Coordenadas polares y rectangulares y la intersección entre ellos

“COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES”.En este apartado se explicaran las características de las coordenadas polares y rectangulares, así mismo, se explicara el procedimiento para convertir de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. Coordenadas rectangulares Sea P cualquier punto del plano de los ejes. Su distancia ortogonal al eje y se denomina coordenada x o abscisa. La abscisa y la ordenada juntas, se denominan coordenadas cartesianas o rectangulares de P. Las coordenadas de un punto se escriben como par ordenado, entre paréntesis, escribiendo la coordenada x al principio. Así, las coordenadas de P en la figura 1-5 son (2,5, 3.5) y las de P y Q, en la figura 1-6, son, respectivamente, (3,4) y (-2,5). (Por convencionalismo, el sentido positivo se toma hacia la derecha en el eje x y hacia arriba en el eje y.) El procedimiento para localizar y marcar un punto cuyas coordenadas se dan, se denomina graficar el punto. En el sistema de coordenadas a cada par de números reales (x, y) corresponde a un punto definido del plano, y a cada punto del plano corresponde un par único de coordenadas. Los ejes de coordenadas cortan el plano en cuatro zonas separadas, que se denominan cuadrantes y se numeran como se indica en la figura 1-7. En esa figura se muestran los signos de las coordenadas para cada cuadrante. Ejemplos de coordenadas rectangulares En un sistema de ejes rectangulares, situar los siguientes puntos: a) (3, 7) y (17, -5) b) (0, -9) y (9, 0) c) (-2, 2) y (-11,7) d) (-4, -6) y (-2, -1) Coordenadas polares Tomemos en cuenta ahora un sistema de coordenadas, en el cual se localiza un punto, definiendo su distancia y su dirección a un punto fijo. Este es el sistema que se emplea al decir, por ejemplo: que cierto pueblo B se halla 30 km al noroeste de otro pueblo A; donde conocemos la distancia y la dirección de B a A (noroeste), en vez de conocer las distancias norte y este. Al trazar puntos cuyas coordenadas (𝝆, 𝜽) se conocen, 𝝆 será la distancia dirigida del origen al punto. El ángulo 𝜽 se ha medido desde OA en el sentido opuesto al movimiento de las agujas de un reloj. Ejemplos de coordenadas polares Conversión de coordenadas Aplicaciones De rectangular a polar Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x, y) y lo quieres en coordenadas polares (r, θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados. Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares? Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa): r2 = 122 + 52 r = √ (122 + 52) r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13 Usa la función tangente para calcular el ángulo: tan( θ ) = 5 / 12 θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6° Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x, y) a polares (r, θ) son: r = √ (x2 + y2) θ = atan( y / x ) De polares a rectangulares Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x, y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo: Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas? Usamos la función coseno para x: Cambiamos de orden y resolvemos: cos( 23 °) = x / 13 x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98 Usamos la función seno para y: Cambiamos de orden y resolvemos: sin( 23 °) = y / 13 y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08 Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son: x = r × cos( θ ) y = r × sin( θ ) Referencias: Murphy Johnson y L., Steffensen Arnold R. Algebra con trigonometría con aplicaciones. México: Editorial Trillas, 2004. Guzmán Herrera, Abelardo. Cien problemas de geometría analítica. México: Publicaciones Cultural, 1994. Middlemiss Ross R, Marks John L y Smart James R. Geometría Analítica. México: McGRAWHILL, 1994 Bailon Romero Abraham Grupo 347