Convolución

ConvoluciónDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda Convolución en un dispositivo óptico (microscopio de fluorescencia, corte longitudinal de una imagen 3D). Convolución de dos Pulsos Cuadrados (La función resultante termina siendo un Pulso Triangular). Convolución de un Pulso Cuadrado (como señal de entrada) con la respuesta al impulso de un condensador para obtener la señal de salida (respuesta del condensador a dicha señal). En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de un intervalo. Contenido [ocultar] • • • • • • • • • • 1 Definición 2 Uso 3 Tipos de Convolución 4 Propiedades o 4.1 Conmutatividad o 4.2 Asociatividad o 4.3 Distributividad o 4.4 Asociatividad con multiplicación escalar o 4.5 Regla de derivación o 4.6 Teorema de convolución 5 Matriz de convolución 6 Zero Padding 7 Convoluciones de grupos 8 Convoluciones con deltas de Dirac 9 Véase también 10 Enlaces externos [editar] Definición La convolución de y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después desplazada una distancia τ. El rango de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t-τ) no implique una violación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo. Si X e Y son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g. Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es: los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes. la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones cuadrado-integrables definidas sobre un grupo topológico localmente compacto. que . . Para realizar la convolución entre dos señales. [editar] Tipos de Convolución Convolucion Discreta Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. pues. En teoría de la probabilidad.El área es. en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como hemos mencionado). Una sombra (e. muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones.Cuando multiplicamos dos polinomios. aparece una operación de convolución. una aproximación numérica. Es necesario. Una generalización diferente es la convolución de distribuciones. • • • • • • En estadística. En ingeniería eléctrica y otras disciplinas. En acústica. la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones). allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición". por tanto. En física. como un promedio móvil ponderado. [editar] Uso La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.g. se evaluará el área de la función : Para ello. Generalizando los casos anteriores. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris. En óptica. . la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad. disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo llamaremos y (donde n y k son enteros). un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan. La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo t = 1 : Convolución Circular Cuando una función gT es periódica. entonces las funciones. entonces el más pequeño le añadimos "0" al inicio. al final o al inicio y final. La suma es llamada como una extensión periodica de la función f. con un periodo de T. uno exterior y otro interior. f. su convolución es también periódica i igual a: Donde se escoge arbitrariamente. tales como f*gT existentes. Si los dos círculos tienen diferentes tamaños. Si gT es una extensión periodica de otra función. Vamos girando el círculo interior i sumando sus valores. o periodica de una convolución de f i g. entonces f*gT se sabe que es circular. cíclica. [L >= L1 + L2-1] [editar] Propiedades Las propiedades de los diferentes operadores de convolución son 12 [editar] Conmutatividad Nota: esta propiedad se puede perder si no se pide que "demos la vuelta" a una función. g. f1(t)*(f2(t)*f3(t))=(f1(t)*f2(t))*f3(t) [editar] Asociatividad . Mètodo para calcular la convolución circular: Tenemos 2 circulos. el operador diferencia . sea x[n] una función discreta de n elementos. Este teorema también se cumple con la Transformada de Laplace. [editar] Teorema de convolución donde denota la Transformada de Fourier de f. [editar] Matriz de convolución A veces es útil ver a la convolución como un producto matricial.[editar] Distributividad [editar] Asociatividad con multiplicación escalar para todo número complejo o real a. [editar] Regla de derivación donde Df denota la derivada de f o. Ejemplo: . entonces y[m] = x[n] * h[n] se puede expresar por el siguiente producto matricial. en el caso discreto. sea h[n] un sistema discreto de n elementos y sea y la respuesta a la convolución de (2 * n) − 1 elementos. Sea x[n] = [4 5 1 7] y sea h[n] = [1 2 3 1] entonces la matriz de convolución será • Podemos observar como se añaden ceros a ambos lados. en este último caso aumentamos el dominio frecuencial de la señal pero no se mejora la resolución. [editar] Zero Padding Consiste en añadir 0 en una convolución o en el espectro de una señal. Es muy difícil hacer dichos cálculos sin más estructura. [editar] Convoluciones con deltas de Dirac [editar] Véase también . cierto grupo dotado de una medida m (por ejemplo. Esto se hace para poder igualar y así poder hacer la convolución. y los grupos de Lie son los marcos donde se deben hacer las cosas. por ejemplo. [editar] Convoluciones de grupos Si G es. un teorema de convolución. que sin embargo es mucho más difícil de presentar y que requiere de la teoría de la representación para estos tipos de grupos así como el Teorema de Peter-Weyl del Análisis armónico.valuadas y m-integrables de G. Esta técnica es conocida como zeropadding. un grupo topológico localmente compacto Hausdorff con la Medida de Haar) y si f y g son funciones real -o complejo. entonces podemos definir su convolución como En este caso también es posible dar. Puede ser visto que el sistema lineal de tiempo invariante es completamente caracterizado por su respuesta al impulso. será de utilidad también ver la convolución de tiempo discreto ). vamos a examinar exactamente como la convolución es definida a partir del razonamiento anterior. ya que las funciones de impulso no están bien definidas en aplicaciones reales. Integral de Convolución Como mencionamos anteriormente. Estos conceptos son muy importantes en la Ingeniería Eléctrica y harán la vida de los ingenieros mas sencilla si se invierte el tiempo en entender que es lo que esta pasando. A primera vista. Este recurso nos ofrecerá una aproximación mas crucial del concepto.Motivación La convolución nos ayuda a determinar el efecto que tiene el sistema en la señal de entrada. Sin embargo la propiedad de desplazamiento del impulso nos dice que una señal puede ser descompuesta en una suma infinita (integral) de impulsos escalados y desplazados. Esto resultara en la integral de convolución (véase la siguiente sección) y sus propiedades. la integral de convolución nos da una manera matemática fácil de expresar la salida de un sistema LTI basado en una señal arbitraria. y entendiendo la manera en que una señal es abarcada por impulsos escaldos y sumados. Para poder entender completamente la convolución. También será de gran ayuda experimentar con los applets disponibles en internet.y la respuesta al impulso. esto puede parecer de pequeño uso.la convolución determina la salida del sistema por medio conocimiento de la entrada y la respuesta al impulso del sistema. Esto es precisamente lo que la convolución hace . Conociendo como un sistema afecta un impulso simple. x(t) . En el resto de este modulo. La integral de convolución es expresada como y(t) =∫−∞∞x(τ) h(t−τ) dτ (1) . suena razonable que sea posible escalar y sumar la respuesta al impulso a un sistema en para poder determinar que señal de salida resultara de una entrada en particular. h(t) . Esto es usando la cualidad de la aditividad de linealidad. Ahora presentaremos dos aproximaciones distintas que se derivan de la integral de convolución. Ahora vemos que esta suma infinita no es mas que una integral. podemos ver que la convolución es conmutativa: x(t) *h(t) =h(t) *x(t) (3) Para más información de las características de la integral de convolución. léase sobre la Propiedades de la Convolución .La convolución es una herramienta muy importante que es representada por el símbolo *. Esto es usando la propiedad de linealidad de la multiplicación escalar. nos da como salida una respuesta al impulso. 5. Un impulso de entrada. Para iniciar esto. Podemos sumar un número infinito de estos impulsos escalados para obtener un número infinito de sumas de respuestas al impulso escaladas. también reconocemos que la salida es exactamente la integral de convolución . 6. así que podemos convertir ambos lados en integrales. la única obligada en nuestro sistema es que este sea lineal e invariante en el tiempo. y puede ser escrita como y(t) =x(t) *h(t) (2) Haciendo unos cambios simples en las variables de la integral de convolución. Podemos escalar el impulso de entrada para obtener como salida un impulso escaldo. En este momento. Estos procesos. junto con un ejemplo básico. Esto es debido a la invariante en el tiempo del sistema 3. h(t) . es necesario establecer las asunciones que haremos. 4. 2. Reconociendo que la entrada es la función f(t) . Un impulso desplazado nos da como salida una respuesta al impulso desplazada. Breve descripción de los pasos de este Proceso: 1. . nos ayudaran para construir una intuición sobre la convolución. τ=t−τ. Figura 1: Empezamos con un sistema definido por su respuesta al impulso. Proceso I: El método corto Este proceso sigue de cerca el mencionado en la sección anterior en la Motivación. esto te ayudara para terminar de entender la convolución. obtenemos una versión de una salida desplazada de la respuesta al impulso. Figura 4: Ahora podemos usar el aspecto de aditividad de linealidad para sumar un número infinito de estos. para cada posible τ. Para esto usaremos δΔ(t) ={ 1 Δ if−( Δ 2 ) &lt. terminamos con la integral conocida como integral de convolución. Esperanzadamente si no se comprendió bien el método de arriba. Proceso II: El método largo Este método realmente no es muy diferente del anterior. podemos reconocer el lado izquierdo como la entrada f(t) . sin embargo es un poco mas riguroso y mas largo. f(τ) . que es constante con respecto al sistema variable. Debido al tiempo invariante del sistema.t&lt. Como una suma infinita es exactamente una integral. El primer paso en este método es definir una realización particular de la función de impulso unitario. t. Usando la propiedad de desplazamiento. escalando el sistemas por un valor. Figura 3: Ahora usamos la parte de escalado de linealidad.Figura 2: Después consideramos una versión desplazada del impulso de entrada. . Repitiendo esto para cada posible valor de t. encontramos que estamos multiplicando la señal de entrada por una respuesta al impulso invertida en tiempo e integrándola. Este método. descrito como el metodo gráfico. Entrada Salida lim<ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t) → h → limh(t) → h → limh(t−nΔ) lim<ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t−nΔ) limf(nΔ) <ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t−nΔ) Δ → h → limf(nΔ) h(t−nΔ) Δ → h → lim∑(f(nΔ) lim∑(f(nΔ) <ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t−nΔ) Δ) h(t−nΔ) Δ) ∫−∞∞f(τ) δ(t−τ) dτ → h → ∫−∞∞f(τ) h(t−τ) dτ → h → y(t) f(t) =∫−∞∞f(τ) h(t−τ) dτ Tabla 1: Proceso II de la Integral de Convolución Implementación de la Convolución Tomando una visión mas cercana de la integral de convolución. Notemos que la columna de la izquierda representa la entrada y la columna de la derecha es la salida del sistema dada esa entrada. Esto nos dará el valor de la salida de un valor dado de t. nos proporciona una manera sencilla de resolver las salidas para señales sencillas. Después de definir la realización de la unidad de respuesta al impulso.Δ 2 0otherwise Figura 5: La realización de la función de impulso unitario que usaremos para esta derivación. De hecho las Texas Instruments se convierten en . Nosotros nunca haremos este método a mano. Encontramos que esencialmente estamos revirtiendo la función de la respuesta al impulso y desplazándola a través de la función de entrada. Si después nosotros cambiamos la respuesta al impulso invertida en tiempo por una pequeña cantidad. obtenemos la salida para otro valor de t. integrándola como vamos. nos da la función total de salida. mientras tanto mejoraremos nuestra intuición para los casos mas complejos donde confiaremos en las computadoras. podemos obtener nuestra integral de convolución de los siguientes pasos que se encuentran en la siguiente tabla. nos proporciona información con algunas entradas de que es lo que esta pasando. Véase aquí para las instrucciones de cómo se usa este demo. sin embargo conforme las funciones se vuelven mas complicadas reflejar y desplazar la “correcta” nos hará el problema mas sencillo. . el punto de la función que originalmente estaba en el origen. Este paso se muestra en la siguiente figura. Reflejada y Desplazada Ahora tomaremos una de las funciones y la reflejaremos a través del eje de las y. (a) (b) Figura 6: Aqui hay dos señales básicas que usaremos para convolucionar juntas. h(t−τ) . Después debemos desplazar la función. Vamos a convolver dos pulsos unitarios.Procesamiento Digital de Señales las cuales tienen un conjunto especial para cómputos así como para la convolución. Como la convolución es conmutativa no importa que función es reflejada y desplazada. esta marcada como el punto τ. Ejemplo 1 Esta demostración ilustrara el método gráfico para la convolución. así como el origen. x(t) y h(t) . LabVIEW Example: (run) (source) Ejemplos Básicos Veamos ejemplos de la convolución básica de tiempo-continuo para poder expresar algunas ideas mencionadas anteriormente en el ejemplo corto. Los cuatro limites de integración 1. 0≤t&lt. Conforme movemos h(t−τ) a través de la otra función.1. Estas dos regiones diferentes pueden ser entendidas pensando en como nos desplazamos h(t−τ) sobre la otra función. t−1.2. Regiones de Integración Ahora veremos la función y dividiremos su dominio en dos límites diferentes de integración. se convierte es nuestro limite inferior para la integral. 2. Compárense estos limites de integración con los de los bosquejos de h(t−τ) y x(t) para ver si se puede entender el por que tenemos cuatro regiones.0 0≤t&lt. 4. Para este problema tendremos las siguientes cuatro regiones.1 1≤t&lt. Esto se muestra a través de la integral de convolución como = ∫t−11<apply>1</apply>dτ y(t) . 3.Figura 7: El pulso unitario reflejado y desplazado. La segunda región. t&lt. integremos el producto de x(t) h(t−τ) . 0. la parte izquierda de la función. Para la primer y cuarta región es trivial pues siempre será. Si la función fuera mas complicada necesitaremos tener mas limites para que las partes sobrepuestas de las dos funciones puedan ser expresadas en una integral lineal sencilla. 1≤t&lt. Nótese que t en los limites de integración se refiere al lado derecho de la función h(t−τ) . marcada como t entre cero y uno en la gráfica. Tomemos nota de los cambios en nuestra integración. Usando la integral de convolución.2 t≥2 Usando la Integral de Convolución Finalmente estamos listos para unas pequeñas matemáticas. requiere las siguientes matemáticas: y(t) = ∫0t<apply>1</apply>dτ =t (4) La tercer región. Resultados de la Convolución Así. solo se tendrá que tratar con mas matemáticas en integrales mas complicadas.2 0ift≥2 </apply> (6) Ahora que encontramos el resultado para cada una de las cuatro regiones. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. sin embargo no deje que la simplicidad de este ejemplo lo confunda cuando trabaje con otros problemas. x(t) .1 2−tif1≤t&lt. Figura 8: Muestra la respuesta al impulso de la entrada.0 tif0≤t&lt. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent). El método será el mismo. Content actions Give Feedback: E-mail the module authors | Rate module ( How does the rating system work?) Rating system Ratings Ratings allow you to judge the quality of modules. obtenemos los siguientes resultados para nuestras cuatro regiones: y(t) =<apply>{ 0ift&lt.= 1−(t−1) = 2−t (5) Las formulas anteriores muestran el método para calcular la convolución. . podemos combinarlas y graficar la convolución de x(t) *h(t) . como veremos en el siguiente teorema. Your rating should be based on the quality of the content. (0 ratings) Convolución y transformadas Como hemos visto. o sea. la transformada de una suma es la suma de las transformadas. You must have an account and be logged in to rate content. Definición [Convolución] . donde es el conjunto de funciones La función continuas en el intervalo dada por se conoce como la convolución de y . . es decir. la transformada de Laplace es lineal. la respuesta es no. entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto. pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto. La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria. Click on the star to add your rating.How to rate a module Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. la transformada de un producto no es el producto de las transformadas. note que . Observación: sin embargo. Haremos la primera de ellas y dejamos las restantes al lector. no es cierto en general que . y funciones continuas en el intervalo (ley conmutativa) (ley distributiva) (ley asociativa) Demostración La demostración de estas propiedades es muy simple.Teorema [Propiedades de la convolución] . para ver esto. Por ejemplo. 2. 3. existen algunas propiedades de la multiplicación ordinaria que la convolución no tiene. entonces Sean 1. 4. tenemos que Ejemplo Calcule la convolución de las funciones Solución Usando la definición e integración por partes y .Ejemplo Calcule la convolución de y . . Solución Usando la definición e integración por partes. Observación: para calcular la integral del ejemplo anterior. Teorema [Teorema de convolución] y existen para . entonces Si . hemos usado la identidad Otras identidades que pueden ser útiles en el cálculo de integrales similares son El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teórica y práctica. como veremos. Ejemplo Calcule Solución Usando el teorema de convolución tenemos que Observación: como ya hemos calculado resultado obtenido anteriormente podemos corroborar el . pues nos puede evitar el cálculo de fraciones parciales complejas.Observación: La forma inversa del teorema de convolución es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales. Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolución para el cálculo de transformadas inversas. pues . Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa Solución Usando el teorema de convolución Observación: en este ejemplo el uso de fraciones parciales resulta viable.como obtuvimos en el ejemplo anterior. Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fraciones parciales puede ser realmente complejo. tenemos Observación: en este ejemplo la expansión en fraciones parciales no es tan simple Ejemplo . comparado con el uso del teorema de convolución. Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa Solución Usando el teorema de convolución. Corolario Tomando en el teorema de convolución tenemos que donde Demostración .Calcule la siguiente transformada inversa Solución Usando convolución El siguiente corolario es útil en el cálculo de la transformada de una integral. tenemos que .Ejemplo Calcule la siguiente transformada Solución Usando el corolario anterior y el teorema de multiplicación por . Linealidad Traslación sobre el eje s. t^2. 4. Definir transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace. Enunciar e ilustrar el teorema de existencia de la transformada de Laplace. t. Sen(wt).TRANSFORMADA DE LAPLACE Transformada de Laplace y sus propiedades 1. . Senh(wt) 4. 2. (1er. t^n. 3. Obtener una tabla de transformadas de Laplace para las funciones o l. Enunciar. t^a o e^(at). y demostrar solamente las 3 primeras de las siguientes propiedades de la transformada: 1. Cosh(wt). Teorema de traslación) Transformada de la derivada de orden n de una función Transformada de la Integral de una función. Ejercicios? Ir sin regreso 5. 3. Contextualizar la transformada de Laplace 2. o Cos(wt). Circuitos eléctricos Ejercicios? Ir sin regreso What we know is not much. . Integral de la transformada 7. Aplicaciones físicas.) Quoted in A. 1. Vibraciones Mecánicos Ejercicios? Ir sin regreso 2. como: 1. Derivada de la transformada Ejercicios? Ir sin regreso 6. Obtener la transformada inversa de una función racional por el método de fracciones parciales.5. Traslación en el eje t 9. Ejercicios? Ir sin regreso 2. Transformada de la función escalón 8. Aplicar el método de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales. sin recurrir al análisis complejo. Teorema de Convolución Ejercicios? Ir sin regreso 2. De Morgan: Budget of Paradoxes. (Allegedly his last words. Transformada de funciones periódicas 10. What we do not know is immense. Ejercicios? Ir sin regreso 3. Resolver algunos problemas físicos donde se ilustre la conveniencia de emplear la transformada de Laplace. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste. Prueba de sus talentos son 1. puede ser que si. pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado. el libro inicia con palabras que mas o menos dicen "En el fondo. . y muchas otras técnicas no triviales. las funciones generatrices. con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación. Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. la mecánica de fluídos. Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. Como anecdota. la teoría de probabilidades no es si no el sentido común reducido a cálculos". y el progreso personal. en el cual usa a discreción la transformada de laplace. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial. el magnetismo y la física atómica.Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. la teoría de probabilidades. o movimiento planetario. 2. 5. y la transformada de Mellin entre otras. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. la transformada de Hilbert.3. Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada. Universidad de St Andrew. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. entre esos jovenes se encuentan: el químico Gay-Lussac. 4. en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit. yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título. dejando entrever que las ideas eran suyas del todo. Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporaneos. Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios. la transformada de Laplace de f(t) se . Ir a índice Definición de la Transformada Sea f una función definida para define como cuando tal integral converge Notas . y al joven Cauchy. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. La ayuda prestada a los jovenes talentos científicos fue un gran acierto. que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices principales de las matemáticas del siglo XIX Algunos Links interesantes sobre Laplace: 1. En Francia Ir a índice Contexto La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada. el físico Poisson. Tras la Revolución Francesa. Escocia 2. el naturalista Humboldt. Condiciones para la existencia de la transformada de una función: 1. Obtención 2. Continua a trozos Ir a índice Definición de la Transformada Inversa La Transformada inversa de una función en s. De orden exponencial 2. Obtención 3. que para el proceso de integracion se considera constante 2. La letra s representa una nueva variable. Obtención Para n entero : 5. digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s). Obtención 4.1. Obtención Para Nota sobre la función Gamma. es decir si es que acaso Esta definición obliga a que se cumpla: y Ir a índice Tabla de Transformadas 1. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s 3. . Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications 1. Ir a índice ) Idea La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican. Obtención Ir a índice Existencia de la Transformada Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera: 1.6. Versión para la inversa: . Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo 2. Ser de orden exponencial Ir a índice Propiedades de la Transformada En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace. Obtención 9. Obtención Para s > a 7. Linealidad (Ejemplos. Obtención 10. Demostracion. Obtención 8. Ir a índice ) donde Idea La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos. Ir a índice ) Idea La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.2. Demostracion. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos. Transformada de la función escalón (Ejemplos. Demostracion. 4. Versión para la inversa: 3. Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos.Ir a índice ) .Ir a índice ) 5.Ir a índice ) Siempre y cuando exista 6. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos.Ir a índice ) 7. Segundo teorema de Traslación (Ejemplos. Teorema de la Convolución (Ejemplos. Transformada de una función periódica (Ejemplos. 3.Si representa la función escalón unitario entonces 8.Ir a índice ) Si f(t) es una función periódica con período T: 10. 4. Esta expresión se conoce como la Ecuacion Característica 3. 5.ejemplos Primer Teorema de Traslación.Ir a índice ) 9.ejemplos Segundo Teorema de Traslación.ejemplos Mas ayuda? Ir a una pagina de transformadas inversas Ir a índice Método de Solución A ED basado en Laplace Pasos 1. 2. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED 2. Separación de Fracciones.ejemplos Fracciones Parciales. Ir a índice) Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces Ir a índice Técnicas para la Transformada Inversa 1. Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t) Ejemplos Ir a índice Sistemas Masa-Resorte Ejemplos Ir a índice . Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}.consulte este documento Convolución. Circuitos RLC Ejemplos Ir a índice DEDUCCIONES DE FÓRMULA La razón principal por la cual las demostraciones de las pruebas son incluidas es que hacen uso del teorema de la transformada de la derivada. haciéndolas sencillas y breves. Deducción de : En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde : Por tanto Ir a índice Ir a la tabla de transformadas Deduccion de : En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde y utilizando la obtención 1: Por tanto . Ir a índice Ir a la tabla de transformadas Deduccion de : En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada: Por tanto Ir a índice Ir a la tabla de transformadas Deducción de : En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde y utilizando un razonamiento inductivo: Por tanto Ir a índice Ir a la tabla de transformadas Deducción de : . si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en obtenemos las fórmulas deseadas.En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde: Por tanto y despejando : Ir a índice Ir a la tabla de transformadas Deducción de : En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde: Por otro lado. Ir a índice Ir a la tabla de transformadas APENDICES y . Gráficamente una función periódica queda Ir a índice Ir al Teorema 9 . El efecto es el de un switch que está abierto y justo en el instante t=a se cierra. es una función que vale 0 y justo en después del instante t=a la función se activa y su valor cambia a uno. El período de la función es el mínimo intervalo de tiempo donde la función no se repite. Ir a índice Ir a Teorema 7 Apéndice: Función Periódica Una función Periódica es una función que se repite. Matemáticamente una función es periodica con período T es una función f(t) que cumple: Dicho en terminos simples. La gráfica de la función escalón queda de la siguiente forma: La función puede ser combinada para construir funciones seccionadas como se ilustra en los ejemplos. lo que es o pasa con la función en el intervalo describe o determina totalmente a la función.Apéndice: La Función Escalón Unitario La función Escalón Unitario en a es la función simbolizada como y definida como: ó Es decir. Estas funciones tienen graficas similares a: Ir a índice Ir a la tabla de transformadas Apéndice: Función de Orden Exponencial Una función f(t) se dice de orden exponencial positiva M y un número T que cumplan: si acaso existe una constante Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece mas rápido que la función exponencial en el intervalo Ir a índice Ir a la definición de la transformada Apéndice: Función Gama de Euler Esta función.Apéndice: Convergencia de una Integral Una integral del tipo es una Integral Impropia del tipo I. se dice que ella converge si existe el límite Es decir se sustituye el infinito por una nueva variable. se . Ir a índice Ir a la tabla de transformadas Apéndice: Continuidad a Pedazos Para motivos prácticos puede pensar a una función así como una función seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichas secciones. que es una de las funciones mas importantes de la matemática. se calcula la integral definida. Los problemas que tiene la función son puntos aislados. no intervalos. y al resultado se le aplica el límite cuando la variable nueva tiende al infinito. Teorema Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial. Entonces para s > a: . Propiedad de Linealidad.define como: Para enteros positivos se cumple que: Por lo que esta función puede ser vista como la generalizcación de la función factorial. Entonces Demostración Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos: Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: Recordando la definición de la transformada para f(t) y para g(t): Ir a: índice. Propiedades. y a y b dos constantes. Ir a índice Ir a la tabla de transformadas Apéndice: Convolución entre dos funciones La convolución entre las funciones f(t) y g(t) es una nueva función de t definida como : Ir a índice Ir al teorema 10 Demostraciones Teorema Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial. y a una constante. es decir siempre que s-a > 0. Teorema Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial. cuya derivada también es así. Traslación eje s. Propiedades.Siendo Demostración Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos: Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: Agrupando las funciones exponenciales: Si ahora hacemos el cambio de variable S=s-a lo anterior queda: Este segundo miembro coincide con la transformada de laplace de la función f(t) en la variable S siempre y cuando S > 0 . Resumiendo Donde Si encadenamos esta serie de igualdades Ir a: índice. Entonces Demostración Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos: Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites: Integrando por partes y tomando: por tanto: . es decir s > a. I) Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial: y además Por tanto la ecuación (I) queda: Y por consiguiente: .y la integral anterior nos queda: Avanzando en los cálculos del segundo miembro: Asi: (Ec.