Cours de Methodes Numeriques

UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE D’ORAN‐ MOHAMED BOUDIAF  FACULTE D’ARCHITECTURE ET DE GENIE CIVIL  DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL                                  COURS DE METHODES  NUMERIQUES          M. B. BENMANSOUR Chapitre I : Rappels sur les systèmes d’équations linéaires - Inversion de matrices Plan 1. Position du problème 2. Méthode du pivot 2.1. Méthode de GAUSS-JORDAN 2.2. Méthode de GAUSS 2.3. Cas des matrices bandes 3. Méthodes itératives 3.1. Méthode de JACOBI 3.2. Méthode GAUSS-SEIDEL 3.3. Facteur de relaxation 4. Inversion de matrices 1. Position du problème Considérons le système linéaire suivant de n équations à n inconnues : Ce système s’écrit sous la forme : 2 si , et i représente le numéro de ligne et j le numéro de colonne. Une matrice est dite triangulaire si pour j>i ou pour i>j. Une matrice bande est une matrice dont tous les éléments sont nuls sauf sur une bande autour de la diagonale principale. Ces matrices se rencontrent dans la résolution d'équations aux dérivées partielles par la méthode des différences finies ou dans la méthode des éléments finis. La résolution du système précédent peut s’effectuer par deux méthodes : - la méthode directe (dite méthode du pivot), - la méthode itérative. La méthode du pivot est commode pour les systèmes denses d’ordre supérieur, ainsi que pour les matrices bandes même d’ordre élevé. La méthode itérative est mieux adaptée aux autres matrices d’ordre élevé et comportant de nombreux éléments nuls. 2. Méthode du pivot 2.1. Méthode de GAUSS-JORDAN 2.1.1. Description de la méthode C’est la méthode la plus utilisée. Pour la présenter, nous allons prendre l’exemple d’un système de 4 équations à 4 inconnues : La méthode classique de Cramer qui repose sur les déterminants, donne : où est le déterminant de la matrice, et celui déduit de en y remplaçant la j colonne par la colonne second membre. Pour résoudre le système, cette méthode nécessite n4 opérations si n est le rang de la matrice. Dans la méthode du pivot, on choisit successivement chaque ligne comme ligne pivot ; le pivot étant le 1er élément non nul de la ligne. ème 3 Ainsi, on divise la ligne n° 1 du système par : On annule le 1er terme de chacun des autres lignes : à la 2ème ligne, on retranche la 1ère multipliée par , à la 3ème ligne, on retranche la 1ère multipliée par . , à la 4ème ligne, on retranche la 1ère multipliée par Le système devient : a- La 2ème ligne est considérée maintenant comme une ligne pivot, et comme un élément pivot. On répète sur cette 2ème ligne les opérations précédentes, et on obtient après division de cette ligne par : On annule les autres termes de la seconde colonne ; c’est à dire : à la 1ère ligne, on retranche la seconde multipliée par , à la 3ème ligne, on retranche la 2ème multipliée par . , à la 4ème ligne, on retranche la 2ème multipliée par On obtient : a- On considère ensuite la 3ème ligne comme pivot, puis la 4ème ligne ; ce qui donne : 4 y’] : Pour k variant de 0 à n-1.y] en une matrice [I. on a : Pour les colonnes 1 à k éléments non diagonaux. Transformation de la matrice [A.soit la solution du système : D’une manière générale. si on applique cette procédure au système matrice d’ordre n. on a : et 5 . étant L’étape suivante consiste à prendre comme élément pivot. On divise la (k+1) ième ligne par cet élément. on a une matrice premières colonnes. comportant des 0 comportant des 0 et des 1 dans ses 2 à l’issue de la kième étape. ce qui donne pour j=k+1 à n : et si et Pour chaque ligne . On obtient alors le système avec : Résumé de la procédure : 1. à l’issue de la 2ème étape. • • • où A est une on remarque qu’à l’issue de la 1ère étape. on obtient un système de la forme : avec et matrice colonne d’éléments Pour les k premiers éléments diagonaux. etc. la ligne k+1 multipliée par est retranchée. on a : les composantes du vecteur . on obtient la matrice et un 1 dans sa 1ère colonne. si si et . (n-k+1) n. avec Le nombre d’opérations nécessaires au passage de [A . il faut permuter les colonnes tout en veillant à la cohérence des calculs qui suivent). multiplications (= n. les erreurs d’arrondi deviennent très importantes et affectent toute la suite des calculs. y] : K=1 k=1 Normalisation Réduction K=2 k=2 Normalisation Réduction 6 . Exemple Soit le système à résoudre : On forme tout d’abord la matrice [A. additions (= n. La solution xi du système résultant s’écrit alors : .y] à [A. difficulté si le pivot est nul puisque la division n'est plus possible (dans ce cas. La méthode ainsi exposée. y](k+1) est : n.a) = n.d) = (n-k+1) Le passage de [A . y](n) nécessite environ opérations de calculs. précision si le pivot est faible (<<1). 2. présente un certain nombre de défauts : • • • lenteur compte tenu du nombre d'opérations si le rang n de la matrice A est grand.m) = (n-1).2.1. divisions (= n.2.y](k) à [A. K=3 k=3 Normalisation Réduction La solution est 2. Méthode de GAUSS .2. d’où : On diagonalise la matrice A. et on ne fait apparaître les zéros qu’en dessous de la diagonale. Pour k variant de 0 à n-1. on a : • Une résolution du système triangulaire : D’où l’expression de la solution finale : avec j=n-1 à 1 7 . La solution xi du système nécessite 2 étapes : • Une triangularisation de la matrice A. 3.3. Méthode de JACOBI Soit le système suivant de 3 équations à 3 inconnues : On résout le système de la manière suivante : 8 . Cas des matrices bandes Soit le système tridiagonal suivant : La matrice est connue par les 3n données : où Ainsi.Cette solution nécessite environ n3/3 opérations. car cela nous éloignera des objectifs du cours. 3. Méthodes itératives Nous allons décrire ces méthodes brièvement sans passer par des calculs ou des démonstrations mathématiques complexes. le système décrit par ces 3n données peut être résolu par la méthode de triangularisation (méthode de Gauss). on est confronté aux mêmes difficultés signalées dans la méthode précédente de GAUSS-JORDAN. Pour les pivots nuls ou petits.1. 2. on peut utiliser. On arrête les calculs lorsque les valeurs successives de xj sont suffisamment voisines. qui est portée dans la 2ème équation du De même dans la 3ème équation.2. . et non pas système. Pour cela. . Ceci assure une convergence des calculs bien plus rapide que la méthode de JACOBI. donnant : . Méthode de GAUSS-SEIDEL On reprend le calcul comme précédemment. on porte et . et ainsi de suite. . . on choisit un ensemble de valeurs . Si ces valeurs sont portées au second membre de la solution précédente. et non et . 3. • • soit le critère de Convergence absolue : soit le critère de Convergence relative : 9 . . On porte et dans la 1ère équation et on obtient : C’est cette nouvelle valeur de x1. . on obtient : Ce nouvel ensemble porté dans le second membre des équations précédentes donne un autre ensemble .On donne aux inconnues les valeurs arbitraires initiales . c’est automatiquement la plus récente valeur calculée. et on obtient : Lorsqu’une inconnue est utilisée. Pour le système précédent par exemple. Pour les systèmes où les matrices qui sont de rang élevé. on prend itératif déjà convergent et pour un processus divergent. 3. la relation est vérifiée. le produit de A par la matrice inverse A-1 donne la matrice unitaire I. soit les quantités suivantes : ou ou ou La convergence du procédé ne dépend pas du choix des valeurs initiales . à la somme des modules des autres éléments de sa ligne. et plus la convergence est rapide. pour chaque valeur de i (c’est à dire pour chaque ligne).3. λ est appelée " facteur de relaxation " (dans la pratique. Facteur de relaxation Si la convergence existe. 4. dans un processus Pour s’approcher de la valeur recherchée rapidement. une matrice A de rang n n’est inversible que si son déterminant ∆ est différent de zéro. où En appliquant la méthode de Cramer sur la matrice A. Dans ce cas. il n’est pas commode de faire le test de convergence sur chaque inconnue xj. En effet. on fait le test soit seulement sur certaines inconnues que l'on choisit. Les méthodes itératives jouent un rôle très important dans la résolution numérique de systèmes de grandes tailles et dans les systèmes (ou équations) non linéaires. On montre que la convergence est assurée si on a. sa rapidité dépend du choix de . mais seulement des valeurs des coefficients. Dans ce cas. il est compris entre 0 et 2). en module. plus les valeurs initiales sont proches des valeurs réelles. Pour . L’utilisation d’un facteur de relaxation λ définie par où permet d’accélérer la convergence. le processus diverge. Inversion des matrices Selon la méthode de Cramer. Autrement dit. 10 . il y a convergence si chaque élément diagonal est supérieur ou égal. on peut déterminer A-1. X] où X est la solution du système linéaire A.y] à la matrice D=[I. permet de calculer A-1 avec un nombre d’opérations nettement inférieur à celui de la méthode de Cramer. de calcul de l’inverse d’une matrice qui est résumée ci-dessous. Soit X =A-1. Après les opérations de l’algorithme de Gauss-Jordan. 11 .C=A-1. on a : (I. On obtient en utilisant la méthode de Cramer : qui vérifie que : L’algorithme de Gauss-Jordan présenté au début de ce cours (méthode du pivot) opère aussi le passage de la matrice C=[A.I) Pour .I]=[I.A-1) Pour Pour Exemple : Soit la matrice .Exemple : . Transformation (A.[A.A-1] Cette méthode. Calculer A-1 par la méthode de Jordan.X=y .y . on obtient : D=A-1. on vérifie que : 12 . Réduction k =2 Normalisation . Réduction k =3 Normalisation . Réduction Finalement.k =1 Normalisation . que l’on se donne. voire nul.2. Méthode itérative générale 3. Utilisation d'une méthode de minimisation de fonctions 1. la plupart des problèmes se ramènent à la résolution d’une équation de la forme : La résolution de cette équation dépend de la classe à laquelle appartient la fonction f. on connaît une valeur approchée. ). on sait que l’équation possède n racines complexes.2. Les méthodes de résolution sont toujours des méthodes itératives. Résolution des systèmes d'équations non-linéaires 6.1. Méthode de Newton-Raphson 4. Méthode de Bairstow 6. Application à la recherche des valeurs nulles des équations transcendantes 5. 2. ou infini de racines. Résolution d'une équation polynomiale 4. Introduction 2. on engendre la suite : 13 .1. Introduction Dans la pratique. Méthode itérative générale On suppose que l’équation a été mise sous la forme : définissant par exemple puisque lorsque (ceci est toujours possible en . Le problème est alors de trouver la racine dont on sait l’existence et dont. Généralisation de la méthode de Newton-Raphson 6. Application de la méthode de Newton au calcul d'une racine carrée 4.Chapitre II : Résolution des équations et systèmes non linéaires Application à la recherche de valeurs non nulles des équations transcendantes Plan 1. Si l’équation est transcendante. À partir d’une valeur initiale x1. parfois. Si f est un polynôme de degré n. elle peut avoir un nombre fini. 3. Il est donc impossible de donner une condition nécessaire sans expliciter la fonction f. on ne peut être sûr de la convergence. xn converge vers une valeur x0.b].…. C’est donc une étude de cas. et cherchons l’accroissement qu’il faut donner à x1. x0 est une racine. alors : . x2. Soit x1 une valeur approchée de la racine s inconnue. x3. Si l’on n’ajoute pas d’hypothèses supplémentaires. on obtient : 14 . et . pour lesquelles on peut calculer la dérivée de f : f’(x). 1 : Exemple de solution convergente (régime oscillatoire convergent) Supposons que l’équation admette une racine x0 sur l’intervalle [a. Posons : x2=x1+h. On peut légitimement supposer que f(x) prendra des valeurs sur cet intervalle. de façon à ce que : Après développement en série de Taylor à l’ordre 2. Méthode de Newton-Raphson Cette méthode s’applique à des équations du type . Fig.Si la suite des mesures x1. et il est du même côté : x2 est donc une meilleure approximation. la solution : Interprétation géométrique : . la suite est une suite monotone bornée par 0 . Sens de l’approximation : Si l’on avait fait aucune approximation dans l’écriture de pour la racine s. donc : Ce qui conduit à la conclusion suivante : • Si . • Si . 15 . x1 et x2 sont de part et d’autre de s : l’approximation x2 peut alors être moins bonne que x1. on aurait obtenu. l'expression suivante : .ou approximativement : c’est à dire : et plus généralement. donc l’algorithme converge. f(x2) sera de signe contraire à celui de f(x1) : f(x1) et f(x2) seront alors de même signe et l’algorithme converge. x2 est plus proche de s que x1.soit La valeur x2 est l’abscisse du point d’intersection avec l’axe ox de la tangente au graphe y=f(x) en x1. elle converge. Si la racine est simple. mais si la racine est simple. et si f’ conserve un signe constant au voisinage de la racine. on obtient : En divisant de nouveau le polynôme de degré n-1 par Donc : La valeur de la constante S est donnée par : . sous la forme : Écrivons le polynôme et de sa La division de par le monôme où est une valeur arbitraire donne : où R est une constante de valeur . L’application de la formule de Newton peut donc se faire sous la forme : Les valeurs de R et de S s’obtiennent donc au moyen des relations de récurrence qu’on établit en égalant les puissances successives de x dans les diverses expressions du polynôme : De même. Résolution d’une équation polynomiale L’application de la méthode de Newton implique le calcul du polynôme dérivée .4. les coefficients s’obtiennent au moyen de formules analogues : 16 . . 2. Selon l'axe de la barre. Application de la méthode de Newton au calcul d’une racine carré Soit l’équation La formule de Newton s'écrit : soit la formule de récurrence : Quand n tend vers l’infini. on ajoute l'équation transcendante donnée par : 17 . Application à la recherche des valeurs non nulles des équations transcendantes Dans le cas d'un problème unidimensionnel de conduction de la chaleur dans une barre par exemple de longueur . 4. xn+1 tend vers xn et par conséquent : Cet algorithme converge quelque soit la valeur de x1 d’initialisation.1. 4. cette solution est de la forme : (1) à cette solution.On peut remarquer que le calcul de R et de S est analogue à celui du calcul des polynômes et . la solution analytique de la température obtenue par la méthode d'orthogonalisation est la somme d'une réponse en régime transitoire et d'une réponse en régime permanent. pourvu que . 2 : évolution des solutions et 18 . on a les cinq racines du terme ( ): suivantes pour une valeur égale à 1ère racine = 0. .(2) Pour déterminer la température à tout instant et en tout point . Cette solution est l'intersection de la courbe avec celle de .542166 3ème racine = 6. D'où pour l'intervalle comme cela est indiqué sur le graphique.509659 4ème racine = 9.580092 5ème racine = 12. on obtient les courbes de la figure 2.684082 Fig. on doit résoudre l'équation transcendante (2) afin d'obtenir les racines L'équation (2) est du type : En traçant sur le même graphe et et . on voit bien qu'il existe une solution par intervalle où .988241 2ème racine = 3. D'après ce graphe. La méthode consiste à extraire (le plus exactement possible) les racines (réelles ou complexes) deux à deux (à la fin. Si r=S=0. jusqu’à épuisement des n racines. la méthode de Bairstow va consister à déterminer par approximations successives les valeurs de p et q qui annulent r et s : Ce système peut être non linéaire.5.q) fixé. où p et q sont à priori Les coefficients dépendent de p et q. de même que r et S. alors f(x)=0 permet de donner Si r et/ou S ne sont pas nuls. (donc deux racines de f(x) déjà).on se donne 2 valeurs p0 et q0 arbitraires. On calcule alors successivement et de telle sorte que : Soit au premier ordre en et : Si l’on pose : 19 . Pour cela . Soit à trouver les racines de l’équation polynomiale suivante : On effectue la division eucludiènne de f par le trinôme deux nombres quelconques : . On le supposera linéaire au voisinage de chaque couple (p. Méthode de Bairstow La méthode de Bairstow permet de calculer des racines réelles ou complexes d’une équation polynomiale à coefficients réels. il en reste éventuellement une). 20 . P et Q vont être évaluées par étapes.et La solution du système précédent est (Cramer) : Les expressions qui entrent dans le calcul de δ. Les coefficients sont liés aux coefficients relations suivantes : du polynôme initial par l’intermédiaire ses relations auxquelles on peut ajouter : en ayant défini et par : et . r et S en fonction de p et q. Ce tableau (I) permet de calculer les Posant maintenant : . 2. 2. …. …. on obtient : Ce tableau (II) permet de calculer les Ci (i=0 . 1. il vient : la comparaison des tableaux (II) et (III) montre que : 21 . En dérivant le tableau (I) par rapport à q. avec k=0. n-1).. Posons maintenant : .1. n-1 et En dérivant le tableau (I) par rapport à p. 4. alors les racines de sont les racines du polynôme initial. 2. pour On en conclut alors : et Les tableaux (I) et (III) permettent de calculer les dérivée partielles : et par conséquent. On calcule alors les deux valeurs : On constitue le tableau : On calcule δ. on remonte en 2 en reportant des valeurs 22 .. et ainsi de suite. Q recherchées sont : Mise en œuvre de la méthode : Le calcul du premier trinôme s’obtient à l’issue des phases de calcul suivantes : 1. les quantités δ. Sinon. et le tableau et . Si et . On fixe arbitrairement deux valeurs p0 et q0. et . P et Q et on en déduit : 3. P. . on applique de nouveau la méthode de Bairstow au polynôme quotient.y1) d’une solution du système.Les deux premières racines ayant été extraites. l’algorithme correspondant est : avec : ou encore : 23 . Ainsi. il vient : où l’on a posé : et Les quantités h et k s’obtiennent donc. Généralisation de la méthode de Newton-Raphson La méthode Newton peut s ‘appliquer à la résolution d’un système de plusieurs équations non linéaires : A partir d’un couple de valeurs approchées (x1. 6. en résolvant le système linéaire suivant : avec : Le calcul est alors relancé jusqu’à ce que h et k deviennent inférieures à une valeur ε que l’on se donne (selon la précision voulue pour le calcul). Résolution des systèmes d’équations non linéaires 6.1. on peut déterminer deux accroissements h et k à donner à x1 et y1 de manière à ce que : En développant en 1er ordre. il est nécessaire de vérifier que le minimum trouvé est bien la solution recherchée . par exemple) ne donnent pas forcément le minimum absolu d’une fonction. c’est à dire celle pour laquelle on a . 24 .2. Utilisation d’une méthode de minimisation de fonctions La résolution du système non linéaire suivant : peut se ramener à la recherche du minimum de la fonction : étant écrite sous la forme d’une somme de deux fonctions est positive ou nulle. 6.Cette méthode de résolution peut être généralisée pour la résolution de système de n équations non linéaires à n inconnues. qui Puisque les méthodes de minimisation d’une fonction (annulation de la dérivée. ). dérivable. en particulier s’ils sont très nombreux. c’est à dire calculable. Lorsque les doublets sont entachés d’incertitudes sur leurs déterminations. On raisonne sur une fonction numérique ‘f’ à une seule variable réelle x. Lorsque les doublets sont considérés comme ‘sûrs’. et ses paramètres significatifs (c'est à dire ses coefficients). par exemple). on tentera une interpolation qui restituera toutes les valeurs numériques des doublets là où ils se trouvent. intégrable. trigonométrique. Polynôme d’interpolation de Newton 1. But de l’interpolation 3.Chapitre III : Interpolation Polynomiale Extrapolation Plan 1. Interpolation polynomiale de Lagrange 4. etc. Position du problème Étant donné un ensemble de doublets numériques (résultats expérimentaux. Position du problème 2. au sens expérimental du mot. le nombre de paramètres du modèle mathématique à déterminer. connue pour N valeurs. Soit n. Le modèle est vérifié pour tous les doublets interpolation Le modèle est optimisé entre tous les doublets approximation 25 . afin de réduire (on parle de régression) toute une information en une expression mathématique utilisable. on tentera une approximation qui restituera ‘au mieux’ l’information contenue dans les doublets. le problème à résoudre consiste à trouver un modèle mathématique (polynomial. exponentiel. Erreur de l’interpolation de Lagrange 5. etc. mais inconnue ou d’expression très complexe en dehors de ces valeurs . Enfin.b] de (a<b). mais elle est parfaitement adaptée aux traitements informatiques. La fonction est pratiquement une somme finie de n+1 fonctions de base linéairement indépendantes : le but de l’interpolation est de trouver les ai pour que : où et où les fonctions de base devront pouvoir se prêter à tous les traitements numériques courants. la base formée par les fonctions sinus et cosinus paraît tout à fait adaptée.1. Il pourrai être opportun pour simplifier les calculs. on pourra choisir la suite des monômes : puisqu’on en vertu du théorème de WEIERSTRAUSS.2. ont des propriétés d’orthogonalité. pour n+1 valeurs distinctes de sa Soit f une fonction définie sur un fermé [a.b] de variable. Interpolation polynomiale de Lagrange La méthode est ancienne. 3. (a<b). Pratiquement. cet ensemble étant désigné sous le nom partition (xi. toute fonction continue peut être approchée uniformément par un polynôme. 26 . la recherche peut s’étendre au cas où la fonction f n’est même pas connue pour ses n+1 valeurs de définition. par exemple. But de l’interpolation Étant donnée une fonction f définie sur un intervalle fermé [a.2. pour n+1 valeurs de sa variable xi (i=0. pour une fonction périodique. il s’agit de calculer une fonction numériquement plus commode à manier et qui coïncide avec la fonction pour les valeurs connues de f. suivant la définition d’un produit scalaire. ). n). mais où sont connues des valeurs de ses dérivées. …. de choisir des fonctions de base qui en plus de l’indépendance linéaire. où i=0 à n. c’est le cas où m=n qui nous intéresse.On cherche s’il existe un polynôme P(x). …. Le produit effectué sur les indices j tels que et . a1. am Dans ce cas. car le déterminant des coefficients ( ) est un déterminant de Van der Monde. pour i variant de 0 à n+1 Posons : On a donc : où les a0.aj. m<n système surdéterminé une solution est à chercher par la méthode des moindres carrés. La solution existe et est unique. non nul et qui vaut : Recherche de la solution : Considérons les polynômes (de Lagrange) suivants : . si 27 . Ici. trois éventualités peuvent se présenter : • • • m>n système impossible aucune solution. …. m=n système de Cramer une solution unique. Il est clair que et que : . tel que . on a bien : Autres propriétés : pour i=0 à n. et si l’on pose : on a alors : Cas particuliers des abscisses équivalentes : Soit h un réel positif. à coefficients purement numériques ( ): 28 . puisque si : alors pour : . On pose : Alors l’expression de et où s est un réel quelconque. ces polynômes sont de degré n. on a : Car.Donc. on a : Les n+1 polynômes de Lagrange forment une base de l’espace vectoriel des polynômes de degré au plus égal à n. avec k=0 à n. Sur cette base. appelé pas de la partition. et sont tels que : Ils sont linéairement indépendants. donnée dans le polynôme de Lagrange devient : est un polynôme de degré n. 1 0 et 1 2 . Ce polynôme s’écrit sous la forme : 1 -2 2 -1 . de rang n+1.où Le tableau des coefficients forme une matrice. 2 0 2 1 On obtient alors 3 polynômes D’où : Détermination de la matrice régulière correspondante : 29 . Ces matrices peuvent être tabulées. appelée matrice régulière de Lagrange. où i j 0 1 0 2 : . Exercice : Établir la matrice régulière correspondant au cas de l’interpolation quadratique (matrice régulière de Lagrange) Solution Soit les données de la fonction f suivante : 0 1 où : Recherchons tout d’abord le polynôme d’interpolation de Lagrange de la fonction f . D’où la matrice régulière de Lagrange correspondant à l’interpolation quadratique est la suivante : On peut monter également les autres cas de matrices régulières d’ordre inférieur ou supérieur (interpolation linéaire. etc.On a : avec On obtient alors : . 30 . les matrices régulières de Lagrange peuvent être ces matrices ou leurs transposées. cubique.) : interpolation linéaire interpolation cubique Suivant les auteurs et/ou suivant la conduite des calculs. Polynôme d’interpolation de Newton : Il n’y a pas de relation simple entre le ième polynôme de Lagrange relatif à la partition et le (i+1)ième polynôme relatif à .4. Si on ne possède d’aucun renseignement sur f. par convention de notation d’où : Remarques : . par convention. Exercice : Monter que les fonctions : forment une base de l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n sur Soit le polynôme développé sur la base : . tel que : On a : . il s’agit d’estimer . Du point de vue numérique. autre que sur (autre que ). on ne peut rien dire . Erreur de l’interpolation de Lagrange Pour . 31 . elles se répercuteront sur 5. Si l’on ajoute des hypothèses sur f. ceci est un inconvénient auquel remédie l’interpolation de Newton. par convention.Soit ensuite : d’où l’on tire : et : . On peut donc dresser le tableau suivant (algorithme) : et on peut généraliser par récurrence : avec les mêmes remarques que précédemment : est insensible à l’ordre récurrence. et cette propriété se généralise à l’ordre k par qui se généralise sans difficulté à l’ordre k. qui se généralise sous la forme : 32 . qui se généralise sous la forme : expression utile pour déterminer l’erreur d’interpolation. Finalement. propriété qui se généralise évidemment à l’ordre n. le polynôme d’interpolation de Newton relatif à la partition est donnée par : 33 . Exemples de lissage 1. on a obtenu les résultats suivant représenté sur le graphique cidessous.Chapitre IV : Approximation . par exemple. 34 .Lissage des courbes -Méthode des moindres carrés Plan 1. Principe de la méthode 2. Lissage par un polynôme 3. Ces résultats sont les mesures physiques caractérisant. Principe de la méthode Lors d’une expérimentation. la température en fonction du temps. On a et . censée représenter f(x). 35 . par exemple en utilisant l’interpolation de Lagrange. Ainsi. Au contraire. s est minimal on obtient alors un système de (r+1) équations (pas forcément linéaires) à (r+1) inconnues : qui peut être résolu par l’une des méthodes développées au chapitre I. . celle-ci doit passer entre les points expérimentaux. voire ne passant par aucun d’entre eux comme c’est le cas de la figure cidessus. Dans le cas du graphe précédent. il est préférable d’avoir cette représentation par une méthode plus sûre. Dans le cas du graphique ci-dessus par exemple. On désigne les coordonnées des points expérimentaux et nous formons la quantité (graphe précédent) : Dans ce cas. Ainsi. on choisit une fonction g(x). ceci n’a pas de sens. g(x) est représentée par une droite de la forme : g(x) dépend d’un certain nombre de paramètres Donc. cette fonction sera de la forme on a : par où . . on cherche si et seulement si : de telle sorte que s soit minimal. pour mieux représenter f(x) par une courbe. Du point de vue physique. Une première méthode consiste à tracer ‘à l’œil’ la fonction g(x) censée représenter le mieux possible f(x) décrite par les points expérimentaux. Évidemment.La fonction f(x) peut être représentée par une ligne passant par tous les points. on a : soit : Pour k=0. on utilise fréquemment un polynôme de degré r pour la représentation de f(x). et pour k variant de 0 à r. la fonction g(x) sera : En appliquant la méthode précédente qui consiste à calculer s on obtient : Après la minimisation. on obtient un système de (r+1) . on retrouve bien . Lissage par un polynôme Dans la pratique. équations à (r+1) inconnues.2. Ces inconnues sont En posant : le système précédent s’écrit : 36 . Dans ce cas. on obtient : soit : Dans le cas général. Ce système peut être résolu par la méthode du pivot par exemple. Pour la résolution, il est fortement recommandé de travailler en double précision (si on n’utilise pas le langage MATLAB), car à partir d’un polynôme de degré 7, les erreurs d’arrondi donnent des résultats sans signification. En général, on utilise un polynôme de faible degré, et si c’est possible des droites de préférence. Il est souvent utile pour cela de changer d’échelles (échelles logarithmique ou semi-logarithmique par exemple). 3. Exemples de lissage 3.1. Cas d’une droite de régression (ou droite des moindres carrés) g(x) est un polynôme de degré 1 Soit : Le système précédent devient alors : r=1. En posant : le système précédent devient : 37 Les solutions de ce système sont : et g(x) devient : Pour , on a : Ainsi, a1 s’écrit : où avec : est la variance des abscisses xi des points Mi. En effet : et en faisant x=y, on obtient : Pour y, on définit de la même façon que pour x la variance : 38 x Ainsi, le coefficient de corrélation entre les variables xi et yi sera défini par : On remarque que les coefficients a1 et C sont liés par la relation : 3.2. Cas d’une fonction comportant des exponentielles Exemple : A la suite d’une série de mesures physiques, on a obtenu les résultats suivants dans le tableau ci-dessous : 1 0,00 2,97 2 0,40 2,87 3 0,80 2,45 4 1,20 1,91 5 1,60 1,24 6 2,00 1,29 7 2,40 0,71 8 2,80 0,57 9 3,20 0,74 10 3,60 0,42 11 4,00 0,39 Approcher la fonction Solution : par une exponentielle. et il s'agit de calculer les constantes a et A à partir des mesures physiques. On a : La minimisation de S donne : 39 avec : Dans la 2ème équation du système, on remplace A par sa valeur obtenue dans la 1ère équation, et on obtient : Cette équation est donc du type f(a) = 0, on peut la résoudre par la méthode de Newton par exemple. Pour cela, on choisit une valeur arbitraire ‘ plusieurs itérations, on montre que : ’, et on calcule . En faisant Après itérations, on trouve : d’où la fonction : 40 4. Intégration sur un domaine infini 2.5.1. ensuite faire la somme des aires sur l’intervalle sur lequel la fonction est définie.6. Méthode des trapèzes 2. Formules de Newton-Cotes 2. 41 .1. Introduction Pourquoi utilise t-on l’intégration numérique ? Lorsque l’intégrale ne peut pas être évaluée analytiquement ou lorsque l’intégrale n’est pas donnée sous forme analytique mais numériquement en un certain nombre de valeurs discrètes. Méthode de Gauss 2. 2. Introduction 2.6.2.3. La présence de singularité dans les fonctions (ou dans certaines fonctions) rend les calculs parfois difficiles. Méthodes d’intégrations numériques 2. Méthode des trapèzes Cette méthode consiste à remplacer la courbe f(x) par une ligne brisée et à calculer l’aire de chaque trapèze. Problèmes liés aux limites de la fonction 2. Intégration sur un pas quelconque 2. Singularité dans l’intégrale 1.Chapitre V : Intégrations numériques Méthodes d'intégration Plan 1.6.2. Méthode de Simpson 2.1. l’intégration numérique peut être utilisée. Méthodes d’intégrations numériques 2. Il existe plusieurs méthodes permettant d’évaluer les intégrales de fonctions bornées sur un intervalle. Un développement en série de Taylor au 1er ordre permet de faire apparaître l’erreur qui correspond aux termes du second ordre en . qui est divisé en n intervalles . l’intégrale précédente devient : Cette démonstration ne permet pas de mettre en évidence l’erreur d’intégration.Dans ce cas. D’où : où 42 . on a : . et Si : est l’intervalle d’intégration de f(x). Cette erreur est d’autant plus faible que le pas est petit. on suppose que tous les points sont régulièrement espacés : Ainsi. on a : Dans la suite. la fonction par l’arc de parabole passant par . Pour cela. On remplace par son expression utilisant les différences centrales : 43 . on pose : avec Dans ce cas. 2. et .Pour la plupart des fonctions. on peut obtenir une meilleure approximation en estimant simplement par : et l’intégrale précédente devient : Cette méthode est appelée la méthode des trapèzes avec corrections aux extrémités. d’intervalles et s'écrit . Méthode de Simpson Cette méthode consiste à remplacer . on obtient : L’aire de 2 tranches soit. Un développement en série de Taylor permet de démontrer la formule de Simpson.2. f’(a) et f’(b) peuvent être calculées par des différences finies par exemple. En tenant compte de cette correction. Cette méthode peut donc être utilisée pour l’intégration d’une fonction donnée numériquement à intervalles discrets. entre et . la méthode devient d’ordre 4. on trouve : Après regroupement des termes. En remplaçant dans l’intégrale précédente les par leurs expressions. et en remarquant que : il vient alors : soit finalement : 44 . on obtient : soit : L’aire sur l’intervalle est alors obtenue par : Cette intégrale nécessite que le nombre d’intervalles soit pair.En posant . La méthode de Simpson est une méthode d’ordre 4. L’intégrale est une combinaison linéaire de . sera donné dans la suite de ce cours. Formules de Newton-Cotes Les méthodes des trapèzes et de Simpson sont des cas particuliers des formules de NewtonCotes. Exemple : Calculer par la méthode de Simpson. et les valeurs des coefficients de la combinaison linéaire dépendent de n.3.Cette méthode d’intégration est exacte pour l’intégration des polynômes jusqu’à l’ordre 3 inclus. ce qui signifie que cette intégrale est calculée de façon exacte lorsque est un polynôme de degré inférieur ou égal à n : le nombre de valeurs est égal à n+1. on intègre sur n tranches. La méthode des trapèzes et la méthode de Simpson correspondent respectivement à n=1 et n=2. Avec 4 tranches. Les résultats de cette méthode donnent : soit encore : avec où A et ak sont données par le tableau suivant : Nom de la formule Trapèzes n 1 A 2 1 45 1 . on a : L’erreur relative est : 2. Le principe de la méthode de Newton-Cotes dans le cas le plus général à pas non constant. . Méthode de Gauss C’est une méthode très précise. Dans ce cas. Ces . il faut faire un changement de en . peut être évaluée en suivant la procédure : Ainsi. Lorsque la fonction est connue analytiquement ou lorsqu’elle est tabulée numériquement en ces points précis. La méthode de Simpson est couramment utilisée. l’intégrale de 46 . 2.Simpson Villarceau Hardy Remarque : 2 4 6 3 45 140 1 14 41 4 64 216 1 24 27 64 272 14 27 216 41 Les formules de Newton-Cotes ne doivent pas être utilisées pour ‘n’ élevé. la constante C est proportionnelle à (b-a) et les facteurs de (segments de droites pondération dépendent de la fonction par laquelle on approche pour la méthode des trapèzes. En développant sur une base de polynômes.4. la méthode de Gauss peut être appliquée. Elle utilise des points qui ne sont pas régulièrement espacés et convenablement choisis. l’intégrale de peut s’écrire comme une combinaison linéaire des valeurs que prend la fonction en divers points : Dans cette expression. arcs de paraboles pour la méthode de Simpson). En ce qui concerne la méthode de Gauss. on développe dont les polynômes sont définis sur l’intervalle variable sur qui permet de transformer dans une base de polynômes orthogonaux sont les racines de ces polynômes. c’est à dire : (a) On obtient donc : (b) où et sont tabulés. qui sont alors irrégulièrement espacés. 9324695142 7 0.3399810436 0.8611363116 5 0.• • on choisit la valeur n qui donne le nombre de points où la fonction doit être évaluée. .5773502692 0.4679139346 0.6612093865 0.5555555556 0.6521451549 0.3818300505 0. ensuite on évalue l’intégrale de (expression • Racines et poids pour la méthode de Gauss .5384693101 0.0000000000 0. on lit dans la table donnant et les n valeurs de qui sont deux à deux symétriques par rapport à zéro (qui sont les racines du polynôme de Legendre d’ordre n) qui correspondent à la valeur de n choisie.7415311856 0.2386191861 0.3607615730 0.9061798459 6 0.0000000000 0.3478548451 0. par la méthode de Gauss.4179591837 0.0000000000 0.4058451514 0.5688888889 0. on calcule (b)).1294849662 4 0. par l’équation (a). on connaît : 47 .2369268850 0.7745966692 1.0000000000 0.1713244924 0.2797053915 0.4786286705 0.Legendre 2 3 0.8888888889 0.949079123 Exemple : Calculer l’intégrale Solution : Analytiquement. 861136 -0.5.On choisit un .339981 0. est constant.277728 1. on a soit le pas donnée numériquement en des points façon quelconque. Ainsi : où Les coefficients sont déterminés de la manière suivante : et .652145 0.347855 0. et on calcule les tableau précédent. remplacer l’intégrale par une combinaison des .339981 0. on a : donnés par (d). 48 . soit la fonction à intégrer est qui ne sont pas régulièrement espacés et disposés de La méthode générale pour intégrer une telle fonction consiste à : • • approcher la fonction f(x) par un polynôme quelconque. Pour b=4 et a=0.347855 d’où : 2.722272 selon l’équation (b) : 0. Intégration sur un pas quelconque Dans le cas précédent. On extrait ensuite les et les du -0.320038 2.861136 On calcule ensuite l’intégrale 0.652145 0.679962 3. 6. Intégration sur un domaine infini Pour calculer l’intégrale suivante. on obtient la formule des trapèzes. Et lorsque les points sont équidistants. Problèmes liés aux limites de la fonction 2. Quand les points sont différents les uns des autres. par exemple : 49 . on obtient le système de Cramer avec une solution. il est conseillé de ne pas prendre beaucoup de points. 2.6.On obtient alors un système linéaire de n+1 équations à n+1 inconnues et dont les inconnues sont les coefficients donnés par : On remarque que lorsque n=1. on obtient la formule de Newton-Cotes.1. car le polynôme d’interpolation devient dans certains cas une mauvaise approximation. Pour obtenir une bonne approximation de l’intégrale de . il faut s’assurer que cette intégrale converge. Mais cette technique introduit souvent une 50 . on connaît la forme asymptotique de Si pour suffisamment grand. . . On peut également faire un changement de variables pour ramener la borne infinie de la seconde intégrale singularité. on écrit : où l’intégrale peut souvent être évaluée analytiquement. on sépare l’intégrale en deux : peut être facilement évaluée par l’une des méthodes évoquées précédemment. on procède de la façon suivante : • • on fait un changement de variable qui permet de transformer les bornes infinies en bornes finies. Dans ce cas. alors b (ou 2b) est pris comme borne remplaçant l’infini. devient Pour le critère donné sur b (b suffisamment grand). si b est suffisamment grand. En ce qui concerne le calcul de négligeable. on calcule et Si . par exemple Dans la plupart des cas. à une valeur finie. et par conséquent : . ce type d’approche ne donne Une autre approche possible permettant de calculer lavariables en variable . Si on doit calculer l’intégrale par la méthode de Simpson à pas constants. on partage deux intégrales : en avec ou par exemple. cette intégrale peut être calculée facilement : Par la méthode de Simpson par exemple.2. et si. Analytiquement. on choisit n pair. Singularité dans l’intégrale La meilleure méthode pour traiter les singularités est de les éliminer si possible par l’une des nombreuses techniques algébriques .6. le changement de variables. Comme il est très difficile d’approcher une singularité par un polynôme. on obtient : consiste à faire un changement de 51 . Pour le cas particulier étudié. oscille autour de la singularité. on n’a pas besoin de la valeur de Cependant si la fonction pas de bons résultats. etc. à savoir l’intégration par partie. aux bornes. On prend un grand pas entre c et 1 et un pas petit entre ε et c. on calcule : où ε est suffisamment petit. La méthode de Gauss est la mieux adaptée en général parce qu’elle correspond à une approximation par un polynôme de degré n élevé d’une part. Exemple : Soit à calculer l’intégrale suivante : est infinie sur la borne inférieure. d’autre part. l’intervalle d’intégration doit exclure la borne où la singularité apparaît.2. si et par suite : 52 . Problèmes avec des conditions aux limites : Méthode Matricielle 1.2. Méthode de Runge-Kutta à l'ordre 2 2. Formules d'Adams à l'ordre 1 2.3. Méthode de Prédicteur-Correcteur 2.1. Formules d'Adams à l'ordre plus élevé 2.1.1. En effet.1.2.2. il existe plusieurs types d'équation différentielles.3. Formules d'Adams fermées 2. La résolution de la plupart des équations différentielles requiert donc l'utilisation de méthodes numériques. Méthode de Runge-Kutta à pas unique 2.3. Méthodes de résolution des équations différentielles 2. Chacune de ces méthodes peut être appliquée à la résolution de la plupart des équations différentielles. Chaque type nécessite une méthode de résolution particulière.5.6. Méthode d'Euler 2. Position du Problème 2.3.3. Méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 2.4.2.3. Les équations différentielles peuvent être classées en deux catégories : les équations différentielles aux conditions initiales et les équations différentielles aux conditions aux limites.3.1.1.1.4.Chapitre VI : Résolution numériques des équations différentielles Plan 1. Méthode d'Adams à pas multiple 2. Formules d'Adams ouvertes 2.2. Problèmes avec des conditions aux limites : Méthode de TIR 2.2. Position du Problème Les méthodes analytiques ne sont pas suffisantes pour résoudre les problèmes d'équations différentielles.3. Exemples : 1°) Soit l'équation différentielle suivante : 53 . Formules d'Adams à l'ordre 2 2.1. Formules d'Adams à l'ordre 3 2. un problème aux conditions initiales est donc de la forme : où et On obtient alors un système de équations à inconnues. Dans ce cas. on peut dire que toute équation différentielle d'ordre avec des conditions initiales peut être remplacée par un système de équations différentielles couplées du 1er ordre. Dans de nombreux cas. le système précédent devient : avec : Ainsi.On donne en plus de cette équation différentielle les conditions initiales suivantes : et Dans cette équation. 54 . 2°) Soit l'équation de la propagation de la chaleur le long d'une barre : Ce problème est à conditions aux limites. la variable indépendante peut être le temps. En posant . mais aussi toute autre variable. on trouve des problèmes où les conditions aux limites (ou les conditions initiales) n'ont pas de sens physique. Ce système peut être résolu par rapport à une seule variable (le temps par exemple) : Les méthodes employées pour la résolution du système précédent se généralisent de façon immédiate pour résoudre les systèmes de équations à inconnues. 2. on obtient : Pour constant. Résoudre l'équation différentielle du 1er ordre suivante : La solution exacte de ce système est : Selon la méthode d'Euler.1. donc. on a : est connue à Exemple : . Méthodes de résolution des équations différentielles 2. le développement en série de Taylor de voisinage de donne : au à l'ordre 1. Méthode d'Euler La méthode d'Euler est la méthode la plus simple et la moins précise. Soit à résoudre l'équation différentielle suivante : En supposant connue à l'instant t. la solution de ce système s'écrit : car 55 . la fonction y peut être déterminée à tout autre instant ultérieur. 66666667 0. on remplace dans l'équation précédente.1.2.25 2. 2. Dans ce cas.76923077 0.72 2.71428571 0.52631579 0.58 3.Dans le tableau ci-dessous.95 3. relative 1.56854190 0. Donc.4 0. cette méthode est peu précise. stabilité de la solution.3 0.75192390 0.71 D'après ce tableau. 2.58823529 0. et on obtient : par sa valeur 56 .65 2. Nous l'avons utilisée pour introduire les autres méthodes et donner une simple idée sur l'erreur commise.9 1.45850815 % Err.90909091 0.2.81900000 0. car elles présentent plusieurs avantages (facilité de programmation.50746495 0. modification simple du pas et la suffit pour intégrer l'équation différentielle).64702892 0.00 1. donne une comparaison entre la solution numérique et la solution exacte obtenue analytiquement pour un pas de temps s: i 1 2 3 4 5 7 9 11 ti 0.7 0.25 3.69538494 0. Méthode de Runge-Kutta à pas unique Les méthodes de Runge-Kutta sont bien utilisée dans la pratique.5 0. Méthode de Runge-Kutta à l'ordre 2 Cette méthode est obtenue en prenant les différences centrées au 1er ordre : Or estimée est inconnue.47619048 yi Méthode d'Euler 0. Les inconvénients de cette connaissance de méthode se résument au temps de calcul lent et à la difficulté de l'estimation de l'erreur locale.2 0.90000000 0. on remarque que l'erreur augmente au fur et à mesure que augmente.83333333 0.1 0.1 yi exact 0. Elle n'est pas utilisée dans la résolution numérique des équations différentielles. 2 Méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 Dans la plupart des cas.3.Pour évaluer .2. la méthode de Runge-Kutta utilisée est celle d'ordre 4 : Le calcul de nécessite alors 4 évaluations de la fonction compliquées le temps de calcul devient important. 2. Méthode d'Adams à pas multiple Cette méthode est l'une des catégories à pas multiples. la fonction doit être calculée deux fois. d'où l'appellation "Formule et la seconde fois pour évaluer .3. Elle peut être classée en formules ouvertes ou formules fermées. . Formules d'Adams ouvertes Soit l'équation différentielle suivante : (1) Le développement en série de Taylor autour de donne : 57 . et par suite pour les fonctions 2. d'ordre 2" : la première fois pour l'obtention de 2.1. Formules d'Adams à l'ordre 1 Dans l'équation (2).Dans l'équation différentielle (1). 2. Formules d'Adams à l'ordre 2 On utilise les trois premiers termes de l'équation (2) : (4) On remplace par son expression en fonction des différences finies à gauche.3. on a : où : (2) 2.2. et on obtient : 58 . on garde les deux premiers termes (à l'ordre 1) : (3) C'est l'équation d'Euler (ou méthode d'Euler).1.1.3.1. il faut ne peut pas être déterminée car on ne connaît . Donc. on peut exprimer. 2. Pour calculer connaître et .3. et on D'où la solution devient après regroupement des différents termes : On a la même remarque que précédemment. Formules d'Adams à l'ordre plus élevé et en utilisant la méthode de En utilisant le même principe. Pour démarrer cette méthode.1.et l'expression (3) devient : ou encore : Les termes d'ordre 3 sont négligés. Formules d'Adams à l'ordre 3 On utilise les 4 premiers termes de l'équation (2) : On exprime trouve : et par leurs formules obtenues à partir des différences à gauches. 2.3.3. . On remarque que . on calcule Runge-Kutta à l'ordre 4. par une formule générale d'ordre en fonction de et : 59 .1.4. il faut utiliser une autre méthode pour évaluer pas (méthode de Runge-Kutta à l'ordre 2 par exemple). la formule est d'ordre 2. Formules d'Adams fermées Dans ces formules.2.3.(4) Dans le tableau suivant. jusqu'à . on utilise le développement en série de Taylor "en arrière" : Dans ce développement en série de Taylor. ce qui correspond à une 0 1 2 3 4 5 Ordre de la méthode 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6 La formule la plus couramment utilisée est celle d'ordre 4 : 2. on donne les valeurs de formule d'ordre 6. on remarque que : 60 . D'où pour . méthode itérative. il faut . on injecte réalisée. Pour cela. on injecte une première valeur estimée On obtient alors une nouvelle : (pour l'ordre 1 par exemple) pour calculer . on a donc : à l'ordre . on a : Ainsi. Si cette convergence s'effectue quand la précision est inférieure à une valeur donnée. on obtient : Cette formule est dite "fermée" car pour obtenir l'inconnue calculer qui dépend lui même en général de . On utilise donc une de . On arrête les calculs quand la convergence est Ensuite. on obtient la formule généralisée suivante : 61 . Méthode de Prédicteur-Correcteur La combinaison des deux méthodes précédentes (formules d'Adams ouvertes et formules d'Adams fermées) constitue la méthode de prédicteur-correcteur. puisqu'il faut calculer converge vers . on profite des avantages liés à la méthode d'Adams : temps de calcul réduit et erreur estimée de troncature réduite considérablement. 62 . demandent plus de temps de calcul de telle sorte que la différence que les formules ouvertes. c'est à dire : On constate que les formules fermées.Les valeurs de sont donnée par le tableau ci-dessous jusqu'à . Le prédicteur est obtenu par une est introduite dans la méthode à formule formule ouverte de même ordre. Il suffit de trouver une valeur estimée proche de la valeur finale . Ceci permet d'accélérer la convergence vers la solution. Leur convergence est d'autant plus rapide que l'estimation initiale proche de la valeur exacte . Pour le même ordre. Cette valeur fermée. qui sont itératives. ces formules sont bien plus précises et plus stables que celles dites "ouvertes". Ainsi. est plus 2.4. 0 1 2 3 4 5 Ordre de la méthode 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6 La méthode la plus couramment utilisée est celle à l'ordre 4. on estime par n'existe pas. Les conditions aux limites qui ne sont pas des conditions 63 . puis par la méthode de prédicteur-correcteur d'ordre 4 en se limitant à une itération pour le correcteur.Pour la méthode d'Adams au 4ème ordre. Exercice : Résoudre l'équation différentielle suivante par la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.5. On prendra exemple : et on comparera les résultats obtenus par les deux méthodes pour par 2. Cette valeur est injectée dans la formule (7) pour amorcer les itérations. puis par la formule (6). et peuvent être calculées à partir des formules de Runge-Kutta. Étant est calculée à partir des équations (5) et (6) et . la valeur va initialiser les calculs d'itérations (formule (7)). on a : Prédicteur : formules d'Adams ouvertes au 4ème ordre : (5) au pas précédent. Problèmes avec des conditions aux limites : Méthode de TIR La méthode de TIR consiste à remplacer le problème de conditions aux limites par un problème de conditions initiales. on a qui est la valeur du prédicteur (modificateur) (6) Correcteur : obtenu à partir de la formule d'Adams fermée (au 4ème ordre par exemple) : (7) Les valeurs donné que . À partir de l'équation (5). Soit l'équation différentielle du second ordre suivante : (8) avec les conditions aux limites suivantes : On remplace ces conditions aux limites par des conditions initiales : où est arbitraire En utilisant les méthodes décrites précédemment. le problème devient une équation dont on est amené à chercher sa racine. on en déduit (9) La convergence est réalisée quand et seront suffisamment proches l'une de l'autre. la résolution de (8) donne une solution fonction de qui. prend la valeur de telle sorte qu'on ait : .initiales ne peuvent se concevoir que pour des équations différentielles d'ordre au moins égal à 2. Pour résoudre l'équation (8). ce qui donne par interpolation linéaire. ou pour les systèmes d'équations différentielles du 1er ordre. 64 . Ayant obtenu dans le cas général par : . Cette solution est une Ainsi. pour . et on cherche . on donne 2 valeurs arbitraires et et puis on déduit une valeur à partir de et et . Exemples : • soit le système d'équations du 1er ordre suivant avec des conditions aux limites : Cette équation du 3ème ordre peut être ramenée à un système de 3 équations du 1er ordre. en posant : d'où : avec : Ce système est à conditions aux limites. Pour le résoudre. on le transforme en un système aux conditions initiales : avec : 65 . apparaissent à des On dit qu'une équation différentielle est non linéaire si puissances différentes de 1.Ce système peut être résolu par l'une des méthodes décrites précédemment (prédicteurcorrecteur avec initialisation ou Runge-Kutta) ensuite on détermine la valeur de pour que • soit égal à 1. …. . 2.6. peut s'écrire sous la forme suivante par exemple : Ces équations peuvent être résolues par décomposition en un système de équations à inconnues du 1er ordre. . comme par exemple : (10) Si l'équation est à coefficients dépendants de l'inconnue. comme c'est le cas de l'exemple précédent (équation 10) : Cette équation peut être écrite sous la forme : et on remplace l'ensemble des conditions aux limites par des conditions initiales. Problèmes avec des conditions aux limites : Méthode Matricielle Equation différentielle du second ordre : différences finies Soit à résoudre l'équation différentielle du second ordre suivante : (11) On suppose connues : (conditions aux limites) 66 . Équations non linéaires ou à coefficients fonction de l'inconnue : . On divise l'intervalle en intervalles égaux à . On utilise les formules d'ordre 2 aux différences centrées : L'équation (11) devient en et pour : Après regroupement des différents termes. on obtient : équation qui peut être écrite aussi sous la forme suivante la plus simple : Pour variant de 1 à . le système d'équations (12) devient : 67 . Ces deux équations s'écrivent. La première équation de ce système correspond à et la dernière . on obtient un système de équations à inconnues (où correspond à limites ). puisqu'on connaît les conditions aux et : Ainsi. Ce système est défini par une matrice tridiagonale. système plusieurs fois avec des pas 68 . Sa résolution est simple et rapide : ( équations à inconnues ). Pour aboutir à la précision recherchée. etc. on résout le . jusqu'à la convergence souhaitée. et et . . . alors les équations aux dérivées partielles font intervenir Dans la suite. Conditions aux limites 3. permettent de donner les 69 . Cas où le contour suit le maillage 3. Exemples de problèmes liés aux conditions aux limites 4. Équations du second ordre 6. Problèmes en coordonnées cylindriques 8. .3.1. Équations du premier ordre : Méthode des caractéristiques 4. et l’extension de ces équations à un ordre plus élevé ne pose aucun problème pour la résolution. Système d'équations du premier ordre 5. Position du Problème Dans la pratique.2. Équations elliptiques 7. Expression des dérivées partielles 3. Si est une fonction des variables . Courbes caractéristiques associées à une équations du premier ordre 4. Position du Problème 2.Chapitre VII : Calculs des équations aux dérivées partielles Plan 1. nous exprimons ces quantités en fonction de leurs expressions établies à l’aide des différences finies. Discrétisation de l'équation de la Conduction en régime instationnaire 1.1.2. Les contours du domaine de la fonction conditions aux limites. Cas où le contour est quelconque 4. la plupart des équations aux dérivées partielles sont du premier ou du second ordre à deux variables indépendantes. on utilise les points situés de part et d’autre de . Considérons les développements en séries de Taylor autour de Posons où est l’un des points de la figure 1 ci-dessous : Fig. on obtient à partir du développement précédent à l’ordre 2 les dérivées partielles premières : soit : (1) On a également : soit : (2) 70 .2. Expression des dérivées partielles Pour calculer . 1 : Maillage utilisé en différences finies Pour et . de la fonction : . on applique successivement les Soit : 71 . on obtient les dérivées partielles secondes : et soit : soit : Pour l’obtention des dérivées croisées. équations (1) et (2) : par exemple.En additionnant les développements en séries de Taylor des fonctions à l’ordre 2. le contour est constitué (ou approché) par des segments de droites qui suivent le maillage. à partir des nœuds voisins à l'aide de la 72 . etc.3. etc. Les conditions aux limites s'expriment de la même façon que dans le cas des équations différentielles (chapitre précédents). il faut interpoler . faisant intervenir les dérivées partielles. Conditions aux limites Dans le cas de plusieurs variables indépendantes. dE. problème de Neumann). on impose sur le contour (en tout point). (problème de Dirichlet). b. Cc. font intervenir les points extérieurs a. et écrites pour tous les points intérieurs A. la surface dans le cas de trois variables. c. Cas où le contour est quelconque Un contour quelconque est remplacé par la ligne polygonale la plus voisine. bB. Les conditions aux limites fournissent des conditions supplémentaires sur ces points extérieurs. Ainsi les équations du paragraphe précédent. 2 : Contour suivant le maillage 3. Ee. des conditions portant soit sur la fonction soit sur le gradient de :( . En général. formule de Gregory-Newton par exemple. etc.2.. c'est Aa. Fig. 3. Sur le contour.B. la limite représente le contour dans le cas de deux variables. etc. Dans le cas de la figure 3 ci-dessous. .1. Cas où le contour suit le maillage Dans la majorité des cas. C. 1. Courbes caractéristiques associées à une équations du premier ordre L'équation précédente à résoudre est de la forme : Considérons les vecteurs et suivants : Cette équation se réduit à : représentative de la solution . 3 : Contour quelconque 4. est un vecteur tangent à la surface Le vecteur (1) parallèle à est : Les courbes et obtenues à partir de ces équations sont appelées des courbes caractéristiques. . Ainsi. À cette équation.Fig. et ne dépendent ni de les conditions aux limites. Équations du premier ordre : Méthode des caractéristiques On s'intéresse ici aux équations du premier ordre qui sont quasi-linéaires et de la forme : où Les coefficients . ni de . il faut ajouter 4. La méthode caractéristique consiste à remplacer l'équation aux dérivées partielles précédente par un ensemble d'équations de la forme : 73 . les caractéristiques sont des droites parallèles. la solution recherchée satisfait à : 4.2. une fois intégrée donne la valeur de ) de la caractéristique. l'expression de devient : 74 . Ainsi.• ou encore qui. Ainsi. une fois intégrée compte tenu de la constante . donne l'équation • ou encore en tout point (donc (ou ) qui. d'intégration. Exemples de problèmes liés aux conditions aux limites Exemple 1: Soit à résoudre la simple équation aux dérivées partielles suivantes : En se reportant au paragraphe précédent. on a : L'équation (1) s'écrit alors : Cette équation est remplacée par deux autres équations : (3) D'après la première équation du système (3). Exemple 2: Soit à résoudre l'équation différentielle suivante : Dans cette équation : D'où : .Les constantes et (ou ) sont déterminées à partir des conditions aux limites. Système d'équations du premier ordre Soit le système suivant liant les dérivées des fonctions et : 75 . et . L'équation des caractéristiques est : Les conditions aux limites donnent : D'où la solution : Les constantes et sont déterminées par les conditions aux limites. 4.3. (4) où les coefficients peuvent dépendre de supposées connues sur une courbe . et sont Suivant la procédure décrite dans le paragraphe précédent. 1) En divisant le déterminant par . . c'est à dire si le déterminant est nul. on obtient : 76 . et de manière unique. et . seulement s'ils sont linéairement dépendants. . dont 2) En remplaçant dans le déterminant la dernière colonne par celle du second membre. mais pas de ni de . on peut écrire : (5) Les systèmes (4) et (5) ne définissent pas les 4 inconnues . on obtient une équation du second degré en la solution est l'équation différentielle des caractéristiques. si . et . . La solution n'est pas unique 77 .et par intégration. et . peuvent dépendre de . 5. Équations du second ordre Soit l'équation aux dérivées partielles suivante : (6) . on obtient les valeurs de et de le long des caractéristiques. . et . . mais pas des dérivées secondes de la fonction Posons : et : L'équation (6) devient : (7) avec : (8) Les équations (7) et (8) comportent 3 inconnues . le système (7) et (8) n'admet pas de solution sauf si les autres déterminants du système sont nuls : c'est à dire en remplaçant dans le déterminant précédent la deuxième colonne par la colonne du second membre de l'équation : (10) Pour pouvoir utiliser la méthode des caractéristiques. on montre comment on discrétise une équation aux dérivées partielles elliptique avec des conditions aux limites. En conséquence. il faut que les racines de l'équation (9) soient réelles. et cette équation est dite hyperbolique (c'est le cas de l'équation de propagation ). . et cette équation est dite où si • si parabolique (c'est le cas de l'équation de diffusion de la chaleur se confond avec la variable t). les 3 cas suivants présentent : • si elliptique . et l'équation (6) est dite . • si . dans le but de la transformer en un système de équations à inconnues. l'équation (9) admet une racine réelle double. 6. l'équation (9) n'a pas de racines réelles.soit : (9) Lorsque l'équation (10) est vérifiée. La mise en équation à l'aide des différences finies comporte les étapes suivantes : 78 . Équations elliptiques Dans cette partie. l'équation (9) admet deux solutions réelles qui sont distinctes. en tout nœud intérieur au domaine. on définit le maillage qui coïncide avec la frontière du domaine : on choisit pas sur ( ) et m + 1 pas sur y ( ) Fig. on exprime les dérivées partielles à l'aide des différences finies (ces termes contiennent des points situés sur la frontière).• • • on définit un maillage couvrant le domaine et sa frontière. ce qui permet de donner : 79 . 4 : Définition du maillage • En chaque nœud intérieur du domaine. on exprime les valeurs de la fonction en tout point sur la frontière en tenant compte des conditions aux limites. Ainsi. Résoudre l'équation de Laplace suivante : avec les conditions aux limites suivantes : et • Dans un premier temps. on exprime l'équation de Laplace à l'aide des différences finies. on obtient un système de Exemple : équations à inconnues. .• • On vérifie bien que cette équation fait intervenir les points à la frontière ( à et à ). : D'après les conditions aux limites imposées. on a : à l'ordre 4 s'écrit : Soit : On continue ainsi à exprimer les conditions aux limites. ce qui donne : 80 . et et . l'équation précédente s'écrit pour Les valeurs et donnent dans l'équation précédente : Pour à . On exprime les conditions aux limites portant sur . on applique le procédé d'itérations de Gauss-Seidel (méthode explicite). Pour d'autres équations plus compliquées. Dans ce cas. on obtient : Pour résoudre l'équation discritisée. on se donne une valeur (distribution) arbitraire initiale qui portée dans l'équation (19) au second membre pour chaque couple nouvelle valeur . on obtient équations à inconnues (valeurs de dans les nœuds et intérieurs au domaine). Pour variant entre 0 . . Pour cela. donne une où . Ce système d'équations peut être résolu par exemple par la méthode de Gauss-Seidel (méthode itérative). on obtient : Les équations précédentes constituent un ensemble de équations. le procédé converge toujours.Pour . on utilise un facteur de relaxation . Principe de la méthode : Après multiplication par sous la forme : et regroupement des termes. l'équation discritisée peut s'écrire Le coefficient est le plus grand en module. ce procédé de convergence pourra diverger. L'arrêt des calculs se fait quand est la limite de convergence que l'on se donne. Dans le cas de l'équation de Laplace. la convergence est plus rapide lorsqu'on utilise un 81 . En général. Donc : Pour . et ainsi de suite. avec sont des entiers. cette équation s'écrit sous la forme : sur la domaine Sur ce domaine . Fig. Problèmes en coordonnées cylindriques Considérons l'équation de la conduction de la chaleur exprimée en coordonnées cartésiennes : En coordonnées polaires. les dérivées secondes de s'écrivent sous la forme discrétisée suivante : par rapport à et 82 . 5 : Système de maillage en coordonnées polaires Ainsi. on construit un maillage en coordonnées polaires et où et comme le montre la figure 5 ci-dessous. la température et la fonction deviennent au point : Pour des valeurs non nulles de . 7.procédé de relaxation (où ). Pour cela. l'équation de la conduction en coordonnées polaires présente une singularité. après regroupement des différents termes : C'est l'équation de conduction de la chaleur discrétisée (différences finies) en coordonnées cylindriques. l'équation de la chaleur discrétisée est : Soit. l'équation précédente (en coordonnées cartésiennes) s'écrit sur le cercle de rayon : 83 . on utilise le Laplacien de l'équation de la conduction non pas en coordonnées cylindriques. peut s'écrire au point sous la forme : Ainsi. Considérons la température à . et sont les températures sur le cercle aux 4 nœuds (intersection avec les axes et ). A l'origine ( ).En utilisant les différences centrées. mais en coordonnées cartésiennes : quand On construit ensuite un cercle de rayon . Ainsi. Les indices et sont des entiers (commençant par 1 dans Matlab). . et . centré en . Cette dernière doit être éliminée. obtenue pour des valeurs de non nulles ( ). et est un entier positif. En considérant arithmétique des températures autour du cercle de rayon . et de Les coordonnées polaires (deux dimensions) peuvent être extrapolées en coordonnées cylindriques (trois dimensions) pour l'obtention de l'équation de la conduction de la chaleur discrétisée. en utilisant la règle de l'Hopital nous obtenons : D'où. l'équation de la conduction de la chaleur peut être réduite à : Pour . l'équation précédente devient : à où centre est la moyenne arithmétique des valeurs de et est la valeur de la température à autour du cercle de rayon . . ). s'écrit compte tenu en soit en différences finies : pour 84 .La rotation des axes et autour de conduit au mêmes résultats (équation de la comme la moyenne chaleur en coordonnées cartésiennes discrétisée). Pour le problème bidimensionnel en évoqué précédemment. l'équation précédente discrétisée s'écrit sous la forme : où Au centre ( . l'équation de la conduction de la chaleur en deux dimensions de la symétrie axiale du problème : . compte tenu de la symétrie axiale. on a : non nulles. au nœud est notée par : et les différentes dérivées partielles deviennent : L'équation de la chaleur discrétisée en coordonnées cylindriques au nœud devient : pour des valeurs de Pour .En coordonnées cylindriques. l'équation de la conduction de la chaleur est donnée par l'expression suivante : Les coordonnées sont représentées par : où La température et sont des entiers. et l'équation de conduction en devient : en Soit en utilisant les différences finies au nœud 85 : . et sont entiers positifs. Dans ce cas. l'équation de conduction de la chaleur en régime instationnaire (temporel) s'écrit (si ): Pour résoudre cette équation aux dérivées partielles en utilisant la méthode des différences finies. et le domaine temporel est divisé en petits intervalles de temps de telle sorte que . les différents termes de l'équation ci-dessus au dérivées partielles s'écrivent au point : et l'équation de la conduction discrétisée en trois dimensions devient : 86 .8. Discrétisation de l'équation de la Conduction en régime instationnaire Dans le système de coordonnées cartésiennes (trois dimensions). la température représentée par : au point à un temps donné est En utilisant la méthode des différences finies. on utilise un maillage cubique (mailles de côtés avec : où . et est strictement positive. et on arrête les calculs quand la est réalisée ( est une précision à fixer). par des valeurs 87 .En regroupant les différents termes de cette équation. on obtient : Cette équation ne peut être résolue que par une méthode itérative (méthode de Gauss-Seidel par exemple). on ensemence le domaine de frontière arbitraires ( condition par exemple). On pose : La convergence de la solution recherchée est assurée si la quantité Ainsi. ) sont reliés par : Pour amorcer le calcul itératif. le pas de temps et les autres pas spatiaux ( . 3ème édition. Stoer & R. 1980. 1978. P. "Programmes et exercices sur les méthodes numériques" .C. Baranger . 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P. éditions Masson. 2ème édition. Schatzman . 1990. Tome 2 . J. "Ananlyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur : Méthodes directes". Theodor . • • • • • • • • • • • 88 . éditions Masson. 1994. Tome 1 . "Méthodes de calcul numérique" . Sibony & J. Vaissière & J. éditions Mc GrawHill. Lascaux & R.