Conjunto de Partida y Conjunto Llegada

Conjunto de partida y conjunto llegadaA modo de recapitulación, podemos definir función de la siguiente manera: Una función es una correspondencia entre dos conjuntos A y B no vacíos, en la cual para todo elemento que pertenece al conjunto A existe un solo elemento, y solo uno, que pertenece al conjunto B al cual se le asocia o corresponde. Para simbolizar que se ha establecido una función f, de un conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación: f:A→B Criterio de la función En un sentido abstracto, calcular una función consiste en examinar la correspondencia general de “y” con respecto a “x”, expresado en la fórmula abstracta: y = f(x) Esta fórmula establece que la magnitud “y” está, de modo general, en función de “x”. Ojo, que la magnitud “y” corresponde a lo que luego llamaremos “imagen”, y que depende del valor que se le asigne a “x” (que será la “preimagen”) en f(x). La notación y = f (x) se lee “y” es una función de “x” o “y” es igual a f de x (esta notación no significa f por (x)). Obviamente en lugar de “x” e “y” hubiésemos podido emplear “variable”, y escribirlo así: Variable dependiente = f (variable independiente) Ejemplo 1 Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 6} y su correspondencia es el doble. Entonces f(x) = 2x En efecto f(1) = 2 • 1 = 2 f(2) = 2 • 2 = 4 f(3) = 2 • 3 = 6 Tenemos 9. 3} Codominio = {2. 5. . * Al conjunto B se llama conjunto de llegada o codominio. Este conjunto es un subconjunto del codominio. respectivamente. se puede representar como f D. * Se llama rango (recorrido o ámbito) de una función al conjunto formado por las imágenes. 9. 11} Ámbito (rango o recorrido) = {3. 3. mediante el criterio de la función. 4. Entonces f(x) = 2x + 1 En efecto: f(1) = 2 • 1 + 1 = 3 f(3) = 2 • 3 + 1 = 7 f(5) = 2 • 5 + 1 = 11 Tenemos Dominio = {1. 3. 6} Ejemplo 2 Si A = {1. Para ilustrar los conceptos anteriores usaremos lo que se denomina Diagramas de Venn-Euler. 6} Ámbito (rango o recorrido) = {2. 7. 11} y su correspondencia es el doble más uno.Dominio = {1. 4. * Se llaman preimágenes a los elementos del conjunto de partida o dominio. 7. 5} y B = {3. 5. 2. 5} Codominio = {3. 11} Conceptos básicos de la función Dada una función f : A → B (es lo mismo que f : X → Y) se define: * El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio. se puede representar como f R ó f A. 7. * Se llaman imágenes a los elementos del conjunto de llegada o codominio que están asociados a una preimagen. 25} Ámbito (Af) = {1. codominio y el ámbito. 4} Codominio = {−1. codominio y el ámbito (rango o recorrido). Tenemos Dominio (Df) = {1. −4} Ámbito (Af) = {−1.2 3. Tenemos Dominio (Df) = {1. −2. 16} Ejemplo 4 Analizar el siguiente diagrama que representa una función y determinar el dominio. 9. 4.Ejemplo 3 Analizar el siguiente diagrama que representa una función y determinar el dominio. 2. −4} . 3. −3. 4} Codominio = {1. −2. 16. −3. 4. 9. x representa cada silla y f(x) el costo de fabricarla. lo cual significa que el costo es igual a multiplicar 350 por cada silla y sumarle el gasto fijo. f(2) = 350 • 2 + 2.000 f(2) = 2. Es decir: f(x) = 350x + 2.700. Cálculo de la imagen Debemos recordar que el conjunto de partida esta formado por las preimágenes y.100 f(8) = 350 • 8 + 2.Recuerde que los elementos del dominio se llaman preimágenes y los elementos del ámbito (rango o recorrido) se llaman imágenes.700.800} Ejemplo 6 Tenemos f(x)= x2 – 6x +7 ¿Cuál es la imagen de 10? Dado que nos preguntan por la imagen esto significa que 10 es una preimagen por lo que x = 10 f(10) = 102 − 6 • 10 + 7 f(10) = 100 − 60 + 7 .000 Por lo que el valor de la variable independiente x para la primera pregunta es 2. gastaría $2. 4. el concepto y los ejemplos anteriores nos permiten darnos cuenta que pensar así es un error.000 = 4.000 = 4.400 f(6) = 350 • 6 + 2. 6 u 8 sillas por día? Para este ejemplo. 8} Codominio: {2.700 Entonces si hace solamente 2 sillas en un día.700 en hacerlas.000 f(2) = 700 + 2. se llama dominio. Ejemplo 5 Un carpintero gasta $350 por cada silla que haga más un monto fijo de $2. 4. Debido a que es posible que el codominio y el ámbito estén compuestos por el mismo conjunto de elementos. 6.400.000 por día ¿cuánto gastará si hace 2 sillas por día? ¿Cuánto gastará si hace 4. suele pensarse que codominio y ámbito es lo mismo.000 = 3.800 Tenemos. 4. Para encontrar la respuesta sustituimos el valor de dicha variable en el criterio de la función. las preimágenes son los valores que toma la variable independiente. Además: f(4) = 350 • 4 + 2. De esto podemos decir que 2 es la preimagen de 2. 3. entonces: fD = {2.100. Despejando la incógnita de la ecuación que se forma se determina el valor de la variable. Sea f(x)= x2 – 6x + 7 ¿Cuál es la imagen de 7? Como nos preguntan por la imagen de 7. significa que 7 es una preimagen. Para este caso recordemos que en una función una imagen debe tener al menos una preimagen. conociendo la imagen y el criterio (el miembro de la derecha de la ecuación). Ejercicios Determine o calcule la imagen en cada caso 1. aunque puede tener más de una. Ejemplo 8 Si tenemos f(x)= 3x + 5 ¿Cuál es la preimagen de 11? Dado que nos preguntan por la preimagen esto significa que 11 es una imagen por lo que f(x) = 11 11 = 3x + 5 11 − 5 = 3x 6 = 3x 2=x La preimagen de 11 es 2. Ejemplo 7 Si tenemos f(x)= x2 – 6 ¿Cuál es la preimagen de – 5 ? Dado que nos preguntan por la preimagen esto significa que –5 es una imagen por lo que f(x) = –5 −5 = x2 – 6 − 5 + 6 = x2 1 = x2 x=±1 Las preimágenes de –5 son –1 y 1. .f(10) = 47 Cálculo de la preimagen Para calcular la preimagen de una función. se iguala el criterio de la función con la imagen que se tiene. Un carpintero gasta $ 1.500 por turista ¿tendrá ganancia ese día el hotelero? Determine o calcule la preimagen en cada caso 1. ¿Cuánto gastó el dueño del ferry hoy. ¿Cuánto gastará elaborando 25 empanadas? B. Para bajar un balde al fondo de un pozo se utilizan un sistema de palancas que necesitan 4 m.000 por atender la panadería de su familia durante sus vacaciones. de cuerda para poder colocarlo sobre la boca del pozo.000. ¿Cuál es la imagen de 50? 4. ¿Cuál es la imagen de 25? B. ¿Cuánto gastará elaborando 50 empanadas? En este caso el criterio de la función de costo es C(x)= 30x + 750. f(x) = – 3 (es la imagen) . si transportó 500 personas? 7. Un viejo ferry que transporta personas de un lado al otro del canal de Chacao gasta $ 25 por persona que transporte y un litro de aceite por día. Sea f(x)= 5x +12. Pero además le pagará $ 50 por cada nuevo cliente.500 por día. A. ¿Cuánta cuerda se necesita si se desea bajar el balde a 12 m. ¿Cuál será el costo de recibir a 15 turistas en un día? Si la tarifa diaria es de $ 3. 8. de profundidad del pozo? En este caso tomaremos el criterio de la función como P(x) = x + 4. Hallar la preimagen para cuando: a). ¿Qué costo tendrá fabricar 23 productos? P(x)=348x + 17.500. las preguntas serían: A. Y logró que 25 nuevos clientes regresaran por segunda vez. Un joven de séptimo año es contratado por su padre.500 10.300 por día ¿Cuánto gastara elaborando 56 sillas en un día? 6. f(x) = 27 (es la imagen) b). y le pagará $ 45. ¿Cuanto gastan en la elaboración de 350 pares de zapatos? En este caso el criterio de la función de costo es Z(x)=1.2. f(x) =47 (es la imagen) c). Sea f(x)= 3x2 – x +2 ¿Cuál es la imagen de 9? 3.275 por cada par de zapatos elaborado y tiene un gasto de $ 13. Aquí. El aceite cuesta $ 1. Un modelo de costo para un producto establece que tiene un costo fijo de $ 17. ¿Cuánto ganó el joven durante ese tiempo? 9.384 el litro. que por su forma de atender regrese a comprar una segunda vez.275x + 13. En una fábrica gastan $ 1. La pregunta sería ¿cuál es la imagen de 350? 5.000 en materiales por cada silla elaborada más un gasto fijo de $ 2. Una compañía hotelera de clase media realiza un análisis que establece que el costo diario por turista es de $ 975 más un cargo fijo de $ 20. Para elaborar empanadas una señora gasta $ 30 por cada empanada que hace además de $ 750 por día en gastos fijos.500 y un costo por unidad de $ 348. 250 f(x) = 842.d).275 por cada par de zapatos elaborado y tiene un gasto de $ 13.500 por día. Sea f(x)= x2 + 7 ¿Cuál es la preimagen de 7? f(x) = 7 (es la imagen) x es la preimagen 4.200 ¿cuántos pasteles habrá elaborado? En este caso el criterio de la función de costo es C(x)= 350x+1. f(x) = 39 3. f(x) =169 c).500 (es la imagen) x es la preimagen Resolvemos: 6. Hallar la preimagen para cuando: a). En una fábrica gastan $ 1.150 por día en gastos fijos. Un fabricante ha determinado que la función de costo de su producto está determinada por f(x)= 2x3 – 1. Si el gasto de hoy es fue de $ 842.500? f(x) = 2x3 − 1. donde x representa cada unidad que se fabrica por día.150 7. Para elaborar pasteles una señora gasta $ 350 por cada pastel que hace además de $ 1. Si sabemos que el día de hoy gastó $ 16. f(x) = – 13 (es la imagen) 2.500. f(x) = 57 d). Si en un día gasto $ 64.500 ¿cuántos zapatos habrá elaborado? .250. ¿Cuántas unidades de ese producto fabricaron? Que es lo mismo que preguntar ¿cuál es la preimagen de 842. Sea f(x)= 3x2 +2 ¿Cuál es la preimagen de 77? f(x) = 77 (es la imagen) x es la preimagen 5. f(x) = 15 b). Sea f(x)= 2x2 + 7. 500 . Un modelo de costo para un producto establece que tiene un costo fijo de $ 17. Si el último día del mes gasto $ 35.384 el litro.720 ¿Cuántas unidades se fabricaron? P(x)=348x + 17.500.509 ¿cuántas personas transportaron hoy? 10.275x + 13. Si el gasto de hoy fue de $ 3. Si es costo total de fabricar algunas unidades de ese producto fue de $ 22. Un carpintero gasta $ 1.500 y un costo por unidad de $ 348. El aceite cuesta $ 1.300 por día. Un viejo ferry que transporta personas de un lado al otro del canal de Chacao gasta $ 25 por persona que transporte y un litro de aceite por día.000 en materiales por cada silla elaborada más un gasto fijo de $ 2.En este caso el criterio de la función de costo es Z(x)= 1.300 ¿cuántas sillas habrá elaborado? 9. 8. 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