Condensadores y Dieléctricos

Condensadores y Dieléctricos Física IIICONDENSADORES Y DIELÉCTRICOS CAPACIDAD ELECTROSTÁTICA Se tiene una esfera conductora aislada, al cual se le suministra una carga eléctrica “q”. El Campo eléctrico tendrá simetría simétrica y el ´potencial en la superficie y en cualquier punto de su interior es: ∫ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ De la expresión anterior, se observa que”R” es el radio de la esfera y “q” la carga distribuida uniformemente en la superficie. Indica que el potencial eléctrico varía proporcionalmente con la cantidad de carga contenida en la esfera. Luego a cada incremento en la carga eléctrica ( potencial ( ), del cuerpo conductor. ), corresponde un incremento en el “Se define como CAPACIDAD ELECTROSTAICA, CAPACITANCIA 6 PERMITANCIA, del cuerpo conductor a la razón del incremento que se origina en el potencial del mismo cuerpo, luego Luego la CAPACIDAD ELECTROTATICA o simplemente CAPACIDAD, de la esfera conductora aislada serán: Aplicando (2) 1 Condensadores y Dieléctricos Física III CONJUNTO DE CONDUCTORES Antes de Obtener la capacidad de un conjunto de conductores, debemos de recordar los siguientes puntos: Nos referimos a conductores homogéneos características no dependen de la posición. e isotrópicos; es decir que sus Las características son: a) Las cargas en exceso se distribuyen en la superficie del conductor debido a la repulsión entre ellas, sea cualquiera la forma del cuerpo conductor. b) El campo eléctrico en nulo (E=0), dentro del conductor. c) El vector ⃗ es perpendicular a la superficie del conductor, justo sobre ella. d) Como la superficie del conductor es siempre perpendicular a ⃗ , se trata de una superficie equipotencial (V=constante). e) Dentro del conductor se mantiene constante V , porque E=0; luego decir que el volumen del conductor es también equipotencial. y se puede f) El valor de ⃗ , es su superficie es: Unidades: Algunas veces se emplees los submúltiplos del faradio: COMBINACIONES DE CAPACITORES En común que dos o más capacitores se combinen en circuitos eléctricos. La capacitancia equivalente de ciertas combinaciones puede calcularse utilizando los métodos descritos en esta sección. Los símbolos de circuitos para capacitares y baterías, junto con sus códigos de color usados en este texto. El símbolo para el capacitor refleja la geometría del modelo más común para un capacitor (un par de placas paralelas). La terminal positiva de la batería esta al potencial más alto y se representa en el símbolo del circuito por la línea vertical más larga. 2 En un circuito como el mostrado en la figura el voltaje aplicado a través de la combinación es el voltaje terminal de la batería. De igual modo. por ello. 3 . las diferencias de potencial individuales a través de los capacitares conectados en paralelo son todas las mismas y son iguales a la diferencia de potencial aplicada a través de la combinación. se conocen como una combinación en paralelo de capacitares.Condensadores y Dieléctricos Física III COMBINACION EN PARALELO Dos capacitares conectados como se muestra en la figura. La figura muestra un diagrama de circuito para esta combinación de capacitares. Cuando los capacitares se conectan primero en el circuito mostrado en la figura. El flujo de carga cesa cuando el voltaje a través de los capacitares es igual al que cruza las terminales de la batería. en tales situaciones se debe determinar la diferencia de potencial a través de la combinación mediante el análisis del circuito completo. La fuente de energía para esta transferencia de carga es la energía química interna almacenada en la batería. Pueden ocurrir situaciones en las cuales la combinación en paralelo este en un circuito con otros elementos de circuito. los electrones se trasfieren entre los alambres y las placas. la cual se convierte en energía potencial eléctrica asociada con la separación de las cargas. las placas de la derecha están conectadas a la terminal negativa de la batería y. De este modo. Las placas de la izquierda de los capacitares se conectan por un alambre conductor en la terminal positiva. se encuentran al mismo potencial de la terminal negativa. esta trasferencia deja las placas de la izquierda cargadas positivamente y a las placas derechas cargadas negativamente. para el capacitor equivalente. se están combinando las áreas de todas las placas de los capacitares cuando se conectan con alambre conductor. la capacitancia equivalente de una combinación de capacitares en paralelo es mayor que cualesquiera de la capacitancias individuales. Este capacitor equivalente debe tener exactamente el mismo efecto sobre el circuito que el efecto de la combinación de los dos capacitares individuales. Es decir.Condensadores y Dieléctricos Física III Los capacitares alcanzan su carga máxima cuando se interrumpe el flujo de carga. el capacitor equivalente debe almacenar Q unidades de carga cuando esté conectado a la batería. 4 . como se muestra en la figura. la carga total en los capacitares conectados en paralelo es la suma de las cargas en los capacitares individuales. Puesto que los voltajes a través de los capacitares son los mismos. Esto tiene sentido porque. las cargas que ellos conducen son Q1 = C1 Q2= C2 Suponga que desea sustituir estos dos capacitares por un capacitor equivalente con una capacitancia Ceq. se cuenta que la capacitancia equivalente es Ceq = C1 + C2 + C3 +… (Combinación en paralelo) Así pues. La carga total Q almacenada por los dos capacitares es Q = Q1 + Q2 Esto es. La situación de estas tres relaciones para la carga en la ecuación produce Si se extiende este tratamiento a tres o más capacitares conectados en paralelo. Se puede ver en la figura que el voltaje a través del capacitor equivalente también es AV por que el capacitor equivalente está conectado en forma directa a través de las terminales de la batería. En consecuencia. Denomine a las cargas máximas en los dos capacitares como Q1 y Q2. en esencia. En general. todas las placas derechas ganan una carga –Q.Condensadores y Dieléctricos Física III COMBINACION EN SERIE Dos capacitares conectados como se muestra en la figura se conocen como combinación en serie de capacitares. Como resultado. en consecuencia. las cargas en los capacitares conectados en serie son las mismas. A partir de la figura se ve que el voltaje AV a través de las terminales de la batería está dividido entre los dos capacitares: Donde 1 Y 2 son las diferencias de potencial a través de los capacitares C1 y C2. La placa izquierda del capacitor 1 y la placa derecha del capacitor 2 están conectadas a las terminales de una bacteria. A medida que esta carga negativa se acumula en la placa derecha de C2. la diferencia de potencial total a través de cualquier numero de capacitares conectados en serie es la suma de las diferencias de potencial a través de los capacitares individuales. respectivamente. Cuando la batería se conecta se transfieren electrones de la placa izquierda de C1 a la placa derecha de C2. mientras que todas las placas izquierdas tienen una carga +Q. Las otras dos placas están conectadas entre sí y a nada más. 5 . Para analizar esta combinación comience por considerar los capacitares descargados y vea que sucede después de que una batería se conecta al circuito. De esta manera. una cantidad equivalente de carga negativa es obligada a salir de la placa izquierda de C2. forman un conductor aislado que inicialmente esta descargado y debe continuar así para tener carga cero. que las placas de este capacitor son tan grandes y tan próximas y tan próximas entre sí que podemos despreciar la distorsión de las líneas de campo eléctrico en los bordes de las placas. Aplicando la definición de capacitancia al circuito mostrado en la figura se tiene Puesto que la expresión Q=CAV puede aplicarse a cada capacitor mostrado en la figura. El campo eléctrico puede entonces calcularse de la ecuación 3: E = p/e0A. Tracemos una superficie gaussiana que incluya a la carga q en la placa positiva. Después de que está cargado completamente.6. el capacitor equivalente debe tener una carga de –Q en su placa derecha y de +Q en su placa izquierda.Condensadores y Dieléctricos Física III Suponga que un capacitor equivalente tiene el mismo efecto sobre el circuito que la combinación en serie. y observar que = Q / Ceq. (5) Cuando este análisis se aplica a tres o más capacitares conectados en serie. Consideramos que E es constante en todo el volumen entre las placas. la diferencia de potencial a través de cada uno de ellos es Al sustituir estas expresiones en la ecuación 3. como lo muestra la figura. la relación para la capacitancia equivalente es Esto demuestra que la capacitancia equivalente de una combinación en serie siempre es menor que cualquier capacitancia individual en la combinación. La ecuación 5 da entonces 6 . como se ve en la figura. CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS Suponemos. se tiene … (4) Cancelando Q se llega a la relación …. donde A es el área de las placas. esta constante es precisamente 1/C. la capacitancia aumenta en un factor adimensional k. como el caucho. De acuerdo con la ecuación 1. que comprende unidades que son útiles cuando se trata con problemas en los que se aplica la ley de Coulomb. la ecuación 7 –que se usa en la práctica más a menudo que la ley de Coulomb. En esta sección se analizara este cambio en capacitancia en términos de parámetros eléctricos tales como carga eléctrica. Si el dielectrico llena por completo el espacio entre las placas. Notamos también que la ecuación 7 sugiere unidades para la constante de permitividad e0 que son más apropiadas para los problemas en que intervienen capacitores. por ejemplo. (7) La capacitancia sólo depende de factores geométricos. y así (Capacitor de placas paralelas). campo eléctrico y diferencia de potencial. E es constante y puede quitarse del signo de la integral. Previamente hemos expresado esta constante como: e0 = 8.Condensadores y Dieléctricos Física III En la ecuación 6. conocido como constante dieléctrica. es decir.85 x 10-12F/m = 8. La constante dieléctrica es una propiedad del material y varía de un material a otro. CAPACITORES CON DIELECTRICOS Un dieléctrico es un material no conductor. Si no lo hubuiésemos hecho así.85 pF/m.su forma sería menos sencilla. del área A de la placa y de la separación d de la placa. el vidrio o el papel encerado.85 x 10-12C2/N·m2. Obsérvese en la ecuación 6 que V es igual a una constante multiplicada por q. 7 . la segunda integral de arriba es simplemente la separación d entre las placas. Cuando un material dieléctrico se inserta entre las placas de un capacitor aumenta la capacitancia. Señalamos además que la ecuación 7 indica por qué escribimos la constante electrostática en la forma 1/ 4pe0 en la ley de Coulomb. Los dos grupos de unidades son equivalentes. e0 = 8. 7a ilustra esta situación. 3. Para el capacitor de placas paralelas. se puede expresar la capacitancia cuando el capacitor está lleno con un dieléctrico como De acuerdo con las ecuaciones 3. Los materiales aislantes tienen valores de k más grandes que la unidad y resistencias dieléctricas mayores que el aire como indica la tabla 3. Advierta que no se muestra ninguna batería en la figura. debe suponer que no puede fluir carga a través de un voltímetro ideal.Condensadores y Dieléctricos Física III Es posible efectuar el siguiente experimento para ilustrar el efecto de un dieléctrico en un capacitor. Si ahora se inserta un dieléctrico entre las placas. En consecuencia. el voltímetro indica que el voltaje entre las placas disminuye a un valor . Para cualquier separación dada d. En la practica el valor más bajo de d está limitado por la descarga eléctrica que puede ocurrir a través del medio dieléctrico que separa las placas. En vista de que la carga Q0. en el capacitor no cambia. Los voltajes con y sin dieléctrico se relacionan mediante el factor k del modo siguiente: Puesto que . La diferencia de potencial en el capacitor es La figura 3. la capacitancia aumenta el factor k cuando el dielectrico llena por completo la region entre las placas.3). no existe una trayectoria por la cual puede fluir la carga y alterar la carga en el capacitor. además. como se muestra en la figura 3. carga Q0 y capacitancia C0.10. el máximo voltaje que puede aplicarse a un capacitor sin producir una descarga depende de la resistencia dieléctrica (campo eléctrico máximo) del dieléctrico. Si la magnitud del campo eléctrico en el dieléctrico supera a la resistencia dieléctrica. se concluye que la capacitancia debe cambiar hacia el valor ⁄ Es decir.1. las propiedades aislantes se deterioran y el dieléctrico empieza a conducir. Considere un capacitor de placas paralelas que sin un dieléctrico tiene ⁄ . parecería que la capacitancia puede hacerse muy grande mediante la reducción de d. la distancia entre las placas.3 y 3.7b. La diferencia de potencial se mide mediante un voltímetro. donde C0=E0A/d (Ec. se ve que k>1. 8 . ya que las otras se cancelan mutuamente. El momento dipolar total de la muestra es la suma de los momentos dipolares. su valor debe ser:  p j   qi d (30) j Es decir. Su módulo. en este caso. el producido por las cargas superficiales ±qi . aparecen cargas de polarización con densidad superficial +qi y -qi . de superficie A. vale: P  pj V  qi d  i Ad (31) Si una de las caras no es perpendicular al campo la carga inducida qi se reparte por vector polarización. Los dipolos moleculares del material (permanentes o inducidos) tienden a orientarse en la dirección del campo.Condensadores y Dieléctricos Física III POLARIZACION DE DIELECTRICOS Sea una muestra homogénea de material dieléctrico con forma de prisma situada el seno de un campo externo. el interior del material sigue siendo eléctricamente neutro pero en las caras perpendiculares al campo. Por tanto la densidad superficial será: i    qi q  i cos  P cos  P  n A / cos A (32) A/cos A n - n + +  + + P P +  + + + 9 . Definimos la polarización P de la muestra como el momento dipolar por unidad de volumen. – qi –i – + – – + – – + – – + – – + – – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + + + + + +q i +i E0 A + d Como consecuencia. Si d es el espesor de la muestra y qi la carga inducida en las superficies. en el equilibrio. las cargas inducidas no son libres sino ligadas y están limitadas por las propiedades de las moléculas. El efecto de las cargas inducidas sobre el campo en el interior del dieléctrico es distinto que en los conductores. está claro que su flujo es nulo y por tanto q’S = 0. Producen un campo E’ que se opone al campo externo E0 . al formar los dos vectores un ángulo de 180º. por lo que sólo habrá cargas de polarización en superficie. Cuando la polarización no es homogénea existe una carga neta q’S en la superficie del dieléctrico y por tanto. siendo el campo neto en el material:    E  E0  E  (36) E0 – E’ + – + – + – – – + E + + 10 . un campo neto nulo. donde el desplazamiento de las cargas libres produce. en un elemento de superficie dA hay una carga inducida:     d q  P  n dA  P  dA (33) Y en toda la superficie del dieléctrico. Esto quiere decir que se inducen cargas opuestas qi y -qi . En los dieléctricos. tendrá que haber otra igual y opuesta distribuida en el volumen: qV  qS  V   i dV   P  d A (35) Normalmente consideraremos dieléctricos homogéneos. que es lo opuesto de la ecuación (31). Así pues. se obtiene de dicho producto escalar. la carga inducida será el flujo del vector P:   qS   P  dA (34) Si P es constante (polarización homogénea). Es decir. con su signo. el producto escalar P·n vale -P. la densidad superficial de carga inducida.Condensadores y Dieléctricos Física III En la otra cara. por lo que al considerar un dieléctrico podremos aplicarla siempre que se consideren todas las cargas en el interior de la superficie gaussiana:   q  E  dS   A 0  q0  q 0 (38) Es decir. A’2 i n A n A’1 V’ 11 . esta reducción es característica de cada material y se cuantifica por una constante dieléctrica.Condensadores y Dieléctricos Física III Evidentemente el campo total disminuye por la presencia del dieléctrico. LOS DIELÉCTRICOS Y LEY DE GAUSS La ley de Gauss se dedujo con carácter general. ya que no hay moléculas que puedan polarizarse. ya que Xe tiene dimensiones de densidad superficial de carga (C/m2). igual que la polarización. q debe incluir tanto las cargas libres q0 como las ligadas o de polarización q’ debidas a la presencia del dieléctrico. mayor será la separación de cargas y. por tanto. Cuanto más intenso sea. En los dieléctricos Xe es positivo y en el vacío Xe = 0. P. La permitividad  0 se introduce para que Xe sea un número adimensional. En la mayoría de los casos la relación es de proporcionalidad:   P   e 0 E (37) La constante Xe se denomina susceptibilidad eléctrica e indica la mayor o menor facilidad de la sustancia para ser polarizada. La polarización P depende del campo neto aplicado. En función de este vector. D   E P 0 0  (43) 12 . (42)   0 E + P. la ley de Gauss se escribe:      D  d A  q . q’V:   q  qS  qV   P  d A   i dV A1 V (39) A’1 es la porción de superficie del dieléctrico dentro de la gaussiana y V’ el volumen encerrado por ella. Sustituyendo ahora q’ en la ley de Gauss (ecuación 38):      0  E  d A  q 0   P  d A  A A  A    ( 0 E  P)  d A  q 0 El integrando. se denomina desplazamiento eléctrico D. Como cualquier trozo macroscópico del dieléctrico debe ser neutro:   V  i dV  A AP  d A  0 1 2 (40) Despejando aquí la carga inducida en volumen y sustituyendo en la ecuación (39):     q   P  d A   Pd A  A1   A1  A2      P  d A    P  d A A2 A (41) La última igualdad es debida a que la polarización vale cero en toda la superficie A de la gaussiana excepto en la porción A’2 que corta al dieléctrico. Por tanto. q’ constará en principio de cargas superficiales q’S y cargas distribuidas en volumen.Condensadores y Dieléctricos Física III En el caso más general la superficie gaussiana A puede cortar al dieléctrico y éste puede estar polarizado no uniformemente. Estos últimos valores son tan grandes debido a que el campo externo sólo tiene que orientar los dipolos moleculares. Poniendo P en función de la susceptibilidad eléctrica el desplazamiento queda:      D   0 E  e 0 E   0 (1   e ) E  E (44) Donde hemos introducido las constantes: K  1  e : constante dieléctrica   0 K : permitividad del medio La constante dieléctrica K = (45)  /  0 es la permitividad relativa del medio respecto del vacío.0006 para el aire (y del mismo orden en otros gases). si E0 es perpendicular a las caras del dieléctrico. el flujo del vector desplazamiento es igual a la cantidad de carga libre encerrada por la gaussiana. queda caracterizado su comportamiento electrostático. entonces P también lo es y el campo E’ de las cargas inducidas tiene la dirección de E0 y sentido contrario. Sin embargo. es decir. Por ejemplo. Naturalmente K = 1 y Xe = 0 en el vacío.Condensadores y Dieléctricos Física III TRES VECTORES ELECTRICOS Es decir. entre 1 y 10 para líquidos no polares y de 20 a 80 en los líquidos polares. Sustituyendo en la definición del desplazamiento:       D   0 E  P   0 E0   0 E   P (46) Es decir: en general no es cierto que D/  0 sea el campo de las cargas libres (aunque el flujo de D sea igual a dicha carga). las líneas del campo D empiezan o terminan en las cargas libres. porque E’ no es necesariamente -P/  0 (aunque el flujo de P sea igual a la carga inducida). 13 . del mismo modo que las líneas del campo P lo hacen en las cargas de polarización y las de E en todo tipo de cargas. Dieléctrico en contacto con un conductor Recordemos que el campo total es la suma del campo externo E0 debido a cargas libres y el campo E’ creado por las cargas inducidas. si los contornos del dieléctrico coinciden con superficies equipotenciales de las cargas libres. no crearlos. P es nulo fuera del dieléctrico pero E’ no lo es y por tanto E E0. Dada la constante K de un material. Dicho de otro modo. Valores típicos de K son 1. que son conductoras y. i que dan lugar al campo inducido E’. el desplazamiento no se ve afectado. que también disminuye:    E0  V0 V    E  dr     dr  K K (49) Por tanto.Condensadores y Dieléctricos Física III Esto es lo que ocurre cuando un dieléctrico llena el espacio entre las placas de un condensador. E  E0 / K (48) Esto es. por tanto. Por otra parte. equipotenciales. El efecto del dieléctrico entre las placas de un condensador también se pone de manifiesto en su diferencia de potencial. la presencia del dieléctrico reduce el campo en un factor que es justamente la constante K. la capacidad del condensador aumenta en el mismo factor K: C Q0 Q0   K C0 V V0 / K (50) 14 . Q0 -Q0 – – – – – – – – – – + + + + 0 + + + + + + -0 E0 = 0 /0 + + + + + + + + + + i -i – + – + – + – + – – – – – – – – – – E = E0 /K Sobre las caras del dieléctrico en contacto con las placas aparecen cargas de polarización con densidad +  i y . ya que D = 0E0 = E. Aplicando la ley de Gauss a estas láminas de carga como hicimos con el condensador plano-paralelo (ecuaciones 12 y 13) resulta:   i  P E   n   0 0 (47) Y sustituyendo en (46):       D  0 E0  P  P  0 E0  0 KE      D / 0  E0 . Puede utilizarse este resultado para medir K a partir de la diferencia de potencial antes y después de introducir el dieléctrico. ya que: K C Q / V V0  0  C0 Q0 / V0 V ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO Como vimos anteriormente (ecuación 24). Consideremos un condensador plano con un dieléctrico de permitividad . haya o no dieléctrico. Su energía potencial por unidad de volumen vale: ue  1 2 QV QEd 1 1 1    0 E  DE  E 2 Ad 2 Ad 2 2 2 Puede demostrarse que esta relación es general y que la energía almacenada en el campo eléctrico. se puede calcular suponiendo que está distribuida en el espacio con densidad ue = ½E2. la energía potencial electrostática de un condensador es: Ue  1 Q2 1 1  CV 2  QV 2 C 2 2 Q es la carga libre en las placas.Condensadores y Dieléctricos Física III C0 es la capacidad del condensador sin dieléctrico. Por tanto: U  1 k 0 E 2 2 15 . Condensadores y Dieléctricos Física III PROBLEMAS DE CONDENSADORES 1. b) Determinar la carga de cada condensador después de la unión. Problema: Deducir de forma razonada la fórmula de la capacidad de un condensador formado por dos superficies esféricas concéntricas de radio interior a y radio exterior b. que este condensador cargado con 6μC se une a otro inicialmente descargado de radios a=4 cm y b=10 cm. Supongamos ahora. el potencial común y la variación de energía en el proceso Resolución: Distribución de carga con simetría esférica. b=8 cm. a) Calcular la capacidad de un condensador esférico de a=5 cm. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es ∮E⋅dS=∮E⋅dS⋅cos0=E∮dS=E⋅4πr2 Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss ∮E⋅dS=q/ε0 E=q/4πε0r2 16 . El campo eléctrico tiene dirección radial. cargadas con +Q y –Q respectivamente. su módulo es constante en todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radio r. 04. C1=14.08. b=0.81·10-12 F  a=0.1. b=0. E=0 q=Q E=Q /4πε0r2 q=+Q+(-Q)=0. C2=7.05.Condensadores y Dieléctricos Física III    Para r<a cm Para a<r<b Para r>b q=0.41·10-12 F ) ) 17 . E=0 Gráfica del campo Diferencia de potencial entre las placas del condensador esférico y capacidad del condensador Va−Vb = ∫ ( =∫ ( ) (  a=0. Problema: En la figura se representan cuatro condensadores C1.Condensadores y Dieléctricos Física III Se unen los dos condensadores.7⋅105 V Energía inicial. respectivamente. C3. Calcular:  La diferencia de potencial entre las armaduras de cada uno de los condensadores  La carga de cada condensador  La capacidad equivalente  La energía del conjunto 18 . C2. el tercero azufre (k=3) y el cuarto mica (k=5). El primero tiene por dieléctrico el aire (k=1). de idéntica forma y dimensiones. La carga de 6·10-6 C se reparte entre los dos condensadores hasta que se igualan los potenciales. ⋅ { ⋅ q1=4⋅10−6 C V=2. C4. energía final y variación de energía { 2.3). el segundo parafina (k=2. V1=q/C1=72.4 V 19 .3 Los condensadores C2 y C3 están en paralelo C23=C2+C3=5.3·C=10-9 F.3 C4=5·C=5·10-9/2.13⋅10−8 CU=12q2Ceq=1.3·10-9/2. V4=q/C4=14.Condensadores y Dieléctricos Física III Resolución: Capacidad de los condensadores C2=2.0 V q4=q. C23 y C4 están en serie 1Ceq=1C1+1C23+1C4 Ceq=3.3 C3=3·C=3·10-9/2.13⋅10−10 F Carga del condensador equivalente. C1=C=10-9/2.565⋅10−6 J Carga de cada condensador y diferencia de potencial entre sus armaduras q1=q. y energía almacenada en el mismo q=100⋅Ceq=3.3 F Los condensadores C1. una resistencia de R=58 KΩ y una batería de V0=14V.6 V V2=V23=13.6 V V3=V23=13.77·10-8 C 3. y una batería de f.6 μF. Se empieza a contar el tiempo cuando se cierra el interruptor  ¿Cuál es la carga máxima del condensador y la energía acumulada?  ¿Cuánto vale la intensidad de la corriente en el instante t=60 ms?  ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia y cuánta energía ha aportado la batería durante el proceso de carga? 20 .6 V q2=C2·V2=1.Condensadores y Dieléctricos Física III V23=q/C23=13.36·10-8 C q3=C3·V3=1. una resistencia R. V0 en serie. Problema: Conectamos un condensador de capacidad C. m.e. La carga se incrementa con el tiempo de acuerdo a la siguiente ecuación ( ( )) Sea un condensador de C=1. 138·10-4 J Energía suministrada por la batería ∫ ∫ ( ) ( ( )) En el instante t=60 ms la energía suministrada por la batería es UB=1. 21 . la otra parte UR se disipa en la resistencia.Condensadores y Dieléctricos Física III Resolución En el instante t=60 ms.264·10-4 A Energía disipada en la resistencia ∫ ∫ ( ) ( ( )) En el instante t=60 ms la energía disipada en la resistencia es UR=1.493·10-4 J Comprobamos que UB=UR+UC Una parte UC de la energía suministrada por la batería UB se acumula en forma de energía asociada al campo eléctrico en el condensador. la carga del condensador y la energía almacenada en el mismo es ( ( )) Intensidad de la corriente ( ) En el instante t=60 ms la intensidad de la corriente es i=1. Condensadores y Dieléctricos Física III 4. Supongamos ahora. Las armaduras están cargadas con +Q y –Q respectivamente  Calcular de la capacidad de un condensador cilíndrico de radio interior a= 3 cm. Calcular:  La carga de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico.  La diferencia de potencial después de introducir el dieléctrico  La energía de cada condensador antes y después de introducir el dieléctrico Resolución El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje del cilindro. exterior b=5 cm. A continuación. después de lo cual se aíslan de la batería. y radios a (interior) y b (exterior). Problema: Deducir de forma razonada la fórmula de la capacidad de un condensador cilíndrico formado por dos armaduras consistentes en láminas conductoras coaxiales de longitud d. se introduce en uno de los condensadores un dieléctrico (k=3) que llena completamente el espacio entre las placas. cargándose a una diferencia de potencial de 100 V. dos condensadores idénticos que se conectan en paralelo. y longitud d=30 cm. su módulo es constante en todos los puntos de una superficie cilíndrica de radio r y longitud L. El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es: 22 . ∮    Para r<a cm Para a<r<b Para r>b q=0. E=0 Gráfica del campo 23 .Condensadores y Dieléctricos Física III ∫ ∮ ∫ ∫ ∫ ∫ { ∮ Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley de Gauss. E=0 q=Q E=Q/2πε0rL q=+Q+(-Q)=0. La carga total de 2·3.263·10-9 C  Situación final C1=C. C2=3·C Se unen los dos condensadores.263·10-9 C se reparte entre los dos condensadores hasta que se igualan los potenciales. energía final y variación de energía { 24 . { q1=q/2 C V=50V Energía inicial.Condensadores y Dieléctricos Física III Diferencia de potencial entre las armaduras del condensador y capacidad del condensador Va− Vb = ∫ ( ) =∫ ( ) ( ⁄ ) (  ( ⁄ ) ) Situación inicial de cada condensador q=C·100=3. Condensadores y Dieléctricos Física III 25 .