ELETRICIDADE 3 – CAPÍTULO 1 CORRENTES ALTERNADASA maioria das casas e repartições são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (c.a.), isto é, corrente cujo valor varia no tempo e, geralmente, de forma senoidal, trocando de sentido 60 vezes por segundo (mais comumente). À primeira vista, pode parecer um procedimento estranho. A velocidade escalar de deriva dos elétrons de condução num fio condutor é cerca de 4×10−5m/s. Se, agora, invertermos seus sentidos a cada intervalo de 1/60 do segundo, estes elétrons poderiam mover-se apenas 6×10−7m, na metade de um ciclo. Com esta taxa, um elétron típico mover-se-ia passando por não mais do que aproximadamente vinte átomos da rede cristalina do cobre antes que fosse forçado a inverter o sentido do movimento. Como o elétron poderia vir a alcançar qualquer parte do fio? Embora o fato possa ser embaraçoso, não implica preocupação. Os elétrons de condução não têm que “alcançar qualquer parte do fio”. Quando dizemos que a corrente que percorre um fio é igual a um ampère, significa que os portadores de carga atravessam qualquer plano ortogonal ao fio na taxa de 1 coulomb por segundo. A velocidade escalar com que os portadores atravessam esse plano não entra diretamente neste cálculo; um ampère pode corresponder a muitos portadores de carga se movendo lentamente ou a poucos se movendo rapidamente. Além disso, o sinal que obriga os elétrons a inverterem seus sentidos de movimento − que resulta da fem (força eletromotriz) alternada fornecida pelo gerador − propaga-se ao longo do fio a uma velocidade praticamente igual a da luz, que é de aproximadamente 300.000km/s no vácuo. Todos os elétrons, independentemente de onde estejam localizados, recebem este sinal que os obriga a mudarem de sentido praticamente no mesmo instante. Finalmente, notamos que em muitos dispositivos, tais como lâmpadas ou torradeiras elétricas, não interessa o sentido do movimento dos elétrons e sim que estejam em movimento e, desse modo, transferindo energia ao dispositivo. Uma das principais vantagens da corrente alternada é a seguinte: à medida que a corrente se alterna, o campo magnético que circunda o condutor também se alterna. Tal fato torna possível a aplicação da lei da indução de Faraday que, dentre outras coisas, nos permite aumentar ou diminuir, à vontade, o valor de uma tensão alternada, usando um dispositivo chamado transformador (que funciona somente em c.a., lembre-se “muito bem” disto). Além disso, a corrente alternada é mais adequada para o uso em máquinas rotativas, tais como geradores e motores, do que a corrente contínua (c.c.). Por exemplo, girando-se uma bobina num campo magnético externo, como na Figura 1.1, a fem induzida na bobina é alternada. Extrair uma tensão alternada de uma bobina e, a seguir, transformá-la numa tensão de magnitude e polaridade constantes para que se possa suprir um sistema de distribuição de energia de corrente contínua, tem sido um desafio para a engenharia. Figura 1.1 − Ao lado, os rudimentos do princípio básico de um gerador de corrente alternada, também conhecido por alternador, o qual consiste na rotação de uma bobina num campo magnético externo. Nesta figura, B é o vetor campo magnético (juntamente com as linhas de indução), I é a corrente alternada (induzida) e ε é a fem induzida. As fems e as correntes alternadas geradas por elas são fundamentais, não apenas para os sistemas de geração e distribuição de energia, mas também para o rádio, a televisão, a comunicação através de satélites, os computadores, a medicina e para um grande número de situações que caracterizam nosso estilo moderno de vida. 1 Em outras palavras. o valor máximo que ela atinge. onde πrad = 3. f = 1 . Além disso. ou seja. oscilações. etc) por unidade de tempo. Este tempo em particular recebe o nome de período (T). ou seja. diminuindo para zero em 180º. o período é o tempo necessário para que um movimento volte a se repetir. É apenas um múltiplo da freqüência (f).2.2 . o hertz. a qual indica o número de revoluções (ciclos. sinais complicados podem ser reduzidos a uma superposição de várias ondas senoidais. Uma rps (ou seja.Freqüência A frequência (f) é uma grandeza física associada a movimentos de característica ondulatória. A senóide tem um pico positivo em 90º e um negativo em 270º. Observe. Conforme foi indicado. No SI. Matematicamente. a freqüência é o inverso do período. Período Alternativamente. voltas. como a tensão aumenta de zero até um máximo positivo aos 90º. 1Hz) equivale a 60rpm. podemos medir o tempo decorrido para uma oscilação. A unidade da freqüência no SI (Sistema Internacional de Unidades de Medidas) é o inverso do segundo. para testar circuitos eletrônicos. Ela é usada freqüentemente. T (1) Freqüência Angular A freqüência angular (ω) é a taxa de variação temporal de algum ângulo. por exemplo. ω = 2πf ou (2) ω= 2π . Figura 1. também conhecida por rps (rotações por segundo). 1/s = s−1. cuja abreviação é Hz.14. a qual recebeu uma denominação especial. Vp é o valor de pico de uma onda seno. atinge um máximo negativo em 270º e volta a zero em 360º. Pode-se também medir a freqüência em rotações por minuto (rpm). a freqüência angular é medida em radianos por segundo (rad/s). Nota: πrad = 180º. Matematicamente. A unidade SI do período é o segundo (s). T (3) Onda Senoidal A onda senoidal é o mais básico dos sinais elétricos. na Figura 1. ou seja.Senóide A onda senoidal que aparece no gráfico acima é uma função da forma: 2 . com velocidade angular ω. um capacitor C e um indutor L. quando nos referirmos à valores rms (que será visto a seguir) ou de amplitude (pico) de grandezas elétricas. Figura 1. e VL(rms). um capacitor C e um indutor L. ou seja. IC(rms). e IL(rms). Este vetor que “gira” é denominado fasor. se nos referirmos a tensão rms de um resistor R. e pL. portanto. respectivamente. Para a tensão senoidal acima. um capacitor C e um indutor L. Valor de Pico a Pico O valor de pico a pico de uma onda senoidal é o dobro do valor de pico. vC. um capacitor C e um indutor L. um capacitor C e um indutor L. IC. sendo a amplitude de tensão de um volt). usaremos VR(rms). vamos adotar uma convenção: sempre que nos referirmos à valores instantâneos das grandezas elétricas c.v = V p ⋅ sen(ω ⋅ t ) . e VL. usaremos IR. (4) onde v é a tensão instantânea. se nos referirmos a corrente instantânea sobre um resistor R. respectivamente. e iL. Quando este vetor for projetado no eixo vertical. pC. usaremos IR(rms). se nos referirmos a corrente de pico de um resistor R. usaremos iR. “periódico” (tipo seno e cosseno).3 mostra que uma onda senoidal pode ser descrita por uma circunferência. em estudo. um capacitor C e um indutor L.. Vp é a tensão de pico. respectivamente. tensão e potência. VC. neste exemplo. respectivamente. (5) A Figura 1. um capacitor C e um indutor L. iC. usaremos letras maiúsculas. usaremos pR. se nos referirmos a potência instantânea sobre um um resistor R. (6) 3 . usaremos VR. o valor de pico a pico (Vpp) é V pp = 2 ⋅ V p . respectivamente. VC(rms). pode ser descrito de tal forma (via circunferência). Aqui. respectivamente. o mesmo fornece o valor instantâneo v da tensão alternada neste instante. Por exemplo: se nos referirmos a tensão instantânea sobre um resistor R. na qual um vetor “gira” no sentido anti-horário. ou seja. é a máxima amplitude da onda seno.a.3 – como desenhar uma onda senoidal Valor de Pico O valor de pico de uma onda senoidal é o valor máximo (amplitude) que a onda seno atinge. na qual o vetor (flecha) representa o valor de amplitude da tensão alternada (aqui. usaremos vR.a. o produto ω⋅t que aparece no argumento da função seno corresponde ao deslocamento angular (θ) efetuado pela onda seno durante o ciclo de oscilação do sinal c. ω é a freqüência angular da rede e t representa o tempo. Todo tipo de movimento oscilatório e. θ = ω ⋅t . tais como corrente. efetuando um deslocamento angular dado por θ = ω⋅t. e IL. respectivamente. e vL. e se nos referirmos a corrente rms de um resistor R. Da mesma forma. Ainda na equação (4). Os fasores e diagramas fasoriais serão retomados nos capítulos mais adiante. usaremos letras minúsculas. Por exemplo: se nos referirmos a tensão de pico de um resistor R. numa determinada posição angular (ω⋅t). que produz a mesma quantidade de calor que a tensão senoidal.Valor Eficaz (rms) O valor rms (raiz média quadrática.c. é dada pela relação I med = 2⋅ Ip π . é definido como a tensão c. também chamado valor eficaz (Vef). o que implica um valor médio zero. Em Porto Alegre. rqm) de uma onda senoidal. (10) Instrumentos de Medidas Elétricas – Amperímetros e Voltímetros Os amperímetros/voltímetros quando ajustados na escala c. (7) Se uma tensão senoidal aparecer através de um resistor.a. de modo que esse será o valor indicado por um voltímetro devidamente ajustado na escala c. o resistor dissipa uma quantidade constante de calor como se houvesse uma tensão c. Isto porque a onda senoidal é simétrica: cada valor positivo da primeira metade do ciclo é compensado por um valor igual e negativo da segunda metade do ciclo. Para tais cálculos usamos a relação Vrms = Vrqm = Vef = Vca = Vp 2 . por exemplo. medem apenas valores eficazes. valor c. Se somarmos todos os valores da onda seno entre 0º e 360º. algumas vezes é de interesse saber o valor médio de uma onda senoidal ao longo de um meio ciclo de oscilação. Colocando de outra forma. Valor Médio O valor médio de uma onda senoidal ao longo de um ciclo é zero. a mesma que para circuitos de corrente contínua com uma fem constante. em função da amplitude (pico) de corrente (Ip) da onda seno. 1 O termo fase será explicado em capítulos mais adiante. algumas vezes também traduzido por raiz quadrática média. a taxa média de dissipação de energia (a potência média Pmed) será. o valor médio de uma tensão senoidal (Vmed) num meio ciclo de oscilação. a tensão nas tomadas é.a. Logo. o valor médio de uma onda senoidal ao longo de um meio período é dado por valor médio = 2 ⋅ (valor de pico) π . teremos zero como resultado. Em outras palavras. usando-se os valores médios quadráticos para as grandezas alternadas.a. em geral. em função da amplitude de tensão (Vp) da onda seno. através dele. para circuitos de corrente alternada. de 110V (isto é: 110Vrms = 110Vrqm = 110Vef = 110Vca). Contudo. por exemplo. ela produzirá uma corrente senoidal em fase1 através do resistor.c. (8) Assim. é dado pela relação: Vmed = 2 ⋅V p π . Veremos isso em capítulos mais adiante. (Vca) ou valor de aquecimento. do inglês root mean square. rms. a única razão (e de grande vantagem) para o uso de valores médios quadráticos em circuitos de corrente alternada é o fato de que estes nos permitem aplicar as relações familiares de potência dos circuitos de corrente contínua. Para tanto. num meio ciclo de oscilação. 4 . (9) enquanto que a corrente média (Imed). A tensão eficaz. Figura 1. então. Porém. é claro.a. de modo que o ponteiro não possa acompanhar variações rápidas. Na figura abaixo. indica o sentido (convencional) dos portadores de carga (positiva). Determine. Isto. então.97 ⋅ sen(376.. Um eboço do gráfico da tensão (em volts) contra o tempo (em milisegundos) para esta senóide. onde a seta. O período em milisegundos (ms).c. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Considere uma tensão senoidal cuja função é v = 282. A tensão de pico a pico. A freqüência angular. para esta senóide: a) b) c) d) e) f) g) h) i) A tensão de pico. há o símbolo para um gerador c. Gerador c. supõe uma freqüência maior do que aproximadamente 10Hz. na fonte. Figura 1. tenta flutuar positiva e negativamente com amplitudes iguais. A freqüência em Hertz.a.84 ⋅ sen(314 ⋅ t ) . Determine. EXEMPLOS 1) Considere uma tensão senoidal cuja função é v = 16.c. sendo estes valores medidos em unidades do SI. A tensão instantânea quando se atinge três quartos de um ciclo. na figura à esquerda.c. ele indica um valor médio igual a zero. indicará zero se for usado para medir uma tensão senoidal. temos o já conhecido gerador c.4: circuito com gerador c. 5 . sendo estes valores medidos em unidades do SI. para esta senóide: a) b) c) d) e) f) g) h) A tensão de pico. A tensão instantânea quando se atinge a metade de um ciclo. A freqüência em Hertz. Um eboço do gráfico da tensão (em volts) contra o tempo (em milisegundos) para esta senóide. Então. A tensão média ao longo de um ciclo completo de oscilação.5: circuito com gerador c.8 ⋅ t ) .c. A tensão eficaz. a inércia das partes móveis o impede de fazê-lo.. Por quê? Porque o ponteiro de um voltímetro c.Um voltímetro c.a. que é do terminal positivo para o terminal negativo no circuito externo (a carga R) e do terminal negativo para o positivo no circuito interno (dentro da fonte). Em comparação. O período em milisegundos (ms). que consiste num círculo com uma senóide inscrita. A tensão de pico a pico. à direita. A freqüência angular. Faça você mesmo. h) Zero. c) 70. d) 314rad/s. a) 282. g) A equação da tensão instantânea. e) 79. d) 12. b) 200V. A tensão de pico a pico.2) O gráfico ao lado ilustra uma tensão senoidal ao longo de um ciclo de oscilação. Faça você mesmo. para esta senóide: a) b) c) d) A tensão de pico. a) 100V. c) 200V. O período de oscilação da senóide. em milisegundos (ms).62Hz. f) A freqüência angular. f) 20ms. g) Zero.56ms. A tensão eficaz. 3. f) 500rad/s. em rad/s. 2. b) 565. e) A freqüência em Hertz. 4.71V. i) Faça você mesmo. e) 50Hz. 3) Qual a principal vantagem de se trabalhar com correntes alternadas em sistemas de produção e distribuição de energia? 4) Qual a principal vantagem de se trabalhar com valores eficazes em circuitos que operam em correntes alternadas? RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.84V. g) v = 100 ⋅ sen(500 ⋅ t ) .68V. 6 . então. Determine.