Lacristallograp hie Prépare par : ayour wazal touazi 2013-2014 Chapitre 1 I ) INTRODUCTION : La matière Solide Solides cristallins Solides Amorphes Liquide Gaz Pour distinguer entre les deux catégories de solides on examine: 1)Le changement d’état (fusion). 2)Le comportement vis à vis des propriétés vectorielles. 3)La diffraction des rayons X. Solide cristallin Solide Amorphe Verre. caoutchouc NaCl .ZnS .plastique.CaF2 Changement d’état Fusion progressive: Fusion franche transition pâteuse à Tf solide s’étendant sur un liquide intervalle t°c Propriétés vectorielles Généralement isotropie des Généralement anisotropie propriétés vectorielles des propriétés vectorielles. a) Anisotropie continue: .KCl . croissance des Formes polyédriques b-plan de clivage . thermique.Ex: conductibilité électrique. b)anisotropie discontinue La propriété varie d’une façon discontinue avec la direction. Ex: a-vitesse de cristaux. Coefficient de dilatation. diffraction des rayons X Spectre de raies I Diffraction continue I pic S in / S in / . Figure 1: Papier peint = réseau + motif .Rappels de quelques définitions 1) Le réseau Défini par les deux vecteurs a et b et l’angle . 2) Le réseau cristallin Il peut être décrit comme la juxtaposition de parallélépipèdes construits sur les vecteurs a b et c . Figure2. Figure 2: Le cristal parfait peut donc se définir comme la répétition tri-périodique d’un motif atomique. Les sommets sont occupés par les motifs. . Chaque nœud peut se déduire d’un autre nœud ou du nœud origine O par une translation n = ua + vb + wc Le nœud sera noté u v w exemple : 111 201……. .3) Le noeud A chaque triple intersection de la figure 3 se trouve un point appelé nœud. Figure 3: [001] [010] 111 001 [110] 201 010 210 110 O 100 200 310 [100] . elles sont désignées par les mêmes [u v w] . on fait un changement d’origine en choisissant une nouvelle origine O’ sur la rangée à indexer et en gardant le même trièdre de référence. La rangée est caractérisée par sa distance nodale ou période r . Pour attribuer les indices u v w à une rangée ne passant pas l’origine O. .3) La rangée Toute droite passant par deux nœuds est une rangée réticulaire. Les rangées parallèles sont identiques et forment une famille. Le module du vecteur r représente la distance entre deux nœuds successifs. Figure 3: [001] [010] 111 001 [110] 201 010 210 110 O 100 200 310 [100] . 4) la maille On appelle maille le parallélépipède construit sur les 3 vecteurs unitaires a.b et c. Figure 2: La maille . sa multiplicité est égale à 1.Une maille est dite simple ou primitive quand elle contient un seul nœud . D’une manière générale si une maille quelconque est définie par les trois vecteurs de translation. Une maille est dite multiple quand sa multiplicité est supérieure à 1. n n’ n’’ n = ua +vb +wc n’= u’a + v’b + w’c n’’= u’’a + v’’b + w’’c . c et les angles . : (c^a) . u’’ v’’ w’’ La valeur du déterminant donne la multiplicité de la maille Quand la valeur du déterminant est égale à 1 la maille est unitaire La maille est caractérisée par 6 paramètres . Les longueurs a. et : (b^c) .n’’ = u’ v’ w’ (ab ) c.b. : (a^b) La multiplicité de la maille est donnée par: M = n1 + n2 / 2 + n3 / 4 + 8 / 8 Application : calculer la multiplicité de la maille c f c M = 0 + 6/2+0+1= 4 .Son volume est donné par le produit mixte u v w V = ( n n’ ). oy et oz . La distance entre deux plans consécutifs de la même famille est appelée distance inter-réticulaire. Les plans parallèles constituent une famille. on prend leur inverse et on les rend entières et premières entre elles . Pour obtenir les indices h k l. Chaque famille de plans est notée à l’aide de 3 indices h k l notés entre parenthèses appelés indices de Miller. d’un plan donné .5) le plan réticulaire Trois nœuds non alignés définissent un plan réticulaire. on considère les trois longueurs numériques découpées par un plan sur les axes ox. Figure 3: [001] [010] (001) (221) 111 001 [110] 201 010 210 110 100 200 310 [100] . Exemples : ( figure 3 ) Plan hachuré ox oy Longueurs découpées 1 1 inverses 1/1 1/1 entières (multiplier par 2) 2 2 (hkl) : le plan est donc noté ( 2 2 1) Plan // à xoy ox Longueurs découpées ∞ inverses 1/ ∞ (hkl) : le plan est donc noté (0 0 1) oz 2 1/2 1 oy oz ∞ 1 1 1/ ∞ Remarque : Si le plan est parallèle à l’un des axes. l’indice correspondant est nul. . nous adoptons pour le système hexagonal la notation à quatre indices (h k i l) avec i = .cas particulier du système hexagonal Pour établir la symétrie dans l’écriture des plans réticulaires.(h+k) u (-100) (0-10) (-110) (1-10) (010) y (100) Exemple x h k l (1 00) (0 10) (-1 1 0 ) (-1 0 0 ) (0 –1 0 ) (1 –1 0 ) h k i l ( 1 0–1 0 ) ( 0 1–1 0 ) (-1 1 0 0 ) (-1 0 1 0 ) ( 0 -1 1 0 ) (1 –1 0 0 ) . . Il permet de considérer de façon plus pratique les plans cristallins (hkl). leurs directions et les intervalles réticulaires dhkl. CRISTAL Taches de diffraction Rayons X RD RR .Chapitre 2 Un concept purement géométrique introduit par EWALD en 1921. 1°)Définition A partir du réseau réel (direct) caractérisé par les trois vecteurs de base a . b*= (ca ) / v . R D a. c a*=(bc ) / v R R a*. on peut construire un réseau imaginaire(réciproque) dont chacun de ses points possède une relation de réciprocité avec le réseau direct.b*.c* . b .(b c) . b et c. c*=(ab) /v V: volume de la maille directe v=a. b = a*.c = b*.b*=1 et c.a = b*.De cette définition on peut déduire: a.a = c*. on a:a*.c*=1 Et comme a à b et c (produit vectoriel) b à a et c.a*=a(b c) /v = v/v=1 de même b. b* et c*. .c= c*.b = 0 Ces neufs relations définissent sans ambiguïté les vecteurs a*. c à a et b. -sa grandeur est égale à l’inverse de la projection du vecteur a sur le support du vecteur a*. aa*= aa*cos aa*=1 a 0 Donc a*=1 / a cos aa* a* .Exemple: détermination du vecteur a*: -sa direction est perpendiculaire au plan b et c. -son sens est tel que le trièdre a* b c soit direct. Cas particulier: système orthorhombique c (c=3Å ) c*=1/3 b*=1/2 a*=2/3 a (a=3/2 Å ) b (b=2 Å ) . Le RD est caractérisé Le RR est caractérisé par l’ensemble des par l’ensemble des points ou nœuds points ou nœuds extrémités des extrémités des vecteurs r*hkl tel vecteurs nuvw tel que: que: nuvw = ua + vb + wc r* = ha* + kb* + lc* . 2) Propriétés du réseau réciproque a)Relation entre v et v*: v = a (b c) v*= a*(b* c*)= (a* / v2)(c a) (a b) = (a* / v2 ).a.a.(c b) = a.a*v / v2 =1/v car a*=1 /a ou b) RR(RR)= RD voir relations de définition (a*)*= b* c*/ v* = (ca ) (ab) / v2v* = a (abc) / v2v* = a v/ v2v*= a car vv*=1 c) Toute rangée [h k l]* du RR est perpendiculaire à une famille de plans (hkl) du RD qui porte les mêmes indices hkl et réciproquement toute rangée [uvw] du RD est perpendiculaire à une famille de plans (uvw)*du RR. d) Le module du vecteur période de la rangée [hkl] du RR et dhkl du RD sont reliés par dhkl = 1 / |r hkl| ou |r hkl| = 1 / dhkl Remarque: dhkl = 1 / |r hkl| Si r hkl avec r* = ha* + kb* + lc* a b (11) (10) (13) dhkl dhkl lorsque hkl diminuent les plans réticulaires à faibles indices hkl sont les plus distants et les plus denses ils sont les plus importants en cristallographie car les faces naturelles des cristaux les plans de clivage sont toujours parallèles à ces plans. Tableau résumé: R.D Base Paramètres Angle a b Relations c a*b=a*c=b*a =b*c=c*a=c*b=0 et a.a*=b.b*=c.c*=1 a b| c en Å R.R a* b* c* a* b* c* en Å –1 *= - ; *= - *= - * * * Rangée r=ua+vb+ wc r*hkl= ha*+ kb*+ lc* [uvw] Plans Equidistance [hkl]* (hkl) dhkl (uvw)* dhkl = 1 / |r hkl| d*uvw d uvw= 1 / |ruvw| Volume v v v* = 1 v* . 3)Application: Calcul de dhkl dhkl = 1 / |r hkl| avec r*= ha*+kb*+lc* |r hkl|2 = r*.r*= h2a*2 +k2b*2 +l2c*2 +2 hk a*b*cos * +2 kl b*c* cos * +2 hl a*c*cos * . orthorhombique = 90° l’expression se simplifie car : a* = 1/a b*= 1/b c*= 1/c orthorhombique dhkl = 1 / √ h2/ a2 + k2/b2+l2/c2 quadratique dhkl = a / √ h2+k2+ l2(a/c)2 Cubique cubique dhkl = a / √ h2+k2+l2 si si hkl = 100 hkl = 110 si hkl = 111 car a=b car a=b= c h 2+k2+l2=1 h2+k2+l2=2 d100 = a d110 = a√2 / 2 h2+k2+l2=3 d110 = a√3 / 3 .Cas particuliers cubique . quadratique. Introduction: Une opération de symétrie fait passer le cristal d’une position initiale à une position finale indiscernable (identique). L’opérateur qui permet cette opération est appelé élément de symétrie. une inversion.I. L’opérateur est un axe. une translation ou une combinaison de celles-ci. un centre de symétrie ou un plan. . Nous étudierons successivement: -la symétrie des figures finies (groupes ponctuels de symétrie d’orientation) -la symétrie des figures périodiques infinies (groupe d’espace de symétrie de position). Cette opération peut être une rotation. 2 .Symétrie des figures finies: On distingue les opérations de symétrie directe et inverse 1) Axes de symétrie directe Eléments qui ramènent la figure en coïncidence avec elle même par simple rotation d’un angle 2 / n autour d’une ligne appelée axe de symétrie. 4 et 6 -L’axe d’ordre 1 correspond à un tour complet : c’est l’opération identité . n :est toujours entier c’est l’ordre de l’axe Les seuls axes de symétrie compatibles avec l’existence des réseaux cristallins sont 1 .II. 3. -orthorhombique. -monoclinique. P’(-x -y z) L’axe 2 est rencontré dans les systèmes cristallins -cubique -quadratique (tétragonal). . y -hexagonal -rhomboédrique (trigonal).-L’axe d’ordre 2 transforme un point P( xyz) en P’(xyz) z P(x y z) Axe 2 x Système orthogonal: L’axe 2 est parallèle à oz. . y. Les nouvelles coordonnées peuvent être exprimées par rapport à l’ancien repère à l’aide d’une matrice de changement de coordonnées formée par les composantes de x’y’z’ dans l’ancien repère. Ce déplacement peut être traité comme un changement de coordonnées x.y.z’. z en x’.z en x’y’z’ autour du point fixe O.Remarque: L’opérateur a pour effet de déplacer le système x.y’. oy et bissectrice de l’angle xoy .x’ y’ z z’ = z’ -1 0 0 0 –1 0 0 0 1 x y z x’ y’ O x Axe 2 y Exercice : Trouver les matrices pour l’axe d’ordre 2 suivant ox. l’axe 3 (111) -L’axe d’ordre 3: z x Axe 3 y C O A x (111) x’=y y’=z z B y z’=x x’ y z y’ z’ 0 1 0 = x 0 0 1 1 0 0 . Ordre de l’axe Symbole graphique d’un axe plan dessin Terminologie 1 2 Axe binaire 3 Axe ternaire 4 Axe quaternaire 6 Axe sénaire .Exercice : Trouver la matrice correspondant à 3 (1 –1 1 ): - L’axe d’ordre 4 rencontré dans les systèmes quadratique et cubique L’axe d’ordre 6 rencontré dans le système hexagonal. Il est rencontré dans tous les systèmes cristallins.2) Centre de symétrie – Axes de symétrie inverse a) le centre de symétrie : Il transforme xyz en x’y’z’ avec x’= x. z x’ x’ y’ y’ x y z’ z’ = -1 0 0 x 0 –1 0 y 0 0 -1 z .y et z’= . y’ =.z notation : o ou c. -Axes binaire d’ordre –2: Suivant oz: il est équivalent à un axe binaire suivant oz. .L’opération résultante s’obtient en effectuant la multiplication matricielle des différents opérateurs.b) axe de symétrie inverse : L’opération consiste en une rotation de 2 / n suivie d’une inversion par rapport à un centre de symétrie situé sur l’axe de rotation . auquel s’ajoute un centre en O. z -1 0 0 -1 0 0 M = 0 -1 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 -1 y z 1 0 0 = 0 1 0 0 0 -1 Donc -2 transforme un point P(xyz) en P’(x’y’z’) y avec o x’=x y’= y et z’ =. Donc -2 m . P’ x’ z’ Remarque: Le même résultat peut être obtenu par un miroir m oz.z x .P x. Ordre de l’axe -1 -2 -3 Symbole graphique de l’axe au plan du dessin ° ● Terminologie axe d ‘inversion centre de symétrie d’ordre axe d’ inversion d’ordre 2( m) axe d’inversion d’ordre 3 -4 axe d’inversion d’ordre 4 -6 axe d’inversion d’ordre 6 Remarque: Tous les axes inverses d’ordre pair ( 2n) contiennent un axe direct d’ordre moitié (n) colinéaire. 1 . 1’ 2’ 3’ Equivalence entre opérations de symétrie -2 m -1 c -6 3 /m (désigne un axe 3 à un miroir m) 4’ -4 6’ -3 3 -1 (axe 3 plus un centre ) . l’élément de symétrie est appelé axe de réflexion est noté n’ .3) Réflexion rotatoire: L’opération consiste en une rotation de 2/n suivie nécessairement d’une réflexion dans un plan perpendiculaire à l’axe. à partir de la liste des coordonnées des points équivalents obtenus à partir d’un premier point. -y x z z z’ -X x’ y -Y x Axe 4 //oz . 4) Points équivalents – Projection stéréographique Un opérateur de symétrie peut être représentée soit: . -x -y z . Exemple : axe 4 : x y z . y -x z . il est à l’intersection du segment PS avec le plan de l’équateur. .-en présentant les points équivalents qui se disposent à la surface d’une sphère : c’est la projection stéréographique. .Les pôles sphériques P de coordonnées et sont reliés par des droites au pôles Sud ou Nord selon qu’ils sont dans l’hémisphère N ou S.Les intersections des droites de la liaison avec le plan de l’équateur sont les pôles stéréographiques Q . N Q Φ * Principe :Le point Q est le pôle stéréographique du pôle sphérique P (de coordonnées et ). . . le pôle se trouvant dans l’hémisphère S .Exemple : 1 2 3 4 6 -3 -4 -6 5 4 -1 m (ou –2) Dans le plan de projection à l’intérieur du cercle de l’équateur. une croix (x) indique le pôle stéréographique d’un point se trouvant dans l’hémisphère Nord et un rond (o) . les opérations de symétrie forment un groupe au sens mathématique du terme .A toute opération correspond une opération inverse telle que leur produit soit égale à 1 n . d l’ application successive ) de deux ou plusieurs opérations de symétrie du groupe.Le produit de plusieurs opérations A. . est toujours une opération de symétrie de ce groupe . réflexion et inversion sont leurs propres inverses. b.L’opération identité existe c’est l’opération 1 d. B. tout simplement une rotation dans le sens inverse ex : m2 = 1 .C est associative A (BC) = (AB) C c.Le produit (c. c2 = 1 . n-1 = 1 . n-1 est une rotation d’angle 2 . à . a.2 / n .3) Coexistence des éléments de symétrie Lorsqu’une figure possède un ou plusieurs éléments de symétrie. m .Exemple: m’ H .2 . H E={ 1 . La molécule d’eau H2O O m . m’ } * 1 2 m m’ 1 2 m m' 1 2 m m’ 2 1 m’ m m m’ 1 2 m’ m 2 1 axe 2 (E . *) forme un groupe x y z-x –y z-x y z 2 m m’ z m(xoz) y m’ m m’(yoz) ox x 2 y . .l’ intersection est un centre de symétrie.6) Théorème de combinaison des éléments de symétrie a) Si un axe d’ordre pair est perpendiculaire à un plan de symétrie . Exemple: 2/m 4/m b) Si une figure n’a qu’un seul axe de symétrie . tout plan de symétrie doit passer par l’axe ou lui être perpendiculaire : En effet un plan oblique sur l’axe engendrerait un second axe. ces axes font entre eux des angles / n et il existe un axe d’ordre n perpendiculaire au plan.c) Si une figure possède n axes binaires dans un plan . . Exemple: 12 222 32 422 d) Lorsqu’un axe d’ordre n est dans un plan de symétrie il existe n plans de symétrie formant entre eux des angles de / n. (démonstration en TD) . tout axe 2 doit nécessairement lui être perpendiculaire.1m 2mm 3m 4mm e) S’il n’existe qu’un seul axe d’ordre supérieur à 2 . f) La présence de deux axes quaternaires à angle droit implique la présence d’un troisième axe quaternaire perpendiculaire aux 2 autres et l’existence de quatre axes ternaires situés dans les directions des diagonales principales d’un cube. 4.-6. Dans la troisième colonne associons aux axes directs un miroir perpendiculaire (n/m). ainsi on appelle groupe ponctuel l’ensemble des opérations de symétrie d’une figure finie puisque cellesci forment un groupe au sens mathématique du terme. Rappelons que -2 m et -6 3/m. 4m m . 3/m -6donc on les répète pas. 3 . deux groupes ont été déjà rencontrés 1/m m . 4/m.Nous obtenons 5 groupes notés 1. On obtient donc 5 nouveaux groupes notés –1.-2.7) Groupes ponctuels a) définition Lorsqu’une figure finie possède plusieurs éléments de symétrie.On obtient 3 nouveaux groupes . -3 . 6m m car 1m m. Dans une deuxième colonne nous rangeons les groupes constitués par un seul axe de symétrie inverse. b) dénombrement des groupes Dans une première colonne nous rangeons les groupes constitués par un seul axe de symétrie directe . . 2/m. On génère alors 4 nouveaux groupes 2m m . 3m . 2. et 6/m. 4 . Dans la quatrième colonne associons aux axes directs un miroir passant par ces axes (n m) . ces éléments doivent se couper en un point. 6. On obtient 3 nouveaux groupes qui sont -3m ou –3 2m. associons aux axes inverses un miroir passant par l’ axe ( -nm ) . Dans la sixième colonne. Dans la dernière colonne cherchons les groupes engendrés par l’association d’un axe principal. 4/m m m et 6/m m m . ces groupes correspondent à la présence simultanée de 4 axes ternaires 23. On obtient 4 groupes nouveaux 222. deux groupes ont été déjà rencontrés -1m =2/m et -2m=2mm.il en reste 5 qui sont formés avec plusieurs axes de symétrie d’ordre supérieur à 2. d’un miroir passant par l’axe et d’un miroir perpendiculaire à l’axe (n/m 2/m 2/m). -4m ou –4 2m et -6m ou –6 2m ( ces équivalences entre notations peuvent être démontrées par projections stéréographiques). m3. On obtient 3 autres groupes 2/m 2/m 2/m ou m m m . 622. Nous avons décrit jusqu’à présent 27 groupes ponctuels . . 432 et m3m.43m. 32. Dans la cinquième colonne. 422. Ces 5 groupes sont compatibles avec la symétrie cubique. les groupes 1/m m et 3/m m sont équivalents respectivement à 2 m m et -62m déjà cités. le groupe 12 = 2 déjà décrit. recherchons les groupes obtenus en associant des axes binaires à un axe principal (n n’ n"). . . " Cn ≡ .M’’ Remarque : Il y a une autre notation appelée notation de SCHOENFLIES utilisée en spectroscopie et rarement en cristallographie. c) notations des groupes • Notation de HERMAN et MAUGUIN C’est une notation très utilisée en cristallographie Axe d’ordre n : 1 .-6 Centre de symétrie : c n m se note n/m n // m se note n/m • Notation descriptive Les axes directs sont notés : An Les axes inverses sont notés : An Les plans miroirs sont notés : M Le centre de symétrie est noté : C An M se note : An/M An // M se note : An M Quant il y a plusieurs axes A 2 non équivalents on les note A2. A’2. -4 . 2. A"2 Quant Il y a plusieurs plans M non équivalents on les note M. M’. 6 Axe inverse d’ordre n -1 . -2. -3. 3. 4 . [011].(01-1) et (-101).[-110][101].Exercice: Vérifier pour le système cubique que le groupe ponctuel G P est 4/m 3 2/m ou m 3 m et en notation descriptive : 3A4/3M 4A3 6 A’2/6M C 3A4 suivant [001] . [010] et [100] 4A3 suivant les directions [111] 6 A2 suivant les directions [110]. .(011) .(101) .[101].[010] et [100] c à d normaux aux axes A4 6M’ parallèles à (110) .[0-11] 3M normaux à [001].(-110) . n4. Si la classe possède un centre de symétrie. et n6 représentent respectivement le nombre d’axes binaires.622 ou A6 3A’23A’’2 S = 1 + 6 +5 =12 - 4/m ou A4 /M C S = 1 +3 = 4 S’ = 25 = 8 . à 48 pour la classe m3 m (cubique) Exemples : - 6 m m : notation descriptive A6 3M’3M ’’ : pas de centre de symétrie et un seul axe 6 donc S = 1 + 5 + 3 + 3 = 12 dans ce cas on tient compte des miroirs. Le moyen le plus pratique pour déterminer le degré de symétrie d’une classe cristalline est d’examiner la projection stéréographique résultant de la répétition d’ un point placé en dehors de tout élément de symétrie de la classe. . n3. Ce degré de symétrie peut également se calculer à l’aide de la relation suivante S = 1 +n2 +2n3 + 3n4 + 5n6 n2. quaternaires et sénaires présents dans la classe de symétrie. le degré de symétrie devient S’ = 2S Dans les 32 classes cristallines le degré S varie de 1 pour la classe 1 (triclinique) .8 ) Degré de symétrie d’une classe cristalline C’est le nombre de points équivalents obtenus par application de toutes les opérations de symétrie du groupe. ternaires. -Si le degré de symétrie de la classe est égale à S/4 . on dit que la classe est hémièdre. on dit que cette classe est mérièdre -Si le degré de symétrie de la classe est égale à S/2. le degré de symétrie varie de classe en classe.Ces classes sont dites holoèdres.Par exemple 48 pour le cubique. Si maintenant on considère une classe où certains éléments de symétrie sont absents. .9) Les sept systèmes cristallins et les quatorze réseaux de Bravais Les 32 classes de symétrie se répartissent entre les 7 systèmes cristallins .Dans un système. on dit que la classe est tétartoèdre. Pour chaque système on trouve une classe présentant la symétrie maximum S. La symétrie du cristal est identique à celle du réseau caractéristique. 24 pour l’hexagonal. Les 7 systèmes cristallins . Les 14 réseaux de bravais . Système orthorhombique ou C) Symétrie du réseau réseau de Bravais P. F. I (A ou B A2 / M A’2 / M’ La maille élémentaire est définie par a b c 90 A”2 / 2M” C = = γ= . Système triclinique réseau de Bravais P -1 La maille élémentaire est définie par 6 quantités a b c . le plan (a c) contient le plan de symétrie M. γ 90 système monoclinique réseau de Bravais P et C ( ou A) Symétrie du réseau A2/M C La maille élémentaire est définie par a b c . = γ = 90 90 L’axe A2 est généralement parallèle à l’axe b . c’est un prisme hexagonal droit . Système quadratique (tetragonal) réseau de Bravais P et I Symétrie du réseau A4 / M 2A’2 / 2M’ 2A”2 / 2M” C La maille élémentaire est définie par a = b c = = γ = 90° A4 // c les axes A’2 // à a et b les axes A”2 font 45° avec les axes A’2 M’ A’2 et M’’ A’’2 Système rhomboédrique (trigonal) réseau de Bravais R Symétrie du réseau A3 3A2 / 3M C La maille élémentaire est définie par un rhomboèdre élémentaire a=b=c = = γ = quelconques Système hexagonal réseau de Bravais P Symétrie du réseau A6/M 3A’2/3M’ 3A”2/3M” C La maille du réseau possédant cette symétrie st une maille multiple . F.La maille élémentaire est un prisme droit à base losange de hauteur c dont ses paramètres sont a=bc = = 90° γ = 120° A6//à c . I Symétrie du réseau 3A4/3M 4A3 6A’2/6M’ C La maille élémentaires est définie par a=b=c = = γ = 90° . A2’ // à a et b et M’ A’2 A2 ‘’ situés à 30° des A’2 et M’’ A2’’ Système cubique réseau de Bravais P. 2 . . mais avec un point correspondant qui lui est associé par une relation simple. Ces nouveaux éléments dits de position ne ramènent pas un point en coïncidence avec lui même . -1 . Ces éléments laissent au moins un point fixe dans la figure. -3 . 6 . 4 . des éléments faisant intervenir: * La translation pure * La translation associée à la rotation: axes hélicoïdaux * La translation associée à la réflexion: plans de glissement. -4 .-Eléments de symétrie d’orientation 1 . -Cas des figures périodiques infinies (cristal à l’échelle atomique) nous aurons à considérer en plus de ces éléments. -2(m) . -6 interviennent seuls pour établir les 32 classes de symétrie. 3 . 6 3 . 6 2 . 3 2 . 4 3 . 6 1 . 61 et 65 . 4 2 . 6 4 . Même remarque pour les axes 41 et 43 . Il existe onze axes hélicoïdaux 21 . 4 1 . 6 5 Exemple: axe d’ordre 3 O+ 3 O+ O+ O1/3+ 31 O+ O2/3+ O2/3+ 32 O+ O1/3+ Remarque Les axes 31 et 32 sont dits énantiomorphes. 3 1 .1) Les axes hélicoïdaux L’opération de symétrie correspond à une rotation de 2/n autour d’un axe d’ordre n suivie nécessairement d’une translation parallèlement à cet axe . 62 et 64 L’un des axes se transforme en l’autre si on inverse le sens de la rotation . c à d l’un est l’image de l’autre par rapport à un miroir passant par l’axe . . 2) Les plans de glissement L’opération de symétrie consiste en une réflexion suivie d’une translation de T/2 ou T/4 ( seules possibles) parallèlement au plan de réflexion. b. on distingue les plans de glissement suivants . c ou bien en diagonal ) et la période (T/2 ou T/4) . m T g T/2 Suivant la direction du glissement ( le long de a. les translations sont limitées à T/2 et T/4 à cause du caractère périodique du réseau . a±c /4 .plan de glissement d : appelé plan diamant car on le trouve dans la structure du diamant : a±b /4 .plan de glissement a:réflexion+translation de a /2 suivant 100] . b±c /4 .) . a±b±c /4 ( cubique et quadratique ) .plans de glissement b:réflexion+translation de b /2 suivant [010] . b et c .plans de glissement c : réflexion+translation de c/2 suivant [001] ou (a+b+c) / 2 le long de [ 1 1 1 ] rhomboédrique .plan de glissement n : (a+b)/2 ou (b+c)/2 ou (a+c)/2 ou (a+b+c)/2 pour le cubique et le tétragonal.a) plans de glissement : axiaux a . b) plans de glissement diagonaux n et d . . . d -1 . 4 .A . 3 . -2(m). 2 . F . 4 2 … 65 1. 3 2 .-4.-3. b . n . c .-6 Réseau de translation P .3) Groupes d’espace : Eléments de symétrie de position Elément de symétrie d’orientation 2 1 . 4 1 . I . 6 a . 3 1 .B Symétrie complète à l’échelle atomique: cristal 230 GS Groupes d’espace ou groupes de recouvrement . PI FC X Exemple: Pnma Autres classes PI FC Plan // à yoz (m. b. n) ou à défaut les axes // à oz X [001] Nature des éléments situés à 45°(tetragonal) 30°(hexagonal) . F…) indiquant le mode de réseau suivie du symbole du groupe ponctuel (modifié pour introduire les axes hélicoïdaux et les plans de glissement) Exemple: GS contenant que les axes 2. a.a ) représentation des groupes d’espace On représente les groupes d’espace à l’aide d’une lettre majuscule (P. a. n) ou à défaut les axes // à ox X [100] Axe principal Plan // à xoz (m. I. n) ou à défaut les axes // à oy X [010] Nature des éléments suivant o x et o y Plan // à xoy (m. c. b. c. carré ou losange selon le système).Exemple: P4mm . . Chacun des paramètres est pris comme unité : Les coordonnées sont dites relatives. Ces coordonnées repèrent les positions dans la maille ainsi que les éléments de symétrie. la projection se fait parallèlement au 3ème axe c. pour cela on fait la projection cotée de la maille. Les coordonnées z (suivant la position) sont portées sur la position. P63mc Dans les groupes d’espace on représente les positions équivalentes. On représente alors la projection de la maille par le quadrilatère de côtés a et b (parallélogramme : rectangle. elles s’expriment en fraction de paramètre. F m m m Ces 4 groupes appartiennent à la classe holoèdre de l’orthorhombique m m m (S=8) P m m m (8) . A . I m m m. - maille P : nombre de positions équivalentes générales= S - maille I . C m m m (16). I m m m (16) . F m m m (32) . C m m m . L’ensemble de ces points constitue les positions équivalentes ou positions de WYCKOFF Positions générales de WYCKOFF : PGW Positions générales: Un atome est dit en position générale. si son centre de gravité est en dehors de tout élément de symétrie sans glissement. B et C : nombre de positions équivalentes générales = 2S - maille F : nombre de positions équivalentes générales = 4S - Exemple P m m m . Si un atome est situé au point x y z dans la maille.b) Positions équivalentes La connaissance du groupe spatial permet de construire la répartition des atomes équivalents à l’intérieur d’une maille élémentaire. les opérations de symétrie du groupe spatial lui feront correspondre des atomes identiques à l’intérieur. de la maille. .Si l’atome est à la fois sur un axe d’ordre n et sur un miroir m : E=S / 2 x n . l’ensemble des éléments de symétrie sans glissement qui passent par ce point. Le nombre de positions équivalentes devient alors un sous multiple de S.Si l’atome est à l’intersection de deux axes d’ordres n et n’ E= S / n x n’ Remarque : On appelle symétrie d’un site pour un atome en position spéciale. . Positions spéciales ou particulières : Un atome est dit en position particulière si son centre de gravité coïncide avec un élément de symétrie sans translation.Si l’atome est sur un axe d’ordre n nombre de positions équivalentes devient alors un sous multiple de S. Si maintenant l’atome est situé à des coordonnées x o z la symétrie du site est réduite à m. E = S/n . La symétrie du site est m m m. Exemple : Prenons le cas du groupe Pmmm un atome situé sur le centre de symétrie en 000. . o .z .z c c x . x . M S= 2 O ½+ O OO + ½+ O½+ O+ + y O O+ ½+ x c x. M S= 1 + 1 = 2 O O O O O+ O+ O+ O+ + + + + y Apparition d’un autre miroir x m m m Positions générales: x y z .z Pc: Groupe ponctuel: m .½.Exemple: Groupes d’espace monocliniques. -y . Pm: Groupe ponctuel: m . 12+z Néant PG PP .y. x –y z Positions particulières: x . A2 S = 2 OOO+ O+ OO+ x z y OO+ x PG : x.OO+ O+ O.y. P2 : 2 . ½.-z PP o.OO+ O+ O.y.y. GP : 2/m .o . -x. o.o . ½ .OO+ O+ PG : x y z x –y z -x –y –z -x y –z PP sur les sites de symétrie 2 m 2/m . S = 4 O. ½ . A2/M C .y.P2/m .y.OO+ O+ O. ½ .z .y. x. ½-y. o.o. y.z .-y.½. ½+x. -x.z ½+x.y.z . ½-x. ½. PP : o. ½+y.z . ½-y.z .z . ½+z .z . -y.Groupes quadratiques: 4 A4 S’ = 2 S = 2 x 4= 8 car I I4 + + O O+ O O+ O+ O+ O+ O½+ O½+ ½+ O+ O+ O+ O O½+ O+ O+ O+ O+ O+ O+ PG : x.-x.o. ½. ½+z . ½+z .z . ½-x. ½+y. ½. ½+z .