ACADEMIA PREPOLICIAL “LÍDERES”RAZ. TEMA: TEORÍA DE CONJUNTOS CONCEPTO Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C ....... etc, o entre llaves { } y sus integrantes generales separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; ) Ejemplos: A = {1; 4; 6; 8; 10; 12} B = {a; e; i; o; u} C = (x/x3 – 3x2 + 2x – 1 =0) RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión o Subconjunto El conjunto A está incluido en B, cuando todos, los elementos de A son también elementos de B; es decir: ABxA xB Notas 1. A A, A 2. A = “Conjunto vacío o nulo” 3. Si A = B y además A B entonces A es subconjunto propio de B. Para determinar la cantidad de subconjuntos “n” arios (binarios ternarios, etc) de un conjunto que tiene “k” elementos, se tiene: . n Subconjunto n arios = Cnk . CONJUNTO ESPECIALES Conjunto Vacío: Llamado también conjunto nulo, se le denota con o { } se le considera incluido en cualquier otro conjunto. A; A Conjunto Unitario Conjunto Unitario Llamado singletón, tiene un solo elemento: Conjunto Potencia (P(A)): El conjunto formado por todos los subconjuntos que tiene A, se le denota con P(A) y tiene 2n elementos donde, “n” es el número de elementos de A. Ejemplo: Si A = {m, n} Entonces: P(A) = {}: {m}; {n}; {m; n} Nota 1. Si A B P(A) P (B) 4. Si n(A) = ik entonces el número de subconjuntos de A: 2n(A) = 2k Ejemplo: Sea A = {2; 4; 6} Subconjuntos: : {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6} Se observa 23 = 8 elementos. PROFESOR: RAMOS LABORIO JHONNY 2. Si x P(A) x A 3. Del ejemplo podemos deducir que el número de subconjuntos propios de A es 2n(A) – 1. en conclusión A tienen tres subconjuntos propios. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Reunión ∪ A ∪ B = {x/x A ó x B} A.P.L 14 13 A) Gráficamente: A∩B A∩B A A A A ∩ ∩ ∩ ∩ A∩B= B = B ∩A = (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A=A AB AB Diferencia AB A B = (A ∪ B) – (A ∩ B) A B = AC BC RELACIONES CON CARDINALES 1. .ACADEMIA PREPOLICIAL “LÍDERES” RAZ. Para dos conjuntos cualesquiera A y B A – B = {x/x A y x B} Gráficamente: . n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B) . PROBLEMAS PARA LA CLASE 18 17 1. 2 < x < 8} A. Gráficamente: Diferencia A∪B A A A A A∪B ∪ ∪ ∪ ∪ A∪B B=B∪A A=A (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C =A Intersección ∩ A ∩ B = {X/X A Y X 15 A – B = {x/x A y x B} Gráficamente: A–B A–B B} A–B A – B = ∩ BC Gráficamente: Diferencia Simétrica () A B = (A – B) ∪ (B . n(A ∪B) = n(A) + (B) – n(A ∩ B) .L .B) = n(A) – n(A ∩ B) . Sí: M ={x/x Z.P. n(A . -6 < x < -1} N ={-x/x Z. A–B A–B A–B A – B = ∩ BC Complemento de A Notación: A CUA = = AC = A´= U – A AC = {x/x U x A} Gráficamente: PROFESOR: RAMOS LABORIO JHONNY . ¿Cuántas personas leen los 3 diarios? Rpta. ¿Cuántos aprobaron ambos cursos? Rpta. 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los 2 artefactos. F. de los cuales 10 gustan PROFESOR: RAMOS LABORIO JHONNY A. Ricardo comió huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas en el mes de diciembre. del curso de sociales y 16 gustan del curso de inglés. Si cada uno de éstos juega por lo menos alguno de éstos.L . ¿Qué operación representa la zona sombreada? A B C Rpta. En una encuesta realizada a 120 personas.: 6. 35 leen expreso y extra y 60 leen el comercio y extra.: 8. ¿Cuántos juegan ambas cosas a la vez?. notamos que 55 leen el comercio y expreso. De 100 personas que leen por lo menos 2 ó 3 diarios. Si todos leen al menos 2 periódicos.: 3. En una industria de 80 personas: 47 tienen refrigeradora.: PROBLEMAS PARA LA CASA 1.: 4. ¿Cuántos gustan a la vez de los 2? Rpta.: 2. En la sección de 3 “B” hay 23 alumnos. ¿Cuántas personas tienen solo computadora? Rpta.: 9.: 10. La región sombreada en el diagrama Rpta. sobre los diarios que leen se encontró que: 47 personas leen Expreso.ACADEMIA PREPOLICIAL “LÍDERES” Q ={x/x Z. En un salón de 40 alumnos se tomaron 2 exámenes: X. Si 17 mañanas comió huevos y 27 mañanas comió fruta. Rpta.P. ¿Cuántas personas leen El Comercio y el Expreso?. De 120 amigos que tengo 92 juegan ajedrez y 32 juegan nintendo. 72 leen El Comercio y 27 leen otros diarios. se sabe que 14 alumnos aprobaron solo X y 8 aprobaron solo F y 6 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántas mañanas comió ambas cosas? Rpta.: 5. RAZ. si todos gustan de al menos uno. x < 10} Hallar (M g Q) – (N g Q) Rpta. 49 no estudian Lengua y 53 no estudian Matemáticas. ¿Cuántos alumnos desaprobaron los dos cursos mencionados.B) ∩ (C ∪ B) B) (B . ¿Cuántos estudian sólo un curso? A) {2.4} B) {2. ¿Cuál es la alternativa que representa la región achurada? A) (A ∩ B) – C B) (A ∩ C) . 1} D) {1. Si: n(A B) = 8 n(A ∩ B) =2 Hallar: n(A ∪ B) 8. 5} E) {3.A 9. De 40 alumnos de una sección.L .4} C) {2. De un grupo de 100 universitarios. 5} A C) 5 A E) {{{5}}} A B) {5} A D) {{5}} A 7. Si 27 no estudian ninguno de ninguno de los cursos mencionados.P. 6 probaron física y química. si los que aprobaron química fueron 7? A) 18 D) 10 B) 15 E) 6 C) 12 4. x +2} A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) N.C)} ∪ C D) {(A ∩ B) – C } ∪ {C – (A ∪ B)} E) N. Hallar ”x” si el conjunto es unitario: A = {2x – 3. Determine el conjunto “B”: B = {x/x2 – 5x + 6 = 0} Representa la operación: A) (A .C) ∩ (B . 3} 6.B C) (A ∩ B) ∩ C A) 8 PROFESOR: RAMOS LABORIO JHONNY A. 15 aprobaron física. {5}} ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) {3.A) ∪(C ∪ B)-(C ∩ D) C) AyB son correctas D) (B – A) ∪ (C . Del gráfico: ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región sombreada achurada? A) (A . A A) 28 B) 38 C) 48 D) 58 E) 18 3. Si: a = {3. D) 11 5.B) ∪ {A ∪ B} B) (A B) ∪ C C) {(A .ACADEMIA PREPOLICIAL “LÍDERES” RAZ.D) ∪ (D – C) E) ByD son correctas 2. Si A tiene 3 elementos. y su compasión jamás se agota PROFESOR: RAMOS LABORIO JHONNY A.P.A RAZ.ACADEMIA PREPOLICIAL “LÍDERES” D) (A ∩ C) ∪ {B – (A ∪ C)} E) N.A C) 8 El gran amor de Dios nunca se acaba.L . 10. Hallar n[P(A)] A) 2 B) 4 D) 16 E) N.