Ing.Mario Manuel Antonio Balderas Martínez
[email protected] Objetivos de Aprendizaje Definir lo que es probabilidad. Describir los enfoques clásicos. Calcular las probabilidades aplicando las reglas de adición y multiplicación. Determinar el numero de permutaciones. Determinar el numero de combinaciones Calcular la probabilidad utilizando el Teorema de Bayes. 2 ¿Cómo osamos hablar de leyes del azar? ¿No es, acaso, el azar la antítesis de cualquier ley? Bertrand Rusell 3 ¿Por qué una encuesta de 1000 o 1500 personas permite predecir bastante bien el resultado de la elección con 8 millones de votantes? ¿Cómo se logra este resultado? ¿Cómo se mide la precisión del resultado? . 5 .La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con el tiempo que pasas en la calle. Por tanto. menor es la probabilidad de que tengas un accidente. cuanto mas rápido circules. El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha bebido. A la vista de esto y de lo anterior. 6 . esta claro que la forma más segura de conducir es ir borracho y a gran velocidad. Por tanto. el 67 % restante ha sido causado por alguien que no había bebido. Las normas de calidad exigen que a lo más 3% de los focos pueden durar menos de 1000 horas en un lote de 5000 focos. ¿podemos declarar el lote completo defectuoso? ¿Cómo se usa este resultado obtenido de una muestra? 7 .2% de focos defectuosos en una muestra de 500 focos. Se usa una muestra de 500 focos. Si obtenemos 3. sería muy costoso examinar cada una.En un estudio de control de calidad de una fábrica de focos. . c) las aplicaciones. los de la Geometría o la Mecánica Analítica. por ejemplo.La Probabilidad es una disciplina matemática cuyos propósitos son de la misma clase que. El carácter y el encanto de toda la estructura no pueden ser apreciados sin considerar los tres aspectos adecuadamente relacionados. b) el antecedente intuitivo. William Feller. Introducción a la Teoría de Probabilidades y sus aplicaciones. En cada campo debemos distinguir tres aspectos de la teoría: a) el contenido lógico-formal. 9 . Como resultado de este primer desarrollo de la teoría de la probabilidad. se extiende junto con la estadística a muchos campos. En un esfuerzo por aumentar sus ganancias pidieron a los matemáticos que les proporcionaran las estrategias óptimas para varios juegos de azar.La afición al juego fue lo que impulsó el desarrollo de la probabilidad. y la investigación científica. la predicción del clima. como la política. los negocios. 10 . . esta puede asumir solamente valores entre 0 y 1.Probabilidad: Una medición de la posibilidad de que un evento ocurra en el futuro. esta puede asumir solamente valores entre 0 y 1.Probabilidad. Existe un 1% de probabilidad de que la Tierra sea golpeada por un NEO de 300 metros de diámetro durante el siglo XXI. . Una medición de la posibilidad de que un evento ocurra en el futuro. .Experimento: La observación de alguna actividad o el acto de realizar alguna medición. proporcione un resultado imposible de predecir a priori. realizada en las mismas condiciones.Experimento Aleatorio: Cualquier situación que. . . El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (E).Evento o Suceso: Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. Ejemplo de Evento: El resultado de la TINKA es un evento estadístico. . Se simboliza con “S”. . Ejemplo: Espacio muestral del lanzamiento de un dado.Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados de un experimento aleatorio. .Ejemplo: Espacio muestral del lanzamiento de dos dados. • Probabilidad de que el sol desaparezca: 0.0 • Probabilidad de que Universitario campeon: 0.9 19 .5 • Probabilidad de suba el precio del petróleo: 0.2 • Probabilidad de que una moneda de : 0.7 • Probabilidad de que el año 2011 venga El Niño: 0. . La probabilidad se calcula de la siguiente manera: Probabilidad del evento = número de posibles resultados del evento número total de resultados posibles del experimento 21 .CONCEPTO CLÁSICO DE LA PROBABILIDAD El enfoque clásico o a priori de la probabilidad está basado en la suposición de que todos los resultados del experimento son igualmente posibles. Ejemplo El experimento es lanzar un dado.166 Cuando solo puede ocurrir un evento a la vez se dice que son eventos mutuamente exclusivos. 22 . ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba? P( caiga 2 ) = 1/6= 0. CONCEPTO FRECUENTISTA DE PROBABILIDAD La probabilidad de que suceda un evento es determinada observando como sucede el evento en el pasado. En términos de fórmula: Probabilidad de que suceda = un evento número de veces que sucedió el evento en el pasado número total de observaciones 23 . Ejemplo Se sabe que una moneda está cargada. Para determinar la probabilidad de que caiga águila se lanza 60 veces la moneda al aire.41 60 24 . Si aplicamos la fórmula: P(cae águila ) 25 = 0. de las cuales 25 veces cayó águila. opiniones. esta se fundamenta en la intuición. Este tipo de probabilidad es el enfoque subjetivo de la probabilidad. Concepto subjetivo de probabilidad .La probabilidad de que un evento en particular suceda es asignada por un individuo basado en cualquier información disponible. 25 . como intuición.CONCEPTO SUBJETIVO DE LA PROBABILIDAD Si no hay experiencia anterior o hay muy poca sobre la cual basar una probabilidad. opiniones etc. creencias personales y otra información indirecta. Hay una probabilidad del 90% de que las ventas mejoren el año próximo Hay una alta probabilidad de sacarme un 20.Ejemplo: Hay una probabilidad del 80% de que el Alianza le gane al San Martín. 26 . . 28 .REGLA DE ADICIoN Intersección de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a los dos eventos dados. El operador de la unión es U. El operador de la intersección es ∩ Unión de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a alguno de los dos eventos dados. 29 .REGLA DE ADICION Intersección de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a los dos eventos dados. El operador de la intersección es ∩ Unión de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que pertenece a alguno de los dos eventos dados. El operador de la unión es U. 4. 5. 3. 4. 6 } Si el evento A es cae un número par A = { 2. 2 } 30 . 6 } Si el evento B es cae un número menor de 3 B = { 1.La probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuación: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) Ejemplo: Si el experimento es lanzar un dado una vez. el espacio muestral es: S = { 1. 2. 50 P(B) =2= 0. es decir.67 31 .50 + 0. la probabilidad de que caiga un número par y menor de 3. A ∩ B = { 2 }P(A ∩ B) =1= 0 .3366 Para aplicar el teorema es necesario conocer la probabilidad de la intersección de estos dos eventos.166 Si aplicamos la regla de adición: P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) P( A U B ) = 0.33 – 0.¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos? Entonces la probabilidad de A y la probabilidad de B es: P(A) =3= 0.16 = 0. 3077 32 .¿Cual en la probabilidad de que una carta elegida al azar de una baraja de 52 naipes sea un rey o una de corazones? Solución: Carta Rey De corazones Probabilidad P(A) = 4/52 P(B) = 13/52 Explicación Hay 4 reyes en una baraja Hay 13 corazones en una baraja Hay un rey de corazones en una baraja Rey de corazones P(AyB)=1/52 Resolviendo: P(AoB)=P(A)+P(B).P(AyB) = 4/52 + 13/52 + 1/52 = 0. REGLA DE ADICION ESPECIAL Para dos eventos: P(AoB)=P(A)+P(B) Para tres eventos: P(AoBoC)=P(A)+P(B) + P(C) 33 . 900 0. un paquete puede tener un peso ligeramente menor o mayor.000 34 . La mayoría tiene pesos correctos. brócolis y legumbres.025 0. Una verificación anterior de muchos paquetes indico: PESO Con peso menor Satisfactorio Con peso mayor EVENTO Nº PAQUETE PROBABILIDAD DE OCURRENCIA A B C 100 3600 300 4000 0.¿Una máquina llena bolsas de plástico con mezcla de frijoles. pero debido a ligeras variaciones en el tamaño de los frijoles y de las otras legumbres.075 1. P(AoC)=P(A) + P(C) P(AoC)= 0.025 + 0.07 P(AoC)= 0.10 35 . La probabilidad condicional es la probabilidad de que un evento dado ocurra dado que otro evento ocurre. REGLA DE MULTIPLICACION 36 . El operador de la probabilidad condicional es el signo │. La probabilidad de que dos eventos dados ocurran si uno de ellos depende de que ocurra el otro es: P(A∩B) = P(A) ∙ P(A│B) Ejemplo: El experimento es extraer aleatoriamente dos canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 5 canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas canicas sean rojas? P(A) = {la primer canica es roja} P(B) = {la segunda canica es roja} 37 . por lo que la probabilidad de que la segunda sea roja dado que la primera fue roja es: 38 .P(B│A) = {la segunda canica es roja dado que la primer canica es roja} P(A∩B) ={las dos canicas son rojas} Al extraer la primer canica hay en la urna 5 canicas rojas de un total de 10. por lo que la probabilidad es: P(A) =5= 0.5010 Al extraer la segunda canica hay en la urna 4 canicas rojas de un total de 9. REGLA DE MULTIPLICACION ESPECIAL Para dos eventos: P(AyB)=P(A)*P(B) Para tres eventos: P(AyByC)=P(A)*P(B)* P(C) 39 . Ejemplo Se lanzan dos monedas ¿Cuál es la probabilidad de que ambas caigan águila? Solución: P(AyB) = P(A) * (P(B) = (1/2)*(1/2) = 0.25 40 . PROBLEMAS . .1. que 350 consumen bebidas alcohólicas y que 250 tienen estos dos hábitos nocivos para la salud. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado aleatoriamente a) tenga alguno de estos dos malos hábitos? b) no tenga ninguno de estos dos pésimos hábitos? c) fume pero no tome? d) tome pero no fume? e) No fume? f) No tenga alguno de estos nefastos hábitos? 42 .Suponga que de un grupo de 500 estudiantes universitarios se encuentra que 300 fuman. 4.7.20. la probabilidad de que no se ubique ni en Juárez ni en Chihuahua es . la probabilidad de que instale una planta en Chihuahua es 0.-La probabilidad de que una compañía norteamericana ubique una de sus plantas en Juárez es 0. ¿Cuál es la probabilidad de que a) Se ubique en alguna de estas dos ciudades? b) Se ubique en ambas ciudades? c) No se ubique en alguna de estas dos ciudades? d) Se ubique en Chihuahua pero no en Juárez? e) Se ubique en Juárez pero no en Chihuahua? f) Ubique una planta en Juárez dado que ya se ubicó en Chihuahua? g) Ubique una planta en Chihuahua dado que ya se ubicó en Juárez? 43 .2. 9 por causas diferentes a estas dos.3. 18 porque no le entienden al maestro.. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos: a) Reprobó porque no estudió o porque no le entiende al maestro b) Reprobó porque no estudió y porque no le entiende al maestro c) Reprobó porque no estudió y no porque no le entiende al maestro d) Reprobó porque no le entiende al maestro y no porque no estudió 44 .En cierta escuela de 45 estudiantes que reprobaron Estadísticas I. 32 dijeron que reprobaron por no estudiar. Encontrar la probabilidad de los siguientes eventos: a) b) c) d) e) f) g) Lee alguno de estos dos periódicos No lee ninguno de estos dos periódicos Lee el Diario pero el Heraldo no Lee el Heraldo pero el Diario no Lee el Heraldo dado que lee el Diario Lee el Diario dado que lee el Heraldo No lee alguno de estos dos Periódicos 45 .. 200 leen el Heraldo.4. de 350 personas entrevistadas.Se realizó una encuesta sobre preferencias en materia de periódicos. 140 leen el Diario y 105 leen los dos periódicos. 5. la probabilidad de que la esposa lo haga es de 0. Encuentre la probabilidad de que: a) b) c) d) e) f) g) Ambos vean el programa de TV Alguno de los dos vea el programa de TV Ninguno vea el programa de TV El esposo vea el programa pero la esposa no La esposa vea el programa pero el esposo no La esposa vea el programa dado que el esposo lo hace Alguno de los dos no ve el programa 46 .La probabilidad de que en un matrimonio.5..4. La probabilidad de que el esposo vea el programa de TV dado que la esposa lo hace es de 0.7. el esposo vea cierto programa de TV es 0. DIAGRAMA DE ARBOL 47 . 48 .DIAGRAMA DE ARBOL Es una técnica en la que se determinan y despliegan sistemáticamente los medios necesarios para alcanzar un objetivo hasta llegar al nivel de acciones concretas (Plan de Implementación). DIAGRAMA DE ARBOL 49 . DIAGRAMA DE ARBOL CAMPOS DE APLICACIÓN PRÁCTICA DEL DIAGRAMA DE ÁRBOL Desarrollo de ideas para resolver problemas . Desarrollo de metas. Desarrollo de requisitos de calidad. 50 . políticas y programas. DIAGRAMA DE ARBOL 51 . Diagrama de Arbol: Ejemplo ¿Cómo disminuir los costes de calidad? Optimizar costes de realización de procedimientos Optimizar costes de prevención Optimizar costes de formación Optimizar costes de pautas de inspección Optimizar costes de inspección de recepción Disminuir costes de calidad Optimizar costes de evaluación Optimizar costes de inspección de procesos Optimizar costes de inspección final Optimizar costes de fallo interno Optimizar costes de fallo externo Disminuir costes de reproceso Disminuir costes de disposición de material Disminuir costes de garantías Disminuir costes de reproceso 52 . al entregárselo le presentaron las siguientes opciones: * Lugar: Acapulco o Cancún * Transporte: Autobús o Avión * Acompañante: Papá. mamá o hermano ¿De cuántas maneras distintas puede Laura efectuar el viaje? Representemos con un diagrama de árbol .Ejemplo: Laura se ganó un viaje para dos personas. Diagrama de Árbol Acapulco Autobús Avión Papá Mamá Hermano Papá Mamá Hermano Papá Mamá Hermano Papá Mamá Hermano Cancún Autobús Avión . Contamos ahora. todas las opciones de la última columna solamente y tendremos el total de formas posibles en las que Laura puede efectuar su viaje. Esto corresponde a: 12 opciones distintas Por lo tanto. Laura puede viajar de 12 maneras diferentes. . TEOREMA DE BAYES 56 . afino dicho trabajo y le dio el nombre de “Teorema de Bayes 57 . Laplace.TEOREMA DE BAYES En el siglo XVII el reverendo Thomas Bayes. interesado en las ciencias matemáticas intento desarrollar una formula para llegar a probar la probabilidad de que Dios Exista. ministro presbiteriano inglés. las probabilidades del suceso (A) cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B). que se denominan "probabilidades a posteriori". Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un evento. 58 P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) .TEOREMA DE BAYES P(A1|B)= P(A1)P(B|A1) Donde: A1 y A2 = son eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un evento se denominan "probabilidades a priori“. 5% de telas de “Casa Textiles del Sur” no son aceptables. Un 30% de las telas se adquieren en “Casa Ochoa”. 59 . Al llegar a bodega no son seleccionados y se toma un paquete de telas que resultan ser defectuosas. compra un cargamento de telas de tres casas proveedoras. Cual es la probabilidad de que esta mercadería sea de “Casa Ochoa”?. 20% a “Casa Textiles del Sur”. Ecotexa posee información de las tres casas y sabe que 3% de la mercadería de “Casa Ochoa” son defectuosas.TEOREMA DE BAYES . y que 4% de telas de “Tituanatex” tienen algún tipo de defecto.Ejemplo Ejemplo: La textilera “Ecotexa”. y el 50% sobrante a “Tituanatex”. •Las probabilidades a priori son: P(A1) =(30/100)= 0. P(A3) =(40/100)= 0. P(A2) =(20/100)= 0.30 probabilidad de mercadería adquirida por “Casa Ochoa”.40 probabilidad de mercadería adquirida por “Casa Ochoa”.TEOREMA DE BAYES . A3 mercadería de compro en “Tituanatex”.Ejemplo Solución: Existen tres eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.20 probabilidad de mercadería adquirida por “Casa Ochoa”. A2 mercadería de compro en “Casa Textiles del Sur”. 60 . que son las tres casas: A1 mercadería de compro en “Casa Ochoa”. TEOREMA DE BAYES .03 mercadería de “Casa Ochoa ”.05 mercadería de “Textiles de Sur ”. sea defectuosa. sea defectuosa. sea defectuosa.04 mercadería de “Tituanatex ”. . P(B|A2) = (5/100)= 0.Ejemplo PROBABILIDADES CONDICIONALES: P(B|A1) = (3/100)= 0. P(B|A3) = (4/100)= 0. .039=0.009 0.02 0.010 0.039=0.010/0.20 0.039=0.Ejemplo La información se la puede resumir en la siguiente tabla: Evento Ai Probabilidad a Priori. P(Ai|B1) Probabilidad posteriori.5128 “Tituanatex” Para obtener la probabilidad posteriori.30 0.05 0.020/0. P(B1|Ai) Probabilidad conjunta.TEOREMA DE BAYES .2308 0.03 0.50 0.39 0.2564 0. P(Ai|B1) “Casa Ochoa” “Textiles de Sur” 0.009/0.020 0. P(Ai) Probabilidad condicional. dividimos la probabilidad de cada evento para el total de probabilidades conjuntas. 30)(0.30)(0. y B1 de que la mercadería resulte defectuosa.50)(0.20)(0.02)(0.009 0.03)(0. lo podemos encontrar aplicando el Teorema de Bayes.039 = 0.05) = 0. donde A1 se refiere a Casa Ochoa.2308 Nos podemos dar cuenta que nos proporciona el mismo resultado obtenido en la tabla anterior. P(A1 |B1)= = P(A1)P(B1|A1) P(A1)P(B1|A1) + P(A2) P(B1|A2) + P(A3) P(B1|A3) (0. .TEOREMA DE BAYES . Se desea calcular P(A1|B1) .Ejemplo La probabilidad de que un paquete de telas que resultan ser defectuosas sea de “Casa Ochoa”.03) (0. Problema 01: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? 65 Solución al problema 01: Sea D = "la pieza es defectuosa" y N = "la pieza no es defectuosa". La información del problema se expresa en el diagrama de árbol adjunto. a) Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 66 comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes. c) Calculamos P(A/D) y P(C/D). obtenemos: La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A . Por el teorema de Bayes.Solución al problema 01(sigue): b) Debemos calcular P(B/D). 68 . B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras.Problema 02: Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras. En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? Solución del Problema 02: Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". Si la bola ha sido roja. Solución al problema 02: La probabilidad pedida es P(A/R). tenemos: 69 . Utilizando el teorema de Bayes. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? Solución al problema 03: La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0. En el supuesto de que haya funcionado la alarma.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.Problema 03: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? . . 72 . ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Sean los sucesos: I = Producirse incidente.partner-pu En el supuesto de que haya funcionado la alarma. A = Sonar la alarma. 500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas.000 botellas al día. La máquina B produce 3. En esa fábrica se producen 10. Si un inspector de calidad de la compañía selecciona una botella al azar y encuentra que esta defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que la botella haya ha sido producida por la maquina A? .Problema 04: Considera una fábrica de botellas que cuenta con dos máquinas para producir sus botellas.500 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas. La máquina A produce 6. . │ │A │A │B)P(B) │ │ . PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEOREMA DE BAYES 76 . 1.- Una urna contiene dos monedas de bronce y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de bronce y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de bronce? 2.- En tres plantas, A, B y C, fabrican el 50 %, el 30 % y el 20 %, respectivamente, del total de los objetos de una empresa. Los porcentajes de producción defectuosa de estas plantas son, respectivamente, el 3 %, el 4 % y el 5 %. a) Si se selecciona un objeto al azar, ¿qué probabilidad tiene de salir defectuoso? b) Suponiendo que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que se haya producido en la planta A? 77 3.- En un instituto se ofertan tres modalidades excluyentes, M, P y Q, y dos idiomas excluyentes, alemán y francés. La modalidad M es elegida por un 50 % de los alumnos, la P por un 30 % y la Q por un 20 %. También se conoce que han elegido alemán el 80 % de los alumnos de la modalidad M, el 90 % de la modalidad P y el 75 % de la Q, habiendo elegido francés el resto de los alumnos. a) ¿Qué porcentaje de estudiantes del instituto ha elegido francés? b) Si se elige al azar un estudiante de francés, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la modalidad M? 78 4.- En un IES hay tres profesores de Matemáticas. Cuando un alumno se matricula en el centro tiene igual probabilidad de que le asignen uno y otro profesor de Matemáticas. La probabilidad de obtener como nota final un sobresaliente con el profesor A es 0,3: la de obtenerlo con el profesor B es de 0,28; y la de obtenerlo con el profesor C es 0,35. a) Calcular la probabilidad de que un alumno matriculado en Matemáticas obtenga como nota final un sobresaliente. b) Sabiendo que un alumno ha obtenido un sobresaliente como nota final en Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que le hubiesen asignado al profesor C? 79 elegido al azar. De este club tiene celular un 25 % de las mujeres y un 50 % de las hombres. 6. a) Calcular el porcentaje de miembros de este club que no tienen teléfono móvil. b) Calcular la probabilidad de que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea hombre. El primero prepara la comida el 40 % de los días y el resto de los días lo hace el segundo. la comida esté quemada.Dos amigos comparten piso. 80 . mientras que el del segundo es el 8 %. a) Calcular la probabilidad de que un día. b)Si cierto día se ha quemado. El porcentaje de veces que se le quema al primero es el 5 %.5.. calcular la probabilidad de que haya cocinado el primero.Un club tiene un 75 % de sus miembros que son mujeres y un 25 % que son hombres.. y si sale un número impar. a) Calcular la probabilidad de que la película que vea sea de acción. Un espectador elige al azar un cine siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir le primero es el triple que la de elegir el segundo. la bola se saca de la urna B. con las caras numeradas del 1 al 6 y en el que la probabilidad de obtener un 6 es el doble que la de obtener cualquier otro número.. Determinar la probabilidad de que la bola que se saque sea roja. 6 blancas y 5 rojas. obtener la probabilidad de que haya acudido al primer cine.. 81 . 8. En el 1ero el 50% de las películas son de acción mientras que en el 2do lo son el 70%.7.Hay 2 cines. Se lanza un dado trucado. Una vez llega al. Si al lanzar el dado sale un número par. se saca una bola de la urna A. b) Sabiendo que la película que ha visto es de acción. y en otra B hay 3 bolas verdes.En una urna A hay 5 bolas blanca y 2 roja. Dos amigos A y B comparten un número de teléfono. .. de modo que A está fuera de este teléfono el 50 % de l tiempo y B el 25 % . De las llamadas que llegan. calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean el mismo color. Se selecciona una urna al azar. continuación se extrae una bola de la segunda urna . 2/5 son para A y 3/5 son para B.Tenemos la urna A con 4 bolas rojas y 6 blancas la urna B con 7 bolas rojas y 3 blancas. Calcula la probabilidad de que alguien conteste el teléfono cuando suene. Sus ocupaciones les alejan de este teléfono. se extrae una bola y se coloca en la otra urna..9. 10. Una mujer con una probabilidad pre-prueba de padecer la enfermedad de 0.10. el 70 % de las compras las realizan mujeres.. ¿cuál es la probabilidad de que supere los 20 €? b) Si se sabe que un ticket de compra no supera los 20 €.11..05 y falso-negativo de 0. Calcular la probabilidad de que no esté enferma.En un mercado.Una prueba diagnóstica para el cáncer uterino tiene un coeficiente falso-positivo de 0. a) Elegido un ticket de compra al azar.15 tiene un resultado negativo con la misma. . el 80% supera los 20 €. ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? 12. de las compras realizadas por éstas. mientras que las compras realizadas por los hombres sólo el 30 % supera esa cantidad. 0.55 b: 0. 0. a: 0.Solución: 1.405 3.4 6.316 9. 0.18 b: 0.485 2.55 4.376 5.068 b: 0. 0. a: 0. a: 0. 0. 0. a: 0.037 b: 0.294 7. a: 0.35 12.6875 b: 0.65 10.31 b: 0.68 8.982 . a: 0.509 11. . CONTEO Si se tienen m elementos de un tipo y n de otro tipo. el número de parejas que se puede formar es: En términos de fórmula: Número total de arreglos = m * n Y para mas de dos eventos tenemos: Número total de arreglos = m * n * o 86 . Ejemplo 1: Un fabricante desarrolló 5 bases para lámpara y 4 pantallas que se pueden usar juntas. ¿Cuántos arreglos distintos de base y pantalla se pueden ofrecer? Número total de arreglos = m * n = 5 * 4 = 20 87 . Ejemplo 2: Una industria fabrica 3 modelos de Home Theatre. ¿Cuántos sistemas distintos puede ofrecer esta industria? Número total de arreglos = m*n*o Número total de arreglos = 3*2*4 = 24 88 . 4 Televisores Plasma y 2 DVD Blue Ray. ¿Cuántos arreglos diferentes de modelos y cubre ruedas puede ofrecer la tienda? Número total de arreglos = m * n = 3 * 2 = 6 89 . con elección de cubre ruedas deportivos o comunes.Ejemplo 3: Una tienda anuncia que por US$ 20.000.00 se puede adquirir un convertible. un dos puertas o un modelo de cuatro puertas. ¿Serian adecuados 10 colores para codificar las 42 partes? 10C2= 2(10 – 3) 10! = 42 90 . se sugirió que se colocaran solo dos colores en cada una. 8C3 = 8! 3!(8 – 3)! = 56 Como un plan alternativo para codificar por color las 42 partes.Ejemplo 4: Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el párrafo anterior. 512.414.713.201.166. ¿Cuántas rutas posibles podrá planear para dicha encuesta? Solución: Si se aplica la Regla Factorial tendremos lo siguiente: 50! 30.043.000 Ahora si tenemos un número grande. .960.641.000.064.000.608.612.844. 768.Ejemplo 5: Una persona es contratada para llevara a cabo una encuesta en 50 ciudades del país.568.000.378.377.093. entonces: 10*10*10*10=10. planea tener acceso intentando códigos hasta encontrar el correcto ¿Cuántos códigos diferentes son posibles? Solución: Hay 10 valores posibles para cada uno de los cuatro dígitos. Suponer que Ud. Los dígitos (0 a 9) pueden estar repetidos.000 códigos 92 .Ejemplo 6: Los sistemas comunes de alarma para casas tienen un código que consta de cuatro dígitos. aunque deben ingresarse en el orden correcto. El número de maneras (permutaciones) en que los tres pueden asumir los puestos es: ▪ Solución: 93 . tesorero y secretario. en los puestos de presidente.Ejemplo 6: ▪ Tres miembros de una organización social se ofrecen como voluntarios para fungir como dirigentes el siguiente año. donde m es el número de modelos y n el tipo de pago. Cuantos arreglos diferentes de departamentos y formas de pago puede hacer?.00 una casa de dos pisos. Además puede elegir el tipo de pago Crédito o Contado.000. Solución: Podemos utilizar la formula de la multiplicación para verificar.Ejemplo 7: Una inmobiliaria ofrece por $35. o simple. Total de arreglos posibles=(m)(n)=(2)(2)=4 94 . . un segundo. n! P = n r (n – r)! P: número de permutaciones n: número total de objetos r: número de objetos que se dispondrá 96 . un tercero. etc.PERMUTACION Disposición en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero. hasta n. ¿de cuantas formas diferentes se pueden reunir? : nP r = n! (n – r)! = 3! (3 – 3)! 97 =6 .Ejemplo 1: Se desea ensamblar tres elementos electrónicos en cualquier orden. Ejemplo 2: ¿a que es igual 6!? = 6*5*4*3*2*1= 720 ¿a que es igual 6!2!/4!3!? = 10 Un operador debe realizar 4 verificaciones de seguridad antes de activar una máquina. ¿De cuantas formas diferentes se puede realizar las verificaciones el operador? 4P4 = 4! (4 – 4)! = 24 98 . No importa el orden en que se realicen las verificaciones. el mismo número no puede utilizarse dos veces o mas en una secuencia total. No se permiten repeticiones de los números. El grupo código 2031 podría identificar unos pantalones. talla 18. Es decir. 2562. Por ejemplo 2256. o 5559 no se permitirán ¿Cuántos grupos de distintos códigos pueden establecerse? 10P4 = 10! (10 – 4)! = 5040 99 .Ejemplo 3: Utilizar 10 números del 0 al 9 para crear grupos de código de 4 cifras fin de identificar un artículo de ropa. talla media. El código 1083 podría ser una blusa azul. etc. No se permitirán repeticiones como la. re y mi). do. ¿Cuántas permutaciones son posibles? 5P3 = 5! (5 – 3)! = 60 100 . la y mi. si. 1) ¿Cuantas permutaciones de las cinco notas. la y mi. son posibles? = 5*4*3 = 60 2) Utilizando la formula para permutaciones. tomadas tres cada vez. como do.Ejemplo 4: Un músico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas (la. Sin embargo. solo tres notas de las cinco se utilizarán en sucesión. El número de diferentes disposiciones de los tres dirigentes elegidos entre los 10 miembros del organismo es: ▪ Solución: 101 . tesorero y secretario.Ejemplo 5: Supongamos que la organización social se compone de 10 miembros y que aún no se ha presentado ninguna nominación para los puestos de presidente. Ejemplo 6: Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes? Aplicando la formula de la permutación tenemos: nPr= n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760 Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados != factorial (producto entre 1 y n). NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. 102 PERMUTACION CON REPETICION Disposición en orden de un conjunto de objetos en el que hay un primero, un segundo, un tercero, etc. hasta n, pero que se permiten las repeticiones. P: número de permutaciones n: número total de objetos P = n r r n r: número de objetos que se dispondrá 103 Auto examen 5-16 Un músico desea escribir una partitura basada solamente en cinco notas (la, si, do, re y mi). Sin embargo, solo tres notas de las cinco se utilizarán en sucesión, como do, la y mi. Se permitirán repeticiones como la, la y mi. Hay 60 permutaciones sin repetición de tres notas ¿Cuantas permutaciones son posibles si se permiten las repeticiones? P = 5 3 3 5 = 125 104 . nCr = n! r!(n – r)! P: número de permutaciones n: número total de objetos r: número de objetos que se dispondrá 106 . se denomina combinaciones de tamaño r a todos los conjuntos que se pueden formar con r elementos tomados de entre los n elementos. de modo que cada conjunto difiera de los demás en por lo menos un elemento.COMBINACION Dado un conjunto de n elementos. de Pinturas le han pedido que diseñe códigos de color para 42 elementos distintos.A un Dpto. Se van a utilizar tres de cada uno. ¿serán adecuados siete colores tomados de tres cada vez para codificar las 42 partes mecánicas ? Ejemplo 1: 7C3 = 7! 3!(7 – 3)! = 35 107 . se sugirió que se colocaran solo dos colores en cada una.Ejemplo 2: Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el párrafo anterior. 8! = 56 C = 8 3 3!(8 – 3)! Como un plan alternativo para codificar por color las 42 partes. ¿Serian adecuados 10 colores para codificar las 42 partes? 10! 10C2= = 42 2(10 – 3) 108 . sin reparar en el diferente orden en el que cada grupo podría elegirse. es: Solución: .Ejemplo 3: Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social con un total de 10 miembros para que integren un comité. El número de grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos. 3 = . si todos los candidatos son igualmente eficientes. ¿De cuántas maneras se puede efectuar la asignación? Solución: P7.Ejemplo 4: Hay 7 candidatos para desempeñar 3 tareas. C. D y E para los entrenamientos en un bolso. orden en que recibirán los balones. ¿De cuántas maneras pueden salir del bolso los balones? Solución: El grupo 1 puede recibir cualquiera de las 5 marcas. el grupo 2 puede recibirlos balones de 4 marcas el grupo 3 de 3 marcas. el grupo 4 de 2 marcas el grupo 5 puede recibirlo únicamente de la marca que no se haya entregado. B. .Ejemplo 5: Un entrenador de fútbol tiene 5 balones de las marcas A. Forma 5 equipos numerados del 1 al 5. El número de ordenaciones de 5 balones en una fila de grupos es: 5 4 3 2 1 = 5! = 120. Ejemplo 6: Verificar las 56 combinaciones mencionadas en el párrafo anterior. se sugirió que se colocaran solo dos colores en cada una. ¿Serian adecuados 10 colores para codificar las 42 partes? 10! = 42 C = 10 2 2(10 – 3) 112 . 8! 8C3 = 3!(8 – 3)! = 56 Como un plan alternativo para codificar por color las 42 partes. De cuantos modos se pueden distribuir las cinco vacantes? Solución: FÓRMULA: n r C = n! r!(n . r= número de objetos seleccionados. y hay diez profesionales listos para ocupar estas vacantes.r)! = 10! 5!(10-5)! = 10! 5!(10-5!) = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 5*4*3*2*1(5*4*3*2*1) = 30240 = 252 120 Donde: n= número total de objetos. 113 .Ejemplo 7: La Empresa “El Cafetal”. tiene vacantes cinco puestos de gerentes. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%. a) Seleccionamos una pieza al azar. respectivamente. producen el 45%. del total de las piezas producidas en una fábrica.• Ejemplo 8: Tres máquinas. calcula la probabilidad de que sea defectuosa. 30% y 25%. c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Solución: . al azar. una pieza y resulta ser defectuosa. B y C. b) Tomamos. 4% y 5%. A. calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. a) Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa. por la propiedad de la probabilidad total. P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.30 · 0.04 + 0. La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.03 + 0.45 · 0. P(D).05 = 0.• Solución del Ejemplo 8: Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa".25 · 0.038 . . Por el teorema de Bayes.Solución del Ejemplo 8: b) Debemos calcular P(B/D). obtenemos: La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A .Solución del Ejemplo 8: c) Calculamos P(A/D) y P(C/D). comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes. Title and Content Layout with List ▪ Add your first bullet point here ▪ Add your second bullet point here ▪ Add your third bullet point here . Title and Content Layout with Chart Chart Title 6 5 4 3 2 1 0 Category 1 Category 2 Series 1 Series 2 Category 3 Series 3 Category 4 . Two Content Layout with Table ▪ First bullet point here ▪ Second bullet point here ▪ Third bullet point here Class 1 Class 2 Class 3 Group A 82 76 84 Group B 95 88 90 . Two Content Layout with SmartArt Group A • Task 1 • Task 2 ▪ First bullet point here ▪ Second bullet point here ▪ Third bullet point here Group B • Task 1 • Task 2 Group C • Task 1 .