COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃOCRISTÓVÃO III APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – 2014 PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU AULA 15: Geometria Analítica CÔNICAS - RESUMO Quando um plano intersecta uma superfície cônica circular, a intersecção é uma secção cônica. Se o plano não passa pelo vértice do cone, a secção será uma elipse, parábola ou hipérbole, dependendo do ângulo que o plano forma com a base do cone. OBS: A circunferência é uma das secções cônicas no caso de = 0. ELIPSE: Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertencentes a um plano , seja 2c a distância entre eles. Elipse é o conjunto dos pontos P de cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c): Elipse = P | PF1 PF2 2a . ELEMENTOS PRINCIPAIS - F1 e F2: focos; O: centro; A1, A2, B1 e B2: vértices; - A 1 A 2 : eixo maior; B1B 2 B1B2 eixo menor; - 2c: distância focal; 2a: medida do eixo maior; - 2b: medida do eixo menor; - Relação notável: a2 = b2 + c2; - e: excentricidade (indica o quão “achatada” é a elipse). EQUAÇÃO REDUZIDA: Seja P = (x,y) ponto genérico da curva. P elipse PF 1 + PF2 = 2a. As equações são: y b x.y) ponto genérico da curva.0). . O: centro. . a OBS: Se o retângulo fundamental for um quadrado.A1. HIPÉRBOLE: Dados dois pontos distintos F1 e F2. B1 e B2: vértices. e: excentricidade.PF2 |= 2a. P hipérbole | PF 1 .2c: distância focal.F1 e F2: focos. .A 1 A 2 : eixo real ou transverso.( x c) 2 ( y 0) 2 ( x c) 2 ( y 0) 2 2a ( x c) 2 ( y 0) 2 2a ( x c) 2 ( y 0) 2 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 4cx 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 4 a 2 ( x c) 2 a 2 y 2 (a 2 cx) 2 a 2 x 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 2 y 2 a 4 2a 2 cx c 2 x 2 a 2 x 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 4 a 2c 2 ( a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 ) b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 a 2b 2 x2 y2 1 a2 b2 OBS: Equações da elipse nos casos em que os focos estejam no eixo OY ou ainda. Hipérbole é o conjunto dos pontos P de cuja diferença (em valor absoluto) das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c). seja 2c a distância entre eles. A2.Relação notável: c2 = a2 + b2. . pertencentes a um plano . 2a: medida do eixo real. caso o centro não seja a origem (0.r e s são chamadas assíntotas. . As assíntotas são: y x e e 2 . B1B 2 : eixo imaginário. EQUAÇÃO REDUZIDA: Seja P = (x. O ponto B1 e B2 são os vértices imaginário da hiperbole . Hipérbole = P | PF1 PF2 2a ELEMENTOS PRINCIPAIS . a hipérbole é chamada equilátera. .2b: medida do eixo imaginário. . y .y) um ponto genérico da curva com diretriz d de p p . caso o centro não seja a origem (0. ELEMENTOS PRINCIPAIS .0 . VF = p . 2 equação x x x p 2 p 2 2 2 p ( y 0) 2 x 2 p y2 x 2 2 ( y y) 2 2 x 2 px p2 p2 y 2 x 2 px y 2 2px 4 4 OBS: Equações da Parábola de acordo com a posição e coordenadas do vértice. PARÁBOLA: Dados um ponto F e uma reta d.e: eixo de simetria. seja p a distância entre F e d. Parábola = P | PF Pd . e o foco com as coordenadas F 2 2 p P = (x.y) pertence à parábola PF PP' .d: diretriz. com F d. . . pertencentes a um plano . .F: foco. 2 EQUAÇÃO REDUZIDA: Seja P(x. P' . Parábola é o conjunto dos pontos P de que estão à mesma distância de F e de d. .( x c ) 2 ( y 0) 2 ( x c ) 2 ( y 0) 2 2a ( x c ) 2 ( y 0) 2 2a ( x c ) 2 ( y 0) 2 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2 4cx 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 cx a 2 a ( x c ) 2 y 2 (cx a 2 ) 2 a 2 ( x c ) 2 a 2 y 2 c 2 x 2 2a 2 cx a 4 a 2 x 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 2 y 2 (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 a 2 b 2 x2 y2 1 a2 b2 OBS: Equações da Hipérbole nos casos em que os focos estejam no eixo OY ou ainda.0).p: parâmetro.V: vértice. uma reta ou duas retas concorrentes.Observações: 1) A intersecção de um plano com uma superfície cônica quando o plano passa pelo vértice chama-se cônica degenerada. que pode ser um ponto. . (2. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. (ENEM) Durante uma aula de Matemática. a televisão tem passado por uma verdadeira revolução. III – é o quadrado formado pelos vértices (– 2. uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão. Esse caso não foi abordado neste texto.1). III. o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x. cada. o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada. B e C. I.y envolvem rotação dos eixos coordenados. obtendo uma figura. . V – é o ponto (0. II – é a parábola de equação y = – x2 – 1. muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. A seguir.2). IV e V. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? 2.0). Entretanto. (ENEM) Nos últimos anos.2) e (1. como se segue: I – é a circunferência de equação x2 + y2 = 9. composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento.1).y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano.2) e (– 2.1). com x variando de – 1 a 1. já existentes nessas cidades.1). (– 1.2). 3) Representações de cônicas com o termo x. som e interatividade com o telespectador. (2. Buscando levar esses benefícios a três cidades. II. IV – é o quadrado formado pelos vértices (1. em termos de qualidade de imagem.2) A equação também pode representar um conjunto vazio: 4 x 2 9 y 2 5 0 4 x 2 9 y 2 5 . (– 1. QUESTÕES 1. que envie sinal às antenas A. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas: a) (65.2). determinar: 4 b) Sua diretriz c) As coordenadas de seu foco d) A equação de seu eixo 13. 1) pertencem à hipérbole. c) Parábola de foco F(0.0) e F2(3.20) e) (50. Dada a parábola y a) Seu parâmetro c) Sua excentricidade 2 3x . e) Hipérbole de focos nos pontos F1(3. Identifique as cônicas dadas pelas equações: a) 3y2 – 7x2 – 6y – 28x – 46 = 0 b) 4x 2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = 0 5.0 e (2.35) d) (50. Em que pontos a parábola de vértice V(– 2. 2) e F2(7.7) e distância entre o centro e o vértice igual a 3 unidades.2) e um vértice no ponto P (8.0). A elipse E é representada a seguir. Sabendo que os pontos (3. d) Elipse de focos nos pontos F1(1. Encontre a equação reduzida das curvas: a) Elipse com focos F1(– 3. Considere uma elipse e uma hipérbole no plano cartesiano. 10. ambas com centro na origem e eixos de simetria coincidindo com os eixos coordenados. determine os pontos de interseção dessas cônicas.A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.35) b) (53. A equação cartesiana de E é dada por: x2 y2 1 4 9 x2 y2 b) 1 9 4 x2 y2 c) 1 2 3 a) .0) e foco na origem intercepta o eixo y? 6.1 2 pertencem à elipse e que 2. Dada a cônica 3x2 – y2 – 9 = 0.– 3) e F2(3.0) e foco (– 5. 3) e reta diretriz de equação x – 2 = 0.5) e um vértice no ponto P (0.0). 11. 7.0) e semieixo maior a = 4. 8. (CESCEA) Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225. b) Hipérbole com focos F1(0.0) e 15 .30) 3. 9. vértice (13. Determinar a equação da elipse de centro (0. 4.30) c) (45. está centrada na origem e seus eixos estão sobre os eixos x e y. Determinar uma equação das circunferências inscrita e circunscrita à elipse de equação: 9y2 + 4x2 + 36y – 32x + 64 = 0. determinar: a) Seus eixos virtual e real b) Sua distância focal 12.– 3). Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.– 5) e F2(0. (UERJ) Um holofote situado na posição (–5. (FUVEST) Determine a equação da reta que passa pelo ponto (0. Numa hipérbole. do plano cartesiano. Dessa forma. 4 2 18. se interceptam nos pontos A e 2 4 B.0) e é tangente à parábola de equação y x2 4 .0) e F2(4. (PUC) A equação 16x2 + 9y2 – 144 = 0 representa uma elipse. Considere um círculo de centro E e diâmetro CD de 4 metros de comprimento. projetando sua sombra numa parede representada pela reta x = 3. Considerando o metro a unidade dos eixos. 3 3 c) d) 1 1 . cujo comprimento do eixo maior é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 17. 19. (FUVEST) A elipse x 2 y2 9 e a reta y = 2x + 1. d) 4x2 + 16y2 – xy + 16 = 0 e) x2 + y2 – 2x – 6y – 6 = 0. 20.x2 y2 1 3 2 x2 y2 e) 1 9 16 d) 14. b) Calcule a distância do vértice A ao foco B.8.0) tem excentricidade e = 0. Determine as 16. 5 e os vértices são A1(2.0). 3 3 e) 1 1 . 15. A intersecção dessa superfície com qualquer plano perpendicular ao eixo é um círculo. 3 3 2 7 . A elipse com focos nos pontos F1(– 4.5 metro. a excentricidade é e coordenadas dos focos da hipérbole. a) Escreva a equação cartesiana da parábola de foco B contida no plano CAD.y) sobre essa curva satisfazem a equação: a) 9x2 + 16y2 – x – y – 25 = 0 b) 25x2 + 9y2 – 225 = 0 c) 9x2 + 25y2 – 225 = 0. cuja medida da distância do centro E ao vértice A do paraboloide é 0. 3 3 b) 1 5 . conforme ilustra a figura. (UERJ) A superfície de uma antena parabólica pode ser gerada pela rotação completa de uma parábola ao redor do seu eixo.0) ilumina uma região elíptica de contorno x2 + 4y2 = 5. os pontos P(x. sendo o vértice (A) a origem do sistema cartesiano e o eixo das abscissas paralelo ao diâmetro CD como mostra a figura.0) e A2(– 2. Observe a figura. o comprimento da sombra projetada é de: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 . Pode-se afirmar que o ponto médio do segmento AB é: a) 2 1 . b) y . 8 . 20) c. 12) a) p d. b) elipse.0 . 1 2 1 . 2 . Respostas: 1) e. e) 9 16 y2 x2 circunscrita : ( x 4) 2 ( y 2) 2 9 . como mostra a figura abaixo.0) e F2(– 4. c) e = 2. virtual: 2b = 6. Calcule a área da região sombreada. 9 16 y 3 2 c) 4 x 1 . 8) F1(4. p = 2. 6 . 5) (0. 2) e. c) F 0. 15) F1 2 5 . d) 1. 2 . d) x= 0. 169 144 10) 6 . 17) 3 3 3 18) y = 4x ou y = – 4x. 11) a) real: 2a 2 3 .0). 21) 21. 3) x 4 2 y 2 2 a) x2 y2 1 . . (UERJ) O logotipo de uma empresa é formado por duas circunferências concêntricas tangentes a uma elipse.21. 13) a).4).0 e F2 2 5 . – 4) e (0. 4) a) hipérbole. 16) e. A são medidas dos semieixos. 6 .A elipse tem excentricidade área da região por ela limitada é dada por em que e e seu eixo menor mede unidades. 16 7 y 2 2 x 3 2 1 .7) 1. 6) inscrita : ( x 4)2 ( y 2)2 4 . 14) c. 19) y x2 . b) 16 7 y2 x2 1. 2 . 9) 3/5. 2 . b) 2c 4 3 . 6 .