Material para apoyo del docente prohibidasu reproducción parcial o total OMPLEMENTO para ATEMÁTICAS Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida 1 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Complemento para Matemáticas 2 Pa m e l a G o d í n e z Ve l á z q u e z SEGUNDA EDICIÓN Cuidado de la edición: Juan Carlos Osorio Paulino Corrección de estilo: Ezequiel Ortiz Hernández Diseño de portada: Yazmin Elizabeth Talavera Castillo/ Pablo García Olán Formación: Christopher Carlón Juárez / Yazmin Elizabeth Talavera Castillo Ilustración: Pablo García Olán Revisión Técnica: Juan Carlos Osorio Paulino/ María del Rocío Vanegas © Derechos reservados conforme a la ley a favor del titular de los derechos, Ediciones Punto Fijo S.A de C.V., Av. Huitzilíhuitl mz. 24, lt. 27, Colonia Santa Isabel Tola, Del. Gustavo A. Madero, Código Postal 07010, en la Ciudad de México. Material para apoyo del docente prohibida Tel: 5781-8401
[email protected] su reproducción parcial o total http://www.edicionespuntofijo.com edcpuntofijo @edcpuntofijo ISBN 978-607-476-181-8 Las características de esta edición, así como su contenido, son propiedad exclusiva de Ediciones Punto Fijo, S. A. de C. V., no pudiendo la obra comple- ta, o alguna de sus partes, ser reproducida mediante ningún sistema mecánico o electrónico de reproducción, incluyendo el fotocopiado, sin la autorización escrita del titular de los derechos de la obra. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3476 Material para apoyo del docente prohibida 2 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Presentación Complemento para Matemáticas 2 es una obra que sirve como recurso o complemento a la asig- natura oficial de Matemáticas 2; en ella se plantean ejercicios y problemas acordes al Programa de estudio vigente para que el alumno emplee estrategias y asiente el dominio de técnicas que le ayudarán a ejercitar su mente. Este material le servirá para que recupere conocimientos previos al resolver problemas y así refuerce y afirme sus aprendizajes. Asimismo, está pensado para que el docente unifique el lenguaje de manera gradual con sus alumnos, de tal manera que al construir una idea, ambos partícipes se dirijan sobre una misma vertiente. Este libro está redactado en un lenguaje formal, pero sencillo y claro para que el alumno asimile la información que se describe en la obra. En ella se abordan todos los contenidos, incluso los cambios curriculares que se han venido presentando en el Programa de estudio de Matemáticas. En cuanto a la estructura, está compuesto por cinco bloques, en cada uno de éstos aparece un apartado denominado “Profundiza” en el que se plantea un reto para que el alumno refuerce sus Material para apoyo del docente prohibida conocimientos respecto a cada lección. Además, al término de cada bloque se presenta un con- junto de ejercicios en una sección llamada “Ejercicios de reforzamiento”, que busca la ejercitación de las técnicas que construye el alumno a lo largo de los contenidos revisados; pero también tiene su reproducción parcial o total como objetivo que el alumno aproveche, junto con su profesor, el tiempo al máximo en la clase, cumpla con las intenciones didácticas que se formulan para cada actividad y dé continuidad a los aprendizajes esperados que marca el Programa. Cabe destacar que la colección de ejercicios incluidos en esta obra fue diseñada con base en el cálculo de horas destinadas para el estudio de cada contenido matemático, pues se ajusta al plan de clase que elabora cada profesor y dado que es un compendio con el que el alumno completa sus estudios, ya que le da la posibilidad de estudiar no sólo en su entorno escolar, sino de mejorar sus estrategias, técnicas y habilidades en casa. Finalmente, este material cuenta con una evaluación que ayudará al profesor a observar y va- lorar en qué situación se encuentra el alumno respecto a los aprendizajes deseados que se plantearon al inicio de cada contenido y los aprendizajes esperados del Programa oficial de Ma- temáticas. Asimismo, el libro cuenta con una anexo en el que se describen fórmulas para ayudar a resolver determinados problemas y concretar el aprendizaje del alumno. Material para apoyo del docente prohibida 3 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida ta una cantidad respecto a otra, y obtener su reproducción Bloque 1 8 parcial o total una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa. Eje: Sentido numérico y pensamiento Eje: Manejo de la información algebraico Tema: Proporcionalidad y funciones Tema: Problemas multiplicativos Contenido 7: Resolución de problemas 36 Contenido 1: Resolución de multiplicacio- 9 que impliquen el cálculo de interés com- nes y divisiones con números enteros. puesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Manejo de la información Tema: Problemas multiplicativos Tema: Nociones de probabilidad Contenido 2: Cálculo de productos y co- 13 Contenido 8: Comparación de dos o más 40 cientes de potencias enteras positivas de eventos a partir de sus resultados posi- la misma base y potencias de una poten- bles, usando relaciones como: “es más cia. Significado de elevar un número natu- probable que…”, “es menos probable ral a una potencia de exponente negativo. que…”. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Eje: Manejo de la información Material para apoyo del docente prohibida Contenido 3: Identificación de relaciones 18 Tema: Análisis y representación de datos Contenido 9: Análisis de casos en los que 42 entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una la media aritmética o mediana son útiles su reproducción parcial o total transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interio- para comparar dos conjuntos de datos. res de los triángulos y paralelogramos. Ejercicios de reforzamiento 46 Evaluación 60 Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 4: Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las 24 Bloque 2 62 condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Forma, espacio y medida Tema: Problemas aditivos Tema: Medida Contenido 1: Resolución de problemas 63 Contenido 5: Resolución de problemas 29 que impliquen adición y sustracción de que impliquen el cálculo de áreas de figu- monomios. ras compuestas, incluyendo áreas latera- les y totales de prismas y pirámides. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Eje: Manejo de la información Tema: Problemas aditivos Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 2: Resolución de problemas 65 Contenido 6: Resolución de problemas 32 que impliquen adición y sustracción de diversos relacionados con el porcentaje, polinomios. como aplicar un porcentaje a una canti- Material para apoyo del docente prohibida dad; determinar qué porcentaje represen- 4 su reproducción parcial o total etcétera. Contenido 7: Realización de experimentos 82 Equivalencia entre unidades del Sistema aleatorios y registro de resultados para un Internacional de Medidas y algunas unida- acercamiento a la probabilidad frecuen. espacio y medida Contenido 2: Resolución de problemas 100 Tema: Medida multiplicativos que impliquen el uso de Contenido 4: Justificación de las fórmulas 72 expresiones algebraicas. quintales. espacio y medida Tema: Medida mediante diversos procedimientos. espacio y medida de variación entre diferentes medidas de Tema: Figuras y cuerpos prismas y pirámides. 97 presentación de información en histogra- Material para apoyo del docente prohibida méricos que implican usar la jerarquía de mas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia). Eje: Forma. rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. prismas y pirámides interiores de cualquier polígono.. según el caso 5 su reproducción parcial o total . decimales y fraccionarios. espacio y medida Eje: Forma. des socialmente conocidas. braico Tema: Problemas multiplicativos Eje: Forma. Eje: Manejo de la información Ejercicios de reforzamiento 86 Tema: Proporcionalidad y funciones 94 115 Evaluación Contenido 6: Representación algebraica y análisis de una relación de proporcio- nalidad y = kx. espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Tema: Medida Contenido 3: Formulación de una regla que 105 Contenido 5: Estimación y cálculo del 77 permita calcular la suma de los ángulos volumen de cubos. a excepción de la para calcular el volumen de cubos. pris. mas y pirámides rectos. como barril. Análisis de las relaciones Eje: Forma.Material para apoyo del docente prohibida Eje: Sentido numérico y pensamiento las operaciones y los paréntesis. cial. en problemas y cálculos con nú- meros enteros. asociando los significados Bloque 3 96 de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación. Contenido 4: Análisis y explicitación de las 108 Material para apoyo del docente prohibida Eje: Manejo de la información características de los polígonos que permi- ten cubrir el plano. organización y 118 Contenido 1: Resolución de cálculos nu. Relación de ésta con la probabilidad quilates. si fuera su reproducción parcial o total algebraico Tema: Problemas multiplicativos necesario. Tema: Proporcionalidad y funciones su reproducción parcial o total Contenido 6: Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa 79 Eje: Forma. Eje: Sentido numérico y pensamiento Eje: Manejo de la información algebraico Tema: Análisis y representación de datos Tema: Problemas multiplicativos Contenido 7: Búsqueda. Contenido 3: Identificación y búsqueda de 69 expresiones algebraicas equivalentes a Eje: Sentido numérico y pensamiento alge- partir del empleo de modelos geométricos. teórica. división entre polinomios. Contenido 5: Relación entre el decímetro 111 cúbico y el litro. Deducción de otras equi- Eje: Manejo de la información valencias entre unidades de volumen y Tema: Nociones de probabilidad capacidad para líquidos y otros materiales. Reconocimiento del punto sis de sus relaciones. y análi- cientes enteros. braico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 1: Construcción de sucesiones 141 Ejercicios de reforzamiento 161 de números enteros a partir de las reglas Evaluación 167 algebraicas que las definen. fracciona- rios o decimales. igualación o uno o en ambos miembros de la ecuación.Material para apoyo del docente prohibida y análisis de la información que proporcio. de intersección de sus gráficas como la solución del sistema. análisis y Material para apoyo del docente prohibida explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos 6 su reproducción parcial o total . la biología. simétricas respecto de un eje. su reproducción parcial o total Eje: Sentido numérico y pensamiento alge- braico Eje: Sentido numérico y pensamiento alge- braico Tema: Patrones y ecuaciones Tema: Patrones y ecuaciones 170 144 Contenido 1: Resolución de problemas que Contenido 2: Resolución de problemas impliquen el planteamiento y la resolución que impliquen el planteamiento y la resolu- de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con ción de ecuaciones de primer grado de la coeficientes enteros. Representación de la variación mediante Ejercicios de reforzamiento 129 una tabla o una expresión algebraica de la Evaluación 138 forma: y = ax + b. espacio y medida Tema: Patrones y ecuaciones Tema: Medida Contenido 2: Representación gráfica de un 177 Contenido 3: Caracterización de ángulos 148 sistema de ecuaciones 2 × 2 con coefi- inscritos y centrales en un círculo. utilizando el método forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en más pertinente (suma y resta. Eje: Manejo de la información nan. en las que existe variación media y mediana. medias ponderadas. positivos y negativos. utilizando coeficientes enteros. espacio y medida Contenido 4: Análisis de las características Tema: Figuras y cuerpos de una gráfica que represente una relación 180 Contenido 3: Construcción de figuras de proporcionalidad en el plano cartesiano. Eje: Sentido numérico y pensamiento alge- braico Eje: Forma. Bloque 4 140 Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Contenido 6: Resolución de situaciones de 158 Eje: Sentido numérico y pensamiento alge. su reproducción parcial o total Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 5: Análisis de situaciones 155 Eje: Manejo de la información problemáticas asociadas a fenómenos de Tema: Análisis y representación de datos la física. Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones 151 Eje: Forma. la economía y otras Contenido 8: Análisis de propiedades de la 124 disciplinas. lineal entre dos conjuntos de cantidades. sustitución). Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) Bloque Material para apoyo del 5 prohibida docente 169 de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 5: Lectura y construcción de 188 gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos. Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6: Análisis de los efectos al 192 cambiar los parámetros de la función y = mx + b. Material para apoyo del docente prohibida Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad su reproducción parcial o total Contenido 7: Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) 195 al realizar muchas veces un experimento aleatorio. rombos. en la gráfica correspondiente. cuadrados su reproducción parcial o total y rectángulos. así como de arcos. espacio y medida Tema: Medida Contenido 4: Cálculo de la medida de 184 ángulos inscritos y centrales.Material para apoyo del docente prohibida isósceles y equiláteros. el área de sectores circulares y de la corona. Eje: Forma. Ejercicios de reforzamiento 199 Evaluación 210 Material para apoyo del docente prohibida 7 su reproducción parcial o total . • Compara cualitativamente la probabi- Material para apoyo del docente prohibida lidad de eventos simples. Euclides su reproducción parcial o total Eje Sentido numérico y pensamiento Contenido 1 Tema Problemas multiplicativos algebraico 2 3 Figuras y cuerpos Forma. espacio y medida 4 5 Medida 6 Proporcionalidad y funciones 7 Manejo de la información 8 Nociones de probabilidad 9 Análisis y representación de datos Evaluación Material para apoyo del docente prohibida 8 su reproducción parcial o total . • Resuelve problemas que implican el En el primero se describe cálculo de porcentajes o de cualquier que la suma de los ángulos término de la relación: interiores de un triángulo su- Porcentaje = cantidad base × tasa.Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 1 su reproducción parcial o total • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática Competencias que se favorecen: • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas que implican el Fue un geómetra griego. man 180°. Geometría” y distinguido por • Resuelve problemas que impliquen escribir la obra los Elemen- calcular el área y el perímetro del tos. Inclusive problemas que requieren de procedimientos Recursivos. la cual se divide en va- círculo. co- uso de las leyes de los exponentes y nocido como el “Padre de la de la notación científica. rios libros. 6 su reproducción parcial o total ◊ Resuelve las operaciones matemáticas que se describen en cada tabla.11)(3) = . por ejemplo: ( .2) ( .7 ) = 280 h) ` 3 j `.5 ) = 35 f) (7.2 ) = 16 7 1 7 (− 15) (7) = − 105 (− 11) (− 7. el resultado es positivo: Positivo por positivo el resultado es positivo. el resultado es negativo: Positivo por negativo el resultado es negativo.25 2 4 8 9 su reproducción parcial o total .3 ) = 72 ◊ Coloca dentro del paréntesis el número entero que determina el resultado.2) = 79.6 (+2)( . Esta ley se comprende sabiendo que el producto de dos números con signo está representado geométricamente por el área de un rectángulo cuya base y altura vienen dados por esos números. se multiplican sus valores absolutos.5) = − 76 ( 7 ) (.15 c) ( .14 (.1 ) = .1 j` 1 j = .1 3 4 12 j) ` .3 k = 21 Material para apoyo del docente prohibida e) (.8 ) (. El signo del resultado queda determinado por la regla de los signos. a) b) c) Operaciones Operaciones Operaciones Producto Producto Producto matemáticas matemáticas matemáticas 1 2 2 (21) (4) = 84 (5) (0.Material para Tema: apoyo delmultiplicativos Problemas docente prohibida su reproducción parcial Contenido 1 o total 1.2 ) = .7.33 g) ( 2 )( . El área es positiva si sus lados tienen valores en el mismo sentido.4) (2.28 (− 12) (− 4) = 3 2 6 48 (− 12.2)(− 2.3 5 2 10 d) (10.12 b) ( .21 i) ` .2. Negativo por positivo el resultado es negativo.5) = . a) ( .2) (+3) = .2 (.7) = 3.15.5 ( 5 )( 7 ) = 35 (3) (−9) = 2 1 2 − 27 (8) (− 9. por ejemplo: (+2) (+3) = +6 ( .3 (.4 ) = .48 12 2 24 (− 34) (− 7) = 238 (− 3.1 Signos iguales y diferentes: multiplicación Para multiplicar dos números enteros.40) ( . Negativo por negativo el resultado es positivo.24 ) (.3) (− 1) = 12.3) = +6 Si los dos factores tienen signos contrarios o diferentes.12 ) ( 4 ) = .5)( . Si los dos factores tienen signos iguales. Material para apoyo del docente prohibida En este caso atribuimos al área un signo negativo por que los lados van en sentidos distintos.7)( .1 j = .5)(10) = .3) = .7 ja.1) = − 7. 48.1) = 12.7) ÷ ( .2 ◊ Resuelve las operaciones matemáticas que se describen en cada tabla.45.35) ÷ ( .2.2 (+20) ÷ ( .20) ÷ (+10) = . Si el dividendo y el divisor tienen signos iguales el resultado es positivo: Positivo entre positivo el resultado es positivo.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes problemas.86 j ' ` 12 j = 16 (30) ÷ ( .0.2) = .7 8 ( .12. a) b) c) Operaciones Operaciones Operaciones Cociente Cociente Cociente matemáticas matemáticas matemáticas (27) ÷ (3) = 9 (5) ÷ ( .7) ÷ (1.14 j = 12 .5 el resultado sea .10) = -3 (10) ÷ ( . ( .7) = 5 ( .56) ÷ ( . ¿De qué número se trata? -6 c) Piensa en un número que al multiplicarlo por 14 el resultado sea .4 ` .23 j ' ` . ¿De qué número se trata? 2 f) Piensa en un número que al multiplicarlo por . Negativo entre negativo el resultado es positivo. su reproducción parcial o total a) Piensa en un número que al multiplicarlo por . Material para apoyo del docente prohibida (+20) ÷ (+10) = 2 ( . Negativo entre positivo el resultado es negativo. ¿De qué número se trata? 9 b) Piensa en un número que al multiplicarlo por 8 el resultado sea .5) = -2 ` 34 j ' ` .12 j = 2 ( .6 ` .21 el resultado sea 84. ¿De qué número se trata? -5 e) Piensa en un número que al multiplicarlo por 13 el resultado sea 26.12 j 24 = 48 36 Material para apoyo del docente prohibida 10 su reproducción parcial o total .42. ¿De qué número se trata? -3 d) Piensa en un número que al multiplicarlo por .56 ( .28) ÷ (4) = -7 ( .10) = 2 su reproducción parcial o total Si el dividendo y el divisor tienen signos contrarios o diferentes el resultado es negativo: Positivo entre negativo el resultado es negativo.4) = 21 ( .18 j ' ` .50 . ¿De qué número se trata? -4 1.10) = .4) = -5 ` .2 Signos iguales y diferentes: división Para dividir números enteros en otros de su misma clase.12 el resultado sea 60.20) ÷ ( .84) ÷ ( . se dividen sus valores absolutos y el signo del resultado se determina mediante la regla de los signos.28 j ' ` 72 j = 4 .8) = 7 ` . 2 x =-2 b) ¿Qué número multiplicado por 5 y sumado − 6 da como resultado el número 2? La ecuación que representa Al resolverla nos queda: al planteamiento es: 8 5c .4) = 17 g) ( 6 ) ÷ ( .4 k = 8 e) ( .4 b) ( .8 el resultado sea 8.3 Problemas multiplicativos ◊ Determina el valor de las literales en cada uno de los casos. al planteamiento es: .3 y sumarle 2 resultó 8.3x + Y 2 = 8-2 2 -Y .8) ÷ ( .68 ) ÷ ( . ¿De qué número se trata? .4 el resultado sea 56. a) Piensa en un número que al dividirlo entre .1. j 8 ' a.6 = 2 c= 5 5c + ( . a) Karen pensó en un número que al multiplicarlo por .2 j ' a 1 k = . ¿De qué número se trata? .224 b) Piensa en un número que al dividirlo entre .Material para apoyo del docente prohibida ◊ Coloca dentro del paréntesis el número que determina el resultado.2 k = .5 ) = 2 f) (4.10) ÷ (.3 h) ` 2 j ' a.3) + 2 = 8 . ¿De qué número se trata? .5) ÷ ( .112 e) Piensa en un número que al dividirlo entre .64 c) Piensa en un número que al dividirlo entre .3. ¿De qué número se trata? .2) = .6) ÷ (8)= .5 i) ` .12 5 6 5 j) ` .20 el resultado sea 6.6 + 6 = 2 + 6 c representa el número 5c = 8 buscado. ¿qué número pensó Karen? La ecuación que representa Al realizar un acomodo queda: Se resuelve la ecuación.16.45 10 1 40 ◊ Resuelve los siguientes problemas.3x + 2 = 8 x( .0. ¿De qué número se trata? 175 su reproducción parcial o total 1. ¿De qué número se trata? .3x = 6 .2 7 1 14 c) ( .14 el resultado sea 13.6) = 2 5c .2.120 d) Piensa en un número que al dividirlo entre 7 el resultado sea .182 Material para apoyo del docente prohibida f) Piensa en un número que al dividirlo entre 25 el resultado sea 7. su reproducción parcial o total a) ( .5 ) = .2) = .3x 6 -3 = -3 6 x = -3 El número que pensó Karen es .40) ÷ (5 ) = -8 d) (12. 5c 8 5 = 5 Material para apoyo del docente prohibida c= 5 8 11 su reproducción parcial o total . 45 buscado.9 5t .22 4r = . ¿cuál es ese número? La ecuación que representa al planteamiento es: Al resolverla nos queda: t = .4 buscado. 1 -2f=8 su reproducción parcial o total -2f 1 = 8 1 1 -2 -2 .2 más 4 es igual a 12.16 f= 1 f = .35.10) = .45 t= 5 t=.10 es igual a .4 4r . 4 = 4 .16 r representa el número 4r .22.10= .16 buscado.16 1 .16 e) Un número multiplicado por 5 menos .4 1 d) Un número multiplicado por .22 + 6 4r . ¿cuál es ese número? La ecuación que representa Al resolverla nos queda: al planteamiento es: f = . 5t .35 .6 + 6 = .4 = 12 .35 5t + 10 .2 f + 4 = 12 f representa el número Material para apoyo del docente prohibida 1 .2 f + 4 .9 Material para apoyo del docente prohibida 12 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida c) Cuatro veces un número menos 6 es igual a .6 = .35 5t + 10 = .45 5 = 5 . ¿de qué número se trata? su reproducción parcial o total La ecuación que representa al planteamiento es: Al resolverla nos queda: r = .( .16 r= 4 r= .2 f + 4 = 12 1 .10 t representa el número 5t= . a) Cuando a = .10) + .10 e) Cuando e = .49 .15 c) Cuando c = 5 en la expresión 2c + c +1 El resultado es 8: .10 en la expresión .Material para apoyo del docente prohibida 1.8e + 10e + e El resultado es −19: .100 + 1 = .10 = 80 + (.2 + 10 El resultado es 7: 6 .16 + 2 = . Material para apoyo del docente prohibida am × an = am+n 13 su reproducción parcial o total .3) + 1 = 10 .49 d) Cuando d = .8 (.3 + 1 = 7 + 1 = 8 .19 Tema: Problemas multiplicativos Contenido 2 2.15 2 (5) + 5 + 1 = 10 + (.14 b b) Cuando b = 6 en la expresión .d + 14 El resultado es 28: Material para apoyo del docente prohibida .10) + 10 (.100) + 1 = 80 .7) + 14 = 7 + 7 + 14 = 28 su reproducción parcial o total .1 Producto de potencias enteras positivas La potencia de la base indica cuántas veces se empleará éste en una multiplicación.4) + 2 = .2 + 10 = .(.14: 4 ( . es igual a ese factor cuya potencia será resultado de la suma de sus exponentes. 42 = 4 × 4 y 43 = 4 × 4 × 4 Por lo que 42 × 43 = (4 × 4) (4 × 4 × 4) = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 Entonces 42 × 43 = 42 + 3 = 45 De lo anterior se tiene: El producto de dos factores o bases iguales que están elevados a una potencia.7 .4 en la expresión 4a + 2 El resultado es .4 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Sustituye el valor correspondiente en cada una de las siguientes expresiones y averigua el resultado.7 en la expresión d .10 .20 + 1 = .3 + 10 = 7 . a) r 5 × r 6 = r 11 d) s4 × s6 × s7 = s17 1 1 g) p 2 # p 2 # p 2 = p 2 1 3 1 1 1 3 b) m2 × m5 × m1 = m8 e) t 5 × t 2 × t 3 = t10 h) w 3 # w 3 # w 3 = w 3 1 1 1 3 c) d 1 × d 9 × d 8 = d18 f) f 3 × f 8 × f 1 = f 12 i) g 4 # g 4 # g 4 = g 4 2. su reproducción parcial o total Exponente del Exponente del Suma de los Expresión re- presentada por Expresión Desarrollo de la operación exponentes de primer factor segundo factor medio de una ambas bases sola potencia 52 × 54 5×5×5×5×5×5 2 4 6 56 63 × 62 6×6×6×6×6 3 2 5 65 72 × 75 7×7×7×7×7×7×7 2 5 7 77 122 × 122 12 × 12 × 12 × 12 2 2 4 124 1282 × 1283 128 × 128 × 128 × 128 × 128 2 3 5 1285 10021 × 10023 1002 × 1002 × 1002 × 1002 1 3 4 10024 ◊ Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones. m0 = 1 14 su reproducción parcial o total . por ejemplo 50 = 1.1 Cociente de potencias enteras positivas El exponente de la base señala cuántas veces se empleará éste en una multiplicación. por ejemplo m1 = m Material para apoyo del docente prohibida Por conversión cualquier número o letra con exponente 0 es igual a 1.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Llena los espacios vacíos de la siguiente tabla. es igual a la base cuya potencia será resultado de la resta de sus exponentes. a m÷ a n= a m−n Generalmente el exponente 1 no se escribe. 1 1 6 a) 63 × 68 = 611 d) 154 ×156 × 157 = 1517 g) 2 2 # 2 4 = 2 8 3 2 1 10 b) 82 × 86 × 81 = 89 e) 1232 × 1232 × 1232 = 1236 h) 9 4 # 9 8 # 9 4 = 9 8 Material para apoyo del docente prohibida 1 1 1 3 c) 101 × 102 × 103 = 106 f) 12003 × 12008 × 120010 = 120021 i) 10 2 # 10 2 # 10 2 = 10 2 ◊ su reproducción parcial o total Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones. 74 = 7 × 7 × 7 × 7 y 72 = 7 × 7 74 7#7#7#7 (7 # 7) (7 # 7) 7#7 Por lo que = 7#7 = (7 # 7) = 1 = 7#7 72 74 Entonces = 7 4-2 = 7 2 72 De lo anterior se tiene: El cociente de dos bases iguales que están elevados a una potencia. 10 a) 9 9 = 91 11 d) 11 = 117 9 11 4 1 g) 2 3 = 2 245 1 28 5 18 b) 16 = 163 e) 14 8 = 1410 3 16 2 14 h) 4 51 = 4 207 44 15 9 c) 3 7 = 38 f) 27 9 = 270 1 3 27 i) 10 1 = 10 4 2 1 10 4 ◊ Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Completa la siguiente tabla. Expresión Resta de represen- Exponente los expo- Exponente tada por Expresión Desarrollo de la operación del nentes del divisor medio de dividendo de ambas una sola bases potencia 86 8#8#8#8#8#8 8#8#8#8 6 2 4 84 82 8#8 = 1 63 6#6#6 6 3 2 1 61 62 6#6 = 1 75 7#7#7#7#7 7 5 4 1 71 74 7#7#7#7 = 1 12 6 12 # 12 # 12 # 12 # 12 # 12 12 # 12 # 12 12 # 12 # 12 = 1 6 3 3 123 12 3 145 3 145 # 145 # 145 145 # 145 Material para apoyo del docente prohibida 145 1 = 3 1 2 1452 145 1 su reproducción parcial o total 1034 5 1034 # 1034 # 1034 # 1034 # 1034 1034 # 1034 5 3 2 10342 1034 # 1034 # 1034 = 1 1034 3 ◊ Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones. 5 a) r 3 = r 2 41 d) l = l 21 1 r g) h 21 = h 8 20 l 3 50 h8 e) y 40 = y10 10 b) m 8 = m2 5 m y h) x 4 = x 4 4 1 21 x4 f) p 19 = p2 45 c) d 18 = d 27 3 d i) h 1 = h 4 1 p Material para apoyo del docente prohibida h4 15 su reproducción parcial o total . Material para2. 53 = 5 × 5 × 5 Por lo que (53)2 = (5 × 5 × 5) (5 × 5 × 5) = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56 Entonces (53)2 = 53 × 2 = 56 De lo anterior se tiene: La potencia de otra potencia es igual a la misma base cuyo exponente será el resultado de la multiplicación de sus exponentes. 1 1 1 g) ^ 5 7 h 8 = 5 56 a) (162)5 = 1610 d) (312)1 = 312 1 1 h) ^ 17 9 h 2 = 17 18 1 b) (74)8 = 732 e) (94)10 = 940 i) _ 24 2 i 3 = 24 6 1 1 1 c) (44)4 = 416 f) (102)7 = 1014 ◊ Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones.3apoyo Potencia dedel docente prohibida una potencia su reproducción parcial o total El exponente de la base señala cuántas veces se empleará ésta en una multiplicación. (a m) n = am × n ◊ Completa los espacios vacíos de la siguiente tabla. Expresión Producto de los representada por Expresión Desarrollo de la operación exponentes medio de una sola potencia Material para apoyo del docente prohibida (82)2 (8 × 8) (8 × 8) 4 84 (73)2 (7 × 7 × 7) (7 × 7 × 7) 6 76 su reproducción parcial o total (32)5 (122)6 (3 × 3) (3 × 3) (3 × 3) (3 × 3) (3 × 3) (12 × 12) (12 × 12) (12 × 12) (12 × 12) (12 × 12) (12 × 12) 10 12 310 1212 (91)5 (9) (9) (9) (9) (9) 5 95 (172)7 (17 × 17) (17 × 17) (17 × 17) (17 × 17) (17 × 17) (17 × 17) (17 × 17) 14 1714 ◊ Representa por medio de una sola potencia el resultado de las siguientes expresiones. 1 h2 d) l 20 = l 21 41 a) r = r2 1 = h8 5 3 g) r3 l h8 5 e) y = y10 h) x 41 = w 44 50 b) m = m2 10 m8 y 40 x4 c) d = d 27 f) p 45 21 p2 i) h 1 Material para apoyo del docente prohibida 19 = 1 = h4 3 d 18 p h4 16 su reproducción parcial o total . 4 Potencia un númerodel docente natural prohibida con exponente negativo su reproducción parcial o total La expresión 6 6 es igual 64 − 6 = 6−2 6 4 64 6#6#6#6 (6 # 6 # 6 # 6) 1 1 Además. Expresión Expresión Desarrollo de la operación representada como fracción 1 1 3−2 3#3 32 1 1 Material para apoyo del docente prohibida 7−6 7#7#7#7#7#7 76 1 1 9−5 su reproducción parcial o total 95 9#9#9#9#9 1 1 10−4 10 # 10 # 10 # 10 10 4 1 1 11−5 11 # 11 # 11 # 11 # 11 11 5 1 1 247−8 247 # 247 # 247 # 247 # 247 # 247 # 247 # 247 247 8 ◊ Representa por medio de una fracción las siguientes potencias. ◊ Completa los espacios vacíos de la siguiente tabla. 1 1 1 a) (m5)2 = m10 d) (s2)6 = s 12 g) (b 2 ) 2 = b 4 1 1 1 14 21 b) (y2)7 = y e) (n7)3 = n h) (k 4 ) 4 = k 16 2 2 4 Material para apoyo del docente prohibida c) (t10)2 = t20 88 f) (a8)11 =a i) (q 5 ) 5 = q 25 17 su reproducción parcial o total . = 6 # 6 # 6 # 6 # 6 # 6 = (6 # 6 # 6 # 6) (6 # 6) = 6 # 6 = 66 62 1 Por lo que 6 -2 = 62 De lo anterior se tiene: La base cuyo exponente esté acompañado de un signo negativo es una fracción en la que el numerador siempre es uno y el denominador es la misma base.Material paradeapoyo 2. pero con signo positivo. 1 1 1 a) 13 −5 = 5 d) 18 −4 = 18 4 g) 89−6 = 13 89 6 1 1 1 b) 57 −3 = e) 32 −5 = h) 15 −10 = 57 3 32 5 15 10 1 1 1 c) 31−4 = f) 35 −16 = i) 45 −5 = 31 4 35 16 45 5 ◊ Aplica la ley de los exponentes que corresponda para expresar como una sola potencia. b. f. puntos de una están a la misma distancia de los de la otra. g y h. d. espacio y medida Contenido 3 3. En la figura anterior los pares de ángulos c y e o d y f son internos. tales como e y g. y calcula el resultado de la operación. 1 1 6-4 2 1 1 1 8+4 12 6 3 a) (2− 2) − (6− 1) = 4 . Los dos ángulos que se encuentran en lados opuestos de la recta transversal y en distinto lado y dentro de las rectas paralelas se llaman ángulos alternos internos. Además. se obtienen ocho ángulos: a. sólo por describir algunos. 18 su reproducción parcial o total .16 = 144 = 144 d) (10− 1) + (3− 3) = 10 + 27 = 270 = 270 Tema: Forma. son equidistantes. los pares de ángulos a y g o b y h se denominan ángulos alternos externos porque se encuentran Material para apoyo del docente prohibida en lados opuestos de la recta trasversal y en distinto lado y fuera de las rectas paralelas.5 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Convierte los exponentes negativos a positivos. a b d c e f h g Los pares de ángulos opuestos por el vértice se caracterizan porque los lados de uno son prolongación de los lados del otro y además conservan una misma medida. c. e. En los trazos los ángulos a y c son opuestos e iguales.Material para apoyo del docente prohibida 2. en otras palabras.9 7 1 1 27 + 10 37 b) (3− 2) − (4− 2) = 9 . son iguales.1 Rectas paralelas cortadas por una transversal 90° 90° 90° 90° Material para apoyo del docente prohibida Observa que 2 rectas son paralelas cuando todos los su reproducción parcial o total Observa que 2 rectas son perpendiculares cuando al intersecarse forman ángulos rectos. además tienen la misma medida. En los siguientes trazos se observa que si se intersecan 2 rectas paralelas con una transversal. Por otra parte.6 = 24 = 24 = 12 c) (4− 1) + (2− 3) = 4 + 8 = 32 = 32 = 16 = 8 1 1 16 . ( d ) +r = +v r ( a ) +s = +u s u ( a ) +w = +z t ( b ) +t = +v v w z ( d ) +u = +z y ( a ) +y = +v ( b ) +u = +w a) Ángulos opuestos por el vértice c) Ángulos alternos externos ( c ) +s = +z b) Ángulos alternos internos d) Ángulos correspondientes Material para apoyo del docente prohibida ◊ Con base en los trazos que se te proporcionan escribe dentro del paréntesis la letra que relaciona ambas columnas. pero dentro de las paralelas son ángulos colaterales internos. Mientras que los ángulos colaterales externos se encuentran fuera de las paralelas. Los ángulos correspondientes revisados en la figura anterior son a y e. su reproducción parcial o total Medida del ángulo a: 129° a 51° Medida del ángulo b: 51° b c Medida del ángulo c: 129° Medida del ángulo d: 51° e d Medida del ángulo e: 129° 51° f Medida del ángulo f: 129° a) ¿Cuál es la suma de los ángulos a y b? c) ¿Cuál es la suma de los ángulos d y e? Es igual a 180° Es igual a 180° b) ¿Cuál es la suma de los ángulos b y c? d) ¿Cuál es la suma de los ángulos d y f? Es igual a 180° Es igual a 180° Los ángulos adyacentes son 2 ángulos que comparten el mismo vértice y un lado común entre ellos. escribe dentro del paréntesis la letra que relaciona ambas columnas. c y g. los ángulos que están del mismo lado de la transversal y del mismo lado de las paralelas reciben el su reproducción parcial o total nombre de ángulos correspondientes. Material para apoyo del docente prohibida 19 su reproducción parcial o total . los ángulos que se forman del mismo lado de la recta trasversal.Material para apoyo del docente prohibida Finalmente. d y h. b y f. Por otra parte. ◊ Con base en los trazos que se te proporcionan. 2 ¿Cuánto vale la literal? ◊ Averigua el valor en grados que asume la o las literales con base en los datos que se te proporcionan.105° medida. 3.27. 4x = 125° .5° ya que x + 10° = 26° ya que x + 27. +g + +l = 180c. el valor de y es 154° b) d) s r 3. k m Y 2 ángulos colaterales internos o externos son suplementarios. 20 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Los pares de ángulos +h y +k como +i y +j son colaterales f internos.10° = 16° Luego. Luego.5° Finalmente.4t + 20.5° = 55°. 3.4t + 20. El ángulo r mide 41° por ser correspon- ya que 4x + 105° = 125° diente con el ángulo que tiene asignada una Luego. g i Los pares de ángulos +g y +l como +f y m son colaterales h j internos. el de t es 6° y s es igual a El valor de x es igual a 5°.5 o 55 o x + 10° su reproducción parcial o total El valor de x es igual a 16°. por l ejemplo. El valor de x es igual a 27. Finalmente Material para apoyo del docente prohibida % Por lo que x = 4 =5 el ángulo s es suplementario a r. x = 26° .6° = 41°. 139°.6° 4x + 105° 41° 125° El valor de r es 41°. Luego. a) c) Material para apoyo del docente prohibida y 26° x + 27. Al resolver la 20 % ecuación se obtiene que t es igual 6°. x = 55° . ◊ Halla el valor del o los ángulos interiores de cada triángulo. De lo anterior se concluye que: la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. +5 = +2 por ser ángulos opuestos por el vértice. Entonces +3 + +2 + +1 = +12 + +5 + +7. de los cuáles 3 son ángulos interiores del triángulo que se forma.Material para apoyo delinteriores 3. En tanto que los ángulos externos son suplementarios a los anteriores. Material para apoyo del docente prohibida b b Bb = 75 % Bm = 89 % 21 su reproducción parcial o total . Luego. Por lo que +12 + +5 + +7 = 180c.3 Ángulos docente prohibida su reproducción parcial o total Los ángulos interiores de un triángulo se forman entre 2 lados contiguos dentro de un triángulo. Ángulo exterior Ángulo interior Ángulo exterior Ángulo interior Si se trazan 2 rectas paralelas y 2 rectas transversales que concurran en un mismo punto sobre una de las paralelas. a) b) m El valor de cada ángulo b es 75°. 2 3 1 4 6 Material para apoyo del docente prohibida 5 8 11 7 12 su reproducción parcial o total 9 14 10 13 +12 = +3 por ser ángulos correspondientes. +3 + +2 + +1 = 180c. +7 = +1 por ser ángulos correspondientes. se obtienen 14 ángulos.B30 % B32 % + B59 % + 1 m = B180 % 1 2b = B150 % B91 % + 1 m = B180 % El valor de m 150 % 1b= 2 1 m = B180 % .]91 % es igual a 89°. 1 b + 1 b + B30 % = B180 % 32° 30° 1 2b + B30 % = B180 % 59° 1 2b = B180 % . 1 (y + 65 %) + 1 (y + 15 %) + 1 (y + 49 %) = B180 % 1 1 (2x + 20 %) + 1 ( 4 x + 55 %) + 1 (3x) = B180 % 1 3y + B129 % = B180 % 21 1 4 x + B75 % = B180 % 1 3y = B180 % .Material para apoyo del docente prohibida c) d) su reproducción parcial o total y + 49° y + 15° 3x y + 65° 2x + 20° 1 % 4 x + 55 El valor de cada ángulo interior es de 60°. su reproducción parcial o total 180° 180° 180° 180° 180° 180° ◊ Lleva a cabo las acciones que se describen en cada inciso. determina la medida de los ángulos interiores del paralelogramo que forman las rectas.B129 % 21 1 3y = B51 % 1 4 x = B180 % . 118° 1 4 2 3 Material para apoyo del docente prohibida B1 = 62 % B2 = 118 % B3 = 62 % B4 = 118 % 22 su reproducción parcial o total . se des- compone la figura de 4 lados en triángulos. 32° y 66°. 4 420 % Bx = 21 = 20 % Material para apoyo del docente prohibida La suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es igual a 360°. a) S in utilizar algún instrumento de medición. Para tener una idea de lo anterior.B75 % 51 % 21 1y= 3 1 4 x = B105 % By = 17 % 105 % 1 x = 21 Por lo que los ángulos miden 82°. por lo que 7 7 % 3 k + 3 k + k + k = 360 Al resolver la igualdad. 8y + 5° 24x + 15° 135° 2y + 35° Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total El valor de x es igual a 5°: 24x + 15 % = 135 % El valor de y es igual a 5°: 2y + 35 % = 45 % 24x = 135 % . a 37° d b c Ba = 143 % Bb = 37 % Bc = 143 % Bd = 37 % c) Determina el valor de la literal x e y. se tiene: 7 7 % 14 % 20 % % % 1080 % % 3 k + 3 k + k + k = 360 & 3 k + 2k = 360 & 3 k = 360 & 20 k = (360 ) (3) & 20 k = 1080 & k = 20 & k = 54 Si k = 54° entonces la medida de dos de los ángulos son 54° y los otros dos tienen una medida de 126° ya que 7 7 % %) = 378 = 126 % . determina la medida de los ángulos interiores del paralelogramo que su reproducción parcial o total forman las rectas. 7 3k La suma de los ángulos in. Material para apoyo del docente prohibida 3 k = ( 3 ) (54 3 23 su reproducción parcial o total . k k teriores del paralelogramo 7 3k es igual a 360°.Material para apoyo del docente prohibida b) Sin utilizar algún instrumento de medición.35 % 24x = 120 % 2y = 10 % 120 % 10 % x = 24 y= 2 x = 5% y = 5% d) Determina el valor de la literal k.15 % 2y = 45 % . 6 cm y 8 cm. Material para apoyo del docente prohibida 3. se puede establecer una regla de tres para averiguar el área de la parte sombreada del círculo.5 cm 2 4474.144 % & 3 r = 36 % & 2 2 2 2 2 2 72 % 3r = (36 %) (2) & 3r = 72 % & r = 3 & r = 24 % Material para apoyo del docente prohibida 3 72 % = 180 % . el ángulo central que forma el área sombreada es de 57°. por ejemplo.4 Profundiza su reproducción parcial o total ◊ El área del círculo es igual a 78. los ángulos miden 68°. Por otra parte. Primero: se traza un segmento empleando una de las medidas que se conocen.42 cm 2 360 360 360 % Tema: Figuras y cuerpos Contenido 4 4. 55° y 57° respectivamente.5 cm2 y un ángulo de 360°. De lo anterior.1 Construcción de triángulos Para construir un triángulo conociendo sus tres medidas se procede como se muestra a continuación. Téngase en cuenta que las medidas que formarán al triángulo son 10 cm. ¿Cuál es el área de la parte sombreada del círculo? 1 % 2 r + 43 1 % 2 r + 56 1 % 2 r + 45 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. 78. Por lo que ( 1 r + 56 %) + ( 1 r + 45 %) + ( 1 r + 43 %) = 180 % & 3 r + 144 % = 180 % & 3 r = 180 % . 10 cm.5 (cm 2) (%) % =( % ) # (57 %) = . Material para apoyo del docente prohibida 24 su reproducción parcial o total .144 % & 2 r = 36 % & 3r = (36 %) (2) & 3r = 72 % & r = 3 & r = 24 % su reproducción parcial o total Entonces.5 cm2 360° x 57° (78. El círculo tiene un área de 78. 12.5 cm 2) # (57 %) 78.5 cm2. Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Cuarto: Se unen los extremos del segmento con el punto de intersección que hay entre los arcos para formar el triángulo con las medidas proporcionadas.5 cm 4. se traza un arco.5 cm.5 cm Material para apoyo del docente prohibida 25 su reproducción parcial o total . 3.5 cm y 4. trata de construir un triángulo y escribe si te fue o no posible construirlo. a) Longitudes de los segmentos: 2.5 cm 2.Material para apoyo del docente prohibida Segundo: se abre el compás utilizando cualquiera de las otras 2 medidas y apoyando el compás sobre uno de los su reproducción parcial o total extremos del segmento. 3. 6 cm 8 cm 10 cm 10 cm ◊ Con las 3 medidas que se proporcionan en cada caso. Tercero: se apoya el compás sobre el otro extremo del segmento para trazar un nuevo arco con la tercera medida de tal manera que cruce con el anterior. Fue posible construirlo.5 cm. 5 cm 6 cm c) Longitud de los segmentos: 6. 5.5 cm.5 cm Material para apoyo del docente prohibida 6.5 cm. Por ejemplo. 5.5 cm y 6 cm. Fue posible construirlo. su reproducción parcial o total Fue posible construirlo.5 cm y 2. 4. 5 cm 2 cm 8 cm No siempre es posible construir un triángulo cuando se dan 3 medidas de los lados.5 cm 2.5 cm su reproducción parcial o total d) Longitud de los segmentos: 8 cm. 5 cm y 2 cm.Material para apoyo del docente prohibida b) Longitudes de los segmentos: 3. 4 cm 3 cm 9 cm Material para apoyo del docente prohibida 26 su reproducción parcial o total . 3.5 cm. 4 cm y 3 cm. 9 cm. No fue posible construirlo.5 cm 4. a) Longitudes de los segmentos: 4 cm y 3 cm. debido a que la medida del tercer lado dependerá del ángulo que formen los 2 segmentos proporcionados. 50° c) Longitudes de los segmentos: 6 cm y 5 cm. No se puede obtener un triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los 2 segmento dados. El triángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar. 5 cm 5 cm 30° 45° Material para apoyo del docente prohibida 7 cm 7 cm 27 su reproducción parcial o total . Por ejemplo.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Con las 2 medidas que se te proporcionan en cada inciso construye un triángulo y escribe cuál sería la medida su reproducción parcial o total del tercer lado.5 cm y 4 cm. 60° Dados solamente 2 segmentos no es posible obtener un único triángulo. El triángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar. Material para apoyo del docente prohibida No se puede obtener un triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los 2 segmento dados. El triángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar. 5 cm y 7 cm. b) Longitudes de los segmentos: 4. 20° su reproducción parcial o total d) Longitudes de los segmentos: 4 cm y 7 cm. No se puede obtener un triángulo único debido a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los 2 segmento dados. No se puede obtener un triángulo único debido 40° a que la medida del tercer lado depende del ángulo que formen los 2 segmento dados. El triángulo es sólo un ejemplo de respuesta de algunas que se pueden presentar. uno de los lados debe ser mayor o igual que la suma de los otros dos lados. 14 cm y 25 cm b) No existe triángulo ( b ) 3 cm.2 Profundiza ◊ Relaciona las medidas de la columna de la derecha con las opciones que ofrece la columna de la izquierda y escribe entre los paréntesis la letra que corresponde. 6 cm y 3 cm ( b ) 3. b) d) ◊ Propón en cada inciso 3 medidas con las cuales no se pueda construir un triángulo. el triángulo de lados 4 cm. a) Para los 4 casos. Material para apoyo del docente prohibida b) d) su reproducción parcial o total Un triángulo existe si la suma de 2 de los lados cualesquiera que lo forman es superior a un tercer lado.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Propón en cada inciso 3 medidas que sean enteras con las cuales se pueda construir un triángulo. ( a ) 4 cm. 4 cm y 7. 7 cm y 11 cm Material para apoyo del docente prohibida ( a ) 12 cm. 5 cm y 7 cm ( a ) 8. a) su reproducción parcial o total Para los 4 casos. Por ejem- plo. las medidas que se propon. las medidas que se propon- gan uno de los lados debe ser menor que la c) suma de los otros dos lados. 10 cm y 8 cm si existe.4 cm.5 cm.5 cm a) Existe triángulo ( b ) 10 cm. c) gan. 8 cm y 7 cm 28 su reproducción parcial o total . porque: 4 + 10 > 8 4 + 8 > 10 10 + 8 > 4 4. 04 mm2 = 58.2 mm Área de la figura compuesta: Material para apoyo del docente prohibida 31.6 mm) 2 (3.5 m) 2 (3.875 cm2 + 25 cm2 = 83. 2 rr Considerando que r = 3.2264 mm A sc = 2 = 2 = 2 = 10.14 y que la expresión Ac = 4 ayuda a determinar el área total del círculo.2925 m2 La figura compuesta está construida con 3 semicírculos de diámetro b) 5.14) (20. si el radio del círculo.Material para apoyo del Tema: docente prohibida Medida su reproducción parcial Contenido 5 o total 5. un rectángulo y un triángulo. Área de uno de los semicírculos: (3.14 h^5 cm h2 ^3. 7m El área del semicírculo es (3. su reproducción parcial o total a) De abajo para arriba se observa que la figura compuesta está formada por un semicírculo.14) (2.2 mm)2 = 27. Para calcular su área se opta por descomponerla con el fin de usar las fórmulas de la figuras ya conocidas.2 mm.625 cm 4 4 4 A c = ^ 19.14 h^25 cm 2 h 78.5 m2 = 99.875 cm que son 4 partes del círculo 2 2 3 Luego.04 mm2 5.7925 m2 + 36 m2 + 31. se tiene: ^3.8396 mm2 5.875 cm2 Material para apoyo del docente prohibida ◊ Determina el área de las siguientes figuras compuestas.6132 mm 2 Área de los 3 semicírculos: (3) (10. un círculo y un cuadrado.6132 mm2) = 31.625 cm h^ 3 h = 58. que es también el lado del cuadrado. con la expresión l 2 se calcula el área del cuadrilátero. Éste es también es la medida del lado del cuadrado.5 m 2 El área de la figura compuesta es igual a 9m 31.14) (6.14) (4.1 Áreas de figuras compuestas Una figura compuesta es la que está conformada por otras figuras planas conocidas.8396 mm2 + 27.76 mm) 21.5 cm 2 2 5 cm Ac = = == 19. La siguiente figura compuesta está conformada por otras 2 conocidas.2 mm Área del cuadrado: l 2 = (5.25 m 2) 63.8796 mm2 29 su reproducción parcial o total . l 2 = (5 cm)2 = 25 cm2 La suma de las 2 medidas obtenidas representa el área de la figura compuesta: 58. En este caso el área total será el resultado de sumar tres cuartas partes del área del círculo y la del cuadrado.7925 m 2 4m El área del rectángulo es igual a AR = (9 m) (4 m) = 36 m2 (9 m) (7 m) 2 63 m 2 El área del triángulo es igual a A T = 2 = 2 = 31.585 m 2 A sc = 2 = 2 = 2 = 31. 2 cm Área lateral: bh = (12.96 cm2 Área total: AT = 20.8831 cm 2 2 cm Área del paralelogramo: AP = (1. un pa- su reproducción parcial o total ralelogramo y un rectángulo.Material para apoyo del docente prohibida c) 1.44 cm2 12.2 cm 3.75 cm) 2 (3.5 cm La figura compuesta está construida con un semicírculo. 2 cm Área del semicírculo: (3.5 cm) (2 cm) = 3 cm2 Área del rectángulo: AR = (3 cm) (2 cm) = 3 cm2 Área compuesta: 2 2 1.7662 cm 2 A sc = 2 = 2 = 2 = 0.48 cm2 3.24 cm2) = 20.2 cm)2 = 10. si se desarma de tal manera que se pue- da observar sus 4 caras y 2 bases en un plano.14) (0.8831 cm2 d) La figura compuesta está conformada por un 2 cm triángulo y un paralelogramo.2 cm.2 Área laterales y totales Los lados de las caras del siguiente cubo tienen una longitud de 3.2 cm 3. Área del paralelogramo: AP= (2 cm) (1 cm) = 2 cm2 2 cm Área del triángulo: (2 cm) (2 cm) 4 cm 2 AT = 2 = 2 = 2 cm 2 Material para apoyo del docente prohibida 1 cm 2 cm Área compuesta: su reproducción parcial o total 2 cm2 + 2 cm2 = 4 cm2 5.14) (0.2 cm El área de una de las bases: A = l 2 = (3.5625 cm 2) 1.2 cm 3.24 cm2 Área de las bases: 2A = 2 (10.2 cm 3.5 cm 0.48 cm2 + 40. veremos lo siguiente.8831 cm2 + 3 cm + 3 cm = 6. 30 su reproducción parcial o total . En cambio el área total es la Material para apoyo del docente prohibida suma del área lateral más la suma de las áreas de las bases.2 cm 3.2) = 40. 3.8 cm En general.8 cm) (3. estos dos últimos tienen la misma base y la misma altura.96 cm2 = 61. el área lateral de un prisma es la suma de la áreas de las caras laterales. 44 cm2 m Área de la base = (1.975 cm2) (4) = 63.48 cm 2 2 = 2 = 3.2 cm 31 su reproducción parcial o total .15 cm2 4.24 cm2) (6) = 19.4 c 2 0.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Determina el área lateral y compuesta de los siguientes prismas y pirámides.9 cm2 + 20.25 cm2 Área total = 63. su reproducción parcial o total a) 2 cm Área de una de las caras laterales: (6 cm) (3 cm) = 18 cm2 Área lateral = (18 cm2) (4) = 72 cm2 Área de una base = (3 cm) (2 cm) = 6 cm2 6 cm Área de las bases = (6 cm2) (2) = 12 cm2 Área total = 72 cm2 + 12 cm2 = 84 cm2 3 cm b) 5 cm Área de una de las caras laterales: (10 cm) (30 cm) = 300 cm2 Área de todas la caras laterales: (300 cm2) (6) = 1800 cm2 (10 cm) (6) (5 cm) 300 cm 2 Área de una base = 2 = 2 = 150 cm 2 30 cm Área de las dos bases = (150 cm2) (2) = 300 cm2 Área total = 1800 cm2 + 300 cm2 = 2100 cm2 Material para apoyo del docente prohibida 10 cm c)su reproducción parcial o total Área de una de las caras laterales: (4.44 cm 2 5.24 cm 2 Área de todas la caras laterales: (3.9 cm2 cm Área de la base = (4.1 Área de todas la caras laterales: (15.975 cm 2 7.44 cm2 = 20.5 cm d) Área de una de las caras laterales: (1.25 cm2 = 84.88 cm2 Material para apoyo del docente prohibida 1.44 cm2 + 1.5 cm 4.1cm) 31.95 cm 2 2 = 2 = 15.5 cm) (7.4 cm) 6.4 cm) = 1.5 cm) (4.2 cm) (5.5 cm) = 20.4 cm Área total = 19.2 cm) (6) (0. 10 100 Para saber qué cantidad representa el descuento.00 − $52. por lo que el área del cuadrilátero es igual a l 2 = (7 cm)2 = 49 cm2 Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6 6. se multiplica 30 × 0.05 Para saber qué cantidad representa el descuento.50.00 pero si un cliente decide llevarse 2 litros la tienda le ofrece un 10% de descuento.15 su reproducción parcial o total 100 Para saber qué cantidad representa el descuento. se multiplica 2485 × 0.05 = 124.25 El resultado se resta del precio original del pantalón para obtener el precio con descuento: $2485. ¿cuál es la cantidad a pagar? 5 Primero se tiene en cuenta que 5% = 100 = 0.75 b) En una tienda comercial el precio de un litro de leche es de $15.25 = $2360.00 − $124.00.15 = 52. El resultado se resta del precio original del pantalón para obtener el precio con descuento: $350. se multiplica 350 × 0.1 ¿Qué cantidad representa? Material para apoyo del docente prohibida En una tienda comercial el precio de un pantalón de vestir es de $350.10 = 3 El resultado obtenido se resta del precio original de los 2 litros de leche para obtener el precio con descuento: $30. ¿Cuál es el área que ocupa la base de la pirámide cuadrangular si se tiene conocimiento de que el área lateral es igual 168 cm2 y que la altura de uno de los triángulos mide 12 cm? Área de una de las caras laterales: 168 cm = 42 cm 2 2 4 Longitud de la base del triángulo: (B) (12 cm) 84 cm 2 2 = 42 cm 2 & (B) (12 cm) = (42 cm 2) (2) & (B) (12 cm) = 84 cm 2 & B = 12 cm = 7 cm 84 cm 2 2 cm) = 84 cm 2 & B = 12 cm = 7 cm La longitud de la base del triángulo es la misma para la base de la pirámide. Material para apoyo del docente prohibida 5.3 Profundiza su reproducción parcial o total ◊ José ha mandado a hacer varios calendarios de cartón tipo pirámide con el fin de entregarlos a cada uno de sus clientes. ¿cuál será el costo a pagar si la prenda de vestir tiene un 15% de descuento? Primero se toma en cuenta que 15% = 15 = 0.00.50 ◊ Resuelve los siguientes problemas.00 = $27.00 Material para apoyo del docente prohibida 32 su reproducción parcial o total . ¿cuál es la cantidad que pagaría el cliente por 2 litros de leche? Primero se tiene en cuenta que 10% = 10 = 0. a) Un teléfono celular tiene un precio de $2 485.50 = $297.00 − $3. Si tiene un descuento del 5%. 50) 100 = ( 986 ) (739. Si el total fue de $986. 18 100% 15. ¿Qué porcentaje de descuento tiene la bolsa con arroz? Se establece una regla de tres y se resuelve. El resultado representa el porcentaje que corresponde a $739. se multiplica 114 × 0. a) En un supermercado la bolsa que contiene un kilogramo de arroz tiene un determinado descuento. por lo que una manera más para saber la cantidad a pagar sería multiplicar 160 × 0. pero tiene un descuento de 16%. por lo que en lugar de pagar $18. un restaurante ofrece un determinado descuento de la cuenta o consumo total que haga una familia.84.25 = 28. puedes restar la cantidad que ese porcentaje representa al valor bruto.84.Material para apoyo del docente prohibida c) Al entregar 8 pilas AA en las taquillas de un cine.50 100% x su reproducción parcial o total x= (100) (739.50 Si deseas calcular el precio de un artículo que vale $160.00 − $28.50) = 75 986 senta el 25%. Material para apoyo del docente prohibida 33 su reproducción parcial o total .50 = $85. ¿cuál fue el descuento que hizo el restaurante a la familia? Se establece una regla de tres y se resuelve. ¿Cuál será el precio que pagará una persona si ha comprado 2 boletos.84 x (100) (15.50. Entonces el costo de dicho artículo equivaldría un 84%. ◊ Resuelve los siguientes problemas.84) 100 x= 18 = ( 18 ) (15.40 6.2 ¿Qué porcentaje representa? Por aniversario.00.5 El resultado obtenido se resta del precio original de los dos boletos para obtener el precio con descuento: $114.084 = 134.84) = 88 El resultado representa el porcentaje que corresponde a $15. ha llevado las 8 bate- rías y el costo de cada boleto es de $57.00 se paga $15. por lo que la cantidad que se descontó representa el 12%.25 Para saber qué cantidad representa el descuento. éste otorga un descuento del 25% al adquirir dos boletos para su reproducción parcial o total cualquier función.00 y con descuento fue de $739.50.00? 25 Primero se tiene en cuenta que 25% = 100 = 0. por lo que la cantidad que se descontó repre- Material para apoyo del docente prohibida 986 739. 8 eligieron su reproducción parcial o total jugar fútbol y 15 seleccionaron entrar al equipo de natación. Por lo que se establece la siguiente regla de tres. a) Dieciocho alumnos son zurdos y constituyen el 6% del total del alumnado que representa a todos los grupos de primer grado de secundaria. 18 6% x 100% (18) (100) 18 x= 6 = ( 6 ) (100) = 300 El resultado representa el 100%. que representa un porcentaje de la cantidad total.Material para apoyo del docente prohibida b) D e un aula de clases 12 personas decidieron tomar clases de guitarra. c) Gabriel ha solicitado un préstamo a un banco por la cantidad de $5 000. Material para apoyo del docente prohibida 34 su reproducción parcial o total . ¿Cuál es el porcentaje que Ga- briel pagará cada mes? Se establece una regla de tres y se resuelve. que es el total de alumnos que hay en la escuela. 40 100% 5 x (100) (5) 100 x= 40 = ( 40 ) (5) = 12.5 El resultado representa el porcentaje que corresponde al número de alumnos que decidieron practicar karate.00 bajo la condición de que cada mes haga un depósito de $150. 5000 100% Material para apoyo del docente prohibida 150 x su reproducción parcial o total (100) (150) 100 x= 5000 = ( 5000 ) (150) = 3 El resultado representa el porcentaje que Gabriel pagará cada mes. ¿Cuántos alumnos forman a todos los grupos de primer grado? Se establece una regla de tres y se resuelve.3 Cantidad y porcentaje ◊ Resuelve los siguientes problemas.00. 5 optaron por practicar karate. ¿Qué porcentaje del total de las personas optó por practicar karate? En el aula hay un total de 40 alumnos de los cuales 5 optaron por practicar karate. 6. Si la estufa antes de aplicar el porcentaje tuvo un valor de $3600.05 = 189 El resultado obtenido se resta del precio bruto para obtener el precio con descuento : $3780. por lo que el precio actual se puede hallar mediante el siguiente planteamiento: (x) (1. De los cuales el 32% son mujeres su reproducción parcial o total (incluyendo niñas y adultos) y el resto son hombres (niños y adultos).16) = 5289. ¿Cuántos niños forman parte del equipo de baloncesto si éstos representan el 50% del equipo de hombres? Se establece una regla de tres y se resuelve.00 Material para apoyo del docente prohibida 35 su reproducción parcial o total . se multiplica 102 × 0.05 = 180 El resultado obtenido se aumenta al precio de la estufa con el fin de obtener el precio con descuento a pagar: $3600 + $180 = $3780 Luego. a la cantidad obtenida se le aplica un 5%: 3780 × 0.00. ¿cuál fue el precio del aparato que se mantuvo durante febrero? Primero se tiene en cuenta que 5% = 5 = 0.60 x= 1. que son 51 niños. a) Para el mes de enero en una tienda comercial decidieron aumentar el precio de una estufa en un 5% y para el mes siguiente consideraron que la estufa debería venderse con un 5% menos. c) Una persona pagó por un refrigerador $5289.16 x = 4560 su reproducción parcial o total 6. ¿Cuánto costaba este aparato sin incluir el IVA.60 con todo y el Impuesto al Valor Agregado (IVA).60 Material para apoyo del docente prohibida 5289. Luego.50 para saber cuántos niños del total de integrantes forman parte del equipo de baloncesto. se multiplica 3600 × 0. 150 100% x 68% (150) (68) 150 x= 100 = ( 100 ) (68) = 102 El resultado representa la cantidad del 68%.4 Profundiza ◊ Resuelve los siguientes problemas.Material para apoyo del docente prohibida b) Un equipo de baloncesto está integrado por 150 personas: hombres y mujeres. si éste fue del 16%? El precio anterior es x y el IVA es del 16% de x.00 = $3591.00 .05 100 Para saber qué cantidad representa el incremento. que es el total de hombres que forman parte del equipo de baloncesto.$189. 40 Material para apoyo del docente prohibida 16% $5324.16 h = 1508 16% $1508.00 = $1 000.20.00 1508 x = 1.20.00 x= 5324.1 Interés simple Jesús ha invertido $5000.00? su reproducción parcial o total Se establece una regla de tres y se resuelve. 36 su reproducción parcial o total .00 $6 000.00.$5 000.40 1.16 Procedimiento ^ x h^1. I = (5000) (0. Donde I representa los intereses.40 $4590. ¿qué porcentaje se descontó del precio real: $754.2 # 100 = 20% Por otra parte. Artículo IVA Costo con IVA Costo sin IVA Procedimiento ^ x h^1.Material para apoyo del docente prohibida b) Unos audífonos con descuento cuestan $603. si el plazo no fuera de un año.00 (que es el monto o valor futuro) por su inversión. VP el valor presente. r la tasa de interés (expresada en decimales) y n el número de años.00 $1300.20) (3) I = (1000) (3) I = 3000 Por lo que los intereses que produce un valor presente con una tasa de interés simple anual del 20% durante los Material para apoyo del docente prohibida tres años es de $3000. se calcularían con la expresión: I = VPrn.16 h = 5324. y el objetivo fuera buscar los intereses que produce el valor presente con una tasa de interés simple anual. 754 100% 603. c) En la siguiente tabla se muestran los precios de 2 aparatos eléctricos a los que se les aplicó el 16% de IVA.00 (que es el capital o valor presente) y al término de un año recibió $6000. Valor presente (VP) = $5000. Calcula el costo de cada artículo sin el IVA y colócalo en el espacio vacío correspondiente. por lo el porcentaje que se descontó es el 20%.16 su reproducción parcial Tema: Proporcionalidad y funciones o total x = 4590 Contenido 7 7.20) = 80 El resultado representa el porcentaje que corresponde a $603.20 x (100) (603. ¿cuáles son los intereses y la tasa de interés que obtuvo en ese plazo? Los intereses son la diferencia entre VF y VP.00 O sea VF − VP = I: Valor futuro (VF) = $6000.00 .20) 100 x= 754 = ( 754 ) (603.00 1000 La tasa de interés (r) anual que obtuvo fue del 20%: 5000 # 100 = 0. sino de tres. 00.00 + $720.00 = $2520.00 Material para apoyo del docente prohibida 37 su reproducción parcial o total .00 c) ¿Cuál es el valor futuro de la cantidad $1800.2 # 100 = 20% Si el plazo es de 4 años.20) (4) = 2800 b) ¿Cuál es la cantidad o valor futuro que obtendrá una persona al final del año. El resultado obtenido.00: VF − VP = $4200 − 3500. la persona pagaría un interés de $2800. • ¿Cuál fue el importe por concepto de interéses que cobró el banco a esta persona? • ¿Cuál fue la tasa de interés que cobró el banco a esta persona? • ¿Cuál será el interés simple anual que cobre el banco a esta persona si el plazo es de 4 años? El banco cobró a la persona $700. por lo que la persona obtendría en total su reproducción parcial o total $2240.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes planteamientos.00 = $700.12 = 240. su reproducción parcial o total a) U n banco otorgó un préstamo a una persona de $3500.00 que devenga intereses con la tasa simple anual del 10% al final de 4 periodos anuales? Se busca el importe que genera la tasa anual y se tiene: I = (1800) (0. que son los intereses.00 poniendo de manifiesto que tenía como plazo un año para liquidarlo y que pagaría en total de $4200.00 700 La tasa de interés fue del 20%: 3500 # 100 = 0. si invirtió $2000.00 y la tasa de interés simple anual es de 12%? Material para apoyo del docente prohibida Se multiplica 2000 × 0.10) (4) I = (180) (4) I = 720 Los intereses se suman al valor presente y se obtiene el valor futuro: $1800.00: (3500) (0. es sumado con el valor presente. 60 3-4 $28 121.00 Si Ana no hace retiro alguno en el tiempo establecido los intereses se suman al valor presente: $1500.864 $29 246. por lo que la inversión estará adquiriendo una retribución con interés compuesto.00 y no de $1500.512525 ◊ Resuelve los siguientes problemas.00.392 × 0.04 = $1124. Si Ana retirara su inversión e intereses al final del periodo establecido estaría recibiendo $1680.392 $2107. Valor presente (VP) = $1500.60 $28 121. Caso distinto sucedería si Ana no hace retiro alguno al final de su plazo.00 × 0. Si esta operación financiera se sigue presentando por año el interés se capitaliza anualmente. los intereses ganados por un cierto capital.88704 $2360.60 $1881. de $180.00 × 0.00 $1500.12 = $225.60 $28 121.12 = $180. Plazo Inversión inicial Intereses capitalizables al 12% Interés + capital Material para apoyo del docente prohibida 0-1 $1500.60 2-3 $1881. ya que los intereses se suma- rían al capital o valor presente y a partir del siguiente periodo se ganarían intereses.00 + $180.00 a un interés sim- ple. Si decidiera sólo retirar sus intereses al final de su plazo también estaría ganando un interés simple.00 con un 4% capitalizable anualmente durante 4 años.00 Valor futuro (VF) = $1680.00 $27 040.00 con una tasa de interés anual del 12% o sea.60 × 0.00 Intereses generados (I) = $180.392 3-4 $2107. se suman después de cada periodo.00 1-2 $26 000.Material para apoyo del docente prohibida 7.04 = $1040.792 $2107. que es la diferencia entre valor futuro y el capital original.2 Interés compuesto su reproducción parcial o total Ana ha invertido $1500. obtuvo un interés de $180.00 $25 000.00 = $1680.12 = $201.27904 × 0.27904 $2360. es decir.00 × 0.2334848 $2643.00.464 Material para apoyo del docente prohibida El valor futuro será de $29 246.00 $26 000. a) Un banco ha ofrecido a Blanca un préstamo de $25 000.00 $27 040.00 $1680.12 = $283.00 × 0.00.27904 4-5 $2360.04 = $1081.04 = $1000.0 Y en el siguiente período se ganarán intereses a partir de $1680.00 × 0.00 2-3 $27 040.12 = $252.60 × 0.00 $1680.00 su reproducción parcial o total 1-2 $1680.00 $26 000.464 38 su reproducción parcial o total .60 $1881.464 4-5 $29 246. ¿Cuál será el valor futuro que pagará Blanca si decide adquirir el préstamo? Plazo Préstamo inicial Intereses capitalizables al 4% Interés + capital 0-1 $25 000. 00 = $925.00 capitalizable al 10% por 6 años. ¿Cuál será el valor futuro que obtendrá Oscar en 10 años si su ahorro es de $1400.00 # (1 + 0.72 − $800.05 = $750.22344 La expresión algebraica que permite hallar el valor futuro cuando hay un interés compuesto es VF = VP × (1 + r)n donde VF representa al valor futuro.0609) & VF = $848.50 $16 537.59375 $18 232.375 $17 364. se tiene: VF = $1400.05)10 & VF = ($1400.05)10 & VF = $2280.771561) & VF = $2125.00 $15 750 × 0.21875 $18 232. se tiene: su reproducción parcial o total VF = $800.8732 e) Un banco informó a Oscar que le pagará por ahorrar su dinero con ellos una tasa de interés del 5% y los intereses ganados serán capitalizables anualmente.59375 4-5 $18 232. r el interés (como un decimal) y n el número de periodos.72 El interés compuesto fue de $48.00) (1.00 $15 000. c) E ncuentra cuál fue el interés compuesto de $800.00 = $48.00 que fueron depositados al 3%.05 = $868.8732: $2125.22344 5-6 $19 144.00) (1.00 # (1 + 0.375 × 0. Empleando la expresión algebraica.375 3-4 $17 364.72: $848.72 d) Halla el interés compuesto de $1200. VP al valor presente.22344 El valor futuro será de $19 144.03)2 & VF = ($800.50 × 0.6296875 $19 144.00 × 0.50 $16 537.Material para apoyo del docente prohibida b) Rodrigo ha hecho una inversión de $15 000.00 1-2 $15 750.875 $17 364. se tiene: VF = $1200.05 = $911.00 # (1 + 0.00? Empleando la expresión algebraica.05 = $826.10)6 & VF = ($1200.00 $15 750.59375 × 0.50 2-3 $16 537.00 depositados al 5% capitalizable anualmente durante 5 años. su reproducción parcial o total ¿Cuál es el valor futuro del capital original? Plazo Inversión inicial Intereses capitalizables al 5% Interés + capital 0-1 $15 000.05 = $787.00) (1.8732 − $1200.452477 Material para apoyo del docente prohibida 39 su reproducción parcial o total . Empleando la expresión algebraica. capitalizable anualmente Material para apoyo del docente prohibida durante 2 años.8732 El interés compuesto fue de $925. 12)7 Tema: Nociones de probabilidad Contenido 8 8.007 = VP un despeje a VP.12)7 su reproducción parcial o total $38000.Material para apoyo del docente prohibida 7.28)10 $27000. ¿Cuál debería ser el valor presente que debe invertir para obtener dicho valor futuro? Al sustituir los valores a esta última Se sabe que VF = VP × (1 + r)n efectuando expresión. a) Isabel desea tener un monto de $27 000.28) 10 (1 + 0. Si la tasa de interés que le ha ofrecido un banco es de 28% y los intereses se capitalizan anualmente.28) 10 VF $27000.00 = VP (1 + r) n = VP (1. • ¿Qué bola es más probable que obtenga una persona de la urna superior? Es más probable obtener una bola blanca.27018 = VP (1.28)10 b) Francisco desea tener un monto de $38 000.00 = VP. a) En 2 urnas se han depositado bolas negras (N) y blancas (B). $27000.00 = VP $38000. Ambas urnas tienen el mismo número de bolas blancas como negras. se tiene (1 + 0.12) 7 = VP (1 + 0. $38000.1 Comparación de eventos ◊ Responde las preguntas para cada situación que se te plantea. • ¿Qué es más probable que obtenga una persona de la urna inferior? Es más probable obtener una bola blanca.988958 = VP = VP (1.00 = VP 17189.00 2286. por lo que existe la misma probabilidad de que salga una bola negra de cualquiera de las urnas.00 (1.00 Se sabe que VF = VP × (1 + r)n efectuando expresión se tiene: = VP un despeje a VP se tiene (1 + 0.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Resuelve los siguientes problemas. ¿Qué capital debe invertir Isabel para obtener dicha cantidad? Al sustituir los valores a esta última $27000.12) Material para apoyo del docente prohibida VF (1 + r) n = VP. Material para apoyo del docente prohibida 40 su reproducción parcial o total . Si la tasa de interés que le ha ofrecido un ban- co es de 12% y los intereses se capitalizan anualmente.00 dentro de 10 años.00 dentro de 7 años. se tiene:$38000. • Explica en qué urna es más probable obtener una bola color negro. c) En 2 urnas se han colocado canicas rojas (R) y azules (A). Toma 2. Pon 1. en qué urna se Material para apoyo del docente prohibida presentaría la situación: “Tanto fichas amarillas como verdes tienen la misma probabilidad de aparecer al ser una de ellas extraída por una persona”.Material para apoyo del docente prohibida b) A l hacer girar una pirinola es posible que al parar muestre una de las seis su reproducción parcial o total caras que tiene: Toma 1. • ¿Qué es menos probable obtener de la bolsa. En la urna inferior. una bolita etiquetada con un número múltiplo de 3 o una con un múltiplo de 5? Una bolita etiquetada con un número múltiplo de 5. 41 su reproducción parcial o total . Pon 2. • Si en cada urna se decide depositar una ficha amarilla. Toma todo y Todos ponen. ¿en cuál de las 2 urnas existe la menor probabilidad de obtener una canica azul? Material para apoyo del docente prohibida En la urna superior. Es igualmente probable obtener una canica azul que roja en ambas urnas 4 8 porque 10 = 20 • ¿En cuál de las 2 urnas hay menor probabilidad de obtener una canica color azul si en cada una se ha decidido colocar una canica azul más? En la urna inferior. • ¿Qué cara es más probable que obtenga una persona al hacer girar la pirinola? Tom Todas las caras tienen las misma probabilidad de aparecer. c) En 2 urnas se han depositado fichas verdes (V) y amarillas (A). a P 2 on 1 • ¿Qué cara es más probable que obtenga una persona al hacer girar la pirinola. • ¿En cuál de las 2 urnas es menos probable obtener una ficha verde? En la urna superior. su reproducción parcial o total d) En una bolsa hay 100 bolitas de papel numeradas del 1 al 100. la que se refiere a la acción de poner o a la acción de tomar? En 3 de las caras de la pirinola la acción que se describe es la de poner y en las otras 3 es la acción de tomar. • ¿Qué es más probable obtener de la bolsa. • Si se decide quitar una canica azul de cada urna. • ¿En cuál de las 2 urnas es menos probable obtener una ficha amarilla? En la urna inferior. por lo que existe la misma probabilidad. • ¿En qué urna es menos probable obtener una canica azul? Explica tu respuesta. una bolita etiquetada con un número primo o un número par? Una bolita etiquetada con un número par. 4 6.1 Media aritmética La media aritmética es una medida de tendencia central que se define como la suma de todos los valores entre el número total de valores que intervienen. 6.6 3.2 3 1.6 Material para apoyo del docente prohibida Omar y Sandra tienen la misma probabilidad de ganar. Enrique y Fabiola y la primera persona elige los números 1 y 2.3 Dado 2 4 1. porque la probabilidad es igual a 36 .5 3.3 6.6 2.3 2.4 5.2 3. la tercera 5 y 6.4 5 1. 10 y 12.6 4.5 6.3 5. Dado 1 1 2 3 4 5 6 1 1. mientras que Sandra seleccionó los números 3. Elizabeth.2 2.1 4. y la sexta 11 y 12. 8. 7. su reproducción parcial o total • Suponiendo que a Omar y Sandra se les unen Antonio.1 2. la quinta 9 y 10. Tema: Análisis y representación de datos Contenido 9 9. 9 y 11. la cuarta 7 y 8.1 6. 42 su reproducción parcial o total .1 5.4 2.Material para apoyo del docente prohibida 8. debe obtener uno de los números (que es resultado de haber sumado las cifras que aparecieron en ambas caras) que eligió.2 6.4 4.6 6.5 5.3 3. • ¿Quién de los 2 tiene más probabilidades de ganar en su primer lanzamiento? Considérese que para que una persona gane. la segunda 3 y 4. Si los siguientes datos son las edades de las personas que aspiran a participar en el proyecto.5 2. por lo que Material para apoyo del docente prohibida están en condiciones de recibir el apoyo económico. a) Omar y Sandra se disponen a lanzar 2 dados. Ayúdate con la información contenida en la siguiente tabla y complétala. Un grupo de alumnos de una secundaria recibirá recursos económicos del gobierno estatal para participar en un proyecto. el promedio de las edades de los participantes deberá estar por debajo de la edad promedio de 10 años. ¿Quién es más probable que gane en su primer lanzamiento con base en los números que eligieron? 11 Elizabeth es la persona que ganaría.6 5.1 2 1.2 5. cada uno tiene una cifra diferente entre el 1 y el 6.3 4.2 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Responde las preguntas asociadas con la situación que se plantea.5 4.5 6 1.2 4.4 3. Omar escogió los números 2. 4.9 El promedio de los valores refleja que los niños se encuentran por debajo del promedio establecido. 8. ¿el grupo de alumnos está en posibilidades de recibir el apoyo económico? 10 8 7 8 7 7 8 12 12 10 9 10 + 8 + 7 + 8 + 7 + 7 + 8 + 12 + 12 + 10 + 9 98 x= 11 = 11 . 5.1 3. Para ello. 365. ¿a qué equipo debe inscribirse? Para ayudarte considera la información que aparece recabada en la siguiente tabla. 90 + 89 + 88 + 80 + 91 + 96 + 85 619 x= 7 = 7 . 88. ¿Quién de las dos personas ha tenido un mejor desempeño? En promedio Martha ha obtenido en cada nivel 87. c) En la preparatoria de Hernán hay 3 equipos de futbol. 80 85 91 90 76 94 98 89 Material para apoyo del docente prohibida • ¿Qué puntuación en promedio ha obtenido Martha en cada bimestre? • Considerando que la hermana de Martha dispone de las puntuaciones de únicamente 7 bimestres: 90.875 puntos.42 Por lo que la hermana de Martha ha obtenido un mejor desempeño.10 puntos por partida.875 La hermana de Martha ha obtenido en promedio 88. 345.7 Por lo que el amigo de la persona ha obtenido mejor desempeño. su reproducción parcial o total 80. 336. 298. 180. la persona ha obtenido 326. 250 450 245 298 256 233 310 298 600 321 • ¿Cuántos puntos en promedio ha obtenido por partida? • Si el amigo de esta persona también jugó ajedrez empleando la misma aplicación y ha obtenido en 9 partidas los puntos: 245. 88. ¿quién de los 2 ha tenido mejor desempeño? En promedio. Puntos conseguidos Primer Segundo Tercer Cuarto Quinto Sexto Equipo partido partido partido partido partido partido Los Halcones 3 1 3 3 1 1 Jokers 1 1 3 3 1 1 Atlético 3 3 3 1 1 Material para apoyo del docente prohibida escolar 43 su reproducción parcial o total . 250 + 450 + 245 + 298 + 256 + 233 + 310 + 298 + 600 + 321 3261 x= 10 = 10 = 326. 398.10 El amigo de la persona ha obtenido en promedio 336.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes problemas.42 puntos.7 puntos por partida. 410. 469 y 321. 80 + 85 + 91 + 90 + 76 + 94 + 98 + 89 703 x= 8 = 8 = 87. b) Martha ha obtenido los siguientes puntos en 8 bimestres de un curso de inglés al que acude los fines de semana. 96 y 85. 245 + 298 + 410 + 345 + 365 + 398 + 180 + 469 + 321 3031 x= 9 = 9 . Si Samuel quiere pertenecer a uno de los equipos que mejor desempeño lleva hasta el momento en el torneo. 89. 91. su reproducción parcial o total a) Los siguientes valores son los puntos que tuvo una persona al jugar ajedrez desde una aplicación que descargó para su celular. la mediana de los datos observados que se trataron al inicio de esta lección sobre el caso del apoyo económico a los niños para realizar un proyecto es 8: 7 7 7 8 8 8 9 10 10 12 12 Me = 8 Material para apoyo del docente prohibida Si se tuvieran 12 datos en lugar de 11 la mediana tendría 2 valores centrales.5 ◊ Resuelve los siguientes problemas. Las edades de las personas son 27. 28. 37. por lo que ésta será la media aritmé- tica de esos 2 datos ya que el número de valores que intervienen es par. 28 y 32. siempre y cuando el número de valores que intervengan represente a un número impar. Por ejemplo. 3 3 1 2 3 2 2 1 4 2 2 2 3 4 1 3 2 3 3 2 Calcula la mediana de los datos que se proporcionan para indicar de cuántos televisores dispone una familia.Material para apoyo del docente prohibida Equipo de Los Halcones x= 3+1+3+3+1+1 12 = 6 =2 su reproducción parcial o total 6 Equipo Jokers 1+1+3+3+1+1 10 x= 6 = 6 . Utiliza la mediana para calcular entre qué edades se encuentran todos los integrantes del grupo. 32. 25. su reproducción parcial o total 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10 12 12 8+9 17 Me = 2 = 2 = 8. 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 Material para apoyo del docente prohibida 2+2 4 Me = 2 = 2 =2 44 su reproducción parcial o total . si se organizan los valores de menor a mayor. 21.6 Equipo de Atlético Escolar 3+3+3+1+1 11 x= 5 = 5 = 2.5 años b) En una colonia Fausto aplicó una encuesta sobre el número de televisores que tiene cada familia en su casa y se recabaron los siguientes datos.2 Mediana La mediana es una medida de tendencia central que se obtiene ordenando todos los datos observados de menor a mayor a pesar de que éstos se encuentren repetidos. 24. La mediana de esos datos será el valor que esté en medio o centro de la distribución. 1. 21 24 25 27 27 28 28 32 32 37 27 + 28 55 Me = 2 = 2 = 27.2 Samuel debe inscribirse al equipo Atlético Escolar 9. a) En una sala de conferencias hay 10 integrantes que forman parte de una misma agrupación que canta y toca algún instrumento. 27.5 Los integrantes se encuentran entre los 27. 36. 36 y 40. Tienda departamental 1 Tienda departamental 2 25 000 25 000 20 000 20 000 15 000 15 000 Pesos Pesos Entradas Entradas 10 000 Gastos 10 000 Gastos 5000 5000 0 0 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) ¿Cuál fue el mes en que ambas tiendas departamentales obtuvieron las mejores ventas? El mes de mayo. 45 su reproducción parcial o total . 40. ¿cuál de las 2 tiendas departamentales mostraría un mejor promedio aproximado en cuanto a sus ventas? 15 000 + 15 000 + 20 400 + 21500 + 24 300 + 19 800 116 000 Primera tienda: x = 6 = 6 = 19 333. b) ¿Cuál fue el promedio aproximado de ventas que se registró en los primeros 6 meses del año en la tienda departamental 1? 15 000 + 15 000 + 20 400 + 21500 + 24 300 + 19 800 116 000 x= 6 = 6 = 19 333. 46.3 Profundiza ◊ En las siguientes gráficas se observa el balance de los primeros 6 meses de 2 tiendas departamentales. 38. 38. 44. 38. 42.Material para apoyo del docente prohibida c) En una boutique quedan sólo algunos modelos de camisetas deportivas del mismo color para mujeres en las su reproducción parcial o total siguientes tallas: 34. 34.3 14 500 + 15 100 + 15 300 + 23 300 + 24 900 93 100 Segunda tienda: x = 5 = 5 = 18 620 Material para apoyo del docente prohibida La primera tienda muestra un mejor desempeño. 36. 44. 34. 34 34 34 36 36 36 38 38 38 40 40 42 42 42 44 44 46 Me = 38 9. 42. 42.3 c) Considerando que la tienda departamental 2 no ha llevado a cabo el registro de ventas del mes de junio. Obtén la mediana para indicar qué valor representa a todo el conjunto de datos. para apoyo del docente prohibida Coloca entre los paréntesis aquellos valores que permitan obtener el resultado de las siguientes operaciones. su reproducción parcial o total a) (3)(4)(-2 ) = -24 g) (-45) ÷ (3 ) = -15 b) (5)(-1 )(20) = -100 h) (105) ÷ (-5 ) = -21 c) (8)(-3)(-4 ) = 96 i) (-82 ) ÷ (-2) = 41 d) (-7 )(-4)(-3) = -84 j) (-143 ) ÷ (13) = -11 e) (-1)(-1 )(2) = 2 k) ( 100 ) ÷ (-5 ) = -2 f) (5 )(4)(7) = 140 l) (-27 ) ÷ ( 81 ) = -3 Material para apoyo del docente prohibida 46 su reproducción parcial o total .3 e) (-7)(-2)(-1) = -14 k) ( 81 ) ÷ (-9) = -1 f) (-3)(3)(-7) = 63 l) (-8) ÷ ( 64 ) = -1 Material 2.5 b) (7)(4)(-2) = -56 h) (45) ÷ (-8) = -5. a) (21)(4)(2) =168 g) (-90) ÷ (4) = -22.5 d) (-6)(4)(-3) = 72 j) (-9) ÷ (30) = 0. su reproducción parcial o total Encuentra el resultado de las siguientes operaciones.625 c) (12)(-3)(1) = -36 i) (-3) ÷ (-2) = -1.Material paraEjercicios apoyo del docente prohibida de reforzamiento 1. o) ^5 2 h4 = 5 2 # 2 = 5 4 8 a) 122 × 122 × 126 = 12+2+6 = 1210 b) a 2 k # a 2 k # a 2 k = a 2 k =a4k 2 12 p) ^17 5 h404 =17 5 #10 =17 50 3 5 4 3+5+4 4 4 4 4 q) aa 2 k k = a 2 k =a 2 k 1 1 13 2 2 2 #2 4 c) 15 2 # 15 4 # 15 2 = 15 2 + 4 + 2 = 15 2 5 5 5 r) ^64 h = 64 ^ 2 h^ -2 h 1 1 1 1 1 1 3 + 3 + 3 = 21 2 -2 d) 2 3 # 2 3 # 2 3 = 2 = 64 -4 s) aa 5 k k =a 5 k 9 ^-3h^-2h a 9 k6 e) a 5 k # a 5 k # a 5 k =a 8 k =a8k 4 4 4 4 4 4 6 6 6 5 6+6+6 5 2 9 -3 -2 = 5 8 8 8 f) 132 × 134 × 132 = 132+4+2 = 138 t) ^8 35 h10 = 8 35 # 102 = 8 506 2 1 1 g) 27 2 # 27 2 # 27 2 =27 2 + 2 + 2 = 27 3 1 1 72 # 73 75 u) = = 75-4 = 71 72 # 72 74 Material para apoyo del docente prohibida 28 8-4 h) 2 4 = 2 = 2 6 v) ^5 2 h2 # 5 4 = 54 # 54 58 = 3 = 58-3 = 55 su reproducción parcial o total 5 3 5 3 5 2 w)^4 2 h3 # 4 6 # 4 1 = 4 6 + 6 + 1 = 4 13 24 2 1 i) 1 =2 4 .11 =12 -4 = a4k 2 6 a 4 k #a 4 k #a 4 k a4k 16 -8 -8 . Abrevia el resultado de las siguientes operaciones mediante una sola potencia.2 = a 4 k8 a k 4 a4k 6 6 2 2 78 6 6 m) = 7 8 -^-4h = 7 12 7 -4 -8 n) 34 4 = 34 -8 .Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3.^ -2 h 2 4 4 10 l) 16 -2 = 16 =16 -6 6 6 6 = 6 = a 4 k10 .4 = 34 -12 34 ñ) (432)3 = 43 2 # 3 = 43 6 Material para apoyo del docente prohibida 47 su reproducción parcial o total .12 = 2 0 15 y) a 4 k # aa 4 k k # aa 4 k k 2 2 2 2 2 12 7 6 6 6 k) 12 11 = 12 7 .2 =20 2 2 x) ^6 6 h2 # ^6 4 h3 # ^6 2 h4 = 6 12 + 12 + 8 = 6 32 21 j) 15 12 = 2 24 . Completa la tabla teniendo en cuenta los siguientes trazos.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 4. B A C D E H F G Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Ángulos Nombre Ángulos Nombres AyC Opuestos por el vértice CyH Alternos internos ByD Opuestos por el vértice DyE Alternos internos EyG Opuestos por el vértice AyF Alternos externos FyH Opuestos por el vértice ByG Alternos externos AyB Suplementarios CyE Colaterales internos CyD Suplementarios DyH Colaterales internos EyH Suplementarios ByF Colaterales externos FyG Suplementarios AyG Colaterales externos Material para apoyo del docente prohibida 48 su reproducción parcial o total . 09o Material para apoyo del docente prohibida 49 su reproducción parcial o total . 78.31c 63. Determina la medida de los ángulos interiores del triángulo que se forma.31o c 63.6o b 38.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5.6c 38.09oªº a c b Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Ángulos Medida a 78. Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) \75c y \38c. Construye un triángulo respetando las medidas que se te proporcionan.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 6. a) 7 cm y 4 cm 4 cm 7 cm La figura es sólo un ejemplo de como podría quedar trazada. 75c 67c 38c El triángulo mostrado es sólo uno de los tantos que se pueden obtener. ya que se pueden construir varios triángulos con dichas medidas. Material para apoyo del docente prohibida 50 su reproducción parcial o total . 5 cm. 4 cm y 7 cm su reproducción parcial o total B A e) Longitud AB = 4.2 cm BC = 13.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Longitud AB = 5.33 cm B d) Longitud AB = 2.2 cm.33 cm y longitud CA = 15. longitud BC = 13.52 cm A CA = 15. longitud BC = 2.1 cm AB = 4.52 cm C AB = 5.1 cm C Material para apoyo del docente prohibida 51 su reproducción parcial o total .5 cm y longitud CA = 6.5 cm.5 cm. longitud BC = 4 cm y longitud CA = 7 cm C Material para apoyo del docente prohibida No existe un triángulo cuyos lados midan 2.5 cm A B BC = 2.5 cm CA = 6. 254. menos el área de los dos semicírculos.56 cm 2 Material para apoyo del docente prohibida 52 su reproducción parcial o total .34 cm 2 Área sombreada = Área del semicírculo mayor.68 cm 2 Área de los dos semicírculos no sombreados: r ^9 cm 2 h ^3. rr 2 = ^3.14 h^2 cm h = ^3.14 h^324 cm 2 h 1 017.68 cm 2 .4 cm 2 = 8.34 cm 2 = 254.14 h^81 cm 2 h = 254. menos área del triángulo. a) 36 cm Área del semicírculo mayor. Determina el área sombreada o el área lateral de un cuerpo geométrico según sea el caso.14 h^81 cm 2h 2: 2 = 2 : 2 = ^3. 508. r ^18 cm 2 h ^3.14 h^4 cm 2 h = 12.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 7.56 cm 2 .56 cm 2 2 Área del triángulo. 12.36 cm 2 2 = 2 = 2 = 508. ^4 cm h^2 cm h ^8 cm 2 h 2 = 2 = 4 cm 2 Área sombreada = Área del círculo.34 cm 2 Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total 4 cm 2 cm Área del círculo. 25 cm2 Material para apoyo del docente prohibida d) su reproducción parcial o total Área del cuadrado: ( 5 cm)(5 cm) = 25 cm2 Área de los cuatro triángulos: ^5 cm h^12 cm h 60 cm 2 ^ h^ 4: 2 = 4 : 2 = 4 30 cm 2 h = 120 cm 2 Área lateral: 25 cm2 + 20 cm2 = 45 cm2 Material para apoyo del docente prohibida 53 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Área del semicírculo de diámetro 10 cm.25 cm2 + 20 cm2 + 20 cm2 = 79.5 cm 2 2 = 2 = 2 = 39.14 h^25 cm 2 h 78. 39.25 cm 2 2 cm Área del triángulo de dimensiones 10 × 4 cm. 10 cm ^10 cm h^4 cm h 2 = 20 cm 2 Área del rectángulo de dimensiones 10 × 2 cm: 10 cm × 2 cm = 20 cm2 Área sombreada = Suma de todas las áreas obtenidas. 4 cm r ^5 cm 2 h ^3. 36 cajas ^75 h^36h 2 700 x= 100 = 100 = 27 75% .60 •20% El precio es (0.x Material para apoyo del docente prohibida 54 su reproducción parcial o total .40 cajas ^75 h^40h 3 000 x= 100 = 100 = 30 75% . ¿qué cantidad de cajas serán necesarias para llenar la cabina de un camión que tiene como capacidad máxima una de las siguientes opciones? •40 cajas 100% .x •36 cajas 100% .80) (30) = 24 su reproducción parcial o total • 90% El número de estudiantes es igual a (0.85) (156) = 132. ¿cuántos estudiantes de 2o "F" acudirán a una obra de teatro si el grupo lo conforman 30 estudiantes? Material para apoyo del docente prohibida •80% El número de estudiantes es igual a (0. a) El precio de un artículo para el hogar es de $156. Resuelve los siguientes planteamientos.90) (30) = 27 c) Un camión de carga se encuentra a 15% de su capacidad.80) (156) = 124.00.80 b) Considerando los siguientes porcentajes. ¿cuál es costo que pagará una persona si dicho artículo tuvie- ra uno de los siguientes descuentos? •15% El precio es (0.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 8. 08 = VF 2 2 Material para apoyo del docente prohibida 55 su reproducción parcial o total . 12 000 # ^1 + 0. ¿en qué precio se encontraba el dispositivo antes de ser comprado si presentará uno de los siguientes descuentos? •16% Costo del celular sin descuento ^ x h^1. aumentara 20%.75 & x = 1 624 2 842 La literal x representa el costo del celular sin descuento.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Si en una colonia de la ciudad de Puebla el precio del viaje de un taxi aumentara 12% cuando el precio actual es $25. a) Calcula el interés compuesto que pagaría Joel si pidió al banco $1 500.12 h = VF & 16 859. ¿cuál sería el precio que tendría que pagar un usuario? (25) (1.00 e) Una persona pagó por un teléfono celular con descuento $2 842.12) = 28 Pagaría $28.00 • Si en lugar de 12%. ¿cuánto pagaría el usuario? (25) (1. Si se sabe que una cantidad con interés compuesto se calcula mediante la expresión VP # ^1 + r hn = VF. 1300 # ^1 + 0.136 = VF 3 3 c) Determina el valor futuro de $1300.00.16h = 2 842 & x = 1. aumentara 24%.00 capitalizable anualmente a 5% por 3 años.16 & x = 2 450 Material para apoyo del docente prohibida 2 842 su reproducción parcial o total •75% Costo del celular sin descuento ^ x h^1.04 h = VF & 1406. ¿cuánto pagaría el usuario? (25) (1. 1 500 # ^1 + 0.04 h = VF & 1300 # ^1.05 h = VF & 1 500 # ^1.24) = 31 Pagaría $31. 9.12 h = VF & 12 000 # ^1.00 depositados a 4% capitalizable anualmente durante 2 años.00 capitalizable anualmente a 12% por 3 años.00.00 • Si en lugar de 12%.05h = VF & 1 736.20) = 30 Pagaría $30.4375 = VF 3 3 b) Calcula el interés compuesto que pagaría Josefina si pidió al banco $12 000. resuelve los siguientes ejercicios.75h = 2 842 & x = 1. resuelve n los siguientes ejercicios.75 ^1.10h2 = VF & 2 938.75 # ^1 + 0.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Determina el valor futuro de $6 200. 2 938.16 h = VF & 7 450 # ^1.07 su reproducción parcial o total c) Sara desea tener $18 000. 2 056.67 1.14h6 = 18 000 & VP = 18 0006 & VP . 8 200.05h4 = 2 500 & ^VP h^1.10h2 = VF & 3 555.00 en un plazo de 6 años. a) Pedro desea tener $2 500. ¿cuán- to (VP) ha de depositar en el banco para obtener esa cantidad en el plazo descrito? Material ^ h ^ para apoyo del docente h3 ^ h^ h3 prohibida 3 600 ^ h3 VP # 1 + 0.16 h = VF & 10 024.10h2 = VF & 2 056. 2 056. 7 450 # ^1 + 0.00 depositados a 3% capitalizable anualmente durante 2 años.05h4 = 2 500 & VP = 2 5004 & VP .07 = 3 600 & VP 1.75 # ^1.7907 = VF Material para apoyo del docente prohibida 56 su reproducción parcial o total . Si el banco le ofrece 14% de interés compuesto anual. Si el banco le ofrece 7% de interés compuesto anual. 2 938. ¿cuánto (VP) debe depositar en el banco para obtener esa cantidad en el plazo descrito? ^VP h^1 + 0.00 en un plazo de 3 años.10h2 = VF & 2 488.58 = VF 2 2 e) Determina el valor futuro de $7 450.6675 = VF e) Utiliza el valor presente que se obtuvo en el inciso b y determina el valor futuro que obtendrá Lizbeth en un plazo de 2 años capitalizable anualmente a 10%. Si el banco le ofrece 5% de interés compuesto anual. ¿cuánto (VP) tiene que depositar en el banco para obtener esa cantidad en el plazo descrito? ^VP h^1 + 0. Si se sabe que una cantidad con interés compuesto se calcula mediante la expresión VP # ^1 + r h = VF.14h6 = 18 000 & ^VP h^1.67 # ^1.03 h = VF & 6 200 # ^1.07 = 3 600 & VP = & VP .03 h = VF & 6 577. 6 200 # ^1 + 0.14 h d) Utiliza el valor presente que se obtuvo en el inciso a y determina el valor futuro que obtendrá Pedro en un plazo de 2 años capitalizable anualmente a 10%.00 depositados a 16% capitalizable anualmente durante 2 años.55 ^1.00 en un plazo de 4 años.67 # ^1 + 0.05 h b) Lizbeth desea tener $3 600.72 = VF 2 2 10. se concluiría que a la persona le es más probable obtener una pelota blanca en el tercer recipiente que en el primero. entonces se concluiría que en el segundo recipiente a la persona le es menos probable obtener una pelota azul que en el tercero. “es menos probable” o “es igualmente probable” obtener una pelota de cierto color. Material para apoyo del docente prohibida 57 su reproducción parcial o total . d) En la segunda bolsa es igualmente probable obtener una canica color azul que en la primera. según corres- su reproducción parcial o total ponda. g) En la bolsa 1 es menos probable obtener una canica color amarilla que en la bolsa 3. pero de color azul. d) Si el tercer recipiente tuviera sólo pelotas blancas. para apoyo del docente prohibida Considera que en 3 bolsas no trasparentes hay cierto número de canicas como se observa a continuación y completa los espacios vacíos con las frases: “es más probable”. c) En la segunda bolsa es más probable obtener una canica color amarilla que en la tercera. b) En el primer recipiente a la persona le es igualmente probable obtener una pelota verde que en la segunda. e) En la primera bolsa es igualmente probable obtener una canica color roja que en la segunda. para apoyo del docente prohibida Observa el número de pelotas para alberca que hay en cada recipiente de vidrio y escribe sobre la línea. c) Piensa en que hay un tercer recipiente con el mismo número de pelotas que los dos mostrados. considerando su reproducción parcial o total que una persona tuviera los ojos vendados. Material 11.Material 10. Ve Az Ro Az Am Az Ve Ve Ro Ve Ro Am Bl Am Ro Az Ve Na Am Am Ro Am Ve Az Bolsa 1 Bolsa 2 Bolsa 3 a) En la primera bolsa es más probable obtener una canica color café que en la segunda y tercer bolsa. “es menos probable” o “es igualmente probable”. si le “es más probable”. f) En la tercera bolsa es menos probable obtener una canica color blanco que en la segunda. Am: amarillo Az: azul Am Az Am Az Na: naranja Ve Bl Ve Bl Na Na Ro: rosa Bl: blanca Bl Ro Bl Ro Ve: verde Recipiente 1 Recipiente 2 a) En ambos recipientes a la persona le es igualmente probable obtener una pelota color naranja. b) En la primera bolsa es menos probable obtener una canica color amarillo que en la tercera. pero en la primera bolsa es más probable obtener una canica verde que en la tercera. 75 9+7+9+9+7 41 Promedio de Jesús = = 5 = 8.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 12. para apoyo del docente prohibida Hasta el momento María Luisa y Ana Laura han obtenido los siguientes puntos en un juego. Hasta el momento. ¿Quién de los dos muestra un mejor desempeño? Francisco Jesús Bimestre Calificación Bimestre Calificación 1 10 1 9 2 9 2 7 3 8 3 9 4 8 4 9 5 5 7 Promedio de Francisco = 10 + 9 + 8 + 8 35 4 = 4 = 8. ¿Quién de las dos tiene un mejor desempeño? su reproducción parcial o total María Luisa Ana Laura Nivel Puntuación Nivel Puntuación 1 12 1 30 2 28 2 28 3 19 3 26 4 30 4 29 5 21 5 12 + 28 + 19 + 30 + 21 110 Promedio de María Luisa = = 5 = 22 5 30 + 28 + 26 + 29 113 Promedio de Ana Laura = 4 = 54 = 28. Francisco y Jesús han obtenido las siguientes calificaciones en Artes.2 5 Obtuvo mejor desempeño Francisco.25 Ana Laura obtuvo mejor desempeño. Material 13. Material para apoyo del docente prohibida 58 su reproducción parcial o total . Yolanda tiene un mejor desempeño.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 14. Yolanda y Verónica han obtenido cierto número de puntos en un juego. Hasta el momento. ¿Quién de las tres personas tiene un mejor desempeño? Utiliza la media y la mediana para averiguarlo.5 12 13 14 15 Mediana (Yolanda) = 15 14 15 15 Mediana (Verónica) = 10 + 12 = 22 = 11 2 2 9 10 12 14 Con base en la mediana obtenida. Desempeños en el juego 16 14 12 10 Federico 8 Yolanda 6 Verónica 4 2 0 Primera tirada Segunda tirada Tercera tirada Cuarta tirada Material para apoyo del docente prohibida Promedio de Federico = 12 + 15 + 14 + 13 4 54 = 4 = 13.25 4 4 Con base en el promedio obtenido. Material para apoyo del docente prohibida 59 su reproducción parcial o total . Mediana (Federico) = 13 + 14 27 2 = 2 = 13.6 Promedio de Verónica = 12 + 14 + 9 + 10 = 45 = 11. 14. éstos se obser- van en el siguiente plano. Yolanda tiene un mejor desempeño.5 su reproducción parcial o total Promedio de Yolanda = 15 + 14 + 15 3 44 = 3 . Federico. 10 cm. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de (8) ÷ (−4) × (−2) = cualquier paralelogramo? a) -1 a) 360° b) 1 b) 90° c) −4 c) 60° d) 4 d) 120° 2. ¿qué porcentaje de agua tiene la cualquier triángulo? cisterna si sólo contiene 800 litros de líquido? a) 60° a) 4% b) 360° b) 18% c) 180° c) 12% d) 80° d) 6% Material para apoyo del docente prohibida 60 su reproducción parcial o total . 4 cm y 11 cm c) 5 cm. 7 cm y 8 cm Material para apoyo del docente prohibida a) E l resultado de la primera y tercera operación es mayor que la segunda d) 7 cm. 12 cm potencia que ofrece la operación matemática es: 3 2 (2 ) (2 ) 4 8. El resultado representado por medio de una sola d) 9 cm. Resuelve la siguiente operación aritmética. ¿Con cuál de las siguientes medidas de las siguientes 4 afirmaciones es correcta? 3 segmentos que se te proporcionan se puede construir un triángulo? I) (3) × (−2) + 3 = II) (−6) + (−9) ÷ (−3) = a) 8 cm.Material para apoyo Evaluación:del docente bloque 1 prohibida su reproducción parcial o total Secundaria:___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊ Subraya en cada caso la respuesta correcta. ¿cuál de 6.50 d) 210 d) $135. Con base en las siguientes 3 operaciones.50 9. 1. ¿Con cuál de las siguientes medidas de 3 segmentos que se te proporcionan no se puede construir un triángulo? menor que la tercera d) El resultado de la segunda y tercera operación es a) 6 cm. 9 cm y 12 cm c) 5 cm. 1 cm y 6 cm b) E su reproducción parcial o total l resultado de la segunda y tercera operación es menor que la primera c) El resultado de la primera y segunda operación es 7. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de 000 litros de agua.50 c) 31 c) $987. ¿Qué cantidad representa el 25% de $790.00? 2 a) 21 a) $592. 7 cm y 9 cm 3. 2 cm y 4 cm III) (1) − (−12) ÷ (6) = b) 7 cm.50 b) 22 b) $197. Una cisterna tiene una capacidad para almacenar 20 4. 5. 3 cm y 2 cm mayor que la primera b) 8 cm. ¿Cuál es el valor futuro próximo que obtendrá una 14.00 c) $1225.00 b) $1156. 9. ¿Quién de las 2 personas muestra un mejor desempeño si se comparan todas sus puntuaciones? Considérese que Joel ha obtenido 16.00 a una tasa de in- b) 28 terés anual de 5% capitalizable anualmente por 4 años? c) 222 a) $912. ¿cuál interés anual de 2% capitalizable anualmente por es la cantidad que representa el importe a pagar sin 5 años.00 a una tasa de le cobraron $377.00 d) $345.52 b) $437.00 a) $285. 8 y 8.215 d) $1303. ¿qué es más probable que 15. el IVA? a) $2467.405 c) $876. Javier lanza un dado de 6 caras etiquetado con los números del 1 al 6.00 incluida el IVA del 16%. ¿quién de las dos personas muestra un mejor desempeño? b) Dalia muestra un mejor desempeño c) Joel muestra un mejor desempeño Gabriela 96 80 94 100 45 89 90 86 70 d) La información con la que se cuenta es insuficiente Laura 80 90 95 74 60 90 100 92 13. Por el consumo que hizo Sandra en un restaurante su reproducción parcial o total persona que ha invertido $1110. En una urna hay dos fichas de color amarillo y dos de obtenga? color rojo.34 c) $325.715 d) 218 b) $972. a) Ambos hermanos muestran el mismo desempeño obtenido Gabriela y Laura en un juego que descar- garon para su celular. ¿Cuál es el valor futuro próximo que obtendrá una persona que ha invertido $800. Dalia ha obtenido las siguientes puntuaciones en c) Es igualmente probable obtener una ficha roja en las 5 etapas de un curso de música: 7.11 Material para apoyo del docente prohibida 61 su reproducción parcial o total . 10. ambas urnas mientras que su hermano Joel carece de su quinta d) No se puede determinar en qué urna ya que en puntuación debido a que su profesor todavía no se ambas existe un número diferente de fichas Material para apoyo del docente prohibida la proporciona. 9 y 8. ¿en cuál de las dos urnas es más a) Un número primo probable obtener fichas de color rojo? b) Un número múltiplo de 2 c) Un número múltiplo de 5 a) Es más probable obtener una ficha roja en la d) Un número mayor que 2 pero menor o igual a 6 primera urna b) Es más probable obtener una ficha roja en la segunda urna 12.Material para apoyo del docente prohibida 10.00 11. El resultado representado por medio de una sola a) Laura potencia que ofrece la operación matemática b) Gabriela ^2 3 h2 ^2 2 h2 c) Ambas 2 es: d) La información es insuficiente para determinar la 2 respuesta a) 210 17. E n la siguiente tabla están las puntuaciones que han su reproducción parcial o total 10. 9.32 d) $1456. Mientras que en otra hay cuatro amarillas y cuatro rojas. Material para apoyo del docente prohibida Gerolamo Cardano su reproducción parcial o total Eje Contenido 1 Tema Problemas aditivos Sentido numérico y pensamiento 2 algebraico Problemas multiplicativos 3 4 Forma. médico y ma- • Resuelve problemas aditivos con temático quién escribió monomios y polinomios. prismas y aparecen trabajos rela- pirámides rectos. en la que ner el volumen de cubos. los juegos de azar. gos de azar. Establece relacio. de probabilidades en nos. cionados con el cálculo nes de variación entre dichos térmi.Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 2 su reproducción parcial o total • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática Competencias que se favorecen: • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Aprendizajes esperados: Filósofo. espacio y medida Medida 5 6 Proporcionalidad y funciones Manejo de la información 7 Nociones de probabilidad Evaluación Material para apoyo del docente prohibida 62 su reproducción parcial o total . una importante obra llamada Liber de ludo • Resuelve problemas en los que sea aleae que se traduce necesario calcular cualquiera de las como el libro de los jue- variables de las fórmulas para obte. de acuerdo a los ejemplos.4 r 0.8yz 0.8 yz 6t2 6 t2 1. una variable o el producto del coeficiente por una o más variables.Material para apoyo del docente Tema: Problemas aditivos prohibida su reproducción parcial Contenido 1 o total 1. en otras palabras se requiere que sean monomios semejantes.6 n x 1 x 8m 8 m 3c2 3 c2 4r2 s3 4 r2 s3 ◊ Completa la siguiente tabla. El grado de un monomio se obtiene sumando los exponentes de las literales.4r 2. Monomio Coeficiente Parte literal . Ambas expresiones tienen a las literales xy 6xy2 es una expresión semejante a 4xy2 El grado de la literal x es 1 El grado de la literal y es 2 Material para apoyo del docente prohibida 63 su reproducción parcial o total .4rs 5 -4 x3 ac rs su reproducción parcial o total 10m2 n2 ab3 c2 10 1 m2 n2 ab3 c2 4b 4 b 3 4 3 4b 4 b4 1 1 -2z -2 z 2. también llamado coeficiente.2 Monomios semejantes Para efectuar una suma o resta de monomios primero se necesita identificar que éstos tengan las mismas literales con el mismo grado.1 Coeficiente y parte literal Un monomio es una expresión algebraica que está formada por un solo término que contiene un número.6n . Monomio Coeficiente Parte literal Material para apoyo del docente prohibida 5x3 ac . Monomios cuya Monomios cuya Monomios cuya Monomios cuya parte literal es parte literal parte literal es Monomios parte literal es x2 rs4t2 y2z3 pq 1 4 2 1 4 2 2.6y 2 z 3 2pq 4 rs t 4 rs t − 7x2 6rs4t2 5 2 3 2pq 1 .9ys2 .4t 2 + t 2 = 2t2 Material para apoyo del docente prohibida b) 7fd2h + 4fd2h + 3fd2h = 14fd2h c) 4ap .3ax + 6ax + 3ax = 6ax g) . a) 5t 2 . por lo que se obtiene un monomio semejante.ap = ap d) 5a2b3c5 + a2b3c5 .4ys2 + 5ys2 = .Material para apoyo del docente prohibida ◊ Identifica qué monomios tienen las mismas literales con el mismo grado y colócalas en el espacio correspon- su reproducción parcial o total diente. 2tg3 − 3tg3 + 5tg3 = (2 − 3 + 5) (tg3 ) = (4) (tg3 ) = 4tg3 ◊ Efectúa las siguientes operaciones matemáticas. La parte lite- ral se mantiene.3 u wsd = 5 u 6 wsd 2 6 2 2 3 j) 20 asd .5 rx 6 d) n4 9.8ys2 3 h) 5 k 2 + 1 k 2 .2ap .7x 2 2y z 6rs 4 t 2 2.3 pq 2y z 0.xyz3 = xyz3 f) .8rx 6 4n4 2xr 6 2xr 6 Material para apoyo del docente prohibida 3.5x2 −6y2z3 5pq 5pq .5x 2 . a) 8m c) 4x 2x 9.3 k 2 = k 2 4 4 4 4 1 6 i) 2u wsd .01y 2 z 3 rs 4 t 2 Para sumar o restar 2 o más monomios semejantes se suman o restan únicamente sus coeficientes.2xyz3 .2a2b3c5 = 4a2b3c5 su reproducción parcial o total e) 4xyz3 .4x 2m 20m 3.3rx 6 64 su reproducción parcial o total .8x 2 0.3asd = 1 asd 6 3 ◊ Escribe sobre la línea correspondiente la expresión algebraica que representa el perímetro de cada figura.8x2 rs4t2 0.4x b) 2.3 pq 1 5 2 3 0.01y2z3 . a) ¿Cuántas veces es más grande el cuadrado de la derecha que el de la izquierda? 1. De acuerdo con el número de términos que tenga un polinomio reciben nombres especiales. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al círculo más pequeño si el área total del mantel está expresado por el monomio 32r3q5 y la corona que forman las superficies circulares se encuentra dada por la expresión 13r3q5. 4rax + 3mn Es un polinomio de 2 términos o bien un binomio. 65 su reproducción parcial o total . Material para apoyo del docente prohibida Por otra parte.9th 3.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Resuelve los planteamientos que se describen en cada inciso.Material para apoyo del docente prohibida 1. El área del círculo más pequeño se encuentra Material para apoyo del docente prohibida representado por el monomio: 19r3q5.1 ¿Binomio o trinomio? Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por 2 o más términos separados por los signos de suma o resta. el grado absoluto de un polinomio es el grado mayor de los monomios que lo componen. • Los número pares: 2n • El producto del cuadrado de un número por otro número: x2 y • El séxtuplo del cubo de un número: 6t3 Tema: Problemas aditivos Contenido 2 2. su reproducción parcial o total c) Traduce al lenguaje algebraico las siguientes 3 oraciones.ts Es un polinomio de 3 términos o bien un trinomio.8th Dos veces más grande. b) La superficie de un mantel se encuentra dividida en 2 partes. el que tiene 3 términos es un trinomio. Aquel polinomio formado por 2 términos se llama binomio. 6t 2 + 3s . tqa + 20 • Si se requiere restar 2 polinomios.12vp 2 Binomio 5 3as6 b3 .8e4) + (y)2 = ( .2e4 + y2 ◊ Reducir a términos semejantes los siguientes polinomios. se cambian los signos del segundo polinomio por su opuesto.( .Material para apoyo del docente prohibida ◊ Completa la siguiente tabla.10a5 mv9) = 14a5mv9 + 12a3n • Si se requiere sumar 2 polinomios se suman los monomios semejantes.8tqa .(+ 7tqa + 8 .8tqa + 12) . Primer sumando: 5was . Minuendo: 5was . que implica sumar o restar monomios semejantes.3was + t (5was . 6e4 + y2 .t + 5was + 3was . a esta tarea se le denomina reducir términos semejantes.8e4 + y2 = (6e4 .5a2 + 5 3 Trinomio 5 7th4 .( .8e4 qda8 .2 d) 11acx .( .2e4) + (y)2 = .8tqa + 12 Segundo sumando: 7tqa + 8 .3was + t (5was .3was − 8tqa + 7tqa + 12 + 8 = t + 2was .px) .2da8 Material para apoyo del docente prohibida Para una mejor presentación y comodidad es conveniente simplificar un polinomio cuando en él intervienen térmi- nos semejantes. su reproducción parcial o total 6e4 + y2 .t + 8was .3was + t) = . Y se reducen los monomios semejantes.pqw .( . a) 4w5 + 4f2 . su reproducción parcial o total Polinomio Número de términos Nombre Grado absoluto del polinomio 2nmp2 + 3rt 2 Binomio 4 5fe + 6f − 5e 3 Trinomio 2 4a3 b2 .pqw) = px f) 4a5 mv9 + 12a3 n .2da8 + 3 Los términos semejantes del polinomio son qda8 y .15tqa + 4 Material para apoyo del docente prohibida 66 su reproducción parcial o total .8v = 8bv − 15v c) .3was + t) = t + 5was .8 = .11abx) + 6acx = 17acx + 11abx e) .7tqa + 12 .8e4 Los términos semejantes del polinomio son 6e4 y .5 + 3 = .8tqa + 12 Sustraendo: 7tqa + 8 .10hz .8tqa + 12) + (7tqa + 8 .8e4 = 6e4 .7v .3w5 = w5 + 4f2 b) 8bv .10hz .12as 2 Binomio 10 5mkr + 8s + 2z6 3 Trinomio 6 6a2 + 12adrn8 2 Binomio 11 2.2 Términos semejantes Un polinomio puede estar formado por 2 o más términos semejantes y sólo diferir en sus coeficientes numéricos. 7 e) (6cv + 3xy .k 3xyz 2 3xyz 2 2h 6 .25s + 4n 18m + 4n Material para apoyo del docente prohibida 5r + 3d su reproducción parcial o total 2.2csz c) ( .Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve las siguientes operaciones matemáticas de polinomios.5d 7wty .2x 7.16fda + 19 d) (3y5 .4k Material para apoyo del docente prohibida 67 su reproducción parcial o total .5r + 1.2wty .4ay + 2y) + ( .9sw .5s 4. su reproducción parcial o total a) ( .8 + 2b2 + 6qz) = 4b2 − 11 b) ( .2y) = 6ayz .5cv) = .k 3h 6 .2wty .12fda .5r + 12.(10csz + 5sw .csz) = .12 + 4fda + 5v3) = .4v3 + 7) .(7rmn9 + xy .6qz + 2b2 .8rmn9 + 2xy + 11cv f) (3ayz .2x 3r + 2d 2r + d 7r + 5d 4wty .2 + 3y3) + ( .( .k 6xyz 2 + yz 1 1 2xyz 2 + 2 yz 2xyz 2 + 2 yz 8h 6 .k 16xyz 2 + 2yz 17h 6 .4sw − csz + 8csz) .rmn9) . 6m + n 7s + 2n 3m + n 4.3) + ( .2ay + 3ayz .9v3 .5 + 2y3 + 5y5) = 8y5 + 5y3 .6x 4h 6 .2x 19.5d 18.6ay ◊ Representa algebraicamente el perímetro de las siguientes figuras.75s + 2n 16. 2 Material para apoyo del docente prohibida 68 su reproducción parcial o total . la segunda 6 kg y la última 4 kg. a) Isabel. La primera persona adquirió 2 kg.3 b) El cuadrado de un número menos el cuádruplo de ese número.00 pagando en caja un total de $270. ¿Cuál fue el precio de cada kilogramo de manzana si en total se pagó $288. ¿cuál es ese núme- ro? 3t + 2t + 4 = 40 5t + 4 . 3x + 2x . x2 . René y Selene compraron varios kilos de manzana en la misma tienda.00? 2m + 6m + 4m = 288 12m = 288 12m 288 El precio de cada kilogramo fue de $24.98 4c = 172 4c 172 Cada par de calcetines tuvo un costo de $43.00 ¿Cuál fue el costo de cada par de calcetines? 4c + 98 = 270 4c + 98 .00 12 = 12 m = 24 Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) David ha comprado 4 pares de calcetines y una corbata de $98. x + y + z ◊ Encuentra la solución a cada problema planteado.4x c) La diferencia del cubo de un número menos el triple de otro número.4 5t 36 El número es 7.98 = 270 .2 5 = 5 t = 7.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Representa con un polinomio cada uno de los enunciados que se describen en cada caso.4 = 40 .3n d) La suma de 3 números distintos. m3 .00 4 = 4 c = 43 c) 3 veces un número más 2 veces ese mismo número más 4 da como resultado el número 40. a) El triple de un número más 2 veces ese número menos 3.Material para apoyo del docente prohibida 2. 1 ¿Las expresiones son equivalentes? Serán equivalentes o representarán lo mismo 2 expresiones algebraicas si se cumple la igualdad entre ambas y si al sustituir sus variables con valores siempre dan el mismo resultado. (9) (7) = 63 63 = 63 c) i = 2 en la igualdad (i + 3) (i + 4) = i 2 + 7i + 12 (2 + 3) (2 + 4) = (2) 2 + (7) (2) + 12 (5) (6) = (4) + (14) + 12 Las expresiones son equivalentes. Si al sustituir y = 3 y r = 2 en las expresiones. b = 8 y c = 1 en la igualdad 8(a + b + c) = 8a + 8b + 8c 8 (6 + 8 + 1) = (8) (6) + (8) (8) + (8) (1) 8 (15) = (48) + (64) + (8) Las expresiones son equivalentes. (3) (. Por ejemplo.(3) (8) Las expresiones son equivalentes. 30 = 30 d) a = 6. se tiene: 2(3 + 2) = (2) (3) + (2) (2) (2) (5) = (6) + (4) 10 = 10 La finalidad de obtener una expresión equivalente es que sea más sencilla y tratable.18 = . ◊ Sustituye los valores para verificar si las siguientes expresiones son equivalentes.Material para Tema: apoyo delmultiplicativos Problemas docente prohibida su reproducción parcial Contenido 3 o total 3. que te permita operar con más facilidad.18 b) a = 1 y b = 6 en la igualdad (3a + b)7 = 21a + 7b su reproducción parcial o total 6(3) (1) + (6)@ 7 = (21) (1) + (7) (6) (3 + 6) 7 = (21) + (42) Las expresiones son equivalentes.n) = 3m .3n 3 (2 . 120 = 120 Material para apoyo del docente prohibida 69 su reproducción parcial o total .8) = (3) (2) .(24) Material para apoyo del docente prohibida .6) = (6) . A la operación de sustituir las literales por valores numéricos también se le llama "calcular el valor numérico de una expresión algebraica". a) m = 2 y n = 8 en las igualdad 3(m . 2(y + r) = 2y + 2r. a) 3 3 3 Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 1 a 3(a + 1) = 1 3 + 3a a b) 3 3 3 3 b 2 b 1 1 3(b + 2) = 3b + 3 + 3 c) b b b b b 3 4 1 1 1 4 Material para apoyo del docente prohibida 7b = 1b + 1b + 1b + 4b 70 su reproducción parcial o total . Por ejemplo.Material para apoyo 3. la representación algebraica que corresponde al área del rectángulo es (y + 3) y. esto se observa claramente en el siguiente modelo geométrico.2 Búsqueda del docente de expresiones algebraicas prohibida su reproducción parcial o total Una forma de identificar y buscar expresiones equivalentes es empleando modelos geométricos. y y y y 3 y 3 (y + 3)y = y2 + 3y ◊ Escribe la expresión algebraica que también representaría el área de cada figura. Pero también puede ser y2 + 3y. a) 2(c + d) c) 2(x + y) 2 x 2 y c d b) 3(f + 2) d) 2(a + b + c) 3 2 a b c Material para apoyo del docente prohibida f 2 71 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida d) su reproducción parcial o total 5 5 5 a c a c 5(a + c) = 5a + 5c e) 1 1 4 x x 4 4 Material para apoyo del docente prohibida 4(x + 1) = 4x + 4 ◊ su reproducción parcial o total Utiliza modelos geométricos para representar las siguientes expresiones algebraicas. Por ejemplo.4s) = 2 (2m + 2n . Material para apoyo del docente prohibida 72 su reproducción parcial o total . a) 5(1 + y) + y = 5 + 6y = 1 (5 + 6y) b) (2w + 4) ts = 2wst + 4ts = 2ts (w + 2) c) (m + n .s ) 4 = 4m + 4n .2s) d) (p .pq + pq .1 Volumen de un prisma y cubo Para obtener el número de unidades cúbicas que componen a cada cuerpo geométrico es necesario relacionar su largo. ancho y altura.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Encuentra 2 expresiones equivalentes para los siguientes polinomios.q) (p + q) = (p . Esto a su vez representa el volumen del cuerpo geométrico.Material para apoyo del docente prohibida 3.q2 ◊ Justifica mediante un modelo geométrico que 3(r + s) = 3r + s + s + s 1 s 3 3 1 s r s r 1 Material para apoyo del docente prohibida 3(r + s) = 3r + 1s + 1s + 1s s su reproducción parcial Tema: Medida o total Contenido 4 4.q) p + (p . la construcción geométrica de en medio está conformada por 15 cubos y se obtiene relacionando su largo que es 3 unidades.q) q = p2 . su ancho de una unidad y su altura es de 5 unidades. Aunque tam- bién se obtiene multiplicando el área de la base (B) por la altura (h): V = B × h. por lo que la expresión que vincula a estos 3 ele- mentos es V = l × l × l o bien V = l3.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Determina el número de unidades cúbicas que tienen los siguientes cuerpos geométricos. se emplea la expresión V = l × a × h. para calcular el volumen de un prisma rectangular. Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 4 cm V = (4 cm) (4 cm) (4 cm) = 64 cm3 V = (16 cm2) (4 cm) = 64 cm3 4 cm 4 cm No obstante. se relacionan sus 3 lados. V = (6 cm) (3 cm) (2 cm) = 36 cm3 V = (18 cm2) (2 cm) = 36 cm3 2 cm 3 cm 6 cm Material para apoyo del docente prohibida 73 su reproducción parcial o total . a)su reproducción parcial o total b) c) d) 24 unidades 8 unidades 64 unidades 45 unidades cúbicas cúbicas cúbicas cúbicas Para calcular el volumen de un cubo. Aunque también se obtiene multiplicando el área de la base por la altura. ¿Cuál será su volumen si su altura mide 7 de cm? 4 Se puede emplear la expresión V = l × l × l. su reproducción parcial o total a) El área de la base de un cubo es de 49 16 cm 2 . ¿cuál será su volumen si las bases tienen un área de 6 cm2 y su altura es de 10 cm? El área de una de las bases se multiplica por la altura con para calcular el volumen de la caja: 6 cm2 × 10 cm = 60 cm3 10 cm Material para apoyo del docente prohibida 74 su reproducción parcial o total .5 mm) = 170 mm3 c) La siguiente imagen se refiere a una caja de regalo que contiene chocolates. 7 4 cm 49 7 343 V = ( 16 cm 2) ( 4 cm) = 64 cm 3 El volumen del cubo es de 343 cm 3 .Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes planteamientos.5 mm? Primero se calcula el área de la base del prisma con la expresión Pa Material para apoyo del docente prohibida A= 2 : (4 mm) (5) (2 mm) 40 mm 2 A= = = 20 mm 2 su reproducción parcial o total 2 2 Empleando la medida del área encontrada y la altura del prisma se determina su volumen: V = (20 mm2 ) (8. 64 b) El siguiente prisma tiene una base pentagonal cuyo lado mide 4 mm y una apotema de 2 mm. ¿cuál será su volumen si su altura es de 8. 2 dm) 115.84 dm 3 V= 3 = 3 = 257.2 dm 2 A= 2 = 2 = 57. En donde B = Área de la base y h = altura ◊ Resuelve cada uno de los siguientes problemas.6 dm 2) (13.28 dm 3 b) Una vela aromática tiene forma de una pirámide cuadrangular cuya base tiene un área de 16 cm2 y una altura de 9 cm. a) ¿Cuál será el volumen de la siguiente pirámide si su base tiene de lado 6 dm y su apotema mide 3. ¿Cuál es el volumen que ocupa la vela? B#h Empleando la expresión V = 3 se tiene: (16 cm 2) (9 cm) 144 cm 3 V= 3 = 3 = 48 cm 3 Por lo que el volumen que ocupa la vela es de 48 cm3. 2 cm 2 cm 2 cm 5 cm + 5 cm + 5 cm = 5 cm 2 cm B#h Por lo que el volumen de una pirámide está dado por la expresión V = 3 .Material para apoyo del 4. tamaño y altura que un prisma.4 dm) 771.2 dm y su altura es de 13.4 dm? Material para apoyo del docente prohibida Primero se calcula el área de la base de la pirámide su reproducción parcial o total con la expresión Pa A= 2 : (6 dm) (6) (3. Material para apoyo del docente prohibida 75 su reproducción parcial o total . representa una tercera parte del volumen de este último. se determina su volumen: (57.6 dm 2 Empleando la medida del área encontrada y la altura del prisma.2 Volumen docente de una pirámide prohibida su reproducción parcial o total Una pirámide que tiene por base la misma forma. que es el número de mililitros de jugo de naranja que puede contener el recipiente de cartón.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Resuelve los siguientes problemas. 5 1 2 4 cm ) 1 3 ( 5 cm ) ( 2 8 cm 1 1 V=( 3 ) (2) = ( 3 ) (2) = ( 24 cm 3) (2) = 12 cm 3 Material para apoyo del docente prohibida 76 su reproducción parcial o total . Material para apoyo del docente prohibida El volumen del recipiente es igual a 240 cm3: su reproducción parcial o total 8 cm V= (60 cm 2) (8 cm) 480 cm 3 3 = 3 = 160 cm 3 Si 1000 cm3 equivalen a un litro y éste tiene mil mililitros. a) E l siguiente dibujo es de una pecera en forma de prisma rectangular.Material para apoyo del docente prohibida 4. ¿cuál será el volumen de la pecera si la escala a la que se encuentra el dibujo es 1:100 centímetros? Las medidas del dibujo hay que multiplicarlas por el factor de proporcionalidad 100 para conocer las medidas 1 reales y así obtener su volumen: 3 cm 100 300 cm 3 cm # 1 = 1 = 300 cm 100 200 cm 2 cm # 1 = 1 = 200 cm 2 cm 6 cm 100 600 cm 6 cm # 1 = 1 = 600 cm V = ^ 200 cm h^ 600 cm h^ 300 cm h = 36 000 000 cm 3 b) Un recipiente de cartón en forma de pirámide triangular contiene una bebida con sabor a jugo de naranja. Entonces 160 cm3 equivalen a 160 ml. cuya área es 1 de centímetro cuadrado. Por lo que se puede calcular el volumen de una de ellas y después multiplicar la medida encontrada por 2. ¿Cuán- tos mililitros de jugo puede contener el recipiente si el área de su base es de 60 cm2 y su altura es de 8 cm? Considérese que 1000 cm3 equivalen a un litro. 4 El cuerpo geométrico está conformado por 2 pirámides hexagonales. c) ¿Qué volumen ocupa el siguiente cuerpo geométrico? Téngase en cuenta que el cuerpo geométrico forma en medio un hexágono. Además la distancia que hay entre los ápices 5 de las pirámides es igual a 5 de centímetro. ¿Cuál será el área sobre la que descansa la base del dispositivo si uno de sus lados es igual a 0.49 m 2 = l 2 Material para apoyo del docente prohibida 77 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del Tema: docente prohibida Medida su reproducción parcial Contenido 5 o total 5.1 ¿Cuánto vale el área de la base? ◊ Resuelve los siguiente problemas. para solucionar el problemas es sustitu- yendo los valores que se conocen a la expresión V = l × l × l. su reproducción parcial o total Una alternativa para solucionar el planteamiento descrito es susti- tuyendo los valores en la expresión y luego averiguar el valor de B. ¿De qué dimensiones debe ser la plataforma si el volumen de la pirámide completa es de 4 374 cm3 y su altura es de 18 cm? Una alternativa para solucionar el planteamiento descrito es sustituyendo los valores en la expresión y luego averiguar el valor de B.343 m 3 = 0. Sin embargo.7 m = l # l 0.7 metros? Una alternativa. necesita colocarla sobre un tablero que sea cuatro veces más grande que la base cuadrada de la pirámide. ¿cuál será el área de una de sus bases? El volumen de la caja es de 144 cm3 y su altura es de 18 cm. un poco extensa. 0.343 m 3 es de 0. i aguet 144 cm 3 = B # 18 cm Esp 144 cm 3 18 cm = B 8 cm 2 = B c) Un purificador de aire tiene forma de cubo y un volumen de 0.49 m2. 0.7 m # l # l El área sobre la descansa el dispositivo 0. B # 18 cm 4374 cm 3 = 3 3 (4374 cm ) (3) = B # 18 cm El valor encontrado se multi- plica por cuatro para saber el 13122 cm 3 = B # 18 cm área del tablero: 13122 cm 3 (729 cm2 ) (4) = 2916 cm2 18 cm = B 729 cm 2 = B Material para apoyo del docente prohibida b) En una caja de cartón se almacena pasta para hacer espagueti.343 m3. a) Verónica ha elaborado una maqueta referente a una pirámide para su clase de Historia. 49 cm 2 V= 3 12.375 cm 3 = 86. 78.375 cm 3) (3) = 86. 0.5 cm 2 7.375 cm3.5 cm2? Una alternativa para solucionar el planteamiento descri- to es sustituyendo los valores en la expresión y luego averiguar el valor de h. ¿Cuál es la altura del alhajero si éste tiene un volumen de 78.49 cm 2 # h Teniendo en cuenta lo ante.1008 m 3 = 0.5 = h para calcular la altura.3 cm con un volumen de 360.75 cm 3 =h 10.1008 metros cúbicos.49 cm 2 # h 3 (360.21 m2.49 cm2 360.75 cm 3 = 10. si tiene un volumen de 0. Material para apoyo del docente prohibida Primero se averigua cuál es el área de una de las su reproducción parcial o total pirámides. l 2 = (9.5 cm = h b) En cada uno de los consultorios de un hospital se encuentra una pirámide nutricional con el mismo tamaño y forma elaborada a base de cartón.48 m = h Material para apoyo del docente prohibida 78 su reproducción parcial o total .49 cm 2 # h rior.125 cm 3 = 86. ¿cuál es su altura? Una alternativa para solucionar el planteamiento des- crito es sustituyendo los valores en la expresión y luego averiguar el valor de h. a) Lidia ha elaborado un alhajero de madera para regalarloo a su mamá.75 cm3 y las bases un área de 10.5 cm 2 # h 78.21m 2 # h 0.1008 m 3 =h 0. 1081.Material para5. se emplea la expresión 1081.2apoyo del ¿Cuánto vale docente prohibida la altura? ◊ su reproducción parcial o total Resuelve los siguientes problemas.125 cm 3 =h B#h 86.3 cm)2 = 86.21m 2 0. c) La medida de la superficie que abarca la base de un buró de madera es de 0. ¿Cuál será la altura de una de ellas? Ten presente que las bases de estos cuerpos geométricos son cuadradas y tienen de lado igual a 9. ¿En cuántos días 8 niños gastarán el mismo número de litros de agua? Número de niños 12 9 8 6 4 2 Número de días 6 8 9 12 18 36 El producto de las magnitudes (número de niños y número de días) siempre da la constante K. b) ¿Cómo varía el volumen de la pirámide si el área de su base se mantiene constante y la altura se modifica? Material para apoyo del docente prohibida El volumen de la pirámide varía de manera proporcional. En una excursión 12 niños consumieron 144 litros de agua durante 6 días. que es 72. por lo que la situación es de proporcionalidad inversa.Material para apoyo del docente prohibida 5. base de 12 cm2 y una altura de 1 cm.1 El producto de cada par de valores se mantiene constante Cuando 2 magnitudes son inversamente proporcionales el producto de ambas es igual a una constante (K). además porque a medida que disminuye una magnitud la otra aumenta. 12 × 6 = 72 6 × 12 = 72 9 × 8 = 72 4 × 18 = 72 Material para apoyo del docente prohibida 8 × 9 = 72 2 × 36 = 72 79 su reproducción parcial o total . Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6 6.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Completa la tabla del lado izquierdo y derecho que tiene que ver con la variación del volumen respecto a la altura de un prisma y pirámide hexagonal. Ambos cuerpos geométricos originalmente tienen un volumen de 12 cm3. La altura de la pirámide debe ser 3 veces mayor que la altura del prisma. su reproducción parcial o total c) ¿Qué condiciones son necesarias para que el volumen de una pirámide tenga el mismo volumen que un prisma? Téngase en cuenta que ambos cuerpos geométricos tienen la misma base. Prisma Pirámide Base Altura Volumen Base Altura Volumen 12 cm2 1 cm 12 cm3 12 cm2 1 cm 4 cm3 12 cm2 2 cm 24 cm3 12 cm2 2 cm 8 cm3 12 cm2 3 cm 36 cm3 12 cm2 3 cm 12 cm3 12 cm2 4 cm 48 cm3 12 cm2 4 cm 16 cm3 12 cm2 5 cm 60 cm3 12 cm2 5 cm 20 cm3 12 cm2 6 cm 72 cm3 12 cm2 6 cm 24 cm3 a) ¿Cómo varía el volumen del prisma si el área de su base se mantiene constante y la altura se modifica? El volumen del prisma varía de manera proporcional. cuando su base es constante. y viceversa. 160 y 320. 50. ¿cuántas horas se llevarán en construir una barda con las mismas características 6 albañiles? Número de Si 4 × 6 = 24 entonces la constante de proporcionalidad inversa es 24. 100. Por 3 10 lo que el número de horas que tardan 10 obreros en hacer el mismo trabajo obreros es 6: (10) (y) = 60 Número de 20 ¿? 60 días y = 10 = 6 días Material para apoyo del docente prohibida c) E su reproducción parcial o total n una establo se almacenan pacas de pastura suficientes para alimentar a 500 caballos durante 16 días. su reproducción parcial o total a) Si 4 albañiles tardan 6 horas en construir una barda. ¿cuánto tiempo tardarán 10 obreros en realizar un trabajo en las mismas condiciones que los otros? Número de Si 3 × 20 = 60 entonces la constante de proporcionalidad inversa es 60.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes problemas. 200. 50 y 25 caballos? Número de 500 250 200 100 50 25 caballos Número de 16 32 40 80 160 320 días Si 16 × 500 = 8000 entonces la constante de proporcionalidad inversa es 8000. Por 4 6 lo que el número de horas que tardan 6 albañiles en hacer una construcción albañiles semejante es 4: Número de (6) (y) = 24 6 ¿? horas 24 y = 6 = 4 horas b) S i 3 obreros tardan 20 días en terminar un trabajo. d) Cuatro personas colocaron 50 losetas en el área de la cocina de la señora Carmen en un tiempo de 9 horas. Por lo que se divide dicha cons- tante entre el número de caballos (250. 200. 80. 25) obteniendo así los datos de 32. 100. ¿Para cuántos días durará la misma cantidad de pastura si se desea alimentar a 250. ¿cuánto tiempo se habrían tardado en hacer el mismo trabajo si a estas cuatro personas se hubieran unido otras dos? Si 4 × 9 = 36 entonces la constante de proporcionalidad inversa es 36. Por lo que el número de horas que tardan 6 personas en hacer el mismo trabajo es 6: (6) (x) = 36 36 x = 6 = 6 horas Material para apoyo del docente prohibida 80 su reproducción parcial o total . 40. que representa el número de días que tardarán 6 zapateros en arreglar el mismo número de pares de calzado. (6) (14) = (4) (21). ya que a menor número de zapateros. 2 personas x días 5 personas = 7 días 2 x Al resolver la proporción 5 = 7 se tiene que x es igual a 2. y 6 viceversa. que representa el número de días que tardarán 8 perros en consumir la misma cantidad de alimento. 2 perros x días 8 perros = 6 días 2 x Al resolver la proporción 8 = 6 se tiene que x es igual a 1. 2 x 14 5 = 7 & (2) (7) = (5) (x) & 14 = 5x & 5 = x & 2. Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes problemas.8 días = x b) Dos perros consumen 3 kilogramos de croquetas en 6 días.Material para 6. Por ejemplo.5 14 21 Se trata de una situación de proporcionalidad inversa.4 10. a) En un departamento cuando habitan 2 personas el consumo de agua por 7 días es de 1120 litros. si las razones 4 14 6 21 y 21 son inversamente proporcionales.5 días = x Material para apoyo del docente prohibida 81 su reproducción parcial o total . más días se emplean. 2 x 12 8 = 6 & (2) (6) = (8) (x) & 12 = 8x & 8 = x & 1. entonces 4 = 14 .2 apoyo Regla de del docente tres simple inversa prohibida su reproducción parcial o total Si 14 zapateros han arreglado en 6 días 72 pares de zapatos. además de que existe una igualdad entre una razón y la inversa de la otra. ¿En cuántos su reproducción parcial o total días consumirán el mismo número de litros 5 personas? Se establece la siguiente proporción. Con base en lo podemos establecer la siguiente proporción y encontrar la respuesta: 14 zapateros x días 6 zapateros = 6 días 14 x Al resolver la proporción 6 = 6 se tiene que x es igual a 14. ¿en cuántos días 8 perros terminarían con la misma cantidad de alimento? Se establece la siguiente proporción. 14 x 84 6 = 6 & (14) (6) = (6) (x) & 84 = 6x & 6 = x & 14 = x El procedimiento descrito anteriormente recibe el nombre de regla de tres inversa.5. ¿cuántos días tardarán 6 zapateros en arreglar el mismo número de pares de zapatos? Número de 14 12 10 8 6 4 zapateros Número de días 6 7 8.8. que representa el número de días que tardarán 5 personas en consumir el mismo número de litros de agua. Material para apoyo del docente prohibida c) Rafael. que representa el número de minutos que tar- 3 = 120 darán 3 personas en pintar la cerca. 1 persona x minutos 3 personas = 120 minutos 1 x Al resolver la proporción se tiene que x es igual a 40.3 Profundiza Completa las tablas de proporcionalidad inversa. Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 2 80 8 120 15 48 4 40 5 192 20 36 5 32 4 240 36 20 8 20 3 320 45 16 10 16 1 960 80 9 Tema: Nociones de probabilidad Contenido 7 7. 90 km/h 30 minutos = x km/h 18 minutos Al resolver la proporción 90 = 30 se tiene que x es igual a 54. 1 x 120 3 = 120 & (1) (120) = (3) (x) & 120 = 3x & 3 = x & 40 minutos = x d) Un automóvil que va a una velocidad de 90 km/h tarda 18 minutos en recorrer la distancia que hay entre 2 puntos: A y B. Material para apoyo del docente prohibida 90 30 1620 km x = 18 & (90) (18) = (30) (x) & 1620 = 30x & 30 = x & 54 h = x ◊ su reproducción parcial o total 6. el nieto de la señora Regina. pinta 80 metros cuadrados de cerca en 120 minutos. Frecuencia Águila 23 Sol 27 Material para apoyo del docente prohibida 82 su reproducción parcial o total .1 Aproximación a la probabilidad teórica Martín lanzó 50 veces una moneda y capturó sus resultados en una tabla como la que se muestra a continuación. ¿Qué velocidad debe llevar el automóvil para recorrer la misma distancia en 30 minutos? Se establece la siguiente proporción. ¿cuánto tiempo su reproducción parcial o total tardarán en pintar la misma área si se unen a Rafael sus 2 hermanos? Se establece la siguiente proporción. que representa por la velocidad a la que iría el x 18 automóvil si tarda 30 minutos. 54 La probabilidad de que se presente águila o sol al lanzar una moneda es la misma porque cada resultado tiene la misma probabilidad de salir. • ¿Cuál es la probabilidad teórica que le corresponde a cada evento? Material para apoyo del docente prohibida 1 A cada evento le corresponde una probabilidad de 6 su reproducción parcial o total Evento 1 Lanzamientos Frecuencia 2 3 4 5 6 • ¿Cuál es la probabilidad frecuencial que le corresponde a cada evento? La información que debe ir en la tabla como la respuesta a esta pregunta está en función de los resultados que obtenga el alumno al realizar el experimento. 3. Respondan las preguntas y llenen los espacios vacíos de la tabla. • ¿Qué cara es más posible obtener al lanzar el dado? Todas las caras tienen la misma posibilidad de salir. Extrai- gan sin ver y de manera alternada una ficha.46 P (S) = 50 = 0. a) Lanza 50 veces un dado común de 6 caras el cuál viene marcado por unos puntos que representan a los números 1.Material para apoyo del docente prohibida Al relacionar el número de veces que apareció la cara de la moneda águila o sol con el total de veces que se lanzó su reproducción parcial o total la moneda. Esta acción llévenla a cabo 50 veces cada uno. ◊ Realiza cada uno de los experimentos aleatorios que se indican en cada caso y lleva a cabo las acciones que se describen en cada caso. b) Junto con un compañero consigan una caja y en ella coloquen 8 fichas de color negro y 10 de color rojo. • ¿Qué color de ficha es menos posible conseguir al extraer una de la caja? La ficha color negro • ¿Qué probabilidad teórica le corresponde a cada evento? 8 10 Material para apoyo del docente prohibida y 18 18 83 su reproducción parcial o total . se obtiene la probabilidad frecuencial: 23 27 P (A) = 50 = 0. 5 y 6.5 P (S) = 2 = 0. Responde las preguntas y llena los espacios vacíos de la tabla. 4. Por lo que la probabilidad teórica de que se presente el evento águila o sol es 1 respectivamente 2 : 1 1 P (A) = 2 = 0. 2.5 La probabilidad frecuencial de un evento tiene la tendencia de parecerse a la probabilidad teórica del mismo evento. después devuélvanla. esta acción deberán hacerla de manera alternada. ¿cómo es la probabilidad frecuencial que le corresponde a cada evento respecto a la probabilidad teórica? La probabilidad frecuencial de un evento tiene una tendencia a parecerse a la probabilidad teórica del mismo Material para apoyo del docente prohibida evento. ¿cómo es la probabilidad fre- cuencial que le corresponde a cada evento respecto a la probabilidad teórica? La probabilidad frecuencial de un evento tiene una tendencia a parecerse a la probabilidad teórica del mismo evento. • Si se suman tus resultados y los de tu compañero referentes a un mismo evento. • ¿Cuál es la probabilidad teórica que le corresponde a cada evento? 5 7 12 y 12 Mis resultados Frecuencia Blancas Negras Los resultados de mi compañero Frecuencia Blancas Negras • Con base en tu resultado. 84 su reproducción parcial o total . • Si se suman tus resultados y los de tu compañero referentes a un mismo evento. Responde las preguntas y llena los espacios vacíos de la tabla. c) Junto con un compañero construye o consigue algún objeto que se parezca a una urna y deposita en ella 5 canicas de color blanco y 7 de color negro. Posteriormente cada uno extraiga y devuelva 50 veces de la urna Material para apoyo del docente prohibida una canica.Material para apoyo del docente prohibida Mis resultados su reproducción parcial o total Frecuencia Negras Rojas Los resultados de mi compañero Frecuencia Negras Rojas • Con base en tu resultado. ¿cuál es la probabilidad frecuencial que le corresponde a cada evento? La información que debe ir en tabla y la respuesta a esta pregunta dependen de los resultados que obtenga el alumno al realizar el experimento. su reproducción parcial o total • ¿Qué color de canica es menos posible conseguir al extraer una de ellas de la urna? La canica color blanco. ¿cuál es la probabilidad frecuencial que le corresponde a cada evento? La información que debe ir en la tabla y la respuesta a esta pregunta dependen de los resultados que obtenga el alumno. 2 del docente prohibida Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Tania ha colocado en un pequeña caja las fichas de un dominó. Primer cuadrado de la ficha 0 1 2 3 4 5 6 0 0. 3 2. 1 5. 0 1. 4 6. 5 3. 0 6. 6 2. 5 2. 5 1. 2 6. 2 1. 6 6. 1 4. 3 6. 2 4. 4 2. 6 4. 3 forma a la Material para apoyo del docente prohibida ficha 4 5 0. 5 6. 6 3. 2 3. 3 3. 1 1. 4 4. 6 Material para apoyo del docente prohibida 85 su reproducción parcial o total . • Para ambos casos. 3 1. 0 1 0. 4 0. 4 1. 2 5. 5 su reproducción parcial o total 6 0. • ¿Cuáles son los posibles resultados que obtendrá Tania si decide extraer una ficha de la caja? Los posibles resultados son 49 • ¿Cuál será la probabilidad de obtener una ficha que al sumar sus puntos dé un total de 6? 7 La probabilidad es 49 . 6 1. 1 2. 1 Segundo 2 0. 3 5. 2 2. 0 4. 5 5. 0 2. 3 4. 0 5. 4 3. 5 4. 1 3. Apóyate con la siguiente tabla y complétala. 6 5. 1 6.Material para apoyo 7. 4 5. ten en cuenta que un dominó cuenta con 28 fichas rectangulares divididas en dos cuadra- dos. 2 cuadrado que 3 0. 0 3. 2f 2 .2f 2 + 10 f 2 = .2mhg f) 1 l) .2f 2 2.7est 4 .12 kf 2 + 2 jk 2 + 6 2 = . Resuelve las siguientes operaciones.16.27asd = .9 2 d) 12ayx + 3ax .9nz + 3para apoyo del docente prohibida 86 su reproducción parcial o total .12 kf 2 .8.3ax .11est 4 = .4 d 2 8 r .1pq .2. Material para apoyo del docente prohibida a) su reproducción parcial o total 2 2 15mn + 12mn + 3m = 27mn + 3m 2 2 2 b) 15ty .10 pq = 0pq 5 2 + 12asd .23 jk 2 + 36 7 7 10 7 35 f) ^2x 2 + 3 h + ^2x 2 + 3h = 4x 2 + 6 g) 2x 2 + 3m + 2n + 2 x .3 c = 12 c d) 1 1 1 j) 1 2 8 2 .55 2 .2 a .3n 3x 2 + 3m . 5 d 2 + 2 8 d 2 + 8 d 2 = .8.15asd + 25 2.n h) 3zt .Material paraEjercicios apoyo del docente prohibida de reforzamiento 1. a) 1 1 1 3 g) 4 zx + 4 zx + 4 zx = 4 zx .27est 4 b) h) 4rm + 6rm + 6mr = 16rm .4nz + 3 - zt + 5nz Material 2zt .9 r = 72 r e) 2 k) .9est 4 .3ayx e) . su reproducción parcial o total Halla el resultado de las siguientes operaciones.2 a = 4 xr .5mhg .2pq .6.15mn .3 + 12xr .144 ty + 5ty + 2 = 8ty + 2 c) 3 1 51 1 4 xr .6 jk 2 .10.34mn .2mn = .15ayx = .51mn c) i) 5 2 2 2 7 2 24mn 2 + 12mn 2 = 36mn 2 4 c .8.7mhg = .10. 12df + 2i . Emplea un modelo geométrico para representar las expresiones que se enlistan a continuación.5i 3.y 2 + 4df .2n 2 + 3y 2 + 16df . a) ^ f + 1 h 4 b) ^ g + m h 8 4 8 Material para apoyo del docente prohibida f 1 g m su reproducción parcial o total c) ^ 5 + a + b h 3 d) ^ x + y h x x 3 x 5 a b y Material para apoyo del docente prohibida 87 su reproducción parcial o total .4y 2 .2n 2 .3i .Material para apoyo del docente prohibida i) + su2tdreproducción parcial o total rsw + 4m + 3 -m-2 rsw + 2td + 3m + 1 j) . Determina el volumen de los siguientes cuerpos geométricos considerando que el lado de cada cubo que los forma es igual a 1 cm. a) b) 27 cm3 27 cm3 Material para apoyo del docente prohibida 88 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total e) 2k + 2k + 2c 2 k k c f) n 2 + n ^ m + r h Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total n n m r 4. 53.Material para apoyo del docente prohibida c) d) su reproducción parcial o total 8 cm3 6 cm3 5. ¿Cuál sería el volumen de las pirámides si se considera que éstas tienen la misma base y altura que los siguientes pris- mas? a) b) c) Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Pirámide a: ^ 12 cm 2 h^ 7 cm h V= 3 = 28 cm 3 Pirámide b: ^ 16 cm 2 h^ 8 cm h V= 3 .33 cm 3 Material para apoyo del docente prohibida 89 su reproducción parcial o total .66 cm 3 Pirámide c: ^ 20 cm 2 h^ 8 cm h V= 3 . 42. Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 6. a) El volumen de un prisma cuadrangular tiene una base de 30 cm2 y un volumen de 450 cm3. ¿Cuál es su altura? Material 25.5 cm 2 h = 14 cm c) Calcula la longitud de la base de una pirámide cuadrangular.5 = 119 3 3 357 cm h = 25.5 cm2 y un volumen de 119 cm3.5 ^ para h = 119 2apoyo cm h^ h del docente cm prohibida 3 25su hreproducción parcial o total 3 ^ cm h^ h ^ cm h^ h 2 3 . mientras que su volumen es igual a 975 cm3. ^ b h^ 13 cm h 3 = 975 cm 3 ^ b h^ 13 cm h = 975 cm 3 ^ 3 h 2 925 cm 3 b = 13 cm b = 225 cm 2 La longitud de la base es 225 cm 2 = 15 cm Material para apoyo del docente prohibida 90 su reproducción parcial o total . sabiendo que su altura es igual a 13 cm. Analiza los siguientes casos y determina lo que se indica. ¿Cuál es su altura? ^ 30 cm 2 h^ h h = 450 cm 3 450 cm 3 h= 30 cm 2 h = 15 cm b) El volumen de una pirámide hexagonal tiene una base de 25. La apotema de la base es igual a 1.75 cm 2 h^ 2 h & l = 6. Material para apoyo del docente prohibida 91 su reproducción parcial o total . misma área en un edificio.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Calcula la longitud de la base de un prisma pentagonal.75 cm 2 & ^ 6.3 cm. Lleva a cabo lo que se indica en cada inciso. Número de Número de Días empleados Número de horas personas máquinas 5 30 2 13 6 25 4 6.5 10 15 13 2 15 10 20 1.5 cm h^ l h = ^ 9. sabiendo que tiene un volumen de 117 cm3 y una altura de 12 cm.3 cm h = 9.3 El número de días que emplearán 15 personas para Trece máquinas tardarán dos horas en barrer la pintar una casa es 10. Material a) para apoyo del b) docente prohibida Completa la tabla y determina los días que emplearán Completa la tabla y determina las horas que tardarán su reproducción parcial o total 15 personas para pintar una casa. 13 máquinas en barrer una misma área cuadrada en un edificio.75 cm 2 Por lo que la longitud de labase es igual a ^ l h^ 5 h^ 1.5 cm = 3 cm 19.5 cm 2 2 7. ^ b h^ 12 cm h = 117 cm 3 117 cm 3 b = 12 cm b = 9. Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) d) Completa la tabla y determina cuántas personas se ne. geométricas en 25 minutos. para apoyo del docente prohibida Sandra al girar una misma pirinola 200 veces obtuvo los resultados que se observan en la siguiente tabla. Número de Número de Número de días Minutos personas personas 5 72 4 50 6 60 8 25 12 30 20 10 36 10 100 2 El número de personas necesarias para terminar una Son 25 minutos los que emplearán 8 personas construcción de 30 días son 12. Completa la tabla y determina cuántas personas se re- cesitan para terminar una construcción que requiere de quieren para hacer un mismo número de construcciones 30 días. para hacer un mismo número de construcciones geométricas. Material 8. su reproducción parcial o total Evento Frecuencia Toma 1 37 Toma 2 35 Toma todo 35 Pon 1 32 Pon 2 33 Todos ponen 28 a) Determina la probabilidad teórica de cada evento. N ^ T1 h Toma 1: P ^ T1 h = Número de casos favorables 1 = = N Número de casos posibles 6 N ^ T2 h Toma 2 : P ^ T2 h = Número de casos favorables 1 = = 6 N Número de casos posibles Material para apoyo del docente prohibida 92 su reproducción parcial o total . Toma 1 Toma 2 Frecuencia 37 Frecuencia 35 = = Número total de giros 200 Número total de giros 200 Material para apoyo del docente prohibida Toma todo Frecuencia 35 Pon 1 Frecuencia 32 su reproducción parcial o total = = Número total de giros 200 Número total de giros 200 Pon 2 Todos ponen Frecuencia 33 Frecuencia 28 = 200 = Número total de giros Número total de giros 200 Material para apoyo del docente prohibida 93 su reproducción parcial o total . “Toma todo”. “Toma 2”. “Pon 2” y “Todos po- nen” con el número total de giros que hizo para averiguar cuál es la probabilidad frecuencial de cada evento. “Pon 1”.Material para apoyo del docente prohibida N ^ Tt h su reproducción parcial o total Toma todo : P ^ Tt h = Número de casos favorables 1 = = 6 N Número de casos posibles N ^ P1 h Pon 1: P ^ P1 h = Número de casos favorables 1 = = N Número de casos posibles 6 N ^ P2 h Pon 2 : P ^ P2 h = Número de casos favorables 1 = = N Número de casos posibles 6 N ^ Tp h Todos ponen : P ^ Tp h = Número de casos favorables 1 = = N Número de casos posibles 6 b) Relaciona el número de veces que obtuvo Sandra “Toma 1”. Material para apoyo Evaluación:del docente bloque 2 prohibida su reproducción parcial o total Secundaria:___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊ Subraya en cada caso la respuesta correcta. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la siguiente figura? 7. ¿Cuál es la medida de uno de los lados de la base de 4. Expresión equivalente a 8x2 + 4x: un prisma cuadrangular que tiene un altura de 12 cm y un volumen de 192 cm3? a) 2x(4x + 2) b) 8x + 8x + 2x2 a) 6 cm c) 4(x2 + x2 + 1) b) 3 cm Material para apoyo del docente prohibida d) 12x3 c) 16 cm d) 4 cm 94 su reproducción parcial o total . ¿Cuál será la altura de este mismo prisma si su volumen es de 900 cm3? a) 21 cm 2f 2 + 18 b) 18 cm c) 14 cm d) 23 cm 3f + d 2f + 1 8. 1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma de determinar el volumen de cualquier pirámide recta? expresiones: 12r 4 + 12r + 12r 4 + 12r? a) V = b × h a) 48r 8 B#h b) 24r 8 + 24r 2 b) V = 3 c) 24r 4 + 24r d) 12r 8 + 12r 2 c) V = 3 × b × h Material para apoyo del docente prohibida d) V = B#h 2 su reproducción parcial o total 3. ¿cuál será el área de su base si ésta tiene un volumen de 104 m3? 8f + 2d a) 22 m2 b) 24 m2 a) 17f + 3d 2 + 19 c) 26 m2 b) 15f 5 + 3d 2 + 19 d) 23 m2 c) 2f 2 + 13f + 3d + 19 d) 15f + 3d + 19 9. La altura de una pirámide es de 12 m.El área de la base de un prisma es igual 50 cm2. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite 2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma de 5. Expresión equivalente a 3s + 6s2 expresiones: 8m2 + 8m2? a) 3 (s + 2s2) a) 32m b) 9s3 b) 16m2 c) s (62 + 3) c) 32m2 d) 3s + 12s d) 8m4 6. n) estaban en el tinaco para bañarse.2 c) 49 cm2 b) 14mnb2 . ¿Cuál es la pro.2mnb2 . Una pirámide hexagonal mide 10 cm de altura y tiene un volumen de 45 cm3. Nancy lanzó 120 veces una moneda de las cuales 57 veces cayó sol y 63 águila. 2 y 3.5 m2 babilidad frecuencial y teórica de que se presente el b) 135 cm2 evento “obtener la cara marcada con el número 1”? c) 13. ¿en cuántos días gastarán la misma cantidad de agua 4 personas? b) 2(4h + 4 .2 + 5mnb2 + 3mn a) 46 cm 2 b) 14 cm2 a) 7m2 n2 b4 .2 d) 28 cm2 c) 7mnb2 .Material para apoyo del docente prohibida 10. Expresión equivalente a 8h + 8 .2n) c) 3 días d) 8 días 15.n) c) 4(2h + 2 . ¿en cuántos días comerán la misma cantidad 1 56 de chocolates cuatro personas? 2 49 a) 6 días b) 5 días 3 45 c) 4 días d) 3 días 27 1 a) 74 y 3 17.2 + 8mnb2 14. Expresión algebraica que representa a la siguiente su reproducción parcial o total si éste tiene un volumen de 343 cm3 y una altura de suma. ¿cuál es el área de 12. Julián ha obtenido los siguientes resultados al lanzar su base? 150 veces una dado distinguido por tener 3 caras Material para apoyo del docente prohibida marcadas con los números 1.5 cm2 su reproducción parcial o total d) 135 m2 16. 7 cm? 2mnb2 . Germán gastó en 8 días los 140 litros de agua que a) 8(h + 1 .mn .4mn . ¿Cuál será el área de una de las caras de un cubo 13.m2 n2 . De las provisiones que lleva Lucía y Julieta para Cara acampar se puede decir que 12 chocolates les duran 6 días. ¿cuál es la probabilidad 28 1 b) 75 y 3 frecuencial y téorica de que se presente el evento “obtener la cara águila”? 29 1 c) 75 y 3 30 1 d) 74 y 3 1 21 a) 2 y 40 1 19 b) 2 y 40 1 7 c) 2 y 20 Material para apoyo del docente prohibida 1 9 d) 2 y 20 95 su reproducción parcial o total .n) a) 4 días 1 b) 2 días d) 2 (8h + 8 . a) 13.2 d) .2n 11. Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 3 su reproducción parcial o total • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática Competencias que se favorecen: • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones Fue un matemático que con expresiones algebraicas. espacio y medida 4 5 Medida 6 Proporcionalidad y funciones Manejo de la información 7 Análisis y representación de datos 8 Evaluación Material para apoyo del docente prohibida 96 su reproducción parcial o total . tadística matemática y se dice que empleó por • Resuelve problemas que implican primera vez el término usar la relación entre unidades cúbi. Material para apoyo del docente prohibida • Lee y comunica información median- te histogramas y gráficas poligonales. se interesó por aplicar las matemáticas al es- • Justifica la suma de los ángulos inter. histograma. Karl Pearson su reproducción parcial o total Eje Sentido numérico y pensamiento Contenido 1 Tema Problemas multiplicativos algebraico 2 3 Figuras y cuerpos Forma. Estableció y utiliza esta propiedad en la resolu. tudio de la evolución de nos de cualquier triángulo o polígono la especies. cas y unidades de capacidad. la disciplina de la es- ción de problemas. 2 = 19 ◊ Resuelve las siguiente operaciones. 1. despúes se sumó el resultado obtenido al primer y 3 + 4 × 3 + 3 = 18 último sumando. 2. 9÷3×1=3 Primero se dividió 9 entre 3. la comunidad matemática ha fijado un convenio en cuanto al orden. seguido de ello se restó del resultado obtenido el 7 × 3 − 2 = 19 valor 2. Material para apoyo del docente prohibida 97 su reproducción parcial o total . Primero se multiplicó el 5 por el 2. Primero se multiplicó el 7 por el 3. a) 2 × 4 − 3 ÷ 1 = 8 − 3 = 5 b) 15 ÷ 3 + 3×12 = 5 + 3 × 1 = 5 + 3 = 8 Material para apoyo del docente prohibida c) 18 + 12 .7 # 25 = 12 + 36 − 7 × 5 = 12 + 36 − 35 = 48 − 35 = 13 ◊ Para los siguientes cálculos se empleó una calculadora científica. de tal manera que cuando éstas se evalúen se consiga un único resultado. Primero se evalúan potencias y raíces. Ejemplos: 5 2 + 4 # 2 = 25 + 2 # 2 = 25 + 4 = 29 2 2 + 2 # 7 + 3 ' 1 . después se multiplicó el 3 por el 1. después se sumó al resultado obtenido al 3 × 5 + 2 = 17 sumando 2. Primero se realiza la división y la multiplicación. Después se evalúan multiplicaciones y divisiones. Primero se multiplicó el 4 por el 3. Describe en el espacio correspondiente qué procedimiento utilizó el dispositivo. y el resultado se multiplicó por 1. Finalmente se evalúan sumas y restas. 3. Ante lo anterior. e inmediatamente se suman ambos 8 ÷ 2 + 5 × 2 = 14 cálculos.9 = 30 − 3 = 27 su reproducción parcial o total d) 13 + 64 .Material para Tema: apoyo delmultiplicativos Problemas docente prohibida su reproducción parcial Contenido 1 o total 1. Cálculo Descripción Primero se multiplicó el 3 por el 5.4 = 4 + 2 # 7 + 3 ' 1 .2 = 4 + 14 + 3 .4 2 # 2 = 13 + 8 − 16 × 2 = 13 + 8 − 32 = −11 e) 45 × 2 − 24 ÷ 8 = 90 − 3 = 87 f) 12 + 6 2 . posteriormente 5×2−3×1=7 se restó el segundo del primer resultado.1 Depende de los signos Cuando una expresión contiene más de una operación es conveniente determinar qué operaciones se efectuarán primero para evitar obtener varios resultados. Material para apoyo del docente prohibida 3. Ejemplos: 8÷4×3=2×3=6 9 × 10 ÷ 5 = 90 ÷ 5 = 18 ◊ Efectúa las siguientes operaciones. 2 × 3 ÷ 10 = 0.6 Primero se multiplicó el 2 por el 3. 3÷2×2=3 Primero se dividió el 3 entre el 2. luego se multiplicó el resultado por 3. 98 su reproducción parcial o total . 4 ÷ 2 × 5 = 10 Primero se dividió el 4 entre el 2. a) 10 − 3 + 5 = 7 + 5 = 12 b) 10 − 5 + 8 = 5 + 8 = 13 c) 7 × 6 ÷ 42 = 42 ÷ 42 = 1 d) 6 ÷ 3 × 7 = 2 × 7 = 14 e) 100 # 10 2 ' 4 = 10 × 100 ÷ 4 = 1000 ÷ 4 = 250 f) 5 2 ' 5 # 16 = 25 ÷ 5 × 4 = 5 × 4 = 20 Material para apoyo del docente prohibida ◊ Para los siguientes cálculos se empleó una calculadora científica. 10 ÷ 2 × 3 = 15 Primero se dividió el 10 entre el 2. 9 × 3 ÷ 2 = 13. y el resultado se dividió entre 2. Después se resuelve todo lo que esté dentro de los corchetes. 1.Material1. su reproducción parcial o total Cálculo Descripción 2×2÷2=2 Primero se multiplicó el 2 por el 2. o sea.5 Primero se multiplicó el 9 por el 3. Finalmente se resuelve todo lo que esté dentro de las llaves. 2. y el resultado se multiplico por 2. y el resultado se dividió entre 10. corchetes y llaves Si en las expresiones se emplean signos de agrupación como paréntesis. de izquierda a derecha. Describe en el espacio correspondiente qué procedimiento utilizó el dispositivo. y el resultado se dividió entre 2.3 Uso de paréntesis. y el resultado se multiplicó por 5. Primero se resuelve todo lo que esté entre los paréntesis.2para apoyo Dos operadores sondel docente de la misma jerarquíaprohibida su reproducción parcial o total Cuando 2 operaciones son de la misma jerarquía se resuelven en el mismo orden en el que aparecen. corchetes o llaves se procede de la siguiente manera: 1. = 1 Es correcto 2 f) "6^ 12 . a) (5 × 3) ÷ (2 − 1) = 15 Es correcto Material para apoyo del docente prohibida b) "6^ 2 # 3 h + ^ 3 ' 1 h@ + 4 . = . = " 32 + 4 .2 .8 + 3 # 2@ + 25 .10 .2 3 h . = 13 2 b) "6^ 5 + 6 + 3 2 h # ^ 144 .^ 25 .8 + 3 # 2@ + ^ 5 h2 . = 20 No es correcto 1.10 . = " 40 .5@. = 39 c) "6^ 8 ' 2 h ' 1@ + 10 . = "64 ' 1@ + 10 . = "69 + 6@ .8 + 9@ # 62 + 15@. = "614 ' 2@ . = " 1 + 4 + 612 .2 . = "620 # 2 . = "642 . = "624 ' 3@ # 615 .4@ + ^ 5 h . = " 8 # 10 .^10 . = " 4 + 10 .10 h .^ 4 h .^ 2 # 3 h@ # 6^ 169 .1 x = 10 -1 r = 17 Material para apoyo del docente prohibida 99 su reproducción parcial o total . = "617 + 15@ + 4
[email protected] h@. = 34 2 2 No es correcto e) "6^ 11 # 2 h . = " 43 # 17 .10 .2 h + ^3 h2@ # 6^3 . = 20 2 2 No es correcto d) "612 .7 h@ . = " 7 .4 Profundiza ◊ Determina el valor de la incógnita para las siguientes ecuaciones.1 .20
[email protected] h # ^ 196 ' 14
[email protected] e) "6^ 12 # 2 h ' ^ 3 # 1 h@ # 6^ 25 + 10 h . a) "6^ 2 + 1 h + 6@ . = " 15
[email protected] .6 17r + 9 = 8 10x = 4 17r = 8 . a) 2(5x + 3) = 10 b) (8r + 3 + 3r) + (4r + 6 + 2r) = 8 10x + 6 = 10 11r + 3 + 6r + 6 = 8 10x = 10 . = " 1 + 4 + 10 + 25 . = 80 f) "^ 1 h3 + ^ 2 h2 + 612 . = 36 "6^6 # 7 h . = 40 ◊ Verifica si el resultado de las siguientes operaciones es correcto. = 731 ◊ Efectúa las siguientes operaciones. = 14 d) "6^ 7 # 2 h ' ^ 3 2 .8@ + ^ 3 h + ^ 5 h .1 h + ^5 2 .^4 # 1 h@ ' 6^ 20 ' 10 h + ^ 4 h @. = 13 Es correcto su reproducción parcial o total c) "612 + 5 .Material para apoyo del docente prohibida Ejemplos: su reproducción parcial o total "6^8 + 9 h + ^3 # 5 h@ + ^2 h2 .9 4 17r = . = 10 " 9 + 7m + 25 + m .1 Representación del área de una figura: monomios La expresión algebraica que representa el área de la figura de la izquierda es n4 esto porque (n 2)(n 2) = n2 + 2 = n4. = 15 " 5t + 5 + 4 . No obstante.24 6 m= 8 t= 5 m =-3 Tema: Problemas multiplicativos Contenido 2 2.2m h@. = 15 su reproducción parcial o total "69 + 7m@ + 625 +
[email protected] para apoyo del docente prohibida c) "6^ 4 + 5 h + ^ 4m + 3m h@ + 6^ 5 2 h + ^ 3m . = 10 d) "6^ 3t + 2 h + ^ 2t + 3 h@ + 4 . la expresión algebraica que representa el área de la figura derecha es 12t4 ya que (2t2) (6t2) = (2 × 6)t2 + 2 = 12t4. Material para apoyo del docente prohibida n2 2t 2 su reproducción parcial o total 6t 2 n2 ◊ Representa el área de las siguientes figuras con expresiones algebraicas. a) La expresión que representa el área de la figura es 84s2: 6s (6s)(14s) = (6 × 14) s1 + 1 = 84s2 14s b) La expresión que representa el área de la figura es 64e2 r2 w2 : 8erw (8erw) (8erw) = (8 × 8) e1 + 1 r 1 + 1 w 1 + 1 = 64e2 r2 w2 Material para apoyo del docente prohibida 8erw 100 su reproducción parcial o total .9 8m = .34 5t = 15 .24 5t = 6 . = 10 "63t + 2 + 2t + 3@ + 4 . = 15 34 + 8m = 10 5t + 9 = 15 8m = 10 . 2 = 12ab 2 12ab 2 Material para apoyo del docente prohibida 101 su reproducción parcial o total . Sin embargo.5g3 2. La medida de la base es 7c4: 3c2 21c6 21c 6 = (21 ' 3) c 6 .5) g 3 + 3 84g 6 2 = 2 = 2 = 42g 6 10.1 = h 1 = h. h h2 5f 50f 2 Material para apoyo del docente prohibida ◊ a) su reproducción parcial o total Emplea expresiones algebraicas para representar el lado correspondiente de cada figura.1 b 4 .Material para apoyo del docente prohibida c) su reproducción parcial o total La expresión que representa el área de la figura es 42g6: 8g3 ^8g 3 h (10.5g 3) (8 # 10. la expresión algebraica que representa la base de la figura derecha es 10f ya que 50f 2 2-1 5f = (50 ' 5) f = 10f 1 = 10f.2 = 7c 4 3c 2 b) La medida de la base es 12ab2: 144a 2 b 4 12ab2 144a2b4 = (144 ' 12) a 2 .2 Representación del lado de una figura: monomios h2 La expresión algebraica que representa la base de la figura de la izquierda es h esto porque h = h 2 . Material para apoyo del docente prohibida c) La expresión que representa la altura de la figura es 10mdz2: Despejando su reproducción parcial o total la altura en (12m 2 dz 4) (Altura) 2 = 60m 3 d 2 z 6 se tiene: h=? ^12m 2 dz 4 h (Altura) = ^60m 3 d 2 z 6 h (2) 60m3 d2 z6 ^12m 2 dz 4 h (Altura) = 120m 3 d 2 z 6 120m 3 d 2 z 6 Altura = 12m 2 dz 4 12m 2 dz 4 Altura = (120 ' 12) m 3 - 2 d 2 - 1 z 6 - 4 = 10mdz 2 2.3 Representación del área de una figura: polinomios La expresión algebraica que representa el área de la figura de la izquierda es 72q3 + 18q2 porque (12q + 3) (6q2) = (12q) (6q2) + (3) (6q2) = 72q3 + 18q2. Por otro lado, la expresión algebraica que representa el área de la figura de la derecha es 35r3 + 14r2 ya que (5r + 2) (7r2) = (5r) (7r2) + (2) (7r2) = 35r3 + 14r2. 6q 2 5r + 2 Material para apoyo del docente prohibida 12q + 3 7r 2 ◊ su reproducción parcial o total Representa el área de las siguientes figuras empleando expresiones algebraicas. a) El área de la figura es 3m3 + 6m2 3m2 (3m2) (m + 2) = (3m2) (m) + (3m2) (2) = 3m 3 + 6m 2 m+2 b) El área de la figura es 128a3b3c3 + 16a2b2c4 8abc + c 2 (8abc + c2) (16a2b2c2) = (8abc) (16a2b2c2) + (c2) (16a2b2c2) = 128a3b3c3 + 16a2b2c4 16a2b2c2 Material para apoyo del docente prohibida 102 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida c) su reproducción parcial o total El área de la figura es 26x2y2z2 + 6xyz: (13xyz + 3) (4xyz) (13xyz) (4xyz) + (3) (4xyz) 52x 2 y 2 z 2 + 12xyz 2 = 2 = 2 = 26x 2 y 2 z 2 + + 3) (4xyz) 4xyz (13xyz) (4xyz) + (3) (4xyz) 52x 2 y 2 z 2 + 12xyz 2 = 2 = 2 = 26x 2 y 2 z 2 + 6xyz 13xyz + 3 2.4 Representación del lado de una figura: polinomios La expresión algebraica que representa la base de la figura de la izquierda es 3v + 4 esto porque + ^ 12 ' 3 h v 1 - 1 = 3v 1 + 4v 0 = 3v + 4. 9v 2 + 12v 9v 2 12v 2 -1 3v = 3v + 3v = (9 ' 3) v Entre tanto, la expresión algebraica que representa la altura de la figura derecha es 2d + n ya que + ^ 1 ' 1 h n 2 - 1 = 2dn 0 + 1n 1 = 2d + n 2dn + n 2 2dn n 2 1-1 n = n + n = (2 ' 1) dn Material para apoyo del docente prohibida 3v 9v2 + 12v 2dn + n2 su reproducción parcial o total n ◊ Determina las expresiones algebraicas que representan la medida que falta en cada figura. a) La medida de la altura es 2mk − 5: 4m2k2 - 10mk 4m 2 k 2 - 10mk 4m 2 k 2 10mk 2mk = 2mk - 2mk = ^ 4 ' 2 h m 2 - 1 k 2 - 1 - ^ 10 ' 2 h m 1 - 1 k 1 - 1 2mk = 2m 1 k 1 - 5m 0 k 0 = 2mk - 5 Material para apoyo del docente prohibida 103 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total La expresión que representa la medida de uno de los lados de la 6ra + 3a figura es 2r + 1: (Perímetro) (a) Despejando la apotema en 2 = 6ra + 3a se tiene lo siguiente: a (Perímetro) (a) = (6ra + 3a) (2) (Perímetro) (a) = 12ra + 6a 12ra + 6a 12ra 6a Perímetro = a = a + a Perímetro = (12 ÷ 1) ra1 − 1 + (6 ÷ 1) a1 − 1 = 12ra0 + 6a0 = 12r + 6 Luego, la expresión que representa al perímetro se divide entre 6 y se obtiene la expresión que corresponde a uno de los lados del hexágono: 12r + 6 = 12r + 6 = 2r + 1 6 6 6 c) y La expresión que representa la base de la figura es 6y - x : Despejando la base 1en (Base) (x) = 3xy - 1 y se tiene: (Base) (x) = ` 3xy - 2 y j (2) 2 2 x ^Base h^ x h = 6xy - y 1 Material para apoyo del docente prohibida 3xy - 2 y 6xy - y 6xy y su reproducción parcial o total Base = x = x - x b=? Base = ^ 6 ' 1 h x y ^ y ' x h = 6x 0 y - 1-1 y y - x =6 - x y 2.5 Profundiza ◊ Determina la expresión algebraica que representa la suma de las bases del siguiente trapecio si está repre- sentado por un área de 2rm + m y una altura de m. b=? La expresión que representa la suma de las bases del m trapecio es 4r + 2: 2rm + m Despejando la suma de las bases ^Suma de las basesh ^m h = 2rm + m se tiene lo siguiente. 2 B=? (Suma de las bases) (m) = (2rm + m) (2) (Suma de las bases) (m) = 4rm + 2m 4rm + 2m Suma de las bases = m Suma de las bases = m + m = 4 ' 1 h rm 1 - 1 + ^ 2 ' 1 h m 1 - 1 = 4rm 0 + 2m 0 = 4r + 2 4rm 2m ^ Material para apoyo del docente prohibida 104 su reproducción parcial o total Material para apoyo del ydocente Tema: Figuras cuerpos prohibida su reproducción parcial Contenido 3 o total 3.1 Diagonales y triángulos Un polígono se dice que es convexo porque: a) sus ángulos interiores miden menos de 180° b) al trazarle sus diagonales los ángulos que resultan son interiores y no cortan algún lado del polígono. Polígono convexo Polígono cóncavo ◊ En los siguientes polígonos regulares traza todas la diagonales posibles desde un mismo vértice. Posterior- mente llena los espacios vacíos de cada tabla. Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Nombre del polígono Número de lados Número de diagonales Número de triángulos Heptágono 7 4 5 Octágono 8 5 6 Nonágono 9 6 7 Decágono 10 7 8 Nombre del polígono Número de lados Número de diagonales Número de triángulos Cuadrilátero 4 1 2 Pentágono 5 2 3 Hexágono 6 3 4 Material para apoyo del docente prohibida Heptágono 7 4 5 105 su reproducción parcial o total Por lo que se puede emplear la expresión t = (n − 2). ◊ En función del número de lados de un polígono. para hallar el número total de triángulos que tendrá un polígono regular o irregular se resta del valor que representa el número de lados. el valor dos. y el valor 3.Material para apoyo del docente prohibida Para saber el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono regular o irregular se resta su reproducción parcial o total del valor que representa el número de lados. determina su número de lados. Donde d representa el número de diagonales. Material para apoyo del docente prohibida Cálculos para determinar el número de lados Número diagonales que tiene el polígono convexo su reproducción parcial o total 12 12 = (n − 3) por lo que n = 12 + 3 = 15 13 13 = (n − 3) por lo que n = 13 + 3 = 16 14 14 = (n − 3) por lo que n = 14 + 3 = 17 18 18 = (n − 3) por lo que n = 18 + 3 = 21 ◊ En función del número de lados que se forman en el polígono. En donde t representa el número de triángulos. Sin embargo. n el número de lados del polígono regular o irregular. determina su número de lados. n el número de lados del polígono regular o irregular. Por lo que se puede emplear la expresión d = (n − 3). la diferencia numérica entre el número de lados y diagonales. Cálculos para determinar el número de lados Número triángulos que tiene el polígono convexo 12 12 = (n − 2) por lo que n = 12 + 2 = 14 13 13 = (n − 2) por lo que n = 13 + 2 = 15 14 14 = (n − 2) por lo que n = 14 + 2 = 16 Material para apoyo del docente prohibida 18 18 = (n − 2) por lo que n = 18 + 2 = 20 106 su reproducción parcial o total . determina el número de triángulos que tendrá. Número de lados del polígono Cálculos para determinar el número de diagonales regular o irregular que se forman en el polígono a partir de un vértice 11 d = (11 − 3) = 8 14 d = (14 − 3) = 11 17 d = (17 − 3) = 14 20 d = (20 − 3) = 17 ◊ En función del número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono regular o irregular. y el valor 2. el valor tres. la diferencia numérica entre el número de lados y número de triángulos. determina el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice. Número de lados del polígono Cálculos para determinar el número de regular e irregular triángulos que se forman en el polígono 11 t = (11 − 2) = 9 14 t = (14 − 2) = 12 17 t = (17 − 2) = 15 20 t = (20 − 2) = 18 ◊ En función del número de triángulos que tiene un polígono regular o irregular. Número de lados del polígono Cálculos para determinar el número su reproducción parcial & o total regular o irregular 11 de lados que tiene el polígono S = (11 − 2) 180° S = (9) (180°) = 1620° 12 S = (12 − 2) 180° & S = (10) (180°) = 1800° 19 S = (19 − 2) 180° & S = (17) (180°) = 3060° 20 S = (30 − 2) 180° & S = (28) (180°) = 5040° ◊ Con base en la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo.2 h = 1440% % 1440° ^n .2 h = 4140% 180 180 n = 13 + 2 = 15 n = 23 + 2 = 25 Material para apoyo del docente prohibida 107 su reproducción parcial o total . Por lo que la expresión es S = (n − 2) 180°. determina el número de lados que lo componen.2 h 180 % = 4140 % % ^n . ◊ Emplea la expresión algebraica para determinar cuánto suman los ángulos interiores de los siguientes polígo- Material para apoyo del docente prohibida nos convexos.Material para3.2h = 8 180 2880° ^n .2 h = 2340% % 2340° 4140° ^n .2 h = 2880% 180 n= 8 + 2 n = 16 + 2 = 18 n = 10 ^n .2 h 180 % = 2340 % ^n . Número de triángulos Suma de los ángulos Polígono convexo Número de lados que es posible trazar interiores del polígono desde un mismo vértice Triángulo 3 1 180° Cuadrado 4 2 360° Pentágono 5 3 540° Hexágono 6 4 720° Heptágono 7 5 900° Octágono 8 6 1080° Nonágono 9 7 1260° La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a la suma de todos los ángulos interiores de todos los triángulos que se puede trazar desde un mismo vértice en un polígono.2 h 180 % = 1440 % % ^n .2 h 180 % = 2880 % ^n .2apoyo del Suma de los docente ángulos interiores prohibida su reproducción parcial o total ◊ Completa los espacios vacíos de la siguiente tabla. Suma de los ángulos Suma de los ángulos Cálculos para determinar el Cálculos para determinar el interiores del interiores del número de lados del polígono número de lados del polígono polígono convexo polígono convexo ^n . 3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Encuentra el valor de los ángulos faltantes en los siguientes casos. 120° 120° 120° 120° 120° 120° 120° 120° 120° 120° 120° 120° 120° 120° 120° Material para apoyo del docente prohibida 108 su reproducción parcial o total .6° 52.4° x 105° 2x Material para apoyo del docente prohibida 135° y B x = 87° su reproducción parcial o total B 2x = 174° B y = 68.8° 118.9° 123.7° 103.6° Tema: Figuras y cuerpos Contenido 4 4. a) c) x y x B x = 60° B x = 64° z B y = 60° B 2x = 128° B z = 60° 71° 2x B m = 120° m 97° b) d) 111.1 Teselado Un teselado es un conjunto de polígonos unidos que mantienen una regularidad y que cubren una superficie plana sin que éstos se encuentren sobrepuestos ni dejen huecos o espacios entre ellos.Material para apoyo del docente prohibida 3. Para que un plano sea cubierto con polígonos es necesario que la suma de los ángulos que concu- rren en un mismo vértice al momento de conformar 120° 120° 120° el teselado sea igual a 360°. Figura Explicación Teselado Si es posible porque la suma de lo ángulos consecutivos que se forman al armar el arreglo es igual a 360 °. No es posible porque la suma de los ángulos con- secutivos que se forman al armar el arreglo no es igual a 360°. si el embaldo- sado lo conforman dos o más polígonos regulares se llama teselado semiregular. En cambio.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Explica en la columna correspondiente la razón por la que es o no posible construir un teselado con las si- su reproducción parcial o total guientes figuras y en la última columna construye el teselado correspondiente. 360° Si es posible porque la suma de lo ángulos consecutivos 360° que se forman al armar el arreglo es igual a 360°. Material para apoyo del docente prohibida Teselado regular Teselado semiregular 109 su reproducción parcial o total . Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Si es posible porque la suma de lo ángulos consecutivos que se forman al armar el arreglo es igual a 360°. 360° No es posible porque la suma de los ángulos con- secutivos que se forman al armar el arreglo no es igual a 360°. Si un teselado está formado por polígonos regulares se dice que es un teselado regular. con ellas elabora un teselado. extiende un poco más las siguientes regularidades o patrones geométricos.Material para apoyo del docente prohibida ◊ En el espacio que se te proporciona. a) su reproducción parcial o total b) c) d) Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 4. a) b) c) Material para apoyo del docente prohibida 110 su reproducción parcial o total .2 Profundiza ◊ A continuación se te muestran unas figuras. para ello se utilizan las unidades de capacidad.00001 m3 Material para apoyo del docente prohibida 111 su reproducción parcial o total . En cambio.000000004 km3 o bien 4 m3 × 10−9 = 0. ◊ Efectúa las siguientes conversiones. El primero refiere al espacio que ocupa un objeto y su unidad principal es el metro cúbico (m3). un hectómetro cúbico es su reproducción parcial o total 1000 veces mayor que la unidad decámetro cúbico 106 m3 > 103 m3 que es lo mismo que 1 000 000 m3 > 1000 m3. el decí- metro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). a) De 4 metros cúbicos a kilómetros cúbicos 4 m3 ÷ 1000 ÷ 1000 ÷ 1000 = 0. Un hectómetro cúbico es 1000 veces menor que un kilómetro cúbico 106 m3 < 109 m3 que es lo mismo que 1 000 000 m3 < 1 000 000 000 m3.Material para apoyo del Tema: docente prohibida Medida su reproducción parcial Contenido 5 o total 5. litro y kilogramo El volumen y la capacidad son dos magnitudes que están estrechamente ligadas. Sin embargo. principalmente el litro (l) y el mililitro (ml).00001 m3 o bien 10 cm3 × 10−6 = 0. la capacidad se refiere al espacio vacío de algún objeto que puede contener otra cosa o bien es la que indica cuánto puede contener un recipiente. Entre las unidades de volumen y las de capacidad hay una relación: 1 litro = 1 dm3 1 ml = 1 cm3 Unidad de volumen Unidad Múltiplos Submúltiplos principal Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro Unidad cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico Equivalencia 109 m3 106 m3 103 m3 10−3 m3 10−6 m3 10−9 m3 Símbolo km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Material para apoyo del docente prohibida Observa que toda unidad de volumen aumenta o disminuye de 1000 en 1000. se utilizan más sus submúltiplos.1 Decímetro cúbico.000000004 km3 b) De 12 000 kilómetros cúbicos a metros cúbicos 12000 km3 × 1000 × 1000 × 1000 = 12000000000000 m3 o bien 12000 km3 × 109 = 12000000000000 m3 c) De 100 kilómetros cúbicos a decámetros cúbicos 100 km3 × 1000 × 1000 = 100000000 dam3 o bien 100 km3 × 106 = 100 000 000 dam3 d) De 10 centímetros cúbicos a metros cúbicos 10 cm3 ÷ 1000 ÷ 1000 = 0. Por ejemplo. b) Averigua cuál es la masa expresada en gramos de 500 mililitros de agua. si un litro de agua tiene un masa de 1 kg entonces un kilogramo es la masa de un volumen cúbico de agua de 10 cm de lado.Material para apoyo del docente prohibida e) De 4 metros cúbicos a litros su reproducción parcial o total 4 m3 × 1000 = 4000 litros o bien 4 m3 × 103 = 4000 litros f) De 6 metros cúbicos a mililitros 6 m3 × 1000 × 1000 = 6 000 000 mililitros o bien 6 m3 × 106 = 6 000 000 mililitros g) De 250 mililitros a decímetros cúbicos 250 ml ÷ 1000 = 0. 1000 ml = 1 dm3 y luego 250 mililitros tienen una masa de 250 gramos que equivalen a 0. 10 cm 10 cm 10 cm ◊ Lleva a cabo las acciones que se describen en cada inciso.25 decímetros cúbicos h) De 9 litros a mililitros 9 l × 1000 = 9000 mililitros o bien 9 l × 103 = 9000 mililitros Material para apoyo del docente prohibida 1l Si 1 ml es igual 1 cm3 entonces 1000 ml (que son un litro) su reproducción parcial o total representan a 1000 cm3.25 dm3. Material para apoyo del docente prohibida 112 su reproducción parcial o total .25 decímetros cúbicos o bien 250 ml × 10−3 = 0. Luego. c) Averigua cuántos decímetros cúbicos pueden contener la masa de 250 gramos de agua. 1 l = 1000 ml y luego 1000 ml tiene una masa de 1000 gramos por lo que 500 mililitros tienen una masa de 500 gramos. 1000 ml ÷ 1000 = 1 decímetro cúbico o bien 1000 ml × 10−3 = 1 decímetro cúbico. a) Averigua cuántos decímetros cúbicos contienen a 1000 mililitros de agua. Por lo que el kilolitro tiene una masa de 1000 × 1 = 1000 kilogramos que con- vertidos a gramos son 1000 × 1000 = 1000 000 5. b)En un periódico se informó que hubo durante un trimestre un ascenso de 2 525 000 barriles de petróleo diarios. su reproducción parcial o total 1 kilolitro es igual a 1000 litros. Suponiendo que 1 cm3 de una barra de oro es de 12. ¿en cuántos centímetros cúbicos estarán contenidos 8 barriles? 1000 cm3 = 1 litro. ¿cuántos gramos de oro puro tiene una barra dimensiones 10 cm × 2 cm × 4 cm y de 18 quilates? Las dimensiones de la barra son 10 cm × 2 cm × 4 cm = 20 cm2 × 4 cm = 80 cm3 Resolviendo la siguiente regla de tres: 1 cm3 12. 26.785 litros d) Una barra de oro puro que no contiene parte alguna de una mezcla es de 24 quilates.785: 100 litros . un anillo es de oro de 14 quilates. 14 partes son de oro puro 24 y el resto son de otra cosa. ¿Cuál fue el ascenso de producción de petróleo que se registró? Expresa tu resultado en litros.2 Algunas unidades del Sistema Internacional de Medidas ◊ Resuelve los siguientes problemas a) Un barril tiene una equivalencia de 158. 1 barril equivale a 158.6 g 80 cm3 x(g) ^12. Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) El contenedor de una pipa tiene un volumen de 100 000 cm3.9 litros.785 litros? Un litro = 1000 cm3 por lo que 100 000 cm3 es igual a 100 litros. por ejemplo. Un quilate equivale a 1 de la masa total de la aleación. Para averiguar cuántos galones aproximada- mente caben en el contenedor se divide 100 litros entre 3.9 litros están contenidos en 158 900 cm3. 24 por lo que si una aleación o digamos. por lo que 158.6 gramos.6 g h^80 cm 3 h 3 1008 (g) (cm ) x= 3 = 3 = 1008 g 1 cm 1 cm 18 Los gramos de oro puro que tiene la barra resultan de la siguiente operación matemática: 24 # 1008 g = 756 gramos Material para apoyo del docente prohibida 113 su reproducción parcial o total .9 litros por lo que 2 525 000 barriles equivalen a 401 225 500 litros. Lo que significa que 8 barriles ocu- pan un volumen de 1 271 200 cm3.42 galones 3.Material para apoyo del docente prohibida d) Averigua cuál es la masa expresada en gramos de un kilolitro de agua. ¿Cuántos galones aproximadamente se pueden depositar en el contenedor si un galón es de aproximadamente 3. esto significa que todas las 24 partes en las que se divide la aleación son puras. ¿Cuántos litros de agua puede contener la piscina? El volumen de la alberca es de 600 m3. b) En la siguiente ilustración se proporcionan las medidas de una pecera.2 gramos por lo que la piedra preciosa es de 0.6 gramos. que es la capacidad de agua que puede almacenar la alberca. Luego 1 cm3 es igual a 1 ml. 60 cm 20 cm 80 cm c) Un kilate es una unidad empleada en el caso de las piedras preciosas y las perlas y equivale a 2 × 10− 4 kg. Material para apoyo del docente prohibida 114 su reproducción parcial o total . a) U na alberca tiene las siguientes dimensiones 10 m × 5 m × 12 m.Material para apoyo del docente prohibida 5. Además 600 m3 son igual a 600 m3 × 1000 = 600 000 dm3 Por lo que 600 000 dm3 es igual a 600 000 litros. Por lo que la capacidad su reproducción parcial o total que tiene la pecera de almacenar agua es de 96 000 mililitros que equivalen a 96 litros. Luego 1 dm3 es igual a 1 litro. ¿Cuál es la capacidad de litros de agua que puede contener la pecera? Material para apoyo del docente prohibida El volumen de la pecera es de 96 000 cm3.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Resuelve los siguientes planteamientos. ¿Cuán- tos gramos tendrá una piedra preciosa de 3 quilates? Un quilate es igual a 2 × 10−4 kilogramos o bien a 0. 00 $336.1 Expresión algebraica ◊ Resuelve los siguientes planteamientos.00 • ¿De qué depende el importe a pagar? Material para apoyo del docente prohibida El importe a pagar depende del número de boletos que se adquieran.12 31.00: • ¿Cuál será el precio que se tendrá que pagar si a Maricruz y Susana se le suman otras 3 personas? Se tendrían que pagar $280.14 • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación? La expresión algebraica es y = 3. El precio que pagaron en taquilla por los 2 boletos para disfrutar de la función fue de $112.40 314 metros (y) • ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que describe a la situación? El factor de proporcionalidad es 3.00 $168.Material paraTema: apoyo del docente Proporcionalidad y funciones prohibida su reproducción parcial Contenido 6 o total 6. que es que relaciona a los dos valores y que sirve para obtener los valores faltantes. y x la variable independiente. • ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que describe a la situación presentada? su reproducción parcial o total El factor de proporcionalidad es 56. a) Longitud del diámetro en metros (x) 2 4 6 8 10 100 Longitud de la circunferencia en 6.84 25.00 $280.28 12. • ¿Cómo calcularías la cantidad total a pagar por los boletos? Se multiplicaría el factor de proporcionalidad por el número de boletos adquiridos.00 $112. Por lo anterior la expresión algebraica que alude a la situación descrita es y = 56x. a) Maricruz y Susana decidieron ir al cine.56 18. Esta situación que se acaba de describir se puede representar con la relación y = kx en donde y representaría la variable dependiente.00 • Llena los espacios vacíos de la siguiente tabla.14x Material para apoyo del docente prohibida 115 su reproducción parcial o total .00 $224. k el factor de proporcionalidad.00 • ¿Cuál será el precio que se tendrá que pagar si a Maricruz y Susana se le suman otras 4 personas? Se tendrían que pagar $336. Número de boletos (x) 1 2 3 4 5 6 Cantidad a pagar (y) $56. ◊ Completa la tabla y responde las preguntas para cada uno de los casos. Asimismo el dispone siempre al mes de 6 galones de combustible para evitar algún contratiempo.97 galo- nes.52 8.75 25 31.5 7.38 • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación? La expresión algebraica es y = 1.13x 6.28 11.38x Material para apoyo del docente prohibida d) su reproducción parcial o total Tiempo en minutos (x) 10 20 30 40 50 60 Distancia en kilómetros (y) 1.2 6.50 contenidos en el recipiente (y) • ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que describe a la situación? El factor de proporcionalidad es 1. a) Gonzalo ocupa una desmalezadora todos los días para cortar hierbas en los parques o jardines de las institucio- nes. Cada día gasta 375 mililitros. Por lo que Gonzalo ocupa tres de los seis galones de que dispone al mes.13 • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación? La expresión algebraica es y = 0.6 3.Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total Tiempo de llenado de un recipiente minutos (x) 0 10 15 20 25 30 Litros de agua 0 12.76 5.8 16.2 Cantidades directamente proporcionales ◊ Resuelve los siguientes problemas. Material para apoyo del docente prohibida 116 su reproducción parcial o total .3 2.25 litros que convertidos a galón se tiene que es aproximadamente 2. Entonces por los 30 días gasta 11250 mililitros que son igual a 11.25x c) Gramos de goma de mascar (x) 2 4 6 8 10 12 Gramos de sodio (y) 2.56 • ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que describe a la situación? El factor de proporcionalidad es 1.8 • ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que describe a la situación? El factor de proporcionalidad es 0.04 13.9 5.5 18. • ¿Cuántos galones de gasolina de los que tiene Gonzalo se ocuparán en 30 días si cada 8 días la máquina en promedio gasta 3000 mililitros de combustible? Una máquina gasta por 8 días 3000 mililitros de combustible o sea 3 litros.25 37.25 • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación? La expresión algebraica es y = 1. 33x c) El perímetro de un hexágono regular aumenta a medida que la longitud de sus lados incrementan su valor. • ¿Cuántos mililitros de tinta se tendrán en 32 bolígrafos? Primero se divide 6. su reproducción parcial o total Número de días (x) Mililitros de combustible 1 2 4 6 12 24 28 30 375 750 1500 2250 4500 9000 10500 11250 que se gastan (y) • ¿Cuál es la expresión algebraica que te ayuda determinar los valores faltantes de la tabla? La expresión algebraica es y = 375x b) Por 20 bolígrafos que adquirió Valentín se tienen un total de 6. • ¿Cuál será el perímetro de un hexágono regular si sus lados miden 56 centímetros? El perímetro de un hexágono regular cuyos lados son de 56 centímetros es igual a 336 centímetros.33.66 2 1.Material para apoyo del docente prohibida • Llena los espacios vacíos de la tabla.32 4 16 5.33 1 0.56 64 21. Longitud del lado en centímetros (x) 2 4 10 20 40 56 100 Perímetro en centímetros (y) 12 24 60 120 240 336 600 • Determina la expresión algebraica que relaciona los valores que intervienen en la situación. Material para apoyo del docente prohibida Número de bolígrafos (x) Mililitros de tinta que 0. La expresión algebraica es y = 6x Material para apoyo del docente prohibida 117 su reproducción parcial o total . • Llena los espacios vacíos de la tabla.6 entre 20 que es 0.6 mililitros de tinta.28 32 10. • Completa la tabla.12 100 33 su reproducción parcial o total contienen los bolígrafos (y) • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación planteada? La expresión algebraica es y = 0. El valor obtenido se multiplica por 32 y el resultado representa en número de mililitros de tinta contenido en los 32 bolígrafos. 5 125 187.75 50 62.25x Material para apoyo del docente prohibida su Tema: reproducción parcial o Análisis y representación de datos Contenido 7 total 7. y Histograma Gráfica de barras y 8 Cantidad de basura (kg) Número de alumnos 7 15000 6 5 10000 4 3 5000 2 1 0 x x Cigarros Unicel Plástico Papel Madera Metal Vidrio Tela Caucho Otros 0 41 47 53 59 65 71 77 Peso en kilogramos Tipo de basura Es muy común observar en varias gráficas una línea fina con zigzag ( ).3 Profundiza su reproducción parcial o total ◊ Una cisterna al inicio del llenado estaba vacía y al minuto 50 se encontraba con una capacidad de 62. 118 su reproducción parcial o total .1 Elaboración de un histograma Un histograma es una representación construida con barras verticales que muestran la frecuencia de las clases de una distribución de frecuencias y que comunican información sobre las variaciones de un proceso con valores conti- nuos como el tiempo.5 litros. el peso. ésta indica que en ese espacio la escala es pequeña y el tamaño de las unidades de medición no es el mismo comparado con el espacio donde se encuen- Material para apoyo del docente prohibida tran los datos. etcétera. temperatura.Material para apoyo del docente prohibida 6. Tiempo en minutos (x) 0 10 15 20 35 40 50 100 150 Capacidad de la cisterna 0 12. En un histograma no hay espacios entre las barras adyacentes como en la gráfica de barras.5 horas) para que la cisterna tuviera 187.5 en litros centímetros (y) • ¿Qué expresión algebraica permite determinar el número de litros de agua que tendrá la cisterna a medida que pasa el tiempo (en minutos)? La expresión algebraica que modela la situación es y = 1.75 25 43.5 18. • Completa la tabla. • ¿Cuántas horas transcurrieron para que la cisterna alcanzara una capacidad de 187.5 litros de agua. Téngase en cuenta que el número de litros que proporcionaba la llave al depósito de agua lo hacia de manera constante.5 litros? Trascurrieron 150 minutos (que convertido en horas es igual a 2. por lo que la amplitud de clase del grupo de datos con el que trataste es 5. y la primera clase se mantendría entre los valores 20 y 25.5 43. Edades de los 50 empleados de la empresa 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 27 27 27 27 28 28 29 29 30 30 30 31 32 33 34 34 34 34 34 34 34 35 36 36 36 36 36 36 36 36 37 38 40 42 42 45 45 45 46 47 a) Todos los datos deben estar organizados en una tabla de distribución de frecuencias que tendrás que completar para ayudarte posteriormente a elaborar un histograma.5 10 2 26 – 31 25.5 4 5 su reproducción parcial o total Total 50 Antes de graficar. Fronteras Frecuencia Clase Límites de clase Registro Marcas de clase de clase absoluta 1 20 – 25 19.5 – 49.5 34.5 La amplitud de intervalo debe redondearse para resumir la información. Para la situación que se está analizando. b) Si el rango es la diferencia entre los valores más altos y los más bajos de los datos. Normalmente en una distribución de frecuencias debería haber entre cinco y 12 clases lo que significa que en el histograma debería haber el mismo número de barras. c) ¿Cuál es el valor de la amplitud de intervalo de los datos? Amplitud de intervalo = 27 = 5. ¿Cuál es la marca de clase de la cuarta clase? Es 40. se debe tener en cuenta el número de agrupaciones o clases así como la amplitud de intervalo.5 – 25.5 46. se optó por tener únicamente 5 clases. la segunda entre 26 y 31 y así sucesivamente.5 12 3 32 – 37 31.4 5 d) La marca de clase de un grupo de datos se obtiene calculando el promedio del límite inferior y superior de la clase.5 – 37.5 – 43. tener un mejor análisis y una mejor distribu- ción de los datos.5 40.5 19 Material para apoyo del docente prohibida 4 5 38 – 43 44 – 49 37. La amplitud de un intervalo de clase se calcula dividiendo el rango entre el número de agru- pamientos que se requieran. ¿cuál es el rango de los valores que se revisaron? El rango es 47 − 20 = 27.5 – 31.5 22.5 28. Material para apoyo del docente prohibida 119 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida ◊ En la siguiente tabla se encuentran ordenados de manera ascendente los valores continuos que se refieren a su reproducción parcial o total las edades de 50 personas que laboran en una misma empresa. Edades de los empleados que laboran para una empresa y 20 19 18 16 Número de personas 14 12 12 10 10 8 5 6 4 4 2 0 x 19.5 49. f) ¿Por qué entre las barras no debe haber un espacio de separación? Porque estas deben abarcar a todo el intervalo correspondiente a la agrupación.5 32.5 37.5 25. g) ¿Qué indica la anchura de cada barra? La amplitud de cada intervalo.5 43. ◊ En la siguiente tabla se muestran organizados los datos que fueron obtenidos de un centro de salud y que refieren al peso de 50 recién nacidos. Peso en gramos 3200 3750 3280 3700 3840 4250 3350 4200 3400 3780 3900 3650 4000 4100 3280 3740 3600 3650 3940 3750 3400 3240 3680 3450 3840 4100 3950 3840 3500 4200 4200 4000 3900 4300 4100 3450 3350 3900 4300 4300 3600 3450 4200 3400 3650 4280 3690 4300 4250 4300 Material para apoyo del docente prohibida 120 su reproducción parcial o total .5 Material para apoyo del docente prohibida Edades su reproducción parcial o total e) ¿Qué significan las alturas de cada barra en el histograma? Las alturas representan la frecuencia por cada clase o intervalo. en el eje de las x se colocarían los valores que representan las fronteras de su reproducción parcial o total clase (son aquellas que ajustan los intervalos de clase para que exista continuidad de un intervalo a otro) y en el eje y las frecuencias absolutas.Material para apoyo del docente prohibida Para elaborar la representación gráfica. su reproducción parcial o total Peso Registro Fronteras de clase Marcas de clase Número de recién nacidos 3200 – 3420 3195 – 3425 3310 9 3430 – 3650 3425 – 3655 3540 9 3660 – 3880 3655 – 3885 3770 10 3890 – 4110 3885 – 4115 4000 10 4120 – 4340 4115 – 4345 4230 12 Total 50 b) ¿Cuál es el valor del rango? El rango es 4300 − 3200 = 1100.Material para apoyo del docente prohibida a) Organiza la información en la siguiente tabla de distribución de frecuencias. c) ¿Cuál es la valor de la amplitud del intervalo de clase? 1100 Amplitud de intervalo = 5 = 220 d) Elabora un histograma en el que estén contenidos todos los datos. Material para apoyo del docente prohibida Peso de los niños recién nacidos en un centro de salud su reproducción parcial o total y 14 12 12 10 Número de recién nacidos 10 10 9 9 8 6 4 2 0 x 3195 3425 3655 3885 4115 4345 Peso (gramos) Material para apoyo del docente prohibida 121 su reproducción parcial o total . Material7.2para apoyo Elaboración del docente de un polígono de frecuenciasprohibida ◊ su reproducción parcial o total El siguiente polígono de frecuencias está basado en los datos que sirvieron para la elaboración de la gráfica del apartado 7.1 de esta lección que se titula Edades de los empleados que laboran en una empresa. y Edades de los empleados que laboran para una empresa 20 18 16 Número de personas 14 12 10 8 6 4 2 0 x Material para apoyo del docente prohibida 19.5 25.5 31.5 37.5 43.5 49.5 Edades su reproducción parcial o total a) ¿Qué representan los puntos (marcadores) en la gráfica? La frecuencia por intervalo de clase. b) ¿Cuántas de las personas que laboran en la empresa tienen entre 44 y 49 años? Cinco personas. c) ¿Entre que edades se encuentra la mayoría de las personas que laboran en la empresa? Las personas están entre 32 y 37 años de edad. d) ¿Cuántos intervalos de edad hay? Cinco intervalos e) ¿Cuál es la amplitud de cada intervalo? Cinco f) Si colocaras el polígono de frecuencias sobre el histograma que también representa la misma información, ¿en qué parte de las barras quedarían los marcadores del polígono de frecuencia? Cada marcador quedaría en el punto medio de la parte superior de cada barra. Un polígono de frecuencias es una representación gráfica que une a los puntos medios de cada barra del histogra- Material para apoyo del docente prohibida ma por medio de una línea poligonal. Ese punto medio no es más que la marca de clase de cada intervalo. 122 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida y su reproducción parcial o total ◊ Con base en la información contenida en la 14 tabla, elabora un polígono de frecuencias. Número urgencias atendidas 12 10 Número de Fronteras Marca 8 Urgencias urgencias de clase de clase atendidas 6 2–3 1.5 – 3.5 2.5 12 4 4–5 3.5 – 5.5 4.5 10 2 6–7 5.5 – 7.5 6.5 8 0 x Total 30 1.5 3.5 5.5 7.5 7.3 Profundiza ◊ La siguiente gráfica poligonal (de serie de tiempo) trata sobre la cantidad de litros de agua que ha consumido en promedio una familia que vive en un departamento, a lo largo de 10 años. Agua consumida por una familia de una unidad habitacional en un período de 10 años Material para apoyo del docente prohibida y 120 000 su reproducción parcial o total Número de litros consumidos 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0 x 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Años a) ¿En qué año consumieron más litros de agua? Se consumieron más litros de agua en el 2005. b) ¿En que año se consumieron menos litros de agua? Se consumieron menos litros en el 2012. c) ¿En qué años se consumieron el mismo número de litros? Se consumieron el mismo número de litros en 2007, 2008 y 2013 Material para apoyo del docente prohibida 123 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida d) En promedio, ¿cuántos litros de agua se consumieron en los 10 años? su reproducción parcial o total x = 87000 + 96500 + 75000 + 91250 + 92000 + 84000 + 78000 + 93000 + 69000 + 91250 10 x= 857000 10 = 85700 e) ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los valores se tiene: 69000 75000 78000 84000 87000 91250 91250 92000 93000 96500 Obteniendo la media aritmética de los datos centrales se tiene: x = 87000 + 91250 = 178250 = 89125 2 2 Tema: Análisis y representación de datos Contenido 8 8.1 Propiedades de la media aritmética Material para apoyo del docente prohibida ◊ Responde las preguntas para cada uno de los siguientes planteamientos. a) A la clase de natación sabatina de 9:00 am a 10:00 am acuden niños de las siguientes edades: 4, 6, 6, 5, 4, 5, 6, su reproducción parcial o total 5, 4 y 3. ¿Se puede afirmar que en promedio los niños que acuden a clase tienen 7 años? Explica tu respuesta. No, por que la edad promedio debe estar entre los valores extremos 3 y 6. b) En una secundaria de los 25 alumnos que forman parte de un coro 3 tienen 12 años; 14 tienen 13 años; 4 tienen 14 años y 4 tienen 15 años. ¿Es correcto decir que en promedio los integrantes del coro tienen 11 años? Explica tu respuesta. No, ya que en promedio los integrantes del coro tienen 13.36 años lo que indica que el promedio se encuen- tra entre los extremos 12 y 15. El promedio de los datos se localiza entre los datos extremos, es decir, entre dato menor y mayor. Esta descripción es una de las propiedades de la media aritmética. ◊ Considérese el planteamiento del último inciso que se revisó de este tema y responde las preguntas. Edad de los integrantes del coro 12 13 13 13 14 12 13 13 13 15 12 13 13 14 15 13 13 13 14 15 13 13 13 14 15 Material para apoyo del docente prohibida 124 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida a) Calcula la diferencia entre cada uno de los 25 datos que aparecen en la tabla con respecto a la media aritmética su reproducción parcial o total del conjunto de datos. 13.36 – 12 = 1.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 15 = −1.64 13.36 – 12 = 1.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 15 = −1.64 13.36 – 12 = 1.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 15 = −1.64 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 14 = −0.64 13.36 – 15 = −1.64 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 14 = −0.64 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 14 = −0.64 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 13 = 0.36 13.36 – 14 = −0.64 b) Los valores que resultan de la resta se les llama desviación media. Suma todas las desviaciones medias obte- nidas, ¿qué resultado obtuviste? El resultado que se obtuvo fue cero. Una propiedad de la media aritmética describe que la suma de las desviaciones medias de cada dato respecto a su media es igual a cero, esto incluye a las desviaciones medias positivas y negativas. Material para apoyo del docente prohibida ◊ En el transcurso de cuatro horas en una zapatería se vendieron 20 pares de tenis para caballero de distinta talla, los cuales se muestran ordenadamente en la siguiente tabla. su reproducción parcial o total 4 4 4 4 Pares de tenis de distinta talla 4 4 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 7 7 a) Obtén la media aritmética de los datos. x = 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+6+6+6+6+6+6+6+7+7 20 x = 100 = 5 20 b) Considérese que en ese mismo lapso en otra zapatería se vendió el mismo número de pares de tenis. ¿Cuál es la media aritmética de los valores? Pares de tenis de distinta talla 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 x = 2+2+3+3+3+4+4+4+4+4+6+6+6+7+7+7+7+7+7+7 20 x = 100 = 5 20 Con base en la media aritmética que hallaste en los casos expuestos se puede afirmar que ésta no necesariamen- te es igual a algunos de los datos promediados. Material para apoyo del docente prohibida 125 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida c) ¿Qué sucede con la media aritmética para cada conjunto de datos que fue revisado si le añade un valor? Por su reproducción parcial o total ejemplo al primer caso se añade el valor 4 y al segundo el valor 8? La media aritmética se ve modificada. La media aritmética de un conjunto de datos se modifica si al conjunto se le añade otro valor. 8.2 Propiedades de la mediana ◊ Responde las preguntas para cada uno de los siguientes planteamientos. a) Para tener dinero extra Luisa de lunes a viernes hace collares y los vende durante el fin de semana. Si la primera semana vendió 14 collares; la segunda 13 collares, la tercera 22 collares; la cuarta 11 collares; la quinta 12, la sexta 14 collares; la séptima 11 collares; la octava 14 collares; la novena 12 collares y la décima 10 collares. • ¿Se puede afirmar que la mediana de los datos es igual a 15? Explica tu respuesta. No, porque la mediana se localiza entre los valores extremos. • ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los datos quedaría: 10, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 22. La mediana Material para apoyo del docente prohibida 12 + 13 de los datos es igual a Me = 2 = 12.5 su reproducción parcial o total b) En una caja caben 12 cajas pequeñas cada una de ellas contiene 120 lápices de colores. Si por cada caja de lápices se encontraron los siguientes colores defectuosos: 2, 4, 3, 4, 4, 3, 2, 2, 2, 3, 4 y 8. • ¿Se puede afirmar que la mediana de los datos es igual a 1? Explica tu respuesta. No, porque la mediana se localiza entre los valores extremos. • ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los datos quedaría: 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 8. La mediana de los datos es igual a Me = 3 + 3 = 3 2 Material para apoyo del docente prohibida 126 su reproducción parcial o total 15. La mediana no se ve afectada por valores muy grandes o pequeños. 26. S i el número de datos es impar. 18. 15. 10.00 4 Alfalfa con naranja $22. su reproducción parcial o total b) En la siguiente tabla se encuentra el número de minutos que consume Blanca al hacer varias llamadas durante 24 horas de un plan de renta que tiene contratado. ¿qué tanto repercute al calcular la mediana de los datos? La mediana de los datos no se vería afectada. Si el número de datos es par. 22. La mediana de los datos es 18. 15. Jugos Costo por cada jugo Número de ventas Naranja $15. 4. Propiedades de la mediana: 3. ¿qué tanto repercute al calcular la mediana de los datos? Material para apoyo del docente prohibida La mediana de los datos no se vería afectada.00 3 Zanahoria con naranja $18. 18. 18. 15. 18.Material para apoyo del docente prohibida Propiedades de la mediana: su reproducción parcial o total 1. 127 su reproducción parcial o total . 26. 18. ◊ Responde las preguntas para cada uno de los siguientes planteamientos.00. 1. 26. Minutos consumidos por Blanca 2 4 10 12 14 1 8 3 24 18 15 13 4 12 15 10 18 14 1 • ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los datos quedaría: 1. 2. • Si en lugar de haber consumido 24 minutos en una llamada se ocuparon 32 minutos. 12. la mitad de ellos son iguales o menores que la mediana y la otra mitad son iguales o mayores. Material para apoyo del docente prohibida 4. La mediana se localiza entre los datos extremos. 2. 12. 10. es decir entre el dato menor y mayor. 4.00 1 a) En la tabla anterior se han capturado datos que representan el número de jugos que el señor Alberto ha vendi- do en las mañanas a las afueras de un gimnasio por el transcurso de una hora. 24. 8. 15. La mediana de los datos es 12.00 5 Piña $26. 13. • Si el precio del jugo de alfalfa con naranja fuera de $14. 15. 18. 3. 14. la mitad de ellos son iguales o menores que la mediana. • ¿Cuál es la mediana de los datos? Ordenando los datos quedaría: 15. y la otra mitad son iguales o mayores. 14. ¿quién de las dos personas está en lo correcto? Argumenta tu respuesta. Día Número de llamadas cardo asegura que desde el despacho se realizaron 1 185 200 llamadas semanalmente. mientras que Jaime comenta que se llevaron a cabo 212 llamadas. 6 228 7 264 b) Suponiendo que el séptimo día no se hicieron 264 llamadas si no 310. ¿Cuál de las dos medidas no se ve alterada? No se ve alterada la mediana.Material para apoyo del docente prohibida 8. c) Considerando que se tiene un octavo dato con 0 llamadas. Material para apoyo del docente prohibida 128 su reproducción parcial o total . Ninguno esta en lo correcto porque la media y la mediana se localiza entre los valores extremos del conjunto de datos. ¿Qué 2 220 medida utilizó cada uno de ellos para sustentar sus 3 190 afirmaciones? 4 200 Ricardo empleó la mediana mientras que Jaime 5 197 utilizó la media aritmética. ¿qué medida se ve afectada? Se ve afectada la media aritmética o el promedio.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total En la siguiente tabla aparece el número de llamadas que se realizaron desde un despacho durante siete días. Material para apoyo del docente prohibida d) M arcos afirma que las dos medidas deben ser menores a 180 llamadas mientras que Jimena asegura que las su reproducción parcial o total dos medidas deben ser mayores a 280 llamadas. Ri. a) Con base en la información recabada en la tabla. = 24 a) 7. su reproducción parcial o total Identifica.5 × 2 = 9.10 = 0. efectúa las operaciones.4 ÷ 2 = 32. Para los casos en los que la respuesta sea incorrecta.3 ÷ 2 × 4 = 2 ( C ) f) 75 × 2-5 × 4 .2)+(4 ÷ 1) = 64. su reproducción parcial o total Resuelve las siguientes operaciones.3 ÷ 1.7 + 2.9 j) ` 1 + 1 j # ` 1 ' 2 j = 11 7 4 9 18 28 e) ^36 + 5 .9 g) 4 2 3 7 12 4 2 139 b) 2.7 f) (21 × 1.4 h ' ` 5 + 15 j = 37 8 40 k) (15+2) × (3.5) = 9.5 2.5) .3) = 27.5 i) 2.7 + 2) = 10.12 × 2 + 3 = 27 ( NC ) j) 4.3 + 2 .4 ÷ 2)-(4 × 0.4 .2375 o 80 d) (12 ÷ 5)+(3 × 2.7 Material para apoyo del docente prohibida 129 su reproducción parcial o total . sin utilizar tu calculadora. en cuál de las siguientes operaciones matemáticas está o no expresado el resul- tado correcto. 3 1 1 1 # .5) × (2.375 l) (23.Material para apoyo Ejercicios del docente prohibida de reforzamiento 1.7 ( C ) e) 8 . para ello escribe sobre el paréntesis la letra C si la solución es correcta y NC si no es. a) 2+3 × 5 = 30 (NC ) g) 63 ÷ 2 × 5 ÷ 1 = 6.(5.8 ÷ 2 + 1 × 4 = 7.7 ' 2 # 4 .450 (NC ) a) 2+3 × 5 =17 d) 35-12 × 2+3 =14 Material para apoyo del docente prohibida f) 75 × 2-5 × 4-2 =128 g) 63 ÷ 2 × 5 ÷ 1 =157.2 = .3 ( NC ) b) 45 ÷ 5-10 ÷ 2 = 4 ( C ) h) 80 + 90 ÷ 2 × 2 = 170 ( C ) c) 27 ÷ 9 × 3+2 = 11 ( C ) i) 1 # 4 + 2 = 29 (C ) 8 6 5 60 d) 35 .5 × 10-5 × 2 ÷ 2 = 20 h) 12 + 7 ' 5 # 4 = 84 1 1 19 c) 25 × 1. 3 & 12 .2tr3 + 2r 10k 3 l 4 + 12k 2 l 5 10k 2 l 3 12kl 4 g) hkl = h + h Material para apoyo del docente prohibida 4.5fg) = k) (5y + 5)(5y .Material 3.2) = 81k2l2 . para apoyo del docente prohibida Halla el resultado de las siguientes operaciones algebraicas.2w)= 6w2r2 + 15wr2 .3 = 9 Número de triángulos: _________________________ n . a partir de trazar varios segmentos cuyo punto de partida es un mismo vértice llamado A hacia los demás puntos.2tr + 2r r = 5tgr5 .20f 2g2 2 2 e) 2rn + 4rn = n + 2n 2rn 6 4 2 f) 5tgr .5y . su reproducción parcial o total Sin trazar alguna línea.8e2 c) 3wr(2wr + 5r .6w2r j) (2x + 4)(2x .8 d) 4fg(8f2g2 + f . escribe el número de diagonales y triángulos que se forman en los polígonos.2) = 4x2 + 4x .4 b) (10abc)(2ab + 2) = 20a2b2c + 20abc i) (3yx .2e)(6xy + 4e) = 18x2y2 .2 = 10 Material para apoyo del docente prohibida 130 su reproducción parcial o total .12g2f . su reproducción parcial o total a) (2tm)(2tm) = 4t2m2 h) (9kl + 2)(9kl .2 & 12 . A a) Número de diagonales: _________________________ n .6) = 25y2 .3g .30 32f 3g 3 + 4f 2g . 2 & 16 .2 = 14 _________________________ Material para apoyo del docente prohibida A su reproducción parcial o total 5.2)180° para determinar la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos.2)180° = (25)(180°) = 4 500° Material para apoyo del docente prohibida 131 su reproducción parcial o total .3 & 16 .3 = 13 _________________________ Número de triángulos: n . Utiliza la expresión algebraica (n . a) Polígono de 17 lados a) (17 .2)180° = (15)(180°) = 2 700° b) Polígono de 21 lados b) (21 .2)180° = (19)(180°) = 3 420° c) Polígono de 27 lados c) (27 .Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Número de diagonales: _________________________ n-3 & 8-3 = 5 A Número de triángulos: _________________________ n-2 & 8-2 = 6 c) Número de diagonales: n . 2 h 180c = 10 980c ^n .2 h 180c = 7 380c ^n .2h = 10 980c 180c n = 61 + 2 = 63 c) 3 960° ^n .2h = 7 380c 180c n = 41 + 2 = 43 b) 10 980° ^n . Determina los lados que tendrá un polígono si la suma de sus ángulos interiores es igual a una de las siguientes medidas. b) La anterior figura es un ejemplo de cómo podría quedar el La anterior figura es un ejemplo de cómo podría quedar teselado.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 6. a) su reproducción parcial o total Arma un teselado con las siguientes figuras. Material para apoyo del docente prohibida 132 su reproducción parcial o total . a) 7 380° ^n .2h = 3 960c 180c Material para apoyo del docente prohibida n = 22 + 2 = 24 7.2 h 180c = 3 960c ^n . el teselado. 728 litros. ¿cuál es la capacidad. expresada en litros. ¿cuántos gramos de café adquirió la tienda si se sabe que un quintal es aproximadamente igual a 46 kg? 20 quintales .00. 8. Un recipiente tiene las dimensiones de 12 × 12 × 12 cm. Una productora vendió 20 quintales de café a una tienda de gran prestigio por el precio de $57 800. que tiene el objeto para almacenar agua? El volumen del cubo es igual a (12 cm)(12 cm)(12 cm)=1 728 cm3 Material para apoyo del docente prohibida 12 cm La capacidad del cubo es de 1. su reproducción parcial o total 12 cm 12 cm 9. Material para apoyo del docente prohibida 133 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) La anterior figura es un ejemplo de cómo podría quedar el teselado. x 1 quintal .46 000 g ^20 quintanalesh^46 000 gramosh x= = 920 000 gramos 1 quintal La tienda adquirió 920 000 gramos de café. 4 12 1. En la siguiente tabla se relacionan los miligramos de aceite con los gramos de polvo de canela necesarios para elaborar una mezcla. ¿cuántas libras de café se vendieron? (8 )(46 000) = 368 000 gramos se vendieron en total. vendió 8 quintales de café a una tienda y que 460 gramos es igual a una libra.68 20 2.28 10 1.14x •y= 7 x • y = 7x • y = 50x b) Utiliza la expresión correcta y determina los valores que faltan en la siguiente tabla. x= 460 gramos = 800 libras 11. Si se sabe que la productora de café.2 40 5. Gramos de polvo de Miligramos de aceite canela 50 7 25 3.6 Material para apoyo del docente prohibida 134 su reproducción parcial o total . Gramos de polvo de Miligramos de aceite canela 2 0.5 Material para apoyo del docente prohibida 10 8 1.4 1.8 30 4.x 460 gramos .56 a) ¿Cuál de las siguientes expresiones te permite conocer los gramos necesarios de canela que debe tener una mezcla respecto a los miligramos de aceite? 50 • y = 0. del planteamiento anterior.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 10.1 libra ^368 000 gramosh^1 librah Se vendieron 800 libras de café. 368 000 gramos .12 su reproducción parcial o total 4 0. Una motocicleta hace un recorrido de 20 kilómetros en 40 minutos. Considera la información que hay en la tabla y responde las preguntas.5x b) Utiliza la expresión que encontraste para completar la siguiente tabla.5 100 50 Material para apoyo del docente prohibida 135 su reproducción parcial o total . Número de cajas Paquetes de galletas 2 14 Material para apoyo del docente prohibida 10 12 70 84 su reproducción parcial o total 20 30 140 210 40 280 13.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 12.14x b) Utiliza la expresión correcta y determina los valores que faltan en la siguiente tabla.5 60 30 75 37. Tiempo Kilómetros recorridos 15 7. a) ¿cuál es la expresión algebraica que permite determinar el número de kilómetros recorridos por la motocicleta en un determinado tiempo? y = 0. si se asigna la literal y para indicar el número de kilómetros recorridos y la literal x para indicar el tiempo tardado. Número de cajas Paquetes de galletas 28 196 32 224 35 245 52 364 80 560 a) ¿Cuál de las siguientes expresiones te permite conocer los paquetes de galletas que tiene un determinado número de cajas? 196 • y = 196x • y = 28x • y = 28 x • y = 0.5 30 15 45 22. Utiliza los datos y representa la información en una gráfica de polígono. Horario Número de personas 4:00 pm – 5:00 pm 125 5:30 pm – 6:30 pm 95 7:00 pm – 8:00 pm 140 8:30 pm – 9:30 pm 121 Número de personas que entraron a la casa del terror 160 140 120 Número de personas 100 80 60 Material para apoyo del docente prohibida 40 20 su reproducción parcial o total 0 4:00 pm-5:00 pm 5:30 pm-6:30 pm 7:00 pm-8:00 pm 8:30 pm-9:30 pm Horarios 15. Con base en la información que compila el siguiente histograma completa la tabla. 14 12 10 8 6 4 2 0 Material para apoyo del docente prohibida 136 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 14. En la siguiente tabla se encuentran capturados datos que refieren al número de personas que entraron a la casa del terror en diferentes horarios. 14.13) = -3. 1. Calcula para los siguientes valores la media aritmética y suma las desviaciones de cada término respecto a la media: 5.8 .8 .14.16.8 .5 5 41–50 8 41 50 45. 1. 1. Calcula la mediana para los siguientes valores: 1.12) = -2.16 2.5 2 11–20 5 11 20 15.6) = 3.2 su reproducción parcial o total (9. 1.9) = 0.25 junto con los demás valores.8 0. 1.8 10 10 Desviaciones de cada término Sumatoria de las respecto a su media aritmética desviaciones (9.32 Mediana = 2 = 2 = 1.8 .2 -2.8 .2 -2.2 Material para apoyo del docente prohibida (9.5 16.12 y 1.2 (9.9) = 0. 13.2 0.8 . 1. 1.5 4 31–40 12 31 40 35.14.25 Material para apoyo del docente prohibida 137 su reproducción parcial o total . 1.10) = -0. ¿la mediana se verá afecta- da? Explica tu respuesta.12) = -2.2 -0.2 (9.Material para apoyo del docente prohibida Clase Intervalo de Frecuencia Límite inferior Límite superior Marca de clase su reproducción parcial o total 1 clase 1–10 absoluta 10 1 10 5. 1.8 (9. 9.2 -3.12) = -2.16 Ordenando los datos nos queda: 1. 1.2 0 17.8 4. 9.12.8 .2 (9. 10.16. b) ¿Entre qué valores extremos se encuentra la mediana de los valores.16.8 .16. 12.19 1. No.25? Entre 1.2 -2. 1.8 .19.8 (9. 1. x = 5+6+12+13+10+10+9+12+9+12 = 98 = 9.8 (9.5) = 4.8 . 12. 1.19.5 3 21–30 4 21 30 25.8 + -0.8 3.12.16.19. ya que la mediana no se ve afectada por valores muy grandes o pequeños. 6. incluido el valor de 1.10) = -0. 12.16 a) Si resultará que también quiere ser evaluado el valor 1.8 (9. 10.14.16 + 1. 1. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas re- 10 + 4 × 2 − 1 =: presenta la altura del rectángulo? a) 27 b) 14 c) 17 d) 9 ? 10rst .Material para apoyo Evaluación:del docente bloque 3 prohibida su reproducción parcial o total Secundaria:___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊ Subraya en cada caso la respuesta correcta.2r3 a) 30 b) 2r2s2 t2 Material para apoyo del docente prohibida b) 74 c) 182 d) 4624 c) 2rst + 2rst d) 2 . = 5rst a) 2 . ¿ Cuál de las siguientes opciones muestra el resultado correcto de la operación matemática "6^4 + 7 h + ^2 # 5 h@ + (3) 2 . La suma de los ángulos interiores de un polígono re- gular es de 2700°. Resultado de la operación matemática 4.10r 4st 2. 1. La suma de los ángulos de un polígono regular de 32 lados es: 3. ¿cuántos lados tiene el polígono? a) 14 lados b) 16 lados 12mn + 1 c) 13 lados d) 17 lados a) 60mn3 + 5mn2 5 7. ¿Qué expresión algebraica representa el área de la siguiente figura? a) 2340° b) 2880° c) 3600° d) 5400° 5mn2 6.¿Con cuál de las siguientes figuras que se describen b) 30m 2 n 3 + 2 mn 2 no se puede hacer un teselado? c) 60m2n3 +1 d) 17m2n3 + 1 a) Un triángulo b) Un octágono c) Un hexágono d) Un cuadrado Material para apoyo del docente prohibida 138 su reproducción parcial o total .2rst su reproducción parcial o total 5. AGO 2013 SEPT .FEB 2013 MAR .JUN 2013 JUL .Octubre 2013 c) Noviembre .FEB 2014 MAR .5 gramos d) 126 gramos 9.Abril 2013 b) Septiembre .Diciembre 2013 12. Teniendo en cuenta que 1 cm3 de una barra de oro es de 12. Una cisterna tiene un volumen de 20 000 decímetros cúbicos.ABR 2013 MAY .JUN 2014 JUL .DIC 2014 Bimestres a) Marzo .AGO 2014 SEPT .DIC 2013 ENE .OCT 2014 NOV .OCT 2013 NOV .Material para apoyo del docente prohibida 8. ¿En qué bimestre se consumió menos luz? y Consumo de energía que se utilizó en el período indicado 300 Kilowatt por hora 250 200 consumidos 150 100 50 0 x ENE .En la siguiente gráfica se muestra el número de kilowatt por hora que se consumieron de manera bimestral su reproducción parcial o total durante dos años en un tienda de abarrotes. ¿cuántos gramos de oro puro tiene una su reproducción parcial o total barra que tiene dimensiones 5 × 1 × 2 cm y que tiene 10 quilates? a) 128 gramos b) 58 gramos c) 52.6 gramos.Diciembre 2014 d) Noviembre .ABR 2014 MAY . ¿qué porcentaje de agua tendrá la cisterna si se encuentran en ella contenidos 800 litros de agua? a) 4% b) 18% c) 12% d) 6% 10. ¿Cuál de las siguientes expresiones no describe alguna propiedad de la media aritmética? a) No necesariamente es igual a alguno de los valores que se consideraron b) Se encuentra entre los valores extremos c) No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños Material para apoyo del docente prohibida d) La suma de las desviaciones de cada valor es igual a cero 139 su reproducción parcial o total . ¿Cuál es el factor de proporcionalidad y la expresión algebraica que representa a los datos contenidos de la siguiente tabla? Horas (h) 1 2 3 4 5 6 7 8 Kilómetros (k) 80 160 240 320 400 480 560 640 a) El factor de proporcionalidad es 8 y la expresión algebraica es y = 8x b) El factor de proporcionalidad es 80 y la expresión algebraica es k = 80h c) El factor de proporcionalidad es 1 y la expresión algebraica es h = 1k Material para apoyo del docente prohibida d) El factor de proporcionalidad es 80 y la expresión algebraica es h = 80k 11. espacio y medida 3 Medida 4 Proporcionalidad y funciones Manejo de la información 5 6 Análisis y representación de datos Evaluación Material para apoyo del docente prohibida 140 su reproducción parcial o total . 1. 21. interpretar y explicitar las propie- dades de la media y la mediana. 2. fracciona. • Resuelve problemas que impliquen Matemático que escri- el uso de ecuaciones de la forma: bió el libro Liber abaci. ax + b = cx + d. positivos y negati. lución de un problema rios o decimales. Leonardo de Pisa Eje Contenido Tema Sentido numérico y pensamiento 1 Patrones y ecuaciones algebraico 2 Forma. por la que actualmente es recor- • Identifica. 8. interpreta y expresa rela. dado: 1. ciones de proporcionalidad directa o 13. donde los coeficien.Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 4 su reproducción parcial o total • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática Competencias que se favorecen: • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Aprendizajes esperados: • Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. en el describe como so- tes son números enteros. 3. algebraicamente o mediante Material para apoyo del docente prohibida tablas y gráficas. • Resuelve problemas que implican cal- su reproducción parcial o total cular. la llamada sucesión de vos.… inversa. 34. 5. Fibonacci. 64 77 90 103 116 a) 12. En las sucesiones de números enteros. 31. 6. −46 . 39 47 55 63 71 b) 7. −40 .. 25. −16. 23. 141 su reproducción parcial o total . digamos T35.6. .Material para apoyo dely docente Tema: Patrones ecuaciones prohibida su reproducción parcial Contenido 1 o total 1..192. para la sucesión 12. −14 . . −34 .6. El enésimo término de la sucesión queda modelado con la expresión algebraica 2n − 8. −11. . . 38. el primer término puede ser un número positivo o negativo.1 Analizando sucesiones ◊ Completa las siguientes sucesiones colocando los términos faltantes en los espacios correspondientes y con- testa las preguntas. −15 . −12 .8 16 Material para apoyo del docente prohibida Por lo que el término 12 asume el valor de 16.8 24 . . Material para apoyo del docente prohibida • ¿Cuál es el término 25 (T25) de la tercera sucesión? su reproducción parcial o total • El vigésimo quinto término de la tercera sucesión es −32 . −22. −10. . −9. que para calcular. . Por ejemplo.210 + 18 . • ¿Cuál es el décimo término (T10) de la primera sucesión? El décimo término de las primera sucesión es 129.. . 0. 0.... . . que para calcular. 15. . • ¿Cuál es el término 16 (T16) de la segunda sucesión? El décimo sexto término de la segunda sucesión es 127. −16 . .. .2. El primer término puede ser negativo y la diferencia que hay entre dos tér- minos consecutivos es de 2. 51. digamos T12 se procede de la siguiente manera: 2 (12) ..6n + 18. d) −10. −13 . . .192 Por lo que el término 35 asume el valor de . se procede de las siguiente manera: . c) −8. ..4. −52 . −28. El enésimo término (Tn) de esa sucesión queda modelado por la expresión algebraica . Para la sucesión . . 2.12 se observa que el primer término es positivo y la diferencia que hay entre dos términos consecutivos es de − 6.. ¿Cuál es el término 30 (T30) de la cuarta sucesión? El trigésimo término de la cuarta sucesión es −184.6 (35) + 18 . .. −58 . 2n .Material para apoyo 1.2 Sucesión del docente de números enteros prohibida ◊ su reproducción parcial o total Escribe para cada uno de los casos la regla general expresada en lenguaje común y la regla algebraica que define a cada sucesión.9 c) su reproducción parcial o total Término de la sucesión -5 -7 -9 .19 .11 .2 y se resta 3.10 . Material para apoyo del docente prohibida • Regla algebraica: 3n .17 . • Regla algebraica: .21 Posición que ocupa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 el término • Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva que es . a) Término de la sucesión -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 Posición que ocupa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 el término • Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva que es 2 y se resta 6. • Regla algebraica: .3 d) Término de la sucesión 4 2 0 -2 -4 -6 -8 .15 .13 .12 Posición que ocupa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 el término • Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva que es -2 y se suma 6. • Regla algebraica: 2n .2n + 6 Material para apoyo del docente prohibida 142 su reproducción parcial o total .6 b) Término de la sucesión -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 Posición que ocupa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 el término • Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva que es 3 y se resta 9. 14 .11 .5 su reproducción parcial o total Término de la sucesión -7 -9 .29 Posición que ocupa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 el término c) Regla general: . ¿pertenece a la sucesión? Sí d) − 6n + 5 • ¿Cuál es el término que ocupa la posición 21? − 121 • ¿Cuál es la posición que ocupa el término − 97? La posición 17.23 .3apoyo delde docente Construcción una sucesión prohibida su reproducción parcial o total ◊ En cada uno de los incisos se proporciona la regla algebraica que rige a cada sucesión. ¿pertenece a la sucesión? No b) − n − 5 • ¿Cuál es el término que ocupa la posición 14? − 19 • ¿Cuál es la posición que ocupa el término − 20? La posición 15.13 .10 .17 .13 Posición que ocupa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 el término Material para apoyo del docente prohibida d) Regla general: .25 Posición que ocupa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 el término b) Regla general: . • Si T16 = 91.2n + 5 Término de la sucesión 3 1 -1 -3 -5 -7 -9 .3n .17 .Material para1.11 . • Si T23 = − 28. a) − 4n + 2 • ¿Cuál es el término que ocupa la posición 12? − 46 • ¿Cuál es la posición que ocupa el término − 66? La posición 17.22 .2n .20 . • Si T18 = 70. • Si T25 = − 51.23 Posición que ocupa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 el término ◊ Contestas las preguntas relacionadas con la expresión algebraica que se te da en cada inciso. ¿pertenece a la sucesión? No Material para apoyo del docente prohibida 143 su reproducción parcial o total . a) Regla general: .15 .21 .11 .26 .3n + 2 Término de la sucesión -1 -4 -7 . Utilízala y completa los espacios vacíos.13 .19 . ¿pertenece a la sucesión? Sí c) − 2n − 1 • ¿Cuál es el término que ocupa la posición 18? − 37 • ¿Cuál es la posición que ocupa el término − 21? La posición 10.19 .2 Término de la sucesión -5 -8 .16 . 3 j .20 -8 3 +2 = 3 -2 5x .20 + 6 -8 . − 16. -2n+1 − 8. − 5.… − 4n − 4 − 1.3x + 2 4 +2 = 4 +4 4x = 2 14 + 8 6 + 16 4 = 4 4x 2 4 = 4 22 22 4 = 4 2 x= 4 ◊ Determina el valor de la incógnita para cada uno de los casos y verifica si se cumple la igualdad. − 20.5x + 4 = 2x .6 = 3 3 4 .3x = 3x . − 7.14 4 3 = 3 -3 =x Material para apoyo del docente prohibida 144 su reproducción parcial o total . .… − 12n − 1 Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 2 2.… − 7n − 3 4. − 61. 0. − 25.4 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Llena los espacios vacíos de la tabla con la información correspondiente. − 38. sólo anota los primeros cinco términos. a) 5x + 2 = 2x − 2 Verificando se tiene: 5`.3 j + 2 = 2`.3x -3 = -3 . − 20.3x . − 4.2 + 2 5 x + 4 = 2x . − 9. − 49.14 . Para el caso en el que se tengan que escribir los términos de la sucesión. − 12. − 24.2 .2 = 3x + 4 ..… − 8n + 12 − 13. − 17..1 Ecuaciones de la forma ax + b = cx + d Material para apoyo del docente prohibida Resolver la ecuación 7x + 2 = 3x + 4 Verificando se tiene: su reproducción parcial o total 7x + 2 . − 3. − 24. .5x 4 = .1.… − 2n + 1 − 10.. − 28. − 37. − 31. − 12. Sucesiones numéricas Regla algebraica 1 1 7 1 2 .2 7x = 3x + 2 7` 4 j + 2 = 3` 4 j + 4 2 2 14 6 7x .Material para apoyo del docente prohibida 1. .2 .2 4 4 5x + 2 + 2 = 2 x . 0.5r .7 = 2.3k + 2 = 2k .3.7r + 2 = .5 3.0.2 3.Material para apoyo del docente prohibida b) .3k El número es .2 3k + 4 .1k 2 .5 = 3.2r + 2 = .3 3m = 9 3m 9 3 = 3 m=3 Material para apoyo del docente prohibida d) 3 b + 1 = 1 b + 2 Verificando se tiene: su reproducción parcial o total 2 2 3 1 1 1 3^ h 1^ h 2b.5 3.1.7 + 2 = 4.4.3 = 12 .1k -1 = -1 Material para apoyo del docente prohibida -2 = k 145 su reproducción parcial o total .2.4. 2 = .2b+1 = 2b.1.2b+2 2 1 +1 = 2 1 +2 2 3 1 2b+1 = 2 2 +1 = 2 +2 b+1-1 = 2-1 3+2 1+4 2 = 2 b=1 5 5 2 = 2 ◊ Plantea una expresión algebraica para cada caso y determina su solución.2 − 1. ¿Cuál es ese número? La ecuación que representa al problema es 3k + 4 = 2k + 2. nos queda: 3k + 4 .5 −0. Al resolverla.3m + 3 = 3m .5 r =-1 c) 6m + 3 = 3m + 12 Verificando se tiene: 6m .2 = 2k + 2 .5r + 2 .1.5 . a) Un número multiplicado 3 veces más 4 es igual a 2 veces ese mismo número más 2.7r + 4.2r .3.5r + 2 = .7 3.2r .2 = .1.5 2.2 = 2k 3k + 2 = 2k 3k .5 3.5 0.5r = .5 Verificando se tiene: su reproducción parcial o total .2r + 4.2 (−1) − 1.3m + 12 6 (3) + 3 = 3 (3) + 12 18 + 3 = 9 + 12 3m + 3 = 12 21 = 21 3m + 3 .7 (−1) + 2 = −4. ¿Cuál es el contenido del recipiente R1? 3R2 + 200 = 2R2 + 1000 El contenido del 3 (800) + 200 = 2 (800) + 1000 3R2 − 2R2 + 200 = 2R2 − 2R2 + 1000 recipiente R1 es igual 2400 + 200 = 1600 + 1000 R2 + 200 = 1000 a 2600 mililitros: 2600 = 2600 R2 + 200 − 200 = 1000 − 200 R2 = 800 Material para apoyo del docente prohibida 146 su reproducción parcial o total .4d .121 = 3d + 121 . ¿Cuál es el costo del reloj? La ecuación que representa al problema es 4d + 6 = 3d + 121 Al resolverla nos queda: 4d + 6 .1d . 12 + 12 + 12 + 2 + 2 = 12 + 12 + 8 + 8 x + 4 = 16 40 = 40 x + 4 − 4 = 16 − 4 x = 12 d) El contenido en mililitros de agua de un recipiente (R1) es igual a 3 veces lo que contiene otro recipiente (R2) más 200 mililitros y éste es igual a 2 veces R2 más 1000 mililitros.4d .00 115 = d c) Las siguientes figuras representan el mismo perímetro.121 4d .1d -1 = -1 El costo del reloj es igual a$466.Material para apoyo del docente prohibida b) El costo de un reloj digital es de 4 veces el precio de un paquete de jugo más 6 pesos y esto es igual a 3 veces su reproducción parcial o total el costo de ese paquete de jugo más 121 pesos.115 = . ¿cuál es el perímetro de cada una? x 2 x x 2 Material para apoyo del docente prohibida x 8 su reproducción parcial o total x+x+x+2+2=x+x+8+8 El perímetro que representa a ambas 3x + 4 = 2x + 16 El valor de x es figuras es de 40 unidades: 3x − 2x + 4 = 2x − 2x + 16 igual a 12.115 .115 = 3d 4d .115 = 3d . 4c + 6 = 4c .15 6^ h 3^ h 4 .24 .3 4 -4 =.6 = 48 .28 12z .2 y .5j = .12 2 = 2 y =-6 Material para apoyo del docente prohibida . a) 40s = 5(s + 7) 40s = 5s + 35 Verificando se tiene: 40s .6 20 = 20 .6 + 2 = .2c + 6 = 4c + 48 Verificando se tiene: .2 Usopara apoyo de paréntesis del docente en ecuaciones prohibida de la forma ax + b = cx + d su reproducción parcial o total ◊ Determina el valor de la incógnita para cada uno de los casos y verifica si se cumple la igualdad.6c + 6 = 48 2 (10) = −4 (−5) .6 + 10 3y + 3 = .8`.3 + 6j 7 7 12z .8` 3 j 12z .48 Verificando se tiene: 4z + 8z .2 .28 .20 + 20 = .12 4 = 2 3y .6c 42 -6 = -6 Material para apoyo del docente prohibida c = -7 su reproducción parcial o total c) 4(z − 5) = −8(z + 6) 4z .3 = .8z + 8z .48 4` 3 j = .88 12 = 12 3 = 3 .18 .20 = .48 4`.6c = 42 .3 .20 = .15 .4c + 48 2 (− (−7) + 3) = −4 (−(−7) − 12) .6 =-6 147 su reproducción parcial o total .8z .2 Verificando se tiene: 6 3 3 3 4 y + 2 y + 3 = .2c .Material 2.22 11 12z = .88 .20 = .5s = 5s .6 = .18 3 = 3 .5s + 35 40 (1) = 5 (1 + 7) 35s = 35 40 = 5 + 8 35s 35 40 = 40 35 = 35 s=1 b) 2(−c + 3) = −4(−c − 12) .6c + 6 .24 .15 6^ h 3^ h 3y + 3 .3 d) 4 ^ y + 2 h = .2 y + 2 y .48 + 20 .2 4 3y = .28 14 7 z = 12 = .2 ^ y + 10 h 6 3 6 12 3 30 4 y + 4 =. 12 x + 1 = .12 3.6 .12 .6 .6x+1 = 6x. 3 6 3 7 14 5 10 4x+1 = 6x. A A C B C B Material para apoyo del docente prohibida Ángulo inscrito Ángulo central 148 su reproducción parcial o total . ¿en qué tiempo ambos autos (A y B) llevarán la misma distancia recorrida? 120t = 80 (t + 4) En la Al resolver la ecuación Ambos autos llevarán recorrida la expresión t representa al se tiene lo siguiente: misma distancia en 8 y 12 horas tiempo.12 x .1 = . .12 x + 1 .2h 5 14 4x+1 = 6 .3 5 = Material para apoyo del docente prohibida 3 7 7 7 14 5 x .es12 x + 1 = .6x. x .1 = .3 5 = 5 .1 5 . lo anterior divido entre 6. 120t = 80t + 320^ respectivamente.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total El automóvil A mantiene una velocidad constante de 120 kilómetros por hora.14 7 4 6 6 t=8 3 7 7 7 14 4 x.14 4 +1 = 6 40t 320 3= 40 x + 401 = x .12 .12 4 6 6 6 6 5 14 x=8 .2h + 1t - 120t .12 x = . en un círculo un ángulo central está conformado por el centro del círculo (que es el vértice del ángulo) y 2 radios de la circunferencia. 3 7x .12 x + 1 . x + 1 = x . 3 7 x . Si el primero pretende alcanzar al segundo que lleva cuatro ho- ras de ventaja. que son los que unen el centro del círculo con un punto de la circunferencia.6 su reproducción parcial o total 5 14 .1 El número buscado es 8.80t4=x80 = 80t +6 320 40t3=x320 7x .3 10 Tema: Medida 5 10 Contenido 3 . ¿Cuál 5 ese número? 14 .6 .1 Ángulos inscritos y centrales x=8 Un ángulo inscrito en un círculo se forma por 2 de sus cuerdas (que son los lados del ángulo) que concurren en un punto llamado vértice y que se localiza en la circunferencia. Mientras que el B conserva una velocidad constante de 80 kilómetros por hora.12 x .6 ◊ Tres cuartas partes de un número más la unidad es igual al número 7 multiplicado por la diferencia entre ese número y 2.Material para apoyo del docente prohibida 2. Por otro lado.6 3 7 ^x .14 5 10 . x = 4x+1 = 12 . a) b) c) d) Ángulo central Radio Cuerda Ángulo inscrito e) f) g) h) Ángulo inscrito Ángulo central Ángulo central Ángulo inscrito • ¿En qué figuras se puede observar el trazado de la cuerda mayor denominada diámetro? Material para apoyo del docente prohibida En los incisos c. • ¿Qué tipo de ángulos aparecen trazados en el penúltimo inciso y qué clase de cuerdas fueron utilizadas? Ángulo centrales construidos con 2 diámetros. un ángulo central o un ángulo su reproducción parcial o total inscrito. • ¿Cuál sería la magnitud de un ángulo para que 2 de sus lados (diámetros) no generen ángulos opuestos por el vértice como el del penúltimo inciso? La medida del ángulo sería de 0° y los diámetros estarían sobrepuestos. • ¿En cuál de las figuras uno de los lados del ángulo es el diámetro? su reproducción parcial o total La figura del inciso e. BCOD = 49° C2 C1 BCBD = 24. escribe si se encuentra trazada en el círculo una cuerda. Posteriormente contesta las preguntas. e y g.5° BC 3 OD = 124° Material para apoyo del docente prohibida BC 3 BD = 62° 149 su reproducción parcial o total . un radio.Material para apoyo del docente prohibida ◊ En cada caso.2 Relación entre los ángulos inscritos y centrales La relación que hay entre un ángulo inscrito y un ángulo central que comparten el mismo arco es que la medida del ángulo inscrito representa la mitad del ángulo central.5° C3 C BC 1 OD = 73° BC 1 BD = 36. 3.5° D B BC 2 OD = 97° O BC 2 BD = 48. N El ángulo interior de octágono regular es igual a 135°.5° BCBD B EOF == 51° BEDF B BCBD = 41. Luego la suma de los F ángulos del triángulo FGH es igual a 180° por lo que el ángulo GHF es 38°.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Utiliza tu transportador para medir los ángulos y anota la medida en el lugar que corresponde.5° BECD B BBAC = BECD = BEOD = BCOD = c) C B EOD = BECD = d) B COD == BCBD BECD = BCBD = BCOD = E BEOF = O O COD == 82. su reproducción parcial o total a) La medida del ángulo interior GFH de un triángulo es igual a 52°. C H b) Determina la medida del ángulo NPM si se tiene conocimiento de que el C es el centro del círculo pero a la vez es uno de los vértices del polígono regular. ¿cuáles son las medidas del ángulo FGH y GHF? G La medida del ángulo FGH es igual a 90° porque es un ángulo inscrito que comparte el mismo arco con el ángulo central FCH que es igual a 180°.5° Material para apoyo del docente prohibida M 150 su reproducción parcial o total . por lo siguiente: ^n .5° D BEOF = B F B EOF = BEDF = BEDF = 3.5° D BEDF = 25. a) su reproducción parcial o total C b) BBOC = E C B B BOC == BBAC BBAC = A O BBOC = 70° O BEOD = 51° D BOC == 35° BBAC B EOD == 25.2 h 180c ^8 .2 h 180c (6) 180c 1080c 8 & 8 & 8 = 8 = 135c C P Por lo que el ángulo central NCM mide 135° y el ángulo inscrito NPM mide 67.3 Profundiza Material para apoyo del docente prohibida ◊ Valora cada uno de los siguientes planteamientos para solucionarlos. 261. • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a cada uno de los casos revisados? Para el primer caso la expresión es y = 78x.522 = 9x . Resolviendo la ecuación se tiene: S 18x .9x = 9x .Material para apoyo del docente prohibida c) Halla el valor del ángulo RCS valorando que el ángulo RKS mide lo que representa el valor de la incógnita de la su reproducción parcial o total expresión 18x .00 por el consumo de agua mientras que Javier por el mismo período paga $65.261 + 522 Por lo que el ángulo inscrito RKS 18x = 9x + 261 es igual a 29° y el ángulo central es K C 18x . Bimestre (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Germán Costo (y) 0 78 156 234 312 390 468 546 624 Bimestre (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Javier Costo (y) 0 65 130 195 260 325 390 455 520 La cantidad que habrá pagado Germán es de $234. Material para apoyo del docente prohibida a) Germán paga dada bimestre $78. Para el segundo es 65.00 • ¿Cuál es el factor de proporcionalidad (k) de cada situación? Para el primer caso que alude a Germán el factor de proporcionalidad es 78. 9x = 261 9x 261 R 9 = 9 x = 29 Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 4 4.1 Proporcionalidad ◊ Resuelve cada una de las situaciones que se presentan a continuación.9x + 261 igual a 58° ya que ambos comparten el mismo arco.00 y la cantidad que habrá pagado Javier es de $195. y para el segundo y = 65x. Material para apoyo del docente prohibida 151 su reproducción parcial o total .522 + 522 = 9x .00. ¿Cuál es la cantidad que habrán pagado los primeros tres bimestres las dos personas? Llena los espa- su reproducción parcial o total cios vacíos de las siguientes tablas. los pares de coordenadas que representa a las primeras tres relaciones de la primera tabla serían: primer par de coordenadas (1.Material para apoyo del docente prohibida • Construye la gráfica de variación proporcional para cada uno de los casos expuestos. 234). segundo par (2. A partir del primero de enero ha ido depositando cada día la cantidad de $8. Por otra parte. • La expresión que permite conocer la cantidad que lleva ahorrada Elisa es y = 8x + 100 y para el caso de Uriel es y = 8x.00 en su alcancía. ◊ Elisa tenía $100. Utiliza las expresiones para llenar los espacios vacíos de las tabla.y). Uriel no disponía de nada en su alcancía. 78). • ¿Cuál de las dos situaciones que se describen en el planteamiento se refieren a una situación de proporciona- lidad? Explica tu respuesta. 156) y el tercero (3. 624 su reproducción parcial o total y 520 y 546 455 468 390 390 325 312 260 234 195 156 130 78 65 0 x 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Germán Javier • ¿Qué tipo de gráficas se trazaron en el plano cartesiano? Son rectas. esto y sucede entre cualquiera de los valores inmiscuidos x = k . Material para apoyo del docente prohibida En ambos casos que se tratan se mantiene una relación entre el precio que se paga y el tiempo que pasa. Ese vínculo entre los valores se expresa gráficamente su reproducción parcial o total utilizando pares de coordenadas (x.00. Por ejemplo. Los pares de coordenadas los forman los valores de x o sea los valores de la abscisa y los valores de y. pero también empezó a depositar la misma cantidad desde la fecha en que lo hizo Elisa. porque el incremento es constante y no se tiene que sumar o restar alguna cantidad. La segunda situación. es decir. Expresión Semana (x) 0 1 2 3 4 5 6 Elisa algebraica y = 8x + 100 Costo (y) 100 108 116 124 132 140 148 Expresión Semana (x) 0 1 2 3 4 5 6 Uriel algebraica y = 8x Costo (y) 0 8 16 24 32 40 48 Material para apoyo del docente prohibida 152 su reproducción parcial o total . los de la ordenada. 8 0 x 0 1 2 3 4 5 6 ◊ Con base en la información que aparece recabada responde las preguntas.6 1 • ¿Qué distancia recorrerá una avestruz en 7 horas suponiendo que esta ave no se detiene? Recorrerá 420 kilómetros. 96).00 136 128 120 • Construye en un mismo plano la gráfica para cada uno de los casos expuestos.2 2 1. 152 guna cantidad a la alcancía? 144 Elisa tiene $100. La primera situación. porque el incremento es constante.Material para apoyo del docente prohibida • ¿Cuál es la cantidad que tiene ahorrado cada una y su reproducción parcial o total de las personas cuando ambas no han aportado al. • ¿Qué par de coordenadas se forma cuando x es igual 24 16 su reproducción parcial o total a 12 para la segunda situación? Las coordenadas son (12. Tabla 1 Tabla 2 Tiempo y distancia recorrida por una avestruz Días que tardan en consumir una misma cantidad de ali- mento las avestruces Tiempo (x) 0 1 2 3 4 5 6 Avestruces (x) 1 2 4 5 8 10 16 Distancia (y) 0 60 120 180 240 300 360 Días (y) 16 8 4 3. Y en la segunda la situación es de proporcionalidad inversa. 48 40 • ¿Cómo son las rectas entre sí? 32 Material para apoyo del docente prohibida Son rectas paralelas. 96 siano? 88 Dos rectas. mientras un valor aumenta el Material para apoyo del docente prohibida otro disminuye. 80 72 • ¿Qué características tienen las gráficas que represen- tan una situación de proporcionalidad? 64 56 Las rectas pasan por el origen (intersección entre el eje de abscisas y las ordenadas). 112 104 • ¿Qué tipos de gráficas se trazaron en el plano carte. • ¿Cuál de las dos situaciones que se describen en el planteamiento se refie- re a una situación de proporcionalidad? Explica tu respuesta.00 y Uriel $0. 153 su reproducción parcial o total . 2 Profundiza ◊ Completa los espacios vacíos de las siguientes tablas con base en la información que proporcionan las gráficas. Material para apoyo del docente prohibida y y su reproducción parcial o total 30 24 21 25 18 20 15 15 12 9 10 6 5 3 0 x 0 x 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 1 Valores de x 0 1 2 3 4 5 6 Valores de y 0 5 10 15 20 25 30 Gráfica 2 Valores de x 0 1 2 3 4 5 6 Valores de y 0 3 6 9 12 15 18 Material para apoyo del docente prohibida 154 su reproducción parcial o total . su reproducción parcial o total y y 360 16 14 300 12 240 10 180 8 6 120 4 60 2 0 x 0 x 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tabla 1 Tabla 2 4.Material para apoyo del docente prohibida • Construye en el plano correspondiente la gráfica para cada caso. 50 253.00 mensuales.10 Plan horizonte y = 1.35 • Plan horizonte: $250.75 182.25 257. • Plan básico: $169. las expresiones que modelarían a las situaciones sería: Plan básico: y = 3.35x + 199 Plan horizonte: y = 1.25 175. El tiempo adicional (minuto) para llamar a cualquier teléfono de todas las compañías es de $1.00 185.25 188.25x + 169 Plan plus: y = 2.50 178. Material para apoyo del docente prohibida Plan básico y = 3.00 mensuales.25x + 169 Plan plus y = 2.00 mensuales.25 Si tres personas decidieran adquirir respectivamente el plan básico.75 255 256. El tiempo adicional (minuto) para llamar a cualquier teléfono de todas las compañías es de $3. y y 250 250 200 200 150 150 100 100 50 50 0 x 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Plan básico y = 3.1 Modelos matemáticos ◊ La compañía de teléfonos celulares MCR ofrece los siguientes planes de renta.40 210.35 203. plus y horizonte.25x + 250 • Con base en la información proporcionada.75 213.50 su reproducción parcial o total Valores de y ($) Plan plus y = 2.25 • Plan plus: $199.35x + 199 Valores de x (min) 0 1 2 3 4 5 6 Valores de y ($) 199 201.05 208.25 252.Material paraTema: apoyo del docente Proporcionalidad y funciones prohibida su reproducción parcial Contenido 5 o total 5. llena los espacios vacíos de la siguiente tabla.35x + 199 Material para apoyo del docente prohibida 155 su reproducción parcial o total .25x + 250 Valores de x (min) 0 1 2 3 4 5 6 Valores de y ($) 250 251.50 • Emplea los valores para construir las gráficas que representan a cada situación. y consumir tiempo adicional.70 206.25x + 169 Valores de x (min) 0 1 2 3 4 5 6 169 172. El tiempo adicional (minuto) para llamar a cualquier teléfono de todas las com- pañías es de $2. 75 50 • ¿Por qué cuando x es igual a cero para todas las ex- presiones y no es igual a cero? 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 No es igual a cero porque las expresiones que representan a las gráficas no corresponden a una Plan horizonte y = 1.5 238 247.5x 160 9. su reproducción parcial o total • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación que se reseñó? La expresión algebraica es y = 9.5x 180 950 9. 200 • ¿Qué valor asume y cuando x pasa de 34 a 35 al em- 150 plear la expresión y = 3.200 = 9.Material para apoyo del docente prohibida y • ¿Qué clase de gráficas son las que construiste? su reproducción parcial o total 250 Son de variación lineal.5 257 266.25x + 169? 100 El valor que asume y es igual 282.5 = 9.5 140 100 = x 120 • Suponiendo que las cisterna estaba vacía y que la 100 llave seguía surtiendo la misma cantidad de líquido.5 litros por minuto.5x + 200 • Utiliza la expresión algebraica y los datos de la tabla para construir una gráfica de variación lineal. Minutos (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Litros (y) 200 209. 80 ¿cuál es la expresión algebraica que representaría a la situación? 60 40 y = 9. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 156 su reproducción parcial o total .25x + 250 situación de proporcionalidad.5 276 • ¿Cuántos litros de agua caen de la llave por minuto una vez abierta? Material para apoyo del docente prohibida Caen 9. y • ¿En qué minuto se llenaría la cisterna si ésta tiene una capacidad para almacenar 1150 litros de agua? 280 Efectúa las operaciones pertinentes.5x + 200 220 1150 .5x + 200 . 260 En el minuto 100 la cisterna estaría llena: 240 1150 = 9. ◊ En la siguiente tabla se registraron los litros que contiene una cisterna al ser llenada por una llave que surte determinada cantidad de agua por minuto.5 219 228.200 200 950 = 9.5x 20 • Representa en el mismo plano la gráfica que repre- Material para apoyo del docente prohibida 0 x senta a la situación anterior. 2.6 489.1 ml de ese líquido por minuto.7 491. Cuando ella pone en funcionamiento el gotero deja salir 2. • ¿Cuántos mililitros de suero habrá en el recipiente que contiene al suero en el minuto 10? Habrá 479 mililitros de suero.8 493.9 495.4 • ¿Qué expresión algebraica modela a la situación descrita anteriormente? y = .2 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Se ha colocado un suero de 500 ml a una persona. Material para apoyo del docente prohibida 500 y su reproducción parcial o total 400 300 200 100 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Material para apoyo del docente prohibida 157 su reproducción parcial o total . • ¿Cuántos mililitros de suero tendrá el recipiente que conserva el suero en el minuto 5? Tendrá 489.Material para apoyo del docente prohibida 5.1 x + 500 • Construye la gráfica que representa a los datos revisados.5 487. • Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta la información del planteamiento. Minutos (x) 0 1 2 3 4 5 6 Mililitros (y) 500 497.5 mililitros. Material para apoyo del docente prohibida 0. Si para la participación se asignó un peso de 60%.35 (8) + 0.15 = 1 = 1 = 8. 8 en examen y 6 en el proyecto final.8 + 1. el desempeño académico de Diana según el porcentaje asignado a cada criterio.8 + 2.0 0.40 = 1 = 1 = 8.5 + 1.15 (10) 2.15 + 0. observas que muchos de tus pro- fesores asignan una ponderación diferente a cada criterio que desean evaluar. Pero si considerara obtener la 4 4 media ponderada. 10 en tareas.8 + 0. Si Sandro.10 + 0.2 7. es decir.5 .60 (8) + 0. al examen le dan un valor de 20%.1 Ponderación en las calificaciones En muchas o pocas de las asignaturas. Supón que Diana obtuvo 8 en el examen.8 8.35 + 0. b) Hugo obtuvo las siguientes calificaciones para cada uno de los criterios que el profesor propuso evaluar desde inicio de su curso de francés: 8 en participación. 7 en participación y 8 en su examen.35 (8) + 0.40 (7) + 0. 15% para examen y 20% para el proyecto final.Material para apoyo Tema: Análisis del docente y representación de datos prohibida su reproducción Contenido 6 parcial o total 6.40 + 0. ¿Sandro pasa al siguiente nivel? Téngase en cuenta que para pasar al siguiente nivel se debe tener como mínimo un 8.20 = 1 = 1 = 7. obtuvo 10 en tareas.05 (10) + 0.8 + 0. 7 en participación y 10 en el trabajo final.1 Sandro sí pasa al siguiente nivel. ¿Cuál es el valor del desempeño académico de Hugo? 0. 25% tareas y 35% examen.10 (9) + 0.35 + 0.20 (6) 4.15 (8) + 0. uno de sus alumnos. las tareas un 10%. cursos de idiomas o taller que cursas.5 8. la participación un 40% y la entrega de trabajo final un 15%.5 + 2.05 + 0. Por ejemplo.9 + 2.1 su reproducción parcial o total 0. un 5% para tareas. tendría: 8 + 9 + 7 + 10 = 34 = 8. Si su profesor deseará obtener únicamente el promedio de las calificaciones.0 ◊ Resuelve los siguientes planteamientos. sería: 0. a) Enrique es un profesor que imparte el nivel 2 de inglés y quién ha decidido evaluar el desempeño de sus alumnos teniendo en cuenta los siguientes criterios: 40% participación.7 Material para apoyo del docente prohibida 158 su reproducción parcial o total .60 + 0.25 (10) + 0.2 + 1.7 La media ponderada de los datos es 7.40 (7) 2.7 0. 9 en las tareas.25 + 0. Imagina que los zapatos en las diferentes delegaciones se venderán en el siguiente precio por calzado: $240.10 = 0.10 (8) + 0. $230. $275.10 + 0.8 + 1 + 1 + 0.10 + 0.45 su reproducción parcial o total 0.10 + 0.10 (8) Material para apoyo del docente prohibida 0. 10. a) Una tienda en Nuevo León que vende zapatos al mayoreo ha distribuido calzado del mismo tipo a varias su- cursales del Distrito Federal como se observa en la siguiente tabla.10 (8) + 0.05 (7) + 0.89 Miguel Hidalgo 242 Venustiano Carranza 195 Material para apoyo del docente prohibida 159 su reproducción parcial o total .5 de promedio en la asignatura de Matemáticas con todas las evaluaciones que se su reproducción parcial o total le han hecho.10 + 0. 251.10 (10) + 0.05 + 0.6 6.10 = 0.35 + 0. 9.00.2 Ponderación en otros contextos ◊ Resuelve cada uno de los siguientes planteamientos.10 + 0.10 + 0.5 ` 608+ x j (8) = (8.6 La media ponderada es 8. ¿Cuál será la media ponderada? 0.8 + 0. $260.60 x=8 d) Supón que las calificaciones que son iguales a 7 o están por debajo de esta cifra representan una ponderación del 5% y las que se encuentran por arriba de 7 o son menores o iguales a 10 tienen una ponderación del 10%.00.Material para apoyo del docente prohibida c) Olivia por el momento lleva 8.10 (9) + 0.05 + 0.10 + 0.10 + 0.10 + 0.10 + 0.89 Cuauhtémoc 165 Gustavo A. Si sus calificaciones del primero al séptimo bimestre sin contar al octavo fueron respectivamente 8.10 (10) + 0. Número de zapatos 250 (240) + 165 (275) + 480 (260) + 242 (250) + 195 (230) Delegaciones 250 + 165 + 480 + 242 + 195 = recibidos Coyoacán 250 335525 1332 .00.5 60 + x 8 = 8.8 + 0.00 res- pectivamente.10 (8) + 0. 10.60 + x = 68 .9 + 0. • ¿Cuál fue la calificación que obtuvo en el octavo bimestre? La calificación que obtuvo fue de 8: 8 + 10 + 10 + 8 + 9 + 8 + 7 + x 8 = 8. ¿Cuál es la venta promedio en las diferentes delegaciones? Considera que cada delegación no recibió cantidades iguales de zapatos.5) (8) 60 + x = 68 60 .75 = 8. Madero 480 La venta aproximada es de $251. 8 y 7. $250.10 + 0.10 + 0. 8.00.8 6. Material para apoyo del docente prohibida b) En la siguiente tabla se observa el número de tomos del mismo autor que ha enviado una distribuidora de libros a su reproducción parcial o total varias librerías en los diferentes municipios del estado de Hidalgo.3 Profundiza ◊ En la siguiente tabla se observa el porcentaje de comensales que hay en un restaurante en un lunes y así como la capacidad máxima que tiene. $130.00.54% Material para apoyo del docente prohibida 160 su reproducción parcial o total .00 respectivamente.00. $150. Si se considera vender cada libro a un precio de $135. ¿cuál será la venta promedio que se percibirá por cada libro que se venda? Número de libros 154 (135) + 90 (112) + 80 (110) + 200 (150) + 120 (130) Municipio 154 + 90 + 80 + 200 + 120 = recibidos Atitalaquia 154 85270 Emiliano Zapata 90 644 .40 Pachuca de Soto 200 Tula de Allende 120 6. ¿Cuál es la tasa promedio de clientes que faltó para tener la capacidad máxima en los establecimientos? Material para apoyo del docente prohibida Municipio Porcentaje de comensales dentro del establecimiento Capacidad máxima de personas su reproducción parcial o total La cuchilla Balaje 71% 64% 600 500 Medo 70% 450 600 (29) + 500 (36) + 450 (30) 48900 600 + 500 + 450 = 1550 .00. $112.00. $110.40 Metepec 80 La venta promedio por cada libro es de $132. 132. 31.54% La tasa promedio de clientes que faltaron fue aproximadamente de 31. .7... .4 . .12 -27. Relaciona cada sucesión numérica con la expresión algebraica que la representa.4. .10x + 4 .5 .4 . . . 2.48. 2.1 = 5x . .1 + 1 = -10 + 1 . . . 10. ..12x = -1 .Material para apoyo Ejercicios del docente prohibida de reforzamiento 1. .77...10 -2x . 4.. . 8. 7 3 5 3 .12x . 20.1 = 5x . .5 = 4 . . . ..11. .7x . . -8. a) t n = -25n .23. 6. .1 = -10 .4. .13.2. .20. t = -n . 9.. . . 5.. a) -2x + 5 = 10x + 4 b) -7x .28. 0. .12x = -9 -1 -9 x = -12 x = -12 1 9 x = 12 x= 2 Material para apoyo del docente prohibida 161 su reproducción parcial o total ..12x + 5 .8. . 0.10 .5 e) 2. ( d ) t n = -3 n + 5 f) -4.. . . .5x . a) -8.14. Halla el valor de x en las siguientes expresiones. 1 c) t n = -10n .. 7. su reproducción parcial o total Para cada uno de los casos. 0. 4. 30. ( b ) tn = n + 3 3. .9. .4 .52. .10x + 5 = 10x .12x .5x .127.. .17.4. .2 d) t n = 4n . . .. .38. .10. . .8 f) t n = 4 n .58.5. . ( a ) t n = -3 n .5 prohibida ( c ) n c) su reproducción parcial -2. 1.3. .102.3 o total ( f ) n d) 2...1. 13. t = 3n . 7. 8.. 4.1..12x + 5 = 4 . 1. escribe los primeros cinco términos que originan las reglas algebraicas que se te presentan. ... ( e ) t n = -n + 3 Material b) para apoyo del docente 4.2 .. 15. .1.2.6. .2 -18. 25.. .. b) t n = 5n + 5 e) t n = -2n + 6 10.7. . 60 = 16 .8x+4 3x .8x+6 = 8x.3 3x = 0 -44 x= 9 0 x= 3 4.12 8x+6-6 = 4-6 1 .9x + 12 = 9x .9x + 3 1 8x+6 = 4 .3 = 3 . Relaciona cada una de los trazos que se encuentran representados en un círculo con los incisos descritos colocando la letra que corresponde en el paréntesis.3x + 3 = 3x .12 = 3 .3x + 3 3x + 3 = 3 su reproducción parcial o total 9x + 60 .6x = -9 8 x = -2 -9 x = -6 -2 x= 1 9 x= 6 8 x = -16 f) 6 a x + 1 k 3^ d) 5 ^ x + 12 h = 4 ^ -x + 4 h h 2 = 5 5x + 5 5x + 60 = -4x + 16 6x + 3 = 3x + 3 Material para apoyo del docente prohibida 5x + 4x + 60 = -4x + 4x + 16 9x + 60 = 16 6x . a) Ángulo central b) Ángulo inscrito c) Radio d) Diámetro (d ) (b ) ( c ) ( a ) Material para apoyo del docente prohibida 162 su reproducción parcial o total .60 9x = -44 3x + 3 .6x + 12 = 3 1 -6x + 12 .Material para apoyo del docente prohibida .8 x + 6su = 8 x +reproducción3 xparcial o total ^ h 3 2 c) 4 + 4 = 9x + 3 e) 3 2 2 2 3x + 12 = 9x + 3 8x. Analiza la siguiente gráfica y responde las preguntas. x2. x1 x1= 65o x2 90o x2= 45o 50o 130o x3= 25o x3 6.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5. x3 en el siguiente círculo.Determina las medidas de los ángulos que están representados como x1. y 24 Material para apoyo del docente prohibida 23 22 21 su reproducción parcial o total 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x Material para apoyo del docente prohibida 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 163 su reproducción parcial o total . A continuación están los valores de las coordenadas de determinados puntos. Material para apoyo del docente prohibida 164 su reproducción parcial o total . •Porque la gráfica no tiene como punto de inicio el valor 0. •Porque la gráfica se refiere a una relación inversa de proporcionalidad. Valores en x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Valores en y 0 12 24 36 48 60 72 84 96 b) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la relación que existe entre los valores de la tabla? 2 : y = 0. y Primer par de coordenadas 28 26 Abscisa ___________ 0 Ordenada ________ 3 24 Segundo par de coordenadas Material para apoyo del docente prohibida 22 20 Abscisa ___________ 3 Ordenada ________ 9 18 su reproducción parcial o total 16 14 Tercer par de coordenadas Abscisa ___________ 5 Ordenada ________ 13 12 10 Cuarto par de coordenadas 8 Abscisa ___________ 8 Ordenada ________ 19 6 4 Quinto par de coordenadas 2 x Abscisa ___________ 10 Ordenada ________ 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) ¿Qué tipo de gráfica obtuviste? •Una recta •Una parábola •Una hipérbola •Una elipse b) ¿Por qué la gráfica que trazaste no representa una relación de proporcionalidad? •Porque la gráfica tiende a ser una curva.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) Completa la tabla considerando el comportamiento que tienen los valores en la gráfica. •Porque la gráfica es una recta. Utilízalos para construir una gráfica y responder las preguntas.16x : y = 12x : y = 12 x : y = 6x 7. Tiempo (h) Distancia recorrida (m) 2 56 000 4 112 000 6 168 000 8 224 000 10 280 000 12 336 000 20 560 000 a) Si el tiempo se representa con la letra h y la distancia (en metros) recorrida con la letra m. Considerando que mantiene su velocidad. 7 y 9 horas. Un lobo de una determinada edad corre a una velocidad aproximada de 28 kilómetros por hora. ¿cuál de las siguientes ex- presiones algebraicas permite saber el número de metros recorridos en determinado tiempo? • m = 28 000h • m = 56 000h •m = 28h •m = 56h Material para apoyo del docente prohibida b) Utiliza la expresión algebraica correcta y determina los metros que recorrerá el lobo en 5.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 8. su reproducción parcial o total m = 28 000(5) = 140 000 m = 28 000(7) = 196 000 m = 28 000(9) = 252 000 c) Encierra aquella representación gráfica que describe a la situación presentada. completa la siguien- te tabla. ¿cuántos metros habrá recorrido en 3 horas? Para responder la pregunta. y y 11 2000 11 2000 10 5000 10 5000 98 000 98 000 91 000 91 000 84 000 84 000 77 000 77 000 70 000 70 000 63 000 63 000 56 000 56 000 49 000 49 000 42 000 42 000 35 000 35 000 28 000 28 000 21 000 21 000 14 000 14 000 7 000 7 000 Material para apoyo del docente prohibida 0 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 3 4 5 6 x 165 su reproducción parcial o total . 8 en trabajos extraclase y 6 en su examen y los criterios de evaluación fueron 10% para participación.15 + 0.75 6 apoyo ^ h del docente prohibida 6.40 ^ 7 h + 0. 10. Material para apoyo del docente prohibida 166 su reproducción parcial o total .40 + 0. 7 en su examen y final- mente 8 en participación. 5 El promedio de Carolina es de 6.10 + 0.20 + 0. y su maestro dijo que obtuvo 6. 15% para trabajos extraclase y 75% del examen.40 ^ 8 h 8 Participación 40% 0.5 de promedio.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 9. 5 su reproducción parcial o total 0.10 8 + 0. Si Carolina obtuvo 8 en participación. Material ^ h para ^ h 0.20 ^ 10 h + 0. ¿consideras que Carolina tiene razón al apelar su calificación.40 = 1 =8 Su promedio es 8.15 8 + 0. Carolina comentó a su profesor que revisará el promedio que obtuvo en su clase ya que considera injusto que no se hayan tomado en cuenta los criterios de evaluación que se establecieron desde al inicio del semestre. ¿cuál será su promedio si el profesor que la evaluó estableció los siguientes porcentajes para cada uno de los rubros? Tareas 20% Examen 40% 0.5 por lo que no tiene razón para apelar su calificación. María ha obtenido las siguientes calificaciones en un curso bimestral de alemán: 10 en tareas. pues ella dice que su calificación es de más de 7? Verifica tu respuesta.75 = 1 = 6. 15. .3.1 proporcionalidad? d) .¿Qué gráfica representa una situación de c) 2n . . …? A C a) . 17.5n + 2?: da del ángulo ABC es igual a 23.8x 167 su reproducción parcial o total .1.3. .17.4 21. … c) Aproximadamente a 42° d) .2n + 3 y Material para apoyo del docente prohibida 3.6 28. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a los 5. . ¿Cuál es de las siguientes sucesiones es originada 6. 22. … d) 48° O 2.3n + 4 b) .7. ¿Cuál es la solución de la ecuación Gráfica 4 1 3(x + 2) = 5x − 2 (3)? 0 x a) x = 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 b) x =.8. .6 a) Gráfica 1 b) Gráfica 2 c) x =. . .8 36 43. . Nombre que recibe el ángulo ABC: datos de la siguiente tabla? B a) Central Valores para x 2 4 6 8 10 12 14 b) Inscrito Valores para y 7.13. .2 5 c) Gráfica 3 d) Gráfica 4 d) x = 5 2 8.1 4 d) x = . . 12.5°? a) .3 3 2 4.23.18. ¿Cuál es la medida del ángulo central AOC si la medi- por la expresión algebraica . . .4n + 5 7.19. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la sucesión 1.4 c) Recto d) Llano D a) y = 3.22. .3.7. 27.5.6x Material para apoyo del docente prohibida A C d) y = 1. .27. … b) 47° B c) 7.11.7.Material para apoyo delbloque Evaluación: docente 4 prohibida su reproducción parcial o total Secundaria: ___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊ Subraya en cada caso la respuesta correcta. .2x c) y = 3.2 50.12.2 14. 1. … a) Aproximadamente a 35° b) . Valor de la incógnita en la ecuación 5x + 4 = 2x + 1: 8 Gráfica 2 su reproducción parcial o total 7 a) x = 3 6 Gráfica 3 b) x = 0 5 Gráfica 1 c) x = . .2x b) y = 7. . . ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la sucesión .5x? 0 2 4 6 8 10 12 a) a) y = 6x + 6 Valores para x 0 3 4 6 10 b) y = .10 plano? c) 1n .5 2 3 5 medio de Antonio? c) a) 8.4.5x + 6 b) Valores para x 0 3 4 6 10 11.0 d) Valores para x 0 3 4 6 10 Valores para y 0 10 6 4 3 Material para apoyo del docente prohibida 168 su reproducción parcial o total .58 13.8. 22.18.2.6 c) y = 0.5 b) 8. ¿Qué valores asumirá la variable y en la tabla si la 12.9 d) .3 y 7 14. Valores para y 0 1.0 Valores para y 0 2 4 5 6 d) 8. . . 25% y 5%.50 y .25 Valores para x 0 3 4 6 10 b) 8.18. 18. 10. .14.5n .3n . . . 54 y 62 d) 9. . 10.6 Valores para y 0 4. . 6. .6.26.Material para apoyo del docente prohibida 9.6.75 c) 9. 15. .5 representa a la gráfica contenida en el siguiente b) 2n .…? 10.75 a) 2.5x . 20%.2. 7 y 10.38. .25 c) 8. ¿Cuál de las siguientes tablas contiene a los valores que son consecuencia de haber empleado la 0 x expresión y = 1.10. Antonio obtuvo las siguientes calificaciones en su segunda evaluación: 8. 26 y 30 c) 2. Considerando la información del planteamiento anterior su reproducción parcial o total expresión algebraica que modela a una situación de y que a cada valor se le asignó respectivamente variación lineal es y = .0 b) 2. ¿Cuál es la media ponderada de los datos? Valores para x 0 2 5 7 10 13 15 Valores para y a) 8.0.6x .27 d) 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas a) . 30.22 y .5 6 9 15 d) y = −0.4x + 2? un peso: 50%. ¿Cuál es el pro. . ¿Cuál es la medida del ángulo inscrito ABC si la medida del ángulo ADC es igual 110°? 6 5 a) 65° b) 75° Material para apoyo del docente prohibida 4 c) 55° 3 d) 45° su reproducción parcial o total 2 1 15. 42. 22. sectores y coronas cartesiano. Material para apoyo del docente prohibida circulares.René Descartes dad teórica. teó de manera formal la van.Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 5 su reproducción parcial o total • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática Competencias que se favorecen: • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Eje Contenido Tema Sentido numérico y pensamiento 1 Patrones y ecuaciones algebraico 2 3 Figuras y cuerpos Forma. A este perso- elementos del círculo. arcos de una del empleo del término circunferencia. como: ángulos naje debemos el honor inscritos y centrales. espacio y medida 4 Medida 5 Proporcionalidad y funciones Manejo de la información 6 7 Nociones de probabilidad Evaluación Material para apoyo del docente prohibida 169 su reproducción parcial o total . • Explica la relación que existe entre la su reproducción parcial o total probabilidad frecuencial y la probabili. Fue un filósofo y mate- mático que mediante un • Construye figuras simétricas respecto sistema de coordena- de un eje e identifica las propiedades das rectangulares plan- de la figura original que se conser. idea de resolver proble- mas geométricos con • Resuelve problemas que implican ayuda del lenguaje al- determinar la medida de diversos gebraico. y = 2 Verificando para la ecuación 2: ( Primera 2x + 4y = 10 Verificando para la ecuación 1: Segunda . a) Cuando x = 1 e y = 1 en 5x + 3y = 8 y 6x + 2y = 8 Son equivalentes 5 (1) + 3 (1) = 8 6 (1) + 2 (1) = 8 Material para apoyo del docente prohibida 5+3=8 8=8 6+2=8 8=8 su reproducción parcial o total b) Cuando x = 2 e y = 4 en 3x + 3y = 18 y 6x + y = 15 No son equivalentes 3 (2) + 3 (4) = 18 6 (2) + (4) = 15 6 + 12 = 18 12 + 4 = 15 18 = 18 16 ≠ 15 c) Cuando x = 2 e y = 4 en 7x + 5y = 34 y 3x + 8y = 38 Son equivalentes 7 (2) + 5 (4) = 34 3 (2) + 8 (4) = 38 14 + 20 = 34 6 + 32 = 38 34 = 34 38 = 38 Material para apoyo del docente prohibida 170 su reproducción parcial o total . se dice que son equivalentes.1 ¿Son equivalentes? Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas forman un sistema de ecuaciones de 2 × 2.x + 5y = 9 2 (1) + 4 (2) = 10 .Material paraTema: apoyo Patronesdel docente prohibida y ecuaciones su reproducción Contenido 1 parcial o total 1. Si estas dos ecuaciones tienen la misma solución. Por ejemplo: La solución de ambas ecuaciones es x = 1.1 + 10 = 9 10 = 10 9=9 ◊ En cada uno de los casos.(1) + 5 (2) = 9 2 + 8 = 10 . verifica si las ecuaciones son equivalentes según los valores proporcionados. Material para apoyo del docente prohibida 1. 1. su reproducción parcial o total ( Primera 2x + 3y = 8 ( Primera 2x + 3y = 8 Segunda . Se multiplica la segunda ecuación por el valor 2. Material para apoyo del docente prohibida 171 su reproducción parcial o total . Ecuaciones 2. se multiplican los miembros de una ecuación o de ambas por un valor que genere ecuaciones equivalentes.3 (2) 3 .2x + 4y = 6 3.Material para apoyo del docente prohibida 1 1 d) Cuando x = 2 y y = 2 en 5x + 3y = 4 y 10x + 8y = 9 su reproducción parcial o total Son equivalentes 5` 2 j + 3` 2 j = 4 10 ` 2 j + 8 ` 2 j = 9 1 1 1 1 5 3 10 8 2 + 2 =4 2 + 2 =9 8 18 2 =4 2 =9 4=4 9=9 Se denomina solución del sistema de 2 ecuaciones lineales a la pareja de números que satisface a ambas ecuacio- nes del sistema.2 (2) x= 2 x= -1 y=2 8-6 3-4 x= 2 x= -1 2 -1 x= 2 x= -1 x= 1 x= 1 La solución del sistema es x = 1 y y = 2. es necesario igualar los coeficientes y lograr signos contrarios de una misma incógnita en las dos ecuaciones que intervienen. Para hallar esas soluciones. Se sustituye el valor de y en cualquiera de las ecua- ciones originales. igualación y sustitución.2 Por eliminación El método de solución de un sistema de 2 × 2 por eliminación (suma y resta) consiste en eliminar una incógnita por medio de la adición o la sustracción.2x + 4y = 6 Ecuación 1 Ecuación 2 0 + 7y = 14 8 . Para ello. existen varios métodos como el de eliminación. pero ya despejadas con el fin de obtener el valor de x: 2x + 3y = 8 + . 4. es decir. Se resta o se suman ambas ecuaciones.2y x= 2 x= -1 14 y= 7 8 .3y 3 .x + 2y = 3 Segunda . que se ajusten a las condiciones ya descritas. 5 .3 3-2 Material para apoyo del docente prohibida -3 y = -9 x= x= 1 2 2 su reproducción parcial o total 1 y= 3 c) ( 2x + 8y = 32 Sustituyendo el valor de x en la 5x + 2y = 26 primera ecuación despejada: Multiplicando la segunda ecuación por .9y = .20x .8y = .3 + 6x + 9y = 6 x= 1 2 y= 3 0 .11 11x + 0 = 13 3 13 55 .6` 3 j Se multiplicó la primera ecuación por 1 .y = 8 52 y = 5 .Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.16y = 10 x=3 .21 x = -7 Material para apoyo del docente prohibida y=2 x =3 172 su reproducción parcial o total .26 .13 .2x y= 8 32 .6x .36 Sustituyendo el valor de y en la primera ecuación despejada: Se multiplicó la primera ecuación por .14x + 3y = .18y = .5 .14x + 3y = .18x + 0 = .104 32 .5 .9 6 3.8y x= -7 14x .2 (4) x=4 2x + 8y = 32 y= 8 + .26 y = .18 y= 8 x=4 y= 3 d) ( .13y = .8 y= y=3 .y = 8 Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación despejada: y = 5 .36 x = -7 0 .8 (2) + .3 y se sumaron las ecuaciones: 1 x= 2 x= 2 . su reproducción parcial o total a) ( 4x + y = 5 7x .4 ` 11 j 4x + y = 5 13 13 x = 11 + 7x .72 24 x = .2 y se sumaron las ecuaciones: .16 y=2 x = -7 .7x + 8y = .5 .4 y se sumaron las ecuaciones: 32 .52 y = 11 x = 11 y= 11 3 y = 11 b) ( 2x + 6y = 3 Sustituyendo el valor de x en la 6x + 9y = 6 primera ecuación despejada: 3 .4x y = 5 .72 8 . 3y = .13y = .Material para apoyo del 1. a) ( 4x + 3y = 12 3x + 5y = 20 Despejando x en ambas ecuaciones. 22 .1 + 3y) 22 .y 3 = 4 x= 3 4 (22 . Igualando las ecuaciones se tiene: Sustituyendo el valor y Ecuación 1: Ecuación 2: 12 .36 x= 4 11y = 44 0 x= 4 44 y = 11 x=0 y=4 Material para apoyo del docente prohibida 173 su reproducción parcial o total .91 su reproducción parcial o total y = .4y . Se igualan las expresiones que resultaron de hacer 4. Ecuación 1 Ecuación 2 Primera ecuación ( 3x + y = 22 Segunda ecuación 4x .y 4x = .4y = .1 3x = 22 .91 x=5 .1 + 3y x= x= 4 3 3. ecuación despejada para averiguar el valor de x.9y = 80 .1 + 3y 22 . Ecuaciones 2. Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.5y x=0 x= 4 x= 3 3 (12 .9y + 20y = 80 .3 Por docente prohibida igualación su reproducción parcial o total El método denominado de igualación también ayuda a determinar la solución de un sistema de ecuaciones de 2 × 2. ◊ Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.1 + 3y 22 .y) = 3 (.3 (4) x= 4 36 . Se sustituye el valor de y en la primera o segunda el despeje para obtener el valor de y.3y 20 .1 3x + y = 22 4x .5y) 12 .88 15 Material para apoyo del docente prohibida x= 3 .3y = .12 .3 + 9y .y .9y = .20y y=4 12 .(7) x= 3 88 .3y) = 4 (20 .3 .3y 20 .y .5y en la primera ecuación 4 = 3 que está despejada. 1.13 y=7 La solución del sistema es x = 5 y y = 7. 12 . 4y + 6y = 18 .4 ` 3 j 1 32 x= 3 su reproducción parcial o total 2 ^ 12 .3 ( 2 ) x= 2 6 (10 .40 = . se tiene: Sustituyendo el valor de y en la primera Material para apoyo del docente prohibida 12 .6y ecuación que está despejada.3 1 y= 3 24 .5y h 24 .3y 20 .8y x= 2 60 . 10 .5y + 8y 36 .18y = 40 .4 x= 3 1 = 3y 32 1 x= 3 3 =y d) ( 2 x + 3 y = 10 Despejando x en Ecuación 1: Ecuación 2: 6x + 4y = 20 ambas ecuaciones. se tiene: Sustituyendo el valor y en la primera 12 . se tiene: Sustituyendo el valor y en la primera ecuación que está despejada.Material para apoyo del docente prohibida Despejando x en Ecuación 1: Ecuación 2: b) ( x + 4y = 12 su reproducción parcial o total ambas ecuaciones.5y x= 4 12 .3y) = 2 (20 .4y x= 2 x= 6 Al igualar las ecuaciones. x=0 .4y = 18 . 10 .5y x = 12 − 4y x= 2 Al igualar las ecuaciones.4y) 10 .8y = 23 .4y h = 1 ^ 23 .23 = .4y x=2 2 = 6 10 . x + 6y = 18 x = 12 − 4y x = 18 − 6y Al igualar las ecuaciones.4y 1 = 23 .6 y=2 60 . x= 12 .8y + 18y 4 x= 2 20 = 10y x= 2 20 10 = y 2=y Material para apoyo del docente prohibida 174 su reproducción parcial o total .3y 20 .5y 2 ecuación que está despejada.12 x = 12 − 4 (3) 2y = 6 x = 12 − 12 x=0 y=3 6 y= 2 y=3 c) ( x + 4y = 12 Despejando x en Ecuación 1: Ecuación 2: 2x + 5y = 23 ambas ecuaciones. 23 . x + y = 11 a) * 1 2x+y = 7 Despejando y de la primera ecuación.10x = 780 . Se sustituye el valor de x en la ecuación despejada.20x = 780 .42 y = 18 10x + 20 (60 .10 Material para apoyo del docente prohibida x = 42 su reproducción parcial o total La solución del sistema de ecuaciones es x = 42 y y = 18.2 x = 7 .x) = 780 10x + 1200 .4 Pordel docente prohibida sustitución su reproducción parcial o total El método por sustitución consiste en despejar una de las variables de cualquiera de las ecuaciones para después sustituir la expresión resultante en la ecuación no despejada.420 .Material para apoyo 1. Sustituyendo y = 11 − x Sustituyendo el valor de x en la Ecuación resultante: en la segunda ecuación.1200 .x 1 y = 11 − x 2x+y = 7 y = 11 − 8 1 ^ h y=3 2 x + 11 .x 10x + 20y = 780 y = 60 . en la segunda ecuación. y = 60 .10x = .420 x = .11 y=3 1 . ◊ Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.2 x =-4 -4 x= 1 -2 x=8 Material para apoyo del docente prohibida 175 su reproducción parcial o total .x = 7 1 . Por ejemplo. Ecuaciones 2.x 3. se despeja la variable y de la primera ecuación.x = 7 1 x=8 2 x + 11 . ecuación despejada y = 11 . Se sustituye la expresión y = 60 .x 4. Primera ecuación ( x + y = 60 Expresión resultante: Segunda ecuación 10x + 20y = 780 x + y = 60 y = 60 . 1. ecuación despejada.21 1.5y = 1.5y 0.5 0.5y = . .13 x=1 y=2 1 .13 x = .13y ecuación que está despejada.13 .5y = .13 x = 3 − 1y x=1 7 (3 .1y) + 2 y = 8 1 1 d) * 7x + 2 y = 8 21 .25 y = -5 y=5 c) ( 3x + 3y = 6 Despejando y de la Ecuación resultante: . Material para apoyo del docente prohibida .0.x h = 11 y = 2-x y = 2-1 x=1 .x + 12 ^ 2 .13 2 x = 3 − 1 (2) 1 x=3−2 21 .12x = 11 su reproducción parcial o total .13x + 24 = 11 .x en Sustituyendo el valor x en la la segunda ecuación.3 = 2-x Sustituyendo y = 2 .7y + 2 y = 8 .1y .2y) + y = .24 y=1 y=1 .26 y = .14y + 1y 2 = .2y en Sustituyendo el valor x en la la segunda ecuación.13 1 .10 x = 5 − 2 (5) y=5 x = 5 − 10 15 .x + 24 .13x = .6y + y = . 6 .5 = 3 . 3x + y = .7y + 2 y = 8 .5 .13 x=1 1 7 (3 .13 Material para apoyo del docente prohibida .10 x = 5 − 2y 3 (5 .13 y = .13 176 su reproducción parcial o total 2 .5 1 .25 .x + 12y = 11 primera ecuación.Material para apoyo del docente prohibida Despejando x de la Ecuación resultante: b) ( x + 2y = 5 x = 5 .0.13x = 11 .5y x= 0.5 = 0. 1.2y su reproducción parcial o total primera ecuación.21 y=2 .13 Sustituyendo x = 3 − 1y 2 Sustituyendo el valor y en la primera en la primera ecuación.7y + 2xyde Despejando = 8la Ecuación resultante: segunda ecuación.7y + 2 y = 8 .14y + 1y = .13 y=2 . ecuación despejada.5x + 0. x =-5 3x + y = .13y 2 = .5 .13 .3x 6 3x y= 3 = 3 .1y) + 2 y = 8 y = .26 y = .10 Sustituyendo x = 5 .10 . 2 = .10 x = −5 .15 . 125 en la ecuación despejada. Primera ecuación ( x + y = 25 Despejando y de ambas ecuaciones. entre ellos. se despejan las ecuaciones en términos de la variable y. 10 15 10 10 15 que no son más que la solución del 15 10 15 0 10 sistema: y = 25 . y después verificarán la respuesta.00 y Valeria pagó un total de $145. Cada paquete de galletas cuesta $9.2x 35 El par de coorde- 0 25 0 30 30 nadas que repre- senta al punto de 25 5 20 5 20 intersección de las 20 rectas es (5.2x y x y x y y = 30 .x) = 145 9x + 125 .5x = 145 Sustituyendo el valor de x 9x .2x Asignando valores Asignando valores a a x en y = 25 . Valeria compró 5 paquetes de 4x = 20 galletas y 20 paquetes de malva- y = 25 − x 20 viscos.x y = 30 . a)Valeria fue al supermercado y adquirió varios productos.5 Profundiza su reproducción parcial o total ◊ Cada hilera o fila que se forma en su grupo ocupará un método distinto para solucionar el siguiente problema se- gún lo determine el profesor.1 Punto de intersección El punto de intersección entre dos rectas que representan a un sistema de ecuaciones forma un par de coordena- das (x.x 5 x=5 y = 20 20 5 20 . x= 4 y = 25 − 5 y = 20 Material para apoyo del docente prohibida x=5 Tema: Patrones y ecuaciones su reproducción parcial Contenido 2 o total 2. fueron en total 25 paquetes. Segunda ecuación 2x + y = 30 y = 25 . 20). para después asignar valores a x y construir las gráficas.00. Se sustituye y = 25 − x en la segunda ecuación.20 177 su reproducción parcial o total .00. varios paquetes de galletas y unos cuantos paquetes de malvaviscos.10 0 x Material para apoyo del docente prohibida 25 0 25 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 . cada paquete de malvaviscos tiene un precio de $5.Material para apoyo del docente prohibida 1. ¿Cuántos paquetes de galletas y de malvaviscos compró Valeria? Primera ( x + y = 25 Segunda 9x + 5y = 145 Despejando la variable y de la primera ecuación. x + y = 25 y = 25 − x 9x + 5y = 145 9x + 5 (25 . y) que son la solución del sistema. Para obtener las gráficas.5x = 145 .x x en y = 30 . Material para apoyo del docente prohibida ◊ Determina el punto de coordenadas donde intersecan las rectas así como la solución del sistema.8x 5 2 0 x x y x y 2 3 4 −1 0 1 5 6 7 0 7 -2 0 5.6 1 4 1 4 -4 2 1 2 2.4 -6 3 -2 3 0.4 Coordenadas del punto de intersección: (1. su reproducción parcial o total a) Primera ecuación Segunda ecuación ( 6x + 2y = 14 8x + 5y = 28 y 8 Asignando valores a x Asignando valores a x 6 en la primera ecuación en la segunda ecuación 4 despejada y = 7 .5 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 Coordenadas del punto de intersección: (4.0.1 x 12 2 10 x y x y 8 0 14 0 4 6 1 11 1 3.2. 4) Solución del sistema: x = 1 y y = 4 Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Primera ecuación Segunda ecuación *1 3x + y = 14 2x+y = 4 y 16 Asignando valores a x Asignando valores a x en la primera ecuación en la segunda ecuación 14 despejada y = 14 . 2) Solución del sistema: x = 4 y y = 2 Material para apoyo del docente prohibida 178 su reproducción parcial o total .8 5 -8 5 .5 2 4 8 2 3 3 5 3 2.3x despejada y = 4 .3x despejada y = 28 .8 -8 4 -5 4 .5 2 4 2 4 2 0 x 5 -1 5 1. ¿de qué 4 números se trata? 3 • ¿Cuál es el par de coordenadas que tiene el punto de intersección entre las rectas? 2 No existe ningún punto en común entre las 1 rectas. Material para apoyo del docente prohibida b) Un número más otro número diferente del primero suman 11. las rectas resultantes están encimadas. son rectas paralelas. y Primera x . 2 veces el primer número menos Segunda 2x . 0 x • ¿Qué clase de rectas son las que trazaste? −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 Rectas paralelas. Ecuación lineal en función de y en la que su pendiente es 2 y la ordenada al origen es 4. Al representar 2 ecuaciones lineales en función de y en un plano. pero diferente ordenada al origen. 8 • ¿Qué características tienen las rectas que trazaste? 6 Son rectas que están sobrepuestas.Material para apoyo del docente prohibida 2. Caso distinto sucede cuando 2 ecuaciones lineales en función de y tienen la misma pendiente y la misma ordenada al origen. −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 −2 Hay infinidad de números que cumplen con la condición. ( a) Un número menos 4 veces otro número es igual a 2. y = 2x + 4 Material para apoyo del docente prohibida Pendiente Ordenada al origen 179 su reproducción parcial o total . se puede observar que las rectas resultantes que tienen la misma pendiente.8y = 6 8 veces el segundo número es igual a 6. 2 veces el primer nú.2 Problemas ◊ su reproducción parcial o total Resuelve los siguientes planteamientos y contesta las preguntas.4y = 2 del mismo modo. del mismo modo. y ( mero más 2 veces el segundo número dan 22. No existen números que cumplan la condición. 4 • ¿Qué significa que las rectas tengan infinidad 2 de puntos en común en relación con la situación planteada? 0 x Que el problema tiene infinidad de soluciones. ¿de Primera x + y = 11 su reproducción parcial o total 16 qué números se trata? Segunda 2x + 2y = 22 14 • ¿Cuál es el par de coordenadas que tiene el punto de intersección entre las rectas? 12 Las rectas tienen infinidad de pares de coorde- 10 nadas en común. −1 • ¿Qué significa que las rectas no tengan algún −2 punto en común respecto al planteamiento −3 presentado? Que no existen tales números que cumplan con -4 la condición descrita. que es B´. la distancia que hay de cualquier punto de la figura original a los puntos homólogos. 8). que es el valor que asume y: 0 x Material para apoyo del docente prohibida 24 y= 3 =8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 su reproducción parcial Tema: Figuras y cuerpos o total Contenido 3 3. rombos.3 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Abril y Débora rentaron 3 películas de acción y compraron unas palomitas por un costo total de $80. cuadrados y rectángulos N La simetría axial es una transformación geométrica. en la figura. A A´ logo.1 Triángulos isósceles y equiláteros. en relación con la recta N. por 30 lo que el precio de la renta de 20 cada película es de 24 pesos. que B B´ es eje de simetría. También la distancia de un punto de la figura original y C C´ su homólogo al eje de simetría es la misma. que respecto a una recta.00. • ¿Cuánto se pagó por la renta de cada película? • ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las rectas si es que existe? Primera ecuación 3x + y = 80 Segunda ecuación * y= 3 x y 90 Despejando las ecuaciones se 80 tiene: 70 Primera ecuación y = 80 − 3x 60 Segunda ecuación y = x 50 3 40 Las coordenadas de los puntos de intersección son (24. Por ejemplo. Material para apoyo del docente prohibida 180 su reproducción parcial o total . Además. el punto B está asociado con su homólogo. El costo de las palomitas representa una tercera parte del precio de una película. asocia cada punto con su homó. En tanto que el precio de las 10 palomitas es de 8 pesos. es la misma.Material para apoyo del docente prohibida 2. a)su reproducción parcial o total N A´ A D´ D B´ B C´ C b) N D´ D Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total A´ C´ C A B´ B c) N D D´ A A´ C C´ B B´ Material para apoyo del docente prohibida 181 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida ◊ Construye una figura simétrica en cada uno de los casos. Material para apoyo del docente prohibida d) N su reproducción parcial o total A A´ B B´ C C´ e) N B´ B Material para apoyo del docente prohibida C´ C su reproducción parcial o total A´ A Los segmentos que unen a los vértices de la figura original con los vértices de la figura homóloga son perpendicula- res con el eje de simetría formando un ángulo de 90°.2 Otras figuras ◊ Construye una figura simétrica para cada uno de los casos. podrás cerciorarte de que tienen las mismas y que los ángulos mantienen la misma magnitud. 3. a) N A A´ B B´ D D´ Material para apoyo del docente prohibidaC C´ 182 su reproducción parcial o total . Además. si mides los lados de las figuras originales y los comparas respectivamente con las medidas de la figura resultante u homóloga. Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total N B B´ A A´ C C´ D D´ c) N A´ A B´ B H´ H Material para apoyo del docente prohibida C´ G´ G C su reproducción parcial o total D´ D F´ F E´ E 3. se sugieren las siguientes figuras.3 Profundiza ◊ Construye 3 cuadriláteros que se distingan por tener un único eje de simetría. Material para apoyo del docente prohibida A manera de ejemplo. 183 su reproducción parcial o total . b) ¿Cuál es la medida angular del arco AC? su reproducción parcial o total La medida angular del arco es igual a 130°. Considérese que la circunferencia con centro en O tiene un diámetro de 10 cm. se mide en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. 4. c) ¿Cuál es la medida angular del arco AB? La medida angular del arco es igual a 180°. Material para apoyo del docente prohibida 184 su reproducción parcial o total . r D = (3.36 cm.36 cm 360 % La longitud del arco es aproximadamente igual a 4.14 y que se quiere saber la longitud del arco % CB . 31. C a = 50 % d c b= 65° b B % a = 50 c= 65° f O A d= 25° f= 25° g= 130° a) ¿Cuál es la medida angular del arco CB? Material para apoyo del docente prohibida La medida angular del arco es igual a 50°.1 Medida de los arcos ◊ Determina la medida de los ángulos que a continuación se indican y responde las preguntas. Para determinar la longitud de un arco cualquiera en una circunferencia. primero se determina la longitud de la circunferencia. Para hacerlo. que r = 3.Material para apoyo del docente prohibida Tema: Medida su reproducción Contenido 4 parcial o total 4. Ten en cuenta que O es el centro de la circunferencia.4 cm) (50 %) x= .4 cm Finalmente se establece una regla de 3 para resolverla y hallar la longitud del arco.4 cm 360° x 50° (31.14) (10 cm) = 31. 14 y que el ángulo BHIG mide 43°. r D = (3. el área de un sector circular que pertenece a un círculo cuya área es de 78 cm2 y que los radios que lo limitan forman un ángulo de 45°. se procede de la siguiente manera.14 La medida del ángulo x.98 cm) (86 %) x= .25 cm b) Determina la medida del ángulo BBDC así como la longitud del arco que forma este ángulo.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes planteamientos. su reproducción parcial o total % a) Determina la longitud del arco GH teniendo en cuenta que la distancia que hay de F a G representa el radio de la circunferencia que mide 3.56 cm Estableciendo regla de tres para averiguar la longitud del A arco que forma el ángulo BBDC . 9.75 cm 2 360 % Material para apoyo del docente prohibida 185 su reproducción parcial o total .98 cm G Estableciendo regla de tres y resolviendo. que es inscrito.25 cm 360 % I % Por lo que GH ≈ 5.14) (7 cm) = 21. 78 cm2 360° x 45° 45° (78 cm 2) (45 %) x= = 9. es igual a 135° porque la medida del arco que forma a este ángulo es de 270°. Para calcular.98 cm 360° F x 86° (21. Material para apoyo del docente prohibida C x D Longitud de la circunferencia. que r = 3. su reproducción parcial o total a = 90 % B r D = (3.14) (4 cm) = 12. Ten en cuenta que el radio de la circunferencia es igual a 2 cm y que r = 3.56 cm 360° m 270° (12.42 cm 360 % 4.5 cm.2 Sector circular Un sector circular es la parte de un círculo que se encuentra limitada por 2 radios y un arco. 21. por ejem- plo. H Longitud de la circunferencia.56 cm) (270 %) m= . 12. Se establece una regla de tres para resolver y hallar el área del sector. 5. r = 3.14 y el radio de la circunferencia es igual a 2. 4. para calcular el área del sector circular se emplea la expresión A SC = en la que r r 2 representa 360 % al área del círculo y a. r = 3.14) (2.625 cm 2) (66 %) x= .5 cm)2 = 19.56 cm 2 360 % rr 2 a En general. El área del círculo es igual a (3.14) (4 cm)2 = 50. se resta el área del círculo pequeño al área del círculo grande.5 cm (19.24 cm 2) (90 %) x= = 12.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes planteamientos. su reproducción parcial o total a) Determina el área del sector circular considerando que el arco que lo forma es de 66°. 3. R El área del círculo grande: r R 2 El área del círculo pequeño: r r 2 r Área del sector circular: r R 2 − r r 2 Material para apoyo del docente prohibida 186 su reproducción parcial o total . 66° 19. Para hallar el área de una corona circular. su reproducción parcial o total 90° 50. la amplitud del ángulo conocida.625 cm2 Se establece una regla de tres para resolverla y hallar el área del sector.14 y el radio de la circunferencia es igual a 4 cm.59 cm 2 360 % b) Halla el área del sector circular considerando que el arco que lo forma tiene una medida de 90°.5 cm. El área del círculo es igual a (3.24 cm2 Material para apoyo del docente prohibida Se establece una regla de tres para resolverla y hallar el área r = 4 cm del sector.3 Corona circular Una corona circular es la porción del plano limitado por 2 circunferencias de diferentes radios que son concéntricas.625 cm2 360° x 66° r = 2.24 cm2 x 360° 90° (50. R repre- senta el radio del círculo mayor y r el radio del círculo pequeño. 28. ¿cuál es la diferencia numérica entre la longitud de R y r? Determinación del valor de r.Material para apoyo del docente prohibida ◊ Resuelve los siguientes planteamientos. como la que se muestra a continuación. si se sabe que el área total del círculo más grande es igual 314 cm2 y que r = 3.14 = r 2 & 49 cm 2 = r 2 & 49 cm 2 = r & 7 cm = r r R Determinación del valor de R. que es el más pequeño.(3.14. tiene un área igual a 153.86 cm2.24 m2 Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) El área del círculo sombreado.24 m2 Los comerciantes pueden usar un área de 50. 10 cm − 7 cm = 3 cm Material para apoyo del docente prohibida 187 su reproducción parcial o total .26 m2 R=5m r=3m = 50.5 m2 .r r 2 Área del sector circular =(3.14 = R & 100 cm = R & 100 cm 2 = R & 10 cm = R Diferencia numérica entre la longitud R y r.(3.86 cm 2 = (3. 314 cm 2 314 cm 2 = (3.14) (R 2) & 2 2 2 3.14) (25 m2) .14) (5 m)2 . ¿Cuál es el área que los comerciantes pueden utilizar? Asume que r = 3.14) (3 m)2 = (3. Área del sector circular: r R 2 . 153.14. su reproducción parcial o total a) A varios comerciantes se les autorizó ocupar una parte de la zona circular (parte sombreada).14) (r 2) & 3.86 cm 2 153.14) (9 m2) = 78. 84 F D = 3.14) (9 cm 2) (120 %) su reproducción parcial o total 3391.84 cm C D 105 % Luego. Por otra parte.Material para apoyo del docente prohibida 4.1 Lectura de gráficas ◊ Contesta las preguntas con base en la información que proporciona cada gráfica.14 = 6 cm ` r = 3 cm Lo que significa que el perímetro del polígono regular es igual a 18 cm. 25 • ¿Cuál es el importe que se pagará por hablar en celu- 20 lar por 6 minutos? 15 30 pesos.14) (3 cm) 2 (120 %) (3.14) (D) = 18.84 18.495) (360 %) x= = 18.495 cm. el radio de la circunferencia es igual a 3 cm. la medida de los ángulos interiores de un hexágono es igual a Material para apoyo del docente prohibida 120° por lo que el área del sector circular en cuestión es igual a 9. (3.42 cm 2 360 360 360 Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 5 5.42 cm2. Considerando que π = 3.20 cm 2 A SC = % = % = = 9.14: a) ¿Cuál es perímetro del polígono regular que se forma? b) ¿Cuál es el área del sector circular que se encuentra limitado por los radios CD y CF? E Resolviendo la regla de tres se halla la longitud de la circunferencia. (3. a) Importe por minuto • ¿Qué precio pagará una persona por hablar en celular 1 minuto? 30 5 pesos. x 360° 5.495 cm 105° (5.4 Profundiza ◊ su reproducción parcial o total Los puntos E. C y D forman un ángulo cuya amplitud es de 105° y un arco que tiene de longitud 5. Importe ($) 10 • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la gráfica? 5 0 Minutos y = 5x Material para apoyo del docente prohibida 0 1 2 3 4 5 6 188 su reproducción parcial o total . • ¿Cuántos litros de agua contiene la cisterna antes de su reproducción parcial o total abrir la llave? Litros 800 250 litros. 6 1 13 a) y = 5x + 5 b) y = 4 x c) y = 2 x + 1 d) y = 3x + 5 y y Material para apoyo del docente prohibida c) 7 d) 14 su reproducción parcial o total 6 12 5 10 4 8 3 6 2 4 1 2 0 x 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y y a) b) 28 7 24 6 20 5 16 4 12 3 8 2 4 1 0 x 0 x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Material para apoyo del docente prohibida 189 su reproducción parcial o total .Material para apoyo del docente prohibida b) Agua contenida en una cisterna conforme se llena. • ¿Cuántos litros de agua se distribuyen en un minuto al 600 abrir la llave? 10 litros 400 • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la gráfica? 200 y = 10x + 250 0 Minutos 0 1 2 3 4 5 6 ◊ Asocia cada expresión algebraica con la gráfica que le corresponde. Distancia 350 • ¿Cuántos segundos pasaron para posicionarse 4 metros después de su punto de partida? 300 250 Tardó 2 segundos. 14400 • ¿Cuál es el par de coordenadas que corresponden al corte de la gráfica con el eje de las ordenadas? 9600 (0.Material para5. 200 • ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde con la gráfica que obtuviste? 150 y = 2x + 30 100 • ¿Cuántos segundos tendrán que transcurrir para 50 que el nadador se coloque en la posición de los 2 metros si se sabe que inició su trayectoria desde 0 0 metros y recorrió el mismo número de metros en 0 50 100 150 200 250 300 igual tiempo? Segundos Material para apoyo del docente prohibida Un segundo. 28800) 4800 • ¿Cuál es el par de coordenadas donde cortará la 0 gráfica con el eje de las abscisas? 0 1 2 3 4 5 6 7 Meses (12. • Representa gráficamente la situación descrita en el plano.00 y gastó cada mes $2400. 0) • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la situación descrita? y = .2apoyo del Construcción docente prohibida de gráficas ◊ su reproducción parcial o total Lee cada planteamiento y contesta las preguntas.2400x + 28 800 Material para apoyo del docente prohibida 190 su reproducción parcial o total . • ¿Cuánto dinero resta de la cantidad destinada para Gasto ($) el área de papelería al final de los 3 meses? 33600 Restan $21 600.00.00 28800 • ¿Qué sucede con los valores de y cuando se asig- nan valores a x? 24000 19200 Los valores de y decrecen. b) C su reproducción parcial o total onstruye una gráfica en la que se observen los gastos generados por una empresa que anualmente dispuso para el área de papelería $28 800. a) Una persona que nada 100 metros cada 50 segundos partió desde los 30 metros. En las expresiones del tipo y = mx + b con las cuales has venido tratando. Recta 4 30 Recta 1 20 Las rectas 1 y 2 son crecientes. en la recta 1 el valor de b es −10. Identifica lo siguiente: y a) Si la recta es creciente o decreciente. el corte que hace la gráfica con el eje de las abscisas? su reproducción parcial o total El número de meses que pasaron para que el dinero que destinó la empresa al área de papelería fuera gastado. el corte que hace la gráfica con el eje de las ordenadas? El dinero que destinó la empresa para las compras de papelería. 10 Por otra parte.Material para apoyo del docente prohibida • ¿Qué significa. 18000 16000 b) Una cisterna contiene 10 000 litros de agua y a medida que pasa el tiempo ésta se vacía de ma. Finalmente. en el problema planteado. m representa la pendiente de la recta y b es el punto de intersección con el eje de las y. x −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 en la recta 2 el valor es 0. Recta 3 40 b) El valor de b en la expresión algebraica y. • ¿Qué significa. 12000 10000 8000 Material para apoyo del docente prohibida 6000 4000 su reproducción parcial o total 2000 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 minutos 5. En cambio. a) Una cisterna contiene 10 000 litros de agua y a Litros medida que pasa el tiempo se llena de manera constante a 1000 litros por minuto. lo que indica que ambas rectas son paralelas. las rectas 3 y 4 son decrecientes. en el problema planteado. Recta 2 c) El valor de la pendiente. La recta 3 tiene pendiente –10 y la recta 4 tiene −30 pendiente −5.3 Profundiza ◊ Las siguientes gráficas representan el comportamiento de diferentes fenómenos. 14000 nera constante 1000 litros por minuto. ◊ Construye las gráficas que refieren a las siguientes situaciones en el siguiente plano. −40 Material para apoyo del docente prohibida 191 su reproducción parcial o total . en la recta 3 el valor es −10 20 y en la recta 4 el valor es 10. la pendiente de las rectas 1 y 2 es −20 5. . 2) 2 3 (2. 7) 6 8 (6. 4) 4 5 (4.6. 8) 6 9 (6.5) -6 -4 ( . 2) 0 3 (0. 0) -2 1 ( . 4) 2 5 (2. 6) 4 7 (4.4) -4 -3 ( . .6. . 9) y Material para apoyo del docente prohibida 10 9 su reproducción parcial o total 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 Material para apoyo del docente prohibida −10 192 su reproducción parcial o total . 6) 6 7 (6.2) -4 -1 ( . 5) 4 6 (4.2. .2.6. . . posteriormente. y) -6 -6 ( . 3) 2 2 (2.1) -2 -2 ( . 7) 6 6 (6. y=x y=x+1 y=x+2 y=x+3 Par de Par de Par de Par de x y coordenadas x y coordenadas x y coordenadas x y coordenadas (x. y) (x.2) -2 -1 ( . 1) 0 0 (0.6. 5) 4 4 (4. construir las gráficas que representan a dichos datos en un mismo plano. 3) 2 4 (2.6) -6 -5 ( .1) -2 0 ( . . 1) 0 2 (0.4) -6 -3 ( . y) (x.2. .4.1 La pendiente (m) es constante y la ordenada al origen (b) varía ◊ Llena los espacios vacíos de las siguientes tablas para. .4. .Material para Tema: apoyo del ydocente Proporcionalidad funciones prohibida su reproducción Contenido 6 parcial o total 6.3) -4 -4 ( .4. y) (x.2.4.3) -4 -2 ( . 0) 0 1 (0. ◊ En el plano cartesiano están representadas las siguientes expresiones. 0). Cuando la pendiente de la recta es positiva. 1). recta 2: (0. pero diferente ordenada al origen. se dice que es creciente. • ¿Cómo sería la representación gráfica de la −6 expresión y = − x − 4 respecto a las rectas que están en el plano? −8 Sería una recta paralela y decreciente.Material para apoyo del docente prohibida • ¿Qué características tienen las gráficas que construiste? su reproducción parcial o total Son rectas paralelas y crecientes. 2 rectas son paralelas cuando no se cruzan en un punto y se caracterizan por que ambas poseen la misma pendiente. • ¿Cómo serán las gráficas al ser construidas si el valor de la pendiente de la recta fuera el mismo y el valor de la ordenada al origen cambiara? Todas las gráficas serán rectas paralelas. Material para apoyo del docente prohibida 193 su reproducción parcial o total . recta 3: (0. recta 4: (0. entonces es decreciente. 8 6 su reproducción parcial o total • ¿Qué parámetro varió en las expresiones alge- braicas para obtener las gráficas representa- das en el plano? 4 2 El parámetro que varió fue la ordenada al origen: b 0 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 • ¿La pendiente de las rectas que aparecen en −2 el plano son positivas o negativas? −4 Son negativas. 3). • ¿Cuáles son las coordenadas del punto en el que cruzan las rectas con el eje de las ordenadas? Recta 1: (0. 2). • ¿Cómo es el valor de la pendiente para cada una de las gráficas construidas? Es la misma. pero si es negativa. En un plano cartesiano. y = -x y = -x + 1 y = -x + 2 y = -x + 3 y = -x + 4 • ¿Qué características tienen las rectas que apa- recen sobre el plano? Material para apoyo del docente prohibida Las rectas son paralelas y decrecientes. 1 y = 2x+2 y=x+2 y = 2x + 2 y = 3x + 2 y = 4x + 2 y • ¿Cómo son las rectas que se observan en el 5 plano cartesiano respecto a su pendiente.2 La pendiente apoyo (m) varía del docente y la ordenada al origen (b) es prohibida constante ◊ su reproducción parcial o total En el plano cartesiano están representadas gráficas que corresponden con las siguientes expresiones algebraicas.2x + 3 y = . 1 • ¿Qué parámetro varió en las expresiones alge. cre- cientes o decrecientes? 6 Todas las rectas son decrecientes. −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −2 • Cómo serán las gráficas al ser construidas si el valor de la pendiente de la recta fuera diferente −4 y el valor de la ordenada al origen se mantuviera constante? −6 Todas las gráficas pasarían por un mismo punto. −2 −3 Material para apoyo del docente prohibida • ¿Qué valor asume el parámetro b en las expre- siones y qué indica gráficamente? −4 su reproducción parcial o total El valor de b en todas las expresiones es 2. 3 • ¿Las rectas tienen pendiente positiva o nega- 2 tiva? Tienen pendiente positiva. 0 x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 braicas para obtener las gráficas representadas en el plano? −1 La pendiente en todos los casos. Material para apoyo del docente prohibida 194 su reproducción parcial o total . 2 tiva? 0 x Tienen pendiente negativa. cre- cientes o decrecientes? 4 Todas las rectas son crecientes. Gráficamente indica el corte que hacen las rectas con el eje de las y. −5 ◊ Las siguientes expresiones están representadas en el plano cartesiano.3x + 2 y = .4x + 2 y • ¿Cómo son las rectas que se observan en el plano cartesiano respecto a su pendiente.2 x + 2 y = -x + 2 y = . 4 • ¿Las rectas tienen pendiente positiva o nega. 1 y =.Material para 6. sin ver. 3. 4. 10) 1) Creciente 8 2) Decreciente 3) Paralela con otra recta 6 4) El valor del término b es igual a cero (5v. naranja. 7) Tema: Nociones de probabilidad Contenido 7 7. 4 0 195 su reproducción parcial o total . 11) (1. (2.2x 2 8) y = 3x .4x + 2 Material para apoyo del docente prohibida −2 −4 su reproducción parcial o total −6 −8 (1.3 Profundiza ◊ Relaciona las diferentes características que se describen con las rectas que aparecen construidas en el plano cartesiano. 8) (2. verde y lila. Para ello. 6. 9) 5) La pendiente es igual a cero 4 6) La pendiente es negativa 7) y = . coloca los números correspondientes en los paréntesis que aparecen junto a las rectas según sea el caso. ¿cuál es la representación gráfica que co- rresponde con la probabilidad teórica 3 4 de cada evento? Teóricamente se puede calcular la 2 Pelota azul probabilidad de todos los resultados 4 Pelota naranja posibles y representarse en una grá. porque el ángulo respecto al eje de las abscisas aumenta su valor. 6. ¿qué sucede gráficamente con la recta? su reproducción parcial o total Se inclina más.Material para apoyo del docente prohibida • A medida que la pendiente asume un valor mayor.3 9) y = 4 0 10) y = 3x + 4 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 11) y = . Las rectas cuya pendiente es diferente pero cuyo parámetro b es el mismo se distinguen por pasar por un mismo punto sobre el eje de las ordenadas. 6. Si 1 se extrae una pelota. 3. Pelota verde fica como la de la derecha teniendo 1 Pelota lila 4 en cuenta que numéricamente cada Material para apoyo del docente prohibida evento tiene una probabilidad de 1 .1 Gráfica de distribución teórica Probabilidad teórica al extraer una pelota de color diferente en una urna En una urna hay 4 pelotas de diferen- te color: azul. su reproducción parcial o total • Representa en una gráfica circular la probabilidad teórica de cada posible resultado? Probabilidad teórica al extraer una pelota de la urna 50% 50% Pelota 1 Pelota 2 Material para apoyo del docente prohibida 196 su reproducción parcial o total . y registrar las veces que salió. 10 veces una pelota. Material para apoyo del docente prohibida • ¿Cuál es la probabilidad teórica expresada en porcentaje que le corresponde a cada posible resultado? Le corresponde un 50%. Cada uno debe extraer. y su reproducción parcial o total regresar. deben sumar el total de veces que obtuvo la pelota 1 y la pelota 2. Integrantes del Veces que se obtuvo Veces que se obtuvo Porcentaje (%) Porcentaje (%) equipo la pelota 1 la pelota 2 Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5 Totales Los valores que llenan los espacios vacíos de la tabla dependen del resultado del experimento. Por otra parte.Material para apoyo del docente prohibida ◊ En equipos de 5 personas. y el porcentaje que le corresponde a cada evento. • ¿Cuál es la probabilidad teórica que le corresponde a cada posible resultado 1 La probabilidad teórica de cada resultado posible es 2 . coloquen en una urna 2 pelotas numeradas con 1 y 2. 1) y agregando que una persona lle- vó a cabo el experimento 40 veces obteniendo 13 veces la pelota color azul.2 apoyo del docente Gráfica de distribución frecuencialprohibida su reproducción parcial o total Considerando el planteamiento descrito al inicio de este contenido (apartado 7. Material para apoyo del docente prohibida Probabilidad frecuencial al extraer una pelota de la urna su reproducción parcial o total Pelota 1 1 27 Los valores obtenidos dependen de los resul- 23 50 Pelota 2 1 50 tados del experimento 2 0 ◊ En equipos de 6 personas. Probabilidad frecuencial al extraer una pelota de color diferente en una urna 1 Si contrastas el comportamiento de la gráfica que refiere a la probabi. 40 9 7 Pelota verde 40 1 40 40 Pelota lila 4 0 ◊ Con base en los datos obtenidos que refieren al experimento de la pelota 1 y 2 tratados en el tema 7. 197 su reproducción parcial o total . La gráfica de distribución frecuencial que representaría a los resultados sería algo como lo que sigue. elabora una gráfica de probabilidad frecuencial en la que aparezca contenida la información recabada en la tabla. 11 la pelota verde y 7 veces la pelota lila. 9 veces la pelota naranja. Frecuencia con Integrantes Frecuencia con Fracción Porcentaje (%) la que no se Fracción Porcentaje (%) del equipo que se encestó encestó Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4 Persona 5 Persona 6 Totales Material para apoyo del docente prohibida Los valores que llenan los espacios vacíos de la tabla dependen del resultado del experimento.Material para 7. podrás darte cuenta de la tendencia que tiene la gráfica de 2 Pelota azul probabilidad frecuencial en relación 4 Pelota naranja 13 11 con la probabilidad teórica. 3 lidad teórica con la que acabas de 4 revisar.1. cada uno de lo integrantes debe intentar 15 veces encestar un balón o pelota en el aro de un tablero y registrar sus resultados en la siguiente tabla. Material para apoyo del docente prohibida • Representa los resultados obtenidos en una gráfica de probabilidad frecuencial. su reproducción parcial o total • Representa la probabilidad numérica de cada evento en una gráfica de probabilidad teórica. Probabilidad frecuencial respecto al lanzamiento de balón o pelota 1 49 Acertados 41 90 Fallidos 1 90 2 0 Los resultados que aparecen representados en la gráfica son un ejemplo de cómo quedarían distribuidos los datos. Probabilidad teórica respecto al lanzamiento de balón o pelota 1 Acertados Fallidos 1 2 0 Material para apoyo ◊ del docente prohibida 7.2 Profundiza En la siguiente gráfica está representada la probabilidad frecuencial que le correspondió a cada posible resul- su reproducción parcial o total tado una vez lanzada una pirinola. • ¿Cuántas veces fue lanzada la pirino- la? Probabilidad frecuencial al lanzar una pirinola Fue lanzada 120 veces. • ¿Qué cara de la pirinola se obtuvo con mayor frecuencia al efectuar todos los lanzamientos? 4 5 Se obtuvo la cara que tiene marca- do el texto “Todos ponen”. 2 Pon 2 3 Toma todo • ¿Qué cara de las pirinola se obtuvo Pon 1 con menor frecuencia al efectuar todos 1 Toma 2 los lanzamientos? 2 Todos ponen Toma 1 Se obtuvo la cara que tiene marca- 1 do el texto “Pon 1”. 3 24 22 21 19 18 120 16 120 120 120 120 120 • ¿Cuál es la probabilidad teórica que re- 1 presenta numéricamente a cada even- 6 to? La probabilidad que le 1 corresponde a cada evento es de 6 Material para apoyo del docente prohibida 198 su reproducción parcial o total Material para apoyo Ejercicios del docente prohibida de reforzamiento 1. su reproducción parcial o total Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de suma y resta. a) 3x + 2y = 12 b) -8x - 3y = 27 x - 2y = 3 -x + 3y = -3 3 ` 4 j + 2y = 12 - 8 ` - 3 j - 3y = 27 3x + 2y = 12 15 - 8x - 3y = 27 8 + + x - 2y = 3 - x + 3y = - 3 45 64 4x = 15 4 + 2y = 12 - 9x = 24 3 - 3y = 27 15 45 24 64 x= 4 2y = 12 - 4 x = -9 - 3y = 27 - 3 3 8 17 2y = 4 x =- - 3y = 3 3 3 17 3 y = 42 y= -3 3 17 y= 8 y =- 9 Material para apoyo del docente prohibida 2. su reproducción parcial o total Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de igualación. a) 4x + 2y = 16 3x - 5y = 7 4x + 2y = 16 3x + 5y = 7 4x = 16 - 2y 3x = 7 - 5y 16 - 2y 7 - 5y x= 4 x= 3 16 - 2y 7 - 5y 4 = 3 3 ^ 16 - 2y h = 4 ^ 7 - 5y h 16 - 2 a - 7 k 10 x= 4 48 - 6y = 28 - 20y 20 -6y + 20y = 28 - 48 16 + 7 x= 4 14y = -20 -20 132 y = 14 7 x= 4 10 y=- 7 132 x= 28 Material para apoyo del docente x= prohibida 33 7 199 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) -10x - 4y = 16 -x - 5y = 18 - 10x - 4y = 16 - x - 5y = 18 - 4y = 16 + 10x - 5y = 18 + x 16 + 10x 18 + x y= -4 y = -5 16 + 10x 18 + x -4 = -5 -5 ^ 16 + 10x h = -4 ^ 18 + x h 18 + a - 23 k 4 - 80 - 50x = 72 - 4x y= -5 - 50x + 4x = -72 + 80 4 18 - 23 - 46x = 8 y= -5 8 410 x = -46 y= - 23 4 5 x = - 23 410 y = -115 Material para apoyo del docente prohibida 82 y = - 23 3. su reproducción parcial o total Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con el método de sustitución. a) 2x + y = 8 b) x + y = 75 x + 10y = 51 6x + y = 145 2x + y = 8 x + y = 75 y = 8 - 2x x = 75 - y x + 10 ^8 - 2xh = 51 y = 8 - 2 a 19 k 6 ^75 - yh + y = 145 29 x = 75 - 61 x + 80 - 20x = 51 450 - 6y + y = 145 x = 14 58 - 19x = 51 - 80 y = 8 - 19 - 6y + y = 145 - 450 - 29 94 x = - 19 y = 19 - 5y =- 305 29 - 305 x = 19 y = -5 y = 61 Material para apoyo del docente prohibida 200 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 4.Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. a) 3x + 2y = 1 x+ y=5 y 16 14 12 10 8 6 4 2 x -16-14-12-10 -8 -6 -4 -2-0 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 Material para apoyo del docente prohibida -16 su reproducción parcial o total b) 3x + 4y = -1 3x + 4y = 8 y 16 14 12 10 8 6 4 2 x -16-14-12-10 -8 -6 -4 -2-0 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 Material para apoyo del docente prohibida 201 su reproducción parcial o total Material para apoyo del docente prohibida c) 2x + 3y = 12 su reproducción parcial o total 4x + 6y = 24 y 16 14 12 10 8 6 4 2 x -16-14-12-10 -8 -6 -4 -2-0 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) x .y = 2 x + 2y = 4 y 16 14 12 10 8 6 4 2 x -16-14-12-10 -8 -6 -4 -2-0 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 Material para apoyo del docente prohibida 202 su reproducción parcial o total . a) b) R R Material para apoyo del docente prohibida c)su reproducción parcial o total d) R R Material para apoyo del docente prohibida 203 su reproducción parcial o total . Traza el simétrico de cada una de las figuras que se te muestran considerando que la recta R es el eje de simetría.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5. Determina el área de las coronas circulares.14 h^ 16 cm h2 .153.803.314 cm 2 = 301.^ 3.14 h^ 20 cm h2 .Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 6.4 cm 2 Área de la corona amarilla: r ^ a + b + c + d + e h2 .14 h^ 14 cm h2 .ra = para ^ 3.14 h^ 14 cm h2 = 803.3.44 cm 2 .14 h^ 16 cm h2 = 1 256 cm 2 .r ^ a + b + c + d h2 = ^ 3. a b c d e 7 cm 3 cm 4 cm 2 cm 4 cm Verde Naranja Azul Amarilla Material r a + b .44 cm 2 = 188.44 cm 2 Área de la corona azul: r ^ a + b + c + d h2 .86 cm = 160.r ^ a + b + c h2 = ^ 3.r ^ a + b h2 = ^ 3.^ 3.84 cm 2 = 452.14 7 cm del docente prohibida h^ h2 ^ h^ h2 su= 314reproducción parcial o total 2 2 2 cm .14 cm Área de la corona naranja: r ^ a + b + c h2 .14 h^ 10 cm h2 = 615.14 10 cm apoyo Área de la corona verde: h2 2 ^ .16 cm 2 Material para apoyo del docente prohibida 204 su reproducción parcial o total .^ 3.615.84 cm 2 . 14 h^ 13 cm h = 40.97 cm h^ 102c h s= 360c = 9.5 cm b) r = 7.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 7.2 cm r = 3.5 cm b) r = 5.97 cm Material para apoyo del docente prohibida ! ^ 40.5 cm h = 346. Determina la longitud del arco considerando la información que se describe en cada uno de los incisos. a) r = 10.14 h^ 10.5 cm h = 32.185 cm 2 A SC = rr 2 = ^ 3.14 ! ! i = 45c i = 51c s=? s=? A B s B s i r O a r A rD = ^ 3.7776 cm 2 h^ 36c h A SC = = 42.82 cm h^ 45c h s= 360c = 5.3115 cm 2 A SC = = 16.14 h^ 10.14 i = 44c i = 36c A SC = ? A SC = ? s r i r i s A SC = rr 2 = ^ 3. a) r = 6.14 r = 3. Determina el área del sector circular considerando la información que se describe en cada uno de los incisos.25 cm r = 3.14 r = 3.2 cm h = 162.14 h^ 7.82 cm rD = ^ 3.185 cm 2 h^ 44c h ^ 162.7776 cm 2 2 2 ^ 346.3415 cm su reproducción parcial o total 8.2776 cm 2 Material para apoyo del docente prohibida 360c 360c 205 su reproducción parcial o total .1025 cm ! ^ 32. 5 -2 -1.30 0. y 1 a) y = 3x+2 3 y= 1 x+2 3 b) y = x .2 2.5 -0.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 9. su reproducción parcial o total Traza en el siguiente espacio rectas que representen a las siguientes expresiones algebraicas.5 -2 y = -x + 2 -2.5 x -3.5 d) y = -5x .25x + 0.25x + 0.5 2 2.5 3 3.5 y = 0.30 -1 -1.5 -1 -0.Identifica cuál de las siguientes expresiones algebraicas se encuentra representada gráficamente en el plano carte- siano colocando la letra dentro del paréntesis correspondiente.5 1 1.5 -3 -2.4 1 e) y = 0. y a) y = -3x-2 ( a ) ( d) 6 b) y = 3x+2 5 c) y = 3x-2 4 3 d) y = -3x+2 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1-0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 Material para apoyo del docente prohibida ( b) ( c) -6 10.5 -3 Material para apoyo del docente prohibida 1 y=x-2 y = 5x - 4 206 su reproducción parcial o total .5-0 0.5 c) y = -x + 2 2 1 1. y 6 5 y = 3x + 2 4 3 y = 3x .Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 11. y y = 4x + 2 6 5 4 y = 5x+2 4 3 y = 2x + 2 2 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Material para apoyo del docente prohibida 207 su reproducción parcial o total . Escribe tres expresiones algebraicas y represéntalas en el siguiente plano cartesiano bajo la consigna de que m sea igual para todos los casos y b sea diferente. Escribe tres expresiones algebraicas y represéntalas en el siguiente plano cartesiano teniendo en cuenta que m sea diferente y b sea igual para todos los casos.1 2 1 y = 3x + 4 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 Material para apoyo del docente prohibida -5 -6 su reproducción parcial o total 12. Ayúdalo a completarla y lleva a cabo las indicaciones que se describen. 4.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 13. 2. Cara marcada Veces que se Porcentaje con el dígito obtuvo la cara 1 18 18% 2 16 16% 3 15 15% 4 20 20% 5 15 15% 6 16 16% a) Representa los valores de la tabla en una gráfica de barras en el siguiente espacio. 5 y 6) 100 veces y registró parte de sus resultados en una tabla como la que se muestra a continuación. 3. Una persona lanzó un dado de 6 caras (marcadas con los dígitos 1. Material para apoyo del docente prohibida Resultados al lanzar 100 veces un dado su reproducción parcial o total 25 1 20 2 15 3 4 10 5 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Material para apoyo del docente prohibida 208 su reproducción parcial o total . Probabilidad frecuencial para cada uno de los eventos 1 5 1 6 4 2 6 3 3 6 4 2 5 6 18 16 15 20 15 16 100 100 100 100 100 100 6 1 6 Material 0 para apoyo del docente prohibida 1 2 3 4 5 6 su reproducción parcial o total c) Representa en una gráfica de barras la probabilidad teórica para cada uno de los eventos.Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Representa la probabilidad frecuencial para cada uno de los eventos en una gráfica de barras. Probabilidad teórica para cada uno de los eventos 1 5 6 1 4 2 6 3 3 6 4 2 5 6 6 1 6 0 Material para apoyo del docente prohibida 1 2 3 4 5 6 209 su reproducción parcial o total . 92 cm b) Aproximadamente 4. 0) c) Par de coordenadas: (1. A C 2x + y = 3 ¿qué par de coordenadas representan la solución del a) Aproximadamente 4.Material para apoyo Evaluación:del docente bloque 5 prohibida su reproducción parcial o total Secundaria: ___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊ Subraya en cada caso la respuesta correcta.68 cm? su reproducción parcial o total a) x = 12. ¿Cuál es el área aproximada del sector circular que tiene como límites a los radios DC y DA si se sabe 2 que el área del círculo es igual 38.8 cm2 −2 d) 13.2.7 cm2 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 b) 12. 2. En el plano cartesiano se encuentran 2 rectas que representan al sistema de ecuaciones ( x+y = 2 . asocia cada punto con su homólogo. que con respecto Segunda . ( c) Primera 3x + 4y = .5) Segunda x+y = 3 b) Primera ( 6x + 4y = . y = 4 b) x = 1. b) Par de coordenadas: (2.90 cm y d) Aproximadamente 4. ¿Cuál es la longitud aproximada del arco que forma Material para apoyo del docente prohibida ecuaciones: ( x + y = 24 2x + 2y = 48 el ángulo AOC si la medida del ángulo ABC es igual a 23. 1.0 cm2 −1 D c) 10. y = 2 B c) El sistema de ecuaciones tiene infinidad de soluciones O d) El sistema de ecuaciones no tiene solución 3. ¿Cuáles son las soluciones del siguiente sistema de 5.2 cm2 A C Material para apoyo del docente prohibida −3 210 su reproducción parcial o total . 1) ( a) Primera 2x + 4y = .5°? Ten en cuenta que la longitud de la circunfe- rencia es igual a 37.4 4.91 cm sistema? c) Aproximadamente 4.x + y = 3 a una recta. Es una transformación geométrica. Par de ecuaciones que son equivalentes teniendo en a) Par de coordenadas: (0.465 cm2 y el ángulo ABC es igual a 55°? 1 B 0 x a) 11. 2) cuenta que x = 2 y y = .93 cm 4 3 6.2 a) Simetría central Segunda 5x + y = 8 b) Simetría axial c) Simetría radial ( d) Primera 5x + y = 8 d) Simetría bilateral Segunda 4x + y = 10 2.4 d) Par de coordenadas: (0. ¿Qué características distinguen a la siguiente recta? 2 y 7 0 x −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 6 −2 5 −4 4 −6 3 2 a) y = .5) su reproducción parcial o total 6 4 10. ¿cuál es el par de coordenadas su reproducción parcial o total el área de la corona circular? que tiene la ordenada al origen? y 10 R 8 r 6 4 2 a) A = r r2 . 6) y es creciente d) La recta tiene pendiente negativa y las coordenadas Material para apoyo del docente prohibida de la ordenada al origen son (0.2R 0 x c) A = r (R2 .Material para apoyo del docente prohibida 7. 1) 8 d) Par de coordenadas: (0.r2 ) −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 −2 d) A = 2 r R2 .¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular 9. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas re- presenta a la gráfica construida en el siguiente plano −6 cartesiano? y a) Par de coordenadas: (0. 2) b) Par de coordenadas: (2. 6) 211 su reproducción parcial o total .2 r r2 −4 8. 2.3x + 2 0 x 0 2 4 6 8 10 12 a) La recta tiene pendiente positiva y es decreciente b) La recta tiene pendiente negativa y es creciente c) La recta tiene como ordenada al origen el par de coordenadas (0.r R2 b) A = 2r . 0) Material para apoyo del docente prohibida 10 c) Par de coordenadas: (1. En la siguiente recta.6x + 4 b) y = 3x + 2 1 c) y = 6x + 4 d) y = . ¿Qué tipo de gráfica se está representando en el siguiente plano? a) Primera ecuación ( 2x + 2y = 20 Segunda ecuación 4x + y = 2 Resultados al lanzar 120 veces una pirinola b) Primera ecuación ( 30 2x + 2y = 20 Segunda ecuación 4x + 4y = 2 25 ( c) Primera ecuación 3x + y = 10 Segunda ecuación 2x + y = 12 20 Pon 2 ( Toma todo d) Primera ecuación x+y = 5 15 Pon 1 Segunda ecuación x+y = 8 Toma 2 Todos ponen 10 Toma 1 5 0 a) Gráfica de frecuencias b) Gráfica de probabilidad teórica c) Gráfica de probabilidad frecuencial Material para apoyo del docente prohibida d) Histograma 212 su reproducción parcial o total . ¿Qué sucede con las rectas a medida que el valor 13.Material para apoyo del docente prohibida 11. ¿Qué sistema de ecuaciones está representado en su reproducción parcial o total de la pendiente va aumentado? el siguiente plano cartesiano? y y 14 10 13 8 12 6 11 4 10 2 9 8 0 x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 7 −2 6 −4 5 −6 4 3 2 a) Las rectas se van inclinando más hacia el eje de las abscisas 1 b) Las rectas se van inclinando más hacia el eje de las Material para apoyo del docente prohibida 0 x ordenadas −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 c) Las rectas se prolongan más −1 d) Las rectas se van acortando su reproducción parcial o total 12. Material para apoyoFormulario del docente prohibida su reproducción Forma Elementos parcial Perímetro o total Área Cuadrado l : Lado P=l+l+l+l A=l2 Rectángulo b: Base P=l+l+l+l A=b×h h: Altura Material para apoyo del docente prohibida Triángulo su reproducción parcial o total b: Base h: Altura P=b+m+n b#h b = Lado 1 A= 2 m: Lado 2 n: Lado 3 Pentágono a: Apotema P#a P = 5b A= b: Base 2 Hexágono a: Apotema P#a P = 6b b: Base A= 2 Material para apoyo del docente prohibida 213 su reproducción parcial o total . Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Forma Círculo Elementos Perímetro Área r = 3.1416 2 d: Diámetro P = d#r A= r#r r: Radio Rombo l : Lado P=l+l+l+l D#d d: Diagonal menor A= 2 D: Diagonal mayor Trapecio Material para apoyo del docente prohibida b = Lado 1 B = Lado 2 n: Lado 3 su reproducción parcial o total o: Lado 4 b: Base menor P=b+B+n+o A= ^B + bh h 2 B: Base mayor h: Altura Material para apoyo del docente prohibida 214 su reproducción parcial o total .