FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPECURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: LIMITE E CONTINUIDADE CÁLCULO I PROFESSOR: MARCOS AGUIAR INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE 1. CONTINUIDADE Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p do seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta “ salto “ em p. Observe na figura (i) a função é contínua pois não apresenta salto em p, enquanto no figura (ii) não é contínua pois apresenta salto em p fig. (i) fig. (ii) Exemplo 1: Consideremos as funções f e g dadas por f x x e 1 se x 1 2 se x 1 g x Vemos intuitivamente, que f é contínua em todo p de seu domínio. Por sua vez, g não é contínua em p 1 , mas é contínua em todo p 1 . 2. LIMITE 2.1. CONCEITO INTUITIVO DE LIMITES. 1 Calculando o limite: x3 2 x 2 0 f x 3x 6 0 levantando a indeterminação temos: x2 x 2 x3 2 x 2 x3 2 x 2 x2 4 lim lim lim lim x 2 3x 6 x 2 3x 6 x 2 3 x 2 x 2 3 3 Substituindo os valores de x indicados na tabela abaixo, observamos intuitivamente que os f x valores de se aproximam de 2 tanto pela direita como pela esquerda, porém não é 2, 4 f x então dizemos que quando x tende a 2 tende a 3 , onde usamos a notação 4 lim f x lim f x L x2 3 , generalizando x a x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 f x x f x 1,20333333 1,32003333 1,33200033 1,33320000 2,33332000 1.33333200 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001 1,47000000 1,34670000 1,33466700 1,33346667 1,33334667 1,33333467 f x O comportamento desta função pode ser descrito afirmando que “ o limite de quando x 4 se aproxima de 2 pela direita ou pela esquerda tende a 3 “ cuja notação matemática é: x3 2 x 2 4 x 2 3 x 6 3 , que se ler matematicamente da seguinte maneira: Limite de f x 4 quando x tende a 2, tende a 3 . lim f x Intuitivamente, dizer que o limite de , quando x tende a p, é igual a L que, lim f x L f x simbolicamente, se escreve x p , significa que quando x tende a p, tende a L, como ilustra ao gráficos abaixo. 2 Use a tabela para estimar o limite Solução: x 1 x 1 lim x 1 x 1 x 1 e calcule f x para valores de x que se aproxime de 1 pela esquerda e f x Faça pela direita: x 1 x x 0.499999 0.50001 IND 0.Exemplo.5 quando x tende para 1 Solução algébrica: lim x 1 x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Graficamente.50126 0.0001 1.50013 0.49999 0.9999 1 1.5 .99 0.999 0. 3 lim x 1 1 x 1 0.001 f x 0.4999 f x Observando a tabela sugere que tende para 0.00001 1. Veremos que isto realmente acontece. se f estiver definida em p. então. f é contínua em p lim f x f p x p lim f x L Veremos. então L será aquele valor que f deveria ter em p para ser contínua neste ponto. f não está definida em x 1 Para x 1 f x x2 1 x 1. é razoável esperar que se f estiver definida em p. que se x p se f não for contínua em p. lim f x f p x p . 4 .lim x2 1 x 1 Exemplo : Utilizando a idéia intuitiva de limite. x 1 x 1 Solução: Seja . isto é. ainda. x 1 lim x 1 x2 1 lim x 1 2 x 1 x1 Intuitivamente. e reciprocamente. calcule x 1 x2 1 f x . c) lim x2 x2 4 x2 Utilizando a idéia intuitiva de limite. existe 0 tal que. Na situação (d). mas existe L que satisfaz a propriedade x Df Para todo 0 dado. f não está definida em p. não existe L satisfazendo (i) em p.f x L f não está definida em p lim x p . A propriedade (i) é equivalente a 5 . Na situação (c). para todo . calcule x2 x lim lim 3 x 1 a) x0 b) x 2 x 3 x 1 x2 x x2 4x 4 lim lim lim d) x 0 x e) x1 x 1 f) x 2 x 2 x2 1 g) x 1 x 1 lim 2. f está definida em p. assim L f p satisfaz (i). f L é valor que deveria ter em p para ser contínua em p Exercícios: I. mas não é continua em p. DEFINIÇÃO DE LIMITE Consideremos as situações a seguir: Na situação (a). p x p . entretanto existe L satisfazendo (i): observe que neste caso a restrição x p é essencial. f é contínua em p. x p L f x L (i) Na situação (b). se. 0 tal que. Assim 0. 0 x p f x L Definição. então lim f x g x lim f x lim g x x a x a lim f x g x xa x a lim f x lim g x xa x a lim f x f x x a lim . em p. para todo 0 dado. Dizemos que f tem limite L.x Df Para todo 0 dado. existe 0 tal que. será indicado por lim f x x p . existe um 0 tal que. ou se a 0 e n é um inteiro positivo impar g) Se m e n são inteiros positivo. 0 x p f x L . ou se a 0 e n é um inteiro positivo impar. quando existe é único. PROPRIEDADES DO LIMITE (i) (ii) Se a) b) c) d) e) lim c c xa lim x a o limite de uma constante é a própria constante x a lim f x e lim g x x a x a existem ambos. desde que lim g x 0 x a g x xa lim g x x a lim cf x c lim f x x a x a lim f x g x lim f x lim g x x a x a x a lim x a f) x a para a 0 e n inteiro positivo. para todo . então n n 6 . Tal número L. para todo x D f lim f x L 0 x p f x L x p 3. para todo x D f . Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f . Lista 4.lim x a lim xa h) n n x m lim n x x a a m f x n lim f x x a n m n inteiro positivo impar ou n inteiro positivo par e lim f x 0 xa 5. obtemos: 1 x 2 x 2 sen 2 x 2 lim x 2 0 e lim x 2 0. 0 tal que lim f x L x p p x p f x L O número L. logo. P um número real e suponhamos que exista b tal que definimos: b. exceto possivelmente para o próprio a Se lim f x L lim g x . LIMITES LATERAIS Seja f uma função. xa xa lim h x L então x a Exemplo: Use o teorema para provar que 1 sen t 1 Como para todo t. quando existe. lim x 2 sen x 0 1 0 x2 1 1 2 2 x para todo x 0 . Multiplicando por x ( que é positivo se x 0 ). denomina-se limite lateral à direita de f em p 7 . p D f 0. TEOREMA DO SANDUÍCHE f x h x g x Suponhamos para todo x em um intervalo aberto contendo a. x x 0 . como x 0 concluímos que 1 lim x 2 sen 2 0 x 0 x 1 sen Exercícios. Calcule: a) lim x x 1 x3 x x3 b) x 2 x 1 lim lim 2 x x 2 3 c) x 8 lim x 3x 3 2 d) x . Sejam a. Calcule Solução: `x 2 se x 1 2 x se x 1 lim f x e lim f x sendo f x x 1 x 1 lim f x lim 2 x 2 e lim f x lim x 2 1 x 1 x 1 lim x e lim Exemplo 2. p D f Suponhamos agora que exista um real a tal que definimos: 0. quando existe. 0 tal que lim f x L p x p f x L x p O número L. a. Então. p um número real e suponhamos que existam a e b tais D estejam contidos em f . denomina-se limite lateral à esquerda de f em p Exemplo 1. Calcule x 0 x x 1 se x 0 x 1 se x 0 Solução: lim x 0 x x = lim1=1 e lim x 0 x 0 Teorema. p e p. f admite limites laterais à direita e à esquerda em p lim f x L x p e lim f x lim f x L x p x p 1. lim 1 1 x 0 f uma função. b que x1 x 1 x x x 0 x x . escolhendo x suficientemente próximo de 2 e x 2 . 1 1 lim x 2 x 2 . Pode-se mostrar pela figura 1 que x2 f x não existe. ao tender x para a . 1 1 lim quando x 2 x2 x 2 ou x 2 A figura 2 contém gráficos típicos de funções arbitrárias que tendem para ou de varias maneiras. o valor f x da função ou aumente sem limite. escrevendo. Quando x se aproxima de 2 pela direita.lim x x 2 3 e) lim x 3 2 3 x 3 x x lim x x 3 f) x lim x x x 1 lim 1 2x 1 lim x e) x 0 x x g) h) 2. 9 . pode ocorrer que. f x Denotação: lim x2 1 1 quando x 2 x2 ou x 2 Figura 1 f x De modo análogo para indicar que decresce sem limite. f x aumenta sem limite. no sentido de que podemos tornar arbitrariamente grande. LIMITES QUE ENVOLVEM O INFINITO lim f x ou lim f x x a Ao investigarmos x a . Considere a função abaixo. Calcule: 5 4 lim lim a) x 3 3 x b) x 3 x 3 lim c) x 1 2 4 2x 1 d) x 0 f) lim x 0 x 3 x2 3x 1 lim 2 3 3 2x 3 2x 3 x2 3x lim 2 lim 2 1 4x 1 lim lim lim 2 2 2 x 2 g) x 0 x x h) x 0 x x i) j) x 1 x 1 l) x 1 x 1 m) x 3 x 6 x 9 2x 1 2x 1 3x 5 x2 4 lim 2 lim 2 lim 2 lim 2 n) x 1 x x o) x 0 x x p) x 1 x 3 x 4 q) x 1 x 4 x 4 5. ou decresça sem limite. ambos os limites à direita e à f x esquerda devem ser . ambos o limites laterais devem ser . para que figura 4.figura 2 Consideraremos também limites bi – laterais ilustrados na figura 3. Se o limite de f x .) dizemos lim f x que o x a não existe Note que. A reta x a nas figuras 2 e 3 é chamada de assíntota vertical . de um lado de a é e do outro lado de a é (figura 4. 10 . Para que tenda para . figura 3 f x tenda para quando x tende para a . então 11 .Consideremos a seguir funções cujos valores tendem para um número L quando muito grande. Se k é um número racional positivo e c um número real arbitrário. Seja f x 2 x se torna 1 x 1 lim 2 2 x x Calculando o limite temos como x é suficientemente grande. então Teorema. existe um número M 0 tal que f x L Se x M . Significa que todo 0 . lim f x L x . Significa que todo 0 . lim f x L x . então Definição 2. existe um número N 0 tal que f x L Se x M . logo o quociente 1 0 x Definição 1. a) f) lim x 2 x2 lim x 2 2 x 3 x 1 x2 9 lim l) x 3 x 3 q) b) lim x 3 lim 3 x 1 c) x 1 g) lim x x4 x2 9 lim m) x 1 x 3 h) lim 4 x 1 x 2 lim 3 x i) x 3 n) lim 5 x8 4x2 1 lim 1 x 2 x 1 3 4 x 3 x33 x42 lim lim x 3 r) x 3 x 3 s) x2 x 2 12 d) lim 5 lim 50 e) x9 x2 9 lim j) x 3 x 3 x10 9x2 1 x 1 lim lim 1 x 3 x 1 x 1 x 1 2 o) p) 3 x 1 x 2 3x 1 lim lim 2 x 1 2x 3 5 t) x0 x 2 u) . 5x2 3x 1 lim 2 x 2 x 4 x 7 3 1 3 1 3 1 x 2 5 2 5 2 lim 5 x 5 x x x x x x2 lim lim 2 x x 4 7 4 7 4 7 2 5x 3x 1 x 2 2 2 2 2 lim 2 lim 2 2 x x x x x x x Solução: x 2 x 4 x 7 Exercícios.lim x c c 0 e lim k 0 k x x x . k desde que x seja sempre definido Exemplo. Determine o limite se existir. caso exista. indique 29) f x 1 2 x x 5 x2 2x 3 1 3x3 f x f x 1 x 2 x 2 5 x 1 32) 2 x3 6 x 2 30) 31) 2x 1 x2 x 5 3x 2 6 x 2 f x 2 f x f x 3x 2 x 7 34) 1 2 x x3 35) 2x 9 33) 1 2 x3 f x x 1 36) 2 3 f x 13 . lim 3 x 5 x 2 2 7) 11) x 2 lim x 1 2 x 1 lim x 2 x x 3 3 8) 2 9) x 1 lim x 1 1 2 x 2 lim x 6 x 7 5 4 x 0 2 lim 1 x 3 x 1 x2 10) lim 1 5 x 3 x 1 2 2x 3 14) x 1 x 1 x 2 3 x 10 lim x 5 19) x5 lim 12) x 1 13) 2 x3 2x 3 x 1 9 x2 lim lim lim lim 15) x5 5 x 16) x 3 x 3 17) x 1 x 1 18) x 3 x 3 x x 2 1 2x 3 x2 x 6 x2 x 6 x2 x 6 lim lim lim lim lim 2 x2 20) x 2 x 2 21) x 1 x 1 20) x 2 x 2 22) x 0 23) x 2 x 3x 2 x 2 x 3 x2 4x 5 lim lim lim 2 24) x1 x 1 25) x 4 x 4 26) x9 x 9 x 3 Nos problemas abaixo. determine os limites. determine se é ou 27) f x x3 4 x 2 4 28) lim f x x e lim f x x f x 1 x 4 x 2 3x 3 .Nos problemas abaixo. Se o valor limite for infinito. 1 -1.01 Nos problemas 43 a 50.001 1. 39.9 f x -0. f x x f x 42. -0.009 0.1 0 0.99 1.001 -1 -0. x f x 41. Em seguida.001 2.01 1.0009 0.01 2.9 1 lim f x x .009 0. x 1 0. use a tabela para estimar o limite indicado ou mostrar que o limite não existe. complete a tabela calculando para os valores especificados de x . x 0 40.99 x3 1 lim f x x 1 .999 -0.09 0. f x x2 x x f x 1.9 f x x .1 1.999 1 1. lim f x x 2 1. calcule o limite indicado ou mostre que ele não existe usando as f x g x seguintes informações a respeito de limites das funções e : 14 .999 2 2.09 -0. x 1 -1.99 -0.09 x f x x3 1 lim f x x 1 .f x Nos problemas 39 a 42. 5 17.7 1. como mostra a figura. 2t 1500 será milhares de pessoas e que a renda bruta do país será E milhões de dólares. x 2 f x g x x f x x 49. O gerente de uma empresa determina que t meses após começar a fabricação de um novo produto o número de unidades fabricadas deve ser P milhares.9 17. onde 6t 2 5t P t 2 t 1 O que acontece com a produção a longo prazo? 51. onde E t 9t 2 0. Quando o peso é excessivo o fio se rompe. 15 .99 1. COLÔNIAS DE BACTÉRIAS O gráfico a seguir mostra a variação da taxa de crescimento RT com a temperatura T para uma colônia de bactérias.lim f x c x c lim g x 2 e lim f x 3 x e lim 2 f x 3 g x 43. Um experimento é executado no qual diferentes pesos são pendurados no centro do fio e os deslocamentos verticais correspondentes são medidos. lim f x g x x c lim 46.795 Arrebenta y W 50. lim g x 4 x 44. RENDA PER CAPITA Estudos mostram que daqui a t anos a população de um certo país p 0. xc 47. x c f x lim x c g x 45.78 Arrebent a 1.75 1.79 1. xc 2 f x g x 5g x 2 f x lim lim g x 48. Um fio é estendido horizontalmente. qual é o maior deslocamento possível deste tipo de fio? Peso W(kg) Deslocamento Y(cm) 15 16 17 18 17. Com base nos dados a seguir.5t 179 E p em função do tempo t a) Expresse a renda per capita do país b) O que acontece com a renda per capita a longo prazo? P 52. CUSTO MÉDIO Um gerente observa que o custo total para fabricar x unidades de um certo C x 7. Em um modelo se o animal está se alimentando de plantas que permitem uma mordida de tamanho S. 55.RT a) Qual o intervalo de temperatura T na qual a taxa de crescimento dobra de valor? b) O que se pode dize a respeito da taxa de crescimento para 25 T 45 ? c) O que acontece quando a temperatura atinge aproximadamente 45°? Faz sentido calcular lim R T x 50 ? 53. é difícil comer bem se você tem que está em guarda o tempo todo contra predadores que podem comê-lo. PISCOLOGIA EXPERIMENTAL Para estudar o aprendizado em animais. O que acontece com este tempo quando o número de n tentativas aumenta indefinidamente? Interprete este resultado. C x A x lim A x x Calcule x e interprete o resultado 16 . O custo médio é . a aS I S I S S c onde a e c são ingestão de alimentos é dada por uma função da forma constantes positivas. um estudante de psicologia realizou um experimento em que um rato teve que atravessar várias vezes o mesmo labirinto. Suponha que o tempo que o rato levou para atravessar o labirinto na enésima tentativa 5n 17 T n n tenha sido da ordem de minutos. ECOLOGIA Em algumas espécies de animais. a ingestão de alimentos é afetada pelo grau de vigilância que o animal mantém enquanto está comendo. Para resumir.000 produto pode ser modelado pela função (reais).5x 120. I S a) O que acontece com a ingestão quando o tamanho de S da mordida aumenta indefinidamente? Interprete o resultado. 54. indique se é lim 3 x 9 2 5) 6) x 4 lim x 2 x3 x 1 7) x x x 1 2 lim x3 10) x 1 x 1 11) x3 lim f x lim f x 13) x3 e x3 onde: lim 2 x 2 x para x 3 f x 3 x para x 3 14) lim f x x 1 e lim f x x 1 lim x 3 12) 3x 9 lim x 5 8) 2x 1 3 x5 lim x2 x2 4 x2 9) lim x x x 0 b) onde: 1 para x 1 f x x 1 x 2 2 x para x 1 Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x. Se o valor limite for infinito. 15) 17) f x 5 x 2 6 x 1 em x 2 f x 16) f x x 3 2 x 2 x 5 em x 0 x2 2x 4 x 1 em x 1 f x em x 2 f x em x 1 x 1 3x 2 x 1 18) 19) 17 . ou Determine o limite unilateral indicado. Nesse caso.20) f x x 2 x 2 2x 1 f x em x 4 f x em x 2 em x 2 3x 6 x4 x4 21) 22) x 1 para x 2 x 1 para x 0 em x 2 f x em x 0 2 para x 2 x 1 para x 0 23) 24) x2 1 para x 1 x 2 1 para x 3 f x x 1 em x 1 f x em x 3 x 2 3 para x 2 2 x 4 para x 3 25) 26) f x Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua. 67 v +62. a sensação térmica ( em ° F ) para uma velocidade do vento v ( em milhas por hora ) é dada por: 30 para 0 v 4 W v 1. 25v 18. a intensidade do campo elétrico E(x) em um ponto P situado a uma distância de x unidades do centro da esfera é dada por 18 . 27) 31) 35) 38) x 1 3x 1 f x x 2 30) 2x 6 28) 29) 2 3x 2 x 3x 3 x 1 f x f x f x f x x 3 x 6 34) x 5 x 1 x 1 32) x 1 33) 2 x 3 para x 1 x x2 2 x f x f x 2 f x 2 6 x 1 para x 1 x x 36) x x 2 37) x 2 para x 2 3x 2 para x 0 2 3 x para x 1 f x f x 2 f x 2 9 para x 2 39) x x para x 0 40) x x 3 para x 1 f x 3x 2 6 x 9 f x f x x5 x3 41) METEOROLOGIA Suponha que a temperatura do ar seja 30° F.3 para 4 v 45 7 para v 45 a) Qual é a sensação térmica para v = 20 milhas por hora? b) Que velocidade do vento produz uma sensação térmica de 0° F? c) A função de sensação térmica W(v) é contínua em v = 4? E em v = 45? 42. INTENSIDADE DO CAMPO ELÉTRICO Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade estática. Em que pontos o gráfico é descontínuo? O que acontece nessas ocasiões? 19 . em cents. Para que valores de x a função p(x) é descontínua no intervalo 0 x 6 ? 44. CONTROLE DE ESTOQUE O gráfico a seguir mostra o número de unidades em estoque de um certo produto durante um período de 2 anos. Faça o gráfico de p(x) para 0 x 6 . mas para x > 0 observa-se que: 0. Em que ponto o gráfico é descontínuo? O que acontece nessas ocasiões? 46. POLUIÇÃO DO MAR Um tubo rompido em uma plataforma petrolífera do Mar do Norte produz uma mancha de óleo circular que tem y metros de espessura e uma distância de x metro do local do vazamento. 0 para 0 x R 1 E x para x R 2 2 x 1 x 2 para x R Faça o gráfico de E(x). CONSUMO DE COMBUSTÍVEL O gráfico a seguir mostra o volume de gasolina no tanque do carro de Suzana durante o período de 30 dias. . TARIFAS POSTAIS No correio dos Estados Unidos a “função de porte” p(x) pode ser descrita da seguinte forma: 37 para 0 x 1 60 para 1 x 2 83 para 2 x 3 p x . A turbulência torna difícil medir diretamente a espessura no local do vazamento (x = 0). A função E(x) é contínua para x>0? 43.5 x 2 3x y 3 x x2 4 x Suponha que a distribuição de óleo no mar seja contínua. qual é a espessura estimada no local do vazamento? 45. 290 para 11 x 12 Onde x é peso de uma carta em onças e p(x) é o preço correspondente do porte. 47. Suponha por exemplo. expresse cada um dos seguintes limites como. 50. ou NE (não existe) lim f x xa b) lim f x x a c) lim f x xa 20 . POLUÍÇÃO DO AR Estima-se que daqui a t anos a população de um certo bairro será p mil habitantes. ANÁLISE CUSTO-BENEFÍCIO Em certas situações. o custo total de operações é C centenas de milhares de reais. onde: 8 x 2 636 x 320 C x 2 x 68 x 960 a) Calcule C 0 e C 100 . onde c p 0. 4 p 2 p 21 Qual será o nível de poluição c a longo prazo ( t )? Para a) f x dada. c) O que acontece quando x 100 ? É possível remover toda a poluição? 48. quando x% das capacidades das fabricas está sendo usada. é necessário comparar os benefícios de uma certa medida com o custo necessário para executá-la. . GERENCIAMENTO DE CUSTO O gerente de uma empresa determina que. onde 7 p t 20 t2 Um estudo ambiental mostra que a concentração média de monóxido de carbono no ar será c partes por milhão quando a população for p mil habitantes. que para remover x % da poluição causada por um derramamento de petróleo seja preciso gastar C milhares de reais onde: C x 12 x 100 x a) Quanto custa remover 25% da poluição? E 50%? b) Plote a função custo. 3x 4 x 1 4 7x 5 x 2 3x 1 3x3 x 1 lim lim lim 2 lim 3 x 2 x 7 x 2 2 11) x 2 x 4 x 7 12) x 6 x 2 x 7 13) x 2 3 x 14) 2x2 3 2x2 x 3 x3 2 x x2 2 2 x2 lim 3 lim lim lim lim 3 2 15) x 4 x 5 x 16) x x 1 17) x 2 x 3 18) x x 1 19) x x 3 3x 4 x 1 2 20) x x 5 lim CALCULE: 1) lim x 4 3x 2 x 5x 6 x 1 3 5) x 6 x 2 x4 2x 3 lim 4 9) x 3 x 7 x 1 3 lim 14) 18) 21) 24) 29) 2) lim 5 4 x x 2 x 5 lim 3 x3 2 x 1 lim x 3 2 x 3 3) x 4) x 3 2x 3 5x 6x 1 5x 7 x 3 lim lim lim 4 2 6) x 6 x x 3 7) x x 2 x 3 8) x x 1 5 x x 1 2 x x 1 lim lim 2 lim lim 2 10) x 3 2 x 11) x x 2 12) x 3 x 13) x x 3 x 3 x x3 lim 2 x x 2 3 lim x 3 x3 2 lim x x 2 3 x x x 16) 17) 2x 1 15) lim x x x 1 lim x 3 2 3x 3 lim x x 3 x 20) x x 19) 4 lim 5 4 1 2x 1 x 3 lim lim 1 2x 1 lim lim lim 2 x x 3 3 x 22) x3 x 3 23) 2 21) x 0 x 22) x 0 x 23) x 0 x 3x 1 lim 2 3 3 2x 3 2x 3 lim 2 lim 2 lim 2 lim 2 1 4x 1 x x 0 x x x 0 x x x 1 x 1 x 1 x 1 25) 26) 2 27) 28) lim x lim x 3 2x 1 2x 1 3x 5 x 2 3x x2 4 lim lim lim lim x 2 6 x 9 30) x 1 x 2 x 31) x0 x 2 x 32) x 1 x 2 3 x 4 33) x 1 x 2 4 x 4 REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: 21 .5 f x a4 x4 1) 5 f x 4 x 2) f x 4 3 f x a 7x 3 7 4) 7) 11) 5) 2 x2 a 1 x2 x 2 1 f x a 1 2 x 1 f x 8) a4 3x x 8 f x 2 f x 3) 8 2 x 5 f x a 8 6) 3 a 3x 2 2x 9 2 5 2 a 1 4x f x 2 a 1 x x 3 x2 4x 3 9) 9 2 a3 Determine o limite. se existir. Editora – 2008 22 . 1994. Rio de Janeiro. 9ª Edição. Rio de Janeiro. BRADLEY. LTC. Cálculo Um curso Moderno e Suas Aplicações.SWOKOWSKI.. LAURENCE D. ANTON HOWARD.Porto Alegre Bookman 2000 GUIDORIZZI. LTC. Earl W. 1. HAMILTON LUIZ. Um curso de Cálculo. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.São Paulo: Makron Books do Brasil. Editora – 2003. 1 5ª ed. v. Cálculo com Geometria Analítica. HOFFMANN & GERALD L. V.
Report "Conceito de Limite e Continuidade (Reparado)"