Cor7_7

Des Matériaux (3ème édition) Corrigé des exercices © Jean-Paul Baïlon – Presses Internationales de Polytechnique de 4 1 Chapitre 7 – Propriétés mécaniques EXERCICE 7-7 a) Température de transition ductile – fragile TTDF Il suffit de déterminer les TTDF sur le graphique des résultats de résilience Charpy, en appliquant chacun des critères (voir figure ci-jointe en annexe) b) Ténacité K IC de cet acier à 20 °C Grâce aux résultats de résilience, on détermine l’énergie Charpy requise à 20 °C (soit 75J), puis on reporte cette valeur sur le graphique donnant la corrélation « K IC – W » (voir figure ci-jointe). c) Amplitude de contrainte du chargement de fatigue Selon les données de l’exercice, les caractéristiques du chargement de fatigue sont le suivantes : R = 0 = σ σσ σ min /σ σσ σ max σ σσ σ min = 0 σ σσ σ max = 200 MPa Par définition, σ σσ σ a = (σ σσ σ max - σ σσ σ min )/2 = 200/2 = 100 MPa d) Vitesse de propagation de la fissure à sa découverte Pour connaître la vitesse de fissuration da/dN de la fissure à l’instant de sa découverte, il faut calculer la variation ∆ ∆∆ ∆K 0 du facteur d’intensité de contrainte associé à cette fissure de longueur a 0 et, grâce à la courbe de Paris relative à la fatigue – propagation, en déduire la valeur de da/dN. Par définition, ( ) 0 max 0 min max 0 0 a a a K π ασ π σ − σ α π σ ∆ α ∆ car ici σ σσ σ min = 0 Avec α αα α = 1,1, σ σσ σ max = 200 MPa et a 0 = 2 mm, on obtient une valeur de ∆ ∆∆ ∆K 0 égale à 17,44 MPa.m½, qui, reportée sur la courbe de Paris, donne la valeur recherchée de la vitesse (voir figure ci-jointe): e) Longueur critique a C de la fissure entraînant une rupture brutale fragile Pour qu’il y ait rupture brutale fragile, il faut que la valeur du facteur d’intensité de contrainte K C , associé à cette fissure de longueur critique a C , soit égal à la ténacité du matériau K IC calculée précédemment à la question b) : C max IC C a K K π ασ Donc, on en déduit que m 10 x 5 , 3 200 x 1 , 1 73 1 K 1 a 2 2 2 max IC C − ( , \ , ( j π ( ( , \ , , ( j ασ π Critère 25 J 50 % ductile TTDF ( ºC ) - 20 0 K IC = 73 MPa.m ½ σ σσ σ a = 100 MPa da/dN = 3x10 -7 m/cycle a C = 35 mm Des Matériaux (3 ème édition) Corrigé des exercices © Jean-Paul Baïlon – Presses Internationales de Polytechnique de 4 2 f) Valeur de la contrainte maximale pour que la fissure ne puisse se propager Pour que la fissure ne puisse se propager, il faut que la valeur de la variation ∆ ∆∆ ∆K du facteur d’intensité de contrainte qui lui est associé soit inférieure au seuil de propagation ∆ ∆∆ ∆K S défini sur la courbe de Paris (voir figure) : 2 1 maxS max S MPa.m 3 K K ou K K ≤ ∆ ≤ ∆ Donc, on en déduit que Pa M 41 , 34 10 x 2 x 1 , 1 3 a K 3 0 S max S max ( ( , \ , , ( j π ( ( , \ , , ( j π α σ − g) Nombre de cycles pour que la longueur de fissure passe de 2 mm à 25 mm L’équation de la droite de Paris est de la forme : n K C dN da ∆ (1) avec les constantes C et n connues : C = 3x10 -12 et n = 4 En rappelant ici que ∆ ∆∆ ∆K = K max et en utilisant la définition de K max , l’équation (1) s’écrit alors : ( ) ( ) 2 n 2 n n max n max n Ba a C a C K C dN da π ασ π ασ ∆ (2) avec ( ) ( ) -2 4 12 n max 6,936x10 x 200 x 1 , 1 10 x 3 cste C B π π ασ − En séparant les variables dans l’équation (2), on obtient l’équation (3) ci-dessous que l’on peut maintenant aisément intégrer en prenant comme bornes d’intégration la longueur initiale a 0 et la longueur finale a F de la fissure. On obtient ainsi l’équation (4) : 2 2 n a da B 1 a da B 1 dN (3) [ ] ] ] ] , ¸ , − ] ] ] , ¸ ,− ∫ F 0 a a a a 2 a a a 1 a 1 B 1 a 1 B 1 a da B 1 N F 0 F 0 F 0 (4) Avec la valeur de B trouvée ci-dessus et pour a 0 = 2 mm et a F = 25 mm, on obtient : [ ] cycles 632 6 10 x 25 1 10 x 2 1 10 x 936 , 6 1 a 1 a 1 B 1 N 3 3 2 F 0 a a F 0 ] ] ] , ¸ , − ] ] ] , ¸ , − − − − h) Nombre de jours pour que la longueur de fissure passe de 2 mm à 25 mm Connaissant la fréquence f de sollicitation, le temps t de sollicitation (en secondes) est égal à N/f. On obtient ainsi : t = N/f = 6632/(2x10 -3 ) = 3,316x10 6 s = 38,38 jours ≈ 38 jours σ σσ σ maxS = 34,4 MPa N = 6 632 cycles n = 38 jours Des Matériaux (3 ème édition) Corrigé des exercices © Jean-Paul Baïlon – Presses Internationales de Polytechnique de 4 3 É n e r g i e W ( J ) D u c t i l i t é ( % ) Température (ºC) -80 -40 0 40 80 0 25 50 75 100 0 25 50 75 100 Énergie % ductilité TTDF 25J TTDF 50% W Charpy à 20° Corrélation "Charpy - K IC " à 20 ºC 0 20 40 60 80 100 120 140 0 20 40 60 80 100 120 Energie Charpy W à 20ºC F a c t e u r c r i t i q u e K I C ( M P a . m ½ ) 73 Des Matériaux (3 ème édition) Corrigé des exercices © Jean-Paul Baïlon – Presses Internationales de Polytechnique de 4 4 1 10 100 10 -10 10 -5 10 -6 10 -7 10 -8 10 -9 10 -4 d a / d N ( m / c y c l e ) ∆ ∆∆ ∆K (MPa.m ½ ) da/dN = 3x10 -12 ∆ ∆∆ ∆K 4 ∆ ∆∆ ∆K seuil K C