Año del Centenario de Machu Picchu Para el MundoUNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE EDUCACIÓN SECUNDARIA MATEMÁTICA – COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA COORDENADAS ESFÉRICAS CÁTEDRA CATEDRÁTICO PRESENTADO : ANÁLISIS MATEMÁTICO III : YALLI HUAMAN, Edgar : LLOCLLA HUINCHO; Misael MALLQUI ZARABIA; Juan Carlos PAITAN SOTO; Elías D SOTO YALLI; Javier CICLO :V HUANCAVELICA, 24 de Octubre de 2011. Análisis Matemático III Página 1 integrales dobles y triples.. Análisis Matemático III Página 2 . El presente trabajo de investigación será de amplia utilidad para los estudiantes de Matemática y carreras afines. Para ello tenemos la necesidad de describir los integralestriples de forma teórica y de forma práctica. Permitiéndoles conocer y resolver los problemas relacionados con integrales simples. Por lo tanto tenemos la necesidad de conocer las Coordenadas Esféricas. para que amplíen sus conocimientos en la asignatura AnálisisMatemático IV.INTRODUCCIÓN Dentro de la asignatura Análisis Matemático III se considera el tema de Coordenadas Esféricas. Los alumnos. ..........................................................................1 1......................................5 EVALUACION DE INTEGRALES TRIPLES CON COORDENADAS ESFERICAS ........................... 4 Objetivos específicos .................................................................... 1........................................ no .......................1.......................................... 3 CAPÍTULO I.................................................... 1......... 2 ÍNDICE ................................................................................................................................ÍNDICE Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ...................................................................................................3 1....... 11 Análisis Matemático III Página 3 ..............................................3............................. 6 vale como mucho........................................................4 Objetivo ...... 6 Geografía ........................................................................................................................ 8 1............................................................................1.................. 4 Objetivo General .......................................................... 1.... 4 r es siempre positiva .................................................2..........................1.............................. 4 1..........2 1............................................................ 7 COORDENADAS ESFÉRICAS .......... Objetivos específicos Conocer los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas.3.1.1. Repasar las relaciones trigonométricas implicadas Análisis Matemático III Página 4 .2. Objetivo 1. Objetivo General Aplicar la integral triple para Coordenadas Esféricas. Realizar conversiones entre los tres tipos de coordenadas. Relacionarlas entre ellas y con las coordenadas cartesianas. Usar el vocabulario matemático adecuado al tema de la unidad.1.CAPÍTULO I 1. 1. Análisis Matemático III Página 5 .CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO 2. : distancia al origen : ángulo que el vector de posición forma con el La coordenada acimutal forma con el eje . a base de girarlas alrededor de un eje. : ángulo que la proyección sobre el plano Los rangos de variación de estas coordenadas son: El ángulo también puede variar en el intervalo [0. Bases teóricas Las coordenadas esféricas constituyen otra generalización de las coordenadas polares del plano. Su definición es la siguiente: La coordenada radial La coordenada polar eje .2π).1. coordenadas vuelve a aumentar.1. al pasar por Análisis Matemático III Página 6 . equivale a la longitud geográfica. como . Y es lo máximo a lo que podemos llegar. Si siguiéramos recorriendo la superficie terrestre lo que estaríamos haciendo es ya volver hacia el norte. Eso sí. vamos reduciendo el valor de . Lo que cambian son los valores de (¿Por qué?) y . . que pasa a ser que pasa a valer qué?). Si.1 r es siempre positiva La coordenada radial es una distancia siempre positiva. lo que supone reducir el Polo Sur. Hay que recordar que ambas coordenadas tienen significados geométricos muy diferentes.2 vale como mucho. Si ahora aumentamos . mientras que es el complementario de la latitud. al atravesar el origen de . no Es un error muy común el suponer que llega hasta . No se puede viajar al sur del Polo Sur. lo que hacemos es viajar hacia al sur. El valor corresponde al Polo Norte. la longitud cambia a . El Polo Sur es . partiendo de un punto . (¿Por 1. Análisis Matemático III Página 7 . en lugar de variar de (en el Polo Sur) lo hace desde a . Equivale a la coordenada acimutal .3 Geografía El uso más evidente de las coordenadas esféricas lo constituye la geografía.1. La altitud con de un punto de la superficie equivale al valor de el radio de la Tierra (suponiendo ésta una esfera. La coordenada radial corresponde a la distancia al centro de la Tierra. La latitud. Este ángulo es el complementario de la coordenada polar (por lo cual a ésta se la llama (en el Polo Norte) a también colatitud). lo que es solo una aproximación). La longitud es la distancia angular respecto a un meridiano fijo (el de Greenwich). Para identificar un punto de la superficie terrestre indicamos su latitud y su longitud. La latitud es la altura respecto al ecuador. 𝜑) de un punto P en el espacio donde 𝜌 = |𝑂𝑃| es la distancia del origen a 𝑃.4 COORDENADAS ESFÉRICAS Las coordenadas esféricas (𝑟. 𝜃 es el mismo ángulo que en coordenadas cilíndricas. La figura de la curva θ=c representa un semicono con el eje z en su eje Análisis Matemático III Página 8 . y 𝜑 es el ángulo entre el eje Z positivo y el segmento de línea𝑂𝑃 𝜌 ≥ 0 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto. la esfera como centro en el origen y radio c tiene la muy sencilla ecuación . Por ejemplo. esta es la razón del nombre de coordenadas «esféricas".1. 𝜃. La relación entre coordenadas rectangulares y esféricas es de la siguiente manera. De los triángulos OPQ y OPP´ tenemos: 𝜌 Pero 𝜑 𝑟 𝜃 𝜌 𝜑 𝑟 𝜃 De modo que para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares. Análisis Matemático III Página 9 . usamos las ecuaciones 𝜌 𝜃 y 𝜌 𝜃 z=𝜌 También. la fórmula de distancias muestra que 2° 𝜌 Use esta fórmula para convertir coordenadas de rectangulares a esféricas. Ejemplo1. el punto 0. Ejemplo2. en coordenadas rectangulares. √ . 𝜋 se da en coordenadas esféricas. 𝜋 es √ . 𝜋 . El punto 𝜋 . Localice el punto y encuentre sus coordenadas rectangulares Solución: tomando la ecuación 1 √ √ 𝜌 𝜑 𝜃= 2 =2 =√ y 𝜌 𝜑 𝜃= 2 =2 √ √ =√ z 𝜌 𝜑= 2 =2 =1 Entonces el punto . esta dado en coordenadas rectangulares. Encuentre coordenadas esféricas para este punto Análisis Matemático III Página 10 .√ . 𝜋 √ . se divide E en cuñas esféricas más pequeñas por Análisis Matemático III Página 11 . 𝜋 0 . Por lo tanto.5 EVALUACION DE INTEGRALES TRIPLES CON COORDENADAS ESFERICAS En este sistema coordenado la contraparte de una caja rectangular es una cuña esférica { Donde . 𝜃. Aunque se definen integrales triples dividiendo solidos en cajas pequeñas. ≥ 𝜋 ≤ 𝜃 ≤ .Solución: de la ecuación 2 𝜌=√ = √0 =4 Y entonces las ecuaciones 1 dan 𝜋 𝜑 𝜌 0 𝜑 𝜃 𝜌 𝜑 𝜃 𝜋 (Observe que 𝜃≠ por que . Así. 𝜑 } ≤ ≥ 0. ≤ . ≤ 𝜑 ≤ } ≤ 𝜋 . las coordenadas esféricas del punto dado son 1. se puede demostrar que dividir un solido en pequeñas cuñas esféricas da siempre el mismo resultado. Así es que una aproximación al volumen de esta dado por. . 𝜑 ) es algún punto en . . . y es aproximadamente una caja rectangular con dimensiones Δ . 𝜃 . semiplanos 𝜃 𝜃 . que volumen de =̃ ̃ 𝜑 𝜃 𝜑 esta dado exactamente por Δ ̃ ̃ Donde (̃ . se puede demostrar. Entonces ∭ .medio de esferas igualmente espaciadas semiconos 𝜑 𝜑 . ⏞ .En la figura se muestra que . angulo Δ𝜃). Δ 𝜑 ( 𝜑 𝜃) 𝜑 𝜃 𝜑 De hecho. ⏞) 𝜃 𝜑 Pero esta suma es una suma de Riemann para la función Análisis Matemático III Página 12 . ∑∑∑ ( ⏞ .Sean (x ⏞ . ⏞ ) las coordenadas rectangulares de este punto. radio angulo Δ𝜑) y Δ𝜑(arco de un circulo con 𝜑 (arco de un circulo con radio 𝜑 . ⏞ . ⏞ . . ⏞) . ∑∑∑ ( ⏞ . con la ayuda del Teorema del Valor Medio. 𝜑 En consecuencia. ≤ 𝜑 ≤ } La fórmula 3 dice que se convierte un integral triple de coordenadas rectangulares a esféricas al escribir 𝜑 𝜃y 𝜑 𝜃z= 𝜑 Análisis Matemático III Página 13 . se ha llegado a la siguiente fórmula para la integración triple con coordenadas esféricas ∭ . ∫ ∫ ∫ 𝜑 𝜃. 𝜃. 𝜑 } ≤ ≤ . 𝜑 𝜃. 𝜃. . 𝜑 𝜑 𝜑 𝜃.. ≤ 𝜃 ≤ . 𝜃 𝜑 𝜃 𝜑 Donde E es una cuña esférica dada por { . 𝜑 𝜃. 𝜃. las coordenadas esféricas se usan en integrales triples cuando superficies como conos y esferas forman el límite de la región de integración Análisis Matemático III Página 14 . 𝜑 . 𝜑 } En este caso la fórmula es la misma que en (3). excepto que los límites de integración para son 𝜃. y reemplazar dV por 𝜌 𝜑 𝜌 𝜃 𝜑. 𝜃. Esta formula se puede ampliar para incluir regiones esféricas mas generales como { . 𝜑 } ≤ 𝜃 ≤ . 𝜃. ≤ 𝜑 ≤ . 𝜑 Por lo tanto. 𝜑 ≤ ≤ 𝜃.Con los límites de integración apropiados. se usan coordenadas esféricas: { . y. 𝜃. 0 ≤ 𝜃 ≤2𝜋. las coordenadas esféricas son apropiadas porque + + = De (3): ∭ =∫ ∫ =∫ 𝜑] ∫ 𝜑 𝜑 ∫ = 𝜋(e-1) 𝜃 ∫ 𝜑 𝜃 𝜑 =[ (2𝜋) [ ] Habría sido extremadamente difícil evaluar la integral del ejemplo 3 sin coordenadas esféricas. donde B es la bola unitaria Solución: puesto que el límite de B es una esfera.z)/ + + ≤1} .Ejemplo 3° Evalué∭ B={(x. 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋} Además. En coordenadas rectangulares la integral iterada habría sido √ √ ∫ ∫ √ ∫ √ Análisis Matemático III Página 15 . 𝜑 }0 ≤ ≤ . Análisis Matemático III. E. 10035-1037. edición 6ta. 4ta.CONCLUSIONES SUGERENCIAS BIBLIOGRAFÍA STEWART. LARSON HOSTETLER. Edición. Análisis Matemático III Página 16 . ESPINOZA RAMOS. E. Pag. De Varias variables. CÁLCULO. James. 2008 Pag 1005 – 1008. 8 va. Edición. 2006. CÁLCULO.