MÓDULO III – PARTE 22Números Complexos MATEMÁTICA 2012 1 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular NÚMEROS COMPLEXOS Introdução Em 1545, Jerônimo Cardano (1501 – 1576), em seu livro “Ars Magna” (A Grande Arte), mostrou o método para resolver equações do 3º grau que hoje é chamado de Fórmula de Cardano. Aplicando a fórmula de Cardano, seu discípulo Bombelli (1526 – 1572) obteve em seu trabalho “Álgebra” raízes quadradas de números negativos. Embora não se sentisse completamente a vontade em relação a essas raízes quadradas, Bombelli e outros matemáticos da época operavam livremente com elas, aplicando regras usuais da época. Apenas no século XIX, quando Gauss (1787 – 1855), o grande matemático da época, divulga a representação geométrica dos números complexos (utilizando a i = ÷1 como unidade imaginária) é que a tal sensação de desconforto desaparece. Definição Denomina-se número complexo z toda expressão da forma z = a + bi, onde “a” e “b” são números reais e i 2 = – 1. Obs.: i é denominada unidade imaginária. Forma Algébrica ¹ ´ ¦ e = e = ¬ + = IR ) z Im( b IR ) z Re( a bi a z Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária de “z”. Igualdade ¹ ´ ¦ = = ¬ + = + ¬ = d b c a di c bi a z z 2 1 Adição i ) d b ( ) c a ( ) di c ( ) bi a ( + + + = + + + Multiplicação i ) bc ad ( ) bd ac ( ) di c ( ) bi a ( + + ÷ = + · + Conjugado Sendo bi a z + = um número complexo, define-se como complexo conjugado de “z” o complexo bi a z ÷ = . Divisão 2 2 2 1 2 1 z z z z z z · · = Potências de “i” Para n e IN, temos: i 4n = 1 i 4n+1 = i i 4n+2 = – 1 i 4n+3 = – i Representação Geométrica Todo número complexo z = a + bi pode ser associado a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano. O ponto “P” é denominado afixo ou imagem de “z”. A distância “µ” de “P” até a origem “O” é denominada módulo de “z” e indicamos: 2 2 b a bi a z + = µ = + = u µ P ( a , b ) Im b O a Re MÓDULO III – PARTE 22 Números Complexos MATEMÁTICA 2012 2 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular Denomina-se argumento do complexo “z” a medida do ângulo “u”, formado pelo semi-eixo real positivo Ox com OP, medido no sentido anti-horário, conforme indicado na figura: ) z arg( = u Forma Trigonométrica ou Polar ) sen i (cos z u · + u · µ = onde “µ” é o módulo e “u” é o argumento de “z”. Multiplicação | | ) sen( i ) cos( z z 2 1 2 1 2 1 2 1 u + u · + u + u · µ · µ = · Divisão | | ) sen( i ) cos( z z 2 1 2 1 2 1 2 1 u ÷ u · + u ÷ u · µ µ = Potenciação (Fórmula de Moivre) | | ) n ( sen i ) n ( cos z n n u · + u · µ = Abraham de Moivre (1667 – 1754) Radiciação | . | \ | t + u · + t + u · µ = n k 2 sen i n k 2 cos z n n As raízes n-ésimas de “z” têm módulo igual a n µ e seus argumentos são obtidos da expressão n k 2 t + u , substituindo k por números inteiros de 0 até n – 1 . EXERCÍCIOS 01) Resolva a equação x 2 + 16x + 96 = 0 , no conjunto dos números complexos. 02) O valor de i 1 i 2 1 + + é: (A) i 2 1 2 3 + (B) i 2 1 2 3 + ÷ (C) i 2 1 2 3 ÷ ÷ (D) i 2 1 2 3 ÷ (E) 3 03) O valor de i 80 é: (A) -1 (B) 1 (C) i (D) -i 04) (Cesgranrio) O valor de i i 2 é igual a: (A) -1 (B) 1 (C) i (D) -i 05) (RURAL-99) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 - 3i , o valor de a b é: (A) 3 (B) 2 (C) 5 (D) 2 2 (E) 1 + 2 06) A solução da equação x 2 + 4 = 0 em C representa dois números complexos cuja suas formas trigonométricas são: (A) z 1 = 4 cis 0º e z 2 = 4 cis 180º (B) z 1 = 2 cis 90º e z 2 = 2 cis 270º (C) z 1 = cis 0º e z 2 = cis 180º (D) z 1 = 2 cis 0º e z 2 = 2 cis 180º (E) z 1 = 4 cis 135º e z 2 = 4 cis 45º 07) O número complexo z = -4 , escrito na forma trigonomética, é igual a: (A) 4 cis 180º (B) 4 cis 360º (C) cis 180º (D) cis 360º (E) 2 cis 360º 08) (UNI-RIO) A forma algébrica do número complexo z = 2 cis 135º (A) 2 + 2i (B) ÷ + 2 2i (C) -1 + 3i (D) -2 (E) 2 2 2 2 + i 09) (UFMG) A forma trigonométrica do número complexo z = 4 3 4 + i é: (A) 8 (cos 30º + i sen 30º) (B) 8 (cos 45º + i sen 45º) (C) 8 (cos 60º + i sen 60º) (D) 8 (cos 120º + i sen 120º) (E) 8 (cos 150º + i sen 150º) MÓDULO III – PARTE 22 Números Complexos MATEMÁTICA 2012 3 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular Re Im 0 10) (UFBA) - A fração 30 13 16 35 17 2 3 i i i i i i i + ÷ ÷ + ÷ corresponde ao número complexo: (A) 1 + I (B) – 1 + i (D) 1 – I (C) – 1 – i (E) 2 + i 11) (UFF-97) Considere os números complexos m, n, p e q, vértices de um quadrado com lados paralelos aos eixos e centro na origem, conforme a figura abaixo. Pode-se afirmar que o número m + n + p + q: (A) é um real não nulo. (B) é igual a zero. (C) possui módulo unitário. (D) é um imaginário puro. (E) é igual a 1+ i. 12) O número complexo z, |z| > 1, está representado geometricamente a seguir. A figura que pode representar, geometricamente, o número complexo z 2 é: 13) (Rural-2000-2ªF) Em um jogo de sinuca, uma mesa está localizada com centro na origem do plano complexo, conforme mostra a figura abaixo. Após uma tacada do centro 0, a bola preta segue na direção de Z = 1 + i, bate em A, indo em seguida até B e parando, conforme demonstra a figura abaixo. Encontre o ponto Z 1 = a + bi, onde a bola branca teria parado se a tacada tivesse sido dada, com a mesma intensidade, na direção e sentido do conjugado de Z. 14) (UFRJ-2004-PE) z é um número complexo tal que z 7 = 1 , z ≠ 1 Calcule: 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 Re Im 0 (A) Re Im 0 (D) Re Im 0 . (C) Re Im 0 (E) Re Im 0 (B) Im R m n p q MÓDULO III – PARTE 22 Números Complexos MATEMÁTICA 2012 4 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular 15) (UFRJ-2009-PE) No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w. Considere a mira z e o alvo w indicados na figura acima. Determine o tiro certeiro de z em w. 16) (UERJ-2005-2ªf) João desenhou um mapa do quintal de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de um número complexo z= x + iy , xeR , yeR e i 2 = -1. Para indicar a posição (x 1 , y 1 ) e a distância d do cofre à origem, João escreveu a seguinte observação no canto do mapa: Calcule: a) as coordenadas (x 1 , y 1 ); b) o valor de d. 17) (UFRJ-2001-PE) Determine o menor inteiro n> 1 para o qual ( ) n i + 3 é um número real positivo. 18)(UNIRIO-2009-2ªF) Na figura abaixo, os vértices A, B, C e D do quadrado de lado 2 e centro 0 representam, no plano de Argand-Gauss, as raízes quartas do número complexo z Se o ângulo entre o segmento OA e o eixo real é de 15º, determine, na forma algébrica, o número complexo z . 19) (UERJ – 2010- 2ª FASE) As seis soluções da equação z 6 + z 3 + 1 = 0 são números complexos que possuem módulos iguais e argumentos distintos. O argumento θ, em radianos, de uma dessas soluções pertence ao intervalo | . | \ | t t , 2 . Determine a medida de θ. 20) O holandês Escher (1898-1972) usava construções geométricas em suas obras, como o “limite circular IV” (figura 1). Parte da imagem central foi ampliada e colocada num plano de Argand-Gauss (figura 2), com destaque para a figura que é simétrica em relação à reta r. Supondo z = 4 (cos75° + i sen75º), o complexo w é igual a (A) i 3 2 2 + (B) i 2 2 2 2 + (C) i 2 3 2 + (D) ( ) ( )i 2 6 2 6 ÷ + + MÓDULO III – PARTE 22 Números Complexos MATEMÁTICA 2012 5 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular DESAFIOS: 21) (ITA-2009) Se a = 5 cos t e b = 5 t sen , então, o número complexo 54 5 5 cos | . | \ | · + t t sen i é igual a (A) a + bi (B) ÷a + bi (C) (1 ÷ 2a 2 b 2 ) + ab(1 + b 2 )i (D) a ÷ bi (E) 1 ÷ 4a 2 b 2 + 2ab(1 ÷ b 2 )i. 22) (Escola Naval – 2004) (A) ÷23 (B) ÷21 (C) ÷19 (D) 17 (E) 19 23) (ITA -2011) A soma de todas as soluções da equação em C: z 2 + |z| 2 + iz – 1 = 0 é igual a: (A) 2. (B) 2 i (C) 0 (D) 2 1 ÷ (E) i 2 ÷ 24) (IME 2011) Resolva a equação 5 ) 3 ( 9 2 2 2 ÷ = + + z z z , onde z pertence ao conjunto dos números complexos. 25) (IME 2011) Sejam z 1 = 10 + 6i e z 2 = 4 + 6i , onde i é a unidade imaginária, e z um número complexo tal que, 4 arg 2 1 t = | | . | \ | ÷ ÷ z z z z , determine o módulo do número complexo (z – 7 – 9i). Obs: arg(w) é o argumento do número complexo w Vestibulares de 2012 26)(FGV-RJ-2012)Considere os números complexos z 1 = 1+ i ; z 2 = 2(1+ i ) , em que i é o número complexo tal que i 2 = -1. Represente, no plano cartesiano, o triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexos Z 1 +Z 2 ; Z 1 ÷Z 2 e Z 1 . Z 2 . Calcule a sua área. 27)(FGV-SP-2012)É dada a matriz A = (a ij ) 3x3 tal que | | | . | \ | ÷ + ÷ = 0 1 1 1 1 1 2 i i i i A sendo i a unidade imaginária: i 2 = -1. a) Escreva a matriz B= (b ij ) 3x3 , substituindo os elementos da matriz A pelos seus números complexos conjugados, ou seja, b ij é o complexo conjugado do elemento a ij b) Determine a área do triângulo cujos vértices são os afixos dos elementos b 23 e b 32 e o afixo do determinante da matriz B. Gabaritos: 01) z 1 = i 2 4 8+ ÷ e z 2 = i 2 4 8÷ ÷ 02) A 03) B 04) D 05) B 06) B 07) A 08) B 09) A 10) B 11) B 12) C 13) B´ = 1 ÷ 3i 14) zero 15) t = i ÷ ÷ 3 16) a) (16,16) b) 2 16 17) n = 12 18) | | . | \ | + = | | . | \ | + ÷ ÷ = ÷ = i z e i z z 2 3 2 1 4 2 3 2 1 4 ; 4 3 3 3 2 3 1 | | . | \ | ÷ ÷ = | | . | \ | + ÷ = = i z e i z z 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 ; 2 3 6 3 5 3 4 19) 9 8t u = 20) B 21) B 22) C 23) E 24) 25) 2 3 26) 4 27) b) 5 MÓDULO III – PARTE 22 Números Complexos MATEMÁTICA 2012 6 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular Resolução de Algumas Questões Questão 13) Questão 14) 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 = 0 Note que 1, z, z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 estão em PG. Logo, como a razão z não é igual a 1, temos que: 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 = 0 1 1 1 1 1 7 = ÷ ÷ = ÷ ÷ z z z Questão 15) Como w tz e cis w cis z = = = º 240 4 , º 30 2 , segue que: ( ) ( ) ( ) ( ) i t i sen i t sen i t sen i sen i z w t ÷ ÷ = | | . | \ | ÷ ÷ = · ÷ = ÷ · ÷ ÷ = · ÷ · ÷ = = 3 2 1 2 3 2 º 210 º 210 cos 2 ) º 30 º 240 ( ) º 30 º 240 cos( 2 º 30 º 30 cos 2 º 240 º 240 cos 4 Logo o tiro certeiro é t = i ÷ ÷ 3 Questão 16) a) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) i 1 2i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 iy x 4 4 2 8 9 1 1 + × = + × + = + × + = + = + ( ) 16i 16 i 1 16 iy x 1 1 + = + = + ( ) ( ) 16 16, = ¬ 1 1 y x , b) 2 16 = d Questão 17) Escrevendo o número complexo i z + = 3 na forma trigonométrica, temos: | . | \ | · + = 6 6 cos 2 t t sen i z Portanto, | . | \ | · + = 6 6 cos 2 t t n sen i n z n n Para que z n seja um número real positivo, devemos ter 0 6 cos 0 6 > = t t n e n sen para que isso ocorra O ângulo só poder ser zero ou 360º, logo: n = 12 MÓDULO III – PARTE 22 Números Complexos MATEMÁTICA 2012 7 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular Questão 18) Questão 19) Substiui-se z 3 por y na equação z 6 + z 3 + 1 = 0: i y ou i y y y y 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 1 1 . 2 1 . 1 . 4 1 1 0 1 2 1 2 2 ÷ ÷ = + ÷ = ¬ ¬ ÷ ± ÷ = ÷ ± ÷ = ¬ = + + Para determinar as raízes cúbicas de um número complexo: ( ) u u µ sen i w · + = cos , usa-se a seguinte relação: { } 2 , 1 , 0 , 3 2 3 3 2 3 cos 3 e ( ¸ ( ¸ | . | \ | + · + | . | \ | + = k k sen i k w k t u t u µ Portanto, as raízes cúbicas do número complexo | . | \ | · + = + ÷ = 3 2 3 2 cos 1 2 3 2 1 1 t t sen i y São determinadas por: ( ¸ ( ¸ | . | \ | · + | . | \ | = ( ¸ ( ¸ | . | \ | · + | . | \ | = ( ¸ ( ¸ | . | \ | · + | . | \ | = 9 14 9 14 cos ; 9 8 9 8 cos ; 9 2 9 2 cos 2 1 0 t t t t t t sen i w sen i w sen i w Analogamente, as raízes cúbicas do número complexo | . | \ | · + = ÷ ÷ = 3 4 3 4 cos 1 2 3 2 1 2 t t sen i i y São determinadas por: ( ¸ ( ¸ | . | \ | · + | . | \ | = ( ¸ ( ¸ | . | \ | · + | . | \ | = ( ¸ ( ¸ | . | \ | · + | . | \ | = 9 16 9 16 cos ; 9 10 9 10 cos ; 9 4 9 4 cos 2 1 3 t t t t t t sen i w sen i w sen i w Como ) arg( 9 8 , 2 1 w = = ¬ | . | \ | e t u t t u Questão 23) Questão 24) MÓDULO III – PARTE 22 Números Complexos MATEMÁTICA 2012 8 Prof. Bruno Vianna Projeto Vestibular Questão 25) Questão 26) Questão 27)