ChapitreI : Généralités sur le béton précontraintDéfinition Le béton précontraint est soumis, avant toute charge extérieure à des efforts de compression qui permettent de supprimer les contraintes de traction susceptibles d’apparaitre en service comme en béton armé. En 1935, son inventeur Eugène Freyssinet, Définissait ainsi la précontrainte « Pré contraindre une construction c’est la soumettre avant application des charges à des forces additionnelles déterminant des contraintes telle que leur composition avec celles qui proviennent des charges donne en tout point des résultantes inférieures au contraintes limites que le matériau peut supporter indéfiniment sans altération » I. Utilité du béton précontraint Le béton est aujourd‘hui le matériau de construction le plus économique. il résiste à la compression, mais peu à la traction. Le bêton armé est venu remédier à ce défaut dans la dernière partie du siècle dernier, grâce au recours à des barres d’acier, disposées dans toute la zone tendue, suivant la direction des contraintes de traction du béton. En adoptant l’hypothèse classique suivant laquelle le béton tendu, fissuré est négligé dans le calcul des contraintes normales, une section rectangulaire peut se schématiser comme l’indique la figure si dessous par une membrure de béton comprimé dont la hauteur est sensiblement égale au tiers de celle de la section et une membrure tendue formé par l’armature. Berroug Fatiha 1 0.35h h 0.10h Section rectangulaire en B.A L’examen de cette figure montre que dans une section rectangulaire de B.A, une proposition importante de la section, de l’ordre des deux tiers est pratiquement inutilisable dans le cas de la flexion. Bien sûr une liaison des deux membrures est nécessaire et nous savons qu’une largeur minimale de béton est indispensable pour assurer la résistance du béton à l’effort tranchant, nous arrivons ainsi à la section en Té. Section en Té en B.A La forme en Té est très courante dans la construction en B.A car elle présente plusieurs avantages : Elle permet d’économiser une quantité importante de béton et donc de réduire le poids des éléments ; Elle conduit ainsi à une meilleure utilisation de la section : un meilleur rendement mécanique. Mais les structures ainsi obtenues présentent des propriétés qui peuvent en limiter l’emploi : le béton qui enrobe les armatures est tendu en même temps qu’elles et ne peut subir leur allongement sans se rompre. La contrainte habituelle d’une armature de B.A est d’environ 250MPa, ce qui correspond à un allongement de l’ordre de 1% alors que le béton se Berroug Fatiha 2 rompt à la traction pour un allongement beaucoup plus faible, de l’ordre de 0.2% à 0.35%. Il en résulte des fissures qui autorisent un contact direct des armatures avec le milieu ambiant d’où un risque de corrosion. Le B.A convient donc assez mal aux ouvrages situés en atmosphère agressive, de même qu’aux couvertures et parois de réservoirs pour lesquels l’étanchéité est requise. Par ailleurs, le B.A est lourd, il en résulte que ce matériau est mal adapté aux grandes portées. Il était logique de chercher à utiliser à plein la résistance du béton en le comprimant à l’avance par des forces internes permanentes, de telle façon que les variations de contraintes engendrées par les sollicitations extérieurs ne se traduisent que par une décompression du matériau et non par une mise en traction de celui-ci, c’est l’idée de la précontrainte. C’est à Eugéne-Freysinet (1879-1962) que revient le grand mérite d’avoir mis au point et développé la technique du béton précontraint. Aujourd’hui, le béton est d’utilisation courante dans les ponts, les poutrelles préfabriquées, les réservoirs, les pieux de fondations, certains ouvrages maritimes, les barrages… II. Exemple : précontrainte d’une poutre isostatique fléchie Considérons une poutre de section rectangulaire et désignions par b et h respectivement la largeur et la hauteur de la section. Nous nous proposons d’étudier les contraintes dans une section donnée, sollicitée par un moment fléchissant M. Soit I = bh 3 le moment d’inertie de la section par rapport à l’axe xx’. 12 En un point d’ordonnée y par rapport à cet axe, et en supposant que la poutre est formée par un matériau homogène et élastique, La contrainte normale σ s’exprime par : σ = My I La contrainte varie donc en fonction de la hauteur suivant le diagramme ci-dessous et la valeur absolue maximale est : σ 0 = Berroug Fatiha 6M sur les fibres extrêmes de la section. bh 2 3 (I) σ0 (II) σ0 (III) 2σ 0 h σ x’ x -σ 0 b Effet d’une précontrainte centrée Si nous fixons à σ 0 (diagramme II) la compression apporté par la précontrainte. Le diagramme des contraintes dans la poutre fléchie sera celui qui est représenté en diagramme III et qui résulte de la superposition des diagrammes I et II. Nous voyons ainsi que les contraintes de traction ont disparu grâce à l’introduction d’une force de précontrainte P. P = σ0 bh = 6M h L’élimination des contraintes de traction n’a pu être obtenue dans le schéma ci-dessus qu’au prix d’une augmentation importante de la contrainte de compression qui passe de σ 0 à 2σ 0 . En fait, la précontrainte utile dans la partie inférieure de la section se révèle donc inutile et même nuisible dans sa partie supérieure. L’idée vient alors à l’esprit d’excentrer le point d’application de P de façon à obtenir des compressions seulement la où elles sont utiles. A l’examen du diagramme (I), on peut voir qu’un diagramme de précontrainte triangulaire croissant de 0 au sommet de la section jusqu’à σ 0 à sa base est suffisant pour annuler les tractions. Les diagrammes de contraintes seront : Berroug Fatiha 4 (I) σ0 (II’) (III) σ0 h x’ x σ e -σ 0 b σ0 Effet d’une précontrainte excentrée Pour réaliser le diagramme de précontrainte (II’), il faut placer l’armature de précontrainte h 6 à la limite du noyau centrale de la section avec un excentrement de : e = Cette nouvelle disposition présente sur la précédente deux avantages : la contrainte maximale n’est maintenant que σ 0 au lieu de 2σ 0 ; la force de précontrainte nécessaire égale à l’air du diagramme (II’) multiplié par la largeur de la section est : 1 3M P' = σ0 bh = 2 h soit la moitié de la précédente. Ceci montre l’importance du réglage de l’excentrement de la force de précontrainte. En jouant convenablement sur le couple de valeur (P, e), on pourra obtenir les conditions optimales de répartition des contraintes. Considérons maintenant le cas très pratique d’une section de poutre soumise à un moment fléchissant dû à des actions permanentes auxquels se superpose un moment fléchissant dû à des actions variables. Sous le seul effet des sollicitations extérieures la contrainte normale sur la fibre supérieure varie de σ G à σG + σQ . L’existence d’une contrainte minimale σ G à une conséquence importante : sous l’action de la précontrainte seule, il est possible, sans obtenir de contraintes de traction dans la section, d’avoir un diagramme tel que la contrainte au droit de la fibre supérieure soit négative. Berroug Fatiha 5 I σG σQ -σ G II III IV σQ h σ -(σG +σQ ) -σG σG +σQ σQ Compensation d’une action permanente La force P et l’excentrement de la précontrainte e sont données par : P= bhσ Q 2 , e = -h× (σ Q +2σ G ) 6σ Q Résultat surprenant : avec une précontrainte définie par le couple (P, e) de valeur ci-dessus, les contraintes extrêmes dans la section représentées en III et IV ne dépendent plus de MG mais seulement de MQ, c’est un résultat important : « en béton précontraint, la charge permanente est gratuite ». Cependant, cette affirmation ne doit pas être acceptée sans réserve. La valeur e déterminée par l’équation précédente n’est pas toujours compatible avec la géométrie de la section : l’excentrement est limité ; car l’armature doit rester à l’intérieur du béton avec une épaisseur d’enrobage convenable. En conclusion, la précontrainte est un outil important pour l’ingénieur. Dans tous ce qui précède nous nous sommes donné comme règle que la contrainte du béton soit toujours une compression sous les charges. Nous avons donc implicitement admis la précontrainte totale. Si au contraire nous admettons que la contrainte doit rester une compression sous les charges permanentes seulement, mais que les tractions sont admises sous les charges variables (sous certains réserves), on voit que l’on peut remplacer une fraction de l’acier de précontrainte par des armatures passives destinées à se substituer au béton lorsque celui-ci devient défaillant. Les diagrammes de contraintes prennent alors la forme indiquée cidessous : Berroug Fatiha 6 I σG σQ II III IV h -(σG +σQ ) -σG P P+G P+G+Q Précontrainte partielle Ces diagrammes montrent : Diminution de la force de précontrainte nécessaire (armature passive). Contrainte maximale de compression diminuée : ce qui est très important pour le comportement de la structure. Berroug Fatiha 7 Réglementations Chapitre II : I. Les contraintes admissibles σ(S) f γ σ(S) : contrainte associée à la sollicitation S, calculée par la RDM ; f : contrainte de ruine du matériau ; γ : coefficient minorateur de f, appelée coefficient de sécurité. Théorie semi-probabiliste Sa Sr Sa : sollicitations agissante, Sr : sollicitations résistantes Sa = ψi γi Qi i γ i : coefficient de pondération de l’action Qi ; ψi : coefficient qui tient compte de la simultanéité des actions. Sr = S( fk ) γm γ m : Coefficient de sécurité du matériau ; f k : Contrainte caractéristique du matériau considéré. II. Les Etats limites Berroug Fatiha 8 Un état limite est celui dans lequel une condition requise d’une construction est strictement satisfaite. On distingue deux grandes catégories, ELU, ELS : Les justifications aux ELS ont pour objet de s’assurer de la durabilité des structures et de leur aptitude à remplir la fonction pour laquelle elles ont été conçues. Les justifications aux ELU permettent de vérifier leur résistance. En pratique les états limites suivants interviennent dans les constructions précontraintes: ELS : Déformation, décompression, formation de fissure (par excès de traction, ou compression), ouverture des fissures. ELU : stabilité statique, résistance, stabilité de forme (flambement). II.1 Actions et combinaisons d’actions Les combinaisons d’actions considérées en BPEL dépendent des états limites considérés, ultimes ou service. II.1.1’ ELU Combinaisons fondamentales : En désignant par Gmax l’ensemble des actions permanentes défavorables, par Gmin l’ensemble des actions permanentes favorables , Pm la précontrainte moyenne, Q1k l’action variable de base et Qik les actions variables d’accompagnement, elles s’écrivent : avec γp = 1 en général, γQ1= 1,5 en général, γQ1= 1,35 pour les charges d’exploitation de caractère particulier. Pour les valeurs 0i voir Tableaux. Combinaisons accidentelles où FA est la valeur nominale d’une action accidentelle. Berroug Fatiha 9 II.1.2 l’ELS La précontrainte est, sauf prescription contraire du marché, représentée, pour les justifications aux ELS, par deux valeurs caractéristiques P1 et P2 encadrant la valeur probable Pm avec : P1 = 1,02 P0 – 0,8 ΔP P2 = 0,98 P0 – 1,2 ΔP Pm = P0 – ΔP Expressions dans lesquelles P0 symbolise la précontrainte à l’origine et ΔP la perte. On a donc P1 = (1 + λ)Pm P2 = (1 – λ)Pm L’ouverture relative λ de la fourchette de précontrainte, qui dépend beaucoup de la longueur des armatures et de leur tracé, est couramment de l’ordre de 0,10. Pour les justifications vis-à-vis des ELU, au contraire, seule la valeur probable Pm de la précontrainte est à considérer, d’éventuels écarts par rapport à cette valeur n’ayant pratiquement aucune incidence sur la sécurité à rupture. Pd représente la précontrainte de calcul, c’est-à-dire soit le couple P1 , P2 des valeurs caractéristiques, dans le cas général, soit la valeur probable Pm si le marché le prescrit. Combinaisons rares : Combinaisons fréquentes : Combinaisons quasi permanentes : Ces combinaisons sont rangées par ordre d’agressivité décroissante. Berroug Fatiha 10 II.2 Justifications vis-à-vis des états-limites de service II.2.1 Justification à la flexion Selon les exigences sur les contraintes limites, ces justifications sont rangées en trois classes. L’un des risques importants des constructions précontraintes étant celui de la corrosion sous tension des armatures actives, ces classes se différencient, en réalité, par les limitations imposées aux contraintes de traction affectant le béton (classes I et II) ou les armatures (classe III). Les zones sensibles sont, bien entendu, celles qui entourent les câbles. C’est pourquoi a été introduite, dans les règles BPEL, la notion de section d’enrobage. La limitation des tractions est évidemment plus stricte à l’intérieur de la section d’enrobage que sur le reste de la section droite. A. Classes de vérification Classe 1 : L’état limite de décompression ne doit être dépassé sous l’effet des combinaisons rares, aucune contrainte de traction n’est admise dans le béton. Classe 2 : Aussi bien l’état limite de formation des fissures sous l’effet des combinaisons rares que l’état limite de décompression du béton sous l’effet des combinaisons fréquentes ne doit être dépassé dans la section d’enrobage, la fissuration du béton est admise ailleurs. Classe 3 : On ne doit dépasser ni l’état limite d’ouverture des fissures pour l’ensemble de la section sous combinaison rares, ni un autre état limite d’ouverture des fissures dans la section d’enrobage sous combinaisons fréquentes, ni l’état limite de décompression du béton dans la section d’enrobage sous l’effet des combinaisons quasi permanentes. B. Contraintes limites de compression Communes aux trois classes, elles valent, en règle générale, lorsque la précontrainte est représentée par ses deux caractéristiques P1 et P2 : Berroug Fatiha 11 Quand la précontrainte, sur prescription du marché, n’est représentée que par sa valeur probable Pm, les valeurs précédentes sont minorées de 10 %. C. Contraintes limites de traction Elles sont résumées dans le tableau suivant pour les situations d’exploitations: En situation d’exécution, les contraintes limitent de traction sont limitées à 0.7ftj pour la classe 1. En classe 2, ces contraintes sont limitées à 0.7ftj dans la section d’enrobage et 1.5ftj ailleurs. La classe III définie la précontrainte partielle. Les contraintes de traction du béton ne sont plus bornées, sauf sous combinaisons quasi permanentes pour lesquels on exige de se retrouver en compression au moins au droit de la section d’enrobage. Pour les plancher de bâtiments (habitations, bureaux, hôpitaux…) où, d’une part, les charges d’exploitation sont relativement modestes et qui, d’autres part, sont généralement à l’abri des intempéries ou des agents agressifs, l’exigence de non décompression en section d’enrobage peut se limiter à l’effet de la précontrainte et des actions permanentes uniquement. Berroug Fatiha 12 L’absence de limitation générale des contraintes de traction du béton est compensée par un plafonnement sévère tant des tensions dans les armatures passives ( σs σs ) que des variations des tensions ( Δσp Δσp ), comptées à partir de la tension à vide (sous charges permanentes seules), dans les armatures de précontraintes. Les limitations correspondantes sont les suivants : Situations Exécution Exploitation Combinaisons Exploitation : combinaisons rares Fréquentes Δσ p Post-tension Pré-tension 0.1 fprg Min (0.1 fprg, 150ηp ) σs Min (2/3fe, 110 ηf tj ) 100 MPa 0.35fe Avec fprg représente la contrainte de rupture garantie, η représente le coefficient de fissuration des armatures passives, égal à : - 1 pour les ronds lisses, - 1.6 pour les armatures à haute adhérence ηp est le coefficient de fissuration des armatures de précontraintes qui vaut : - 1 pour les fils autres que ronds et lisses ; - 1.3 pour les torons (3 ou 7 fils). D. Armatures passives longitudinales Les aciers passifs doivent vérifier les exigences du BAEL. II.2.2 Justification vis-à-vis de l’effort tranchant Les critères de sécurité correspondants sont développés au chapitre Effort tranchant II.3 Justifications vis-à-vis des états-limites ultimes Voir chapitre Flexion états limites ultimes III. Les matériaux utilisés en béton précontraint Le béton Le béton doit être de classe élevée qu’en B.A (fc28 ≥40 MPa, généralement). Berroug Fatiha 13 L’acier Contrainte de rupture plus élevée ; Fils ( 12 mm ) ; Torons : ensemble de fils (3 ou 7) enroulés en hélice. IV. Les procédés de précontrainte Pré-tension : mise en tension des armatures s’effectue avant le coulage du béton. Son utilisation est courante en préfabrication en usine. Post-tension : coulage et durcissement du béton puis mise en tension des armatures. Berroug Fatiha 14 Chapitre III : Etude de la flexion à l’état limite de service I. Généralités et notations La précontrainte a été inventé pour supprimer les contraintes de traction d’une section fléchie en béton. On y parvient en choisissant judicieusement le couple P et e0, appelés précontrainte et excentrement du câble moyen respectivement. Ce résultat peut être mis en évidence dans le cas d’une section rectangulaire bh, soumis à un moment extérieur M. Comme en B.A, on B.P, on sera amené à : Déterminer le coffrage de l’élément (dimensions géométriques) ; Le couple P, e0 ; La vérification des contraintes. La détermination de P et e0 dépend de la classe de vérification considérée. Dans la suite du cours on utilisera les notations suivantes : Caractéristiques d’une section droite B: son aire ; v et v′ : les distances de son centre de gravité aux fibres extrêmes (v + v′=h) ; I: son moment d’inertie par rapport à Gz; I I : et v v' ses modules d’inertie ; Berroug Fatiha 15 = I : Bvv' son rendement géométrique. II. Sollicitations appliquées à la section II.1 Sollicitations développées par les actions extérieures Les actions extérieures (autres que la précontrainte) développent dans la section un moment fléchissant M, compté algébriquement positif s’il comprime la fibre supérieure. M est la somme de: Mg moment de poids propre ; M’g moment dû aux charges permanentes additionnelles ; Mq moment généré par les actions variables de toutes natures. Selon le cas de charge considéré, M varie entre : une valeur minimale : Mm = Mg+M’g+Mmq ; et une valeur maximale : MM = Mg+M’g+MMq . Posons : ΔM = MM - Mm = MMq - Mmq. Cette quantité est toujours positive ou nulle. II.2 Sollicitations développées par la précontrainte La précontrainte est exercée par le câble tendu à P et excentré de e0 par rapport à G. e0 est compté algébriquement sur l’axe Gy. Il est donc positif lorsque le câble est au-dessus du centre de gravité. Les sollicitations normales développées par la précontrainte sont alors : Dans ce qui suit, cosα est toujours assimilé à 1. P est par ailleurs supposé constant dans une section donnée, c’est-à-dire indépendante du cas de charge appliqué, ce qui n’est pas rigoureusement exact, mais s’avère suffisant au niveau d’un pré dimensionnement. II.3 Contraintes normales dans le béton Toutes les contraintes et contraintes limites définies ci-après sont comptées algébriquement positives s’il s’agit de compressions. Sous un cas de charge donné, elles varient linéairement avec y entre σ sur la fibre supérieure et σ′ sur la fibre inférieure. Elles sont notées : 1 et 1' lorsque le moment extérieur est Mm ; Berroug Fatiha 16 2 et 2' lorsque le moment extérieur est MM. Compte tenu des conventions adoptées pour le signe des moments : 2 1 2' 1' Le problème du dimensionnement consiste généralement à faire en sorte que les contraintes sur les fibres extrêmes respectent des contraintes limites : 1 et 1' pour celles qui interviennent lorsque le moment appliqué est Mm ; 2 et 2' pour celles qui interviennent lorsque le moment appliqué est MM ; 1 et 2' au-dessous desquelles on ne doit pas descendre sont en pratique assez voisines de 0 et dites contraintes limites de traction ; 2 et 1' sont, au contraire, des contraintes limites de compression qu’il s’agit de ne pas dépasser. Contraintes et contraintes limites dans une section III. Centre et ligne de pression En un cas de charge réel quelconque, une section est soumise aux sollicitations suivantes : Un effort normal N=P dû à la seule précontrainte ; Un moment fléchissant m=Pe0+M somme du moment de précontrainte Pe0 et du moment M. Cela équivaut à l’effet d’une force normale de compression P, appliquée en un point de Gy appelé centre de pression et d’ordonnée : Berroug Fatiha 17 Centre de pression Le lieu de ces points lorsque la section décrit la poutre est la ligne de pression. Si l’on suppose que, partout, M = 0, ce qui revient à ne considérer que l’effet de la précontrainte sur la poutre, la ligne de pression est dite ligne de précontrainte et se confond (pour une poutre isostatique) avec le tracé du câble (e = e0). L’effet d’un moment fléchissant extérieur M est donc de déplacer le centre de pression sur Gy, à partir du câble, de la quantité algébrique M P L’expression du moment fléchissant dans une section (m=Pe0+M) montre qu’au stade du projet il est possible de compenser une modification permanente δM du moment fléchissant extérieur par simple déplacement du câble de la quantité : A la limite, supposons que le projeteur ait « oublié » dans son dimensionnement l’effet des charges permanentes (g et g′). Pour rattraper cette omission, il lui suffit, en gardant la même section et le même câble, de décaler l’excentricité de ce dernier de : Cette opération lui permet de compenser la charge permanente, c’est-à-dire d’annuler son effet. Autrement dit, la charge permanente ne coûte rien, ni en acier, ni en béton, ce qui montre bien le caractère actif de la précontrainte. Cette faculté de compensation des charges permanentes a néanmoins ses limites : les effets des dites charges doivent être suffisamment faibles pour que la variation d’excentricité à donner au câble ne fasse pas sortir ce dernier hors du béton ou ne l’y laisse pas trop mal enrobé. Il faut donc : Avec d et d′ distances minimales entre le barycentre des câbles réels et les fibres extrêmes, supérieure et inférieure. d et d′ dépendent : Berroug Fatiha 18 du nombre de câbles nécessaire pour réaliser la force de précontrainte P ; des règles de groupement et d’enrobage imposées aux câbles. Pour les unités de précontrainte les plus courantes (de force utile, toutes pertes faites, comprise entre 0,6 MN et 3 MN) logées dans des conduits de diamètre compris entre 5 cm et 10 cm, on admet : des groupements en paquets de deux dans le sens vertical ; des distances libres entre paquets ou conduits isolés au moins égales à tant verticalement qu’horizontalement ; des enrobages au moins égaux à . Définition de d et d’ IV. Contraintes normales du béton L’expression de la contrainte à l’ordonné y est : Au niveau de G (y = 0), quel que soit le cas de charge appliqué, on a : Le fait que tout diagramme de contraintes (σ, σ′) passe par cette contrainte indique que : Respect des contraintes limites : sur la fibre supérieure (y = +v): sur la fibre inférieure (y=-v’) : Berroug Fatiha 19 Contraintes et noyaux limites Les relations précédentes peuvent se mettre sous la forme : Le segment [–c′, +c] de Gy est le noyau limite de traction (car c et c′ sont définis à partir des contraintes limites de traction). De même, le segment [–γ′, +γ] de Gy est le noyau limite de compression. Le centre de pression doit appartenir à l’intersection [–Γ′, +Γ] de ces deux segments : [–Γ′, +Γ] = [–c′, +c]∩[–γ′, +γ] [–Γ′, +Γ] est dit noyau limite. Ces différents noyaux limites engendrent, lorsque la section décrit la poutre, des fuseaux limites de traction, de compression, au sens strict (intersection des deux précédents). En tout cas de charge, la ligne de pression doit demeurer à l’intérieur du fuseau limite au sens strict : Dans une section donnée, l’excentricité du centre de pression vaut e = e0 + M/P, M étant susceptible de varier, selon le cas de charge, entre Mm et MM. On doit donc avoir : Ce segment est le noyau de passage au sens strict, intersection du noyau de passage de traction et du noyau de passage de compression. Ainsi, pour que les contraintes limites soient Berroug Fatiha 20 respectées partout et sous tout cas de charge, il faut que le câble soit à l’intérieur du fuseau de passage au sens strict. Dans la pratique, le concept de noyau (ou fuseau) au sens strict est lourd à manier. Au niveau du pré dimensionnement, seule est facilement exploitable la notion de noyau (ou fuseau) de traction qui permet de définir la précontrainte P et son excentricité e0. Le noyau (ou fuseau) de compression conditionne, pour sa part, les caractéristiques à donner aux sections droites (I/v, I/v ′). V. Valeur minimale de la précontrainte Nous supposons ici que la géométrie de la section est donnée et que ses modules d’inertie (I/v et I/v ′) sont suffisants, voire surabondants, de telle sorte qu’aucun problème ne se pose du côté des compressions. Il s’agit simplement, dans ces conditions, de satisfaire à : Pour que cette double inégalité soit possible, il faut que, e2 soit inférieur ou égale à e1, autrement dit, que le fuseau de passage soit ouvert, ce qui s’écrit : La valeur minimale absolue possible pour P est donc : Si l’on adopte P= PI, le fuseau de passage, au niveau de la section considérée, se referme en un point (e1=e2) par lequel doit passer obligatoirement le câble (e0=e1=e2). En d’autres termes, l’excentricité du câble est imposée : V.1 Section sous critique P=P1 est possible du fait qu’e0 vérifie les conditions de l’enrobage. La double expression de l’excentricité nous montre que : le centre de pression est à l’ordonnée +c lorsqu’on applique à la section le moment extérieur MM, ce qui signifie que, sous cette sollicitation, la contrainte limite de traction est atteinte sur la fibre inférieure ; le centre de pression se retrouve à l’ordonnée –c′ sous l’effet de Mm (atteinte de la contrainte limite de traction sur la fibre supérieure). Berroug Fatiha 21 Dans une section sous-critique, on atteint donc les contraintes limites de traction sous les deux cas de charge extrêmes. Fuseau de passage dans le cas où la section la plus sollicitée est sous-critique V.2 Section sur critique Lorsque l’excentricité associée à PI ne respecte pas les conditions pratiques de l’enrobage, la solution P=PI est à rejeter, car elle conduirait à un câble mal enrobé. La section est alors dite sur-critique. Cette situation peut se rencontrer généralement lorsque les moments extrêmes MM et Mm ont tous deux le même signe. Si M M 0 et M m 0 : La double expression de e0 nous montre en effet qu’alors : Comme le plus souvent : Les conditions de l’enrobage sont bien vérifiées. Section sur-critique soumise à des moments extérieurs positifs : M M 0 et M m 0 Supposons les conditions de l’enrobage non satisfaites. L’expression : montre que e0 < 0 et que c’est donc la valeur plancher : – (v′–d′) qui n’est pas respectée par e0, ce qui s’écrit encore : Berroug Fatiha 22 Le fuseau de passage sort de la zone autorisée vers le bas, pour le faire remonter, il suffit d’augmenter P et la valeur PII à retenir est celle qui amène la ligne e1 à tangenter la ligne d’enrobage minimal, soit : La valeur associée de l’excentricité est : Dans la section considérée, on a : Quand agit le moment extérieur MM, le centre de pression remonte depuis le câble de la quantité MM/PII et se retrouve à l’ordonnée +c; on atteint donc la contrainte limite de traction 2' . Par contre, lorsqu’on applique Mm, l’ordonnée du centre de pression e0+Mm/PII est supérieure à –c’ et la contrainte 1 qui apparaît sur la fibre supérieure est plus grande que 1 . Ainsi, dans une telle section sur-critique, on ne peut obtenir qu’une contrainte limite de traction: la contrainte limite de traction sur la fibre inférieure. Section sur-critique soumise à des moments extérieurs positifs : M M 0 et M m 0 Si la condition de l’enrobage n’est pas vérifiée, c’est que le câble associé à PI sort de la poutre vers le haut. On a : On démontre, comme précédemment, qu’il faut augmenter P jusqu’à la valeur : Le câble correspondant étant excentré au maximum vers le haut dans la section considérée : La seule contrainte limite de traction que l’on atteint, dans ce cas, est la contrainte sur la fibre supérieure 1 (fibre vers laquelle le câble est excentré) sous l’effet du moment extérieur Mm. V.3 Caractère d’une section Berroug Fatiha 23 Déterminer le caractère d’une section, c’est savoir si elle est sous critique ou sur critique : On calcule : Et l’excentricité : Si la condition de l’enrobage est vérifiée, la section est sous critique. Sinon, elle est sur critique et selon le signe des moments, on adopte P=PII ou P=P’II, le câble correspondant est excentré au maximum vers le bas ou vers le haut. On calcule PI puis, soit PII soit P’II selon le signe des moments extérieurs appliqués. Comme le montrent les formules précédentes, la section est sous-critique si PI est la plus grande de ces forces. Dans le cas contraire, elle est sur-critique. V.4 Expressions développées de P Section sous-critique : D’où Et puisque Donc D’où les trois expressions de P = PI: Berroug Fatiha 24 Section sur-critique pour une section sur-critique soumise à des moments positifs (P=PII) : Pour une section sur critique soumise à des moments négatives (P=P’II) : V.5 Cas particulier important 1 et 2' 0 Dans ce cas : Alors, dans l’hypothèse sous-critique, P vaut : Si la section est sur-critique, on obtient si les moments sont positifs : Et si les moments sont négatifs : Par comparaison avec les formules précédentes, on peut apprécier les économies que l’on fait sur P lorsqu’on tolère des contraintes de traction dans le béton ( 1 et 2' 0 ). V.6 Tendance à la sur-criticité On a vu que la condition de sur-criticité d’une section soumise à des moments positifs pouvait s’écrire : Et Berroug Fatiha 25 En pratique Donc PII-PI apparaît comme une fonction linéaire de 1 et 2' , les coefficients affectant ces deux variables étant négatifs. Autrement dit, PII–PI est une fonction décroissante de 1 et 2' . Plus ces contraintes limites sont négatives, plus il est probable que l’on ait PII–PI ≥0. En d’autres termes, plus on admet des contraintes de traction importantes (en valeur absolue), plus on risque d’avoir affaire à des sections déterminantes sur-critiques. VI. Section minimale du béton On obtient la section minimale de béton lorsqu’on atteint les contraintes limites de compression 1' et 2 . Dans ce qui suit, on suppose que l’on s’astreint, de façon systématique, à adopter les valeurs minimales précédemment trouvées pour la précontrainte (PI, PII ou P’II). VI.1 Cas d’une section sous-critique On prend alors P =PI et l’on atteint les deux contraintes limites de traction 1 et 2' . Pour obtenir les deux contraintes limites de compression, il faut et il suffit que les variations de contrainte sur la fibre supérieure et sur la fibre inférieure : quand on passe de l’un des moments extrêmes à l’autre, soient respectivement égales à : Berroug Fatiha 26 Possibilité d’atteindre les 4 contraintes limites dans le cas d’une section sous-critique VI.2 Cas d’une section sur-critique soumise à des moments positifs On prend P =PII et l’on atteint 2' (mais pas 1 , comme on l’a vu précédemment) Pour obtenir 1' en fibre inférieure, il faut et il suffit : soit, comme dans le cas sous-critique : Berroug Fatiha 27 Possibilité d’atteindre 3 contraintes limites dans le cas d’une section sur-critique (M > 0) Par contre, du fait que 1 1 , la relation n’est pas valable pour la membrure supérieure. Pour qu’on atteigne 2 en fibre supérieure sous l’effet de MM, il faut et il suffit que 2 soit aligné avec 2' et σG = P/B, ce qui s’écrit : Si l’on veut faire apparaître le module d’inertie I/v, on peut expliciter, dans cette expression, B en fonction du rendement géométrique, soit : VI.3 Cas d’une section sur-critique soumise à des moments négatifs On verra, de la même façon, que les conditions nécessaires et suffisantes pour atteindre les deux contraintes limites de compression 1' et 2 s’écrivent : Berroug Fatiha 28 Cas d’une section sur-critique avec M < 0 Il faut que les modules d’inertie soient supérieurs ou égaux aux valeurs minimales données par les formules précédentes. Récapitulation : Section sous-critique : Les deux dernières équations sont des équations de coffrage (elles ne font pas intervenir la précontrainte), elles permettent de fixer la géométrie de la section. Cela fait, les deux autres donnent la valeur de la précontrainte et celle de son excentricité. Section sur-critique : En se limitant au cas d’une section soumise à des moments positifs, les équations sont : Berroug Fatiha 29 VI.4 Exemple de dimensionnement Proposons-nous de dimensionner une travée indépendante de 28 m de portée livrant passage à une chaussée de 7 m encadrée par deux trottoirs de 1,50 m. Le tablier, coulé en place, est supposé a priori constitué de deux nervures coiffées par une dalle de 0,22 m d’épaisseur moyenne et de 10,20 m de largeur. Sa hauteur totale est limitée à 1,80 m Section transversale schématique Il s’agit de déterminer b, P et e0 de façon à respecter les conditions réglementaires du BPEL, étant précisé que : la précontrainte n’est prise en compte que par sa seule valeur probable Pm; la résistance caractéristique du béton vaut : fc28= 30 MPa (et sa résistance à la traction ft28 = 0,6 + 0,06fc28 = 2,4 MPa). Actions et sollicitations : L’ouvrage est soumis à : son poids propre: g = 2,5×10–2B; une charge de superstructures: g′ = 4×10–2 MN/m ; la charge routière d’exploitation (chaussée + trottoir) de valeur caractéristique : qk= 10×10–2 MN/m. Dans la section médiane, la plus sollicitée à la flexion, les moments extrêmes à considérer en situation d’exploitation sont donc (en MN·m) : Sous combinaisons rares : Berroug Fatiha 30 Sous combinaisons fréquentes : Sous combinaisons quasi-permanentes : VI.4.1 Caractéristiques géométriques de la section Si l’on désigne par S 0' le moment statique de la section par rapport à l’axe horizontal OO’ passant par sa fibre inférieure, et par J 0' son moment d’inertie par rapport à ce même axe, on peut dresser le tableau suivant : D’où À partir de ces éléments, on peut avoir un aperçu rapide des caractéristiques de la section pour quelques valeurs de b : Berroug Fatiha 31 Dimensionnement en classe II et en situation d’exploitation: Nous allons supposer, dans un premier temps, la section sous critique, dimensionner le coffrage dans cette hypothèse, puis calculer les forces PI et PII correspondantes. Si la section est sous-critique (câble « largement » à l’intérieur du béton), les contraintes limites de traction sur les fibres extrêmes (hors de la section d’enrobage) sont : D’après les équations précédentes, la section minimale de béton correspond à : Le tableau nous montre que, même pour b = 0,50 m (c’est un minimum au-dessous duquel il n’est pas envisageable de descendre pour des raisons pratiques), I/v est largement supérieur à 0,494 9 m3. La membrure supérieure donnée est donc très surabondante. Pour ce qui est de la membrure inférieure, ce même tableau nous montre que l’on doit avoir : 0,50 m < b < 0,75 m De façon plus précise b peut être définie par : D’où: b = 0,6620 m, valeur que nous arrondissons à b = 0,70 m. Pour b = 0,70 m, les caractéristiques de la section sont les suivantes : Berroug Fatiha 32 Par la suite avec d’=0.16 m Comme PII > PI, la section est nettement sur-critique (à moments positifs), et il convient de reprendre son dimensionnement. Dimensionnement dans l’hypothèse sur-critique Les câbles devant être excentrés au maximum vers le bas, la section d’enrobage englobe la fibre inférieure et les contraintes limites de traction sur les fibres extrêmes deviennent : Pour cette section, les équations déterminantes (compte tenu de la surabondance de la membrure supérieure) sont : La dernière équation nous donne immédiatement le coffrage, c’est-à-dire b. Elle s’écrit en effet : Soit : Berroug Fatiha 33 D’où: b = 0,718 0 m que nous arrondissons à b = 0,75 m. Les caractéristiques géométriques de la section avec b = 0,75 m figurent déjà dans le tableau. Si l’on admet d′ = 0,16 m, l’équation précédente permet de calculer P: force que l’on peut espérer réaliser à l’aide de 8 câbles 12T15 (si l’on table sur une force probable de 0,16 MN par toron, les 8 câbles en question donnent : (Pm = 8×12×0,16 = 15,36 MN). En réalité, la surabondance de la force de précontrainte des 8 câbles (Pm = 15,36 MN contre 14,64 MN) permet de remonter leur excentricité jusqu’à : Plaçons donc les câbles, non pas à 16 cm, mais à 21 cm de la fibre inférieure, ce qui correspond à: e0 = – (1,3790 – 0,21) = – 1,169 0 m Vérification des contraintes En situation d’exploitation, elles s’établissent selon la figure suivante: (avec P = 15,36 MN et e0 = – 1,169 0 m, les calculs étant effectués sur la section brute). Ces contraintes sont satisfaisantes et pratiquement limites en fibre inférieure tant sous combinaisons quasi permanentes (13,27 MPa ≈ 13,5 MPa) que sous le cas de charge donnant MMr en combinaisons rares (– 2,02 MPa ≈ – 2,4 MPa). On vérifie par ailleurs que, comme on l’avait supposé au départ, les combinaisons fréquentes ne sont pas déterminantes (4.09>0). Berroug Fatiha 34 Contraintes en section médiane (en MPa) Il convient maintenant de s’assurer qu’en situation d’exécution les conditions réglementaires sont bien satisfaites. Berroug Fatiha 35 Chapitre VI : Planchers à entrevous I. Description Ce type de plancher est très couramment utilisé dans la construction de maisons individuelles. Il est constitué : De poutrelles préfabriquées en béton armé ou en béton précontraint, disposées parallèlement et espacées de 0.50 m à 0.70 m, avec et sans armatures d’effort tranchant. D’entrevous de forme adaptés aux poutrelles (appelés aussi corps creux) en béton, en terre cuite ou en polystyrène. D’une dalle de compression supérieure en béton de 4 à 5 cm d’épaisseur, coulée sur l’ensemble poutrelle-entrevous. Les principaux avantages de ce type de plancher sont : La facilité de mise en œuvre, sans moyens de manutention, puisque manuel ; La couverture dense sur le territoire national des fabricants ou distributeurs ; La compétitivité économique de ce procédé par rapport aux autres pour les constructions individuelles ; La bonne isolation thermique avec les entrevous en polystyrène. Berroug Fatiha 36 Les entrevous existent en différents matériaux : Les entrevous sont posés entre poutrelles préfabriquées et achevés avec du béton coulé en place Conditions à satisfaire : Berroug Fatiha 37 Comme pour tous les types de planchers, ils doivent satisfaire aux conditions de résistance, en étant conformes aux règles BAEL complétées par le cahier des prescriptions techniques CPT-Planchers. II. Calcul reglementaire II.1 Dispositions générales du B.A.E.L (Art. B.6.8.41) Charge de chantier = Max (0.5 kN/m ; 1 kN) ; 0.5 kN/m de portée entre étais Le cisaillement est repris par la poutrelle seule ; Prévoir des chapeaux sur appuis de rive pouvant reprendre 0.15 M0 ; Les poutrelles posées sans étais intermédiaires sont à étudier en tenant compte des phases de construction. II.2 Dispositions propres aux planchers à entrevous B.A.E.L (Art. B.6.8.42 ) On est disposé d’armatures d’effort tranchant (épingle, cadres ou étriers) si : La construction n’est pas parasismique, La contrainte moyenne ultime de glissement sur le périmètre de liaison est inférieure à 0.02 fc28 MPa. La section A1 est au moins égale à 200/fe si l’entre axe des poutrelles est inférieur à 0.50 m et 400 E/fe pour des entre axes E compris entre 0.50 m et 0.80 m (E en mètre et la section d’acier est en cm2/m ; La section A2 est au moins égale à la moitié de A1. Berroug Fatiha 38 Les flèches des planchers avec étais, calculées par les méthodes classiques, peuvent être diminuées de 20% pour des hauteurs de plancher ≤ 0.20 m et de 10% au-delà, pour tenir compte de la rigidité apportée. Lorsqu'il est prévu des étais intermédiaires, on peut cependant se dispenser de donner une justification de la déformabilité des planchers à entrevous à condition que le rapport h/[L] de la hauteur totale de section des nervures (épaisseur de dalle comprise) à la portée libre soit au moins égal à Mt/15Mo, Mt étant le moment fléchissant maximal en travée sous réserve que le pourcentage d'armatures A/bod soit au moins égal à 3,6/fe avec fe en MPa, bo désignant la largeur des nervures et fe la limite d'élasticité des armatures tendues. De plus, cette tolérance, autorisant à ne pas justifier la rigidité, n'est valable que pour des poutrelles pour lesquelles le rapport h/[L] est au moins égal à 1/22,5. II.3 Dispositions du C.P.T plancher Ce cahier des prescriptions techniques concerne les « planchers nervurés à poutrelles préfabriquées associées à du béton coulé en œuvre ou associés à d’autres constituants préfabriqués par du béton coulé en œuvre ». Ce document s’appuie sur les règles BA et BP. Il traite : de la conception et du calcul des planchers ; la fabrication et le contrôle des poutrelles ; des éléments compris entre poutrelles (entrevous) ; transport, mise en œuvre et pose ; de la finition et des ouvrages complémentaires. Berroug Fatiha 39 Berroug Fatiha 40