Conceito de Limite e Continuidade (Reparado)



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FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPECURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: LIMITE E CONTINUIDADE CÁLCULO I PROFESSOR: MARCOS AGUIAR INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE LIMITE 1. CONTINUIDADE Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p do seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta “ salto “ em p. Observe na figura (i) a função é contínua pois não apresenta salto em p, enquanto no figura (ii) não é contínua pois apresenta salto em p fig. (i) fig. (ii) Exemplo 1: Consideremos as funções f e g dadas por f  x  x e  1 se x  1  2 se x  1 g  x   Vemos intuitivamente, que f é contínua em todo p de seu domínio. Por sua vez, g não é contínua em p  1 , mas é contínua em todo p  1 . 2. LIMITE 2.1. CONCEITO INTUITIVO DE LIMITES. 1 Calculando o limite: x3  2 x 2 0 f  x   3x  6 0 levantando a indeterminação temos: x2  x  2 x3  2 x 2 x3  2 x 2 x2 4 lim  lim  lim  lim  x  2 3x  6 x 2 3x  6 x 2 3  x  2  x 2 3 3 Substituindo os valores de x indicados na tabela abaixo, observamos intuitivamente que os f  x valores de se aproximam de 2 tanto pela direita como pela esquerda, porém não é 2, 4 f x   então dizemos que quando x tende a 2 tende a 3 , onde usamos a notação 4 lim f  x   lim f  x   L x2 3 , generalizando x  a x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 f  x x f  x 1,20333333 1,32003333 1,33200033 1,33320000 2,33332000 1.33333200 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001 1,47000000 1,34670000 1,33466700 1,33346667 1,33334667 1,33333467 f  x O comportamento desta função pode ser descrito afirmando que “ o limite de quando x 4 se aproxima de 2 pela direita ou pela esquerda tende a 3 “ cuja notação matemática é: x3  2 x 2 4  x 2 3 x  6 3 , que se ler matematicamente da seguinte maneira: Limite de f  x  4 quando x tende a 2, tende a 3 . lim f  x Intuitivamente, dizer que o limite de , quando x tende a p, é igual a L que, lim f  x   L f  x simbolicamente, se escreve x  p , significa que quando x tende a p, tende a L, como ilustra ao gráficos abaixo. 2 Use a tabela para estimar o limite Solução: x 1 x 1 lim x 1 x 1 x  1 e calcule f  x  para valores de x que se aproxime de 1 pela esquerda e f  x  Faça pela direita: x 1 x x 0.499999 0.50001 IND 0.Exemplo.5 quando x tende para 1 Solução algébrica: lim x 1 x 1  lim x 1 x 1    x  1  x 1   lim x 1  x 1  x  1 x 1  x  1  x  1 Graficamente.50126 0.0001 1.50013 0.49999 0.9999 1 1.5 .99 0.999 0. 3  lim x 1  1  x 1  0.001 f  x 0.4999 f  x Observando a tabela sugere que tende para 0.00001 1. Veremos que isto realmente acontece. se f estiver definida em p. então. f é contínua em p  lim f  x   f  p  x p lim f  x   L Veremos. então L será aquele valor que f deveria ter em p para ser contínua neste ponto. f não está definida em x  1 Para x  1 f  x  x2 1  x  1. é razoável esperar que se f estiver definida em p. que se x  p se f não for contínua em p. lim f  x   f  p  x p . 4 .lim x2 1 x 1 Exemplo : Utilizando a idéia intuitiva de limite. x 1 x 1 Solução: Seja . isto é. ainda. x 1 lim x 1 x2 1  lim  x  1  2 x  1 x1 Intuitivamente. e reciprocamente. calcule x 1 x2 1 f  x  . c) lim x2 x2  4 x2 Utilizando a idéia intuitiva de limite. existe   0 tal que. Na situação (d). mas existe L que satisfaz a propriedade x  Df Para todo  0 dado. f não está definida em p. não existe L satisfazendo (i) em p.f  x  L f não está definida em p lim x p . A propriedade (i) é equivalente a 5 . Na situação (c). para todo . calcule x2  x lim lim  3 x  1 a) x0 b) x 2 x  3 x 1 x2  x x2  4x  4 lim lim lim d) x 0 x e) x1 x  1 f) x 2 x  2 x2 1 g) x 1 x  1 lim 2. f está definida em p. assim L  f  p satisfaz (i). f L é valor que deveria ter em p para ser contínua em p Exercícios: I. mas não é continua em p. DEFINIÇÃO DE LIMITE Consideremos as situações a seguir: Na situação (a). p   x  p   . entretanto existe L satisfazendo (i): observe que neste caso a restrição x  p é essencial. f é contínua em p. x  p  L    f  x  L   (i) Na situação (b). se.   0 tal que. Assim    0. 0  x  p    f  x  L   Definição. então lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x  x a x a lim  f  x  g  x  xa x a lim f  x  lim g  x  xa x a lim f  x   f  x  x a lim  . em p. para todo   0 dado. Dizemos que f tem limite L.x  Df Para todo   0 dado. existe   0 tal que. será indicado por lim f  x  x p . existe um   0 tal que. ou se a  0 e n é um inteiro positivo impar g) Se m e n são inteiros positivo. 0  x  p    f  x  L   . ou se a  0 e n é um inteiro positivo impar. quando existe é único. PROPRIEDADES DO LIMITE (i) (ii) Se a) b) c) d) e) lim c  c xa lim x  a o limite de uma constante é a própria constante x a lim f  x  e lim g  x  x a x a existem ambos. desde que lim g  x   0   x a g  x  xa lim g  x    x a lim  cf  x   c lim f  x  x a x a lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x  x a x a x a lim x  a f) x a para a  0 e n inteiro positivo. para todo . então n n 6 . Tal número L. para todo x  D f lim f  x   L    0  x  p    f  x   L   x p 3. para todo x  D f . Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f . Lista 4.lim x a lim xa h)  n    n x m  lim n x  x a   a m f  x   n lim f  x  x a n m n inteiro positivo impar ou n inteiro positivo par e lim f  x   0 xa 5. obtemos:  1  x 2  x 2 sen  2  x 2 lim  x 2  0 e lim x 2  0.   0 tal que lim f  x   L   x p  p  x  p    f  x   L   O número L. logo. P um número real e suponhamos que exista b tal que definimos:  b. exceto possivelmente para o próprio a Se lim f  x   L  lim g  x  . LIMITES LATERAIS Seja f uma função. xa xa lim h  x   L então x a Exemplo: Use o teorema para provar que 1  sen  t   1 Como para todo t. quando existe. lim x 2 sen x 0 1 0 x2  1 1 2 2  x para todo x  0 . Multiplicando por x ( que é positivo se x  0 ). denomina-se limite lateral à direita de f em p 7 . p   D f    0. TEOREMA DO SANDUÍCHE f  x  h  x  g  x Suponhamos para todo x em um intervalo aberto contendo a.  x x 0 . como x 0 concluímos que 1 lim x 2 sen 2  0 x 0 x 1  sen      Exercícios. Calcule: a) lim x  x 1 x3 x x3 b) x  2 x  1 lim lim  2 x  x 2  3   c) x  8 lim  x  3x 3  2   d) x  . Sejam  a. Calcule Solução:  `x 2 se x  1  2 x se x  1 lim f  x  e lim f  x  sendo f  x    x 1 x 1 lim f  x   lim 2 x  2 e lim f  x   lim x 2  1 x 1 x 1 lim x e lim Exemplo 2. p   D f Suponhamos agora que exista um real a tal que definimos:    0. quando existe.   0 tal que lim f  x   L    p    x  p  f  x   L   x p O número L. a. Então. p um número real e suponhamos que existam a e b tais D estejam contidos em f . denomina-se limite lateral à esquerda de f em p Exemplo 1. Calcule x 0 x x  1 se x  0  x  1 se x  0 Solução: lim x 0 x x = lim1=1 e lim x 0 x 0 Teorema. p  e  p.  f admite limites laterais à direita e à esquerda em p lim f  x   L   x p  e lim f  x   lim f  x   L x p x p 1.  lim  1  1 x 0 f uma função. b  que x1 x 1 x x x 0 x x . escolhendo x suficientemente próximo de 2 e x  2 . 1 1 lim x  2 x  2 . Pode-se mostrar pela figura 1 que x2 f  x não existe. ao tender x para a . 1 1 lim    quando x  2 x2 x  2 ou x  2 A figura 2 contém gráficos típicos de funções arbitrárias que tendem para  ou  de varias maneiras. o valor f  x da função ou aumente sem limite. escrevendo. Quando x se aproxima de 2 pela direita.lim  x  x 2  3   e) lim  x  3 2  3 x 3 x    x  lim  x  x  3 f) x  lim   x  x  x  1  lim 1 2x 1 lim x e) x 0 x x  g) h) 2. 9 . pode ocorrer que. f  x  Denotação: lim x2 1 1    quando x  2 x2 ou x  2 Figura 1 f  x De modo análogo para indicar que decresce sem limite. f  x aumenta sem limite. no sentido de que podemos tornar arbitrariamente grande. LIMITES QUE ENVOLVEM O INFINITO lim f  x  ou lim f  x  x a Ao investigarmos x a . Considere a função abaixo. Calcule: 5 4 lim lim a) x 3 3  x b) x 3 x  3 lim c) x 1 2 4 2x 1 d) x 0 f) lim x 0 x 3 x2 3x  1 lim 2 3 3 2x  3 2x  3 x2  3x lim 2 lim 2 1 4x 1 lim lim lim 2 2 2 x    2 g) x 0 x  x h) x 0 x  x i) j) x 1 x  1 l) x 1 x  1 m) x 3 x  6 x  9 2x 1 2x  1 3x  5 x2  4 lim 2 lim 2 lim 2 lim 2 n) x 1 x  x o) x 0 x  x p) x 1 x  3 x  4 q) x 1 x  4 x  4 5. ou decresça sem limite. ambos os limites à direita e à f  x esquerda devem ser  . ambos o limites laterais devem ser  . para que figura 4.figura 2 Consideraremos também limites bi – laterais ilustrados na figura 3. Se o limite de f  x  .) dizemos lim f  x  que o x a não existe Note que. A reta x  a nas figuras 2 e 3 é chamada de assíntota vertical . de um lado de a é  e do outro lado de a é  (figura 4. 10 . Para que tenda para  . figura 3 f  x tenda para  quando x tende para a . então 11 .Consideremos a seguir funções cujos valores tendem para um número L quando muito grande. Se k é um número racional positivo e c um número real arbitrário. Seja f  x  2  x se torna 1 x 1  lim  2    2 x  x  Calculando o limite temos como x é suficientemente grande. então Teorema. existe um número M  0 tal que f  x  L   Se x  M . Significa que todo   0 . lim f  x   L x  . Significa que todo   0 . lim f  x   L x  . então Definição 2. existe um número N  0 tal que f  x  L   Se x  M . logo o quociente 1 0 x Definição 1. a) f) lim x 2 x2  lim  x 2  2 x  3 x 1 x2  9 lim l) x 3 x  3 q) b) lim x 3 lim  3 x  1 c) x 1  g) lim x x4 x2  9 lim m) x 1 x  3 h) lim  4 x  1 x 2 lim 3 x i) x 3 n) lim 5 x8 4x2 1 lim 1 x 2 x  1 3 4 x 3 x33 x42 lim lim x  3 r) x 3 x  3 s) x2 x  2 12 d) lim 5 lim 50 e) x9 x2  9 lim j) x 3 x  3 x10 9x2 1 x 1 lim lim 1 x  3 x  1 x  1 x  1 2 o) p) 3 x 1 x 2  3x  1 lim lim 2 x 1 2x  3  5 t) x0 x  2 u) . 5x2  3x  1 lim 2 x  2 x  4 x  7 3 1 3 1 3 1    x 2  5   2  5   2 lim  5   x  5 x x x x x  x2    lim  lim   2 x  x  4 7 4 7 4 7 2    5x  3x  1 x 2  2   2 2   2 lim 2    lim 2  2 x  x x x x x x    Solução: x  2 x  4 x  7  Exercícios.lim x  c c  0 e lim k  0 k x  x x . k desde que x seja sempre definido Exemplo. Determine o limite se existir. caso exista. indique 29) f  x    1  2 x   x  5 x2  2x  3 1  3x3 f x    f  x   1 x  2 x 2  5 x  1 32) 2 x3  6 x  2 30) 31) 2x  1 x2  x  5 3x 2  6 x  2 f  x  2 f  x  f x    3x  2 x  7 34) 1  2 x  x3 35) 2x  9 33) 1  2 x3 f  x  x 1 36) 2 3 f  x  13 . lim  3 x  5 x  2  2 7) 11) x 2 lim  x  1 2  x  1 lim  x  2 x  x  3 3 8) 2 9) x 1   lim x  1  1  2 x  2 lim  x  6 x  7  5 4 x 0 2 lim 1 x 3 x 1 x2 10) lim  1  5 x 3  x  1 2 2x  3 14) x 1 x  1 x 2  3 x  10 lim x 5 19) x5 lim 12) x 1 13) 2 x3 2x  3 x 1 9  x2 lim lim lim lim 15) x5 5  x 16) x 3 x  3 17) x 1 x  1 18) x 3 x  3 x  x 2  1 2x  3 x2  x  6 x2  x  6 x2  x  6 lim lim lim lim lim 2 x2 20) x 2 x  2 21) x 1 x  1 20) x 2 x  2 22) x 0 23) x 2 x  3x  2 x 2 x 3 x2  4x  5 lim lim lim 2 24) x1 x  1 25) x 4 x  4 26) x9 x  9 x 3 Nos problemas abaixo. determine os limites. determine se é  ou  27) f  x   x3  4 x 2  4 28) lim f  x  x  e lim f  x  x  f  x   1  x  4 x 2  3x 3 .Nos problemas abaixo. Se o valor limite for infinito. 1 -1.01 Nos problemas 43 a 50.001 1. 39.9 f  x  -0. f  x  x f  x 42. -0.009 0.1 0 0.99 1.001 -1 -0. x f  x 41. Em seguida.001 2.01 1.0009 0.01 2.9 1 lim f  x  x .009 0. x 1 0. use a tabela para estimar o limite indicado ou mostrar que o limite não existe. complete a tabela calculando para os valores especificados de x . x 0 40.99 x3  1 lim f  x  x  1 .999 -0.09 0. f  x  x2  x x f  x 1.9 f  x  x  .1 1.999 1 1. lim f  x  x 2 1. calcule o limite indicado ou mostre que ele não existe usando as f  x g  x seguintes informações a respeito de limites das funções e : 14 .999 2 2.09 -0. x 1 -1.99 -0.09 x f  x x3  1 lim f  x  x  1 .f  x Nos problemas 39 a 42. 5 17.7 1. como mostra a figura. 2t  1500 será milhares de pessoas e que a renda bruta do país será E milhões de dólares. x  2 f  x  g  x x  f  x x  49. O gerente de uma empresa determina que t meses após começar a fabricação de um novo produto o número de unidades fabricadas deve ser P milhares.9 17. onde 6t 2  5t P t  2  t  1 O que acontece com a produção a longo prazo? 51. onde E  t   9t 2  0. Quando o peso é excessivo o fio se rompe. 15 .99 1. COLÔNIAS DE BACTÉRIAS O gráfico a seguir mostra a variação da taxa de crescimento RT  com a temperatura T para uma colônia de bactérias.lim f  x   c x c lim g  x   2 e lim f  x   3 x  e lim  2 f  x   3 g  x  43. Um experimento é executado no qual diferentes pesos são pendurados no centro do fio e os deslocamentos verticais correspondentes são medidos. lim f  x  g  x  x c lim 46.795 Arrebenta y W 50. lim g  x   4 x  44. RENDA PER CAPITA Estudos mostram que daqui a t anos a população de um certo país p  0. xc 47. x c  f  x lim x c g  x  45.78 Arrebent a 1.75 1.79 1. xc 2 f  x  g  x 5g  x   2 f  x  lim lim g  x  48. Um fio é estendido horizontalmente. qual é o maior deslocamento possível deste tipo de fio? Peso W(kg) Deslocamento Y(cm) 15 16 17 18 17. Com base nos dados a seguir.5t  179 E p em função do tempo t a) Expresse a renda per capita do país b) O que acontece com a renda per capita a longo prazo? P 52. CUSTO MÉDIO Um gerente observa que o custo total para fabricar x unidades de um certo C  x   7. Em um modelo se o animal está se alimentando de plantas que permitem uma mordida de tamanho S. 55.RT  a) Qual o intervalo de temperatura T na qual a taxa de crescimento dobra de valor? b) O que se pode dize a respeito da taxa de crescimento para 25  T  45 ? c) O que acontece quando a temperatura atinge aproximadamente 45°? Faz sentido calcular lim R  T  x 50 ? 53. é difícil comer bem se você tem que está em guarda o tempo todo contra predadores que podem comê-lo. PISCOLOGIA EXPERIMENTAL Para estudar o aprendizado em animais. O que acontece com este tempo quando o número de n tentativas aumenta indefinidamente? Interprete este resultado. C  x A x  lim A  x  x Calcule x  e interprete o resultado 16 . O custo médio é . a aS I  S  I  S S  c onde a e c são ingestão de alimentos é dada por uma função da forma constantes positivas. um estudante de psicologia realizou um experimento em que um rato teve que atravessar várias vezes o mesmo labirinto. Suponha que o tempo que o rato levou para atravessar o labirinto na enésima tentativa 5n  17 T  n  n tenha sido da ordem de minutos. ECOLOGIA Em algumas espécies de animais. a ingestão de alimentos é afetada pelo grau de vigilância que o animal mantém enquanto está comendo. Para resumir.000 produto pode ser modelado pela função (reais).5x  120. I  S a) O que acontece com a ingestão quando o tamanho de S da mordida aumenta indefinidamente? Interprete o resultado. 54. indique se é lim  3 x  9  2 5) 6) x  4 lim x 2 x3 x 1 7) x x x 1  2 lim x3 10) x 1 x  1 11) x3 lim f  x  lim f  x  13) x3 e x3 onde: lim  2 x 2  x para x  3 f  x    3  x para x  3 14) lim f  x  x 1 e lim f  x  x 1 lim x 3 12)  3x  9  lim x 5 8) 2x 1  3 x5 lim x2 x2  4 x2 9)  lim x  x x  0 b) onde:  1 para x  1 f  x   x 1  x 2  2 x para x  1   Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x. Se o valor limite for infinito. 15) 17) f  x   5 x 2  6 x  1 em x  2 f  x  16) f  x   x 3  2 x 2  x  5 em x  0 x2 2x  4 x 1 em x  1 f  x  em x  2 f  x  em x  1 x 1 3x  2 x 1 18) 19) 17  . ou  Determine o limite unilateral indicado. Nesse caso.20) f  x  x 2 x 2 2x 1 f  x  em x  4 f  x  em x  2 em x  2 3x  6 x4 x4 21) 22)  x  1 para x  2  x  1 para x  0 em x  2 f  x   em x  0  2 para x  2  x  1 para x  0 23) 24)  x2  1 para x  1   x 2  1 para x  3 f  x   x 1 em x  1 f  x   em x  3  x 2  3 para x  2  2 x  4 para x  3  25) 26) f  x   Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua. 67 v +62. a sensação térmica ( em ° F ) para uma velocidade do vento v ( em milhas por hora ) é dada por:  30 para 0  v  4  W  v    1. 25v  18. a intensidade do campo elétrico E(x) em um ponto P situado a uma distância de x unidades do centro da esfera é dada por 18 . 27) 31) 35) 38) x 1 3x  1 f  x  x  2 30) 2x  6 28) 29) 2 3x  2 x 3x  3 x 1 f  x  f  x  f  x  f  x   x  3  x  6  34)  x  5  x  1 x  1 32) x  1 33)  2 x  3 para x  1 x x2  2 x  f  x   f  x  2 f  x  2  6 x  1 para x  1 x  x 36) x  x  2 37)  x 2 para x  2  3x  2 para x  0  2  3 x para x  1 f  x   f  x   2 f  x   2  9 para x  2 39)  x  x para x  0 40)  x  x  3 para x  1 f  x   3x 2  6 x  9 f  x  f  x   x5  x3 41) METEOROLOGIA Suponha que a temperatura do ar seja 30° F.3 para 4  v  45  7 para v  45  a) Qual é a sensação térmica para v = 20 milhas por hora? b) Que velocidade do vento produz uma sensação térmica de 0° F? c) A função de sensação térmica W(v) é contínua em v = 4? E em v = 45? 42. INTENSIDADE DO CAMPO ELÉTRICO Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade estática. Em que pontos o gráfico é descontínuo? O que acontece nessas ocasiões? 19 . em cents. Para que valores de x a função p(x) é descontínua no intervalo 0  x  6 ? 44. CONTROLE DE ESTOQUE O gráfico a seguir mostra o número de unidades em estoque de um certo produto durante um período de 2 anos. Faça o gráfico de p(x) para 0  x  6 . mas para x > 0 observa-se que: 0. Em que ponto o gráfico é descontínuo? O que acontece nessas ocasiões? 46. POLUIÇÃO DO MAR Um tubo rompido em uma plataforma petrolífera do Mar do Norte produz uma mancha de óleo circular que tem y metros de espessura e uma distância de x metro do local do vazamento.  0 para 0  x  R   1 E  x   para x  R 2 2 x   1  x 2 para x  R Faça o gráfico de E(x). CONSUMO DE COMBUSTÍVEL O gráfico a seguir mostra o volume de gasolina no tanque do carro de Suzana durante o período de 30 dias.  . TARIFAS POSTAIS No correio dos Estados Unidos a “função de porte” p(x) pode ser descrita da seguinte forma:  37 para 0  x  1  60 para 1  x  2   83 para 2  x  3 p  x    . A turbulência torna difícil medir diretamente a espessura no local do vazamento (x = 0). A função E(x) é contínua para x>0? 43.5 x 2  3x y 3 x  x2  4 x Suponha que a distribuição de óleo no mar seja contínua. qual é a espessura estimada no local do vazamento?   45.   290 para 11  x  12 Onde x é peso de uma carta em onças e p(x) é o preço correspondente do porte. 47. Suponha por exemplo. expresse cada um dos seguintes limites como. 50.  ou NE (não existe) lim f  x  xa b) lim f  x  x a  c) lim f  x  xa 20 . POLUÍÇÃO DO AR Estima-se que daqui a t anos a população de um certo bairro será p mil habitantes. ANÁLISE CUSTO-BENEFÍCIO Em certas situações. o custo total de operações é C centenas de milhares de reais. onde: 8 x 2  636 x  320 C  x  2 x  68 x  960 a) Calcule C  0 e C  100  . onde c  p   0. 4 p 2  p  21 Qual será o nível de poluição c a longo prazo ( t   )? Para a) f  x dada.  c) O que acontece quando x  100 ? É possível remover toda a poluição? 48. quando x% das capacidades das fabricas está sendo usada. é necessário comparar os benefícios de uma certa medida com o custo necessário para executá-la. . GERENCIAMENTO DE CUSTO O gerente de uma empresa determina que. onde 7 p  t   20  t2 Um estudo ambiental mostra que a concentração média de monóxido de carbono no ar será c partes por milhão quando a população for p mil habitantes. que para remover x % da poluição causada por um derramamento de petróleo seja preciso gastar C milhares de reais onde: C  x  12 x 100  x a) Quanto custa remover 25% da poluição? E 50%? b) Plote a função custo.  3x  4   x  1 4  7x 5 x 2  3x  1 3x3  x  1 lim lim lim 2 lim 3 x   2 x  7   x  2  2 11) x  2 x  4 x  7 12) x  6 x  2 x  7 13) x  2  3 x 14) 2x2  3 2x2  x  3  x3  2 x x2  2 2  x2 lim 3 lim lim lim lim 3 2 15) x  4 x  5 x 16) x  x  1 17) x  2 x  3 18) x  x  1 19) x  x  3 3x 4  x  1 2 20) x  x  5 lim CALCULE: 1) lim  x 4  3x  2  x  5x  6 x  1 3 5) x  6 x  2 x4  2x  3 lim 4 9) x  3 x  7 x  1 3 lim 14) 18) 21) 24) 29) 2) lim  5  4 x  x 2  x 5  lim  3 x3  2 x  1 lim  x 3  2 x  3  3) x 4) x  3 2x  3 5x  6x  1 5x  7 x  3 lim lim lim 4 2 6) x  6 x  x  3 7) x  x  2 x  3 8) x  x  1 5 x x 1 2 x x 1 lim lim 2 lim lim 2 10) x  3  2 x 11) x  x  2 12) x 3  x 13) x x  3 x  3 x x3 lim  2 x  x 2  3 lim  x  3 x3  2 lim  x  x 2  3 x  x  x   16)   17)    2x 1 15) lim  x  x  x  1 lim  x  3 2  3x 3 lim  x  x  3   x     20) x  x  19) 4 lim 5 4 1 2x  1 x 3 lim lim 1 2x 1 lim lim lim 2 x  x 3 3  x 22) x3 x  3 23) 2 21) x 0 x 22) x 0 x 23) x 0 x 3x  1 lim 2 3 3 2x  3 2x  3 lim 2 lim 2 lim 2 lim 2 1 4x 1 x x 0 x  x x 0 x  x x  1 x  1 x 1 x 1 25) 26) 2 27) 28) lim x  lim x 3 2x 1 2x 1 3x  5 x 2  3x x2  4 lim lim lim lim x 2  6 x  9 30) x 1 x 2  x 31) x0 x 2  x 32) x 1 x 2  3 x  4 33) x 1 x 2  4 x  4 REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: 21 .5 f  x  a4 x4 1) 5 f  x  4 x 2) f  x  4 3 f  x  a 7x  3 7 4) 7) 11) 5) 2 x2 a  1 x2  x  2 1 f  x  a  1 2  x  1 f  x  8) a4 3x  x  8 f  x  2 f  x  3) 8  2 x  5 f  x  a  8 6) 3 a 3x 2  2x  9 2 5 2 a 1 4x f  x  2 a  1 x  x  3 x2  4x  3 9) 9 2 a3 Determine o limite. se existir. Editora – 2008 22 . 1994. Rio de Janeiro. 9ª Edição. Rio de Janeiro. BRADLEY. LTC. Cálculo Um curso Moderno e Suas Aplicações.SWOKOWSKI.. LAURENCE D. ANTON HOWARD.Porto Alegre Bookman 2000 GUIDORIZZI. LTC. Earl W. 1. HAMILTON LUIZ. Um curso de Cálculo. Cálculo um novo horizonte volume I 6ª ed.São Paulo: Makron Books do Brasil. Editora – 2003. 1 5ª ed. v. Cálculo com Geometria Analítica. HOFFMANN & GERALD L. V.
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