ETAPA 21 2 ETAPA CONTROL ANALOGICO CURSO FABIAN BOLIVAR MARIN TUTOR JOSE RAMON VALENCIA QUINTERO CARLOS ROMULO ARANA JOSE EDER BONILLA HERMES FERNANDO MARTINEZ GRUPO 299005_22 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA SANTIAGO DE CALI, NOVIEMBRE DE 2015 ETAPA 2 2 1. INTRODUCCION Existen muchos procesos y sistemas dinámicos, en la naturaleza y en la industria que necesitan ser analizados y representados mediante modelos matemáticos. En este trabajo colaborativo analizaremos un sistema en el que debemos diseñar un controlador de velocidad para un motor DC, y a partir de su función de transferencia analizar la dinámica del sistema en el dominio de la frecuencia. Lo anterior será desarrollado a través de un trabajo por etapas donde cada integrante del grupo hará un análisis del problema y lluvia de ideas, una propuesta metodológica, un diseño y plan de ejecución y, por último, se consolidara un producto final dando cumplimiento a la fase de presentación de resultados. ETAPA 2 3 2. OBJETIVOS Analizar la dinámica de los sistemas con relación a su respuesta en frecuencia. Identificar e implementar las simulaciones del controlador diseñado. Verificar y argumentar cada uno de los resultados obtenidos. Según especificaciones técnicas de los motores. . la empresa ha decidido incorporar módulos controladores en las tarjetas principales de los reproductores. Sin embargo. su función de transferencia es: G ( s )= 10 s +6 s+ 4 2 Como requisitos de diseño se necesita que la velocidad del motor una vez implementado el módulo no difiera en más del 20% del valor requerido. además del proceso de diseño detallado descriptiva y matemáticamente.ETAPA 2 3. Por tal razón. el motor debe estabilizarse en máximo 2 segundos y debido a que velocidades altas del eje del motor pueden dañarlo. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA:4 Una empresa multinacional reconocida dedicada a la fabricación de reproductores DVD y Blu-Ray montó un punto de fábrica en Colombia. con las respectivas simulaciones que demuestren que dicho controlador cumple con los parámetros del diseño propuesto. ha decidido contratar a un grupo de estudiantes de Ingeniería Electrónica de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia para que diseñe un prototipo de controlador que permita mantener el motor DC girando a una velocidad constante para que la lectura del disco óptico sea óptima. cumpliendo con los estándares de calidad necesarios en la producción de dichos electrodomésticos. La empresa solicita al grupo de estudiantes que se entregue la función de transferencia del controlador. Se debe garantizar igualmente un funcionamiento aceptable del controlador ante perturbaciones que se puedan presentar por fallas eléctricas o señales parásitas en el sistema. se requiere un sobrepaso máximo del 10%. Para corregir este problema. además. desde hace un tiempo se han venido presentando problemas en el funcionamiento de los motores de corriente continua (DC) usados para implementar el mecanismo que hace girar los discos ópticos en los reproductores. Además. ya que giran a velocidades diferentes a las establecidas por la empresa para el correcto funcionamiento de los reproductores o cambian constantemente de velocidad. por las características del reproductor. Proporcional integrador o proporcional integrador derivativo. Para la simulación. podemos utilizar el programa Matlab o SciLab. 4. por lo que debemos analizar el sistema y escoger entre control proporcional. Habiendo escogido el controlador. Si analizamos la información que nos da el problema tenemos la siguiente función de transferencia: G ( s )= 10 s +6 s+ 4 2 Para el primer punto podemos construir un diagrama de Bode y analizar los resultados con una gran variedad de herramientas computacionales de las que se pueden disponer. . Para el segundo punto. construir el controlador diseñado por el grupo y probar la señal de salida de acuerdo a una entrada dada. Lo mejor es hacer este diagrama manualmente y paso a paso. se deben realizar todos los cálculos respectivos. debemos decidir cuál es el controlador más adecuado para nuestro sistema. en consenso con el grupo. haciendo esto no vamos a tener la oportunidad de adquirir habilidades que nos permiten tener la intuición para saber los efectos que van a tener los nuevos polos y ceros que se vamos añadiendo en el diagrama de Bode. RESUMEN DEL ANALISIS DEL GRUPO El trabajo que debemos hacer en la etapa 2 consiste en diseñar un compensador para el lector de DVD en el que se debe hacer un análisis de la dinámica del sistema en el dominio de la frecuencia.ETAPA 2 5 un coeficiente de amortiguamiento (ζ) de se necesita que el sistema en lazo cerrado tenga 0.6 a una frecuencia (ωn) de 4 rad/seg. sin embargo. Sistema Dinámico Un sistema dinámico es aquel cuya salida actual depende de las entradas pasadas. Cualquier sistema que contiene al menos un elemento dinámico debe ser un sistema dinámico. se dice que el elemento exhibe una Causalidad Integral. este sistema recibe del entorno unas señales de entrada y entrega a su entorno unas señales de salida. Un sistema estático contiene todos los elementos estáticos. . Causalidad Integral Cada vez que la salida de un elemento es la integral de la entrada y la dirección de la relación causa-efecto no es reversible.ETAPA 2 6 5. El sistema tiene sus fronteras definidas de forma precisa. Perturbaciones Son señales que no pueden ser manipuladas y se pueden dividir en aquellas que se pueden medir directamente y en otras que son solamente observadas a través de su influencia sobre la salida. Señales Las señales son el medio a través del cual el sistema interactúa con su entorno. LISTADO DE CONCEPTOS CONOCIDOS Sistema Una combinación de elementos que interactúan en conjunto para lograr un objetivo Sistema Estático Un sistema estático es aquel cuya salida en un momento determinado sólo depende de la entrada en ese momento. Elemento Dinámico Si la salida actual de un elemento depende de las entradas anteriores. se dice que es un elemento dinámico. económicos. biológicos. Las ED se utilizan para describir el comportamiento de sistemas. ya sean mecánicos. Identificación de Sistemas Es una aproximación experimental que utiliza el modelo de caja negra o modelo de entrada salida. Estrategia Hibrida Es una combinación de los dos anteriores modelos que emplea el conocimiento que esté a la mano acerca de la estructura interna del sistema y las leyes que rigen su comportamiento. térmicos. y se emplean observaciones para determinar la información que haga falta. en lo único que interesa es que el sistema muestre una buena relación entre la entrada y la salida del sistema real. en los cuales sus parámetros tienen un significado físico y se trata de descomponer el sistema en subsistemas más simples. Modelamiento de Sistemas Es un modelo obtenido a través de modelo de caja blanca o modelo interno. eléctricos. Sistema LTI .ETAPA 2 Elemento Estático 7 Cuando el valor actual de salida de un elemento sólo depende del valor actual de su entrada. Ecuaciones Diferenciales (ED) Es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. etc. el teorema proporciona un criterio capaz de determinar en cuál semiplano (izquierdo o derecho) del plano complejo están localizadas las raíces del denominador de la función de transferencia de un sistema. dirigir o regular el comportamiento de otro sistema. la salida del sistema también será multiplicada por el mismo factor. conocer si dicho sistema es estable o no. ordenar. Es aquel sistema en que solo actúa el proceso sobre la señal de entrada y da como resultado una señal de salida independiente a la señal de entrada. Criterio de Estabilidad de Routh Hurwitzz El teorema de Routh–Hürwitz sirve para analizar la estabilidad de los sistemas dinámicos. Un sistema es lineal (L) si satisface el principio de superposición. que un sistema sea aditivo significa que si la entrada es el resultado de la suma de dos entradas. Sistema Control de Lazo Abierto En los sistemas de control de lazo abierto la salida se genera dependiendo de la entrada. con el fin de reducir las probabilidades de fallo y obtener los resultados deseados. Básicamente. Por lo general. Sistema de Control Es un conjunto de dispositivos encargados de administrar. pero basada en la primera. una misma entrada nos dará el mismo resultado en cualquier momento (ya sea ahora o después). y en consecuencia. Esto significa que los parámetros del sistema no van cambiando a través del tiempo y que por lo tanto. se usan sistemas de control industrial en procesos de producción industriales para controlar equipos o máquinas.ETAPA 2 8 Son sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados lineales e invariantes con el tiempo y que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales. Un sistema es invariante con el tiempo si su comportamiento y sus características son fijas. que engloba las propiedades de proporcionalidad o escalado y aditividad. Por otro lado. Que sea proporcional significa que cuando la entrada de un sistema es multiplicada por un factor. la salida será la resultante de la suma de las salidas que producirían cada una de esas entradas individualmente. Esto . Es decir. Sistema Dinámico Un sistema dinámico es aquel cuya salida actual depende de las entradas pasadas. Cualquier sistema que contiene al menos un elemento dinámico debe ser un sistema dinámico. El sistema tiene sus fronteras definidas de forma precisa. Sistema Estático Un sistema estático es aquel cuya salida en un momento determinado sólo depende de la entrada en ese momento. la señal de salida no se convierte en señal de entrada para el controlador. Un sistema estático contiene todos los elementos estáticos. 6.ETAPA 2 9 controlador para que éste pueda ajustar la significa que no hay retroalimentación hacia el acción de control. LISTADO DE CONCEPTOS DESCONOCIDOS Diagrama de Bode . Señales Las señales son el medio a través del cual el sistema interactúa con su entorno. este sistema recibe del entorno unas señales de entrada y entrega a su entorno unas señales de salida. Sistema de Control de Lazo Cerrado Son los sistemas en los que la acción de control está en función de la señal de salida. Los sistemas de circuito cerrado usan la retroalimentación desde un resultado final para ajustar la acción de control en consecuencia. Así mismo. con condiciones iniciales nulas. es decir. Entrada Impulso Unitario Una señal de entrada del tipo escalón permite conocer la respuesta del sistema frente a cambios abruptos en su entrada. Respuesta Impulso La respuesta impulso de un sistema lineal es la respuesta del sistema a una entrada impulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. En física. Función Delta de Dirac . la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Para el caso de sistemas continuos la entrada corresponde a la función delta de Dirac. una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Normalmente consta de dos gráficas separadas. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Hendrik Wade Bode. la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas. Además.ETAPA 2 Un diagrama de Bode es una representación 10 gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. nos da una idea del tiempo de establecimiento de la señal. cuanto se tarda el sistema en alcanzar su estado estacionario. Recibe su nombre del científico estadounidense que lo desarrolló. Función de transferencia La función de transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempo se obtiene realizando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial característica del sistema. Diagrama de Bloques Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. el comportamiento transitorio y la estabilidad del sistema. La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales. La ventaja de este procedimiento era que el diagrama de polos y ceros se podía interpretar para obtener información sobre la respuesta en frecuencia de estado estable. Estado Estacionario Un sistema lineal estable alcanza el régimen o estado estacionario cuando. Regla de Mason Es un método para la obtención de la función de transferencia de un sistema a partir de su diagrama de bloques. el punto de suma. en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0. como distribución. es la función F(s). Transformada de Laplace La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Los elementos de un diagrama de bloques son el bloque. el punto de bifurcación y las flechas que indican la dirección del flujo de señales.ETAPA 2 La delta de Dirac o función delta 11de Dirac es una distribución o función generalizada introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac y. Polos y Ceros Por medio de la consecución de la posición de los polos y ceros de una función de transferencia se puede deducir el comportamiento de un sistema de tiempo continuo. la respuesta transitoria decae a cero. define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. al ser excitado por una señal de entrada. . Analizar la respuesta en frecuencia del Responsable sistema planteado. y que cada uno se comprometa a dar una solución correcta y oportuna a la actividad que le corresponde entregar. diagrama de Nyquist. En otras palabras. etc.ETAPA 2 12 Sistema Dinámico BIBO Un sistema dinámico es BIBO estable si cualquier entrada acotada produce una salida acotada. En ese orden de ideas. elaborar el diagrama CARLOS ROMULO ARANA de Bode y analizar los resultados. a continuación realizo una lista de las actividades y el respectivo responsable de realizarla: Actividad 1. 3. 7. METODOLOGIA EMPLEADA PARA LA INVESTIGACION (Por José R Valencia Extraído del foro) “Es preciso que todos aportemos en la realización de todos los puntos. Se deja HERMES MARTINEZ de libre elección que el grupo elabore un análisis adicional en frecuencia usando otros métodos como diagramas polares. pienso que debemos distribuir cada una de las actividades del trabajo entre todos los integrantes del grupo. De acuerdo al análisis de la dinámica del sistema y su respuesta en frecuencia. sin embargo. si ante entradas de valor finito la respuesta (su valor absoluto) no tiende a infinito. debatir en el grupo qué tipo de controlador será el más adecuado para lograr el TODOS . realimentación y aceptación de los aportes. El grupo deberá decidir si usa un P. compensador en adelanto.ETAPA 2 objetivo planteado y las condiciones 13 requeridas. Consolidación del Trabajo. etc. 5. con el fin de aparecer en la portada del producto final. Lamentablemente algunos solo realizan aportes a las fases 1 y 2 que no contribuyen mucho a la solución. Se deben incluir todos los JOSE EDER BONILLA procedimientos intermedios y matemáticos. PID. 4. PI. Simular el controlador diseñado y JOSE RAMON VALENCIA verificar los resultados. Recordemos que el aporte más importante es el que se realiza en la fase de diseño y ejecución del plan de acción en la cual le damos solución al problema planteado. y espero que esto cambie ya que todos somos responsables de dar solución al problema. La idea es que efectuemos nuestros aportes oportunamente antes del 10 de noviembre para que tengamos tiempo para la revisión. compensador en atraso. Realizar el diseño del controlador LUIS CARLOS CASTELLANOS seleccionado. “ Método de investigación El método de investigación utilizado por el grupo es el siguiente: Método lógico deductivo . Tener en cuenta que a partir de una función de transferencia podemos realizar un desarrollo de la actividad del trabajo la cual me pide diseñar un compensador. DISEÑO Y EJECUCION DEL PLAN DE ACCION PARA LA SOLUCION DE LAS TAREAS DE LA ETAPA 8. a partir de los conocidos.1. Se debe concreta basados en los resultados del sistema y el análisis de todos las personas del grupo colaborativo o grupo de investigación el tipo de control a utilizar. También sirve del tema con el fin de familiarizarse. G ( s )= 10 s +6 s+ 4 2 Factorizo ecuación de segundo grado 2 2 s +6 s +4 Entonces a +bs +c . primero consiste en encontrar principios desconocidos. Las definiciones abstractas conducen a la reproducción de los concreto por medio del pensamiento. elaborar el diagrama de Bode y analizar los resultados. El papel de la deducción en la investigación es doble. Lo concreto en el pensamiento es el conocimiento más profundo y de mayor contenido esencial. Analizar la respuesta en frecuencia del sistema planteado. Método de concreción Lo concreto es la síntesis de muchos conceptos y por consiguiente de las partes. adaptarse y conocer el significado y tener más claridad ante los términos utilizados durante el desarrollo del trabajo colaborativo.ETAPA 2 Como ya observamos desconocidas se crearon una 14 serie de palabras tanto conocidas como juicios. 8. 76 2 2 x 2= −6−4. a .47 = =−5.235 2 2 La frecuencia será de: ω 1=−0.47 rad / seg Ahora hallamos la ganancia (K) de dos formas: Primera forma . c 2.76 rad / seg ω 2=−10.47 −10.ETAPA 2 15 −¿ √ 2 b −4. a +¿ ¿ x=−b ¿ +¿ −¿ √ 6 −(4∗1∗4) 2∗1 −6 ¿ x=¿ 2 +¿ −¿ √36−16 2 −6 ¿ x =¿ +¿ −¿ √20 2 −6 ¿ x=¿ +¿ −¿ 4.53 = =−0.47 2 −6 ¿ x=¿ x 1= −6+ 4.47 −1. log∗ω 2 N ° dec= ω1 N ° dec= log∗−10.5=8 dB Hallo el número de décadas.762 Hallo los decibeles de ganancia restando. Para la realización del grafico se utilizó el programa scilab.gp) bode(sl) // diagram bode// .235 ) 4 Hallo los decibeles 20 log K 20 log 2. s=poly(0. dB=N ° dec∗(−20 dB/dec ) dB=−0.8381∗(−20 dB / dec) dB=16. // defino el valor de s// gp=10/(s^2+6*s+4).5 ( 0.5 4 s +6 s+ 4 2 Segunda forma 10 K= Reemplazo valores sin tener en cuenta( s) ( s−0. dB=8 dB−16.235) K= 10 10 = =2.// valor de la función de transferencia// sl = syslin('c'.762dB dB=8.76 ) ( 5.76 ) (s−5.ETAPA 2 G ( s )= 10 10 16 Entocestomo =2.'s').762 dB de ganancia.8381 decadas Hallo decibeles por década.47 rad /seg −0.76 rad /seg N ° dec=−0. 2 s=%s/(2*%pi).gp).4 2. diagrama de Nyquist. Diagrama de Nyquist de G ( s )= 10 s +6 s+ 4 clf.gp1). nyquist(gs).//valor de la función de transferencia s1// gs=syslin('c'. etc. // defino el valor de s// s1 = -s// defino el valor de s1// gp=10/(s^2+6*s+4). gs1=syslin('c'.8 -2 2]).ETAPA 2 17 Se deja de libre elección que el grupo elabore un análisis adicional en frecuencia usando otros métodos como diagramas polares. nyquist(gs1). .// valor de la función de transferencia// gp1=10/(s1^2+6*s1+4). mtlb_axis([-0. De acuerdo al análisis de la dinámica del sistema y su respuesta en frecuencia. etc. compensador en atraso. PID.3 . El grupo deberá decidir si usa un P. debatir en el grupo qué tipo de controlador será el más adecuado para lograr el objetivo planteado y las condiciones requeridas. compensador en adelanto.ETAPA 2 xtitle('Digrama de nyquist (10/(s^2+6*s+4)')18 8. PI. . Como ya habíamos calculado K=2.ETAPA 2 19 8.5 y el error de estado estacionario seria de y K=Kp entonces. Realizar el diseño del controlador seleccionado. .4. K p s+ K i X (s ) = 3 2 F ( s ) s +6 s + ( 4+ K p ) s+ K i Control proporcional integral derivativo PID con la función de transferencia dada. K d s+ K p X (s ) = 2 F ( s ) s +( 6 s+ K d )+(4+ K p ) Control proporcional integral PI con la función de transferencia dada. .ETAPA 2 20 Ki= K corrige el off set Ti Kd=K∗Td Anticipa el tiempo 1 G ( s )=Kp+ Ki + Kd∗s s G ( s )= 10 s +6 s+ 4 2 Control proporcional P con la función de transferencia dada Kp X (s ) = 2 F ( s ) s +6 s+(4+ K p) Control proporcional derivativo PD con la función de transferencia dada. ETAPA 2 +Kd 6¿ s ¿ s3 +¿ 2 X ( s ) K d s + K p s+ K i = ¿ F ( s) 2 6 ¿ s + ( 4 ) s+ K i=0 3 s +¿ +K d 6 ¿ jw ¿ ( jw )3+ ¿ − jw 3+ 6 j 2 +4 w+ Ki=0 K i=12 w=√ 4 w=2 Pcr = 2π w Pcr = 2π 2 Pcr =3.1416 Kp=Ki∗Ti 21 . 5∗3 .5∗Pcr Ti=0.84 Kp=0.1416 Ti=1.125∗3 .40 s De acuerdo a los valores obtenidos.57 22 Kp=18.57 0.57 s Td=0.40 .31 Ti=0.84 1.125∗Pcr Td=0.ETAPA 2 Kp=12∗1. se construye la siguiente tabla: Parámetro Kp Ti Td Controlador PID 18.1416 Td=0.6∗Kcr Kp=0.84 Kp=11.6∗18. .ETAPA 2 23 8. Para ello creamos el diagrama de bloques en lazo cerrado en el que se encuentra el controlador PID realizando la compensación al motor DC representado por su función de transferencia. Simular el controlador diseñado y verificar los resultados. En la imagen se muestra como se parametriza la función de transferencia para crear el bloque.5. Utilizamos el software MATLAB para realizar la simulación del compensador del motor de DC para las unidades de DVD de la compañía. . hacemos click sobre él y seleccionamos la opción “Controller PID” para luego introducir los parámetros que calculamos de Kp. Ti y Td.ETAPA 2 24 En la siguiente figura. habiendo creado el bloque del Controlador. . simulamos nuestro diagrama obteniendo la siguiente salida en el osciloscopio.ETAPA 2 25 Por último. Posiblemente los cálculos teóricos no son los más acertados por lo que debemos hacer algunos ajustes. Método de Diseño Utilizado Ziegler Nichols por respuesta escalón: .ETAPA 2 26 Podemos observar que la compensación del controlador no es muy satisfactoria por lo que existe mucha variación antes de estabilizarse. 01:7. >> d2y=diff(y)/0.01. >> [m.ETAPA 2 [ GPID=K 1+ 1 +TDs Tls >> s=tf('s') Transfer function: s >> num=10 num = 10 >> den=[1. >> yi=y(p) yi = 0.01.den) Transfer function: 10 ------------s^2 + 6 s + 4 >> t=0:0.4374 >> ti=t(p) ti = 0.6. >> y=step(gs. >> dy=diff(y)/0.4300 >> L=ti-yi/m ] 27 .4] den = 1 6 4 >> gs=tf(num.p]=max(dy).t). [0 0 y (end).4861 plot(t. tiene un tiempo de subida eficiente.y(end)].y. .'k') T=0.ETAPA 2 28 L= 0.3318 L=0.'b'.[0 L L +T t(end)].0812 Señal sin sintonizar Señal Sintonizada El controlador PID se obtiene óptimos resultados para este problema.1118 >> T=[y(end)]-yi/m+ti-L T= 2. ya que se alcanza el valor deseado rápidamente sin variaciones.1416 Td=0. también se realiza unos ajustes de sintonía con los siguientes valores: Kp=4 Ti=3.ETAPA 2 29 Por otro lado. .7854 Se logra obtener la siguiente respuesta del sistema: Podemos observar que esta respuesta es optima. Se alcanza a exponer temas de diseño de controladores con los métodos aprendidos. El trabajo colaborativo por fases es una buena metodología en el sentido que nos permite realizar una mejor planeación de las actividades para no incurrir en los afanes de realizar aportes a última hora. se aplican las formulas planteadas y se visualizan los diagramas. . y obtener las representaciones graficas que nos permitan visualizar el comportamiento del sistema.ETAPA 2 30 CONCLUSIONES MATLAB y SCILAB son herramientas poderosas para comprobar si los cálculos obtenidos son correctos. youtube. Recuperado de: https://www. [En línea]. 2014. Noviembre 30 de 2014. Recuperado de:https://www. 2013. Diseño de un controlador PID. Formato APA para la presentación de trabajos escritos.com/2013/formato-general-para-la-presentacion- de-trabajos-con-normas-apa/ EdutecnicaChile. Respuesta función de segundo orden a un escalón unitario – Simulación Matlab – Transfer function. [En línea]. Colombia: Pontificia Universidad Javeriana. España. 2014. Recuperado de:http://normasapa. Formato video.).com/watch?v=1vazS0TYVdc Itfigueres.com/watch?v=gVKgW5zh_iE . Formato PDF. Formato video.youtube. Marzo 30 de 2014.ETAPA 2 31 BIBLIOGRAFIA Centro de Escritura Javeriano (Ed. [En línea].