Ingeniería Eléctrica.Teoría y problemas Señales de corriente alterna Generación de Corriente Alterna Si un conductor se coloca en un campo magnético y si el conductor se mueve dentro del campo o el campo magnético varia con el tiempo, se produce una fuerza electromotriz (FEM) o voltaje en el conductor. Esto se conoce como inducción electromagnética. Principio de inducción de Faraday Cuando existe un movimiento relativo entre una bobina y un campo magnético, en los extremos de la bobina aparece una diferencia de potencial que produce una corriente eléctrica a través del alambre que forma la bobina. Formalmente la ley de inducción puede ser formulada como ε=- dΦ B dt (1.1) donde Φ B es el flujo magnético a través de la bobina y se calcula mediante la bobina. Si el circuito consiste de una bobina de N vueltas con la misma área y si el dΦ flujo pasa por todas las vueltas de la bobina, entonces ε = -N B . Es decir dt expresión Φ B = ∫ B ⋅ da , donde la integral se hace sobre el área rodeada por la ε = -N d B ⋅ da dt ∫ (1.2) Suponiendo que el campo magnético es uniforme sobre una bobina de N vueltas y área A y que forma un ángulo θ con la perpendicular a la bobina, entonces el voltaje inducido puede expresarse como ε = -N d (BAcosθ) dt (1.3) De esta expresión se concluye que se puede inducir un voltaje mediante diferentes maneras: • La variación de B con respecto al tiempo. • El área del circuito puede cambiar con respecto al tiempo. • El ángulo θ entre el campo B y la perpendicular a la bobina puede cambiar con respecto al tiempo. • Cualquier combinación de las anteriores. 60 Teoría y problemas Frecuencia Si la bobina en un generador hace una revolución completa en un segundo.Ingeniería Eléctrica. La relación entre el periodo (T) y la frecuencia (f) se indica en la formula T= o bien 1 f (1. el generador produce un ciclo completo de corriente alterna (ca) durante cada segundo.6) w = 2πf = 2π T (1. Si se aumenta el numero de revoluciones a dos por segundo. La frecuencia siempre se mide en ciclos por segundo o Hertz (Hz). El tiempo requerido para completar un ciclo completo de una forma de onda se llama periodo. se producen dos ciclos completes de ca por segundo. Periodo Un ciclo completo de cualquier onda senoidal transcurre en una cantidad definida de tiempo. Frecuencia angular La frecuencia angular se define como (1.7) La frecuencia angular se mide en radianes por segundo. se cumple que x(t) = x(t + T) Vease la figura 1.5) donde el periodo se mide en segundos y la frecuencia se mide en ciclos por segundo o Hertz (Hz). El periodo T de una onda senoidal es tal que si x(t) es una onda senoidal.4) f = 1 T (1. El número de ciclos completes que se completan en una corriente o voltaje alterno cada segundo se conoce como la frecuencia. 61 . Es decir w =[rad/s]. Descripción de señales de corriente alterna En la descripción de corrientes o voltajes alternos. En una onda senoidal. sus valores máximos o pico. uno positivo y otro negativo. pero tienen diferente polaridad. La distancia recorrida por la onda senoidal durante un periodo se conoce como longitud de onda (wavelength) o bien es la distancia a lo largo de la onda desde un punto en un ciclo al mismo punto en el siguiente ciclo. El pulso positivo se conoce como variación positiva de la onda y el pulso negativo se conoce como variación negativa de la onda. Teoría y problemas Figura 1 Cada ciclo de una onda senoidal consiste de dos pulsos de voltaje igualmente formados. valores promedio o valores instantáneos. las dos variaciones son idénticas en tamaño y forma. Cada uno de esos valores tiene un significado diferente y se usan para describir diferentes cantidades de voltaje o de corriente alterna. es necesario expresar sus valores en términos de sus valores efectivos. Longitud de onda El tiempo que transcurre para que una onda senoidal complete un ciclo completo se define como el periodo de la onda. pero de signo opuesto. 62 . Amplitud de la onda La distancia desde cero hasta el valor máximo de cada pulso se llama la amplitud de la onda. La amplitud del pulso positivo y la amplitud del pulso negativo son iguales en magnitud.Ingeniería Eléctrica. el ciclo negativo. En la figura 3 note la diferencia entre el valor pico y el valor pico a pico. uno para el ciclo positivo y otro para la otra mitad. Note que la señal de cd inicia y termina en los mismos instantes que lo hace la señal de ca y que ambas alcanzan el mismo valor máximo. excepto en el punto donde la señal de ca alcanza su valor máximo.Ingeniería Eléctrica. 63 . Teoría y problemas El valor pico y el valor pico a pico En la figura 2 se muestra el pulso positivo de una onda senoidal (medio ciclo de una señal de corriente alterna (ca) y una forma de onda de corriente directa (cd). Usualmente voltajes y corrientes de ca se expresan en términos del valor efectivo. En este punto las señales de ca y cd tienen el mismo valor. Este punto se conoce como el valor máximo o valor pico de la señal senoidal. Este valor es el doble del valor máximo o valor pico de la señal senoidal y usualmente se utiliza para mediciones de voltajes o corrientes de ca. Figura 2 Durante cada ciclo completo de la señal de ca siempre hay dos valores máximos o valores pico. el valor de la señal de cd siempre es mayor que el valor de la señal de CA. La diferencia entre el valor pico positivo y el valor pico negativo se conoce como el valor pico a pico de la señal senoidal. Sin embargo. De hecho hay un número infinito de valores de una señal de ca entre cero y el valor pico. Este cálculo muestra que un pulso (positivo o negativo) de una señal de ca tiene un valor promedio de 0.636 veces el valor pico. También puede ser igual al valor pico.6) se tiene que T = 64 . El valor promedio El valor promedio de una corriente o voltaje alterno es el promedio de todos los valores instantáneos durante un pulso. El promedio se puede determinar sumando todos los valores del voltaje de un pulso y dividiendo la suma entre el número de valores instantáneos usados. utilizando la ecuación (1. Puede ser igual a cero.Ingeniería Eléctrica. si el instante de tiempo es aquel para el cual la señal esta cambiando de polaridad. lo anterior se representa de la siguiente manera: T E prom 22 = ∫ E m sen(wt)dt T 0 2π y entonces w Sin embargo. Es decir Eprom = 0. el valor promedio debe ser un valor entre esos dos límites. Dado que el voltaje aumenta de cero a su valor pico y disminuye hasta cero durante medio ciclo.636 x Emax En términos matemáticos. Teoría y problemas Figura 3 El valor instantáneo El valor instantáneo de un voltaje o una corriente alterna es el valor en un instante de tiempo determinado. si el instante de tiempo es aquel para el que la señal detiene su crecimiento e inicia su decrecimiento. 636 x Im donde Iprom es la corriente promedio del medio pulso de corriente. y Em es el valor pico o amplitud del voltaje. Porque el voltaje es positivo durante la mitad del ciclo completo y negativo en la otra mitad del ciclo de tal manera que el valor promedio durante un ciclo completo es cero. Cuando fluye corriente directa la cantidad de potencia eléctrica convertida en calor es igual a I2R Watts. la corriente alterna de 1 Ampere no produce tanto calor en la resistencia como lo hace la corriente de 1 Ampere de cd.Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas π w E prom = Haciendo la integral w E msen(wt)dt π ∫ 0 E prom = π w -1 w E m ( coswt ]0 π w Evaluando en los límites de integración E prom = Es decir -E m [cos(π) . cuando la corriente fluye por una resistencia.636 × E m π (1. El valor efectivo Como ya sabemos. No confundir la definición de arriba con el valor promedio de un ciclo completo. la formula para la corriente promedio es Iprom = 0. Similarmente.8) donde Eprom es el valor promedio de medio pulso del voltaje. Sin embargo. dado que una corriente alterna que tiene un valor máximo de 1 Ampere. e Im es el valor pico o la amplitud de la corriente. no mantiene un valor constante. se produce calor. 65 .cos(0)] π E prom = 2E m = 0. La siguiente figura muestra la comparación del efecto de calentamiento de 1 Ampere de cd con 1 Ampere de ca. 9) En el caso de una onda senoidal dada por i(t) = I m cos(wt + φ) el valor efectivo de la corriente esta dado por I efec = 1 2 2 ∫ Imcos (wt + φ)dt T0 2π y entonces w T Sin embargo. utilizando la ecuación (1. Se puede calcular el valor efectivo de una onda senoidal de corriente mediante la raíz cuadrada del promedio de la suma de los valores instantáneos de la señal de ca en un periodo.7° C) producido por 1 Ampere de ca (esto es.707 Efecto de calentamiento de 1 Ampere de CA 100o C Una corriente alterna se dice que tiene un valor efectivo de 1 Ampere cuando produce calor en una resistencia a la misma razón como lo hace 1 Ampere de cd.Ingeniería Eléctrica. Por esta razón.7o C = = 0. al valor efectivo también se le conoce como valor rms (Root Mean Square). Teoría y problemas + - i=1A + R 70. Efecto de calentamiento de 1 Ampere de CD 70.6) se tiene que T = 66 . Matemáticamente.70C i=1A (b) R 100oC (a) Figura 4 Comparando la vista en 4a con la vista en 4b.7 por ciento del calor (100° C) producido por 1 Ampere de cd. Entonces Iefec = 1 2 i dt T∫ 0 T (1. se observa que el calor (70. una ca con un valor máximo de 1 Ampere) es solamente 70. se refiere a un valor efectivo.414 x 120 = 169. su valor máximo se puede obtener mediante la relaciones Im = Vefec = Iefec = 1.12) (1.13) Así.11) Dicho en palabras. Por otro lado.Ingeniería Eléctrica. La figura 5 muestra el valor efectivo y el valor promedio de medio pulso de una señal senoidal. dado que la energía eléctrica que nos vende la CFE con valor 120 Voltios.414 × Vefec 0. Teoría y problemas 2π w I efec = Im w 2π ∫ 2 + 2 cos(2wt + 2φ) dt 0 1 1 La integral del cos(2wt + 2φ) es cero. dicha señal tiene un valor máximo de Vm = 1.10) Similarmente.414 × Iefec 0. el valor efectivo de una de voltaje senoidal está dado por Vefec = Vm = 0.707 Vefec = 1.707 × Im 2π 2 (1. si se conoce el valor efectivo de una onda senoidal.7 voltios.707 (1. el valor efectivo o valor RMS de una onda senoidal es igual a 0.707 veces el valor máximo de la onda senoidal. 67 . quedando que Iefec = I m I w 2π/w [ t ]0 = m = 0.707 × Vm 2 (1. Esto está de acuerdo a la ley de Ohm que señala que la corriente que pasa por una resistencia es directamente proporcional al voltaje aplicado. Figura 6 La diferencia de fase en las formas de onda Cuando una onda senoidal se aplica a una resistencia. la onda asociada a la corriente también aumenta. Ahora. Primeramente. Cuando el 68 . notamos que la onda senoidal de voltaje y la onda senoidal de corriente se cruzan el en eje temporal en los mismos instantes de tiempo.Ingeniería Eléctrica. donde se muestra un voltaje con una amplitud igual al doble de la amplitud que tiene la corriente. Nótese también que cuando el voltaje crece en la dirección positiva. la corriente que pasa por la resistencia también es una onda senoidal. examinando figura 7. Teoría y problemas Figura 5 La figura 6 muestra la relación entre los diferentes valores utilizados para describir una onda senoidal. Cuando hay elementos que almacenan energía. y cuando alcanza su valor pico positivo. Esto también se puede describir diciendo que E1 adelanta a la onda E 2 por 90°. De hecho existe una diferencia de fase de 90o entre las dos ondas. Ondas senoidales fuera de fase En la figura 8. como capacitores e inductores. La otra onda. se dice que esta retrasada. Figura 7 En los circuitos donde solo hay elementos resistivos las ondas senoidales de corriente que pasan por las resistencias están siempre en fase con las ondas de voltaje. La cantidad que una onda esta adelante de otra se mide en grados. Ambas maneras de describir el desfasamiento entre dos ondas senoidales es correcto. de hecho las ondas están en fase. Teoría y problemas voltaje cambia de dirección. 69 . las ondas están en fase. Observe que la onda E2 inicia 90° mas tarde en tiempo que la onda E1. Cuando dos ondas senoidales como las representadas en esta figura se siguen una a la otra. dos ondas deben de ir a través de sus valores máximos y mínimos y cruzar el eje del tiempo en los mismos instantes de tiempo y en la misma dirección. las ondas de corriente que pasan por estos elementos ya no están en fase con el correspondiente voltaje que aparece entre sus terminales. o que la onda E2 esta retrasada de la onda E1 por 90°. la onda de voltaje E1 inicia a 0°. una de ellas esta adelantada con respecto a la otra y se dice que es la onda líder. Cuando dos ondas están fuera de fase con un ángulo igual a 0° o 360°. Para estar en fase. En este caso las dos ondas están fuera de fase. la onda del voltaje E 2 inicia su subida. Cuando dos ondas están fuera de fase.Ingeniería Eléctrica. la corriente también lo hace. Dos ondas senoidales que están desfasadas en 45°. Si dos ondas de voltaje o de corriente con 180o de desfasamiento pasan simultáneamente por un elemento. se muestran en la figura 9. Nótese que las ondas pasan por sus valores máximos y mínimos al mismo tiempo. pero sus valores instantáneos siempre tienen polaridad diferente. la onda resultante siempre tiene la misma polaridad que la onda más grande y su amplitud es igual a la diferencia de amplitud de las dos ondas. Cuando tienen diferente amplitud. Teoría y problemas Figura 8 También es posible que una onda se adelante o retrase de otra por un ángulo diferente de 0° o 360° De hecho la diferencia de fase puede ser cualquier ángulo entre 0° y 360°. Las dos ondas están fuera de fase en 180°. 70 . se cancelan entre ellas mismas. Figura 9 Una diferencia de fase que es muy común se ilustra en la figura 10.Ingeniería Eléctrica. las dos ondas deben de escribirse con amplitud positiva y la frecuencia de las dos ondas debe de ser la misma.. puede decirse que V1 = Vm1sen(5t – 30o) está atrasada con respecto a la señal V2 que está dada por V2 = Vm2cos(5t + 10o) = Vm2sen(5t + 10o + 90o ) = Vm2sen(5t + 100o ) La diferencia de fase entre V1 y V2 es 130o. localice los puntos sobre el eje temporal donde las dos ondas cruzan el eje en la misma dirección.Ingeniería Eléctrica. Si se va a comparar la fase de ondas senoidales. entonces ambas deben de escribirse como ondas seno o ambas como ondas coseno. ya que V2 puede escribirse como V2 = Vm2 sen(5t + 100o . Teoría y problemas Figura 10 ¿Cómo se mide la diferencia de fase entre dos ondas? Para saber cuál es la diferencia de fase entre dos ondas senoidales. También. y también es correcto decir que V1 va delante de V2 por 230o. El número de grados entre los dos puntos donde cruzan el eje representa la diferencia de fase. es evidente que pueden sumarse o restarse múltiplos de 360o del argumento de cualquier función senoidal sin alterar el valor de la función.360o) = Vm2 sen(5t – 260o) 71 . La onda que cruza el eje en el tiempo posterior (el que está más a la derecha en el eje) se dice que esta retrasada. Por lo tanto. Para esto.(φ .θ) = 0 (1.19) 72 .t 2 ) . considérese las dos funciones de voltaje y corriente que se muestran en la figura 11 y supóngase que están dadas por v(t) = Vmsen(wt + θ) i(t) = I msen(wt + φ) (1.t 2 = φ-θ w (1.15) Figura 11 Estas señales son iguales a cero en t1 y t2 respectivamente. Las funciones son iguales a cero si el argumento es igual a cero. el voltaje es cero si wt1 + θ = 0 y la corriente es cero si (1.16) wt 2 + φ = 0 Restando estas dos ecuaciones se obtiene (1. Es decir.18) Despejando t1 – t2 se obtiene la expresión de la diferencia de fase entre las señales eléctricas en función del tiempo dada por ∆t = t1 .17) w(t1 . Teoría y problemas La diferencia de fase entre dos señales que tienen la misma frecuencia también puede medirse en función del tiempo.14) (1.Ingeniería Eléctrica. ¿Qué valor de la corriente o voltaje es calculado cuando se promedian todos los valores instantáneos durante el pulso negativo de una onda senoidal? 11. Si Iprom es 1. Si cualquier punto de una onda senoidal se escoge al azar y el valor de la corriente o voltaje se mide en ese momento particular. ¿Cuál es el valor de Eprom? 14. ¿Cuál es la formula para encontrar el valor efectivo de una corriente alterna? 18. ¿A cuantos grados es igual un ciclo completo de rotación? 2. cuál es el valor efectivo de dicha onda? 73 .Ingeniería Eléctrica. ¿Cuál es la base más conveniente para comparar corrientes y voltajes de cd con corrientes y voltajes de ca? 16. ¿Si el valor pico de una onda senoidal es de 1. ¿Cuál es el valor de Imax ? 15. Teoría y problemas Problemas 1. Si Emax es 115 voltios. ¿Cuál es el valor promedio de una señal senoidal de voltaje o corriente durante un ciclo completo? 12. Defina frecuencia de una onda. ¿Qué es un pulso positivo de una onda senoidal? 6. ¿Qué valor de una onda de ca se utiliza para compararlo con una onda de cd? 17. 4.272 amperes. ¿Qué formula matemática se utiliza para encontrar el valor promedio de una corriente o un voltaje de onda senoidal? 13.000 voltios. ¿Qué término se utiliza para indicar el tiempo de un ciclo completo de una forma de onda? 5. ¿Cómo se produce un voltaje de ca por un generador de ca? 3. ¿Cuántas veces se alcanza el valor máximo o valor pico de un voltaje o una corriente de ca durante un ciclo completo? 9. ¿Qué miden el periodo y la longitud de onda de una onda senoidal? 7. ¿Qué significa valor pico a pico de una señal de ca? 8. ¿Qué valor se esta midiendo? 10. (c) -0.5o) V e Ig = 20 sen(5000t + 85o) A (a) ¿Cuál es la impedancia vista por la fuente de voltaje? (b) ¿Por cuántos microsegundos la corriente está fuera de fase con el voltaje? 74 .5cos(120π t + 20o) A. f(t) = -50cos(wt) – 30sen(wt) y g(t) = 55cos(wt) – 15sen(wt). ¿Cuál es el valor de Iprom? 30. 26.110o). (b) 1. ¿Cuando se considera que una onda de voltaje y una onda de corriente están en fase? 21. C y φ si 40cos(100t – 40o) – 20sen(100t + 170o) = Acos100t + Bsen100t = Ccos(100t + φ) 27.4sen(120π t . Si Iefec = 4. Un circuito en serie consiste de tres resistencias (R1 = 10W. 28. Teoría y problemas 19. B. ¿Cuándo dos ondas de voltaje se consideran fuera de fase? 22. encuentre (a) La magnitud de cada una de las funciones (b) El ángulo de fase que f(t) adelanta a g(t). ¿Cuál es la relación entre dos ondas de voltaje que están con una diferencia de fase de 360o? 23. Las expresiones para el voltaje y la corriente en estado estable en las terminales de entrada de un circuito son Vg = 120 cos(5000t + 17.25 amperes. Demuestre que V2 = Vm2cos(5t + 10o) también puede escribirse como v2 = Vm2sen(5t – 260o) 25.Ingeniería Eléctrica.8cos(120π t . Cuando leemos que la CFE distribuye 110 voltios o 220 voltios.70o). R3 = 15W) y una fuente de voltaje de ca de 100 voltios. ¿Cuál es la resistencia total (RT) en el circuito? 31. Dadas dos funciones de onda. Si Eefect es 130 voltios e Iefect es 3 Amperes. ¿Cómo determina la diferencia se fase entre dos ondas que están dibujadas en la misma grafica? 24. Encuentre A. cuál es el valor de Imax ? 20. ¿Cuál es el valor efectivo de la corriente en el circuito? 29. Si la fuente de voltaje de ca en la pregunta anterior se cambia a una fuente de 200 voltios pico a pico. R2 = 20W. ¿a qué valor se esta refiriendo? 32. Obtenga el ángulo de retraso de i1 respecto a v1 si v1 = 120cos(120π t + 20o) e i1 es igual a (a) 2.