RESOLUCIÓN EJERCICIOS DE DEBER COMBINATORIA1. ¿Cuántos equipos diferentes de tres personas pueden originarse si se tienen cinco personas para elegir entre ellas? 5C3=10 2. ¿Cuántas permutaciones de tres elementos se forman con 3 objetos? 3P3=6 3. ¿En cuantas formas diferentes pueden sacarse cuatro cartas (a la vez) de un paquete de 52 cartas? 52C4= 270725 4. ¿Cuántas señales diferentes, cada una de 8 banderas colocadas en línea vertical, pueden formarse con 4 banderas rojas, 3 blancas y una azul? P8/(P4·P3·P1) = 8!/(4!·3!·1!) = 8x7x6x5/(3x2x1x1) = 280 señales diferentes. 5. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: a) Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos? b) Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos? P4.P6.P2.P3= 4!.6!.2!.3!= 207360 6. Calcula el número de formas en que un ejecutivo puede elegir a 3 de 15 empleados para un ascenso. 15C3=15!/3!(15-3)!= 455 Calcula en número de formas en que un capataz puede escoger a 12 de 18 trabajadores para asignarles trabajo en tiempo extra. Calcula en número de formas en que un capataz puede escoger a 12 de 18 trabajadores para asignarles trabajo en tiempo extra. de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? Es una combinación sin repetición donde primero calculamos combinaciones de hombre y luego multiplicamos por comités conformados por mujeres es así que. Entonces la resolución es: nCr= n! donde n=9 y r=4 r ! ( n−r ) ! nCr= 9! =126 maneras 4 ! ( 9−4 ) ! 10. puesto que importa la presencia de cada trabajador. Nc= (7 C 3 )∗(5 C 2) . puesto que importa la presencia de cada trabajador. ¿De cuántas maneras se puede escoger un comité. Entonces la resolución es: nCr= n! donde n=18 y r =12 r ! ( n−r ) ! nCr= 18! =18564 maneras 12! ( 18−12 ) ! 8. Entonces la resolución es: nCr= n! donde n=18 y r =12 r ! ( n−r ) ! nCr= 18! =18564 maneras 12! ( 18−12 ) ! 9. Es una combinación sin repetir. ya que importa la presencia de cada persona. Es una combinación sin repetir. ¿Cuántos comités de 4 personas se pueden formar con 9 personas? Es una combinación sin repetición.7. compuesto de 3 hombres y 2 mujeres. De un total de 5 matemáticos y 7 físicos. se forma un comité de 2 matemáticos y 3 físicos. Donde + es obligatorio y 0 disponibles + + + 0 0 0 0 0 0 0 Entonces la resolución es: nPr= n! donde n=7 y r=5 ( n−r ) ! nPr= 7! =2520 maneras para responder . ¿De cuántas formas puede formarse? Si: . a) ¿Cuántas maneras tiene de seleccionarlas? Es una permutación sin repetición. ( 7−5 ) ! 12. Entonces la resolución es: nPr= n! donde n=10 y r=8 ( n−r ) ! nPr= 10! =1814400 formas de responder ( 10−8 ) ! b) ¿Cuántas maneras de seleccionar tiene si los tres primeros reactivos son obligatorios? Como las tres primeras preguntas son obligatorias nos quedaran disponibles 7 del 10 de las cuales solo podremos responder 5 para completar las 8 necesarias. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 reactivos en un examen. puesto que importa el orden para responder.nCr= n! n! ∗nCr= =¿ r ! ( n−r ) ! r ! ( n−r ) ! 7! ∗5 ! 3 ! ( 7−3 ) ! nCr= =350 maneras 2 ! ( 5−2 ) ! 11. existe variación de n = 7 a n = 6 y de r = 3 a r = 2 c) Dos matemáticos determinados no deben estar en el comité. Si un físico lo dejamos aparte y buscamos los otros dos junto con los dos matemáticos: Nc= (5 C 2 )∗(6C 2) nCr= n! n! ∗nCr= =¿ r ! ( n−r ) ! r ! ( n−r ) ! 5! ∗6 ! 2 ! ( 5−2 ) ! nCr= =150 maneras 2 ! ( 6−2 ) ! NOTA: Como 1 físico se va. primero determinamos los dos matemáticos y luego los tres físicos así tenemos: Nc= (5 C 2 )∗(7 C 3) nCr= n! n! ∗nCr= =¿ r ! ( n−r ) ! r ! ( n−r ) ! 5! ∗7 ! 2 ! ( 5−2 ) ! nCr= =350 maneras 3 ! ( 7−3 ) ! b) Un físico determinado debe pertenecer al comité.a) puede formarlo cualquier matemático y cualquier físico. Si dos matemáticos no van. Esta es una combinación: es decir. los retiramos y elegimos los dos necesarios entre los 3 restantes: Nc= (3 C 2 )∗(7 C 2) nCr= n! n! ∗nCr= =¿ r ! ( n−r ) ! r ! ( n−r ) ! . ¿De cuantas maneras se pueden ordenar tres libros en un librero si se escogen 2 libros a la vez? -3C2+3C3= 4 16. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes ¿Cuántas palabras pueden formarse.3! ∗7 ! 2 ! ( 3−2 ) ! nCr= =105 maneras 2 ! ( 7−2 ) ! 13. Un disco compacto puede ser comprado en cualquiera de las 5 tiendas ¿de cuantas maneras se pueden seleccionar 3 de esas 5 tiendas? -5C3= 10 17. -8C4= 70 18.40P4= 2193360 -40C4= 91390 15. Determine el número de formas en que una persona puede seleccionar cuatro productos de una lista de ocho. que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que las palabras tengan significado. ¿ de cuántas formas diferentes pueden acomodarse en una fila? . dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con un grupo de 40 alumnos tomando equipos de 4 personas? Y ¿Cuántas combinaciones? . Si se tienen tres canicas amarillas. ¿En cuántas formas pueden escogerse cuatro interruptores buenos y dos defectuosos de un lote que contiene 20 interruptores buenos y cinco defectuosos? -20C4*5C2= 48450 19. CCCCCCC VVVVV 7P4*5P3= 50400 14. 2880 ≠ c) 5! + 5! = 10! .Número total de canicas = n = 9 Grupos p = 3 amarillas q = 2 azules r = 4 verdes ¿ formas de acomodarse= n! 9! ¿ formas de acomodarse= p!∙q!∙r ! 3 ! ∙ 2! ∙ 4 ! ¿ formas de acomodarse=1260 20. El Wall Street Journal publica una lista diaria de los 10 valores o títulos más activamente negociables en la American Stock Exchange (Bolsa de Valores Norteamericana).4329 ×1018 . Determinar si cada una de las siguientes expresiones es verdadera o falsa a) 9! = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6! . 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6! = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6! . 18 120 ∙ 24 = 2. en orden de importancia. para la posible compra ¿Cuántas permutaciones habria con tres de los 10 títulos negociados cierto día en dicha bolsa de valores ? Permutacion sin repeticion n= 10 r= 3 ¿ permutaciones= n! 10 ! ¿ permutaciones= (n−r )! (10−7)! ¿ permutaciones=720 21. 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6! . VERDADERO b) 5! ∙ 4! = 20! . 2. FALSO . Un inversionista desea elaborar una lista de tres de estos títulos.4329 ×10 . 6 ∙ 2 = 720 . 1 = 1! 1=1 VERDADERO g) 3! ∙ 2! = 6! .120 + 120 = 3628800 . a) Si es importante el orden de la entrevista. 240 ≠ 3628800 . 8! ¿ FALSO 9∙ 8 ∙7 ∙ 6 ∙ 5∙ 4 ∙3 ∙ 2∙ 1 9 8! = 8! . 5! ¿ 10 ∙ 9 ∙8 ∙ 7 ∙6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3∙ 2 ∙1 2∙ 1 5! ≠ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 FALSO f) ¾ + ¼ = 1! . VERDADERO 22. El representante de un sindicato desea hablar con tres de los 10 trabajadores inmiscuidos en un procedimiento que es motivo de queja. VERDADERO e) 5! = 10! / 2! . 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 56 ∙ 6! = 6! ∙ 56 . ∙ 2 ∙ 1 = 6! ∙ 56 . ¿en cuántas formas puede planear las entrevistas el representante del sindicato? Permutacion sin repeticion . 12 ≠ 720 . FALSO h) 8! = 6! ∙ 56 . d) 8! = 9! / 9. n= 10 r= 3 ¿ permutaciones= n! 10 ! ¿ permutaciones= (n−r )! (10−7)! ¿ permutaciones=720 b) Si no importa el orden de las tres entrevistas. si tres reclutas son infantes de marina. uno es del ejército. Calcula el número de formas en que un ejecutivo puede elegir a 3 de 15 empleados para un ascenso. ¿En cuántas formas pueden alinearse seis reclutas (tomando en cuenta únicamente el uniforme militar)para la ceremonio de izar la bandera. otro es de la naval y el último esta en la fuerza aérea? Número total de reclutas = n = 6 Grupos p = 3 infantes de marina q = 1 ejército . ¿de cuántas maneras puede planear las entrevistas el representante del sindicato? Combinacion sin repeticion n= 10 r= 3 ¿ formas= n! 10 ! ¿ formas= r ! ∙(n−r) ! 3 ! ∙(10−3) ! ¿ formas=120 23. Combinacion sin repeticion n= 15 r= 3 ¿ formas= n! 15 ! ¿ formas= r ! ∙(n−r) ! 3 ! ∙(15−3) ! ¿ formas=455 24. 2)=55 b) C (1. c) ¿Se incluyan ambos focos defectuosos? a) C (2. b) Se incluya el foco defectuoso? En 12 Focos Eléctricos hay 1 defectuoso entonces: a) C (1.1)*C (10. de modo que a) No se incluya el foco defectuoso.1)*C (11. b) Se incluya una de las unidades defectuosas.0)*C (11.1)=10 28.1)=11 27.-Si el productor de un noticiario tiene que escoger tres de siete noticias para trasmitirlas al aire. que incluyen uno defectuoso. entre la docena de focos eléctricos del ejercicio anterior.4)*C(12. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse tres focos.-Una caja contiene una docena de focos eléctricos. ¿En cuántas formas se pueden vender estos valores.0)*C (10. ¿de cuantas maneras diferentes puede ordenar el noticiario? . hay dos unidades defectuosas.r = 1 naval s = 1 fuerza aérea ¿ formas de alinearse= n! 6! ¿ formas de alinearse = p ! ∙ q ! ∙r ! ∙ s ! 3 ! ∙ 1! ∙ 1! ∙ 1 ! ¿ formas de alinearse=120 25. de manera que a) No se incluya ninguno de los focos defectuosos.-Supóngase que.3)=157300 26.3)=120 b) C (2.-Un inversionista desea eliminar siete de las opciones de inversión de su portafolio vendiendo cuatro títulos y tres bonos. ¿En cuántas formas se pueden seleccionar dos focos.2)*C (10. si entre los 25 títulos que hay en el portafolio 13 son acciones y el resto corresponde a los bonos? C(13.2)=90 c) C (2. P (7.Para ordenar se debe utilizar una permutación.5)] [10! / (2! * (8!))]*[10!/(3!*(7!)]* [10 ! / (5! * (5!)8))]* = 2520 FORMAS .2)*C (3..1)=270 31.¿De cuántas maneras diferentes puede seleccionar un archivista cuatro expedientes de un gabinete que contiene 15? C (15. Berta 3 y Clara 5 ? C [(10.2) * (10 .4)=1365 30.-Entre los cursos para la maestría en administración de empresas.3) *(10 . que se ofrecen durante cierto semestre en una universidad. En cuantas formas se puede asignar 10 cartas a 3 mecanografas en una oficina de manera que Ines aga dos cartas.3)=210 29. cuatro de mercadotecnia y tres de computación.2)*C (4. ¿En cuántas formas se puede inscribir un estudiante en dos cursos de contabilidad. se encuentran seis cursos de contabilidad. dos de mercadotecnia y uno de computación? C (6. a.com/2013_05_01_archive.32. ¿de cuantas maneras diferentes un estudiante puede dar una respuesta para cada pregunta?. a) 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 =4096 Pregunta 1 puedes ser: v o f Pregunta 2 puede ser: v o f Pregunta 3 puedes ser: v o f Pregunta 4 puede ser: v o f Pregunta 5 puedes ser: v o f Pregunta 6 puede ser: v o f Pregunta 7 puedes ser: v o f Pregunta 8 puede ser: v o f Pregunta 9 puedes ser: v o f Pregunta 10 puede ser: v o f Pregunta 11 puedes ser: v o f Pregunta 12 puede ser: v o f b) 1x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2=2048 Pregunta 1 es v Pregunta 2 puede ser: v o f Pregunta 3 puedes ser: v o f Pregunta 4 puede ser: v o f Pregunta 5 puedes ser: v o f Pregunta 6 puede ser: v o f Pregunta 7 puedes ser: v o f Pregunta 8 puede ser: v o f Pregunta 9 puedes ser: v o f Pregunta 10 puede ser: v o f Pregunta 11 puedes ser: v o f Pregunta 12 puede ser: v o f http://bachpye.html . b. Sí de antemano el maestro le dice que la primera pregunta es verdadera.blogspot. Si una prueba se compone de 12 preguntas de verdadero-falso. ¿cuántas maneras tiene de contestar esta prueba. ¿De cuantas maneras pueden seleccionarse dos motores y dos conmutadores para un experimento de una antena de rastreo? =COMBINAT (8. 3) = 11!/(3! x 8!) = 165 formas 34. Una caja de 12 baterías recargables. El departamento de suministros tiene ocho diferentes motores eléctricos y cinco diferentes interruptores de arranque. contiene una defectuosa. .33. 3) = 11!/(2! x 9!)= 55 formas b) C (11. de cuantas maneras un inspector puede seleccionar tres de las baterías a) no obtener la defectuosa b) obtener la defectuosa a) C (11.2) [8 ! / (2! * (6!))]*[5!/(2!*(3!)] El resultado es 280 combinaciones.2)* COMBINAT (5.