Chapitre 7 : Structure hyperstatique – Poutre continueLa précontrainte crée dans la structure isostatique (poutre isostatique par exemple) une déformation libre. Néanmoins, dans le cas d’une structure hyperstatique, cette déformation est limitée due aux liaisons surabondantes du système. Par conséquence, cette limitation de la déformation dans la structure hyperstatique génère des efforts correspondants à l’effet de la précontrainte. Pour déterminer ces efforts, on peut utiliser soit la méthode interne (qui ne s’applique qu’aux systèmes de poutres) soit la méthode externe. - La méthode interne : consiste à remplacer la structure hyperstatique (S) par la structure isostatique (S’) en supprimant les liaisons surabondantes et on ajoute les réactions hyperstatiques de précontrainte Ri correspondantes. On calcule dans un premier temps les déplacements Up dans la structure isostatique (S’) sous la charge de précontrainte. Ensuite, les réactions Ri qui rendent ces déplacements compatibles avec les liaisons surabondantes de la structure hyperstatique seront calculées. Puis, les sollicitations de la structure hyperstatique sont les celles cumulées dans les deux cas de la précontrainte et des réactions de la structure isostatique (S’). - La méthode externe : on remplace les câbles par l’ensemble des forces physiques (forces concentrées aux positions des ancrages et des forces réparties radiales p=P/R) dans la structure hyperstatique. On est ramené à l’étude d’un cas de charge particulier que l’on traite par les procédés habituels d’analyse structurale (par exemple la méthode RDM). La solution de ces calculs donne les sollicitations totales de la structure sous la précontrainte. Figure 7.1 : Force répartie radiale sous l’influence de la précontrainte 7.1 Cas d’une poutre continue à deux travées (méthode interne) On considère une poutre continue de section constante comportant deux travées égales de portée l . Cette poutre repose sur les trois appuis dont l’un est supposé fixe et les deux autres peuvent se déplacer librement suivant la direction horizontale. De plus, elle est précontrainte par un câble rectiligne, parallèle à la fibre moyenne, d’excentricité e0, dont la force constante est P. Considérons la structure isostatique de portée L 2l en supprimant l’appui intermédiaire et on ajoute la réaction R1 correspondante. La précontrainte P génère dans la poutre isostatique un moment fléchissant P e0 et donc la flèche à mi-portée vaut : 58 2) Donc la réaction R1 est déterminée en annulant la flèche totale à mi-portée (qui est la position de l’appui supprimé) : fR fP 0 (7.3) présente les efforts hyperstatiques de précontrainte dans la poutre continue générés sous la force de précontrainte P.2 : Poutre continue à deux travées et les réactions hyperstatiques à déterminer fP P e0 l 2 2 E I (7.Figure 7.3 : Efforts hyperstatiques de précontrainte 59 .5) La figure (7.3) D’où : R1 3 P e0 l (7. la flèche est égale à : fR R1 L3 R l3 1 48 E I 6 E I (7.4) On obtient donc les réactions pour les deux extrémités de la poutre : R0 R2 3 P e0 R1 2 2l (7.1) Dans le cas où la poutre isostatique est subie d’une charge ponctuelle verticale R1 vers le haut à mi-travée. Figure 7. mécaniques et soumise au même chargement.2 Le cas d’une poutre continue à plusieurs travées Dans ce cas. On utilise par la suite les relations suivantes : 'j 'j a j M j 1 b j M j .7) 60 .5) Où lj x dx : la rotation de la section à l’extrémité gauche de la travée j ) l j E I ( x) 0 (section abscisse x=0) j M ( x) (1 ' lj M ( x) " j 0 x dx : la rotation de la section à l’extrémité droite de la travée j (section l j E I ( x) abscisse x=lj) M (x) : moment fléchissant en toute section d’abscisse x de la travée j lj x dx : la rotation de la section à l’extrémité gauche de la travée l j E I ( x) 0 indépendante j (section abscisse x=0) m( x) (1 ) ' j lj x dx : la rotation de la section à l’extrémité droite de la travée l j E I ( x) 0 indépendante j (section abscisse x=lj) m(x) : moment fléchissant en toute section d’abscisse x de la travée indépendante j Les coefficients de souplesse de la travée j seront définis comme les suivants : m( x) " j lj a j (1 0 x 2 dx ) . (7. l l j E I ( x) 0 j bj lj x dx c j ( )2 . "j "j b j M j 1 c j M j . L’idée principale de cette méthode consiste à étudier une travée indépendante à partir de la travée j de la poutre continue en gardant les mêmes caractéristiques géométriques.6) Il déduit : bi M i1 (ci ai1 )M i bi1M i1 i'1 i" (7.7. l j E I ( x) 0 Dans le cas d’une poutre continue dont le comportement est élastique. l j E I ( x) lj x x dx (1 ) . la condition de la discontinuité de pente au droite d’un appui intermédiaire Ai donne : i' 1 "i 0 (7. on utilise la méthode générale de trois moments pour déterminer les efforts. l EI 2 E I 0 l (7. aux deux extrémités.11) On obtient donc aisément les réactions hyperstatiques déterminées comme dans la méthode précédente: R0 3 P e0 M1 . En appliquant dans le cas de la poutre continue à deux travées (cas précédent).7) présente un système d’équation de (n-1) équations pour une poutre à n travée. nous avons : b1M 0 (c1 a2 )M1 b2 M 2 2' 1" (7. 61 . Ces équations permettent de déterminer les (n-1) inconnues hyperstatiques que sont les moments sur appuis intermédiaires Mi.3 Ligne de précontrainte Les études précédentes nous montrent que les sollicitations de la structure hyperstatique sont celles cumulées dans les deux cas : l’un de la précontrainte dans la structure isostatique et l’autre dû aux efforts hyperstatiques de précontrainte. nous avons : l x l 1" 0 P e0 P e0 l dx .L’équation (7. EI 2 E I P e0 l x P e0 (1 ) dx 1" .9) Sous la précontrainte P et l’excentricité e0.8) donne : (c1 a2 ) M 1 2' 1" . Dans le cas de la poutre continue à plusieurs travées en précontrainte. les moments Mi solution de l’équation (7. l l P e0 l ) M1 3 E I 3 E I EI 3 P e0 M1 2 ( (7.7) nous donnent les moments hyperstatiques de précontrainte sur appuis intermédiaires.8) Où pour la poutre à section constante : abc l 3 E I (7. l’équation (7.12) 3 P e0 l 7. l 2l R2 R0 R1 ( R0 R2 ) (7.10) ' 2 De plus. les moments sont nuls. 13) où M p (x) représente le moment hyperstatique de précontrainte.4 : Ligne de précontrainte 7. le dimensionnement de la section droite est similaire à celui de la structure isostatique mais on remplace l’ordonnée du centre de pression e0 ( x) par e00 ( x) (revoir chapitre 4). De la même manière.Dans une section quelconque d’abscisse x. le câble doit respecter les conditions : Vi di e0 (7. nous avons les sollicitations sous l’effet de la précontrainte : N ptotal( x) P( x).15) P ( x) Figure 7. pour avoir un enrobage suffisant. Ces résultats montrent une coordonnée du centre de pression : e00 ( x) ptotal( x) N ptotal( x) e0 ( x) M p ( x) P( x) (7.4 Dimensionnement de la section d’une structure hyperstatique Pour la structure hyperstatique. ptotal( x) P( x) e0 M p ( x) (7.16) Ce résultat représente le fuseau de passage (de traction) dans lequel se situe la ligne de précontrainte e00 ( x) .17) 62 . Dans le cas de la structure isostatique. En outre. on obtient le résultat suivant : Ic M Ic M min e00 max Ac Vs P Ac Vi P (7. On constate une différence entre la structure isostatique et la structure hyperstatique sous l’effet de la précontrainte.14) L’ensemble des coordonnée du centre de pression des sections droites est appelé ligne de précontrainte. la ligne de précontrainte caractérisée par e00 ( x) déplace une distance suivante par rapport au câble : e00 ( x) e0 ( x) M p ( x) (7. nous avons la ligne de précontrainte qui coïncide avec le profil du câble moyen présenté par e0 ( x) alors que dans le cas hyperstatique. 13) dans le cas isostatique : P PI ( M max M min ) Ac Vi Vs I c (Vi Vs ) (7. pour le dimensionnement la précontrainte. Dans ce cas l’équation de trois moment (7. pour que la condition suivante soit satisfaite : Vi di e0 e00 Mp P M Ic M max p Ac Vi P P (7.17) pour se fixer un schéma de câblage. A l’inverse. la ligne de précontrainte peut parfaitement sortir du béton. on donne la priorité aux conditions (7. les vérifications vis-à-vis des sollicitations normales et des sollicitations tangentielles sont effectuées similaires à celles des chapitres 5 et 6 en tenant compte les efforts hyperstatiques de précontrainte (moment hyperstatique pour les sollicitations normales et effort tranchant hyperstatique pour les sollicitations tangentielles).17) nous montrent que : .16) soit possible. On retrouve la formule (4. En pratique. on fait une hypothèse sur la répartition du moment hyperstatique de précontrainte et à la confirmer une fois déterminés P et e0 en chaque section. ce qui nécessite le plus souvent de procéder à plusieurs approximations successives. Très souvent. En outre. il faut que le terme à gauche soit inférieure celui à droite. Si l’ajustement n’est pas satisfaisant. une certaine liberté de choix quant à la position des arrêts du câble permettant d’ajuster plus ou moins bien la répartition du moment hyperstatique à celle qu’on avait escomptée à priori.dans le cas de la structure hyperstatique. la répartition obtenue pour le moment hyperstatique sert de base à nouvelle approximation.20) présente un inconvénient dû à la présence du moment hyperstatique de précontrainte qui est à priori inconnu. le câble n’a pas besoin d’être à l’intérieur du fuseau de passage puisque ce n’est pas sa position dans une section qui y définit les contraintes normales du béton. elle ne risque pas de périr par corrosion.20) Ic Vi di Ac Vi L’inéquation (7.7) avec tous les Mi nuls s’écrit : 63 .18) De la même manière. P PII 7.5 Notion de câbles concordants Un tracé du câble est dit concordant s’il ne développe aucune réaction hyperstatique de précontrainte et par conséquent aucun moment hyperstatique de précontrainte. Cette façon d’opérer est efficace dans le cas des ouvrages où la précontrainte varie de façon discontinue par arrêt successif des câbles (par exemple dans la construction en encorbellement).19) On obtient l’inéquation : M max M p (7.16) et (7.Les deux formules (7. Pour que la double inégalité (7. Presses universitaires de Lyon. K. La précontrainte. 1992. 1998 [4] H. [2] Prab Bhatt : Prestressed concrete design to eurocodes. Par contre. Bibliographies [1] Patrick Le Delliou : Béton précontrainte aux Eurocodes. li 1 l i dx x dx J i ( P e0 ) P( x) e0 ( x) (1 ) P( x) e0 ( x) 0 li1 E I ( x) 0 li1 E I ( x) 0 x (7. Presses de l’école nationale des ponts et chaussées. 2003. 1992.21) Ces (n-1) équations sont dites relations de concordance. L’idée principale de cette notion du câble concordant est que le dimensionnement de la structure hyperstatique peut être effectué de la même manière de la structure isostatique. 2011. Un câblage en question est concordance lorsque ces relations sont tous nuls. [3] M. Thonier: Le béton précontraint aux états limites.i'1 i" 0. Hurst: Prestressed concrete design. [5] R. Spon Press. E & FN Spon. Chaussin et al. 64 . Presses de l’école nationale des ponts et chaussées. en réalité le dimensionnement de précontraint dans ce cas n’est pas souvent économique.