PREUNIVERSITARIO SIMBIOSISLas palabras formadas son: CONTEO Y PROBABILIDAD PRINCIPIO MULTIPLICATIVO: Si un experimento se puede describir como una sucesión de k etapas, en las que hay n1 resultados posibles en la primera etapa, n2 en la segunda, etc., la cantidad total de resultados experimentales es igual a n1*n2*....*nk. Esto es, la cantidad de resultados del experimento es el producto de las cantidades de resultados posibles en cada etapa. Ej: ¿Cuántas posibles placas de carro pueden hacerse en una ciudad? R/ Una placa tiene 3 letras y 3 números, es decir, 6 espacios a llenar: __x __x __x __x __x__ Estos espacios se llenan con LAS POSIBILIDADES que se tienen para escribir en cada uno de ellos, de esta manera en los 3 primeros espacios se pueden escribir 26 posibles letras para cada uno y para los espacios numéricos se tienen 10 diferentes números posibles que se pueden escribir, por eso el resultado sería: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 Ejercicios: Cuántas posibles placas de auto se podrían hacer en una ciudad si: Las letras no se pueden repetir pero los números si Los números no se pueden repetir pero las letras si Tienen 3 letras iguales y 3 números iguales El número de la placa es par y las letras no se pueden repetir El número de la placa es impar Se define n ! como la productoria o multiplicación progresiva de n, factores, es decir: n ! 1 2 3 Sin repetición: En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Prn Con repetición: En general, si se toman r objetos de n , la cantidad de permutaciones u ordenaciones esta dada por : ¿cuántas ordenaciones de dos letras sin repetición se pueden obtener? Prn 4! 12 (4 2)! Lo que resulta es: ab, ac, ad , ba, bc, bd , ca, cb, cd , da, db, dc Combinatoria Una combinación de r objetos entre orden de los agrupados. Crn n , donde no importa el n! (n r )!r ! Ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto A a, b, c, d , ¿cuántos subconjuntos de 2 elementos cada uno se pueden obtener? C24 4! 6 (4 2)!2! ab, ac, ad , bc, bd , cd Ejercicios 1. Prn nr Sea A a, b, c, d , Los subgrupos son: Una permutación de n objetos, es una elección ordenada de r objetos entre n donde importa el orden de los agrupados. Ejemplo: n! (n r )! Ejemplo: Sea el mismo conjunto (n 1) n Permutaciones aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd el conjunto A a, b, c, d , palabras de dos letras se pueden obtener? P24 42 16 ¿Cuántas señales con tres banderas obtenerse con 8 banderas diferentes? P38 ¿cuántas 2. 8! 336 5! pueden 336 señales. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden elegir con ocho personas? C38 8! 56 5!3! esas “y” se convierten en multiplicaciones que operan la probabilidad de que cada evento suceda por separado. = A. D. En una isla todas las motocicletas están identificadas con placas que contienen dos vocales y un dígito. 1 5 5. entonces el número de motocicletas en la isla es: PROBABILIDAD Esta se encarga de analizar cuántos casos son favorables entre los casos posibles de suceder en una situación cualquiera y se expresa como una razón entre los casos favorables (CF) y los casos posibles (CP). D. es decir pasa uno y pasa otro y pasa otro. B. B. 2/3 1/2 3/8 1/4 Un avión está dotado de tres turbinas que funcionan independientemente. 3. Si las vocales no pueden repetirse en una misma placa y se han usado todas las placas. B. Entonces el número de sonidos de copa que hay a la hora de brindar sabiendo que todos brindan entre sí y nadie repite brindis es: Ej: ¿Cuál es la posibilidad de que al lanzar un dado una vez. D. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados los dos números sean pares o los dos sean impares? A. C. A. El número total de órdenes diferentes que pueden elaborarse si se elige uno de cada uno de los cuatro alimentos y dos órdenes se consideran distintas si difieren al menos en uno de los alimentos seleccionados es: A. R/ Esto se da cuando: (el primer número es par y el segundo es par) o (cuando el primero es impar y el segundo es impar). entonces Una diana para tiro al blanco se ha construido con circunferencias concéntricas de radios 1. Si todas las escogencias de X son igualmente probables. C. Ej: 50 80 100 200 En una fiesta hay 20 invitados. B. 2 tipos de ensalada. 1 8 C.01. entonces la probabilidad de que el avión pueda mantenerse en vuelo es: A. sin embargo algunas veces se evalúa porcentualmente multiplicando el resultado obtenido por el número 100. C. la probabilidad de que al menos un dígito de X sea 8 es: 4. 4 tipos de carne y 5 tipos de postre. que cae en el interior de uno de los 8 sectores circulares y en ninguna de las líneas o arcos divisorios. = TALLER 1. 14 32 64 6. 1 18 B. excepto aquéllas con dígitos pares.777777 . D. La probabilidad de que una turbina falle es de 0. caiga en la región sombreada es: tenemos que: ( x )+( x )= + = A.PREUNIVERSITARIO SIMBIOSIS 56 comités posibles de tres personas cada una. ya que de los seis números que pueden servirme al lanzar el dado. C. 1 6 D. en ese orden. De la misma manera el conector “o” se convierte en un signo “+” que suma las probabilidades individuales. Si al avión puede mantenerse en vuelo siempre y cuando al menos una de las tres turbinas este en pleno funcionamiento. 0. La probabilidad de que en un lanzamiento de un dardo. Un restaurante ofrece 3 tipos de vino. solo me sirve uno y ese es el número 4. Como la probabilidad de que salga un número par es = 130 160 190 220 Se va a escoger un número entero X con 10 X 99. Los ángulos centrales son iguales (45° cada uno). caiga un 4? R/ 120 y es la misma para la salida de un número impar.999999 0. La probabilidad fluctúa entre los valores 0 y 1 siendo el primero la certeza de que un evento no sucederá y el segundo el convencimiento de que el evento ocurre. B. 2 y 3 unidades respectivamente. 2. Cuando en la probabilidad se habla de sucesos consecutivos. - Mateo. nunca realizarán alianzas con M. juntos. D. Si se lleva a cabo la propuesta de Mateo. Para decidir quién guardaría la copa en su casa planearon algún tipo de sorteo. le restamos 1 a esa suma. Uno de los niños del equipo tiene más probabilidad de llevarse la copa a su casa que cualquier otro. M3 y M4).666666 0. - Camilo. tendrán más posibilidad de llevarse la copa que cualquiera del equipo individualmente 10.El partido M siempre votará buscando imponer su propuesta en forma unida. Sebastián tiene razón pero Camilo está equivocado. Igual que la de cualquier otro del equipo B. tienen la misma probabilidad de llevarse la copa a su casa que el niño que tiene la camiseta 10. entonces la probabilidad de que hayan 5 cartas en sus sobres correctos y una no es: A. 0. Los dos juntos tienen menos posibilidades que Mateo de llevarse la copa a su casa.Los partidos B y C son opositores de M. cualquiera sea estrategia. 8. De los comentarios de Mateo. . D. Al interior de B sus dos integrantes votarán en el mismo sentido. pero no es Mateo. le respondió a Sebastián: ¡Tal vez tienes razón! Mateo debe tener más posibilidades que nosotros dos juntos. Menor que la de cualquiera del equipo. B. el de la camiseta 7. o si hay . - Sebastián. D. el resultado obtenido al lanzar estos dos dados es un número entre 2 y 12. hizo la siguiente propuesta: Como cada uno de nosotros tiene la camiseta enumerada del 1 al 11. el partido B tiene 2 miembros (B1 y B2). Camilo y Sebastián. . podemos lanzar dos dados. . pues con la propuesta de Mateo todos tienen la misma posibilidad de llevarse la copa para la casa.333333 Si se tienen seis cartas dirigidas a seis personas diferentes y se meten al azar en seis sobres con las correspondientes direcciones. B. Quién tenga la camiseta con ese número se lleva la copa a su casa. el de la camiseta 11. Sebastián y Camilo están equivocados. B. Mayor que la probabilidad que tiene el de la camiseta 1. pero menor que la que tiene el de la camiseta número 6. comentó: A Mateo siempre le gusta llevar ventaja. uno de los 9 integrantes que no es el coordinador ni el independiente tiene derecho a voz pero no al voto en cualquier decisión. No es posible saber si Camilo o Sebastián tienen la razón. Mayor que la probabilidad de cualquiera del equipo C. pues es un resultado probabilístico que solo depende del azar Preguntas 11 a 13 Se integra una comisión de 9 miembros para una cámara legislativa con las siguientes características: . la probabilidad de que él se lleve la copa a su casa es: A. Sebastián está equivocado pero Camilo hizo una afirmación correcta.PREUNIVERSITARIO SIMBIOSIS C. C. gano una copa al vencer en un campeonato regional. la única afirmación falsa es: A. Mateo tiene más posibilidades de llevarse la camiseta a su casa que cualquiera otro del equipo D. 9. aunque Mateo no es el jugador con más ventaja D. M2.El partido mayoritario.El coordinador de la comisión es un miembro de M. Si se sigue el plan de Mateo. Todos los demás tienen derecho a voz y voto. 0 1/6 1/5 1 Preguntas 8 a 10 Un equipo de futbol formado por niños de barrio. el de la camiseta 1. Si se suman las posibilidades de Mateo y el niño de la camiseta 5. el partido C tiene 2 miembros (C1 y C2) y el grupo independiente tiene un miembro (I). Seguramente él tiene más posibilidades que cualquiera de los del equipo si hacemos lo que él quiere. Los dos juntos tienen más posibilidades que Mateo C. pero podrán hacerlo entre ellos. tiene 4 miembros (M1. 7. Sebastián y Camilo se puede concluir con certeza que: A. M. C. de la única que se tiene certeza es: A.El independiente podrá asumir cualquier posición. además del número de cerraduras de cada puerta. C. siempre y cuando se vayan señalando las llaves una vez utilizadas es: A. El independiente y uno de los integrantes de B votaron en blanco 1/4 1/3 3/8 2/5 Preguntas 15 a 17 El diagrama muestra la distribución de un consultorio con sus tres puertas de acceso. . cada cerradura tiene su propia llave. asumiendo que caerá al interior de la figura. El independiente votó en blanco y uno de los integrantes de M no tiene derecho al voto 13. 15. B. aunque todas son idénticas en apariencia. y la propuesta del partido M ganó por un voto. . si al efectuar la votación uno de los integrantes habilitados para votar votó en blanco. El número mínimo de ensayos que se requieren para garantizar su acceso al quirófano pasando por todas las puertas. C. B. 524 558 600 630 16. 11. A un médico que se encuentra en el interior del quirófano la secretaria al salir le entrega 9 llaves con el mismo sistema anterior y por seguridad cierra las tres puertas con sus respectivas cerraduras con otro juego de llaves. El integrante que no tiene derecho al voto pertenece al partido B o al partido C B. D. El integrante independiente votó en blanco B. entonces de las situaciones siguientes la única que no es posible es: A. Al menos tres integrantes de M votaron a favor de su propuesta 12. Frente a las mismas propuestas anteriores. C. D. Lo mismo ocurre al interior de C. El número mínimo de ensayos que se requieren para garantizar la salida del médico pasando por todas las puertas. Se ha sometido a votación el tiempo máximo de duración de las ponencias. entonces pasó necesariamente por la puerta B. El independiente votó en contra de la propuesta del partido M D. El partido M propuso 20 minutos y un integrante de B o de C propuso 10 minutos. B.PREUNIVERSITARIO SIMBIOSIS desacuerdo frente a alguna decisión uno de ellos vota a favor o en contra y el otro vota en blanco. Uno de los integrantes de B o C votó en blanco C. A una auxiliar de enfermería le entregan 9 llaves entre las cuales se encuentran 8 de las cerraduras. siempre y cuando se vayan señalando las llaves una vez utilizadas es: A. si al efectuar la votación dos de los integrantes habilitados para votar lo hicieron en blanco y se obtuvo un empate entonces. Uno de los integrantes del partido M no tiene derecho al voto B. El integrante que no tiene derecho al voto pertenece al partido M C. de las afirmaciones siguientes. es: A. Los integrantes de C votaron en blanco D. El independiente votó en blanco C. Frente a las mismas propuestas anteriores. 14. Uno de los integrantes de M no tiene derecho al voto y uno de los integrantes de C votó en blanco D. D. 600 558 336 306 17. Aceptando como verdadera la siguiente afirmación: Si un paciente se encuentra en el interior del quirófano. La probabilidad de lanzar un dardo y que éste caiga en la parte sombreada. de la única que se tiene certeza es: A. de las afirmaciones siguientes. Si al efectuar la votación todos los integrantes habilitados votaron y se obtuvo un empate. PREUNIVERSITARIO SIMBIOSIS La única afirmación válida lógicamente es: A. necesariamente no ingresó por la puerta B C. Si un paciente ingresó por B. necesariamente ha pasado por la puerta B D. necesariamente no se encuentra en el quirófano . Si un paciente ingresa por la puerta A y no se encuentra en el quirófano. necesariamente se encuentra en el quirófano B. Si un paciente no se encuentra en el quirófano. Si un paciente no pasó por la puerta B.