Computos Para El Ajuste

CURSOREDUCCIÓN Y AJUSTE AUTOMATIZADOS DE DATOS GEODÉSICOS (F-304) COMPUTOS PARA EL AJUSTE LECCIONES PRÁCTICAS DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA AGRIMENSORES AGENCIA CARTOGRÁFICA DE DEFENSA SERVICIO INTERAMERICANO ESCUELA DE CARTOGRAFÍA DEPARTAMENTO DE GEODESIA LEVANTAMIENTOS DE CAMPO INDICE 1. INTRODUCCION A LAS MATRICES Introducción. Definición de una matriz. Tamaño o dimensiones de una matriz. Tipos de matrices. Igualdad de matrices. Suma o resta matricial. Multiplicación de una matriz por un escalar. Multiplicación de una matriz por otra. Tarea autodidáctica. 2. SOLUCION DE ECUACIONES POR METODOS MATRICIALES Introducción. La inversa de una matriz. Inversa de una matriz de 2x2. Inversas por adjuntos. Inversas por transformaciones de fi1as. Ejemplos de problemas. Tarea autodidáctica. 3. ELIMINACION GAUSIANA; TEOREMA DE TAYLOR Eliminación gausiana: Introducción; Explicación del procedimiento; Ejemplo numérico. Linearización de ecuaciones no lineales de la serie de Taylor: Introducción; Aproximaciones de la serie de. Taylor; Ejemplo numérico. Linearización de ecuaciones de la observación de distancias. Linearización de ecuaciones de la observación de ángulos. Tarea autodidáctica. 4. TEORIA GENERAL DE ERRORES Clasificación de errores. Definición de términos. Teoría de la probabilidad. Representación grafica de distribuciones de los errores randomizados/al azar. Ejemplo numérico del histograma. Polígono de frecuencia. Propiedades de la curva de distribución normal. Mediciones de precisión. El error probable de 50 por ciento. El error probable de 90 por ciento. Ejemplo numérico de cálculos de precisión. Trazado de una curva de distribución normal. Tarea autodidáctica. 5. PROPAGACION DE ERRORES FORTUITOS Derivación de la ecuación básica. Funciones específicas frecuentemente encontradas. Ejemplos numéricos. Tarea autodidáctica. 6. PESOS DE LAS OBSERVACIONES Generalidades. Media ponderada (peso promedio). Relación entre el peso y el error estándar. Pesos en la nivelación y medición de ángulos. Ejemplo numérico. Errores estándar de las observaciones ponderadas. Ejemplos numéricos. Tarea autodidáctica. 7. PRINCIPIOS DE LOS MINIMOS CUADRADOS Principio fundamental de los mínimos cuadrados no ponderados. Principio fundamental de los mínimos cuadrados ponderados. Ecuaciones de observación. Ejemplo elemental del ajuste de 1a ecuación de observación. Formulación sistemática de ecuaciones normales. Formación tabular de ecuaciones normales. Tarea autodidáctica. 8. AJUSTE DE REDES DE NIVEL Introducción. Ejemplo considerando pesos iguales. Ejemplo considerando pesos. Formación tabular de ecuaciones normales para el ejemplo de la red de nivel ponderada. Tarea autodidáctica. 9. METODOS MATRICIALES EN EL AJUSTE DE MINIMOS CUADRADOS Ecuaciones matriciales para las ecuaciones de observación no ponderadas. Ejemplo numérico de ecuaciones de observación no ponderadas. Métodos matriciales para las ecuaciones de observación ponderadas. Ejemplo numérico de ecuaciones de observación ponderadas. Derivación matricial de la ecuación para los mínimos cuadrados ponderados. Programa de computadora. Tarea autodidáctica. 10. PRECISIONES DE CANTIDADES INDIRECTAMENTE DETERMINADAS Desviación estándar del peso unitario. Desarrollo de la matriz de covariación /covariancia. Ejemplos numéricos. Calculo matricial de desviaciones estándar de funciones lineales de observaciones independientes. Correlación entre cantidades ajustadas. Desviaciones estándar de funciones de cantidades correlacionadas que son funciones de observaciones independientes. Tarea autodidáctica. 11. AJUSTE DE TRILATERACION Introducción. La ecuación de observación de distancia básica. Ajuste de trilateración. Ejemplo numérico. Mantener fijas las coordenadas de estación en un ajuste de trilateración. Mantener fijas las direcciones en un ajuste de trilateración. Ejemplo de 1a formulación de una matriz de coeficientes generalizada para una red compleja. Programa general de computadoras para el ajuste de la trilateración por mínimos cuadrados. Solución computarizada de un ejemplo de cuadrilátero trilaterizado. Solución computarizada de un complejo problema de trilateración. Tarea autodidáctica. 12. AJUSTE DE TRIANGULACION Introducción. La ecuación básica de observación de ángulos. Ajuste de intersecciones. Ejemplo numérico del ajuste de intersecciones. Ajuste de resecciones. Ajuste de la triangulación tradicional. Programa de computadoras para el ajuste del cuadrilátero triangulizado. Ejemplo del problema. Tarea autodidáctica. 13. AJUSTE DE POLIGONALES Introducción. Las ecuaciones de observación. Numero de ecuaciones redundantes. Ejemplo numérico. Tarea autodidáctica. 14. AJUSTE POR CONDICIONES Introducción. Forma matricial de las ecuaciones de condición. Solución matricial de mínimos cuadrados. Ajuste de los ángulos de un triangulo piano. Ecuación de condición para el ajuste de redes de nivel. Ajuste de poligonales por el método de ecuaciones condicionales (método Crandall). Ajuste de un Cuadrilátero triangulado por el método de la ecuación de condición. Deducción de la ecuación para resolver ecuaciones condicionales por los mínimos cuadrados. Programa de computadora para la solución de ecuaciones condicionales. Tarea autodidáctica. 15. AJUSTE DE POLIGONALES TOR CONDICIONES Introducción. Las condiciones de partida y latitud. La condición acimutal. Ejemplo del problema del ajuste poligonal. Poligonal de polígono cerrado. Tarea autodidáctica. 16. TRANSFORMACION CONFORME DE COORDENADAS BIDIMENSIONALES Introducción. Desarropo de las ecuaciones. Aplicación de los mínimos cuadrados. Programa de computadoras y ejemplo numérico. Tarea autodidáctica. 17. ELIPSES DE ERRORES Introducción. Compute de orientación y semiejes de la elipse. Ejemplo del problema de los cálculos de la elipse de error estándar. La elipse de error de 95 por ciento. Ejemplo de problemas del cálculo de la elipse de error de 95 por ciento. Ventajas de las elipses de errores. Diseño de la red del levantamiento. Tarea autodidáctica. 18. ENCAJE DE CURVAS POR MINIMOS CUADRADOS Introducción. Encajado de una línea recta a los datos. Encajado de una parábola a los datos. Encajado de un polinomio a los datos. Tarea autodidáctica. APENDICES LA CURVA DE DISTRIBUCION NORMAL DEL ERROR PROGRAMA GENERAL PARA EL AJUSTE DE MINIMOS CUADRADOS MEDIANTE ECUACIONES DE OBSERVACION Introducción Al programa. Nombres y descripciones de las variables de entrada. Preparación de los "lotes de datos para la entrada. Salida. Listado del programa. PROGRAMA PARA EL AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS DE REDES DE TRILATERACION Introducción al programa. Nombres y descripciones de las variables de entrada. Preparación del lote de datos para la entrada. Discusión del procedimiento de entrada. Dibujo de la red. Numeración de estación y cálculo de las coordenadas iniciales. Procedimiento de entrada. Listado del programa. PROGRAMA PARA EL AJUSTE TOR MINIMDS CUADRADOS DE UN CUADRILATERO TRIANGULADO Introducción al programa. Sistema del eje provisional del ajuste. Nombres y descripciones de las variables de entrada. Preparación del lote de datos para la entrada. Listado del programa. PROGRAMA PARA EL AJUSTE DE MINIMOS CUADRADOS TOR ECUACIONES DE CONDICION Introducción al programa. Nombres y descripciones de las variables de entrada. Preparación del lote de datos para la entrada. Salida. Listado del programa. PROGRAMA PARA LA TRANSFORMACION CONFORME DE COORDENADAS BIDIMENSIONALES Introducción al programa. Nombres y descripciones de las variables de entrada. Preparación del lote de datos para la entrada. Salida. Listado del programa. REFERENCIAS CAPITULO 1 INTRODUCCION A LAS MATRICES 1.1 Introducción El uso del álgebra matricial brinda por lo menos dos importantes ventajas al matemático, ingeniero o agrimensor modernos: (1) proporciona los medios para reducir sistemas complicados de ecuaciones a expresiones sencillas que pueden más fácilmente visualizarse y manejarse, y (2) proporciona un método sistemático de tratamiento matemático que esta muy bien adaptado para las actuales computadoras digitales electrónicas de alta velocidad. Hoy día se tienen más y más problemas en agrimensura, geodesia y fotogrametría que requieren la solución de .grandes sistemas de ecuaciones. En este texto estudiaremos en especial los cómputos de ajustes que involucran observaciones redundantes y satisfacción de ciertas condiciones. Tales observaciones y condición frecuentemente resultan en enormes sistemas de ecuaciones. Cuando esas ecuaciones se resuelven conforme al método de mínimos la solución rinde los mejores cálculos para las observaciones ajustadas y los parámetros desconocidos. La anotación matricial es la más adecuada para los cómputos de mínimos cuadrados y, por ende se emplea a fin de facilitar el manejo implicado en el análisis y solución de esos sistemas ecuaciones. 1.2 Definición de una Matriz Una matriz es un juego de números o símbolos arreglado en una ordenación cuadrada o rectangular de filas "m" y columnas "n". El aarreglo es tal que se pueden efectuar ciertas operaciones matemáticas definidas de una manera sistemática y eficaz. Como ejemplo de una representación matricial, considérese el siguiente sistema de tres ecuaciones "lineales involucrando a tres incógnitas: 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x + a x + a x = c a x + a x + a x = c a x + a x + a x = c El sistema anterior de ecuaciones lineares puede representarse en forma matricial como: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 1 2 3 x x x = 1 2 3 c c c Esto a su vez puede representarse en la notación matricial compacta como: A X = C . . . . . . . . . . . . (Lc) Se usan letras mayúsculas (algunas veces subrayadas) como (A, X,C) para indicar una matriz o una ordenación de números o símbolos. Hablamos de la posición de un elemento de matriz con subscritos ij, jk, etc., en donde la primera letra representa la fila y la segunda letra representa la columna. 1.4 Tipo de matrices (se puede usar una variedad de símbolos para designar las matrices abajo ilustradas). 1.4.1 Matriz columnar (el numero de filas puede ser cualquier entero, mas el numero de columnas es uno (1)). 3 X 1 3 X 1 3 X 1 3 1 3 = = = 2 (A) [A] A 5 X ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ` ¦ ¦ ¹ ) 1.4.2 Matriz por filas (El numero de columnas puede ser cualquier entero de filas es uno (1)) | | 3X1 1X3 1 3 1 3 1 3 -6 4 2 A <A> X X X A A = = = = 1.4.3 Matriz rectangular (el numero de filas es m y el número de columnas es n) | | 2 3 2 3 X X A A = = 3 2 3 2 6 5 4 1 1.4.4 Matriz cuadrada (el número de filas es igual al número de columnas) | | 3 3 3 3 X X A A = = 3 3 4 2 -5 -7 3 4 6 -1 9 1.4.5 Matriz simétrica 3X3 A = 3 3 2 -4 6 -4 7 3 6 3 5 1.4.6 Matriz diagonal 3X3 A = 3 3 7 0 0 0 -3 0 0 0 6 1.4.7 Matriz unitaria 4X4 [I] = 4 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Restarse término por término. Si dos matrices son de igual dimensión. Se dice que son conformes para la suma o resta. 2 3 2X3 2X3 = C A + B X 7 3 -1 2 -5 6 + 1 5 6 -4 -2 8 = 8 8 5 -2 -7 9 Suponiendo que las dos matrices A y B sean conformes para la suma y la resta, entonces lo siguiente será verdad: a) A + B = B + A (Ley conmutativa) b) A + (B+C) = (A+B) + C (Ley asociativa) 1.7 Multiplicación de una matriz por un escalar. Permítase que K sea cualquier escalar (un elemento único); luego: 4 2 4X2 4X2 K = C K A + A X 4 3 -1 2 6 4 7 5 3 = 12 -4 8 24 16 28 20 12 Nótese que 4 [A] = [A] + [A] + [A] + [A] = 4 [A] 1.8 Multiplicación de una matriz por otra matriz 1.8.1 Un requisito básico que debe satisfacer para efectuar la multiplicación matricial, es uq si la matriz A a de ser “posmultiplicada” por la matriz B entonces el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas en la matriz B. Cuando existe esta condición se dice que A y B son conformes para la multiplicación. El producto C tendrá el mismo número de filas que A y el mismo numero de columnas como B. Así que son posibles las siguientes multiplicaciones: 4 2 2X3 4X3 = C A B X 1 3 3X1 1X1 = C A B X 3 3 3X1 3X1 = C A B X Las siguientes multiplicaciones no son posibles. 2 3 4X2 A B X 6 2 6X3 A B X 1.8.2 La multiplicación se efectúa como sigue: Cada elemento de la matriz A se multiplica por el escalar K para obtener la respuesta C. 2 3 3X2 2X2 = C A B X 11 12 13 21 22 23 a a a a a a 11 12 21 22 31 32 b b b b b b = 11 12 21 22 c c c c Los elementos Cij de la matriz C son totales obtenidas al multiplicar sucesivamente los elementos en la fila i de la matriz A por los elementos en la columna j de la matriz B, y luego sumándolas. Algunas veces esto se llama “multiplicación fila por columna”. Por ende: 11 11 12 12 22 13 32 C A B A B A B = + + El proceso anterior puede verse más fácilmente con un ejemplo numérico 2 3 1 2 3 4 2 7 X 3 2 4 4 6 2 5 3 X = 2 2 11 12 21 22 c c c c X = 2 2 31 21 63 57 X 11 C = 1X4 + 2X6 + 3X5 = 31 12 C = 1X8 + 2X2 + 3X3 = 21 12 C = 4X4 + 2X6 + 7X5 = 63 22 C = 4X8 + 2X2 + 7X3 = 57 Ahora el estudiante deberá verificar la representación matricial de las ecuaciones (1ª) y (1b). Nótese que el producto de una matriz unitaria I, y de una matriz cuadrada A del mismo tamaño, son iguales a la matriz original A. 2 2 2X2 2X2 I A = A X 1 0 0 1 5 6 7 8 = 5 6 7 8 1.8.3 Suponiendo que las matices A,B y C sean conformes para la multiplicación, y en el orden indicado, luego lo que sigue es verdadero: a) A(B +C) = AB + AC (Primera ley distributiva) b) (A + B) C = AC + BC (Segunda ley distributiva) c) A(BC) = (AB) C (ley asociativa) También se declaran las siguientes advertencias: d) AB no es generalmente igual a BA y BA quizá no sea conforme. e) Si AB = 0, ni A ni B necesariamente = 0 f) Si AB = AC, B ni es necesariamente = c Permítase que: A = 2 1 1 2 B = -1 -1 2 2 C= 1 1 1 1 Ejemplo de (a): A (B + C) 2 1 1 2 0 0 3 3 = 3 3 6 6 AB AC 0 0 3 3 + 3 3 3 3 = 3 3 6 6 Ejemplo de (b): (A + B) C 1 0 3 4 1 1 1 1 = 1 1 7 7 AB AC 3 3 3 3 + -2 -2 4 4 = 1 1 7 7 Ejemplo de (C): A BC 2 1 1 2 -2 -2 4 4 = 0 0 6 6 AB C 0 0 3 3 + 1 1 1 1 = 0 0 6 6 Ejemplo de (d): AB  BA 0 0 3 3 -3 -3 6 6 Ejemplo de (e): Permita que A = 2 2 1 1 y B = -1 -2 1 2 Luego AB = 0, pero ni A ni B = 0 Ejemplo de (f): Permita que A = 2 2 1 1 ; B = 1 2 1 3 y C = 4 10 -2 -5 AB = AC pero B C 4 10 -2 -5 4 10 -2 -5 1.8.4 Es aparente que la multiplicación de matrices de gran tamaño involucra muchas operaciones aritméticas que, si hechas a mano, son muy aburridas, pero pueden efectuarse rápido y sencillamente mediante una computadora digital. Vamos ahora a desarrollar una expresión matemática general para multiplicar dos matrices. Considérese dos matrices mxn A y nxp B que estén gráficamente representadas como sigue: (Nótese que son conformes para la multiplicación) mxn A X mxn B = mxn C j n k p k p i X j = j m n m Encuentre el producto A y B y colóquelo en C Paso 1. Sumar el producto (A fila i=1) X (B columna k=1) con los elementos de A y B aumentándose sucesivamente de j=1 a j=n. colocar el resultado en IK C o 11 C para este primer paso. Matemáticamente este paso se representa como: IK C = 1 n ij j A = ¯ X JK B ; i=1 k=1 Paso 2. Aumentar k sucesivamente por 1 colocando el resultado en IK C continuar aumento de k y repetir paso 2 hasta k=p. Paso 3. Aumentar i de una a dos y repetir paso 1 y 2 en su totalidad. Al terminar con i=2, aumentar I a 3 y repetir paso 1 y 2 en su totalidad. Continuar este proceso hasta i=m. Esto completa la multiplicación matricial. En FORTRAN, todo lo anterior se puede expresar sencillamente como: 100 100, 1, 100, 1, ( , ) 0 100, 1, ( , ) ( , ) ( , ) * ( , ) Do I m Do k p C I K Do J N C I K C I K A I J B J K = = = = = + Una nota final sobre multiplicación: es muy importante especificar el orden como han de multiplicarse las matrices. Tarea autodidáctica No. 1 1) Supóngase que el siguiente sistema de ecuaciones lineal ha de ser representado en forma matricial como AX=B. formúlense las tres matrices. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 5 5 3 4 1 3 6 2 8 2 2 2 3 2 X X X X X X X X X X X X X X X X + + + = + ÷ ÷ = ÷ + ÷ + = + + ÷ = 2) Haga las siguientes operaciones matriciales a) 1 2 -1 0 3 -4 1 2 4 0 2 1 1 5 0 3 2 -5 1 2 2 -2 3 1 + = b) 1 2 -1 0 3 -4 1 2 4 0 2 1 1 5 0 3 2 -5 1 2 2 -2 3 1 ÷ = c) 1 2 -1 0 3 4 0 2 1 2 -5 1 2 = d) 3 -4 1 2 1 1 5 4 0 2 -2 2 X = 3. para el problema 1 anterior, halle el producto T A A. CAPITULO 2 SOLUCION DE ECUACIONES POR METODO MATRICIAL 2.1 Introducción. Como antes se menciono, una de las ventajas ofrecidas por el algebra matricial es que se adapta extremadamente bien para su uso en computadoras digitales. Los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas de cualquier tamaño hasta los más grandes pueden programarse para la solución general de computadoras usando solo unos cuantos pasos sistemáticos. La sencillez de la programación de multiplicaciones matriciales, por ejemplo se presento en la sección 1.8.4. Para resolver el sistema de ecuaciones usando métodos matriciales, primero es necesario definir y computar la inversa de una matriz. 2.2 La inversa de una matriz 2.2.1 Si una matriz cuadrada no es singular (no singular), entonces posee una matriz inversa. (Nótese que si un sistema de m ecuaciones lineales simultaneas conteniendo m ecuaciones y m incógnitas se expresa como: CX=B, C la matriz de coeficientes es una matriz cuadrada de mxm dimensiones). Considere este referido sistema de ecuaciones lineales: C X = B . . . . . . . . . . . . . . . (2a) Definimos 1 C ÷ de manera tal que 1 C ÷ C=I, en donde I es la matriz identidad. Si premultiplicamos ambos lados de la matriz (2a) por 1 C ÷ , luego 1 C ÷ C X = 1 C ÷ B I X = 1 C ÷ B X = 1 C ÷ B . . . . . . . . . . . . . . . . . (2b) Las incógnitas (matriz x) pueden hallarse calculando la formula (2b), la matriz 1 C ÷ se llama la inversa de C. 2.2.2 Deben recalcarse ciertos puntos referentes a las inversiones matriciales: a. Las matrices cuadradas tienen inversas con la excepción notada en b., abajo. b. Si la determinante obtenida usándolos elementos de la matriz A es cero, se dice que la matriz A es singular y no puede encontrarse ninguna inversa. c. Aun la inversión de una matriz relativamente pequeña es una operación aburrida y lenta al hacer a mano, más cuando se efectúa por una computadora digital es sencilla y rápida. A continuación se resume un método para invertir matrices pequeñas. 2.3 Inversa de una matriz de 2x2 2.3.1 Se dispone de varios métodos generales para hallar las inversas de matrices. Consideraremos dos de ellas. Pero antes de proceder con los casos generales. Consideremos primero el caso específico para hallar la inversa de una matriz de 2x2 utilizando simples operaciones matriciales que ya hemos estudiado. Por definición: A 1 A ÷ = I . . . . . . . . . . . . . . . (2c) Permítase que A = 2 2 a b c d y 1 A ÷ = 2 2 w x y z Ahora calculemos w, x, y, z, en términos de a, b, c y d. sustituyendo A, 1 A ÷ e I dentro (2c) a b w x 1 0 c d y z 0 1 X = a. Por multiplicación de matriz: a w + b y = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2d) a x + b z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2e) c w + d y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2f) c x + d z = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2g) Nótese que la determinante de A se simboliza como: A y es igual a ad – bc De (2d) y = 1 aw b ÷ ; De (2F) y = cw b ÷ Luego 1 aw b ÷ = cw b ÷ Reduciendo: w = d da bc ÷ = d A De (2e) z = ax b ; De (2g) z = 1 cw b ÷ Luego ax b ÷ = 1 cx d ÷ Reduciendo: x = b da bc ÷ + = b A ÷ De (2d) w = 1 by a ÷ ; De (2f) w = dy c ÷ Luego 1 by a ÷ = dy c ÷ Reduciendo: y = c ad cb ÷ + = c A ÷ De (2e) x = bz a ÷ ; De (2g) x = 1 dz c ÷ Luego bz a ÷ = 1 dz c ÷ Reduciendo: z = a ad bc ÷ = a A b. Entonces para cualquier matriz 2x2 compuesta de los elementos: a b c d Su inversa sencillamente es: d -b A A -c a A A = 1 A d -b -c a c. Ejemplo numérico: Si: A = 2 3 4 1 , 1 A ÷ 1 A ÷ = 1 -3 1 -4 1 10 ÷ Comprobar: 1 -3 2 3 1 0 1 -4 1 4 1 0 1 10 = ÷ 2.3.2 Inversas por adjuntas a) La inversa de A puede hallarse por el método de adjuntas satisfaciendo la siguiente ecuación: 1 A ÷ = Adjunto de A = Adjunto de A Determinante de A A b) El adjunto de A se obtiene reemplazando primero cada elemento de la matriz por su cofactor y luego transponiendo la matriz resultante. El cofactor del elemento i j a es igual a ( 1) i j + ÷ multiplicado por el valor numérico de la determinante sobrante después de eliminar la fila i y la columna j de la matriz. Para ilustrar el procedimiento, hallemos la inversa de la matriz siguiente. Por el método de las adjuntas. A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a = 4 3 2 3 4 1 2 3 4 Co-factor de 11 a = (-1)² (4x4 – 1x3) = 13 Co-factor de 21 a = (-1)³ (3x4 – 2x3) = -6 Co-factor de 31 a = 4 ( 1) ÷ (3x1 – 2x4) = -5 Co-factor de 12 a = (-1)³ (3x4 – 1x2) = -10 etc. Matriz de cofactores = 13 -10 1 -6 12 6 -5 2 7 Transponiendo esta matriz Adjunto de A = 13 -6 -5 -10 12 2 1 -6 7 c) La determinante de A puede hallarse de la manera usual. Nótese que los cofactores ya obtenidos en el paso previo simplifican este paso. A = 4 (13) + 3 (-6) + 2 (-5) = 24 d) Ahora puede calcularse la inversa de A. 1 A ÷ = 13 -6 -5 1 -10 12 2 24 1 -6 7 = 13 -1 -5 24 4 24 -5 1 1 12 2 12 1 -1 7 24 4 24 e) Puede obtenerse una verificación del trabajo aritmético puesto que: 3X3 3X3 3 3 -1 A = I A X 13 -1 -5 24 4 24 -5 1 1 12 2 12 1 -1 7 24 4 24 4 3 2 3 4 1 2 3 4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2.3.3 Inversas por transformaciones de filas Pueden emplearse elementales transformaciones de filas para hallar las inversas matriciales; algunas transformaciones de utilidad son: a. La multiplicación de todo elemento en cualquier fila por un escalar sin cero. b. La suma (o resta) de los elementos en cualquier fila a los elementos de cualquier otra fila. c. Combinación de (a) y (b). Si las transformaciones de filas se efectúan sucesivamente en A, de manera tal que A se transforma en I, y si por todo el procedimiento también llevamos a cabo exactamente la misma transformación de filas en las filas equivalentes de I, transformamos I en 1 A ÷ . Se ilustra el procedimiento usando la matriz que usamos para demostrar el método de adjuntas. Inicialmente, la matriz original y la idéntica se listan juntas como: A = 4 3 2 3 4 1 2 3 4 I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Con las siguientes tres transformaciones de filas hechas en A e I, las matrices A e I se transforman en matrices en matrices 1 A e 1 I , respectivamente: 1. Multipliquese la fila 1 de las matrices A e I por 11 1 a o 1 4 , y colóquese en la fila 1 de 1 A e 1 I , respectivamente. Esto convierte 11 a de la matriz 1 A a uno (1). 2. Multiplíquese la fila 1 de las matrices 1 A e 1 I por 21 a o 3, réstese de la fila 2 de las matrices A e I y colóquese en la fila 2 de 1 A e 1 I , respectivamente. Esto convierte 21 a de 1 A a cero. 3. Multiplíquese la fila 1 de las matrices 1 A e 1 I por 31 a o 3, réstese de la fila 3 de las matrices A e I y colóquese en la fila 3 de 1 A e 1 I , respectivamente. Esto convierte 31 a de 1 A a cero. Después de realizar estas operaciones, las matrices transformadas 1 A e 1 I son: 1 A = 3 1 1 4 2 7 -1 0 4 2 3 0 3 2 1 I = 1 0 0 4 -3 1 0 4 -1 0 1 2 Nótese la primera columna de 1 A ha sido hecha equivalente a la primera columna de una matriz idéntica de 3x3, como resultado de esas 3 transformaciones de filas. Luego las tres siguientes transformaciones elementales de las filas se efectúan en las matrices 1 A e 1 I para transformarlas en matrices 2 A e 2 I : 1. Multipliquese la fila 2 de 1 A e 1 I , por 22 1 a o 4 7 , y colóquese en la fila 2 de 2 A e 2 I . 2. Multipliquese la fila 2 de 2 A e 2 I por 12 a o 3 4 , réstese de la fila 1 de 1 A e 1 I , y colóquese en la fila 1 de 2 A e 2 I , respectivamente. 3. Multipliquese la fila 2 de 2 A e 2 I por 32 a o 2 2 , réstese de la fila 3 de 1 A e 1 I , y colóquese en la fila 3 de 2 A e 2 I , respectivamente. Después de realizar estas operaciones, las matrices transformadas 2 A e 2 I son: 2 A = 5 1 0 7 -2 0 1 7 24 0 0 7 2 I = 4 -3 0 7 7 -3 4 0 7 7 1 -6 1 7 7 Nótese que como resultado de esta segunda serie de tres pasos, la segunda columna de 2 A ha sido hecha para concordar con la segunda de una matriz idéntica de 3x3. Finalmente, las siguientes tres transformaciones de filas se aplican a las matrices 2 A e 2 I para transformarlas en las matrices 3 A e 3 I , respectivamente. 1. Multipliquese la fila 3 de 2 A e 2 I , por 33 1 a o 7 24 , y colóquese en la fila 3 de 3 A e 3 I , respectivamente. 2. Multipliquese la fila 3 de 3 A e 3 I por 13 a o 5 7 , réstese de la fila 1 de 2 A e 2 I , y colóquese en la fila 1 de 3 A e 3 I , respectivamente. 3. Multipliquese la fila 3 de 3 A e 3 I por 23 a o -2 7 , réstese de la fila 2 de 2 A e 2 I , y colóquese en la fila 2 de 3 A e 3 I . Después de estas operaciones, las matrices transformadas 3 A e 3 I son: 3 A = I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I = -1 A = 23 -1 -5 24 4 24 -5 1 1 12 2 12 1 -2 7 24 4 24 Nótese que como resultado de esas nueve transformaciones de filas, la matriz origina A ha sido transformada en una matriz idéntica y la matriz original I ha sido transformada en -1 A . Nótese también que -1 A obtenida por este segundo método concuerda exactamente con la inversa obtenida por el método de adjuntos. Es obvio que la cantidad de trabajo implicado al invertir matrices aumenta enormemente cuando incrementa el tamaño de la matriz, puesto que el número necesitado de transformaciones elementales de filas es igual al cuadrado del número de filas o columnas. En general, no se considera factible invertir matrices a mano, más bien debiera hacerse usando la computadora. Este procedimiento de transformaciones es muy sistemático y ordinariamente así se programan las computadoras para hallar inversas. A continuación un simple programa FORTRAN para calcular la inversa de una matriz nxn [Qxx] y almacenar el resultado en [Qxx]. El estudiante debe repasar este programa para familiarizarse con los procedimientos computacionales. DO 307 K= 1,N DO 302 K= 1,N IF (1-K) 304, 302,304 304 QXX (K,J) = QXX (K,J) / QXX (K,K) 302 CONTINUE QXX (K,K) = 1, / QXX (K,K) DO 307 I = 1,N IF (I-K) 305, 307, 305 305 DO 303 J = 1,N IF (J-K) 306, 303, 306 306 QXX (I,J) = QXX (I,J) - QXX (I,K) * QXX (K,J) 303 CONTINUE QXX (I,K) = - QXX (I,K) * QXX (K,K) 307 CONTINUE 2.3.4 Ejemplo del problema: Supóngase que se coloca un EDME (equipo electrónico para medir distancias) en el punto A de la figura 2.1 y con el reflector sucesivamente en B, C y D, mostrándose en la figura los valores observados. Calcular las incógnitas mediante métodos matriciales. Valores medidos: 1 X = 125.127 1 2 X X + = 259.60 1 2 3 X X X + + = 395.85 a) Formular las ecuaciones básicas 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 0 125.27 1 1 0 259.60 1 1 1 395.85 X X X X X X X X X + + = + + = + + = Representadas en la notación matricial, tales ecuaciones son: A X = L En la ecuación anterior, las matrices son como sigue: A = 3 3 1 0 0 1 1 0 1 1 1 X = 1 2 3 X X X y L = 1 3 125.27 259.60 395.85 La solución en notación de matriz es: X = -1 A L b) Hallase la inversa por transformación de filas: A I Fig. 2.1 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 -1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 -1 1 = c) Revuélvase para las incógnitas: X = -1 A L = 1 0 0 -1 1 0 0 -1 1 125.27 259.60 395.85 = 125.27 134.33 136.25 1 X = 125.27 2 X = 134.33 3 X = 136.25 Tarea autodidáctica No.2 1) Hallase la inversa de la matriz siguiente A = 3 -1 -1 -1 3 -1 -1 -1 3 2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando métodos matriciales: X + 5Y = -8 -X - 2Y = -1 3) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando métodos matriciales: X + Y - Z = -8 3X - Y + Z = -4 -X + 2Y + 2Z = 21 CAPITULO 3 ELIMINACION GAUSIANA; TEOREMA DE TAYLOR 3.1 Eliminación Gausiana 3.1.1 Introducción Como antes se indico los cómputos de ajustes con frecuencia vinculan la solución de grande sistemas de ecuaciones lineales. Se han discutido los métodos matriciales que reconocidamente son ideales para resolver ecuaciones con las actuales computadoras digitales electrónicas de alta velocidad. Para solucionar por calculadoras de mesa (escritorio), hay varios métodos aceptables, sin embargo en mi opinión, no es factible intentar resolver grandes sistemas a mano cuando se tiene la disponibilidad de usar una computadora digital. No obstante, se presentaran situaciones en donde sistemas de tamaño moderado podrían requerir soluciones manuales, por lo que es de desear un planteamiento sistemático. La eliminación Gausiana es tal planteamiento. 3.1.2 Explicación de procedimiento La eliminación Gausiana como su nombre lo implica, involucra sucesivas eliminaciones de ecuaciones e incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales. Dicho procedimiento se ilustra considerando al siguiente sistema general de ecuaciones lineales: ( ) ( ) ( ) 11 1 12 2 1n n 1 1 21 1 22 2 2n n 2 1 n1 1 n2 2 nn n n 1 a x + a x + ........+a x +k = 0 a x + a x + ........+a x +k = 0 a x + a x + ........+a x +k = 0 1 2 n El primer paso en la eliminación Gausiana es suprimir la incógnita 1 X y reducir a (n – 1) el numero de ecuaciones. Esto puede lograrse multiplicando la ecuación ( ) 1 1 por 11 1 a . Llamemos a la ecuación resultante ( ) * 1 1 luego se multiplica por 21 a y se resta de la ecuación ( ) 1 2 , que elimina 1 X de ( ) 1 2 . Llámenos a la ecuación resultante ( ) 2 2 . La ecuación ( ) * 1 1 se multiplica sucesivamente por 31 a y se resta de ( ) 1 3 , multiplíquese por 41 a y se resta de ( ) 1 4 , etc., por todas las ecuaciones. El resultado es un sistema de ecuaciones (n – 1) conteniendo incógnitas (n – 1), o sea de 2 X a n X . El procedimiento antes resumido se repite en las ecuaciones nuevas (n – 1) para eliminar 2 X y llegar a las ecuaciones (n – 2). Este mismo procedimiento se continúa hasta que el sistema se reduce a solo una ecuación y una incógnita, o sea, n X de la cual se computa n X . Este procedimiento global que sucesivamente y sistemáticamente reduce el numero de ecuaciones, con frecuencia se llama la”solución delantera”. El procedimiento de las incógnitas ahora sucesivamente calculada de las ecuaciones reducidas, frecuentemente se llama “la solución trasera”. La incógnita 1 n X ÷ puede calcularse sustituyendo el valor ahora conocido de n X en una de las dos ecuaciones conteniendo solo las incógnitas 1 n X ÷ y n X . Luego puede calcularse 2 n X ÷ sustituyendo los valores ahora conocidos para 1 n X ÷ y n X en una de las 3 ecuaciones conteniendo las incógnitas 2 n X ÷ , 1 n X ÷ y n X . La repetición sucesiva de este procedimiento produce valores para todas las incógnitas. 3.1.3 Ejemplo numérico. El procedimiento quizá se ilustra mejor con un ejemplo numérico: considere el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales: No. ecuaciones y explicación Sistema de n=3 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 + 4y + y +11 = 0 + 3y 2y +16 = 0 2 3y + 5y +21 = 0 1 2 3 y y y ÷ ÷ ÷ A. solución delantera ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 2 3 1 1 * 2 3 1 1 2 * 2 3 1 1 2 1 11 1 + 2y + y + = 0 X = 2 2 2 3 48 5y y + = 0 1 2 2 -7y + 4y 32 = 0 2 1 1 2 1 2 3 3 1 y X X ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * 2 3 2 2 * 3 2 2 3 1 y 0.3y +4.3=0 X = 5 1.9y +1.9=0 7 2 2 3 3 2 X ÷ ÷ ÷ = B. solución trasera ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 y = 1.0 de la ecua. -7y 4(1)+32 = 0 de la ecua. 2y 3( 4) 5(1) 21=0 de la ecua. 3 3 3 + ÷ ÷ + ÷ Varios autores han brindado refinamiento a esta eliminación gausiana básica, dirigidos primordialmente para la sistematización de procedimientos ya sea para la solución mediante computadoras digitales o calculadoras de mesa. Tales refinamientos no se explicaran en este texto; sin embargo, debe mencionarse que los procedimientos arriba bosquejados se facilitan enormemente a través de un tipo de solución tabular. 3.2 Linealización de ecuaciones no lineales de la serie de Taylor 3.2.1 Introducción En cómputos de ajuste con frecuencia es necesario tratar con ecuaciones no lineales. Por ejemplo, las ecuaciones de observación a menudo relacionan las cantidades medidas con parámetros desconocidos mediante la función del seno o coseno. La tarea para resolver un sistema de ecuaciones no lineales es, en verdad, formidable. Para facilitar su solución se usa una aproximación de la serie de Taylor a fin de lineal izar las ecuaciones. 3.2.2 Aproximaciones de la serie de Taylor Supóngase que la ecuación siguiente relaciona un valor medido L con los parámetros desconocidos X y Y, a través de los coeficientes no lineales, como: Sistema de (n-1)=2 Sistema de n-2=1 L = F (x,y) ………………………….. (3a) Por el teorema de Taylor la ecuación puede ser representada así: En la ecuación (3b), 0 x y 0 y son aproximaciones de los valores X y Y, ( ) 0 0 F , y x es la función no lineal avaluada en estas aproximaciones, F', F'',…… n F son la primera, segunda, …………, enésima derivadas parciales de F, y dX y dY son correcciones a las aproximaciones iniciales, de manera tal que: …………………………. (3c) Mientras más grande sea el valor de n en la ecuación (3b), más exacta será la aproximación de la serie de Taylor. Si se abandonan todos los términos conteniendo derivadas superiores a las primeras, se obtiene la siguiente expresión lineal: ( ) ( ) 0 0 0 0 L=F , = F , ...............(3 ) y y x x L L dx dy d x y c c + + c c Una vez seleccionadas las aproximaciones iniciales, las únicas incógnitas en la ecuación (3d) son las correcciones dx y dy. Debido a que se han abandonado los términos de la serie de Taylor para obtener (3d), la ecuación solo es una muy buena aproximación. Por ende, el método de las solución general mente sigue estos pasos. 1. Seleccionar las aproximaciones iniciales para las incógnitas. Pueden obtenerse por conjetura o por mediciones, pero mientras más cercanas sean las aproximaciones iniciales, mas rápidamente se obtendrá la solución. 0 0 x y x dx y dy = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , " , L = F , = F , 1! 2! , ' , " , + .......... + ! 1! 2! , + .......... + ............................(3 ) ! y y x x y y x x y y y x x x y x + + + + n n n n F dx F dx F dx F dy F dy n Fy dy b n 2. Sustituir estas aproximaciones iniciales en (3d) y resolver para las correcciones desconocidas dx y dy. De las dos ecuaciones anteriores, dx = 1.25 y dy = 1.75; de lo cual: 0 0 1.00 1.25 2.25 1.00 1.75 2.75 x y x dx y dy = + = + = = + = + = Segunda iteración F = 2.25 + 2.75 - 2(2.75)² + dx + [1 - 4(2.75)] dy = -4 G = (2.25) ² + (2.75)² + 2(2.25) dx + 2(2.75) dy = 8 De las dos soluciones anteriores, dx = -0.25 y dy = -0.64; de lo cual: 0 0 2.25 0.25 2.00 2.75 0.64 2.11 x y x dx y dy = + = ÷ = = + = ÷ = Tercera iteración F = 2 + 2.11- 2(2.11)² + dx + [1 - 4(2.11)] dy = -4 G = (2) ² + (2.11)² + 2(2) dx + 2(2.11) dy = 8 De las dos soluciones anteriores, dx = 0.0 y dy = -0.11; de lo cual: 0 0 2.00 0.00 2.00 2.11 0.11 2.11 x y x dx y dy = + = + = = + = ÷ = Cuarta iteración F = 2 + 2 - 2(2)² + dx + [1 - 4(2)] dy = -4 G = (2) ² + (2)² + 2(2) dx + 2(2) dy = 8 De las dos ecuaciones anteriores, las correcciones dx y dy son cero al centésimo más cercano. Por tanto, la serie ha convergido según la evidencia por las correcciones cero y los valores X = 2.00 y Y = 2.00 son las incógnitas deseadas. 3.2.4 Linearizacion de ecuaciones de observación de distancias. Los dos tipos de observaciones implícitas en levantamientos de control horizontal son las mediciones angulares obtenidas usando teodolitos, y la medición de distancias obtenidas por la medición con cinta o por medios electrónicos. Al ajustar las posiciones horizontales por el método de la ecuación de observación de mínimos cuadrados, las ecuaciones se escriben relacionando las cantidades observadas y sus errores inherentes fortuitos con las coordenadas X y Y mas probables de los puntos involucrados. Este procedimiento a menudo se conoce como el método de la variación de coordenadas. Haciendo referencia a la Fig. 3.1, se puede escribir la siguiente ecuación de observación de distancias para cualquier línea I-J: ( ) ( ) 2 2 J I J I ....................(3 ) X X Y Y IJ IJ e V L + = ÷ + ÷ En la ecuación (3e), IJ L es la longitud observada, y I X , J X , I Y y J Y son las coordenadas mas probables de los puntos I y J. El lado derecho de la ecuación (3e) es una función no lineal de las variables desconocidas I X , J X , I Y y J Y . Se reescribe la ecuación como: ( ) I J I J , , , .................................(3 ) X X Y Y IJ IJ F f V L + = Donde ( ) ( ) ( ) 2 2 I J I J J I J I , , , X X Y Y X X Y Y F = ÷ + ÷ Como se dijo en el artículo anterior, la linearizacion de la serie de Taylor de la función F, después de dejar como significantes a todos los términos de orden dos o más altos, toma la forma siguiente: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 I J I J I J I J 0 ...................................(3 ) 0 0 0 , , , , , , X X Y Y X X Y Y i i i j j g j i j F F F dx F F F dy dx dy x y y x c = + c c c c + + c c c 0 0 i i x y i i i i x dx y dy = + = + En la ecuación (3g), 0 i F x c c es la derivada parcial de F con respecto a I X avaluada en las aproximaciones iniciales, etc., 0 0 0 0 I J I J , , , X X Y Y son aproximaciones de las incógnitas I J I J , , , X X Y Y , y I J I J , , , dX dX dY dY son correcciones que han de aplicarse a las aproximaciones iniciales de tal manera que: 0 0 i i x y i i i i x dx y dy = + = + 0 0 x y j j j j j j x dx y dy = + = + Al evaluar las derivadas parciales de la función F, sustituyéndolas en la ecuación (3g), y luego a su ves sustituyéndolas a la ecuación (3f) y reordenando, resulta pues la siguiente ecuación de observación linearizada para mediciones de distancias: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 IJ IJ 0 0 L L 0 0 0 0 + = ( ) ( ) ( ) ( ).............................(3 ) V K i j i j j i j i dxi dyi dxi ij ij ij dyj h ij y y X X X X y y ÷ ÷ ÷ + + ÷ + Donde: 0 ij ij L ij K L = ÷ ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 0 j i j i X X Y Y ij = ÷ + ÷ La evaluación de las derivadas parciales en el desarrollo previo es bastante directa. No obstante, para ilustrar el procedimiento tomemos la parcial de F con respecto a I X . Habiéndolo hecho, las parciales restantes se visualizan fácilmente sin tener que efectuar en realidad los pasos necesarios. ( ) ( ) 2 2 J I J I X X Y Y F = ÷ + ÷ ( ) ( ) ( ) 1/ 2 2 2 2 j i j i j i 1 2 X( 1) 2 X X Y Y X X i F x ÷ c = ÷ + ÷ ÷ ÷ c ( ) ( ) j i 1/ 2 2 2 j i j i - X X X X Y Y i F x ÷ + c = c ÷ + ÷ Al evaluar esta derivada en las aproximaciones iniciales, se produce lo siguiente: ( ) 0 j i 0 0 - X X i F ij x + c = c 3.2.5 Linearización de ecuaciones de observación de ángulos con referencia a la Fig. 3.2 puede escribirse la siguiente ecuación de observación de ángulos: jik -1 -1 jik + = tan tan ................(3 ) V j i k i j i k i i y y y y X X X X u u | | | | ÷ ÷ | | ÷ | | ÷ ÷ \ . \ . La ecuación (3i) relaciona jik u , el ángulo observado y jik V u el error residual inherente en la observación, con el ángulo más probable en términos de las variables desconocidas I I J J k k , , , , ,X X Y X Y X las coordenadas más probables de los puntos involucrados. La ecuación (3i) es también una no lineal y puede linealizarse usando la serie de Taylor; y se reescribe como: ( ) jik I I J J k jik k + , , , , ............................(3 ) ,X V X Y X Y X U j u u = Donde ( ) -1 -1 I I J J k k , , , , tan tan ,X X Y X Y X j i k i j i k i U y y y y X X X X | | | | ÷ ÷ | | = ÷ | | ÷ ÷ \ . \ . La aproximación de la serie de Taylor para la funcion U, después de dejar como significantes La aproximación de la serie de Taylor para la funcion U, después de dejar como significantes a todos los términos de orden dos o más altos, es: ( ) 0 0 0 0 0 I I J J k I J k k k J 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , + I 0 ................(3 ) ,X Y ,X ,X X Y X Y X X Y Y i i i j j k k j k i j k U U U dX U U U U U dy dX dy dX dy K x y y y x x c | | = | c \ . c c c c c + + + + + c c c c c En la ecuación (3k), los términos se definen como en la ecuación (3g). Al evaluar las derivadas parciales de la función U, sustituyéndolas en la ecuación (3K), y luego a su vez sustituyéndolas en la ecuación (3j) y reordenando, resulta la siguiente ecuación de observación linearizada para medición de ángulos: …..(3m) 1 Donde Las ecuaciones (3h) y (3m) son de observación linealizada, y ahora se puede manejar convenientemente un sistema de ellas por métodos matriciales o por eliminación gausiana. 1 En la ecuación (3m), jik V u , jik K u están medidos en radián. Puesto que es más común trabajar en el sistema sexagesimal en este país y, ya que las magnitudes de los residuales de ángulos generalmente están en la gama de segundo, pueden convertirse las unidades de la ecuación (3m) a segundos multiplicando el lado derecho de la ecuación por p (Rho), el número de segundos por radián , que es 206.265” 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jik jik j i j i i i j i j i k i i k j j k k Y Y X X K V dX dY IJ IK IJ IK Y Y X X Y Y X X dX dY dX dY IJ IJ IK IK u u + = ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 0 2 2 0 tan tan ( ) ( ) ( ) ( ) jik ijk ijk ijk o j i k i o j i k i j i j i k i k i K Y Y Y Y X X X X IJ X X Y Y IK X X Y Y u u u u ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ = ÷ + ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 (3 ) * jik jik j i k i i j i k i j j i k i i k i i j j k k Y Y Y Y X X X X Y Y X X Y Y X X K V dx dy dx dy dx dy m IJ IK IJ IK IJ IJ IK IK u u + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + = ÷ + ÷ + + + + Donde 0 jik jik jik K u u u = ÷ ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 tan tan ( ) ( ) jik j i k i j i k i j i j i k i k i Y Y Y Y X X X X IJ X X Y Y IK X X Y Y u ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ + ÷ = ÷ + ÷ Las ecuaciones (3h) y (3m) son de observación linealizada, y ahora se puede manejar convenientemente un sistema de ellas por métodos matriciales o por eliminación gausiana. *En la ecuación (3m) u k K y V están medidos en radian. Puesto que es mas común trabajar en el sistema sexagesimal en este país y, ya que las magnitudes de los residuales de ángulos generalmente están en la gama de segundos, pueden convertirse las unidades de la ecuación (3m) a segundos multiplicando el lado derecho de la ecuación por p (Rho), el numero de segundos por radian, que es 206,265.” Tarea autodidáctica No. 3 1. Resolver las incógnitas X y Y en la siguientes ecuaciones no lineales usando el teorema de Taylor. (Usar Xo=5 y Yo=5 para las primeras aproximaciones). 2 2 2 3 75 19 X Y X X Y ÷ = ÷ = 2. Resolver los valores desconocidos de X, Y y Z en las siguientes tres ecuaciones no lineales usando la serie de Taylor. (Usar Xo = Yo = Zo = 2 para las primeras aproximaciones). 2 2 3 3 2 4 4 2 23 X Y XY Z X Y Z X Y Z ÷ + + = ÷ + + = ÷ ÷ + = CAPITULO 4 TEORIA GENERAL DE ERRORES Clasificación de errores Durante el proceso de medición de cualquiera cantidad física, ciertos factores tales como limitaciones humanas, imperfecciones e inestabilidades instrumentales harán inexactos los valores medidos. De hecho, puede declararse incondicionalmente hablando que cada valor medido contiene errores. Antes de proceder con un análisis de errores, será útil clasificar los tipos de errores que puedan ocurrir en las siguientes categorías: Equivocación: Un disparate por parte del observador como resultado de su descuido o confusión. En general, las equivocaciones no se clasifican como errores. Sólo pueden eliminarse mediante una cuidadosa verificación para aislar el disparate y luego corregirlo por medio de nuevas mediciones. Ejemplos de equivocaciones: 1) añadiendo un pie en una distancia medida cuando se usa una extensión de cinta o al dejar de registrar una longitud de cinta; 2) equivocaciones al leer escalas graduadas; y 3) disparates al registrar, escribir 27.55 por 25.75, etc. Error sistemático: Error en un valor medido que sigue alguna ley física o que puede expresarse como una función matemática. Si se miden las condiciones causantes del error, puede calcularse una corrección y se elimina el error sistemático. Como ejemplos: 1) la temperatura no es estándar al medir con cinta, 2) un error índice vernier al medir un ángulo vertical, 3) uso de una mira de nivel que no tiene la longitud estándar. Error fortuito / al azar Después de remover las equivocaciones y errores sistemáticos de los valores medidos, quedan aun errores de pequeña magnitud llamados errores fortuitos o al azar, que generalmente son pequeños y tienden a ser mas bien negativos que positivos. Tales errores no siguen las leyes físicas como lo hacen los sistemáticos y, por ende, deben tratarse conforme a las leyes matemáticas de probabilidad. Como ejemplos tenemos: 1) un error pequeño al clavar una clavija de la cinta, 2) no estar centrada la burbuja al instante de leer la mira de nivel, y 3) errores menores al leer las escalas graduadas. Jamás podrán evitarse totalmente los errores fortuitos en cualquiera medición. Dichos errores con frecuencia se conocen como errores accidentales; sin embargo, su ocurrencia no puede considerarse un accidente. Definición de términos Cantidades medidas: Cantidades directamente observadas que contienen errores fortuitos. Valor verdadero: El valor teóricamente correcto o exacto de una cantidad. 4.2.3 Error: La diferencia entre cualquiera cantidad medida y el valor verdadero para esa cantidad. Puesto que el valor verdadero de una cantidad medida es indeterminado, los errores también son indeterminados y, por ende, son cantidades estrictamente teóricas. Valor más probable (VMP): Aquel valor para una cantidad medida que, basándose en las observaciones, tiene la más alta probabilidad. El VMP para una cantidad que ha sido directa e independientemente medida varias veces, es sencillamente la media aritmética. Esto se probará en el artículo 7.1. En general, el VMP es aquel valor que minimiza la suma de los cuadrados de los residuales, lo que es el principio fundamental de los mínimos cuadrados. Residual: La diferencia entre cualquier cantidad medida y el VMP para esa cantidad. Los cómputos de ajustes se ocupan del valor, ya que los errores son indeterminados. Con frecuencia se usa el término error cuando de hecho se quiere decir residual, y aunque son muy similares y se comportan de la misma manera, hay una distinción teórica. Grados de libertad: El número de observaciones en exceso del numero realmente necesitado para calcular las incógnitas. En otras palabras, el numero de grados de libertad es igual al número de observaciones redundantes, las cuales revelan las discrepancias e inconsecuencias en Los valores observados. Esto a su vez hace posible la práctica de los cómputos de ajuste para obtener los mejores valores posibles basados en las cantidades medidas. 4.2.7. Variación: Un valor por el cual se expresa la precisión de cualquier grupo de mediciones. Se define como la media de los cuadrados de todos los errores. La preescisión se expresa en términos de la media de los errores, ya que por la naturaleza de los errores fortuitos, la media de los errores tiende a cero al aumentar el número de observaciones. Por tanto, el error promedio produciría muy poca información útil como una expresión de precisión. 4.2.8. Error estándar: La raíz cuadrada de la variación. De las definiciones anteriores, pueden escribirse las siguientes ecuaciones para la variación y error estándar de una cantidad que ha sido observada n veces: Y 2 2 2 ...............(4 ) x a n x n o o = = ¯ ¯ Donde o = error estándar o ² = variación n = número de mediciones Ȉ x ² = la suma de los cuadrados de los errores. 4.2.9. Desviación estándar: Un valor que expresa precisión que semejante al error estándar. No obstante, las cantidades o y o² son cantidades teóricas porque los valores verdaderos, y por ende los errores, son indeterminados. En agrimensura, se trata con residuales en vez de errores, donde los residuales se calculan de los VMP en lugar de los valores verdaderos. Luego se obtiene el mejor cálculo de variación cambiando x a v, y cambiando el denominador a (n-1) en la ecuación (4a). La desviación estándar usada en agrimensura es entonces la raíz cuadrada de la variación. La variación y desviación estándar se calculan por las expresiones siguientes: 2 2 1 v S n = ÷ ¯ 2 1 v S n = ÷ ¯ ………………….. (4b) Donde S = desviación estándar S ² = variación n – 1 = los grados de libertad Ȉ V ² = la suma de los cuadrados de los residuales. Teoría de la probabilidad El ajuste de las cantidades medidas que contienen es uno de los problemas principales en las ciencias exactas. Ciertamente, esto es de importancia global para los agrimensores, geodesias y fotogrametristas. En los restantes artículos de este texto, asumiremos que todas las equivocaciones y errores sistemáticos han sido eliminados de los valores medidos, y que solo quedan errores fortuitos. Tales errores fortuitos siguen las leyes de la probabilidad y, por ende, así serán tratados. La probabilidad se define como la razón / relación del numero de veces que debiera ocurrir un suceso o evento comparado al número total de posibilidades. Por ejemplo, considérese el tiro de un dado, donde hay un sexto de probabilidad que salga un dos, lo que sencillamente significa que hay seis posibilidades en total y sólo una de estas es un dos. En general, si ocurriera un suceso en forma m, y dejara de ocurrir en forma n, entonces la probabilidad de ocurrencia sería m / (m+n) y la probabilidad de fracaso sería n / (m+n). La probabilidad se percibe como una fracción que se extiende en valor del cero al uno, el cero indicando imposibilidad y el uno indicando certeza. Puesto que un evento debe ocurrir o dejar de suceder, la suma de las probabilidades de cualquier evento es uno. Por tanto, si 1 / 6 es la probabilidad de sacar un dos con un tiro de un dado, entonces (1-1 / 6) ó 5 / 6 es la probabilidad de que no salga un 2. En terminología de probabilidad, un evento compuesto es la ocurrencia simultánea de dos o más eventos independientes. La ocurrencia compuesta de errores es el caso más frecuente confrontado en la práctica de levantamientos; por ejemplo, la ocurrencia de errores compuestos en un levantamiento de poligonales que impide su cierre. La probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos eventos independientes es el producto de las probabilidades individuales de esos eventos independientes. Para ilustrar esta condición, considérese el simple ejemplo de dos cajas que contienen una combinación de bolas rojas y blancas. Si la caja A contiene 4 bolas-una roja y 3 blancas- y si la caja B contiene 5 bolas-2 rojas y 3 blancas- ¿cuál sería la probabilidad de sacar 2 bolas rojas si una bola se saca de cada caja? El número total de posibilidades de pares es 4*5 ó 20, por haber sacado digamos la bola roja de caja A, Cualquiera de las 5 bolas en la caja B podría haberse sacado para completar el par. Habiendo sacado una cierta bola blanca de la caja A, entonces cualquiera de las bolas en la caja B podría completar ese par, etc. El numero total de maneras como podrían obtenerse 2 bolas rojas es 2; la bola roja de la caja A sólo puede equiparse con cualquiera de las bolas rojas de la caja B. Luego, la probabilidad de obtener simultáneamente dos bolas rojas es: ¼ x 2/5 ó 2/20, que es el producto de las probabilidades individuales de sacar una bola roja de las cajas respectivas. La probabilidad de sacar simultáneamente dos bolas blancas es ¾ x 3/5 ó 9/20, y la probabilidad de obtener una roja y una blanca es entonces 1 – (2/20 + 9/20) ó 9/20. Esta ultima probabilidad de 9/20 puede verificarse considerando que si se saca la bola roja de la caja A, cualquiera de las tres bolas blancas de la caja B completaría exitosamente el par rojo-blanco, o para cualquiera de las bolas rojas en la caja B, cada una de las tres bolas blancas de la caja A podría completar el par. Por ende, hay un total de 9 combinaciones rojas-blancas de un total de 20 combinaciones, produciendo una probabilidad de 9/20. En este sencillo ejemplo, se demostró que la probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos eventos independientes es el producto de dos Eventos independientes. Este principio podría extenderse para incluir varios eventos, tales como: 1 2 * *...........* *.................(4 ) n P P P P c = En donde P es la probabilidad de la ocurrencia simultanea de eventos que tienen las probabilidades individuales 1 2 , ......... . n P P P Para desarrollar el principio de cómo ocurren los errores fortuitos, consideremos un sencillo ejemplo en el cual se toma una sola medición de cinta. Supongamos que esta medición contiene un solo error fortuito pequeño de tamaño igual a unidad. Debido a que el error resultante, o sea +1 ò -1. Para esta medición única (t), el numero de posibilidades o la frecuencia de obtener +1 es uno y (T), el No. Total de posibilidades es dos. La probabilidad de obtener +1 es, por tanto, t / T = ½. Si ahora dejamos a un valor que dependa de dos de estas mediciones únicas combinadas, entonces las posibles combinaciones de error que producen el resultante son -1 y -1, -1, +1, +1 y -1 y +1 y +1 ó T = 4. Los errores resultantes son -2, 0 y -1 y sus valores t son 1,2, y1 respectivamente, produciendo probabilidades de ¼, ½ y ¼ respectivamente. En general, al aumentarse (N) el numero de mediciones únicas en combinación, T aumenta conforme a la función T = 2**********. Por tanto, para 3 mediciones en la combinación T = 2³ = 8, para 4 mediciones T = 2************* = 16, etc. El análisis del párrafo anterior podría continuarse para obtener los resultados de la tabla siguiente: Tabla 4.1 Ocurrencia de errores fortuitos No. De mediciones en combinación Valor de error resultante Frecuencia (t) No. Total de posibilidades (T) Probabilidad (5) (1) (2) (3) (4) 1 +1 -1 1 1 2 ½ 1/2 2 2 0 -2 1 2 1 4 ¼ ½ 1/4 3 3 1 -1 -3 1 3 3 1 8 1/8 3/8 3/8 1/8 4 4 2 0 -2 -4 1 4 6 4 1 16 1/16 ¼ 3/8 ¼ 1/16 5 5 3 1 -1 -3 -5 1 5 10 10 5 1 32 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32 Los resultados de la tabla 4.1 pueden trazarse en una grafica de barras según la Fig. 4.1, de (a) a (e). El tamaño del error resultante se traza como la abscisa versus sus probabilidades en las ordenadas que se trazan como los centros de barras del ancho unitario. Si el número de mediciones combinadotas (N) se incrementara progresivamente a valores más y más grandes, los trazados del tamaño del error vs. la probabilidad se aproximarían a una curva suave / regular, la forma típica de campana que es característica de la curva de distribución normal del error (Fig. 4.2). Ya vemos por ejemplo, en el caso de N = 5 ilustrado en la Fig. (e) arriba, que la línea quebrada que conecta los puntos trazados comienza a tomar esa forma. Es importante notar en este momento que cada uno de los trazos de (a) a (e) arriba, el área total de las barras verticales es igual a uno. Esto es verdadero sin importar el valor de N y, por tanto, puede decirse que el arrea bajo la curva regular de distribución normal del error de la Fig. 4.2 es igual a uno. Si un evento tiene una probabilidad de uno, ciertamente ocurrirá y, por ende, el área bajo la curva representa la suma de todas las probabilidades de la ocurrencia de errores. La ecuación de la curva de distribución normal del error es: (se da una deducción de esta ecuación en el apéndice A). 2 2 e h x h y ÷ = H Donde Y= la probabilidad de ocurrencia de un error entre el tamaño de x y x + dx. e= la base de logaritmos naturales h= una constante que depende del grado de refinamiento o precisión de las mediciones. Representación grafica de distribuciones de errores randomizados fortuitos. Histograma. El histograma es una representación gráfica de la distribución de un grupo de mediciones o de un grupo de residuales. Meramente es una gráfica de barras de frecuencia de ocurrencia como ordenadas VS el tamaño del valor medido o residual como abscisas. Los histogramas visualmente ilustran la siguiente información para un grupo de mediciones: si las mediciones o residuales están simétricamente distribuidos, alrededor de un valor central. La diseminación o dispersión total en los valores medidos o en los residuales. La frecuencia de ocurrencia de los valores medidos o de los residuales. La inclinación o lisura del histograma que es una indicación de la precisión de los valores medidos. Se obtienen histogramas de formas varias para distintas personas y para las variaciones en el equipo usado. Por ejemplo, el histograma de muchas mediciones de distancias por geodímetro, probablemente será una curva muy angosta, inclinada en los lados con un alto valor en el centro. Un histograma de la misma distancia medida por una barra subtensa y trazada a la misma escala probablemente sería más ancha, con los lados no muy inclinados y el valor central no tan grande. Ejemplo numérico del histograma: La tabla 4.2 lista 50 valores medidos de un ángulo. Se trazará un histograma de residuales de esos valores para ilustrar detalladamente el procedimiento. Tabla 4.2 De los datos de la tabla 4.2, el VMP (la media) es: n ángulo v n ángulo v n ángulo v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53º26´56.7” 54.8 51.1 50.9 49.8 49.6 48.9 48.1 47.6 46.2 45.7 45.0 44.9 44.3 43.9 43.2 16.62 14.72 11.02 10.82 9.72 9.52 8.82 8.02 7.52 6.12 5.62 4.92 4.82 4.22 3.82 3.12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 53º26´42.8” 42.4 42.1 41.6 41.1 40.8 40.3 40.1 39.8 39.8 39.3 39.3 39.0 38.8 38.6 38.5 2.72 2.32 2.02 1.52 1.02 0.72 0.22 0.02 -0.28 -0.28 -0.78 -0.78 -1.08 -1.28 -1.48 -1.58 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 53º26´37.7” 37.3 36.9 36.4 36.0 35.9 35.6 34.7 34.2 33.9 33.4 32.9 31.6 30.4 29.6 27.8 24.7 19.8 -2.38 -2.78 -3.18 -3.68 -4.08 -4.18 -4.48 -5.38 -5.88 -6.18 -6.68 -7.18 -8.48 -9.68 -10.48 -12.28 -15.38 -20.28 º ´ " 53 26 40.08 ángulos VMP n = = ¯ Aunque no se precisa para construir el histograma, meramente con propósitos ilustrativos, calcularemos la desviación estándar en los valores medidos de la tabla 4.2. 2 7."377 1 v S n = = ÷ ¯ Los residuales se calculan restando el VMP de cada valor medido. Los residuales se tabulan en la columna v de la tabla 4.2. Luego se clasifican los residuales en grupos o clases seleccionando algún “intervalo de clase” compatible con los datos. Es importante seleccionar un intervalo de clase que sea del tamaño adecuado para exhibir correctamente la distribución. Para los datos de la tabla 4.2, se seleccionan 3 segundos como “i”- el intervalo de clase-. El primero se centra en cero pero para que se cuente el número de residuales en el intervalo de 3 segundos entre -1”5 y +1”5. Igualmente se sigue el mismo procedimiento para los residuales de los intervalos entre -1.5 y +4.5, +1.5 y +4.5,-4.5 y -7.5, +4.5 y +7.5, etc. Finalmente, el histograma con el tamaño de residual en la abscisa VS el número de residuales y las frecuencias de ocurrencia como ordenada, se traza según la figura 4.3. Polígono de frecuencia: Si se conectan con líneas rectas los puntos centrales superiores adyacentes de las barras del histograma, se obtiene un polígono de frecuencia de los datos de la Tabla 4.2 se sobrepone como una línea quebrada (Fig. 4.3). Este polígono es una exhibición gráfica que indica esencialmente la misma información que el histograma. 4.5 Propiedades de la curva de distribución normal En la ecuación (4b), y es la probabilidad de ocurrencia de un error entre x y x + dx. La probabilidad y es equivalente al área bajo la curva entre los limites de x y x + dx, que se ilustra como área de líneas entrecruzadas en la Fig. 4.4. Según se declaró antes, el área total bajo la curva de probabilidad representa la probabilidad total o al entero uno (1): por tanto: 2 2 1 h x dx h e h · = · l ………………………………………………….. (4e) Si diferenciamos la ecuación (4d) obtenemos: 2 2 2 2 [( ) ] h x y h h x e x h o o ÷ = ÷ Reconociendo el término en corchetes como y, 2 2 dy h xy dx = ÷ ………………………………………………………………(4f) 2 2 2 2 2 ( 2 ) d y dy h x y h dx dx = ÷ + ÷ Sustituyendo la ecuación (4f) 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) d y h x h xy y h dx = ÷ ÷ + ÷ 2 2 2 2 2 2 (2 1) d y h y h x dx = ÷ …...................................................................................(4g) En la ecuación (4f), dy dx = 0 cuando x = 0, y también cuando y = 0; por tanto, la curva es paralela al eje x en x = 0. (Centro de la curva) y es asíntota a x cuando y = 0, ó al hacerse muy grande x. En la ecuación (4g) 2 2 d y dx = 0 cuando 2 2 2h x = 1. El punto de inflexión de una curva ocurre cuando la segunda derivada es igual a cero (Proporción de cambio del declive = cero); de ahí que los puntos de inflexión de la curva de distribución normal ocurren en x = 2 1 2h ± . Si se sustituye x = 0 en la ecuación (4d), entonces ya que 0 e = 1, y = h h Que es igual a la ordenada central de la curva. La ordenada central es proporcional a h, y el área total bajo la curva siempre es uno (1); por tanto, para un grupo de mediciones que tenga un h grande, la ordenada central será grande y el área se concentrará cerca de la ordenada central en donde los errores son pequeños. Esto sólo significa que si h es grande, el grupo de mediciones es preciso. Debido a que h guarda esta relación directa con la precisión de un grupo de mediciones, se le llama el “modulo de precisión” por algunos autores. Medidas de precisión La precisión es la medida de la consistencia o grado de refinamiento de un grupo de mediciones. Esto difiere de exactitud que se define como la proximidad al valor verdadero de cualquiera medición o grupo de mediciones. En agrimensura, los términos mas comúnmente usados para expresar precisión son variación y error estándar (ó desviación estándar). Variación y error estándar En el artículo 4.2 el término variación se definió como el promedio de los cuadrados de todos los errores. El error estándar se definió como la raíz cuadrada de la variación. En cómputos de ajuste, es útil relacionar la variación y el error estándar con la curva de distribución normal. Puede también definirse la variación de una variable fortuita como su momento de segunda área, que puede expresarse como: 2 2 x da da o = l ………………………………………………………………(4h) Esta expresión produce la media de los cuadrados de las distancias de todas las partes elementales de una figura desde una línea central, que en el caso de la curva de distribución normal, déjese que da = ydx, luego: 2 2 2 2 2 2 2 2 h x h x h x ydx e x dx he x dx ydx t o t · · ÷ ÷· ÷· · · ÷ ÷· ÷· = = l l l l ……………………………………………….. (4i) Reconociendo el denominador de la ecuación (4i) como la ecuación (4e) e igual a uno, la ecuación (4i) puede escribirse como: 2 2 2 h x h e x dx o t · ÷ ÷· = l ……………………………………………………………(4j) De la ecuación (4d) para y, y reduciendo: 2 2 2 2 2 5 2 3 2 4 2 h x h x d y h x h e e dx t t ÷ ÷ = ÷ 2 2 2 2 2 5 3 2 2 4 2 h x h x d y h h x e e dx dx t t · · ÷ ÷ ÷· ÷· = ÷ l l …………………….. (4k) Pero 2 2 0 d y dy dx dx dx · · ÷· ÷· | | = = | \ . l Dividiendo a través de la ecuación (4k), por 4 4 h sustituyendo cero para 2 2 d y dx dx · ÷· l Y reordenando: 2 2 2 2 2 1 2 h x h x h x e dx e dx h t t · · ÷ ÷ ÷· ÷· = l l ……………………………………. (4l) Reconociendo el lado izquierdo de (4l) como la ecuación (4j), y ya que 2 2 1 h x dx h e h · = · l De la ecuación (4e), tenemos: 2 2 1 2h o = …………………………………………………………………(4m) Sustituyendo la ecuación (4m) en (4d), resulta: Y= 2 2 2 1 2 x e o to ÷ …………………………………………………………….. (4n) Nótese que ya hemos establecido que el punto de inflexión de la curva de distribución normal ocurre en ± 2 1 2h ; por tanto, el valor de x en el punto de inflexión es la raíz cuadrada de la variación o del error estándar. Para cualquier grupo de mediciones normalmente distribuidas, el área entre los limites de –a y a se da por la expresión 2 2 0 0 2 2 a a a h x a h ydx ydx e dx t ÷ ÷ = = l l l …………………………………………………(4p) Usemos la ecuación anterior para determinar el área dentro de los limites de ± o . Permita que a = 1 2h o = . Deje también que t= hx. Luego dx = dt h . Sustituyendo la ecuación (4p): Área = 1 2 0 2 2 x h t x h dt e h t t = ÷ = = l 2 1 2 2 0 h t hx h t t e dt = = = ÷ = l ……………………………… (4q) La expresión (4q) se conoce como la integral de probabilidades y ha sido evaluada para límites de t desde cero hasta varios límites superiores. Para el limite más alto de t= 1/\2= 0.707, la integral de probabilidad es 0.683. Esto significa que el área contenida entre los limites de o ± es aproximadamente 68% del área total. También significa que para cualquier grupo de mediciones: hay un 68% de oportunidad que cualquier grupo de observación individual tenga un error inferior a o ± ; ó que el 68% de todos los errores yace entre o ± . Este concepto se ilustra en la Fig. 4.5. Para un grupo de observaciones, el error probable de 50% es uno de tal tamaño que tantos más errores son más grandes como lo son más pequeños. En otras palabras, para cualquiera observación única, la probabilidad es la mitad de que su error sea más grande o más maqueño que el error probable del 50%. Puesto que la probabilidad es una mitad, vamos a establecer la ecuación (4q) igual a un área de 0.50 y encontrar que valor del límite superior de t corresponde a esta área, como: 2 0 2 0.50 t t e dt t ÷ = l ………………………………………………………………. (4r) De la tabla de Rainsford, t = 0.477. Ahora ya que t =hx y h= 1 2 h o = , luego t = 2 x o . Por lo tanto para el error probable del 50%, simbolizado como 50 E , 0.477= 50 2 x o y 50 x = 50 E = 2(0.477) 0.6745 o o = ………………………………………………… (4s) El error probable de 90 por ciento Dicho error ó 90 E , error tal que debiera caer teóricamente dentro del 90% de los errores de un grupo de observaciones, es bastante popular con los agrimensores como un medio para expresar la precisión. Extendiendo el razonamiento usado para el error probable del 50%, se escribe una ecuación semejante a (4r) para el error de 90%: 0.90= 2 0 2 0.90 t t e dt t ÷ = l …………………………………………………………… (4t) Nuevamente de la tabla de Rainsford, el límite superior de t que corresponde a un área de 0.90 es 1.163. Por tanto, el error probable del 90% es: 90 90 2(1.163) 1.6449 E x o o = = = …………………………………………………………(4u) Como previamente se indicó, la desviación estándar (S) y el error estándar ( o ) son intercambiables en las anteriores ecuaciones. Ejemplo numérico de cálculos de precisión Supóngase que los valores siguientes se obtuvieron en 15 mediciones independientes de una distancia: 212.22, 212.25, 212.23, 212.15, 212.23, 212.11, 212.29, 212.34, 212.22, 212.24, 21219, 212.25, 212.27, 212.20, 212.25. Calcular el VMP, S, 50, 90 E E Solución: El VMP es sencillamente el promedio, ó: VMP= 3183.44 212.23 15 sum n = = Para calcular S, debemos calcular los residuales y sus cuadrados. Ello se hace con facilidad en forma tabular como sigue: Dist. v v 2 Dist. v v 2 212.22 -.01 -.0001 22 -.01 .0001 212.25 .02 .0004 24 .01 .0001 212.23 0 0 19 .04 .0016 212.15 -.08 .0064 25 .02 .0004 212.23 0 0 27 .04 .0016 212.11 -.12 .0144 20 -.03 .0009 212.29 .06 .0036 25 .02 .0004 212.34 .11 .0121 3183.44 ¯ .0421 ¯ Al extraer el valor de 2 v ¯ de la tabla anterior, la ecuación (4b) se escribe y resuelve como sigue: 2 .0421 0.055 1 14 v S n = = = ± ÷ ¯ Pie Por la ecuación (4s) 50 0.6745 .6745( 0.055) 0.037 E S = = ± = ± Pie Por la ecuación (4u) 90 1.6449 1.6449( 0.055) 0.090 E S = = ± = ± ft. Trazado de una curva de distribución normal (CDN) Con frecuencia es menester trazar las CDN como un medio a fin de comparar distribuciones de errores para grupos conocidos de mediciones. Generalmente se prefiere superponer la CDN en el histograma usando las mismas ordenadas que se usaron para el trazado del histograma. Para lograrlo, es necesario hacer el área bajo la CDN igual al área del histograma, multiplicando por el intervalo de clase. también se reemplazan x y o en (4n) por v y S, lo que produce: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 50(3) 7.377 2 v S v Ke S v s K y e e t ÷ ÷ = = = Donde: 50(3) 8.1 7.377 2 K t = = Resolviendo en forma tabular v 2 v 2 2 2 v S 2 2 2 v S e y 0 0 0 1.0 8.1 ± 5 25 .23 1.26 6.4 ± 10 100 .92 2.5 3.2 ± 15 225 2.07 7.9 1.0 ± 20 400 3.68 39.6 0.20 ± 25 625 5.75 314 0.03 Los resultados de este cómputo se trazan de la Fig. 4.6. Nótese 2que además de trazar los valores y (ordenadas) vs. los valores v (abscisas), es útil dibujar la curva para ubicar también los puntos de inflexión que ocurren en una abscisa igual a la desviación estándar, o en el valor de 7.377. Tarea autodidáctica No.4 Los datos abajo tabulados representan en realidad a 60 mediciones planimétricas del área dentro de una poligonal trazada. n value n value n value n value 1 1.677 16 1.663 31 1.664 46 1.664 2 1.676 17 1.665 32 1.690 47 1.685 3 1.657 18 1.670 33 1.649 48 1.667 4 1.667 19 1.671 34 1.671 49 1.655 5 1.673 20 1.651 35 1.675 50 1.679 6 1.671 21 1.665 36 1.653 51 1.682 7 1.673 22 1.677 37 1.654 52 1.663 8 1.670 23 1.662 38 1.665 53 1.662 9 1.675 24 1.660 39 1.683 54 1.672 10 1.664 25 1.667 40 1.668 55 1.667 11 1.664 26 1.660 41 1.658 56 1.667 12 1.668 27 1.660 42 1.657 57 1.663 13 1.671 28 1.667 43 1.690 58 1.670 14 1.664 29 1.667 44 1.666 59 1.667 15 1.651 30 1.652 45 1.671 60 1.669 Calcúlese lo siguiente: El VMP del area medida. La desviación estandar Trazar el histograma (de residuales) para los datos anteriores usando un intervalo de clase de 0.003. Superponer el polígono de frecuencia en el histograma. Calcular y trazar la CDN. Calcular 50 E . Calcular 90. E CAPITULO 5 PROPAGACION DE ERRORES FORTUITOS 5.1 Derivación de la ecuación básica Una de las ecuaciones más importantes que desarrollaremos en nuestro estudio de errores, es la ecuación que expresa la propagación de errores fortuitos en una función. Para deducir la expresión, consideremos el caso simple en el cual 1 2 z y y = + , donde 1 y y 2 y son dos cantidades independientemente observadas con errores estándar 1 2 . y o o Vamos a desarrollar una expresión para z o , el error estándar de la función z. Permítase que 1 y y 2 y sean cantidades independientemente observadas; Permítase también que los errores en la determinación n de 1 y sean: 1 1 1 1 , , ,..., i ii iii n x x x x , y Permítase que los errores en la determinación n de 2 y sean: 2 2 2 2 , , ,..., i ii iii n x x x x Luego, el valor verdadero de z designado como T z para cada medición independiente es: 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) i i i i i i i i i i i T z y x y x y y x x z x x = + + + = + + + = + + 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii T z y x y x y y x x z x x = + + + = + + + = + + 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) iii iii iii iii iii iii iii iii iii iii iii T z y x y x y y x x z x x = + + + = + + + = + + , etc. Por ende, el error en cada medición es: 1 2 i i i T z z x x ÷ = + 1 2 ii ii ii T z z x x ÷ = + ………………………………………………………………(5a) 1 2 iii iii iii T z z x x ÷ = + Por nuestra definición de variación: 2 2 x n o = ¯ y 2 2 n x o = ¯ Luego para el caso bajo consideración: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ... i i ii ii iii iii z x x x x x x x no = + + + + + + = ¯ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ... i i i i ii ii ii ii z n x x x x x x x x o = + + + + + + Para una muestra grande, la suma de los productos 1 2 1 2 , 2 , i i ii x x x etc. Se convierte en cero, puesto que los errores fortuitos pueden ser tanto positivos como negativos. Por tanto, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 z 1 2 1 2 n ... i i ii ii x x x x o = + + + + 2 2 1 2 2 2 2 z 1 2 x x y y n n o o o = + = + ¯ ¯ Finalmente: 1 2 2 2 z y y o o o = + ………………………………………………………………. (5b) En general, si Z (un valor computado= es una función de y1, y2 … yp. (Valores medidos), entonces z o , el error estándar de la función, se da por la siguiente expresión: 1 2 2 1 2 ... p z y y y p dz dz dz dy dy dy o o o o = + + + PRUEBA Supóngase que Z= f(y1, y2, … yp) en donde y1,y2, … , yp son cantidades dadas independientemente observadas. También deje que 1 1 1 1 , , ,..., i ii iii n y y y y sean n mediciones de y1 conteniendo errores 1 1 1 1 , , ,..., i ii iii n x x x x ; permita que 2 2 2 2 , , ,..., i ii iii n y y y y sean n mediciones de y2 conteniendo errores 2 2 2 2 , , ,..., i ii iii n x x x x y permita que , , ,..., i ii iii n p p p p y y y y sean n mediciones de yp conteniendo errores , , ,..., i ii iii n p p p p x x x x . Entonces el valor verdadero de Z, designado como T z , para cada dete4rminacion independiente es: 1 1 2 2 ( , ,..., ) i i i i i i T p p z f y x y x y x = + + + 1 1 2 2 ( , ,... ) ii ii ii ii ii ii T p p z f y x y x y x = + + + 1 1 2 2 ( , ,..., ) iii iii iii iii iii iii T p p z f y x y x y x = + + + Etc. Tratando las y como aproximaciones iniciales y las x como correcciones, estas ecuaciones pueden sustituirse en una serie de Taylor y linealizarlas desistiendo de las potencias de orden dos o más altas, como: 1 2 1 2 ... i i i i T p p dz dz dz z z x x x dy dy dy | | | | | | = + + + + | | | | \ . \ . \ . 1 2 1 2 ... ii ii ii ii T p p dz dz dz z z x x x dy dy dy | | | | | | = + + + + | | | | \ . \ . \ . 1 2 1 2 ... iii iii iii iii T p p dz dz dz z z x x x dy dy dy | | | | | | = + + + + | | | | \ . \ . \ . Etc. Luego el error en cada determinación es: 1 2 1 2 ... i i i T p p dz dz dz z z x x x dy dy dy | | | | | | ÷ = + + + | | | | \ . \ . \ . ` 1 2 1 2 ... ii ii ii T p p dz dz dz z z x x x dy dy dy | | | | | | ÷ = + + + | | | | \ . \ . \ . …………………………………(5c) " 1 2 1 2 ... iii iii iii T p p dz dz dz z z x x x dy dy dy | | | | | | ÷ = + + + | | | | \ . \ . \ . Etc. Reconociendo las ecuaciones (5c) como equivalentes a (5a) de la prueba anterior, entonces siguiendo la misma manipulación general resulta: 2 2 2 1 2 1 2 ... z p p dz dz dz y y y dy dy dy o o o o | | | | | | = + + | | | | \ . \ . \ . …………………………(5d)* * El error estándar y la desviación estándar pueden intercambiarse en todas estas ecuaciones. La ecuación (5d) en general la manera como se propagan los errores en una función. Nótese que la ecuación (5b) es implícita en la ecuación (5d) como sigue: Permítase que A = B + C Luego por la ecuación (5d): 1 1 dA dA y dB dC = = Sustituyendo: ( ) ( ) 2 2 1 1 A B C o o o = + 5.2 Funciones especificas frecuentemente confrontadas Error estándar de una suma Permita que A=B1+B2+…+Bn, en donde las B son cantidades Independientemente observadas n que tienen errores estándar 1 2 , ,..., n B B B o o o . Luego por la ecuación (5d): ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 ... n A B B B o o o o = + + + ……………………………………………….. (5e)* Si cada uno de los valores 1 2 , ,..., n B B B o o o es igual a, digamos, B o , entonces la ecuación (5e) se convierte en: A B n o o = ……………………………………………………………………….. (5f)* *el error estándar y la desviación pueden intercambiarse en todas estas ecuaciones. Error estándar de la media Déjese que z sea la medida obtenida de las cantidades n independientemente observadas Z1, Z2,…, Zn, cada una de las cuales conteniendo el mismo error estándar z o . La media puede expresarse así: 1 2 ... n z z z z n ÷ + + + = Se obtiene una ecuación para z o ÷ sustituyendo la expresión anterior en la ecuación (5d) como sigue: 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ... n z z z z n n n n n n o o o o o o ÷ | | | | | | = + + + = = | | | \ . \ . \ . …………………(5g)* Ejemplos numéricos: Midamos las mediciones de un tanque (véase la Fig.), y obtenemos: l = 40.00, Sl = +/- 0.05 ft w = 20.00, Sw = +/- 0.03 ft h = 15.00, Sh = +/- 0.02 ft Encontrar la desviación estándar del volumen del tanque con las dimensiones anteriores. V = lwh; dV dl = wh, dV dw = lh, dV dh = lw. Sustituyendo en la ecuación (5d): 2 2 2 v l w h dv dv dv S S S S dl dw dh | | | | | | = + + | | | \ . \ . \ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0.05 0.03 0.02 v S wh lh lw = + + 2 2 2 2 300 0.005 600 0.0009 800 0.0004 v S = × + × + × 225 324 256 805 28.3 v S = + + = = ± cu.ft. Ejemplo 2: Supóngase que el ángulo vertical o de A al punto B se mide desde el punto A como 30°0”, S o = +/- 1`; y que la distancia inclinada D, de A a B se mide como 100.00 pies, D S =+/- 0.05 ft (pie). Hallar la desviación estandar al calcular H, la distancia horizontal entre A y B (ver la fig.) ( ) cos ; cos ; sin dH dH H D D dD d o o o o = = = ÷ Sustituyendo en la ecuación (5d): 2 2 2 2 H D dH dH S S S dD d o o | | | | = + | | \ . \ . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sin 1 cos 0.05 [57.296 60 ] H D S o o ÷ = + 0.0018 0.0002 0.045 H S = + = pie En el ejemplo anterior, nótese que la mayor fuente contributiva de error (el número mas grande bajo el radical) es 0.0018, y que ese es el error asociado con la medición de la distancia. Por tanto, si el error resultante de +/- 0.045 pies es demasiado grande para tolerarse, es adoptar un método mas preciso a fin de medir la distancia. Los errores asociados con cualquier problema indirecto de mediciones pueden analizarse de la misma manera, y así se podrán evaluar las fuentes individuales que contribuyen a causar errores. Luego se tomaran las medidas pertinentes para reducir tales fuentes contributivas. Este concepto generalmente se estudia bajo el titulo Planeamiento o diseño del levantamiento; por el cual puede analizarse el problema por adelantado y especificar niveles de precisión antes de efectuar el trabajo de campo, para asegurarse de un adecuado nivel de exactitud en el resultado final. Este tema se tratará con más detalles en el Capitulo 17. Tarea autodidáctica No.5 1) Durante la preparación de una línea de nivelaciones, se requieren 10 puestas en estación. Para cada puesta en estación, el error probable es +/- 0.005 de pie debido a varias causas. El error probable de la diferencia medida en elevación entre el origen y el término es: 2) Una línea se mide en secciones como sigue sección Longitud medida (pies) Desviación estándar AB 416.24 +/-0.06 BC 1044.16 +/-0.08 CD 590.03 +/-0.06 DE 714.28 +/-0.08 Hallar la desviación estándar de la longitud de AE. El volumen de un cono se da por V=1/12H 2 D h. La altura medida del cono es de 10 pulgadas. h S =+/- 0.20 pulg. El diámetro medido es 6 pulg. D S =0.10 pulg. La desviación estándar del volumen es: CAPITULO 6 PESOS DE LAS OBSERVACIONES Generalidades El peso de una observación es valía relativa de aquel valor observado según se compara a cualquier otro valor. En otras palabras, los pesos son cálculos o expresiones de la relativa confiabilidad de las observaciones. Una alta precisión, indicada por un pequeño error estándar, implica una buena observación y, de esto, un peso alto. A la inversa, una baja precisión, indicada por un error estándar grande, implica una observación deficiente y, por tanto, un peso pequeño. Es obvio que los pesos son inversamente proporcionales a alguna potencia del error estándar. De ahí que el tamaño de la corrección también tendrá una relación inversa con el peso. Media ponderada (peso promedio) Supóngase que tomamos M observaciones independientes (z1, z2, z3,…, zm) de una cantidad z, y que cada una de estas observaciones tiene un error estándar s. Luego la media de las observaciones tiene un error estándar s. Luego la media de las observaciones es: 1 m i i Z z m ÷ = | | = | \ . ¯ …………………………………………………. (6a) Si estas m observaciones se separan ahora en dos juegos, uno de observaciones ma y el otro con mb, de tal manera que ma +mb = m, entonces los promedios de esos juegos son: 1 a m i a i a Z z m ÷ = | | = | \ . ¯ ……………………………………………………………. (6b) 1 m i b i m b Z z m ÷ = + | | = | \ . ¯ ………………………………………………………. (6b) La z ÷ media puede obtenerse combinando los promedios de estos dos juegos como: 1 1 1 1 a a a m m m m i i i i i i m i i m a b z z z z z m m m + = = ÷ = = + + + = = + ¯ ¯ ¯ ¯ Pero de (6b) y (6c): 1 a m a a i i z m z ÷ = = ¯ y 1 a m b b i i m z m z + ÷ = = ¯ Luego: a a b b a b z m z m z m m ÷ ÷ ÷ + = + Dejando ma y mb igual a Pa y Pb, los respectivos pesos relativos de los valores a z ÷ y b z ÷ , podemos escribir la ecuación general: a a b b a b pz p z p z z p p p ÷ ÷ ÷ + = = + ¯ ¯ …………………………………………(6d) La ecuación (6d) es una fórmula para calcular la media ponderada de un grupo de observaciones que tiene pesos desiguales. Para ilustrar la validez de esta ecuación general, supóngase que la distancia “d” se mide seis veces con los resultados siguientes: 92.61, 92.60, 92.62, 92.60, 92.61 y 92.61. Podríamos calcular “d” de la manera usual sumando sencillamente los valores y dividiendo por seis, de ahí que d= 92.608. Sin embargo, si reconocemos que hay un valor 92.62, dos valores 92.60 y tres valores 92.61, podríamos asignar pesos de uno, dos y tres, respectivamente, a esos valores y calcular la media usando la ecuación (6d): ( ) ( ) 92.62 2 92.60 3 92.61 92.608 1 2 3 d ÷ + + = = + + Relación entre el peso y el error estándar Aplicando la ecuación (5d), la variación de a z ÷ en la ecuación (6b) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ... a a a a ma dz dz dz z dz dz dz o o o o ÷ ÷ ÷ ÷ | | | | | | = + + + | | | \ . \ . \ . ………………. (6e) Sustituyendo las derivadas parciales en (6e) tenemos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... a a a a a a a z m m m m m m o o o o o ÷ | | | | | | | | = + + + = = | | | | \ . \ . \ . \ . Finalmente: 2 2 1 a a z m o o ÷ | | = | \ . Similarmente: 2 2 1 b b z m o o ÷ | | = | \ . ……………………. (6f) En las ecuaciones (6f) o es una constante, ma y mb se establecen los pesos respectivamente de a z ÷ y b z ÷ de (6d), y puesto que los pesos relativos, tenemos entonces de (6d): 2 1 a a z p o ÷ = y 2 1 b b z p o ÷ = ………………………………………………(6g) Conclusión: los pesos son inversamente proporcionales a las variaciones. 6.4 Pesos en la nivelación y medición de ángulos Pesos de nivelación Supongamos que una red de nivel tiene con longitudes de l1, l2,…, ln, y que los procedimientos observacionales fuero los mismos por toda la red. ¿Cuáles son los pesos relativos para las líneas? Solución: Permítase que S = la desviación estándar por puesta en estación del instrumento, y deje que d= el avance lineal por puesta en estacion. Luego hay l1/d,l2/d, … ln/d puestas en los distintos cursos. Las variaciones de cada uno de los distintos lados son, elevando al cuadrado la ecuación (5f): ( ) 2 2 1 1 / S l d S = ( ) 2 2 2 2 / S l d S = . . . . ( ) 2 2 / n n S l d S = Por la ecuación (6g), los pesos son inversamente proporcionales a las variaciones y ya que son relativos, los pesos de la línea de nivel son: 1 2 2 1 1 1 1 1 d p S l S l = = = 2 2 2 2 2 2 1 1 d p S l S l = = = . . . . 2 2 1 1 n n n n d p S l S l = = = Conclusión: los pesos son proporcionales a las variaciones. 6.4 Pesos en la nivelación y medición de ángulos 6.4.1 Pesos de nivelación Supongamos que una red de nivel tiene líneas con longitudes de Ɛ1, Ɛ2. ..... Ɛn, y que los procedimientos observacionales fueron los mismos por toda la red. ¿Cuáles son los pesos relativos para las líneas? Solución: Permítase que S = la desviación estándar por puesta en estación del instrumento, y deje que d = el avance lineal por puesta en estación. Luego hay Ɛ1/d, Ɛ2 /d, .... Ɛn/d puestas en los distintos cursos. Las variaciones de cada uno de los distintos lados son, elevando al cuadrado la ecuación (5f): 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ) / ( ) / ( ) / ( s d s s d s s d s n n A # A A = = = Por la ecuación (6g), los pesos son inversamente proporcionales a las variaciones y ya que son relativos, los pesos de la línea de nivel son: n n n n s d s p s d s p s d s p A A # A A A A 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ~ = = ~ = = ~ = = Resumiendo, hemos probado que los pesos de las líneas de nivel son inversamente proporcionales a sus longitudes, y puesto que la longitud es proporcional al número de puestas en estación los pesos también se hallan inversamente proporcionales al número de puestas en estación. 6.4.2 Pesos en la medición de ángulos Digamos que los tres ángulos Į1, Į2 y Į3 en un triángulo plano se miden n1, n2 y n3 veces con el mismo instrumento. ¿Cuáles son los pesos relativos de los ángulos? Solución: Permita que S sea la desviación estándar de una sola medición de ángulo. Las medias de cada uno de los tres ángulos son: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ; ; n n n ¯ ¯ ¯ = = = o o o o o o Y las variaciones de los promedios, según dadas al elevar al cuadrado la ecuación (5g) son: 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( ; ) 1 ( ; ) 1 ( 2 1 s n s s n s s n s = = = o o o Una vez más, puesto que los pesos son inversamente proporcionales a las variaciones y relativos, los pesos de los 3 ángulos son: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 3 2 1 n s n s p n s n s p n s n s p ~ = = ~ = = ~ = = o o o Resumiendo, hemos probado que los pesos de ángulos son proporcionales al número de veces que se midan los ángulos (asumiendo condiciones iguales). 6.5 Ejemplo numérico: Digamos que para el croquis de un circuito de nivel, las longitudes de las líneas 1, 2 y 3, son 2, 3 y 4 millas, respectivamente. Si las diferencias observadas en elevación son + 21.20, + 21.23 y + 21.29, respectivamente, para las líneas 1, 2 y 3, hállese la más probable (media ponderada) elevación para BMX. BMX Circuito de nivel BMA = 100.00 Solución: Del Artículo 6.4.1, los pesos de las líneas de nivel son inversamente proporcionales a sus longitudes. Por tanto, los pesos de las líneas 1, 2 y 3 son 1/2, 1/3 y 1/4, respectivamente. Puesto que los pesos son relativos, arbitrariamente multiplicamos estas fracciones por 12 para obtener pesos de 6, 4 y 3, respectivamente. (Nótese que si se hubieran desatendido los pesos, el promedio simple sería +21.240). 6.6 Errores estándar de las observaciones ponderadas 6.6.1 Error estándar del peso unitario Por definición, se dice que una observación tiene un peso p, donde p es un entero, cuando su precisión iguala la precisión de la media de observaciones p de peso unitario. Déjese que ı0 sea el error estándar de una observación de peso unitario. Si y1, y2, …… yn son observaciones que tienen errores estándar ı1, ı2, …… ın, y pesos p1, p2, ...... pn, entonces conforme a la definición anterior, de la ecuación (5g) tenemos: 1 0 2 0 2 1 0 1 ;......, ; n n p p p o o o o o o = = = (6h) En el artículo 4.2, definimos el error estándar de una sola observación de un grupo de observaciones de igual peso, como: n x ¯ = 2 o Ahora bien, en el caso cuando las observaciones no son de igual peso, debemos modificar la ecuación anterior para calcular el error estándar del peso unitario, a saber: n px n x p x p x p n n ¯ = + + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 0 ..... o (6i) Y una vez modificada para la desviación estándar del peso unitario tenemos: 1 1 ..... 2 2 2 2 2 2 1 1 0 ÷ = ÷ + + + = ¯ n pv n x p v p v p s n n (6j) 6.6.2 Error estándar del peso p y error estándar de la media ponderada La relación entre el error estándar del peso unitario y el error estándar del peso p se dio en la ecuación (6h). Combinando esa ecuación con (6i), pueden obtenerse ecuaciones para errores estándar del peso p en términos de S0 como sigue: n n n n np px p n px p np px p n px p np px p n px p ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = | | . | \ | = = = | | . | \ | = = = | | . | \ | = = 2 2 1 0 2 2 2 2 2 2 0 2 1 2 1 2 1 1 0 1 1 * ; 1 * ; 1 * ; o o o o o o o o o # (6k) Semejantemente, las desviaciones estándar del peso p pueden expresarse como: ) 1 ( ....; ) 1 ( ; ) 1 ( 2 2 2 2 1 2 1 ÷ = ÷ = ÷ = ¯ ¯ ¯ n p pv s n p pv s n p pv s n n (6l) Finalmente, el error estándar de la media ponderada puede calcularse como: ¯ ¯ = pn px M 2 o (6m) Y la desviación estándar de la media ponderada es: ¯ ¯ ÷ = ) 1 ( 2 n p pv s M (6n) 6.6.3 Ejemplos numéricos Ejemplo 1: Suponiendo que una distancia se midió como 625.79 pies por barra subtensa y se le dio un peso de 1, Se midió otra vez como 625.71 pies usando una cinta y se le asignó un peso de 2; la tercera medición fue + 625.69 pies por EDME (equipo electrónico para medir distancias) y recibió un peso de 4. Calcular el VMP de la longitud (media ponderada) y determinar desviación estándar de la media ponderada. a) Por la ecuación (6d) la media ponderada es: 71 . 625 4 2 1 ) 69 . 625 ( 4 ) 71 . 625 ( 2 ) 79 . 625 ( = + + + + = = ¯ ¯ p pz M b) Por la ecuación (6n) la desviación estándar de la media ponderada es: 024 . 0 ) 2 ( 7 0080 . 0 ) 1 ( 2 ÷ + = = ÷ = ¯ ¯ n p pv s M Donde: 0016 . 0 ) 02 . 0 ( 4 ; 02 . 0 69 . 625 71 . 625 0000 . 0 ) 00 . 0 ( 2 ; 00 . 0 71 . 625 71 . 625 0064 . 0 ) 08 . 0 ( 1 ; 08 . 0 79 . 625 71 . 625 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 = = = ÷ = = ÷ = ÷ = ÷ = = ÷ = ÷ = ÷ = v p v v p v v p v Ejemplo 2: En la nivelación desde BMA hasta BMB, se tomaron cuatro diferentes rutas de distintas longitudes. Se obtuvieron los datos siguientes: a. Hallar la media ponderada (el VMP para la elevación ǻ): Por la ecuación (6d): 315 . 25 25 ) 30 . 25 ( 3 ) 38 . 25 ( 4 41 . 25 ( 6 ) 25 . 25 ( 12 + = + + + = M M Hallar las desviaciones estándar de los pesos varios: Tabulando los residuales de los datos anteriores, tenemos, Ruta P v v2 pv2 1 12 -0,065 0,00422 0,0506 2 6 0,095 0,00902 0,0541 3 4 0,065 0,00422 0,0168 4 3 -0,015 0,00022 0,0007 0,1222 Ruta Longitud(mi.) ǻ Elevación P 1 1 25,25 12 2 2 25,41 6 3 3 25,38 4 4 4 25,3 3 Ȉ=25 1. Desviación estándar de la media ponderada por la ecuación (6j) 201 . 0 3 1222 . 0 0 ÷ + = = s 2. Desviación estándar de la media ponderada por la ecuación (6n) 040 . 0 3 ) 25 ( 1222 . 0 ÷ + = = M s 3. Desviaciones estándar de los pesos 12, 6, 4 y 3 por la ecuación (6l). 117 . 0 ) 3 ( 3 1222 . 0 101 . 0 ) 3 ( 4 1222 . 0 082 . 0 ) 3 ( 6 1222 . 0 058 . 0 ) 3 ( 12 1222 . 0 3 4 6 12 = = = = = = = = s s s s Tarea autodidáctica No. 6 1) Se midió un ángulo dando 49º 27' 20", usando un transito y tenía una des- viación estándar de + 15". Se midió otra vez usando un tránsito óptico repetidor que dio 49º 27' 24" con una desviación estándar de +/- 6". Por tercera vez se midió con un teodolito direccional dando 49º 7' 27" con una desviación estándar de +/-2". Calcular el VMP (media ponderada) del ángulo y la desviación estándar de la media ponderada. (Recuérdese que los son pesos inversamente proporcionales a los cuadrados de las desviaciones estándar). 2) Los tres ángulos en un triángulo plano se miden como sigue: Angulo Numero de red Valor A 2 14° 25' 20" B 3 58° 16' 00" C 6 107° 19' 10" El mejor valor del ángulo A es: 3) Se efectúa un circuito de nivel de BM 10 a BM 11 con 5 puestas en estación; luego desde BM 11 hasta BM 12 con 12 puestas; y de BM 12 a BM 13 con 3 puestas obteniendo los resultados siguientes: Hallar el valor corregido de la elevación de BM 12. BM Meas. Elev. 11 440.98 ft. 12 464.25 ft. La elevación fija 13 482.23 ft, de BM 13 es 482.10 pies CAPITULO 7 PRINCIPIOS DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS 7.1 El principio fundamental de los mínimos cuadrados no ponderados. En el Artículo 4.2.4, se declaró la condición fundamental de los mínimos cuadrados; i. e., que el VMP era aquella cantidad, que hacía de la suma de los cuadrados de los residuales un mínimo. Vamos a probar esta condición considerando un caso específico. Supóngase que uno obtiene z1, z2 …., zn, como n valores independientemente medidos de la misma cantidad. Vamos a designar M como el VMP y luego por definición: n n V M z V M z V M z = ÷ = ÷ = ÷ # 2 2 1 1 (7a) Puesto que las v y x se comportan de la misma manera, pueden usarse intercambiablemente en la ecuación (4d). Sustituyendo la v con la x en (4d), resulta: t t h K donde Ke he y v h h v h = = = ÷ ÷ : ; 2 2 2 2 Las probabilidades se representan por áreas bajo la curva de distribución normal (CDN), según se discutió en el Artículo 4.3; por ende, las probabilidades individuales de la ocurrencia de los residuales v1, v2 ....., vn, se obtienen multiplicando sus respectivas ordenadas y1, y2, ….. yn, Por algún incremento infinitesimal ǻv, y así: v Ke v y p v Ke v y p v Ke v y p n v h n n v h v h A = A = A = A = A = A = ÷ ÷ ÷ 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 # Por la ecuación (4c). La probabilidad P de Ia ocurrencia simultanea de todos los residuales v1, v2…., es el producto de las probabilidades individuales; por eso: ) )....( )( ( 2 2 2 2 2 2 1 2 v Ke v Ke v Ke P n v h v h v h A A A = ÷ ÷ ÷ Reduciendo ) ... ( 2 2 2 2 1 2 ) ( n v v v h n e v K P + + ÷ A = (7b) M es la cantidad variable que ha de seleccionarse de tal manera que tenga la mayor probabilidad; por tanto, el valor de P tiene que maximizarse. Para maximizar la probabilidad P en la ecuación (7b), se ve que debido al exponente negativo, la función se maximiza cuando la cantidad (v1 2 + v2 2 +….. vn 2 v) se minimiza. En otras palabras, para maximizar P, debemos minimizar la suma de los cuadrados de los residuales. La ecuación siguiente expresa este principio fundamental de los mínimos cuadrados: imo v v v v n min ) .... ( 2 2 2 2 1 2 = + + + = ¯ (7c) La condición declarada en la ecuación (7c) se refuerza tomando la mera derivada de la función con respecto a la variable M, y estableciendo el resultado igual a cero. Sustituyendo las (7a) en (7c), tenemos: 2 2 2 2 1 2 ) ( ..... ) ( ) ( M z M z M z v n ÷ + + ÷ + ÷ = ¯ (7d) Tomando la derivada d/dM de la (7d) y estableciéndola igual a cero, tenemos: ) 1 )( ( 2 .... ) 1 )( ( 2 ) 1 )( ( 2 0 ) ( 2 1 2 ÷ ÷ + + ÷ ÷ + ÷ ÷ = = ¯ M z M z M z dM v d n Reduciendo: n z z z M z z z nM M z M z M z n n n / ) .... ( .... 0 .... 2 1 2 1 2 1 + + + = + + + = = ÷ + + ÷ + ÷ (7e) La ecuación (7e) indica que el VMP para una cantidad que ha sido independientemente observada varias veces, es sencillamente la media aritmética. En el proceso de esta prueba, se desarrolló el principio fundamental del ajuste de mínimos cuadrados: que el VMP hace de la suma de los cuadrados de los residuales un mínimo. 7.2 Principio fundamental de los mínimos cuadrados ponderados En el Artículo 7.1, se desarrolló el principio fundamental del ajuste de los mínimos cuadrados no ponderados para las observaciones de pesos iguales o unitarios. El caso más general del ajuste de mínimos cuadrados toma en cuenta las observaciones que tienen diferentes grados de precisión y por ende, pesos diferentes. . Supóngase que tenemos un juego de mediciones z1, z2, ...... zn, que tienen pesos relativos p1, p2 …... pn, y residuales v1, v2, ...... vn. Vamos a denotar al VMP como M. Como en el Artículo 7.1, los residuales están relacionados con las observaciones a través de la ecuación (7a) y la probabilidad total P de la ocurrencia simultánea de estos residuales se da en la ecuación (7b). No obstante, nótese de la ecuación (4m) que h 2 = l/2ı2, y puesto que los pesos son inversamente proporcionales a las variaciones, ellos son directamente proporcionales a h 2 . Por tanto, la (7b) puede reescribirse como: ) .... ( 2 2 2 2 2 1 1 n n v p v p v p n n e v k P + + A = Para maximizar P debemos minimizar el exponente negativo de e que está dentro de los paréntesis. Dicho en palabras, la suma del producto de los pesos multiplicada por sus respectivos residuales elevados al cuadrado tiene que minimizarse, y esta es la condición que debe imponerse en el ajuste de mínimos cuadrados ponderados. Esta condición del ajuste en forma ecuacional es: imo pv v p v p v p n n min ..... 2 2 2 2 2 2 1 1 = = + + ¯ (7f) Sustituyendo en la (7f), los valores para los residuales dados en (7a), tenemos: Minimo M z p M z p M z p n n = ÷ + ÷ + ÷ 2 2 2 2 2 1 ) ( .... ) ( ) ( Se impone la condición mínima diferenciando la ecuación anterior y estableciendo el resultado igual a cero, según: ) 1 ( ) ( 2 .... ) 1 ( ) ( 2 ) 1 ( ) ( 2 0 2 2 2 2 2 1 ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ = M z p M z p M z p n n Multiplicando a través de las ecuaciones anteriores por -1/2, tenemos: 0 ) ( .... ) ( ) ( 2 2 2 2 2 1 = ÷ + ÷ + ÷ M z p M z p M z p n n ¯ ¯ = ; pM pz Y de la cual: ¯ ¯ = p pz M (7g) La ecuación (7g) es una repetición de (6d) que da el me todo para computar la media ponderada. 7.3 Ecuaciones de observación Las ecuaciones que relacionan las cantidades medidas con sus errores observacionales residuales y con parámetros independientes y desconocidos, se llaman ecuaciones de observación. Una tal ecuación se escribe para cada observación. Para una solución singular de las incógnitas, el número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas. En el caso normal hay más ecuaciones que incógnitas, lo que permite la determinación de los VMP de las incógnitas, basándose en los principios de mínimos cuadrados. 7.3.1 Ejemplo elemental del ajuste de la ecuación de observación. Como ejemplo elemental del ajuste de mínimos cuadrados por el método de la ecuación de observación, considérense las tres siguientes ecuaciones de observación: 2 . 0 ) 3 5 . 1 2 ) 2 0 . 3 ) 1 = ÷ = ÷ = + y x y x y x (7h) Estas tres ecuaciones relacionan las dos incógnitas x y y, con las cantidades observadas. Los valores para x y y podrían obtenerse de cualquiera de dos de esas ecuaciones, para que la ecuación restante fuera redundante. Nótese que si las dos primeras ecuaciones de (7h) se resuelven, x=1.5 y y=1.5. Sin embargo, si se resuelven las dos últimas ecuaciones, x=1.3 y y=1.1 Además, si se resuelven la primera y última ecuaciones, x. = 1,6 y y = 1,4. Estas tres ecuaciones han sido escritas como resultado de mediciones y se hace aparente que de esas discrepancias observadas, las mediciones contienen errores. Tales ecuaciones pueden, reescribirse como sigue: 3 2 1 2 . 0 ) 6 5 . 1 2 ) 5 0 . 3 ) 4 v y x v y x v y x = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ + (7i) Las ecuaciones (7i) relacionan las incógnitas con las ecuacíones y con los errores en las observaciones. Obviamente es posible seleccionar valores de v1, v2, y v3 que producirán los mismos valores y y, no importa el par de ecuaciones resuelto. A fin de obtener estabilidades por todas las ecuaciones, podríamos dejar que v1 = 0, v2 = 0, y v3= -0.2. Luego x = 1.5 y y= 1.5, no importa el par de ecuaciones resuelto. Esto parece ser una solución bastante buena. Se pueden tener otros valores para las v, que harán suma de sus cuadrados un valor más pequeño. De hecho, la solución que la suma de los cuadrados de las v un mínimo, produce los valores x y probables y se llama la solución de mínimos cuadrados. Para llegar a la solución de mínimos cuadrados, se elevan cuadrado las ecuaciones para los residuales y estas expresiones se suman juntas para dar una función f(x,y) = Ev 2 , como sigue: 2 2 3 2 2 2 2 2 1 ) 2 . 0 ( ) 5 . 1 2 ( ) 0 . 3 ( ÷ + = ÷ + = ÷ + = y x v y x v y x v (7j) Sumando estas ecuaciones para formar Ȉv 2 , obtenemos: 2 2 2 ) 5 . 1 2 ( ) 0 . 3 ( ÷ ÷ + ÷ + = ¯ y x y x v (7k) Luego se toman las derivadas parciales de esta función con respecto a cada incógnita, y se establecen igual a cero. Entonces resultará una ecuación para cada incógnita, como: ) 2 . 0 ( 2 ) 5 . 1 2 ( 2 ) 0 . 3 ( 2 0 2 ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ + = = c c ¯ y x y x y x x v (7k) Estas anteriores ecuaciones se llaman ecuaciones normales. Estableciendo los diferenciales iguales a cero es el medio de minimizar una función, como recordarán del cálculo elemental. Tales ecuaciones normales se resuelven simultáneamente para cada incógnita. Las ecuaciones normales reducidas para estas tres ecuaciones de observación son como sigue: 0 3 . 1 3 2 ) 2 0 2 . 6 2 6 ) 1 = ÷ + ÷ = ÷ ÷ y x y x (7l) Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones normales produce: x = 1.514 y y = 1,442. Vamos a comparar los resultados de la solución aproximada con esta solución de mínimos cuadrados. Solución aproximada v1=0 v1=0 v2=0 v2=0 v3=0,2 v3=0,4 Ȉv 2 = 0,4 Una comparación de la suma de los cuadrados de los residuales les indica que la solución de mínimos cuadrados produce el total más pequeño; por ende, esto resultaría en un mejor ajuste; de hecho, es el mejor ajuste posible. 7.4 Formulación sistemática de las ecuaciones normales En grandes sistemas de ecuaciones de observación, es muy útil emplear procedimientos sistemáticos para formular las ecuaciones nórmale! A fin de desarrollar tales procedimientos, consideremos el sistema siguiente de ecuaciones lineales de observación de igual peso: m m m m m m v L N n C c B b A a v L N n C c B b A a v L N n C c B b A a + = + + + + + = + + + + + = + + + + ..... ..... ..... 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 # (7m) Los cuadrados de los residuales son: ) ..... ( ) ..... ( ) ..... ( 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 m m m m m L N n C c B b A a v L N n C c B b A a v L N n C c B b A a v ÷ + + + + = ÷ + + + + = ÷ + + + + = # (7n) De lo cual la ecuación Ȉv 2 que expresa la condición de mínimos grados de igual peso, se forma como sigue: Solución por mínimos cuadrados v1 = -0,44 v1 = 0,002 v2 = 0,086 v2 = 0,007 v3 = -0,128 v3 = 0,016 Ȉv 2 = 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ... ........ ... ... m m m m m L N n C c B b A a L N n C c B b A a L N n C c B b A a v ÷ + + + + + ÷ + + + + ÷ + + + = ¯ (7p) Las ecuaciones normales se forman como siempre tomando las derivadas parciales: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m n L N n C c B b A a n L N n C c B b A a n L N n C c B b A a N v c L N n C c B b A a c L N n C c B b A a c L N n C c B b A a C v b L N n C c B b A a b L N n C c B b A a b L N n C c B b A a B v a L N n C c B b A a a L N n C c B b A a a L N n C c B b A a A v ÷ + + + + + ÷ + + + + ÷ + + + = = c c ÷ + + + + + ÷ + + + + ÷ + + + = = c c ÷ + + + + + ÷ + + + + ÷ + + + = = c c ÷ + + + + + ÷ + + + + ÷ + + + = = c c ¯ ¯ ¯ ¯ ... 2 ........ ... 2 ... 2 0 ... 2 ........ ... 2 ... 2 0 ... 2 ........ ... 2 ... 2 0 ... 2 ........ ... 2 ... 2 0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 # # (7q) Multiplicando a través de cada una de las ecuaciones anteriores por 1/2, se elimina de la constante 2. Las ecuaciones (7q ) son las normales. Vamos a reordenar el orden de sus términos como sigue: ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m L n L n L n N n n n C c n c n c n B b n b n b n A a n a n a n L c L c L c N n c n c n c çC c c c B b c b c b c A a c a c a c L b L b L b N n b n b n b C c b c b c b B b b b A a b a b a b L a L a L a N n a n a n a C c a c a c a B b a b a b a A a a a ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + + + + + + + + + = ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + + + + + + + + + = ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + + + + + + + + + = ÷ ÷ ÷ ÷ + + + + + + + + + + + + + + + + + = ..... ..... ... ..... ..... ..... 0 ..... ..... .... ..... ..... ..... 0 ..... ..... ... ..... ..... ..... 0 ..... ..... ... ..... ..... ..... 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 # # (7r) Pueden ahora formularse ecuaciones generalizadas expresando las ecuaciones normales (7r) como: | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | nL N nn C nc B nb A na cL N cn C cc B cb A ca bL N bn C bc B bb A ba aL N an C ac B ab A aa = + + + = + + + = + + + = + + + . .......... . .......... . .......... . .......... # # (7s) En este sistema de ecuaciones (7s), las a, b, c, .... n, son los coeficientes de las incógnitas A, B, C, .... N; L es el término constante y el símbolo ( ȕ significa la suma de los productos). Asimismo, puede probarse matemáticamente que las ecuaciones normales se pueden formar sistemáticamente de ecuaciones de observación ponderadas de la manera siguiente: | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | pnL N pnn C pnc B pnb A pna pcL N pcn C pcc B pcb A pca pbL N pbn C pbc B pbb A pba paL N pan C pac B pab A paa = + + + = + + + = + + + = + + + . .......... . .......... . .......... . .......... # # (7t) En las ecuaciones (7t) los términos son los mismos según descritos arriba para las ecuaciones (7s), con la adición de las p que son los pesos relativos de las observaciones. 7.5 Formación tabular de las ecuaciones normales La formulación de las ecuaciones normales de las ecuaciones de observación puede sistematizarse adicionalmente, mediante la manipulación de los sistemas de las ecuaciones (7s) y (7t) en una solución tabular. De esta manera, se maneja fácilmente la gran cantidad de números. Una ventaja de este enfoque sistemático en la formulación de ecuaciones normales, es que se evita la toma de derivadas parciales. Abajo se ilustra la formulación tabular sistemática de las ecuaciones normales para el ejemplo previo del Artículo 7.3.1. Primeramente, para hacer las ecuaciones (7j) compatibles con la forma generalizada de las ecuaciones (7m), ellas se reescriben como sigue 3 2 2 . 0 5 . 1 2 0 . 3 v y x v y x v y x + = ÷ + = ÷ + = + (7u) En las ecuaciones (7u), hay dos incógnitas, A y B. Los términos a1, b1 y L1 en la primera ecuación son +1, +1 y +3.0, respectivamente. Los términos a2, b2 y L2 en la segunda ecuación son +2, -1 y +1.5, respectivamente, y los términos a3, b3 y L3 en la tercera ecuación son +1, -1 y +0.2,respectivamente. Colocando estos términos en la siguiente forma tabular se obtienen sistemáticamente las ecuaciones normales como sigue: Tabla 7.1 Formación tabular de ecuaciones normales Equn a b L aa ab bb aL bL 1 1 1 3 1 1 1 3 3 2 2 -1 1,5 4 -2 1 3 -1,5 3 1 -1 0,2 1 -1 1 0,2 -0,2 [aa] [ab] [bb] [aL] [bL] 6 -2 3 6,2 1,3 Sustituyendo los términos apropiados para [aa], [ab], [bb], [aL] y [bL] de la Tabla 7.1 en las ecuaciones (7s), se obtienen las siguientes ecuaciones normales: 3 . 1 3 2 2 . 6 2 6 = + ÷ = ÷ y x y x (7v) Nótese que las ecuaciones (7v) son exactamente iguales a las (7l). Se advierte basándose en estudios previos, que el número de ecuaciones normales en un ajuste de mínimos cuadrados es igual al número de incógnitas que han de ser ajustadas. Tratando con grandes sistemas de ajuste conteniendo muchas incógnitas, resultara en un gran número de ecuaciones normales, por lo que la solución simultánea de las ecuaciones plantea un problema bastante formidable. Tales ecuaciones pueden resolverse por métodos matriciales según el Capítulo 2, o por eliminación gaussiana según el Capítulo 3. Tarea autodidáctica No. 7 1) Considerando que las siguientes observaciones son de igual peso, calcular los VMP de A y B en las ecuaciones de observación a continuación, método de mínimos cuadrados no ponderados: (Usar el método tabular para formar las ecuaciones normales). 3 2 5 . 0 2 ) 5 . 12 3 2 ) 0 . 16 2 ) v B A c v B A b v B A a + ÷ = ÷ + = ÷ + = + 2) Si las observaciones de las ecuaciones a, b y c en el problema No. 1 tienen pesos de 2, 3 y 1, respectivamente, resolver para los VMP de A y B mediante el método de mínimos cuadrados ponderados. (Usar el método tabular para formar las ecuaciones normales). CAPITULO 8 AJUSTE DE REDES DE NIVEL 8.1 Introducción Ahora se considerará la aplicación del método de mínimos cuadrados por ecuaciones de observación al problema del ajuste del circuito de nivel. En el Artículo 7.1 , se desarrollo la condición de mínimos cuadrados para calcular el VMP de un grupo de observaciones directas de la misma cantidad. En el ajuste de circuitos de nivel , se trata con un grupo de observaciones directas que no es todo de la misma cantidad, sino más bien cada observación representa la medición de la diferencia en elevación de una línea separada del circuito de nivel. No obstante, tales observaciones se tratan de la misma manera y las correcciones buscadas son aquéllas que producen la más alta probabilidad de su ocurrencia simultánea en el circuito de nivel. 8.2 Ejemplo considerando pesos iguales Considérese ahora un ejemplo específico de un circuito de nivel, cuyo croquis y datos del levantamiento se muestran en la Fig. 8.1. -En dicho ejemplo, se asumirá que cada observación es de igual peso. Más tarde se considerará el concepto de las observaciones de peso relativo. En la figura las flechas indican la dirección de la nivelación. Por lo tanto para la línea No. 1, la nivelación procedió desde BMX hasta A y la diferencia observada en elevación fue de 5,10 pies. Fig. 8.1 Circuito de nivel entrelazado Línea No Diferencia observada en elevación 1 5,1 2 2,34 3 -1,25 4 -6,13 5 -0,68 6 -3 7 1,7 Primero se escriben las ecuaciones de observación que relacionan cada medición de la diferencia en elevación de una línea con los VMP para las elevaciones desconocidas A, B y C, y con los errores residuales en las mediciones, como: 7 6 5 4 3 2 1 70 . 1 00 . 3 68 . 0 13 . 6 25 . 1 34 . 2 10 . 5 v B C v BMY B v A B v C BMX v BMY C v A BMY v BMX A + + = + ÷ = + ÷ = + ÷ = + ÷ = + + = + + = (8a) Reordenando para colocar los residuales al lado izquierdo dé las ecuaciones, sustituyendo los valores de BMX y BMY y elevando al cuadrado los residuales, resulta: (8b) Ahora se escribe la función F(v) que expresa la condición de mínimos cuadrados: imo v v v v F min .... ) ( 2 7 2 2 2 1 = + + = Sustituyendo en la ecuación anterior los valores para los "residuales elevados al cuadrado de las ecuaciones (8b), se obtiene la función siguiente: imo B C B A B C C A A v F min ) 70 . 1 ( ) 50 . 104 ( ) 68 . 0 ( ) 13 . 106 ( ) 25 . 106 ( ) 16 . 105 ( ) 10 . 105 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 = ÷ ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ = 2 2 7 2 2 6 2 2 5 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 ) 70 . 1 ( ) 50 . 104 ( ) 68 . 0 ( ) 13 . 106 ( ) 25 . 106 ( ) 10 . 105 ( ) 10 . 105 ( ÷ ÷ = ÷ = + ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = B C v B v A B v C v C v A v A v Tomando las derivadas parciales de la función anterior con respeto a cada incógnita y estableciendo los resultados igual a cero, resultan tres siguientes ecuaciones normales, una para cada incógnita: 0 ) 70 . 1 ( 2 ) 13 . 106 ( 2 ) 25 . 106 ( 2 0 ) 70 . 1 ( 2 ) 5 . 104 ( 2 ) 68 . 0 ( 2 0 ) 68 . 0 ( 2 ) 16 . 105 ( 2 ) 10 . 105 ( 2 = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = c c = ÷ ÷ ÷ ÷ + + ÷ = c c = + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = c c B C C C C F B C B A B B F A B A A A F Reduciendo las anteriores ecuaciones normales, se produce: 08 . 214 3 12 . 102 3 94 . 210 3 = + ÷ = ÷ + ÷ = ÷ C B C B A B A Al resolver simultáneamente las tres ecuaciones normales reducidas anteriores, se producen las siguientes elevaciones ajustadas de las Incógnitas: A = 105.14 B = 104.48 C = 106.19 8.3 Ejemplo considerando los pesos Ahora se introduce el concepto de las observaciones ponderadas. En el Artículo 6.4, se dedujo que los pesos relativos de las líneas de nivel son inversamente proporcionales a sus longitudes. El efecto de los pesos relativos sobre las observaciones puede introducirse en el ajuste, multiplicando las ecuaciones de observación por los correspondientes pesos relativos de las observaciones respectivas. La condición que debe ser satisfecha en el ajuste" por mínimos cuadrados de las observaciones ponderadas, es que la suma de los pesos relativos multiplicada por los residuales elevados al cuadrado, (Ȉpv 2 ) sea un mínimo. Esta condición puede escribirse en forma ecuacional como: imo v p v p v p m m min ..... 2 2 2 2 2 1 1 = + + + (8c) donde las p son los pesos relativos de las observaciones. Se ilustra la aplicación del método del ajuste por mínimos cuadrados ponderados de un circuito de nivel suponiendo longitudes variables para la ilustración previa. Se dan en la Tabla 8.1 las siguientes longitudes para las líneas del circuito de nivel, así como también los resultantes pesos relativos correspondientes. Tabla 8. 1 Línea Longitud Peso relativo 1 4 3 2 3 4 3 2 6 4 3 4 5 2 6 6 2 6 7 2 6 Los pesos relativos en la columna a la derecha se obtuvieron invirtiendo todas las longitudes de línea en forma fraccional 1/longitud. Para mayor conveniencia, esas fracciones pueden multiplicarse por cualquier constante {se usó 12 en este ejemplo), para obtener pesos relativos más convenientes. Ahora están formadas las ecuaciones de observación como en el ejemplo previo de igual peso, excepto que en el caso ponderado cada ecuación de observación se multiplica por su correspondiente peso relativo como: ) 70 . 1 ( ) 00 . 3 ( ) 68 . 0 ( ) 13 . 6 ( ) 25 . 14 ( ) 34 . 2 ( ) 10 . 5 ( 7 7 7 6 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 v B p B p v BMY p B p v A p B p v C p BMX p v BMY p C p v A p BMY p v BMX p A p + + = + ÷ = + ÷ = + ÷ = + ÷ = + + = + + = Reordenando para colocar las pv al lado Izquierdo de las ecuaciones, sustituyendo los valores de BMX y BMY, y elevando al cuadrado los residuales, resulta en: 2 2 7 7 2 2 6 6 2 2 5 5 2 2 4 4 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 ) 70 . 1 ( 6 ) 50 . 104 ( 6 ) 68 . 0 ( 6 ) 13 . 106 ( 4 ) 25 . 106 ( 6 ) 16 . 105 ( 4 ) 10 . 105 ( 3 ÷ ÷ = ÷ = + ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = B C v p B v p A B v p C v p C v p A v p A v p (8d) Ahora se escribe la función F(v) que expresa la condición de los mínimos cuadrados ponderados como: imo v p v p v p v F min ...... ) ( 2 7 7 2 2 2 2 1 1 = + + + = (8e) Sustituyendo las ecuaciones (8d) en la (8e) y tomando las derivadas parciales con respecto a cada una de las incógnitas A, B y C, resultan las tres siguientes ecuaciones normales: 0 ) 70 . 1 ( 6 * 2 ) 13 . 106 ( 4 * 2 ) 25 . 106 ( 6 * 2 0 ) 70 . 1 ( 6 * 2 ) 50 . 104 ( 6 * 2 ) 68 . 0 ( 6 * 2 0 ) 68 . 0 ( 6 * 2 ) 16 . 105 ( 4 * 2 ) 10 . 105 ( 3 * 2 = ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ = c c = ÷ ÷ ÷ ÷ + + ÷ = c c = + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = c c B C C C C F B C B A B B F A B A A A F Reduciendo las ecuaciones anteriores, tenernos: 13A - 6B = 740.02 -A + 3B - C = 102.12 -3B + 8C = 536.11 Resolviendo simultáneamente las tres anteriores ecuaciones normales reducidas, produce las siguientes elevaciones ajustadas ponderadas de las incógnitas: A = 105.15 B = 104.49 C = 106.20 Debe notarse que estos valores ajustados difieren ligeramente de los valores ajustados obtenidos mediante el ajuste de igual peso. Esto ilustra el efecto de los pesos relativos sobre los resultados del ajuste, y aunque la diferencia en los valores ajustados por ambos procedimientos es sutil, se puede concluir que para los circuitos precisos de nivel es tanto lógico como prudente efectuar el ajuste ponderado. 8.4 Formación tabular de ecuaciones normales para el ejemplo de la red de nivel ponderada. La Tabla 8.2 ilustra el procedimiento de la formación de ecuaciones normales para el ejemplo de la red ponderada, usando el enfoque tabular. Para concordar con las ecuaciones (7m), las (8a) se reescriben como sigue: 1) A = 105.10 + v1 2) - A = -105.16 + v2 3) C = 106.25 + v3 4) - C = -106.13 + v4 (8f) 5) -A + B = -0.68 + v5 6) B = 104.50 + v6 7) - B + C = 1.70 + v7 En este ejemplo hay tres incógnitas. A. B y C. Cuando no aparece una incógnita en una ecuación, su coeficiente es cero. Los datos anotados en la tabla se toman de las ecuaciones (8f), excepto para los pesos que se toman de la Tabla (8,1). En la primera ecuación los términos son a1=1, b1 y c 1 son ceros, p1 es 3 y L1 = 105.10. En la segunda ecuación a2 es = -1 , b2 y C2 son cero, p2 es 4, y L2 es 105.16, etc. Las ecuaciones normales se forman colocando las sumas apropiadas de la Tabla 8.1 en las ecuaciones generalizadas (7m). Tarea autodidáctica No 8 1) En el croquis del circuito de nivel, calcular as elevaciones más probables para BM1 y BM2. Todas las líneas son de igual longitud y, por tanto, se aplica el procedimiento de mínimos cuadrados de igual peso. Los valores observados se dan en la tabla adjunta. Usar una solución tabular para formular las ecuaciones normales. Línea Difer. elevación 1 1 2 0,08 3 0,92 4 -1 5 0,08 (5) (4) (3) (2) (1) BM1 BM1 A=103.00 A=102.00 A=101.00 A=100.00 2) Para el croquis del circuito de nivel, calcular las elevaciones más probables para x1, x2 y x3. Se brindan en la tabla adjunta los valores observados y las longitudes de líneas. Aplicar los pesos apropiados en los cómputos. Usar de nuevo el método tabular para formular las ecuaciones normales. Línea Longitud Difer. elevación 1 4 +1.05 2 4 -0.95 3 2 +2.10 4 2 -1.95 5 1 +0.10 6 3 +0.05 x3 x1 x2 (4) (6) (1) (5) (3) (2) A=101.00 A=101.00 CAPITULO 9 METODOS MATRICIALES PARA EL AJUSTE DE MINIMOS CUADRADOS 9.1 Ecuaciones matriciales para las ecuaciones de observación no ponderadas En el Artículo 7.4 se presentó un método sistemático para formar ecuaciones normales de ecuaciones de observación. Ahora vamos a representar un juego de ecuaciones de observación no ponderadas tal como (7m), en forma matricial: 1 1 1 V L X A n n n m m + = (9a) donde: A = m m m m n c b a n c b a n c b a . . . . . . . . . 2 2 2 2 1 1 1 1 X = N C B A . . L = m L L L L . . 3 2 1 V = m V V V V . . 3 2 1 Al estudiar la siguiente representación matricial, se notará que las ecuaciones normales (7s) se obtienen como sigue: A T A X = A T L (9b) En la ecuación anterior, A T A es la matriz de los coeficientes de la ecuación normal de las incógnitas. Premultiplicando ambos lados de la ecuación (9b) por (A T A) -1 tenemos: (A T A) -1 (A T A) X = (A T A) -1 A T L I X = (A T A) -1 A T L X = (A T A) -1 A T L (9c) La ecuación (9c) es la ecuación matricial básica para el ajuste de mínimos cuadrados no ponderados. 9.2 Ejemplo numérico de ecuaciones de observación no ponderadas Para ilustrar el procedimiento matricial de mínimos cuadrados, vamos a calcular el ejemplo no ponderado del Artículo 8.2. A. Reescribiendo las ecuaciones de observación (8a) de forma compatible con la (9a), tenemos: A = 105.10 + v1 A = 105.16 + v2 C = 106.25 + v3 C = 106.13 + v4 A - B = 0.68 + v5 B = 104.5 + v6 B - C = -1.70 + v7 . . ' B. Estas ecuaciones de observación en forma matricial son: 1 7 1 7 1 3 3 7 V L X A + = Donde: A = ÷ ÷ 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ; X = C B A ; L = ÷ 70 . 1 50 . 104 68 . 0 13 . 106 25 . 106 16 . 105 10 . 105 ; V = 7 6 5 4 3 2 1 v v v v v v v C. La solución matricial para los VMP es: A T A = ÷ ÷ 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 * ÷ ÷ 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 = ÷ ÷ ÷ ÷ 3 1 0 1 3 1 0 1 3 Nótese que estos elementos matriciales son los coeficientes de las ecuaciones normales. Véase el Artículo 8.2. (A T A) -1 = 8 3 1 3 9 3 1 3 8 21 1 A T L = ÷ ÷ 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 * ÷ 70 . 1 50 . 104 68 . 0 13 . 106 25 . 106 16 . 105 10 . 105 = 08 . 214 12 . 102 94 . 210 Nótese que éstos son los términos constantes de las ecuaciones normales. D. Finalmente, se calculan los VMP. X = (A T A) -1 A T L = 8 3 1 3 9 3 1 3 8 21 1 * 08 . 214 12 . 102 94 . 210 = 19 . 106 48 . 104 14 . 105 Un resumen de elevaciones ajustadas de cota fija es: A = 105.14 B = 104.48 C = 106.19 E. Solución para los residuales Reordenando la ecuación (9a), V = AX - L A X = ÷ ÷ 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 * 19 . 106 48 . 104 14 . 105 = ÷ 71 . 1 48 . 104 66 . 0 19 . 106 19 . 106 14 . 105 14 . 105 V = A X – L = ÷ 71 . 1 48 . 104 66 . 0 19 . 106 19 . 106 14 . 105 14 . 105 - ÷ 70 . 1 50 . 104 68 . 0 13 . 106 25 . 106 16 . 105 10 . 105 = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 01 . 0 02 . 0 02 . 0 06 . 0 06 . 0 02 . 0 04 . 0 9.3 Métodos matriciales para las ecuaciones de observación ponderadas Vamos a considerar el siguiente sistema de ecuaciones de observación ponderadas: ) ( ) .... ( ) ( ) .... ( ) ( ) .... ( 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 m m m m m m m v L P N n B b A a P v L P N n B b A a P v L P N n B b A a P + = + + + + = + + + + = + + + # (9b) Al estudiar la siguiente ecuación matricial, se notará que produce exactamente las ecuaciones normales dadas por las (7t) de la solución tabular: (A T PA)X = A T PL (9f) Usando los principios del álgebra matricial, resolvemos las X desconocidas corno sigue: (A T P A) -1 (A T P A) X = (A T P A) -1 A T P L I X = (A T P A) -1 A T P L (9g) X = (A T P A) -1 A T P L La ecuación (9g) es la expresión matricial general para la solución de mínimos cuadrados de las ecuaciones de observación ponderadas. 9.4 Ejemplo numérico de ecuaciones de observación ponderadas Para ilustrar el procedimiento matricial en los mínimos cuadrados ponderados por el método de ecuación de observación, vamos a resolver el ejemplo del - problema ponderado del Artículo 8.3. A. Las ecuaciones de observación ponderadas se escriben compatibles con la ecuación (9e) como sigue: ) 7 . 1 ( ) ( ) 50 . 104 ( ) 00 . 3 ( ) 68 . 0 ( ) ( ) 13 . 106 ( ) 13 . 6 ( ) 25 . 106 ( ) 25 . 1 ( ) 16 . 105 ( ) 34 . 2 ( ) ( ) 10 . 105 ( ) 10 . 5 ( 7 7 7 6 6 6 6 6 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 v P C B P v P v BMY P B P v P B A P v P v BMX P C P v P v BMY P C P v P v BMY P A P v P v BMX P A P + = + ÷ + = + ÷ = + ÷ = + ÷ + ÷ = + ÷ ÷ = + = + ÷ = + ÷ = + + ÷ = ÷ + = + + = Las ecuaciones de observación en forma matricial son: PAX = PL + PV P = 6 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 3 ; A = ÷ ÷ ÷ ÷ 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L = ÷ ÷ ÷ 70 . 1 50 . 104 68 . 0 13 . 106 25 . 106 16 . 105 10 . 105 ; V = 7 6 5 4 3 2 1 v v v v v v v B. La solución matricial de la ecuación (9g) es: A T P= ÷ ÷ ÷ ÷ 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 * 6 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 3 = ÷ ÷ ÷ ÷ 6 0 0 4 6 0 0 6 6 6 0 0 0 0 0 0 6 0 0 4 3 A T PA = ÷ ÷ ÷ ÷ 6 0 0 4 6 0 0 6 6 6 0 0 0 0 0 0 6 0 0 4 3 * ÷ ÷ ÷ ÷ 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 = ÷ ÷ ÷ ÷ 16 6 0 6 18 6 0 6 13 Nótese que estos son los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones normales ponderadas. Véase el articulo8.3. (A T PA) -1 = 0733 . 0 0289 . 0 0133 . 0 0289 . 0 0770 . 0 0355 . 0 0133 . 0 0355 . 0 0933 . 0 A T PL = ÷ ÷ ÷ ÷ 6 0 0 4 6 0 0 6 6 6 0 0 0 0 0 0 6 0 0 4 3 * ÷ ÷ ÷ 70 . 1 50 . 104 68 . 0 13 . 106 25 . 106 16 . 105 10 . 105 = 22 . 1072 72 . 612 02 . 740 Nótese que estos son los términos constantes de las ecuaciones normales. X = (A T PA) -1 A T PL = 0733 . 0 0289 . 0 0133 . 0 0289 . 0 0770 . 0 0355 . 0 0133 . 0 0355 . 0 0933 . 0 * 22 . 1072 72 . 612 02 . 740 = 20 . 106 49 . 104 15 . 105 Resumiendo las elevaciones ajustadas para BMA, BMB y BMC son 105.15, 104.49 y 106.20, respectivamente y ellas concuerdan exactamente con los valores obtenidos en el articulo 8.3. 9.5 Derivación matricial de la ecuación para los mínimos cuadrados ponderados Supóngase que nos dieron un sistema de ecuaciones de observación ponderadas, a saber: | | | | | | | | | | | | m m m n mn m m m n n n n v p X a X a X a p v p X a X a X a p v p X a X a X a p + = + + + = + + + = + + A # A A ..... ..... ..... 2 2 1 1 2 2 2 2 2 22 2 21 2 1 1 1 1 2 12 1 11 1 (9h) Este sistema puede representarse en forma matricial como: PAX = P(L +V) (9i) donde: P = m p p p . . . . 2 1 ; A = mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 . . . . . . . . . . . . . ; X = n X X X . . . . 2 1 L = m A A A . . . . 2 1 ; y V = m v v v . . . . 2 1 La solución de mínimos cuadrados minimiza la suma de los pesos multiplicada por los residuales elevados al cuadrado o, Ȉpv 2 = min. En forma matricial, se minimiza V T pv. Esta condición se refuerza tomando tomando la derivada parcial de V T pv y estableciendo el resultado igual a cero como: X v p v X pv v T T c c = = c c 2 0 ) ( (9j) Pero de (8p) V = AX – L (9k) A X L AX X V = c ÷ c = c c ) ( (9l) Sustituyendo (9l) en (9j): 0 = 2V T PA (9m) Multiplicando (9m) por ½ y transponiendo: 0 = A T P T V (9n) Sustituyendo (9k) en (9n): 0 = A T P T V ( AX – L) (9p) Multiplicando (9p) 0 = A T P T AX - A T P T L Pero p = p T puesto que es una matriz diagonal Luego A T PAX = A T PL (9q) Resolviendo (9q) para X : ( ) PL A PA A X T T 1 ÷ = ……………………………………………(9r) Si se supone que los pesos son iguales, la matriz P es una matriz identidad y la solución para X es: ( ) L A A A X T T 1 ÷ = …………………………………………….(9s) Nótese que las ecuaciones (9r) y (9s) son idénticas a las (9c) y (9g), respectivamente. 9.6 Programa de Computadora El programa de computadora del Apéndice B dirige la solución de la ecuación (9g) e imprime los resultados. El programa puede usarse para resolver la ecuación no ponderada (9c) sencillamente usando pesos iguales tal como 1.0 para todas las observaciones. El programa se ha usado para resolver los ejemplos no ponderados y ponderados de las redes de nivel en los Artículos 8.2 y 8.3, respectivamente. Las dos páginas siguientes listan esos ejemplos. Nótese que la salida contiene la desviación estándar del peso unitario y las desviaciones estándar de los valores ajustados. El método para sus cómputos se discutirá en el capitulo 10. Se ofrece en el Apéndice B una discusión del uso de este programa, junto con un listado de los datos de entrada para esos dos ejemplos de redes de nivel. EJEMPLO DE RED DE NIVEL NO PONDERADA , COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF MATRIZ A 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 -1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 -1.000000 MATRIZ L 105.100000 105.160000 106.250000 106.130000 .680000 104.500000 -1.700000 MATRIZ DE PESO 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 MATRIZ DE ECUACIONES NORMALES 3.000000 -1.000000 0.000000 -1.000000 3.000000 -1.000000 0.000000 -1.000000 3.000000 MATRIZ DE COVARIACION .380952 .142857 .047619 .142857 .428571 .142857 .047619 .142857 .380952 INCOGNITAS X 105.140900 104.482819 108.187592 RESIDUALES V .040909 -.019089 -.062408 .057602 -.021919 -.017181 -.004773 DESVIACION ESTANDAR DEL PESO UNITARIO .050123 DESVIACION ESTANDAR DE VALORES AJUSTADOS .030938 -.032813 .030938 EJEMPLO DE RED DE NIVEL PONDERADA, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF MATRIZ A 1.000000 0.000000 0.000000 -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 -1.000000 -1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 -1.000000 1.000000 MATRIZ L 105.100000 -105.160000 106.250000 -106.130000 -.680000 104.500000 1.700000 MATRIZ DE PESO 3.000 4.000 6.000 4.000 6.000 6.000 MATRIZ DE ECUACIONES NORMALES 13.000000 -6.000000 0.000000 -6.000000 18.000000 -6.000000 0.000000 -6.000000 18.000000 MATRIZ DE COVARIACION .093333 .035556 .013333 .035556 .077037 .028889 .013333 .028889 .073333 INCOGNITAS X 105.150375 104.489182 106.197189 RESIDUALES V .050385 .009628 -.052811 -.067184 .018806 -.010818 .008008 DESVIACION ESTANDAR DEL PESO UNITARIO .107220 DESVIACION ESTANDAR DE VALORES AJUSTADOS .032756 .029759 .029035 Tarea Autodidáctica Nº 9 1. Resolver el problema 1 del juego de problemas Nº 8 usando métodos matriciales 2. Resolver problema 2 del juego de problemas Nº 8 usando métodos matriciales. CAPITULO 10 PRECISIONES DE LAS CANTIDADES INDIRECTAMENTE DETERMINADAS 10.1 Desviación estándar del peso unitario En el artículo 6.6.1, la ecuación (6j) expreso la desviación estándar del peso unitario como: 1 2 0 ÷ = ¯ n pv S Sin embargo, esta ecuación se aplica cuando se obtienen observaciones directas de varios pesos para una sola cantidad. Ahora bien, cuando las incógnitas se determinan indirectamente, i. e., se determinan de observaciones indirectas que están relacionadas con las incógnitas deseadas mediante relaciones funcionales lineales tal como el juego de ecuaciones de observación (8a), entonces la desviación estándar del peso unitario se da como: n m pv S ÷ = ¯ 2 0 ………………………………………..(10a) En la ecuación (10a), mes el número de observaciones y, por tanto, el número de ecuaciones de observación, y n es el número de incógnitas. El denominador ( n m÷ ) es la redundancia, comúnmente llamado el número de grados de libertad. Es el número de ecuaciones excesivas de observación; en otras palabras debido a que n ecuaciones producirían una singular solución para las n incógnitas. 10.2 Desarrollo de la matriz de covariación/covariancia Es este articulo se desarrollara el significado de la “matriz de covariación”. Dicha matriz se forma de los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones de observación. Se utiliza para calcular las desviaciones estándar de los valores ajustados que se determinan indirectamente y que son funciones de valores observados. Considérese un ajuste que involucre ecuaciones de observación ponderadas tales como aquellas del ejemplo del circuito de nivel presentado en el Artículo 8.3. Tal enfoque es el método mas común para ajustar circuitos de nivel, resección, intersección, triangulación, trilateración, poligonales, transformación de coordenadas y otros ajustes fotogramétricos y geodésicos. El sistema de las ecuaciones de observación ponderadas se representa en forma matricial como: PV PL PAX + = La solución por mínimos cuadrados de las ecuaciones de observación ponderadas para los valores X más probables se da por: ( ) PL A PA A X T T 1 ÷ = ……………………………………..(10b) En la ecuación (10b), X es una matriz de los valores mas probables de mínimos cuadrados para las incógnitas, mientras que los valores verdaderos de las incógnitas seria la matriz X que tiene componentes diferentes de X por cantidades pequeñas X A , de tal manera que: X X X = A + Por lo tanto, los valores X A son -al parecer- los errores en los valores ajustados de mínimos cuadrados. Considérese ahora algún pequeño cambio incremental L A en los valores medidos L requeridos para cambiar X a X , de manera tal que la ecuación (10b) se convierte en: ( ) ( ) L L P A PA A X X T T A + = A + ÷1 Reduciendo ( ) ( ) L P A PA A PL A PA A X X T T T T A + = A + ÷ ÷ 1 1 Pero de (10b), ( ) PL A PA A X T T 1 ÷ = así que ( ) L P A PA A X T T A = A ÷1 …………………….(10c) Reconociendo L A como residuales en los valores observados L, la (10c) puede reescribirse como: ( ) PV A PA A X T T 1 ÷ = A También deje que ( ) B P A PA A T T = ÷1 Luego: BV X = A …………………………………………………….(10d) Multiplicando ambos lados de la (10d) por sus transpuestas, tenemos: ( )( ) T T BV BV X X = A A De la cual: ( ) T T T B BVV X X = A A ………………………………….(10e) El lado izquierdo desarrollado de la ecuación (10e) es: ( ) A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A = A A 2 3 2 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 n n n n n n n T X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X …(10f) Y también el lado derecho desarrollado de la (10e) es: m n B × m m m m m m m m v v v v v v v v v v v v v v v v v v × ......... ......... .......... 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 n m B T × ………………(10g) Supongamos ahora que es posible repetir toda la secuencia de observaciones muchas veces, digamos a veces. Cada vez ocurre una solución de Mínimos cuadrados ligeramente diferente produciendo un juego distinto de X . Promediando todos los juegos, el lado izquierdo de la ecuación (10e) se convierte en: ( )( ) n n n n n T a x a x x a x a x x a x x a x x a x X X a × A A A A A A A A A A A = A A ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ...... .......... .......... ......... , ..... , , 1 ……(10h) Si a es grande, los términos de la matriz (10h) son equivalentes a los productos de la desviación estándar y esa matriz se puede reescribir como: n n n n n n n S S S S S S S S S S S S S S S × 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ....... ...... ........ ……………….(10i) La matriz (10i) comúnmente se llama matriz de covariación. También al tener en cuenta a juegos de observaciones, el lado derecho de la ecuación (10g) se convierte en: B ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a v a v v a v v a v v a v a v v a v v a v v a v m m m m m 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ...... .... ...... T B …………………(10j) En la matriz anterior, las v son residuales en cantidades medidas, y debido a que estos residuales concuerdan con las distribuciones gausianas, probablemente serán tanto mas como menos. Siendo ese el caso, para un gran valor de a , los elementos no diagonales van a cero. Reconociendo los términos diagonales como variaciones de las cantidades observadas, reescribimos la matriz (10j) como sigue: B 2 2 3 2 2 2 1 n S zeros S zeros S S T B ………………………….(10k) En el Artículo 6.3, se demostró que los pesos de las observaciones son inversamente proporcionales a las variaciones de las observaciones. Y también, de la ecuación (6k) en el Artículo 6.6.2, la variación de una observación de peso P puede expresarse en términos de la variación unitaria para que: i i P S S 2 0 2 = ……………………………………………………….(10l) Al sustituir la ecuación (10l) en la matriz (10k) se produce: B S 2 0 ÷ ÷ ÷ 1 1 2 1 1 .... .......... 0 0 ....... .......... m P P P T T B BP S B 1 2 0 ÷ = ……………….(10m) De (10d), ( ) P A PA A B T T 1 ÷ = y, al sustituir en (10m), resulta en: ( ) ( ) ( ) T T T T T T PA A A P PP A PA A S B BP S 1 1 1 2 0 1 2 0 ÷ ÷ ÷ ÷ = …………………(10n) Las ecuaciones normales son simétricas para que: ( ) ( ) ( ) 1 1 ÷ ÷ = PA A PA A T T T También P P T = ya que es una matriz diagonal; entonces (10n) se reduce a: ( ) ( )( ) ( ) 1 2 0 1 1 2 0 ÷ ÷ ÷ = PA A S PA A PA A PA A S T T T T ……………………(10p) La ecuación (10i) es el lado izquierdo de una ecuación en la cual la (10p) es el lado derecho. Por tanto, la matriz de covariación es igual a la matriz inversa de la matriz de coeficiente de las ecuaciones normales multiplicada por la variación unitaria, o: ( ) Q S PA A S S T X 2 0 1 2 0 2 = = ÷ ……………………………………..(10q) Cambiando ligeramente la forma de la ecuación (10q), la calculada desviación estándar i S para cualquiera incógnita, habiendo sido computada de un sistema de ecuaciones de observación, puede expresarse como: i X X X Q S S i i 0 = ……………………………………………….(10r) Donde Qij es el elemento diagonal (de la fila i, y de la columna j) de la matriz Q. Debe notarse que la matriz de covariación es una matriz simétrica; i.e., el elemento ij = elemento ji. Al reexaminar el método tabular para la formulación de las ecuaciones normales, ecuaciones (7s) y (7t), es obvia esta simetría de los coeficientes de las ecuaciones normales. 10.3 Ejemplos Numéricos Vamos a utilizar los resultados de los ejemplos de las redes de nivel (Artículos 9.2 y 9.4) para ilustrar los cómputos de las desviaciones estándar estimadas, cuando las incógnitas son funciones indirectamente determinadas de cantidades observadas. Para el ejemplo no ponderado del Artículo 9.2, la matriz de covariación es: ( ) | . | \ | = ÷ 8 9 1 8 9 3 1 3 8 2 1 2 0 1 2 0 l S A A S T Utilizando la ecuación (10a), la estimada desviación estándar del peso unitario es: n m pv S ÷ = ¯ 2 0 Todos los pesos son iguales para que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 01 . 02 . 02 . 06 . 06 . 02 . 04 . ÷ + ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ + = ¯ pv ¯ = 0101 . 0 2 pv Hance, ft S 030 . 0 3 7 0101 . 0 ± = ÷ = Ahora bien, por la (10r) las estimadas desviaciones estándar de las elevaciones desconocidas de las marcas de cota fija (BM), A, B y C son: ( ) ( ) ( ) ft Q S S ft Q S S ft Q S S CC C BB B AA A 031 . 21 8 05 . 033 . 21 9 05 . 031 . 21 8 05 . 0 0 0 ± = ± = = ± = ± = = ± = ± = = Nótese que el listado de la solución de computadora del capitulo 9 contiene la desviación estándar del peso unitario, la matriz de covariación y las desviaciones estimadas estándar de las incógnitas. Considérese el ejemplo ponderado del Artículo 9.4. La desviación estándar del peso unitario es: ft n m pv S 107 . 0 3 7 0459 . 2 0 ± = ÷ = ÷ = ¯ La matriz de covariación se da como: ( ) = ÷ 0789 . 0289 . 0133 . 0289 . 0770 . 0332 . 0125 . 0333 . 0133 . 2 0 1 2 0 S PA A S T De la cual las desviaciones estimadas estándar de las elevaciones de las BM, A, B y C son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ft Q S S ft Q S S ft Q S S CC C BB B AA A 029 . 0733 . 107 . 030 . 0770 . ) 107 (. 033 . 0933 . 107 . 0 0 0 ± = ± = = ± = ± = = ± = ± = = Una vez mas llamamos la atención a la solución de computadora del capitulo 9, para la cual el ejemplo ponderado lista la desviación estándar del peso unitario, la matriz de covariación y las desviaciones estimadas estándar de las incógnitas. A propósito, esas desviaciones estándar son desviaciones probables en un 68% y, si por ejemplo, se desean desviaciones de 90%, esos valores de 68% deberán multiplicarse por 1.6449, conforme a la ecuación (4u). 10.4 Calculo matricial de desviaciones estándar de funciones lineales de observaciones independientes Permítase que X sea alguna función lineal de las observaciones independientes i l , según se indica en la siguiente ecuación: n n l C l C l C X 1 2 12 1 11 ...... .......... + + + = ……………………………..(10s) Luego, por la ecuación (5d) elevada al cuadrado, la variación de X es: 2 2 2 2 2 1 1 2 ... .......... + + + = n n X Sl dl dx Sl dl dx Sl dl dx S ………………….(10t) Donde 2 X S es la variación de la función, y 2 j Sl son las variaciones de las observaciones independientes. Puesto que los coeficientes de las variaciones individuales en la (10t) son las derivadas parciales con respecto a cada observación, estos son sencillamente los coeficientes lineales de las observaciones. Por tanto, la (10t) puede escribirse en forma matricial como: T X C CS S 2 2 = ………………………………………………..(10u) Donde: | | = = n T n n C C C C C C C C 1 12 11 1 12 11 ; .. .......... Y: = 2 2 2 2 1 2 n X S zeros zeros S S S Para ilustrar el procedimiento matricial, consideremos la tarea referente al problema Nº 2 del Capitulo 5. En dicho problema, AE es análogo a X en la ecuación (10s) y las cuatro distancias son las i l (las observaciones) que están relacionadas con X por la función: 4 3 2 1 d d d d AE + + + = Para resolver ese problema, usamos la (5d) como sigue: ( ) ( ) ( ) ( ) ft S S S dd AE d S dd AE d S dd AE d S dd AE d S AE AE d d d d AE 13 . 0 08 . 1 08 . 1 08 . 1 08 . 1 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 1 4 3 2 1 ± = × + × + × + × = | | . | \ | + | | . | \ | + | | . | \ | + | | . | \ | = Ese problema en forma matricial es: ( ) ( ) ( ) ( ) ft S which from S S C CS A AE AE AE T AE 13 , 0 ; 0168 . 0 1 1 1 1 08 . 06 . 08 . 06 . 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ± = = = = 10.5 Correlación entre cantidades ajustadas En el Artículo 10.2 se mostró que los elemento diagonales de la matriz Q proporcionan los medios para determinar las precisiones (desviaciones estándar) de las incógnitas en un problema de ajuste de mínimos cuadrados. La matriz Q también contiene la información relativa al grado de correlación entre cualquiera de las incógnitas en un ajuste de mínimos cuadrados. Este grado de correlación esta contenido dentro de los elementos no diagonales de la matriz Q. Supóngase que la matriz Q a continuación, se desarrollo como resultado de un ajuste de mínimos cuadrados involucrando las incógnitas a, b, c, …., n. Se indican los elementos individuales de la matriz Q como , , ab aa q q etc. = Q n c b a nn nc nb na cn cc cb ca bn bc bb ba an ac ab aa q q q q q q q q q q q q q q q q n c b a .... .......... ...... .......... ...... .......... ...... .......... .......... .......... El coeficiente de correlación brinda la medida de “asociación” o dependencia entre cualquiera de dos cantidades ajustadas después de un ajuste de mínimos cuadrados. Se calcula como ejemplo para las incógnitas a y c por la siguiente ecuación: ( ) ( ) c a c a S S c a r , cov , = ………………………………………….(10v) En la (10v), ( ) c a r , es el coeficiente de correlación entre las incógnitas a y c; ( ) c a, cov es la variación unitaria multiplicada por el apropiado elemento de covariación de la matriz Q (elemento en la fila a , columnac , o fila c , columna a ), a S es la desviación estándar de la incógnita c . Sustituyendo estos términos en la ecuación (10v) produce: ( ) cc aa ac c a q S q S q S r 2 0 0 2 0 , = Reduciendo nos da: ( ) cc aa ac c a q q q r = , ……………………………………………(10w) El coeficiente de regresión es otra expresión para la correlación o grado de dependencia entre incógnitas. Por ejemplo, se calcula para las incógnitas a y c, por la ecuación siguiente: ( ) ( ) ( ) cc aa c a c a c a c a q S q S r S S r b 0 0 , , , = = Sustituyendo la (10w) en la anterior y reduciendo: ( ) cc ac c a q q b = , ………………………………………………………..(10x) La magnitud de los coeficientes de regresión puede variar entre cero y uno. Un valor de cero indica cantidades no correlacionadas y sin ninguna asociación entre las dos incógnitas, y un valor de uno representa una asociación perfecta o total. El ejemplo de redes de nivel mostrado en la Figs. 10.1 de (a) a (c), sirve para ilustrar de manera grafica el significado de los coeficientes de correlación y regresión. La Fig. 10.1 (a) muestra una red de nivel que es simétrica por la línea VZ. La matriz Q resultante del ajuste de mínimos cuadrados esta a la izquierda de la figura. Para tal figura fíjese en lo siguiente: 1. Las incógnitas X y V están ubicadas muy cerca de las dos BM (marcas de cota fija) (Bench marks). Las precisiones con las cuales se determinan sus elevaciones deberán ser mejores que las precisiones de las otras incógnitas W, Y y Z. Esto se indica en la matriz Q ya que los elementos xx q y vv q son los valores diagonales más pequeños en la matriz. 2. La precisión del valor Z deberá ser el mas bajo de las incógnitas ya que es el mas alejado de las BM. Esto se indica en la matriz Q puesto que el elemento zz q es el más grande de los términos diagonales. 3. Las precisiones de las incógnitas W y Y deberán ser iguales debido a la naturaleza simétrica de la geometría de la red. Esto también se indica en la matriz Q ya que los elementos diagonales ww q y yy q son iguales. 4. Debiera haber una correlación mayor entre las incógnitas V y X de la que hay entre las incógnitas V y Z, porque están directamente conectadas y mas juntas. Esto se verifica calculando los coeficientes de regresión para esas incógnitas usando la ecuación (10x) como sigue: ( ) ( ) 22 . 0 529 . 0 117 . 0 41 . 0 258 . 0 105 . 0 , , = = = = = = xz vz z v xx vx x v q q b q q b La Fig. 10.1 (b) básicamente es la misma red de nivel que la de la Fig. 10.1 (a), excepto que algunas de las líneas se han eliminado. La matriz Q obtenida como resultado de este ajuste de mínimos cuadrados también esta ubicada a la izquierda de la figura. Nótese por ejemplo que la incógnita V no esta directamente conectada con ninguna otra incógnita, y por tanto no puede correlacionarse con ninguna otra incógnita. Esto puede ilustrarse calculando su coeficiente de regresión con respecto a las otras incógnitas, a saber: ( ) ( ) 000 . 0 590 . 0 000 . 0 , 000 . 0 318 . 0 000 . 0 , , = = = = = = zz vz z v xx vx x v q q b and q q b Otra vez la Fig. 10.1 (c) es la misma red básica de nivel con aun mas líneas eliminadas. La matriz Q obtenida de su ajuste de mínimos cuadrados se da a la izquierda. Adviértase lo siguiente en esa figura: 1. La figura ya no es simétrica y hay mas líneas que van hacia la incógnita W de las que van a la incógnita Y. Por eso W deberá determinarse a una mayor precisión que Y. Esto es verdadero ya que el elemento ww q es mas pequeño (0.440) que el elemento yy q (0.593). 2. La incógnita Z esta directamente conectada con la incógnita X, y cualquier cambio en elevación que ocurriera a X afectaría directamente la elevación de Z. En otras palabras, Z depende totalmente de X. Esto deberá producir un coeficiente de regresión de 1.0 y así sucede según el calculo siguiente: ( ) 000 . 1 372 . 0 372 . 0 , = = = xx zx x z q q b = Q 529 . 205 . 176 . 205 . 117 . 205 . 366 . 135 . 116 . 123 . 176 . 135 . 258 . 135 . 105 . 205 . 116 . 135 . 366 . 123 . 117 . 123 . 105 . 123 . 270 . Z Y X W V Z Y X W V = Q 590 . 272 . 227 . 272 . 000 . 272 . 484 . 181 . 151 . 000 . 227 . 181 . 318 . 181 . 000 . 272 . 151 . 181 . 484 . 000 . 000 . 000 . 000 . 000 . 500 . . Z Y X W V Z Y X W V = Q 372 . 1 186 . 372 . 169 . 135 . 186 . 593 . 186 . 084 . 067 . 372 . 186 . 372 . 169 . 135 . 169 . 084 . 169 . 440 . 152 . 135 . 067 . 145 . 152 . 322 . Z Y X W V Z Y X W V 10.6 Desviaciones estándar de funciones de cantidades correlacionadas que son funciones de observaciones independientes Consideremos el caso de las cantidades correlacionadas; i.e., cantidades relacionadas a través de funciones lineales a las observaciones. Como un simple ejemplo de ello, considérese la Fig. 10.2, en donde las distancias desconocidas 1 X y 2 X pueden expresarse en términos de las tres observaciones | . | \ | 3 2 1 , , l l l a saber: Fig. 10.1 Ejemplos de Correlaciones 2 1 2 3 1 1 l l X l l X ÷ = ÷ = Claramente, las cantidades 1 X y 2 X están correlacionadas pues un cambio en 1 l afectaría a 1 X y a 2 X . Vamos a considerar el caso general del cómputo estimado de las desviaciones estándar de las funciones de cantidades correlacionadas. Representemos un sistema de cantidades correlacionadas como sigue: m nm n n n m m m m l a l a l a X l a l a l a X l a l a l a X + + + = + + + = + + + = .. .......... .. .......... ... .......... 2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 …………………………….(10y) En donde se dan las variaciones en las observaciones y forman la matriz siguiente: m m S × 2 = m m l l l m S S S × 2 2 2 2 1 Por la ecuación (10u), las variaciones y covariaciones (la matriz de covariación) son: T X C CS S 2 2 = …………………………………………….(10z) Donde C = m n m n n n m m dl dX dl dX dl dX dl dX dl dX dl dX dl dX dl dX dl dX × .......... .......... . .......... 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 Supóngase ahora que deseamos encontrar la variación de alguna función de las incógnitas X , como por ejemplo ( ) n X X X x f + + + = ........ 2 1 . La función puede representarse en forma matricial como: ( ) FX X X X x f n n n = = × × 1 2 1 1 1 ....... 1 1 Reconociendo las matrices 2 X S y F como análogas a las matrices S y C , respectivamente, en (10z), sÍguese lógicamente que la matriz de covariación de la función ( ) x f se da por: T T T X F F C FCS F FS S 2 2 2 = = ……………………………(10aa) La ecuación (10aa) puede usarse para hallar la variación, y de allí, la desviación estándar estimada de cualquiera función de las incógnitas. Como ejemplo, deseamos conocer la variación (y la desviación estimada estándar) para la diferencia entre las elevaciones de las BM A y B, del ejemplo de la red de nivel no ponderada en el problema de Articulo 9.2. La función que relaciona la diferencia en elevación de las BM A y B es: Luego por la (10z) la variación de ( ) x f es: 3 1 2 2 2 0 1 1 × ÷ ÷ = = = F F FS F C FCS S T X T T B A De (10q): Q S S X 2 0 2 = De la solución por computadora: 2 X S es: ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 2 8 3 1 1 .050 3 9 3 21 1 3 8 8 3 1 1 .05 1 1 0 3 9 3 1 21 0 1 3 8 .05 .0275 11 21 21 .0275 .036 21 A B A B A B S Q Entonces S S Desde que S ft ÷ ÷ ÷ = ± ± = ÷ ÷ ± ± = = = = ± La interpretación de este computo es que hay un 68% de oportunidad que las elevaciones de A y B estén relativamente correctas a poco de 036 . ± de pie. Es fácil ahora proyectar este tipo de solución del problema hacia otros enfoques aparentemente mas útiles. Supóngase, por ejemplo, que en un ajuste de triangulación se calculan las coordenadas X y Y de los puntos A y B, y que ya existe una matriz de covariación para ese ajuste. Uno podría entonces aplicar la ecuación (10aa) para calcular la desviación estándar estimada de la longitud de la línea AB. Esto se efectuaría relacionando la longitud AB con las incógnitas como: ( ) ( ) ( ) 2 2 b a b a Y Y X X AB x f ÷ + ÷ = = …………………….(10ab) Luego se obtiene la matriz F de los coeficientes lineales para utilizar la ecuación (10aa), tomando las derivadas parciales de la (10ab) y aplicando la serie de Taylor ( ) f x A B = ÷ para linealizar la ecuación. Tarea Autodidáctica Nº 10 1. Calcular las desviaciones estándar estimadas para las elevaciones ajustadas de BM de los problemas de las tareas 8-1 y 8-2. 2. Calcular la desviación estándar estimada de la diferencia en elevaciones ajustadas para la BM1 y BM2 del problema en la tarea 8-1. 3. Calcular la longitud ajustada AD y la desviación estándar estimada de la longitud ajustada AD en el croquis a continuación, conociendo lo siguiente: (considerar pesos iguales). Observaciones de longitud Medición Valor L1 L2 L3 L4 L5 L6 100.00 200.00 300.00 99.92 200.04 299.96 CAPITULO 11 AJUSTE DE LA TRILATERACION 11.1 Introducción La técnica de la extensión del control de trilateración se ha hecho sumamente popular en la ultima década. La invención y perfeccionamiento de los equipos electrónicos para medir distancias (EDME), han sido responsables por esa enorme popularidad. El EDME ha hecho posible la rápida y extremadamente precisa medición de líneas. La longitud o extensión de la línea tiene poco efecto sobre el tiempo y dificultad de una medición, ya que líneas de hasta 50 millas o mas se miden fácilmente con el equipo terrestre EDME que funciona transmitiendo energía electromagnética. Los cursos sobre agua o terreno abrupto/irregular se miden con comodidad. Es pues importante que se dedique bastante tiempo al tema del ajuste de trilateración de mínimos cuadrados en un texto moderno sobre ajustes de levantamientos. En esta sección en particular, vamos a considerar el ajuste por el método de la ecuación de observación, con cómputos efectuados en un sistema de coordenadas rectangulares planas tal como los Sistemas de Coordenadas Planas Estatales. 11.2 La ecuación de observación de distancia básica En el Articulo 3.2.4, se presento la siguiente ecuación de observación de la distancia básica: ( ) ( ) | | 2 1 2 2 i j i j L ij Y Y X X V L ij ÷ + ÷ = + ………………………..(11a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : c u c u b u b u a u a u u c u u c u L cu u b u u b u L bu u a u u a u L au Y Y X X CU Y Y X X BU Y Y X X AU donde dY CU Y Y dX CU X X V CU L dY BU Y Y dX BU X X V BU L dY AU Y Y dX AU X X V AU L cu bu au ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = + ÷ ÷ + ÷ = + ÷ ÷ + ÷ = + ÷ ……………….(11c) cu bu au L y L L , son las distancias observadas Y 0 0 u u Y y X son aproximaciones iniciales de las coordenadas del Punto U obtenidas de dos de las distancias observadas. El anterior sistema de ecuaciones de observación lineal puede expresarse en forma matricial como: V K AX + = Donde: A es la matriz o coeficientes de las incógnitas. X es la matriz o las correcciones desconocidas u u dY y dX . K es la matriz de las constantes; i.e., las longitudes medidas menos las longitudes computadas de las coordenadas aproximadas iniciales. Y: V es la matriz de residuales en las longitudes medidas. Las correcciones más probables u u dY y dX , y por eso las coordenadas más probables u u Y y X pueden calcularse aplicando la ecuación matricial de mínimos cuadrados. Considerando pesos iguales para las observaciones, la ecuación es: ( ) K A A A X T T 1 ÷ = 11.4 Ejemplo numérico Para aclarar el procedimiento computacional, se presenta el ejemplo numérico para la Fig. 11.1. Supóngase que las distancias medidas AU, BU y CU son 6049.00, 4736.83 y 5446.49 pies, respectivamente. Las coordenadas de los puntos de control son: 15 . 27 25 . 2047 15 . 4527 22 . 2865 55 . 2432 40 . 865 = = = = = = c b a c b a Y Y Y X X X Solución A. PRIMERA ITERACION 1. Calcular las aproximadas iniciales para 0 0 u u Y y X a. Calcular el acimut AB ( ) " 34 ' 42 º 147 " 26 ' 17 º 32 º 180 631940 . tan º 180 15 . 4527 25 . 2047 40 . 865 55 . 2432 tan º 180 tan º 180 1 1 1 = ÷ = ÷ + = ÷ ÷ + = ÷ ÷ + = ÷ ÷ ÷ AB AB AB a b a b AB Az Az Az Y Y X X Az b. Calcular longitud AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ft AB Y Y X X AB a b a b 58 . 2933 15 . 4527 25 . 2047 40 . 865 55 . 2432 2 1 2 2 2 2 2 = ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = c. Calcular acimut 0 AU De la ley de cosenos: C ab b a c cos 2 2 2 2 ÷ + = ( ) ( ) ( ) ( )( ) 58 . 2933 00 . 6049 2 58 . 2933 83 . 4736 00 . 6049 cos 2 2 2 + + = UAB " 44 ' 35 º 97 " 50 ' 6 º 50 " 34 ' 42 º 147 " 50 ' 6 º 50 0 = ÷ = = AU Az UAB d. Calcular 0 0 u u Y y X ( ) ( ) 33 . 6861 93 . 5995 40 . 865 93 . 5995 " 44 ' 35 º 97 sin 00 . 6049 59 . 3727 56 . 799 15 . 4527 56 . 799 " 44 ' 35 º 97 cos 00 . 6049 0 0 0 0 = + = + = = = ÷ = ÷ = = u u X ft DepAU Y ft latAU 1 2 3 6049.00 6049.00 0.00 4736.83 4736.83 0.00 5446.49 5446.29 0.20 K K K = ÷ = = ÷ = = ÷ = 2. Calcular 0 0 0 , , CU BU AU 0 0 BU y AU son exactamente iguales a las distancias medidas ya que 0 0 u u Y y X se calcularon de estos valores medidos. Por tanto: ( ) ( ) | | ft CU BU AU 29 . 5446 15 . 27 59 . 3727 22 . 2865 33 . 6861 83 . 4736 00 . 6049 2 1 2 2 0 0 0 = ÷ + ÷ = = = 3. Formular las matrices a. La matriz A De las ecuaciones de observación (11c) pueden simplificarse como sigue: 3 3 32 31 2 2 22 21 1 1 12 11 V K dY a dX a V K dY a dX a V K dY a dX a u u u u u u + = + + = + + = + Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 680 . 0 29 . 5446 15 . 27 59 . 3727 735 . 0 29 . 5446 22 . 2865 33 . 6861 354 . 0 83 . 4736 25 . 2047 59 . 3727 933 . 0 83 . 4736 55 . 2432 33 . 6861 132 . 0 00 . 6049 15 . 4527 59 . 3727 991 . 0 00 . 6049 40 . 865 33 . 6861 32 31 22 21 12 11 = ÷ = = ÷ = = ÷ = = ÷ = ÷ = ÷ = = ÷ = a a a a a a Esos elementos de la matriz A pueden obtenerse dentro de una satisfactoria exactitud mediante el cuidadoso trazado de la figura, luego se hace el cambio usando una constante en los numeradores delta X y delta Y, y empleando las distancias observadas en los denominadores. b. La matriz K Normalmente la matriz K no se puede cambiar usando una constante, sino mas bien tiene que ser cuidadosamente computada. c. Las matrices X y V = = cu bu au u u v v v V dY dX X 4. La solución matricial usando la ecuación (9b) de mínimos cuadrados no ponderados: ( ) ( ) + ÷ = ÷ ÷ = = ÷ = ÷ ÷ = = ÷ ÷ = = ÷ ÷ 234 . 006 . 136 . 0 147 . 0 391 . 2 699 . 0 699 . 0 603 . 0 95 . 0 1 136 . 0 147 . 0 20 . 0 00 . 0 00 . 0 680 . 0 354 . 0 132 . 0 735 . 0 933 . 0 991 . 0 391 . 2 699 . 0 699 . 0 603 . 0 95 . 0 1 603 . 0 699 . 0 699 . 0 391 . 2 680 . 0 735 . 0 354 . 0 933 . 0 132 . 0 991 . 0 680 . 0 354 . 0 132 . 0 735 . 0 933 . 0 991 . 0 1 1 X K A A A A A A A K A A A X T T T T T T Las coordenadas revisadas de U son: 824 . 3727 234 . 59 . 3727 324 . 6861 006 . 33 . 6861 = + = = ÷ = u u Y X SEGUNDA ITERACION 1. Calcular 0 0 0 , , CU BU AU ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | 451 . 5446 15 . 27 824 . 3727 22 . 2865 324 . 6861 915 . 4736 25 . 2047 824 . 3727 55 . 2432 324 . 6861 968 . 6048 15 . 4527 824 . 3727 40 . 865 324 . 6861 2 1 2 2 0 2 1 2 2 0 2 1 2 2 0 = ÷ + ÷ = = ÷ + ÷ = = ÷ + ÷ = CU BU AU 2. Formular las matrices Con estos pequeños cambios en las longitudes, la matriz A (a3 lugares) no cambia. Por tanto, ( ) 1 ÷ A A T tampoco cambia 039 . 0 451 . 5446 49 . 5446 077 . 0 915 . 4376 83 . 4736 032 . 0 968 . 6048 00 . 6049 3 2 1 = ÷ = ÷ = ÷ = = ÷ = K K K 3. La solución matricial ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = 004 . 003 . 005 . 011 . 391 . 2 699 . 699 . 603 . 95 . 0 1 005 . 011 . 039 . 077 . 032 . 680 . 354 . 132 . 735 . 933 . 991 . X K A T Las coordenadas revisadas de U son: 820 . 3727 004 . 824 . 3727 321 . 6861 003 . 324 . 6861 = ÷ = = ÷ = U U Y X Se indica la convergencia satisfactoria por el muy pequeño tamaño de las correcciones computadas en la segunda iteración. Habiendo calculado las coordenadas mas probables, se pueden calcular los residuales y las longitudes ajustadas, seguidos de cálculos para la desviación estándar del peso unitario y las desviaciones estándar de las coordenadas ajustadas y de las longitudes medidas. 11.5 Manteniendo fijas las coordenadas de estación de control en un ajuste de trilateración Como se indico en el Articulo 11.3 y se demostró en el ejemplo numérico del 11.4, las coordenadas X y Y de las estaciones de control pueden fácilmente mantenerse fijas en un ajuste. Esto se logra asignando valores de cero a sus términos dX y dY y, por esto, esos términos se eliminan o retiran de las ecuaciones. Nótese que en cada ecuación de observación del ejemplo numérico en el Articulo 11.4, solo aparecen dos incógnitas ya que en cada caso un extremo de aquellas líneas era una estación de control y, por tanto, se mantuvo fija. 11.6 Manteniendo fijas las direcciones en un ajuste de trilateración Hay dos métodos básicos para mantener fijas las direcciones. Tales son: (a) el método de ejes provisionales y (b) el método tangencial. 11.6.1 método de ejes provisionales En este método se puede adoptar un sistema de ejes provisionales del ajuste X-Y, en el cual al eje Y se le asigna que coincida con la línea cuya dirección ha de mantenerse fija. Entonces la dirección se mantiene dando a los dX para esa línea, valores cero. El procedimiento se ilustra en la Fig. 11.2 donde el cuadrilátero trilaterado ABCD ha de ajustarse con las coordenadas a a N y E de la estación de control A manteniéndose fijas, y con la línea AB fija en dirección. En este ejemplo, EN es el sistema axial de las coordenadas terrestres. Las coordenadas de A pueden mantenerse fijas, sencillamente usando coeficientes de cero para todos los términos a a dY y dX en las ecuaciones de observación. El acimut de AB se mantiene fijo usando un sistema de eje provisional X-Y que coloca el origen en A y el eje Y coincide con AB. No se permite ningún desvío en X en el punto B, que mantiene la dirección AB, y esto se hace cumplir en los cálculos dando a todos los términos b dX coeficientes de cero. El ajuste se efectúa en el sistema de ecuaciones provisionales y después del ajuste, las coordenadas se devuelven al sistema N-E mediante una transformación de coordenadas (véase Capitulo 16). Las matrices para este ajuste se formularían como sigue: Matriz A unknown distance b dY c dY c dX d dY d dX AB AB Y Y a b ÷ 0 0 0 0 AC 0 AC Y Y a c ÷ AC X X a c ÷ 0 0 AD 0 0 0 AD Y Y a d ÷ AD X X a d ÷ BC BC Y Y c b ÷ BC Y Y b c ÷ BC X X b c ÷ BD BD Y Y d b ÷ 0 0 BD Y Y b d ÷ BD X X b d ÷ CD 0 CD Y Y d c ÷ CD X X d c ÷ CD Y Y c d ÷ CD X X c d ÷ Con excepción de a a Y y X , todas las coordenadas dentro de esta matriz son aproximaciones iniciales, y todas las distancias se deducen de esas coordenadas. Matrices K, X y V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 6 1 5 1 6 0 0 0 0 0 0 × × × = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = cd bd bc ad ac ab d d c c b V V V V V V V dX dY dX dY dY X CD CD BD BD BC BC AD AD AC AC AB AB K 11.6.2 Método tangencial Según muestra la Fig. 11.3, si la dirección de una línea IJ se mantiene fija, entonces la posición de ' J se restringe/limita para moverse linealmente a lo largo de IJ como resultado del ajuste. Considerando el punto J de la figura, si se mueve a ' J después del ajuste, entonces la relación entre el acimut de j j dN y dE y IJ , es: o tan j j dN dE = ……………………………….(11d) La relación expresada en la ecuación (11d) puede cumplirse en un ajuste, de ahí manteniendo la dirección fija. Este método tiene la ventaja de que el ajuste puede efectuarse directamente en el sistema original de coordenadas sin girar o alternar en el sistema provisional de coordenadas descrito en la sección 11.6.1. Para el problema de la Fig. 11.2, usando la ecuación prototipo (11b), resulta la siguiente ecuación de observación para la distancia medida AB: (nótese que el punto A ha de mantenerse fijo y, por esto, los coeficientes para el extremo I de AB son cero). ( ) ( ) b a b b a b L L dN AB N N dE AB E E V K ab ab ÷ + ÷ = + 0 0 0 0 ………………………(11e) Ahora basándose en la (11d), puede escribirse la siguiente relación para la línea AB: o tan b b dN dE = …………………………………………………….(11f) Sustituyendo (11f) en (11e): ( ) ( ) b a b b a b L L dN AB N N dN AB E E V K ab ab ÷ + ÷ = + 0 0 0 0 tano ……………..(11g) Descomponiendo en factores b dN en la ecuación (11g), resulta la ecuación de observación final: ( ) ( ) b a b a b L L dN AB N N E E V K c ab ab ÷ + ÷ = + 0 0 tano ……………………(11h) Siguiendo este mismo principio, se determinan los coeficientes de b dN en las ecuaciones de observación para las líneas medidas BC y BD. A continuación, el método a fin de calcular las matrices para el ajuste de la Fig. 11.2, usando el método de tangente para mantener fija la línea AB en dirección. Matriz A Unknow n Distanc e b dN c dN c dE d dN d dE AB ( ) | | AB N N E E a b a b ÷ + ÷ o tan 0 0 0 0 AC 0 AC N N a c ÷ AC E E a c ÷ 0 0 AD 0 0 0 AD N N a d ÷ AD E E a d ÷ BC ( ) | | BC N N E E d b d b ÷ + ÷ o tan BC N N b c ÷ BC E E b c ÷ 0 0 BD ( ) | | BD N N E E d b d b ÷ + ÷ o tan 0 0 BD N N b d ÷ BD E E b d ÷ CD 0 CD N N d c ÷ CD E E d c ÷ CD N N c d ÷ CD E E c d ÷ Con excepción de las coordenadas de control a a N y E , todas las coordenadas dentro de la matriz son aproximaciones iniciales, y todas las distancias se deducen de las coordenadas aproximadas iniciales. De este ejemplo, las matrices K, X y V son: ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = o CD CD o BD BD o BC BC o AD AD o AC AC o AB AB K ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = dEd dNd dEc dNc dNb X = Lcd Lbd Lbc Lad Lac Lab V V V V V V V 11.7 Ejemplo en la formulación de un coeficiente matricial generalizado para una red más compleja. Supóngase que tenemos una red trilaterada en la cual se han medido todas las líneas de la Fig. 1.4, excepto por AC. Digamos que la línea AC es una línea de control ; i.e., las coordenadas de Ay C están fijadas. Para esta red hay 10 observaciones y 8 incógnitas. Los puntos A y C en la red pueden mantenerse fijos dando a los términos dXa, dYa, dXc y dYc, coeficientes cero. Por ende, se retiran esos términos de la solución. La matriz de coeficientes formulada de la ecuación prototipo (11b) tendrá elementos sin cero según se indica por las x, como sigue: distancia desconocida dYb dXa dYd dXd dYe dXe dYf dXf AB x x 0 0 0 0 0 0 AE 0 0 0 0 x x 0 0 BC x x 0 0 0 0 0 0 BF x x 0 0 0 0 x x BE x x 0 0 x x 0 0 CD 0 0 x x 0 0 0 0 CF 0 0 0 0 0 0 x x DF 0 0 x x 0 0 x x DE 0 0 x x x x 0 0 EF 0 0 0 0 x x x x 11. 8 Programa general de computadora para el ajuste de la trilateración por mínimos cuadrados. Se brinda en el apéndice C un programa general de computadora para efectuar ajuste de trilateración por el método de mínimos cuadrados. El programa está diseñado para acomodar figuras o redes de cualquiera configuración geométrica. Con los datos correctamente ingresados en la computadora, el programa calculará las aproximaciones iniciales para las coordenadas de todas las estaciones desuncidas, y formulará todas las matrices necesarias para el ajuste. Luego realizará el ajuste en el modo no ponderado o ponderado, según se desee. Imprimirá los datos de entrada, las matrices, las coordenadas ajustadas y sus desviaciones estándar, la desviación estándar del peso unitario y las ajustadas longitudes de líneas con sus errores residuales. 11.9 Solución computarizada de un ejemplo de cuadrilátero trilaterizado se ha ajustado el cuadrilátero ilustrado en la Fig. 11.5 usando el programa de computadora del apéndice C. En este problema, los puntos Bucky y Badger son estaciones de control y cuyas coordenadas se mantienen fijas; por tanto la dirección de la línea Bucky-Badger también se mantiene fija. Las 5 distancias observadas son: LINEA LONGITUD OBSERVADA (PIES) Badger - Wisconsin 5.870,30 Badger - Campus 7.297,59 Wisconsin - Campus 3.616,43 Wisconsin - Bucky 5.742,88 Campus - Bucky 5.123,76 Las coordenadas de control de la estación Badger son X = 10.000 y Y= 10.000, y las de Bucky son X= 11.820 y Y = 6.881.222. El Apéndice C ofrece una detallada descripción de la manera como se la da entrada a los datos en la computadora para este problema. En las páginas siguientes se lista la salida de computadora. En la página 168, se lista la información de entrada. Esto es muy aconsejable en trabajos con computadoras para asegurarse de recibir los correctos datos de entrada por la computadora. Las páginas 169, 170 y 171 listan las matrices generadas por la computadora en cada una de las tres iteraciones que se requirieron para lograr la convergencia. Nótese en particular en esas páginas lo siguiente: 1. Las incógnitas (valores en la matriz X) se hacen progresivamente pequeñas con cada iteración. En la tercera iteración, son extremadamente pequeñas, lo que indica que en verdad la convergencia ha sido logrado. 2. Los coeficientes en la matriz A cambian muy poco, puesto que se derivan/deducen de las coordenadas iniciales cuyos valores sólo cambian por cantidades pequeñas con cada iteración. 3. Los valores de la matriz L en la última iteración son exactamente iguales a los residuales de las líneas medidas. (Véanse los residuales en la Pág. 172). La última página de la salida lista las coordenadas ajustadas X y Y de las estaciones, la desviación estándar del peso unitario, las desviaciones estándar de las coordenadas ajustadas, las longitudes de las líneas ajustadas y sus residuales. La matriz Q se listó en la última iteración. Esto se necesita para calcular las desviaciones estándar de las coordenadas ajustadas usando la ecuación (10r). También se necesita para calcular las elipses de error; esto se discute en el Capítulo 17, y en el Artículo 17.3.1, las elipses se calculan para este cuadrilátero. EJEMPLO DE CUADRILATERO TRILATERIZADO, COMPUTOS DE AJUSTE DEWOF NUMERO DE ESTACIONES NUEVAS = 2 NUMERO DE DISTANCIAS MEDIDAS = 5 NUMERO DE PUNTOS DE CONTROL EN LA RED = 2 LONGITUDES Y ANGULOS PRELIMINARES PARA CALCULAR APROXIMACIONES INICIALES. LONGITUD ANGULO 5870 80 0 0.000 3616 82 0 0.000 COORDENADAS FIJAS Y APROXIMACIONES INICIALES ESTACION X Y BADGER 10000 10000 WIS 15780.621 11019.319 CAMPUS 1698.231 7580.3 BUCKY 11820.756 6881.222 DATOS DE ENTRADA LA MATRIZ A ÷ ÷ ÷ 13640 . 0 00000 . 0 99065 . 0 00000 . 0 00000 . 0 72248 . 0 00000 . 0 69139 . 0 95106 . 0 95106 . 0 030902 . 0 30902 . 0 33100 . 0 00000 . 0 94363 . 0 00000 . 0 00000 . 0 17365 . 0 00000 . 0 98481 . 0 LA MATRIZ L Ň 61452 . 1 22937 . 15 43400 . 0 71572 . 12 30200 . 0 ÷ ÷ Ň LA MATRIZ X Ň -0.09985 -4.96800 25.00019 24.26058 Ň LA MATRIZ A ÷ ÷ ÷ 14117 . 0 00000 . 0 98999 . 0 00000 . 0 00000 . 0 72491 . 0 00000 . 0 68884 . 0 95115 . 0 95115 . 0 030874 . 0 30874 . 0 32825 . 0 00000 . 0 94459 . 0 00000 . 0 00000 . 0 17790 . 0 00000 . 0 98405 . 0 LINEA LONGITUD BADGER - CAMPUS 5871.302 5872.302 WIS - CAMPUS WIS - BUCKY BADGER - WIS 5870.302 5873.302 LA MATRIZ L Ň 06457 . 0 03378 . 0 00129 . 0 2848 . 0 5635 . 0 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Ň LA MATRIZ X Ň -0.04630 -0.04970 -0.01519 -0.02065 Ň LA MATRIZ A ÷ ÷ ÷ 14117 . 0 00000 . 0 98999 . 0 00000 . 0 00000 . 0 72491 . 0 00000 . 0 68884 . 0 95115 . 0 95115 . 0 030874 . 0 30874 . 0 32825 . 0 00000 . 0 94459 . 0 00000 . 0 00000 . 0 17790 . 0 00000 . 0 98405 . 0 LA MATRIZ L Ň 00946 . 0 00912 . 0 00544 . 0 01169 . 0 0809 . 0 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Ň LA MATRIZ X Ň -0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 Ň LA MATRIZ Q COORDENADAS AJUSTADAS Y DESVIACIÓN ESTANDAR ESTACIÓN X SX Y SY BADGER 10000 0 10000 0 WIS 15776.675 0.022 11044.304 0.022 CAMPUS 16893.213 0.015 7604.54 0.015 BUCKY 11820.756 0 5881.222 0 DESVIACIÓN ESTANDAR DEL PESO UNITARIO= 0.020 DE PIE LONGITUDES AJUSTADAS Y RESIDUALES 1.19891 0.09946 1.16024 1.40248 0.09946 0.58294 0.19326 0.45964 1.16024 0.19326 2.63389 2.72503 1.40248 0.45964 2.72503 3.96217 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ LINEA LONGITUD RESIDUAL (PIES) BADGER - WIS 5870.31 0.008 BADGER - CAMPUS 7297.576 -0.012 WIS - CAMPUS 3616.439 0.005 WIS - BUCKY 5742.869 -0.009 CAMPUS - BUCKY 5123.769 0.009 11.10 Solución por computadora de un complejo problema de trilateración. La compleja red de trilateración de la Fig. 11.6 también ha sido ajustada usando el programa de computadora del Apéndice C. Los detalles para proporcionar los datos de entrada a la computadora se describen en dicho apéndice. Después de la Fig. 11.6 hay tres páginas que dan los listados de salida de la solución por computadora. Las páginas 175 y 176 listan los datos de entrada, y la página 177 de los datos que resultan del ajuste. Se requirieron cuatro iteraciones para lograr la convergencia. No se han incluido en este listado las páginas intermedias que listan las matrices para cada iteración. El costo total por el tiempo de computadora para este problema fue de 0.76 centavos. EJEMPLO DE TRILATERACION, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF NUMERO DE ESTACONES NUEVAS = 5 NUMERO DE DISTANCIAS MEDIDAS = 17 NUMERO DE PUNTOS DE CONTROL EN LA RED = 4 LONGITUDES Y ANGULOS PRELIMINARS PARA CALCULAR APROXIMACIONES INICIALES. LONGITUD 16353 26 30 0 10993 11 30 0 34955 120 0 0 14469 -170 -15 0 22939 43 0 0 ANGULO COORDENADAS FIJAS Y APROXIMACIONES INICIALES ESTACIÓN X Y LUU 833766.69 454925.95 PAUL 841063.359 469560.813 RAM 847831.323 478223.418 TOM 860925.742 445813.724 JIM 857855.7 459953.272 BILL 869584.246 479667.199 PAT 830040.4 467467.97 JHON 886672.11 473334.4 TIM 887981.23 453589.28 DATOS DE ENTRADA LONGITUD CODIGO 30319.17 0 34954.73 0 31376.2 0 45986.22 2 10992.63 0 16353.41 1 39446.64 2 17445.22 2 29712.49 2 37437.93 1 35162.5 0 35162.49 0 43007.65 1 41305.83 2 14168.7 0 19896.23 0 22939.17 0 TOM - BILL PAUL - BILL RAM - TOM PAUL - TOM LINEA PAUL - RAM LUU - PAUL TOM - JHON BILL - JHON TOM - TIM PAT - TOM PAUL - JHON PAUL- JIM BILL - JIM BILL - TOM LOU - BILL BILL - PAT TOM - JIM COORDENADAS AJUSTADAS Y DESVIACINES ESTANDAR ESTACIÓN X SX Y SY LOU 833766.69 0 45925.95 0 PAUL 840831.926 0.175 469674.295 0.231 RAM 848382.302 0.403 477663.646 0.282 TOM 859667.382 0.171 444580.718 0.198 JIM 857555.236 0.312 458894.734 0.261 BILL 869923.518 0.155 478214.199 0.248 PAT 830040.4 0 467467.97 0 JHON 886672.11 0 473334.4 0 DESVIACIÓN ESTANDAR DEL PESO U NITARIO= 0.249 DE PIE LONGITUDES AJUSTADAS Y RESIDUALES: LONGITUD RESIDUAL (PIES) 30319.148 -0.022 34954.73 0 31376.137 -0.063 45986.072 -0.148 10992.63 0 16353.325 -0.085 39446.541 -0.099 17445.993 -0.227 29712.425 -0.65 37437.739 -0.191 35162.471 -0.029 35162.471 -0.019 43007.66 0.01 41305.503 -0.327 14168.008 0.308 19896.432 0.202 22939.402 0.232 PAUL- JIM BILL - JIM BILL - TOM LOU - BILL BILL - PAT TOM - JIM LINEA PAUL - RAM LUU - PAUL TOM - JHON PAUL - JHON TOM - BILL PAUL - BILL RAM - TOM PAUL - TOM BILL - JHON TOM - TIM PAT - TOM Tarea autodidáctica No. 11 1) Reconociendo los siguientes valores medidos para las líneas en el croquis: Las coordenadas de control de A; B y C son: PUNTO X Y A 0 0 B 1000 0 C 0 1000 Calcular las coordenadas ajustadas del punto X y la desviación estándar en estas coordenadas. 2) Conociendo los siguientes valores medidos para las líneas en el croquis: En el ajuste, mantener fijas las coordenadas de A en Xa = 10.000 y Ya = 10.000, y mantener fija la dirección de la línea AB en un acimut desde el norte de 30º0’00”. Calcular las coordenadas ajustadas de los puntos B, C y D, y las desviaciones estándar de esas coordenadas. CAPITULO 12 AJUSTE DE LA TRIANGULACION 12.1 Introducción La triangulación es un método de extensión del control horizontal en el cual las mediciones de ángulos son las observaciones básicas. Luego se computan las posiciones de los puntos extensivamente espaciados basados en los ángulos medidos, y sólo a un número mínimo de distancias medidas se les llaman Líneas Base. Se toman todas las precauciones posibles en las mediciones de las líneas base para asegurarse de su óptima precisión. Antes de advenimiento del EDME, con frecuencia la triangulación era el método más conveniente, económico y preferido para extender el control horizontal básico. Fue el método usado por el Servicio Geodésico y de Costas de EE.UU. para extender mucha de la red nacional. Hoy día, la triangulación continúa siendo popular con muchos agrimensores. El ajuste de triangulación por mínimos cuadrados puede efectuarse por ecuaciones de condición, ecuaciones de observación de dirección o ecuaciones de observación de ángulos. En esta sección, consideraremos la triangulación por el método de la ecuación de observación de ángulos mediante mínimos cuadrados. Los cómputos se harán en un sistema de coordenadas rectangulares planas tal como los Sistemas de Coordenadas Planas Estatales. Los tipos específicos de triangulación que se tratarán son intersección, resección y la tradicional triangulación cuadrilateral. 12.1 La ecuación básica de observación de ángulos. En el artículo 3.2.5 se presentó la siguiente ecuación básica de observación de ángulos: ) 12 .......( tan tan 1 1 a Xi Xk Yi Yk Xi Xj Yi Yj jik jik V ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = + ÷ ÷ u u En el procedimiento para linearizar esta ecuación no lineal por el teorema de Taylor también se presentó en el 3.2.5. Lo siguiente es la ecuación de observación lineraizada final para un ángulo observado: dYi Ik Yk Yi IJ Yj Xi dXi Ik Yi Yk IJ Yi Yj jik jik o o o o o o o o o o o o V K ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( u u ) 12 .......( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 b dYk IK Xk Xi dXk IK Yi YK dYj IJ Xi Xj dXj IJ Yj Yi o o o o o o o o o o o o + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ En las ecuaciones (12ª) y 12b), los símbolos se definen como en el Artículo 3.2.5. La ecuación (12b) se derivó para un ángulo en el primer cuadrante según se muestra en la Fig. 3.2. En la fig. 12.1 se muestran las doce posibles combinaciones de cuadrantes para ángulos inferiores a 180º. La ecuación (12b) se aplica exactamente a los ángulos de la Fig. 12.1 de (g) a (1), excepto que jik Ku se calcula como sigue: ) 12 ....( .......... )......... º 180 ( c ojik jik jik K u u u + ÷ = Al formular ecuaciones de observación que de ángulos, I siempre se le asigna a la estación que es el vértice del ángulo. Considerando a los ángulos girados el dextrorso, la estación J es la estación vista atrás y la estación K es la de vista adelante. Esta designación de estaciones debe mantenerse fielmente para formar las ecuaciones de observación de la ecuación prototipo (12n). El procedimiento se demuestra en el ejemplo numérico del Artículo 12.4. 12.2 Ajuste de las intersecciones. La intersección es uno de los métodos más sencillos y prácticos para localizar la posición horizontal de un punto ocasional aislado, si tal punto es visible desde dos o más estaciones existentes de control horizontal. La intersección está especialmente bien adaptada para trabajar en terrenos inaccesibles. Para un singular cómputo de posición, el método requiere que se midan por lo menos dos ángulos horizontales desde dos puntos de control, como los ángulos Ԥ1 y Ԥ2 medios en los puntos de control A y B según la Fig. 12.2. si se dispone de control adicional, el cómputo de posición para el punto desconocido U puede reforzarse por la medición de ángulos redundantes (como los ángulos Ԥ3 y Ԥ4 en la fig. 12.2) donde se tomen mediciones redundantes, las coordenadas más probables del punto U podrán calcularse por el procedimiento de mínimos cuadrados. Considérese el cómputo de posición para el punto U de la Fig. 12.2 habiendo observado los cuatro ángulos horizontales mostrados. Se pueden escribir cuatro ecuaciones de observación linealizadas, una para cada ángulo independiente en términos de las dos variables desconocidas X y Y . Las cuatro ecuaciones expresadas en forma matricial son: + = 41 41 21 42 V K X A Este sistema de ecuaciones se resuelve para las coordenadas más probables Xu y Yu, seguido por el cómputo del análisis de error. 12.3 Ejemplo numérico del ajuste de intersecciones. Para aclarar el procedimiento computacional de la posición de intersección por mínimos cuadrados, se presentó el ejemplo de la Fig. 12.2 Se emplean métodos matriciales y los cálculos se efectúan detalladamente. Volviendo a la Fig. 12.2, se observaron los siguientes ángulos horizontales igualmente ponderados: Ԥ1=50º06’50” Ԥ3=98º41’17” Ԥ2=101º30’47” Ԥ4=59º17’01” Las coordenadas de los puntos de control A, B y C son: Xa= 865.40 Xb= 2432.55 Xc= 2865.22 Ya= 4527.15 Yb= 2047.25 Yc= 27.15 Solución 1. Aproximaciones iniciales para Xuo y Yuo: . 29 . 5446 ) 15 . 27 59 . 3727 ( ) 22 . 2865 35 . 6861 ( . 83 . 4736 ) 15 . 27 59 . 3727 ( ) 55 . 2432 35 . 6861 ( 59 . 3727 " 44 ' 35 º 97 00 . 6049 15 . 4527 ) ( 35 . 6861 " 44 ' 35 º 97 00 . 6049 40 . 865 ) ( " 44 ' 35 º 97 " 50 ' 06 º 50 " 34 ' 42 º 147 " 34 ' 42 º 147 15 . 4527 25 . 2047 40 . 865 55 . 2432 tan tan . 6049 " 23 ' 27 º 28 " 47 ' 30 º 101 58 . 2933 ) 2 1 º 180 ( 2 . 58 . 2933 ) 25 . 2047 15 . 4527 ( ) 40 . 865 55 . 243 ( 2 2 2 2 1 1 2 2 ft CUo ft BUo Cos AzimutAUo AUoCos Ya Yuo Seno AzimutAUo AUoSeno Xa Xuo AzimutAUo Ya Yb Xa Xb AzimutAB ft Seno Seno Seno ABSeno AUo ft AB = ÷ + ÷ = = ÷ + ÷ = = + = + = = + = + = = ÷ = = | . | \ | ÷ ÷ = | . | \ | ÷ ÷ = = = ÷ ÷ = = ÷ + ÷ = ÷ ÷ u u u 2. Formulación de las matrices: Tal y como en un ajuste de trilateración, las coordenadas de una estación de control pueden mantenerse fijas asignando ceros a sus valores dX y dY para que esos términos se retiren de la ecuación. En la Fig. 12.2, los puntos vértice de todos los ángulos son estaciones de control; por ende, sus valores dX y dY son cero, y esos términos no aparecen en las ecuaciones de observación. Al formar las ecuaciones de observación, se asignan I,J, y K según se describió en el Artículo 12.2. Por tanto, para el ángulo Ԥ1 por ejemplo ----I,J y K se reemplazan en la ecuación prototipo (12b) por a, u y b, respectivamente. El ángulo concuerda con la Fig. 12.1 (b). Con referencia a la ecuación (12b), se escriben las siguientes ecuaciones de observación para los cuatro ángulos observados: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 tan tan 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 180º tan tan ( ) ( ) Ya Yuo Xuo Xa Yuo Ya Ya Yb dXu dYu v AUo AUo Xuo Xa Xa Xb Yuo Yb Xb Xuo Yuo Yb Ya Yb dXu dYu UBo UBo Xuo Xb Xa Xb u u ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ¦ ÷ ÷ ¹ + = ÷ ÷ + ´ ` ÷ ÷ ¹ ) ÷ ÷ ÷ ÷ + = ÷ ÷ + ÷ ÷ 1 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) 3 tan tan 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 180º tan ( ) ( ) v Yb Yuo Xuo Xb Yuo Yb Yc Yb dXu dYu v BUo BUo Xuo Xb Xc Xb Yuo Yc Xc Xuo Yuo Yc dXu dYu UCo UCo Xuo Xc u u ÷ ÷ ÷ ¦ ¹ + ´ ` ¹ ) ÷ ÷ ¦ ÷ ÷ ¹ + = ÷ ÷ + ´ ` ÷ ÷ ¹ ) ÷ ÷ ÷ + = ÷ ÷ + ÷ 1 tan 4 Yb Yc v Xb Xc ÷ ¦ ÷ ¹ + ´ ` ÷ ¹ ) Sustituyendo las coordenadas del punto de control y las coordenadas aproximadas Xu y Yu en las ecuaciones de observación lineal, y multiplicando por p, se forman las siguientes matrices A y K* (Nótese que los ángulos Ԥ2 y Ԥ4 concuerdan con la Fig. 12.1 (h) y, por esto, se usa la ecuación (12c) para calcular sus valores k). ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = 788 . 27 2732 . 25 713 . 40 447 . 15 713 . 40 447 . 15 800 . 33 507 . 4 ) 29 . 5446 ( ) 35 . 6861 22 . 2865 ( ) 29 . 5446 ( ) 15 . 27 59 . 37277 ( ) 83 . 4736 ( ) 55 . 2432 35 . 6861 ( ) 83 . 4736 ( ) 59 . 3727 25 . 2047 ( ) 00 . 6049 ( ) 35 . 6861 55 . 2432 ( ) 83 . 4736 ( ) 25 . 2047 59 . 3727 ( ) 00 . 6049 ( ) 40 . 865 35 . 6861 ( ) 00 . 6049 ( ) 59 . 3727 15 . 4527 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 p A *Para que estas observaciones sean dimensionalmente correctas, Kojik y Vojik están en radiantes. Puestos que es más común trabajar en el sistema exagesimal en este país, y ya que las magnitudes de los residuales de ángulos están generalmente en la gama de segundos, pueden convertirse las unidades de las ecuaciones a segundos multiplicando a través de la ecuación por Rho, el número de segundos por radián que es 206, 265. 1 1 1 1 3727.59 4527.15 2047.25 4527.15 50º 05' 50" tan tan 6861.35 865.40 2432.55 865.40 4527.15 2047.25 3727.59 2047.25 101º 30' 47" 180º tan tan 865.40 2432.55 2865 K ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ | | | | ÷ ÷ | | ÷ ÷ \ . \ . ÷ ÷ | | ÷ + ÷ | ÷ \ . = 1 1 1 .22 2432.55 3727.59 2047.25 27.15 2047.25 98º 41'17" tan tan 6861.35 2432.55 2865.22 2432.55 2047.25 27.15 59º17' 01" 180º tan ta 2432.55 2865.22 ÷ ÷ ÷ | | | ÷ \ . ÷ ÷ | | | | ÷ ÷ | | ÷ ÷ \ . \ . ÷ | | ÷ + ÷ | ÷ \ . 1 0.00" 0.00" 0.69" 20.23" 3727.59 27.15 n 6861.35 2865.22 ÷ = ÷ ÷ ÷ | | | ÷ \ . Se advierte que los valores en la matriz K para los ángulos Ԥ1 y Ԥ2 son exactamente igual a cero para la primera iteración. Esto es el caso debido a que las coordenadas aproximadas iniciales Xuo y Yuo se calcularon usando estos dos ángulos. 3. Solución matricial: | | " 8 . 8 2 4 2 . 155 . 2 . 155 3 . 7 8 . 5 1 . 5 5 . 6 . 3 . 7 8 . 5 1 . 5 5 . 6 " 3 . 7 " 8 . 5 " 1 . 5 " 5 . 6 " 23 . 20 " 069 . 0 " 00 . 0 " 00 . 0 11 . 0 62 . 0 . 788 . 27 732 . 25 713 . 40 447 . 15 713 . 40 447 . 15 800 . 33 507 . 4 48 . 3727 11 . 0 59 . 3727 73 . 6860 62 . 0 35 . 6861 11 . 0 62 . 0 : 1 . 534 9 . 509 . 00042 . 0 00066 . 0 00066 . 0 00190 . 0 ) ( ) ( 1 . 534 9 . 509 00042 . 0 00066 . 0 00066 . 0 00190 . 0 ) ( 7 . 5229 5 . 1820 5 . 1820 7 . 1159 2 1 1 ± = ÷ = ÷ = = ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ = = ÷ = + = = ÷ = + = ÷ = ÷ = = ÷ = = ÷ = = = ÷ ÷ = ÷ ÷ n m V V So Sec V V K AX V dYu Yuo Yu dXu Xuo Xu ft dYu ft dXu donde dYu dXu K A A A X K A A A Q A A T T T T T T T . 42 . 0 ) 18 . 0 ( ) 38 . 0 ( . 18 . 0 ) 00042 . 0 ( ) 8 . 8 ( . 38 . 0 ) 00190 . 0 ( ) 8 . 8 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 ft u QY u SX SXu ft QYuYu o S SXu ft QXuXu o S SXu ± = × = × = ± = × = × = ± = × = × = En la solución anterior, una segunda iteración produce valores de tamaño insignificante para dXu y dYu. Por tanto, la solución convergió con una iteración. No se muestra la segunda iteración. La solución produjo un valor de -0.62 de pie para dXu y de -0.11 de pie para dYu. Estas, al sumarse a las aproximaciones iniciales Xuo y Yuo dan las coordenadas ajustadas finales Xu y Yu. Se calcularon los residuales usando la ecuación matricial V=AX-L, que es una forma reordenada de la ecuación (9ª). Estos valores son -6.5 segundos para Ԥ1, 5.1 segundos para Ԥ 2, +5.8 segundos para Ԥ 3 y +7.3 segundos para Ԥ4. Usando estos residuales en la (10ª), se calculó la desviación estándar del peso unitario So. Luego usando (10r), se calcularon las desviaciones estándar de las coordenadas ajustadas SXu y SYu, determinándose ± 0.38 de pie y ± 0.18 de pie, respectivamente. Su, la desviación estándar de la posición ajustada para el punto U, es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de SXu y SYu, y su valor es ± 0.42 de pie. 12.4 Ajuste de las resecciones. La resección es un método que puede usarse para localizar la posición horizontal desconocida de una estación ocupada con teodolito, midiendo un mínimo de dos ángulos de una estación ocupada con teodolito, midiendo un mínimo de dos ángulos horizontales hacia un mínimo de tres estaciones cuyas posiciones horizontales se conoce. Si se tienen más de tres estaciones, se pueden obtener observaciones redundantes y computar la posición de la estación ocupada desconocida empleando el procedimiento de mínimos cuadrados. Como en la intersección, el método es adecuado para ubicar un punto aislado, y especialmente adaptado para operar en área inaccesibles. Vamos a considerar el cómputo de la posición de resección para el punto ocupado U de la Fig. 12.3, habiendo observado los tres ángulos horizontales mostrados. Los puntos A,B, C y D son estaciones fijas de control. Los ángulos 1,2,y 3 se observan desde la estación U, cuya posición es desconocida. Utilizando la ecuación prototipo (12b), puede escribirse una ecuación de observación linearizada para cada ángulo. Las ecuaciones de observación lineal pueden expresarse en forma matricial como: La aplicación de la rutina de mínimos cuadrados produce las correcciones dxu y dyu, las coordinadas más probables Xu y Yu, y la desviación estándar estimada de la posición calculada del punto U. 12.5 Ajuste de la triangulación tradicional. Pueden aplicarse procedimientos idénticos a aquéllos que hemos visto en el ajuste de intersecciones y resecciones, a fin de ajustar triangulaciones tradicionales. De hecho, intersección y resección son casos especiales de triangulación. Aunque la figura básica para la triangulación generalmente se considera que es el cuadrilátero, el método del ajuste de la ecuación de observación por mínimos cuadrados se puede aplicar a otras figuras geométricas tales como cadenas de cuadriláteros, figuras de punto central, etc. Sin importar la forma geométrica de la figura triangulada, el enfoque básico de mínimos cuadrados involucra el escribir una ecuación de observación linerizada para cada ángulo observado, en términos de las coordenadas más probables de los puntos implicados. Usando un número mínimo de los ángulos observados, los triángulos pueden resolverse por la ley de senos para determinar las coordenadas aproximadas iniciales. Se calcular luego las correcciones a estas coordenadas aplicando la rutina de mínimos cuadrados, seguido del cálculo de las coordenadas más probables y las desviaciones estándar estimadas en las posiciones calculadas. El número de ecuaciones involucrado en el ajuste de triangulación es, en general, tan enorme como para hacer antieconómica una solución manual, especialmente en esta era de las computadoras. 12.6 Programa de computadoras para el ajuste del cuadrilátero triangulizado. El Apéndice D da un programa FORTRAN para el ajuste del cuadrilátero triangulizado por mínimos cuadrados. Este programa en particular se diseñó para ajustar un cuadrilátero estándar como el de la Fig. 12.4 Los cómputos se efectúan en un sistema de coordenadas rectangulares provisionales X-Y, según se muestra en la figura. Las coordenadas de los puntos de control ay D (puntos extremos/ finales de la línea base), se giran a través de un ángulo a para colocarlas en el sistema provisional del eje X-Y. El ángulo a se cambia usando una constante y se selecciona para que los ángulos 4 y 8 tengan uno de sus lados /tramos en cada lado de la Y provisional; i,e., líneas paralelas a Y y pasando a través de los puntos B y D cortados por los ángulos 4 y 8. Esto hace que los ángulos 4 y 8 concuerden con las Figs. 12.1 (g) y (h), y se tratan por consiguiente en la formulación de K. Todos los otros ángulos concuerdan con una de las Figs. 12.1 de (a) a (f) y, por tanto, se aplican directamente a la ecuación prototipo (12b). Casi todos los cuadriláteros de forma estándar, sin importar sus orientaciones, pueden así acomodarse por este programa básico. Después de efectuar el ajuste en el sistema del eje provisional, se giran de nuevo las coordenadas por medio de (360º-Į) para regresarlas al sistema del eje N-E. El Apéndice D ofrece información sobre el uso del programa. No es necesario dar entrada a las matrices A ni L. Mas bien, la computadora las computa de loas datos de entrada que incluyen las coordenadas de las estaciones fijas A y D, los ocho ángulos observados y el ángulo de rotación a. La matriz de peso tiene que ser entrada. Los pesos pueden estimarse basándose en un conocimiento a priori del personal e instrumentos usados, o se calcular conforme a la ecuación (6g) si las desviaciones estándar para cada uno de los ángulos se computan de observaciones múltiples. 12.7 Ejemplo del problema Para la figura a continuación, se dispone de las siguientes observaciones y datos conocidos: Ángulos observados (suponer pesos iguales) Coordenadas fijas: Xa= 4270.33 Ya= 8448.90 Xd= 7610.58 Yd= 4568.75 Se usó el programa de computadora del Apéndice D para resolver el problema anterior. Se emplearon pesos iguales. En el programa, los ángulos son entrada en orden del 1 al 8. La matriz X en la solución es: = dXc dYc dXb dYb X El listado de salida___ que es auto explicativo ___ se da en las cuatro páginas siguientes. Como se muestra en el listado, fue satisfactoria una (1) iteración para lograr convergencia. Nótese, por ejemplo, en el tercer listado de salida que es para la segunda iteración, que las correcciones de las incógnitas (Vector X) para las coordenadas iniciales son todas ceros, lo que indica convergencia. EJEMPLO DE TRIANGULACIÓN, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF COORDENADAS DE PUNTOS DE CONTROL ) ( ) ( ) ( ) ( 580 . 7610 750 . 4568 330 . 4270 900 . 8448 Xd Yd Xa Ya ANGULO DE ROTACION= 0.0 GRADOS ANGULOS OBSERVADOS COORDENADAS APROX. DE LAS INCOGNITAS 42º35'29.0" 87º35'10.60" 79º54'42.10" 18º28'22.40" 21º29'23.90" 39º1'35.40" 31º20'45.80" 39º34'27.90" COORDENADAS APROXIMADAS DE LAS INCOGNITAS ) ( ) ( ) ( ) ( 027 . 14633 185 . 16636 549 . 5599 769 . 16748 Xc Yc Xb Yb MATRIZ DE VARIACION COVARIACION QLL 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 EJEMPLO DE TRIANGULACION, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF ITERACIÓN Nº 1 MATRIZ A ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 769 . 12 430 . 7 485 . 16 722 . 2 000 . 0 000 . 0 485 . 16 722 . 2 967 . 9 575 . 10 285 . 0 830 . 22 086 . 3 824 . 4 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 745 . 7 602 . 6 285 . 0 830 . 22 201 . 16 108 . 20 682 . 9 255 . 12 000 . 0 000 . 0 682 . 9 255 . 12 230 . 24 880 . 3 MATRIZ L (VECTOR) | | 593 . 8 904 . 7 230 . 4 805 . 7 262 . 4 291 . 4 4675 650 . 4 ÷ ÷ ÷ ÷ MATRIZ DE VARIANZA Y COVARIANZA QXX 011 . 0 006 . 0 002 . 0 008 . 0 006 . 0 007 . 0 000 . 0 007 . 0 002 . 0 000 . 0 002 . 0 001 . 0 008 . 0 007 . 0 001 . 0 008 . 0 INCOGNITAS VECTOR X | | 851 . 0 699 . 0 191 . 0 646 . 0 ÷ VECTOR DE RESIDUOS V | | 534 . 1 509 . 6 419 . 5 805 . 1 1481 162 . 4 010 . 5 152 . 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ITERACIÓN Nº 2 MATRIZ A ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 767 . 12 430 . 7 484 . 16 722 . 2 000 . 0 000 . 0 484 . 16 722 . 2 966 . 9 579 . 10 284 . 0 832 . 22 086 . 3 824 . 4 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 744 . 7 601 . 6 284 . 0 832 . 22 200 . 16 111 . 20 681 . 9 254 . 12 000 . 0 000 . 0 681 . 9 254 . 12 229 . 24 879 . 3 MATRIZ L (VECTOR) | | 534 . 1 509 . 6 419 . 5 805 . 1 481 . 1 162 . 4 01 . 5 152 . 2 ÷ ÷ ÷ ÷ MATRIZ DE VARIANZA Y COVARIANZA QXX 011 . 0 006 . 0 002 . 0 008 . 0 006 . 0 007 . 0 000 . 0 007 . 0 002 . 0 000 . 0 002 . 0 001 . 0 008 . 0 007 . 0 001 . 0 008 . 0 INCOGNITAS VECTOR X | | 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 VECTOR DE RESIDUOS V | | 534 . 1 509 . 6 419 . 5 805 . 1 1481 162 . 4 010 . 5 152 . 2 ÷ ÷ ÷ ÷ EJEMPLO DE TRIANGULACIÓN, COMPUTOS DE AJUSTES DE WOLF COORDENADAS DESCONOCIDAS AJUSTADAS ) ( ) ( ) ( ) ( 876 . 14633 886 . 16636 356 . 5599 415 . 16749 Xc Yc Xb Yb ERROR ESTANDAR DEL PESO UNITARI= 5.626 DESVIACIÓN ESTANDAR SYB= 0.500 SXB= 0.227 SYC= 0.048 SXC= 0.580 ANGULOS AJUSTADOS 42º35'31.15" 87º35'15.61" 79º54'37.94" 18º28'20.92" 21º29'25.70" 39º1'29.98" 31º20'52.31" 39º34'26.37" Tarea autodidáctica No. 12 1) Conocido los siguientes ángulos medidos para el problema de resección en el croquis: Las coordenadas terrestres de los puntos de control son: PUNTO X Y A 10,000 10,000 B 10,000 7,500 C 10,000 2,500 D 10,000 0 Calcular las coordenadas ajustadas en el punto P y las desviaciones estándar en estas coordenadas. (Nota: para las primeras aproximaciones USE Xpo=5,000.00 y Ypo=5,000.00) 2) Conociendo los siguientes ángulos medidos y, entre paréntesis, las desviaciones estándar de las mediciones para el cuadrilátero en la figura. Calcular las coordenadas ajustadas de los puntos B y C, y las desviaciones estándar de tales coordenadas. Mantener fija la estación D en N = 10.000 y E = 10.000, y mantener la longitud y acimut de la línea DA en 2320.13 pies y 271º 37’, respectivamente. Efectuar un ajuste ponderado usando las ecuaciones (6g) y las desviaciones estándar conocidas para calcular los pesos. CAPITULO 13 AJUSTE DE POLIGONALES 13.1 Introducción De los muchos métodos para el ajuste de poligonales, la característica que distingue el ajuste de poligonales por mínimos cuadrados de los métodos aproximados, es que las observaciones de distancia y dirección se ajustan simultáneamente en el método de mínimos cuadrados que con cualquier otro método. Además, el método de mínimos cuadrados permite la asignación de pesos relativos a las observaciones basándose en sus confiabilidades relativas esperadas. 13.2 Las ecuaciones de observación En este capítulo se presenta el ajuste de poligonales por mínimos cuadrados escribiendo ecuaciones de observación. En este procedimiento, se escribe una ecuación de observación para cada distancia y ángulo medido ( o dirección). La ecuación de observación básica para la distancia, una ecuación no lineal, se formuló y linearizó en el cápitulo 11 como la ecuación (11b). En esta presentación se usarán ecuaciones de observación de ángulos, aunque como una alternativa, es posible formular ecuaciones de observación de dirección. Se ha seleccionado el concepto angular porque es algo mas simple de usar, y también porque el número de incógnitas, en la solución es menor. La ecuación básica de observación de ángulos se formuló en el Cápitulo 3 como la ecuación (3m). Se repitió en el Capítulo 12 como la (12b). En el Capítulo 12 se demostró su uso en el ajuste de la triangulación. El hecho que las observaciones de ángulos y distancias – con unidades diferentes – se combinan en un ajuste, se resuelve mediante el uso de pesos apropiados. En este procedimiento se asigna un peso relativo a cada observación de acuerdo con la inversa de su variación y priori (el cuadrado de la desviación estándar). Como antes se indicó, la condición fundamental que se hace cumplir en el ajuste por mínimos cuadrados es la minimización de los términos pv². De ahí que si se ponderan las observaciones conforme a la inversa de sus variaciones a priori, y si se usan las mismas unidades para la desviación residual y estándar, todos los términos pv² quedarán sin dimensión alguna y, por tanto, compatibles para el ajuste simultáneo. Este procedimiento se demuestra en el problema de la Sección 13.4. 13.3 Número de ecuaciones redundantes Se puede escribir una ecuación de observación para cada ángulo y distancia medidos en una poligonal cerrada. Si hay n lados en la poligonal, hay n distancias y n=1 ángulos (considerando un (1) ángulo para la orientación). En las Figs. 13.1 (a) y (b), cada poligonal cerrada tiene 4 lados y a cada una se le han medido 4 distancias y 5 ángulos. Cada nueva estación de poligonal introduce dos incógnitas, las coordenadas X y Y; de ahí que existen 2 (n-1) incógnitas para cualquiera poligonal cerrada completamente levantada. Por ende, para cualquiera de éstas, sin importar un número de lados, el número de ecuaciones redundantes (número de observaciones menos el número de incógnitas es igual a (n+n+1)-2 (n-1) =3. 13.4 Ejemplo numérico Se presenta un sencillo ejemplo numérico del ajuste del poligonales por mínimos cuadrados. Para dicho ejemplo se muestran el croquis y los datos vírgenes (sin procesar) del levantamiento en la Fig. 13.2. Observaciones AB = 200.00 BC = 100.00 Fig. 13.2. A. Calcular las coordenadas aproximadas iniciales para la estación B 100 200 60º 1173.20 100 200 60º 1100.00 o o b b X Sen y Cos = + = = + = B. Formular las matrices X y K: b b x y d X d = 1 2 3 ab bc L L K K K K K K u u u = 200.00 200.00 0.00 100.00 99.81 0.19 120º 00' 00'' 120º 00' 03''* 3'' 150º 00' 00'' 149º 55' 51'' 249'' 119º 59' 00'' 119º 55'18''* 192'' ft ft K ÷ ÷ = ÷ = ÷ ÷ ÷ Los valores en la matriz K se derivan restando cantidades computadas, basándose en coordenadas iniciales, de sus cantidades observadas respectivas. 1 u 2 u 3 u 1 2 3 240º 00 ' 150º 00 ' 240º 01' u u u = = = *Nótese que el ángulo observado se considera 360º -u para hacer el ángulo inferior a 180º y concordar con uno de los 12 casos dados e la Fig. 12.1 C. Calcular la matriz A: La matriz A se forma usando la matriz prototipo (11b) para las distancias, y la (12b) para los ángulos. Nótese que los coeficientes de ángulos se multiplican por rho (206.265’’/rad) para convertir a segundos y ser compatible con los valores dados en la matriz K. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1173.20 1000 1100 1000 200 200 1173.20 1223.00 1100 1186.50 100 100 1000 1100 1173.20 200 1000 1100 1186.50 1100 200 100 1100 1186.50 100 A p p p ÷ ÷ | | | | | | \ . \ . ÷ ÷ | | | | | | \ . \ . | | ÷ ÷ | = | \ . | | ÷ ÷ | ÷ | \ . | | ÷ | | \ . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1000 200 1173.20 1000 1173.20 1223.00 200 100 1223.00 1173.20 100 p p p | | | | \ . | | ÷ ÷ | ÷ | \ . | | ÷ | | \ . 0.866 0.500 0.498 0.865 515.7 893.1 2299.8 1920.3 1784.2 1027.2 A ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ D. Formular la matriz P. Para resolver unidades disímiles, se usan pesos de acuerdo con las inversas de las variaciones. Puesto que antes del ajuste se desconocen las variaciones, éstas tienen que estimarse a priori; y son importantes porque influyen en el ajuste. Los pesos de distancia y ángulo son: Para longitud: ( ) 2 1 ij ij L L P S = Para ángulo: ( ) 2 1 jik jik P S u u = Suponer las siguientes desviaciones estándar para las cantidades observadas: 1 2 3 0.05 0.08 30sec. 30sec. 30sec. AB ft BC ft u u u = ± = ± = ± = ± = ± Basándose en esas desviaciones estándar, la matriz P es: 2 2 2 2 2 1 0.05 1 400 0.08 156 1 0.001 30 0.001 1 0.001 30 1 30 P | | | \ . = = | | | \ . | | | \ . E. resolver el sistema anterior por el programa de computadora del Apéndice B que usa la ecuación: ( ) 1 T T X A PA A PL ÷ = Véase el listado anexo de salida de computadora: La solución produce los siguientes valores para las correcciones a las coordenadas iniciales: 0.11 0.01 b b dX ft dY ft = ÷ = ÷ Los residuales sin como sigue: 1 2 3 0.10 0.12 49.0sec 17.4sec 604sec ab bc V ft V ft V V V u u u = ÷ = ÷ = = ÷ = ÷ La desviación estándar del peso unitario y las desviaciones estándar de las coordenadas ajustadas son: 1.77 0.04 0.05 b b o X Y S ft S ft S ft = ± = ± = ± F. Las coordenadas revisadas de los puntos: G. Calcular las observaciones ajustadas de los residuales: 1 2 3 200.00 0.10 199.90 100.00 0.12 99.88 360º (120º 00' 00'' 0º 00' 49'') 239º 59'11'' 150º 00' 00'' 0º 00'17'' 149º 59' 43'' 360º (119º 59' 00'' 0º 00' 06'') 240º 01' 06'' AB BC u u u = ÷ = = ÷ = = ÷ + = = ÷ = = ÷ ÷ = (Nótese que una segunda iteración produce ceros para b dX y b dY ). 1173.20 0.11 1173.09 1100.00 0.01 1099.99 = ÷ = = ÷ = b b X Y EJEMPLO DE POLIGONAL, CÓMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF MATRIZ A MATRIZ L 0.866000 0.500000 0.498000 0.865000 515.700000 893.100000 2299.800000 1920.300000 1784.200000 1027.200000 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ MATRIZ DE PESO | | 400.000 156.000 0.001 0.001 0.001 MATRIZ DE ECUACIONES NORMALES 9077.067383 6469.208008 6469.208008 5757.041016 ÷ ÷ MATRIZ DE COVARIACIÓN 0.000553 0.000622 0.000622 0.000872 INCÓGNITAS X -0.111379 -0.012762 RESIDUALES Y -0.102835 -0.123494 49.040077 -17.358521 -6.387482 DESVIACIÓN ESTÁNDAR DEL PESO UNITARIO 1.765992 0.000000 0.190000 3.000000 249.000000 192.000000 ÷ DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE VALORES AJUSTADOS 0.041537 0.052157 TAREA AUTODIDÁCTICA No. 13 Ajustar por Mínimos cuadrados la poligonal cerrada en el croquis a continuación: Ángulo Valor observado Desviación estándar(seg) Longitud Valor observado Desviación estándar (pies) XAB 63°34’30" 5 AB 2731.25 0.29 BAC 45°12'15" 10 BC 3005.81 0.32 ABC 94 ° 39’20" 10 CA 4222.01 0.44 BCA 40°09 ’ 05" 10 Acimut AX = 345°17’3’’ Coordenadas de A: X = 10,000.00 Y = 10,000.00 CAPITULO 14 AJUSTE POR CONDICIONES 14.1 Introducción Hay una clase de problemas en los cómputos de ajustes en la cual ciertas condiciones tienen que satisfacerse exactamente en el ajusta de las observaciones. Las ecuaciones que expresan esas condiciones se llaman ecuaciones de condición. En el ajuste de mínimos cuadrados por el método de ecuación de condición, se halla la solución que produce las cantidades ajustadas mas probables y al mismo tiempo satisface exactamente todas las condiciones. Claro esta que la solución que da las cantidades ajustadas mas probables, es la que minimiza la suma de los pesos multiplicada por los residuales elevados al cuadrado. El clásico ejemplo de este tipo de condición es el ajuste de los tres ángulos observados en un triangulo plano. La condición que se debe satisfacer es que la suma de los tres ángulos ajustados debe ser exactamente igual a 180 grados. El ajuste por mínimos cuadrados es el que produce simultáneamente los valores ajustados que tienen la más alta probabilidad. En redes de triangulación, hay muchas condiciones geométricas que deben cumplirse y, por ende, frecuentemente se ajustan por el método de condiciones. También pueden ajustarse las poligonales por dicho método. Por ejemplo, el método Crandall es un ajuste donde después del ajuste del cierre angular de manera tal que cada ángulo recibe una corrección igual, todo el error restante se supone que este contenido en las observaciones de distancia. Se escriben ecuaciones que expresan las dos condiciones de cierre de latitud y de partida. Una de las dificultades confrontadas en el ajuste por condiciones es la de reconocer y formular todas las ecuaciones de condición. Debe recalcarse que todas las condiciones deben considerarse para obtener el ajuste correcto. Para ciertos problemas de ajuste, se puede reducir la cantidad de cálculos si el ajuste se efectúa por ecuaciones de condición en lugar de observaciones. Sin embargo, para otros problemas, lo opuesto es cierto. En esta era de computadoras electrónicas, la cantidad de cálculos parece proporcionar muy poca Justificación para el ajuste mediante condiciones. En pro del método de la ecuación de observación se encuentran la fácil, sistemática formulación de las ecuaciones, y el conveniente y sistemático análisis del error proporcionado por la matriz de covariación. 14.2 Forma matricial de las ecuaciones de condición En cualquier problema de ajuste hay m observaciones que implican a n incógnitas. Supóngase que q ecuaciones relacionan las observaciones y sus residuales con ciertas condiciones especificadas, y pueden representarse en la siguiente forma general: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 12 2 2 1 1 21 1 1 22 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 m m m m m m q q qm m m q b v b v b v c b v b v b v c b v b v b v c + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = A A " A A A " A # A A " A . . . .(14a) En la ecuación (14a) las b son los coeficientes de las observaciones A y sus residuales v, y las c son constantes inherentes en las condiciones. 14.3 Solución matricial por mínimos cuadrados La ecuación (14a) puede expresarse en forma matricial como: q m m 1 m 1 q 1 B (L + V ) = C . . . . . . . . (14b) × × × × de la cual BL + BV = C, y BV = C - BL Permita que C - BL = W . . . . . . . . . . . . . . . . (14c) Luego BV = W La expresión matricial para la solución de los residuales que tienen la probabilidad más alta (solución por manimos cuadrados) se da por: ( ) 1 1 1 * T T m m q q m m q q V B B B W ÷ × × × × × = . . . . . . . . . . . (14d) Se puede expresar en forma matricial un sistema de' condiciones ponderadas como: q m m m m 1 m 1 q 1 B P (L + V ) = C . . . . . . . . (1 4e) × × × × × La ecuación matricial para el cómputo de mínimos cuadrados de los residuales más probables de las ecuaciones de condición ponderada es: ( ) 1 1 1 1 m m m m 1 T T m m q q m m q q V P B B P B W ÷ ÷ ÷ × × × × × × × = * La derivación de esta expresión matricial se da en la Sección 14.8. SI los pesos son iguales, la matriz P se convierte en una matriz idéntica y la ecuación (14f) se reduce a la (14d). Habiendo determinado los residuales ya sea de (14d) o de (14f), es fácil calcular las observaciones corregidas seguidas de un cálculo de las incógnitas ajustadas. 14.4 Ajuste de los ángulos de un triángulo plano Para aclarar la formulación de las ecuaciones de condición, según se indico en (14a), y la solución matricial, se da un ejemplo del ajuste de los ángulos de un triángulo plano. En la F1g. 14.1, se observaron los tres ángulos A, B y C como se muestra. La condición siguiente expresa la relación que las observaciones tienen la una con la otra. ( ) ( ) ( ) 180 00' 00'' A B C A V B V C V + + + + + = ° . . . . . . . . . . (14g) En forma matricial esta ecuación es: ( ) 1 3 3 1 3 1 1 1 B L V C × × × × + = . . . . . . . . . (14h) Estación Ángulo observado A B C 68°10’40’’ 66°34’ 22" 45°14’49’’ En la ecuación (14h) la matriz B es: | | 1 3 1 1 1 B × = De la ecuación (14c) la matriz W es: 180 68 10' 40'' 66 34' 22'' 45 14' 49'' 09'' W C BL = ÷ = ° ÷ ° ÷ ° ÷ ° = Luego la solución matricial de la ecuación (14d) es: | | | | 1 1 1 1 1 3 1 T B B = = ( ) | | 1 1 / 3 T B B ÷ = ( ) 1 3 1 1 3 3 1 1 1 1 T T B B B ÷ × × × = | | 1 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 = ( ) 1 1 / 3 1 / 3 1 / 3 T T V B BB W ÷ = = | | 3 '' 9 '' 3 '' 3 '' = Finalmente se obtienen los ángulos ajustados sumando los residuales a sus respectivas observaciones: ' 68º 10 ' 40 '' 03 '' 68º 10 ' 43 '' ' 66º 34 ' 22 '' 03 '' 66º 34 ' 25 '' ' 45º 14 ' 49 '' 03 '' 45º 14 ' 52 '' A B C A A V B B V C C V = + = + = = + = + = = + = + = -------------------- 180º 00’ 00’’ 14.5 Ajuste de redes de nivel por ecuaciones de condición Este procedimiento se ilustra con el conocido problema no ponderado previamente considerado en los Caps. 8 y 9. Para mayor conveniencia, el croquis del problema se repite en la Fig. 14.2. Fig 14.2 En el ajuste de redes de nivel, el número de condiciones es igual al numero de observaciones menos el numero de Incógnitas. Por tanto, en este problema hay 7- 3, ó 4 ecuaciones de condición que deben formularse. Tales condiciones son: Línea No. Dif. elev. observada 1 2 3 4 5 6 7 5.10 2.34 -1.25 -6.13 -0.68 -3.00 1.70 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 5 5 6 6 3 3 6 6 7 7 7 . 5 0 7 . 5 0 0 0 V V V V V V V V V V + + + = + + + = ÷ + ÷ + + + = ÷ + + + + + = A A A A A A A A A A Para este sistema de ecuaciones de condición, la matriz B es: 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 -1 0 0 1 1 B = Por la ecuación (14c) la matriz W es: W C BL = ÷ 5.10 2.34 7.50 1 1 0 0 0 0 0 1.25 7.50 0 0 1 1 0 0 0 6.13 0.00 0 1 0 0 -1 1 0 0.68 0.00 0 0 -1 0 0 1 1 3.00 1.70 W ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ 0 . 0 6 0 . 1 2 0 . 0 2 0 . 0 5 W ÷ = ÷ Entonces la solución matricial de la ecuación (14d) es: 2 0 1 0 0 2 0 1 1 0 3 1 0 1 1 3 T B B ÷ = ÷ ( ) 1 0.619 0.048 0.238 0.095 0.048 0.619 0.095 0.228 0.238 0.095 0.476 0.190 0.095 0.238 0.190 0.476 T BB ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ( ) 1 0.619 0.048 0.238 0.095 0.381 0.047 0.238 0.095 0.048 0.381 0.095 0.238 0.048 0.619 0.095 0.238 0.238 0.095 0.476 0.190 0.143 0.143 0.286 0.286 0.095 0.238 0.190 0.467 T T B BB ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ( ) ( ) 1 1 0.041 0.019 0.06 0.062 0.12 0.058 0.02 0.022 0.05 0.017 0.005 T T T T V B BB W B BB ÷ ÷ ÷ ÷ = = = ÷ ÷ Las diferencias de elevación corregidas se calculan sumando los residuales a sus respectivas observaciones: 5 . 1 0 0 . 0 4 1 5 . 1 4 1 2 . 3 4 0 . 0 1 9 2 . 3 5 9 1 . 2 5 0 . 0 6 2 1 . 3 1 2 6 . 1 3 0 . 0 5 8 6 . 1 8 8 0 . 6 8 0 . 0 2 2 0 0 . 6 5 8 3 . 0 0 0 . 0 1 7 3 . 0 1 7 1 . 7 0 0 . 0 0 5 1 . 7 0 5 + = + = ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ = ÷ + = Las observaciones ajustadas de BM se calculan de las diferencias de elevación corregidas. Sin hacer caso de cuales fueron las observaciones corregidas que se usaron para calcular las elevaciones de BM, sus valores ajustados serán los mismos. El procedimiento para calcular las elevaciones ajustadas es: A = 100.000 + 5.141 = 105.141 B = 105.141 - 0.658 = 104.483 C = 104.483 + 1.705 = 106.188 Basándose en los residuales, la desviación estándar del peso unitario puede calcularse como: 2 V 0.0101 0.050 m-n 7-3 o S ft = = = ± ¯ Para el ajuste ponderado de esta red de nivel, las matrices B y W se formulan exactamente como antes, y la matriz P (peso) es como sigue: 3 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 6 P = La solución ponderada se obtiene de la ecuación (14f). En el Artículo 14.9 se describe un programa de computadora para resolver la ecuación (14f). Este programa se usó para resolver los problemas de la red de nivel ponderada y no ponderada. El listado de salida para esos problemas se halla en las dos páginas siguientes. Nótese la conformidad de los residuales entre estos resultados y los del método de la ecuación de observación. EJEMPLO DE RED DE NIVEL NO PONDERADA, CÓMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF MATRIZ B 1.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 -1.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 -1.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.0000000 MATRIZ W 0.0600000 -0.1200000 -0.0200000 0.0500000 MATRIZ P 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 RESIDUALES 0.0409524 0.0190476 -0.0623810 -0.0576190 0.0219048 -0.0219048 0.0047619 EJEMPLO DE RED DE NIVEL PONDERADA, CÓMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF MATRIZ B 1.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 -1.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 -1.0000000 0.0000000 0.0000000 1.0000000 1.0000000 MATRIZ W 0.0600000 -0.1200000 -0.0200000 0.0500000 MATRIZ P 3.0000000 4.0000000 6.0000000 4.0000000 6.0000000 6.0000000 6.0000000 RESIDUALES 0.0504000 0.0096000 -0.0528000 -0.0672000 0.0188000 -0.0108000 0.0080000 14.6 Ajuste de poligonales por el Método de ecuaciones de condición (método Crandall) Algunas veces se le llama erróneamente al método Crandall como el método de mínimos cuadrados. En realidad, una vez que se distribuye el error angular de cierre en porciones iguales a todos los ángulos, el método Crandall mantiene fijos esos ángulos y coloca a todas las correcciones restantes en las mediciones lineales mediante un procedimiento de mínimos cuadrados ponderados. Sin embargo, no es un verdadero ajuste por mínimos cuadrados, ya que las mediciones angulares y lineales no se ajustan simultáneamente. El método CrandalI es válido para ajustar poligonales en donde se espera que las mediciones lineales contengan errores fortuitos más grandes que las mediciones angulares. Como ejemplo de una situación ideal para el método Crandall es el ajuste de una poligonal de estadía. La poligonal de la Fig. 14.3 se ajustara usando el método Crandall. Dicha poligonal contiene adrede un cierre absurdamente grande, para que el procedimiento sea mas claro. El proceso computacional del método Crandall se compone de la formulación de las dos ecuaciones que expresen las condiciones de que, las sumas algebraicas de las latitudes y partidas en una poligonal cerrada deberán ser igual a cero. Primero se calculan las marcaciones ajustadas, seguidas del cálculo de latitudes y partidas, según la tabla: Marcación Curso Extensión ajustada Lat. Part. AB BC 748.25 532.18 Due North N 44 48' E 748.25 448.58 0.00 445.46 CD 659.74 S 40 14' E -503.66 426.13 DE 440.33 S 24 14' W -401.53 -180.73 EF 345.90 S 89 52' W - 0.81 -345.90 FA 445.02 S 49 47' W -287.34 -339.82 AN= 3.49 AE= 5.14 Las dos condiciones que han de cumplirse, exclusivo de los pesos, se expresan en las siguientes ecuaciones: Sumas algebraicas de latitudes = 0 Sumas algebraicas de partidas = 0. . . . . . . . . . . . . (14g) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 3 4 5 6 1.00 0.710 0.763 0.912 0.002 0.646 0 AB V BC V CD V DE V EF V FA V + + + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + = Expresiones mas detalladas para (14g) son: AB Cos (Bng AB) + BC Cos (Bng BC) + CD Cos (Bng CD) + DE Cos (Bng DE) + EF Cos (Bng EF) + FA Cos (Bng FA) = 0 . . . . . . . . . . (14h) AB Sin (Bng AB) + BC Sin (Bng BC) + CD Sin (Bng CD) + DE Sin (Bng DE) + EF Sin (Bng EF) + FA Sin (Bng FA) = 0 POLIGONAL PARA EL EJEMPLO DEL MÉTODO CRANDALL Fig. 14.3 Insertando los valores numéricos en la ecuación (14h) resulta: . . . . . . . . . . . . . (14i) Ángulos interiores Punto Observado Ajustado A 49º45’ 49º47’ B 135º10’ 135º12’ C 85º00’ 85º02’ D 115º30’ 115º32’ E 114º20’ 114º22’ F 220º03’ 220º05’ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 0.000 0.705 0.646 0.410 1.000 0.764 0 AB V BC V CD V DE V EF V FA V + + + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + = Estas ecuaciones expresadas en forma matricial son: ( ) B L V C + = Donde 1.000 7.10 0.763 0.912 0.002 0.646 0.000 0.705 0.646 0.410 1.000 0.764 B ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ De la ecuación (14c), las constantes W se calculan como: 2 1 2 1 2 6 6 1 W C B L × × × × = ÷ De la (14a), se ve que BL es exactamente igual a A N y A E que fueron previamente calculados. Por tanto, los elementos de la matriz W son: 1 2 0 3.49 3.49 0 5.14 5.14 W W = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ En el método Crandall se supone que los pesos sean inversamente proporcionales a las longitudes. Por ende, la matriz inversa de peso para esta poligonal es: 1 748.25 0 0 0 0 0 0 632.18 0 0 0 0 0 0 639.74 0 0 0 0 0 0 440.33 0 0 0 0 0 0 345.90 0 0 0 0 0 0 445.02 0 0 0 0 0 0 P ÷ = Utilizando el programa descrito en el Art. 14.9, la solución siguiente da los residuales para este problema. Pueden obtenerse las longitudes corregidas sumando esos residuales a las longitudes observadas. Luego se calculan las latitudes y partidas corregidas. MÉTODO CRANDALL PARA EL EJEMPLO DE POLIGONAL, CÓMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF MATRIZ B 1.0000000 0.7100000 -0.7630000 -0.9120000 -0.0020000 -0.6460000 0.0000000 0.7050000 0.6460000 -0.4100000 -1.0000000 -0.7640000 MATRIZ W -3.4900000 -5.1400000 MATRIZ P 1.3400000 1.5300000 1.5200000 2.2700000 2.8900000 2.2500000 RESIDUALES -0.7615914 -2.1829762 -1.0643644 1.0800547 1.2843576 1.5526733 14.7 Ajuste de un cuadrilátero triangulado por el método de la ecuación de condición Las configuraciones geométricas de las redes de control en la triangulación son muchas y variadas. Cada diferente configuración engloba un juego distinto de ecuaciones de condición. Los métodos para formular estas ecuaciones están bien documentados, por 1o que no se repetirán aquí. El cuadrilátero estándar es la figura más comúnmente usada en la triangulación y, por tanto, será el tema de un ejemplo. Hay cuatro condiciones que deben mantenerse en un cuadrilátero: Tres condiciones de ángulo y una condición de lado. Con referencia a la Fig. 14.4, se pueden escribir las tres siguientes ecuaciones de ángulo que expresan la condición de que un triángulo debe contener 180 grados: 1 3 4 6 3 5 6 8 3 5 7 8 1 3 4 6 180 3 5 6 8 180 2 5 7 8 180 v v v v v v v v v v v v + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + = D D D Fig. 14.4 Inherente en estas tres ecuaciones de ángulos es la ecuación para el cuarto triángulo. La cuarta ecuación expresa la condición de que la longitud de la línea de cierre (lado opuesto a la línea base), de un cuadrilátero debe ser la misma sin importar los ángulos usados para calcularla. Esta ecuación se formula usando la ley de senos como sigue: Calcular el lado BC desde los triángulos DAC Y BAC: 2 8 5 2 Sin AD CD Sin CD and BC Sin Sin = = Sustituyendo; Calcular también BC de los triángulos DAB y ABC: 7 1 6 4 Sin Sin AD AB AB and BC Sin Sin = = Sustituyendo: AD Sin 1 Sin 7 Sin 4 Sin 6 BC = Igualando las dos expresiones para BC: 7 8 1 2 6 3 5 4 Sin Sin Sin Sin AD AD Sin Sin Sin Sin = Multiplicando en cruz, resulta la siguiente ecuación de condición de lado (lateral): 3 5 7 1 1 6 8 2 4 Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin Sin = Esta ecuación de condición no lineal se lineariza por la siguiente expresión logarítmica: E log sines (odd) - E log Sienes (even) = 0 . . . . . . . . . . . . (14k) BC = AD Sin 2 Sin 8 Sin 3 Sin 5 Considérese el problema del cuadrilátero en la Fig. 12.4 que fue resuelto antes por la computadora usando el método de la ecuación de observación. A continuación, la formación de la ecuación de condición lateral (14k) para ese cuadrilátero, en forma tabular: Angle Value Log Sin Diff l” † Angle Value Log Sin Diff l”* 1 3 5 7 42 ° 35’ 29”0 79 ° 54’42”1 21 ° 29’23”9 31 ° 20’45”8 9.8304381 9.9932329 9.5638824 9.7161751 2.29 .38 5.34 3.46 2 4 6 8 87 ° 35’10”6 18 ° 28’22”4 39 ° 01’35”4 39 ° 34’27”9 9.9996145 9.5008618 9.7991197 9.8041938 .08 6.30 2.60 2.54 ¯ 39.1037285 ¯ 39.1037898 El lado derecho de la ecuación (14k) es: 39.103 7285 - 39.1037898= -61.3* Los coeficientes de los ángulos en (14k) se toman como las diferencias para un (1) segundo; por tanto, las matrices, B y L para este ejemplo de cuadrilátero son: 1 2 0 0 0 0 3 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 4 0 0 0 0 5 1 1 1 1 2.29 .08 .38 6.30 5.34 2.60 3.46 2.54 6 7 8 BL = ÷ ÷ ÷ ÷ † Para mayor conveniencia, el decimal se ha movido arbitrariamente seis lugares a la derecha. La matriz W es: 1 2 3 4 180 (1 3 4 6) 08"9 180 (3 5 6 8) 09"3 180 (2 5 7 8) 11"8 0 ( 61.3) 61.3 W W W W = ° ÷ + + + = ÷ = ° ÷ + + + = ÷ = ° ÷ + + + = = ÷ ÷ = Este problema se resolvió usando el programa de computadora descrito en el Art. 14.9. El listado de salida para la solución se da en la página siguiente. Puesto que todos los ángulos fueron observados por el lirismo personal usando el mismo equipo y procedimientos, los pesos son iguales y la matriz P es una de identidad / idéntica. Nótese la conformidad de los residuales entre este método de la ecuación de condición y la solución de la ecuación de observación del Cap. 12. CUAD TRIANGULADO, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF MATRIZ B 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 2. 2 9 0 0 0 0 0 -0. 0 0 0 0 0 0 0 0. 3 8 0 0 0 0 0 -6. 3 0 0 0 0 0 0 5. 3 4 0 0 0 0 0 -2. 6 0 0 0 0 0 0 3. 4 6 0 0 0 0 0 -2. 5 4 0 0 0 0 0 MATRIZ W -8. 9 0 0 0 0 0 0 -9. 3 0 0 0 0 0 0 11. 8 0 0 0 0 0 0 61. 3 0 0 0 0 0 0 MATRIZ P 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 0 0 0 RESIDUALES 2. 0 9 8 2 5 2 6 5. 0 3 4 6 3 9 0 -4. 1 8 1 8 0 5 9 -1. 4 1 5 6 2 4 2 1. 7 5 3 0 3 4 2 -5. 4 0 0 8 2 2 5 6. 4 8 2 7 3 2 6 -1. 4 7 0 4 0 5 8 14.8 Deducción de la ecuación para resolver ecuaciones de condición por mínimos cuadrados 14.8.1 Solución por los multiplicadores de Lagrange / lagrangianos Suponiendo que tenemos un sistema de ecuaciones de condición tal como el de (14a). Si desarrollamos estas ecuaciones tendremos: 1 11 1 11 1 12 2 12 2 1 1 2 21 1 21 1 22 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ............... .............. . . . ............... = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + A A A A A A A A A m m m m m m m m q q q q q qm m qm m c b b v b b v b b v c b b v b v b b b v c b b v b b v b b v ........(14 ) A Si reunimos los términos constantes, rotulándolos w, y reescribimos la ecuación (141), tendremos: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 .............. 0 .............. 0 . . . .............. 0 + + + ÷ = + + + ÷ = + + + ÷ = m m m m q q qm m q b v b v b v w b v b v b v w b v b v b v w …….. ........(14 ) A en donde tas w de la ecuación (12m) son: 1 1 11 1 12 2 1 2 2 21 1 22 2 2 1 1 22 2 ( ............... ) ( .............. ) . . . ( .............. ) = ÷ + + + = ÷ + + + = ÷ + + + A A A A A A A A A m m m m q q q qm m w c b b b w c b b b w c b b b Sabemos de consideraciones previas que en el ajuste por mínimos cuadrados, buscamos la solución que minimiza el 2 pv ¯ . Vamos pues a definir esa función deseada como sigue 2 m i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 4 ) p v i m u n n o = ¯ = Ya que las (14m) todas son iguales a cero, podemos multiplicar cada ecuación por una constante (-2) y, por un "multiplicador lagrangiano", o correlacionar (K) y sumarlos todos a la ecuación (14n) sin cambiar el valor de o . Efectuando esta operación resulta: 2 1 11 1 2 2 1 1 2 ( ................. ) m v pv K b v b v b v w o = ¯ ÷ + + + ÷ 2 21 22 2 2 2 2 ( ................ ) v m K b b v b vm w ÷ + + + ÷ ÷ ..........................................................(14 ) o 1 1 2 2 ........ 2 ( ................. ) q q q qm m q k b v b v b v w ÷ + + + ÷ Vamos a minimizar o de una manera tradicional por mínimos cuadrados, tomando la derivada parcial de o con respecto a cada residual y estableciendo el resultado igual a cero: 1 1 1 11 2 21 1 1 2 2 1 12 2 22 2 2 0 2 2 2 ............... 2 0 2 2 2 ............... 2 q q q q p v k b k b k b v p v k b k b k b v o o c = = ÷ ÷ ÷ ÷ c c = = ÷ ÷ ÷ ÷ c . .............................................(14 ) p . . 1 1 2 2 0 2 2 2 ............... 2 m m m m q qm m p v k b k b k b v o c = = ÷ ÷ ÷ ÷ c Dividiendo a través de las (14p) por 2, resolviendo para las v, y lueqo sustituyendo estos valores v en las (l4m), obtenemos: 11 1 1 1 1 11 2 21 12 1 12 12 2 22 1 1 1 2 2 ................ q q b k b b k b b k b b k b b k b p p p p p + + + + + 12 2 1 1 1 2 ............. ........................... q q m m m b k b b k b p p + + + + 1 1 2 2 1 .............. 0 m q qm m m m m b k b b k b w p p + + + = = . . . . 21 1 21 1 11 21 2 21 22 1 12 22 2 22 1 1 1 2 2 .............. q q b k b b k b b k b b k b b k b p p p p p + + + + + 22 2 2 1 1 2 1 2 2 ............................... q q m m m m m m b k b b k b b k b p p p + + + + 2 2 .............. 0 m q qm m b k b w p + + ÷ = . . . . 1 1 11 1 2 21 1 1 2 1 2 2 22 1 1 1 2 2 ............... ............. q q q q q q q q q b k b b k b b k b b k b b k b p p p p p + + + + + + 2 2 1 1 2 2 2 2 ................................ q q q qm m qm m m b k b b k b b k b p p p + + + + .............. 0 qm q qm q m b k b w p + + ÷ = Las ecuaciones (14q) son q en número e implican como incógnitas sólo a los correlativos o valores K, K1, K2…….., Kq. Estas ecuaciones se resuelven para los correlativos, con lo cual esos valores correlativos luego se sustituyen de nuevo en las ecuaciones (l4p) y se calculan los residuales. Teniendo los residuales, que son valores de mínimos cuadrados, podemos aplicarlos a las observaciones originales para calcular las observaciones corregidas. De éstas corregidas, uno puede calcular los valores ajustados para los parámetros desconocido requerido. 14.8.2 Solución por métodos matriciales El procedimiento básico anterior que acabamos de presentar, puede realizarse usando métodos matriciales. Las ventajas obviamente son la conveniencia de expresar las ecuaciones y el procedimiento sistemático computacional que se adaptan idealmente a cómputos mediante computadoras electrónicas. Comenzando otra vez con el sistema de ecuaciones de condición (14í), representamos este sistema en forma matricial como: B (L + V ) = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 14r) De la cual después del desarrollo tenemos: BL + BV = C Y reordenando resulta: BV = C - BL Let BV = W = C – BL. Entonces BV - W = O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14 S) La (14s) es el equivalente matricial de las ecuaciones algebraicas (14m). En el ajuste por mínimos cuadrados, minimizamos el 2 pv ¯ , que en forma matricial es: ' T V PV o = = minimo . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . (14t) 0, : Since BV W then also ÷ = 2 ( ) 0 T k BV W ÷ = En la ecuación matricial (14u) , hemos introducido los correlativos. Ya que la expresión (14u) es igual a cero, podemos restarla de la ecuación (14t) sin cambiar el valor de ' o , o: ' 2 ( ) T T V PV K BV W o = ÷ ÷ . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14v) La expresión (14v) es equivalente a la ecuación algebraica (14o). Para hacer cumplir la minimización en la solución por mínimos cuadrados, tomamos las derivadas parciales de ' o con respecto a cada residual y se establece el resultado igual a cero. Esto se expresa en forma matricial como: . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14w) La expresión (14w) es equivalente a las ecuaciones algebraicas (14p). Dividiendo (14w) por 2, y transponiendo, tenemos: (Nótese que PT = p). P V - T B K = O Ahora resolvemos para V en la expresión anterior y obtenemos: 1 T V P B K ÷ = . . . . . . . . . . . . . . .(14x) Sustituyendo (14x) en (14s) tenemos: 1 0 T B P B K W ÷ ÷ = .. . . . . . . (14y) La ecuación (14y) es equivalente a la expresión algébrica (14q). Resolviendo (14y) para K, los correlativos, resulta: ' 2 2 0 o c = ÷ = c T T V P K B V 1 1 ( ) ÷ ÷ = T K B P B W Sustituyendo esa expresión anterior en (14x), finalmente obtenemos: 1 1 1 ( ) T T V P B BP B W ÷ ÷ ÷ = . . . . . . . . (14z) La ecuación (14z) es la expresión matricial para la solución por mínimos cuadrados de las ecuaciones de condición. Es equivalente a la ecuación (14f). 14.9 Programa de computadora para la solución de ecuaciones de condición Se brinda en el Apéndice E un listado del programa de computadora que resuelve la ecuación de condición matricial (14f). Las matrices B, W y P deben calcularse e ingresarse en la computadora mediante tarjetas perforadas. El programa se entiende para acomodar un problema que tenga hasta 20 ecuaciones de condición involucrando hasta 50 valores observados. Se pueden asignar pesos a la observación, o si se desea una solución no ponderada, se puede dar entrada a la matriz P como una matriz de identidad. También se ofrece en el Apéndice E documentación del programa para su empleo. Tarea autodidictica No. 14 1) Resolver el problema 1 de la tarea autodidáctica No. 8 usando el método de condiciones. 2) Resolver el problema 2 de la tarea autodidáctica No. 8 usando el método de condiciones. 3) Resolver el problema 2 de 1a tarea autodidáctica No. 12 usando el método de condiciones CAPITULO 15 AJUSTE DE POLIGONALES POR CONDICIONES 15.1 Introducción En cualquiera poligonal cerrada completamente levantada, se pueden cumplir en los ajustes las tres siguientes condiciones: 1) cierre de partida o cierre en coordenadas X; 2) cierre de latitud o cierre coordenadas Y; y 3) cierre de acimut/acimutal. Estas condiciones existen sin importar cuantos lados están presentes en la poligonal. La manera de formar esas ecuaciones de condición se da en los artículos siguientes. 15.2 Las condiciones de partida Y latitud La Fig. 15.1 ilustra una línea IJ, y con referencia a la figura se pueden escribir las ecuaciones siguientes: s i n X D o A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15a) c o s Y D o A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15b) Fig. 15.1 En las Í15a) y (15b) X A y Y A son la partida y latitud respectivamente — del curso, D es la longitud o largo de la línea, y o es el acimut medido del curso. Tomando la derivada de la ecuación (15a), un pequeño error de partida d X A debido a un pequeño error acimutal do y al error de distancia D es: X A = D cos o . do + sen o dD . . . . . . . . . .(15c) La sustitución de las ecuaciones (15a) y (15b) en (15c) produce: X d X Yd dD D o A A = A + . . . . . . . . . . . . . . . . . (15d) Tomando ahora la derivada de la (15b), un pequeño error de latitud d Y A debido al pequeño error acimutal do y al error de distancia D es: sin cos d Y D d dD o o o A = ÷ + . . . . . . . . . .(15e) Sustituyendo las (15a) y (15b) en (15e) produce: / d Y Xd Y dD D o A = ÷A + A . . . . . . . . (15f) Considérese a do como un pequeño error residual a v en el acimut de cualquiera línea de poligonal, y considérese D como un pequeño error residual s v en la medición de distancia de cualquiera linea poligonal. Las ecuaciones (15d) y (15f) pueden expresarse con estas sustituciones como: a s X d X Yv v D A A = A + . . . . . . . . . . . . . . (15g) a s X d Y Xv v D A A = ÷A + . . . . . . . . . . . . . (15h) Ahora considérese la poligonal cerrada de la Fig. 15.2, en donde los puntos 1 y 5 son puntos de control. El error al v en el primer acimut se propaga a través de toda la figura, de ahí que para al v el Y A que contribuye al error d X A de la ecuación (15g) es 5 ( ) l l Y Y ÷ y el X A que contribuye al error d Y A en la ecuación (15h) es 5 ( ) l l X X ÷ . En lo antedicho, el 5 5 l l X y Y son coordenadas preliminares del punto 5; es decir, son coordenadas calculadas usando acimuts y longitudes no ajustados. Semejantemente para el error acimutal en Ta estación 2, 2 a v , el Y A que contribuye al error d X A de la ecuación (15g) es 5 2 ( ) l l Y Y ÷ , y el X A que contribuye al error d Y A en la ecuación (15h) es 5 2 ( ) l l X X ÷ Referente a estos residuales de distancia s v , los residuales individuales de distancia no se propagan a través de la poligonal. Mas bien, sólo los X y Y A A individuales de cada línea contribuyen a sus errores d X A y d Y A . Por esto el X A para l s v , en 1a ecuación (15g) es 2 ( ) l l X X ÷ y el Y A para l s v , en la ecuación (15h) es 2 ( ) l l Y Y ÷ También el X A para 2 s v en (15g) es 3 2 ( ) l l X X ÷ , el Y A en (15h) es 3 2 ( ) l l Y Y ÷ , etc. Expresando la Suma de todos los d X A para todas las líneas de la Fig. 15.2: Fig 15.2 1 2 3 5 5 5 5 2 5 3 ( ) ( ) ( ) ( ) l l l l l l l a a a X X Y Y v Y Y v Y Y v ÷ = ÷ + ÷ + ÷ 1 2 4 2 1 3 1 5 4 1, 2 2,3 ( ) ( ) ( ) l l l s s l l a X X v X X v Y Y v D D + ÷ ÷ + ÷ + + 3 4 4 3 5 4 3 , 4 4 , 5 ( ) ( ) l l l l s s X X v X X v D D ÷ ÷ + + . . . . . . . . (15i) Simplificando la (15i): . . . . . . . . . (15j) Fig 15.2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ÷ ÷ = = ÷ ÷ = ÷ + ¯ ¯ i i n n j i s l n n n i a i i X X v X X Y Y v Dij 1 2 3 5 5 5 5 2 5 3 ( ) ( ) ( ) ( ) l l l l l l l a a a X X Y Y v Y Y v Y Y v ÷ = ÷ + ÷ + ÷ 1 2 4 2 1 3 1 5 4 1, 2 2,3 ( ) ( ) ( ) l l l s s l l a X X v X X v Y Y v D D + ÷ ÷ + ÷ + + 3 4 4 3 5 4 3 , 4 4 , 5 ( ) ( ) l l l l s s X X v X X v D D ÷ ÷ + + . . . . (15i) Simplificando la (15i): 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) i i n n j i s l n n n i a i i X X v X X Y Y v Dij ÷ ÷ = = ÷ ÷ = ÷ + ¯ ¯ . . . . . . . . . . (15j) Similarmente, la ecuación simplificada para la suma de dAY es: ( n Y - ' n Y ) = ......... .......... ) ( ) ( 1 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 s ij j n i a n n i v a Y Y v X X ÷ + ÷ ¯ ¯ ÷ = ÷ = (15k) En las ecuaciones (15j) y (15k) n representa el número total de estaciones de poligonales comenzando con la estación de control inicial en la cual se mide el ángulo, y terminando con la estación de control final donde se mide un ángulo. Por ende, n también es igual al número total de ángulos medidos en la poligonal. Por ejemplo de la poligonal en la fig. 15.2, n = 5. En estas ecuaciones, el suscrito j = i+1. Todas las coordenadas X y Y son preliminares; vg., se calculan de acimuts y longitudes/largos no ajustados, empezando desde la estación de control inicial. Los valores de D en estas ecuaciones son longitudes medidas. Las unidades de los términos D, X y Y son lineales (usualmente pies o metros), y se aplican las mismas unidades a los residuales de distancia. Se aplican unidades de radianes a los residuales angulares. 15.3 La condición acimutal La condición de cierre acimutal se ilustra en la Fig. 15.3 La condición acimutal o de cierre de ángulo es: ) 15 ...( )......... ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 l v v v v v a a a a a I F + + + + + + + + + + = o o o o o o o En la ecuación ) 15 ( l ª 180 ÷ = j i A o , I o es el acimut de control inicial y F o es el acimut de control final o de cierre. La ) 15 ( l puede simplificarse como sigue: ) 15 ( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 1 1 m v n i ai n i i I F ¯ ¯ = = = ÷ ÷ o o o Los valores w en las ) 15 ( p y ) 15 ( m son ángulos de desviación, y todas las unidades están en radianes. 15.4 Ejemplo del problema del ajuste de poligonales Para ilustrar los principios discutidos en los artículos precedentes. La muy sencilla poligonal presentada en el Art. 13.4 la cual se ajustó por el método de la ecuación de observación, será ahora ajustada por el método de la ecuación de condición. Como abajo se indica, las soluciones tabulares son muy útiles para formar las ecuaciones de condición. 15.4.1 Condición acimutal Por la ecuación ) 15 ( m , la ecuación de condición acimutal es: ¯ = + + + = ÷ = n i a a a I F n v v v 1 3 2 1 1 ) 15 ....( .......... .......... .......... .......... .......... .......... o o o El lado izquierdo de la ) 15 ( m es el cierre de acimut que se calcula como sigue: (véase a continuación la solución tabular) ' 01 º 0 ' 01 º 90 ' 00 º 0 ' 00 º 90 1 ÷ ÷ ÷ = w Convirtiendo a radianes: 000291 . 0 3438 01 1 ÷ = ÷ = w rad. Estación Ángulos observados (A) Ángulos de desviación (W) Acimuts preliminares E 0º00’ A 240º00’ 60º00’ 60º00’ B 150º00’ 30º00’ 30º00’ C 240º01’ 60º01’ 90º01’ D ¯ = ' 01 º 90 i o Solución tabular para calcular el cierre acimutal 15.4.2 Condiciones de partida y latitud Por la ecuación ) 15 ( j , la ecuación de condición de partida es: ) 15 ......( .......... ) ' ' ( ) ' ( ) ' ' ( ) ' ( ) ' ( 2 1 2 1 o v D X X v D X X v Y Y v Y Y X X s bc b c s ab a b a b c a a c c c ÷ + ÷ + ÷ + ÷ = ÷ También por la ) 15 ( k , la ecuación de condición de latitud es: ) 15 ........( .......... ) ' ' ( ) ' ( ) ' ' ( ) ' ( ) ' ( 2 1 2 1 p v D Y Y v D Y Y v X X v X X Y Y s bc b c s ab a b a b c a a c c c ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ Es de utilidad una solución tabular para calcular los coeficientes y cierres para las ) 15 ( o y ) 15 ( p , a saber: Estació n Acimut prelimina r Distancia medida Partida Latitud Coordena das X Coordena da Y A 1000.000 1000.000 60º00’ 200.00 173.205 100.00 B 1173.205 1100.000 30º00’ 100.00 50.000 86.603 C 1223.205 1186.603 De la tabla anterior, los coeficientes de los residuales en la ecuación de partida son: 500 . 0 000 . 100 000 . 50 ' ' 866 . 0 00 . 200 205 . 173 ' 603 . 86 ' ' 603 . 186 ' = = ÷ = = ÷ = ÷ = ÷ bc b c ab a b b c a c D X X D X X Y Y Y Y También el término constante o el cierre en las partidas son: . 205 . 0 205 . 1223 000 . 1223 ' 2 ft X X w c c ÷ = ÷ = ÷ = Similarmente, los coeficientes de los residuales y es término constante o de cierre para la ecuación de condición de latitud son: 3 ( ' ) 223.203 ( ' ) 50.000 ' 100.000 0.500 200.000 ' ' 86.603 0.866 100.000 ' 1186.500 1186.603 0.103 . c a c b b a ab c b bc c c X X X X Y Y D Y Y D w Y Y ft ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ = = ÷ = = = ÷ = ÷ = ÷ 15.4.3 Compendio de las matrices De acuerdo con la ecuación básica de condición matricial, BV=W, se aplican las siguientes matrices para este problema de ejemplo: B= V= 3 2 1 3 2 1 s s s a a a v v v v v v W = ÷ ÷ ÷ 103 . 0 205 . 0 000291 . 0 La matriz P o de peso comprende los pesos individuales de las observaciones. Ellos son equivalentes a los inversos de los cuadrados de las desviaciones estándar (o variaciones) de los valores observados, de acuerdo con la ecuación (6 g). Se dieron las desviaciones estándar para esas observaciones en el Art.13.4. Recuérdese que las unidades de los valores angulares están en radianes. Considerando que las observaciones no están correlacionadas, los elementos no diagonales son cero, y la matriz P es: P = En la matriz anterior, p (Rho) es el número de segundos por radian o 206,265. Reduciendo esta matriz P a valores numéricos produce: P= 15.4.4 Solución programa computadora Las matrices anteriores se ingresaron a la computadora y se resolvieron usando el programa descrito en el Apéndice E. los resultados se listan en una de las paginas siguientes. Nótese que los primeros tres residuales listados están en unidades de radianes que al convertirse a segundos son -49”, -17” y +6”, respectivamente. Los residuales de distancia son -0.11 y -0.12 ft, respectivamente para las líneas AB y BC. Estos valores concuerdan con aquellos obtenidos por la solución de la ecuación de observación dada en el Art. 13.4. 15.4.5 Cálculo de los valores ajustados El programa de computadora produce residuales que deben aplicarse a las observaciones originales para obtener observaciones ajustadas. Basándose en las observaciones ajustadas, pueden obtenerse los acimuts y coordenadas ajustados, a saber: Observación Valor medido Residual Valor ajustado 1 u 240º00’00” -49” 239º59’11” 2 u 150º00’00” -17” 149º59’43” 3 u 240º01’00” +6” 240º01’06” AB 200.00 -0.11 199.89 BC 100.00 -0.12 99.88 Estación Acimut ajustado Distancia ajustada Partida Latitud Coordenadas ajustadas X Coordenadas ajustadas Y A 1000.00 1000.00 59º59’11” 199.89 173.09 99.99 B 1173.09 1099.99 29º58’54” 99.88 49.91 86.51 C 1186.50 1223.50 Nótese que las coordenadas ajustadas para el punto B concuerdan exactamente con aquellas de la solución de la ecuación de observación, y la poligonal cierra precisamente en el punto de control C. 15.5 Poligonales de polígono cerrado El problema presentado aquí fue una poligonal que comenzó en un punto de control y cerro en otro diferente. Los tipos de poligonales de polígono cerrado, tales como los de la figura 13.1 (a) que se reprodujeron en la Fig. 15.4, no presentan ningún problema especial. Se calculan las coordenadas preliminares para los puntos B’, C’, D’ y A’ usados en las ecuaciones de condición (15j) y (15k) basándose en los ángulos medidos 1 u al 4 u , y en las cuatro distancias medidas. Los cierres de partida y latitud serían a a X X ' ÷ y a a Y Y ' ÷ , respectivamente. La ecuación de condición angular sería: ¯ ¯ = = = ± s i n i ai i q v 1 1 ) 15 ........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... º 180 o Donde º 180 ÷ = i e o Fig. 15-4 Ejemplo de poligonal de polígono cerrado POLIGONAL DE LA FIG. 13-2, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF MATRIZ B 1.0000000 1.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 186.60300 86.603000 0.0000000 0.8660000 0.5000000 0.0000000 -223.2050 -50.00000 0.0000000 0.5000000 0.8660000 0.0000000 MATRIZ W [-0.0002910 -0.2050000 -0.1030000] MATRIZ P 7300000.00 47300000.00 47300000.00 400.000000 156.0000000 0.000000000 RESIDUALES ¦ ) ¦ ` ¹ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ ÷ 0000275 . 0 0000834 . 0 0002350 . 0 Radianes ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ÷ ÷ 1225815 . 0 1069571 . 0 Pies Tarea autodidáctica No. 15 1) Usando el método de condiciones de mínimos cuadrados, calcular los residuales y las coordenadas ajustadas de las estaciones B y C en la poligonal de la tarea autodidacta No. 13. (Nota: elimínese el ángulo BAC=45º12’15”, y agréguese el ángulo CAX=251º13’15”). 2) Para la poligonal cerrada de la figura a continuación, se aplican los datos dados. Calcular los residuales y las coordenadas ajustadas de las estaciones A, B y C usando el método de condiciones de mínimos cuadrados. Observaciones Angulo Valor Curso Longitud PQA 85º17’ QA 453.85 QAB 267º11’ AB 621.20 ABC 94º34’ BC 598.35 BCR 179º30’ CR 671.91 CRS 308º03’ Acimuts fijos: PQ = 150º05’ RS = 184º43’ Coordenadas fijas: 000 . 10 000 . 10 = = q q Y X 84 , 458 . 10 99 , 813 . 11 = = r r Y X Desviaciones estándar: Ángulos medidos = " 60 ± Distancias medidas = pies 20 . 0 ± CAPITULO 16 TRANSFORMACION CONFORME DE COORDENADAS BIDIMENSIONALES 16.1 Introducción Se usa tal transformación para transformar las coordenadas de puntos de un sistema de coordenadas planas a otro sistema paralelo de coordenadas planas. La característica de una transformación conforme es que mantiene una forma cierta/verdadera entre las posiciones relativas de los puntos transformados. Una típica situación en agrimensura donde se utiliza dicha transformación, es la de colocar dos levantamientos separados (efectuados en distintos sistemas de coordenadas) en uno de los sistemas. Las transformaciones conformes de coordenadas bidimensionales involucran un proceso de tres pasos: (1) hacer el cambio utilizando una constante (desmultiplicar), para crear iguales tamaños de los dos sistemas de coordenadas; (2) rotación, para hacer paralelos los ejes de referencia de los dos sistemas; y (3) traslación, a fin de crear un origen común para los dos sistemas de coordenadas. Para efectuar dicha transformación, es necesario tener un mínimo de 2 puntos comúnmente llamados “puntos de control”, cuyas coordenadas son conocidas en ambos sistemas. No obstante, es deseable tener más de dos puntos de control. 16.2 desarrollo de las ecuaciones Las Figs. 16.1 y 16.2 ilustran a dos sistemas de coordenadas independientes con tres puntos de control: A, B y C, se requieren transformar los puntos adicionales 1, 2, 3,…….., n del sistema x-y al sistema X-Y. las ecuaciones necesarias se deducen como sigue: Paso 1 – Desmultiplicación. Para hacer las longitudes de líneas según definidas por las coordenadas x-y, iguales a sus longitudes según definidas por las coordenadas X-Y, es necesario multiplicar las coordenadas x-y por un factor de escala s. las coordenadas desmultiplicadas x’ y y’ pueden, por tanto, definirse como: Paso 2 – Rotación En la Fig. 16.3, El sistema de coordenadas X-Y ha sido superpuesto en el sistema desmultiplicado x’-y’. El ángulo u entre los ejes Y y y’ es el llamado “ángulo de rotación”. Para efectuar la rotación, es necesario construir un sistema de eje X’-Y’, que sea paralelo al sistema X-Y, pero que tenga su origen en le origen del sistema del eje x’-y’. Las expresiones que dan las coordenadas giradas X’-Y’ de cualquier punto (vg., punto 4 de la Fig. 16.3), en términos de las coordenadas x’-y’ y u , son: ) 16 ......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... cos ' ' ' ' cos ' ' 4 4 b y sen x Y sen y x X u u u u + = ÷ = x’ = sx y’ = sy………………………………………………………………………. (16a) Fig. 16.3 Paso 3 – Traslación Para llegar finalmente a las coordenadas X y Y de cualquier punto, es necesario trasladar desde el origen del sistema X’-Y’ hasta el origen del sistema X-Y. Haciendo referencia a la Fig. 16.3, se indica que esta traslación para cualquier punto (vg., punto 4), se logra sumando factores de traslación como sigue: ) 16 .......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ' ' 4 4 c T Y Y T X X Y X + = + = Combinando las ecuaciones (16a), (16b) y (16c): ) 16 .( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... cos cos 4 4 d T sy sxsen Y T sysen sx X Y X + + = + ÷ = u u u u Permitir que c T b ssen a s x = = ÷ = , , cos u u y d T Y = . Luego reescribiendo la ecuación (16d), y añadiendo residuales para hacer compatibles las ecuaciones redundantes, resultan las siguientes ecuaciones de observación: ) 16 ...( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... e v Y d bx ay v X c by ax Y X + = + ÷ + = + + 16.3 Aplicación de los mínimos cuadrados Las ecuaciones anteriores representan las ecuaciones básicas de observación para efectuar una transformación conforme de coordenadas bidimensionales. Las ecuaciones contienen cuatro incógnitas: a, b, c y d. estas cuatro incógnitas se conocen como los coeficientes de transformación. Se pueden escribir dos ecuaciones de esta forma para cada punto de control; de ahí que dos puntos de control dan cuatro ecuaciones y una solución única en su género. Resulta un sistema de ecuaciones redundantes de observación al usar más de dos puntos de control. Como ejemplo, considérense las ecuaciones, que resultarían al realizar una transformación conforme para la situación ilustrada en las Figs. 16.1 y 16.2. Hay tres puntos de control A, B y C; por tanto, pueden escribirse las seis ecuaciones siguientes: c by ax a a + + = XA A v X + a a ay bx + ÷ +d = YA A v Y + Yc c c c Xc c c c YB B b b XB B b b v Y d ay bx v X c by ax v Y d ay bx v X c by ax + = + + ÷ + = + + + = + + ÷ + = + + …………………………………………….. (16f) Las ecuaciones anteriores pueden expresarse en forma matricial como: ) 16 .....( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 1 6 1 6 1 4 4 6 g V L X A x x x x + = Donde: A = Puede resolverse el sistema anterior de ecuaciones redundantes usando la ecuación de mínimos cuadrados (9c), en cuyo caso se obtienen los valores más probables para los cuatro coeficientes de transformación. Habiendo obtenido tales coeficientes, las coordenadas X-Y de todos los puntos adicionales (cuyas a b c d X = A A B B C C X Y X Y X Y L = XA YA XB YB XC YC V V V V V V V = coordenadas sólo se conocían en el sistema x-y) pueden obtenerse resolviendo ecuaciones en la forma de (16f) para cada punto, aunque en esta solución se abandona el residual. Se puede usar la solución de mínimos cuadrados ponderados si difieren las veracidades de las coordenadas. 16.4 Programa de computadora y ejemplo numérico Se ofrece en el Apéndice F un programa de computadora que resuelve el problema de la transformación conforme. Este programa acomodará hasta diez puntos de control (puntos cuyas coordenadas se conocen en ambos sistemas), permitiendo la transformación de hasta 50 puntos. Con este programa, sólo es necesario ingresar el número de puntos y sus coordenadas. El programa dirige la computadora a formular matrices A y L. El programa supone pesos iguales en todas las coordenadas medidas, lo que es el caso usual. Para demostrar el uso del programa, se resolvió el siguiente ejemplo: Ejemplo Un levantamiento efectuado en un sistema arbitrario de coordenadas X-Y produjo coordenadas para los puntos A, B y C, y del 1 al 5. Los puntos A, B y C son puntos de control cuyas coordenadas planas estatales (rotuladas E y N) se conocen. Se requieren determinar las coordenadas N-E de los puntos 1 al 5. A continuación una tabulación de las coordenadas arbitrarias X-Y y de las N-E para esos puntos: Punto E N X Y A 1,049,422.40 51,089.20 121.622 -128.066 B 1,049,413.95 49,659.30 141.228 187.718 C 1,049,244.95 49,884.95 175.802 135.728 1 174.148 -120.262 2 513.520 -192.130 3 754.444 -67.706 4 972.788 120.994 5 1068.118 161.624 Este problema se resolvió usando el programa de computadora del Apéndice F, que también documenta la forma como se ingresan los datos de entrada en la computadora. La salida impresa para la solución se da en la página siguiente, y es auto explicativo e incluye los datos de entrada, las coordenadas de los puntos transformados y los coeficientes de transformación. EJEMPLO DEL PROBLEMA COMPUTOS PARA EL AJUSTE DE WOLF PUNTOS DE CONTROL PUNTO ABCISA ORDENADA A 1049422.400 51089.200 B 1049413.950 49659.300 C 1049244.950 49884.950 COORDENADAS MEDIDAS PUNTO X Y A 121.622 -124.066 B 141.224 187.714 C 175.802 135.724 1 174.144 -120.262 2 513.520 -192.130 3 754.444 -67.706 4 972.788 120.994 5 1064.118 161.624 COORDENADAS TRANSFORMADAS TERRESTRES DE LOS PUNTOS PUNTO ABCISA ORDENADA A 1049422.404 51089.171 B 1049414.051 49659.223 C 1049244.845 49885.056 1 1049187.361 51040.629 2 1047637.713 51278.829 3 1046582.113 50656.241 4 1045644.713 49749.336 5 1045224.845 49541.807 ECUACIONES DE TRANSFORMACION ) ( 3 ) ( 2 1 YMEDIDA XMEDIDA TIERRA A A A X ÷ + = ) ( 2 ) ( 3 4 YMEDIDA XMEDIDA TIERRA A A A Y + + = Donde 13 . 50542 , 25371 . 0 , 51249 . 4 , 71 . 1050003 4 3 2 1 = = ÷ = = A A A A Tarea autodidacta No. 16 1) Se conocen las coordenadas de los puntos A, B y C en el sistema X-Y y en el sistema x-y. Sólo se conocen las coordenadas de los puntos D, E, F y G en el sistema x-y. Estas coordenadas se muestran en la tabla a continuación. Usando una transformación conforme de coordenadas bidimensionales, y el método de mínimos cuadrados, calcúlense las coordenadas de D, E, F y G en el sistema X-Y. Punto X Y x y A 3000.00 2000.00 1767.77 1060.66 B 1000.00 3000.00 707.11 707.11 C 3000.00 4000.00 1060.66 1767.77 D 1414.21 1414.21 E 353.52 1060.66 F 1414.21 -353.52 G 353.52 -353.52 2) Para el problema 16.1, ¿cuáles son los valores de: (a) el ángulo de rotación, (b) el factor de escala, (c) la traslación en X, y (d) la traslación en Y? CAPITULO 17 ELIPSES DE ERRORES 17.1 Introducción Como se demostró en el capitulo 10, después de realizar los ajustes por mínimos cuadrados para obtener las posiciones más probables de los puntos en un sistema de coordenadas de referencia X-Y, las desviaciones posicionales estándar i SX y i SY para el punto i en las direcciones X y Y pueden calcularse fácilmente de los elementos de la matriz de covariación. Esas desviaciones estándar proporcionan estimaciones de errores en las direcciones de los ejes de referencia que tienen un 68 por ciento de probabilidad. En forma gráfica, representan las medias dimensiones de un rectángulo de error estándar alrededor de cada punto. En una más rigurosa teoría del error, el rectángulo de error estándar se reemplaza por una elipse de error estándar cuyos arcos son tangentes a los lados del rectángulo de error. (Véase la Fig. 17.1) La orientación de la elipse depende del ángulo t que establece las direcciones de los ejes ortogonales auxiliares U-V a lo largo de los cuales yacen los ejes de la elipse. Hay un número infinito de diferentes formas de orientación de la elipse. Sin embargo, en agrimensura normalmente nos interesa el sistema de ejes U-V que produce valores máximos y mínimos para los ejes semimayores y semimenores de la elipse, respectivamente. De los elementos de la matriz de covariación determinados el valor de t que orienta la elipse a proporcionar los semiejes máximos y mínimos, además de calculas los valores numéricos para esos semiejes. Conforme a ala teoría del error, dependiendo del número de grados de libertad en el problema del ajuste hay aproximadamente un 35 por ciento de probabilidad que el punto ajustado yazca dentro de la elipse de error estándar. Esta elipse de error estándar puede modificarse en dimensiones mediante el uso de valores estadísticos “F” para representar una probabilidad de error de cualquier por ciento seleccionado. Con frecuencia los agrimensores seleccionan la probabilidad del 95%, puesto que esto permite un alto nivel de confianza. Los procedimientos para calcular el ángulo t y los ejes semimayores y semimenores se presentan en la sección 17.2, dándose ejemplos en la 17.3. 17.2 Computo de orientación y semiejes de la elipse El procedimiento a fin de calcular el ángulo de orientación t de la elipse que produce semiejes máximos y mínimos, primero involucra la escritura de ecuaciones de transformación conforme bidimensional para transformar cualquier punto I del sistema del eje de ajuste X-Y al sistema de coordenadas ortogonales U-V (véase la Fig. 17.2); luego diferenciando estas ecuaciones con respecto a t, estableciendo el resultado igual a cero y resolviendo para t. esto se demuestra en los pasos siguientes: A. Cualquier punto I en el sistema UV puede representarse con respecto a sus coordenadas X-Y como: ) 17 .( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... cos cos a t X sent Y V sent X t Y U i i i i i i + ÷ = + = En forma matricial las ecuaciones anteriores son: ÷ = sent t V U i i cos t sent cos i i X Y …………………………………………………….. (17b) O en una notación simplificada: Z = NX…………………………………………………………………………... (17c) B. supóngase que como resultado del problema del ajuste en el cual aparece I, hemos desarrollado una matriz de covariación XX Q para el sistema X-Y. Ahora el problema es desarrollar de la matriz XX Q una nueva matriz de covariación ZZ Q para el sistema del eje UV. C Sustituir las identidades trigonométricas dentro del elemento UU Q de (17f) y reducir: t sen Q t sen t Q t sen t Q Q Q Q tQ sen t Q t sen Q t sen Q t Q t t sen Q Q Q Q t sen tQ sen tQ Q tQ sen tsentQ tQ Q XX XX YY YY XX UU XY XX YY XX YY YY XX UU XY XX YY UU XX XY YY UU 2 ) (cos 2 ) (cos 2 2 2 2 cos 2 2 2 cos ) cos ( 2 2 2 2 cos cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + ÷ ÷ ÷ + + = + ÷ ÷ + + + + = + + = + + = Finalmente, ) 17 .( .......... .......... .......... .......... .......... 2 2 cos 2 2 g t sen Q t Q Q Q Q Q XY XX YY YY XX UU + ÷ + + = D. Con una manipulación similar, todos los elementos de la matriz ZZ Q pueden representarse como: ecuación (17h) + ÷ + ÷ + + t Q t sen Q Q t sen Q t Q Q Q Q XY YY XX XY XX YY XX YY 2 cos 2 2 2 2 cos 2 2 ÷ ÷ ÷ + + ÷ t sen Q t Q Q Q Q t Q t sen Q Q XY XX YY XX YY XY YY XX 2 2 cos 2 2 2 cos 2 2 Para determinar el valor de “t” que maximizará (o minimizará) UU Q . Diferenciamos UU Q con respecto a 2t y se establece la función resultante igual a cero: t Q t sen Q Q t d Q d XY XX YY UU 2 cos ) 2 ( ) 2 )( 2 ( 2 0 2 ) ( + ÷ ÷ = = Reduciendo: ) 17 .........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 2 tan 2 2 cos 2 2 cos 2 2 ) ( i t Q Q Q t t sen t Q t sen Q Q XX yy XY XY XX YY = ÷ = = ÷ De ( ) 17i hallamos el valor 2t y de ahí t. también lo posicionamos en el cuadrante apropiado reconociendo que el numerador es seno 2t y el denominador coseno 2t. La siguiente tabla ayuda a seleccionar el cuadrante correcto: Signo algebraico de Seno 2t Coseno 2t Cuadrante + + 1 + - 2 - - 3 - + 4 E. Para facilitar el cálculo de UU Q se desarrolla la siguiente ecuación: Permita que t Q Q K XX YY 2 cos ÷ = Luego: ) 17 ...( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 2 cos j K Q Q t XX YY ÷ = Y de la ecuación ( ) 17i : ) 17 ...( .......... .......... .......... .......... .......... 2 2 k K Q t sen XY = Elevando al cuadrado ( ) 17 j y ( k 17 ) y tomando sus sumas: 2 2 2 2 ) 2 ( ) ( 2 2 cos k Q K Q Q t sen t XY XX YY + ÷ = + Por identidad trigonométrica el lado izquierdo de la ecuación anterior es 1, por tanto: 2 2 2 ) 2 ( ) ( 1 K Q Q Q XY XX YY + ÷ = Resolviendo para K: | | ) 17 ......( .......... .......... .......... .......... .......... ) 2 ( ) ( 2 / 1 2 2 l Q Q Q K XY XX YY + ÷ = Sustituyendo ( ) 17 j y ( ) 17k en el elemento UU Q de ( ) 17h : ) 17 ...( .......... )......... )( 2 ( ) )( 2 ( 2 m K Q Q K Q Q Q Q Q Q Q XY XY XX YY XX YY XX YY UU + ÷ ÷ + + = Reduciendo: | 2 1 2 ) ( 2 2 ) ( 1 2 2 2 2 K K Q Q Q Q Q Q K Q Q Q XX YY UU XY XX YY XX YY UU + + = + ÷ + + = Finalmente: ) 17 .( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... )......... ( 2 1 n k Q Q Q XX YY UU + + = La ecuación ( ) 17n permite el cálculo fácil de un valor numérico, que al multiplicarlo por 2 0 s , da la variación a lo largo del eje U. La raíz cuadrada de la variación es el eje semimayor para la elipse de error estándar. F. Ahora hallamos el valor de VV Q diferenciando VV Q de la ecuación (17h) y estableciendo la función resultante igual a cero: ) 2 ( 2 cos ) 2 )( 2 )( 2 ( 0 2 ) ( t Q t sen Q Q t d Q d XY xx YY VV ÷ ÷ ÷ ÷ = = Reduciendo: ) 17 .........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 2 tan ) ( 2 2 cos 2 2 cos 2 2 ) ( o t Q Q Q t t sen t Q t sen Q Q XX YY XY XY XX YY = ÷ = = ÷ G. De previas consideraciones: ) 17 .......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... )......... ( 2 cos 2 cos ) ( p K Q Q t t Q Q K XX YY XX YY ÷ = ÷ = Sustituyendo también en (17o) ) 17 ......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 2 2 q K Q t sen XY = Elevando al cuadrado (17p) y (17q) y sumando: | | 2 / 1 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 4 ) ( ) ( 4 ) ( 2 2 cos XY XX YY XY XX YY Q Q Q K K Q Q Q t sen t + ÷ = + ÷ = + Sustituyendo (17p) y (17q) en VV Q de la (17h): K Q Q K Q Q Q Q Q Q Q XY XY XX YY XX YY XX YY VV ) 2 ( ) )( 2 ( 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + = Reduciendo: 2 1 2 ) ( 2 2 ) ( 1 2 2 2 2 K K Q Q Q Q Q Q K Q Q Q XX YY VV XY XX YY XX YY VV ÷ + = + ÷ ÷ + = Finalmente: ) 17 ....( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... )......... ( 2 1 r K Q Q Q XX YY VV ÷ + = La ecuación (17r) produce un valor numérico de VV Q que cuando se multiplica por 2 s da la variación a lo largo del eje V. La raíz cuadrada de esta variación es el semieje menor de la elipse. H. Resumiendo, los procedimientos a fin de calcular el ángulo t y los valores numéricos para los semiejes mayores y menores de la elipse son: (1) De la matriz de covariación (1) t t sen Q Q Q t XX YY XY 2 cos 2 2 2 tan = ÷ = (2) ) ( 2 1 K Q Q Q XX YY UU + + = (3) ) ( 2 1 K Q Q Q XX YY VV ÷ + = Donde: | | 2 / 1 2 2 ) ( 4 ) ( XY XX YY Q Q Q K + ÷ = La ecuación (1) da el ángulo t, que el eje U hace con el eje Y. La ecuación (2) da el valor numérico para UU Q que al multiplicarse por 2 s , da la variación a lo largo del eje U. La raíz cuadrada de la variación es el semieje mayor para la elipse de error estándar. La ecuación (3) da el valor numérico para VV Q que al multiplicarse por 2 s da la variación a lo largo del eje V. la raíz cuadrada de esta variación da el semieje menor de la elipse de error estándar. Nótese que no es menester buscar las funciones trigonométricas, excepto para 2t del valor numérico obtenido en la ecuación (1). 17.3 Ejemplo del problema de los cálculos de la elipse de error estándar 17.3.1 Calcular las elipses de error para el problema de trilateración en el Artículo 11.9 A. Croquis del problema. B. Del listado de computadora se obtiene lo siguiente: 1) pies s 020 . 0 0 ± = 2) Las matrices de covariación ) ( XX Q y X son: = XX Q X = 2 3 2 3 dX dX dY dY C. La elipse de error para la estación Wls. (No. 2): 1) ' 50 º 146 ; ' 40 º 293 2 ; 333 . 2 199 . 1 634 . 2 ) 66 . 1 ( 2 2 tan = = ÷ = ÷ ÷ = t t t 2) | | | | 617 . 3 08 . 13 022 . 11 059 . 2 ) 66 . 1 ( 4 ) 199 . 1 634 . 2 ( 2 / 1 2 / 1 2 2 = = + = ÷ + ÷ = K K 3) . 039 . 0 2 617 . 3 199 . 1 634 . 2 020 . 0 0 ft Q S S UU U ± = + + ± = = 4) . 007 . 0 2 617 . 3 199 . 1 634 . 2 020 . 0 0 ft Q S S VV V ± = ÷ + ± = = 5) . 022 . 0 199 . 1 020 . 0 ft S X ± = ± = 6) . 033 . 0 29364 020 . 0 ft S Y ± = ± = D. La elipse de error para la estación Campus (No. 3): 1) ' 34 º 7 ; ' 08 º 15 2 ; 270 . 0 583 . 0 962 . 3 ) 460 . 0 ( 2 2 tan = = ÷ = ÷ = t t t 2) | | 502 . 3 26 . 12 ) 460 . 0 ( 4 ) 583 . 0 962 . 3 ( 2 / 1 2 2 = = + ÷ = K 3) . 040 . 0 2 502 . 3 583 . 0 962 . 3 020 . 0 ft S U ± = + + ± = 4) . 014 . 0 2 502 . 3 583 . 0 962 . 3 020 . 0 ft S V ± = ÷ + ± = 5) . 015 . 0 583 . 0 020 . 0 ft S X ± = ± = 6) . 040 . 0 962 . 3 020 . 0 ft S Y ± = ± = E. Dibujando la elipse de error estándar. La Fig. 17.3 muestra la figura para el ejemplo de trilateración de Art. 11.9, dibujada a una escala de 1200 pies por pulgada. A fin de dibujar las elipses de error para los puntos 2 y 3, primero se construye el rectángulo de error delineando los valores de X S y Y S hacia alguna escala conveniente de elipse a lo largo de los ejes de ajuste X y Y, respectivamente. Para este ejemplo, se seleccionó una escala de elipse de 1” igual a 0.5pies. Luego se delinea el ángulo “t” al dextrorso del eje Y positivo para construir los ejes U y V. Después se trazan los valores de U S y V S a la escala de la elipse a lo largo de los ejes U y V respectivamente. La elipse se dibuja de manera tal que U S es el semieje mayor. V S Es el semieje menor y la elipse es tangente al rectángulo de error. Escala de Fig.:1”=1200pies Escala de elipse: 1”=0.5 pies Fig. 17.3 Elipses de error estándar para el cuadrilátero trilaterado del Art. 11.9 17.3.2 Calcular la elipse de error estándar para el punto B del problema de la poligonal del Art. 13.4 A. Para el ajuste, pies S 76 . 1 0 ± = , y las matrices X y Q son: X = dY dX | | = YY XY XY XX B Q Q Q Q Q = 000872 . 0 000622 . 0 000622 . 0 000553 . 0 B. Cálculos para la elipse de error: 1) º 8 . 37 º 6 . 75 2 00553 . 0 000872 . 0 ) 000622 . 0 ( 2 2 tan = = ÷ = t t t Al dextrorso del eje Y 2) K =| | 001284 . 0 ) 000622 . 0 ( 4 ) 000553 . 0 000872 . 0 ( 2 / 1 2 2 = + ÷ K 3) . 064 . 0 2 001284 . 0 000553 . 0 000872 . 0 76 . 1 ft S U ± = + + ± = 4) . 015 . 0 2 001284 . 0 000553 . 0 000872 . 0 76 . 1 ft S V ± = + + ± = 5) . 41 . 0 000553 . 0 76 . 1 ft S X ± = ± = 6) . 052 . 0 000872 . 0 76 . 1 ft S Y ± = ± = C. La Fig. 17.4 da la elipse trazada de error estándar Fig. 17.4 Elipse de error estándar para el ejemplo de poligonal Art 13.4 17.4 La elipse de error de 95 por ciento Los cálculos del Art. 17.3 producen la “elipse de error estándar”. Tales elipses pueden modificarse para producir elipses de error (EE) de cualquier intervalo de confianza o por ciento de probabilidad, por ejemplo de 50%, del 90%, del 95% o del 99%. En agrimensura la EE del 95% es la mayormente usada se usa la estadística “F” a fin de modificar las EE estándar para obtener elipses de otras probabilidades. La estadística “F” da razones/relaciones de variaciones para variados grados de libertad, puesto que al aumentar los grados de libertad, se espera que también aumente la precisión. Los modificadores de la estadística “F” para las EE del 95% de confianza son: Grados de libertad Estadística F 1 200 2 19.0 3 9.55 4 6.94 5 5.79 10 4.10 15 3.68 20 3.49 25 3.39 30 3.19 Para calcular el 95% de los ejes semimayores y semimenores de la elipse, se usan las ecuaciones siguientes: ) 2 ( ) 2 ( . 95 . 95 F S S F S S VStd V UStd U = = ……………………………………………………. (17s) ) 2 ( ) 2 ( . 95 . 95 F S S F S S YStd Y XStd X = = En las ecuaciones (17s), los valores de “F” se toman de la tabla anterior de acuerdo con el número de grados de libertad en el ajuste particular. 17.5 Ejemplo del problema del cálculo de la elipse de error (EE) de 95% La EE del 95% para el punto 2 del ejemplo de trilateración del Art. 11.9 se calcula usando las (17s) como sigue: 95 95 95 95 0.039 2(200) 0.780 . 0.007 2(200) 0.140 . 0.022 2(200) 0.440 0.033 2(200) 0.660 . U V X Y S ft S ft S ft S ft = ± = ± = ± = ± = ± = ± = ± = ± 17.6 Ventajas de las elipses de errores (EE) Además de proporcionar la información crítica referente a la precisión de cada punto, una ventaja principal de las EE es que ofrecen medios excelentes para hacer comparaciones visuales de las precisiones de puntos. Comparando formas, tamaños, y orientaciones de las EE de cinto por ciento de probabilidad o nivel de confianza, se pueden comparar rápida y significativamente varios levantamientos. 17.7 Diseño de redes de levantamientos El tamaño, forma y orientación de las EE de la estación sólo dependen de las precisiones de las distintas observaciones y del carácter geométrico de la red. Por ende, es posible estimar por adelantado durante un levantamiento las precisiones a priori de las observaciones de una red propuesta. Usando datos observacionales simulados, se puede efectuar un ajuste por mínimos cuadrados para el levantamiento propuesto y trazar la EE de estación. La geometría de la red puede variarse en configuraciones diferentes, realizar ajustes por mínimos cuadrados en esas configuraciones y trazar EE para cada una de las variaciones. Además de una geometría variada también se tienen distintas precisiones a priori de acuerdo con las precisiones que serian posibles con el equipo de agrimensura disponible. Por experimentación, es posible seleccionar la óptima combinación de la red y el equipo necesario a fin de lograr la mayor precisión en cualquier levantamiento. Lo anteriormente dicho se conoce como el “diseño de la red”. Su valor potencial estriba en que capacita al agrimensor a seleccionar la red que proporcionaría la más alta proporción en el gabinete antes de marchar al campo. Aún que el método parece ser viable en teoría, otros factores dominantes tales como accesibilidad de la estación, terreno, vegetación, etc., a menudo impiden en realidad el uso del diseño de la red óptima. No obstante, existe la posibilidad de algún diseño de la red incluso con ciertas restricciones. Las Fig. 17.5 y 17.6 muestran las EE para dos redes diferentes. La Fig. 17.5 ilustra las EE de un levantamiento por trilateración de una red compuesta por 9 estaciones. El levantamiento incluye 19 observaciones de distancia y 5 grados de libertad. La Fig. 17.6 muestra las EE de la misma red, más el levantamiento es por triangulación y se compone de una línea base desde la estación Red hasta Bug, involucrando 19 ángulos observados. Respecto a esas dos Fig., y teniendo en cuenta que mientras más pequeña sea la elipse más alta será la precisión, se hacen las siguientes observaciones generales: 1. Las estaciones Sand y Birch en ambas figuras tienen las precisiones más altas. Claro está que esto se esperaba, debido a su proximidad a la estación de control Bug y por la densidad de observaciones hechas a esas estaciones. 2. El gran tamaño de las EE en las estaciones White, Baever, Bunker y Bee de la Fig. 17.6 indica que estas estaciones tienen precisiones más bajas. 3. Las estaciones White y Schutt (Fig. 17.5) tienen precisiones relativamente altas de este a oeste y precisiones relativamente bajas de norte-sur. El examen de la red indica que esto era de esperar. 4. Las estaciones Beaver y Bunker (Fig. 17.5) y White (Fig. 17.6) tienen una precisión relativamente baja este-oeste. Una vez más el examen de de las redes indican que esto se esperaba. 5. La estación Bunker (Fig. 17.69) tiene una precisión uniforme total en todas las direcciones según se ilustra por la casi forma circular de sus EE. 6. Las EE generalmente más pequeñas en la Fig. 17.5 indican que el levantamiento por trilateración espera producir precisiones superiores al levantamiento por triangulación de la Fig. 17.6. Estos ejemplos sirven para ilustrar algunos de los valores de las EE de estación. Tales observaciones se hicieron fácil y rápidamente mediante una comparación de las EE. Esa misma información hubiera sido difícil, sino imposible, de averiguar sólo con las desviaciones estándar en las direcciones X y Y. Variando el levantamiento, sería posible el encontrar finalmente un diseño que proporcionará óptimos resultados en términos de llenar los requisitos de una precisión uniformemente aceptable con la mayor economía posible. Fig. 17.5 Fig. 17.6 Tarea autodidáctica No. 17 1) Calcular los ejes semimenores y semimayores de la EE estándar para la posición ajustada del punto U del ejemplo de la trilateración en el Art. 11.4. Trazar la figura trilaterada usando una escala de 1 pulgada a 1000pies y trazar la EE usando una escala de 1 pulgada a 0.50 pies 2) Calcular los ejes semimenores y semimayores de la EE del 95% de confianza para el problema No. 1. Trazar esta elipse superpuesta sobre la elipse del problema No. 1. 3) Igual que el problema No. 1 excepto el problema de triangulación del Art. 12.4. 4) Igual que el problema No. 2 excepto para el problema de triangulación del Art. 12.4. 5) Igual al problema No. 1 excepto para la posición ajustada del punto C de la red de triangulación del Art. 12.8. usar una escala de 1 pulgada a 2000 pies para la figura, y una escala de 1 pulgada a 1 pie para las EE. CAPITULO 18 ENCAJADO/ACOMODAMIENTO DE CURVAS POR MÍNIMOS CUADRADOS 18.1 Introducción: Con frecuencia en trabajos de ingeniería, es deseable o necesario encajar/acomodar una línea recta o curva en un juego de datos. Los datos nor- malmente se deducen de mediciones o de un experimento. El problema esta en la determinación de la ecuación de la línea o curva que mejor encaje los datos. La decisión de usar una línea recta, parábola u otra curva de orden más alto, generalmente puede tomarse después de trazar los datos y estudiar su forma. Puede evaluarse la fineza del encaje de la línea o curva seleccionada basándose en los residuales después de haber computado la ecuación. 18.2 Encajando una línea recta a los datos Considérense los datos ilustrados en la Fig. 18.1. La línea recta mostrada puede representarse por la ecuación siguiente: y = Mx + B (18a) En la ecuación (18a), x y y es un par de datos, M es e1 declive/ pendiente de la línea (positiva si hacia arriba a 1a derecha), y B es la ordenada en el origen y en x = 0. Todos los valores de y encajarían perfectamente en esta línea para sus correspondientes valores x si sus relaciones funcionales fueran verdaderamente lineales, y si no hubiera ningún error de medición o experimental. Sin embargo, esto sucede rara vez. Mótese que esos datos no encajan muy bien en una línea recta. Por tanto, es posible que la relación funcional no sea lineal y que una curva de orden más alto encajaría mejor los datos. No obstante, puede determinarse la ecuación de1 mejor encaje de la línea recta para los datos, mas para dar cuenta de los elementos mal entallados ilustrados en la figura, se añaden residuales. Se escriben cuatro ecuaciones para los datos de la Fig. 18.1 , a saber: Fig. 18.1 Mxa + B = ya + vya Mxb + B = yb + vyb Mxc + B = yc + vyc Mxd + B = yd + vyd (18b) Las (18b) contienen dos incógnitas, M y B. Este sistema de ecuaciones de observación puede representarse en forma matricial como: A4,2 x2,1 = L4,1 +V4,1 (18c) donde: = 1 1 1 1 d c b a x x x x A = d c b a y y y y L = d c b a vy vy vy vy V La ecuación (18c) se puede resolver por el método de mínimos cuadrados usando la ecuación (9c). Esto minimiza la suma de los cuadrados de los residuales, y produce el mejor encaje de acuerdo con la teoría de la probabilidad. Si algunos datos son más confiables que otros, se pueden introducir pesos relativos y obtenerse una solución de mínimos cuadrados ponderados usando la ecuación (9g). = B M X 18.3 Encajando una parábola a los datos Para ciertos juegos de datos o en situaciones especiales, debe determinarse una parábola del mejor encaje. Un ejemplo seria calcular una curva parabólica vertical del mejor encaje a un firme existente. En tales situaciones se usa la siguiente ecuación general de una parábola: y =Ax2 + Bx + C (18 d) Una vez más, se introducen residuales debido al hecho de que la parábola rarísima vez encajaría perfectamente con los datos. Para los datos mostrados en la Fig. 18.2, se escriben las siguientes ecuaciones de observación: e e e e d d d d c c c c b b b b a a a a v y C BX AX v y C BX AX v y C BX AX v y C BX AX v y C BX AX + = + + + = + + + = + + + = + + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (18e) Las (18e) contienen 3 incógnitas. A, B y C. Este sistema redundante de ecuaciones se representa en forma matricial como: 1 , 5 1 , 5 1 , 3 3 , 5 * * V L x A = (18f) donde: = 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 e e d d c c b b a a x x x x x x x x x x A = e d c b a y y y y y L = e d c b a v v v v v V El sistema de ecuaciones puede resolverse usando la ecuación de minimos cuadrados (9c) , o si se introducen pesos, se usa la (9g). 18.4 Encajando un polínomio a los datos Mediante polinomios de orden más alto, se representan de mejor manera los distintos juegos de datos en ingeniería. . Por ejemplo, las distorsiones radiales del lente en las cámaras fotogramétricas calibradas. La experiencia normalmente dictará la forma del polinomio que ha de usarse. Como ejemplo, se usa la siguiente forma para la distorsión radial del lente: 7 4 5 3 3 2 1 r k r k r k r k D + + + = (18g) En la (18g), D es la distorsión radial en una distancia radial r desde el punto principal , y las K son coeficientes que definen la curva. El procedimiento a fin de determinar los valores K sigue los mismos pasos generales según bosquejados en las dos secciones previas, y como se ilustra en e1 siguiente problema: EJEMPLO: de los datos de calibración de la aerocámara abajo tabulados, computar los coeficientes de un polinomio que se aproxime a la curva de dis- torsión radial del lente, y trazando la curva resultante. Use la ecuación (18g). = C B A X Distancia radial, r (mm) Distorsión radial del lente, D (mm) 0.000 0.000 20.072 0.004 40.855 0.18 63.155 0.047 88.034 0.062 116.995 0.035 152.472 -0.064 SOLUCIÓN: basándose en los datos anteriores, pueden escribirse las 7 siguientes ecuaciones de observación sustituyendo los valores r y D en la ecuación (18g): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 7 3 5 2 3 1 7 4 7 3 5 2 3 1 6 4 7 3 5 2 3 1 5 4 7 3 5 2 3 1 4 4 7 3 5 2 3 1 3 4 7 3 5 2 3 1 2 4 7 3 5 2 3 1 1 472 . 152 472 . 152 472 . 152 472 . 152 064 . 0 995 . 116 995 . 116 995 . 116 995 . 116 035 . 0 034 . 88 034 . 88 034 . 88 034 . 88 062 . 0 155 . 63 155 . 63 155 . 63 155 . 63 047 . 0 885 . 40 885 . 40 885 . 40 885 . 40 018 . 0 072 . 20 072 . 20 072 . 20 072 . 20 004 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 000 . 0 k k k k v k k k k v k k k k v k k k k v k k k k v k k k k v k k k k v + + + = + ÷ + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + Usando la ecuación de mínimos cuadrados (9c) y una computadora electrónica, se resolvieron estas 7 ecuaciones obteniendo los valores a continuación para los 4 coeficientes: 7 2 4 1 10 94801 . 1 10 99697 . 1 ÷ ÷ × = × = k k 15 4 11 3 10 43934 . 0 10 97388 . 1 ÷ ÷ × = × ÷ = k k Usando estas k en la (18g), pueden calcularse fácilmente las distorsiones radiales del lente para cualquier valor de r. Para comprobar la validez de esas k, se calcularon las distorsiones usándolas a incrementos de 10 mm de r, y los resultados se trazaron según la Fig. 18.4 (curva quebrada). Superpuesto en la misma figura se halla el trazo de los datos reales dados para el problema (línea sólida). Nótese lo bien que concuerdan las dos curvas. Curva de distorsión radial del lente r-Distancia radial desde el punto principal (milímetros) Fig. 18.4 Tarea autodidáctica No. 18 Se van a reconstruir ocho cuadras de la Calle Mayor en la parte antigua de cierta ciudad. La calle existente se compone de segmentos cortos, de inflexión según se muestra en la figura inferior. A continuación se dan 1os resultados de un levantamiento por poligonales conectando los centros de intersección. Suponiendo que las coordenadas X=0 y Y=0 en la estación A, y suponiendo que la dirección AB coincide con el eje X, defínase un nuevo alineamiento recto para una calle reconstruida que pasa por esta área y que mejor concuerde con el presente alineamiento de inflexión. Dése la ordenada en el origen Y y el rumbo del nuevo alineamiento, si el rumbo actual de la línea AB es Este derecho. Curso Longitud (pies) Estación Ángulo a la derecha AB 735.7 B 180°17' BC 464.8 C 179051' CD 503.1 D 179°28' DE 820.0 E 180°33' EF 917.3 F 179°10' FG 329.8 G 179°59' GH 287.4 H 181°02' HJ 345.9 2) Calcular una parábola con e1 mejor encajado que se encaje a los siguientes datos obtenidos en un levantamiento de una curva vertical existente. La curva empieza en la estación 10+00 y termina en la estación 18+00. Estación Elevación Estación Elevación 10+00 51.2 15+00 46.9 11+00 49.5 16+00 47.3 12+00 48.2 17+00 48.3 13+00 47.3 18+00 49.6 14+00 46.8 APÉNDICE A LA CURVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL ERROR A.1 Desarrollo de la ecuación para la curva de distribución normal En el Art. 4.5, se presentaron el histograma y el polígono de frecuencia como métodos para exhibir gráficamente las distribuciones de errores fortuitos. Si uno fuera a examinar un gran número de esas distribuciones encontrarla que las distribuciones de errores fortuitos (DEF) de las mediciones en agrimensura, geodesia y fotogrametría se someten a las distribuciones normales o gausianas. A continuación las leyes generales que gobiernan las distribuciones gausianas: 1) Los errores positivos y negativos ocurren con igual probabilidad e igual frecuencia. 2) Los errores pequeños son más comunes que los errores grandes. 3) Raramente ocurren errores grandes, y hay un límite en el tamaño del error fortuito más grande que ocurrirá en cualquier juego de mediciones. Una curva que se someta a las leyes anteriores, trazada con el tamaño del error en la abscisa y la probabilidad de ocurrencia en la ordenada, aparecería como la Fig. 4.2. Tal curva repítese en la Fig. 5.1 y se la llama la curva de distribución normal, la curva normal de error, o sencillamente la curva de probabilidad. Se obtendría una curva suave, uniforme, de esta misma forma, si para un enorme grupo de mediciones se trazara un histograma con un intervalo de clase infinitamente pequeño. Supongamos que la curva de probabilidad sea continua y que la probabilidad de ocurrencia de un error entre x y x + dx se dé por la función y = f(x). Suponiendo que esto sea la ecuación para la curva de probabilidad, vamos a determinar ahora la forma de f(x). Las probabilidades de ocurrencia de errores dentro de las gamas de (x1 y x1 +dx), (x2 y x2 + dx), etc., son f(x1) dx1 , f(x2) dx2,...., f(xn) dxn. El área total bajo la curva de probabilidad representa la probabilidad total o simplemente el entero uno. Luego para un número finito de posibles errores, f(x1) dx1 + f(x2)dX2 + .... + f(xn)dXn = 1 (Aa) Tamaño del error Curva de distribución normal Fig. A.1 Si la gama total de errores x1, x2, ..., xn está entre 2 ± , entonces considerando un número infinito de errores—que hace la curva continua- e1 área bajo la curva puede establecerse igual a: l ÷ = 2 2 ) ( 1 dx x f Pero porque el área bajo la curva de +2 a + · , y de -2 a - · es esencialmente cero, se pueden extender los límites de integración a · ± , como: l l · · ÷ +· · ÷ = = ydx dx x f ) ( 1 (Ab) Supongamos que hemos medido una cantidad M que es igual a alguna función de n parámetros desconocidos z1 , z2,...., Zn para que M = f(z1, z2….zn). Deje también que x1. x2,...., xn sean los errores de observaciones m1 , M2, ...., Mm y deje que f(x1) dx1 , f(x2) dx2, ….f(xm) dxm sean las probabilidades de los errores cayendo dentro funciones gamas de (x1 y x1 + dx1) , (x2 y x2 + dx2), etc. Por la ecuación (4c) la probabilidad P de 1a ocurrencia simultánea de todos estos errores es igual al producto de las probabilidades individuales, por ende: | || | | | m m dx x f dx x f dx x f P ) ( ..... .......... ) ( ) ( 2 2 1 1 = Luego por los logs (logaritmos): Log P = log f(x1) + log f(x2) +....+ log f(xm) log dx1 + log dx2 + .... + log dxm (ac) Los valores más probables de los errores ocurrirán cuando se maximiza P o cuando el 1og de P se maximiza. Para maximizar una función, diferenciamos la función con respecto a cada parámetro desconocido z y se establecen los resultados igual a cero. Después de la diferenciación logarítmica de la ecuación (5c), resultan las siguientes n ecuaciones: (nótese que las dx son constantes independientes de las z, por lo cual sus diferenciales con respecto a las z son 0 ) ( ) ( 1 ....... ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 . . . 0 ) ( ) ( 1 ....... ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 0 ) ( ) ( 1 ....... ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = + + + = c c = + + + = c c = + + + = c c n m m m m n n n m m m m m m m m dz dx dx x df x f dz dx dx x df x f dz dx dx x df x f Z P p dz dx dx x df x f dz dx dx x df x f dz dx dx x df x f Z P p dz dx dx x df x f dz dx dx x df x f dz dx dx x df x f Z P p Permita ahora que: dx x df x f ) ( ) `( = (Ae) Substituyendo (Ae) en (Ad) 0 ) ( ) `( .......... ) ( ) `( ) ( ) `( . . . 0 ) ( ) `( .......... ) ( ) `( ) ( ) `( 0 ) ( ) `( .......... ) ( ) `( ) ( ) `( 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 = + + + = + + + = + + + n m m m n n m m m m m m dz x f dx x f dz x f dx x f dz x f dx x f dz x f dx x f dz x f dx x f dz x f dx x f dz x f dx x f dz x f dx x f dz x f dx x f (Af) Hasta ahora f(x) y f`(x) son generales, no importa el número de parámetros desconocidos. Vamos a considerar el caso especial en donde solo hay una (1) incógnita z, y m1 , M2 ,... .Mm son m valores, observados de z. Si z* es el valor verdadero de la cantidad, entonces los errores asociados con las observaciones son: m m M z x M z x M z x ÷ = ÷ = ÷ = * ; ;......... * ; * 2 2 1 1 (Ag) diferenciando (Ag) tenemos: dz dx dz dx dz dx m = = = = ........ 1 2 1 (Ah) Luego para este caso especial, sustituyendo (Ag) y (Ah) en las ecuaciones (Af), se reducen a una sola ecuación: 0 ) * ( ) * `( ......... ) * ( ) * `( ) * ( ) * `( 2 2 1 1 = ÷ ÷ + + ÷ ÷ + ÷ ÷ m m M z f M z f M z f M z f M z f M z f (Ai) Y la ecuación (Ai) para este caso especial es también general para cualquier valor de m y para cualesquier valores observados m1, M2,...., Mm. Por tanto, digamos que los valores de M son: n m M M M M M ÷ = = = = 1 3 2 ....... donde N se escoge por conveniencia como m M M N 2 1 ÷ = La media aritmética es el valor más probable para este caso de una sola cantidad que ha sido observada varias veces; por tanto, f el valor más probable en este caso es: | | ) 1 ( ) 1 ( * ) 1 ( * * / ) )( 1 ( * / ) ......... ( * 1 1 1 1 1 2 1 m N m N M z m N M z N mN M z m mN M m M z m M M M z m ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = + ÷ = ÷ ÷ + = + + + = (Aj) Recuerde que m M M N 2 1 ÷ = de lo cual M1=mN + M2 Sustituyendo en (5j) N M z m N m mN z = ÷ ÷ = ÷ ÷ 2 2 * ) 1 ( ) ( * Similarmente, puesto que . ....... 4 1 3 1 etc m M M m M M N ÷ = ÷ = . * * 4 3 etc N M z N M z = ÷ = ÷ Sustituyendo estas expresiones en (Ai) | | | | 0 ) ( ) `( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ` = ÷ + ÷ ÷ N f N f m m N f m N f (Ak) reordenando lo anterior: una constante porque en este caso N es una constante de ahí que = ) ( ) `( x xf x f una constante = k (A2) | | | | = = ÷ ÷ ÷ N N f N f m m Nf m N f ) ( ) `( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ` sustituyendo (Ae) en (A2) dx x df k x xf x f ) ( ) ( ) `( = = De lo cual dx k x f x df × = ) ( ) ( (Am) Integrando (Am) pero deje ec1 = c luego: 2 / 2 ) ( kx Ce x f = (An) En (An), ya que f(x) disminuye mientras que x aumenta, luego K/2 debe ser negativo. Cambiando arbitrariamente esta constante 1/2K a –h2, resulta: 2 2 ) ( x h Ce x f ÷ = (Ap) Para hallar el valor de la constante C, sustituir (Ap) en (Ab): dx Ce x h l +· · ÷ ÷ = 2 2 1 También establecer arbitrariamente t = hx, luego dt = hdx y dx = dt/h de lo cual después de cambiar variables, 1 / 2 = l +· · ÷ ÷ dt e h C t El valor de1 integral definido es t , del cual: 2 / 1 2 2 1 ) ( 2 1 ) ( log kx c e e e x f c kx x f = + = t t h C h C = =1 (Aq) Sustituyendo (Aq) en (Ap), (estableciendo también f(x) igual a y): 2 2 x h e h y ÷ = t (Ar) donde los términos son como se definieron para la ecuación (4d). Esta es la ecuación general para la curva de probabilidad, habiendo sido deducida en este caso de la consideración de una situación especial: 3 3 técnica para integrar esta función no elemental se da en la Pág. 24. de Rainsford. APÉNDICE B Programa general para el ajuste de minimos cuadrados mediante ecuaciones de observacion B.1 Introducción al programa Este programa de computadora dirige la solución del algoritmo de mínimos cuadrados dado en la ecuación (9g). El algoritmo no ponderado de la (9c) también puede resolverse si los pesos de unidad o uno (1) se ingresan (entrada). El programa acomodara tantas como 30 observaciones involucrando 30 incógnitas. Para usar este programa, es necesario calcular manualmente e ingresar en la computadora las matrices A, L y P. Tal programa es especialmente útil para ajustar las redes de nivel — como las de los ejemplos en los Arts. 9.2 y 9.4—y también para una variedad de otros problemas de ajuste por mínimos cuadrados. Además de calcular los valores más probables para las incógnitas, el programa dirige la computadora a resolver para los residuales, la desviación estándar del peso unitario y las desviaciones estándar estimadas de las cantidades ajustadas. B.2 Nombres y descripciones de las variables de entrada ; En este programa, se han asignado los nombre siguientes a las variables de entrada: NO - El numero de problemas que se resuelve en la pasada de computadora. TITLE - El nombre o descripción de problema de ajuste que viene resolviéndose. M - El número de observaciones y, por tanto, el número de ecuaciones en el problema de ajuste. N- El número de incógnitas que se están calculando en el problema de ajuste. A - La matriz de coeficiente. Las dimensiones de A son filas M y columnas N. Estos son los términos A de la ecuación (9g). EL - La matriz constante. Es una matriz columnas de dimensión de filas M. Estos son los términos L de la ecuación (9g). QLL - La matriz de peso. Es una matriz cuadrada de dimensión M por M. Estos son los términos P de la ecuación (9g). 8.3 Preparación de los lotes de datos para la entrada El croquis siguiente indica la manera de preparar las tarjetas para la lectura de los datos de entrada en la computadora: Fig. B.1 B.4 Salida El Art. 9.5 brinda ejemplos resultantes de la salida de computadora de este programa. Esta salida es para los ejemplos de la red de nivel "no ponderada'' y "ponderada" en los Arts. 9.2 y 9.4, respectivamente. Los datos en la salida se identifican en las hojas/copias impresas que son auto explicativas. Se da otro ejemplo en el Art. 13.4 que es para el ajuste de una poligonal por a1 método de la ecuación de observación. B.5 Listado de1 programa En las páginas siguientes se ofrece el listado del programa. La última página del mismo se compone de los datos de entrada para los problemas en los Art. 9.2, 9.4 y 13.4. Dichos listados de entrada deben estudiarse con cuidado junto con los Art. B.2 y B.3 para asegurarse de ingresar correctamente tos datos en la computadora al usar este programa PROGRAMA GENERAL PARA EL AJUSTE DE MÍNIMOS CUADRADOS POR LAS ECUACIONES DE OBSERVACIÓN NO PONDERADAS O PONDERADAS. Programado por Paúl R. Wolf. PH.D. LENGUAJE DEL PROGRAMA FORTRAN NOMBRES VARIABLES DE ENTRADA DEL PROGRAMA NO = NUMERO DE SOLUCIONES ESTA PASADA TITLE = CUALESQUIER NOMBRES O NÚMEROS IDENTIFICACIÓN DEL TRABAJO M AND N = EL NUMERO DE ECUACIONES E INCÓGNITAS RESPECTIVAMENTE A(I,J) = LA MATRIZ DE COEFICIENTE EL(I,1) = LA MATRIZ CONSTANTE OLL(I,J)' = LA MATRIZ DE PESO (LOS PESOS SE INGRESAN COMO 1 SI LA SOLUCIÓN ES IGUALMENTE PONDERADA O NO PONDERADA) DIMENSION A(30,309, EL(30,1), OLL(30,30). AT(30,30), AQ(30,30),QX1X(30,30), AQL(30,l), X(30,l), V(30,l), VAR(30),title(1 6) LEER DATOS DE ENTRADA READ 500,NO DO 510 II= l,NO PRINT 509 READ 710,TITLE PRINT 710,TITLE READ 500, M ,N PRINT 500, M, N DO 502 I = 1,M 502 READ 501, (A(i,J), J=l, N) READ 501, (EL (I, T), I= l, M) DO 507 I=1,M 507 READ 501, (QLL(I, J), J=l, M) IMPRIMIR LOS RESULTADOS DO 30 I=1,N PRINT 508, (QXX(I, J),J=l, N) (6) COMPUTAR AQL = AQ * EL DO 101 I=1, N DO 101 J=1, 1 AQL(I,J)=0 DO 101 K=1, M AGL(I,J)=AQL(I,,J)+AQ(I,X)*EL(K,J) (7) COMPUTAR X = QXX * AQL DO 201 I=1, N DO 201 J=l, 1 X(I,J)=0 DO 201 K=1,N X(I,J)=X(I,J)4-QXX(I,K)*AQL(K,J) PRINT 31 DO 503 I=1,N PRINT 508, X(I,1) (8) COMPUTAR V = A* X – EL DO 301 I=1, M DO 301 J=l, l V(I,J)=0. DO 301 K=l,N V(I,J)=V(I,J)+A(I,K)*X(K,J) DO 1 I=l, M V(I, l)=V(I, l)-=EL(I=l) PRINT 32 DO 504 I=1, M PRINT 508, V(I,1) SIGMA=0, DM=M DN=N D0 382 I=l, M SÍGMA=SIGMA+V(I, l)**2*QLL,(I,I) SIGMA=SQRT (SIGMA/(DM=DN)) PRINT 89 PRINT 508,SIGMA DO 446 I=1,N VAR(I)=SQRT (QXX(1,1)*S1GMA**2) PRINT 90 PRINT 508,(VAR(I),I=l,N) FORMAT(l6X,9H A MATRIZ) FORMAT(11X, 9H L MATRIX) FORMAT(10X, 14H WEIGHT MATRIX) FORMAT(10X, 18H COVARIANCE MATRIX) FORMAT(10X, 11H UNKNOWNS X) FORMAT(10X, 12H RESIDUALS V) FORMAT(10X, 5FI5, 3) FORMAT(10X, 34H STANDARD DEVIATION OF UNIT WEIGHT) FORMAT(11X, STANDARD DEVIATION OF ADJUSTED VALUES) FORMAT(10X, 2I5) FORMAT(8F10, 3) FORMAT(10X, NORMAL EQUATIONS MATRIX) FORMAT(10X, 8F14, 6) FORMAT(1H1) FORMAT(10X, 8F10, 3) FORMAT(10X, 16A5) CONTINUE PRINT 509 STOP END EJEMPLO RED DE NIVEL NO PONDERADA, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF 7 3 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. -1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. -1. 1. 1.0 5, 1.6 10 6, 25 10 6, 13 0. 68 10 4, 50 - 1 . 7 0 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.05 ,1 0 1. 1. 1. 1 . . EJEMPLO RED DE NIVEL PONDERADA, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF 7 3 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. -1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. - 1. 1. 1. - 1. 0 5, 1. 6 106, 25 - 1 0 6, 1 3 - 0. 6 8 104, 50 1.70 1. 6. 6. 6. 6. 6. 6. EJEMPLO DE POLIGONACION, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF 5 2 .866 0.500 10.498 -0.865 515.7 893.1 2299.8 1920.3 2784.2 1027.2 0.0 0.19 -3.0 249.0 192.0 1. -1. 10.0 156.0 0.001 0.001 APÉNDICE C PROGRAMA PARA EL AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS DE REDES DE TRILATERACION C.1 Introducción al programa Este programa está diseñado para ajustar levantamientos de trilateración por el método de la ecuación de observación de manimos cuadrados. Podrá acomodar cualquiera configuración de la red, sin importar su complejidad. Según la determinación de medidas, puede manejar una red conteniendo hasta 20 líneas medidas e incluyendo hasta 10 estaciones nuevas. Cualquier numero de estaciones (control) fijas pueden existir en la red. El programa puede fácilmente ampliarse para acomodar mayores cantidades de líneas medidas y estaciones desconocidas sencillamente modificando las declaraciones/sentencias de dimensión. Conociendo los correctos datos de entrada según los Arts. C.3 y C.4, este programa dirige la computadora a resolver las aproximaciones iniciales para las coordenadas de estación desconocidas. Luego procede a formular las matrices A y L de 1a ecuación (9g). Sin embargo, la matriz de peso debe leerse en la computadora. Siguiendo a la formulación de las matrices, e1 programa resuelve la ecuación (9g) por mínimos cuadrados de forma iterativa hasta lograr una convergencia satisfactoria. Habiendo alcanzado la convergencia, computa los valores más probables para las coordenadas ajustadas de los puntos desconocidos, los residuales en las longitudes medidas, la desviación estándar del peso unitario, las desviaciones estándar de las coordenadas ajustadas y las longitudes ajustadas de las líneas medidas. Estos datos los lista la computadora en su salida. C.2 Nombres y descripciones de las variables de entrada En este programa se han asignado los siguientes nombres a las variables de entrada: NON - número de redes procesadas en esta pasada de computadora. TITLE - identificación del trabajo. LL - numero de estaciones nuevas en la red. MM - número de líneas medidas en la red. NC - número de puntos de control en la red. NAM1 - primeros 3 caracteres de nombres de estación. NAM2 - siguientes 3 caracteres de nombres de estación; por tanto, los nombres de estación pueden tener hasta 6 caracteres. Pueden ser alfa o numéricos. Deben justificarse a la derecha en las columnas 2 al 7. XX(1) - coordenada X del punto de control inicial No. 1. YY(1) - coordenada Y del punto de control inicial No. 1. SI -. longitud medida de la línea 1. AZD - grados de acimut de la línea 1. AZM - minutos de acimut de la línea 1. AZS - segundos de acimut de la línea 1. NP - números de puntos de estaciones de control del dibujo de entrada. XP – coordenadas X de estaciones de control salvo la estación No. 1. YP - coordenadas Y de estaciones de control salvo la estación No. 1. S - longitudes medidas de las líneas en sucesión de la estación No. 2 a No. 3, No. 3 a No. 4, No. 4 a No. 5, etc., hasta haber incluido a toda estación nueva. DEFD - esta variable, y las siguientes dos variables, se relacionan con las porciones de grados, minutos y segundos, respectivamente, de los ángulos de desviación. Se ingresan en sucesión para las líneas de la estación No. 2 a No. 3, No. 3 a No. 4, No. 4 a No. 5, etc., hasta incluir a cada estación nueva. Nótese que un ángulo de desviación derecho viene precedido por un signo más (+), y un ángulo de desviación izquierdo esta precedido por un signo menos (-). DEFM - la porción de minutos de los ángulos de desviación arriba descritos. OEFS - La porción de segundos de los ángulos de desviación arriba descritos. DIST - las longitudes medidas de las líneas. IEND - el número del dibujo que corresponde a los extremos I de las líneas medidas. JEND - el número del dibujo que corresponde a los extremos J de las líneas medidas. ICOOE - números de código indicando a la computadora si está fijo el extremo I, el extremo J o ningún extremo de cada línea de entrada. Un ICODE de uno indica que está fijo el extremo I, un dos indica que está fijo el extremo J y un cero indica que ningún extremo de la línea está fijo. P - pesos de las líneas medidas. C.3 Preparación del lote de datos para la entrad El croquis siguiente indica la manera de preparar las tarjetas para la lectura de los datos de entrada en la computadora: Fig. C.1 C.4 Discusión del procedimiento de entrada C.4.1 Dibujo de la red A fin de preparar los datos para su entrada en la computadora en este programa, debe efectuarse un dibujo a escala de la figura trilaterada. Esto se hace trazando primero las estaciones de control en la red conforme a sus coordenadas, y luego usando un compás de dibujo, se trazan arcos para un numero mínimo de longitudes de líneas desde las estaciones de control para localizar las estaciones nuevas. Una vez localizadas las estaciones nuevas, se dibujan las líneas restantes. C.4.2 Numeración de estaciones y cálculo de las coordenadas iniciales Habiendo terminado el dibujo, cada estación se numera consecutivamente comenzando con el numero uno. La estación No. 1 tiene que ser una estación de contrl. Los números del 2 al (NC + LL) pueden asignarse + arbitrariamente, excepto que la línea 1-2 debe tener un acimut conocido o aproximado y, por tanto, la estación No. 2 deberá asignarse de consiguiente. El ejemplo del cuadrilátero en el Art. 11.9 ilustra el procedimiento de numeración. Ahí, la estación Badger es una de control y e1 acimut de la línea Badger a Wisconsin se conocía de la desmultiplicación que era de aproximadamente 80°; por tanto, se asignó a Badger el No. 1 y el No. 2 a Wisconsin. Las otras dos estaciones, Campus y Bucky, recibieron los Nos. 3 y 4, respectivamente. La Fig. 11.6 da otro ejemplo del procedimiento de numeración de puntos. En este problema, la estación de control Lou recibe el No. 1 y la estación Paúl e1 No. 2, puesto que las coordenadas de Lou se conocen y también se conoce e1 acimut de 1a línea Lou-Paul (podría escalarse). En este ejemplo, las otras estaciones se numeran consecutivamente hasta el 9. Se realiza la secuencia de numeración de estación a fin de facilitar los cálculos de las coordenadas iniciales aproximadas de los puntos desconocidos. La estación 1 siempre debe tener coordenadas conocidas. Luego se dan a la computadora la longitud y acimut de la línea 1-2, de lo cual pueden calcularse las coordenadas de la estación 2. El ángulo de desviación en la estación 2 desde la línea 1-2 hasta la línea 2-3 y la longitud 2-3, luego son usados por la computadora para calcular las coordenadas iniciales de la estación 3. Luego la computadora usa el ángulo de desviación entre líneas 2-3 y 3-4 y 1a longitud de línea 3-4 a fin de calcular las coordenadas iniciales de la estación 4. Este procedimiento se continúa hasta que todas las estaciones desconocidas en la red hayan tenido sus coordenadas iniciales determinadas. Finalmente, se numeran todas las estaciones de control restantes, también consecutivamente. Por el tema anterior, deberá verse claro que preferiblemente la secuencia de numeración de estación debiera hacerse para que las líneas medidas puedan usarse a fin de calcular las coordenadas iniciales, aunque las longitudes de línea podrían escalarse del dibujo con este propósito. Sin embargo, se prefiere el uso de longitudes medidas porque esto producirá valores más exactos para las aproximaciones iniciales de las coordenadas de estaciones desconocidas, lo que ayudara a la computadora a lograr la convergencia con menos iteraciones y, por tanto, ahorrando tiempo y dinero. A fin de obtener una mejor comprensión sobre el procedimiento de numeración de estación y e1 método para dar entrada a los datos y calcular asi las coordenadas iniciales, se resumen los ejemplos de las Figs. 11.5 y 11.6. En la Fig. 11.5, se ingresaron tas coordenadas de la estación 1 (Badger) junto con la longitud aproximada (5870 pies) y el acimut , (80° 00' 00") de la línea 1-2 (Badger- wisconsin). Esto permite calcular las coordenadas de la estación 2 (Wisconsin). Luego se ingresan la longitud aproximada (3616 pies) de la Línea 2-3 (Wisconsin- Campus) y el ángulo de desviación (82" 00" 00") de la línea 2-3. Esto permite computar las coordenadas para la estación 3 (Campus). En la Fig. 11.6, se ingresaron las coordenadas de la estación de control Lou junto con la longitud y acimut de la línea Lou-Paul para permitir calcular las coordenadas de la estación Paúl. Luego se ingresaron la longitud de 1a línea Paul-Ram y el ángulo de desviación "a" (ver Fig.) para permitir computar las coordenadas para la estación Ram. Después se ingresaron la longitud de la línea Ram-Tom y e1 ángulo de desviación "b" a fin de obtener coordenadas para Tom. Luego se ingresaron la longitud de 1a línea Tom-Jim y el ángulo de desviación "c" a fin de determinar las coordenadas para la estación Jim. (Nótese que el ángulo de desviación "c" está a la izquierda o al sinistrorso, por lo que se le da un signo menos (-.) en 1a entrada). Finalmente, se leyeron en la computadora la longitud de la línea Jim-Bitl y el ángulo de desviación "d" a fin de obtener las coordenadas para la estación Bill. C.4.3 Procedimiento de entrada Dicho procedimiento, incluyendo los nombres de variables, secuencia de las tarjetas de entrada, datos requeridos de tarjetas y tos necesarios formatos de lectura se discuten en los Arts. C.2 y C.3. Será de utilidad una explicación adicional. La primera tarjeta le dice a la computadora cuantas redes se vienen resolviendo en cualquiera pasada en particular. Este número, con el nombre variable NON, se justifica a la derecha en la columna 5 de la tarjeta. La segunda tarjeta contiene la identificación del proyecto. Este nombre variable es TITLE, y cualesquier datos alfa o numéricos pueden perforarse dondequiera en esta tarjeta desde la columna 2 hasta la 80. La tercera tarjeta contiene las variables LL, MM y NC en tal orden. Ellas son el número total de estaciones nuevas en la red, el número total de líneas medidas en la red y el número total de puntos de control en la red, respectivamente. Esos números se perforan justificados a la derecha en 1as columnas 5, 10 y 15, respectivamente. El cuarto juego de tarjetas da los nombres de las estaciones en orden consecutivo: un nombre de estación por tarjeta. Se justifican a la derecha en la columna 7. Pueden usarse caracteres alfa o numéricos de hasta seis caracteres para identificar cualquiera estación. La tarjeta siguiente da las coordenadas X y Y de la estación No. 1, la longitud de la línea 1-2 y las porciones de los grados, minutos y segundos del acimut de la línea 1-2. Estos nombres de variables son XX, YY, SI, AZD, AZM y AZS, respectivamente. La variable XX se perfora en alguna parte dentro de las columnas 1 al 15, YY en las columnas 16 al 30, SI en las columnas 31 al 40, AZD de la 41 a la 50, AZM de la 51 a 1a 60 y AZS de la 61 a la 70. El juego siguiente de tarjetas da los restantes números de estación y sus coordenadas X y Y. Tales nombres variables son NP , XP y YP , respectivamente. Se perfora una tarjeta para cada estación de control (excepto la No. 1, que ya ha sido ingresada en la computadora). En cada tarjeta el número de estación se justifica a la derecha en la columna 5, su coordenada X se perfora dentro de las columnas 6 a 20 y su coordenada Y en las columnas 21 a 35. El siguiente juego de tarjetas da las longitudes y ángulos de desviación necesitados para calcular las coordenadas iniciales de todas las estaciones desconocidas excepto la No. 2. Los datos perforados en estas tarjetas constan de longitudes de línea, las porciones de grados, minutos y segundos del ángulo de desviación. Los nombres de estas variables son S, DEFD, DEFM y DEFS, y se perforan dentro de las columnas 1 a 10, 11 a 20, 21 a 30 y 31 a 40, respectivamente. Hay LL-1 de estas tarjetas, o una menos que el número total de estaciones nuevas en la red. El siguiente juego de tarjetas da a la computadora las longitudes medidas, el número del extremo I y del extremo J de cada línea, y un número de código. Se perfora una tarjeta para cada longitud medida. Los nombres de variables son DIST, IEND, JEND e ICODE, respectivamente. Los extremos I y J de las líneas corresponden a los números asignados de estación del dibujo. El código le dice a la computadora si la línea tiene su extremo I fijo, en cuyo caso el código es uno; si está fijo el extremo J, en cuyo caso el código es dos; o si ningún extremo está fijo, en cuyo caso el código es cero. La distancia se perfora en las columnas 1 a 10. El y los números ICODE se justifican a la derecha en las columnas 15, 20 y 25, respectivamente. E1 juego final de tarjetas contiene los pesos de las líneas medidas. El nombre de la variable es P. Cada tarjeta puede contener hasta 8 pesos perforados en campos de 10. C.5 -Listado del programa En las paginas siguientes se da el listado del programa. La página final consta de los datos de entrada para los problemas de los Arts. 11.9 y 110.De esos datos de entrada, se produjo la salida dada en aquellos artículos. Seria útil comparar estos datos de entrada con las Figs. 11.5 y 11.5. AJUSTE DE TRILATERACION-COORDENADAS PLANAS MÉTODO ECUACIÓN DE OBSERVACIÓN-MÍNIMOS CUADRADOS POR PAUL R WOLF IMPLICIT DOUBLE PRECISIÓN (A=M,0=Z) DIMENSIÓN A(30,20),P(30),Q(20,20),AL(20),FL.(30),XX(15),YY(15) DIMENSIÓN X(20),DIST(20},IEND(20),JEND(20),ICODE(20),V(30) DIMENSIÓN TITLE(l6),NAM1(30),NAM2(30),EX(20),EY(20) SIN(X)=DSIN(X) C0S(X)=DCOS(X) ABS(X)=DABS(X) SQRT(X)=DSQRT(X) LEER 10, NON NON ES EL NUMERO DE REDES PROCESADO EN ESTA PASADA. DO 695 IM=1,NON KRUN=1 READ 11,TITLE READ 10,LL,MM,NC TITLE ES IDENTIFICACIÓN DEL TRABAJO , ETC. LL ES NUMERO DE ESTACIONES NUEVAS MM ES NUMERO DE DISTANCIAS MEDIDAS NC ES NUMERO DE PUNTOS DE CONTROL EN LA RED PRINT 999 PRINT 11,TITLE PRINT 12,LL PRINT 13,M PRINT 16,NC PI=4..*ATAN(1.) RAD=180./PI M=MM N=2*LL PRINT 670 PRINT 998 LEER NOMBRES ESTACIÓN NTOT=LL+NC DO 36 I=L, NTOT READ 87,NAM1(I),NAM2(I) CONTINUÉ CALCULAR APROXIMACIONES INICIALES PARA ESTACIONES . READ 15,XX(1),YY(1),S1,AZD,AZM,AZS XX (1) ES COORDENADA X DEL PUNTO DE CONTROL INICIAL YY(1) ES COORDENADA Y DEL PUNTO DE CONTROL INICIAL SI ES LONGITUD MEDIDA DE LINEA 1 AZD, AZM Y AZS SON GRADOS MINUTOS Y SEGUNDOS DEL ACIMUT DE LA LINEA 1 IAZD=AZD IAZM=AZM PRINT 997,S1,IAZD,IAZM,AZS AZ=(AZD+AZM/60.*AZS/3600.)/RAD XX(2)=XX(1)+S1*SIN(AZ) YY(2)=YY(1)+S1*C0S(AZ) LEER COORDENADAS DE PUNTOS DE CONTROL ADEMAS DE NUMERO 1 IF(NC=1)925,925,924 CONTINUÉ DO 860 I=2,NC READ 46,NP,XP,YP XX(NP)=XP YY(NP)=YP CONTINUÉ IF(LL=1)738,738,739 CONTINUÉ DO 75 I=2,LL II=I+1 READ 20,S,DEFD,DEFM,DEFS DEFD, DEFM Y DEFS SON GRADOS, MIM., SEG DE ÁNGULOS DE DESVIACIÓN COMENZANDO CON EST. 2, + SI DESVIACIÓN DERECHA, - SI DESVIACIÓN IZQUIERDA S ES LONGITUD MEDIDA COMENZANDO DESDE EST. 2 HASTA 3 IDEFD=DEFD IDEFM=DEFM PRINT 997,S,IDEFD,IDEFM,DEFS DEF=(DEFD+DEFM/60,*DEFS/3600.)/RAD AZ=AZ+DEF IF(AZ=2.*PI)72,71,71 71 AZ=AZ=2.*PI GO TO 74 72 IF(AZ)73,74,74 73 AZ=AZ+2,*PI 70 CONTINUÉ XX(II)=XX(I)+S*SIN(AZ) YY(II)=YY(I)+S*COS(A2) 75 CONTINUÉ 738 CONTINUÉ PRINT 670 PRINT 996 DO 910 I=1,NTOT 910 PRINT 995,NAMI(I),NAM2(I),XX(I),YY(I) FORMULAR LAS MATRICES DE COEFICIENTES Y CONSTANTES DO 90 I=1,M EL(I)=0, DO 90 J=1,M 90 A(I,J)=0. CONTINUE PRINT 994 DIST (I) SON LONGITUDES CURSOS MEDIDOS EN SUCESIÓN IEND ES NUMERO EST. EN EXTREMO I DEL CURSO JEND ES NUMERO EST. EN EXTREMO J DEL CURSO ICODE IDENTIFICA TIPO DE LINEA 1 SI EXTREMO I DE LINEA ESTA FIJO 2 SI EXTREMO J DE LINEA ESTA FIJO EN BLANCO SI NINGÚN EXTREMO DE LINEA ESTA FIJO DO 99 I=1,MM READ 40,DIST(I),IENDM.,JEND(I),ICODE(I) IE=IEND(I) JE=JEND(I) 99 PRINT 993,NAM(IE),NAM2(IE),NAM1(JE),NAM2(JE),DIST(I),ICODE(I) 70 CONTINUÉ P(I) SON PESOS DE OBSERVACIONES, EN SUCESIÓN, LONGITUDES PRIMERO READ 20,(P(I).I=L,M) 509 CONTINUÉ DO 100 I=1,MM IJK=IEND(I) IJL=JEND(I) DO=(XX(IJK)=XX(IJL))**2+(YY(IJK)-YY(IJL))**2 DO=SQRT(DD) KEND=I0END(I)=1 II=LL+KEND LEND=JEND(I)=1 JJ=LL*LEND IF(ICODE(I)=1)50,60,50 50 A(I,KEND)=(XX(IJK)=XX(IJL))/DD A(I,II)=(YY(IJK)=YY(IJL))/DD IF(ICOOE(I)-1)60.60,100 60 A(I,LEND)=-XX(IJK)-XX(IJL))/DD A(I,JJ)=YY(LJK)-.YY(IJL))/DD EL(I)=((DIST (I) – DD) PRINT 999 PRINT 660 DO 102 I=1,M 102 PRINT 45,(A(I,J)',J=1,N) PRINT 661 PRINT 45.(EL(I),I=1,M) LA RUTINA POR MÍNIMOS CUADRADOS DO 1 I«1,N DO 1 J=1,I Q(I,J)=0 DO 3 K=1,M 3 1Q(I,J)=Q(I,J)+A(K,I)*P(K)*A(K,J) Q(J,I)=(Q(I.J) 1 CONTINUÉ • . DO 307 K=1,N DO. 302 J=1,N IF_(J=K)304,302 304 Q(K,J)=Q(K,J)/Q(K,K) 302 CONTINUÉ Q(K,K)=1./Q(K,K) DO 307 I=1,N IF(I=K) 305,307,305 DO 303 J=1,N IF(J=K) 306,303,306 306 Q(I,J)=Q(I,J)-Q(I,K)*Q(K,J) 303 CONTINUÉ Q(I,K)=Q(I,K)*Q(K,J) 307 CONTINUÉ DO 2 J=1,N AL(J)=O. DO 2 K=1,M 2 AL(J)=AL(J)*A(K,J)*P(K)*EL(K) DO 900 I=L,N X(1)=0. DO 900 J=1,N 900 X(I)=X(I)+Q(I,J)*AL(J) PRINT 662 PFTINT 45,(X(I),I=1,N) DO 51S I=1,LL J=I+1 K=I+LL XX(J)=XX(J)+X(I) 515 YY(J)=YY(J)+X(K) PROBAR PARA LA NO CONVERGENCIA KRUN=KRU+1 IF(KRUN=5)702,702,701 702 CONTINUÉ PROBAR PARA LA CONVERGENCIA AL DESEADO ESTÁNDAR EXACTITUDNCOR=2*LL I=1 507 CONTINUÉ IF(ABS(X(-I )) =.001) 505, 505,500 505 CONTINUÉ I=L+1 IF(I=NCOR)507,507,506 506 CONTINUÉ GO TO 508 506 CONTINUÉ IMPRIMIR LA MATRIZ DE COVARIACION PRTNT 693 DO 692 I=1,N 692 PRINT 45, ((Q(I,J),J1L*N) COMPUTAR RESIDUALES DO 400 I=1,M V(I)=O DO 400 K=L,N 400 V(I)=V(I)+A(I,K)*X(K) DO 401 I=L,M V(I)=V(I)-EL(I) COMPUTAR DESVIACIÓN ESTÁNDAR DEL PESO UNITARIO SIG=O. DO 404 I=I,M 002 SIG=SIS+V(I)**2*P(L) DM=M DN=N SIGMA=SQRT(SIG/DOM-DN)) COMPUTAR DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE COORDENADAS AJUSTADAS EX(L)=0. EY(L)=0. ILL=L*LL DO 410 I=ILL,NTOT EX(I)=0. EY(I)=0. 410 CONTINUÉ DO 415 I=2,ILL IMN=I-1 IM2=IM1+LL EX(I)=SIGMA*SQRT( (Q(IM1, IM1)) EY(I)=SIGMA*SQRT(Q(IM2*IM2)) 415 CONTINUÉ COMPUTAR LONGITUDES DE LINEA AJUSTADAS DO 403 I=I,MM J=IEND(I) J=IENO(I) 403 DIST(I)=SQRTC(XX(J)=.XX(K))**2(YY(J)=YY(X))**23 IMPRIMIR COORDENADAS AJUSTADAS Y SUS DESVIACIONES ESTÁNDAR PRINT 999 PRINT 405 DO 413 I=1,NTOT 413 PRINT 995,NAMI(I),NAM2(L),XX(I),EX(I),YY(I),EY(I) IMPRIMIR DESVIACIÓN ESTÁNDAR DEL PESO UNITARIO PRINT 406,SIGMA IMPRIMIR LONGITUDES DE LINEA AJUSTADAS Y SUS RESIDUALES PRTNT 407 DO 444 I=1,MM IE=IEND(I) , JE=JEND(I) 444 PRINT 408,NAMF (IE),NAM2(IE),NAM1(JE),NAM2(JE)DIS(I),V(I) PRINT 999 701 CONTINUÉ 695 CONTINUÉ PRINT 999 FORMATOS 10 FORMAT(16I5) 11 FOMAT(16A5) 12 FORMAT_(//,10X,20HNUMBER OF NEW STATIONS =,13) 13 FORMAT(//,10X,30MNUMBER OF DISTANCES MEASUREO A,I=13) 15 FORMAT(2F10.3) 16 FORMAT(//,10X,37MNUMBES OF CONTROL POINTS IN THE NET =,I3) 20 FORMAT(8FL0.3) 40 FORMAT(F10.3.3I5) 45 FORMAT(1X,8F12,5) 46 FORMAT(I5.2F15.3) 87 FOBMAT(1X,2A3) 405 FORMAT(//,11X,44HADJUSTED COORDINATES ANO STANDARDEVIATIONS,/,9 IX,7HSTATION,8X,IHX.17X,2HSX,11X,IHY,15X,2HSY,//) ' 406 FORMAT(/.20X,36H STANDARD DEVIATION OF UNIT WEIGHT =F6,3,3H FT) 407 FORMATO(//,30X,30HADJUSTED LENGTHS AND RESIDUALS,/,18X,4HL1NE,20X,6 IHLENGTH,11X',12HRESIDUAL(FT),//) 408 FORMAT(11X,2A3,3H . ,2A3,2X,2F20.3) 660 FORMAT(//,25X,12HTHE A MATRIX,//) 661 FORMATO(//,25X,12HTHE L MATRIX,//) 662 FORMAT(//,25X,L2HTME X MATRIX,//) 670 FORMAT(//) 693 FORMAT(//,25X,12HTHE Q MATRIX,//) 993 FORMAT(11X,2A3=3H ,2A3,F28.3,115) 994 FORMAT(1HL,40X,10HIMPUT .DATA,//,IIX,4HLINE,23X,6HLENGTH,13X,AHCCOE I»//) 995 FORMAT(9X,2A3,4F15.3) 996 FORMAT(7X, 44MFIXED COORDINATES AND INITIAL APPROXIMATIONS,//,9X, 17HSTATION,AX,LHX,15X,1HY,//) 997 FORMAT(20X,F17.3, 1ÍX,2I5,F83.3) 998 FORMAT(10X,'PRFLIMINARY LENGTHS AND ANGLES TO CALCÚLATE' 1' INITIAL APPROXTMATIONS'-//30X, »LENGTH«,20X,'ANGLE'//) 999 FORMAT(1H1) STOP END 2 EJEMPLO CUADRILATERO TRILATERADO 2 5 2 BADGER WIS CAMPUS BUCKY 10000,000 10000,000 5780,000 80. 0. 0. 4 11820,756 6881,222 3616,000 82. 0. 0. 5870,302 1 2 1 7297,588 1 3 1 3616,434 2 3 0 5742,878 2 4 2 5123,760 3 4 2 1. 1. 1. 1. 1. EJEMPLO DE TRILATERACIÓN 5 17 4 LOU PAUL RAM TAM JIM BILL PAT JOHN TIM 833766,690 454925,95 16353. 26. 30. 00. 7830040,4 467467,97 8886672,11 473334,4 9887981,21 453589,28 10993. 11. 30. 00. 34955. 120. 00. 00. 144.69. -170 -15 0 22939. 43. 00. 00. 30319,17 2 6 0 34954,73 3 4 0 31376,2 2 4 0 45986,22 2 8 2 10992,63 2 3 0 16,353,41 1 2 1 39446,64 4 8 2 17445,22 6 8 2 29712,49 4 9 2 37437,93 7 4 1 35162,5 4 6 0 35162,49 6 4 0 43007,65 1 6 1 41305,83 6 7 2 14468,7 4 5 0 19896,23 2 5 0 22939,17 6 5 0 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. APENDICE D PROGRAMA PARA EL AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS DE UN CUADRILATERO TRIANGULADO D.1 Introducción al programa Este programa de computadora efectúa el ajuste por mínimos cuadrados de los cuadriláteros triangulados usando el método de la ecuación de observación. La figura para este programa se ilustra en la Fig. 12.4. Es un cuadrilátero estándar con la dos diagonales observadas que tiene dos estaciones de control adyacente. Los datos de entrada para este programa incluyen las coordenadas X y Y de la estaciones de control, A y D, los ángulos observados ingresados en secuencia numerada del 1 al 8 según se indica en la Fig. 12.4 y el ángulo de rotación a. De los datos de entrada, el programa dirige a la computadora a calcular las coordenadas iniciales de las estaciones by C y a formar las matrices A y L. Luego efectúa la solución pro mínimos cuadrados conforme la ecuación (9g). La solución se repite hasta lograr la convergencia satisfactoria. Habiendo convergido, la computadora entones calcula e imprime las coordenadas ajustadas de las estaciones C y C, los residuales de los ángulos medidos, la desviación estándar del peso unitario y las desviaciones estándar de las coordenadas ajustadas de las estaciones B y C. El Art. 12.8 brinda un ejemplote la salida de computadora para un ajuste del cuadrilátero. D.2 Sistema de eje provisional del ajuste A fin de que este programa sea general para todos los cuadriláteros, el ajuste se realizará en un sistema giratorio de eje provisional X-Y. El eje Y se coloca de manera tal que corte a través de los ángulos 4 y 8 según muestra la Fig. 12.4. Esto hace que tales ángulos concuerden con los casos (g) y (h) respectivamente, de la Fig. 12.1. Esto es conveniente para permitir a la computadora que forme la matriz L sin importar la orientación del cuadrilátero. Después de terminar el ajuste, las coordenadas ajustadas se vuelven a girar a través del ángulo (360º-a) al sistema del eje N-E. La formula de rotación para la rotación inicial a través de a, y la rotación final a través de (360º-a) son las ecuaciones (16e). Se obtiene mejor el valor del ángulo trazando el cuadrilátero a escala, dibujando el eje provisional Y, y desmultiplicando su valor con un transportador. Sólo se necesita darlo al grado más cercano. D.3 Nombres y descripciones de las variables de entrada para este programa NO – el nombre de ajustes al cuadrilátero que se viene efectuando en esta pasada TITLE – el nombre o descripción del problema de ajuste que se está resolviendo M – el número de ángulos observados (usualmente 8) N – el número de incógnitas (siempre 4) YA – la coordenada Y de la estación de control A XA – la coordenada X de la estación de control A YD – la coordenada Y de la estación de control D XD – la coordenada X de la estación de control D ALPHA – ángulo de rotación DEG – la porción de grados de los ángulos observados AMIN – la porción de los minutos de los ángulos observados SEC – la porción de los segundos de los ángulos observados QLL – la matriz de peso. Estos son los términos P de la ecuación (9g). Sólo se leen los elementos diagonales de la matriz de peso; por lo tanto, no se asume correlación entre ángulos observados. Se asignan valores cero a todos los elementos no diagonales en el programa. D.4 Preparación del lote de datos para la entrada El siguiente croquis indica la manera de preparar las tarjetas para la lectura de los datos de entrada en la computadora: Fig. D.1 D.5 listado del programa Las páginas siguientes contienen el listado de la computadora y de los datos de entrad para el problema del Art. 12.8. C TRIANGULACIÓN - MÍNIMOS CUADRADOS POR VARIACIÓN DE C COORDENADAS C C PROGRAMADOPOR --- PAÚL R. WOLF, PH.D. C C Este programa ajusta un cuadrilátero estándar, teniendo un lado como la C base, usando el método de la ecuación de observación del ángulo C C ENTRADA C C 1RA Tarjeta - no es el número de ajustes efectuándose en la pasada, C formato (110) C C 2DA Tarjeta - TITLE son cualesquier datos alfa o numéricos para identificar C el trabajo. Pueden usarse cualesquiera columnas de 2 a 80. C 3RA Tarjeta - m y n son el numero de ecuaciones e incógnitas. C Formato(2I10) C C 4TA Tarjeta - YA, XA, YD y XD en ese orden, son las coordenadas de C control terrestre de las terminales de la línea de base. Formato C (4f20.3) C C 5TA Tarjeta - alfa es el ángulo de rotación (grados) necesitado para colocar C el eje provisional de manera tal que la figura concuerde con un así llamado C cuadrilátero estándar. Formato (Fig.3). C C 6TA, 7MA y 8VA Tarjetas - DEG(I), AMIN(I) y SEC(I) son los grados, C minutos y segundos de los 8 ángulos observados. Cada ángulo se lee C sucesivamente. Formato B(8F10.3). C C 9NA TARJETA - QLL Son los elementos diagonales de la matriz QLL. Es C una matriz de variaciones. Si se suponen iguales variaciones. (Pesos C iguales), QLL es una matriz de unidad. Formato (8F10.3). C DIMENSION A(30,20),X(20,1),EL(30,1),QLL(30,30),V(30,1) DIMENSION VT(1,30),VTP(1,30),VTPV(1,1),QXX(20,20) DIMENSION DEG(20),AMlN(20),SEC(20),ANGLE(20) DIMENSION IDEG(20),BDEG(20),IMIN(20),BMIN(20) DIMENSION TITLE(15),KDEG(20),KMIN(20) KK=1 PI=3.1415927 READ 6,NO 5 READ 15,TITLE READ 6,M,N II=1 PRINT 4 PRINT 15,TITLE READ 171,YA,XA.YD,XD PRINT 3 PRINT 8 PRINT 7l,YA,XA,YD,XD READ 110,ALPHA PRINT 3 PRINT 1,ALPHA ALPHA=ALPHA/(l80./PI) TEMP1=YA TEMP2=XA TEMP3=YD TEMP4=XD YA=TEMP1*COS(ALPHA)+TEMP2*SIN(ALPHA) XA =TEMP2*COS(ALPHA)-TEMP 1*SIN( ALPHA) YD=TEMP3*COS (ALPHA)+TEMP4*SIN( ALPHA) XD=TEMP4*COS(ALPHA 5-TEMP3*SIN(ALPHA) READ 110,(DEG(I),AMIN(I),SEC(I),I=1,M) PRINT 3 PRINT 2 DO 205 I=l,M KDEG(I)=DEG(I) KMIN(I)=AMIN(I) 205 PRINT 845,KDEG(I),KMIN(I),9EC(I) DO 133 I=1,M 133 ANGLE (I)=DEG(I)/(180./PI)+AMIN(I)/(10800./PI)+SEC(I)/(648000./PI) CALL ZERO(QLL,M,30) READ 110,(QLL(J,J),J=1,M) BASE=SQRT((YA-YD)**2+(XA-XD)**2) DIR=PI/2.-ATAN((YD-YA)/(XD-XA)) AB=(BASE*SIN(ANGLE(7)))/SIN(ANGLE(4)) BC=(AB*SIN(ANGLE(1)))/SIN(ANGLE(6)) YB=AB*COS(DIR-ANGLE(1)-ANGLE(2))+YA XB=AB*SIN(DIR-ANGLE(1)-ANGLE(2))+XA YC=BC*COS(DIR-ANGLE (1)-ANGLE (2)+PI-ANGLE(3)- ANGLE(4))+YB XC=BC*SIN(DlR-ANGLE(1)-ANGLE(2)+Pl-ANGLE(3)-ANGLE(4))+XB PRINT 3 PRINT 9 PRINT 71,YB,XB,YC,XC PRINT 3 PRINT 13 DO 20 I=1,M 20 PRINT 11,(QLL(I,J),J=1,M) CALL MATINV(QLL,M,30) 3 CONTINUE PRINT 4 PRINT 15,TITLE PRINT 3 PRINT 14,II C C GENERAR LAS MATRICES C EL(1,1)=3ANGLE(1)-ATAN((YB-YA)/(XR-XA))+ATAN((YC-YA)/(XC-XA)) EL(2,1)=ANGLE(2)-ATAN((YC-YA)/(XC-XA))-ATAN((YA-YD)/(XD-XA)) EL(3,1)=ANGLE(3)-ATAN((YB-YD)/(XD-XB) )+ATAN((YB-YC)/(XC-XB)) EL(4,1)=ANGLE(4)-ATAN((XD-XB)/(YB-YD))-ATAN((XB-XA)/(YB-YA)) EL(5,1)=ANGLE'(5)-ATAN((XC-XA)/(YC-YA))+ATAN((XC-XD)/(YC-YD)) EL(6.1)=ANGLE(6)-ATAN((YB-YC)/(XC-XB))-ATAN((YC-YA)/(XC-XA)) EL(7,1)=ANGLE(7)-ATAN((YB=YD)/(XD-XB))+ATAN((YA-YD)/(XD-XA)) EL(8,1)=ANGLE(8)-TAN((XD-XB)/(YB-YD))-ATAN((XC-XD)/(YC-YD)) DO 77 I=1,8 EL(I,1)=EL(I,1)*(648000./PI) AC=SQRT((YC-YA)**2+(XC-XA)**2) BD=SQRT((YD YB)**2+(XD-XB)**2) CD=SQRT((YD YC)**2+(XD-XC)**2) AB=SQRT((XB-XA)**2+(YB-YA)**2) CB=SQRT((XC-XB)**2+(YC-YB)**2) DO 500 I=1,M DO 500 J=1,N 500 A(I,J)=0. PRINT 3 PRINT 7 A(1,1)= (XB-XA)/AB**2 A(1,2)= -1.*(YB-YA)/AB**2 A(1,3)= -1.*(XC-XA)/AC**2 A(1,4)= (YC-YA)/AC**2 A(2,3)= (XC-XA)/AC**2 A(2,4)= -l.*(YC-YA)/AC**2 A(3,1)= (XD-XB)/BD**2-(XC-XB)/BC**2 A(3,2)= (YB-YD)/YD)**2-(YB-YC)/BC**2 A(3,3)= (XB-XC)/BC**2*(-1.) A(3,4)= (YB-YC)/BC**2 A(4,1)= (XB-XD)/BD**2-(XB-XA)/AB**2 A(4,2)= -l.*(YB-YD)/BD**2+(YB-YA)/AB**2 A(5,3)= -l.*(XC-XA)/AC**2+(XC-XD/CD**2 A(5,4)= (YC-YA)/AC**2-(YC-YD)/CD**2 A(6,1)= (XC-XB)/BC**2 A(6,2)= (YB-YC)/BC**2 A(6,3)= -l.*(XC-XB)/BC**2+(XC-XA)/AC**2 A(6,4)= -l.*(YB-YC)/BC**2-(YC-YA)/AC**2 A(7,1)= (XD-XB)/BD**2 A(7,2)= (YB-YD)/BD**2 A(8,1)= -1.*(XD-XB)/BD**2 A(8,2)= -1.*(YB-YD)/BD**2 A(8,3)= - l.*(XC-XD)/CD**2 A(8,4)= (YC-YD)/CD**2 DO 78 I=1,M DO 78 J=1,N 78 A(I,J)=A(I,J)*(648000./PI) DO 10 I=1,M 10 PRINT 41,(A(I,J),J=l,N) PRINT 3 PRINT 12 PRINT 11,(EL(I,J),I=1,M) C C LLAMAR LA SUBRUTINA DE MINIMOS CUADRADOS C CALL MALIME(A,X,EL,QLL,V,QXX,M,N) PRINT 3 PRINT 21 DO 30 I=1,N PRINT 41,(QXX(I,J),J=1,N) PRINT 31 PRINT 11,(X(I,1),I=1,N) PRINT 3 PRINT 32 PRINT 11,(V(I,1),I=1,M) YB= YB*X(1,1) XB= XB*X(2,1) YC= YC+X(3,1) XC= XC+X(4,1) II=II+1 C C PROBAR PARA CONVERGENCIA C I=1 201 CONTINUE If(X(I,1).GT.0.0001)GO TO 34 I=I+1 IF(N=I)36,201,20l CONTINUE ANGLE(1)= ATAN((YB-A)/(XB-XA))-ATAN((YC-YA)/(XC-XA)) ANGLE(2)= ATAN((YC-YA)/(XC-XA))+ATAN((YA-YD)/(XD-XA)) ANGLE(3)= ATAN((YB-YD)/(XD-XB))-ATAN((YB-YC)/(XC-XB)) ANGLE(4)= ATAN((XD-XB)/(YB-YD))+ATAN((XB-XA)/(YB-YA)) ANGLE(5)= ATAN((XC-XA)/(YC-YA))-ATAN((XC-XD)/(YC-YD)) ANGLE(6)= ATAN((YB-YC)/(XC-XB)+ATAN((YC-YA)/(XC-XA)) ANGLE(7)= ATAN((YB-YD)/(XD-XB))-ATAN((YA-YD)/(XD-XA)) ANGLE(8)= ATAN((XD-XB)/(YB-YD))+ATAN((XC-XD)/(YC-YD)) THETA=2.*PI-ALPHA TEMP1=YB TEMP2=XB TEMP3=YC TEMP4=XC YB=TEMP1*COS(THETA)+TEMP2*SIN(THETA) XB=TEMP2*COS(THETA)-TEMP1*SIN(THETA) YC=TEMP3*COSfTHETA)+TEMP4*SIN(THETA) XC=TEMP4*COS(THETA)-TEMP3*SIN(THETA) C C IMPRIMIR LOS VALORES AJUSTADOS C PRINT 4 PRINT 15,TITLE PRINT 3 PRINT 108 PRINT 71,YB,XB,YC,XC CALL MATRAN(V,VT,M,1,30,1,1,30) CALL MATMUL(VT,QLL,VTP,1,M,M,1,30,30,30,1,30) CALL MATMUL(VTP,V,VTPV,1,M,1,1,30,30,1,1,1) AM= M AN=N S=SQRT(VTPV(1,1)/(AM-AN)) PRINT 3 PRINT 35,S PRINT 3 PRINT 900 DO 901 I=1,N SD=SQRT(QXX(1,1)*S**2) 901 PRINT 111,SD PPINT 3 PRINT 843 DO 576 I=1,M DEG(I)= ANGLE(I)*(180./PI) IDEG(I)= DEG(I) BDEG(I)= IDEG(I) AMIN(I)= (DEG(I)-BDEG(I))*60. IMIN(l)= AMIN(l) BMIN(I)= IMIN(l) SEC(I)= (AMIN(I)-BMIN(I))*60. 576 PRINT 845,IDEG(I),IMIN(I),SEC(I) KK=KK+1 IF(KK-NO)5,5,902 902 CONTINUE C C FORMATOS C 1 FORMAT(10X,'ROTATION ANGLE =',F5.1,' DEGREES') 2 FORMAT(10X,'OBSERVED ANGLES') 3 FORMAT(/) 4 FORMAT(1H1) 6 FORMAT(2I10) 7 FORMAT(10X,'A MATRIX') 8 FORMAT(10X,'CONTROL POINT CO-ORDINATES') 9 FORMAT(10X,'APPROX. CO-ORDINATES OF UNKNOWNS') 11 FORMAT(8F8.3) 12 FORMAT(10X, 'L MATRIX (VECTOR)') 13 FORMAT(10X,'VARIANCE - COVARIANCE MATRIX QLL') 14 FORMAT(10X,’ITERATION No. ’,I4//) 15 FORMAT(15A6) 21 FORMAT(10X,'VARIANCE - COVARIANCE MATRIX QXX') 31 FORMAT(10X,'UNKNOWNS X VECTOR') 32 FORMAT(10X,'RESIDUALS V VECTOR') 35 FORMAT(10X,'STANDARD ERROR OF UNIT WEIGHT =',F9.3//) 41 FORMAT(8F10.3) 71 FORMAT(4F12.3) 108 FORMAT(10X,'ADJUSTED UNKNOWN CO-ORDINATES') 110 FORMAT(8F10.3) 111 FORMAT(10X,F10.3) 171 FORMAT(4F20.3) 843 FORMAT(10X,'ADJUSTED ANGLES') 845 FORMAT(10X.I4,' =',I4,' -',F6.2) 900 FORMAT(10X,’ STANDARD DEVIATIONS') PRINT 4 STOP END SUBROUTINE MALIME(A,X,EL,QLL,V,QXX,M,N) DIMENSION A(30,20),X(20,1),EL(C30,1),QLL(30,30),V(30,1), 1QXX(20,20),AQL(20,1),AT(2O,30),AQ(20,30) C (2) TRANSPONER A A AT CALL' MATRAN (A,AT,M,N,30,20,20,30) C (3) COMPUTE AQ = AT * QLL CALL MATMUL (AT,QLL,AQ,N,M,M,20,30,30,30,20,30) C (4) COMPUTE QXX = AQ * A CALL MATMIIL (AQ,A,QXX,N,M,N,20,30,30,20,20,20) C (5) INVERT QXX MATRIX CALL MATINV (QXX,N,20) C (6) COMPUTE AQL = AQ * EL CALL MATMUL (AQ,EL,AQL,N,M,1,20,30,30,1,20,1) C (7) COMPUTE X = QXX * AQL CALL MATMUL (OXX,AQL,X,N,N,1,20,20,20,1,20,1) C (8) COMPUTE V = A * X – EL CALL MATMUL (A,X,V,M,N,1,30,20,20,1,30,l) DO 1 I=1,M 1 V(I,1)=V(l,1)-EL(I,1) RETURN END SUBROUTINE zero(a,xi,m) DIMENSION A (M, M) DO 1 I=1,N DO 1 J=1,N 1 A(I,J)=0. RETURN END SUBROUTINE MATINV(A,N,M) DIMENSION A(M,M) DO 1 K=1, N DO 2 J=1, N IF(J=K) 4,5,4 4 A(K,J)=A(K,J)/A(K,K) 5 CONTINUE 2 CONTINUE A (K, K)= 1./(K,K) DO 1 I=1,N IF(I=K)6,1,6 6 DO 3 J=1, N IF (J = K) 7, 8, 7 7 A (I, J) =A (I, J) = A (I, K) * A (K, J) 8 CONTINUE 3 CONTINUE A(I,K)=-A(I,K)*A(K,K) 1 CONTINUE RETURN END SUBROUTINE MATMUL(A,B,C,L,M,N,LA,MA,MB,NB,LC,NC) DIMENSION A (LA,MA),B(MB,NB),C(LC,NC) DO 1 I=1,L DO 1 J=1,N C(I,J)=0. DO 1 K=1,M 1 C(I=J)= C(I,J)+A(I,K)*B(K,J) RETURN END C TRANSPONER MATRIZ B= A-TRANSPONER SUBROUTINE MATRAN(A,B,M,N,MA,NA,MB,NB) DIMENSION A(MA,NA), B(MB,NB) DO 1 I=1,M DO 1 J=1,N 1 B(J,I)= A(I,J) RETURN END 1 EJEMPLO DE TYRIANGULACIÓN, CALCULOS DE AJUSTE DE WOLF 8 4 8448,9 4270.33 4568.75 7610.58 0. 42. 35. 29. 87. 35. 10.6 79. 54. 42.1 18. 28. 22.4 21. 29. 23.9 39. 1. 35.4 31. 20. 45.8 39. 34. 27.9 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. APENDICE E PROGRAMA PARA EL AJUSTE DE MINIMOS CUADRADOS POR ECUACIONES DE CONDICION E.1 Introducción al programa Este programa de computadora dirige la solución de la ecuación (14f) que es el cómputo de mínimos cuadrados para las ecuaciones de condición ponderada. La ecuación no ponderada (14d) también puede resolverse por este programa si se ingresan en la computadora pesos de unidad. El programa acomodará hasta 50 observaciones implicando a tantas como 20 ecuaciones de condición. A fin de usar este programa, es necesario calcular manualmente e ingresar en la computadora las matrices W, B y P. El programa calcula los residuales más probables. De éstos, es preciso calcular manualmente las observaciones corregidas y de éstas se pueden computar los valores ajustados. E.2 Nombres y descripciones de las variables de entrada en este programa: NO – el número de soluciones en esta pasada. TITLE – el nombre o descripción del problema que se esta resolviendo. M – el número de ecuaciones de condición. N – el número de observaciones. W – la matriz W, o matriz de términos constantes en la ecuación (14f). B – la matriz de coeficientes de las observaciones en las ecuaciones de condición. P – la matriz de peso. Esta es una matriz cuadrada de dimensiones N por N; sin embargo, solo se leen los elementos diagonales. Se les asigna a todos los elementos no diagonales un valor de cero. Estos son los términos P de la ecuación (14f) E.3 Preparación del lote de datos para la entrada El croquis siguiente indica la manera de preparar las tarjetas para la lectura de los dato de entrada en la computadora: Fig. E.1 E.4 Salida En el (Art. 14.5) se dan ejemplo de la salida de computadora que resultan de este programa, y que son los problemas de red de nivel no ponderad y ponderada; (Art. 14.6) ajustado del ajuste de poligonales por el método Crandall; (Art. 14.7) ajustado por el método de mínimos cuadrados de ecuaciones de condición. Los datos en la salida se identifican en las hojas impresas y son autoexplicativos. E.5 Listados del programa Las siguientes páginas contienen listados del programa y de los datos de entrad para los problemas de Arts. 14.5, 14.6, 14.7 y 15.4.4. C SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE CONDICIÓN POR MÉTODOS C MATRICIALES C C PROGRAMMED BY --- PAUL R. WOLF, PH.D C C PROCEDIMIENTO DE ENTRADA C C 1RA TARJETA-NO, EL NÚMERO DE SOLUCIONES EN ESTA PASADA. C FORMATO (15) C C 2DA TARJETA-TITLE CULESQUIER CARACTERES ALFA O NUMERICOS C N COLS 2 A 30 C C 3RA TARJETA-MY N, EL NÚMERO DE ECUACUINOES DE COND. Y C OBSERVACIONES RESPECTIVAMENTE. FORMAT0 (215) C C MATRIZ W-UN (1) VALOR PARA CADA ECUACION DE CONDICIÓN C C MATRIZ B-COEFICIENTES DE OBSERVACIONWES CON MÁXIMO DE C CUATRO VALORES POR TARJET. LEEER TODO LOS VALORES PARA C CADA ECUACIÓN, LUEGO COMENZAR CON UNA TARJETA NUEVA. C FORMATO (4F20.3) C C MATRIZ P-PESOS DE OBSERVACIONES CON MÁXIMO DE CUATRO C VALORES POR TARJETA. LEER SOLO ELEMENTOS DIAGONALES Y C EN SECUENCIA CORRECTA. FORMATO (4F20.3) C IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A=H,O-Z) DIMENSION W(20,1),B(20,50),C(20,20),D(50,20),V(50,1) DIMENSION WW(20),P(50,50), TITLE(16),PT(50,20) C C LEER E IMPRIMIR DATOS DE ENTRADA C READ 105,NO KK=1 155 CONTINUE READ 15, TITLE 15 FORMAT(16ª5) PRINT 16 16 FORMAT(/) READ 105,MMN READ 110,(WW(I),I=1,M) DO 145 145 W(I,1)=WW(I) PRINT 17 PRINT 160 DO 120 I=1,M READ 110,(B(I,J),J=1,N) 120 PRINT111,(B(I,J),J=1,N) PRINT 17 PRINT 170 PRINT 111,(B(I,J)),I=1,M) DO 18 I=1,N DO 18 J=1,N 18 P(I,J)=0.D0 READ 110,(P(J,J)J=1,N) PRINT 17 PRINT 190 PRINT 111,(P(J,J),J=1,N) C C RESOLVER EL ALGORITMO DE MINIMOS CUADRADOS C C P INVERSA = P C DO 44 I=1,N 44 P(I,J)=1.D0/P(I,I) C C C TRANSPONER B A BT C DO 130 I=1,M DO 130 J=1,N 130 MAULTIPLICAR P*BT=PT DO 20 I=1,N DO 20 K=1,M PT(I,K)=0.D0 DO 20 J=1,N 20 PT(I,K)=PT(I,K)+P(I,J)*BT(J,K) C C MULTIPLICADOR B*PT = C C DO 11 I=1,M DO 11 J=1,M C(I,J)=0.D0 DO 11 K=1,N 11 C(I,J)=C(I,J)+B(I,K)+PT(K,J) C C INVERTIR C C DO 1 K=1,M DO 2 J=1,M IF(J=K)4,2,4 4 C(K,J)=C(K,J)/C(K,K) 2 CONTINUE C(K,K)=1.D0/C(K,K) DO 1 I=1,M IF(I=K)5,1,5 5 DO 3 J=1,M IF(J=K)6,3,6 6 C(I,J)=C(I,J)-C(I,K)*C(K,J) 3 CONTINUE C(I,K=-C(I,K))*C(K,K) 1 CONTINUE C C MULTIPLICADOR PT * C = D C DO 21 I=1,N DO 21 J=1,M D(I,J)=0.D0 DO 21 K=1,M 21 D(I,J)=D(I,J)+PT(I,K)*C(K,J) C C MULTIPLICADAR D*W=V C DO 31 I=1,N DO 31 J=1,1 V(I,J)=0.D0 DO 31 K=1,M 31 V(I,K)=V(I,J)+D(I,K)*W(K,J) PRINT 17 PRINT 180 DO 140 I=1,N 140 PRINT 111,(V(I,J),J=1,1) KK=KK+1 IF(KK-N0)115,155,150 105 FORMAT(215) 110 FORMAT(4F20.3) 111 FORMAT(3F20.7) 160 FORMAT(10X,9H B MATRIX) 170 FORMAT(10X,9H N MATRIX) 180 FORMAT(10X,10H RESIDUALS) 190 FORMAT(10X,9H P MATRIX) 150 CONTINUE PRINT 16 STOP END EJEMPLO RED DE NIVEL NO PONDERADA, COMPUTOS DE WOLF 4 7 .06 -.12 -.02 .05 1. 1. 1. 1. 1. -1 1. -1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. EJEMPLO RED DE NIVEL PONDERAD, COMPUTOS AJUSTE DE WOLF 4 7 .06 -.12 -.02 .0.5 1. 1. 1. 1. 1. -1. 1. -1. 1. 1. 3. 4. 6. 4. 6. 6. 6. CUAD TRIANGULADO, COMPUTOS AJUSTE DE WOLF 4 8 -8.9 -9.3 11.8 61.3 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2.29 -.08 .38 -6.30 1.34 -2.60 3.46 -2.54 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. METODO CRANDALL PARA EJEMPLO POLIGONAL, COMPUTOS AJUSTE DE WOLF 2 6 -3.49 -5.14 1. .710 -.763 -.912 -.002 -.646 .705 .646 -.410 1. -.764 1.34 1.53 1.52 2.27 2.89 2.25 POLIGONAL DE LA FIG. 13.2, COMPUTOS AJUSTE DE WOLF 3 5 -0.000291 -0.205 -0.130 1.00 1.0 1.0 0.0 0.0 186.603 86.603 0.0 0.866 0.5 -223.205 -50.00 0.0 0.5 0.866 4730000.0 4730000.0 4730000.0 400.0 156.00 APENDICE F PROGRAMA PARA LA TRANSFORMACIÓN CONFORME DE COORDENADAS BIDIMENSIONALES F.1 Introducción al programa Este programa de computadora dirige la solución de las ecuaciones (16e) que es el compute de mínimos cuadrados para dicha transformación. El programa acomodara hasta 10 puntos de control (puntos cuyas coordenadas se conocen en ambos sistemas). Se pueden transformar hasta otros 50 puntos en el sistema de control. Para usar el programa, es necesario ingresar las coordenadas de todos los puntos de control en el sistema de coordenadas de control, las coordenadas medidas de todos los puntos de control y de todos los otros puntos a transformarse. La computadora forma las matrices A y L, y dirige la solución por mínimos cuadrados. Se suponen pesos iguales en la solución. F.2 Nombres y descripciones de las variables de entrada en este programa TITLE – el nombre o descripción del problema que se viene resolviendo. MP – el número total de puntos involucrados en la solución. Esta es la suma del número de puntos de control y el número de otros puntos en transformación. NCON - el número total de puntos de control que se esta usando. P - los primeros 5 caracteres de la identidad del punto. Pueden ser alfa o numéricos. Q – los siguientes 5 caracteres de la identidad del punto. Por tanto, se pueden usar hasta 10 caracteres para identificar cualquier punto. XCON – coordenadas X de los puntos de control en el sistema de coordenadas de control. YCON – coordenadas Y de los puntos de control en el sistema de coordenadas de control. XMEAS – coordenadas X de puntos en el otro sistema de coordenadas. Estas coordenadas deben ingresarse para todos los puntos. Esto incluye los puntos de control y otros puntos. YMEAS – coordenadas Y de puntos en el otro sistema de coordenadas. De nuevo, estas deben ingresarse para todos los puntos de control y todos los otros puntos. F.3 Preparación de lote de datos para la entrada El croquis siguiente indica la manera de preparar las tarjetas para la lectura de los datos de entrada en la computadora: Fig. F.1 F.4 Salida El Art. 16.4 da un ejemplo de la salida de computadora resultante de este programa. Los datos listados incluyen las coordenadas de todos los puntos de control usados, las coordenadas medidas de todos los puntos en el otro sistema, las coordenadas transformadas de todos los puntos y 1os valores de 1os parámetros de transformación, i.e., 1os valores de a, b, c y d de las ecuaciones (16e). Esta información se identifica en e1 listado de salida, siendo autoexplicativa. Aunque el listado no contiene 1os residuales, pueden calcularse sus valores restando las coordenadas transformadas de 1os puntos de control de las coordenadas de control originales. Como ejemplo, e1 residual de 1a coordenada X del punto de control A es 1049422.400 - 1049422.404 = -.004 de pie, y e1 residual de la coordenada Y del punto de control A es 51089.171 -51089.200 = -.029 de pie. Inspeccionando de esta manera 1os tamaños de 1os residuales, se puede efectuar un avaluó de la calidad del ajuste. F.5 Listado del programa Las páginas siguientes contienen 1os listados del programa de computadora y los datos de entrada para e1 problema del Art. 16.4. C C TRANSFORMACIÓN CONFORME DE COORDENDAS C C PROGRAMMED BY PAUL R. WOLF, PH.D. C C LENGUAJE DEL PROGRAMA FORTRAN C C ESTE PROGRAMA DESMULTIPLICA, GIRA Y TRANSLADA LAS C COORDENADS DE PUNTOS DE UN SISTEMA ABITRARIO DE C COORDENADAS BIDIMENSIONALES EN UN SISTEMA ABSOLUTO DE C COORDENADAS BIDIMENSIONALES. SE PUEDEN USAR 2 A 10 C PUNTOS DE CONTROL, Y SI SE USAN MAS DE 2 EL PROCEDIMIENTO C COMPUTACIONAL ES PRO MÍNIMOS CUADRADOS. C C NOMBRES DE LAS VARIABLES DEL PROGRAMA DE ENTRADA C NP = NÚMERO TOTAL DE PUNTYOSEN TRANSFORMACIÓN C INCLUYENDO CONTROL C NCON = NÚMERO DE PUNTOS DE CONTROL EN USO C PYQ = NÚMERO S O NOMBRES DE ESTACIÓN C XCON = COORDENADAS X DE PUNTOS DE CONTROL C YCON = COORDENADAS Y DE PUNTOS DE CONTROL C XMEAS = COORDENADAS X DE PUNTOS EN EL SISTEMA C ARBITRARIO C YMEAS = COORDENADAS Y DE PUNTOS EN EL SISTEMA C ARBITRARIO C DOUBLE PRECISION XCON(10),YCON(10),XMEAS(50),YMEAS(50) DOUBLE PRECISION A(20,4),AT(4,20),EL(20,1),ATL(4,1),ATA(4,4) DOUBLE PRECISION X(4,1),XGRO(50),TITLE(16) MMAX=20 NMAX=4 LEER DATOS DE ENTRADA PRINT 77 77 FORMAT(1H1) READ 32,TITLE PRINT 32,TITLE READ 1,NP,NCON READ 2,(P(I),Q(I),XCON(I),YCON(I),I=1,NCON) PRINT 20 PRINT 6,(P(I),Q(I),XCON(I),YCON(I),I=1,NCON) READ 7,(P(I),Q(I),XMEAS(I),YMEAS(I),I=1,NP) PRINT 21 PRINT 8,(P(I),Q(I),XMEAS(I),YMEAS(I),I=1,NP) C C FORMAR LAS MATRICES C DO 3 I=1,NCON A(I,1)=1. A(I,2)=XMEAS(I) A(I,3)= YMEAS(I) A(I,4)=0. 3 EL(I,1)=XCON(I) J=NCON+1 K=2*NCON DO 4 I=J,K II=I=NCON A(I,1)=0. A(I,2)=YMEAS(II) A(I,3)=XMEAS(II) A(I,4)=1. 4 EL(I,1)=YCON(II) C C RESOLVER EL ALGORITMO DE MINIMOS CUADRADOS C CALL MATR (A,AT,K,4,MMAX,NMAX) CALL MATM (AT,A,ATA,4,K,4,NMAX,MMAX,NMAX) ATA(3,2)=0. ATA(2,3)=0. CALL MATM (AT,EL,ATL,4,K,1,NMAX,MMAX,1) CALL MATI (ATA,4,NMAX) CALL MATM (ATA,ATL,X,4,4,1,NMAX,MMAX,1) DO 5 I=1,NP XGRO(I)=X(1,1)+X(2,1)*XMEAS(I)=X(3,1)*YMEAS(I) 5 YGRO(I)=X(2,1)*YMEAS(I)+X(3,1)*XMEAS(I)+X(4,1) C C IMPRIMIR LOS RESULTADOS C PRINT 22 PRINT 6,(P(I),Q(I),XGRO(I),YDGRO(I),I=1,NP) PRINT 31,(X(I,1),I=1,4) 1 FORMAT(2I2) 2 FORMAT(2A5,2F20,3) 6 FORMAT(2A5,2F20,3) 7 FORMAT(2A5,2F10,3) 8 FORMAT(2A5,2F20,3) 20 FORMAT(18X,14HCONTROL POINTS,//,2X,5HPOINT,16X,7HEASTING, 12X,8HNOR1THING) 21 FORMAT(//,15X,20HMEASURED COORDINATES,//,2X,5HPOINT,16X, 7HX=COORD,112X,7HY=COORD) 22 FORMAT(/,6X,40HTRANSFORMED GROUND COORDINATES OF POINTS,//,2X,5HPO1INT,16X,7HEASTING,12X,8HNORTHING) 30 FORMAT(4E20,7) 31 FORMAT(//,21H TRANSFORMATION EQNS.,//,37H XGROUND = A1 + A2(XMEAS)=A3(YMEAS),//,37H YGROUND=A4+A3(XMEA S)+ A2(YMEAS),//,6H WHE2RE,2X,3HAI=,F10,2,2X,3HA2=,F10,5,2X, 3HA3=,F10,5,2X,3HA4=,F10,2) 32 FORMAT(16A5) PRINT 77 STOP END SUBROUTINE MATI (QXX,N,XMAX) C C LA MATRIZ QXX SE INVIERTE Y LA INVERSA REEMPLAZA QXX EN EL C ALMACENAMIENTO C LA INVERSA RETIEN EL NOMBRE DE ORDENAMIENTO QXX. QXX ES C UNA MATRIZ CUADRADA DE DIMENSIONES (N,N) DOUBLE PRECISION QXX(NMAX,NMAX) DO 307 K=1,N DO 302 J=1,N IF(J=K) 304,302,304 304 QXX(K,F)=QXX(K,J)/QXX(K,K) 302 CONTINUE QXX(K,K)=1./QXX(K,K) DO 307 I=1,N IF(I=K) 305,307,305 305 DO 303 J=1,N IF(J=K) 306,303,306 306 QXX(I,J)=QXX(I,J)-QXX(I,K)*QXX(K,J) 303 CONTINUE QXX(I,K)=-QXX(I,K*QXX(K,K)) 307 CONTINUE RETURN END SUBROUTINE MATR (A,AT,M,N,NMAX,NMAX) C A=MATRIZ ORIGINAL, AT=MATRIZ TRANSPUESTA C M=NÚMERO DE FILAS EN A, N = NÚMERO DE COLUMNAS EN A DOUBLE PRECISION A(MMAX,NMAX),AT(NMAX,MMAX) DO 10 I=1,M DO 10 J=1,N AT(J,I)=A(I,J) 10 CONTINUE RETURN END SUBROUTINE MATM (A,B,C,M,N,L,MMAX,NMAX,LMAX) C A= PRIMERA MATRIZ DE DIMENMSIONES (M,N) C B= PRIMERA MATRIZ DE DIMENMSIONES (N,L) C C= PRODUCTO DE A VECES B DOUBLE PRECISION A(MMAX,NMAX),B(NMAX,LMAX),C(MMAX,LMAX) DO 100 I=1,M DO 100 H=1,L C(I,K)=0 DO 100 J=1,N C(I,K)=C(I,K)+A(I,J)*B(J,K) 100 CONTINUE RETURN END EJEMPLO DEL PROBLEMA, COMPUTOS DE AJUSTE DE WOLF 8 3 A 1049422,4 51089,2 B 1049413,95 49659,3 C 1049244,95 49884,95 A 121,622 -128,066 B 141,228 187,718 C 175,802 135,728 1 174,148 -120,262 2 513,52 -192,130 3 754,444 -67,706 4 972,788 120,994 5 1068,118 161,624 REFERENCIAS Barry, B.A., Engineering Measurements, John Wiley & sons. 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