avalanche ou de lave torrentielle.5 : rupture du barrage en terre de Teton (Idaho) en 1976. une rupture du glacier Cumberland .7 : vue du bassin-versant après l’avalanche du 9 mars 2006 détruisant la retenue de la station de Pelvoux (Hautes-Alpes. ou de glace sont possibles. qui forme une brèche dans le talus morainique. France). des glissements de neige. 2006) : – les lacs étant souvent entourés de pentes abruptes. Le flot déversé sur la paroi raide de la moraine entraîne en général une incision rapide. 2000. Les lacs morainiques peuvent céder pour plusieurs raisons (Clague & Evans.6 : avalanche du 9 mars 2006 détruisant la retenue de la station de Pelvoux (Hautes-Alpes. En août 1985. une avalanche de glace dans le lac Dig Tsho au Népal provoqua l’une des plus grosses crues d’origine glaciaire connues à ce jour (8 million m3 d’eau libérés). Korup & Tweed. Une avalanche ou un mouvement de terrain peut provoquer une intumescence qui submerge la moraine. puis la rupture d’une partie de la moraine. de sol. Source : Robert Marie (RTM). France) situé dans le bassin-versant de la Bouisse. En juillet 1983.124 4. Rupture de barrage Figure 4. Figure 4. On emploie parfois le mot d’origine islandaise « jökulhlaup » pour désigner une crue . puis la rupture de la moraine . le lac collectant les eaux de pluie. Figure 4. En juillet 1996. qui mobilisa environ 25 m d’eau dans le lac.8 : le village de Täsch après la crue du Täschbach en juin 2001. Cette érosion s’est poursuivie pendant 4 h. les tremblements de terre peuvent également déstabiliser une moraine et entraîner la rupture. comme une partie de la stabilité de la moraine est assurée par la glace contenue dans le matériau grossier. un écroulement rocheux affecta de nouveau ce lac (Hubbard et al. en avril 2002. la fonte de cette glace peut amener à une perte de cohésion et à une perméabilité accrue. de gros blocs et.4.1 Rupture de barrage et phénomènes similaires 125 – – – – – dans le lac Nostetuko (Canada) a généré une vague qui a incisé la moraine. 1998) . et finalement à la rupture (géotechnique) de la moraine sous l’effet de la poussée des eaux . c’est-à-dire des circulations d’eau au sein de la moraine. sable) qui colmate les vides entre blocs. une instabilité (résonance) de vagues sur la surface du lac peut entraîner la formation d’ondes déferlantes qui submerge le moraine. d’une part. ce qui entraîna la rupture de la digue morainique et une crue exceptionnelle (débit de l’ordre de 1100 m3 /s. la perméabilité d’une moraine est très hétérogène. formant une brèche entaillant sur une profondeur de 40 m.. soit 8 fois la crue centennale). libérant 6. le lac Ha! Ha! (Québec. cela peut entraîner une forte érosion interne.. soit 5 × 106 m3 d’eau . 2008) . de fonte des neiges et des glaces. 2005). il peut déborder si les eaux drainées arrivent en quantité excessive. Source : Crealp. Le débordement entraîne en général la rupture de la moraine par érosion.. L’eau peut néanmoins s’infiltrer et créer des « renards ». Le débordement de la rivière Ha ! Ha! amena à la création d’un nouveau lit et mobilisa plusieurs millions de m3 de sédiment (Lapointe et al.5 × 106 m3 d’eau et entraînant un volume d’environ 106 m3 de sédiment . Les oscillations de masses d’eau (phénomène appelé seiche) sont impliquées dans quelques ruptures de barrage dans le monde (Balmforth et al. d’autre part. Canada) déborda à la suite de précipitations très importantes (200 mm de pluie sur 5000 km2 ). Les crues provoquées par la rupture d’un lac glaciaire ou morainique sont généralement dévastatrices. Le matériau présente en général une granulométrie bimodale avec. Si la conduite naturelle creusée par les eaux d’infiltration croît en taille. Le tremblement de terre de mai 1970 au Pérou entraîna la vidange partielle du lac Safuna Alta. des éléments plus fins (arène granitique. Dans l’industrie minière. – les ruptures de barrage naturel sont aussi des causes de crue torrentielle dévastatrice.5 km de long se forme à l’amont de ce cône. En Suisse. En France. C’est ainsi qu’entre 1806 et 1818. Rupture de barrage liée à un glacier (en fait. des blocs de glace se détachent continuellement du glacier du Giétro et s’accumulent dans le lit de la Dranse de Bagnes jusqu’à faire obstacle à l’écoulement de la Dranse (au niveau actuel occupé par le barrage de Mauvoisin). un lac de 3. Plusieurs digues cèdérent entre Dresde et Magdebourg en Allemagne . le barrage aurait cédé. remobilisant les laisses de crues (dépôts de lave de l’automne 2000) et causant d’importants dommages au village. le bassin de rétention près de la bourgade de Glasshütte rompit et libéra 60 000 m3 d’eau qui causa des dommages aux bâtiments de la ville. a connu plusieurs débâcles meurtrières (1595 et 1818). Voici pour l’Europe quelques catastrophes marquantes : – catastrophe de l’usine d’Ajka (Hongrie) : le 4 octobre 2010. en les confinant dans des enceintes en remblai. En 1191. filtration.1. une digue haute de 30 m s’effondre et laisse s’échapper environ 1 Mm3 de boues contenant des métaux lourds 1. 4. en juin 2001. il est courant de stocker les eaux chargées de métaux lourds et autres polluants.126 4. le barrage naturel cède sous la pression de l’eau. en 1898. 4. 3. certains liés à des éruptions volcaniques en zone glaciaire). Par évaporation. Plus de 80 ruptures de tels bassins de décantation. En 563. La catastrophe de Giétro en 1818 a endeuillé le Valais : en plein petit âge glaciaire. mais également des nombreux débris et sédiments charriés par l’onde de crue.1. entraînant de graves inondations en Tchéquie et en Allemagne (environ 100 morts et 20 millions e de dommages). un lac se forma. produites lors de l’extraction et lavage des minerais. Plus récemment. . un écroulement du Grammont 2 dans le Chablais (Valais) aurait obstrué le Rhône à hauteur de Noville. mais la digue naturelle se rompit en 1219 et la vidange du lac entraîna une crue torrentielle d’ampleur exceptionnelle. 1925). dominant aujourd’hui le barrage de Mauvoisin dans le val de Bagnes (Valais). 2. Après quelques mois. la débâcle du glacier de Tête-Rousse a entraîné un mélange d’environ 300 000 m3 d’eau. Pour expliquer le même phénomène. le petit lac du Weingarten a rompu sa digue morainique et s’est déversé dans un torrent dominant le village de Täsch (Valais). réactions chimiques. Quelques exemples de rupture de lac : – les ruptures de poche glaciaire peuvent provoquer des dommages importants en zone de montagne à cause des fortes vitesses. la phase liquide se sépare lentement de la charge solide. et aires de stockage 3 . provoquant la vidange rapide du lac et causant la mort d’environ 40 personnes. le mot recouvre plusieurs phénomènes. un écroulement rocheux dans le défilé de la Vaudaine (France) barra la Romanche entre Bourg-d’Oisans et Grenoble . ce qui semblerait plus logique compte tenu de la configuration de la vallée du Rhône entre Martigny et Noville. des bassins de rétention/décantation des eaux polluées. l’Elbe et ses affluents entrèrent en crue. le glacier Giétro 1 . notamment. Malgré le percement d’une galerie pour drainer le lac. 175 personnes furent tuées à Saint-Gervais-les-Bains.5 Rupture de terrils et bassins de décantation Certains phénomènes assimilés à des ruptures de barrage concernent des ruptures de terrils miniers. dont les effets dévastateurs se firent sentir jusqu’à Genève. certains auteurs indiquent que l’éboulement serait parti des Dents du Midi et non du Grammont (Montandon. dont au moins 18 au cours de la dernière décennie. causant une crue gigantesque du Rhône et un tsunami sur le Lac Léman.4 Rupture de digue En août 2002. de glace ainsi que 800 000 m3 de matériaux sur son parcours . qui détruisit en partie Grenoble (à l’époque une petite bourgade). 9 : rupture du lac morainique Nostetuko (Colombie britannique. La photographie reporte les changements de topographie sur le site entre 1981 et 1994.4. la rupture d’une digue libère un volume considérable (8 km3 ) d’eau contaminée par des métaux lourds . des bâtiments sont endommagés sur plusieurs hectares pour un coût estimé entre 5 et 10 Me. plusieurs sont brûlées par les boues toxiques. 2000). En tout. La crue a dévasté Kolontar. 9 personnes sont tuées. le village le plus proche. – catastrophe d’Aznalcóllar (Andoulousie. La chute du front du glacier Cumberland dans le lac a entraîne une onde de submersion. Le sol et les eaux sont gravement pollués pour plusieurs années . Canada) en juillet 1983.1 Rupture de barrage et phénomènes similaires 127 Figure 4. Espagne) : le 25 avril 1998. qui a incisé la moraine et formé une brèche. et résultant du traitement de l’uranium. et plus en aval Devecser et Somlóvásárhely. D’après (Clague & Evans. près de Tesero. Photographie satellitaire prise le 9 octobre 2010. La coulée de boue a tué 268 personnes et détruit 62 bâtiments dans le village de Stava.128 4. Source : NASA. Figure 4. ce sont quelque 200 000 m3 de boue qui sont libérés et s’écoulent dans le Rio di Stava. La rupture a généré une onde de crue dans les rivières Guadiamar et Guadalquivir et a pollué le parc naturel de Doñana .11 : zones inondées par la rupture du bassin de décantation de l’usine d’Ajka en Hongrie. Rupture de barrage Figure 4. et de résidus miniers. Italie) : le 19 juillet 1985. Source : der Spiegel.10 : inondation de Glasshütte à la suite de la rupture de la digue du bassin de rétention. – catastrophe du Val de Stava (Trentin-Haut-Adige. En environ une trentaine de secondes. . un barrage retenant les boues de décantation d’une mine cède sous la pression de l’eau après qu’un drain vétuste s’est bouché. 12 : vue du Val di Stava avant et après la catastrophe.wise-uranium.1 Rupture de barrage et phénomènes similaires 129 Figure 4. .4.org. Source : www. Suède Borsa. EUA Pinchi Lake. forte pollution de la rivière Huashui forte pollution 5.130 Tableau 4.6 km2 de terrain dévastés. Chine Usine de Kingston. Chili Sebastião das Águas Claras. Roumanie pollution de la rivière Vaser stream contamination majeure des eaux du bassin-versant de la Tisza .. Nova Lima district. Chine Bangs Lake.1 Mm3 de boue lâchés ? ? 64 350 m3 d’acide déversés 6. province de Shanxi . 2003 22 juin 2001 rupture de terril ? 5 morts 18 oct. Canada Riverview. Aude. Rupture de barrage 8 sep. Minas Gerais. Primorski Krai. Préfecture de Xiangxi. 2000 10 mars 2000 Partizansk. Russie Huayuan County.2 : liste de quelques grands accidents au cours de la dernière décennie. Source : www. Province de Shaanxi. 10 morts 1 mort. province de Guangxi. Type rupture de digue ? ? 4. 2004 5 sep. Magadan. 11 maisons détruites 14 mai 2009 rupture de digue après de fortes pluies rupture de digue 22 déc. Petorca prov. Gällivare. 2005 17 morts.000 m3 de débris déversés 227. Tennessee. Florida. Russie Malvési. 2008 1. Chine Miliang. EUA mines d’Aitik.000 to 8.wise-uranium.000 m3 de débris fins 30 000 m3 de boue déversés 50. 2004 Karamken. 2006 14 avr. British Columbia. Mississippi. Harriman.org. 115 morts 120 km de rivières pollués ? 11 oct. Kentucky.000 tonnes of débris lâchés pollution pollution du canal du Tauran pollution 20 mars 2004 3 oct. USA 22 mai 2004 rupture de digue rupture de digue rupture du mur de rétention effondrement d’un terril à la suite de pluies rupture de digue lors du réhaussement rupture de terrils après des pluies rupture de digue lors des travaux de rénovation rupture de digue lors du passage du cyclone Frances brèche dans la digue 160. Hongrie 29 août 2009 Dommages 8 km2 de terres dévastés. France Cerro Negro. EUA Taoshi. pas de victime 254 morts 30 avr. 2000 Baia Mare. 2000 rupture de digue ? 950 000 m3 de débris déversés 2. Brésil Nandan county. Chine Inez.5 million m3 déversés 22 000 t de métaux lourds lâchés 100 000 m3 of d’eaux polluées déversées env.500 ha de terrain concernés pollution marine 30 nov. 2000 4. Roumanie rupture de digue par effondrement de cavité rupture de digue (drain mal dimensionné) rupture de digue après de fortes pluies rupture de digue par surverse 30 jan. 2010 Site Kolontar. 2008 8 sep. Quinta region.000 m3 d’acide déversés 3 morts Détails 700 000 m3 de boue déversés Date 4 oct. Martin County. ou d’acte délibéré (bombardement. les bases légales relatives à la sécurité des ouvrages d’accumulation sont contenues dans : – historiquement. Le décret no 93-743 du 29 mars 1993 (modifié par le décret no 2007-397 du 22 mars 2007) relatif à la nomenclature des opérations soumises à autorisation indique que toute construction d’ouvrage hydraulique est soumise à autorisation préalable . avec une capacité de retenue supérieure à 50 000 m3 .2 Rupture de barrage en ingénierie des risques Bases réglementaires En Suisse. – plus récemment l’ordonnance du 7 décembre 1998 sur la sécurité des ouvrages d’accumulation (OSOA). et pour lequel H 2 V ≥ √200 et H ≥ 10 m ouvrage non classé en A ou B et pour lequel H 2 V ≥ 20 et H ≥ 5 m ouvrage non classé en A. Classe A B C D Caractéristiques géométriques H ≥ 20 m √ ouvrage non classé en A. des mesures spécifiques soient mises en œuvre pour prévenir les dangers et les dommages qui pourraient résulter d’un problème dans leur construction. éléments du dossier) que pour l’exploitation de l’ouvrage (sur- . Notons enfin que le préfet du département dans lequel l’ouvrage hydraulique est construit peut modifier le classement de cet ouvrage s’il y a suffisamment d’éléments qui établissent un risque pour les personnes et les biens.2 Rupture de barrage en ingénierie des risques 131 4. la réglementation relative à la sécurité des barrages a longtemps été dictée par la circulaire interministérielle du 14 août 1970. – qui représentent un danger particulier pour les biens et les personnes (selon les critères édictés au tableau 4. terrorisme). l’article 3bis de la loi fédérale du 22 juin 1877 sur la police des eaux . 2009). L’article 3bis de la loi sur la police des eaux énonce que le Conseil fédéral doit veiller à ce que pour tout barrage (existant ou projeté).3 : classes de barrage de retenue en France en fonction de la hauteur H (mesurée verticalement entre le terrain naturel et le sommet de l’ouvrage) et V le volume d’eau exprimé en millions de m3 . L’ordonnance sur la sécurité des ouvrages d’accumulation (OSOA) complète la police des eaux. d’un défaut d’entretien. Ce décret introduit un classement avec quatre classes d’ouvrages définies selon la géométrie du barrage et le volume de la retenue (voir tableau 4.3). L’OSOA confie la surveillance des petites retenues aux cantons. Tableau 4. – dont la hauteur est comprise en 5 et 10 m. B.4. qui introduisait la notion de « barrage intéressant la sécurité publique » comme seul classement des retenues. En France. Cette circulaire a été récemment abrogée et remplacée par le décret no 2007-1735 du 11 décembre 2007 relatif à la sécurité des ouvrages hydrauliques. vandalisme. Cette ordonnance concerne tout ouvrage : – dont la hauteur de retenue au-dessus du niveau d’étiage du cours d’eau (ou du niveau du terrain naturel) est supérieure ou égale à 10 m . D’après le décret du 11 décembre 2007 (Peyras & Mériaux. la seule exception concerne les ouvrages de classe D qui ne barrent pas le lit mineur d’une rivière.5). ou C et pour lequel H ≥ 2 m Le classement a d’importances répercussions tant pour l’instruction du dossier (désignation du service instructeur. 2005.) ainsi qu’à des dangers naturels (mouvement de terrain. etc. une enquête diligentée par les services du Ministère française en charge de l’agriculture sur la Haute-Savoie en 2005 a mis en évidence des carences graves sur les 16 ouvrages de ce département (Mériaux et al. défaut d’étanchéité des géo-membranes dans 30 % des cas . absence de dispositif d’auscultation et de procédure de suivi dans 80 % des cas. la prise en compte de la sécurité de ces ouvrages n’a été que partiellement prise en compte. Tableau 4. absence de qualification du bureau de maîtrise d’œuvre pour ce type d’ouvrage . visite technique. étude hydrologique sommaire . 2009). les nouveaux ouvrages de retenue ont échappé aux contraintes réglementaires imposées aux grands barrages « intéressant la sécurité publique » car le plus souvent.132 4. maîtrise d’ouvrage. chute de blocs. leur rupture peut éventuellement causer des dommages sévères.. En France.. géomembranes. Ainsi. 2009) : – – – – – – absence d’étude d’impact en cas de rupture du barrage pour la majorité des ouvrages . Comme ils sont assez souvent construits à l’amont d’enjeux significatifs (typiquement une station de ski). Classe A B C D avec H 2 V 1/2 ≥ 5 D avec H 2 V 1/2 < 5 Absence d’enjeu T = 10 000 ans T = 5000 ans T = 1000 ans T = 500 ans T = 100 ans Présence d’enjeu T = 10 000 ans T = 10 000 ans T = 5000 ans T = 1000 ans T = 1000 ans Cas des petites retenues d’accumulation En Suisse jusqu’à l’ordonnance sur la sécurité des ouvrages d’accumulation. . 2009).). vieillissement des bétons. il n’existe pas de réglementation précise pour les petites retenues. et des chargés d’étude était soulignée dans cette étude . comme le récapitule le tableau 4.4 : période de retour minimale de la crue de projet des barrages en remblai en fonction de la classe. etc. 2008). En particulier. avalanche. Un récent rapport parlementaire – faisant suite à un rapport confidentiel d’EDF éventé par la presse – a pointé la situation jugée préoccupante du parc des barrages en France (Kert. ils sont de petite taille et offrent une capacité de retenue qui reste modérée (de l’ordre de 104 –105 m3 ) (Bischof et al. Pourtant. on pourrait également dresser la liste des erreurs lourdes dans l’instruction des dossiers d’autorisation de travaux par les services en charge de ces dossiers. Les ouvrages d’accumulation sont pourtant placés dans un milieu naturel hostile et donc exposés à des contraintes sévères (cycle gel/dégel. 11 présentaient une menace sérieuse en cas de rupture. le choix de la période de retour de la crue de projet pour les barrages en remblai dépend de la classe de l’ouvrage et du risque encouru. évacuateur de crue sous-dimensionné dans 75 % des cas . dossier d’ouvrage. L’ordonnance a permis de corriger cette situation en confiant aux cantons le soin d’exercer une surveillance des petits ouvrages. La responsabilité de la maîtrise d’œuvre. 2002a ). etc.). Evette et al. une enquête menée dans le canton du Valais a révélé que 41 petites retenues avaient déjà construites et que parmi elles.4. En France. Rupture de barrage veillance et auscultation. D’après (Peyras & Mériaux. Ce qu’il convient donc de pointer ici. c’est l’insuffisance de la sécurité des petits barrages de montagne (Peyras & Mériaux.. de la hauteur H (mesurée verticalement entre le terrain naturel et le sommet de l’ouvrage) et du volume V (exprimé en millions de m3 ). – fort transport solide potentiellement associé à l’onde de rupture . En Suisse. Il existe plusieurs méthodes de calcul fondées sur des données historiques (régression sur des observations) ou bien des modèles physiques reproduisant la rupture du remblai ou du béton . – volume engagé relativement faible (quelques dizaines de milliers de m3 ). Cette estimation peut se faire : – à la main à l’aide de méthodes simplifiées . Charges exceptionnelles Les barrages sont dimensionnés pour résister à une multitude de phénomènes. 4.1 Plan des études en ingénierie Pour les calculs en ingénierie. Une étude récente menée au Canada sur l’emploi des méthodes dites simplifiées de calcul de l’onde de rupture a ainsi mis en évidence de graves problèmes de dimensionnement (Marche & Oriac. En termes de période de .4. – numériquement en se servant de modèles « filaires » (écoulement unidimensionnel) . l’OFEN a fourni des critères pour distinguer différentes classes de danger (voir tableau 4. – l’emprise des zones touchées par la crue : il faut cartographier les zones concernées par l’onde de crue. – numériquement en utilisant des modèles bidimensionnels de type Saint-Venant. – lit mobile composé de blocs de toute taille. il faut estimer le débit d’eau libéré au cours du temps. À défaut. En pratique.2.5). seuils). 2005). voire fantaisistes comme l’utilisation de formules établies pour des laves torrentielles en régime permanent. – absence de connaissances précises sur les conditions initiales : ouverture d’une brèche dans le cas d’une petite retenue? Effet de surverse en cas d’avalanche ou de mouvement de terrain (comme pour le Vajont en 1963)? – rôle de la rugosité du lit torrentiel (souvent de gros blocs) et des ouvrages de génie civil (ponts. – la propagation de l’onde de crue (flood routing ) : il faut estimer comment le volume d’eau libéré se propage dans le cours d’eau. pour lequel les effets de frottement jouent un rôle essentiel dans la propagation . ni les méthodes analytiques. Le risque de rupture toléré est généralement de l’ordre de 10−3 à 10−4 par an. dont certains restent en général en place et influent sur le transport solide (notamment dans les lits avec une structuration alternée en seuils et mouilles) . ce qui peut s’expliquer par plusieurs éléments : – forte pente des exutoires (typiquement plus de 10 %) alors que les codes de calcul à disposition des bureaux d’étude ne permettent pas de faire de l’hydraulique au-delà de quelques pour-cent . on a généralement besoin de calculer : – l’hydrogramme initial : en fonction de la brèche créée dans le barrage. ni les codes de calcul établis pour la rupture de barrage dans le cas des grandes retenues ne sont applicables pour de petites retenues en montagne. – faible connaissance de la dynamique des ondes de rupture sur forte pente (la solution de Ritter est établie sur fond horizontal) .2 Rupture de barrage en ingénierie des risques 133 L’effet de la rupture d’un petit barrage est l’un des points les plus importants pour estimer la sécurité d’un barrage et c’est assurément l’un des moins bien traités. les chargés d’étude emploient des méthodes très approximatives. L’ouvrage d’accumulation est assujetti si une place de camping publique ou si une route très fréquentée est touchée. La retraite vers les étages supérieurs des bâtiments est la plupart du temps possible. Si le niveau de la retenue dépasse le niveau des . retour (pour des phénomènes hydrologiques). L’ouvrage d’accumulation n’est pas assujetti. Valeurs seuils danger élevé : h > 2 m ou q > 2 m2 /s Effets Règle d’assujettissement Les personnes sont en danger même à l’intérieur des bâtiments. selon leur mode de construction.134 4. un lieu de travail.5 m ou 1 ≥ q > 0. En cas d’érosion du lit et des berges.5 m ou q ≤ 0. une place de camping publique. Il est également soumis à des charges exceptionnelles telles que : – une crue des cours d’eau dans le bassin-versant alimentant la retenue et conduisant à faire monter le niveau des eaux.5 m2 /s Les personnes ne sont pratiquement pas menacées tant à l’extérieur qu’à l’intérieur des bâtiments. une route très fréquentée ou une ligne de chemin de fer est touchée. il y a aussi menace d’effondrement de constructions situées à proximité. un bâtiment public. Des bâtiments.5 : valeurs seuils pour la mesure du danger en cas d’inondation rapide. D’après les recommandations de l’OFEN (Bischof et al.5 m2 /s Les personnes à l’extérieur et dans les véhicules sont menacées. un lieu de travail (construction légère). Les laves torrentielles par l’effet de pression peuvent aussi conduire à la destruction de bâtiments. les sous-pressions générées par la percolation des eaux sous le barrage). Pendant longtemps seuls les grands barrages étaient assujettis à cette contrainte de sécurité. selon leur mode de construction. La retraite vers les étages supérieurs des bâtiments est la plupart du temps possible. la jurisprudence et l’état de l’art sont en train de changer pour les petits ouvrages. danger faible : h ≤ 0. peuvent subir des dégâts. 2002b). Un barrage est soumis à des charges permanentes (son poids propre) et variables (la poussée des eaux retenues. Des bâtiments. L’ouvrage d’accumulation est assujetti si une habitation (de construction légère). peuvent subir des dégâts. danger modéré : 1 ≥ h > 0. cela veut dire qu’un barrage est généralement dimensionné pour résister à des phénomènes de période de retour 1000 à 10 000 ans. une place de camping publique ou si une route très fréquentée est touchée. mais dans de nombreux pays européens. danger moyen : 2 ≥ h > 1 m ou 2 ≥ q > 1 m2 /s Les personnes à l’extérieur et dans les véhicules sont menacées. auxquelles il doit pouvoir résister sans dommage jusqu’à l’état limite de service. Rupture de barrage Tableau 4. L’ouvrage d’accumulation est assujetti si au moins une habitation.. le surplus doit être évacué par des évacuateurs de crue ou bien vidangé/turbiné. – une avalanche ou un mouvement de terrain. la période de retour de l’avalanche de projet est de 300 ans . . qui en entrant dans la retenue peut provoquer une intumescence submergeant le barrage.4. qui peut générer des efforts importants ou endommager la couche de géotextile imperméabilisant une retenue artificielle de petit volume (par exemple pour la production de neige de culture). Le phénomène de poussée des glaces est encore documenté. – la poussée des glaces. – un séisme.2 Rupture de barrage en ingénierie des risques 135 plus hautes eaux (PHE). Il existe des critères statistiques qui permettent selon la région considérée de définir un « séisme de projet » ou « séisme de vérification » auquel le barrage doit résister . En Suisse. Certaines retenues comme celle de la Grande Dixence sont dépourvues d’évacuateur . mais les valeurs citées dans la littérature technique se situent dans une fourchette large 20–300 kN/ml. Rupture de barrage 4.04 Hb et tb = 63.0125ζ gh3 d On se reportera au rapport de Wahl (1998) (US Bureau of Reclamation) pour une analyse plus complète des formules empiriques de calcul des paramètres de brèche.136 4. – pour les digues : formation d’une brèche de forme trapézoïdale de base égale à deux fois la hauteur d’eau et avec une pente de talus de 1:1 (en veillant que la surface ne soit pas plus grande que la digue elle-même) .7 pour une rupture par érosion interne.0 dans les autres cas. Ce processus de formation de brèche dans un barrage ou une digue a fait l’objet de plusieurs études pour en étudier la dynamique.2 V . 2002b) : – pour les barrages-voûtes et barrages-poids : rupture totale et instantanée de tout le barrage . Que cela soit pour un barrage en béton ou bien en remblai. . on observe que la largeur ℓ de la brèche est généralement située dans la fourche hb ≤ ℓ ≤ 3hb . l’Office fédéral de l’énergie (OFEN) recommande de procéder ainsi pour le scénario de rupture (Bischof et al. Marche (2008) donne la formule suivante pour estimer l’ordre de grandeur de la largeur ℓ de la brèche au bout d’un temps tb √ V 0. où hb est la hauteur du barrage.3 si la rupture intervient par surverse et k0 = 1. h (4.1) avec V volume en m3 .4ζ.5 √ (4. ¯ gd √ tandis que le débit de pointe lors de la rupture est ¯2 . Qmax = 0.9 .14 × 10−3 0. Froehlich (2008) arrive aux corrélations suivantes √ ℓ = 0. gh2 b (4.3 Rupture instantanée ou graduelle d’un barrage La rupture d’un barrage est rarement instantanée.32 0. il y a en généralement la formation d’une brèche dans le barrage. en particulier pour les barrages en remblai (qui sont majoritaires) . d La brèche de forme en un temps tb = 1. La libération de l’eau se fait donc de façon graduelle. on fait l’hypothèse que le volume d’eau est lâché instantanément : on parle d’effacement du barrage.. qui s’agrandit progressivement.47 4 ℓ = 0.657K0 V h et tb = 7.2) hh ζ. le temps nécessaire à former une brèche varie de façon considérable (de quelques minutes à quelques heures) selon le matériau et la cause de la rupture. mais peut induire à majorer le risque hydraulique induit par l’onde de crue. h hauteur d’eau de la retenue en m. Singh (1996) propose √ plusieurs formules en fonction du rapport ζ = hs /h (avec h la hauteur du barrage et hs = 3 V ¯ sa valeur moyenne) une hauteur représentative du volume V de la retenue). La hauteur d (d et la largeur ℓ de la brèche sont données par ℓ = 0.27k0 V 0. et K0 un facteur qui vaut 1 pour une rupture par submersion et 0. Cette hypothèse va dans le sens de la sécurité. En Suisse. Sur la base de 74 ruptures de digue. pour des barrages en remblai. Pour ces barrages.3) avec k0 = 1. Cela reste un processus complexe et en général. La formule de Froehlich a été établie sur 22 événements bien documentés . Pour les talus. Pour certains petits ouvrages. en particulier en cas d’obstruction de l’évacuateur de crue par des flottants. Tableau 4.72mh5/2 Qb = 0.72mh5/2 Qb = 0. h la hauteur moyenne d’eau.. Forme de la brèche triangulaire trapézoïdale rectangulaire parabolique (a) (b) (c) (d) Débit instantané Qb = 0. il convient de prendre la hauteur du barrage (jusqu’au couronnement) comme niveau d’eau initial avant la rupture. (4.5) avec V le volume d’eau stocké.3 Rupture instantanée ou graduelle d’un barrage 137 – pour les barrages mobiles : rupture totale ou partielle en fonction du type de construction. 2007). mais la base du trapèze pour une section trapézoïdale. Pour des lacs morainiques. Le niveau d’eau est généralement le niveau des plus hautes eaux (PHE) admis dans la retenue. et ϱ la masse volumique de l’eau.93ℓh3/2 Qb = 0. La figure 4. D’après les recommandations de l’OFEN (Bischof et al.6 recensent quelques formules empiriques. on considère des déclivités (fruit) de 1/m.6 : débit instantané au moment de la rupture. Le débit initial (au moment de la rupture) dépend de la forme de la brèche dans la digue.13 : forme des brèches considérée dans les calculs. mH:1V h (a) (b) ℓ h (c) ℓ (d) Figure 4. (4.295 h1 0 .6 . g l’accélération de la gravité. elle donne l’estimation suivante . . Costa & Schuster (1988) ont proposé une relation donnant le débit de pointe en fonction de l’énergie potentielle du lac Qp = 13 × 10−5 (ϱghV )0..4.13 et le tableau 4.4) avec h0 la hauteur initiale au niveau de la brèche et V0 le volume d’eau stocké.54ℓh3/2 Certaines formules fournissent également le débit maximal.24 Qmax = 0. Cette formule peut conduire à des sur-estimations d’un facteur 2 (Franca et al.607V00.93ℓh3/2 + 0. ℓ désigne la largeur au miroir pour les profils paraboliques et rectangulaires. 2002b). 7. Nous allons commencer par étudier la rupture de barrage pour des fluides newtoniens en régime laminaire. le modèle newtonien peut néanmoins offrir une première approximation du comportement. Rupture de barrage 4. § 1. .4 Rupture de barrage en régime laminaire – Vous souvenez-vous des équations de Navier-Stokes ? Qu’est ce que l’adimensionnalisation des équations? Voir le cours de mécanique des fluides. 1983) ou des laves torrentielles (Hunt.1 – Qu’est ce que la diffusion? la diffusion-convection? Voir la définition au § 1.3. quoique les matériaux naturels ne soient pas newtoniens.138 4. § 2. § 1. en première approximation être considérés comme des écoulements newtoniens laminaires. En effet.5. – Connaissez-vous la méthode des caractéristiques pour résoudre une équation aux dérivées partielles? Voir la méthode dans l’annexe 2. Cette étude représente deux intérêts : – mieux comprendre les processus d’écoulements dans une géométrie de rupture de barrage en l’absence d’inertie .1. 1994).7. – développer des modèles théoriques pour décrire des écoulements naturels qui peuvent. – Qu’est ce que la méthode aux perturbations? Voir la définition dans l’annexe 1. Cela ne concerne donc pas directement les écoulements d’eau claire (qui sont en régime turbulent).3. – Qu’est ce qu’une solution auto-similaire? Voir la définition dans l’annexe 1. C’est ainsi que des modèles d’écoulement newtonien ont été employés pour décrire le mouvement d’avalanches (Dent & Lang.3. 0) = 0. La première solution analytique connue est due à Ritter. Il fut nommé professeur de mécanique à Aix-la-Chapelle en 1870.1 Rupture de barrage d’un volume infini (solution de Ritter) On considère un mur vertical qui retient un lac de retenue. les conditions initiales et aux limites sont les suivantes −∞ < x < ∞. où il finit sa carrière. La hauteur d’eau initiale est hi . la solution est connue sous le nom de solution de Ritter car c’est Ritter (1892) 4 qui l’a établie à la fin du xixe siècle. L’effet du frottement visqueux sera examiné ultérieurement. la première solution mathématique de ce type de problème est vraisemblablement dû au mathématicien allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann. Puis nous verrons comment prendre en compte l’effet d’un volume fini de fluide et l’effet de la pente.4. x > 0. dont le volume est supposé infini. La méthode classique de résolution est fondée sur la méthode des caractéristiques. Il commença sa carrière dans des usines fabriquant des machines. Nous allons voir cette méthode ainsi qu’une autre approche dite « méthode des formes autosimilaires » qui exploite les propriétés d’invariance des équations différentielles. Rappelons que lorsqu’on néglige le frottement sur le fond et qu’on considère un fond horizontal. Ses recherches l’ont amené à s’intéresser à différents problèmes pratiques de la mécanique et de la thermique. ce qui permettra de se familiariser avec ces techniques. qui proposa en 1859 une méthode générale de résolution des équations hyperboliques comme celles de Saint-Venant. les équations de Saint-Venant s’écrivent sous forme adimensionnelle ∂h ∂hu + = 0. C’est la géométrie la plus simple qu’on puisse imaginer. h(x. x < 0. puis en 1859 il obtient un poste à l’université d’Hannovre.4).8) .5 Rupture de barrage d’un fluide non visqueux Nous allons nous intéresser à la rupture d’un barrage contenant un volume de fluide non visqueux. À l’instant t = 0.0) = hi .5. (4.5 Rupture de barrage d’un fluide non visqueux 139 4. En fait. ∂t ∂x (4.7) ∂t ∂x ∂x Dans le cas d’une rupture de barrage. 4. hi x Figure 4. En particulier. (4. nous négligeons ici tout effet dissipatif lié à la viscosité du fluide. on suppose que le mur du barrage s’efface totalement et laisse s’écouler le volume d’eau sur un lit horizontal.6) ∂u ∂u ∂h +u +g = 0. On va tout d’abord étudier le cas d’un barrage contenant un volume infini de fluide sur un fond horizontal . Le problème correspondant est appelé problème de rupture de barrage. il proposa en 1892 la première solution analytique du problème de rupture de barrage. On va obtenir la solution de Ritter à l’aide différentes techniques.0) = 0. 4. u(x. Contrairement au cas précédent (§ 4. August Ritter (1826–1908) était un ingénieur (génie mécanique) allemand.14 : géométrie du problème dit de « rupture de barrage ». h(x. où le prime symbolise la dérivée selon ζ . 9g t La justification du terme de forme auto-similaire apparaît clairement quand on examine la solution tracée sur la figure 4. Retournant aux variables originales.2.5.7) devient alors dH dU + (U − ζ ) = 0. On substitute cette relation dans le système d’équations ci-dessus et on tire U ′ = 2ζ/3. Le système d’équations (4. d’où U = 2(ζ + c)/3. Pour que ce système admette une solution non triviale. avec ζ = x/tα la variable de similarité.6–4. t) = u ¯= + c0 . § 1. 1 2 où c est une constante d’integration. Pour que cette solution satisfasse les conditions initiales et aux limites. De même. .6–4. t) passent par le point x = 0 et h = 4c2 0 /(9g ) = 4hi /9.1) .15 : les solutions se ressemblent toutes et semblent être des formes « étirées » à partir d’une seule courbe. On verra comment on peut expliquer cela en faisant intervenir localement la rugosité du lit (voir § 4. d’où α = 1. – la forme du front est parabolique : le fluide se présente comme une lame de plus en plus fine au fur et à mesure que l’on s’approche du front. H et U deux fonctions à déterminer. C’est une valeur qui ne dépend que de la hauteur initiale et d’aucun autre paramètre (comme le volume de fluide).7. – toutes les courbes h(x. donc ici c’est le point tel que x = 2c0 t.1. il faut que son déterminant s’annule. ce qui indique que la vitesse du front est uf = 2c0 .10) − + 2c0 . Cela montre √ que la rupture de barrage est équivalent à injecter un débit constant et égal à uh = 8 gh3 i /27. on trouve : β + α = 1 et γ + 2α = 2. t) passent par le point x = 0 et u = 2c0 /3. t) = (4. ce qui conduit à gH = (U − ζ )2 . En replaçant u ¯ et h par leur forme auto-similaire dans les équations (4.140 Méthode des formes auto-similaires 4.9) u ¯(x. toutes les courbes u(x. Rupture de barrage – Comment s’écrivent les équations de Saint-Venant sous forme conservative? Voir la définition au § 1. 3 t )2 ( 1 x h(x. La constante c0 est trouvée en se servant des conditions aux limites : c0 = ghi . – Qu’est ce qu’une solution auto-similaire? Voir la définition dans l’annexe 1. Cela n’est pas cohérent avec les observations puisqu’en général le front se présente plutôt comme un mur d’eau. Quelques autres remarques : – le front est le point où h = 0. on doit poser β = γ = 0. qui mis sous forme matricielle s’écrit H ( H U −ζ U −ζ g ) ( · U′ H′ ) = 0. dζ dζ dU dH (U − ζ ) +g =0 dζ dζ On aboutit alors à un système d’équations.7. on déduit finalement la solution dite de Ritter des équations de Saint-Venant ) ( 2 x (4. H = √ 4(c − 2 ζ ) /(9g ).7). Cette valeur est aussi √ le double de la célérité des ondes en eau peu profonde c0 = ghi . On recherche une solution sous la forme d’une solution auto-similaire u ¯ = tβ/α U (ζ ) et h = tγ/α H (ζ ). 4.5 Rupture de barrage d’un fluide non visqueux 6 5 4 141 u( x,t ) 3 2 1 0 10 5 0 5 10 (a) 1 x 0.8 h( x,t ) 0.6 0.4 0.2 0 10 5 0 5 10 (b) x Figure 4.15 : solution du problème de rupture de barrage aux temps : t = 0 ; 0,5 s ; 1 s ; 1,5 s ; 2 s. (a) Variation de la vitesse moyenne u en fonction de x pour les différents temps ; notons que la variation verticale au niveau du front n’est pas la solution physique et ne sert ici qu’à positionner le front. (b) variation de la hauteur en fonction de x pour différents temps. Méthode des caractéristiques – Qu’es-ce qu’un invariant de Riemann? Voir la définition dans l’annexe 2, § 2.1 – Connaissez-vous la méthode des caractéristiques pour résoudre une équation aux dérivées partielles? Voir la méthode à l’annexe 2, § 2.1.1. – Qu’est-ce que le problème de Riemann? Qu’appelle-t-on « onde simple » et « onde de choc »? Voir les définitions dans l’annexe 2, § 2.1.3. On transformer les équations de Saint Venant : ∂h ∂ + (uh) = 0, ∂t ∂x ∂u ∂u ∂h +u +g = 0, ∂t ∂x ∂x (4.11) (4.12) en un système d’équations différentielles ordinaires en soustrayant ou additionnant membre 142 à membre chaque équation 4. Rupture de barrage √ dr dx = 0 le long de = λ+ = u + gh, (4.13) dt dt √ ds dx = 0 le long de = λ− = u − gh. (4.14) dt dt √ √ Cela fait apparaître deux nouvelles inconnues : r = u + 2 gh et s = u − 2 gh), dites variables de Riemann. Dans le cas présent, les variables r et s sont constantes le long des courbes caractéristiques d’équation dx/dt = λ± . Pour cette raison elles sont appelées invariants de Riemann. Les équations de Saint-Venant sont équivalentes au système d’équations différentielles ordinaires : √ d (u ± 2 h) = 0, dt √ le long des courbes caractéristiques C± : dx/dt = u ± h. t x = − c0 t C− C+ R2 R1 x= 2c 0t R3 u = 0, h = 0 x Figure 4.16 : éventail des caractéristiques émanant du point origine. Si on considère une rupture de barrage, on doit avoir comme conditions initiales : – pour la vitesse – pour la hauteur −∞ < x < ∞ x<0 x>0 u(x,0) = 0 h(x,0) = hi h(x,0) = 0 La perturbation engendrée à t = 0 et x = 0 par la rupture va se propager à l’amont et à l’aval. Initialement, comme u et h sont constants, les variables r et s le sont aussi. Après la rupture, toute la partie du volume d’eau qui n’est pas encore mise en mouvement est également caractérisée par des valeurs de r et s constantes. Mathématiquement, on montre que lorsqu’on a un domaine d’écoulement « constant » (R1 sur la figure 4.16), c’est-à-dire où u et h sont constants, il existe nécessairement un domaine dit « onde simple » (R2 ) avec une dépendance u(h) et une famille de caractéristiques qui sont des droites. Il existe un troisième domaine « vide » (R3 ) où l’écoulement n’est pas encore parvenu. On ne connaît pour l’instant pas les limites de ces différents domaines dans le plan x − t. Examinons tout d’abord les caractéristiques C+ émanant de l’axe t = 0 et x < 0. Le long de ces caractéristiques, les invariants sont (4.15) √ avec c0 = ghi la vitesse initiale de l’onde de rupture. Ces caractéristiques ont pour équation √ dx = λ+ = u + gh, dt r = u + 2 gh = 2c0 , √ 4.5 Rupture de barrage d’un fluide non visqueux 143 qui sont des courbes (que l’on ne connaît pas encore) dans le domaine R2 , mais des droites dans le domaine R1 puisque u et h sont constants. L’information est transmise le long de ces caractéristiques du domaine R1 vers le domaine R2 . La caractéristique marquant les limites de cette zone non perturbée, que l’on appellera domaine R1 (voir figure 4.16), est la droite x = −c0 t reportée en gras sur la figure 4.16. Cette caractéristique émanant de 0 représente tout simplement la propagation de la discontinuité initiale de h en x = 0 (à t = 0). Elle appartient à la famille C− d’équation √ dx = λ− = u − gh, dt qui avec les valeurs initiale à gauche de 0 donne ici dx/dt = −c0 . Dans le domaine R2 , la famille de caractéristiques C− forme un réseau en éventail (onde simple centrée) d’équation √ x = λ− = u − gh, t (4.16) En résolvant le système d’équation (4.15–4.16), on trouve alors : 2 3 1 h= 9g u= ( x + c0 , t ( )2 x − + 2c0 , t ) (4.17) (4.18) À noter qu’en x = 2c0 t, la hauteur devient nulle. Le domaine R3 représentant le domaine non encore concerné par la rupture de barrage est délimité par la caractéristiques x = 2c0 t qui est à la fois une caractéristique C− et C+ . L’avancée du front se fait à la vitesse 2c0 . √ À noter qu’on a ici : u = 2(c0 − gh) dans tout le domaine d’écoulement (c’est l’invariant r de Riemann qui se conserve). En reportant cette expression dans l’équation de conservation de la masse, on obtient : √ ∂h ∂h + (2c0 − 3 gh) = 0. ∂t ∂x √ qui est l’équation de l’onde cinématique, avec une vitesse de propagation 2c0 − 3 gh. Remarque sur les invariants de Riemann Le passage du système (4.11–4.12) au système (4.13–4.14) peut ressembler à un tour de passe-passe puisqu’on a additionné et retranché des équations pour obtenir le résultat souhaité. En fait, cette transformation repose sur un mécanisme assez général de transformation des équations différentielles hyperboliques que l’on a explicité dans l’annexe 2. on passe par un état transitoire u∗ = (h∗ .20) ∂t ∂x ∂x Dans le cas d’une rupture de barrage sur lit mouillé.2. À l’instant t = 0. dont le volume est supposé infini.144 4.19) ∂u ∂u ∂h +u +g = 0. u(x. x > 0. puis par une 2-onde de choc √ √ √ (4. dont l’annexe 2 présente une méthode générale de résolution. (4.0) = 0. 2h∗ h0 (4. On considère un mur vertical qui sépare deux lacs de retenue.2.6 Rupture de barrage dans un lit mouillé – Qu’es-ce que la relation de Rankine Hugoniot? Voir la définition dans l’annexe 2. h1 h0 x=0 Figure 4.17). l’idée de base est de rechercher le chemin qui permet de l’état à gauche uℓ = (h1 . § 1.1 – Connaissez-vous la méthode des caractéristiques pour résoudre une équation aux dérivées partielles? Voir la méthode dans l’annexe 1. Le problème à résoudre entre dans la classe des problèmes de Riemann. Le problème a été résolu par Stoker (1957). Rupture de barrage 4. h(x. ∂t ∂x (4. h(x. 0) = 2 gh1 − 2 gh∗ . celle à gauche est h1 < h0 (voir figure 4.0) = h0 . § 2.22) u∗ = R2 (h∗ | h0 . Rappelons que lorsqu’on néglige le frottement sur le fond et qu’on considère un fond horizontal.1.0) = h1 .23) . u∗ ) en passant par une 1-onde de détente u∗ = S1 (h∗ | h1 . 0) à l’état à droite ur = (h0 . § 2. – Qu’est-ce que le problème de Riemann? Qu’appelle-t-on « onde simple » et « onde de choc »? Voir les définitions dans l’annexe 2. x < 0. les équations de Saint-Venant s’écrivent sous forme adimensionnelle ∂h ∂hu + = 0. Pour passer de uℓ à ur .7. La hauteur d’eau initiale à droite est h0 . les conditions initiales et aux limites sont les suivantes −∞ < x < ∞.17 : géométrie du problème dit de « rupture de barrage » avec un lit mouillé. 0) en suivant un réseau de courbes de détente ou de choc. 0) = (h∗ − h0 ) g h∗ + h0 . Comme le schématise la figure 2.11 de l’annexe 2.21) (4. on suppose que le mur du barrage s’efface totalement et laisse s’écouler le volume d’eau de la gauche vers la droite. 19 montre comment varie h∗ /h1 .4. On note que lorsque ξ → 0 (le lit aval devient alors sec). u∗ ) à ur = (h0 .6 Rupture de barrage dans un lit mouillé 145 On a ici un système de deux équations avec deux inconnues (h∗ . h∗ − h0 (4. Pour déterminer la solution du problème de Riemann (4. u∗ ). les 1-caractéristiques sont des droites en √ éventail (centrées sur O). La figure 4. s ˙ → 0. . 0) à u∗ = (h∗ . les états initiaux non perturbés uℓ = (h1 . – une onde de choc pour λ− ∗ t ≤ x ≤ s(t) où la hauteur est constante et vaut h∗ (la vitesse reste également égale u∗ ). on trouve que h∗ → 0. et u∗ → 2c1 comme cela est prédit par la solution de Ritter. limitées à gauche par la caractéristique x = −c1 t (avec c1 = gh1 la vitesse de l’onde √ ∗ ∗ progressive) et à droite par la caractéristique x = λ− t avec λ− = u ∗ − gh∗ .18 : schéma de la solution. et u∗ /c1 en fonction du rapport initial ξ = h0 /h1 (on a 0 ≤ ξ ≤ 1). 0) . la solution comporte : – une onde de détente pour −c1 t ≤ x ≤ λ− ∗ t où la hauteur varie progressivement de h1 à h∗ (la vitesse croît de 0 à u∗ ) .21). 0). il suffit de déterminer l’état intermédiaire u∗ = (h∗ .19. la solution au temps t comporte quatre régions : – aux deux extrémités. u∗ ). 0) et ur = (h0 .24).19)–(4.22)–(4.18. Comme le montre la figure 4. u∗ ) et la vitesse du ressaut s ˙ en résolvant le système d’équations algébriques (4. Dans le plan caractéristique x − t. Comme l’illustre la figure 4.24) x h1 h∗ h0 x Figure 4. – une onde de choc qui permet de passer de u∗ = (h∗ . – une onde de détente qui permet de passer de uℓ = (h1 . s/c ˙ 1 . La vitesse du choc est donnée par la relation de Rankine-Hugoniot : s ˙= JhuK JhK t x = − c1 t x = λ∗ −t x = st ˙ = h∗ u∗ . 8 1.8 h h1 0.6 0.8 1.5 0.4 0. Rupture de barrage 1.0 Ξ 2.6 0.0 0.4 0.146 4.2 0.8 1.2 0.5 u c1 1.0 1.4 0.6 0.4 1.0 0.0 Ξ 2.0 0.0 0.19 : variation de h∗ /h1 .4 0.6 0. . et u∗ /c1 en fonction du rapport initial ξ = h0 /h1 dans le cas d’un lit aval mouillé.6 s c1 1.0 0.0 0.2 0.0 0.2 0.0 1. s/c ˙ 1 .0 0.8 1.0 Ξ Figure 4.2 1. avec cd un coefficient de Chézy.4. en négligeant l’inertie du fluide au niveau du front. n un paramètre pris le plus souvent à n = 1 pour un fluide newtonien. Pour la région frontale située entre xb et xa (position du front). mais il est possible d’en avoir une idée en faisant un simple bilan de quantité mouvement près du front.7 Effet du frottement Nous considérons le cas plus réaliste d’un fond horizontal résistant. ou bien ( )n µc u h . ∂t ∂x ∂x ρh (4. Whitham suggère de ne pas résoudre les équations mais d’intégrer les équations pour obtenir des équations globales du front (méthode de Pohlhausen).1 Méthode de Whitham : rupture de barrage sur fond plat Whitham (1954) a proposé une méthode approchée pour calculer l’effet du frottement sur le front. µ la viscosité. avec c un facteur de proportionnalité. La résistance provoque : – l’apparition d’une contrainte pariétale de la forme : τb = cd u2 pour un régime turbulent. – un cisaillement au sein de l’écoulement. En effet.7. d’abscisse x = xb (t). Loin du front. B A x x0 xb xa xf Figure 4. la solution de Ritter est valable. t) = u(t). Les champs de vitesse et de hauteur donnés par ( ) ( )2 √ 1 x 2 x √ + gh0 et h = − + 2 gh0 u= 3 t 9g t sont donc valables jusqu’au point B.20 : modification de la forme du front.26) 4. la variation de vitesse selon x est faible de telle sorte que l’on peut écrite u(x. Les équations du mouvement sont écrites sous la forme (Hogg & Pritchard. ∂x . 2004) : ∂h ∂hu + = 0.25) (4. Notons que cette méthode intégrale ne permet pas de déterminer exactement la forme de la surface libre. Il considère notamment que dans la région frontale. pour un régime laminaire. on tire que le gradient de pression doit contrebalancer le frottement gh ∂h = −cd u2 (t).7 Effet du frottement 147 4. ∂t ∂x ∂u ∂u ∂h τb + γu + g′ =− . On introduit donc un facteur γ dit facteur de Boussinesq tel que u2 = γ u ¯2 . on tire : On s’est servi du fait que dans le front la vitesse est constante et égale à x ˙ a : ub = x ˙ a . On déduit la vitesse : M 1 dub 2 = ρgh2 b − ρcd ub (xa − xb ). – le flux de quantité de mouvement est ρhb ub (ub − dxb /dt). En reportant cela dans l’équation on trouve au premier ordre n = 4/3 et A = 3 × 32/3 /141/3 ≈ 2. puisque la vitesse est supposée constante dans la zone frontale. L’équation globale du mouvement s’écrit donc dP dxb = ρhb ub ub − dt dt ∫ ( ) 1 + F + ρgh2 b. On ne peut pas résoudre directement cette équation numériquement car en τ = 0 le terme η ¨ tend vers une limite impropre. Bxm On pourrait chercher le développement asymptotique plus loin en écrivant η = Aτ n + + · · · . où (ub . On trouve donc que η ¨ → ∞ quand τ → 0. On ne peut pas faire de développement de Taylor en 0 . on a P = M ub . dt 2 √ Introduisant les variables sans dimension η = cd /h0 (xf − xa ) et τ = 4τ η ˙η ¨+η ˙ 4 = 16(2 − η ˙ )2 (3ητ ˙ − 2η ).21. dt dt avec xb = c0 (3ub /(2c0 ) − 1)t et hb = h0 (1 − ub /(2c0 ))2 d’après la solution de Ritter. Rupture de barrage or u(t) ≈ dxa /dt et cd = 1/C 2 un coefficient relié au coefficient de Chézy C .58916. dans la solution xf de Ritter M = x ρhdx (il n’y a pas de variation de masse.148 4. on note que : – la vitesse du fluide au point de transition xb est ub − dxb /dt. dt g Pour obtenir les équations globales du fluide au niveau du front. Pour cela on va considérer ce qui se passe au premier ordre en τ = 0. On obtient la courbe reportée sur la figure 4. 2c0 Notons que l’on∫peut trouver ce résultat directement en faisant remarquer que. de plus on peut aussi interpréter la vitesse du front en termes de vitesse relative η ˙ en posant : x ˙ a = c0 (2 − η ˙ ). Par ailleurs. or ( ) dM dxb = ρhb ub − . D’où l’on déduit l’approximation : √ dxa 2cd √ h(x) = xa (t) − x. mais cela ne marche pas. hb ) sont les solutions de Ritter à gauche du point de transition B . juste un changement de la surface b libre et une vitesse front moins grande). Il faut déterminer cette limite. On pose η = K (τ ) = Aτ n et on cherche n et A. g/c0 cd t. 2 où P est la quantité de mouvement et F la force de frottement : xa x0 F = ρcd u2 dx ≈ ρcd u2 (xa − xb ). On peut de là résoudre numériquement l’équation avec comme condition initiale η (ε) = K (ε) et η ˙ (ε) = K ′ (ε) − 6 où l’on choisit ε très proche de 0 (typiquement ε = 10 ). L’intégration donne ( ) ub 3 M = ρh0 c0 1 − t. – le flux de masse M s’écrit ρhb (ub − dxb /dt) . 8 1 x Figure 4.5 2 1. Recherchons donc une solution sous la forme : η= Ax4/3 .2 0.4 0.22. 2.4 0. 1 + Bxn B = 4 × 422/3 /59 ≈ 0.2 0. comme le montre la solution numérique.22.22 : approximations successives de la solution.6 0. On obtient la courbe à tiret long de la figure 4. .21 : comparaison de la solution numérique (courbe continue) et de l’approximation asymptotique en τ = 0. En fait. Il faut plutôt rechercher la solution sous la forme d’une fonction rationnelle (approximation de Padé). Si on pousse à un ordre supérieur. On obtient ainsi l’approximation au premier ordre quand t est petit : dxa √ ua = = gh0 2 − 3.5 0 0 0.5 0 0 0. il ne sert donc à rien de chercher un développement polynômial vu que l’ordre 1 (x4/3 ) a une pente plus forte que 1. 1 + Bx1/3 + Cx2/3 avec C ≈ 0. car les dérivées d’ordre 2 ou supérieures divergent.452 3 cd t dt ( √ √ ) g h0 . On obtient la courbe à tiret mi-long de la figure 4. on obtient : η= Ax4/3 .7 Effet du frottement 2.5 Η 1 0. donnant un accord encore meilleur avec la courbe numérique.5 2 1. très rapidement η devient linéaire .8 1 x Figure 4.204158.6 0.81917 et n = 1/3.5 149 Η 1 0.4. 150 4. on aboutit à l’expression asymptotique : dxa √ ua = = gh0 dt √ h0 . Rupture de barrage Aux temps très longs. on peut recherche un nouveau développement asymptotique. on trouve que β = 2. 2cd t . La solution numérique nous pousse à rechercher une solution sous la forme η = ατ + β . Donc. puis prenant τ → ∞. Injectant cette forme dans l’équation différentielle. Source : DIREN.4.3 Sécurité des barrages Évacuateur de crue Protection contre les vagues et surverses Protection contre les avalanches .1 4.8.8 4.8.2 4.23 : crue de la Loire (barrage de Gragent).8.8 Sécurité des barrages 151 Figure 4. 4. . University of Twente. R. Antony: Cemagref Éditions. Soc. Bischof. & Minor. P. W. D. Dohmen-Janssen & S. Drazin. J. 1708–1720. G. L. 2007 The failure of the Fonta Santa mine tailing dam (Northeast Portugal). Rep. 1996 Solitons: an introduction . PhD thesis. Franca. Pougatsch. Eng. I. & Lang. & Vetterli. Bull. & Ramez...-B. Cambridge: Cambridge University Press. Tech. & Evans. Geophys. Fluids 35.. Bundesamt für Wasser und Geologie. H. 2009 Risques et impacts des retenues d’altitude . Hauenstein. Raboud. 2004 Estimation des lois des précipitations extrêmes à partir des données journalières complètes. P. C. Müller.. Brutsaert.. R. Res. Geol.. 2041–2060. R. & Montenegro.. A. L. Fritz. H. Hager. & Johnson. 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A.S. 65 infiltration. 47 torrentielle. 40 cellule convective. 10 condition de Rankine-Hugoniot. 124 discontinuité. 7. 14 fréquence. 82 angle de Kelvin. 104 chute. 34 gradex. 112 épicentrage. 84 contrainte pariétale. 10 conservative. 38. 50 157 . 8. 31 de Froehlich. 36. 87. 23. 70. 147 assurance. 84 approximation de Padé. 94. 145 convection. 113. 56 unitaire instantané. 104 durée spécifique. 108 hyétogramme. 34 hauteur critique. 47 crue. 31. 42 diffusion. 94. 87 de la chaleur. 10 formulation conservative. 33 courbe de remous. 108 houle. 65 forme caractéristique. 34 facteur de Boussinesq. 13 de Benjamin-Bona-Mahony. 41. 26 de convection.Index aggradation. 33 digue. 40 déposition. 145 fetch. 24 significative. 73 de Parker. 131 charriage. 87 de Bernoulli. 31. 84. 31 de diffusion non linéaire. 137 des ondes. 32 harmonique. 30 de diffusion. 37. 24 coefficient de Boussinesq. 12 catastrophe naturelle. 61 eau blanche. 10 non conservative. 129 petit. 30. 120 brèche. 31 d’Airy. 108 fonction de transfert. 82 d’Exner. 40 choc. 11. 12 formule de Kleitz-Seddon. 38 charge. 61 équation caractéristique. 42 éclair. 35 barrage. 26 enveloppe. 13 Airy. 40 autovariance. 36 de Laplace. 11. 38. 115 classification. 26 contrôle. 82 de Navier-Stokes. 135 de Korteweg-de-Vries. 61 hydrogramme. 87 de conjugaison. 13 dépression. 82 de Boussinesq. 28 conjugaison. 7 de Saint-Venant. 50 Green. 134 célérité. 114 de Froude critique. 58 SCS. 104 modèle GR4. 24. 64 mouvement de terrain. 87 cinématique. 72 de gravité. 100 de surface. 28. 34. 34 pente critique. 39 renard. 72. 35 régressive. 72 de Manning-Strikler. 40 lit mouillé. 12. 141 jökulhlaup. 52 rationnelle. 24 perte de charge d’un ressaut. 34 capillaire. 100. 135 lahar. 139. 84 résistance. 57 marée. 58 Socose. 70 de crue. 34 d’Ursell. 34 de Rankine-Hugoniot. 72. 139 solitaire. 13 de Manning-Strickler. 87. 47 de Pohlhausen. 41 nappe. 87 mascaret. 120. 24. 90. 98 de choc. 145 des caractéristiques. 84 torrentiel. 32 régime fluvial. 57 ruissellement. 104 mobile. 115 ressaut. 41 problème de Green. 24. 107 onde. 23 roll wave. 87 orage. 34. 80 dynamique. 39 nombre d’onde. 26. 98. 70 gravitaire. 61 transformation pluie-débit. 76. 91 soliton. 112 invariant de Riemann. 139 du gradex. 112 routage. 13 relation de dispersion. 70. 87 linéaire. 26 poche glaciaire. 34 méthode Crupédix. 9. 87. 115 bassind de décantation. 42 période. 36 de frottement. 84 de Reynolds. 100 progressive. 70. 35 simple. 50 QdF. 103 rupture barrage. 28. 87 d’impulsion. 87 de Froude. 38 instabilité. 41. 39 runup. 9 nombre de Froude. 104 remontée de nappe. 80 de Stokes. 90. 120 morainique. 39. 139 cnoïdale. 89 longue. 124 INDEX . 100 courte. 114 de Darcy. 139 simple centrée. 87 plane. 37. 120 lac. 70.158 inondation. 41 lave torrentielle. 57. 106 ressaut hydraulique. 54 longueur d’onde. 13 loi de probabilité de Gumbel. 142 loi de Chézy. 89 train d’onde. 34 159 . 137 spectre. 115 digue. 82. 138 d’Alembert. 39.INDEX cause. 98 variable de Riemann. 52 singularité. 26. 87. 75 d’impulsion. 124 rupture de barrage. 134 terril. 34 de phase. 13 tsunami. 120 seuil. 50 théorie d’Airy. 35 temps de concentration. 91 soliton. 112 transport solide. 124 graduelle. 134 instantanée. 87. 39. 26 solitaire. 87. 34 de l’onde. 94 vague. 35 de Ritter. 100 solution auto-similaire. 139 vitesse de groupe. 70. 41 seiche.