TAREA CONTROL DE PROCESOS UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO ESCUELA DE INGENIERIA QUIMICA1. (70%) El tanque con agitación que se ilustra en la Figura se utiliza para calentar una corriente en proceso, de manera que se logre una composición uniforme de los componentes premezclados. El control de temperatura es importante, porque con una alta temperatura se tiende a descomponer el producto, mientras que, con una temperatura baja, la mezcla resulta incompleta. El tanque se calienta mediante el vapor que se condensa en un serpentín; se utiliza un controlador proporcional-integral-derivativo (PID) para controlar la temperatura en el tanque, mediante el manejo de la posición de la válvula de vapor. Se desea obtener el diagrama de bloques completo y la ecuación característica del circuito para los siguientes datos de diseño: Proceso La densidad de la alimentación ρ es de 68.lb/pies3, y la capacidad calorífica Cp es de 0.80 Btu/lbºF. En el reactor se mantiene constante él volumen V be líquido a 120 pies3. El serpentín consta de 240 pies de tubo de acero de 4 pulgadas, calibre 40, con un peso de 10.8 lb/pie, capacidad calorífica de 0.12 .Btu/lbºF y diámetro externo de.7.500 pulgada, el coeficiente total de transferencia de calor, U, se estima que es de 2.1 Btu/min pieºF, con base en el área externa del serpentín. El vapor de que se dispone está, saturado a una presión de 30 psia; se puede suponer que el calor potencial de condensación λ es constante, con un valor de 966 Btu/lb. Condiciones de diseño En las condiciones de diseño, el flujo de alimentación f es de 15 pies3/min, a una temperatura Ti de 100 ºF. El contenido del tanque se debe mantener a una temperatura T de 1500 ºF. Las posibles perturbaciones son cambios en la tasa de alimentación y en la temperatura. Sensor y transmisor de temperatura El sensor de temperatura se calibra para un rango de 100 a 200°F y una constante de tiempo τt de 0.75 min. Válvula de control La válvula de control se diseña con una sobrecapacidad del l00%, y las variaciones en la caída de presión se pueden despreciar. La válvula es de porcentaje igual, con un parámetro de ajuste de 50; la constante de tiempo τv del actuador es de 0.20 min. 2. (30%) Con la ecuación característica del ejemplo anterior construya el lugar geométrico de la raíz (conclusiones). Entrega: lunes 18 de noviembre 2:00 pm, entrega puntual (no se aceptan entrega posterior a la fecha y hora). Trabajo: Grupos máximos de 6. Nota: Realice todos los cálculos matemáticos paso a paso, recuerde que se califica lo que está escrito, no las explicaciones que usted hace después de calificado la tarea. 𝑇) 𝑑𝑇 𝑑𝑡 (2) . ni se realiza trabajo de eje PV. reemplazando en (1)w 𝐹0 ℎ0 − 𝐹ℎ + 𝑄 = 𝑑 (ℎ𝑉𝜌) 𝑑𝑡 Del balance de masa total 𝐹0 𝜌0 − 𝐹𝜌 = 𝑑 (𝑉𝜌) 𝑑𝑡 Asumiendo que la densidad y el volumen se mantienen constantes 𝐹0 − 𝐹 = 0 𝐹0 = 𝐹 Reemplazando en la ecuación (2) 𝐹ℎ0 − 𝐹ℎ + 𝑄 = 𝜌𝑉 Se tiene que 𝐶𝑃 = ( ). ℎ = 𝑈 + 𝑃𝑉 𝑑 (𝑈𝑉𝜌) 𝑑𝑡 (1) para los líquidos ℎ ≅ 𝑈.Solución Balance de energía en el tanque 𝐹0 𝜌0 (𝑈0 + 𝐾0 + ∅0 ) − 𝐹𝜌(𝑈 + 𝐾 + ∅) + (𝑄𝐺 + 𝑄) − (𝑊𝑒𝑗𝑒 + 𝑃𝑉 − 𝑃0 𝑉0 ) 𝑑 = [𝑉𝜌(𝑈 + 𝐾 + ∅)] 𝑑𝑡 En el sistema no se presentan cambios considerables en la energía cinética y potencial. La ecuación se simplifica de la siguiente manera: 𝐹0 𝑈0 − 𝐹𝑈 + 𝑄 = ̅. como tampoco se genera calor por reacción. y depende del área de transferencia y del coeficiente total U 𝐹𝐶𝑃 𝑇0 − 𝐹𝐶𝑃 𝑇 + 𝑈𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇) = 𝜌𝑉𝐶𝑃 Con lo que se tiene una ecuación y 2 incógnitas (𝑇𝑠 . para los líquidos ℎ = 𝐶𝑃 𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝐻 𝑑 (ℎ) 𝑑𝑡 𝐹𝐶𝑃 𝑇0 − 𝐹𝐶𝑃 𝑇 + 𝑄 = 𝜌𝑉𝐶𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑡 El calor 𝑄 es el calor transferido por el serpentín que se transfiere por convección. a partir de la ecuación (5-23) del libro Control Automático de procesos. la válvula está totalmente abierta y 𝐶𝑉 |𝑣𝑝=1 sería el flujo máximo que puede pasar por ella y Cv sería el flujo que pasaría por la válvula en función de la posición del vástago: 𝑊(𝑡) = 𝑊𝑚á𝑥 𝛼 𝑣𝑝−1 Con lo que se tienen 3 ecuaciones y 4 incógnitas (𝑇𝑠 .Balance en el serpentín En el serpentín el calor que entra equivale al calor de condensación del vapor. Un resorte rodea al vástago. debido a que este entra saturado. El primer término del lado derecho es la fuerza ejercida por el aire comprimido sobre el diafragma de la válvula. 𝑤) Donde: W es el flujo másico del vapor 𝐶𝑀 Es la capacidad calorífica del metal del serpentín Ecuación de la Válvula de control Dado que la válvula es de tipo igual porcentaje. 𝑣𝑝) Una válvula de control es un ejemplo de aplicación del modelo Masa – Resorte – Amortiguador Viscoso. sostiene al diafragma y descansa sobre una base. SMITH y CORRIPIO: 𝐶𝑉 = 𝐶𝑉 |𝑣𝑝=1 𝛼 𝑣𝑝−1 Siendo vp la posición del vástago de la válvula. de acuerdo con esto la ecuación del balance de energía se puede escribir como: 𝑑ℎ𝑠 = 𝑤(𝑡)𝜆 − 𝑈𝐴[𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇(𝑡)] 𝑑𝑡 Reemplazando ℎ𝑠 = 𝐶𝑚 𝑇𝑠 𝐶𝑀 𝑑𝑇𝑠 = 𝑤𝜆 − 𝑈𝐴[𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇(𝑡)] 𝑑𝑡 (3) Con lo que se tienen 2 ecuaciones y 3 incógnitas (𝑇𝑠 . 𝑤. 𝑇. La función de transferencia de la válvula se obtiene realizando un balance de fuerzas sobre el vástago para determinar su posición como resultado de todas las fuerzas que actúan sobre este: 𝑀 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑦(𝑡) = 𝐴𝑃(𝑡) − 𝐾𝑦(𝑡) − 𝐶 2 𝑔 𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑡 El lado izquierdo es la fuerza resultante. el segundo es la fuerza ejercida por el resorte y el tercero representa La fricción ejercida hacia arriba que resulta del contacto entre el extremo del vástago y el empaque sobre el asiento de la válvula . Si vp=1. 𝑇. Despreciando el primer termino 𝑦(𝑡) + Siendo: 𝐶 𝑑𝑦(𝑡) 𝐴 = 𝑃(𝑡) 𝐾 𝑑𝑡 𝐾 𝜏𝑣 = 𝐾𝑣 = Entonces: 𝑦(𝑡) + 𝜏𝑣 Aplicando transformada de Laplace: 𝐶 𝐾 𝐴 𝐾 𝑑𝑦(𝑡) = 𝐾𝑣 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 𝑌(𝑠) + 𝜏𝑣 [𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0)] = 𝐾𝑣 𝑃(𝑠) 𝑌(𝑠) + 𝜏𝑣 𝑠𝑌(𝑠) = 𝐾𝑣 𝑃(𝑠) Sacando factor común 𝑌(𝑠): 𝑌(𝑠)(𝜏𝑣 𝑠 + 1) = 𝐾𝑣 𝑃(𝑠) Reordenando: 𝑌(𝑠) = 𝐾𝑣 𝑃(𝑠) (𝜏𝑣 𝑠 + 1) 𝑌(𝑠) 𝐾𝑣 = 𝑃(𝑠) (𝜏𝑣 𝑠 + 1) Es decir. entonces la ganancia de la válvula se define como 𝐾𝑣 = 𝑑𝑓 𝑔𝑝𝑚 . que si la variable de entrada a la válvula es la señal de salida del controlador en porcentaje de salida del controlador (% CO) y la variable de salida de la válvula es el flujo de salida de ella. se puede mostrar a la ganancia de la válvula como el producto de tres términos que relacionan la dependencia de la posición de la válvula con la salida del .Reordenando 𝑀 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑦(𝑡) + 𝐾𝑦(𝑡) + 𝐶 = 𝐴𝑃(𝑡) 2 𝑔 𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑀 𝑑 2 𝑦 𝐶 𝑑𝑦(𝑡) 𝐴 + 𝑦(𝑡) + = 𝑃(𝑡) 2 𝐾𝑔𝑐 𝑑𝑡 𝐾 𝑑𝑡 𝐾 La dinámica de una válvula neumática. usualmente. se aproxima a un sistema de primer orden porque generalmente M <<< 𝐾𝑔𝑐 . 𝑑𝑚 %𝐶𝑂 Utilizando la regla de derivación en cadena. en este caso la posición del vástago. 𝑑𝑥 𝑑𝐶𝑣 𝑑𝑓 )( ) 𝐾𝑣 = ( ) ( 𝑑𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝐶𝑣 La dependencia de la posición de la válvula es. 𝑤. la conversión de la salida del controlador en porcentaje a la fracción correspondiente a la posición de la válvula. 𝑣𝑝.trasmisor Un sensor de temperatura es un ejemplo de sensor de primer orden. simplemente. 𝑇𝑜𝑡 ) . La relación entre la entrada 𝑥(𝑡) y la salida 𝑦(𝑡) viene dada por una ecuación diferencial del tipo: 𝑎1 𝑇𝑜𝑡 (𝑡) + 𝑎0 𝑇𝑜𝑡 (𝑡) = 𝑇(𝑡) 𝑑𝑡 La función de transferencia correspondiente es: 𝑇𝑜𝑡 (𝑠) 𝑘 = 𝑇(𝑠) 𝜏𝑠 + 1 Con lo que se tienen 5 ecuaciones y 6 incógnitas (𝑇𝑠 .controlador. 𝑇. En este hay un elemento que almacena energía y otro que la disipa. 𝑀. 𝑣𝑝. 𝑑𝑥 1 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑥 =± 𝑑𝑚 100 %𝐶𝑂 La función de transferencia de la válvula en el problema de estudio estará dada de la siguiente manera: Donde M(s) es la salida del controlador y VP(s) es la variable manipulada. Entonces la ecuación de la válvula queda da la siguiente forma 1 100 𝑉𝑃(𝑠) = 𝑀(𝑠) 𝜏𝑣 𝑠 + 1 Con lo que se tienen 4 ecuaciones y 5 incógnitas (𝑇𝑠 . la dependencia del Cv con la posición de la válvula y la dependencia del flujo con el valor de Cv. 𝑤. pero el signo depende de si la válvula es de falla cerrada o de falla abierta. 𝑇. 𝑀) (4) funcion del Sensor. Linealización de la ecuación de la válvula Realizando una expansión de series de Taylor de la función de la válvula 𝑓[𝑣𝑝(𝑡)] alrededor del valor 𝑣𝑝 ̅ ̅ ̅ ̅ 𝑣𝑝(𝑡)−1 𝑊(𝑡) = 𝑊 𝑚𝑎𝑥 ∝ 𝑊(𝑡) = 𝑊 𝑚𝑎𝑥 + 𝑑𝑊 (𝑣𝑝(𝑡) − 𝑣𝑝 ̅ ̅ ̅ ̅(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑣𝑝(𝑡)−1 𝑊(𝑡) = 𝑊 𝑚𝑎𝑥 (ln 𝛼)𝛼 𝑑𝑊 ̅ (𝑡) ln 𝛼 = 𝑊 𝑑𝑡 ̅ (𝑡) + 𝑊 ̅ (𝑡) ln 𝛼 (𝑣𝑝(𝑡) − 𝑣𝑝 𝑊(𝑡) = 𝑊 ̅ ̅ ̅ ̅(𝑡)) ̅ (𝑡) = 𝑊 ̅ (𝑡) ln 𝛼 (𝑣𝑝(𝑡) − 𝑣𝑝 𝑊(𝑡) − 𝑊 ̅ ̅ ̅ ̅(𝑡)) ̅ (𝑡) ln 𝛼 𝑉𝑃(𝑡) 𝑊(𝑡) = 𝑊 (5) Reemplazando (4) y (5) . para esto se deben linealizar las y aplicar transformada de Laplace a las ecuaciones del sistema.Función de transferencia del controlador El denominado PID (control proporcional – integral – derivativo) es la combinación de una acción de control proporcional. una acción de control integral y una acción de control derivativa. La ecuación de un controlador con esta acción combinada es 𝐺𝐶 (𝑠) = 𝐾𝐶 (1 + 1 𝑀(𝑠) + 𝜏𝐷 𝑠) = 𝜏𝐼 𝑠 𝑅(𝑠) − 𝑇𝑜𝑡 (𝑠) Ecuación 5.44 del libro de Smith y corripio La función de transferencia es considerada la que corresponde a un controlador “PID Ideal” Con lo que finalmente se tienen 6 ecuaciones y 6 incógnitas. y se completa la obtención de un sistema de ecuaciones para el circuito de control. Lo siguiente es obtener el diagrama de bloques del circuito. Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. 𝑖 . 𝑇𝑠 )[𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇𝑠 ] + 𝑖 . 𝑇𝑠 ) = 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝐺 ̅ 𝑇 ̅ . 𝑇𝑠 ) = 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝐺 ̅ 𝑇 ̅ . (𝑓.̅ 𝑇 𝑖 . − + 𝑖 . 𝑇 ̅ ̅ ̅ ̅ .̅ 𝑇 𝑖 . 𝑇 ̅ ̅ (𝑓.̅ 𝑇 𝑖 . 𝑇𝑠 ) + 𝜕[𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇𝑖 (𝑡)] 𝜕[𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇(𝑡)] 𝜕[𝑈𝐴(𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇(𝑡))] 𝜕𝐺 ̅ 𝑇 ̅ . 𝑖 . 𝑇 ̅ ̅ (𝑓.1 100 ̅ ln(𝛼) [ 𝑊 𝑃 (𝑠) = 𝑊 𝑀(𝑠)] 𝜏𝑣 𝑠 + 1 Definimos: 𝐾𝑣 = 𝑊 𝑃 (𝑠) = 𝐺𝑣 (𝑠) = ̅ ln(𝛼) 𝑊 100 𝐾𝑣 𝑀(𝑠) 𝜏𝑣 𝑠 + 1 𝑊 𝑃 (𝑠) 𝐾𝑣 = 𝑀(𝑠) 𝜏𝑣 𝑠 + 1 Linealización del balance de energía del tanque. 𝑇𝑖 (𝑡). 𝑇𝑠 ) = 𝜌𝐶𝑝 [𝑇𝑖 (𝑡) − 𝑇(𝑡)] 𝜕𝑓 𝜕[𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇𝑖 (𝑡)] 𝜕[𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇(𝑡)] 𝜕[𝑈𝐴(𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇(𝑡))] 𝜕𝐺 ̅ 𝑇 ̅ . 𝑇 ̅ ̅ ̅ (𝑓. 𝑇 ̅ ̅ ̅ + (𝑓. 𝑇𝑠 )[𝑇𝑖 (𝑡) − 𝑇𝑖 ] 𝜕𝑇𝑠 𝜕𝑇𝑖 ̅ 𝑇 ̅ . − + 𝑖 . 𝑇(𝑡). 𝑇𝑠 ) = −𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 − 𝑈𝐴 𝜕𝑇 𝜕[𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇𝑖 (𝑡)] 𝜕[𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇(𝑡)] 𝜕[𝑈𝐴(𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇(𝑡))] 𝜕𝐺 ̅ 𝑇 ̅ . 𝑇𝑠 )[𝑇(𝑡) − 𝑇 ] 𝜕𝑓 𝜕𝑇 𝜕𝐺 𝜕𝐺 ̅ 𝑇 ̅ . 𝑇 ̅ ̅ (𝑓. 𝑇 ̅ ̅ (𝑓. − + 𝑖 . 𝑇 ̅ ̅ (𝑓. 𝑇𝑠 ) = 𝑈𝐴 𝜕𝑇𝑠 . 𝑇𝑠 )[𝑓(𝑡) − 𝑓 ] + 𝑖 . 𝑇 ̅ ̅ (𝑓. 𝑇𝑠 (𝑡)] 𝜕𝐺 𝜕𝐺 ̅ ̅ . 𝑇𝑠 ) = 𝜕𝑇𝑠 𝜕𝑇𝑠 𝜕𝑇𝑠 𝜕𝑇𝑠 𝜕𝐺 ̅ . mediante expansión de la serie de Taylor: 𝐺[𝑓(𝑡).̅ 𝑇 (𝑓. 𝑇 ̅ ̅ = 𝑓(𝑓. 𝑇 ̅ ̅ ̅ . 𝑖 . 𝜕[𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇𝑖 (𝑡)] 𝜕[𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇(𝑡)] 𝜕[𝑈𝐴(𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇(𝑡))] 𝜕𝐺 ̅ 𝑇 ̅ . Entonces la acusación expresada en variables de perturbación 𝐶𝑀 𝑑𝑇 𝑃 𝑠 (𝑡) = 𝜆𝑊 𝑃 (𝑡) − 𝑈𝐴𝑇 𝑃 𝑠 (𝑡) + 𝑈𝐴𝑇 𝑃 (𝑡) 𝑑𝑡 𝐶𝑀 𝑑𝑇 𝑃 𝑠 (𝑡) 𝜆𝑊 𝑃 (𝑡) = − 𝑇 𝑃 𝑠 (𝑡) + 𝑇 𝑃 (𝑡) 𝑈𝐴 𝑑𝑡 𝑈𝐴 𝜏𝑐 = 𝐾𝑤 = 𝜏𝑐 𝐶𝑀 𝑈𝐴 𝜆 𝑈𝐴 𝑑𝑇 𝑃 𝑠 (𝑡) = 𝐾𝑤 𝑊 𝑃 (𝑡) − 𝑇 𝑃 𝑠 (𝑡) + 𝑇 𝑃 (𝑡) 𝑑𝑡 . 𝑇𝑠 ) = 𝜕𝑇𝑖 𝜕𝑇𝑖 𝜕𝑇𝑖 𝜕𝑇𝑖 𝜕𝐺 ̅ . 𝑇𝑠 ) = 𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝜕𝑇𝑖 𝐺[𝑓(𝑡). 𝑇𝑖 (𝑡). 𝑇𝑖 (𝑡). 𝑇𝑠 (𝑡)] ̅ 𝑇 ̅ ̅ . 𝑇𝑠 (𝑡)] 𝑃 𝑃 ̅ 𝑇 ̅ . − + 𝑖 .̅ 𝑇 𝑖 . 𝑇𝑠 ) + 𝜌𝐶𝑝 [𝑇𝑖 (𝑡) − 𝑇(𝑡)]𝐹 (𝑡) − [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴]𝑇 (𝑡) + 𝑈𝐴𝑇𝑠𝑃 (𝑡) + 𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇𝑖𝑃 (𝑡) Por lo que el balance de energía en el quedaría de la siguiente manera en variables de perturbación 𝑉𝜌𝐶𝑝 𝑑𝑇 𝑃 (𝑡) = 𝜌𝐶𝑝 [𝑇𝑖 (𝑡) − 𝑇(𝑡)]𝐹 𝑃 (𝑡) − [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴]𝑇 𝑃 (𝑡) + 𝑈𝐴𝑇𝑠𝑃 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇𝑖𝑃 (𝑡) Para el serpentín no es necesario linealizar. 𝑇 ̅ ̅ (𝑓. 𝑇𝑠 ) + 𝜌𝐶𝑝 [𝑇𝑖 (𝑡) − 𝑇(𝑡)][𝑓(𝑡) − 𝑓 ] − [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 ̅ ] + 𝑈𝐴[𝑇𝑠 (𝑡) − 𝑇 ̅ ̅ − 𝑈𝐴][𝑇(𝑡) − 𝑇 𝑠 ] + 𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 [𝑇𝑖 (𝑡) − 𝑇𝑖 ] Por lo que: 𝐺[𝑓(𝑡). 𝑇 ̅ ̅ (𝑓. 𝑇 ̅ ̅ = 𝑓(𝑓. 𝑖 . 𝑖 . 𝑇(𝑡). 𝑇(𝑡). 𝑇 ̅ ̅ = 𝑓(𝑓. tenemos: 𝑇 𝑃 𝑠 (𝑠)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) = 𝐾𝑤 𝑊 𝑃 (𝑠) + 𝑇 𝑃 (𝑠) Despejando 𝑇𝑠 (𝑠): 𝑇 𝑃 𝑠 (𝑠) = 𝐾𝑤 𝑊 𝑃 (𝑠) (𝜏𝑐 𝑆+1) + 𝑇 𝑃 (𝑠) 𝜏𝑐 𝑆+1 (6) A partir del balance del tanque ya linealizado: 𝑉𝜌𝐶𝑝 𝑑𝑇 𝑃 (𝑡) = 𝜌𝐶𝑝 [𝑇𝑖 (𝑡) − 𝑇(𝑡)]𝐹 𝑃 (𝑡) − [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴]𝑇 𝑃 (𝑡) + 𝑈𝐴𝑇𝑠𝑃 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 𝑇𝑖𝑃 (𝑡) 𝑉𝜌𝐶𝑝 𝑑𝑇 𝑃 (𝑡) [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴] 𝑑𝑡 𝜌𝐶𝑝 [𝑇𝑖 (𝑡) − 𝑇(𝑡)] 𝑃 𝑈𝐴 = 𝐹 (𝑡) − 𝑇 𝑃 (𝑡) + 𝑇𝑠𝑃 (𝑡) [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴] [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴] 𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑇𝑖𝑃 (𝑡) [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴] (7) Donde 𝑇𝑖𝑃 .𝜏𝑐 𝑑𝑇 𝑃 𝑠 (𝑡) + 𝑇 𝑃 𝑠 (𝑡) = 𝐾𝑤 𝑊 𝑃 (𝑡) + 𝑇 𝑃 (𝑡) 𝑑𝑡 Aplicando transformada de Laplace: 𝜏𝑐 [𝑆𝑇 𝑃 𝑠 (𝑠) − 𝑡𝑠 (0)] + 𝑇 𝑃 𝑠 (𝑠) = 𝐾𝑤 𝑊 𝑃 (𝑠) + 𝑇 𝑃 (𝑠) 𝜏𝑐 𝑆𝑇 𝑃 𝑠 (𝑠) + 𝑇 𝑃 𝑠 (𝑠) = 𝐾𝑤 𝑊 𝑃 (𝑠) + 𝑇 𝑃 (𝑠) Sacando factor común. 𝑇 𝑃 . 𝑇𝑠𝑃 . 𝐹 𝑃 . 𝑇𝑠 (𝑠). 𝑊 𝑃 son las variables de desviación Definiendo: . 𝜏 = 𝑉𝜌𝐶𝑝 [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴] 𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴] 𝐾𝑖 = 𝐾𝑓 = 𝜌𝐶𝑝 [𝑇𝑖 (𝑡) − 𝑇(𝑡)] [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴] 𝑈𝐴 [𝑓(𝑡)𝜌𝐶𝑝 + 𝑈𝐴] 𝐾𝑠 = Reemplazando en la ecuación (7) 𝑑𝑇𝑃 (𝑡) 𝑃 𝑃 𝑃 𝜏 = 𝐾𝑖 𝑇𝑃 𝑖 (𝑡) + 𝐾𝑓 𝐹 (𝑡) − 𝑇 (𝑡) + 𝐾𝑠 𝑇𝑠 (𝑡) 𝑑𝑡 𝜏 𝑑𝑇𝑃 (𝑡) 𝑃 𝑃 + 𝑇𝑃 (𝑡) = 𝐾𝑖 𝑇𝑃 𝑖 (𝑡) + 𝐾𝑓 𝐹 (𝑡) + 𝐾𝑠 𝑇𝑠 (𝑡) 𝑑𝑡 Aplicando transformada de Laplace: 𝜏[𝑆𝑇 𝑃 (𝑠) − 𝑡(0)] + 𝑇 (𝑠) = 𝐾𝑖 𝑇𝑖 (𝑠) + 𝐾𝑓 𝐹 (𝑠) + 𝐾𝑠 𝑇𝑠 (𝑠) 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝜏𝑆𝑇 𝑃 (𝑠) + 𝑇 (𝑠) = 𝐾𝑖 𝑇𝑖 (𝑠) + 𝐾𝑓 𝐹 (𝑠) + 𝐾𝑠 𝑇𝑠 (𝑠) 𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 Sacando factor común 𝑇 𝑃 (𝑠): 𝑇 𝑃 (𝑠)(𝜏𝑆 + 1) = 𝐾𝑖 𝑇𝑖𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑓 𝐹 𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑠 𝑇𝑠𝑃 (𝑠) Despejando 𝑇 𝑃 (𝑠): 𝑇 𝑃 (𝑠) = ( 𝐾𝑖 𝜏𝑆+1) 𝑇𝑖𝑃 (𝑠) + ( 𝐾𝑓 𝜏𝑆+1) 𝐹 𝑃 (𝑠) + ( 𝐾𝑠 𝑇 𝑃 (𝑠) 𝜏𝑆+1) 𝑠 (8) . Reemplazando (7) y en (8) se obtiene la siguiente expresión: 𝑇 𝑃 (𝑠) = 𝐾𝑖 (𝜏𝑆 + 1) 𝑇𝑖𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑓 (𝜏𝑆 + 1) 𝐹 𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑠 (𝜏𝑆 + 1) (𝜏𝑐 𝑆 + 1) [ 𝐾𝑤 𝑊𝑃 (𝑠) + 𝑇𝑃 (𝑠) 𝜏𝑐 𝑆 + 1 ] 𝑇 𝑃 (𝑠) = 𝐾𝑖 (𝜏𝑆 + 1) 𝑇𝑖𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑓 (𝜏𝑆 + 1) 𝐹 𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑠 𝐾𝑤 𝑊𝑃 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1) (𝜏𝑐 𝑆 + 1) + 𝐾𝑠 𝑇𝑃 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1) (𝜏𝑐 𝑆 + 1) 𝑇 𝑃 (𝑠) − 𝐾𝑠 𝑇𝑃 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1) (𝜏𝑐 𝑆 + 1) = 𝐾𝑖 (𝜏𝑆 + 1) 𝑇𝑖𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑓 (𝜏𝑆 + 1) 𝐹 𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑠 𝐾𝑤 𝑊𝑃 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1) (𝜏𝑐 𝑆 + 1) 𝑇 𝑃 (𝑠) [1 − 𝐾𝑠 𝑇𝑃 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1) (𝜏𝑐 𝑆 + 1) ]= 𝐾𝑖 (𝜏𝑆 + 1) 𝑇𝑖𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑓 (𝜏𝑆 + 1) 𝐹 𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑠 𝐾𝑤 𝑊𝑃 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1) (𝜏𝑐 𝑆 + 1) 𝑇 𝑃 (𝑠) [ (𝜏𝑆 + 1)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) − 𝐾𝑠 (𝜏𝑆 + 1)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) ]= 𝐾𝑖 (𝜏𝑆 + 1) 𝑇𝑖𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑓 (𝜏𝑆 + 1) 𝐹 𝑃 (𝑠) + 𝐾𝑠 𝐾𝑤 𝑊𝑃 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1) (𝜏𝑐 𝑆 + 1) 𝑇 𝑃 (𝑠) = 𝐾𝑓 (𝜏𝑐 𝑆 + 1) 𝐾𝑖 (𝜏𝑐 𝑆 + 1) 𝑇𝑃 𝐹𝑃 (𝑠) 𝑖 (𝑠) + (𝜏𝑆 + 1)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) − 𝐾𝑠 (𝜏𝑆 + 1)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) − 𝐾𝑠 𝐾𝑠 𝐾𝑤 + 𝑊 𝑃 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) − 𝐾𝑠 𝑇 𝑃 (𝑠) 𝑇𝑃 𝑖 (𝑠) = 𝐾1 (𝜏𝑐 𝑆 + 1) = 𝐺𝑖 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) − 𝐾𝑠 𝑇 𝑃 (𝑠) 𝐹𝑃 (𝑠) = 𝐾𝑓 (𝜏𝑐 𝑆 + 1) = 𝐺𝑓 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) − 𝐾𝑠 𝑇 𝑃 (𝑠) 𝐾𝑠 𝐾𝑤 = = 𝐺𝑠 (𝑠) 𝑃 𝑊 (𝑠) (𝜏𝑆 + 1)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) − 𝐾𝑠 . Diagrama de bloques El diagrama de bloque en lazo abierto sería: Cerrando el lazo: Por lo que podemos deducir las siguientes relaciones: 𝑅(𝑠) − 𝑇𝑜𝑡 (𝑠) = 𝐸(𝑠) 𝐸(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) + 𝐹(𝑠)𝐺𝑓 (𝑠) + 𝑇𝑖 (𝑠)𝐺𝑖 (𝑠) = 𝑇(𝑠) 𝑇(𝑠)𝐻(𝑠) = 𝑇𝑜𝑡 (𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑇𝑓𝑖𝑗𝑜 𝐾𝑠𝑝 Reemplazando (11) en (9): 𝑅(𝑠) − 𝑇(𝑠)𝐻(𝑠) = 𝐸(𝑠) Reemplazando (13) en (10): (9) (10) (11) (12) (13) [𝑅(𝑠) − 𝑇(𝑠)𝐻(𝑠)]𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) + 𝐹(𝑠)𝐺𝑓 (𝑠) + 𝑇𝑖 (𝑠)𝐺𝑖 (𝑠) = 𝑇(𝑠) 𝑅(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) − 𝑇(𝑠)𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) + 𝐹(𝑠)𝐺𝑓 (𝑠) + 𝑇𝑖 (𝑠)𝐺𝑖 (𝑠) = 𝑇(𝑠) (6) . Reemplazando (12) en (14): 𝑇𝑓𝑖𝑗𝑜 𝐾𝑠𝑝 𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) − 𝑇(𝑠)𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) + 𝐹(𝑠)𝐺𝑓 (𝑠) + 𝑇𝑖 (𝑠)𝐺𝑖 (𝑠) = 𝑇(𝑠) Reordenando: 𝑇𝑓𝑖𝑗𝑜 𝐾𝑠𝑝 𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) + 𝐹(𝑠)𝐺𝑓 (𝑠) + 𝑇𝑖 (𝑠)𝐺𝑖 (𝑠) = 𝑇(𝑠) + 𝑇(𝑠)𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) Sacando factor común 𝑇(𝑠): 𝑇𝑓𝑖𝑗𝑜 𝐾𝑠𝑝 𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) + 𝐹(𝑠)𝐺𝑓 (𝑠) + 𝑇𝑖 (𝑠)𝐺𝑖 (𝑠) = 𝑇(𝑠)[1 + 𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠)] Despejando 𝑇(𝑠): 𝑇(𝑠) = 𝐾𝑠𝑝 𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) 𝐺𝑓 (𝑠) 𝑇𝑓𝑖𝑗𝑜 + 𝐹(𝑠) [1 + 𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠)] [1 + 𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠)] 𝐺𝑖 (𝑠) + 𝑇 (𝑠) [1 + 𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠)] 𝑖 Ecuación característica del sistema De la función de transferencia del circuito cerrado se obtiene la ecuación característica 1 + 𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) Donde 𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) = función de transferencia del circuito abierto (FTCA) La ecuación característica se puede expresar de la siguiente forma: 1+( 𝑘𝑡 1 𝑘𝑣 𝑘𝑤 𝑘𝑐 ) 𝑘𝑐 (1 + )( )=0 + 𝜏𝐷 𝑆) ( (𝜏𝑆 𝜏𝑡 𝑆 + 1 𝜏𝑖 𝑆 𝜏𝑣 𝑆 + 1 + 1)(𝜏𝑐 𝑆 + 1) − 𝑘𝑠 Los valores numéricos de la ecuación se obtienen de la descripción del serpentín y las condiciones de la válvula y el tanque . 8545𝜏𝐷 𝜏𝑖 𝑆 2 𝑘𝑐 + 2.8515𝜏𝑖 𝑆𝑘𝑐 + 2.579 1+( 0.1538𝑆 + 0.8545 0.682 )( )=0 0.2𝑆 + 1 2.8545 ( 𝜏𝑣 = 0.5238𝑚𝑖𝑛 Reemplazando los valores numéricos 1+( (1.682 ) 𝑘𝑐 ( )( )( )=0 2 0.8545𝑘𝑐 0.52385𝑆 + 1 − 0.425𝑆 2 + 5.2𝑆 2 𝜏𝑖 + 𝜏𝑖 𝑆 2.75𝑆 2 𝜏𝑖 + 0.8545𝑘𝑐 0.682 )( )=0 2 (0.8545) 0.75𝑆 + 1 𝜏𝑖 𝑆 0.5238𝑆 + 1) − 0.15𝑆 3 𝜏𝑖 + 0.8545𝜏𝐷 𝜏𝑖 𝑆 2 𝑘𝑐 + 2.4211 1+( 𝑘𝑐 (𝜏𝐷 𝜏𝑖 𝑆 2 + 𝜏𝑖 𝑆 + 1)(2.682 )( )=0 3 2 2 0.62)(0.75𝑆 + 1)(𝜏𝑖 𝑆)(0.425𝑆 + 5.0 % 𝐹 𝜏𝑡 = 0.4211 1+( 1 𝜏𝐷 𝑆𝜏𝑖 𝑆 + 𝜏𝑖 𝑆 + 1 2.15𝑆 3 𝜏𝑖 + 𝑆 2 𝜏𝑖 + 𝜏𝑖 𝑆) .8545𝜏𝐷 𝜏𝑖 𝑆 2 𝑘𝑐 + 2.75𝑆 + 1 𝜏𝑖 𝑆 0.8545𝑘𝑐 ) )=0 (2.4211) 1 1 2.1538𝑆 + 0.682(2.579 1+( 2.2𝑆 + 1 (4.62 𝐹 (𝑙𝑏⁄𝑚𝑖𝑛) 𝑙𝑏 )% 𝑚𝑖𝑛 𝑘𝑠 = 0.4211 𝜏 = 4.63𝑚𝑖𝑛 𝜏𝑐 = 0.425𝑆 + 5.63𝑆 + 1)(0.𝑘𝑡 = 1.1538𝑆 + 0.2𝑚𝑖𝑛 𝑘𝑤 = 1.425𝑆 2 + 5.8545 ) 𝑘𝑐 (1 + + 𝜏𝐷 𝑆) ( )( )=0 0.15𝑆 𝜏𝑖 + 𝑆 𝜏𝑖 + 𝜏𝑖 𝑆 2.2𝑆 + 1) 2.75𝑚𝑖𝑛 𝑘𝑣 = 2.579)(0.579 1+( 2.8545𝜏𝑖 𝑆𝑘𝑐 + 2.425𝑆 + 4.15385𝑆 + 0.845𝜏𝑖 𝑆𝑘𝑐 + 2.63𝑆 + 0. 773𝑆 4 + 5. El primer paso obtener los polos y ceros de la FTLA. Lo primero es utilizar el método de substitución directa para calcular la ganancia y el período de oscilación últimos de un controlador proporcional.733𝑆 2 + 0.1538𝑆 2 + 0.363𝑖 4 𝑤𝑢 4 + 3.579 + 1.363𝑤𝑢 4 − 3.577𝑆 + 1.946𝐾𝑐𝑢 + 0.946𝐾𝑐 𝑆 = 0 Dividiendo entre s: 0.733𝑖 = 0 Despejando 𝑤𝑢 : .665𝑤𝑢 2 + 1.733𝑖𝑤𝑢 + 0. Con 𝜏𝑖 = 0 y 𝜏𝐷 = 0 la ecuación característica se reduce a 0.733𝑖𝑤𝑢 = 0 4 0.579 = 0 (10) (11) Dividiendo (10) entre 𝑤𝑢 : 2 −3.579𝑆)𝜏𝑖 2.363𝑆 5 + 3.946𝐾𝑐𝑢 = 0 Dónde: 𝑖 2 = −1 3 0.1985𝑖 3 𝑤𝑢 + 7.946𝜏𝑖 𝑆𝑘𝑐 + 1. lugar de la raíz Para dibujar el lugar de la raíz partimos de la ecuación característica de la función de transferencia del circuito cerrado.425𝑆 4 + 2.665𝑤𝑢 2 + 5.946𝐾𝑐𝑢 = 0 Reorganizando en una ecuación real y otra imaginaria 3 −3.087𝑆 3 + 0.579 + 1.1985𝑆 3 + 7. mediante el método de la ganancia última.1985𝑖𝑤𝑢 − 7.946𝑘𝑐 1+( )=0 (0.733𝑖𝑤𝑢 + 0.946𝜏𝐷 𝜏𝑖 𝑆 2 𝑘𝑐 + 1.363𝑆 4 + 3.425𝑆 3 + 0.1985𝑆 4 + 7.579 + 1.1. también se deben calcular las raíces de la ecuación característica cuando el controlador se ajusta con esos parámetros.733𝑆 + 0.579𝑆 2 + 0.946𝐾𝑐 = 0 Si 𝑆 = 𝑖𝑤𝑢 y 𝐾𝑐 = 𝐾𝑐𝑢 3 0.1985𝑖𝑤𝑢 + 5. pero como no conocemos el valor de 𝜏𝑖 y 𝜏𝐷 debemos sintonizar para conseguir un el tiempo de integración y el tiempo derivativo.1985𝑖𝑤𝑢 + 5.665𝑆 2 + 5.363𝑆 5 + 2.665𝑆 3 + 5.1538𝑆 3 + 5. Para esto se deben determinar los parámetros de ajuste de razón de asentamiento de un cuarto para el controlador PID.363𝑤𝑢 − 7.665𝑖 2 𝑤𝑢 2 + 5. 1985𝑖 𝑤𝑢 = √ De (11).363(1.7 1.9447 %/% 𝜏𝐷 = 𝑇𝑢 4.946 𝑤𝑢 = Despejando 𝑇𝑢 : 𝑇𝑢 = 2𝜋 𝑇𝑢 2𝜋 2𝜋 = 𝑤𝑢 1.665(1.44 ) + 7.5 𝑚𝑖𝑛 = 2 2 𝜏𝐼 = 2. despejamos 𝐾𝑐𝑢 : 𝐾𝑐𝑢 = Reemplazando el valor de 𝑤𝑢 : 𝐾𝑐𝑢 = Pero: 5.56 𝑚𝑖𝑛 𝜏𝐼 = 𝑇𝑢 4. para un controlador PID: 𝐾𝑐 = 𝐾𝑐𝑢 6.5 𝑚𝑖𝑛 = 8 8 𝜏𝐷 = 0.1985 4 −0.7060 = 1.946 −0.5 𝑚𝑖𝑛 De la tabla 6-1 del libro Control Automático de Proceso Smith y Corripio.2 𝑤𝑢 = 5.733 = 1.733𝑖 3.7060%/% 1.665𝑤𝑢 2 − 0.42 ) − 0.579 1.7 𝐾𝑐 = 3.25 𝑚𝑖𝑛 De al ecuación característica se tiene que 𝐹𝑇𝐿𝐴 = 𝐻(𝑠)𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑣 (𝑠)𝐺𝑠 (𝑠) .579 = 6.363𝑤𝑢 + 7.4 𝑇𝑢 = 4.4 𝑟𝑎𝑑/𝑚𝑖𝑛 3. 26𝑆 2 + 2.2 Los zeros son: −0. sabiendo que sobre el eje real el lugar de raíz existe en el punto en que hay una cantidad impar de polos y ceros a la derecha del punto .9517)(𝑠 + 0.1193 −1.25𝑆 + 1) 1 1 (𝑠 + ) (𝑠 + ) (𝑠)[2.15𝑠 + 0.1193) 0. Y se trazan las partes del eje real que hacen parte del lugar de la raíz.76 𝜏𝑣 𝜏 𝑇 𝜏𝐼 𝐾′(𝑠 2 𝜏𝐼 𝜏𝐷 + 𝑠𝜏𝐼 + 1) 1 1 (𝑠 + ) (𝑠 + ) (𝑠)[𝑠 2 𝜏𝜏𝑐 + 𝑠(𝜏 + 𝜏𝑐 ) + (1 − 𝐾𝑠 )] 𝜏 𝑇 𝜏𝑣 Reemplazando valores: 𝐹𝑇𝐿𝐴 = 𝐾′(1.2 𝐹𝑇𝐿𝐴 = 𝐾′[(𝑠 + 0.0088)(𝑠 + 0.𝐹𝑇𝐿𝐴 = ( Pero: 𝐾𝑇 1 𝐾𝑣 𝐾𝑤 𝐾𝑠 ) [𝐾𝑐 (1 + )[ ] + 𝜏𝐷 𝑠)] ( 𝜏 𝑇 𝑠 + 1 𝜏𝐼 𝑠 𝜏𝑣 𝑠 + 1 (𝜏𝑠 + 1)(𝜏𝑝 𝑠 + 1) − 𝐾𝑠 1+ Reemplazando y resolviendo: 𝐹𝐼𝑇𝐴 = Definimos 𝐾′: 1 𝑠 2 𝜏𝐼 𝜏𝐷 + 𝑠𝜏𝐼 + 1 + 𝜏𝐷 𝑠 = 𝜏𝐼 𝑠 𝜏𝐼 𝑠 𝐾𝑇 𝐾𝑐 𝐾𝑤 𝐾𝑠 𝐾𝑣 (𝑠 2 𝜏𝐼 𝜏𝐷 + 𝑠𝜏𝐼 + 1) (𝜏 𝑇 𝑠 + 1)(𝜏𝑣 𝑠 + 1)(𝜏𝐼 𝑠)[𝑠 2 𝜏𝜏𝑐 + 𝑠(𝜏 + 𝜏𝑐 ) + (1 − 𝐾𝑠 )] 𝐾 ′ = 𝐹𝑇𝐿𝐴 = 𝐾𝑇 𝐾𝑐 𝐾𝑤 𝐾𝑠 𝐾𝑣 = 22.33 −2.8338 −0. se dibujan sobre el plano complejo.75 0.75 0.58] 0.8338)] 1 1 (𝑠 + ) (𝑠 + ) (𝑠)(𝑠 + 2.0088 −5 Una vez que se tienen los ceros y los polos.42𝑠 2 + 5.9517 Los polos: 0 −0. Ilustración 1 partes del eje real que hacen parte del lugar de la raiz . Todas las asíntotas deben pasar por el “centro de gravedad” de los polos y ceros de la FTLA. . lo que quiere decir. …. 2. Los lugares que tienden a infinito lo hacen sobre asíntotas. que da el ángulo que forma la asíntota con el eje real positivo ∅= 180° + (360°)𝑘 𝑛 − 𝑚 Donde k = 0.9517) = −2. . La función tiene dos ceros.1193 − 1.8338 − 0.33 − 2.Como hay 5 polos debe haber igual número de ramas que o lugares de raíz que parten de cada polo y llegan a un cero. numero de asíntotas ∅1 = 180° + (360°)0 180° = = 60° 5−2 3 ∅2 = 180° + (360°)1 540° = = 180° 5−2 3 ∅3 = 180° + (360°)2 900° = = 300° 5−2 3 Del valor de los ángulos se infiere que una de las asíntotas coincide con el eje real negativo. La ubicación del centro de gravedad (CG) se calcula como sigue: 𝐶𝐺 = 𝑚 ∑𝑛 𝑗 − ∑𝑖=1 𝑧𝑖 𝑗=1 𝑃 𝑛 − 𝑚 Donde n es el número de polos y m es el número ceros 𝐶𝐺 = 0 − 0.22 5−2 Entonces del punto sobre el eje real -2. 1. n – m – 1. las otras dos que forman ángulos de 180° y 300° de son simétricas respecto al eje real y cortan en algún punto el eje imaginario. que dos de las ramas terminan en los ceros sobre el eje real y las tres restantes tienden al infinito.01 − 5 − (−0. 3.22 parten 3 asíntotas hacia el infinito cuya dirección se determina con la formula. 8945 -1. se conocen como “puntos de ruptura”.1193 𝑠 + 1.7488*i . o llegan desde la región compleja del plano s.5672 -3. Los puntos de ruptura suelen presentarse en los lugares sobre el eje real que unen dos polos.0. Para los lugares de la raíz de la gráfica 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + − − =0 𝑠 + 0 𝑠 + 0.7488*i . lo que aumenta la precisión del diagrama. -1.o llegan al eje real con ángulos aproximadamente ±90°.0. frecuentemente. Antes de dibujar el diagrama final del lugar de raíz es conveniente conocer el punto en que los lugares cruzan el eje imaginario. -0.8592 0.9517 Usando la función solve de MatLab obtenemos el siguiente resultado para S S= -0.8945.33 𝑠 + 2.0613. con el cual se tiene un punto más para dibujar los lugares de raíz.8592 De los 6 valores posibles para S solo 3 son válidos.0088 𝑠 + 5 𝑠 + 0. con base en la solución de la ecuación 1 1 ∑ =∑ 𝑠 − 𝑧𝑖 𝑠 − 𝑝𝑖 𝑖=1 𝑗=1 𝑚 𝑛 En los puntos de ruptura los lugares siempre se a1eján. Anteriormente cuando se aplicó el método de substitución directa a la ecuación característica de este sistema.Los puntos en que los lugares se juntan y separan sobre el eje real. los cuales se determinan. por ensayo y error.0.0613 -0.7779 . ya que se encuentran en la región del eje real donde los dos lugares se acercan el uno al otro.4 El diagrama final del lugar de la raíz se muestra en la figura 2 . Dicho punto es la frecuencia última 𝑤𝑢 .5672. se determinó que la frecuencia de cruce o última es 𝑤𝑢 = 1.8338 𝑠 + 0. representados por una línea de color verde. Estos son -0. Estos lugares se pueden observar en la figura 1. los lugares que nacen en los polos se separan en el punto de ruptura y nuevamente se encuentra en otro punto de ruptura para llegar a ceros que se encuentran sobre el eje real. y se encuentra mediante la aplicación del método de substitución directa. Ilustración 2 lugar de la raíz .