COMPENSACIÓN DE CIRCUITOS DE NIVELACIÓN DE PRECISIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOSPérez Nieto, S. Hernández Saucedo F. R. Profesores-Investigadores del Departamento de Irrigación de la Universidad Autónoma Chapingo. Km 38.5, carretera México-Texcoco. Chapingo, Edo de México. Tel (595) 4-32-22. E-mail:
[email protected] 1. INTRODUCCIÓN 1.1. Consideraciones generales El establecimiento de un Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo (SPLCA), comprende dos etapas, una en la que se define la posición de los Puntos de Control y Apoyo (PCA) en planta mediante los llamados Procedimientos Topográficos de Planimetría, y la otra en la que se determina su elevación o cota siguiendo un Procedimiento Topográfico de Altimetría, mediante la operación de Nivelación o Control Vertical (Pérez, 1995). Ambas etapas deben comprobarse y compensarse antes de efectuar otros cálculos con la información obtenida con ellas. Los Procedimientos Topográficos de Planimetría comúnmente empleados en trabajos topográficos ordinarios son: el de Poligonales (Abiertas o Cerradas), Cuadrícula Rectangular, Triangulación y Trilateración. Independientemente, de cual de estos procedimientos se emplee para la definición de los PCA en planta, su nivelación invariablemente se hace por Nivelación Diferencial. Con el uso actual de instrumentos topográficos modernos, tales como teodolitos, medidores electrónicos de distancias (MED), estaciones totales, niveles automáticos, de precisión y de rayo láser, y los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS), entre otros, las mediciones tanto lineales como angulares y, como consecuencia, el posicionamiento de puntos, pueden hacerse con altas precisiones. No obstante, los errores siempre están presentes y el trabajo de comprobación y distribución de los mismos debe realizarse ineludiblemente. En tales casos deben emplearse preferentemente metodologías acordes a dichas precisiones. En el presente trabajo se sistematiza y generaliza una metodología para la compensación de circuitos de nivelación de precisión empleando la teoría de mínimos cuadrados. La metodología se describe para el caso general en que se compensan n circuitos de manera simultánea y al final se expone un ejemplo en el que se aplica dicha metodología para la compensación simultánea de tres circuitos. 1.2. Comprobación y compensación ordinaria Desde el punto de vista de su comprobación y compensación, en la nivelación se pueden tener uno de dos casos; el primero se presenta cuando se debe determinar la elevación de un PCA a partir de otro de elevación conocida, en cuyo caso, la comprobación puede realizarse haciendo el trabajo en campo por los métodos de "ida y vuelta", "doble altura de aparato" o "doble punto de liga"; en cualquier caso, se tiene de hecho un doble recorrido, por lo que la compensación se hace asignando la mitad del error a cada uno. El otro caso se presenta cuando debe determinarse la cota de varios OBJETIVO Desarrollar de manera sistematizada una metodología para la compensación de circuitos de nivelación de precisión empleando la teoría de mínimos cuadrados y generalizarla. son aquellos que hacen mínima la suma de sus cuadrados. en tal caso. se determina la cota a una serie de PCA o BN intermedios y se regresa al punto de partida o se llega a otro de cota conocida para comprobar. Cuando se regresa al punto de partida se habla de un circuito cerrado. así por ejemplo. a las distancias horizontales o al número de puntos de liga entre cada par consecutivo de PCA en el recorrido. 1. por lo cual. los PCA de cota conocida pueden ser parte de un SPLCA mayor o estar previamente posicionados con GPS. con una combinación de ellos. los PCA establecidos mediante una Poligonal Cerrada o sobre un cuadro principal de Cuadrícula Rectangular se pueden nivelar como circuitos cerrados y los PCA establecidos con una Poligonal Abierta o sobre el trazo de cuadros secundarios en una Cuadrícula Rectangular se nivelan como circuitos abiertos. se pueden definir circuitos para la nivelación de los PCA. Por otra parte. En los circuitos abiertos. Circuitos de nivelación Moffit y Bouchard (1982) y Wolf y Brinker (1994). 1976) 2. se garantiza que las correcciones obtenidas sean las mínimas y más probables. 1995) Aunque los resultados obtenidos de la compensación dependen del criterio de proporcionalidad elegido. . esta teoría puede aplicarse para el cálculo de las correcciones que se le deben asignar a los desniveles.4 Mínimos cuadrados La teoría de mínimos cuadrados establece que los valores más probables de los errores accidentales que ocurren en cualquier tipo de mediciones. y la distribución del error se hace proporcionalmente a los desniveles. por otra parte.puntos intermedios localizados entre dos de cota conocida. por ejemplo.3. coinciden en definir como un Circuito de Nivelación al Trabajo Topográfico de Nivelación en el que se parte de un PCA o de un Banco de Nivel (BN) de cota conocida. la comprobación se hace calculando la diferencia entre la cota de llegada y la previamente conocida para el punto final. 1. en tanto que cuando se llega a otro distinto se tiene un circuito abierto. (Pérez. de modo que sea aplicable a los PCA establecidos por cualquier Procedimiento Topográfico de Planimetría y que posibilite la elaboración de un programa de computadora para la realización de los cálculos. partiendo del supuesto de que en un trabajo de nivelación dado se han eliminado los errores sistemáticos y las equivocaciones o errores gruesos. (Kissam. éstos son adecuados para los trabajos que no requieren de altas precisiones. En cualquiera de los cuatro Procedimientos Topográficos de Planimetría. Con la aplicación de la teoría de mínimos cuadrados. los PCA establecidos con Triangulación o Trilateración se pueden nivelar como circuitos cerrados o abiertos o bien. (Hernández y Pérez. Cuando los PCA que conforman el circuito se establecen mediante Poligonales. 1989) . si se hace el trabajo de nivelación en campo por el método de los tres hilos. tal como se ilustra en la figura 1 para la compensación simultánea de los circuitos "El Olivar". debido a que las distancias entre PCA resultan muy similares y no sería. se deben emplear los desniveles para el cálculo de dicho factor. "San Pedro" y "Xaltepa". misma que puede determinarse con la fórmula de estadia simple. Esquematización de los circuitos de nivelación "El Olivar". ya que es posible la compensación simultánea de n circuitos. "San Pedro"y "Xaltepa". la ubicación de los PCA y un sentido definido para cada circuito de nivelación (indicado con flechas que conectan los PCA).2.3. dado que tanto las distancias como los desniveles resultan heterogéneos. (Pérez. para su compensación simultánea por mínimos cuadrados. Aplicabilidad e información necesaria La metodología es aplicable a cualesquiera circuitos abiertos y/o cerrados o bien a una combinación de ellos. Triangulación o Trilateración. señalando en él. conveniente su empleo. cuando se emplea la distancia para el cálculo del factor de ponderación. 1996).1. e involucrando una ponderación que puede calcularse proporcional a la distancia horizontal o al desnivel entre los PCA o BN consecutivos sobre el circuito de nivelación. La distribución del error se hace con base en la condición que impone la teoría de mínimos cuadrados. Figura 1. Sistematización de la información y obtención de las ecuaciones de condición Primeramente debe hacerse un esquema de conjunto de los n circuitos a compensar simultáneamente. puede emplearse cualquiera de los criterios para el cálculo del factor de ponderación. 3. en tanto que en el caso en que los PCA sean establecidos por Cuadrícula Rectangular (tanto en los cuadros principales como en los secundarios). Evidentemente. DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA 3. ésta ha de ser la correspondiente al recorrido de nivelación. por ello. signos distintos según el circuito en el que se consideren. el error de nivelación para el i-ésimo circuito ENi. se calcula siguiendo el sentido horario con la expresión (3). considerando que cada uno se midió una sola vez en el trabajo de campo. que los desniveles deben asociarse al circuito (denotado por i) al que se involucran. en la que mi es el número de tramos involucrados en el circuito i y DOij es el desnivel correspondiente al j-ésimo tramo del circuito i. dentro del que se denotan por el subíndice j. y por otro. con los subíndices i y j. que puedan tener sentidos diferentes y. de modo que el numerador de la expresión (1) es el promedio de los valores absolutos de los desniveles y el de la expresión (2) es el correspondiente para las distancias horizontales entre tramos. Por lo anterior. El subíndice k. denotados por el subíndice k. por lo tanto. sin embargo. los tramos se designan en orden progresivo de 1 a m en el sistema. como consecuencia. dado que para fines de comprobación los circuitos deben cerrarse. y siguiendo el sentido horario. El factor de ponderación fk para cada tramo se obtiene de la expresión (1). Ello se debe a que. es el número total de tramos en el sistema. es necesario además asignar lo que denominaremos como Signo de Circuito (Sij) a cada tramo en todos los circuitos. se registran. 2 y 3 los son a los circuitos "El Olivar" y "San Pedro" y los tramos 15 y 16 a los circuitos "San Pedro" y "Xaltepa" en la figura 1). si se emplean los desniveles para su cálculo o de la expresión (2) si se emplean las distancias para tal fin.En un cuadro se registran los desniveles observados DOk calculados a partir de los datos de campo. asimismo cuando sea el caso. las distancias horizontales Lk. lo que implica. para cada tramo de los circuitos. En ambas expresiones m. por un lado. en un primer momento. una con un sólo subíndice k y otra binomial. debe tenerse clara la asociación entre el k-ésimo tramo del sistema y el j-ésimo tramo del circuito i. mi ENi = (3) Es importante aquí hacer notar que se usa una doble notación para la denominación de los desniveles DO (y después para las correcciones C y los desniveles compensados DC) de los tramos del sistema. denota el número consecutivo de tramos en todo el sistema de circuitos. 1. 1 m 1 m (2) m m (1) fk = fk = Partiendo del PCA de cota conocida o del BN de partida para cada circuito. con base en la siguiente convención: partiendo del PCA de cota conocida o del BN en cada circuito. algunos tramos resultan comunes a dos circuitos contiguos (como los tramos. asignándoles signo positivo si el terreno sube en el sentido del circuito de nivelación o negativo en el caso contrario. se asigna signo positivo a los . para finalmente obtener un sistema de igual número de ecuaciones normales que de incógnitas (los multiplicadores de Lagrange). m 3. se multiplican por un multiplicador de Lagrange λi. Es evidente que el número de ecuaciones de condición del tipo (4). en la cual se denota a las correcciones C con el subíndice k. pues corresponden a las que se definen para cada tramo. es igual al número n de circuitos de nivelación en el sistema. la cual permite transformar un problema de máximos y mínimos con restricciones. tal situación se puede resolver aplicando la Técnica de Multiplicadores de Lagrange. consiste en los siguientes pasos: a) Cada una de las n ecuaciones de condición del tipo (4).3. Obtención de la función a optimizar (5) De lo expresado en el inciso anterior. aplicada al problema que se discute. que puede resolverse por cualquier método conocido. Denotando por Cij a la corrección correspondiente al desnivel del j-ésimo tramo del circuito i. se tiene un problema de optimización de la función (5) sujeta a las restricciones impuestas por las n ecuaciones de condición del tipo (4). 1996 y Protter y Morrey. es claro que se tienen n+1 ecuaciones para un total de m incógnitas Ck. de la teoría de mínimos cuadrados. correlacionando las variables originales con otras variables intermedias (que son precisamente los Multiplicadores de Lagrange). Por otra parte. lo que matemáticamente y en términos de las correcciones Ck se expresa por la ecuación (5). se tiene que la suma de los cuadrados de los errores Ek debe ser un mínimo. independientemente del circuito al que pertenezcan. a otro de máximos y mínimos libres (sin restricciones). con lo que se obtienen n ecuaciones de la forma: λ b) expresión (6) (5). por lo que en principio el sistema es insoluble. (Hernández y Pérez. debe ser el Signo de Circuito correspondiente.tramos en que éste coincida con el sentido del recorrido de nivelación y signo negativo a los tramos en que ello no ocurra. se establece para cada circuito una ecuación de condición de la forma siguiente: mi ENi + (4) El signo aquí considerado para las correcciones Cij. se multiplica por su respectivo factor de ponderación Cada Ck en la . Esta técnica. sin embargo. debido a que en realidad. 1969). siguiente: F c) (7) Se obtiene la función Ufk. De la sustitución de los valores de los λi en las ecuaciones correspondientes. México (Pérez. en Chapingo. se obtienen los valores de la correcciones Ck. se obtienen m ecuaciones de correlación. una para cada Ck en términos de los multiplicadores de Lagrange λi.Ck a minimizar formada por la suma de la funcion Ffk. 1989). resultan de la suma de desnivel observado (DOij) y la corrección correspondiente. de correlación f) g) Los valores de las correcciones (Cij) asociadas a cada circuito difieren solamente en signo respecto a la Ck correspondiente y se obtiene de multiplicar el Ck y el Signo de Circuito (Sij) respectivo. matemáticamente: Cij = Sij×Ck (10) Debe ser claro que el número de correcciones Cij será mayor al número de correcciones Ck en el número de tramos comunes en el sistema.j = Ck y Ci+1.λi. Como ejemplo.Ck (7) y las n ecuaciones (6). resulta un sistema de n ecuaciones normales de primer grado con n incógnitas que son los n multiplicadores de Lagrange λi. en las ecuaciones de condición originales (4). se aplica en (11) .Ck.λi. h) Por supuesto. EJEMPLO DE APLICACIÓN La metodología expuesta en el presente trabajo ha sido validada con su aplicación a la compensación de diversos circuitos de nivelación. expresión (11).Ck.j = -Ck si los circuitos i e i+1 son contiguos. DCij = DOij + Cij 4. más aún. es decir que. cuya solución arroja sus valores. con respecto a cada corrección Ck. los desniveles compensados en cada circuito DCij. asignado al principio del trabajo de compensación.fk obteniéndose la función F fk. es decir: U λ λ (8) d) Derivando la función Ufk. Ci. Cij = CCk. en particular en la nivelación de todos los PCA establecidos por Triangulación de Precisión para el levantamiento 178 ha de los terrenos de la Universidad Autónoma Chapingo. esto es: Ck = Cλi (9) e) Sustituyendo las ecuaciones de correlación (9). 40338C192 + 1. se tiene que las correcciones (Ck) para todos los tramos del circuito 1 tendrán signo negativo (S1j = ...4.0.C15 + C17 + C18 + C19 + C20 + C21 + C22 + C23 = 0 y la función Ffk.C9 .. el número de tramos del circuito 1 es m1 = 9. se exponen los datos y el valor del factor de ponderación.63398C52 + 0.13677C102 + 0. El circuito 1. El trabajo se realizó con el nivel de precisión WILD N3. S2j = + para j = 1. S3j = para j = 1 y 2 y S3j = + para j = 3.10. se anotan las longitudes Lk de los tramos y. De la ecuación (3). "San Pedro" (circuito 2) y "Xaltepa" (circuito 3).C5 .27042C72 + 2.33494C152 + 0.96170C42 + 0.9. De acuerdo con la convención establecida para la asignación del Signo de Circuito. el error de nivelación para los circuitos 1.12566C202 + 1. EN2 = +0. que permite lecturas de nivelación con aproximación hasta la quinta cifra decimal de metro y por el Método de los Tres Hilos para el conocimiento de las distancias horizontales. De lo anterior. se registran los desniveles observados para cada tramo como resultado de la nivelación (DOk). y esquematizado en la figura 1 (n = 3). se niveló partiendo del PCA P y se llegó al mismo BN..03373 . DOk (3) CORRECCIONES Ck (4) LONGITUD Lk (5) FACTOR DE PONDERAC.01832. calculados con la expresión (2). . OBSERV. En la columna 1 se denomina a los tramos según los PCA entre los que se localizan en el sistema y de acuerdo al valor del subíndice k. generados en el levantamiento referido.01003 + C1 + C2 + C3 + C10 + C11 + C12 + C13 + C14 + C15 + C16= 0 +0.29999C82 + 1. 2.77537C162 + 1.56549C122 + 1.. en tanto que para el circuito 3..C2 . para el ejemplo es como sigue: F fk. En el cuadro 1. y para el circuito 3 es m3 = 9. son: . se niveló partiendo del BN y regresando al mismo. (15) (12) (13) (14) Cuadro 1. En la figura.C8 .03373 m. las ecuaciones de condición en términos de las Ck para los circuitos 1. El sistema tiene un total de m = 23 tramos.Ck = 1. fk .para j = 1.62084C132 + 0.C16 .C6 .41387C12 + 1. y EN3 = +0.seguida a la compensación simultánea de los circuitos de nivelación "El Olivar" (circuito 1). se tabulan los factores de ponderación fk.08332C222 + 0.09293C172 + 0.C3 . el circuito 3.C1 = 0 +0.C4 . las flechas que unen los PCA indican el sentido del circuito de nivelación.01003. en la columna 4.. respectivamente.01886 . la nivelación del circuito 2. partió del PCA F y se llegó al BN.70566C142 + 1.C7 . en la columna 2.. 2.78088C22 + 0..28590C212 + 1. 9). 2 y 3.Ck (7).90371C32 + 0.. por último. para el circuito 2.. en la columna 5. 2 y 3 respectivamente son: EN1 = -0.97677C62 + 1.53516C232 = mínimo.85692C112 + 1. análogamente. la columna 3 se ocupa para designar las correcciones en el sistema (Ck).16491C92 + 1. para el circuito 2 es m2 = 10.48551C182 + 1. distancias medidas y factores de ponderación para todos los tramos del sistema (1) TRAMOS POR PCA k (2) DESNIV. Desniveles observados. de modo que es un circuito cerrado. 41387C12 + 1.1.96170C42 + 0.40 148.11648 .) 1.27042 2.03763 . +2λ2 y -2λ3.78088C22 + 0.Ck.97295 .87271 +4.BN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 +8.20 169.11848 .38 206.0.48410 -11.50 198.78088 0.76817 .48551 1.47 375. sumándolas con la función Ffk.2.29999 1.04356 +8.26874 .08332 0.78 293.64426 .H H-G G-F F-E E-D D-C C-B B-A A .26 208.51430 -12. (13) y (14). que se debe optimizar: Ufk.20 227.48 341.45 233.2.53516 Multiplicando por los multiplicadores de Lagrange -2λ1.Ck (15).03969 +1.19 275.68721 +1.0.40338 1.00225 +3.BN F-T T-S S-R R-Q Q-P P-O O .62274 +0.69498 .28590 1.62084 0.43 545.33494 0.09293 0.73 188.58 495.39053 +6.5.BN P-N N-M M-L L-K K-J J-I I .03233 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18 C19 C20 C21 C22 C23 (m) 187.9.10 (adim.8.25 163.90371C32 + 0.56 115.08 309.96170 0.41387 1.93 271.77214 .56549 1.Ck =1. se obtiene la función Ufk.85692 1.λi.05 244.63398 0.λi.72 242.63398C52 + . las ecuaciones de condición (12).12566 1.5.97677 1.77537 1.16491 1.13677 0.70562 1.90371 0.80 235.(m) BN . respectivamente y luego.0.17651 +2.5.42562 .58121 +1.41731 .51 417. 001949470.9. para ser: λ1 = 0. (13) y (14).2λ 3C 20 .2.40338C192 + 1.02006λ2 + 2λ2C1 + 2λ2C2 + 2λ2C3 + 2λ2C10 + 2λ2C11 + 2λ2C12 + 2λ2C13 + 2λ2C14 + 2λ2C15 + 2λ2C16 .56549C122 + 1. se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales: 8.0.08332C222 + 0.2λ 3C 19 .2λ 3C 18 . (13) y (14) se satisfacen sin error.01003 = .53516C232 + 0.03881λ2 + 10.71257λ3 C20 = 0.28971(λ2 + λ3) C17 = 0. en las ecuaciones de correlación correspondientes.85692C112 + 1.09666λ1 + 2.77537C 162 + 1.λ 3C 21 .0.05969λ3 C19 = 0.88837λ3 C21 = 0.56152(λ2 + λ1) C3 = -1.004023030. . las ecuaciones de condición (12).0.000487040 y λ3 = .2.29999C82 + 1.16697λ2 C12 = -0. resultan las siguientes 23 ecuaciones de correlación: C1 = -0.92309λ3 C23 = 1.2λ3C 23 = mínimo (16) Derivando (16) con respecto a cada Cij.13677C102 + 0. y despejándolas de las expresiones que se obtienen.63878λ2 (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) C13 = -0.18377λ3 = + 0.78714λ1 C8 = -0.74910(λ2 + λ3) C16 = -1. Sustituyendo estos valores.13375λ2 . lo que se muestra en el último renglón del cuadro 2. λ2 = 0.2λ3C22 .16491C92 + 1.43478λ1 C9 = -0.41719λ2 C15 = -0.57734λ1 C6 = -1.09293C 172 + 0.03772λ3 + 2λ3C16 + 2λ 3C 15 . Los valores de las correcciones para cada circuito Cij.03983λ1 C5 = -1.06746λ1 + 2λ1C9 + 2λ1C8 + 2λ1C7 + 2λ1C6 + 2λ1C5 + 2λ1C4 + 2λ1C3 + 2λ1C2 + 2λ1C1 + 0.2λ 3C 17 .37535λ1 .01886 (40) (41) (42) cuya solución simultánea proporciona los valores de los multiplicadores de Lagrange.70562C142 + 1.12566C202 + 1.77767λ3 C22 = 0.37535λ2 .03881λ3 + 2.0.0.10655(λ2 + λ1) C4 = -1.02378λ1 C7 = -0. Con los valores de Ck.48551C182 + 1.28590C212 + 1.86860λ3 (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) Sustituyendo ahora las ecuaciones de correlación anteriores en las ecuaciones de condición (12).87969λ2 C11 = -1.27042C72 + 2.61696λ2 C14 = -1.03373 = .97677C62 + 1.85844λ1 C10 = -0.33494C152 + 0.62084C132 + 0.91497λ3 C18 = 2.70728(λ2 + λ1) C2 = -0. se obtienen los valores de las correcciones Ck mostrados en la columna 2 del cuadro 2. resultan de aplicar la expresión (10) y se consignan en la columna (3) del mismo cuadro. Cuadro 2.00069 + 0.0.00253 .00635 .00635 + 0.00031 .00110 + 0.0.0.00317 .00189 .0.00499 .00178 .03373 0.00000 .00317 + 0.00253 .0.0.00139 .00253 + 0.00175 + 0.0.0.0.0.00345 .00043 .00139 .00180 .00499 + 0.00364 + 0.0.0.00173 .0.00000 .00173 .0. se obtienen los .00030 .00175 .00319 + 0.00499 .00412 .0.00178 .0.0.00057 .0.0.00319 .0.00189 .01003 + 0.0.01886 0.00418 .00057 .00152 .00418 + 0. Valores de circuito Cij (1) TRAMO k las correcciones para todos los tramos del sistema C k y para cada (2) CORRECCION Ck (3) CORRECCIONES POR CIRCUITO Cij CIRCUITO 1 C1i CIRCUITO 2 C2j CIRCUITO 3 C3j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 mi .0.0.0.0.00030 .0.00110 + 0.00031 .01887 + 0.00189 .0.0.0.0.0.00364 + 0.00412 + 0.00402 .00001 ENi COMPROBACIÓN Aplicando las correcciones obtenidas para cada desnivel asociadas a cada circuito.03373 .0.00069 + 0.0.0.00152 .00402 .0.0.00319 .0.00180 .0.01003 0.0.00345 .0.0.00043 .00110 . desniveles corregidos HCij aplicando la expresión (11).00253 -0.00319 +0.00069 +0.99906 0. Cuadro 3.00031 -0.64469 -5.58151 +1. TRAMO (2j) 1 2 3 10 11 12 13 14 15 16 DO2j C2j DC2j ZC2j 100.55858 116.26476 109.03969 +1. 4 y 5 respectivamente.26805 -8.39053 -8.97264 -5. que es el que se siguió para el cálculo del error de nivelación. como las cotas corregidas se calculan siguiendo el sentido horario.68721 +12.87096 +2.70687 96.00225 +3. en los que además se calculan las cotas corregidas de los PCA.00175 +0.38800 +6.00345 +0.57783 93.38800 -7.00499 -0.52065 -2.55858 111.00000 Cuadro 4.41621 -1.53281 101.01002 +7.00499 +0.51785 120.00057 -0.26874 -8.69038 +12.39725 108.38706 107.47992 -6.03373 -4.03850 117.99906 111.00000 BN A B C D E F G H BN A B C D E F G H BN SUMAS -4.00412 +0.91389 111.00043 -0.04026 +1. Nótese en estos cálculos que tanto los desniveles corregidas.00030 -0.11848 +0.00319 -0.00189 -0.87363 113. P.11659 +0.17651 -0.17651 -3. esto se hace para los ciscuitos 1. P. Para el ejemplo.99906 +3.01003 -0.17152 -3.17152 -0.42217 -1.00253 +0.87271 +2.12060 +11. TRAMO (1j) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 DO1j C1j DC1j ZC1j 100.41731 -1.00317 +0.11660 100.48410 -6. 2 y 3 en los cuadros 3. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 2 ASan Pedro@ EST. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 1 AEl Olivar@ EST.V.00110 +0.00001 BN H G F T S R Q P O BN H G F T S R Q P O BN SUMAS +8.00418 +0.00635 +0.58121 +1.64426 -5.03373 +0.11648 +11.V.84627 108.00225 -0.00000 107.42562 -1.39053 +6.00001 .51430 -2.00000 95.97295 -5.38706 117.99906 100. 00402 -0.97131 100. además.03763 -0.V.00364 -9. y cerrando en el BN. la metodología aquí generalizada es aplicable independientemente del Procedimiento Topográfico que se emplee para el establecimiento en planta del Sistema de Puntos y Líneas de Control y Apoyo. lo cual es particularmente recomendable para trabajos de alta precisión y con la ventaja adicional de poder compensar n circuitos simultáneamente.00178 -0. la teoría de mínimos cuadrados con sus ventajas intrínsecas.04356 +8.53280 99.00173 -0. La sistematización y generalización de la metodología presentada.A diferencia del circuito 2.75889 93.62274 +0. Cuadro 5. (lo cual no es necesario).98669 91.00152 -0. Cálculo de desniveles y cotas corregidas para el Circuito 3 AXaltepa@ EST. que el error es igual a la suma de las correcciones con signo contrario. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Como conclusión general del presente trabajo se puede referir que. enseguida se calculan desniveles y cotas corregidas para el circuito 3.69498 -0. para verificar el cierre. esta tarea será motivo en un trabajo próximo es esta temática. P N M L K J I BN TRAMO (3j) 17 18 19 20 21 22 23 DO3j C3j DC3j ZC3j 109.03915 -0. pues su ejecución manual es muy laboriosa.76817 -2.69325 -0. para el cáclculo de desniveles y de cotas corregidas. y se regresa al mismo para mostrar el cierre.04536 +8.00139 -0. si los recorridos se manejan como circuitos.77219 -2.77392 -5. P. puede aplicarse a la compensación de Puntos de Control y Apoyo en trabajos de nivelación topográfica. posibilita la elaboración de un programa de computadora que agilice la realización de los cálculos. .00000 P N M L K J I -9.77214 -5.01667 91.36257 92.62413 +0.05582 92. lo cual es muy recomendable.02869 5. Por supuesto que esto implica que no se puede mostrar en las sumas.00180 -0.03233 -0. que se parte del BN. partiendo del PCA P que fue de donde se inició el trabajo de nivelación. D. México. y Morrey. Primera edición. Análisis Matemático. P. H. Chapingo. 1996. 1969. Méx. Información básica para la planeación del riego en el Campo Experimental de la Universidad Autónoma Chapingo. Departamento de Suelos de la Universidad Autónoma Chapingo. y Bouchard.E. Chapingo. F.6. México. F. Kissam. 1995. Departamento de Irrigación de la Universidad Autónoma Chapingo. F. Surveying. 1989. En prensa. New York. P. A.A. Pérez Nieto. Hernández Saucedo. S. Triangulación de Precisión y su compensación Planialtimétrica por Mínimos Cuadrados. C. F. México. Fondo Educativo Interamericano. S. Modern Mathematical Editión Bilingua. Seventh Edition.S. Analysis.S. H.A. Topografía para Ingenieros. Protter. U. Topografía Aplicada. H. 1982. M. Harpper & Row Publishers. S. Pérez Nieto. Ninth edition. C. R. 1976. y Brinker. Ed. de C. R. . Dirección de Difusión Cultural de la Universidad Autónoma Chapingo. y Pérez Nieto. Chapingo. LITERATURA CITADA. HarpperCollins College Publishers. Primera edic. Tesis profesional. Wolf. D. C.A. Moffitt. S. Elementary Surveying. U. México. V. New York. R. 1994. McGraw-Hill de México S. C:\CURSOS\TOPOIRRI\DOCUMENTOSVARIOS\EJEM-NIVELAC-MINCUAD.WPD .