Comunicación de datosUnidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Ingeniería en Telemática Programa desarrollado de la asignatura: Comunicación de Datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Clave 22142118/21142318 Universidad Abierta y a Distancia de México Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Índice Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) ........................................... 2 Presentación de la Unidad ............................................................................................. 2 Propósitos ...................................................................................................................... 2 Competencia específica ................................................................................................. 3 2.1. Respuesta de sistemas lineales e invariantes en el tiempo ..................................... 3 2.1.1. Respuesta de entrada cero (libre) y respuesta de estado cero (forzada) .......... 4 2.1.2. Respuesta transitoria y respuesta permanente ................................................. 6 Actividad 1. Modelos de respuesta ............................................................................... 10 2.2.1. Propiedades del impulso discreto y continuo .................................................. 10 Actividad 2. Propiedades de impulso ............................................................................ 12 2.2.2. Concepto de respuesta al impulso .................................................................. 12 2.2.3. La respuesta forzada y propiedades de la convolución ................................... 13 2.2.4. Respuesta al impulso y la respuesta al escalón .............................................. 14 Actividad 3. Identificando respuestas ........................................................................... 14 Actividad 4. Convolución .............................................................................................. 14 Evidencia de aprendizaje. Uso de herramienta matemática ......................................... 15 Autorreflexión ............................................................................................................... 15 Para saber más ............................................................................................................ 15 Fuentes de consulta ..................................................................................................... 16 1 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Presentación de la Unidad En el último punto de la unidad anterior viste las propiedades de los sistemas como linealidad, invariancia en el tiempo, causalidad y estabilidad externa. Las propiedades de linealidad e invariancia en el tiempo son importantes para poder analizar a fondo señales y sistemas, lo cual ha sido un precedente para lo que esencialmente atendrás en esta unidad. En esta unidad te vas Esta unidad se va a enfocar en los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI). Existen muchos sistemas en los que, por su aplicación, es necesario saber qué salida se va a obtener; por ejemplo, un aparato auditivo es un sistema en el cual es importante que el sistema actué sobre la señal de entrada de diferente modo y de acuerdo a las necesidades de cada persona. A manera de apoyo, se presenta un apéndice sobre las ecuaciones diferenciales que podrás consultar en los materiales descargables para complementar tu proceso de aprendizaje. Este material está orientado hacia los contenidos de esta asignatura. Propósitos En esta unidad se tratarán los siguientes aspectos: Explicar modelos de respuesta de los sistemas lineales e invariantes. Identifica las propiedades de impulso. Identifica los tipos de respuesta de la convolución. Mediante ejercicios propuestos, calcula la respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo al impulso, así como la invariante en el tiempo al escalón. 2 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Competencia específica Determinar la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo de acuerdo a los valores de entrada a través de ecuaciones diferenciales. 2.1. Respuesta de sistemas lineales e invariantes en el tiempo Retomando lo visto en la unidad anterior, recuerda que un sistema es lineal si se puede aplicar el principio de superposición, el cual enuncia que la respuesta del sistema a una suma de señales de entrada es la suma de las respuestas del sistema a cada señal por separado; es decir, que si la señal de entrada está afectada por alguna constante, la señal de salida deberá ser afectada del mismo modo. Y el sistema va a ser invariante en el tiempo si un desplazamiento en la señal de entrada se refleja del mismo modo en un desplazamiento en la señal de salida; es decir, que la respuesta sólo depende del sistema y la señal de entrada. Como puedes ver en la siguiente imagen, cualquier cambio en la señal 1 (azul) se verá reflejada en la señal 2 (gris). Principio de superposición Principio de superposición. Autor: Fu-Kwun Hwang, Dept. of physics, National Taiwan Normal University. 16/05/2012.Traducción: José Villasuso Simulación realizada en: http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujava/waveSuperposi tion/waveSuperposition_s.htm 3 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) 2.1.1. Respuesta de entrada cero (libre) y respuesta de estado cero (forzada) La respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede expresar mediante una ecuación diferencial. 𝑦(𝑡) = 𝑦ℎ (𝑡) + 𝑦𝑝 (𝑡) Donde: 𝑦ℎ (𝑡) Es la respuesta a entrada cero (libre) y 𝑦𝑝 (𝑡) es la respuesta de estado cero (forzada). La respuesta de entrada cero también es conocida como entrada natural o solución homogénea, la cual depende de las condiciones iniciales y no de la entrada. Y la respuesta de estado cero depende de la entrada y no de las condiciones iniciales, y es conocida como respuesta a estado forzada o solución particular. Como puedes ver, para obtener la solución general del sistema lineal invariante en el tiempo necesitas tener la solución homogénea y la solución particular. Ahora verás un ejemplo en el que se obtiene primero la respuesta de entrada cero, después la respuesta de estado cero; y finaliza con la muestra de cómo se obtiene la solución general del SLTI, partiendo de las 2 respuestas. Ejemplo 1 Se tiene un SLTI dado por la siguiente ecuación diferencial: 𝑑3 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 8 + 37 + 50𝑦 = 4𝑒 −3𝑡 3 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Para que puedas obtener la solución general a esta ecuación, primero debes obtener la solución homogénea, también llamada respuesta de entrada cero; esto corresponde a resolver la parte izquierda de la ecuación diferencial. Primero igualas a cero la parte izquierda de la ecuación diferencial: 𝑑3 𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 + 8 + 37 + 50𝑦 = 0 3 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 4 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Después vas a generar una ecuación auxiliar: 𝑝3 + 8𝑝2 + 37𝑝 + 50 = 0 Obtienes las raíces: 𝑟1 = −2, 𝑟2,3 = −3 ± 4 Se procede a resolver para obtener la solución homogénea: 𝑦ℎ (𝑡) = 𝐴1 𝑒 −2𝑡 + 𝐴2 𝑒 −3𝑡 cos(4𝑡) + 𝐴3 𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛(4𝑡) Ya tienes la respuesta de entrada cero o solución homogénea. Ahora vas a resolver la otra parte de la ecuación mediante la solución particular o respuesta de estado cero. 𝑑3 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 + 8 + 37 + 50𝑦 = 4𝑒 −3𝑡 3 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Ecuación auxiliar 𝑝3 + 8𝑝2 + 37𝑝 + 50 = 4𝑒 −3𝑡 1 = 4𝑒 −3𝑡 𝑝3 + 8𝑝2 + 37𝑝 + 50 Evaluando en 𝑝 = −3, se obtiene 𝑦𝑝(𝑡) = −0.25𝑒 −3𝑡 La solución general queda de la siguiente forma: 𝐴1 𝑒 −2𝑡 + 𝐴2 𝑒 −3𝑡 cos(4𝑡) + 𝐴3 𝑒 −3𝑡 𝑠𝑒𝑛(4𝑡) = −0.25𝑒 −3𝑡 5 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) 2.1.2. Respuesta transitoria y respuesta permanente La respuesta transitoria y la respuesta permanente te van a ayudar a analizar sistemas de control. Recuerda que los sistemas de control son capaces de controlar su conducta con la finalidad de lograr su objetivo. Estas respuestas forman lo que se llama respuesta temporal de un sistema de control. La respuesta transitoria va desde el estado inicial del sistema de control hasta su estado final, y la respuesta permanente representa cómo se va a comportar la salida del sistema. En este caso no vas a conocer la señal de entrada, pero sí vas a saber cuál es el objetivo que se quiere lograr con el sistema de control, por lo que debes saber cuáles señales de entrada pudieran ser las más comunes para hacer el estudio de la respuesta temporal. Esto va a dar las posibles opciones de respuesta del sistema según las variaciones de la señal de entrada. Para obtener esta respuesta vas a estar a prueba y error, ya que de acuerdo a la señal de entrada, va a ser la señal que se obtenga de salida; entonces, esto va a permitir reconocer cuál va a ser la mejor respuesta. Para empezar, vas a ver cuáles son las señales de entrada más comunes: Impulso Es el resultado de dos funciones escalón encontradas. Es una señal en un determinado punto en el tiempo; es una señal muy alta y angosta: ∞ ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 −∞ r(t) t 6 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Escalón Esta función corresponde a una señal aplicada a partir de que el tiempo empieza a correr. Por ejemplo, pudiera ser la llave de paso en una instalación de agua. Se va a activar en determinado momento y así se va a mantener. También se le conoce como función Heaviside. 0,0 ≤ 𝑡 < 𝑎 𝐻(𝑡 − 𝑎) { 1, 𝑡 ≥ 𝑎 Esta función toma el valor de 0 para cualquier argumento negativo, y el valor de 1 para los argumentos positivos, tal como se ilustra en la ecuación anterior. La magnitud de esta señal está presente constante en el tiempo, como se puede observar en la siguiente imagen. r(t) M a t Ejemplo 2 Graficar la siguiente función escalón unitario 𝐻(𝑡 − 2) Lo primero es determinar el intervalo de la función. El número 2 es el que indica desde 0,0 ≤ 𝑡 < 2 cuántas unidades a la derecha se comienza { 1, 𝑡 ≥ 2 7 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) 1 2 Como se puede ver, el escalón empieza a partir de 2 con valor de 1. Rampa Esta función se utiliza para interpretar fenómenos físicos como el llenado de una cisterna. Una característica de esta función es que es nula en tiempo antes de cero, y comienza a crecer a partir de ese momento de forma lineal. La amplitud de esta señal varía respecto al tiempo. 0 𝑠𝑖 𝑡 < 0 𝑡 𝑟(𝑡) = { 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 𝑡0 1 𝑠𝑖 𝑡 > 𝑡0 r(t) 1 0 tt La señal se incrementa desde cero hasta llegar al valor en el que está ajustado; para este caso, 1. 8 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Parábola Esta función es resultado de la integración de la función rampa, es decir, si se deriva la función parábola se obtendrá la función rampa, y si se hace una doble derivación, se tendrá la función escalón unitario. Esto lleva a que si se conoce el comportamiento de un sistema frente a la función escalón, se obtendrá la función rampa y parábola. 0, 𝑡 < 0 𝑝(𝑡) = 𝑡 2 𝑢(𝑡) = { 2 𝑡 ,𝑡 > 0 Esta señal varia también respecto al tiempo pero de forma cuadrática, es decir, que según la gráfica va a tomar valor en los dos ejes. r(t) t Ya que viste cuáles son las entradas más comunes, lo siguiente será clasificar el sistema de control según su orden: 1er Orden.- son aquellas en las que el orden mayor de derivadas es uno 2do. Orden.- son aquellas en las que el orden mayor de derivadas es 2 Orden superior.- son aquellas que tienen un orden de derivadas n siempre y cuando sea mayor a 2. Una vez que ya sabes de qué orden es y tienes una señal de entrada para probar, se procede a resolver. Ejemplo 3 Por ejemplo: 9 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Un sistema 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝐾 𝜏𝑠+1 con una entrada escalón de magnitud M 𝑅 = 1 𝑆 1 𝜏 𝐶(𝑠) = 𝑀𝐾( − ) 𝑠 𝜏𝑠 + 1 −𝑡 𝐶(𝑡) = 𝑀𝐾(1 − 𝑒 𝜏 𝐶(0) = 𝑀𝐾(1 − 𝑒 0 ) = 0 𝐶(𝜏) = 𝑀𝐾(1 − 𝑒 −1 ) = 0.632𝑀𝐾 𝐶(∞) = 𝑀𝐾(1 − 𝑒 ∞ ) = 𝑀𝐾 Actividad 1. Modelos de respuesta Esta es la primera actividad de la Unidad 2 de la asignatura. ¡Bienvenido! 1. Obtén las respuestas a los SLTI, con base en las indicaciones del documento de actividades. *Revisa los criterios de evaluación de la actividad. 2.2.1. Propiedades del impulso discreto y continuo La función de impulso discreto 𝛿𝑛 se define como: 1 𝑛=0 𝛿𝑛 = { 0 𝑛≠0 10 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) La propiedad más importante es la de desplazamiento, ya que es la que generalmente define la función del impulso. ∞ ∞ ∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(0)𝛿(𝑡)𝑑𝑡 −∞ −∞ ∞ = 𝑓(0) ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 −∞ = 𝑓(0) Otra característica importante es que su transformada es 1, como se demuestra a continuación. ∞ 𝑍{𝛿(𝑘)} = ∑ 𝛿(𝑘)𝑧 −𝑘 = 𝛿(0)𝑧 −0 = 1 𝑘=−∞ Otras propiedades del impulso discreto 1 𝛿(𝛼𝑡) = |𝛼| 𝛿(𝑡) 11 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) 𝛿(𝑡) = 𝛿(−𝑡) 𝛿(𝑡) = 𝑑𝑡 𝑢(𝑢𝑡) donde 𝑢(𝑡) es escalón unitario 𝑑 Actividad 2. Propiedades de impulso La propiedad del impulso directo es de las más importantes cuando se habla de sistemas lineales. 1. Consulta el documento de actividades. *Revisa los criterios de evaluación de la actividad. 2.2.2. Concepto de respuesta al impulso En un sistema lineal invariante en el tiempo, cuando la señal de entrada es un impulso con las propiedades vistas en el punto anterior, se puede obtener la respuesta, ya que se representan por la superposición de señales. La respuesta va a estar dada por una función de transferencia, ya sea convolución o transformada. Esta respuesta se da cuando el sistema está en estado de reposo. A partir de la respuesta al impulso, se conoce la salida y características del sistema. 12 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) 2.2.3. La respuesta forzada y propiedades de la convolución En una respuesta forzada, la señal de salida toma la misma forma que la señal de entrada. Usando la herramienta de convolución se va a poder determinar la respuesta del sistema en cualquier entrada, partiendo de la respuesta al impulso de entrada, y está dado por la siguiente ecuación. ∞ 𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑛)𝑔(𝑡 − 𝑛)𝑑𝑛 −∞ Muchas de las propiedades de la convolución vienen de las propiedades de una de las operaciones aritméticas básicas: la multiplicación. Ley conmutativa 𝑓∗𝑔 =𝑔∗𝑓 Ley distributiva 𝑓∗ (𝑔 + ℎ) = (𝑓 ∗ 𝑔) + (𝑓 ∗ ℎ) Ley asociativa 𝑓∗ (𝑔 ∗ ℎ) = (𝑓 ∗ 𝑔) ∗ ℎ Ahora observa cómo obtener la convolución de dos funciones. Ejemplo 4 A partir de las siguientes ecuaciones: 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 𝑔(𝑡) = cos(𝑏𝑡) Usando la definición de convolución: 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) ∗ cos(𝑏𝑡) = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎(𝑡 − 𝜏)) cos(𝑏𝜏) 𝑑𝜏 0 Integrando por partes: 1 𝑡 ∫ (𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡 + (𝑏 − 𝑎)𝜏) + 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡 − (𝑏 − 𝑎)𝜏))𝑑𝜏 2 0 Se tiene como resultado la siguiente ecuación. = 𝑎(cos(𝑏𝑡) − cos(𝑎𝑡)) (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 13 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) 2.2.4. Respuesta al impulso y la respuesta al escalón Para poder obtener la respuesta al impulso es más conveniente obtener primero la respuesta al escalón, ya que esto es más fácil y se hace mediante una derivada. 𝑤(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑢(𝑡) ∞ = ∫ ℎ(𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 −∞ 𝑡 = ∫ ℎ(𝜏)𝑑𝜏 −∞ ℎ(𝑡) = 𝑤 ′ (𝑡) Actividad 3. Identificando respuestas De acuerdo a lo estudiado, considera una entrada y las condiciones especiales del sistema. 1. Realiza lo que se te indica en el documento de actividades. *Revisa los criterios de evaluación de la actividad. Actividad 4. Convolución En esta actividad pondrás en práctica algunos aspectos referentes a la convolución. 1. Accede a esta actividad para obtener más detalles de cómo deberás realizarla. *Revisa los criterios de evaluación de la actividad. 14 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Evidencia de aprendizaje. Uso de herramienta matemática Una vez concluido el estudio de la Unidad 2, y de acuerdo al planteamiento que hará llegar tu Docente: 1. Revisa el documento de actividades. *Verifica los criterios de evaluación para la evidencia de aprendizaje. Autorreflexión Los procesos de autorreflexión son importantes en tu proceso de aprendizaje. Por lo anterior, al término de todas tus actividades y de cada Evidencia de aprendizaje, ingresa al foro para responder las preguntas que te hará tu Docente. Para saber más Si quieres profundizar más en el tema se recomienda la siguiente referencia: Kuo, B. (1996). Sistemas de control automático. (7ª edición). México: Pearson-Prentice hall. Para que veas ejemplos de su aplicación en la vida real, puedes visitar el siguiente vínculo: Universidad de Oviedo. Regulación automática. Tema 8 Dispositivos y ejemplos de sistemas de control. http://isa.uniovi.es/docencia/raeuitig/tema8.pdf Para reforzar la parte de práctica puedes resolver los ejercicios propuestos a continuación: Con base en el libro de Oppenheim, W., Mata, H., Suarez, F. (1998). Señales y Sistemas. (2ª edición) Mexico: Prentice Hall Hispanoamericana, se proponen los siguientes ejercicios: 2.1, 2.3, 2.17, 2.18, 2.40, 2.46. Del libro, Soliman, S. S., Srinath, D. (1999). Señales y Sistemas Continuos y Discretos, (2da. Edición) Madrid: Prentice Hall Iberia S.R.L., se proponen los ejercicios: 2.1, 2.3, 2.5 Recuerda que estos ejercicios te van a ayudar a reforzar lo visto en esta unidad, y que puedes corroborar tus resultados en las soluciones de los problemas en los respectivos libros. 15 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Cierre de la Unidad El estudio de esta unidad se ha enfocado en sistemas lineales e invariantes en el tiempo, un tema muy importante hoy en día porque los sistemas de control tienen las características de ser lineales, dado que la magnitud de las señales está limitada. En los SLTI la señal de salida responde de acuerdo a la señal que se tuvo de entrada; lo cual no quiere decir que si la señal de entrada fue un escalón, la salida deba ser del mismo tipo, sino que si el escalón varia en alguna constante, se reflejará en la señal de salida. Vimos que se pueden representar los SLTI con ecuaciones diferenciales y cómo se resolverían de presentarse así. Fuentes de consulta Fuentes básicas Mata, G.H. et al. (2002). Análisis de Sistemas y Señales con computo avanzado. México: Facultad de Ingeniería UNAM. Oppenheim, W.; Mata, H.; Suarez, F. (1998). Señales y Sistemas. (2ª edición) Mexico: Prentice Hall Hispanoamericana. Soliman, S. S., Srinath, D. (1999). Señales y Sistemas Continuos y Discretos, (2da. Edición) Madrid: Prentice Hall Iberia S.R.L. Zill, G. D. (2007). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. (8ª Edicion). España: Cengage Learning. Fuentes complementarias Almenar, V.; Esteban, H. (2000). Apuntes de sistemas lineales. (1ª edición). Valencia: Universidad Politécnica de Valencia. Fu-Kwun, H. (2000). Principio de superposición. Trad. Villasuso, J. Taiwan: National Taiwan Normal University. Consultado en: http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/applets/Hwang/ntnujav a/waveSuperposition/waveSuperposition_s.htm Kuo, B. (1996). Sistemas de control automático. (7ª edición). México: PearsonPrentice hall. 16 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática Comunicación de datos Unidad 2. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLTI) Linder, D.K. (2002). Introducción a las señales y los sistemas. Caracas: McGraw Hill. Universidad de Oviedo (2003). Tema 8 Dispositivos y ejemplos de sistemas de control. En Regulación automática. Gujón: Universidad de Oviedo. 17 Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Ingeniería en Telemática