Coleccion Ingenieria (05)

. . civil. química. sanitaria.“De la colección para estudiantes de ingeniería mecánica. meteorológica y afines” ACMUPT . agrícola. . 6. . 24 2. . . . . . . .3. . Introducción . 25 2. . . .2. . . . . Intervalos. . .2. . .2. Consecuencias del axioma de supremo . . . . . . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponencial y logaritmo de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . .2. . . . . Funciones elementales .10. . . . . . . .4. .8. . . . . . . Funciones reales.11. . . . 24 2. . . . . . . . . . 23 2. . . . .1. . . . . . . . . . . . . . 15 1. . . Funciones circulares o trigonométricas . . . . . . . . 25 2. . . . .6. . . . . . . . . . . . . . El N´ umero Real . . . . . Funciones circulares inversas . . . . . . . Funciones radicales . . . . . . . . . Los conjuntos N. . . . . .7. 18 2. . . . . . . . . . . . . . . . . C cuerpo no ordenado . Funciones trasladadas . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . .9. . . . . Complejo conjugado . . . . . . . . . . 9 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . 26 2. . . . . 24 2. . . . . . . . . . . . . Expresión binómica de un n´ umero complejo. . . . Función exponencial y función logar´ıtmica . . . . Definiciones . . . 12 1. . . . . . . . . . 6 1. . . . . . 10 1. .1. . 21 2. 11 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones polinómicas .2. . . . . . . . . . . . Valor absoluto. . . N´ umeros reales y complejos 5 1. . . . . . . . . . . . . . L´ımites y continuidad 21 2. . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . Conjuntos inductivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones racionales . . . . Forma trigonométrica de un n´ umero complejo . . . . . . . . 13 1. . .8. . . . . . . . 25 2. . . Módulo y argumento. . . . . . . .4. . . . 13 1. . . . .2. . . . . . . . Operaciones. . . . . . Consecuencias de los axiomas . . . . . . Topolog´ıa de la recta real .1. . Introducción de los n´ umeros complejos . . . . . . . . .Índice 1. . . . 5 1. . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . Z y Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . 17 Ejercicios y Problemas . . . . . . .12. . . . 15 1. . . . . Otras funciones .7. . . . . . . . . 26 1 . 8 1. . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . .3. . . . . . . . .1. . . . . 31 3. .7. . . . . . El espacio eucl´ıdeo R n 47 . . . . . 54 4. . . . . . . . . . .4. . . . . Regla de L’Hôpital . . . Teoremas de Rolle y del valor medio . . 37 3. . . . . . . Expresiones del término complementario . 27 2.9. 39 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de varias variables . . . . . 47 4. . 55 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. . . . . . . . Diferenciabilidad . . . . . .2. . . . . 27 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. 38 3. . . . 29 2. . . .5. . . . 41 Ejercicios y Problemas . . . . . Derivadas. . .1. . . . . . . . . . . . L´ımites infinitos en el infinito . . . 27 2. . . . . . . . . . . . 42 4. . . . .8. 30 Ejercicios y Problemas . . . . . . . . . . . . Discontinuidades . . . . . . . . . . . L´ımite de una función . . . . . . . . . . . 36 3. . . . .3. . .4. . . . .2.3. . . . . . . . . . . . . .3. . .6. . . . . . . Discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3. Algebra de derivadas .4. Regla de la cadena . . .4. . . . . . . . . . . . Derivada de la función compuesta y de la función inversa .4. . Derivadas direccionales . . . . . . .3. . . 28 2. . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación al estudio de extremos relativos . . . . . . .5. . . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . Continuidad. . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ´ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . Funciones continuas . . . Funciones con derivada no nula . . . . . . . . . . .4. . . . . . L´ımites en x = a . . . Desarrollo de funciones elementales . . . . .2. 57 4.7. . 28 2. . . 56 4. . . .4. . . . . . . . . . . . 39 3. . . . . . . . . .6. 58 . . . . . . . . . . . . . Polinomio de Taylor 35 3. . . . . .5. . 53 4. . .10. . . L´ımite de una función. . . . Funciones de varias variables reales 4.3. . . . . . . . . . 57 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . 28 2. . . . . . . . . . . 50 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. . Propiedades de las funciones continuas . .1. Derivada de una función . L´ımites laterales . . . .5. . . . . 28 2. 51 4. . . . . . . . . . . . . . Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2. . Continuidad . . . . .5. . . . . La integral definida 81 7. . . . . . . . . . . . 76 6. . . . . . . . . . . . . . . Desarrollos en serie. . . . . . . . . . .6. .7. Sucesiones numéricas . . . . . . Integración de funciones racionales . . . . . . . . Métodos generales de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . Integración en intervalos no compactos . 70 5. . . . . . . . . . . . Vol´ umenes . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . .6. . . Area de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series de términos positivos. .5. 91 7. . . . . . .4. . . Teorema de Leibnitz . . . . . . . . . . .3. . . . . . Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . Las funciones Gamma y Beta . . 87 7. . . . . 85 7. . . . . . . . . . . 90 7. .1. . . . . . . . . . . . . 75 6. . . . . . . 83 7. . Definición y propiedades . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . .ÍNDICE 3 Ejercicios y Problemas . . . . Longitud de arcos de curva. . . . Funciones anal´ıticas . 94 7. . . . . . . . . . . . 89 7.6. . . Radio de convergencia . 73 6. .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6. C´ alculo de primitivas 75 6. . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . .7. . . . .2. . . Teorema fundamental del Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . .3. . . .5. . . 87 7. . . Serie de potencias. . . . . . . 84 7. 67 5. . . . . .2.4. . . Criterios de convergencia . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . 69 5. .2. . . . . . . . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . 61 5. . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . Series: Definiciones y propiedades . . . . . . . Propiedades de las funciones integrables . . . . . . . . 66 5. . . . 70 5. 93 ´ 7. . . . . Integración por sustitución y por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5. .5. . . . . . . . . . . Area de superficies de revolución . . . . . . . 81 7. . . . . . . . . . Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . Integrales impropias . . . . . . . . .4. . . . Definiciones . . . . . . . . . . Integral de Riemann de una función . 65 5. . . . . Funciones integrables . . . . .6. . .1. .2. . . . . . . . . . . . . . . . 95 ´ 7. . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . Series num´ ericas y series de potencias 65 5. . .3. . . . . . . . . . . 71 Ejercicios y Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales reducibles a racionales . . . .1. 79 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series alternadas. . . . . Convergencia absoluta . .3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Ejercicios y Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones de la integral . 96 . . . . . . 86 7. . . . 93 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones f´ısicas . . . . . . . . . . . . .7. . . . . .2. . . . 111 8. . . .2. . . . . 105 8. . . . 116 9. . . Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación matricial de una aplicación lineal . determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 105 8. . . . . . Espacios Vectoriales 119 9. . . . . . 137 Ejercicios y Problemas . . . . . . . . Matrices. . . . 122 9. . . . . Regla de Cramer y Teorema de Rouché-Fröbenius . . . . . . . Matrices . 129 10. . . . . . . . . . . . . Espacios Numéricos . .5. . . . . . . . . . Endomorfismos diagonalizables . . . . . .4 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 7. . . . . . El problema de la clasificación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . Dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . .Aplicaciones lineales 131 10. . Matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . .3. . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . Subespacios vectoriales . . Determinantes. 98 8. . . . . . 125 Ejercicios y Problemas . . 135 10.2. 119 9. . . . . . .3. . . . . . Propiedades del producto de matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . . 107 8. . . . . . . . 110 8. . . . . . . . . . . . . . 134 10. . . . . . . . . . . . . . . 108 8. 96 Ejercicios y Problemas . . . . . . . . . . . .3. . . . . . Autovectores y autovalores . . menores complementarios y adjuntos . . . . . .2. . . . . . . . . . . .2. . . . 108 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 10. . . . . . . . . Inversa de una matriz . . . . . . . . 112 Ejercicios y Problemas . . . . . . 139 . . . . . . . . . . . . .3. . .1. . . . . . . . .2. . . . . . . . . Pero los n´ umeros racionales no sirven para medir todas las longitudes. n ∈ Z. −1. Introducci´ on El Cálculo está basado en el sistema de los n´ umeros reales y sus propiedades. Los n´ umeros reales pueden entenderse como etiquetas para puntos a lo largo de una recta. los griegos demostraron √ que aunque la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos de longitud 1 mide 2. son llamados n´ umeros racionales que los representaremos por Q. 0. 2. Esto nos lleva a considerar cocientes de enteros. A estos n´ umeros se les llamó irracionales y junto con los racionales constituyen el conjunto de los n´ umeros reales R. Los n´ umeros mas “sencillos” de todos son los naturales.Cap´ıtulo 1 N´ umeros reales y complejos 1. 5 . 1. 3. este n´ umero no puede ser representado como cociente de dos naturales. Los n´ umeros que se pueden escribir de la forma m/n. √ Estos son n´ umeros de la forma a + bi donde a y b son reales e i = −1. a ese n´ umero lo llamaremos coordenada del punto.1. recta real. n 6= 0. El sistema de n´ umeros reales pueda ampliarse a´ un más a los n´ umeros complejos. llamado origen y que se etiqueta con el n´ umero 0. · · · } surgen con la necesidad de contar. pero cuando medimos ciertas magnitudes. N = {1.C. luego no es racional. Si le a˜ nadimos sus negativos y el 0 obtenemos los enteros Z = {· · · . · · · }. Como hemos podido comprobar. Alrededor del siglo V a. m. 2. están muy separados unos de otros.. Miden la distancia a un punto previamente fijado O. Cada punto de la recta tiene un u ńico n´ umero real que lo etiqueta. −2. y a la recta coordenada resultante. los enteros son inadecuados. se verifica: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. 1. (x + y) + z = x + (y + z). de los que se estudian en un curso de análisis diferencial e integral.2. 1. x · y = y · x. ∀x. lo que se realizó v´ıa sucesiones (Cantor) o cortaduras (Dedekind). Asociatividad : ∀x. Pero faltaban los cimientos del entramado. ·) y una relaci´ on de orden estricto (<) que verifican los siguientes axiomas: Axiomas de cuerpo. y ∈ R.1. 2. Llamaremos n´ umeros reales a los elementos de un conjunto R. Conmutatividad : ∀x. El N´ umero Real Definici´ on 1. ∀x. es el que presentamos en la presente obra. en esencia. y ∈ R. Posteriormente algunos autores creyeron conveniente dotar al conjunto de los n´ umeros reales de su propio sistema de axiomas. El primer paso fue la fundamentación de los conceptos de n´ umero entero y n´ umero racional tomando a los naturales como punto de partida (Weierstrass en torno a 1860) que es en resumidas cuenta la que todav´ıa usamos. As´ı. . z ∈ R. Hilbert ten´ıa preparado el sistema de axiomas para los n´ umeros reales que. se hizo evidente la necesidad de encontrar una fundamentación aritmética de los n´ umeros reales que sustituyera a la idea geométrica que hasta bien entrado el siglo XIX se ten´ıa de éstos. y. y. en fundamentarse rigurosamente. sobre 1890 ya se ten´ıa una fundamentación rigurosa de los n´ umeros reales basada en la aritmética.2.6 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) El concepto de n´ umero real fue el u ´ltimo. z ∈ R. En los u ´ltimos a˜ nos del siglo XIX. Con la definición rigurosa de los conceptos de l´ımite y de función continua. definir los reales a partir de los racionales. dotado de dos operaciones internas (+. (x · y) · z = x · (y · z). los n´ umeros naturales. unido al hecho del descubrimiento de las geometr´ıas no eucl´ıdeas. Probablemente este hecho es debido a que el concepto de n´ umero real es el que tiene una significación geométrica más clara como punto de una recta o como longitud de un segmento. Parec´ıa lógico pues. Fue Peano en 1889 quien logró dar un sustento lógico a los n´ umeros naturales (que está en vigor en la actualidad) y que era el eslabón que faltaba para culminar en complejo edificio de los n´ umeros reales. x + y = y + x. 2. 7 x · y + x · z = x · (y + z). Axioma de completitud. Si sup A ∈ A . y Axiomas de orden. ´ınfimo y m´ınimo. Elementos simétricos : ∀x ∈ R . 5. dejándose como ejercicio al alumno. Análogamente se definen los conceptos de cota inferior. y ∈ R . Si x < y y z ∈ R . ∃1 ∈ R. decimos que es m´ aximo. entonces x + z < y + z. Tricotom´ıa : ∀x. . Para poder expresar el décimo axioma. decimos que A est´ a acotado superiormente y que x es una cota superior de A. Distributividad : ∀x. Elementos neutros : ∃ 0 ∈ R : ∀x ∈ R se tiene que x + 0 = x. definiremos previamente los conceptos de cota superior. tiene supremo. Definici´ on 1. Si existe x ∈ R tal que a ≤ x . 6. acotado superiormente. si a es cota superior de A entonces sup A ≤ a . 8. El supremo de A se define como la menor de las cotas superiores.2. 4. 7. Notación: Escribiremos x − y por x + (−y) y también x por x · y −1 . Todo subconjunto no vac´ıo de R. entonces x · y > 0.´ NUMEROS REALES Y COMPLEJOS 3. represent´ andolo como máx A. ∀a ∈ A . 1 6= 0 : ∀x ∈ R se tiene 1 · x = x. supremo y m´ aximo. Sea A ⊂ R . y. Si x > 0 e y > 0 . Si x < y e y < z entonces x < z. ∃(−x) ∈ R : x + (−x) = 0 ∀x ∈ R. z ∈ R. 9. es decir. 10. x 6= 0 ∃ x−1 ∈ R : x · x−1 = 1. x < y ó y < x ó y = x. En particular 1 > 0. De los axiomas de orden. (−1) · x = −x. Si x 6= 0 y x · y = x · z . 7. 4. 8. x · (y − z) = x · y − x · z. entonces y = z. x · (−y) = (−x) · y = −(x · y). 10. 9. Si x > y > 0 y z > w > 0 . Si x + y = x + z . Unicidad del 0 y 1. 4.3. o bien x < 0 e y < 0. . Todas estas consecuencias se demuestran a partir de los cinco primeros axiomas. 3. entonces x · z > y · z.8 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 1. Si x · y = 0 . Si x > y y z > 0 . x ∈ R es x2 = x · x > 0. 3. 5. Si x · y > 0 entonces x > 0 e y > 0 . 2. 0 · x = x · 0 = 0. 5. entonces x · z < y · z. entonces x · z > y · w. entonces x = 0 ó y = 0 . entonces y = z. 6. x < 0 ⇐⇒ −x > 0. 1. 1. siendo un ejercicio muy u ´til para el alumno su prueba para familiarizarse con el lenguaje matemático. si x > y y z < 0 . Unicidad de los elementos simétricos. 2. Consecuencias de los axiomas De los axiomas de cuerpo. ∀x 6= 0. −(−x) = x. 4. Si S es un conjunto inductivo de R. b) Si x ∈ S ⇒ x + 1 ∈ S.4 (Principio de inducción). Teorema 1. vamos a ver aqu´ı una sencilla forma de conseguir dichos conjuntos a través del conjunto de axiomas de los n´ umeros reales como subconjuntos “especiales” de R. Si A ⊂ N es no vac´ıo.5 (Principio de buena ordenación). Los conjuntos N. Un n´ umero n ∈ R se dice que es natural si pertenece a todos los conjuntos inductivos de R.4.4.´ NUMEROS REALES Y COMPLEJOS 1.8. ∃a ∈ A : ∀n ∈ A a ≤ n. q 6= 0}. Se dice que S es un conjunto inductivo de R si se verifica a) 1 ∈ S. Q = {p · q −1 : p. Sus elementos se llaman n´ umeros racionales. Sea S ⊂ N.3.4.7. Teorema 1.4.4.4. q ∈ Z.2. Definici´ on 1. 9 Conjuntos inductivos. N es un conjunto inductivo de R. Llamamos n´ umeros irracionales a los elementos de R \ Q. entonces tiene primer elemento. Definici´ on 1. Z y Q Aunque es habitual definir los conjuntos Z y Q a partir de N y éste mediante los axiomas de Peano. Teorema 1.6. Definici´ on 1. R \ Q 6= ∅. Sea S ⊂ R. Sus elementos se llaman n´ umeros enteros. Se definen: Z = N ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N}. Proposici´ on 1. Definici´ on 1. Llamaremos N al conjunto de los n´ umeros naturales. es decir. entonces S = N.4. .1.4. 5 (Propiedad arquimediana de R). Son equivalentes: 1) α = sup A. y sea α ∈ R cota superior de A.5. y ∈ R. x < y. ∃a ∈ A tal que α − h < a < α. y ∈ R.4. ∃b ∈ A tal que β < b < β + h. Sea A ⊂ R. y ∈ R. Proposici´ on 1.5. 2) ∀h > 0. existe q ∈ Q con x < q < y. ∀x.5. ∀x > 0. ∀x. Por verificarse ese Teorema se dice que Q y R \ Q son densos en R. n Teorema 1.5. ∀x ∈ R. Proposici´ on 1. ∀x. N no est´ a acotado superiormente.10 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 1. 2) ∀h > 0.5. existe r ∈ R \ Q con x < r < y.5. existe un u ńico n ∈ Z tal que n ≤ x < n + 1.2 (Propiedad fundamental del ´ınfimo).5.5. .3. A este n´ umero n se le llama parte entera de x y se denota por [x]. Sea A ⊂ R. Teorema 1. Consecuencias del axioma de supremo Teorema 1. existe n ∈ N con 1 < x. existe un n ∈ N tal que y < nx.1 (Propiedad fundamental del supremo).7. x < y. Corolario 1. con A 6= ∅. Son equivalentes: 1) β = ´ınf A.6. con A 6= ∅. y sea β ∈ R cota inferior de A. Análogamente podr´ıamos enunciar la propiedad fundamental del ´ınfimo. Teorema 1. x > 0. a ∈ A es un punto interior de A si ∃r > 0 : (a − r. ((a − r. Los intervalos no acotados se definen de la siguiente forma: 1. b] = {x ∈ R : x ≤ b}. Intervalo abierto: (a. Intervalo cerrado: [a.2. a ∈ R es un punto de acumulaci´ on de A si ∀r > 0. 2. Sean a. (a − r. Intervalo cerrado no acotado inferiormente: (−∞.6. b ∈ R.6. b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}. El conjunto de todos los puntos de acumulaci´ on de A se denota por A′ . Intervalo cerrado-abierto: [a. a ≤ b.6. a ∈ R es un punto adherente de A si ∀r > 0. a + r) ∩ A 6= ∅.1. Definici´ on 1. 3. Intervalo cerrado no acotado superiormente: [a. 11 Intervalos. 4. b) = {x ∈ R : a < x < b}. 3. Intervalo abierto-cerrado: (a. b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. 2.´ NUMEROS REALES Y COMPLEJOS 1. +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}. . Intervalo abierto no acotado superiormente: (a. Sea A ⊂ R. Topolog´ıa de la recta real Definici´ on 1. b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. 4. b) = {x ∈ R : x < b}. El conjunto de todos los puntos interiores de A se llama interior de A y se denota ◦ por A. El conjunto de todos los puntos adherentes de A se llama clausura de A y se denota por A. Llamaremos intervalos acotados a los siguientes conjuntos de n´ umeros reales: 1. a + r) ⊂ A. +∞) = {x ∈ R : x > a}. a + r) \ {a}) ∩ A 6= ∅. Intervalo abierto no acotado inferiormente: (−∞. 5. Para cada n´ umero real x. ∀x ∈ R. 4. se define el valor absoluto de x como | x | = sup{x.7. ∀x ∈ R. si si x≥0 x < 0. a ∈ R es un punto frontera de A si a es un punto adherente de A y de R \ A. Propiedades Definici´ on 1. | x | = 0 ⇐⇒ x = 0.12 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) a ∈ A es un punto aislado de A si a ∈ A \ A′ . 6. . ∀x. Entonces | x |≥ a si y sólo si x ≥ a ó x ≤ −a. a > 0. Sea a ∈ R. Valor absoluto. Entonces | x |≤ a si y sólo si −a ≤ x ≤ a. y ∈ R. | x + y | ≤ | x | + | y | (Desigualdad triangular). 1. y ∈ R. Sea a ∈ R. | x |≥ 0.1. a > 0. 3. | | x | − | y | | ≤ | x − y |.  −x. | x · y | = | x | · | y |. ◦ Se dice que A es un entorno de a si a ∈ A. y ∈ R. 8. ◦ A se dice abierto si A = A. − | x | ≤ x ≤ | x |. ∀x. 7. A es cerrado si R \ A es abierto. 2. 1. −x} =   x. ∀x.7. Propiedades del valor absoluto. Entonces.1. (10 − x)x = 40 =⇒ x2 − 10x + 40 = 0 =⇒ x1 = 5 + √ −15 . es decir. y). y1 ) y z2 = (x2 . z2 ∈ C .´ NUMEROS REALES Y COMPLEJOS 1. y1 + y2 ). z2 ∈ C . !!!! Es decir que la solución ven´ıa dada por una ra´ız de un n´ umero negativo. z1 · z2 = z2 · z1 . no tiene soluciones reales (¿por qué?). se define la operaci´ on suma “ +” y producto “ ·” de la siguiente forma: z1 + z2 = (x1 + x2 . Fue Euler el primero en introducir la notación √ −1 = i. no tiene soluciones racionales por ello fue necesario introducir los n´ umeros reales. formalmente verificó la solución: A = (5 + √ −15)(5 − √ √ −15) = 52 − ( −15)2 = 25 − (−15) = 40. Cardano operó formalmente: Sea x la longitud de una división y 10 − x el de la otra.9.9. Por tanto la siguiente pregunta es. y2 ). ·) cumple efectivamente las propiedades de cuerpo conmutativo: 1. z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 .8. ¿ si x2 + 1 = 0. y = Im(z). Tales soluciones se las denominaron imposibles o imaginarias. donde x se denomina parte real de z e y se denomina parte imaginaria y se denotan por x = Re(z). C cuerpo no ordenado Definici´ on 1. z1 + z2 = z2 + z1 ∀z1 . x1 y2 + y1 x2 ) As´ı (C. Para resolverlo. entonces dicha ecuación es irresoluble ? Cardano en 1545 se planteó el siguiente problema: dado un segmento de longitud 10 unidades. 1. y. El conjunto de todos los n´ umeros complejos lo denotaremos por C. Un n´ umero complejo z es un par ordenado de n´ umeros reales x. 13 Introducci´ on de los n´ umeros complejos Como sabemos que la ecuación x2 − 2 = 0. dividirlo en dos partes de forma que el rectángulo que se forma tenga un área de 40 unidades cuadradas. z = (x. x2 = 5 − √ −15 Además. . +. Para dos n´ umeros complejos cualesquiera z1 = (x1 . Conmutativa : ∀z1 . 2. Distributiva : ∀z1 . por ejemplo. 2 2 2 x +y x + y2 ¶ ∈ C | z · z −1 = 1. Es claro que i 6= 0. Existencia de elementos simétricos : ∀z = (x. −y) ∈ C | z + (−z) = 0 ∀ z = (x. | ∀z ∈ C se tiene z · 1 = z. i·i > 0. ∃ − z = (−x. entonces (−1) · (−1) > 0. Un razonamiento análogo demuestra que i no puede ser menor que cero (se propone como ejercicio). o equivalentemente. concretamente son los n´ umeros complejos de la forma x ∼ (x. Las propiedades de un cuerpo ordenado están expuestas en la definición 1. 0 > 1. Existencia de elementos neutros : ∃ 0 = (0. 0) ∈ C . z2 . luego −1 > 0. (lo cual pudiera ser cierto en C pues no hemos decidido todav´ıa que criterio vamos a utilizar para ordenarlos). y) ∈ C . de donde 1 > 0. de forma que los n´ umeros reales son un subconjunto de los complejos. en los axiomas de R.. (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) . Supongamos que i > 0. z1 · z2 + z1 · z3 = z1 · (z2 + z3 ). Asociativa : ∀z1 . 0) ∈ C | ∀z ∈ C se tiene z + 0 = z . ∀z1 . 0). entonces por el axioma 7. 3. . y) ∈ C . La prueba de estas propiedades se dejan propuestas al alumno. ∃ 1 = (1. lo cual es imposible por el axioma 5. i no cumple el axioma de tricotom´ıa. 1). Ahora bien. Los n´ umeros complejos de la forma Re(z) = 0 se denominan imaginarios puros. 5. 4. Utilizando el conjunto de los n´ umeros complejos C descubrimos que es posible resolver ecuaciones algebraicas que no eran resolubles para los reales. Es fácil comprobar que si z1 y z2 son n´ umeros tales que Im(z1 ) = Im(z2 ) = 0. las operaciones anteriores coinciden con las de los n´ umeros reales. → x2 = −1 → x = i = (0.14 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2. z2 ∈ C . por ejemplo x2 + 1 = 0. Por tanto C es un cuerpo no ordenado. (z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 ) . z2 ∈ C . z3 ∈ C. z 6= 0 ∃z −1 = µ −y x . si −1 > 0. Destacar que C es un cuerpo no ordenado ya que. z ∈ R ⇐⇒ z = z M´ odulo y argumento. Sea z = x + iy. Operaciones elementales en forma bin´ omica.11. 2. Para z se cumplen las siguientes propiedades: ∀z. Im(z) = z−z 2i 3. z1 . Dado un n´ umero complejo z = x + iy se llama complejo conjugado de z y se denota por z.10. µ z1 z2 ¶ = z1 (z2 6= 0) z2 7. Se llama m´ odulo de z al n´ umero real positivo ρ = ³y´ p tal que angulo θ = arctg |z| = + x2 + y 2 y se llama argumento de z al ´ x x = ρ cos(θ) y = ρsen(θ) . 1)y ∼ x + iy donde x = Re(z). al complejo z = x − iy.10. Forma trigonom´ etrica de un n´ umero complejo Definici´ on 1. Re(z) = 1.11. z1 + z2 = z1 + z2 z+z 2 6.1. y) = x(1. z1 · z2 = z1 · z2 4. 0) + (0. Operaciones.´ NUMEROS REALES Y COMPLEJOS 1. Complejo conjugado La expresión más com´ un para representar un n´ umero complejo es la forma binómica: z = (x.1. z = z 5. y = Im(z). 15 Expresi´ on bin´ omica de un n´ umero complejo. z2 ∈ C 1. entonces z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + (y1 ± y2 )i z1 ·z2 = (x1 +iy1 )·(x2 +iy2 ) = x1 x2 +x1 y2 i+y1 x2 i+y1 y2 i2 = (x1 x2 −y1 y2 )+(x1 y2 +y1 x2 )i teniendo en cuenta que i2 = −1 y agrupando partes reales e imaginarias z1 x1 + iy1 (x1 + iy1 )(x2 − iy2 ) y1 x2 − x1 y2 x1 x2 + y1 y2 = = + i = 2 2 z2 x2 + iy2 (x2 + iy2 )(x2 − iy2 ) x2 + y2 x22 + y22 Definici´ on 1. Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos n´ umeros complejos cualesquiera. . · · · . 1. √ n z = √ n ρ ¶ µ ¶¶ µ µ θ + 2πk θ + 2πk + isen . cociente. z1 . sea z = ρ(cos(θ) + isen(θ)) y n ∈ N z n = z| · z ·{zz · · · z} = ρn (cos(nθ) + isen(nθ)) nveces en lo que se conoce como la f´ ormula de Moivre. | z |= 0 ⇐⇒ z = 0 3. | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | 5.16 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Por tanto z = x + iy = ρ(cos(θ) + isen(θ)) = ρθ en lo que se denomina forma trigonométrica de z. Para el módulo y el argumento de z se cumplen las siguientes propiedades: ∀z. | z |2 = z · z 4. n − 1. El producto. z2 ∈ C 1. | z | ≥ 0 2. potencia entera y ra´ız entera quedan de la siguiente forma: Sean z1 = ρ1 (cos(θ1 ) + isen(θ1 )) y z2 = ρ2 (cos(θ2 ) + isen(θ2 )) dos n´ umeros complejos cualesquiera en forma trigonométrica. entonces el producto z1 · z2 = (ρ1 · ρ2 )(cos(θ1 + θ2 ) + isen(θ1 + θ2 )) el cociente z1 ρ1 = (cos(θ1 − θ2 ) + isen(θ1 − θ2 )) z2 ρ2 y la potencia y ra´ız. cos n n k = 0. | z1 · z2 |=| z1 | · | z2 | Operaciones elementales en forma trigonom´ etrica. Nota: Se dejan como ejercicio las deducciones de estas igualdades. Observaremos que algunas de las operaciones facilitan mucho su cálculo. | ez |= eRe(z) 5. 2 . es decir.´ NUMEROS REALES Y COMPLEJOS 1. z1 .2. e0 = 1 2. Sea z ∈ C. ρ su m´ odulo y θ cualquier argumento de z se define la exponencial compleja de z como ez = eRe(z) (cos(Im(z)) + isen(Im(z)) Nota: Si z es real.3. z2 ∈ C 1. Im(z) = 0 la fórmula queda como la que conoc´ıamos en R.12. Si z ∈ C \ {0}. que se denomina f´ ormula de Euler.12.12. Se definen las funciones seno y coseno como: sen(z) = eiz − e−iz . Para la exponencial compleja se cumplen las siguientes propiedades: ∀z. ez1 = ez2 ⇐⇒ z1 − z2 = 2πki ∀k ∈ Z Definici´ on 1.12. Sea z ∈ C. 17 Exponencial y logaritmo de un n´ umero complejo Definici´ on 1.4. entonces z w = ewlogz Definici´ on 1. ez 6= 0 3. ez = 1 ⇐⇒ z = 2πki ∀k ∈ Z 6.1. ez1 +z2 = ez1 · ez2 4.12. ρ su m´ odulo y θ cualquier argumento de z el logaritmo de z es log(z) = log(ρ) + iθ + 2πki ∀k ∈ Z Definici´ on 1. Sea t ∈ R se define eit = cos t + isent. Sea Si z ∈ C \ {0} y w ∈ C. 2i cos(z) = eiz + e−iz . 18 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problemas 1.- a) Demostrar el siguiente enunciado: Si n es un n´ umero natural tal que n2 es par, entonces n es par. b) Demostrar que √ 2 no es un n´ umero racional. 2.- Demostrar por inducción las fórmulas: n X n(n + 1) a) i= 2 i=1 d) n! ≥ 2n−1 e) n X n(n + 1)(2n + 1) b) i = 6 i=1 n X i=1 2 ai = a − an+1 , (a 6= 1) 1−a c) n X 3 i = i=1 µ n(n + 1) 2 ¶2 ˙ f ) 5 · 23n−2 + 33n−1 = 19 3.- Probar que si la propiedad 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2n+1 se verifica pera un cierto valor n, entonces se verifica para n + 1, pero como se puede comprobar, la propiedad es falsa. ¿Contradice este hecho el principio de inducción? 4.- Decir, razonando la respuesta, si puede ser racional: a) La suma de un racional y un irracional. b) El opuesto, o el inverso, de un irracional. c) La suma, o el producto, de dos irracionales. d) El producto de un racional y un irracional. e) ax + b con a, b, c, d enteros, c 6= 0, y x un irracional. cx + d 5.- a) El n´ umero a+b < b. 2 b) El n´ umero a+b se llama media aritmética de a y b. Demostrar: 2 √ a < b =⇒ a < ab se llama media geométrica de los dos n´ umeros positivos a y b. Demostrar que a < b =⇒ a < c) Para dos n´ umeros positivos, probar que √ √ ab < b. ab ≤ a+b . 2 ´ NUMEROS REALES Y COMPLEJOS 19 6.- Describir, en cada caso, el conjunto de n´ umeros reales x que verifican la condición: a) |2x + 3| < 2 d) |2x − 1| ≤ |x + 2| b) |6x + 2| > 5 ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ ¯ e) ¯5 − ¯ < 1 x c) |x − 2| + |x − 3| = 2 f) |x2 − 4x + 3| + |2x − 4| = |x2 − 2x − 1| h) x2 − 2|x| − 3 = 0 g) |x| = x − 5 j) | − 5x + 1| ≤ 1 i) |x2 − 7x + 12| > x2 − 7x + 12 k) |x| = x + 5 7.- De los siguientes subconjuntos de R, decir cuáles están acotados superiormente e inferiormente y calcular sus supremos e ´ınfimos, si éstos existen: A = {x ∈ R : 0 < x < 1}, B = {x ∈ Q : 0 < x < 1}, C = {x ∈ R : x2 > 4}, D = {x ∈ R : 3x2 − 10x + 3 < 0}, E = {x ∈ R : (x − 1)(x − 2)(x − 3) < 0}, ½ ¾ 2n − 1 F = : n ∈ N , G = {x ∈ R : |x2 −5x+5| < 1}, H = {x ∈ R : x2 −x > 0}. n 1−i 8.- Calcular: a) , 5 + 3i 9.- Calcular 2 b) (4 + 3i) , c) (−2 + 2i) √ ¡√ ¢2 4 4 4 y 42 . ¿Coinciden? 10.- Calcular: a) √ 3 −2 + 2i b) √ 6 −64 c) √ 3 3 −i √ −1 − i 2 d) √ , ( 2 − i)4 π d) e(2+ 3 i) e) 15 X ik k=−3 ³ √ √ ´ e) log −e 22 + ie 22 . 11.- Sea z ∈ C la ra´ız cuarta de −1 cuyo afijo está en el segundo cuadrante. Hallar: a) El valor de z. b) ez . c) cos z . d) log z. 12.- Hallar dos n´ umeros complejos conjugados tales que su diferencia sea 6i y su cociente sea imaginario puro. 13.- Halla los 4 n´ umeros complejos z que verifican z = √ 3 + 4i + √ 3 − 4i 14.- Hallar los n´ umeros complejos z ∈ C tales que z 5 = z. ¯ ¯ ¯z + 5¯ ¯ = 1. 15.- Hallar el lugar geométrico de los afijos de los complejos z tales que ¯¯ z − 3¯ 20 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 16.- Resolver las ecuaciones: a) cos z = 2 b) sen z = i 17.- Describir geométricamente todos los n´ umeros complejos que verifiquen: z − z¯ = i, a) z + z¯ = 1, b) |z| = 1, c) |z| > |z + 1|, d) |z + i| ≤ 3, Re(z) = Im(z). 1 ≤ |z − 1| ≤ 2. z + z¯ = |z|2 , z(¯ z + 2) = 3. ¯ ¯ µ ¶ ¯z − 2¯ z−2 π ¯ = 1, ¯ arg = . |z + 2i| + |z − 2i| = 6, ¯z + 2¯ z+2 4 18.- Construir un hexágono regular centrado en el origen tal que uno de sus vértices sea √ el punto A(1, 3). 19.- Construir un cuadrado centrado en el origen uno de cuyos vértices sea: a) El punto √ (− 3/2, −1/2). b) El punto B(4, 3). umeros complejos 20.- a) Dados los complejos z = 2 + i y z1 = 3 − i, encontrar otros tres n´ z2 , z3 y z4 tales que los afijos de z1 , z2 , z3 , z4 formen un cuadrado de centro el afijo de z. b) Calcular el área de dicho cuadrado umeros complejos 21.- Dados los complejos z = −1+i y z1 = −2+3i, encontrar otros dos n´ z2 y z3 tales que los afijos de z1 , z2 , z3 formen un triángulo equilátero de centro el afijo de z. Cap´ıtulo 2 Funciones reales. L´ımites y continuidad 2.1. Definiciones Definici´ on 2.1.1. Una función real de variable real es una aplicaci´ on que a cada punto x de un conjunto S ⊆ R le hace corresponder un u ńico elemento de R. Habitualmente la denotamos por f : S ⊆ R → R. El mayor conjunto D ⊆ R tal que f esté definida se le llama dominio de f . A cada x del dominio le corresponde un valor f (x) ∈ R al que llamaremos imagen de x seg´ un f . Al conjunto de todas las im´ agenes f (x) con x ∈ D, se le llama conjunto imagen y se escribe f (D). Dadas las funciones f : Df → R, producto y cociente del siguiente modo: g : Dg → R, definimos las operaciones suma, Definici´ on 2.1.2. f + g : Df ∩ Dg → R, (f + g)(x) = f (x) + g(x). f · g : Df ∩ Dg → R, (f · g)(x) = f (x) · g(x). f /g : Df ∩ Dg \ {x ∈ Dg : g(x) = 0} → R, (f /g)(x) = f (x)/g(x). 21 22 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definici´ on 2.1.3. Se dice que una funci´ on f es mon´ otona creciente en un subconjunto A de su dominio si ∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). Se dice que una funci´ on f es mon´ otona decreciente en un subconjunto A de su dominio si ∀x1 , x2 ∈ A : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ). El crecimiento (decrecimiento) se dice que es estricto si se verifica que ∀x1 , x2 ∈ A con x1 < x2 , f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 ) resp.). Definici´ on 2.1.4. Se dice que una funci´ on f est´ a acotada superiormente si existe un M ∈ R tal que ∀x ∈ D, f (x) ≤ M . Se dice que una funci´ on f est´ a acotada inferiormente si existe un m ∈ R tal que ∀x ∈ D, f (x) ≥ m. Se dice que una funci´ on f est´ a acotada si lo est´ a superior e inferiormente, es decir, existe un K > 0 tal que ∀x ∈ D, |f (x)| ≤ K. Definici´ on 2.1.5. Decimos que una funci´ on f : D → R presenta un m´ aximo relativo en a ∈ D si existe un entorno E(a) de a tal que f (x) ≤ f (a), ∀x ∈ E(a). Decimos que una funci´ on f : D → R presenta un m´ınimo relativo en a ∈ D si existe un entorno E(a) de a tal que f (x) ≥ f (a), ∀x ∈ E(a). Decimos que M ∈ f (D) es el m´ aximo (absoluto) de f : D → R, si M = máx f (D). Decimos que m ∈ f (D) es el m´ınimo (absoluto) de f : D → R, si m = m´ın f (D). Definici´ on 2.1.6. Una funci´ on f : D → R es par si ∀x ∈ D, −x ∈ D, y f (x) = f (−x). FUNCIONES REALES. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 23 Una funci´ on f : D → R es impar si ∀x ∈ D, −x ∈ D, y f (x) = −f (−x). Una funci´ on f : D → R es peri´ odica si existe un h > 0 tal que ∀x ∈ D, x + h ∈ D, y f (x) = f (x + h). Al menor n´ umero h que verifica esa condici´ on se le denomina periodo de f . Definici´ on 2.1.7 (Composición de funciones). Sean f : Df → R, g : Dg → R con f (Df ) ⊆ Dg . Definimos su composici´ on como la funci´ on g ◦ f : Df → R dada por (g ◦ f )(x) = g (f (x)) . Nota 2.1.8. En general, la composición de funciones no es conmutativa, es más, el hecho de que exista (g ◦ f )(x) no implica que exista (f ◦ g)(x). Definici´ on 2.1.9. Una funci´ on f : D → R es inyectiva si se verifica: f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 , ∀x1 , x2 ∈ D. Una funci´ on f : D → R es sobreyectiva si f (D) = R. Una funci´ on f : D → R es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Definici´ on 2.1.10. Sea f : D → R una funci´ on inyectiva. Llamamos funci´ on inversa de f y la denotamos por f −1 a la funci´ on ¡ ¢ f −1 : f (D) → R tal que ∀x ∈ f (D), f f −1 (x) = x. 2.2. Funciones elementales Exponemos en esta sección las principales funciones que el alumno conoce de su etapa educativa anterior, expresando en clase su gráfica y sus propiedades más interesantes. 24 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2.2.1. Funciones polin´ omicas Son las funciones que se pueden expresar de la forma f :R→R: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , ai ∈ R, n ∈ N. Si n = 0 tenemos la funci´ on constante y = a, cuya gráfica es una recta paralela al eje de abscisas. Si n = 1 tenemos la funci´ on af´ın, y = mx + n cuya gráfica es una recta. A m se le llama pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen. Si m es positivo la recta es creciente y si es negativo es decreciente. Además m = tan α, siendo α el ángulo inclinación de la recta con el eje de abscisas. Si n=0 la función recibe el nombre de lineal y pasa por el origen de coordenadas. Si n = 2 tenemos la funci´ on cuadr´ atica y = ax2 + bx + c su representaci´ gráfica µ on¶¶ µ −b −b ,f y es es una parábola de eje vertical, cuyo vértice está en el punto V 2a 2a −b simétrica respecto la recta x = . 2a Para n ≥ 2 se obtienen curvas que se estudiarán en el tema de representación gráfica de funciones. 2.2.2. Funciones racionales Son las funciones dadas por f :D⊆R→R: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bm xm ai , bj ∈ R, m, n ∈ N. El dominio D está compuesto por todos los n´ umeros reales a excepción de los que anulan el denominador. La función racional más conocida es la de proporcionalidad inversa y = es una hipérbola de as´ıntotas los ejes coordenados. 2.2.3. a , cuya gráfica x Funciones radicales Son las funciones que se pueden expresar como √ f (x) = n x, n ∈ N  D=R si n 6= 2˙ El dominio D depende del ´ındice de la ra´ız,  D = [0, +∞) si n = 2˙ f :D⊆R→R: FUNCIONES REALES. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 25 √ √ La función radical más conocida es y = + x, que junto con su simétrica y = − x, trazan una gráfica que es una parábola de eje horizontal. 2.2.4. Funci´ on exponencial y funci´ on logar´ıtmica La funci´ on exponencial de base a (a > 0) es la función f : R → R definida por f (x) = ax . Si 0 < a < 1, la función es estrictamente decreciente. Si a = 1, la función es constante. Si a > 1 la función es estrictamente creciente. En cualquier caso, la función exponencial es siempre positiva, ax > 0, ∀x ∈ R. Para a > 0, a 6= 1, la función inversa de la función exponencial existe y se llama funci´ on logar´ıtmica de base a y se escribe: g : (0, +∞) → R : g(x) = loga x. Como en el caso de la función exponencial, si a > 1, la función es creciente, y si 0 < a < 1, la función es decreciente. 2.2.5. Funciones circulares o trigonom´ etricas Son las funciones sen x, cos x y tan x. Las dos primeras son periódicas de periodo 2π, su dominio es R y su imagen el intervalo [−1, 1]. sen x es periódica de periodo π y su dominio, al ser cos x cociente de dos funciones, son todos los n´ umeros reales excepto los valores que anulan al La función tangente tan x = denominador, es decir, D = R \ { π2 + kπ, ∀k ∈ Z}. 2.2.6. Funciones circulares inversas Estas funciones solo tienen sentido si se consideran las funciones trigonométricas en intervalos donde sean monótonas. As´ı, la función inversa de sen x es la función h π πi f : [−1, 1] → − , : f (x) = arc sen x. 2 2 2. π] : f (x) = arc cos x. Por u ´ltimo. Subiremos o bajaremos la función k unidades. f :R→ − .26 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) La función inversa de cos x es la función f : [−1. asigna a cada n´ umero real x el mayor n´ umero entero que es mayor o igual que x. La función parte entera. Traslación vertical: y = f (x) → y = f (x) ± k. As´ı.8. E(π) = 3. 2 2 2. E(3.6) = −5. 1] → [0. . Otras funciones La función valor absoluto. los puntos de ordenada negativa a los correspondientes de ordenada positiva. Se define la parte decimal de x como D(x) = x − E(x).2. E(−4. Traslación oblicua: y = f (x) → y = f (x ± k) ± k ′ . Funciones trasladadas Son aquéllas que se pueden dibujar a partir de alguna función elemental conocida. simétricamente. la función inversa de la tangente es: ³ π π´ : f (x) = arctan x. Se produce un cambio de escala en el eje de ordenadas. Es una función periódica de periodo 1. Dilatación vertical: y = f (x) → y = kf (x). Traslación horizontal: y = f (x) → y = f (x ± k). La función se trasladará a la izquierda o a la derecha k unidades. La función se trasladará a la izquierda o a la derecha k unidades y arriba o abajo k ′ unidades. está definida por f :R→R : f (x) = |x| Son interesantes las composiciones de funciones de la forma y = |f (x)|. f (x) = E(x).2. E(1) = 1.7. su gráfica se obtiene de la gráfica de y = f (x) sin más que trasladar.5) = 3. Propiedades Sea f : S ⊆ R → R y a ∈ S ′ .3. |f (x)| > M. |f (x) − l| < ε.3. a + δ) ∩ S \ {a}.3. l´ım f (x) = l si ∀ε > 0. se dice que f (x) converge a l cuando x tiende a +∞ ( l´ım f (x) = l) si: x→+∞ ∀ε > 0. l´ım f (x) = −∞ si ∀M > 0. L´ımites en x = a Definici´ on 2.1. |f (x) − l| < ε.3. ∃N > 0 : ∀x ∈ (N. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 2.FUNCIONES REALES. a + δ) ∩ S \ {a}. ∃δ > 0 : ∀x ∈ (a − δ. Si S no est´ a acotado superiormente. Definimos: 2. f (x) < −M.1. |f (x) − l| < ε. x→a 2. Análogamente. |f (x) − l| < ε. x→∞ . a + δ) ∩ S \ {a}. ∃N > 0 : ∀x ∈ (−∞. x→a Cuando no se especifique el signo. −N ) ∩ S. f (x) > M. l´ım f (x) = ∞ si ∀M > 0. Esta definición tiene sentido aunque f no esté definida en a.2.3. ∃δ > 0 : ∀x ∈ (a − δ. ∃δ > 0 : ∀x ∈ (a − δ. ∃δ > 0 : ∀x ∈ (a − δ.3.2. l´ım f (x) = l si ∀ε > 0.3. a + δ) ∩ S \ {a}. L´ımites en el infinito Definici´ on 2. 27 L´ımite de una funci´ on. Se dice que f (x) tiende a +∞ cuando x tiende a a y se escribe l´ım f (x) = +∞ si x→a ∀M > 0. Se dice que l es el l´ımite de f (x) cuando x tiende a a y se escribe l´ım f (x) = l si x→a ∀ε > 0. si S no está acotado inferiormente. Definici´ on 2. Análogamente. x→−∞ Si S no está acotado. ∃N > 0 : si |x| > N y x ∈ S. +∞) ∩ S. x→−∞ Análogamente se definen los l´ımites l´ım f (x) (con valores +∞. . x→a+ x→a Continuidad. f (x) > M. x→a+ An´ alogamente. −N ) ∩ S. −∞. Discontinuidades Continuidad Definici´ on 2. ∞).4. por la izquierda: l´ım f (x) = l. ∃N > 0 : ∀x ∈ (N.28 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2. si ∀ε > 0.4. x→+∞ l´ım f (x) = −∞ si ∀M > 0. x→+∞ l´ım f (x) = +∞ si ∀M > 0. Se dice que l es el l´ımite de f (x) en a por la derecha si: l´ım f (x) = l.1. existe δ > 0 tal que si x ∈ (a − δ. Decimos que: l´ım f (x) = +∞ si ∀M > 0. a + δ) ∩ S. |f (x) − l| < ε.3. x→a− Proposici´ on 2. |f (x) − l| < ε. Se dice que f es continua en a ∈ S.3. se tiene: l´ım f (x) = l ⇐⇒ x→a 2. a) ∩ S. l´ım f (x) x→∞ x→+∞ (con valor ∞). ∃N > 0 : ∀x ∈ (−∞. L´ımites laterales Sean f : S ⊆ R → R y a ∈ R un punto tales que ∀ε > 0. si para todo ε > 0. f (x) < −M. a + δ) ∩ S. entonces |f (x) − f (a)| < ε. +∞) ∩ S.3. Sea f : S ⊆ R → R. l´ım f (x) = l´ım− f (x) = l.4. x→−∞ l´ım f (x) = −∞ si ∀M > 0.4.5.1.4. ∃N > 0 : ∀x ∈ (N. ∃δ > 0 : ∀x ∈ (a − δ. +∞) ∩ S. ∃N > 0 : ∀x ∈ (−∞. a + δ) ∩ S 6= ∅ (primer caso de la siguiente definición) y (a − δ. si ∀ε > 0. l´ım f (x) (con valor ∞).3. L´ımites infinitos en el infinito Definici´ on 2. Siempre que los siguientes l´ımites tengan sentido. f (x) < −M. ∃δ > 0 : ∀x ∈ (a.3. Definici´ on 2. f (x) > M.3. −N ) ∩ S.6. (a. 2. a) ∩ S 6= ∅ (segundo caso). x→−∞ 2. y sea a ∈ S1 . Si f y g son continuas en x = a ∈ S. g : S2 ⊆ R → R con f (S1 ) ⊆ S2 . entonces 1/g es continua en a. f será continua en a.5. o x→a bien.4.4. Sean las funciones f : S1 ⊆ R → R.4.4. x→a x→a .4. la condición anterior es equivalente a l´ım f (x) = f (a).6. Discontinuidades Sean f : S ⊆ R → R y a ∈ S . si a es un punto aislado de S. Definici´ on 2.. Sea g : S ⊆ R → R. por lo que |f (x) − f (a)| = 0 < ε. entonces f /g es continua en a. existe l´ım f (x) y es finito. entonces g ◦ f es continua en a. x→a Por otro lado. Sea f : S ⊆ R → R y B ⊂ S. Teorema 2. g : S2 ⊆ R → R y S = S1 ∩S2 6= ∅. pero a ∈ / S. Si g(a) 6= 0 y g es continua en a.FUNCIONES REALES. a + δ) ∩ S.4. Sean las funciones f : S1 ⊆ R → R. En lo sucesivo consideraremos que a no es un punto aislado de S. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 29 Podemos observar que si a ∈ S ′ . ∀x ∈ (a − δ.4.Discontinuidad evitable. Teorema 2. Si f y g son continuas en a ∈ S. pero l´ım f (x) 6= f (a). Se dice que f tiene una discontinuidad en a si f no es continua en a.. si lo es en cada punto de B. a + δ) ∩ S = {a}. Sean f : S1 ⊆ R → R. pues por ser punto aislado. 2. Si f es continua en a y g lo es en f (a). si existe l´ım f (x) y es finito. podemos encontrar un δ > 0 tal que (a − δ. también lo son f + g y f · g.2. y g(a) 6= 0. Teorema 2. Definici´ on 2.2. Clasificamos las discontinuidades del siguiente modo: 1.7. Corolario 2. a ∈ S. g : S2 ⊆ R → R y S = S1 ∩ S2 6= ∅.4. Se dice que f es continua en B.3. si l´ım |f (x)| = +∞. Sea f : S ⊆ R → R.Discontinuidad de salto infinito. Entonces existe un c ∈ (a. pero no coinciden. b] → R una funci´ on continua en [a. al ´ınfimo de f (S). b] tal que f (c) = α. y sea a ∈ S. S Se dice que f (a) es el máximo (resp.Discontinuidad esencial si no existe alguno de los l´ımites laterales. entonces la funci´ on alcanza su m´ aximo y su m´ınimo. si existen l´ım f (x) y l´ım f (x).5 (de Weierstrass). [a. Sea f : [a. entonces f est´ a acotada en [a. b]. Se llama supremo de f (sup f ).Discontinuidad de salto.1.4 (de Acotación). Teorema 2. b].5. si existe. b]. b] → R continua en [a. x→a 3. b] → R es una funci´ on continua en [a. Para todo n´ umero α con ´ınf f ≤ α ≤ sup f . x→a 4. b].5.5.3 (Propiedad de Darboux). que f es continua por la derecha de a.5. Corolario 2. 2. b] → R es una funci´ on continua en [a.5. Teorema 2. Propiedades de las funciones continuas Definici´ on 2.b] [a. m´ınimo) absoluto de f en S si f (x) ≤ f (a) (resp. Sea f : [a. b] con f (a) · f (b) < 0..2 (de Bolzano).. f (x) ≥ f (a)) para todo x ∈ S.b] Teorema 2.. S Se llama ´ınfimo de f (´ınf f ). . al supremo de f (S). Si f : [a. existe un c ∈ [a. x→a− Si l´ım+ f (x) = f (a). si existe. x→a− x→a+ Si l´ım f (x) = f (a) se dice que f es continua por la izquierda de a.30 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2.5. b) tal que f (c) = 0. Si f : [a. . y = 1 + tan(π + x).Sean a.Sean a.. cos(π/3) = 1/2. demostrar: a) logb x = (logb a)(loga x) b) logb (xy ) = y logb x. demostrar: a) logb a = 1 loga b b) 1 + loga b = loga x .a 6= 1 y b 6= 1. x 6= 1. g : R 7−→ R las funciones f (x) = y encontrar f −1 (x). x > 0 . x > 0 . 5. construir la gráfica de las siguientes funciones en el intervalo [−2π. p f ) f (x) = sen(2x − 1).a 6= 1. b. y = 2 − 3 sen(1 + 2x) . r r 1 − cos x 1 + cos x b) Demostrar que sen(x/2) = .Demostrar: a) sen(π/4) = cos(π/4) = b) sen(π/3) = p 2/2 p 3/2. logab x 4. 3.Basándose en las gráficas de las funciones trigonométricas elementales.. y = 2 cos(3x). cos(x + π) = − cos x. 1+x g −1 (x) donde existan. ¢ 2x − 1 g) f (x) = d) f (x) = s log µ s x−1 x+1 4 9 − x2 x+2 ¶ 2. b. ∀x ∈ R.. c) Demostrar que sen x + sen y = 2 sen 2 ¶ µ 2 ¶ µ x−y x+y sen cos x − cos y = −2 sen 2 2 6. ¡ ¢ c) f (x) = log x2 − 4 . 2π]: y = sen(x/2).. g(x) = x2 + 5x. 7.Encontrar el dominio de las funciones: 1 + x2 a) f (x) = .. cos(x/2) = ∀x ∈ R 2 2 ¶ µ ¶ µ x−y x+y cos . b 6= 1 e y ∈ R. 1 − x2 e) f (x) = sen ¡√ b) f (x) = √ 1 − x. Definir f ◦ g y g ◦ f ..Sean f. si ab 6= 1. 1−x .a) Demostrar que sen(x + π) = − sen x.FUNCIONES REALES. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 31 Ejercicios y Problemas 1. x   x < −1   1 − 2x si √ g(x) = x2 + x si −1 ≤ x ≤ 1 . si x ≤ 1. x2 2x + 1 2x − 3 ¶3x−2 l´ım √ 1+x−1 . x→+∞ 10x + x x l´ım x→0 g) l´ım x→∞ 1− µ √ 1 − x2 .Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:   x + 1. x2 + 1 x2 − 3 ¶x2 . si 0 < x < 1. .  1 + log(1 − x) si x < 0 h(x) =  2x − √x si x ≥ 0 b) Calcular g(x) + h(x) y f (x) ◦ g(x). . si c) f (x) = x2 − 4 . 1 a) f (x) = .32 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 8. b) l´ım ( x2 − x + 1 − ax − b) = 0. f) i) l´ım x→∞ c) x3 − 3x + 2 .. x→+∞ x→+∞ x+1 11. .. x..Calcular los siguientes l´ımites: a) d) l´ım x2 √ . x→1 x4 − 4x + 3 l´ım l´ım ( x→+∞ µ p (x + a)(x + b)−x). b) f (x) = 3 − ax2 .      4 − x. l´ım √ x→0 1−x−1 e) . 2  −x + 4x − 2. x3 − 2x2 + x x+1 2x + 1 ¶x2 . x−2 x ≤ 0. 9. f (0) = 0. si x ≥ 3.Hallar las constantes a y b para que se cumpla: µ 2 ¶ p x +1 a) l´ım − ax − b = 0. x2 − 4 ..    1 si x>1 a) Obtener el dominio de cada una de ellas. si x > 1 x−1 d) f (x) =        0.Dadas las funciones: 2 f (x) = 2x− . x→2 x2 − 3x + 2 b) h) l´ım x→0 µ x+1 3x + 1 ¶ x2 . j) l´ım x→∞ µ 10. si 1 ≤ x < 3. i) f (x) = sen x . g(x) = −1. si x > 0. d) 2−x = x. y estudiar la continuidad de f. . definir f ◦ g y g ◦ f .Probar que las siguientes ecuaciones tienen.Dada la función f (x) =           arc tg 1 x +α si  |x − 1 |.FUNCIONES REALES.. g : R 7−→ R. g. si x ∈ Q. si x ∈ R \ Q  1. otro caso x<0 x−1 si 0 ≤ x ≤ 1  x+1        ¢  ¡ x>1 log 1 + cos2 (βx) si a) Hallar α y β para que la función f sea continua ∀x ∈ R b) Encontrar un intervalo [a. si x ≤ 0 f (x) = 1 − x. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 33 12. b] en el que se pueda aplicar el teorema de Bolzano a f (x).. f (x) = |x|. g ◦ f en los casos: a) b) c) g(x) = x2 + 5x   1. 14. f (x) = 0. b) x = sen x + 1. si 2 g(x) =  3. 13. f ◦ g.. una ra´ız real: a) x2x = 1. en 0 ≤ x ≤ 1. al menos. c) ex = 2 + x.Sean f. 34 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) . ∀δ > 0.Cap´ıtulo 3 Derivadas. entonces la función dada por ′ f ′′ : S2 → R : x 7→ f ′′ (x) con f ′′ (x) = (f ′ ) (x) se le llama derivada segunda de f.1. y a ∈ S tal que (a. Se llama derivada por la derecha de a al l´ımite: ′ f+ (a) = l´ım+ x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = l´ım+ . a ∈ S ∩ S ′ . Es decir. Polinomio de Taylor 3. As´ı sucesivamente. Sea f : S ⊆ R → R. Si existe f (n) (x) en un punto x. diremos que f es n veces derivable en x. a+δ)∩S 6= ∅. Se llama funci´ primera de f . entonces ¡ ¢′ f (n+1) (x) = f (n) (x). x−a h h→0 35 . si S2 = {x ∈ S1 : f ′ es derivable en x}. Derivada de una funci´ on Definici´ on 3. Definici´ on 3. h→0 x−a h on derivada o derivada Sea S1 = {x ∈ S : f es derivable en x}.1. Análogamente.1. denotada por f ′ a la función f ′ : S1 → R que asigna a cada x ∈ S1 la derivada de f en x. Al valor de este l´ımite se le llama derivada si existe y es finito el l´ımite l´ım x→a x−a ′ de f en x = a y se denota por f (a).2. Sea la funci´ on f : S ⊆ R → R. si f (n) (x) es la derivada de orden n de f en un punto x. denotaremos f (0) = f . f ′ (a) = l´ım x→a f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) = l´ım . Por coherencia de notación. Se dice que f es derivable en x = a f (x) − f (a) .1. f /g es derivable en a y (f /g)′ (a) = 3. Sean f. Sean f : S1 ⊆ R → R y g : S2 ⊆ R → R.3. g derivables en a. entonces f es continua en tal punto. g : S ⊆ R → R. ´ Algebra de derivadas Teorema 3. se define la derivada por la izquierda de a como: ′ f− (a) = l´ım− x→a f (a + h) − f (a) f (x) − f (a) = l´ım+ . f ′ (a)g(a) − f (a)g ′ (a) . b) f · g es derivable en a y (f · g)′ (a) = f ′ (a)g(a) + f (a)g ′ (a). Entonces: a) f + g es derivable en a y (f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a). .2. ∀δ > 0. a + δ) ∩ S 6= ∅.1. Teorema 3. c) Si g(a) 6= 0. de modo que f es derivable en a y g es derivable en f (a). a ∈ S ∩ S ′ y f. entonces existen f− (a) y f+ (a) y se verifica f ′ (a) = f− (a) = f+ (a). (g(a))2 Derivada de la funci´ on compuesta y de la funci´ on inversa Teorema 3.3. x−a h h→0 − ′ ′ ′ ′ Si existe f ′ (a).3.36 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) An´ alogamente si (a. 3. Entonces g ◦ f es derivable en a y se verifica (g ◦ f )′ (a) = g ′ (f (a))f ′ (a). El rec´ıproco no es cierto.1 (Regla de la cadena). con f (S1 ) ⊆ S2 y sea a ∈ S1 ∩ S1′ . Si f : S ⊆ R → R es derivable en a ∈ S ∩ S ′ .1.2. b] → R es continua en [a. b) tal que f ′ (c) = 0. 3. f (c) Apoyándonos en el álgebra de derivadas y en estos dos u ´ltimos teoremas..1 (de Rolle).DERIVADAS.5. f (x) − f (a) = +∞ (resp. a + δ) es Notas 3. b] y derivable 1 ′ −1 en c ∈ (a. Sean f : S ⊆ R → R. ◦ Corolario 3. ∃δ > 0 : ∀x ∈ (a − δ. a) es f (x) < f (a) y ∀x ∈ (a. continua en [a. a ∈ S ∩ S ′ . f (x) > f (a). 3. b]. Teoremas de Rolle y del valor medio Teorema 3. Sea f : S ⊆ R → R y a ∈ S con f derivable en x = a. y f derivable en a.. b) y f (a) = f (b). si f tiene un extremo relativo en x = a debe ser f ′ (a) = 0. a) es f (x) > f (a) y ∀x ∈ (a.3. a + δ) es ∃δ > 0 : ∀x ∈ (a − δ. en {x ∈ S : f no es derivable en x} o en {x ∈ S : f ′ (x) = 0}.4. Como consecuencia se tiene que los posibles extremos relativos de f : S ⊆ R → R están ◦ en S \ S. Entonces f es derivable en f (c) y es (f −1 )′ (f (c)) = ′ . b) Si f ′ (a) < 0. a) Si f ′ (a) > 0. . con f (c) 6= 0.1. x→a x−a 1. como lo prueba la  x2 sen(1/x) + x/2 x 6= 0 función f (x) =  0 x = 0.El resultado es válido también si l´ım 2.4. b] → R estrictamente mon´ otona. derivable en (a. podemos obtener la derivada de todas las funciones elementales.2. Sea f : [a. Funciones con derivada no nula Teorema 3.4.5.El teorema no implica que f sea monótona en un entorno de a.2.3 (Teorema de Fermat). entonces existe un c ∈ (a.4. −∞). b). Entonces. POLINOMIO DE TAYLOR 37 Teorema 3. f (x) < f (a). Si f : [a. g : [a. Regla de L’Hˆ opital Teorema 3. 3. 1. Teorema 3.. b] y derivables en (a. b−a Corolario 3. Sea f : [a.38 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Teorema 3.5. entonces |f (b) − f (a)| ≤ M (b − a). b). 3. b). b). realizar´ıamos el mismo proceso. b]. b].. b] → R es continua en [a. y derivable en (a.Si f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (a. b). b). primero en (a. b) tal que f (b) − f (a) = f ′ (c). ∀x ∈ (a.2. Si existe x→a ′ x→a f (x) f (x) = l. 2. Sean f. 4.Si f ′ (x) = 0 para todo x ∈ (a. b]. g : (a.3 (del valor medio de Lagrange).. b) → R derivables tales que l´ım+ f (x) = l´ım+ g(x) = 0 y g(x) 6= 0.4.2 (del valor medio generalizado de Cauchy). b] y derivable en (a. c) y luego en (c. b] → R continuas en [a.El teorema también es válido cuando l´ım se obtienen para x → b− 2. f ′ (x) = ∞ (±∞). entonces existe un c ∈ (a. l´ım x→a+ g ′ (x) x→a g(x) Notas 3. entonces. b). Resultados análogos x→a+ g ′ (x) 1.Si |f ′ (x)| ≤ M para todo x ∈ (a.6. b] → R es continua en [a. entonces f es estrictamente decreciente en [a. a + δ) para alg´ un δ > 0. Entonces existe un c ∈ (a. l´ım+ = l. Sean f. b) tal que f ′ (c)(g(b) − g(a)) = g ′ (c)(f (b) − f (a)).5. Si f : [a. b). entonces f es constante. b)...6.1 (Primera regla de L’Hôpital). .. entonces f es estrictamente creciente en [a.5. b).Si f ′ (x) < 0 para todo x ∈ (a.Si el l´ımite se tomase en un punto c ∈ (a.6. Sean f. Se llama polinomio de Taylor de orden n asociado a f en a al polinomio: Pn (x) = n X f (i) (a) i=0 i! (x − a)i . x→a g(x) x→a g (x) 3. l´ım = l.6.7. Polinomios de Taylor ◦ Definici´ on 3. tenemos: 1) Las derivadas de orden k (0 ≤ k ≤ n) de Pn en a coinciden con las de f . c). x2 entre a y x tales que: . Teorema 3. entonces. Teorema 3. y sea f n veces derivable en a. No obstante en clase se dar´ an adecuados ejemplos para verificar que.7.3 (de Taylor). ◦ a ∈ S. n + 1 veces derivable en (b.2. La regla de L’Hôpital es muy u ´til para el cálculo de l´ımites. aunque f y g sean derivables.7. c) y sea a ∈ (b. Sea f : S ⊆ R → R. y sea Rn = f − Pn . y adem´ as. existe l´ım ′ x→+∞ g (x) x→+∞ g(x) Nota 3. Si x→+∞ x→+∞ f (x) f (x) = l. +∞ ó −∞. existen x1 . POLINOMIO DE TAYLOR 39 Teorema 3.1. g : (m. En las condiciones y notaciones de la definici´ on anterior. Sea f : S ⊆ R → R n veces derivable en a ∈ S. +∞) → R funciones derivables tales que ′ l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0 y g(x) 6= 0 ∀x > K para alg´ un K ≥ m.8.4.DERIVADAS. c).3 (Segunda regla de L’Hôpital).7. Sea f : (b. x→a (x − a)n l´ım 3. Sea Pn el polinomio de Taylor de orden n asociado a f en a. Dado x ∈ (b. Pn es el u 2) Si f es un polinomio de grado n. entonces Pn = f para todo a ∈ R. El teorema también es válido si se toman l´ımites cuando x tiende a −∞ o si el l´ımite es igual a ∞. Expresiones del t´ ermino complementario Teorema 3.6. ńico polinomio de grado menor o igual que n que lo cumple. Entonces Rn (x) = 0.1. la existencia f (x) f ′ (x) de l´ım no implica la existencia de l´ım ′ .8. c) → R. a) ∩ (b. f tiene un punto de inflexi´ on en a. Entonces: .9. c). f (n) (a) 6= 0 con n ≥ 2. (expresi´ on de Lagrange). c] → R n veces derivable en a ∈ (b.9. (expresi´ on de Cauchy). f (x) ≥ g(x). la recta tangente a f en a. Se dice que f es convexa en a si existe δ > 0 tal que ∀x ∈ (a − δ. c). c). a + δ) ∩ (b. y f es c´ 2) Si n es impar. f (n) (a) 6= 0 con n ≥ 2. Consideremos la funci´ on g(x) = f (a) + f ′ (a)(x − a). Sea f : [b. y f (x) ≥ g(x) si x est´ a en el otro. Corolario 3. c) tal que f ′ (a) = f ′′ (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0. Aplicaci´ on al estudio de extremos relativos Advertimos que hay libros que invierten los conceptos dados a continuación de concavidad y convexidad. c). c] → R es una funci´ on n veces derivable en a ∈ (b. 1) Si n es par. Teorema 3. Análogamente obtenemos un criterio para máximos y m´ınimos relativos.3. c) o bien en (a. a + δ) ∩ (b.1. Definici´ on 3.9. (⌣) Se dice que f es cóncava en a si existe δ > 0 tal que ∀x ∈ (a − δ. Sea f : [b.40 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 1) Rn (x) = f (n+1) (x1 ) (x − a)n+1 (n + 1)! 2) Rn (x) = f (n+1) (x2 ) (x − x2 )n (x − a) n! 3. f es convexa en a si f (n) (a) > 0. Entonces: oncava en a si f (n) (a) < 0. Es decir.2. si f pasa de c´ oncava a convexa o viceversa. es decir. (⌢) Se dice que f tiene un punto de inflexión en a si existe δ > 0 tal que f (x) ≤ g(x) si x est´ a en (a − δ. Si f : [b. a + δ) ∩ (b.9. c] → R derivable en (b. f (x) ≤ g(x). c) y a ∈ (b. c) tal que f ′′ (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0. la verificación de los siguientes desarrollos: log(1 + x) = x − ex = 1 + x + x3 x2 xn + − · · · + (−1)(n+1) + Rn (x). sen x = x − x5 x3 x2n+1 + − · · · + (−1)n + Rn (x). 3. ∀x ∈ R. Los polinomios de Taylor también tienen una elevada aplicación en el cálculo de l´ımites. f tiene un punto de inflexi´ on con tangencia horizontal en a. 2 3 n x2 x3 xn + + ··· + + Rn (x). 1]. Propondremos al alumno. 2) Si n es impar. 2! 4! (2n)! arctan x = x − ∀x ∈ (−1. x3 x5 x2n+1 + − · · · + (−1)n + Rn (x). Desarrollo de funciones elementales En esta sección nos limitamos a obtener el desarrollo de Taylor de las funciones elementales en el origen. . lo que se llevará en la práctica a la clase con profusión de ejemplos. entre otros. ∀x ∈ R. 3! 5! (2n + 1)! cos x = 1 − x4 x2 x2n + − · · · + (−1)n + Rn (x). y f tiene un m´ aximo relativo en a si f (n) (a) < 0.10. 1]. 3 5 2n + 1 ∀x ∈ (−1. POLINOMIO DE TAYLOR 41 1) Si n es par. f tiene un m´ınimo relativo en a si f (n) (a) > 0.DERIVADAS. 2! 3! n! ∀x ∈ R. log(1 + x)... −x2 + 3. 1] . c) ex = 2 + x.42 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problemas 1.  bx2 f (x) = eax 2. e) f (x) = si −1 < x < 3.   x.. Apl´ıquese en caso afirmativo.Probar que las siguientes ecuaciones tienen.Halla a.Calcular a y b para que ∀x ≥ 1 ∀x < 1 c) f (x) = x|x|.Sea f : R → R la función: f (x) =  3   x + 2x + 2    x2 − 3x + 2 si x < 0 si x ≥ 0 a) Estudiar si se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función f (x) anterior en un intervalo [a. si x < 0. .. verifique las ∀x ≥ 1 Teorema de Rolle en el intervalo [0. 6. f (0) = 0.Estudia si se aplica el teorema de Rolle a las funciones: a) f (x) = x sen x en [ −π π . c ∈ R para que la función: 4x2 + 4 en [0. ¿Es u ´ nica?: a) x2x = 1. 2] y obtener el valor intermedio correspondiente. b) Demostrar que f (x) = 0 tiene exactamente dos ra´ıces en [−1. si x ≥ 3. d) 2−x = x. al menos. 4. ] 2 2 b) f (x) = 5. si x ≥ 0. 1]. si x ≤ −1. b. b) f (x) = |x|.. −2x.Estudia la continuidad y derivabilidad de las funciones: a) f (x) = d) f (x) =        x 1 1 + ex x2 .. 1] x+1 f (x) =   ax2 + bx + 1      hipótesis del c x c) f (x) = ∀x < 1 √ 3 x2 en [−1. b] que contenga a 0. b) x = sen x + 1. una ra´ız real. sea continua y derivable en R 3. . e) f (x) = log(1 + x3 ).Sea la función f (x) = x = 2. Hallar c para que f tenga un máximo relativo en x2 + c 11.. Calcular las restantes 7. . b) f (x) = xex ..Halla a para que la función f (x) = x2 + 10. b y c. sabiendo que las rectas x2 + c y = 3x + 2 son as´ıntotas de la curva y = f (x). 1) un punto de tangente horizontal que no es extremo relativo. c) f (x) = x log x. hallar a. d) f (x) = 2 + √ 3 x2 .Sea f : R → R la función f (x) = e− x2 . (c > 0). as´ıntotas. 8. x2 sen x1 x→0 log(1 + x) l´ım esen x − 1 x→0 x l´ım ¡ ¢tan2 x l´ımπ sen2 x x→ 2 1 l´ım ( −cot x) x→0 x √ 3 x−1 l´ım √ x→1 4 x − 1 µ ¶1 arctan x x2 l´ım . si las hubiese. y x demuestra que no puede tener un máximo relativo para ning´ un valor de a. 13.. ¯ ¯ f ) f (x) = ¯x2 − 1¯ ..DERIVADAS.Estudiar el crecimiento y decrecimiento y los máximos y m´ınimos de las funciones: a) f (x) = x6 − x4 .Calcula los siguientes l´ımites.Sea f (x) = log x = c. estudiando previamente si se puede aplicar la regla de L’Hôpital: x + sen x x→+∞ x + cos x l´ım l´ım+ x→0 sen x1 log x l´ımπ x→ 2 log(1 + x) x→0 x l´ım 1 + sen x − ex x→0 sen2 (πx) 1 − cos x x→0 x3 l´ım 1 log x l´ım (arctan x) x→0 etan x − 1 etan x + 1 l´ım 1 1 − log x l´ım (log x) x→+∞ 1 12. Hallar a. ∀x 6= 0. 9. POLINOMIO DE TAYLOR 43 ax3 + bx2 + 5 .. x→0 x f (0) = 0 a) Estudiar la continuidad y derivabilidad. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.La gráfica de la función f (x) = x3 +ax2 +bx+c tiene en (1. a tenga un m´ınimo relativo en x = 2.. c ∈ R. x . b. .. de altura.Dentro de una esfera maciza de 80 cm. 21. de base y 4m. Las dimensiones de la pared del ático son 6m. tenga área máxima.. 15.a) Desarrollo de Taylor de orden 3 de ex sen x en x0 = 0 .De todos los rectángulos de 12 cm.En la pared triangular (isósceles) del ático de un chalet..Dividir un segmento de 60 cm. 17. de per´ımetro. Calcular sus dimensiones sabiendo que su capacidad es máxima.44 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 14. se quiere construir una estanter´ıa rectangular..Una ventana está formada por un rectángulo cuyo lado superior se ha sustituido por un triángulo isósceles cuya altura mide los 3/8 de la base.. de longitud en dos partes tales que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre ellas. engendre un cilindro de área máxima. sea m´ınima. existe una oquedad que tiene forma de cono equilátero inscrito en dicha esfera. ´ La iluminación en un punto P se expresa por la fórmula I = K INDICACION: r es la distancia desde el foco luminoso hasta P y la constante K es la intensidad del foco luminoso. Sabiendo que el per´ımero de la ventana es de 90 dm. apoyada en el suelo y cuyas esquinas superiores alcancen las paredes inclinadas. 20. 19. determinar las dimensiones de la ventana para que la cantidad de luz que pueda atravesarla sea máxima 18.¿A qué altura sobre el centro de una mesa redonda de radio a se debe colocar una bombilla eléctrica para que la iluminación del borde sea máxima? sen α .. si se quiere que tenga una superficie mááxima?. r2 donde α es el ángulo de inclinación de los rayos respecto de la superficie iluminada. calcula las dimensiones de aquel que al girar alrededor de uno de sus lados. Qué dimensiones tendrá la estanter´ıa..Las cinco caras de un estanque que tiene forma de un prisma recto de base cuadrada totalizan 192 m2 de área. de diámetro. 16. Trazar un plano perpendicular al eje del cono de tal manera que la corona circular que dicho plano determina al cortar a la esfera y al cono. .Representar las siguientes funciones: a) y = x . 1) definida por f (x) = x−e ex a) Determinar los máximos y m´ınimos relativos y absolutos de f . a) Hallar a y b para que f sea continua y derivable ∀x ∈ R.. 1 + x2 1 b) y = xe x .Sea la función f (x) =  2   log(1 + x ) − 1    ax2 + b si x≥0 Se pide: si x < 0... i) y = 3 (x − 1)(x − 2)2 .DERIVADAS. x f : (0. calcular: l´ım 22. x d) y =  2 x +1      x−1    ax + b   (x + 1)2 si x ≤ 0 si x > 0 a) Hallar a y b sabiendo que f (x) es continua y que tiene un extremo relativo en x = 2. . . 25. b) Estudiar la derivabilidad de f (x). extremos relativos y absolutos y puntos de inflexión de f . −1 x2 2 log x . e) y = 1 + e−2x x µ 2 ¶ p x −1 h) y = log .Sea ex sen x < 1 + x + 2x2 .Sea la función g) y = c) y = (x2 − 5) · e−x . 2 f ) y = 2x + 3x 3 . 1−x f :R→R : f (x) = x3 . POLINOMIO DE TAYLOR 45 ex sen x − x(x + 1) x→0 x3 b) Usando el apartado anterior. ∞) → R f (x) = ex sen x si x ∈ (0. b) ¿Qué es mayor eπ o π e ? 24. c) Hallar los restantes extremos relativos.. ¿Tiene extremos absolutos? 26. b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento.a) Desarrollo de Taylor de orden 2 en el origen de b) Deducir 23. 46 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) . 1. Definici´ on 4. a la aplicación pi : Rn → R : x 7−→ pi (x) = xi se le llama proyección i-ésima. Designamos por Rn el conjunto Rn = {x = (x1 . .1. . . xn ). . y2 . El espacio eucl´ıdeo Rn Se trata de dar un resumen acerca de Rn . con el producto escalar usual. . A sus elementos los llamaremos puntos o vectores de Rn . . . de su estructura de espacio vectorial eucl´ıdeo. . Si x = (x1 . . . . y = (y1 . .Cap´ıtulo 4 Funciones de varias variables reales 4. Dos vectores x = (x1 . . lo relativo a la distancia que se obtiene del referido producto escalar. x2 . xn ) ∈ Rn .1. n. . . xi ∈ R ∀i = 1. . n}. . al n´ umero xi se le llama coordenada i-ésima de x. . . destacando de entre ello. ∀i = 1. x2 . . . yn ) ∈ Rn son iguales si y sólo si xi = yi . x2 . Asimismo. 2. . . . 47 . xn ). . .2. y. b) kxk = 0 ⇐⇒ x = 0. y. En Rn definimos las operaciones: Suma: (x1 .1. ·R) dotado del producto escalar (·). . x2 . ∈ Rn y ∀α ∈ R se tiene: a) kxk ≥ 0. . xn ) + (y1 . . Llamamos espacio eucl´ıdeo Rn al espacio vectorial (Rn . αx2 . xn ) · (y1 . . yn ) = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn . . kxk = x · x = x21 + x22 + · · · + x2n . .1. . . .4. . d) (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) (x · y)2 ≤ (x · x) · (y · y). xn ) = (αx1 .6. . αxn ). α(x1 . Propiedades 4. . Definimos la norma eucl´ıdea en Rn como la aplicaci´ q √ k · k : Rn → R. b) (x · y) = (y · x). y2 . . . yn ) = (x1 + y1 . x2 . . Producto por un escalar: Si α ∈ R. • x · (y + z) = x · y + x · z. . ∀x. Definici´ on 4.48 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definici´ on 4. Se define el producto escalar entre vectores de Rn como la aplicaci´ (·) : Rn × Rn → R : x · y = (x1 .1. x2 . . . . y2 . . . z ∈ Rn y ∀α ∈ R se verifica: a) • (x + y) · z = x · z + y · z. . .5. +. • x · (αy) = (αx) · y = α(x · y).1. ∀x. on: Definici´ on 4.1.3. . on Definici´ on 4. x2 + y2 . c) • (x · x) ≥ 0 • (x · x) = 0 ⇐⇒ x = 0. . .1. .7. xn + yn ). Propiedades 4. y) = ky − xk = p (y1 − x1 )2 + · · · + (yn − xn )2 .9. Se llama distancia eucl´ıdea a la aplicaci´ on: d : Rn × Rn → [0. y) = 0 si y s´ olo si x = y. Se llama entorno de un punto a ∈ Rn a todo conjunto que contenga alguna bola abierta de centro a. al conjunto B(a. b) d(x. Se llama bola cerrada de centro a ∈ Rn y radio r > 0. r) = {x ∈ Rn : d(a. c) Propiedad triangular: d(x. y. al conjunto B ∗ (a. Propiedades 4. x) ≤ r}. Se llama bola reducida de centro a ∈ Rn y radio r > 0.10. Se llama bola abierta (o simplemente bola) de centro a ∈ Rn y radio r > 0. x). x) < r}. Definici´ on 4.1. . r) = {x ∈ Rn : d(a. A partir de esta norma podemos definir la distancia eucl´ıdea.1. +∞). r) = B(a.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 49 c) kαxk = |α| kxk. z) ≤ d(x. y) + d(y. z). d(x. al conjunto B(a. ∀x. d) kx + yk ≤ kxk + kyk. y) = d(y. r) \ {a}. z ∈ R se verifica: a) d(x.1. Definici´ on 4.8. se dice que f (x) es una función de n variables. Las usaremos a veces. Si éste no se especifica. y) le corresponde u ´ nicamente un valor z. La proyección de esta curva sobre el plano XY es una curva de nivel. Por la gráfica de una función f de dos variables entenderemos la gráfica de la ecuación z = f (x. sobre todo las de tres variables. y). Cada plano horizontal z = c corta a la superficie en una curva.en un punto. A este tipo de funciones las llamaremos funciones reales de dos variables. las curvas de nivel de la función son las curvas que unen los puntos de igual temperatura.50 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 4. Esta gráfica será por lo general una superficie y. . y). y reciben el nombre de curvas isotermas. Rm ) con D ⊂ Rn . Ahora nos fijaremos en la función real de dos variables. cada recta perpendicular al plano XY corta a la superficie a lo más. es decir las aplicaciones x ∈ Rn 7−→ f (x) ∈ Rm . El conjunto D es el dominio de la función. Todo lo dicho se extiende normalmente a funciones reales de tres o más variables. si pensamos que T (x. . es decir. Un procedimiento que puede servir de ayuda es el utilizado por los fabricantes de mapas. . mientras que z es la variable dependiente. . decimos que x e y son las variables independientes. Las curvas de contorno se utilizan en meteorolog´ıa. el mapa de contornos. Bosquejar la superficie correspondiente a una función z = f (x. y). como el conjunto de todos los puntos (x. y) representa la temperatura en un punto (x. consideraremos D como el dominio natural. y) es con frecuencia una tarea dif´ıcil. Funciones de varias variables Las funciones que van a ser objeto de estudio son las de la familia F(D. como a cada punto (x. el caso m = 1. n = 2. . x2 . El rango de una función es su conjunto de valores. y una colección de tales curvas es una gr´ afica de contorno o mapa de contorno. y) del plano para los que la regla de la función tiene sentido y proporciona un valor numérico real. xn ). Si z = f (x. es decir.2. Como x = (x1 . si fr tiene l´ımite l en a. entonces f tiene l´ımite l en a seg´ un toda recta r que pase por a. δ) ∩ D. de hecho. ∃δ > 0 tal que: si x ∈ B ∗ (a. si para cada K > 0 existe un δ > 0 tal que. Se dice que l ∈ R es el l´ımite de f en el punto a si se verifica: ∀ε > 0. recurriendo a las bolas de R2 y R. Sea f ∈ F(D. el punto (a. Si r es una recta de R2 que pasa por el punto a. lo que sólo se . no es suficiente que f tenga l´ımite l en a en todas direcciones para poder garantizar que f tenga l´ımite l en a. se escribe: l´ım f (x) = ∞. R) una funci´ on definida en D ⊂ R2 . 51 L´ımite de una funci´ on Recordemos previamente la definición de l´ımite de una función real de variable real. consideremos la restricci´ on de f a r.3. En lo sucesivo. ∃δ > 0 tal que: (x ∈ D \ {a}. Nota 4. y) y por a.3.3. kx − ak < δ) =⇒ |f (x) − l| < ε. Sea f ∈ F(D. intuitivamente se trata de ver que los valores de la función están cerca de l cuando x está próximo a a. se verifica |f (x)| > K. δ) ∩ D ⇒ f (x) ∈ B(l.3. Vemos ahora la definición de l´ımite infinito Definici´ on 4. para todo x ∈ B ∗ (a.3 (L´ımites direccionales). y supongamos que a es un punto de C ∩ r. es decir. R) una funci´ on definida en D ⊂ R2 . y sea a ∈ R2 un punto de D. por x notaremos el punto (x.3. y ponemos de manifiesto que formalmente son iguales.2. Cuando as´ı ocurre. diciendo: ∀ε > 0. sin embargo. Es evidente que si f tiene l´ımite l en a. Se dice que f tiene l´ımite l en a seg´ un la direcci´ on r.4.1. La condición anterior se puede expresar. Sea f : D → R una funci´ on definida en D ⊂ R2 . la funci´ on fr : D ∩ r → R definida por fr (x) = f (x) para todo x ∈ D ∩ r. y sea a ∈ R2 un punto de D. ε). Se dice que f tiene l´ımite infinito en a. Definici´ on 4. x→a Definici´ on 4.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 4. b). y sea a ∈ R2 un punto de D. después. es que si f tuviera l´ımite en a. x→a l2 = l´ım x→a µ ¶ l´ım f (x. En tal caso. Si existe y vale l el l´ımite de f en (a. x→a Para el otro l´ımite reiterado se verifica un teorema análogo. y sea (a. pero no existe. a esta misma conclusión llegar´ıamos en el caso de que f tuviera en a l´ımites direccionales distintos seg´ un dos rectas diferentes. y) y→b significan: a) Para cada valor “ y” de un cierto entorno reducido de b. al punto b. b) ∈ R2 un punto de D. Notas 4. cuando x → a. entonces existe y vale l el l´ımite reiterado l´ım y→b ³ ´ l´ım f (x. Se˜ nalemos también que si no existiera el l´ımite de f en a seg´ un una cierta recta r.52 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) puede asegurar.3. y). Las expresiones l1 = l´ım y→b ³ ´ l´ım f (x. b) ∈ R2 un punto de D. Sea f : D → R una funci´ on definida en D ⊂ R2 .3.7. y) . y). y sea (a. dicho l´ımite ser´ıa l.5 (L´ımites reiterados). b). .6. a l1 se le llama l´ımite reiterado de f cuando x tiende primero a a e y tiende. entonces f no tendr´ıa l´ımite en a. Sea f : D → R una funci´ on definida en C ⊂ R2 . al que llamaremos (por depender de y).3. se considera la funci´ on x 7→ f (x. Teorema 4. y) . y si. con carácter general. Esto puede extenderse a otros tipos de conjuntos r. existe el l´ımite de la funci´ on x 7−→ f (x. para cada “ y” de un entorno reducido de b. ϕ(y) = l´ım f (x. b) Se supone que esta funci´ on tiene l´ımite cuando x → a. x→a c) La funci´ on y 7→ ϕ(y) tiene l´ımite l1 cuando y → b. Definici´ on 4. y). Puede ocurrir: 1) La función tiene l´ımite en un punto. ninguno de los l´ımites reiterados (o uno de ellos). en dicho punto. An´ alogamente con l2 . no necesariamente rectas. 4. existe un δ > 0 tal que: [x ∈ D. Si a es un punto no aislado de D. la condición de continuidad se cumple trivialmente.2. propiedades que son consecuencia de las propiedades análogas de los l´ımites.4. Se dice que f es continua en a si se verifica : ∀ε > 0. Definici´ on 4. y la continuidad de la función compuesta de dos funciones continuas. Sea f : D → R una funci´ on definida en un conjunto D ⊂ R2 .4. sus dos l´ımites reiterados y son distintos. en un punto.4.1. Si la funci´ on f no es continua en un punto a de D. En tal caso la discontinuidad ser´ a evitable o esencial seg´ un exista o no el l´ımite de f en a. y sea a ∈ D. Se dice que f es continua en un conjunto C ⊂ D. la función es continua en a. 3) La función tiene.4. Si a es un punto aislado de D.3. kx − ak < δ] ⇒ |f (x) − f (a)| < ε. si y sólo si f tiene l´ımite en a y dicho limite es f (a). pero no existe su l´ımite en el punto. si es continua en todo punto de C.4. Estudiamos a continuación el álgebra de funciones continuas. el anterior teorema permitirá asegurar que una función no tiene l´ımite en un punto. Funciones continuas Definici´ on 4. por lo que toda función es continua en los puntos aislados de su dominio. se dice que f es discontinua en a. Definici´ on 4.4. En ocasiones.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 53 2) La función tiene en un punto sus dos l´ımites reiterados y son iguales. Notas 4. . 54 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Proposici´ on 4. 4. su producto f · g y su cociente f /g (siempre que g(a) 6= 0).1. y). la definición (1) nos conduce de modo natural a la siguiente definición de derivada direccional (de f en a) respecto del vector u: f (a + λu) − f (a) . con λ ∈ R.5. Se llama derivada parcial primera de f respecto de la variable x en el punto a = (a.5. al l´ımite (si existe y es finito) ∂x ∂f f (a + h. donde x = (x. y) es un vector de R2 (las variables son x. se ve que la derivada ϕ′ (a) es el l´ımite.5. Si x se acerca a a siguiendo la dirección de un vector u 6= 0.1. Diferenciabilidad Cuando se estudian las derivadas de una función x 7−→ ϕ(x) de una sola variable real. No obstante.4. b) (a. si se toma x = a + λu. b) = l´ım h→0 ∂x h Se llama derivada parcial primera de f respecto de la variable y en el punto a = (a. b) − f (a. b) ∈ S. lo que conduce a las llamadas derivadas parciales que dependen de la dirección con que nos acerquemos al punto a. vamos a considerar una función de varias variables x 7−→ f (x). y se hace que λ → 0. ahora. b) ∂f (a) y se denota por fx′ (a). y un punto a ∈ R2 . h→0 x−a h (1) Pero nosotros. esto es. Derivadas parciales Definici´ on 4. entonces también son continuas en a su suma f + g.5. b) . kuk = 1. En este caso. 4. no podemos proceder como antes por motivos evidentes (tendr´ıamos que dividir por un vector). si existe y es finito: ϕ′ (a) = l´ım x→a ϕ(x) − ϕ(a) ϕ(a + h) − ϕ(a) = l´ım . que son continuas en un punto a ∈ D. [D1 f ] (a). λ→0 λ Du f (a) = fu′ (a) = l´ım (2) De ah´ı que se den las siguientes definiciones de derivadas parciales de una función de varias variables. Si f. podemos limitar la variación de x a una recta que pase por a. Sea f : S ⊂ R2 → R y a = (a. g son dos funciones reales definidas en un mismo conjunto D ⊂ R2 . b + h) − f (a.3. Si la funci´ on f : S ⊂ R2 → R tiene derivadas parciales en todos los puntos del abierto S.5. Se llama derivada direccional de f en el punto (a. (fy′ . Definici´ on 4. de S en R) definida ∂x ∂y por: µ ¶ ∂f ∂f (x. b). y) = . y). b) ∂f (a. se procede de igual forma considerando constante la variable x. Sea la funci´ on f : S ⊂ R2 → R. b) ′ fu (a. y) 7−→ (x. 0) = (0. b). b) y en la direcci´ on del vector u y se denota por ∂f (a. y) = xy . se llama vector gradiente de f en (a. Sea f : S ⊂ R2 → R una funci´ sideremos un punto (a. Si existen las derivadas parciales de f en un punto (a. b) ∈ S. 0). se llama funci´ on derivada (parcial) de f respecto de x (respecto ∂f ∂f ′ de y) a la aplicaci´ on fx . D2 [f ] . 0) = 0. b) al vector: µ ¶ ∂f ∂f ∇f (a. b) ∂f (a. y) ∂f ∂f (x. 55 ∂f (a) al l´ımite (si existe y es finito) ∂y f (a. [Du f ] (a. 4. y) = ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y En la práctica. 0). de S en R. como se puede comprobar con la función: f (x. . b) = l´ım h→0 ∂y h Definici´ on 4. no garantiza la continuidad de la función en dicho punto.5. y) 6= (0.5. Para derivar parcialmente respecto de y. y) ∂f ∂f : (x. b) = l´ım h→0 ∂u h .FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES y se denota por fy′ (a). b) .2. b) = (a. . para calcular la derivada parcial respecto de x de una función f (x. y) 7−→ (x.2. [D2 f ] (a).4. b). f (0. x2 + y 2 que no es continua en el origen y sin embargo. (a.5. consideraremos que la variable y es constante y se procede como en el caso de una variable. ConDefinici´ on 4. : (x. D1 [f ] . ∀(x. Derivadas direccionales on definida en un abierto S ⊂ R2 . b) ∈ S y un vector unitario u = (cos α. al l´ımite (si existe y es finito) ∂u f (a + h cos α. ∇f (0. sen α). ∂x ∂y La existencia de derivadas parciales en un punto. b + h sen α) − f (a. x y . 0) = f (0. y)] − f (a. k(x. 0) Es claro que ∂x ∂u ∂f ∂f y que (a. y) = 0. b) · u. b) = (a. y)k Si la función f : S → R es diferenciable en todos los puntos de S. ∂y ∂v La existencia de todas las derivadas direccionales de una función en un punto tampoco garantiza la continuidad de la función en dicho punto. b) cuando existen y son finitas las derivadas parciales de f en (a.5. El rec´ıproco. b) = (a. y) 7−→ df (x.5. 1). y) 6= (0. Veamos. b) + (x. El rec´ıproco. b). con u = (1. f (x. y) = 0. como lo prueba la funci´ on: 3 Si existen y son continuas las derivadas parciales f (x. es falso. a continuación unas propiedades de las funciones diferenciables Proposici´ on 4. se dice entonces que f es diferenciable en S y a la aplicación df definida (en S) mediante df : (x. Se dice que f es diferenciable en (a. b) y se verifica: derivada direccional ∂u ∂f (a. Sea f : S ⊂ R2 → R y (a. ∂u ∂f ∂f . b). generalmente. 0). en general. 0) = 0. entonces existe la ∂f (a.6. b) ∈ S. b) = ∇f (a. entonces f es ∂x ∂y diferenciable en (a.5. b). ∀(x. + y4 x2 Diferenciabilidad Definici´ on 4. y) = ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y se le llama diferencial de la función f . xy 2 . Si f es diferenciable en (a.y)→(0. y) = 4. b) y se verifica: l´ım (x. y 6= 0). f (0. b) y u es un vector unitario de R2 .3. b) · (x. b). 1. 2. (x 6= 0. y) = x2 sen 1 1 + y 2 sen .0) f [(a. com se puede comprobar con: f (x.56 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) ∂f ∂f (a.5. b) − ∇f (a. con v = (0. b). no es cierto. entonces f es continua en (a. en (a. Si f es diferenciable en (a. b). z es función de u y v. dt ∂x dt ∂y dt b) Dos variables independientes Sea z = f (x. x = x(u.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 57 Si f es diferenciable en (a. v)) y existen las derivadas parciales ∂u ∂v ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = · + · . 4. En este caso. y) en el punto (a. b)(y − b) ∂x ∂y Se llama plano tangente a la superficie z = f (x. y) hay cuatro posibilidades de obtener la derivada parcial segunda: ∂ a) Dos veces respecto de x: ∂x µ ∂f ∂x ¶ = ∂2f ′′ = fxx = D11 f . y son funciones diferenciables de u y v. para una función f (x. ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v Derivadas parciales de orden superior Al igual que sucede con las funciones de una variable. Regla de la cadena a) Una variable independiente. Sea z = f (x. es decir. y(u. es posible hallar derivadas parciales de una función de varias variables y de órdenes superiores a uno. y) una función diferenciable y supongamos que x.4. v). En concreto. v). b)(x − a) + (a. ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u 4. Entonces. b. c).5. existe la diferencial dt por: dz ∂z dx ∂z dy = · + · . v).6. ∂x2 ∂ b) Dos veces respecto de y: ∂y µ ∂f ∂y ¶ = ∂2f ′′ = fyy = D22 f . ∂y 2 . y) una función diferenciable y supongamos que x. el plano de ecuación: z−c= ∂f ∂f (a. y = y(u. y son funciones difedz y viene dada renciables de una u ńica variable t. b) y f (a. ∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = · + · . b) = c. ∂f ∂f y que vienen dadas por: z = f (x(u. y) = ¯¯ ¯ ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y ¯ ∂2f ∂ 2 f ¯¯ ¯ ¯ ¯ ∂x∂y ∂y 2 .1. b).7. ∀(x. f (a. d) es el m´ aximo absoluto de f en D. b) es un m´ aximo relativo de f si f (a. d) ∈ D tales que f (a. = fyx ∂x∂y Extremos Definici´ on 4.7. (a.b) . b) ∈ D Se dice que (a. y) ∈ C(a. y). f (a. b) es un m´ınimo relativo de f si f (a. Sea f : D ⊂ R2 → R una funci´ on dos veces derivable. b) ∈ S.7. b) ∈ D y C(a. y). b). b). y f (c. d) ≥ f (x.7. Si f (x. Si f (a.7. Sea f : D ⊂ R2 → R y (a.b) . Definici´ on 4.58 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) ∂ c) Respecto de x y respecto de y: ∂y ∂ d) Respecto de y y respecto de x: ∂x 4.5. (a. entonces f (a. ∀(x. b) ≤ f (x. y). µ µ ∂f ∂x ∂f ∂y ¶ ¶ = ∂2f ′′ = fxy = D12 f . y) ∈ S. ∀(x. b) es el m´ınimo absoluto de la funci´ on f en S. Se define el Hessiano de f en un punto (x.7. Sea f : S ⊂ R2 → R y (a. b) ≤ f (x. ∀(x. 0) o bien que no existan alguna de las ∂f ∂f (a. y) como el determinante: ¯ 2 ¯ ¯ ∂ f ∂2f ¯ ¯ ¯ ¯ ∂x2 µ 2 ¶2 ∂x∂y ¯¯ 2 2 ¯ ¯= ∂ f ·∂ f − ∂ f H(x. derivadas parciales ∂x ∂y Definici´ on 4.2. y) ∈ C(a. entonces f (c. y) ∈ S. b) es el m´ınimo absoluto de f en D. entonces existen (a. Sea f : D ⊂ R2 → R .3. d) es el m´ aximo absoluto de la funci´ on f en S. y).b) un disco abierto que contiene a (a. y) es continua en una regi´ on cerrada y acotada D ⊂ R2 . Definici´ on 4. b). ∂y∂x = ∂2f ′′ = D21 f . b) = (0. Si f (c. Proposici´ on 4. b) ≥ f (x.4. b) es un punto cr´ıtico de f si se verifica que ∇f (a. (c. · · · ) considerando todas las variables independientes y las λi constantes. b) ∈ S Se verifica: Si H(a. y. Ejemplo 4. Para hallar los m´ aximos y m´ınimos de una funci´ on z = f (x.    Ligadura1 :    Ligadura2 : x2 + y 2 + z 2 − 11 = 0 x+y+z−3=0 f (x. entonces f (a. · · · . · · · ) de m + n variables ligadas por las n ecuaciones F1 (x. z) representa la temperatura en cada punto de la esfera x2 +y 2 +z 2 = 11. f (a. · · · ) − · · · − λn Fn (x. b) > 0 y ∂2f (a. Nota 4. y. entonces f (a.7. y. z) = 20+2x+2y+z 2 . b) es un m´ınimo relativo. b) < 0. ∂x2 Si H(a. y. buscamos el m´ aximo y el m´ınimo de la funci´ on w(x.7. · · · ) = f (x. b) es un punto de silla.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 59 Teorema 4. · · · ). y.7 (Multiplicadores de Lagrange). y. hallar las temperaturas extremas sobre la curva intersección de la esfera con el plano x + y + z = 3 ´ SOLUCION Función: T (x. · · · ) − λ1 F1 (x. Fn (x. y. b) es un m´ aximo relativo.8. · · · ) − λ2 F2 (x. · · · ). b) > 0 y ∂2f (a.7. y. b) < 0. Si T (x. y.6 (Condición suficiente de extremo). b) ∈ D con derivadas de segundo orden continuas en una regi´ on abierta S tal que (a. y. y. z) = 20 + 2x + 2y + z 2 . ∂x2 Si H(a. b) > 0. · · · ). y. Sea f : D ⊂ R2 → R una funci´ on dos veces derivable en el punto cr´ıtico (a. y. La función T (x. F2 (x. z) = 20 + 2x + 2y + z 2 − λ(x2 + y 2 + z 2 − 11) − µ(x + y + z − 3) . z =3−2∓ 3 2 luego P3 2 2 2 2 Ã √ √ √ √ ! √ √ ! 2 3 2 3 2 3 4 3 2 3 4 3 1+ . −1. 3x − 6x − 1 = 0. 1) Si x = −1. 2x + z = 11.1 + . x = 3. Yendo a las ligaduras con z = 1: x2 + y 2 + 1 = 11. P2 . obtendr´ıamos los mismos resultados anteriores. z = 1. P4 1 − . y = 2 − x Si x = 3. λ = 0. x + y = 2. . x = y = 1 ± . luego también es punto cr´ıtico P2 (−1. 2x + (3 − 2x) = 11. λx = λy. x2 + y 2 = 10. x− 2x − 3 = 0. x = −1 x + y + 1 = 3. . 2 = 2z. µ = 2z − 2λz [3] ∂z de [1] y [2] se obtiene: 2 − 2λx = 2 − 2λy. ńicos puntos cr´ıticos. entonces y = 2 + 1 = 3. ó x = y a) λ = 0 Si λ = 0. por lo que P1 . y P4 son los u Como T (P1 ) = T (P2 ) = 25 y T (P3 ) = T (P4 ) = grados y la m´ınima es 25 grados. µ = 2. P3 . µ = 2 − 2λx [1] ∂f = 2 − 2λy − µ = 0 ∂y . z√ = 3 − 2x √ 4 3 = 1 ∓ 4 3. 91 91 . 3 2x + z = 3.60 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) ∂f = 2 − 2λx − µ = 0 ∂x .1 + 3 3 3 3 3 3 Ã En estos cálculos hemos utilizado la condición [1]=[2]. Si utilizásemos las condiciones [2]=[3]. x2 + (2 − x)2 = 10. entonces y = 2 − 3 = −1. luego un punto cr´ıtico es P1 (3.1 − . la temperatura máxima es de 3 3 .1 − . 1) b) x = y √ 2 3 Si x = y. ó [1]=[3]. µ = 2 − 2λy [2] ∂f = 2z − 2λz − µ = 0 . 3. b constantes positivas). z) = cos xD1 g(x.Hallar el gradiente de la función f (x. 2. 6. y) = arctan x+y x−y b) f (x. 4. y) − yD2 f (x. 0. 2z un la dirección 3.La temperatura en cada punto (x. y.3) sea lo más grande posible. b) Encontrar la dirección en la que la velocidad de variación de la temperatura en el punto (4.Comprobar que cada una de las funciones siguientes verifica la ecuación indicada: f (x. y) = log f) x+y x−y f (x.Calcula las derivadas parciales de las funciones: a) f (x. y) = x2 − xy + y 2 en el punto (1. y. z) = 0. y) = (x − y) cos(x + y) µ ¶ x+y g(x. c) Si en un momento . y) = exy + sen (x + y) xD1 f (x. c) ¿Cuánto vale dicha velocidad? 7. y.. z) + zD3 g(x. 2′ 98).. ¿Y m´ınima?.. 1) seg´ que forma un ángulo de 60◦ con el semieje OX positivo.La cantidad de calor Q desprendida cuando x moléculas de SO4 H2 se mezclan con y ay moléculas de H2 O es Q = (a.Hallar la derivada de la función f (x. y) = x2 − y 2 en el punto (1. ¿En qué dirección es máxima?.. Se sabe que en el punto (4. z) + yD2 g(x.3) la temperatura es de 75o . y. y) = cos(x2 +y 2 ). y) = 100 − (x2 + y 2 ).Hallar la derivada de la función f (x. b) Idem por molécula de ácido a˜ nadida si la cantidad de agua es constante.. z) = x3 − y 3 − 3xy(x − y) + ez en el punto (0. 1) seg´ un la dirección que forma un ángulo α con el semieje OX positivo.. y. y) = p x x2 + y2 e) f (x. y) = x2 +y 2 cos(xy) d) f (x. 0). ¿Y nula? 5.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 61 Ejercicios y Problemas 1. y) de una placa circular delgada de radio 10 cent´ımetros viene dada por T (x.. a) Encontrar un valor aproximado de la temperatura en el punto (4′ 01. Hallar el incremento de bx + y calor por molécula de agua a˜ nadida si la cantidad de ácido es constante. y) = cos(3x) sen(3y) c) f (x. y = r sen t.. 10.Idem si es f (x. es decir. y = e . y) = p y 2 − x2 . 15. y = 2sen t. y = (u − v)/2...Demostrar que una función de la forma f (x. D22 f (x. Comprobarlo hallando la expresión de f en términos de t. y z = t2 . y = cos t. y) + D22 f (x. hallar las derivadas parciales respecto de las variables r. y) = e(x +y 2 )/x . df cuando se realiza el cambio de variables dt 2t 3t x = e . 8. donde f1 y f2 son derivables dos veces y a es una constante.. 16. . z) = p x2 + y 2 + z 2 . e y aumenta en un 10 por 100. y = v. 17. y) = 0.62 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) dado el n´ umero de moléculas de ácido es diez veces mayor que el de agua.Dada la función f (x. y = rsen s cos t y z = rsen t. es solución de la ecuación unidimensional de ondas. y) cuando se realiza el cambio de variables dado por: x = (u + v)/2. 9. y.Dada la función f (x.. t) = a2 D11 f (x. 12.Idem si es f (x. x = r cos t. y) = cos(xy). hallar la variación de calor si x aumenta en un 5 por 100.Demostrar que la función f (x.. z) = x2 + xyz. y. y el cambio x = et . y) = log x + x2 arc cos y.Transformar la ecuación D1 f (x.. hallar 11. x = r cos s cos t. hallar las derivadas parciales respecto de u y v al hacer el cambio de variables x = v cos u. es decir. y el cambio x = 2 cos t. y) = D2 f (x. ∆f = D11 f (x. hallar las derivadas parciales respecto de r y t cuando hacemos el cambio de variables a coordenadas polares. t)..Idem si f (x.Dada la función f (x. y = cos t. t) = f1 (x + at) + f2 (x − at). s y t al hacer el cambio a coordenadas esféricas.Dada la función f (x. y) = a log(x2 + y 2 ) + b cumple la ecuación de Laplace. 2 14. y) = ex 2 +y 2 y el cambio es x = sen t... 13. y) = ex + ey sujetos a x + y = 2. 19. con el semieje OX positivo. µ ¶ 1 1 c) Derivada direccional en el punto seg´ un la dirección que forma un ángulo .Calcula los extremos de f (x. 2 2 ¶ p 1 − x2 − y 2 .Halla las distancias máxima y m´ınima del origen a la elipse 5x2 + 6xy + 5y 2 = 8. y) = xyex+2y 20.Halla los extremos de la función f (x. 1. 24. 4 .Repetir el problema anterior si ahora la ecuación es xD2 f (x.Consideremos la función f (x... 22.. z) = x2 + y 2 + bxy + az. y) = x4 +x2 y +y 2 . y) = x4 +y 4 −4a2 xy +8a4 c) f (x... Halla la relación entre las constantes a y b para que el punto (1. 21. donde a y b son parámetros reales. z) = x + y + z sobre el elipsoide de ecuación x2 + 2y 2 + 3z 2 = 1. se pide: . y.Halla los extremos de f (x. 2 2 π de rad. y) = a) Dominio de la función. ~ b) Calcular ∇f µ 1 1 .Calcula los extremos relativos de las funciones: a) f (x. y) y hacemos el cambio a coordenadas polares. 1) sea √ extremo de f sobre la esfera de centro el origen y radio 3.FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 63 18.. b) f (x. 25. 23..Sea la función f : D ⊂ R2 → R dada por f (x. y.. y) = 6 − 4x − 3y sobre la circunferencia unidad. y) = yD1 f (x. 64 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) . |an − l| < ε. Una sucesi´ on de n´ umeros reales es una aplicaci´ on ϕ : N → R : n 7→ ϕ(n) = an .1. |an | > M . Definici´ on 5. si para todo M > 0. Se dice que {an } diverge a ∞ (l´ım an = ∞) si para cada M > 0 existe un n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 . y se denota por l´ım an = l.2. lo que se denota por l´ım an = +∞ (resp. existe un n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 . 65 . si para todo ε > 0. a −∞). Sucesiones num´ ericas Definici´ on 5.1.1.Cap´ıtulo 5 Series num´ ericas y series de potencias 5. l´ım an = −∞). y l ∈ R. Se dice que {an } converge a l. existe un n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 . Sea {an } una sucesión. Habitualmente se llama sucesión a la imagen de la aplicación y la representaremos por {an }n∈N . an > M (resp. Se dice que {an } diverge a +∞ (resp. an < −M ).1. n=1 an .2. k=1 El par ({an }. Llamamos sucesi´ on de sumas parciales de {an } a la sucesi´ on {Sn } definida por Sn = n X ak .2. {Sn }) se llama serie asociada a {an } y se denota por Definici´ on 5.2.66 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Se dice que {an } es oscilante si no es convergente ni divergente. Sean +∞ X an y n=1 1. se pueden sustituir varios términos por su suma efectuada. sin que var´ıe el car´ acter ni la suma de la serie. +∞ X n=1 n=1 +∞ X n=1 (λan ) = λ +∞ X n=1 +∞ X an + +∞ X bn . Se verifica: +∞ X (an + bn ) = n=1 +∞ X (an + bn ) es convergente y +∞ X (λan ) es convergente y n=1 2. Los siguientes resultados son válidos para todo tipo de series: .2. Si fuese convergente. n=1 Proposici´ on 5. llamamos suma de la serie al +∞ X an = l´ım Sn . bn dos series convergentes y λ ∈ R.3. n=1 an se dice que es convergente (resp. divergente. l´ımite de {Sn } y escribimos n=1 Proposici´ on 5.2. La propiedad asociativa no es válida para sucesiones oscilantes y la disociativa no es v´ alida en general.1. La serie +∞ X +∞ X an . Sea {an } una sucesi´ on de n´ umeros reales.2. 5. En toda serie convergente o divergente. os- n=1 cilante) si lo es la sucesi´ on {Sn }.4. Series: Definiciones y propiedades Definici´ on 5. Si +∞ X an y n=1 a) Si bn son series de términos positivos. an n=1 bn diverge. una tal serie converge si y sólo si {sn } está acotada. Si +∞ X 67 an es convergente. Sean +∞ X an y +∞ X an converge y l´ım +∞ X an diverge y l´ım n=1 a) Si +∞ X bn dos series de términos positivos. Teorema 5. entonces: n=1 +∞ X an converge y bn ≤ an a partir de un cierto n0 .3. entonces n=1 b) Si +∞ X n=1 +∞ X +∞ X n=1 Teorema 5. ya que su sucesión de sumas parciales {sn } es monótona creciente.1.3.5 (Condición necesaria de convergencia). Nota 5. Basta considerar an = 1/n (n ∈ N).2. entonces bn diverge.´ SERIES NUMERICAS Y SERIES DE POTENCIAS Teorema 5. . Series de t´ erminos positivos.3. Una serie +∞ X n=1 an se dice que es de términos positivos si an > 0 ∀n ∈ N. El rec´ıproco no es cierto.3. entonces n=1 l´ım an = 0.4 (Criterio de comparación por paso al l´ımite). an n=1 +∞ X bn =l>0o ´ +∞. Una serie de términos positivos nunca puede ser oscilante.2. Criterios de convergencia Definici´ on 5. entonces bn converge. entonces +∞ X an diverge y bn ≥ an a partir de un cierto n0 . Por tanto.3 (Criterio de comparación directa). Se verifica: n=1 n=1 b) Si n=1 bn converge. 5.3. n=1 +∞ X bn = l ≥ 0. Sea +∞ X +∞ X n=1 an y +∞ X 2n a2n tienen n=1 an una serie de términos positivos: n=1 a) Si ∃α > 1 : l´ım nα an ≥ 0.6 (Criterio de Prigsheim).3. +∞ X an diverge. Sea √ positivos y α = l´ım n an : a) Si α < 1. Sea positivos y α = l´ım an una serie de términos n=1 an : an−1 a) Si α < 1. Teorema 5. entonces las series el mismo car´ acter. Utilizaremos habitualmente la serie armónica generalizada (α > 0) que α n n=1 converge si α > 1 y diverge si 0 < α ≤ 1.3. entonces n=1 Teorema 5.68 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Estos criterios necesitan del conocimiento del carácter de algunas series que sirvan +∞ X 1 de test. o la serie geométrica converge si 0 < r < 1 y diverge si r ≥ 1. n=1 o +∞).3. entonces +∞ X an converge. entonces +∞ X n=1 an converge. Si +∞ X +∞ X rn (r > 0). n=1 Teorema 5.7 (Criterio del Cociente o de D’Alambert). que n=1 an es una serie de términos n=1 positivos y la sucesi´ on {an } es decreciente. n=1 b) Si α > 1. entonces b) Si ∃α ≤ 1 : l´ım nα an > 0 (´ +∞ X an diverge.3. +∞ X n=1 an una serie de términos . Teorema 5. entonces +∞ X +∞ X an converge.8 (Criterio de la ra´ız o de Cauchy).5 (Criterio de condensación de Cauchy). 4. entonces +∞ X an converge. Teorema de Leibnitz Definici´ on 5. bn se dice que es alternada si se verifica que ∀n ∈ N En lo que sigue. Sea ¶ µ an : l´ım n 1 − an−1 a) Si α > 1. con an > 0 ∀n ∈ N. por lo que podremos escribir las series alternadas como +∞ X n=1 bn = +∞ X n=1 (−1)n+1 an . +∞ X an una serie de términos positivos y α = n=1 n=1 b) Si α < 1. +∞ X an diverge.3. sin pérdida de generalidad.9 (Criterio de Raabe).´ SERIES NUMERICAS Y SERIES DE POTENCIAS b) Si α > 1. se considerará que b1 > 0. Sea +∞ X an una serie de términos positivos y n=1 α = l´ım log(1/an ) : log n a) Si α > 1. entonces +∞ X 69 an diverge.3. Series alternadas.4. entonces +∞ X an converge. n=1 b) Si α < 1.1. +∞ X an diverge. n=1 Teorema 5. entonces n=1 5. .10 (Criterio logar´ıtmico). entonces n=1 Teorema 5. Una serie +∞ X n=1 bn · bn+1 < 0. 2) La serie no converge en R \ [a − r. el error de aproximaci´ on es menor que el primer término despreciado. 1) La serie converge absolutamente en (a − r. Es decir. Sea ∞ X n=0 Se verifica: p n |an | = l´ım |an | .2. si {Sn } es la sucesi´ on de sumas parciales y S es la suma de la serie. Radio de convergencia Definiciones on de n´ umeros reales y a ∈ R.2 (Teorema de Leibnitz).5. a + r). Sea {an }n≥0 una sucesi´ ∞ X an (x − a)n .5.5. 0 < (−1)n (S − Sn ) < an+1 .70 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Teorema 5. Entonces +∞ X n=1 (−1)n+1 an una serie alternada con {an } (−1)n+1 an converge si y s´ olo si l´ım an = 0. Sea +∞ X n=1 decreciente.1. a + r].1. a + r) todos los casos de convergencia/divergencia son posibles. . ∞ X n=1 xn /n. En ese caso. Se llama serie Definici´ on 5. Los ejemplos ∞ X n=1 xn . ∞ X xn /n2 nos muestran que en los puntos extremos n=1 del intervalo de convergencia (a − r. |an−1 | an (x − a)n una serie de potencias de radio de convergencia r.4. 5.5. 5. de potencias centrada en a a la serie n=0 Se llama radio de convergencia de la serie al n´ umero real r = 1/λ siendo λ = l´ım Teorema 5. se verifica: ∀n ∈ N. Serie de potencias. 3. Se dice que una funci´ on f : S → R es anal´ıtica en un punto a ∈ S (f ∈ C ω (a)). Sea ∞ X n=0 an (x − a)n una serie de potencias de radio de convergencia r. si f (x) = an (x − a)n . n ≥ 0 y ∃E(a) ⊂ S : ∀x ∈ E(a) f (x) = ∞ X n=0 an (x − a)n . ∀x ∈ (a − r. 71 Continuidad y derivabilidad Definici´ on 5.´ SERIES NUMERICAS Y SERIES DE POTENCIAS 5.5. La funci´ on f : (a − r. ◦ Definici´ on 5.5. entonces f ′ (x) = g(x).5. La funci´ on f : (a − r.5.3. entonces la serie de potencias ∞ X n=0 n=0 nan (x − a) de convergencia r. Adem´ as. . y si g(x) es la funci´ on definida por dicha serie de potencias. Funciones anal´ıticas Definici´ on 5.4. Corolario 5.8.5. a + r). entonces n=0 f (n) (a) .6.5.5. Desarrollos en serie. Si f (x) es la funci´ on definida por la serie de potencias de radio de convergencia r.5. es continua en (a − r. a + r). an = n! 5. Teorema 5. Una funci´ on definida por una serie de potencias admite derivadas de ∞ X todos los ´ ordenes en su dominio de definici´ on. a + r) → R dada por f (x) = ∞ X n=0 an (x − a)n se dice que est´ a definida por la serie de potencias.7. es decir: f ∈ C ω (a) ⇔ ∃an ∈ R. ∞ X an (x − a)n n−1 tiene radio Teorema 5. cuando es indefinidamente derivable en S.5. y se escribe f ∈ C ∞ (S). cuando f puede expresarse en un entorno de a como una serie de potencias centrada en a.2. Una funci´ on f se dice que es de clase infinita en S ⊆ R. a + r) → R anterior. Sean f : S → R. Se llama serie de Taylor asociada a f en a a la serie ∞ X f (n) (a) (x − a)n .72 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Se dice que f es anal´ıtica en un abierto S ⊆ R (f ∈ C ω (S)). a ∈ S y f ∈ C ∞ (S). . una función f de C ∞ (a) es anal´ıtica cuando su serie de Taylor converge a f en un entorno de a. Una condici´ suficiente para que f sea anal´ıtica en a es que l´ım Tn (x) = 0. Sea f ∈ C ∞ (a). on necesaria y Teorema 5. Definici´ on 5. de potencias n! n=0 Por tanto.10. cuando f ∈ C ω (a). donde Tn (x) es el término n→∞ complementario del desarrollo de Taylor de f . ∀a ∈ S.9.5. El siguiente teorema nos proporciona un criterio para la analiticidad de una función f .5. n+1 c) (−1)n . bn n=1 ∞ X xn . (n + p)2n+p n=2 b) Sumarla.Estudiar la convergencia y la convergencia absoluta de las series cuyos términos generales son: a) (−1)n+1 √ ..´ SERIES NUMERICAS Y SERIES DE POTENCIAS 73 Ejercicios y Problemas 1. b) . si se puede. c) Obtener la suma para a = 1.Estudiar el carácter de las series cuyos términos generales son: µ ¶n p n+1 n2 n3 . n+1 n=1 ∞ X n! n x .Hallar el radio de convergencia de las series de potencias: a) e) ∞ X (n + 1)(x − 1)n ... entonces s´ umese.a) Estudiar la convergencia de la serie ∞ X (n2 − 1)pn .. (2n)! 2. d) ∞ X (x − a)n .Se considera la serie √ n . h) a > 1. n (−1)n b) 3. 1 + an n=1 ∞ ³ 2 X n + 1 ń n=1 n xn .a) Estudiar la convergencia de la serie ∞ X n+1 n |x − 3| seg´ un los valores de x ∈ R. ∞ X an+1 n2 + n n=1 a) Estudiar el carácter seg´ un los valores de a > 0. (2n)! k) l) g) 1 . 4. para p = 1. n2n (n!)2 n 5 . b) Probar que si a = −1. (n + 2)(n + 3) n=1 ∞ X n=1 (−1)n nn xn . nn i) j) 3n − 1 √ 2n (n!)2 . n! . f) b) ∞ X (x + 2)n log n √ . nn n=1 b > 0. . n+1 n! 2n − 1 µ h) n 3n − 1 ¶2n−1 . na d) (−1)n µ 2n + 100 3n + 1 ¶n . 5.. c) ¿Es convergente para p = −1? 6. nn n=1 g) c) ∞ X xn . la serie es convergente.. n 3 n=0 b) Si para x = 4 es convergente. d) (2n)−1 . e) f) a) n n2 + 1. seg´ un los valores de p > 0. 74 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) . 1. Si F es una primitiva de f .- Z (f (x) + g(x)) dx = Z f (x)dx = F (x) + C. Z Z 1.αf (x)dx = α f (x)dx.1. Sea f : S ⊆ R → R. Definici´ on y propiedades Definici´ on 6. Proposici´ on 6. nos permiten realizar variados ejercicios como inicio en el cálculo de primitivas. Una primitiva de f es una funci´ on F : S ⊆ R → R tal que F ′ (x) = f (x).1. 2. ∀α ∈ R constante.1.4. 75 .Cap´ıtulo 6 C´ alculo de primitivas 6. y se denota por Z Propiedades 6. ∀x ∈ S. f (x)dx + Z g(x)dx.1.2. Se llama integral indefinida de f al conjunto de todas sus primitivas. Estas propiedades junto con la tabla de integrales inmediatas. entonces todas las primitivas de f son de la forma F (x) + C (C ∈ R) Definici´ on 6. con S abierto.1.3. M´ etodo de sustituci´ on. Z Si F (x) = f (x) dx. Por tanto Z f (ϕ(t)) ϕ′ (t)dt = (F ◦ ϕ)(t). i=1 Z f (x)dx = Z "X n # αi fi (x) dx = i=1 n X αi i=1 Z fi (x) dx. Si fuese gr(p) ≥ gr(q). f (x) = entonces n X αi fi (x). p(x) una función racional tal que el grado del polinomio p(x) es menor que el q(x) r(x) p(x) = c(x) + y el grado de q(x). Se basa en la propiedad 6. Z Z F (x)g(x) dx + Z f (x)G(x) dx. Si F ′ (x) = f (x). entonces F ′ (x) = f (x). Si f (x) se puede escribir como una combinación lineal de funciones.3. puede ocurrir: . Sea Descomponiendo q(x) en factores.76 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 6.1. Luego (F G)(x) = por lo que 6. Se basa en la regla de la derivación del producto. G′ (x) = g(x). y (F ◦ ϕ)′ (t) = f (ϕ(t)) ϕ′ (t).4 anterior. M´ etodo por partes. M´ etodos generales de integraci´ on M´ etodo de descomposici´ on. dividiendo obtendr´ıamos: q(x) q(x) grado del resto es menor que el del divisor. F (x)g(x) dx = F (x)G(x) − Integraci´ on de funciones racionales Se basa en el método de integración por descomposición. entonces (F G)′ (x) = F (x)g(x) + f (x)G(x). Z f (x)G(x) dx. Se basa en la regla de la cadena.2. . hacemos el cambio cos x = t. por consiguiente. entonces existen A1 . αn . x − αi que son integrales inmediatas. α2 . A2 . AN ∈ R tales que A1 p(x) A2 An = + + ··· + . Supongamos que q(x) tiene la ra´ız compleja z1 = α + βi. Como [x − (α + βi)][x − (α − βi)] = (x − α)2 + β 2 = ax2 + bx + c. cos x)dx. pero con la particularidad que al factor (x − β)i le corresponder´ıan los sumandos Bi B1 B2 + ··· + . . . que es inmediata q(x) (x − β)i también. • Si R es impar en seno. tendr´ıa también la ra´ız conjugada z2 = α − βi. + 2 x−β (x − β) (x − β)i Z Z p(x) Bi La u ńica novedad en la integral dx ser´ıa dx.4. . . por ejemplo. c) q(x) tiene ra´ıces complejas simples. En este p(x) caso se procede a la descomposición de en fracciones simples en la misma forma q(x) que en el caso a). en la descomposición en fracciones al par de ra´ıces complejas le corresponderá la fracción Mx + N . luego q(x) x − α1 x − α2 x − αn Z n X p(x) dx = q(x) i=1 Z Ai dx. (x − α)2 + β 2 cuya integral se reduce a dos inmediatas con el cambio de variable x − α = βt. 6. . Integrales reducibles a racionales Sea R una función racional en sus argumentos. . b) q(x) tiene ra´ıces reales m´ ultiples.´ CALCULO DE PRIMITIVAS 77 a) q(x) sólo tiene ra´ıces reales simples α1 . . ra´ız β con multiplicidad i ∈ N. a) Z R(sen x. r. " µ µ ¶m/n µ ¶p/q ¶r/s # Z ax + b ax + b ax + b . • Si no se da ninguno de los casos anteriores. Hacemos el cambio bx = a sec t. (n. pero también podemos proceder as´ı: • Si a > 0. q. Z ´ ³ p R x. hacemos el cambio a + bxq = tα . donde α es el denomi+ r es entero. Escribiendo ax2 + bx + c = a(x + α)2 ± β 2 se reduce al caso c). a. q. b ∈ R. . . hacemos el cambio tan x = t. • Si R es par en seno y coseno. a2 + b2 x2 dx. b) R x. . . p+1 a + bxq • Si = tα . hacemos el cambio xq = t.. hacemos el cambio sen x = t. a2 − b2 x2 dx. donde α es el denominador • Si q de r. n. hacemos el cambio q xq nador de r. √ • Si c > 0. q. p. cx + d • c) • • d) Z Z ³ p ´ R x. hacemos el cambio tan(x/2) = t. Hacemos el cambio bx = a sen t o bien bx = a cos t. hacemos el cambio √ ax2 + bx + c = √ ax + t. r ∈ Q. p. . .c. • Si r es entero. s). ³ p ´ R x. .78 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) • Si R es impar en coseno. . b2 x2 − a2 dx. ∈ Z. . con α = m. e) Z r xp (a + bxq ) dx. . . . Efectuamos el cambio: ax + b = tα .m. . √ • Si a < 0.. s ∈ Z \ {0}. p+1 es entero.. ax2 + bx + c dx. Z ³ p ´ R x. Hacemos el cambio bx = a tan t.. hacemos el cambio ax2 + bx + c = tx + c. . dx. cx + d cx + d cx + d con m. c < 0 hacemos el cambio ax2 + bx + c = t(x − α). con α ra´ız de √ ax2 + bx + c. sen x sen(3x) dx. 1 + x2 Z Z c) cos(6x−7)dx. p) Z √ √ ( x + 4)2 √ dx. j) Z ex sen x dx. h) dx. j) n) 2 Z ¶ Z √ √ 2 1 3 x − + 3 − x dx. x−1 Z 1 dx √ dx.Resolver las siguientes integrales de funciones racionales: a) Z 1 dx. h) Z d) Z x arctan x dx.. Z 2 x log x dx.. x2 + 4 o) Z k) Z sen 2x dx. g) dx. e) 2 9x + 4 l) x dx. b) 2 x sen x dx. 1 − x4 Z 2. 1+ x √ x3 dx. x3 + x x3 − 2x2 + 3x (x2 + 1)(x2 + 2) 3. g) dx. 2 b) Z 2 5 (6x −7) xdx. x Z 1 dx.. c) dx.. x x Z p Z 12 2 g) x x + 4dx. x2 + 2x + 4 b) Z Z Z 4 x3 3x + 5 x − x3 − x − 1 dx. √ x sen x2 + 4 √ dx. 2 (x −1) xdx. f) x sen(3x2 −5)dx.´ CALCULO DE PRIMITIVAS 79 Ejercicios y Problemas 1.Integrar por partes: a) f) Z Z x sen x dx . √ x 1 + x dx. (1 + x) x c) Z . f) 3 2 (1 + x) x 4 + x2 (x + 2) − x − 2 b) Z 1 √ dx. h) dx. x2 − 4 e) Z x3 dx. i) Z e) Z arctan x dx. d) dx. Z µ √ x6 (7x7 +π)8 sen(7x7 +π)9 dx.Resolver las siguientes integrales: a) Z e) Z i) Z m) Z 2 2 (x −1) dx. x √ dx. x3 + x2 − 6x x3 − x2 − x + 1 x3 − x2 Z Z 4 Z 3 1 x − 2x3 + 3x2 − x + 3 x + x2 + x + 2 f) dx. d) 3x + 2dx.Obtener las primitivas de las siguientes funciones irracionales: a) Z e) Z √ 4 x √ dx. h) x2 (x3 −2)− 7 dx. Z g) x xe dx. 4. d) √ (4 − 9x) x (1 + x)(1 + 3x) √ Z Z Z 3 x 1 x √ p √ 2 dx. Z 3 2x x e c) dx. cos2 x cos xe2 sen x dx. . 1 + cos x Z x−2 dx. 2 x x2 + 4 Z e2x dx. x c) g) Z l) Z x3 e2x dx.Hallar las siguientes primitivas de funciones trascendentes: a) Z ex − 3e2x dx.. sen2 x − cos2 x b) Z tan3 x + tan x dx.Hallar las siguientes primitivas: a) Z x √ dx.. ex − 2 Z dx √ . 1 + 4 cos2 x h) Z sen xdx √ . 9 + cos4 x . sen x − tan x Z g) Z log(2x) dx. x2 Z √ f) Z 4 − x2 dx. sen x cos x dx.80 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 5. sen x · sen 2x Z sen x dx. tan x m) Z i) Z sen4 x dx . 1 − 2 tan x f) Z c) dx . x2 − 4x + 2 ex/3 sen(3x) dx. x log(4x) d) dx . k) Z √ sen x √ dx. x 9 − 4x2 Z √ h) x2 dx. 1 + ex e) Z cos x dx. x 9 − 4x2 b) 4 − x2 dx. 8 + 2x − x2 sen3 x dx . h) d) Z Z √ dx . sen x + cos x dx. 2x − x2 7. cos x 1 + cos x 6. efectuando el cambio de variable que proceda: a) Z e) Z √ dx √ . 9 + x2 e) Z log x dx. x j) Z √ f) b) Z sen x dx. 2x c) x2 √ dx.Hallar las siguientes primitivas . x2 − 4 Z √ g) 4 + 9x2 dx d) x Z 16dx √ . i = 1. . Los primeros trabajos en este sentido son debidos a Cauchy. .Cap´ıtulo 7 La integral definida 7.1. b] ⊂ R. .1. x1 . Definici´ on 7. Es lo que hoy conocemos como la integral de Riemann. Puesto que no todas las funciones iban a ser integrables. La idea era utilizar el concepto de l´ımite para definir la integral como el l´ımite de una suma de rectángulos y después probar la relación con la derivada. . el teorema fundamental de cálculo. Sea [a. es decir. Cauchy desarrolló estas ideas sólo para funciones continuas. en la primera mitad del siglo XIX se empezó a ver la necesidad de definir la integral de una función directamente. el cálculo integral se defin´ıa como la operación inversa a la diferenciación. pareja a la necesidad de extender la integral. . retomando la vieja idea del área. que exponemos a continuación. estableciendo un criterio de integrabilidad. xn = b} ⊂ [a. . b] tal que a = x0 < x1 < · · · < xn = b. ca. Un paso decisivo en este camino lo dio Riemann. . b] es un conjunto {a = x0 . 81 . . surge la necesidad de establecer criterios para saber que funciones son susceptibles de admitir una integral extendiendo la definición de Cauchy. que amplió la definición de integral para funciones no necesariamente continuas. sin embargo. Se llama di´ ametro de la partici´ on a máx{xi − xi−1 . 1750).1. n}. Integral de Riemann de una funci´ on En un principio (Euler. Una partici´ on P del intervalo [a. el conjunto de las sumas superiores de Riemann {U (f. b] la partición R = P ∪ Q ∈ P[a. Definici´ on 7. Q ∈ P[a. b]. siendo una cota superior cualquier U (f. El conjunto de las sumas inferiores de Riemann {L(f.1.82 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Dadas dos particiones P1 . Q). xn } ∈ P[a. Proposici´ on 7. P2 de un mismo intervalo. P ) : P ∈ P[a. y por consiguiente. Exponemos ahora unas propiedades de las sumas superior e inferior que nos permitirán definir la integral superior e inferior de Riemann. P ). Sea f : [a.2.1. 3. b] → R acotada y P = {x0 . Q). Se llama suma superior de Riemann de f respecto de P a U (f. P ) ≤ U (f. Nota 7.1. xi ]}.3. Se llama suma inferior de Riemann de f respecto de P a L(f. x ∈ [xi−1 . la integral. P ) ≤ L(f. P ) = n X i=1 Mi (xi − xi−1 ). b] es más fina que P y que Q. . y sean mi = ´ınf{f (x). Llamaremos P[a. . P ) ≥ U (f.5. siendo una cota inferior cualquier L(f. se dice que P1 es m´ as fina que P2 si P2 ⊂ P1 . Sea f : [a. Si P. Mi = sup{f (x). xi ]}. P ) = n X i=1 mi (xi − xi−1 ). L(f. L(f. b]. P ) ≤ U (f. Si Q es m´ as fina que P entonces. P ). b]} est´ a acotado superiormente. Q ∈ P[a. b]. P ). b] al conjunto de las particiones de [a.4. P ) : P ∈ P[a. x ∈ [xi−1 . . L(f. Nota 7. An´ alogamente. 2. se verifica: 1. . b]} est´ a acotado inferiormente. .1. Q) y U (f. x1 . b] → R acotada y P. como los siguientes: Ejemplos 7. b] a Z b f (x) dx = sup{L(f. b] y además. Z b f (x) dx. b] a Z b a Es claro que Z a b f (x) dx ≤ f (x) dx = ´ınf{U (f. b]}. Llamamos integral inferior de f en [a. b]. a a Al valor com´ un se le llama integral de Riemann de f en [a. f no es integrable Riemann en [0.2. . En este caso. f (x) = k.7. a Funciones integrables Comenzamos la sección con alg´ un ejemplo de funciones que sean integrables y que no lo sean. P ) : ∀P ∈ P[a.2.1. a Llamamos integral superior de f en [a.6. b]). P ) : ∀P ∈ P[a. Z b k dx = k(b − a). f (x) dx = Z b f (x) dx = a Z b f (x) dx. 1]. b] (lo que se denota por Z b Z b f ∈ R[a. y se escribe Z b a 7. Entonces f ∈ R[a. b]}. a Definici´ on 7. ∀x ∈ [a. a  1 si Sea f : [0. b].1. Sea f una función constante. 1] → R dada por f (x) = 0 si x∈Q x∈ / Q.LA INTEGRAL DEFINIDA 83 Definici´ on 7. Se dice que f es integrable Riemann en [a. si f (x) dx = f (x) dx.1. 3.1. b] y sean α ∈ R. g ∈ R[a. b]. b] y (f (x) + g(x)) dx = a 2) αf ∈ R[a. a 3) R[a. b] → R con f. Pn ) = l´ım L(f.2. . b] en n intervalos b−a iguales de amplitud . Si f : [a. Si f : [a. P ) − L(f.3. Teorema 7. Z b Z c Z f (x) dx = f (x) dx + a a c b f (x) dx. entonces. Se verifica Z b Z 1) f + g ∈ R[a.4. b] y Z b (αf (x)) dx = α a Z b f (x) dx + a Z b g(x) dx. se verifica n Z b f (x) dx = l´ım U (f. n→∞ n i=1 f (x) dx = l´ım a Teorema 7. b] si y s´ olo si para todo ε > 0. b]. a b f (x) dx. Pn ) n→∞ a n→∞ y si zi ∈ [xi−1 . b] → R acotada.2.5. si Pn es la partici´ on de [a. b] → R es mon´ otona. Sean f. b] = R[a. y ∀f ∈ R[a. c] ∩ R[c. g : [a. b] tal que U (f.3. f ∈ R[a. Si f : [a. existe una partici´ on P ∈ P[a. b). entonces. b] → R est´ a acotada y es continua salvo en un n´ umero finito de puntos. Teorema 7. entonces.2.2. f ∈ R[a. P ) < ε. b] → R es continua.2. b]. f ∈ R[a. Sea f : [a. c ∈ (a. Propiedades de las funciones integrables Proposici´ on 7.84 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) El siguiente resultado es una importante caracterización de la integrabilidad Riemann y tiene la ventaja de que en su enunciado no se necesita el valor de la integral. entonces. b] resultante de dividir el intervalo [a. Teorema 7. b]. f ∈ R[a. b]. Adem´ as. xi ] se verifica 1 b−a Z n b 1X f (zi ). 7. Teorema fundamental del C´ alculo Integral En esta sección abordamos este importante teorema y su corolario más conocido. Z 1) Si f ≥ 0 en [a. entonces Z b a a f (x) dx ≥ 0. b].LA INTEGRAL DEFINIDA 85 4) f · g ∈ R[a.3. ∃c ∈ [a. a Teorema 7. b]. b].3.2.b] [a. a Proposici´ on 7. b]. 5) |f | ∈ R[a. Para que formalmente sean válidas estas propiedades en los casos extremos. Sea f : [a. b f (x) dx ≥ ¯ Z ¯Z ¯ ¯ b b ¯ ¯ f (x) dx¯ ≤ |f (x)| dx. Entonces g ◦ f ∈ R[a. b] → R acotada y f ∈ R[a. 3) ¯ ¯ ¯ a a Z b g(x) dx. a Z a f (x) dx = − b Z b f (x) dx.4. b] tal que f (c) = 1 b−a Z b f (x) dx.3 (del valor medio integral). b]. la regla de Barrow.3. Adem´ as. b] y g : f ([a. b]. . a Teorema 7. que nos permitirá evaluar la integral de una función cuando se conozca una de sus primitivas. si f es continua en [a. Si m = ´ınf f y M = sup f . entonces 2) Si f ≥ g en [a. Si b > a.4. Sea f ∈ R[a. entonces [a. definimos: Z a f (x) dx = 0. b]. 7. b]) → R continua.b] m≤ 1 b−a Z a b f (x) dx ≤ M. b]) es derivable en c y adem´ as. Z a b ′ f (x)g (x) dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) − Z b f ′ (x)g(x) dx. y sea f continua en g ([a.1 (Integración por partes). b]. Sea f ∈ R[a. g : [a. b f (x) dx = G(b) − G(a). a Teorema 7.4.5. entonces F (x) es derivable en (a. b). b] → R definida como Z x f (t) dt (x ∈ [a.3. con F ′ (x) = f (x). b] → R derivable con g ′ ∈ R[a.4.2 (Integración por sustitución).5. entonces Z a 7. b).4. La funci´ on F : [a. Si f es Z del x continua en c ∈ [a. ∀x ∈ (a. g ′ ∈ R[a. b] y G(x) es una primitiva de f (x) en [a. b].1. Z b f (x)g ′ (x) dx = a Z g(b) g(a) f (t)dt. b]. b]. b].5.2 (Teorema fundamental Cálculo integral). Corolario 7. b] → R es continua en [a. Corolario 7. Entonces. Sean f. a F ′ (c) = f (c). . Si f : [a. b]). Sea f ∈ R[a. b]) F (x) = a es continua en [a. b] → R derivables tales que f ′ . (x ∈ [a.4. b]. Sea g : [a. b].4 (Regla de Barrow). Entonces. si f es continua en [a. En las condiciones del teorema anterior. por lo que F (x) es una primitiva de f (x). entonces F (x) = f (t) dt.86 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Teorema 7. b]. Integraci´ on por sustituci´ on y por partes Teorema 7. Teorema 7. −∞ a→−∞ a Definici´ on 7. b] para todo a < b. c integral impropia de segunda especie de f en [a. De ser as´ı. b] para todo b > a. se dice que la integral impropia es convergente. Se llama Z b). c] para todo c ∈ (a. se dice que la integral impropia es convergente. 87 Integrales impropias Se debe a Cauchy la primera extensión de la integral para funciones definidas en un intervalo no acotado y para funciones no acotadas en los extremos del intervalo.6. +∞) al l´ımite l´ım f (x) dx.2. Sea f : [a. +∞).6. Si existe el b→+∞ a l´ımite y es finito. b] → R con f ∈ R[a.6. comprobar´ıamos que es integrable en [a. La definición de integral impropia se debe a Riemann. b]. se define análogamente: Z b Z b f (x) dx = l´ım f (x)dx. b→+∞ a a Notas 7.6. . En caso contrario se dice que la integral impropia diverge. Se llama integral Z b impropia de primera especie de f en [a. Sea f : [a. a b→+∞ b→+∞ 2) Si f : (−∞. es lo que conocemos en la actualidad como valor principal de Cauchy. Si c→b a existe el l´ımite y es finito. asignándole a f un valor en b.1. a An´ alogamente se procede si f est´ a definida en (a. 7.3.1. entonces · ¸ Z +∞ f (x) dx = l´ım [F (b) − F (a)] = l´ım F (b) − F (a). b]. 1) Si f tiene primitiva F en [a. +∞) → R con f ∈ R[a. b) → R con f ∈ R[a.6.LA INTEGRAL DEFINIDA 7. Integraci´ on en intervalos no compactos Definici´ on 7. Si es convergente se escribe: Z b Z +∞ f (x) dx = l´ım f (x)dx. en caso contrario se dice que la integral impropia diverge. No se exige en esta definición que f sea acotada. b) al l´ımite l´ım− f (x) dx. y su valor se Z b denota por f (x) dx. que existe la integral impropia y que tienen el mismo valor. Se dice que f (x) dx es convergente si existe un c > a tal que f (x) dx e a a Z +∞ f (x) dx convergen. en cuyo caso.6. g : I → R tales que f (x) dx. b]. (a < b). I αg(x) dx = α I Z g(x) dx.7. . Definici´ on 7.6. +∞) → R con l´ım+ f (x) = ∞ y f ∈ R[b. I Definici´ on 7. (−∞. a]. −∞ a −∞ en ese caso. Sea f : R → R con f ∈ R[a. Sea f : R → R con f ∈ R[−a. a→+∞ −∞ −a Nota 7.6. c Z +∞ f (x) dx = a Z a c f (x) dx + Z +∞ f (x) dx c A estas integrales se les llama integrales mixtas de primera y de segunda especie.6. Z +∞ f (x) dx = −∞ Z a f (x) dx + Z +∞ f (x) dx.8. c] ⊂ x→a Z +∞ Z c (a. (a.5. entonces existe el valor principal de Cauchy y ambos coinciden.6. pero si f (x) dx converge. b ∈ R. Es claro que pueden darse definiciones análogas para otros tipos de intervalos. +∞). Sea I alg´ uZn intervalo Zde la forma [a. b). entonces también converI I Z Z αg(x) dx.4. ∀α ∈ R y se verifica: gen (f (x) + g(x)) dx y I I Z (f (x) + g(x)) dx = I Z f (x) dx + I Z Z g(x) dx. a −∞ Puede probarse que en la definición anterior el valor de a es irrelevante. [a. Decimos que Z +∞ Z a Z +∞ f (x) dx converge si existe un a ∈ R tal que f (x) dx e f (x) dx convergen. b]. Evidentemente no coinciden en general el valor principal Z +∞ de Cauchy con la integral impropia en todo R (tomar por ejemplo f (x) = x). Se llama valor principal Z +∞ Z a de Cauchy de f (x) dx al l´ımite l´ım f (x) dx. ∀a. c] ∀[b. +∞).88 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Teorema 7. −∞ Definici´ on 7. Y sean f. b]. Sea f : (a. ∀a ∈ R.6. g(x) dx convergen. 11 (Criterio de comparación por paso al l´ımite). +∞) → R con f (x) ≥ 0. Habitualmente utilizaremos las integrales: Z +∞ 1 dx (a > 0) que converge si α > 1. entonces a Z Z +∞ g(x) dx. ∀b > a. tales que f (x) ≥ 0. a +∞ g(x) dx diverge.6. a Z +∞ f (x) dx implica la convergencia de a Z +∞ g(x) dx. Se verifica: Z +∞ Z +∞ Si g(x) dx converge. Sean las funciones f. ∀b ≥ a. +∞) con f. g : [a. Se verifica: x→+∞ g(x) Z +∞ Z +∞ Si 0 < λ < +∞. 89 Criterios de convergencia Los resultados que vamos a exponer son válidos tanto para integrales impropias de primera especie como de segunda especie. g ∈ R[a. entonces f (x) dx converge y es a a Z +∞ f (x) dx ≤ a Si Z +∞ f (x) dx diverge. g : [a.10 (Criterio de comparación). Entonces f (x) dx converge si y s´ olo si existe M > 0 tal a Z b f (x)dx ≤ M.LA INTEGRAL DEFINIDA 7.6. +∞) → R. xα a . +∞) con f. por lo que los enunciaremos sólo para las de primera especie. ∀b ∈ R. la convergencia Z +∞ f (x) dx. Sean las funciones f. g(x) > 0 ∀x ∈ [a. b].6. g ∈ R[a. b]. a Estos criterios de comparación necesitan del conocimiento del carácter de alguna integral impropia que sirva de test. Sea la funci´ on f : [a. a Teorema 7.9. ∀b > a y f (x) l´ım = λ. la convergencia Z a +∞ g(x) dx implica la convergencia de a Si λ = +∞. Si λ = 0. las integrales f (x) dx e g(x) dx tienen el mismo a car´ acter.6. +∞) y f ∈ Z +∞ R[a. Teorema 7. b]. ∀x ∈ [a. que a Teorema 7. tales que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a. +∞) → R. (b > a).2. entonces Z b • Si existe p ≥ 1 tal que l´ım+ xp f (x) = λ con 0 < λ ≤ +∞. entonces x→+∞ converge. Z +∞ Z +∞ f (x) dx a f (x) dx a 2) Sea f : (0. y {an } una sucesi´ on de términos positivos tal que an = f (n). x→0 diverge.6.6. f (x) dx 0 f (x) dx 0 Teorema 7. Sea f : [1. la serie n=1 car´ acter. ∀b ≥ a. entonces x→+∞ diverge. Z +∞ +∞ X an y la integral impropia f (x) dx tienen el mismo Bajo estas condiciones. b). Sea f : [a. Se verifica: p • Si existe p > 1 tal que l´ım x f (x) = λ con 0 ≤ λ < +∞. p • Si existe p ≤ 1 tal que l´ım x f (x) = λ con 0 < λ ≤ +∞.13 (Criterio integral para series).3. Se verifica: Z b • Si existe p < 1 tal que l´ım+ xp f (x) = λ con 0 ≤ λ < +∞. ∀n ∈ N.12. Definici´ on 7. Por analog´ıa con series numéricas.14. 7.90 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Z a 0 1 dx (a > 0) que converge si α < 1.6. +∞) → R una funci´ on decreciente con f (x) > 0. lutamente convergente si a Z +∞ f (x)dx es absoa . xα Teorema 7. es más complicado estudiar la convergencia de la integral impropia. 1 Convergencia absoluta Cuando el signo del integrando no es constante. 1) Sea f : [a. entonces x→0 converge. ∀a ∈ (0. b]. b] → R integrable Riemann en [a. +∞) → R integrable Riemann en [a.6. estudiamos la convergencia absoluta y condicional de estas integrales. b]. Se dice que la integral Z +∞ |f (x)|dx es convergente. +∞) → R. 6.LA INTEGRAL DEFINIDA Definici´ on 7. Z +∞ e−x xp−1 dx converge ∀p ∈ R 1 y Por tanto. 0 Nota 7. aplicando los criterios de convergencia anteriores.19. El rec´ıproco del teorema anterior no es cierto. entonces a Z +∞ f (x)dx es con- a Nota Z +∞ 7. 7.4.16. +∞ 0 e−x xp−1 dx converge ∀p > 0. Esta definición tiene sentido. Análogamente se definen los conceptos anteriores para las integrales impropias de segunda especie.18. se dice que la integral impropia es condicionalmente convergente. Pero es absolutamente convergente si p > 1 y la con1 Z +∞ x−p | sen x| dx vergencia es condicional para 0 < p ≤ 1.6. Si Z 91 +∞ f (x)dx es convergente pero a Z +∞ a |f (x)|dx es divergente. la integral 1 diverge.17. . pues si consideramos la integral impropia Z +∞ Z 1 Z +∞ e−x xp−1 dx = e−x xp−1 dx + e−x xp−1 dx 0 0 1 tenemos que.6. Z Z 1 0 e−x xp−1 dt converge ∀p > 0. +∞) → R dada por Γ(x) = Z +∞ e−t tx−1 dt. pues se puede probar que x−p sen x dx converge si p > 0. Se llama funci´ on gamma de Euler a la funci´ on Γ : (0. Las funciones Gamma y Beta Definici´ on 7. ya que en este caso.6. Z +∞ f (x)dx converge absolutamente.6. Si vergente.6. Teorema 7.15. 21.6. x). .6.6. Γ(n) = (n − 1)!.20. +∞) × (0. 2) ∀x > 0.92 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Proposici´ on 7. 1) Γ(1) = 1. Si x. tan imΓ . y) = Γ(x)Γ(y) . y) = Z 1 0 tx−1 (1 − t)y−1 dt. Definici´ on 7. la integral impropia Z 1 0 tx−1 (1 − t)y−1 dt es convergente. +∞) → R dada por B(x. entre otras cosas. y teniendo presente que 0 µ ¶ Z +∞ √ 1 1 −x2 dx = π. Proposici´ on 7.23. Se verifica: B(x. podemos deducir el valor de la integral de Gauss e 2 2 −∞ portante.6. y) = B(y. Se llama funci´ on beta de Euler a la aplicaci´ on B : (0. 3) ∀n ∈ N. para el Cálculo de Probabilidades. Γ(x + 1) = xΓ(x). y > 0. Γ(x + y) Z +∞ 2 e−x dx = Como aplicación directa de esta u ´ltima igualdad.22. B(x. Vemos que esta definición tiene sentido probando el siguiente: Teorema 7. b) Coordenadas polares Se puede describir una curva en la forma ρ = ρ(ω) siendo ρ la distancia de un punto de la curva al origen y 0 ≤ ω < 2π el ángulo que forma el radio vector con la parte positiva . y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b.LA INTEGRAL DEFINIDA 93 7. el ´ area ser´ıa la suma de las ´ areas parciales de los recintos donde se conserva el signo. Definici´ on 7.1.7. ´ Area de figuras planas a) Coordenadas cartesianas Definici´ on 7. 0 ≤ y ≤ f (x)} viene dada por la integral: Z A= b f (x) dx.7. b]. y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b. El ´ area del recinto {(x. Sea f : [a. el ´ area ser´ a: A= Z a b [g(x) − f (x)] dx.7. f (x) ≤ y ≤ 0} ser´ıa: A=− Z b f (x)dx a Si la funci´ on no tiene signo constante. el ´ area del recinto {(x. y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b. Aplicaciones de la integral 7. Si se trata del ´ area del recinto delimitado por dos curvas {(x. a Esta definición se puede extender a otros recintos planos. b] → R continua y f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a. Si la funci´ on fuese negativa.7. f (x) ≤ y ≤ g(x)}.2.1. En este caso. ρ(β)) es Z βp (ρ(ω))2 + (ρ′ (ω))2 dω. y(a)) y B(x(b). |y(t)x′ (t)| dt. f (b)) como l= Z b a p 1 + (f ′ (x))2 dx. a) Coordenadas cartesianas Se define la longitud del arco de curva y = f (x) entre los puntos A(a.1. la longitud del arco comprendido entre A(α. 2 α c) Coordenadas param´ etricas Si la curva viene dada por sus ecuaciones paramétricas x = x(t). Longitud de arcos de curva. el área del recinto comprendido entre la curva y los radios vectores ρ = α y ρ = β. 7. un sencillo c´ alculo sobre la fórmula de la definición 4. y(b)) viene dada por Z bp l= (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt. ρ(α)) y B(β. y = y(t).94 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) del eje de abscisas. Coordenadas polares Si la curva viene dada en coordenadas polares ρ = ρ(ω). f (a)) y B(b. la longitud del arco de curva comprendido entre A(x(a).2. a . viene dada por la integral Z 1 β 2 A= ρ (ω) dω. y t2 = x−1 (b).7. y = y(t).1 muestra que el área del recinto dado en dicha definición es: A= Z t2 t1 donde t1 = x−1 (a). l= α Coordenadas param´ etricas Si la curva viene dada en coordenadas paramétricas x = x(t). Como aplicación de esta fórmula.7. Consideremos el conjunto de R3 dado por C = {(x. z) ∈ R3 : x ∈ [a. b] y es c = f −1 (a). z) ∈ R2 : (x. y d = f −1 (b). En las condiciones de la anterior definici´ on.7. y) ∈ : a ≤ x ≤ b.LA INTEGRAL DEFINIDA 7. Sea f : [a.6.7. y. el volumen del cuerpo generado al girar la región {(x. c 2 R Nos proponemos ahora definir el volumen del sólido generado al girar el recinto {(x. entonces el volumen del s´ olido C es: Z V = b A(x) dx.3. La definición anterior expresa el “principio de Cavalieri” de cálculo de vol´ umenes. Asimismo. Si A(x) ∈ R[a.4. a El papel que juega en la definición el eje OX puede desempe˜ narlo otro eje cualquiera. y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b. calculamos los vol´ umenes de cuerpos de revolución. llegamos a la siguiente definición: Definici´ on 7. b].5. Aproximando dicho volumen por cilindros concéntricos. 95 Vol´ umenes Definici´ on 7. y. b]. sea A(x) el ´ area de la regi´ on plana {(y. b] × R2 . si f (x) admite inversa en [a. 0 ≤ x ≤ f −1 (y)} alrededor del eje de ordenadas es: V =π Z d (f −1 (y))2 dy. z) ∈ C}. y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d. b] → R acotada. y 2 + z 2 ≤ (f (x))2 }. a Nota 7. 0 ≤ y ≤ f (x)} alrededor del eje de ordenadas. 0 ≤ y ≤ f (x)} .7.7. Si (f (x))2 ∈ R[a. Sea un conjunto C ⊂ R3 con C ⊂ [a. considerando entonces secciones del sólido perpendiculares a dicho eje. el volumen de C es: V =π Z b (f (x))2 dx. Definici´ on 7.3. Análogamente. b]. el volumen del cuerpo generado al girar la regi´ on {(x. 96 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) alrededor del eje de ordenadas es: V = 2π Z b x|f (x)| dx. a 7.7.4. ´ Area de superficies de revoluci´ on Se trata, en esta seción, de encontrar la superficie lateral del sólido C = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ≤ (f (x))2 }, generado al girar alrededor del eje de abscisas la región {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}. El razonamiento que nos lleva a definir el área será la aproximación por superficies de troncos de cono. Definici´ on 7.7.7. Si f : [a, b] → R es continua y derivable, y f ′ (x) integrable en [a, b], el a ´rea lateral del s´ olido C = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ [a, b], y 2 + z 2 ≤ (f (x))2 } viene dada por la integral S = 2π 7.7.5. Z b a q 2 f (x) 1 + (f ′ (x)) dx. Aplicaciones f´ısicas Son muchas las aplicaciones de la integral al campo f´ısico, de entre ellas destacamos las siguientes: Momentos est´ atico El momento estático respecto de los ejes de abscisas y de ordenadas de una curva x = x(s), y = y(s) donde el parámetro s es la longitud del arco es: Mx = Z 0 L y(s) ds, My = Z L x(s) ds, 0 LA INTEGRAL DEFINIDA 97 con L la longitud total del arco. Los respectivos momentos estáticos de una figura plana (x, y) ∈ R2 con a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x), son: 1 Mx = 2 Z b f (x)|f (x)| dx, My = a Z b x|f (x)| dx. a Momentos de inercia El momento de inercia respecto a un eje l de un sistema de n puntos materiales de n X masas m1 , m2 , . . . , mn es Il = mi d2i . Cuando la distribución de la masa sea continua, i=1 Il = Z b h2 (x)m′ (x) dx a donde m(x) es la masa y h(x) la distancia al eje OX, con a y b los puntos extremos del cuerpo en cuestión. Centro de gravedad Las coordenadas (x, y) del centro de gravedad de un arco de curva plana y = f (x) (a ≤ x ≤ b) son: 1 x= L Z a b 1 y= L p x 1 + (f ′ (x))2 dx, donde L es la longitud del arco de curva. Z b a p f (x) 1 + (f ′ (x))2 dx, Las coordenadas (x, y) del centro de gravedad de una región plana {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} son: Z Z b 1 b 1 x= xf (x) dx, y = (f (x))2 dx, S a 2S a donde S es el área de la figura. Trabajo Si una fuerza variable F = F (x) act´ ua en la dirección del eje de abscisas, el trabajo efectuado por la misma desde x1 hasta x2 viene dado por Z x2 F (x) dx. W = x1 98 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problemas 1.- Sea f (x) = 0 si x ∈ / Q, f (x) = x si x ∈ Q. Demostrar que f no es integrable Riemann en el intervalo [0, 1]. Calcular las integrales superior e inferior. 2.- Sea f (x) = 3x − 2 , g(x) = x2 . Usando la condición necesaria y suficiente de integrabilidad Riemann, probar f, g ∈ R([0, 1]) calculando el valor de cada integral. 3.- Calcular las siguientes integrales: Z π2 Z 1 a) (sen x + x(x − 2)) dx b) (1 + x − tg x) dx 0 d) Z Z c) 0 π 4 2 tg x dx e) 0 Z π 3 π 6 1 dx sen x cos x Z f) π 2 sen x − 1 dx 1 + cos x 0 2 x2 0 p 4 − x2 dx 4.- Dar la derivada de f en los siguientes casos: a) f (x) = Z arctan x Z x2 cos tdt b) f (x) = 1 c) f (x) = e) f (x) = Z x log t √ dt x > 0. t d) f (x) = x sen(log t)dt. f) f (x) = Rx Z x3 0 tdt t2 dt. 2 x2 e−t dt. x2 0 x3 µZ dy 5.- Sea f : R → R una función continua tal que Z 2 Z t sen tdt. 0 x2 Z x+1 x ¶ g) f (x) = Z y 1/(1 + t2 + sen2 t) dt 8 f (2). 6.- Hallar el área de las siguientes figuras: a) y = x, y = x + sen2 x en [0, π]. b) y 2 ≥ 9x, x2 + y 2 ≤ 36. c) x2 + y 2 ≤ 9, (x − 3)2 + y 2 ≤ 9. h) f (x) = sen ·Z 0 x sen µZ y 2 et dt 1 x2 (1+x) 0 f (t)dt = x ∀x ∈ R . Hallar ¶ dy ¸ LA INTEGRAL DEFINIDA √ d) y = 2 ax y=2 p 99 a(2x − a) (a > 0) 7.- Halla a > 0 tal que la curva y = cos x, x ∈ [0, igual área por la curva y = a sen x. π ] quede dividida en dos partes con 2 8.- Hallar las longitudes de los arcos de curva: a) y = ex en [0, a]. b) y = log(cos x), 0 ≤ x ≤ a < π . 2 9.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX las curvas siguientes, entre los l´ımites que se indican: y2 x2 − = 1, x = −a, x = a (a, b > 0). b2 a2 b) x2 + (y − 2R)2 = R2 , −R ≤ x ≤ R (R > 0). a) 10.- Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OY las curvas siguientes, entre los l´ımites que se indican: a) y = 1 − x2 , 0 < y < 1. b) y = R − x, 0 < y < R (R > 0). 11.- Hallar el área de las superficies engendradas al girar las curvas siguientes alrededor del eje OX, entre los l´ımites que se indican: a) y 2 = 2px, 0 < x < 1 (p > 0). b) x2 + (y − 2R)2 = R2 , −R ≤ x ≤ R (R > 0). 12.- a) Halla el área de la región del plano limitada por la curva y = tan x, el eje de ordenadas y la recta y = 1. b) Hallar el volumen del sólido engendrado al girar la región anterior alrededor del eje de abscisas. 100 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2 13.- Sea la figura limitada por la curva y = e−x , el eje de abscisas y las rectas x = 0, x = 1. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicha figura al girar alrededor del EJE DE ORDENADAS. 14.- Calcular el área de la región del plano limitada por las curvas: y = x2 ex , √ y = x2 1 − x y la recta x = 1. 15.- Dada la parábola y 2 = 4x, se pide: a) Halla m para que el área de la figura limitada por la parábola y la recta y = mx, 1 sea . 3 b) Halla la longitud del arco de parábola delimitado por los puntos A(1, 2) 16.- a) Calcular Z log 2 0 √ B(4, 4). ex − 1dx. b) Sea f : R → R derivable tal que Hallar f (x) sabiendo que f (1) = 2 Z f (x) sen xdx = −f (x) cos x + Z 3x2 cos xdx. c) Calcular el área del sector circular determinado por la circunferencia x2 +y 2 = 25 y los radios trazados desde los puntos A(3, 4), B(4, 3) al origen. 17.- a) Hallar el área de la región de plano limitada por la curvas y = ex , y = e−x , y la vertical x = 1. b) Calcular el volumen del cuerpo de revolución engendrado por la rotación de la región anterior alrededor del eje de ordenadas. c) Resolver la integral Z x2 dx √ . 4 + x2 18.- Dada la función y = log x se pide: ´ a) Area del recinto limitado por la curva, el eje de abscisas y las verticales x = e−1 , x = e. LA INTEGRAL DEFINIDA 101 b) Volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la región anterior alrededor del eje de abscisas. c) Longitud del arco de curva comprendido entre los puntos A(1, 0) y B(2, log 2). 19.- a) Si f : R → R es continua y verifica b) Calcular Z Z x f (t)dt = f (x) + cos x, calcula f (0) y f ′ (0) 0 e sen(log x) dx 1 c) Dada la curva de ecuación y 2 = x2 − x4 , se pide: c1) Hallar el área que determina. c2) Hallar el volumen del cuerpo que se genera al girar alrededor del eje de abscisas. c3) Idem. alrededor del eje de ordenadas. 20.- Sea la región del plano limitada por la curva y = 3 + sen x y las rectas y = 3, x = π 2. Hallar el volumen del cuerpo que se genera al girar dicha región alrededor del eje de abscisas. Idem alrededor del eje de ordenadas. 21.- Se considera la circunferencia x2 + y 2 = 16 . Se pide: ´ a) Area de la región dada por x2 + y 2 ≤ 16, y ≥ 2. √ b) Longitud del arco de circunferencia comprendido entre los puntos A(−2 3, 2) y √ B(2 2, 2). ¢ ¡ 22.- Dada la curva de ecuación y = log 1 − x2 , se pide: ´ a) Area de la región de plano comprendida entre la curva, el eje de abscisas y la recta x = 12 . b) Longitud del arco de curva comprendido entre los puntos (0, 0) y ¡1 3 2 , log 4 ¢ . 23.- Volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la circunferencia x2 + y 2 = 4 alrededor de la recta y = −3. 24.- Se considera la porción de c´ırculo de centro (0, 1) y radio 1 que está fuera del c´ırculo √ de centro (0, 0) y radio 2. Se pide: 102 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) ´ a) Area de dicha región del plano. b) Volumen del cuerpo de revolución que se engendra al girar la región anterior alrededor del eje OX. c) Idem alrededor del eje OY . 25.- Calcular el área de la región de plano dada por x2 + y 2 ≤ 4, y 2 ≤ 3x . Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar dicha región alrededor del eje a) de abscisas, b) de ordenadas. 26.- Calcular el área de la región del plano limitada por la curva rectas y = 0, x = 1, x = b (b > 1). log x f (x) = √ y las x 27.- Calcular el área encerrada por las curvas de ecuación en polares: (r > 0) a) ρ = r(1 + cos ω) b) ρ = r c) ρ = r cos(2ω). 28.- Calcular el área encerrada por las curvas de ecuaciones en paramétricas: (r > 0) a) x = r cos t, y = r sen t b) x = r(t − sen t), y = r(1 − cos t). 29.- Hallar la longitud de las curvas de ecuaciones en polares: (r > 0) a) ρ = r(1 + cos ω) b) ρ = rω. 30.- Hallar la longitud de las curvas de ecuaciones en paramétricas: (r > 0) a) x = r(t − sen t), y = r(1 − cos t) b) x = rcos3 t, y = r sen3 t. 31.- Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias, y calcular el valor de las convergentes: LA INTEGRAL DEFINIDA a) Z +∞ e−x dx, b) 0 e) Z 1 Z 2 −2 m) Z +∞ Z +∞ Z 6 1 0 i) 103 Z dx √ , x 1 − x2 dx √ , 4 − x2 f) 0 c) e−x sen xdx, g) j) Z 1 Z +∞ Z 1 Z 0 1 dx, xα 1 −∞ n) Z 0 0 1 x log xdx, 1 dx, xα dx dx, (4 − x)2 +∞ −∞ dx , 1 + 4x2 32.- Hallar el área entre la curva y 2 = k) dx √ dx, x log xdx, d) 1 Z +∞ x2 log xdx, 0 h) −∞ l) 0 o) Z Z +∞ dx . ex + e−x 2 xe−x dx −∞ xex dx, −∞ p) Z +∞ x3 ex dx. 0 2 x y sus as´ıntotas. 1 − x2 33.- a) Hallar el áres de la región de plano limitada por la curva yx = 1 , y las rectas x=1 e y=0 b) Calcular el volumen engendrado por la región anterior al girar alrededor del eje de abscisas. 104 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) . .1.    am1 am2 ··· amn De forma abreviada también se suele representar por A = (aij ). Se representa por   a11 a12 · · · a1n    a21 a22 · · · a2n    A= . determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 8. . Matrices Definici´ on 8. 105 . . El conjunto de las matrices m × n cuyos elementos pertenecen a un conjunto numérico K se designa por Mm×n (K).Cap´ıtulo 8 Matrices. dispuestos en filas y columnas de forma rectangular.   . En el caso particular en que m = n diremos que la matriz A = (aij ) es cuadrada de orden n. y al conjunto de todas ellas lo representaremos por Mn (K). A continuación vamos a recordar algunas definiciones básicas acerca de las matrices. 1 ≤ j ≤ n. las operaciones entre ellas y algunas propiedades elementales.. . Se llama matriz a un conjunto ordenado de n´ umeros perteneciente a un cuerpo K (que habitualmente ser´ a el cuerpo de los reales R o de los complejos C)..1. y se dice que es una matriz de dimensiones m × n.1. 1 ≤ i ≤ m. . 1. si (aij ).3.6. . Si A = (aij ) ∈ Mm×n (K) y α ∈ K. . α · (A + B) = α · A + α · B (α + β) · A = α · A + β · A α · (β · A) = (α · β) · A 1·A=A Hasta ahora hemos recordado operaciones de suma de matrices y producto por un escalar. m. . . (aij ) = (bij ) ⇔ aij = bij ∀ i = 1. . Propiedades 8. Pero para poder multiplicar dos matrices entre s´ı. Elemento opuesto de una matriz A = (aij ): es la matriz (−aij ). Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y coinciden elemento a elemento. n Definici´ on 8.106 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definici´ on 8.2. .1.1. Conmutativa: A + B = B + A Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: es la matriz 0. Sean A.1. de dimensión m × n. B ∈ Mm×n (K) y α. ∀ j = 1.1. . pues han de cumplir una condición de compatibilidad: el n´ umero de columnas de la primera ha de coincidir con el n´ umero de filas de la segunda.5.4. En el conjunto Mm×n (K) se define la suma de matrices de la siguiente manera: (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) Propiedades 8. formada toda ella por ceros. . B. β ∈ K. (bij ) ∈ Mm×n (K). Sean A. Definici´ on 8. se define el producto por un escalar como sigue: α · A = (α · aij ). la definición debe hacerse con cuidado. C ∈ Mm×n (K). Es decir. . Se llama matriz producto A · B a otra matriz C = (cik ) ∈ Mm×p (K). en general.8. es posible intercambiar el orden en el que se multiplican las matrices y la operación sigue teniendo sentido.MATRICES. para matrices cualesquiera. Se denomina matriz traspuesta de A a la matriz At ∈ Mn×m (K) que resulta de intercambiar filas por columnas en A. ∀ k = 1. . . Definici´ on 8. Sean A. El caso en que el producto de dos matrices adquiere más interés es cuando ambas matrices son cuadradas del mismo orden. B ∈ Mm×n (K). 107 Definici´ on 8. .1. . Sean A = (aij ) ∈ Mm×n (K) y B = (bjk ) ∈ Mn×p (K).1. aunque en general. ni siquiera tiene sentido plantearse la conmutatividad del producto de matrices. definida como sigue: cik = n X j=1 aij bjk ∀ i = 1. (A + B)t = At + B t (AB)t = B t At 8. .9.     1 3 9   1 2 1 −1  2 −1 −4     t  Ejemplo 8. el resultado no sea el mismo.1. A =  .L. el elemento (i. . La importancia de este conjunto de matrices radica en que sobre ellas se pueden definir nuevos conceptos como los de determinante o matriz inversa que adquirirá relevancia en más adelante. 3 −1 0 4  =⇒ A =  1  0 1   9 −4 1 3 −1 4 3 Propiedades 8. DETERMINANTES Y S.10. Además.1. Matrices cuadradas En esta sección vamos a centrarnos en el concepto de matriz cuadrada definido anteriormente. Es decir. . las condicione de compatibilidad).E. Sea A ∈ Mm×n (K). pues entonces la matriz resultante es del mismo orden que las multiplicadas. . m. por el vector formado por la columna k-ésima de la segunda matriz. . p. En general.2. al no poder intercambiar el orden de multiplicación (no se cumple. k) de la matriz producto es el resultado de multiplicar escalarmente el vector formado por la fila i-ésima de la primera matriz.7. 1. ...2. para cualquier matriz cuadrada A de orden n.2.. Veamos a continuación algunas propiedades de estas matrices. menores complementarios y adjuntos Definici´ on 8.2.. .  an1 an2 de orden n:  · · · a1n  · · · a2n   ... 1 n:     . . El elemento neutro es la siguiente matriz de orden  1 0 . .   · · · ann Se llama determinante de A.. 0 1 1 0   · 1 1 2 1   = 2 1 1 1    6=  1 1 1 2   = 1 1 2 1   · 0 1 1 0  ..2. al n´ umero real o complejo (seg´ un sea la matriz real o compleja) definido por la siguiente expresi´ on: det(A) = X (−1)σ a1i1 a2i2 a3i3 . 0   0 1 . .  .1. El producto de matrices no es conmutativo:   8. se verifica que AIn = In A = A.. Las siguientes propiedades se cumplen para matrices cuadradas de orden n.anin .  .  .. .. Propiedades 8.. .. Determinantes. .. el producto de matrices es especialmente interesante dentro del conjunto de matrices cuadradas. Propiedades del producto de matrices cuadradas Como ya hemos comentado en la sección anterior.   Es decir.2. y se representa por det(A) o por |A|.  0 0 . pues podemos intercambiar el orden de multiplicación y se siguen verificando las condiciones de compatibilidad.. 0  In =  . Sea A una matriz cuadrada  a11 a12   a21 a22  A= .. . .2. Asociativa: (A · B) · C = A · (B · C). aunque alguna de ellas también son v´ alidas siempre que sea posible efectuar los productos indicados.108 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 8. . DETERMINANTES Y S. n y σ es el n´ umero de sus inversiones. tales que la fila p de B est´ a formada por los elementos a′pj y la fila p de C est´ a formada por los elementos a′′pj .. Si se multiplica una fila (columna) cualquiera de la matriz A por un n´ umero λ. . 3... entonces el determinante de A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C. 3. Es evidente que la definición de determinante es poco práctica a la hora de efectuar c´ alculos efectivos. El determinante de una matriz A con dos filas (columnas) iguales es nulo.MATRICES. Propiedades 8. det(B) = λdet(A). 4.3. det(B) = −det(A). esto es.L. entonces det(A) = 0. 7. 9. de la matriz A es de la forma apj = a′pj + a′′pj . Si la matriz B es la traspuesta de A.in representa una permutaci´ on cualquiera de los n´ umeros 1. el determinante de la matriz B obtenida es igual al producto de λ por el determinante de A. 2. el determinante de la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A. 3. es decir. Si intercambiamos entre s´ı dos filas (columnas) de A. su determinante es nulo. el cual proporcionará una forma efectiva de calcular determinantes. Si todos los elementos de una fila (o columna) de A son nulos. A continuaci´ on enumeraremos las propiedades m´ as importantes de los determinantes.. 5. 109 donde i1 i2 i3 . .. 6. Si una fila (columna) de A es combinaci´ on lineal de otras filas (columnas). Si cada elemento de una fila (columna). Las restantes filas de ambas matrices son respectivamente iguales a las de A. 2. extendiéndose el sumatorio a las n! permutaciones de 1. n. entonces det(A) = 0.2.E. 1. 8. el determinante de la matriz obtenida es igual al determinante de A. Es por ello que vamos a introducir a continuación el concepto de menor complementario. Si dos filas (columnas) de una matriz son proporcionales. entonces det(B) = det(A).. Si a la fila (columna) p de A se le suma otra fila (columna) q multiplicada por un n´ umero λ.. por ejemplo la fila p. 2. . es la matriz inversa de A si se verifica que A · A−1 = A−1 · A = IN . Sean A y B matrices cuadradas de orden n.8. cuadrada de orden n.2. j=1 2. cuyo determinante se llama menor complementario del elemento apq que figura en la fila y en la columna suprimidas. supuesta la fila p. Si en una matriz A de orden n se suprime una fila p y una columna q. El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (resp. Sea A una matriz cuadrada de orden n. se habla de la matriz inversa. + apn Apn = n X apj Apj . Teorema 8. 1.2. columna) por los adjuntos de los elementos respectivos de otra es igual a cero.. el determinante de la matriz A es: det(A) = ap1 Ap1 + ap2 Ap2 + . si existe. la proposición siguiente confirma esta sugerencia..5. Inversa de una matriz Definici´ on 8. En efecto. La inversa de una matriz. columna) cualquiera por sus adjuntos respectivos.2.110 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definici´ on 8. es u ńica. Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de orden n.3. La suma de los productos de los elementos de una fila (resp. En la definición anterior. Es decir.6. es decir: ap1 Aq1 + ap2 Aq2 + . umero Se llama adjunto del elemento apq . Se dice que la matriz A−1 . .2. Se verifica: det(AB) = det(A)det(B) 8. sugiriéndose as´ı la unicidad de ésta. al n´ Apq = (−1)p+q Mpq .2. resulta una matriz cuadrada de orden n − 1. y lo representamos por Apq . donde I es la matriz unidad de orden n. Proposici´ on 8. lo representaremos por Mpq .7. Teorema 8.2..4. + apn Aqn = 0 para p6=q. 10. . Sistemas de ecuaciones lineales Definici´ on 8. . En tal caso. b ∈ K. . 8. Definici´ on 8. .L.3.2. . . Si una matriz A es invertible..3.. Una soluci´ on de una ecuaci´ on lineal sobre K a1 x1 + · · · + an xn = b es cualquier elemento (α1 . . . xn es una expresi´ on de la forma: a1 x1 + · · · + an xn = b.2.. .. esto es. + a1n xn = b1 a x    11 1 .3. . i=1 Definici´ on 8. Teorema 8. La condici´ on necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. . Un sistema de ecuaciones lineales sobre K en n variables x1 .     a x + . Una ecuaci´ on lineal sobre K en n variables x1 . diremos adem´ as que la ecuaci´ on es homogénea. .   + . entonces su inversa A−1 también es invertible y adem´ as (A−1 )−1 = A.MATRICES. . .E. Esta u ´ltima expresi´ on también se suele notar como n X ai αi = b. 111 Nota 8. . .9. 1 ≤ i ≤ n.2.3. . . se verifica que: A−1 = 1 Adj(A)t det(A) donde Adj(A) es la matriz formada por los adjuntos de los elementos de la matriz A. . xn es una colecci´ on finita de ecuaciones lineales en las variables x1 . . DETERMINANTES Y S. + a x = bm m1 1 mn n . . Si b = 0..3. αn ) ∈ Kn tal que: a1 α1 + · · · + an αn = b.1. donde ai . . . xn . diremos que el sistema es homogéneo. . a1n b x1     1  . . .. Definici´ on 8... Regla de Cramer y Teorema de Rouch´ e-Fr¨ obenius En esta u ´ltima sección estudiaremos cuándo es posible encontrar una solución de un sistema de ecuaciones lineales.4..   . ... A partir de ahora utilizaremos la siguiente notaci´ on: 1..  . representaremos por |A| al determinante de A. 2. .  =  .   .     a x + . 1 ≤ i ≤ m. + a1n xn a x    11 1 .. = bm Esta expresi´ on también se suele notar por: n X j=1 8. . .3..1. cuándo esta solución es u ńica y qué forma tiene dicha solución. .   . = bm ... Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:   + .. . (S) .. . . Si A ∈ Mn (K)..  . .4. . . + a α m1 1 mn n = b1 .4. αn ) ∈ Kn tal que:     a11 α1 + . . + a x = bm m1 1 mn n es cualquier elemento (α1 .. + a1n xn = b1 a x    11 1 .. aij αj = bi .. . Notas 8. . . .. .     a α + . . .. + a1n αn  . .112 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Este sistema también se notar´ a matricialmente como:     a11 . + a x m1 1 mn n = b1 . Una soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales sobre K   + .    am1 · · · amn xn bn      Si se tiene que bi = 0 (1 ≤ i ≤ n). . .     a x + . ..4. . 2... . . |A| ¯ .  .   bn A2n . . .   .    am1 · · · amn xn bn    . ¯¯ . . El sistema (S) se puede escribir.L.   .  ...2...  xn am1 . . . usando la notación matricial como     a11 · · · a1n x1 b     1  . .  . .. .  .. amn bn lo que prueba que (S) tiene solución u ´ nica. An2    b2  . ¯¯ .. .   . a1n b x1   1     .      Definici´ on 8. · · · .4..   .   . . .  = |A|  . ¯ ¯ ¯ bn an2 · · · de S viene dada por: ¯ ¯ ¯ a a1n ¯¯ ¯ 11 ¯ ¯ a2n ¯¯ 1 ¯¯ a12 . Ann .      .   =  . luego tenemos  −1    a11 . ¯ ¯ ¯ a1n ann ¯ a12 a22 . An1 b1     A22 . DETERMINANTES Y S. .. ..  =  .    A11 x1    1   A12  . Destacamos esta demostración por ser constructiva. . .  ..    .. . αn ) ¯ ¯ b ¯ 1 a12 · · · ¯ 1 ¯¯ b2 a22 · · · α1 = ¯ .  .3. Teorema 8..    xn A1n      Desarrollando esta expresión se tiene que   A21 . existe la matriz inversa A−1 ..... . (S) tiene soluci´ on u ńica. ··· a1n . .  . ¯ ¯ . Sea (S) un sistema de Cramer. Se verifica: 1.E. ¯ ¯ bn ¯ Demostraci´ on. Un sistema (S) de n ecuaciones con n inc´ ognitas. La u ńica soluci´ on (α1 .  Pero como |A| 6= 0. diremos que es de un sistema de Cramer si |A| 6= 0. . αn = |A| ¯¯ .   . . am1 ··· amn se denominar´ a matriz de coeficientes del sistema S. .MATRICES. La matriz    A=  113 a11 ... an2 ··· ··· ··· ¯ b1 ¯¯ ¯ b2 ¯¯ . rang(A). ¯ ¯ bn ¯ . 1. ¯¯ . .. 2. Un menor de orden r es el determinante que resulta de suprimir en A “n − r” filas y “m − r” columnas. El n´ umero m´ aximo de filas de A linealmente independientes es igual al rang(A). xn = b1 A1n + b2 A2n + · · · + bn Ann = |A| ¯ ¯ a ¯ 11 ¯ ¯ a12 ¯ ¯ . bn an2 ··· ··· ··· |A| ··· b1 ··· b2 .. ¯ ¯ ¯ an1 b1 a12 b2 . ¯ ¯ ¯ a1n a12 .. 2. . .. a22 . . |A| ¯ b1 ¯¯ ¯ b2 ¯¯ . ... ··· bn |A| ¯ a1n ¯¯ ¯ a2n ¯¯ . ¯¯ . Un menor de A es el determinante de cualquier submatriz cuadrada de A. ¯ .. .4..... con lo que el teorema queda probado. El rango de A. an2 . ¯ ¯ ann ¯ . ¯ ¯ ann ¯ ¯ a1n ¯¯ ¯ a2n ¯¯ .. ¤ Definici´ on 8.4. ¯ . Sea A ∈ Mn×m (K). rang(A) = m ⇔ todas las filas de A son linealmente independientes. 1... a22 . Notas 8. . x1 = x2 = b1 A11 + b2 A21 + · · · + bn An1 = |A| ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b1 A12 + b2 A22 + · · · + bn An2 = |A| ¯ ¯ a ¯ 11 ¯ ¯ a21 ¯ ¯ .5. ¯¯ . Sea A ∈ Mm×n (K).. . .114 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) o lo que es lo mismo.4.. es el m´ aximo de los ´ ordenes de los menores no nulos de A. En estas condiciones: A · X = B tiene soluci´ on ⇔ rang(A) = rang(A|B). que se basa en las propiedades 4 y 5 de la nota anterior. . con la notaci´ on ya conocida. entonces rang(A) = r. Si rang(B) = r y el rango de las “m − r” matrices que se obtienen de B a˜ nadiéndole cada una de las restantes “m − r‘” filas de A es r. Teorema 8. Sea B la submatriz de A formada por las “r” primeras filas de A. . . . (S) .     a x + . 5... Sea B la submatriz de A formada por las r primeras filas. am dependen linealmente de las “r” primeras. + a x = bm m1 1 mn n que escribiremos matricialmente como A · X = B. 4. rang(A) = rang(B) ⇔ las filas ar+1 .E. Entonces.. En la práctica calcularemos el rango de una matriz utilizando el método del Orlado..6 (Rouché-Fröbenius). . .MATRICES.. Representaremos por (A|B) a la matriz obtenida de A a˜ nadiéndole B como u ´ltima columna.L. . . a) |A| 6= 0 ⇔ todas las filas de A son linealmente independientes. DETERMINANTES Y S. Supongamos que n = m. 115 3. . . . b) |A| 6= 0 ⇔ las filas de A forman una base de Kn .4. + a1n xn = b1   . Consideremos el sistema:    a11 x1 + . . 7. siendo: A =  cos α 0 sen α  a  4. tales que A2 = Θ. A=   1 −1 0 1 0 6. 1 1 1 5. a sen α   −1  . M (x) =  0 1 0 . 0 1 0 0   x ..116 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problemas  1 2   5 1         1..Hallar las matrices que conmutan con A en los casos:     0 0 0   2 3  .Calcular An en los casos: A =  0 0 1 a 0 1 0   1 .a) Hallar las matrices A.a) Demostrar que el conjunto de matrices de la forma M (x) =  0 0 (a ∈ R+ ) forman un grupo para el producto.Hallar una matriz A tal que  0 3 · A = −3 0 1 1 6 1  ax  2. Hallar a  b si i = 6 j .. 0    1 2−i 0    B= 0 1 + i 1.. b) Idem A2 = A.Calcular A3 y B 3 . 0 0 1  0 cos α  3.  a si i = j = .. (A dichas matrices se les llama idempotentes). A = 1 0 0 . 1   1 0 x    b) Idem. cuadradas de orden 2.. 0 i 0 1 1 1     A= 1 1 1.Sea A la matriz cuadrada de orden n definida por: aij y b para que se verifique que A2 = I. .E.. en cada caso. n¯¯ ¯ .Poner un ejemplo... 0 0 1−i ¯ ¯ ¯x y z + x¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r + p ¯ = 2 ¯¯ p q ¯ ¯ ¯0a b c + a¯ y+z ¯ ¯ c¯ ¯ x c b ¯¯ ¯ = 0. ¯ a + b¯ ¯ ¯x + y ¯ ¯ b) ¯¯ p + q ¯ ¯a + b ¯ ¯ 1¯ ¯ x2 + 2x 2x + 1 1¯¯ ¯ = 0. b) Compatible indeterminado... .....¯¯ ¯ x¯ 11.. 0  1  C= 1 3 1 α 3 −1   β  α 13... de un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas que sea: a) Incompatible.. x a . −2 −3 2 −1 0  1  C= 2  3 0  4   1  −3 2 −4 1 −5 −2 1  12. DETERMINANTES Y S. 3 1 0 q+r b+c ¯ ¯ ¯x ¯ ¯a ¯ b) ¯ ¯b ¯ ¯ ¯c ¯ ¯ ¯1 ¯ ¯−1 ¯ ¯ ¯−1 ¯ ¯ ¯ . ¯ . ¯ c¯ .Resolver las ecuaciones: a) ¯ ¯x ¯ ¯ ¯1 ¯ ¯ ¯1 ¯ ¯−1 ¯ ¯ 10. en su caso. ¯ ¯ ¯−1    1+i i 0   B= 1 2 − i  0 .... a a .. .Hallar el rango de las matrices seg´ un los valores del parámetro (si lo hay):  1 1  A= 1 0 3 1  −1 0  1 1 . . .... a x ... ¯ . ¯ ¯ ¯−1 1 x −1 . ¯ ¯1 ¯ ¯ 8.. .Calcular ¯¯−1 ¯ ¯ . de:   1 1 −1    A= 1 0 1  .. c) Compatible determinado. n¯¯...MATRICES......Escribir los siguientes sistemas en forma matricial.. 14..¯¯ ¯ −1 ... demostrar a) ¯¯1 ¯ ¯1 ¯ ¯ 3 ¯x ¯ ¯x2 ¯ 9.. ¯ b + c ¯¯ ¯ c + a¯¯ = 0. si existen... ¯ .. n¯ ¯ ..L. estudiar si tienen solución..¯¯ ¯ . c x a¯¯ ¯ b a x¯ a b 2 3 0 3 −2 0 ¯ ¯ . y resolverlos. 0 ¯ .. 1 ¯¯ . x¯ 1 117 ¯ ¯ ¯x ¯ ¯a ¯ ¯ ¯a ¯ ¯ ¯. 1 ¯¯ ¯ x .. . 2x + 1 x + 2 1¯¯ ¯ 3 3 1¯ 3x2 ¯ ¯ 1¯ ¯ 1 . ¯ ¯ a¯ ¯ a¯¯ ¯ a¯¯ . por la regla de Cramer y el método de triangulación de ¯ z ¯¯ ¯ r ¯¯. ¯ ¯ ¯a 3x a a .. −1 a b c .. 0 1  1  B= 2 3 2 3 α 4 6 0 9   8 .Sin desarrollar.Hallar las matrices inversas. . seg´ un los valores de los parámetros.. y resolverlos en caso de compatibilidad:     (a + 1)x + y + z = a + 1 x + (a + 1)y + z = a + 3    x + y + (a + 1)z = −2a − 4        x+y+z =3 2x − y + 3z = 4  3x − 3y + 4z = 7     5x − (a + 1)y + 7z = 8 + a  2   ax + y + z = b     x + y + az = b x + y + 2az = 2 .Estudiar los siguientes sistemas.118 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Gauss:     x+y+z =3    x + 2y + 3z = 2 x + 4y + 9z = 2   2x + 3y − z = 4     x − 2y + z = 0 3x + y = 4     x−y+z−t=0 −x + 2y + z − 2t = 1    2x − z = 1 15. C.1. ·) es un grupo abeliano. K = Q. La estructura definida por (K. verificando las siguientes propiedades: (1) (V. (ley externa).1. verificando las anteriores propiedades. (2. v.1. verificando: (2. +. esto es. c ∈ K a · (b + c) = a · b + a · c. se denomina CUERPO.1. w ∈ V . 119 .1) (K. ‘+’. ‘·’. (2. +) es un grupo abeliano. y una aplicaci´ on de K por V en V . Un espacio vectorial sobre K consta de un conjunto no vac´ıo V .3) Propiedad distributiva: ∀ a. R.3.1. donde Q es el conjunto de los n´ umeros racionales. Definici´ on 9. una ley de composici´ on interna sobre V . Sea K un cuerpo. ·).2) (K − {0}. Espacios Num´ ericos Notas 9. b. Definici´ on 9.Cap´ıtulo 9 Espacios Vectoriales 9.2. (1) En lo que sigue. +) es un grupo abeliano. R es el conjunto de los n´ umeros reales y C es el conjunto de los n´ umeros complejos. ya estudiados anteriormente. (2) Recordemos que un conjunto K y dos operaciones internas: ‘+’ y ‘·’ (suma y producto). para todo u. El conjunto K[X] de los polinomios en X.4) 1 · u = u. (2. β ∈ K. (1. de grado menor o igual que n. Un conjunto con un u ńico elemento {0} es un espacio vectorial que llamaremos espacio vectorial trivial. Notas 9.3) Existe 0 ∈ V tal que para todo u ∈ V . Sea K un cuerpo. (Conjunto de las matrices con coeficientes en K con n filas y m columnas).6. v ∈ V y para todo α. (2) Para todo u.1) u + v = v + u. (2.1) α · (u + v) = α · u + α · v. Son espacios vectoriales sobre K: M (n × m.4) Para todo u ∈ V . (1. K).1.2) u + (v + w) = (u + v) + w. (4) (α − β) · u = α · u − β · u.3) α · (β · u) = (α · β) · u. (2) El elemento u′ cuya existencia asegura (1. (5) (−α) · u = −α · u. con coeficientes en K es un espacio vectorial sobre K.1.4.1.5. Para todo u. Proposici´ on 9. (3) α · (u − v) = α · u − α · v. Sea V un espacio vectorial sobre K. β ∈ K se verifica que: (1) α · 0 = 0. 0 + u = u. (2. (1. (2) 0 · u = 0. existe u′ ∈ V tal que u + u′ = 0 (opuesto de u). v ∈ V y todo α.2) (α + β) · u = α · u + β · u.4) es u Ejemplos 9. (Conmutativa). (Elemento neutro). (Asociativa). . (1) Los elementos de V se denominar´ an vectores y los de K escalares.120 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) (1. ńico y se notar´ a por −u. (2. . a · an ). Proposici´ on 9. . . Nos limitamos a enumerarlas: (1) u + v = v + u. . (2) u + 0 = u. . (4) (α − β) · u + β · u = (α − β + β) · u = α · u ⇒ (α − β) · u = α · u − β · u. . . (8) 1 · u = u. . . . . (5) (−α) · u + α · u = (−α + α) · u = 0 · u = 0. . Nota 9. . . an ) = (a · a1 . . 0). . −xn ).ESPACIOS VECTORIALES 121 Demostración (1) Sea u ∈ V . . α · u = (α + 0) · u = α · u + 0 · u ⇒ 0 · u = 0. Demostración: Se verifican claramente las propiedades de espacio vectorial. . (4) u + (v + w) = (u + v) + w. . (3) α ·(u−v)+α ·v = α ·((u−v)+v) = α ·(u+0) = α ·u ⇒ α ·(u−v) = α ·u−α ·v. . . v. . . an + bn ). se verifica α · u = α · (u + 0) = α · u + α · 0.1. . . . (5) a · (u + v) = a · u + a · v. . Los elementos de Kn se denominan vectores y los notaremos por u. . de dimensi´ on n. .9. . . luego α · 0 = 0. . . n} En Kn definimos las siguientes operaciones: (1) (a1 . bn ) = (a1 + b1 . (2) Sea α ∈ K. Kn es un espacio vectorial sobre K..7. donde 0 = (0. an ) + (b1 . al conjunto: Kn = {(a1 . . (3) ∀ u ∈ Kn ∃ v ∈ Kn u + v = 0. . xn ).8. . Si u = (x1 . Llamaremos espacio numérico sobre K. . Veremos más adelante otros ejemplos importantes de espacios vectoriales: Definici´ on 9. . . . entonces v = (−x1 . (6) (a + b) · u = a · u + b · u. an ) | ai ∈ K. (2) a · (a1 . (7) a · (b · u) = (a · b) · u. .1. . i = 1.1. . . α ∈ K ⇒ α · u ∈ L.     a11 · x1 + · · · + a1n · xn = 0  . Tenemos que demostrar: (1) v..2. (3) ∀α. Diremos que L ⊂ V (L 6= ∅) es un subespacio vectorial (o una variedad lineal) de V sobre K si L.1. donde    a11 .2.2. xn      . . . Proposici´ on 9. . (b) u ∈ L. Pongamos el sistema en forma matricial : A · X = 0. β ∈ K.  . ∀u. .. es un espacio vectorial.3. X =   .. con las leyes de composici´ on interna y externa de V .122 9. . Consideremos el sistema de ecuaciones lineales homogénas sobre K. α ∈ K ⇒ α · v ∈ L.  A =  . . Sea L ⊂ V .. (2) (a) u.    am1 . (2) v ∈ L. Demostración: Sea L = {v ∈ Kn | v es una solución de (∗)}.. (∗) . . Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) L es un subespacio vectorial de V . PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Subespacios vectoriales Definici´ on 9.2. a1n     . . x1 .     a · x +···+ a · x = 0 m1 1 mn n El conjunto de las soluciones del sistema homogéneo es un subespacio vectorial de Kn . . .2. es α · u + β · v ∈ L. amn Entonces: (1) A · (V + W ) = A · V + A · W = 0 + 0 = 0 (2) A · (α · V ) = α · (A · V ) = α · 0 = 0. w ∈ L ⇒ v + w ∈ L. v ∈ L ⇒ u + v ∈ L.. v ∈ L. Sea V un espacio vectorial sobre K. Proposici´ on 9. vn y cada vi es. y se designa por L(A). .3. . . . X 2 .1. Proposici´ on 9. . vn ∈ V si existen α1 .3. . ur . . 123 Dependencia lineal Definici´ on 9. Si v es combinaci´ on lineal de v1 . .5. . (2) L(A) ⊃ A. ur . . . a su vez. vi = i=1 Por lo tanto: v= n X αi ( i=1 r X r X βij uj j=1 βij uj ) = j=1 r X n X ( αi βij )uj . .3. . (3) En K[X] todo polinomio de grado menor o igual a n es combinaci´ on lineal de los polinomios {1. (2) u es combinaci´ on lineal de cualquier conjunto que contenga a u.3. j=1 i=1 ¤ Definici´ on 9. . combinaci´ on lineal de u1 .4. X n }.2. . . . (3) Si A ⊂ B ⇒ L(A) ⊂ L(B). Si A = ∅. . Proposici´ on 9. . se define L(∅) = {0}. αn ∈ K tales que: v = α1 · v1 + · · · + αn · vn Ejemplos 9. . Se tiene: v= n X αi vi . Diremos que v ∈ V es combinaci´ on lineal de v1 . . (1) L(A) es un subespacio vectorial de V . . Se llama subespacio vectorial engendrado por A. . (1) 0 es combinaci´ on lineal de cualquier conjunto de vectores. Demostraci´ on. . X. .3. Sea A ⊂ V .3.ESPACIOS VECTORIALES 9. al conjunto de todas las combinaciones lineales de un n´ umero finito de elementos de A. entonces v es combinaci´ on lineal de u1 .3. . .3.3. . .7. . Sean u1 . Definici´ on 9. (1) Si 0 ∈ {u1 . αn ∈ K .124 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) (4) Si A es un subespacio vectorial de V . tales que: α1 · u1 + · · · + αn · un = 0 (2) u1 . . . . .6. . . . un ∈ V . .3. s´ı es un espacio vectorial de dimensi´ on finita. entonces u1 . de grado menor o igual que n. . . . . Definici´ on 9.9. (5) L(L(A)) = L(A). un son linealmente dependientes (2) Si a un conjunto de vectores linealmente dependientes se le a˜ naden cualesquiera otros vectores.3. . Diremos que V es un espacio vectorial de dimensi´ on finita si existe un n´ umero finito de elementos de V . (1) u1 .8. un ) Un tal conjunto diremos que es un sistema de generadores de V . . con coeficientes en K. entonces L(A) = A. un . un son linealmente dependientes si existen α1 . u1 . .no todos nulos. resulta un conjunto de vectores linealmente dependientes. on finita. (3) El conjunto de los polinomios en la indeterminada X. . . tales que: V = L(u1 . . (1) Kn es de dimensi´ (2) K[X] (polinomios en la indeterminada X con coeficientes en K) no es de dimensi´ on finita. . un }. . . . . . . . un son linealmente independientes si: α1 · u1 + · · · + αn · un = 0 ⇒ α1 = · · · = αn = 0 Ejemplos 9. Ejemplos 9. . . αn ∈ K tales que: v = α1 · v1 + · · · + αn · vn Entonces: (−1)v + α1 · v1 + · · · + αn · vn = 0 y no todos los coeficientes son nulos. . tales que: α1 · v1 + · · · + αn · vn = 0 Si es αi 6= 0. . αn ∈ K . . . u2 . . Demostraci´ on. u2 . . un } ⊂ V es una base de V si se verifica: (1) V = L{u1 . . . {u1 . . . . Esto es. . vn son linealmente dependientes. un } es un sistema de generadores de V. no todos nulos. . . Por hipótesis existen α1 . . un } son linealmente independientes.4. 9.4. vn . Demostraci´ on. alguno de ellos es combinaci´ on lineal de los dem´ as. . entonces el conjunto {v. ¤ Proposici´ on 9. un }. v1 . . . Por hipótesis existen α1 . . Proposici´ on 9. vn } es linealmente dependiente. . . . . .10. Si v es combinaci´ on lineal de v1 . . . .3. (2) {u1 .ESPACIOS VECTORIALES 125 (3) Cualquier subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es un conjunto de vectores linealmente independientes. . existe vi = − 1 αi y entonces: α1 αi−1 αi+1 αn · v1 − · · · − · vi−1 − · vi+1 − · · · − · vn αi αi αi αi Luego vi depende linealmente de los demás vectores del conjunto. . u2 .3. . u2 . . porque el primero es −1. . . .11. . Decimos que B = {u1 .1. . . ¤ Bases y dimensi´ on Definici´ on 9. Si los vectores v1 . Por la proposición 9. vm } dos bases de V . . puesto que u1 6= 0. Por ser B ′ un sistema de generadores u1 = x1 v1 + · · · + xm vm no siendo 0 todas las xi . (0. uno de sus vectores depende de los demás. porque si as´ı fuese. . Teorema 9. En un espacio vectorial de dimensi´ on finita todas las bases tienen el mismo n´ umero de elementos. y esto es imposible por ser B una base. v3 . un } es un sistema de generadores de V . . Si este conjunto es linealmente independiente es una base. .11. . repitiendo el proceso. Todo espacio vectorial de dimensi´ on finita tiene una base. por la proposición 9. . Entonces. resultando siempre un nuevo sistema de generadores de V . . .4. Pongamos x1 6= 0. . . . {u2 . . . los ui que quedasen ser´ıan combinación lineal del u ´ltimo sistema de generadores. Siguiendo con este intercambio. .4. . . vm }. u2 . v2 . formado por u. ya que si fueran todos nulos. . este conjunto un es un sistema de generadores de V . 1)} es una base de Kn . 0).2. un } y B ′ = {v1 . . una vez agotados los v. Demostraci´ on. .3. Si este conjunto es linealmente independiente ya es una base. . un }. . . . podemos despejar una de las vi y as´ı resulta que {u1 . y si es linealmente dependiente. {(1. . y esto u ¤ Teorema 9. u2 ser´ıan linealmente dependientes. . iremos sustituyendo cada vez una v por una u. Tomemos u1 ∈ B. Entonces podemos despejar v1 : v1 = 1 x2 xm u1 − v2 − · · · − vm x1 x1 x1 Consideremos ahora el conjunto {u1 . ui . . As´ı pues resulta que n ≤ m. u3 . . . y si no. . y no es as´ı porque forman parte de una base. .4. vm } es un sistema de generadores. . Por ser V de dimensión finita posee un sistema finito de generadores {u1 .3. Demostraci´ on. u1 . Sean B = {u1 . . . sin que esto reste generalidad a la demostración. . . (0. . como antes. Entonces. uno de los ui es combinación lineal de los demás: supongamos que se trata de u1 (esto no resta generalidad a la demostración). . . 0).3. con alg´ yi 6= 0. por lo que u2 = y1 u1 + y2 v2 + · · · + ym vm .126 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejemplo 9. i ≥ 2. Como el n´ umero de los ui es finito.3. 1. . o se encuentra una base o se agotan los ´ltimo es imposible por tratarse de un sistema de generadores. Al final no pueden quedar vectores en B. .4. . . y sea B = {u1 . . . . . pero al revés.5. al n´ umero de elementos de cualquier base de V . . Si V = {0}. ¤ Definici´ on 9. . un } una base de V . (2) Todo conjunto con m´ as de n vectores es linealmente dependiente. Si B = {u1 . Teorema 9. sustituyendo cada u por un v.6. . . (4) Todo sistema de generadores con n elementos es una base. . dim(Kn ) = n. dim(V ).4.8. (6) Toda base de un subespacio de V puede ampliarse a una base de V . .7. . . (3) Todo sistema de generadores de V tiene al menos n elementos. (1) Todo conjunto de n vectores linealmente independiente es una base. resultar´ıa que m ≤ n. es decir. .4. Luego m = n. Se llama dimensi´ on de V . . (5) Todo subespacio de V es de dimensi´ on finita y tiene dimensi´ on menor o igual que n. entonces para cada v ∈ V existe un u ńico (α1 . un } es una base de V .ESPACIOS VECTORIALES 127 Si repitiésemos ahora el proceso. Entonces ∃α1 . .4. αn ∈ K tales que: v = α1 · u1 + · · · + αn · un . convenimos en que tiene dimensi´ on cero. Corolario 9. . αn ) Demostración: Sea v ∈ V . αn ) ∈ Kn tal que: v = α1 · u1 + · · · + αn · un Este elemento de Kn se denomina coordenadas de v respecto de B y lo notaremos por: vB = (α1 . . Sea V un espacio vectorial con dim(V ) = n. .4. Ejemplo 9. Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensi´ on finita. . . βn ∈ K tales que: v = β1 · u1 + · · · + βn · un entonces.128 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Supongamos que existen β1 . Luego α1 = β1 . . . resulta 0 = (α1 − β1 ) · u1 + · · · + (αn − βn ) · un . todos los paréntesis son nulos. y como B es una base. . . . αn = βn . restando. b) Probar que los vectores de C2 : ~u = (1 − i. y. y.. 1). z) : x · y = 0} 5.a) Probar que los vectores ~u = (3 + √ 2. ·). 1 + 2 2) de R2 son linealmente dependientes sobre el cuerpo R pero linealmente independientes sobre el cuerpo Q... +. ~v = (1. y.Hallar t ∈ R para que el vector ~x = (3.. b. D = {(x. ~u2 = (1. −2) y de (0. 1) forman una base de (R3 . ·).Determinar a y b para que el vector (1. 1.ESPACIOS VECTORIALES 129 Ejercicios y Problemas 1. y = z}. y. 2.Sea P3 [x] el Espacio vectorial de los polinomios en la indeterminada x de grado menor o igual que 3. x − z = 0. a) . 1). 2. −1). F = {(x. −1. En caso afirmativo. 2. z) : x = 0. }. y + z = 1}. 4.Determinar qué conjuntos son subespacios vectoriales de (R3 . 3. +. y encontrar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de dicha base. z) : x − y + z = 0. z) : x − y + z = 0}. ~u3 = (0. + .Demostrar que el conjunto E = {(a. 3). B = {(x. C = {(x. E = {(x. t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores ~u = (1. 0. 1). y.·): A = {(x. 7. y..Demostrar que los vectores ~u1 = (1. 4. hállese una base del mismos. −1 + i) son linealmente dependientes sobre el cuerpo C pero linealmente independientes sobre R. a. b) sea combinación lineal de (1. 0).. b ∈ R } es un subespacio vectorial de (R4 . 2. z) : x + 2y + z = 1}. . ~v = (7. 1. 1.. 3. a. z) : x − y = 0. 6. 0. 8. ~v = (2. 1 + √ √ 2). p (x).Sean los conjuntos: n o n o ′ ′′ F [x] = p(x) ∈ P3 [x] : p(0) + p (0) = 0 .130 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) n o ′ ′′ ′′′ Probar que si p(x) es un polinomio de grado 3. p (x) es una base. Demostrar que F [x] y G[x] son subespacios vectoriales de P3 [x]. Tómese p(x) = x3 − 3x. entonces p(x). G[x] = p(x) ∈ P3 [x] : p (x) = 0 . p (x).. . y hállense las coordenadas de q(x) = x3 + x − 2 respecto de dicha base. y encontrar sendas bases para cada uno de ellos. 8. Una aplicaci´ on f : V −→ W diremos que es lineal si para todo v.1.1.2. (2) End(V ) = {f : f aplicaci´ on lineal de V en V }.Cap´ıtulo 10 Aplicaciones lineales 10. En lo que sigue V y W son espacios vectoriales sobre R. w ∈ V y todo α ∈ K se tiene que: (1) f (v + w) = f (v) + f (w). (2) f (α · v) = α · f (v). es lineal. es lineal.1. W ).3. definida por f0 (v) = 0 ∀v ∈ V . Definici´ on 10.1. definida por 1V (v) = v ∀v ∈ V . W ) = {f : f aplicaci´ on lineal de V en W }. 1V : V −→ V .4. 131 . Si f ∈ Hom(V. Definici´ on 10.1. diremos que f es un homomorfismo de V en W . (1) La aplicaci´ on f0 : V −→ W . Si f ∈ End(V ). (1) Hom(V. Definiciones y propiedades Nota 10. (2) La aplicaci´ on identidad de V en V .1. diremos que f es un endomorfismo de V . Ejemplos 10. Obsérvese que Ker(f ) = f −1 ({0}) Proposici´ on 10.1. (5) Un automorfismo de V es un isomorfismo de V en V . (1) Si v ∈ V . Definimos (1) Img(f ) = {f (v) | v ∈ V } .6.132 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) (3) f : V −→ W es un isomorfismo.1) f es lineal. (2) Ker(f ) es un subespacio vectorial de V .7. Sea f ∈ Hom(V. (2) 0 = f (0) = f (v + (−v)) = f (v) + f (−v) ⇒ f (−v) = −f (v) (3) f (v − w) = f (v + (−w)) = f (v) + f (−w) = f (v) − f (w). (2) Ker(f ) = {v ∈ V | f (v) = 0}.1.5. Este conjunto se llama imagen rec´ıproca de B y no debe confundirse con la aplicaci´ on f −1 . ¤ Definici´ on 10. f (A) = {f (v) | v ∈ A}. Demostraci´ on. Propiedades 10. (4) Si B ⊂ W. Este conjunto se llama imagen de A. W ) (1) Img(f ) es un subespacio vectorial de W . f : V ∼ = W . . W ). escribiremos V ∼ = W. Sea f ∈ Hom(V. W ). (4) Si existe un isomorfismo de V en W . f −1 (B) = {v ∈ V | f (v) ∈ B}. este conjunto se llama imagen de f .2) f es biyectiva.1. (1) f (0) = 0. (2) f (−v) = −f (v). este conjunto se llama n´ ucleo de f . Obsérvese que Img(f ) = f (V ). es f (v) = f (v + 0) = f (v) + f (0) ⇒ f (0) = 0. si (3. (3) Si A ⊂ V. (3) f (v − w) = f (v) − f (w). (3. Sea f ∈ Hom(V. que s´ olo existe cuando f es biyectiva. = W es un isomorfismo. como f (α · v) = α · f (v) = α · v′ es f −1 (α · v′ ) = α · v = α · f −1 (v′ ) ¤ . f (w) = w′ . .APLICACIONES LINEALES 133 Demostraci´ on. αr ∈ K. w ∈ V tales que f (v) = v′ . f (α1 ·v1 +· · ·+αr ·vr ) = α1 ·f (v1 )+· · ·+αr ·f (vr ) = f (0) = 0. . tales que α1 ·v1 +· · ·+αr ·xr = 0. Luego sólo habrá que probar que f −1 es lineal. ⇒ ∃α1 . . f (vr ) son linealmente dependientes. (3) Como f es biyectiva. . w ∈ Ker(f ). . W ) (1) f inyectiva ⇐⇒ Ker(f ) = {0}. v′ + w′ = f (v) + f (w) = f (v + w) ⇒ v′ + w′ ∈ Img(f ) Si α ∈ K α · v′ = α · f (v) = f (α · v) ⇒ α · v′ ∈ Img(f ). . y sean v. no todos nulos. entonces f (v) = 0 = f (0) ⇒ v = 0. . . . . (2) Si v1 .8. . entonces ∃v. (3) Si f : V ∼ = V es un isomorfismo. . (1) ⇒) Sea v ∈ Ker(f ). . entonces f −1 : W ∼ Demostraci´ on. ⇐) Si v. (1) Sean v′ . Por tanto. w ∈ V son tales que f (v) = f (w) es 0 = f (v) − f (w) = f (v − w) ⇒ v − w ∈ Ker(f ) de donde v − w = 0 ⇒ v = w ⇒ f es inyectiva. . . Sean v′ . f (vr ) son linealmente dependientes. vr son linealmente dependientes. . w′ ∈ W . Como f (v + w) = v′ + w′ es f −1 (v′ + w′ ) = v + w = f −1 (v′ ) + f −1 (w′ ) De otro lado. ¤ Proposici´ on 10. . . si α ∈ K.1. vr son linealmente dependientes. w ∈ V los u ńicos vectores tales que f (v) = v′ . Sea f ∈ Hom(V. (2) Si v1 . luego f (v1 ). α ∈ K f (v + w) = f (v) + f (w) = 0 ⇒ v + w ∈ Ker(f ) f (α · v) = α · f (v) = 0 ⇒ α · v ∈ Ker(f ). . w′ ∈ Img(f ). . (2) Sean v. f −1 también es biyectiva. entonces f (v1 ). f (w) = w′ . am2 . · · · .. α ∈ K. Ya que toda aplicación lineal.. u~′′ 2 .. W ). V ′ ). · · · .B′ (f ) se denomina ecuaci´ on de f respecto de las bases B y B′ ..B′ (f ) =  . u~′ m } base de V ′ y B ′′ = {u~′′ 1 .2. x2 . xn ) y v′ B′ = (x′ 1 . V ′ ). a1m   a2m    . · · · .1.. · · · .   amn Sean v ∈ V . Se tiene que: f (v) = v′ ⇐⇒ (x′ 1 . 1≤i≤n y  a11  a  21 MB.134 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Proposici´ on 10.B′ (f ) es la matriz de f respecto de las bases B y B ′ . Teorema de la dimensi´ on Sea f ∈ Hom(V. Representaci´ on matricial de una aplicaci´ on lineal Nota 10. w ∈ V .. vB = (x1 . f (ui ) = m X j=1 aij · u′j . · · · . se tiene la siguiente Proposici´ on 10.1. x′ 2 . La ecuaci´ (x′ 1 ... f ∈ Hom(V. ~un } base de V . xn ) · MB. on donde MB.9. V ′ y V ′′ espacios vectoriales sobre K. .1.. Sean v. Sea V ′ un espacio vectorial sobre K f ∈ Hom(V. · · · . Sean f ∈ Hom(V. x2 . . x′ m ) = (x1 . B′ = {u~′ 1 . ~u2 . W )..B′ (f ).  am1 a12 . v′ ∈ V ′ . Sean V . V ′ ) Demostraci´ on. u~′′ p } base de V ′′ . .. x′ m ). está determinada por sus valores en los elementos de B. · · · . u~′ 2 . x′ 2 . Se verifica que: (g◦f )(v+w) = g(f (v+w)) = g(f (v)+f (w)) = g(f (v))+g(f (w)) = (g◦f )(v)+(g◦f )(w) (g ◦ f )(α · v) = g(f (α · v)) = g(α · f (v)) = α · (g ◦ f )(v) ¤ Teorema 10. a22 .. x2 . x′ 2 . g ∈ Hom(W..2. Más concretamente. x′ m ) = (x1 . xn ) · MB.2. · · · ..2. V ′ ) ⇒ g ◦ f ∈ Hom(V.10. Entonces dim(V ) = dim(Img(f )) + dim(Ker(f )) 10. Sean B = {~u1 . · · · . encontrar una base B de V tal que MB (f ) sea de la forma “más sencilla” posible. B ′ bases de V tales que MB (f ) = A y MB′ (f ) = A′ . Nota 10.APLICACIONES LINEALES 135 Proposici´ on 10. Se tiene que: MB. K) tal que: (1. K). . B ∈ M (n×n. K) encontrar B ∈ M (n × n. (2) Existe f ∈ End(V ) y B. si ∃P ∈ M (n × n.3.2) B sea de la forma “más sencilla” posible. A ∼ B.B′′ (g) Definici´ on 10. Sean A. encontrar otra base B ′ en la cual la matriz de f sea lo más sencilla posible”.3.3. es una relaci´ on de equivalencia en M (n × n.4.B′ (f ) · MB′ .1) A ∼ B. K). equivale al problema: ”dado un endomorfismo f de V de matriz A respecto de una base B de V . A′ ∈ M (n × n.B′′ (g ◦ f ) = MB. Son equivalentes: (1) A ∼ A′ . Autovectores y autovalores Se trata de encontrar procedimientos para resolver las siguientes cuestiones: (1) Dada A ∈ M (n × n. K) | |A| 6= 0 | A = P · B · P −1 Proposici´ on 10. V ′′ ). El problema de la clasificaci´ on lineal. En virtud de esta proposición el problema: ”dada una matriz A ∈ M (n × n. La relaci´ on de semejanza.2. ∼. Diremos que A y B son semejantes.3. 10.5. Proposici´ on 10. K). Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on n sobre K.2. (1. Sean f ∈ Hom(V. Sean A. K).2. (2) Dado f ∈ End(V ). encontrar una A′ semejante a A con la forma más sencilla posible”.1. A partir de ahora V ser´ a un espacio vectorial sobre K de dimensi´ on n y f ∈ End(V ).2. V ′ ) y g ∈ Hom(V ′ . 9. . . . . an ) · A = α · (a1 . xn ) (α · I − A) = (0. . Por el Teorema de Rouché-Fr¨ obenius sabemos que el sistema (x1 . . .8. Definici´ on 10. Si A ∼ B. 0). Las soluciones de la ecuaci´ on caracter´ıstica de f se denominan autovalores de f . Corolario 10. entonces A y B tienen el mismo polinomio caracter´ıstico.6. . y s´ olo si. an ). . . Sean A.7. B ∈ M (n × n. . . . . .3.3. K). . . Sea a ∈ V con a 6= 0. . Sea aB = (a1 . . . . xn ) (α · I − A) = (0. |α · I − A| = 0. an ) ⇐⇒ ∃α ∈ K tal que (a1 . . . . . . .3. 0) ⇐⇒ ∃α ∈ K tal que aB es solución del sistema (x1 . 0) Demostraci´ on. . . (2) Existe α ∈ K tal que aB es soluci´ on del sistema (x1 . . .3. a es un autovector de f ⇐⇒ ∃α ∈ K tal que f (a) = α · a ⇐⇒ ∃α ∈ K tal que (a1 . Diremos que a es un autovector de f si ∃α ∈ K | f (a) = α · a Proposici´ on 10.3. . . As´ı pues. 0) tiene soluci´ on distinta de la trivial si.5. . .3.3. .4. Sean B una base de V y A = MB (f ). . an ) · (α · I − A) = (0.136 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definici´ on 10. xn )(α · I − A) = (0. . El polinomio |λ · I − A| se denomina polinomio caracter´ıstico de f respecto de la base B. . los valores de α ∈ K para los cuales se obtienen autovectores de f son las soluciones de la ecuaci´ on |α · I − A| = 0. El polinomio caracter´ıstico de f no depende de la base elegida. Son equivalentes: (1) a es un autovector de f .3. . . ¤ Nota 10. La ecuaci´ on |λ · I − A| = 0 se denomina ecuaci´ on caracter´ıstica de f respecto de la base B. . . . Teorema 10. Definici´ on 10. . . ... λn · u n y as´ı. . Teorema 10.2. . . y si B = {u1 . como la ecuación caracter´ıstica de f no depende de la base respecto de la cual se tome. . respecto de la cual la matriz de f es        entonces f (u1 ) f (u2 ) f (un ) λ2 = λ1 · u1 = .. .4. ¯ ¯ ¯  . .4.. . . . =  λ1 . . Sea f ∈ End(V ). Son equivalentes: (1) f es diagonalizable. {u1 . (1) ⇒ (2) Sea B = {u1 . 137 Endomorfismos diagonalizables Definici´ on 10. un } es una base de V respecto de la cual la matriz de f es diagonal. . .APLICACIONES LINEALES 10. . a saber   λ1       λ2 . .4. . . Además.1. ¯ ¯ ¯  ¯ ¯ ¯ ¯ λn ¯ ¯ = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) · · · (λ − λn ) = 0 λ − λn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ .. . un } una base de V . λn } son los autovalores de f . . λ2 . . un } son autovectores respecto de f .. Si éste es el caso. λn entonces {λ1 . λn λ2 · u2       .       Demostraci´ on. . será: ¯ ¯ ¯  ¯ ¯ ¯ λ−λ λ1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ¯ ¯ ¯  λ − λ2 λ2 ¯ ¯ ¯  ¯ = ¯ ¯λI −  . Diremos que f es diagonalizable si existe una base B de V tal que MB (f ) es diagonal. (2) V posee una base formada por autovectores de f . . Si f posee n autovalores distintos en K. λr ∈ K autovalores distintos de f . Entonces. ar ∈ V −{0} tales que f (ai ) = λi ·ai . λn       Esto prueba el teorema. . Sean λ1 . . entonces f es diagonalizable. . . . . y a1 . . λ2 .4. . . . . los autovalores de f son (λ1 . . . ¤ Vamos a estudiar ahora una condición suficiente para que un endomorfismo sea diagonalizable. (ai autovector correspondiente al autovalor λi ). λn · u n = y as´ı. .. λn ). .3. un } una base formada por autovectores. la matriz de f respecto de esa base es         λ1 λ2 . λ2 · u2 . El estudio de una condición necesaria se hará más adelante. Sea B = {u1 . .4. . a1 . Se tiene entonces que f (u1 ) f (u2 ) f (un ) = λ1 · u1 = . . . ar son linealmente independientes. .. Proposici´ on 10. . .4. Teorema 10..138 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) y as´ı. (2) ⇒ (1). . z. 2) = (1. 0). g : R3 → R4 dos aplicaciones lineales definidas por: f (1. b) f : R2 → R3 : f (x. c) Las ecuaciones de las aplicaciones f + g y g ◦ f . 1).Sea f : R3 → R3 el endomorfismo definido por f (x. 4) g(−2. b) Hallar Ker(f ). los autovalores y los autovectores de f . f (~e1 ) = 2~v1 − ~v2 . c) La imagen. 3) = (2. 1) Hallar: a) Las matrices asociadas a las aplicaciones lineales f y g respecto de las bases canónicas. 4) g(−1. y. 0. z) = (3x.Sean f : R2 → R3 . ~u2 }. x−2y. Im(f ) sus ecuaciones y dimensiones.. se pide: a) la matriz y ecuaciones de g ◦ f . 1. d) Los n´ ucleos de f y g y sus respectivas ecuaciones e) Lo mismo para las imágenes. {~e1 . f ) f : R3 → R4 : f (x.Decir si son lineales las siguientes aplicaciones: a) f : R3 → R3 : f (x. b) Las ecuaciones de dichas aplicaciones lineales. 1) g(1. z) = (2x. 2.. una base del n´ ucleo y una de la imagen. d) f : R3 → R2 : f (x. 3z). 2z+t). y) = (2x+y. 4. 3. 5. z) = (0. x+1) 2. ~v2 } son bases de V . x + 2y. f (2. Hallar el polinomio caracter´ıstico. g dos automorfismos de un espacio vectorial V de dimensión 2 tales que: f (~u1 ) = ~e1 + ~u2 . {~v1 . 4. x+y. e) f : R4 → R2 : f (x. y. ~e2 }.. x+y. f (~u2 ) = ~e1 − ~u2 .Para las aplicaciones del ejercicio anterior que sean lineales se pide: a) Matriz de la aplicación respecto de las bases canónicas. y) c) f : R2 → R3 : f (x. 1) = (5. t) = (x−y. . 3. 3). z) = (x+y+z.APLICACIONES LINEALES 139 Ejercicios y Problemas 1. 1.. −1. y. 2. d) El transformado de ~x = ~u1 − 3~u2 por la aplicación compuesta. −1) = (2. y. 0) = (0. 0. z. 0. y) = (x+1. y. b) El n´ ucleo. x+y. 1.. f (~e2 ) = −~v1 + 3~v2 donde {~u1 .Sean f. 4x + 2z). 2 −1 0 a) Obtener los autovalores de A comprobando que no dependen de α. 1 −1 3 Anal´ıcese si es diagonalizable..140 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 6.. b) Obtener los autovectores de f en función de α y estudiar si f es diagonalizable. 7.Hallar el polinomio caracter´ıstico. los autovalores y autovectores delendomorfismo  1 1 0    f : R3 → R3 que en la base canónica tiene asociada la matriz A =  3 −1 6 .Sea f : R3 → R3 el endomorfismo que en la base canónica tiene asociada la matriz   1 + α −α α    A= 2 + α −α α − 1 (α ∈ R) . . es decir. es la etapa de la lógica matemática. Aristóteles fue el primer gran filósofo que escribió un tratado de lógica. de filósofos medievales y modernos. C. cuando fue creada por Aristóteles en el siglo IV a. hasta mediados del siglo XIX. desarrollada sistemáticamente en los Primeros analíticos. pero sin 1 5 . la lógica puede ser enfocada desde dos puntos de vista. La lógica se enriqueció luego con valiosos aportes de los lógicos estoicos y megáricos. que se extiende desde mediados del siglo XIX hasta nuestros días. La lógica formal contemporánea es la lógica matemática. simbólica o moderna o contemporánea. por otro lado. La primera se extiende desde sus orígenes. tradicional o aristotélica. la lógica como un instrumento orgánico para evaluar la validez de las inferencias. en cuya historia podemos distinguir dos grandes etapas.Presentación Según Charles Peirce —uno de los fundadores del pragmatismo norteamericano que atacó de raíz los problemas centrales lógicos y filosóficos— ha dado un centenar de definiciones de la lógica. Reunió en el Organon todo el material existente en su época. incluyendo sus propios descubrimientos. Es la etapa de la lógica antigua. entre los que destaca la teoría del silogismo. La segunda. Nace como disciplina independiente en Grecia. De acuerdo con Aristóteles.. Por un lado. Su desarrollo no es ajeno a los cambios de la ciencia actual. como el estudio de los principios y métodos usados para distinguir entre las inferencias válidas y las inferencias no válidas. el Begriffsschrift. la lógica dialéctica. Posteriormente el matemático y lógico alemán David Hilbert mostró que los defectos de la obra de Russell y Whitehead se debían a la falta de rigor en el empleo del lenguaje y creó la llamada metateoría. finalmente. Whitehead. que en forma independiente llegó a resultados similares a los de Frege. cuyos trabajos fueron publicados en una obra monumental. que consta de tres volúmenes. asociadas a nombres como Lukasiewicz y Post. 1 6 . denominada Principia Mathematica (1910-1913). de diversos modos. creada por Brouwer y sistematizada por Heyting. Todas ellas caracterizadas como lógicas no clásicas. En efecto. Sin embargo. Se admitía que el Estagirita había descubierto todo lo que había que descubrir sobre lógica. formulada por los profesores Richard Routley. a partir de 1920. Robert Meyer y Newton da Costa. y sobre la base de la enorme influencia que el filósofo y lógico austriaco Ludwig Wittgenstein llegó a ejercer a través de su Tractatus Logico-Philosophicus. la lógica intuicionista. desde hace poco más de un siglo. Todos estos trabajos fueron sistematizados y desarrollados por dos grandes filósofos: Bertrand Russell y Alfred N. A fines del siglo XIX aparecen los trabajos de Gottlob Frege —considerado el padre de la lógica moderna— cuya primera obra.experimentar cambios sustanciales. dando origen a una serie de investigaciones notables. El impulso fue dado por dos matemáticos ingleses: George Boole y Augustus de Morgan. surgen y se desarrollan ciertos sistemas de lógica que se separan. como las de Rudolf Carnap en el terreno de la sintaxis lógica y de Alfred Tarski en el de la semántica lógica. la lógica modal identificada con los trabajos de Lewis. la lógica ha tomado un nuevo curso y en poco tiempo ha realizado significativos progresos que la han renovado por completo. y. se publicó en 1879. de difusión grande en nuestros tiempos. Por lo tanto la imagen actual de la lógica revela un progreso y diversificación tan notable que resulta incorrecto hablar simplemente de la lógica como se venía haciendo hasta entonces. Es el caso de las lógicas polivalentes. quienes desarrollaron la idea de Leibniz de construir la lógica como un cálculo. y los del italiano Giuseppe Peano Principios de la aritmética (1889). de la lógica clásica. cuanto en la redacción de ciertas partes. distinguido alumno de filosofía de San Marcos y ayudante del curso de Lógica en el Integrado de Letras. Es la base de la cibernética. disciplina que ha permitido importantes avances en el conocimiento de los mecanismos de transmisión de información. Óscar Augusto García Zárate 1 7 . en su relación con el pensamiento y el lenguaje. Creemos que un trabajo de esta naturaleza contribuirá a que el profesor de aula cuente con una pauta que le permita dirigir la enseñanza-aprendizaje del curso y. en las correcciones finales. En él nos proponemos exponer en forma clara y sencilla los elementos de esta ciencia formal. ofrecemos el presente volumen de Introducción a la Lógica. Se incluyen catorce cuestionarios y veintitrés ejercicios para ayudar al alumno a adquirir un dominio práctico del material. nuestra tarea habrá sido cumplida. el análisis de sistemas y de investigación operativa.La lógica matemática ha penetrado todas las demás ciencias y nutre de problemas a la filosofía. Desconocerla. con el anhelo de iniciar a los alumnos de educación superior en el estudio de esta importante disciplina. En la medida en que esto suceda. por lo que se refiere al alumno. En la parte preliminar se examinan los conceptos básicos de la lógica. le proporcionará un medio efectivo de iniciarse en su estudio. El señor José Antonio Tejada Sandoval. significa ignorar una de las creaciones más fecundas del pensamiento humano. desarrollan los temas esenciales de la lógica proposicional y de la lógica de predicados. para el hombre del siglo XXI. tanto en la preparación de los cuestionarios y ejercicios. ha participado activamente en la elaboración del libro. Es la base de la investigación en tecnologías formales que incluye los campos de programación de computadoras. la segunda y la tercera partes. Justamente. Expresamos nuestro reconocimiento por su valiosa y responsable contribución. respectivamente. 1 8 . CONCEPTOS PRELIMINARES Génesis de la lógica El origen de la lógica como ciencia formal se remonta a los tiempos de Aristóteles (siglo IV a.). El empleo de este término es corriente desde los estoicos (siglo III a. 1 9 . C. No se sabe exactamente por quién ni en qué época ha sido empleada la palabra “lógica” en el sentido moderno. sino que aludía a ella usando la palabra “analítica” (del griego analysis: solución. como una de las tres especies de “filosofía”. pp. Argentina. Sin embargo. en el sentido de término). C. André. “El Ateneo” Editorial. el gran filósofo de Estagira no empleó este término para referirse a esta ciencia. Según indicación de Boecio el término “lógica” pudo haber sido creado por los comentadores de Aristóteles para oponer el Organon de éste a la “dialéctica” estoica. Vocabulario técnico y crítico de la filosofía.). resolución.) y en Galeno parece demostrar que se había hecho muy corriente en su época. 586-587. fin. En todo caso esta palabra es empleada por Cicerón (siglo I a. Es por esta razón que los escritos fundamentales del Organon aristotélico (conjunto de sus investigaciones sobre lógica) reciben el nombre de Analíticos. C. “las leyes lógicas”.1 1 Cf. LALANDE. tal vez en tiempo de Andrónico de Rodas.): “los teoremas lógicos”. C. 1966. y el uso que se hace de ella en Alejandro de Afrodisia (siglo II d. quien fue su creador. pues señalaba que toda la realidad se hallaba penetrada de él y por esta misma razón volvía inteligibles todas las cosas. El verbo legein significó. un camino específico para el discurrir de la razón. “norma racional”. al intentar definir el conocimiento. la cual siguiendo ese camino hallaba una guía para el logro de sus fines. Heráclito. por esa misma calidad. señala que el decir de los hombres se manifiesta como un colocar. Incluso el hombre participaba de él. entonces es posible buscar un método de pensar que haga evidente esa inteligibilidad. y que esto nos mostraría una nueva dimensión del ser del lenguaje que va más allá de la expresión y la sig- 2 0 . Con fines didácticos seleccionaremos las que influyeron en el desarrollo de la lógica.La palabra “lógica” proviene del vocablo griego logos y éste de la voz legein. Manuel García Morente afirma que el griego concebía el logos como aquella razón fundamental o fórmula racional definitoria que explica el “qué es” de algo. así la usó. en su sentido primigenio. De aquí que la tarea humana en el conocimiento de las cosas consistía en ir purificando el pensamiento para llegar a la visión del logos y así comprender la realidad. Justamente. por ejemplo. recolectar. Nos parece que esta significación metafísica del logos sirvió de base para crear la lógica como un instrumento del pensamiento. por ejemplo. éste es uno de los sentidos que. Logos traducía una noción muy profunda que representa un principio de validez universal. por un lado. También significó la facultad de formar conceptos correctos. pues llega a los terrenos metafísicos. se refiere al significado de legein. Heidegger. en un artículo en que analiza detenidamente y desde una perspectiva filológica el Fragmento 50 de Heráclito. lo cual implicaba que el pensamiento exento de todo error debe también. este verbo también significa colocar. en relación con esto. Las significaciones respectivas son muchas y variadas. Platón le adjudica a dicho término en la parte final del Teeteto. Por su parte. En efecto. En el pensamiento griego el significado de la palabra logos desborda el campo lógico. indicando que. ser una representación de la realidad. recoger. si la realidad es inteligible. es decir. Heidegger. han sido señalados como sus rasgos definitorios. de “la lógica del escándalo”. en el lenguaje coloquial Inmerso en el lenguaje coloquial el término “lógica”. se emplea el término “lógi2 Cf. Siguiendo este camino nació la lógica en el pensamiento griego. logos significaba “palabra”. A través de la palabra que expresaba pensamientos correctos se podía organizar una ciencia que garantizara la inteligibilidad de las cosas. por ejemplo. Así. Igualmente. adjetivo y adverbio. 2 1 . Como sustantivo Empleado como sustantivo en el lenguaje cotidiano la palabra “lógica“ adquiere el sentido de estructura de razonamiento. Asimismo. esta función especial del lenguaje interesaba a la lógica y se abrió el camino para la determinación del concepto de proposición. pp. los cuales son susceptibles de discusión y pueden llevar la verificación de su verdad o falsedad. Luis Felipe y Hugo GARCÍA SALVATECCI. Así. forma o modo de pensar o razonar. o. simplemente. GUERRA. “ilógicamente“). en un artículo periodístico. Lima. para referirse al modo de pensar de la prensa de nuestro medio. 1984. 7-8. adjetivo (“lógico“. habitualmente. “ilógico“. “la ilogicidad“). Lógica Matemática. pues ésta implica asertos y negaciones.nificación que. “lo lógico”. Por supuesto que la lógica fue afinando su significación hasta convertirse en el instrumento del pensar correcto de que habla Aristóteles. es decir. razonamiento.2 Usos de la palabra “lógica” como sustantivo. en su uso sustantivo (“la lógica”. se habla. Universo. “la logicidad”. el lenguaje que traducía un pensamiento ya ordenado por la norma racional. “lógica“. adquiere diversos sentidos. que decide brindar cobertura a un hecho en función al escándalo que éste genere. “ilógica“ y sus respectivos plurales) y adverbial (“lógicamente“. “lo ilógico”. también. tal vez. y así se dice: “Es lógico que el anciano reaccione de la siguiente manera si le robaste las manzanas” (Vasconcelos. no deja de tener lógica lo que dice” (Shakespeare. También suele usarse el mencionado término para significar algo “obvio“ o “evidente“: “No podía haber más que un solo significado lógico tras las palabras de Luisa Bourget” (A. Suele también significar. 03-08-02. “necesario“. buen sentido. en otros casos. Como adjetivo En su uso adjetivo. En otras ocasiones. razón o actitud racional. se dice que “los ingenieros hidráulicos participantes en el proyecto propusieron soluciones lógicas al problema” (El Comercio. así. aunque en este caso. Además. Christie. supone 2 2 . 10). en otro contexto. hace referencia a un hecho o acción que se esperaba sucediese como consecuencia necesaria de un evento determinado. es decir. p. la palabra “lógica“ pasa a significar “natural“. sistemático y coherente. por ejemplo.ca“ como sinónimo de sentido común. para significar una determinada estructura de ordenamiento o la forma en que se encuentran dispuestas ciertas partes o ciertos elementos de un determinado conjunto a ámbito. en ese sentido. pues todo orden. pasa a significar. como en el texto siguiente: “Como consecuencia lógica de su buena actuación en las tablas. Así. Madame Bovary). coherencia o sentido. con este término. el uso del término sea redundante. ése es el sentido que toma en el siguiente texto: “Me he visto obligado —dijo— a creer que la lógica de sus acciones estaba desequilibrada” (Gustave Flaubert. cuando se dice de algo que tiene un orden lógico. en el sentido de previsible. comenzó a trabajar en el cine” (Miguel Paján. por ejemplo. Asimismo. podemos leer: “Aunque todo es mentira. Se hace uso del sustantivo “lógica“. se hace referencia a aquello que tiene un orden riguroso. Mi planta de naranja lima). Hamlet). Poirot en Egipto). se hace referencia al carácter coherente que algo posee. Grandes estrellas del cine). que “felizmente prevaleció la lógica”. por definición. cuando se afirma. un carácter lógico. Flaubert. “La decisión fue tomada. el término “ilógico“ es usado como sinónimo de “irracional“. etc. entendiendo esta palabra como sinónimo de irracionalidad. al menos no de la misma forma que “lógica“. “Lheureux quedó estupefacto. “Ilógico“ no es usado como sustantivo. Como ejemplos de este uso tenemos: “El alcalde de Miraflores inauguró el viernes una obra inconclusa aunque suene ilógico” (El Comercio. era algo ilógico para él lo que le estaba pasando” (G. Como adverbio En su uso adverbial el término “lógica“ se convierte en “lógicamente“ y expresa los mismos sentidos que posee como adjetivo. y así se dice. por ejemplo. esto es. como es lógico. p. 22). pues al anteponer a este término el artículo neutro se lo ha sustantivado. sistemático y coherente. (en este caso. pues esa función sólo le corresponde al adjetivo. por ejemplo. asimismo. pero de manera equivalente. empleando el término bajo su forma adverbial. de modo que este uso sería pleonástico. de un determinado funcionario que “lo más lógico sería que deje su cargo mientras goza de cierta aprobación”. sino expresando “modo”. en cambio. No es muy corriente. absurdidad. lógicamente. “absurdo“. o. Madame Bovary). De esta forma podemos decir. como sí lo es. aunque ya no calificando un sustantivo. y tiene el sentido de evidente) después de un detenido análisis”. después de un detenido análisis” Por último. el uso de “lógicamente“. también cabe hablar de lo “ilógico“. “incoherente“ e “inverosímil“. aunque sí de su “ilogicidad“. en otros términos. El empleo de la palabra “lógico“ también sirve para caracterizar una actitud como “razonable“ o “sensata“.. el uso es adjetivo. pues no cabe hablar de “la ilógica“ de tal o cual acción o actitud. riguroso. 2 3 . que “la decisión fue tomada. cuando toma la forma de adjetivo. adquiriendo de este modo el valor significativo de “sinrazón“ o “sinsentido“. 18-08-02. el empleo de este término con valor adverbial. Ejemplos: a) El triángulo tiene tres ángulos. fenómenos o hechos naturales y sociales que el hombre encuentra en su experiencia del mundo real (sea la dilatación de los cuerpos con el calor —en la física—. de las que son ejemplo las ciencias naturales y las ciencias sociales. reales o empíricas. conectados por relaciones de fundamentación y referentes a un dominio particular de objetos. la verdad de sus proposiciones se establece vía demostrativa o deductiva o bien a través de la experiencia. de entidades que se dan en la realidad espacio-temporal. La lógica formal y la matemática pura son ejemplos de estas ciencias. ideales o puramente intelectuales. o la devaluación monetaria —en economía—). Aquellas otras que la establecen a través de la experiencia (observación. Las ciencias formales están constituidas por un conjunto de proposiciones denominadas analíticas: su verdad o falsedad se establece lógicamente. abstractas o estructurales. o la variación de la moda —en la sociología—. Son las que tratan de los objetos abstractos.La lógica como ciencia formal de análisis y deducción La ciencia puede ser caracterizada como un sistema de proposiciones o conocimientos metódicamente establecidos y comprobados. entre las que se incluyen aquellos procesos. es decir. medición y experimentación) se llaman ciencias fácticas. b) 2 + 3 = 5 c) La suma de los ángulos internos del triángulo es de 180°. Las ciencias fácticas están constituidas por un conjunto de proposiciones que se llaman sintéticas: su verdad o falsedad se establece empíricamente. Estas últimas. Aquellas ciencias que establecen la verdad de sus proposiciones mediante deducciones o demostraciones se denominan formales. tratan acerca de los objetos reales. Ejemplos: 2 4 . tales como los números. factuales. esta definición no pretende afirmar que sólo es posible razonar o inferir correctamente si se ha estudiado lógica. Pero. la práctica ayuda a perfeccionarse.a) La clorofila es verde. inversamente. El conocimiento de estas trampas nos ayuda positivamente a evitarlas. métodos y los principios o leyes usados para distinguir la inferencia correcta de la incorrecta. Ante todo. si arriesgaran su dignidad en el campo atlético. La lógica es una ciencia formal que estudia las técnicas. b) Los felinos son carnívoros. y el estudiante deberá hacer ejercicios relativos a todos los aspectos de la teoría que aprende. reglas. Y es innecesario decir que los profesores de edad algo madura que más saben acerca de tales cosas se desempeñarían muy pobremente. Sostener esto sería tan erróneo como pretender que sólo es posible correr bien si se ha estudiado la física y la fisiología necesarias para la descripción de esta actividad. el estudio de la lógica suministrará al estudiante ciertas técnicas. con ventaja sobre aquella que nunca ha considerado los principios o leyes generales implicados en esta actividad. Es ciencia formal porque ella atiende sólo al aspecto estructural de las inferencias sin considerar el contenido significativo de sus proposiciones componentes. Algunos excelentes atletas ignoran completamente los complejos procesos que se operan dentro de ellos mismos cuando ejecutan sus habilidades. la agudeza intelectual que la lógica desarrolla con su cultivo hace que la persona que la ha estudiado tenga la posibilidad de razonar o inferir correctamente. una parte tradicional de estudio de la lógica consiste en el examen y el análisis de las falacias o sofismas. Naturalmente. procedimientos. Aquí como en todo. En segundo lugar. Finalmente. es decir. re- 2 5 . de ciertos tipos de razonamientos incorrectos que se cometen con la intención de engañar. c) El calor dilata los cuerpos. un estudio adecuado de la lógica la enfocará como un arte tanto como una ciencia. limitada al buen sentido natural o sentido común. para discriminar la inferencia válida de la no válida. Ello se debe a varias razones. cuando es posible localizar o identificar los errores. y la lógica no es una rama de la psicología. O uno puede dejar “vagar“ los propios pensamientos en un ensueño o fantasía. no todo pensamiento es objeto de estudio para el lógico. imaginarlo o lamentarlo. en la que una imagen reemplaza a otra en un orden que no tiene nada de lógico. no es exacta. es menor la posibilidad de que se cometan. es un campo de estudio separado y distinto. 2 6 . El valor de este conocimiento reside en que. aunque todo razonamiento es pensamiento. La lógica no puede ser la ciencia de las leyes del pensamiento porque también la psicología es una ciencia que trata de las leyes del pensamiento. es posible pensar en un número entre uno y diez como en los juegos de salón. Por ejemplo. sin elaborar ningún “razonamiento“ acerca del mismo. Igualmente. pues. construir castillos en el aire o seguir lo que los psicólogos llaman asociación libre. aunque ofrezca un indicio de la naturaleza de la lógica. las leyes que describen y explican las evoluciones de la mente en el ensueño son las psicológicas no principios lógicos. Hay muchos procesos mentales o tipos de pensamiento que son distintos del razonamiento. Parece haber ciertas leyes que gobiernan el ensueño. Esta definición. incluso las propias. Definiciones incorrectas de la lógica La lógica como ciencia de las leyes del pensamiento La lógica ha sido definida como la ciencia de las leyes del pensamiento.glas y métodos de fácil aplicación para determinar la validez o invalidez de todas las inferencias. no todo pensamiento es razonamiento. entre otras cosas. Es posible recordar algo. En efecto. sin “razonar“ sobre ello. si “pensamiento“ es cualquier proceso mental que se produce en la psiquis de las personas. pero no son del tipo de las que han estudiado tradicionalmente los lógicos. el pensamiento es uno de los procesos estudiados por los psicólogos. Su estudio es más apropiado para la psicología. En caso contrario es incorrecto. métodos. si las premisas constituyen un buen fundamento de la conclusión. que evita la objeción anterior. procedimientos. La distinción entre el razonamiento correcto y el incorrecto entre la inferencia válida e inválida es el problema central que trata la lógica. Esta definición. de manera que afirmar la verdad de las premisas garantiza la afirmación de que también la conclusión es verdadera. Éstos son de la mayor importancia para la psicología. La lógica como ciencia del razonamiento Otra definición común de la lógica es aquella que la caracteriza como la ciencia del razonamiento. Linusa. Al lógico sólo le interesa la corrección del proceso. Pero. COPI. pp.3 A modo de conclusión presentamos las siguientes precisiones: a) El objetivo de una teoría lógica es ofrecer una explicación de la relación de implicación lógica en que se encuentran las premisas y la conclusión de una inferencia correcta. es aún pensamiento y por lo tanto forma parte también del tema de estudio del psicólogo. Las técnicas. 1995. 2 7 . Méjico. una vez terminado. Su problema es siempre el siguiente. 3 Cf. Pero no son en absoluto de la incumbencia del lógico los oscuros caminos por los cuales la mente llega a sus conclusiones durante los procesos reales del razonamiento. esto es. no es aún adecuada. es decir. reglas y leyes han sido desarrollados esencialmente con el propósito de aclarar esta distinción. ¿la conclusión a que se ha llegado deriva de las premisas usadas y afirmadas? Si las conclusiones se desprenden de las premisas.Definir la lógica como la ciencia de las leyes del pensamiento es incluir demasiado dentro de ella. Irving y Carl COHEN. se derivan conclusiones a partir de premisas. Cuando éstos examinan su proceso lo encuentran sumamente complejo. emocional en alto grado. 18-19. El razonamiento es un género especial de pensamiento en el cual se realizan inferencias. entonces el razonamiento es correcto. Introducción a la lógica. entonces eres sudamericano 4 2 8 (premisa) (premisa) (conclusión) Cf. si eres limeño.4 Noción de forma lógica La proposición es una oración aseverativa susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. Ejemplos: a) Einstein fue el creador de la teoría de la relatividad b) El Perú está al norte del Ecuador En estos ejemplos “a)“ y “b)“ son proposiciones: “a)“ es verdadera y “b)“ es falsa.b) Otro objetivo es discriminar. Otros nombres con los que se la conoce son lógica de predicados y lógica cuantificacional. Lógica. a partir de la verdad de una o más proposiciones. la familia más importante es la de los lenguajes de primer orden. 71. conocida como conclusión. Madrid. también la más estudiada y la mejor conocida. De entre éstos. la verdad y la falsedad son sus propiedades. es decir. ALCHOURRÓN. La inferencia es una operación lógica que consiste en obtener la verdad de una proposición. conocidas como premisas. solamente poseen el atributo de verdad o falsedad las formas lingüísticas que afirman o niegan algo. La lógica de primer orden abarca en cierto sentido la lógica de proposiciones. entonces eres peruano Si eres peruano. las inferencias correctas de las que no lo son. Carlos E. pues. de la lógica contemporánea. Trotta. . Ejemplos: a) Si eres limeño. así. et al. las proposiciones. En consecuencia. entonces eres sudamericano Luego. Al perseguir estos objetivos la lógica contemporánea ha concebido las inferencias como formuladas lingüísticamente y se ha servido de lenguajes artificiales para alcanzarlos. 1995. mediante un método sistemático. La lógica de primer orden es la teoría más versátil y aplicable. p. se obtendrá la forma lógica siguiente: Si p. entonces r Luego. entonces r Si en “b)“ sustituimos “loretano“ por “S“. y “eres sudamericano“ por “r“. simultáneamente.b) Ningún peruano es chileno Todos los loretanos son peruanos Luego. nadie puede aceptar la verdad de éstas y. en “b)“ las proposiciones “Ningún peruano es chileno“ y “Todos los loretanos son peruanos“ desempeñan el papel de premisas. ningún S es P En “a)“ las proposiciones “Si eres limeño. se obtendrá la forma lógica siguiente: Ningún M es P Todos los S son M Luego. la proposición “Si eres limeño. entonces eres sudamericano“ representa a la conclusión. “chileno“ por “P“ y “peruano“ por “M“. y la proposición “Ningún loretano es chileno“ hace las veces de conclusión. negar la verdad de aquélla sin incurrir en flagrante contradicción. Igualmente. ningún loretano es chileno (premisa) (premisa) (conclusión) Los ejemplos “a)“ y “b)“son inferencias. entonces q Si q. Si en “a)“ reemplazamos “eres limeño“ por “p“. entonces eres sudamericano“ representan a las premisas. 2 9 . puesto que en ambos casos la conclusión deriva necesariamente de las premisas. entonces eres peruano“ y “Si eres peruano. si p. “eres peruano“ por “q“. Es fácil advertir que “a)“ y “b)“ son ejemplos de inferencias válidas. En efecto. respetando estrictamente el orden en que aparecen “S“. independientemente de los significados que asuman “p“. “q“ o “r“ por cualquier tríada de proposiciones. Así. por “penalista“. Las inferencias pueden ser deductivas e inductivas y radica la diferencia en el grado de relación existente entre las premisas y la conclusión. Y si seguimos sustituyéndolos por otras tríadas de términos respetando la estructura lógica válida obtendremos inferencias también correctas. En una inferencia inductiva. entonces q. únicamente ellas pueden ser calificadas de válidas o de inválidas. “q“ o “r“. entonces r“ también lo es. toda inferencia que tenga dicha forma es válida. entonces. obtendremos otra inferencia válida.Pero ¿cómo sabemos que las mencionadas inferencias son válidas? Todos lo sabemos por intuición. ningún S es P“ lo es asimismo. la conclusión no se sigue necesariamente de las premisas: éstas solamente la hacen probable. Todos los S son M Luego. en cambio. Es decir. 3 0 . obtendremos siempre inferencias igualmente válidas. La inferencia “a)“ es válida porque su forma lógica: “Si p. “P“ por “mineral“ y “M“ por “vegetal“. una inferencia es deductivamente válida cuando es imposible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión sea falsa. obtendremos nuevamente una inferencia válida. “q“ por “abogado“ y “r“ por “colegiado“. Y si continuamos reemplazando “p“. Luego. La validez o invalidez son propiedades de las inferencias. las premisas implican la conclusión. pues en una inferencia deductiva la conclusión deriva necesariamente de las premisas: la verdad de éstas garantiza la de aquélla. Y todas las inferencias que tengan dicha forma son válidas. sin embargo ésta es subjetiva y no puede garantizar objetivamente la validez de las inferencias en todos los casos. donde se hace necesario establecer las condiciones formales de validez de las inferencias. la inferencia “b)“ es válida porque su forma lógica: “Ningún M es P. Si q. si sustituimos “S“ por “planta“. Consecuentemente. En efecto. “P“ y “M“ en la forma lógica válida. si p. por ejemplo. si reemplazamos “p“. De modo análogo. entonces r. es decir. Es aquí. Este argumento es válido y nuestros sistemas establecidos de lógica pueden mostrar la validez de esta forma de argumentar. New York.. Se podría decir que es válido pero que no deja de ser trivial. Barnes y Noble. * THOMAS. Modern Logic. Inc. si alguien dice “George no es un estudiante de primer grado. George no puede llevar puesto un gorro. Por ejemplo. [Pasaje traducido por Claudio Chipana hasta la página 36]. ¿Para qué hacerse problemas con un enunciado cuya validez puede ser inspeccionado a partir del establecimiento de determinadas normas sobre cómo vestir en el campus universitario? Nosotros respondemos que para nuestro razonamiento deductivo necesitamos establecer con claridad formas de razonamiento correcto —que se podrían aplicar para casos sencillos como el arriba citado— y continuar usando estas formas para problemas mucho más complejos. Norman L. Nadie excepto un principiante (ningún no-principiante) puede llevar puesto un gorro. 1966. aunque no se le reconozca cabalmente como un razonamiento. pp. en consecuencia no debe llevar puesto un gorro”.Razonamiento deductivo y razonamiento inductivo * Para empezar se debe hacer una importante distinción entre el razonamiento deductivo y el razonamiento inductivo. Pero si efectuamos algunas modificaciones y aditamentos —teniendo el cuidado de retener el significado original del enunciado— podríamos ponerlo de tal forma que se le pueda reconocer realmente como un tipo de razonamiento deductivo: George no es un principiante. 1-7. 3 1 . Ello se ilustra muy bien mediante el despliegue de una demostración geométrica. Luego. difícilmente se podría considerar este enunciado como un tipo de razonamiento. El razonamiento deductivo está usualmente asociado a la solución de problemas matemáticos. el razonamiento deductivo también se puede hallar en el lenguaje ordinario. sin embargo. La siguiente es una forma común muy empleada en el razonamiento deductivo: Si ocurre A. Desde otro nivel deductivo consideraremos el caso de las matemáticas de cualquier colegio secundario: En geometría plana. si nosotros consideramos un segmento lineal AB (el significado de “segmento li- 3 2 . Luego. para empezar. nosotros ganamos las series Por supuesto que nosotros tenemos que reconocer que esa forma argumental también podrá aplicarse de alguna manera a una condición o estructura más complicada. Aquí hay dos premisas y una conclusión. Ahora. Tomemos dos de ellos. ocurre B. axiomas o presupuestos. G no ocurre. Un caso especial de esta forma podría ser: Si ganamos el juego. entonces G no ocurrirá R y S ocurren En consecuencia. entonces ganaremos las series Nosotros ganamos el juego En consecuencia. entonces ocurrirá B y (2) Ocurre A. que el siguiente razonamiento es válido: Si R y S ocurren. Las premisas son (1) Si A ocurre. la conclusión es ocurre B. por ejemplo. (2) Una cantidad puede ser sustituida por su igual. (1) El todo es igual a la suma de sus partes. asunciones. entonces ocurrirá B Ocurre A En consecuencia.Digamos a estas alturas que por razonamiento deductivo estamos entendiendo un tipo de razonamiento que busca descubrir si una conclusión dada es consecuencia de determinadas premisas. Podemos usar esa forma para mostrar. se nos dan un cierto número de axiomas. Algunos ejemplos pueden ayudar a ilustrar esta definición. x e y. 4) 2x = AB.neal“ deberá estar dado por definición). de hecho tan simples que el estudiante puede sentirse irritado o indignado por ser forzado a recorrer tales procedimientos tortuosos a fin de llegar a una conclusión que era tan obvia desde el primer momento. En los ejemplos arriba citados estamos haciendo deducciones que son extremadamente simples. por otro lado. Es un hecho muy reconocido por los aviadores que al volar a través de las nubes es posible sentir como si se estuviese haciendo un escalamiento cerrado. que está dividido en dos partes. porque x es igual a y. x e y son partes de AB. cuando de hecho se está volando recto y nivelado. y una cantidad puede ser sustituida por su igual. 3 3 . “es como tener dos piernas rotas por lo que a uno se le tenga que enseñar a caminar con muletas”. podemos probar que 2x = AB de la manera siguiente: 1) x + y = AB. tal que x = y. porque el todo es igual a la suma de sus partes. 2) x + x = AB. o. sustituyendo x + x por 2x en el paso número dos. Tal como el filósofo Schopenhauer dijo. estar en realidad en una espiral ceñida hacia tierra aun cuando los sentidos le digan a uno que está en una cómoda condición de vuelo recto y nivelado. por un axioma de aritmética (todos los axiomas de aritmética se asumen en geometría plana). una metáfora mejor que la de Schopenhauer podría ser aquella que se refiere al entrenamiento de un aviador para que vuele valiéndose de sus instrumentos. Sin embargo. Pero si él se encontrase bajo una tormenta o nubes cargadas y apenas pudiese ver las puntas de sus alas ya no podría confiar más en su comprensión intuitiva de la situación en que se halla. entonces podemos sustituir y por x. 3) x + x = 2x. Bajo condiciones climáticas normales y cielo despejado un piloto puede volar por instinto y por reacciones naturales a los datos que le dan sus sentidos. El razonamiento inductivo nos ofrece menos certeza que el razonamiento deductivo y más bien una diversidad de grados de probabilidad. ciertamente. en consecuencia. En el razonamiento deductivo nosotros estamos efectuando las implicaciones de nuestras asunciones y reglas operativas para obtener resultados que pueden ser poco claros al principio. Si él tuviese que aprender un tipo de vuelo que lo convirtiese en un piloto profesional capaz de volar un aeroplano en condiciones más complejas. Los presupuestos básicos y las reglas de operación con que trabajamos son análogos a los instrumentos y su respectivo uso en un avión. Pero. por uno mismo. es esencial que el aviador aprenda un tipo de vuelo que esté basado en una negación deliberada de sus sentidos intuitivos.Como resultado de tales decepciones provenientes del conocimiento intuitivo. Pero en el razonamiento inductivo estamos trabajando con predicciones del futuro. Asimismo. Si el proceso de razonamiento deductivo pudiese parecer innecesariamente tedioso al tratar los problemas elementales que hemos mencionado podemos tener la seguridad de que esta aproximación en apariencia tediosa es la única que resolverá los problemas complicados que ocurren en el examen de temas más profundos. entonces él deberá aprender a “caminar con muletas“ como si sus piernas se hubiesen roto. Es decir. su utilidad y poder. una real certeza proviene únicamente del uso del procedimiento deductivo en la manera como se abordan los problemas de geometría o álgebra o lógica y descubriendo así. él deberá aprender a depender absolutamente de sus instrumentos aun cuando contradigan en gran medida la evidencia de sus sentidos. Tanto en lógica como en matemáticas el proceso de razonamiento deductivo tiene algunas de las características de los instrumentos de vuelo. generalizaciones concernientes a 3 4 . pero que están en verdad ya implicados en nuestras reglas y asunciones. es tanto necesario como productivo para nosotros permanecer dentro de los límites de aquellos presupuestos (axiomas) y reglas como lo es para el aviador observar y volar con los instrumentos de su panel. El ejemplo que se ha hecho clásico en los escritos de David Hume a fines del siglo dieciocho es aquel que concierne al enunciado: “el Sol saldrá mañana”.vastas áreas de instancias no observadas. en ningún caso. Alfred North Whitehead denomina a ello tratar de “ver lo que es general y lo que es particular”. Las probabilidades a las que nos referimos pueden. Para una definición de la inducción podemos decir que es aquel tipo de razonamiento que busca producir una afirmación verdadera acerca de todos los miembros de un grupo de cosas o eventos sobre la base de un examen de un limitado número de casos individuales dentro de ese grupo. Pero su principal característica.W. y teorías concernientes a las llamadas regularidades en la naturaleza. Esos enunciados indican intentos de descubrir alguna regularidad o generalización sobre la base de ocurrencias particulares cuidadosamente observadas y enumeradas. El proceso inductivo está íntimamente vinculado a lo que se denomina el método científico. Afirmaciones tales como las siguientes son ejemplos de razonamiento inductivo: “él participa en un concurso de preguntas todos los viernes por la mañana —al menos eso es lo que él ha hecho durante todo el semestre hasta ahora”. al hacer observa- 3 5 . Es un proceso de razonamiento que es fundamental para las actividades del científico. formular enunciados exactos“. desde luego. ser extremadamente altas. P. y “hay una posibilidad de que llueva si el viento sopla desde el sur —es algo que generalmente ocurre”. “esa es una caja de manzanas malogradas —he observado la mitad de ellas y he encontrado un gusano en cada una que he revisado”. Se debe notar aquí que el procedimiento en cada uno de estos ejemplos es formular un enunciado concerniente a ciertas condiciones generales o supuestas regularidades basadas en observaciones de individuos o circunstancias individuales. tal como se puede ver en los ejemplos. Bridgeman dice que “ninguna ciencia empírica puede. Las observaciones que hiciéramos. es la probabilidad en lugar de la certeza. desde los primeros días. [. 3 6 .] . 1956.. La inducción por su parte da conclusiones que son sólo probables. pero a la inversa. Siempre ha salido el Sol en el pasado y siempre saldrá en el futuro. Es un estudio de formas y operaciones que son deliberadamente libres de referencias al mundo de la percepción sensorial. divorciadas de la experiencia. tanto como sea posible. La lógica pura y los hechos atómicos son los dos polos.ciones han incluido aspectos del Sol como el de su salida al inicio de cada periodo de aproximadamente cada veinticuatro horas. podemos. subrayar que nuestro conocimiento de que el Sol saldrá mañana no es un conocimiento absolutamente cierto.. New York. Our Nowledge of the External World. Pero entre ambos hay una vasta región intermedia.. Pero la deducción está basada en asunciones y reglas que son. de ello estamos convencidos. por otra parte. New American Library. pero debemos reconocer que la predicción es una probabilidad de creer por inducción y que no contiene el tipo de certeza que podemos encontrar en todo argumento deductivo. éstos son independientes de la lógica. Bertrand. tal como el que se puede deducir de la siguiente operación: 97 x 58 = 5626. Los pasos fundamentales en el proceso inductivo son la observación y la experiencia. sin preguntarnos qué objetos pueden llenar las formas.. en cierto sentido. Esta lógica pura es independiente de los hechos atómicos. (En RUSSELL. está íntimamente más asociada con la experiencia y la actividad sensorial. Sin duda es muy probable que el Sol salga mañana y sería insólito actuar como si el Sol no hubiese de salir mañana. Mentor Books. Y la inducción. p. sin embargo. Bertrand Russell discute los extremos de esta relación que se halla entre los hechos de la experiencia y la lógica pura: En la lógica pura ningún hecho atómico (el tipo de hecho más simple que podamos experimentar) es jamás mencionado: nos confinamos nosotros mismos enteramente a las formas. lo a priori total y lo empírico total. 49). La deducción nos da conclusiones que son ciertas porque no son nada más que implicaciones de nuestros presupuestos. Pero. sin tener la intención de caer en trivialidades o proponer algo no razonable. ¿Cómo puede ser caracterizada la ciencia? 10. encontrará tanto el razonamiento inductivo como el deductivo indispensable para sus investigaciones. ¿Qué sentidos tienen en el contexto del pensamiento griego la palabra logos y el verbo legein? 4. ¿De qué formas es empleado el término “lógica“ en el lenguaje coloquial? 5. ¿qué sentidos toma el término “lógica“? 8. ¿Qué significaciones se la adjudica al vocablo “ilógico“ y bajo qué formas se le suele usar? 9. apenas es necesario decir que el científico. ¿Cuáles son los sentidos de la palabra “lógica“ cuando es usado como adjetivo? 7. abstractas o estructurales? 11. ¿Por qué la matemática es una ciencia formal y por qué la física es una ciencia fáctica? 3 7 .En consecuencia. ¿Qué sentidos adquiere el término “lógica“ cuando se lo emplea como sustantivo? 6. factuales. ¿Dónde tiene su origen el uso del término “lógica“? 3. ¿Qué término empleaba Aristóteles para referirse a lo que ahora denominamos lógica? 2. ¿De qué tipo de proposiciones están constituidas las ciencias fácticas? 13.º 1 1. el filósofo o alguien más que se interese en descubrir hechos acerca del universo en que vive. ¿A qué se denomina ciencias fácticas. La deducción nos hace capaces de llevar a cabo las implicaciones de nuestras asunciones en su más pleno sentido sin estar influidos por las frecuentes percepciones erróneas de nuestras experiencias inmediatas. reales o empíricas? 12. Y la inducción es nuestro modo de ver las generalizaciones y categorías en el mundo de nuestra experiencia.¿A qué se denomina ciencias formales. Cuestionario N. Bajo la forma de adverbio . ¿De qué tipo de proposiciones están constituidas las ciencias formales? 14. Primeros analíticos. en cuya sección inicial. ¿Es la lógica la ciencia del razonamiento? ¿Por qué? 17. Edad Antigua A los trabajos de Aristóteles (384-322 a. reunió todo el material existente en su época sobre la deducción o inferencia. ¿Cuál es la principal característica del proceso de razonamiento inductivo? 25. Es. ¿Cuál sería la definición más pertinente de lógica? 18. ¿Se podría decir que el razonamiento deductivo y el razonamiento inductivo se complementan? ¿Por qué? Esbozo del desarrollo histórico de la lógica En las siguientes páginas se presenta un sucinto panorama histórico de la lógica dividido en las siguientes secciones: edad antigua. el primer lógico formal de la historia.) se debe la sistematización de la lógica. ¿Es la lógica la ciencia de las leyes del pensamiento? ¿Por qué? 16. ¿Qué es una proposición? 19. ¿Cómo se define la inducción? 24. renacimiento y edad moderna. ¿Qué se entiende por razonamiento deductivo? 22. edad media. por ello.15. que durante la época bizantina se encargaron del estudio y ordenamiento de estos escritos. y edad contemporánea. C. ¿Cuándo una inferencia es válida? 21. denominaron Organon (instrumento) al compendio que nos legó ese saber. los comentaristas. tras veinticuatro siglos. ¿A qué se denomina inferencia? 20. Ésta es la razón por la que la lógica desde su creación es una ciencia formal o estructural que mantiene este carácter hasta nuestros días. Conscientes de este descubrimiento (la teoría del silogismo). Su mérito consistió en haber examinado las deducciones o inferencias considerando sólo su forma o estructura. 3 8 . ¿A qué se refiere la metáfora que establece una analogía entre el proceso deductivo y las características de los instrumentos de vuelo? 23. con independencia de su significado o contenido. iniciaron un importante debate sobre los enunciados condicionales. 3 9 . durante la cual las investigaciones lógicas se centraron en el silogismo y sus aplicaciones. p. En efecto. Aristóteles axiomatizó su teoría del silogismo. Ibídem. 52. que son indispensables para dotar a la matemática de una lógica adecuada que el silogismo no proporciona. la del mentiroso. Raimundo Lulio y Guillermo de Occam. Estos filósofos son los precursores más lejanos de la actual lógica proposicional y de las teorías que incluyen predicados relacionales. Pedro Hispano. atribuida a Eubúlides). se dedicó a la lógica de las modalidades temporales esclareciendo relaciones importantes entre verdad y tiempo.5 Casi contemporáneos con Aristóteles fueron los lógicos estoicos y los megáricos. Sin embargo. Edad Media Durante la Edad Media los máximos representantes de la lógica escolástica. otra en el examen de los conceptos modales y. Tomás de Aquino. 50. Por su parte. no sólo perfeccionaron y sistematizaron temas heredados de la tradición antigua. sino emprendieron nuevas investigaciones como la teoría de las supo5 6 Ibídem. el influjo del Estagirita fue avasallador y los estoicos y megáricos fueron desconocidos en la Edad Media. los megáricos hicieron tres aportaciones a la lógica: una en lo relativo a las paradojas (por ejemplo.6 El más importante de ellos. La silogística aristotélica forma parte de lo que hoy se considera la teoría general de la inferencia deductiva y su desarrollo hace de su lógica un antecedente remoto de la contemporánea. Los primeros tuvieron el mérito de profundizar en algunos campos a los que el Estagirita no había concedido suficiente atención.El tratamiento estructural que hizo el Estagirita de la deducción significó un aporte sustancial al desarrollo de la lógica y de la matemática: el método axiomático. debido a que todos los razonamientos podían ser considerados como estructuras. además. como Pedro Abelardo. Diodoro Cronos. p. los filósofos medievales no lograron avanzar mucho. lo que hizo muy difíciles sus trabajos. pp. o sea no construyendo fórmulas lógicas sino describiéndolas. Las principales aportaciones de esta época son las relacionadas con los términos sincategoremáticos. como lo anotáramos líneas arriba. la concepción nominalista de los universales de Occam —que interpreta los conceptos como nombres genéricos— es muy próxima a la noción contemporánea de predicado lógico. Los escolásticos. No obstante.7 Renacimiento y Edad Moderna En el siglo XVII Guillermo Leibniz —el precursor de la lógica matemática— descubre por su cuenta todo cuanto habían descubierto los estoicos. trabajaron en forma apreciable la lógica proposicional y conocieron sus principales reglas de inferencia a pesar de no manejar un lenguaje simbólico adecuado. los escolásticos desarrollaron la mayor parte de sus investigaciones de manera metalógica. . Por añadidura. la cual es empleada para la eliminación de paradojas metalógicas. También se enfrentaron con el problema de las “paradojas semánticas“. Finalmente. cosa que los antiguos sólo habían hecho en contadas ocasiones. emprendieron un estudio especial y profundo de la lógica modal llevándola bastante más allá del nivel inicial en el que la había dejado Aristóteles. además. megáricos y medievales y se constituye en el primer filósofo que tomó conciencia de la necesidad de disponer de un lenguaje especial para progresar en el estudio de las deducciones. Aunque los especialistas reconocen que esta idea ya estaba en ger7 4 0 Ibídem. debido a que no contaron con un lenguaje adecuado para un eficaz análisis de inferencias. Asimismo. 54-56. la teoría de la suposición y la teoría de las consecuencias.siciones precursora de la moderna teoría de la jerarquía de lenguajes. logrando desentrañar casi todos sus aspectos. de las que hallaron no menos de una docena de soluciones. Leibniz decía que calcular era operar con símbolos. Aunque su intuición fue grande.men en el Ars magna. construido especialmente para calcular. estuvo lejos de lo realizable y no pudo avanzar hacia la construcción de un lenguaje simbólico que superara significativamente la vieja silogística aristotélica. de Raimundo Lulio. como Minerva de la cabeza de Júpiter— de su propia historia: 4 1 . Su función consistiría en demostrar la verdad de las afirmaciones filosóficas y científicas sin tener en cuenta su significado sino solamente su estructura expresada en símbolos de un lenguaje artificial. puesto que la investigación posaristotélica no había ni refutado ni aportado nada nuevo en relación con las enseñanzas del Organon. El proyecto de Leibniz era demasiado ambicioso y por ello fracasó. Leibniz fue el primero que sostuvo con claridad que el procedimiento para convertir la teoría de la deducción lógica en una ciencia estricta e infalible era convertirla en un cálculo mediante el uso de procedimientos matemáticos. Así como se podía calcular con símbolos aritméticos también ello sería factible con símbolos que representaran estructuras deductivas. Es que se admitía. con Manuel Kant en el prefacio a la segunda edición (1787) de su Crítica de la razón pura. que el Estagirita había descubierto todo lo que había que descubrir sobre lógica. cerrado y completo. Pero sus trabajos no alcanzaron difusión y pasaron inadvertidos debido al inmenso prestigio que alcanzaba Aristóteles aun hasta el siglo dieciocho. El ideal leibniziano era lograr un instrumento lógico lo suficientemente poderoso como para poder traducir cualquier discusión significativa sobre la corrección de las deducciones a una operación en la que los oponentes se limiten a revisar los cálculos para ubicar el error de manera parecida a como se corrige una suma cualquiera. Esta nueva ciencia sería una mathesis universalis (ciencia fundamental). Se aceptaba que la lógica creada por él era un conocimiento acabado. que él llamó también logística o lógica matemática. Este apodíctico juicio privaba a la disciplina lógica —al haber surgido del cerebro de Aristóteles ya acabada y perfecta. y hasta hoy la lógica no ha podido dar ningún paso adelante. El impulso fue dado por dos matemáticos y lógicos ingleses: George Boole —con su obra Análisis matemático de la lógica.. descubrir una cantidad asombrosa de nuevos tipos de deducción o inferencia. 8 4 2 KANT. considerado el padre de la lógica matemática. Crítica de la razón pura. 1960. Sin embargo. en la que se desarrolla la idea de Leibniz de construir la lógica como un cálculo. común a los demás grandes pensadores de su tiempo. que apareció en 1847— y Augustus De Morgan. Ambos son los creadores del moderno lenguaje formalizado de la lógica lo que les permitió. desde hace más de un siglo la lógica ha tomado un nuevo curso y en poco tiempo ha experimentado significativos progresos que la han renovado por completo. cuya información en historia de la filosofía no llegaba en el tiempo más atrás de Descartes. publicada en 1879. a partir de Aristóteles no ha tenido que dar ningún paso atrás. 18. El álgebra de Boole —conocida también como álgebra de clases o de conjuntos— fue asimismo investigada por De Morgan. a la escasa cultura referente a la historia de la filosofía. A pesar de las limitaciones de sus trabajos señalan un verdadero cambio de rumbo en la historia de la lógica y han contribuido a dotar de sus caracteres esenciales a la lógica matemática. de modo que todo parece indicar que hay que considerarla como cerrada y completa.8 Esta limitación es debida. Este nuevo lenguaje —conocido como Álgebra de Boole— manifestó su potencia resolviendo problemas que excedían los alcances de la lógica aristotélica y poniendo por primera vez en evidencia los errores del Estagirita. p. A fines de siglo XIX aparecen los trabajos del matemático y lógico alemán Gottlob Frege. Losada. cuya primera obra. tomo I.... . esencialmente. desconociendo de manera casi total la Edad Media y que tenía de la filosofía antigua nociones de nivel puramente manualístico y poco precisas. quien ese mismo año publicó su Lógica formal.. Manuel. el Begriffsschrift. Buenos Aires. entre otras cosas. pasó casi inadvertida y transcurrieron casi veinte años antes de que Bertrand Russell llamara sobre ella la atención teniendo que pasar otros veinte hasta que Lukasiewicz pusiera de manifiesto con suficiente profundidad toda su riqueza y valor. 9 BOCHÉNSKI. distingue cuidadosamente entre ley y regla. Desarrolla un primer sistema axiomático. el Begriffsschrift. donde la utiliza no sólo a causa de hacer uso operacional de los símbolos.. Historia de la lógica formal. Así. de lógica de primer orden aun antes de que se tuvieran las herramientas lógicas adecuadas para llevar a cabo la prueba de la completud de un sistema deductivo cualquiera. consistente y completo. con los Primeros analíticos y anota: El Begriffsschrift contiene toda una serie de perspectivas totalmente nuevas.. Frege es el primero en formular de manera clara la distinción entre variable y constante. la obra de Frege. que apareció en 1889. Bochénski. da una formulación notablemente más rigurosa a la teoría aristotélica de sistema axiomático. Madrid. I. Gredos. 4 3 . por ejemplo. el concepto de función lógica y el concepto de cuantificador. se cierra en cierto sentido la línea de desarrollo del cálculo lógico iniciada por el Análisis matemático de la lógica de George Boole.marcaría el comienzo de la lógica formal contemporánea. a pesar de su gran valor.. introduce la diferencia igualmente precisa entre lenguaje y metalenguaje. no duda en comparar su primera obra lógica. La expresión misma de “lógica matemática“ es introducida por primera vez en su obra Principios de aritmética expuestos con un nuevo método. sino especialmente porque concibió la nueva lógica como un poderoso instrumento para la sistematización rigurosa del saber matemático. propuso un método de cálculo de matrices para la lógica proposicional muy semejante al que se usa actualmente y desarrolló de manera axiomática la naciente teoría de conjuntos de George Cantor. Con Giuseppe Peano (1858-1932). plenamente simbolizado.9 Sin embargo. p. 283. M. 1966. Asimismo. “cero“ y “sucesor“. aplicando los lenguajes lógicos que habían sido creados por Frege y Russell. El significado histórico de su fundamentación de la aritmética —basada en las tres nociones primitivas de “número“. el matemático y lógico alemán David Hilbert —fundador de la escuela formalista— mostró que los defectos de esa obra se debían a la falta de rigor en el empleo del lenguaje y creó. un método denominado metamatemática. Edad Contemporánea Los trabajos de Frege y Peano fueron sistematizados y desarrollados por dos filósofos y lógicos ingleses: Bertrand Russell y Alfred North Whitehead.La obra de Peano corona el desarrollo de la lógica en el siglo XIX. Posteriormente. así como sus cinco famosos axiomas— es considerable. Ha dado origen a una serie de investigaciones notables. Concretamente. como las del 4 4 . La obra de Russell y Whitehead debe situarse entre las mayores aportaciones que jamás se hayan hecho a la historia de la lógica. cuyo objetivo es el estudio de las teorías matemáticas. con tal motivo. a saber: el de la aritmética. 1912 y 1913). el del análisis y el de la teoría de los conjuntos. Había no sólo logrado un manual completo y riguroso de lógica matemática sino creado un simbolismo particularmente manejable y preciso que aún está vigente. cuyos resultados fueron publicados en su obra monumental denominada Principia Mathematica (que consta de tres volúmenes: 1910. El llamado “programa hilbertiano“ se puede resumir brevemente: todo el campo de la matemática clásica puede concebirse como formalizable en tres sistemas axiomáticos fundamentales. pues con ella muestra de manera concreta cómo aplicar ese nuevo instrumento a la sistematización de las matemáticas. minucioso y exacto de la lógica matemática. Russell y Whitehead intentan evitar la paradoja en el sistema de Frege (la de las clases que no son miembros de sí mismas). llevando a cabo la tarea de mostrar que es posible derivar toda la matemática de la lógica. los Principia Mathematica son en muchos aspectos todavía hoy un tratado completo. de 24 años. lo que constituye el aporte más importante a la construcción de las modernas computadoras electrónicas digitales. 1963. Lógica. el joven austriaco Kurt Gödel. Cf.filósofo y lógico austriaco Rudolf Carnap en el terreno de la sintaxis lógica y las del lógico y matemático polaco Alfred Tarski en el de la semántica lógica. Buenos Aires. 1997. es totalmente convencional. Robert. demostró en su tesis doctoral el teorema más importante de lógica matemática de este siglo. 4 5 . Carlos Lohlé. BLANCHÉ. que puede considerarse como el acta de nacimiento de la nueva semántica. Ha llegado a ser necesario ordenar y clasificar estos tipos de lógica.1 1 Lógica clásica y lógica no-clásica El panorama de la lógica que ha heredado el mundo actual se presenta enriquecido no sólo por el número de trabajos y resultados. es 10 11 f. Lima. a sólo un año de distancia de su publicación aparecía en una revista filosófica un largo artículo del lógico polaco Alfred Tarski. titulado “El concepto de verdad en los lenguajes formalizados”. Claudio Shannon realizó la aplicación del álgebra de las proposiciones al diseño de circuitos eléctricos (conmutadores y relays). puede caracterizarse como aquella que es asertórica. conocido como Teorema de las Proposiciones Indecidibles. Facultad de Educación de la UNMSM. sin estar en ningún caso vinculada a los contenidos del discurso. Sin embargo. De manera muy general la lógica clásica. En su obra La sintaxis lógica del lenguaje Carnap sostiene la tesis de que la lógica de un lenguaje determinado se identifica con su sintaxis que. sino también por el número de las áreas exploradas. 32-33. Introducción a la lógica contemporánea. según Francisco Miró Quesada. Luis. p. En 1938. destacando en nuestro medio el esfuerzo ordenador de Francisco Miró Quesada Cantuarias para quien la lógica puede dividirse en clásica y heterodoxa o no-clásica. PISCOYA HERMOZA.10 En 1930. a su vez. 297. pp. asociadas a nombres como los de Lukasiewicz y Post. 12 4 6 Cf. carecen por norma común de ciertas leyes. aspectos formales y filosóficos. 1978. como es el caso de las lógicas polivalentes. surgen y se desarrollan ciertos sistemas de lógica que se “separan”. o en la lógica dialéctica. 1952. Consideran a la lógica como secundaria a la matemática. y en la que son válidos los tradicionalmente denominados principios lógicos fundamentales: de identidad. respecto de ciertos teoremas o inferencias clásicas. 33-44. creada por Brouwer y sistematizada por Heyting. no contradicción y tercio excluso. Lima. y sobre la base de la enorme influencia que el filósofo y lógico austriaco Ludwig Wittgenstein ejerce a través de su Tractatus Logico-Philosophicus. en Lógica.decir. es decir. el principio del tercio excluido. que tiene un lenguaje formal característico. “Las lógicas heterodoxas y el problema de la unidad de la lógica”. Es el caso de las lógicas plurivalentes o polivalentes. PUCP. que omite el principio de no contradicción en su formulación tradicional. y la insatisfacción —de un interés más filosófico— con la imposición clásica de una dicotomía exhaustiva entre verdad y falsedad e. como la que carece de alguna de estas tres características de la lógica clásica. igualmente. en que no rige. de la lógica clásica. Otro caso es el de lógica intuicionista. Estas lógicas han sido ideadas gracias a dos tipos de motivación: el interés puramente matemático de ofrecer alternativas a la semántica bivalente de la lógica clásica de proposiciones. en ella no son válidos algunos de los principios lógicos fundamentales. tales como la del tercio excluido “p ∨ ~ p“. o tiene un lenguaje diferente del clásico. de diversos modos. La lógica no-clásica es definida. como es el caso de la lógica normativa. proposicional. No es asertórica. si bien incorporan el vocabulario de la lógica clásica. 1966) afirman que la lógica clásica es en cierto aspecto incorrecta. HEYTING. Éstas. 1 2 Así a partir de 1920. uno de primer orden. finalmente. negativamente. como es el de la lógica modal que hace intervenir operadores modales. Los intuicionistas (BROUWER. pp. MIRÓ QUESADA CANTUARIAS. Es una lógica no-clásica o divergente y no veritativo funcional que es de interés fundamentalmente filosófico y formal. . esto es. por ejemplo. Francisco. Madrid. 199200. Esto es. Añade al vocabulario clásico los operadores uniposicionales “L” (que se lee “necesariamente”). cit. denominado actualmente paraconsistente. que podría definirse como “la necesidad de la implicación material“. Cf. Cátedra.14 13 14 Cf. obviamente. Las primeras axiomatizaciones de lógica modal de oraciones fueron ofrecidas por Lewis en 1918. y el brasileño Newton da Costa han formulado un sistema de lógica que califican de dialéctico porque no excluye la contradicción y contiene variantes que incorporan el principio de negación de tal manera que éste exprese la idea de desarrollo. que requiere no sólo que p no sea verdadero y q falso sino que p n o pueda ser verdadero y q falso. en el presente siglo Hugh Mac Coll contribuyó con propuestas formales y filosóficas. 4 7 . Esta lógica fue tratada por Aristóteles y los lógicos medievales.. un reto a la concepción clásica de la lógica entendida como el estudio de principios aplicables a todo razonamiento sin tener en cuenta el contenido. Lewis sostiene que la implicación material de la lógica clásica es totalmente inadecuada para la noción intuitiva de implicación. Susan. HAACK.13 Los profesores Richard Routley y Robert Meyer. y “M” (que se lee “posiblemente”). que ha despertado el interés de muchos lógicos contemporáneos. p. ALCHOURRÓN. 67. (que se lee “implica estrictamente”). Carlos. op. y el operador biposicional “ ”. y considerada como la teoría más general respecto de la cual incluso la matemática es secundaria. identificada con los trabajos de Lewis. 1978.como un conjunto de principios descubiertos a posteriori para gobernar el razonamiento matemático. pp. Trabaja con razonamientos que involucran esencialmente los conceptos de “necesidad“ y “posibilidad“. Filosofía de la lógica. de la Universidad Nacional de Australia. Da Costa creó un nuevo sistema de lógica. El rechazo del principio del tercio excluido es característico de la lógica intuicionista. En consecuencia propuso que se debería introducir en la lógica de los Principia un nuevo operador para la implicación estricta. La lógica modal es otro ejemplo de lógica no-clásica. la concepción antagónica entre la lógica matemática y el pensamiento dialéctico es engañosa. como lo han demostrado. ¿Quién es el precursor de la lógica matemática? 6. de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Finalmente. ¿Quién fue el fundador de la Escuela formalista? 15 4 8 Cf. ¿Qué investigaciones en el ámbito de la lógica se llevaron a cabo durante la Edad Media? 5. lenguajes artificiales cuya peculiaridad es la de ser más compatibles con cierto tipo de filosofía. 1995. Amaru Editores. ¿En qué radica la importancia de la tarea desarrollada por George Boole y Augustus de Morgan? 8. PISCOYA HERMOZA. pues sería un craso error. Ellos son. Investigación científica y educacional. como cualquier otro formalismo. Luis. ¿Cuáles son los principales aportes de Giuseppe Peano a la lógica? 10. ¿Cuáles son los aportes de los megáricos a la lógica? 4. Tampoco es necesario pensar en dos lógicas completamente distintas. cabe subrayar que lo dicho anteriormente no debe hacer pensar que se sugiera que los sistemas de lógica dialéctica son teorías acerca de la realidad. Whitehead? 11. entre otros. ¿Qué tarea llevan a cabo en la época contemporánea Bertrand Russell y N.º 2 1. ¿Quiénes pueden ser considerados como los precursores de la actual lógica proposicional? 3. 66. . ¿Quién es considerado el padre de la lógica matemática? 9. pues los métodos de la lógica matemática parecen lo suficientemente potentes como para expresar mediante sistemas axiomáticos algunos principios básicos de la dialéctica. pues es posible incorporar dentro de un sistema de lógica matemática la contradicción. da Costa y Routley.Consecuentemente como lo señala el profesor Luis Piscoya. ¿A quién se debe la sistematización de la lógica? 2. p. Lima. ¿Cuáles fueron los principales aportes de Leibniz a la lógica? 7.15 Cuestionario N. igualmente la más estudiada y mejor conocida. entonces eres sectario Luego. entonces eres sectario. además. Comprende dos grandes capítulos: la lógica de proposiciones y la lógica de predicados. ¿Cómo caracteriza la lógica clásica Francisco Miró Quesada Cantuarias? 15. sin penetrar en su estructura interna. Ejemplo de una inferencia: Si eres fundamentalista. y la validez de éstas se determina por las relaciones entre proposiciones consideradas como un todo. lógica de las proposiciones sin analizar. Dispone de medios de análisis formal (lenguaje simbólico y métodos específicos) de las inferencias. Su denominación proviene de que esta lógica hace uso de un lenguaje que sólo cuantifica las variables individuales. ¿Qué rasgos caracterizan la lógica intuicionista? 20. ¿Cuál es el teorema más importante de lógica matemática de este siglo? 14. ¿Cuáles son las características de la lógica modal? División de la lógica Como se dijo líneas arriba.12. 4 9 . entonces eres fanático Si eres fanático. Se la denomina. ¿En qué consiste el “Programa hilbertiano”? 13. también. ¿En qué difiere la lógica paraconsistente de la lógica clásica? 19. ¿Cómo define este mismo autor la lógica no-clásica o heterodoxa? 16. cuantifican a las variables predicativas. si eres fundamentalista. es decir. ¿Qué innovaciones introducen las lógicas plurivalentes o polivalentes? 18. en tanto que se considera de segundo orden los lenguajes que. aquellas relaciones existentes entre proposiciones y no las que se dan dentro de ellas. a) La lógica de proposiciones estudia las relaciones formales extraproposicionales. ¿Qué sistemas de lógica se separan de la lógica clásica? 17. la lógica de primer orden es la más versátil y aplicable. Es llamada.Formalización de la inferencia: p→q q →r _______ ∴p → r p: eres fundamentalista q: eres fanático r: eres sectario Análisis de la inferencia mediante el método analógico (aplicando la regla de inferencia del Silogismo Hipotético): A→B B→C ________ ∴A → C p→q q→r _______ ∴p → r Respuesta: la inferencia es válida porque su forma lógica coincide exactamente con la estructura válida de dicha regla. asimismo. lógica de las proposiciones analizadas. b) La lógica de predicados estudia fundamentalmente las relaciones estructurales existentes dentro de las proposiciones atómicas o simples. Ejemplo de una inferencia (silogismo): Todos los abogados son profesionales Todos los constitucionalistas son abogados Luego. Su lenguaje y sus métodos se ocupan del análisis de las inferencias cuya validez se juzga en razón de la estructura interna de las proposiciones que las componen. La lógica de proposiciones está incluida en ella. todos los constitucionalistas son profesionales. 5 0 . 6. En efecto. 2. si adoptamos los términos clásicos “extensión“ y “comprensión“. 5. 4. es decir. en términos generales. podemos decir que cada clase es la extensión de un predicado y que los predicados son clases vistas en su comprensión. cuando los predicados tienen más de un argumento. 3. c) La lógica de relaciones es un caso particular de la lógica de predicados. (1) Cx → Ax EU (2) Cx → Px SH (3.Formalización de la inferencia: ( ∀ x) (A x → Px) ( ∀ x) (Cx → Ax) Notación Ax: ‘x’ es abogado Px: ‘x’ es profesional Cx: ‘x’ es constitucionalista ∴ ( ∀ x) (Cx → Px) Análisis de la inferencia mediante el método de la derivación con fórmulas cuantificadas: Notación EU: Ejemplificación Universal SH: Silogismo Hipotético GU: Generalización Universal 1. ( ∀ x) (Ax → Px) ( ∀ x) (Cx → Ax) / ∴( ∀ x) (Cx → Px) Ax → Px EU.4) ( ∀ x) (Cx → Px) GU (5) Respuesta: La validez de la inferencia ha quedado demostrada. 5 1 . es una versión extensional de la lógica de predicados. d) La lógica de clases. formulamos una proposición negativa. Por ejemplo. Esta última puede definirse como un lenguaje en el cual se habla del lenguaje lógico. filosofía de la lógica. como las cuestiones: ¿Qué quiere decir que es válido? ¿Qué quiere decir que una proposición se sigue de otra? ¿Qué quiere decir que una proposición es lógicamente verdadera? ¿Ha de ser explicada la validez de un razonamiento como “relativa a un sistema formal“? ¿Cómo se reconoce un razonamiento válido o una verdad lógica? ¿Qué sistemas formales se consideran sistemas de lógica y por qué? Por esto la lógica no debe confundirse con otra disciplina que tiene por objeto estudiar los signos empleados por aquélla. formulamos una proposición que pertenece a la metalógica. así como las cuestiones que plantean los sistemas de tales signos: la metalógica. En cambio. En otras palabras. y para ello los sistemas lógicos formales —tales como los conocidos cálculos de proposiciones y de predicados— le han suministrado un conjunto de reglas de validez precisas puramente formales. perteneciente al lenguaje lógico. es decir. El primero es definido como el lenguaje que se habla. con ella decimos algo acerca del lenguaje de la lógica. 5 2 . La diferencia entre lógica y metalógica es un caso ejemplar de la diferencia entre lo que se llama lenguaje y lo que se califica de metalenguaje. las afirmaciones que hacemos en este libro sobre las propiedades de las proposiciones y de las inferencias son metalingüísticas y las proposiciones e inferencias mismas que usamos como ejemplos son parte del lenguaje objeto. Así. el metalenguaje es un lenguaje que se usa para hablar de otro lenguaje llamado lenguaje objeto. la tarea de la filosofía de la lógica consiste en investigar los problemas filosóficos suscitados por ella. cuando decimos: “No es verdad que Ayacucho sea la capital del Perú“. cuando decimos: “‘No’ es una partícula que designa negación y que se antepone a una proposición“.Lógica. el segundo como el lenguaje en el cual se habla acerca del lenguaje que se habla. metalógica y semiótica Mientras que la preocupación central de la lógica consiste en discriminar las inferencias válidas de las inválidas. donde ‘Lima’ es usado. por ejemplo de las relaciones entre el cálculo bivalente de proposiciones y el cálculo plurivalente. el problema de saber si un sistema lógico es o no consistente es un problema fundamentalmente metalógico.Una manera sencilla de construir el nombre de una proposición consiste en escribirla entre comillas simples. Pero no puedo decir que ‘canario’ es un pájaro. pero sí que ‘canario’ es trisilábica‘. de cuestiones sobre estos sistemas. pero es distinta de ella. La primera expresión pertenece al metalenguaje de este texto y la segunda a su lenguaje objeto. completud o decidibilidad. Tal diferencia corresponde. Tratándose. pues en este caso no estoy hablando de un pájaro sino de la palabra misma. el 5 3 . La filosofía de la lógica trata. o “‘Lima’ es un vocablo de cuatro letras”. Asimismo. las pruebas o refutaciones de su consistencia. “‘No’ es una partícula que designa negación y que se antepone a una proposición”. Las comillas simples en el segundo ejemplo sirven para subrayar que estamos frente a un caso de mención. además a la que se establece entre el uso y la mención de los signos. asimismo. donde ‘Lima’ es mencionado. En el primer ejemplo. por ejemplo. el signo ‘no’ es usado. el mismo signo es mencionado. Ya el lenguaje ordinario establece tal diferencia. Sin embargo. “No es verdad que Ayacucho sea la capital del Perú”. La metalógica estudia las propiedades formales de los sistemas lógicos formales. La esfera de la filosofía de la lógica está relacionada con la de la metalógica. hay ciertos problemas tratados en tales libros que son específicamente metalógicos: son los que se refieren a la construcción de sistemas lógicos. de predicados. como cuando decimos: “Lima es la capital del Perú”. etc. Por ejemplo: ‘canario’ es el nombre de canario e ‘inteligente’ es el nombre de inteligente. se puede construir nombres de nombres. Por ejemplo. pero de orden filosófico más bien que puramente formales. en el segundo. De lo expuesto se desprende que en todos los textos de lógica se insertan enunciados metalógicos y que de ordinario lógica y metalógica van aparejadas. Por ejemplo: ‘La Tierra es mayor que la Luna’ es el nombre de La Tierra es mayor que la Luna. HAACK. Así. pp.16 Asimismo. Cf. La semiótica comprende tres distintas ramas de estudio: la sintaxis. la palabra ‘silla’ tiene como designado el conjunto de caracteres que definen a una silla como tal. FERRATER MORA. si está uno obligado a elegir entre el cálculo plurivalente y el bivalente y. Columba. 20-21. la metalógica es una parte de la llamada semiótica o estudio general de los signos. si es que lo hay. el estudio de las relaciones entre los signos y objetos designados. pp. las cuestiones metalógicas suelen ser estudiadas desde el punto de vista sintáctico. semántico y pragmático. respuestas de este tipo: es presumible una condición necesaria aunque no suficiente para que una lógica plurivalente sea una alternativa: el que sea consistente. por qué razones o cuáles serían las consecuencias para el concepto de verdad si se adoptase un sistema plurivalente. por su parte. 1965. José. Buenos Aires. El denotado. las lógicas plurivalentes son alternativas a la lógica bivalente. Qué es la lógica. Se denomina designado al conjunto de características o rasgos definitorios a que se refiere el signo. Susan. fundamentalmente. Los resultados metalógicos pueden ayudar mucho a dar. a saber. La sintaxis es el estudio puro de los signos y de las relaciones entre los signos. y servir. el estudio de las relaciones entre los signos y quienes los usan. la semántica. es el conjunto de todas las entidades que poseen las características comprendidas en el designado. Asimismo. el denotado de la palabra ‘silla’ está dado por todas las entidades denominadas sillas. 21-22. para sentarse.. . Sería pertinente señalar que en el ámbito de la semántica se distingue entre el designado de un signo lingüístico y su denotado. por ejemplo. op. Una segunda diferencia es que la filosofía de la lógica no trata exclusivamente de cuestiones de lógica formal. si es así. 16 17 5 4 Cf. cit. De este modo. y la pragmática. Por este motivo.1 7 Tanto la lógica como la metalógica son disciplinas formales. ambas son disciplinas de carácter deductivo.filósofo querrá saber en qué sentido. la semántica y la pragmática. tener cuatro patas o algún apoyo que la una al suelo. el de ser un adminículo con respaldo. cit. la filosofía y el conocimiento en general no podrían existir al margen del pensamiento. el lenguaje es un sistema convencional de signos regulado por 18 Cf. ¿Qué diferencia existe entre lenguaje y metalenguaje? 9. ¿Qué diferencia existe entre uso y mención de los signos? 10. razón o entendimiento. El concebir. ¿Qué estudia la lógica de predicados? 4. 5 5 . la aprehensión de relaciones y entidades abstractas y la formación de representaciones no sensibles de ellos. Es necesario al mismo tiempo fijar y comunicar nuestros pensamientos a los demás. op. ¿Qué es la lógica de clases? 6. En el sentido más amplio. En un sentido restringido. p. recordar. André. Las ciencias. ¿Qué es la semiótica y qué ramas de estudio comprende? Pensamiento y lenguaje El pensamiento. LALANDE. ¿Qué estudia la lógica de proposiciones? 3. Gracias a él es posible la comprensión del mundo. 750.. es cualquier proceso mental que se produce en la conciencia de los hombres y de manera rudimentaria en los animales. ¿Qué diferencia existe entre lógica y metalógica? 8. son ejemplos de formas de pensamiento. ¿Qué es la lógica de relaciones? 5. el lenguaje es cualquier medio de comunicación interpersonal y empleado por algunos animales. la captación de objetos presentes o ausentes.Cuestionario N. juzgar. El pensamiento es una de las manifestaciones más importantes de nuestra conciencia.18 Sin embargo. en el sentido más amplio. el pensamiento es sinónimo de inteligencia. Y esto sólo es posible en virtud del lenguaje. para conocer no basta pensar. razonar. ¿Qué diferencia hay entre lógica y filosofía de la lógica? 7. ¿Cómo se divide la lógica de primer orden? 2. incluso el querer y sentir. imaginar.º 3 1. En el sentido más propio y restringido. no sólo al habla. de comunicar ideas. El lenguaje.reglas sintácticas y que sirven al hombre como instrumento de comunicación. Hay también el denominado 19 20 21 5 6 SAPIR. ante todo auditivos. 117. la lengua no se confunde con el lenguaje: la lengua no es más que una determinada parte del lenguaje. Ferdinand de. Estos símbolos son. Gadamer manifiesta que. en el sentido más amplio. Méjico. humana y animal (si acaso se puede llamar “comunicación”). deja entrever.. etc. al alfabeto de los sordomudos. Bueno Aires. 14-15. aunque esencial. También es el medio más eficaz para fijar. Sapir. Si no fuera por el lenguaje se hubiera perdido irremediablemente la valiosa experiencia de muchas generaciones y cada nueva generación se hubiera visto forzada a empezar de nuevo el difícil proceso del estudio del mundo. Saussure. emociones y deseos por medio de un sistema de símbolos producidos de manera deliberada. Arica. conservar y transmitir los conocimientos acumulados de generación en generación. y por eso comparable a la escritura. Fondo de Cultura Económica. hay que colocarse desde el primer momento en el terreno de la lengua y tomarla como norma de todas las otras manifestaciones del lenguaje. H. 51-60. a los ritos simbólicos.2 1 Igualmente. ¿qué es la lengua?. Asimismo. es un método exclusivamente humano y no instintivo. y son producidos por los llamados “órganos del habla”. Es el medio de expresión del pensamiento. SAUSSURE. Iniciación filosófica. aunque sin tratarlo directamente. a las formas de cortesía.19 Con respecto del lenguaje. su forma de existencia. sostiene que la comunicación. Pero. nada tiene de lenguaje en el sentido en que este autor lo entiende. sino también a toda la gesticulación que entra en juego en el trato lingüístico de los hombres. la posibilidad de la existencia del lenguaje entre los animales. E. Losada. 1980. SALAZAR BONDY. es decir. 1969. producida por gritos involuntarios instintivos. Curso de lingüística general. Lima. El lenguaje. a decir de E. Sólo que es el más importante de todos esos sistemas. p.20 Augusto Salazar Bondy. Augusto. pp. La lengua es un sistema de signos que expresan ideas. a las señales militares. según este autor. 1945. dice F. el lenguaje refiere a toda comunicación. . pp.G. 5 7 .23 El lenguaje tuvo inmensa importancia para la formación del pensamiento.. G. Gracias al trabajo aparecieron el pensamiento y el lenguaje en el hombre La vida de los hombres en sociedad tiene importancia decisiva para explicar el origen. Lógica. especialmente en la palabra. Surge como resultado de la vida de los hombres en sociedad. Francisco. desarrollo y existencia misma del pensamiento. Es imposible separar el pensamiento del lenguaje. El pensamiento tiene un carácter social.131-132. es privativo del hombre. 217-219. los pensamientos no sólo se forman. El pensamiento no existe de otro modo que en la envoltura material del signo. es un producto de la relación social. El pensamiento es propio del hombre. Fuera de la colectividad humana no hay pensamiento. Santa Rosa. Cf. pero de esto no se deduce que sean idénticos entre sí. 1962. éste es un tema aparte. Surgió con él y ayudó al hombre a separarse del reino animal y desarrollar su inteligencia.22 El pensamiento y el lenguaje se hallan íntimamente unidos. pp. Paidós. El pensamiento es producto de la actividad del cerebro. H. un instrumento que permite comunicar nuestros pensamientos a otros hombres. aunque. Sin embargo. sino que también se trasmiten a los demás. Se diferencian en que el primero aprehende el mundo. pp. surge en el proceso de la actividad productiva de los hombres. mediante conceptos y expresado con palabras. Y el hombre piensa porque tiene un cerebro desarrollado. es inaccesible para otros hombres. Pero el pensamiento abstracto. su forma más elemental se da también en los animales. Mientras se halla en la cabeza del hombre el pensamiento está muerto. como ya se dijo. 1998. Barcelona.lenguaje de los animales. MIRÓ QUESADA CANTUARIAS. Universo. sostiene. no es un resultado de la actividad aislada de un cerebro humano. es decir. Arte y verdad de la palabra. al ser expresado se hace real. Sin embargo. 22 23 GADAMER. es decir. mientras que el segundo es sólo un medio para expresar y fijar las ideas. es decir. Gracias a la facultad de comunicarse. S. Bertrand.Éste es producto de la sociedad. por lo tanto. ROSENTAL y IUDIN. 1973. Ello se explica por el hecho de que existe sólo en indisoluble unión con el trabajo y con el habla. Plaza & Janes. la agricultura y las herramientas. por ejemplo. probablemente. 355-357. influyendo por medio de estos sonidos en las acciones de los otros animales. el principal hábito en el que nos mostramos superiores a los animales. de bienes necesarios y. especialmente en cuanto productores. . Editores. De esta manera surge el habla articulada. como sistema de conocimientos. por el trabajo. intercambiadores de valores. RUSSELL. pero no dan la impresión de poder expresar algo distinto de sus vivencias momentáneas ni otro tipo de experiencia. el fuego. el lenguaje.25 Lógica y lenguaje: funciones básicas del lenguaje Toda ciencia (por ejemplo la lógica). Barcelona. surge de la necesidad sentida por los miembros de un grupo. Tiene carácter social. Fundamentos de Filosofía. Consecuentemente. se configura y objetiva en el lenguaje. rugen por placer por el descubrimiento de alimento. Esta necesidad imperiosa transformó la garganta rudimentaria del mono en un órgano capaz de controlar la articulación de sonidos. Diccionario filosófico. Rosario-Argentina. como ya se ha señalado— es una prerrogativa humana y. p. esto es. 10. Cf. la caracterización de la lógica como ciencia formal supone un examen de su lenguaje. Pero la más importante de todas estas ventajas es el lenguaje. el vestido. Por lo tanto. Ediciones Universo. 1974. 24 25 5 8 Cf. de relacionarse entre sí cuando viven juntos.A. tanto por las particularidades de su origen como por la manera de funcionar y por sus resultados. pp. También el lenguaje es un fenómeno social.24 El hombre goza de varias ventajas sobre los animales. y de diversos grupos. remontándonos evolutivamente sobre la mudez del mundo animal. que se dan exclusivamente en la vida gregaria humana. el lenguaje —en sentido restringido. Los sonidos que profieren los animales tienden a expresar emociones: braman por miedo. Gracias a ella. que es siempre un funcionar de los signos en circunstancias concretas. Éstos son los hechos del mundo a los cuales es remitido quien escucha y entiende nuestro lenguaje. el sentido de las palabras y oraciones se halla determinado en mucho por las relaciones sintácticas entre los signos y por las implicancias subjetivas y sociales del habla. describir las cosas y sus propiedades o para explicar los fenómenos o hechos del mundo. El sentido de una oración es fundamental. las conexiones entre los signos de un lenguaje determinado. referencial o descriptiva) cuando es utilizado para comunicar algo a otras personas. informar sobre el mundo y los hechos. pueden distinguirse tres dimensiones en el lenguaje: el sentido de los signos —tema específico de la semántica—. es decir. así como su fuerza y eficacia pragmáticas. Igualmente. íntimamente vinculada con la lógica— y el contexto personal y social del uso del lenguaje-cometido de la pragmática. Desde esta perspectiva. cuando pronunciamos la oración ‘Los alumnos que están reunidos en el pasillo hacen mucho ruido’. El lenguaje cumple una función informativa (llamada también enunciativa. en Fundamentos de la teoría de los signos. Estas tres dimensiones del lenguaje se interrelacionan entre sí. Ejemplos: 5 9 . nuestro lenguaje es capaz de formular conocimientos y de transmitirlos. por el sentido que ella tiene podemos informar a quienes nos escuchan que hay alumnos en el pasillo y que están haciendo ruido. Por ejemplo. expresiva y directiva. el uso. En virtud de esto. De otro lado. la interconexión de los signos entre sí —objeto de la sintaxis. Cumplen esta función todas las oraciones aseverativas o declarativas. La ciencia nos ofrece los ejemplos más claros del lenguaje cumpliendo esta función. consagra reglas y principios de construcción y transformación. En lo que atañe a este punto del libro dirigiremos nuestra atención a la dimensión semántica (del sentido o significación del lenguaje).Siguiendo el esquema trazado por Charles Morris. dependen del sentido. aquellas que afirman o niegan algo. el lenguaje cumple básicamente tres funciones: informativa. es decir. El lenguaje cumple una función expresiva cuando es empleado para poner de manifiesto lo que ocurre en nuestro psiquismo y exteriorizar nuestros sentimientos o las vivencias que experimentamos. aquellas que expresan el deseo de que un hecho tenga o no lugar y. c) La lógica es una ciencia formal y la física es una ciencia factual. una actitud o vivencia interior. o también para expresar un estado de ánimo.. Ejemplos: d) Si yo volase tan alto. En efecto. pero no transmitir ninguna información. b) El número 2 es par y primo a la vez. pero también con la conciencia y el propósito de hacerlo notar. divino tesoro. por ejemplo. en general. La poesía nos suministra los mejores ejemplos del lenguaje cumpliendo la función expresiva. (Rubén Darío. las oraciones exclamativas o admirativas. sino sentimientos y actitudes. Canción de otoño en primavera) El lenguaje cumple una función directiva (denominada también función operativa) cuando es utilizado para originar o impe- 6 0 . puede hacerlo sin darse cuenta de que está exteriorizando un sentimiento de desagrado.a) La energía es materia disipada. las que expresan la sorpresa o admiración que nos causa algo. y a veces lloro sin querer. es decir. A través de sus versos él intenta plasmar ciertas emociones que experimenta. Esto puede suceder sin que el sujeto lo note o piense en ello. Cumplen esta función las oraciones desiderativas. no lloro. el poeta no trata de comunicar conocimientos. un profesor usa en clase nuestra oración ‘Los alumnos que están en el pasillo hacen mucho ruido’. pero también puede producirse interviniendo él consciente y deliberadamente. Si.. ¡ya te vas para no volver! Cuando quiero llorar. e) ¡Qué felices son! f) Juventud. un ataque. 6 1 . COPI. las palabras se convierten en instrumentos de acción. medios de que nos valemos para operar sobre el mundo.. En ‘j)’ se comunica asertóricamente el hecho de que algo ha de acontecer al sujeto. Pero igualmente. cit. Cumplen esta función las oraciones exhortativas o imperativas. orientarlas. en ‘j)’ se quiere significar que el sujeto no tiene confianza en su propia seguridad. En la función directiva u operativa. aquellas que indican exhortación. i) ¿Qué hora es? Hasta aquí hemos presentado ejemplos del lenguaje cumpliendo sus tres funciones básicas por separado. entusiasmarlas o sugestionarlas. 26 Cf. provocar ciertas reacciones o cambios en la conducta de las personas. cumpliendo la función expresiva. por ejemplo. en la mayoría de los casos el lenguaje cumple una función múltiple o mixta cuando sus funciones básicas se presentan conjugadas. Sin embargo. k) Me desagrada oír su voz.2 6 Ejemplos: g) Amarás al señor tu Dios sobre todas las cosas. además de ser una manera de referirse al mundo y de exteriorizar estados de ánimo. es decir. decir que los alumnos están haciendo ruido en el pasillo es una manera de inducirlos a callar. en ‘j)’ se cumple la función informativa del lenguaje. 'j)' refiere a un contexto de solidaridad humana. esto es. h) Nadie será perseguido en razón de sus ideas. y las oraciones interrogativas. las que sirven para formular preguntas. 47-54. Ejemplos: j) Me va a pasar algo. además. es decir. funcionando también de modo exhortativo.dir una acción manifiesta. op. vinculadas o interrelacionadas. pp. Irving. De allí que podamos hablar de una función operativa del lenguaje. mandato o prohibición. Volviendo a nuestro ejemplo. ¿Qué función cumple básicamente el lenguaje en el ámbito de la creación literaria? 6 2 . En el sentido más restringido. ¿Cuáles son las funciones básicas del lenguaje? 13¿Cuándo el lenguaje cumple una función informativa y en qué tipo de oraciones se expresa ésta? 14. además. ¿qué es el pensamiento? 2. ¿Cuál es la relación entre lenguaje y pensamiento? 9. ¿Qué relación existe entre las tres dimensiones del lenguaje señaladas por Charles Morris? 12. Cuestionario N. en ‘k)’ se denota un hecho. ¿Por qué en las ciencias el lenguaje cumple exclusivamente una función informativa? 15. ¿Por qué tanto el pensamiento como el lenguaje tienen un carácter social? 11. ¿Qué piensa acerca de la posibilidad dejada entrever por H. Salazar Bondy sobre la existencia del lenguaje entre los animales? 8. con una clara intención imperativa. adquiriendo un matiz expresivo.Asimismo. ¿Considera plausible el punto de vista asumido por Sapir con relación al lenguaje? 6. irritación.º 4 1. y. reúnen estas tres funciones claramente diferenciables al análisis. En el sentido más amplio. Ambas expresiones. y con esto. ¿Qué es el lenguaje en sentido amplio? 4. finalmente. Gadamer y A. se expresa la causa de la molestia. ¿qué se entiende por pensamiento? 3. ¿Cuál es la importancia que adquieren el lenguaje y el pensamiento en el contexto humano? 10. ‘j)’ y ‘k)’. ¿Qué comentario le sugiere la opinión de F. ¿Cuándo el lenguaje cumple una función expresiva y en qué tipo de oraciones se expresa ésta? 16. se invoca a eludir tal situación. ¿Qué es el lenguaje en sentido restringido? 5.G. Saussure con respecto al lenguaje? 7. es decir. hay información. 19. aunque suene ilógico.02. algunas variantes que eran lógicas o por lo menos posibles. adjetivo o adverbio) es usado el término ‘lógica’ e indique su significado en los siguientes textos: a) En esos encuentros imaginarios había analizado diferentes posibilidades. p. con sólo mirarla. ¿Qué función cumple el lenguaje en las normas legales y morales? 19. 1808. ¿Qué función cumple básicamente el lenguaje en los diarios y revistas? Ejercicio Nº. no hay un síntoma claro.08. pero todos sabemos que es posible.17. La Comisión de Cultura todavía existe. tampoco una lógica. p. una causa concreta que lo origine. una evidencia objetiva. Sábato. No es nada preciso.) 6 3 . Felizmente prevaleció la lógica y no se deshizo con una mano lo que se había hecho con la otra. (El Dominical del diario El Comercio. Había preparado. 18. El túnel. Polarollo. 1 Usos de la palabra ‘lógica’ En el lenguaje coloquial 1.) d) Hace poco nos enteramos de que en el Congreso se iba a eliminar la Comisión de Cultura.) b) Y tanta es la premura que el alcalde de Miraflores Germán Kruger inauguró el viernes una obra inconclusa. 22) c) Yo. Atado de nervios. Conozco mi naturaleza y sé que las situaciones imprevistas y repentinas me hacen perder todo sentido.¿Cuándo el lenguaje cumple una función directiva y en qué tipo de oraciones se expresa ésta? 18. (G. No es lógico que un amigo íntimo le mande a uno un anónimo insultante. (El Comercio. (E. arrumando ésta en el furgón de cola de otra comisión. un motivo. a fuerza de atolondramiento y timidez. Señale de qué modo (como sustantivo. pues.02. me doy cuenta de que el mal está empezando. ¿Cuándo el lenguaje cumple una función mixta? 20. y tales universos son impresionantemente grandes”. Memorias del subsuelo. pero inmediatamente ante el miedo ilógico de perderla se da cuenta de su desorientación. m) El concepto de etnicidad que opera en la novela presupone una relación de causalidad entre los orígenes y el estado actual de 6 4 . Sauter. p. (F.) f) La trampa lógica por la cual todo el que se lanza contra Toledo es un amigo de la oposición democrática viene avanzando peligrosamente. p. 12-01-2003). 16. N.. que los observadores siempre se encuentran en universos capaces de generar vida. (La Razón.02. 13. cuanto más puedo pensar con frialdad y lógica. “Introducción a El túnel”).. Frank. (S. y cuanto más se normaliza mi salud. 2002. Gribbin. simplemente afirmo que la frecuencia es perada no es cero”. (J.) j) Le escribió: “pero la melancolía me invade con gran fuerza. no obstante. tanto más demencial me parece que siga fabricando cuadros que nos cuestan tanto y no aportan nada”. 22-08-02. cierran los ojos y los oídos a todas las pruebas que los contradicen con tal de conservar sus construcciones lógicas. (Somos de El Comercio. l) Un piloto de una aerolínea comercial sostuvo a Correo lo siguiente: “Si hubo poca visibilidad el comandante de la nave debió regresar y evitar el aterrizaje. a tal punto que no les molesta deformar la verdad. (La República.. dijo Tryon.e) Los resultados estadísticos pueden ser considerados lógicamente válidos. atribuye el encuentro a la causalidad de su “capacidad lógica”. Van Gogh) k) Aunque ha “encontrado a María” por casualidad. año XV. Lo lógico era no continuar con el vuelo” (Correo.º 820. si a ello sumamos la ignorancia tenemos un modelo de atraso social..) i) “No pretendo afirmar que universos como el nuestro se den de manera frecuente.) g) En la sierra es lógico que el líder decida todo sin pedir opinión de nadie y mucho menos a una mujer. (H. ”La lógica de la situación dicta.07. En busca del gato de Schrödinger.) h) Los hombres adoran los razonamientos abstractos y las sistematizaciones bien elaboradas. 7. Dostoievski. pues hace referencia al uso de insignias como signo. pero que constata la degradación de la conciencia humana contra su propia especie (S. ñ) Castel menciona la noticia de una instancia inexplicable lógicamente. Ejercicio Nº. pero seguro que para llegar a Jerusalén desde Alemania el camino más lógico es el de los Balcanes. o unos cabalistas vinculados con los portugueses. teniendo en cuenta el siguiente ejemplo: ‘Los escolares usan insignias en el pecho que indican a qué colegio asisten. d) Las mujeres hindúes después de casarse usan una pequeña marca circular de color rojo en la frente. Indique a qué rama de la semiótica pertenecen los siguientes enunciados y explicar por qué.’ Respuesta: Este enunciado pertenece a la pragmática. Los vertederos de la postmodernidad). “Introducción a El túnel”). quizá un grupo de templarios supervivientes y disfrazados. a) Las palabras graves llevan acento ortográfico sólo cuando terminan en una consonante que no sea “n” o “s”. donde esperaba el quinto grupo. Sauter.los comportamientos sociales. 2 Reconocimiento de enunciados según su relación con las ramas de la semiótica 1. El péndulo de Foucault). Castillo Durante. Eco. el de los paulicianos ( H. 6 5 . b) Los alemanes pronuncian la “r” con un fuerte tono gutural. Los “defectos” a los cuales alude Abbadon el exterminador encuentran ahí su explicación lógica (E. n) No sé quiénes tenían que esperar en Jerusalén. e) En el compás de cuatro cuartos un silencio de blanca significa la interrupción del sonido del instrumento o de la voz durante medio compás. c) La palabra inglesa “end” significa “fin” en español. s) Los operadores lógicos diádicos tienen mayor jerarquía que el operador monádico. ñ) Los estandartes en los desfiles o paradas militares se utilizan para identificar la procedencia de cada uno de los grupos. n) Las corcheas son más breves que las blancas. a) La defensa de la persona humana y el respeto de su dignidad son el fin supremo de la sociedad y del Estado.f) La palabra “que” tiene valor de pronombre relativo cuando forma parte de una oración subordinada adjetiva. g) El bajo nivel de hemoglobina en la sangre es señal de anemia. o) En algunas tribus. y precise los casos de función múltiple. q) Después de la luz verde de un semáforo se enciende la amarilla y luego la roja. cierto tipo de peinado es signo de que las mujeres que lo usan son solteras. h) La palabra “lima” tiene diversos significados según el contexto en que se la use. i) “Teherán es la capital de Irán” es una proposición verdadera. p) Los uniformes permiten reconocer a qué institución militar pertenece el que lo usa y cuál es su grado. Distinga las funciones básicas del lenguaje en los siguientes textos.) 6 6 . 1°. (Constitución Política del Perú. Art. l) Los ingleses y los franceses pronuncian algunas consonantes de manera muy distinta.º 3 Funciones del lenguaje 1. r) Cuando suenen dos timbres consecutivos se podrá ingresar en el comedor. m) La alarma indica que hay peligro de incendio en el edificio. Ejercicio N. j) La aparición de colores intensos en algunos animales indica que éstos se encuentran en su periodo de apareamiento k) Las palabras esdrújulas llevan el acento prosódico en la antepenúltima sílaba. comete y ordena. Calixto Garmendia. un acto arbitrario cualquiera. (César Vallejo. a veinte pasos de distancia. Cuídalo.) d) Si eres un bien arrebatado al cielo/ ¿por qué las dudas. antes de salir: —Oye. Crítica de la razón práctica.) i) Aprovecha ahora que eres joven para sufrir todo lo que puedas.) e) No hay dinero. ya sólo con ello. Deben ser buenos alumnos como él. el buffet. Deben estudiar y ser aplicados como él. (Código Penal Peruano. Ushanan jampi. Garmendia. Más allá del bien y del mal. Jesús.) 6 7 . juren por nuestra jirca que me dejarán partir sin molestarme. El vestido. (Ciro Alegría. el llanto/ la desconfianza. formales y buenos niños como él. El Caballero Carmelo. Art. en perjuicio de alguien. (La Republica. abusando de sus atribuciones.(F. me dijo en secreto. anda junto con él.. el gemido. será reprimido con pena privativa de libertad no mayor de dos años. Con el tiempo se te pagará. más allá del bien y del mal. Deben ser serios. 14-12-2003.) k) Obra de manera tal que la máxima de tu voluntad pueda siempre valer como principio de una legislación universal. el local. ¡pobrecito! (Abraham Valdelomar.) f) El funcionario público que. El amor. Paco Yunque.) h) No quiero abrazos ni chacta. no hay nada por ahora. las bebidas y los invitados. desde luego. El amor en los tiempos del cólera.) g) Admitir que la no-verdad es condición de la vida: esto significa. Cálmate. (Enrique López Albújar. (Gabriel García Márquez. Que vengan aquí todos los yayas desarmados y. y la más pequeña. el torcedor quebranto/ las turbias noches de febril desvelo? (Manuel González Prada. enfrentarse de modo peligroso a los sentimientos de valor habituales.. Zaraí quiere algo sencillo y de paso deja las puertas abiertas para que concurra su padre a lo que será su fiesta del ensueño.) j) Lloraban mis hermanas.b) Todos ustedes deben hacer lo mismo que Humberto Grieve. (Immanuel Kant. y una filosofía que osa hacer esto se coloca. 376°. que estas cosas no duran toda la vida.) c) Los preparativos para la fiesta de quince años de Zaraí Toledo están a la orden del día en Piura. Nietzsche. sí. tanto menos parece haber podido salir sólo de mí. que más ganaréis teniéndola. Acuérdate cómo es el cuadro y cómo eres tú. paciencia. Usted perdone. De lo que hay que concluir que Dios necesariamente existe. tráigannos mujeres. El mundo como voluntad y representación.) s) Mi abuela. pero ella llevaba las cuatro juntas conforme a un sistema que cada vez las iba alternando por orden. y por la cual he sido creado yo mismo con todo lo demás que existe.) q) Piensa y verás. Variante de la primera. Ensayo sobre la ceguera.) o) Pido permiso para retirarme. El tambor de hojalata. atenienses. que sabe y puede en el más alto grado. pero como un chancho gozaba. (R. (José Saramago. me voy. es ‘mas’. señor Subprefecto. estoy agotado de oír hablar de carreras y de trabajo. sino que llevaba cuatro verdaderas faldas: una falda llevaba a la otra. no. si es que existe algo más.) p) Bajo la denominación de Dios comprendo una substancia infinita. llegar a conocerla es poseer el sentido filosófico. Sí.l) No levantéis rumores contra mí.) m) ‘El mundo es mi representación’: esta verdad es aplicable a todo ser que vive y conoce.) r) Pasada una semana.) 6 8 . Sí. Descartes. señores. madrastra. Y no es que llevara una falda y tres enaguas. (A. Apología de Sócrates. en efecto. llevaba no una falda.) ñ) No diga. me voy porque esta conversación está resultando demasiado fatigosa para mí. (Alfredo Bryce Echenique. y gozaba como pagado. No me esperen en abril.) n) Las conjunciones adversativas más empleadas son ‘pero’ y ‘sino’. Todo lo cual es de tal género que cuanto más diligentemente lo considero. Meditaciones metafísicas. una encima de la otra. No te creo que no caigas: ¡Si es facilísimo! Adivina y te daré un premio. Así. Elogio de la madrastra. Schopenhauer. los ciegos malvados mandaron aviso de que querían mujeres. Yawar fiesta. concededme lo que os pedía. (Mario Vargas Llosa. (Platón. sino cuatro. ¡Había que ver! (José María Arguedas. aunque sólo al hombre le sea dado tener conciencia de ella. Gramática de la lengua española. (Real Academia Española. su antecesor era limeño de pura cepa. reducida hoy a la lengua escrita. independiente. simplemente. (Günter Grass. Primera parte LÓGICA DE PROPOSICIONES 6 9 . es un sistema convencional de signos. En esta primera parte de la lógica. Sirve para afirmar o ne- 7 1 . Por esta razón emplea sólo variables proposicionales.Idea de lógica de proposiciones La lógica de proposiciones es la parte más elemental de la lógica moderna o matemática. es decir. sin penetrar en su estructura interna. aquellas relaciones existentes entre proposiciones y no las que se dan dentro de ellas. sujeto a una determinada articulación interna. las inferencias se construyen sin tomar en cuenta la estructura interna de las proposiciones. es decir. Sólo se examinan las relaciones lógicas existentes entre proposiciones consideradas como un todo. La lógica de proposiciones estudia las relaciones formales extraproposicionales. también. en sentido estricto. lógica de las proposiciones sin analizar. Se la denomina. Concepto de proposición El lenguaje. y la validez de éstas se determina por las relaciones entre proposiciones consideradas como un todo. Dispone de medios de análisis formal de las inferencias (lenguaje simbólico y métodos específicos). un conjunto de sonidos y grafías con sentido. y de ellas sólo se toma en cuenta su propiedad de ser verdaderas o falsas. expresar deseos (oraciones desiderativas). Ejemplos: a) Dolly fue la primera oveja clonada. ‘a)’ y ‘b)’ son ejemplos de proposiciones. pero no todas las oraciones son proposiciones. Ejemplos: c) El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. por lo tanto. las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo y. así como los juicios de valor —no obstante afirmar algo— no constituyen ejemplos de proposiciones.gar (oraciones aseverativas o declarativas). g) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería! 7 2 . f) Sea en hora buena. mandato o prohibición (oraciones exhortativas o imperativas). En consecuencia. no son verdaderas ni falsas. pues su verdad o falsedad no puede ser establecida. formular preguntas (oraciones interrogativas). las oraciones dubitativas. La proposición es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa. De todas estas clases de oraciones la lógica sólo toma en cuenta las declarativas o aseverativas. d) ¿Qué es la lógica? e) Debemos honrar a nuestros héroes. sólo las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas Expresiones lingüísticas que no son proposiciones Todas las proposiciones son oraciones. En efecto. las exhortativas o imperativas. las únicas que pueden constituir proposiciones. b) El átomo es una molécula. es decir. según cumplan o no determinados requisitos. la verdad y la falsedad son sus propiedades. expresar sorpresa o admiración (oraciones exclamativas o admirativas) e indicar exhortación. las oraciones interrogativas. Asimismo. porque tiene sentido decir que ‘a)’ es verdadera y que ‘b)’ es falsa. n) El principal sospechoso de los atentados del 11 de setiembre de 2001 en los Estados Unidos. ‘i)’ no es proposición porque constituye un juicio de valor. Son pseudoproposiciones. frases especiales que pueden ser reemplazadas por nombres propios.h) Quizá llueva mañana. ‘e)’ no es proposición porque es una oración imperativa o exhortativa. toda proposición es una oración aseverativa. ‘c)’ es proposición porque es una oración aseverativa verdadera. Ejemplos: j) El triángulo es inteligente. son descripciones definidas. ‘l)’ y ‘m)’ son ejemplos de oraciones aseverativas. 7 3 . ‘f)’ tampoco es proposición porque es una oración desiderativa. pero no de proposiciones. i) Valentín es bueno. falsas proposiciones. ‘d)’ no es proposición porque es una oración interrogativa. y finalmente. es decir. ‘k)’. pero que realmente no lo son porque no tiene sentido decir de ellas que son verdaderas o falsas. ‘l)’ y ‘m)’ son también ejemplos de oraciones aseverativas. ‘n)’ puede ser sustituida por Osama bin Laden y ‘o)’ por Alejandro Toledo. Finalmente. pero no toda oración aseverativa es una proposición. no son verdaderas ni falsas porque en ellas figura una o más letras sin interpretar. o) El actual Presidente de la República del Perú. mas no de proposiciones. k) Eduardo es un número racional. ‘g)’ no es proposición porque es una oración exclamativa o admirativa. ‘j)’ e ‘k)’ son expresiones lingüísticas que tienen apariencia de proposiciones. es decir. l) x + 3 = 5 m) a es la capital del Perú. son ejemplos de funciones proposicionales. ‘j)’. ‘h)’ no es proposición porque es una oración dubitativa. ‘n)’ y ‘o)’ no son proposiciones. un hombre.p) ‘La realidad es duración’ (Bergson). tienen fuerza’ (F. r) ‘Las condiciones de posibilidad de la experiencia en general son al mismo tiempo las de la posibilidad de los objetos de la experiencia’ (Kant). En filosofía no hay verdades. y 3) Ser o bien verdadera o bien falsa. Lo que tengo que decir es simplemente esto: los argumentos filóficos no son deductivos. por lo que nada prueban. es decir. t) ‘Filosofar (. un ser para el que nada existe más importante que su propia capacidad de opción’ (Epicteto). sin embargo. Ninguna de ellos puede calificarse de verdadero o falso. q) ‘La materia se mueve en un ciclo eterno’ (Engels). En conclusión: Para que una expresión lingüística sea proposición debe cumplir con los siguientes requisitos: 1) Ser oración. es decir. v) La ciencia y la religión son. Rorty).) es el extraordinario preguntar por lo extra-ordinario’ (Heidegger). ‘t)’... ‘u)’ y ‘v)’ no son proposiciones. ‘s)‘. vías respetables para adquirir creencias respetables. pues los enunciados filosóficos o filosofemas sólo expresan opiniones racionalmente fundamentadas. enunciados filosóficos. 7 4 . 2) Ser oración aseverativa. ‘r)’. u) ‘Nunca filósofo alguno ha demostrado algo. Toda pretensión es espuria. Waismann). ‘q)’. ambas. sino filosofemas. no obstante tratarse de creencias que son buenas para propósitos muy diferentes (R. Ante todo. s) ‘Considera bien quién eres. ‘p)’. Su verdad o falsedad no puede ser establecida lógica o empíricamente. por lo tanto no son rigurosos. o el tono de voz. ejecuto un acto psicofísico. cuando enuncio. desiderativas. 3) Las pseudoproposiciones. Por ejemplo. ‘Three is greater than two’ y ‘Tres es mayor que dos’ expresan o designan una misma proposición. 4) Las funciones proposicionales. oración y enunciado Es necesario distinguir una proposición (objeto conceptual o constructo) de las oraciones (objetos lingüísticos) que la designan. o escribo. no son ejemplos de proposiciones: 1) Las oraciones interrogativas. o por ademanes. o escucho. ‘III > II’. las oraciones ‘3 > 2‘. la recíproca no es cierta. susurrada.Por esto. ‘Tres es mayor que dos’. hay oraciones gramaticales que no formulan proposición alguna. la enunciación y la percepción de una oración son procesos y. escritas. Proposición. expresan o formulan. ciertas oraciones designan o expresan proposiciones. así como es preciso distinguir una oración de sus diversas enunciaciones (acto psicofísico) orales. 5) Las descripciones definidas. gritada. y 6) Los filosofemas. Cámbiese el sujeto. objetos físicos en sentido lato. imperativas o exhortativas. o leo una oración. Una misma oración podrá ser pronunciada por diversos sujetos. como tales. y se tendrán enunciaciones diferentes de la misma oración. o las circunstancias. exclamativas o admirativas y las dubitativas. como por 7 5 . No así la oración misma: ésta puede considerarse como una clase de enunciaciones concretas en circunstancias particulares. en distintas circunstancias y con diferentes tonos de voz. En consecuencia. Asimismo. En efecto. por ejemplo. 2) Los juicios de valor. Piénsese en la oración ‘3 > 2’ dicha en lenguaje interior. Pero si bien toda proposición es expresable por una o más oraciones. o escrita en diversos lenguajes. En efecto. . pp. La Habana. ‘si. Las proposiciones predicativas constan de sujeto y predicado. 62-65. .ejemplo ‘El número cinco aleteó’ y ‘La raíz cuadrada de una melodía es igual a un sueño’. b) La lógica es distinta a la matemática. Las proposiciones relacionales constan de dos o más sujetos vinculados entre sí. tenemos tres clases de objetos y dos relaciones entre ellos: enuncian Enunciados (acto psicofísico) expresan Oraciones (objeto lingüístico) Proposiciones (objeto conceptual) Clases de proposiciones Éstas pueden ser de dos clases: atómicas y mole-culares. ‘si y sólo si’) o del adverbio de negación ‘no’. Las proposiciones atómicas (simples o elementales) carecen de conjunciones gramaticales típicas o conectivas (‘y’. Epistemología. Ejemplos: a) San Marcos es la universidad más antigua de América. entonces’.. Ciencias Sociales. Ejemplos: c) El número 2 es par. d) El espacio es relativo. ‘o’. 1982. Mario. Ejemplos: 27 7 6 BUNGE. Las proposiciones atómicas de acuerdo a sus elementos constitutivos pueden clasificarse en predicativas y relacionales.2 7 En resumen. ‘pero’. ‘sino’. ‘aunque’. ‘además’. c) Silvia es inteligente.. g) Iré a verte aunque llueva.. e) Manuel e Ismael son universitarios.. h) Ingresaré a la universidad aun cuando no apruebe el examen de admisión. si llevan el adverbio de negación ‘no’ se llaman negativas. ‘sin embargo’... condicionales y bicondicionales. 7 7 . d) Tanto el padre como el hijo son melómanos. ni‘. f) La materia ni se crea ni se destruye. b) El número dos es par. Ejemplos: a) ‘El’ es un artículo y ‘de’ es una preposición.’. sin embargo es floja. pero el número tres es impar. ‘aun cuando’. se clasifican en conjuntivas.e) Silvia es hermana de Angélica. j) Este número es par si y sólo si es divisible por dos. h) El tiempo es absoluto o es relativo. etc. Ejemplos: g) La lógica y la matemática son ciencias formales. o sus expresiones equivalentes como ‘e’. k) El Inca Garcilaso de la Vega no es un cronista puneño. f) 5 es mayor que 3. Las proposiciones moleculares (compuestas o coligativas) contienen alguna conjunción gramatical típica o conectiva o el adverbio negativo ‘no’. ‘ni. como. según el tipo de conjunción que llevan. disyuntivas. entonces son suplementarios. ‘tanto. • Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción copulativa ‘y’. i) Si dos ángulos adyacentes forman un par lineal. Clasificación de las proposiciones moleculares Las proposiciones moleculares.. en cambio la segunda no. c) Sansón y Dalila son vecinos. la proposición ‘Angélica se casó y tuvo diez hijos’ no significa lo mismo que ‘Angélica tuvo diez hijos y se casó’. La ‘y’. f) Sansón y Dalila son condiscípulos. e) Sansón y Dalila son contemporáneos. m)Sansón y Dalila son amantes. tiene carácter de término relacional y no propiamente de conjunción copulativa o conectiva. Sin embargo. se puede permutar el orden de sus proposiciones componentes sin alterar la conjunción. desde el punto de vista lógico. Una proposición conjuntiva es conmutativa. 7 8 . En el lenguaje natural. q) Sansón y Dalila obsequian una bicicleta a su sobrina Cleopatra. l) Sansón y Dalila son esposos. Ejemplos: a) Sansón y Dalila son hermanos. Las pseudoproposiciones conjuntivas son proposiciones que se presentan como si fuesen proposiciones conjuntivas. o) Sansón y Dalila son siameses.En las proposiciones conjuntivas no es necesario que sus proposiciones componentes estén relacionadas en cuanto al contenido. las dos proposiciones conjuntivas son equivalentes. es decir. de los ejemplos. h) Sansón y Dalila son colegas. k) Sansón y Dalila son novios. d) Sansón y Dalila son compadres. j) Sansón y Dalila son enamorados. i) Sansón y Dalila son cuñados. b) Sansón y Dalila son primos. Esto es posible en la lógica. pero que en realidad son proposiciones atómicas relacionales. es suficiente la presencia de la conjuncion ‘y’. g) Sansón y Dalila son paisanos. pero no en el lenguaje natural. la primera sugiere una relación de causalidad. En efecto. n) Sansón y Dalila son mellizos. p) Sansón y Dalila comparten sus ganancias. . entonces es rebelde. La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den conjuntamente. ‘solamente si’. • Las proposiciones condicionales llevan la conjunción condicional compuesta ‘si. ‘ya.. ‘a menos que’. ‘de’.’.. ‘sólo si‘. c) El número cuatro es par puesto que es divisible por dos. ‘puesto que’. Ejemplos: a) Pedro es tío o es sobrino. ‘con tal que’.. 7 9 .. b) Es herbívoro si se alimenta de plantas.. ‘ora. En español no existe un signo especial para la disyunción inclusiva y otro para la exclusiva.• Las proposiciones disyuntivas llevan la conjunción disyuntiva ‘o’. ‘a no ser que’. entonces. ‘sea. Ejemplos: a) Si es joven. ‘porque’. como veremos más adelante.. ya’. ‘siempre que’. ‘a)’ y ‘c)’ son proposiciones disyuntivas inclusivas o débiles porque en ellas no se excluye la posibilidad de que Pedro pueda ser al mismo tiempo tío y sobrino o de que Roberto sea profesor y estudiante a la vez... ‘ya que’. ‘bien.. c) Roberto es profesor o es estudiante. b) Elena está viva o está muerta. d) Silvia es soltera o es casada. es decir. ‘cuando’... La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente. sea’. bien’. mientras que en lógica sí existen signos especiales para distinguirlas. o sus expresiones equivalentes como ‘si’. ‘y/o’. etc. ora’. o sus expresiones equivalentes como ‘u’. en cambio ‘b)’ y ‘d)’ son proposiciones disyuntivas exclusivas o fuertes porque en ellas se excluye la posibilidad de que Elena pueda estar viva y muerta al mismo tiempo y que Silvia sea soltera y casada a la vez. ‘salvo que’. En español la disyunción 'o' tiene dos sentidos: uno inclusivo o débil y otro exclusivo o fuerte. en ambos casos se usa la misma partícula ‘o’. En efecto. Ejemplos: 8 0 . entonces se dilatan’.’.. es decir.. La proposición que sigue a la palabra ‘si’ se llama antecedente y la que sigue a la palabra ‘entonces’ se denomina consecuente. el consecuente ‘se dilatan’ es condición necesaria del antecedente ‘se calientan’ y el antecedente ‘se calientan’ es condición suficiente del consecuente ‘se dilatan’. que la verdad en una proposición condicional es independiente de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y el consecuente. h) Nuestra moneda se devalúa solamente si su valor disminuye. Finalmente. entonces y sólo entonces..... Para que una proposición condicional sea lógicamente correcta no es necesario que haya relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente. en toda proposición condicional el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente. en la proposición condicional ‘si los cuerpos se calientan. f) De salir el sol iremos a la playa. o sus expresiones equivalentes como ‘cuando y sólo cuando’. entonces Lima es capital del Perú” es verdadera no obstante no existir relación alguna entre los significados de sus proposiciones componentes. etc. Por ejemplo. • Las proposiciones bicondicionales llevan la conjunción compuesta ‘. Toda proposición condicional consta de dos elementos: antecedente y consecuente.’.d) Se llama isósceles siempre que el triángulo tenga dos lados iguales.. g) La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica. Toda proposición implicativa es condicional.. sólo las proposiciones condicionales que son tautologías son implicativas. pero no toda proposición condicional es implicativa. ‘ si. e) Cuando venga Raúl jugaremos ajedrez. la proposición “Si la tierra gira alrededor del sol. Por ejemplo.. sí y sólo si. En toda proposición bicondicional el antecedente es condición necesaria y suficiente del consecuente y el consecuente es condición necesaria y suficiente del antecedente. admirativas o exclamativas y las dubitativas no constituyen ejemplos de proposiciones? 8 1 . Por ejemplo. ¿Qué requisitos debe cumplir una expresión lingüística para que sea considerada proposición? 3. Ejemplos: a) Nunca he oído esa música. ‘no es verdad que‘. b) Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva. pero de sentido inverso. ‘tampoco’. e) Al papá de Nelly le falta carácter. ‘sin’. ‘jamás’. ‘es falso que’. entonces y sólo entonces ingresaré a la universidad.a) Es fundamentalista si y sólo si es talibán. • Las proposiciones negativas llevan el adverbio de negación ‘no’. ¿Qué es una proposición? 2. c) Es imposible que el átomo sea molécula.º 5 1. imperativas o exhortativas. la proposición bicondicional ‘el triángulo es equilátero si y sólo si tiene tres lados iguales’ establece dos condicionales de sentido inverso: ‘si es triángulo equilátero. ‘le falta’. desiderativas. Cuestionario N. entonces es equilátero’. o sus expresiones equivalentes como ‘nunca’. b) Jamás he visto al vecino. ‘no es cierto que’. etc. ¿Qué expresiones lingüísticas no constituyen ejemplos de proposiciones? 4. Las proposiciones bicondicionales se caracterizan porque establecen dos condicionales. entonces tiene tres lados iguales’ y ‘si el triángulo tiene tres lados iguales. ¿Por qué las oraciones interrogativas. d) Es falso que el juez sea fiscal. c) Si apruebo el examen de admisión. ‘carece de’. ¿Qué es una proposición disyuntiva? 16. ¿Qué es una proposición conjuntiva? 14. Art. ¿Qué es una proposición negativa? Ejercicio N. ¿Cómo se clasifican las proposiciones moleculares? 13. ¿Qué es una descripción definida? 7. b) El presidente de la República es el Jefe del Estado y personifica a la Nación (Constitución Política del Perú. Analice las siguientes expresiones lingüísticas e indique si son o no proposiciones: a) La nueva Constitución Política del Perú fue sancionada y promulgada por la Asamblea Constituyente en 1993. ¿Qué es una proposición condicional? 18. c) ¿Quién es el pez gordo del narcotráfico? 8 2 .5. ¿Qué diferencia existe entre proposición condicional y proposición implicativa? 19. ¿Es la ley. ¿son o no ejemplos de proposiciones? ¿Por qué? 8. ¿Qué diferencia existe entre proposición predicativa y proposición relacional? 12. 110).º 4 Reconocimiento de proposiciones 1. ¿Qué es una proposición bicondicional? 20. ¿Cómo se clasifican las proposiciones atómicas? 11. ¿Qué semejanzas y diferencias existen entre las pseudoproposiciones y las funciones proposicionales? 6. un ejemplo de proposición? ¿Por qué? 9. ¿Qué clases de proposiciones disyuntivas existen y en qué consisten cada una de ellas? 17. ¿Qué clases de proposiciones hay y cuáles son las diferencias que existen entre ellas? 10. Los filosofemas o enunciados filosóficos. ¿Qué es una pseudoproposición conjuntiva? 15. d) El oxígeno no produce óxido en presencia de metaloides. r) x es un número par. h) Sólo sé que nada sé. e) Tanto la suma como la multiplicación de números naturales son asociativas. i) Juan es bondadoso.d) Sea en hora buena. l) Los organismos superiores tienen pulmones porque necesitan respirar.º5 Clases de proposiciones 1. m) a es la capital del Perú. 8 3 . c) Hace unos años se consideraba al computador como una gran ‘calculadora’. n) x + y = y + x o) Los planetas del sistema solar. g) Que tengan ustedes buen viaje. Ejercicio N. ocupan prácticamente el mismo plano con respecto al Sol. b) Toda inferencia inductiva es una inferencia en términos de probabilidad. pero hoy se habla de sus logros intelectuales. s) Los electrones son partículas que se encuentran alrededor del núcleo del átomo. q) Los cuerpos sin apoyo caen aceleradamente en proporción directa al cuadrado del tiempo de caída. j) No engañes nunca a nadie. k) Quizá existan miles de millones de universos. Diga si las siguientes proposiciones son atómicas o moleculares: a) Osama y Omar son concuñados. a excepción de Plutón. p) El número 5 sonrió. t) La semana tiene y días. e) ¡Por fin llegó la primavera! f) Los números racionales son inteligentes. q) La diferencia que hay aquí entre Sellars y Davidson es la diferencia entre alguien que se toma en serio la pregunta “¿Existe en realidad aquello sobre lo que hablamos?” y alguien que no. n) Por razones aún no conocidas. i) El abuelo y la abuelita obsequiaron una muñeca a su nieta. o) Decir que la inteligencia es hereditaria es defender la idea de que nuestras facultades intelectuales se transmiten de padres a hijos casi de la misma manera que el color de los ojos. 8 4 . g) La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°. pero no a la inversa. conocido como Homo erectus. h) Gloria e Irene son contemporáneas. m) Los términos ‘lenguaje objeto’ y ‘metalenguaje’ no son absolutos sino relativos. r) “Liberalismo burgués posmoderno” fue una contribución a un simposio sobre “La responsabilidad social de los intelectuales”.f) Los peces son acuáticos puesto que respiran por branquias. s) Me parece que la izquierda posmarxista actual difiere de la marxista anterior principalmente en que esta última tenía en mente una revolución concreta. k) Una lógica se dice paraconsistente si puede ser la lógica de teorías inconsistentes pero no triviales. celebrado en la reunión anual de 1983 de la división oriental de la Asociación Americana de Filosofía. el hombre de Neanderthal desapareció hace unos 40 mil años y cedió el lugar a un individuo venido del este: el hombre de Cro-Magnon. j) Hace aproximadamente 1 750 000 años el Homo habilis desapareció para ser reemplazado por un individuo más fornido. no hay forma de argumentar en contra de las ideas de Aristóteles sobre la base de las creencias formuladas en el vocabulario. l) A la descomposición química de una sustancia en iones por la acción de la corriente eléctrica se llama electrolisis. p) Así pues. t) La concepción que denomino “pragmatismo” es casi la misma que la que Hilary Putnam denomina “la concepción internalista de la filosofía”. nuestro ancestro directo. e) Dos ángulos son suplementarios siempre que formen un par lineal. disyuntivas exclusivas. sin la formación de estrellas masivas. y si se enfría. h) Si se calienta un cuerpo. k) Si la distancia entre el Sol y la Tierra hubiera diferido en apenas un 5 por ciento. sin el paso por el estadio de supernova. jamás habrían podido existir el hombre ni la vida. 8 5 .Ejercicio N. ninguna forma de vida habría podido surgir y nuestro planeta habría sido un desierto. puesto que era liberal. Diga si las siguientes proposiciones moleculares son conjuntivas. g) Si consigo una beca. m) Francis Fukuyama proclamaba el fin de la historia y la muerte de toda ideología. i) Cuando apruebe el examen de admisión ingresaré a la universidad. entonces y sólo entonces viajaré al extranjero. l) Sin la aparición de las galaxias. d) El 20% de 150 es 30 ó 50. condicionales.º 6 Clasificación de las proposiciones moleculares 1. f) La huelga continúa. b) Todos los cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. c) Un ejemplo típico de la falacia del círculo vicioso es la famosa prueba del quinto postulado de Euclides o postulado de las paralelas. entonces se dilata. entonces acelera la velocidad de los protones. pues no hay solución. j) David no es limeño ni loretano. disyuntivas inclusivas. bicondicionales o negativas: a) Si el ciclotrón bombardea el átomo. entonces se contrae. Sólo sirve para formular conocimientos. Pertenecen a este lenguaje. 8 6 . pero sin llegar al nivel de la certeza o de la seguridad. cuando hay en alguna medida razones o fundamentos para afirmar su ocurrencia. sirve para comunicar informaciones. sentimientos. pero también mueren. etc. pero sin pausa r) Paradoja es un tipo especial de contradicción constituida por una proposición determinada cuya verdad implica su falsedad y cuya falsedad implica su verdad. o) Las estrellas nacen y viven. es decir. expresar deseos. el lenguaje lógico y el matemático. y que esta expansión parece ser el resultado de una explosión inicial o big bang. EL LENGUAJE FORMALIZADO DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL El lenguaje natural y el lenguaje formalizado Existen dos tipos fundamentales de lenguajes: el natural y el formalizado. formular órdenes. El lenguaje natural es el lenguaje usado en la vida familiar. el español. el francés. p) Se dice que existe probabilidad de que ocurra un hecho o que un hecho es probable. entre otros. Tiene una amplia gama expresiva. t) “Definición operacional” es la expresión del significado de un constructo o concepto teorético en términos de propiedades observables y medibles llamadas indicadores. por ejemplo. en la vida cotidiana. Es un lenguaje especializado. el inglés.n) Actualmente está claramente establecido que nuestro universo sufre una tremenda expansión. la religión y la política. Pertenecen a este lenguaje. el alemán. por ejemplo. q) Vilma trabaja despacio. s) El pragmatismo norteamericano ha oscilado entre el intento de elevar el resto de la cultura al nivel epistemológico de las ciencias naturales y el intento de nivelar las ciencias naturales en paridad epistemológica con el arte. El lenguaje formalizado es el lenguaje usado en la actividad científica. El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos: variables proposicionales y operadores o conectores lógicos. Su símbolo es ‘ ’ El Negativo: Es el operador monádico y tiene un solo alcance: hacia la derecha. entonces’. El disyuntivo: representa a la conjunción ‘o’. Son letras minúsculas del alfabeto castellano ‘p’. afectan a dos variables. ‘q’. Principales notaciones simbólicas Existen diferentes notaciones simbólicas. ‘s’. la de Peano-Russell y la de Lukasiewicz. etc.. el del exclusivo es ‘ ’. Su símbolo es ‘~’. Puede ser inclusivo y exclusivo.. Su símbolo es ‘→’. Las variables proposicionales representan a cualquier proposición atómica. es decir.ni‘. Su símbolo es ‘ ↓’. Son de dos clases: diádicos y el monádico.Variables proposicionales y operadores lógicos El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la forma o estructura de las proposiciones e inferencias. Los operadores lógicos además de enlazar o conectar proposiciones establecen determinadas operaciones entre ellas. Y son los siguientes: El conjuntivo: representa a la conjunción ‘y’. Negación alterna : representa a la expresión ‘no o no’. Representa al adverbio negativo ‘no’. Las 8 7 . El símbolo del inclusivo es ‘∨’. Su símbolo es ‘ ’. es decir. Negación conjunta: representa a las partículas ‘ni. Su símbolo es ‘∧’.. El bicondicional : representa a la conjunción compuesta ‘si y sólo si’. Es el operador de la negación. Los operadores diádicos tienen un doble alcance: hacia la izquierda y hacia la derecha. ‘r’. afecta a una sola variable. pero pueden reducirse a tres: la de Scholz.. El condicional: representa a la conjunción compuesta ‘si. etc. Lukasiewicz p. Peano-russell p. Jerarquía entre operadores Usa paréntesis Usa puntos Ni paréntesis ni puntos Sistemas de Scholz y Peano-Russell Las características de las notaciones simbólicas de Scholz y PeanoRussell son: a) Los operadores diádicos se escriben entre las variables que enlazan. etc. Sistema de Lukasiewicz La notación simbólica de Lukasiewicz presenta las siguientes características: a) Los operadores se escriben delante de las variables que conectan. pero la negación va delante.tablas siguientes muestran las correspondencias entre las principales notaciones simbólicas: Sistemas Negación Conjunción Disyunción Disyunción Condicional Bicondicional inclusiva exclusiva Scholz ~p p∧q p∨q p q p→q p q Peano- ~p p. b) Los operadores son letras mayúsculas del alfabeto castellano. q. q. etc. 8 8 . r. b) Los operadores son signos especiales.q p∨q p q p⊃q p q Np Kpq Apq Jpq Cpq Epq Russell Lukasiewicz Sistemas Variables Scholz p. q. r. r. c) Se usa puntos auxiliares o signos de agrupación para determinar la jerarquía entre los operadores. 3. entonces ‘~ p’ es también una FBF. ‘p q’ ‘p ↓ q’ y ‘p q’ son igualmente FBF. es decir. Regla 5. ‘p q’. Toda variable proposicional (‘p’. Regla 3. al menos. ‘p ∨ q’. ‘r’. con tal objeto. El operador de mayor jerarquía va a la cabeza. R. reglas para usar y combinar símbolos. Ella permite la construcción de fórmulas bien formadas estableciendo. sin interesarse más que por las relaciones entre los símbolos. ‘q’. mientras que una fórmula molecular contiene entre sus signos. un operador. Regla 6. Una cadena de símbolos es una FBF si y sólo si se sigue de la aplicación de R. Si ‘p’ y ‘q’ son FBF. Reglas de formación de fórmulas lógicas Una fórmula lógica. Una fórmula lógica está bien formada si y sólo si existe una jerarquía claramente establecida entre sus operadores. Puede ser de dos tipos: atómica y molecular.2 y R. Nosotros hemos preferido usar la notación simbólica de Scholz porque es la que con mayor frecuencia se emplea en los libros de lógica que circulan en nuestro medio.1. ‘p →q’. entonces ‘p ∧ q’. en caso contrario. es decir. Las siguientes son reglas de la sintaxis lógica que posibilitan la construcción de fórmulas bien formadas: Regla 1. Regla 4. la fórmula carece de sentido. ‘s’) es una FBF. una fórmula bien formada (FBF) es una cadena de símbolos construida según reglas establecidas por la sintaxis lógica. Una fórmula atómica es aquella que no contiene entre sus símbolos ningún operador y puede ser representada por una variable proposicional.c) No se usa signos de agrupación ni puntos auxiliares para establecer la jerarquía entre los operadores. Si ‘p’ es una FBF. Una FBF tiene un nombre y éste depende de su operador de mayor jerarquía. Regla 2. 8 9 . La sintaxis lógica es una disciplina metalógica que estudia el lenguaje de la lógica desde el punto de vista formal. 6 y R. sino inmediatamente a la derecha de un operador diádico. Y se llama condicional por R. Los operadores diádicos tienen mayor jerarquía que el operador monádico.7. Y se llama disyuntiva inclusiva por R. El operador negativo se escribe antes y no después de una fórmula. Ejemplos de aplicación de las reglas de formación de fórmulas lógicas: a) p → (p ∧ r) Es una FBF en virtud de R. El operador de mayor jerarquía es aquel que está libre de los signos de agrupación: ‘( )’. Ejemplos: • p ∨ (q ∧ r) Es ya una FBF por R. Regla 9.5. ‘[ ]’.6 y R. 9 0 .7. entonces el de la izquierda tiene mayor jerarquía. Regla 8. Si un operador negativo antecede a otro operador igualmente negativo. Regla 10. cuando una fórmula es susceptible de una doble interpretación.8.7. es decir.5. Regla 11. ‘{ }’. • (p ∨ q) ∧ r Es también una FBF por R. Y se llama conjuntiva por R. Regla 12.6 y R.Regla 7. La ambigüedad de ‘b)’ se elimina utilizando adecuadamente los paréntesis. Los signos de agrupación se usan sólo cuando su omisión hace ambigua una fórmula. El operador negativo no se escribe entre dos fórmulas. b) p ∨ q ∧ r Es una fórmula mal formada (FMF) por atentar contra la R.5. Y se llama conjuntiva por R. Toda proposición tiene su forma lógica y su fórmula. pero ‘~ [p → (~ q ∧ ~ r)]’ es ya una FBF por R. 7 f) p ~ q Es una FMF por atentar contra R. g) (~ p ~ q) ~ (~ r ∨ ~ q) Es una FMF por atentar contra R. d) p ~ Es una FMF por atentar contra R.5.7.9.7 y R.10.5.6.7 y R. y R. R. 10 e) [p → (~ q ∧ ~ r)] ~ Es una FMF por atentar contra R.6. formalizar una proposición equivale a representarla simbólicamente.5. Se llama negativa por R.9. es decir. Formalización de proposiciones Formalizar una proposición significa abstraer su forma lógica.9. En términos más sencillos.11.6 y R. R. pero ‘(~ p ~ q) ∧ ~ (~ r ∨ ~ q)’ es ya una FBF por R. revelar su estructura sintáctica a través del lenguaje formalizado de la lógica. Se trata de una disyuntiva exclusiva por R. pero ‘p ~ q’ es ya una FBF por R.10. R. pero ‘~ p’ es ya una FBF por R. La forma lógica de una proposición es otra proposición equivalente a la primera con la diferencia de que en ella toda su estructura 9 1 .5.11. Se llama bicondicional por R.6.c) ~ (p ∧ q) ~ (r ∨ t) Es una FBF por R. . b) Se halla su fórmula reemplazando cada proposición atómica por una variable proposicional.. 9 2 . pero Frege es lógico Forma lógica: Kant es filósofo y Frege es lógico Fórmula: p: Kant es filósofo. q: Frege es lógico.sintáctica está completamente explicitada. La técnica de formalización de proposiciones comprende los siguientes pasos: a) Se explicita su forma lógica empleando las conjunciones ‘y’.. pero sólo cuando su omisión la hace ambigua. entonces iremos al teatro. c) Los signos de agrupación se usan para establecer la jerarquía entre los operadores de una fórmula lógica. entonces’. Forma lógica: Si Raúl viene. A partir de aquí. las conjunciones gramaticales por sus operadores lógicos correspondientes y el adverbio ‘no’ por el operador negativo. ‘o’. ‘si. Ejemplos de formalización de proposiciones: a) Kant es filósofo. p∧ q b) No iremos al teatro a menos que venga Raúl. a toda conjunción gramatical por el operador lógico correspondiente y el adverbio ‘no’ por el operador negativo. ‘si y sólo si’ y el adverbio ‘no’ en sustitución de sus expresiones equivalentes. su fórmula no es otra cosa que la que resulta de sustituir a toda proposición atómica distinta por una variable proposicional también distinta. ni Silvia. Forma lógica: Euclides no es médico y Euclides no es físico. Forma lógica: Einstein es físico y Einstein no es filósofo. r: Angélica ingresó a la universidad.Fórmula: p: Raúl viene. Forma lógica: Vilma no ingresó a la universidad y Silvia no ingresó a la universidad y Angélica no ingresó a la universidad. p ∧ ~q d) Euclides no es médico ni físico. q: iremos al teatro. q: Silvia ingresó a la universidad. Fórmula: p: Euclides es médico. sino físico. ~p ∧ ~ q ∧ ~r 9 3 . q: Einstein es filósofo. ni Angélica ingresaron a la universidad. q: Euclides es físico ~ p ∧ ~q o p↓q e) Ni Vilma. Fórmula: p: Einstein es físico. p→q c) Einstein no es filósofo. Fórmula: p: Vilma ingresó a la universidad. s: “Chemo” Del Solar es atleta. Forma lógica: Si Waldir Sáenz es futbolista y “Chemo” Del Solar es futbolista.f) Sin carbono. oxígeno. entonces Waldir Sáenz es atleta y “Chemo” Del Solar es atleta. t: hay vida. entonces no hay vida. Fórmula: p: César es profesor. 9 4 . ( p ∧ q ) → ( r ∧ s) h) César es profesor o es alumno. Fórmula: p: hay carbono. Forma lógica: César es profesor o César es alumno y es falso que César sea profesor y César sea alumno. Forma lógica: Si no hay carbono y no hay oxígeno y no hay nitrógeno y no hay hidrógeno. Fórmula: p: Waldir Sáenz es futbolista. q: hay oxígeno. nitrógeno e hidrógeno. s: hay nitrógeno. pero no puede ser ambas cosas a la vez. no hay vida. r: hay hidrógeno. (~ p ∧ ~ q ∧ ~ r ∧ ~ s) → ~ t g) Tanto Waldir Sáenz como “Chemo” Del Solar son atletas porque son futbolistas. q: César es alumno. q: “Chemo” Del Solar es futbolista. r: Waldir Sáenz es atleta. etc. ‘siempre que’. Forma lógica: Las Fuerzas Armadas participan en el desarrollo económico del país y las Fuerzas Armadas participan en el desarrollo social del país y las Fuerzas Policiales participan en el desarrollo económico del país y las Fuerzas Policiales participan en el desarrollo social del país y las Fuerzas Armadas no son deliberantes y las Fuerzas Policiales no son deliberantes. t: las Fuerzas Armadas son deliberantes. argumentación o argumento) es una operación lógica que consiste en derivar a partir de la verdad de ciertas proposiciones conocidas como premisas la verdad de otra proposición conocida como conclusión. ‘ya que’. Fórmula: p: las Fuerzas Armadas participan en el desarrollo económico del país. 9 5 . Preceden a las premisas. s: Las Fuerzas Policiales participan en el desarrollo social del país. pero no son deliberantes. q: las Fuerzas Armadas participan en el desarrollo social del país. en inferencias desordenadas. r: las Fuerzas Policiales participan en el desarrollo económico del país. w: las Fuerzas Policiales son deliberantes. ‘pues’. Las premisas de una inferencia son proposiciones que ofrecen las razones para aceptar la conclusión.(p ∨ q)∧ ~(p ∧ q) i) Las Fuerzas Armadas y las Fuerzas Policiales participan en el desarrollo económico y social del país. ’si’. deducción. las palabras ‘puesto que’. ‘porque’. ( p ∧ q ∧ r ∧ s) ∧ ( ~ t ∧ ~ w) Formalización de inferencias Una inferencia (razonamiento. puesto que todos los metales son cuerpos brillantes y ningún metaloide es cuerpo brillante (inferencias desordenada). ‘por tanto’. esta figura es un cuadrilátero o es un trilátero. es un trilátero. ’en consecuencia’. Ejemplos: a) Los postulados son proposiciones primitivas de la matemática. Conclusión: Por tanto. 2. Preceden a la conclusión las palabras ‘luego’. Premisas: 1. los postulados son proposiciones primitivas de la matemática o de la lógica. esta figura es un cuadrilátero o es un trilátero. la proposición inmediatamente anterior a las palabras que preceden a las premisas es la conclusión. 2. Conclusión: Luego. ningún metaloide es metal. c) Si esta figura tiene cuatro lados. es un cuadrilátero. Si esta figura tiene tres lados. 3. Por tanto. ‘por consiguiente’. Ningún metaloide es cuerpo brillante. Además. Esta figura tiene cuatro lados o tiene tres lados. Si esta figura tiene tres lados. Si esta figura tiene cuatro lados. en inferencias desordenadas. 9 6 .La conclusión de una inferencia es la proposición que se afirma sobre la base de las premisas. es un cuadrilátero. Luego. Conclusión: En consecuencia. Premisas: 1. los postulados son proposiciones primitivas de la matemática o de la lógica. es un trilátero. b) Ningún metaloide es metal. Todos los metales son cuerpos brillantes. Esta figura tiene cuatro lados o tiene tres lados. Premisa: Los postulados son proposiciones primitivas de la matemática. etc. pero sólo en el caso de que su forma lógica haya sido alterada en el lenguaje natural. los congresistas representan a la Nación.. en lugar de sus expresiones equivalentes. explicitar su estructura sintáctica a través del lenguaje formalizado de la lógica.. ‘si y sólo si’ y el adverbio ‘no’. Luego. Entre la última premisa y la conclusión se escribe una barra horizontal y la palabra ‘luego’. entonces’. ’si. antes de la conclusión. c) Se halla su fórmula lógica sustituyendo cada proposición atómica por una variable proposicional distinta. se disponen las premisas y la conclusión una debajo de la otra. Los signos de agrupación se usan para establecer la jerarquía entre los operadores de una fórmula. pero no están sujetos a mandato imperativo. observando el esquema: premisas-conclusión. las conjunciones gramaticales por sus operadores lógicos correspondientes.. de tal forma que la estructura lógica de cualquier inferencia quede representada esquemáticamente de la siguiente manera: [ ( Premisa ) ∧ ( Premisa ) ] → ( Conclusión ) antecedente consecuente Ejemplos de formalización de inferencias ordenadas a) Los congresistas representan a la Nación. el adverbio ‘no’ por el operador negativo y la palabra ‘luego’ por el símbolo ‘→’. d) Se construye una fórmula condicional que tenga como antecedente las premisas unidas por el operador conjuntivo y como consecuente la conclusión. ‘o’. pero sólo cuando su omisión la hace ambigua. vale decir. b) Se explicita su estructura lógica empleando las conjunciones ‘y’. Simultáneamente. o ‘por tanto’.Formalizar una inferencia significa abstraer su forma lógica. ‘en consecuencia’. 9 7 . La técnica de formalización de inferencias queda expuesta a través de los siguientes pasos: a) Se ordena la inferencia. Fórmula: p: los congresistas representan a la Nación. Felipe no ha sido expulsado del club Luego. En consecuencia. los congresistas representan a la Nación. r: Felipe será expulsado del club. q: Felipe comete actos de inmoralidad. p ∧ ~ q ∴ p ( p ∧ ~ q) → p b) Felipe no será expulsado del club a menos que él cometa actos de traición e inmoralidad. entonces será expulsado del club. ~ r ∴~ p ∧ ~ q {[( p ∧ q ) → r ] ∧ ~ r }→ (~ p ∧ ~ q) 9 8 .Forma lógica: 1. Luego. Si Felipe comete actos de traición y actos de inmoralidad. No ha sido expulsado. Felipe no ha cometido actos de traición y no ha cometido actos de inmoralidad. q: los congresistas están sujetos a mandato imperativo. Forma lógica: 1. Fórmula: p: Felipe comete actos de traición. 2. 1. no ha cometido actos de traición ni de inmoralidad. ( p ∧ q ) → r 2. 1. Los congresistas representan a la Nación y los congresistas no están sujetos a mandato imperativo. El niño es abandonado y el anciano es abandonado Luego. Pero se ingresó al domicilio y efectuó investigación. (p ∧ q ∧ r) → (s ∧ t ∧ w) 2. entonces son protegidos por el Estado.c) Si el niño. Forma lógica: 1. t: el adolescente es protegido por el estado. Forma lógica: 9 9 . p ∧ r ∴ s∧w {[( p ∧ q ∧ r) → (s ∧ t ∧ w)] ∧ (p ∧ r)}→ (s ∧ w) d) Sin mandato judicial ni autorización de la persona que lo habita. entonces el niño es protegido por el Estado y el adolescente es protegido por el Estado y el anciano es protegido por el Estado. el adolescente y el anciano son abandonados. Fórmula: p: el niño es abandonado. En consecuencia. w: el anciano es protegido por el estado. 2. Luego. Si el niño es abandonado y el adolescente es abandonado y el anciano es abandonado. hubo mandato judicial y autorización de la persona que lo habita. 1. r: el anciano es abandonado. tanto el niño como el anciano son protegidos por el Estado. no se puede ingresar en el domicilio. el niño es protegido por el Estado y el anciano es protegido por el Estado. también el anciano. tampoco efectuar investigación. s: el niño es protegido por el estado. q: el adolescente es abandonado. Pero el niño es abandonado. 1. Si no hay mandato judicial y no hay autorización de la persona que lo habita, entonces no se puede ingresar en el domicilio y no se puede efectuar investigación. 2. Se ingresó al domicilio y se efectuó investigación. Luego, hubo mandato judicial y hubo autorización de la persona que lo habita. Fórmula: p: hay mandato judicial. q: hay autorización de la persona que lo habita. r: se puede ingresar en el domicilio. s: se puede efectuar investigación. 1. ( ~ p ∧ ~ q ) → ( ~ r ∧ ~ s ) 2. r ∧ s ∴p ∧ q {[( ~ p ∧ ~ q ) → ( ~ r ∧ ~ s ) ] ∧ (r ∧ s)}→ (p ∧ q) e) Un número es divisible por 2 si la última cifra de dicho número es múltiplo de 2. Un número es divisible por 3 si la suma de las cifras de dicho número es múltiplo de 3. Pero dicho número no es divisible por 2 o no lo es por 3. Por tanto, la suma de las cifras de un número no es un múltiplo de 3 si la última cifra de un número es múltiplo de 2. Forma lógica: 1. Si la última cifra de un número es múltiplo de 2, entonces ese número es divisible por 2. 2. Si la suma de las cifras de un número es múltiplo de 3, entonces ese número es divisible por 3. 3. Un número no es divisible por 2 o un número no es divisible por 3. Luego, si la última cifra de un número es múltiplo de 2, entonces la suma de las cifras de un número no es múltiplo de 3. 100 Fórmula: p: la última cifra de un número es múltiplo de 2. q: un número es divisible por 2. r: la suma de las cifras de un número es múltiplo de 3. s: un número es divisible por 3. 1. p → q 2. r → s 3. ~ q ∨ ~ s ∴ p → ~r {[( p → q ) ∧ (r → s )] ∧ (~ q ∨ ~ s )}→ (p → ~ r ) Ejemplos de formalización de inferencias desordenadas La forma lógica de la inferencia es premisas-conclusión; sin embargo, en el lenguaje coloquial es frecuente observar que dicha forma lógica se presente alterada y en orden inverso, es decir, conclusiónpremisas. En este caso, antes de proceder a su formalización, es preciso restablecer su forma lógica, o sea, se debe ordenar la inferencia. Ejemplo: “Raúl viajará a Londres, puesto que obtuvo la beca y habla correctamente el inglés”. En este ejemplo, la conclusión “Raúl viajará a Londres” se encuentra en primer término. Si restituimos a esta inferencia su forma lógica, se enunciará de la siguiente manera: “Si Raúl obtuvo la beca y habla correctamente el inglés, entonces viajará a Londres”. Para identificar las premisas y la conclusión de una inferencia conviene tener en cuenta estas sencillas indicaciones: 101 • Preceden a las premisas las partículas: “ya que”, “puesto que”, “pues”, “porque”, “siempre que”, etc. • Preceden a la conclusión las partículas: “por tanto”, “por consiguiente”, “en consecuencia”, “en conclusión”, “de manera que”, etc. • Regla práctica: la expresión inmediatamente anterior a las partículas que preceden a las premisas, es la conclusión. Ejemplo 1 Inferencia : Si César es guitarrista, entonces es músico. César no es guitarrista puesto que no es músico. Forma lógica: Fórmula: 1. Si César es guitarrista, entonces es músico. 2. César no es músico. Luego, César no es guitarrista. p→q ~q ∴~ p [(p→q) ∧ ~ q] → ~ p Ejemplo 2 Inferencia: Habrá un número elevado de víctimas si estalla la fábrica de explosivos, ya que si estalla la fábrica de explosivos, se derrumbarán los edificios de la población más cercanas, y habrá un número elevado de víctimas si se derrumban los edificios de la población más cercanas. Forma lógica: 1. Si estalla la fábrica de explosivos, entonces se derrumbarán los edificios de la población más cercana. 2. Y si se derrumban los edificios de la población más cercana, entonces habrá un número elevado de víctimas. Luego, si estalla la fábrica de explosivos, entonces habrá un número elevado de víctimas. 102 Fórmula: p→q q→r ∴p → r [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) Ejemplo 3 Inferencia: Si el embajador ha viajado, ha debido ir a Buenos Aires o a Brasilia. Debo concluir que ha ido a Brasilia, pues ha viajado y no ha ido a Buenos Aires. Forma lógica: 1. Si el embajador peruano ha viajado, entonces ha debido ir a Buenos Aires o a Brasilia. 2. El embajador peruano ha viajado y no ha ido a Buenos Aires. Por lo tanto, el embajador peruano ha ido a Brasilia. Fórmula: p→ (q ∨ r) p∧ ~q ∴r {[p→ (q ∨ r)] ∧ (p ∧ ~ q)}→ r 103 Cuestionario N.º 6 1. Señale la diferencia existe entre lenguaje natural y lenguaje formalizado 2. ¿Por qué el lenguaje de la lógica se llama formalizado? 3. ¿De qué tipos de símbolos consta el lenguaje formalizado de la lógica? 4. ¿Qué diferencia existe entre variable proposicional y operador lógico? 5. ¿Cuáles son las principales notaciones simbólicas de la lógica? 6. ¿Cuáles son las características de las notaciones simbólicas de Scholz, Peano-Russell y Lukasiewicz, respectivamente? 7. ¿Qué es una fórmula bien formada (fbf)? 8. ¿Qué una fórmula mal formada (fmf)? 9. ¿Qué es la sintaxis lógica? 10. ¿Qué reglas deben tomarse en cuenta al momento de construir una fórmula bien formada (fbf) 11. ¿Qué significa formalizar una proposición? 12. ¿Qué se entiende por forma lógica y qué por fórmula lógica? 13. ¿Cuáles son los pasos que comprende la técnica de formalización de proposiciones? 14. ¿Qué es una inferencia? 15. ¿De qué elementos consta una inferencia? 16. ¿Qué diferencia existe entre premisa y conclusión? 17. ¿Qué diferencia existe inferencia deductiva e inferencia inductiva? 18. ¿Cuándo se dice que una inferencia es válida y cuándo no válida? 19. ¿Qué significa formalizar una inferencia? 20. ¿Cuáles son los pasos necesarios a seguir en la formalización de una inferencia? 104 Ejercicio N.º 7 Reglas de formación de fórmulas lógicas 1. Escriba la palabra ‘sí’ cuando la fórmula esté bien formada y ‘no’, en caso contrario. En el primer caso diga, además, cómo se llama, estableciendo previamente la jerarquía entre sus operadores mediante números y, en el segundo caso, enuncie las reglas de la sintaxis lógica que viola: a) ~ p → ~ q b) ( p ∧ q) ∧ ~ ( r ∧ s ) c) ~ ( p ∧ q ) ∧ ~ ( r ∧ s ) d) ( p ∧ q ) ~ ( r → s ) e) ~ p → ~ q ~r f) ( p ∧ q ∧ r ) ~ g).~ [ p → ( ~ q v ~ r ) ] h) ( p ∧ q ) → ( r ∧ s ) ( t ∧ w) i) ~ ~ [ ( ~ p ∧ ~ q ) → ~ ( t ∧ ~ w ) ] j) { [ ( p → q ) ∧ ( r → s ) ] ∧ (p ∧ r ) } → ( q k) ~ ( p ↓ q ) | ~ ( r ↓ s ) l) ~ [ p → (~ q ↓ ~ r ) ] m) p ↓ ~ ( q ~ r ) n) ~ p | [ q → ~ ( r ∧ s ∧ t ) ] ñ) ~ p ↓ ~ [ q ↓ ~ ( r | s ) ] o) ~ [ p ∧ ( q ↓ r ) ] | ~ ( r ~ s ) p) ~ p → ~ [ ( q ∧ r ) ~ (s ↓ t ) ] q) ( p → q ) ~ [ r ↓ ~ ( s | t ) ] r) [ ( p ∧ q ) ↓ ( r ∧ s ) ] | [ t → ( q ∧ r ) ] s) ~ p ↓ [~ ( q | r ) ↓ ~ ( ~ s | ~ t ) ] ∧ ~ t s) 105 Ejercicio N.º 8 Formalización de proposiciones 1. Formalice las siguientes proposiciones: en cada caso halle su forma lógica y escriba la fórmula correspondiente. a) Si eres talibán, entonces eres fundamentalista. b) No como ni duermo. c) La universidad está sin rector. d) En los países democráticos no hay delito de opinión, tampoco prisión por deudas. e) Ni Juan ni Pedro ni Felipe te darán la razón. f) A nadie quiso escribir, ni a sus más íntimos amigos. g) Tanto Carlos como Federico son ateos porque son materialistas. h) Si hay ley, razón y justicia en el mundo, no sucederá lo que temes. i) Aunque esté enfermo, no faltaré a la cita. j) No lo hizo Antonio, sino David. k) Las declaraciones obtenidas por la violencia carecen de valor. l) El dinero hace ricos a los hombres, pero no dichosos. m) No pudo asistir porque estuvo ausente. n) Los actos del Presidente de la República son nulos siempre que no tengan refrendación ministerial. o) De saberlo antes, habría venido. p) Cuando tú lo dices, verdad será. q) Sin su libre consentimiento, sin la debida retribución, no se le puede obligar a prestar trabajo. r) Se te enviará el diploma, bien por el correo de hoy, bien por el de mañana. s) Sufre la pena, pues cometiste la culpa. t) Los yacimientos y restos arqueológicos son patrimonio cultural de la Nación, están bajo el amparo del Estado y la ley regula su conservación. 106 Ejercicio N.º 9 Formalización de inferencias 1. Formalice las siguientes inferencias: en cada caso halle su fórmula lógica y escriba la fórmula correspondiente. a) Osama bin Laden es un fundamentalista religioso y Hitler es un fundamentalista político. Luego, Hitler es un fundamentalista político. b) Esta figura no es un cuadrilátero, puesto que es un triángulo. Es un triángulo. En consecuencia, no es un cuadrilátero. c) Si la suma de dos números naturales es conmutativa, entonces si cambiamos el orden de los sumandos, se obtiene la misma suma. La suma de dos números naturales es conmutativa. Por tanto, se obtiene la misma suma si cambiamos el orden de los sumandos. d) Un cuerpo está en estado neutro y no presenta ningún fenómeno eléctrico en su conjunto siempre que su carga eléctrica positiva esté en estado igual a la negativa. Pero es falso que el cuerpo esté en estado neutro y no presente ningún fenómeno eléctrico en su conjunto. En consecuencia, la carga eléctrica positiva de un cuerpo está en estado igual a la negativa. e) Se llama falacia o sofisma si una inferencia inválida tiene la apariencia de ser válida. Se llama falacia o sofisma. Luego, la inferencia inválida tiene la apariencia de ser válida. f) Este triángulo no se llama equilátero a menos que tenga tres lados iguales. Si se llama equilátero, no se llama isósceles. En consecuencia, si tiene tres lados iguales, no se llama isósceles. g) Sin variables ni operadores, no hay lenguaje lógico posible. No hay variables ni operadores. Por tanto, no hay lenguaje lógico posible. h) Tanto Roberto como Ernesto son creyentes, porque ambos son católicos. Roberto y Ernesto son católicos. Luego, son creyentes. i) La ‘p’ es una variable proposicional o es un operador lógico, pero no puede ser ambas cosas a la vez. En consecuencia, es falso que la ‘p’ sea un operador lógico. 107 Si eres profesor ordinario. n) Si tu profesor recomienda la duda. investigadores y visitantes. m) Los profesores ordinarios son principales. los profesores universitarios son ordinarios. p) Los profesores universitarios son ordinarios. r) Si el Presidente de la República decreta el estado de emergencia. asociados y auxiliares. tienes derecho a la promoción en la carrera docente y a la participación en el gobierno de la universidad. se suspenden las garantías constitucionales y no se impone la pena de destierro. no se impone la 108 . En consecuencia. extraordinarios y contratados. hay estado de sitio. Luego. En consecuencia. eres profesor principal u ordinario si eres maestro o doctor. es idealista o metafísico. si hay vida.j) Un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par. k) Si hay guerra civil. o) Si eres profesor principal. Si es escéptico o nihilista. Por tanto. o es un escéptico o es un nihilista. Por tanto. extraordinarios y contratados. honorarios. no hay vida. o los jefes de práctica y ayudantes de cátedra realizan una actividad preliminar en la carrera docente. no hay estado de emergencia si hay guerra civil. eres maestro o doctor. Los profesores extraordinarios son eméritos. hay carbono o hay oxígeno o hay nitrógeno o hay hidrógeno. q) Sin carbono. es falso que haya decano o haya consejo de facultad. Pero es falso que haya gobierno de la facultad o haya democracia. los profesores ordinarios son principales. l) Sin decano ni consejo de facultad no hay gobierno de la facultad ni democracia. En consecuencia. Hay estado de emergencia si se altera el orden interno de la Nación. Por tanto. las Fuerzas Armadas asumen el control del orden interno de la Nación. nitrógeno e hidrógeno. Luego. tu profesor recomienda la duda si es idealista o metafísico. Un número es divisible por 5 si termina en cero o en 5. un número es divisible por 2 si no termina en 5. oxígeno. Si las Fuerzas Armadas asumen el control del orden interno de la Nación. asociados y auxiliares. Luego. 109 . w) No es cierto que Pizarro conquistó el Perú y no fue español. o se dedica al deporte o estudia música. su opuesto es un número entero y no un número natural. s) Si un número natural es primo. pero es cierto que no se produjo una huelga. ya que si el ómnibus no sale hoy a Ayacucho. Luego. y tu vendiste tu casa. entonces o cayó algún huayco o se produjo una huelga. pues es cierto que no vendes tu casa si ingresas a la universidad y consigues un empleo. dado que Pizarro conquistó el Perú si y sólo si no fue marino. dos es un número natural o entero. x) Si el ómnibus sale hoy para Ayacucho. Por tanto. t) Si dos es un número natural. entonces no cayó ningún huayco. Deduzco que sufrirá una censura.pena de destierro si el Presidente de la República decreta el estado de emergencia. v) Si el candidato es fundamentalista. no tendrá éxito. si recordamos que o bien tiene éxito o bien sufre una censura. pero fue español. Es falso que el opuesto de dos sea un número entero y no sea un número natural. es mayor que uno. y Osama no se dedica al deporte. y) O no ingresaste a la universidad o no conseguiste el empleo. es divisible por sí mismo si es mayor que uno. y el candidato es fundamentalista. Es divisible por sí mismo si es primo. Debo concluir que Osama podrá obtener un puesto en la orquesta Sinfónica ya que. u) Si Osama estudia música podrá obtener un puesto en la Orquesta Sinfónica. el hecho de que el valor de verdad de ‘c)’ esté determinado por el de ‘a)’ y ‘b)’. Enlazando ‘a)’ y ‘b)’ mediante la conjunción ‘y’ obtenemos una nueva: c) La lógica es una ciencia formal y la física es una ciencia factual. por ejemplo. usado por el filósofo y lógico austriaco L. Fórmula de ‘c)’: p ∧ q Para explicitar la definición del operador conjuntivo vamos a recurrir al método de la tabla de verdad. En los demás casos la fórmula ‘p ∧ q’ es falsa. Tomemos. Y ‘c)’ es verdadera porque ‘a)’ es verdadera y ‘b)’ también es verdadera. las dos proposiciones atómicas siguientes: a) La lógica es una ciencia formal. b) La física es una ciencia factual. Esta nueva proposición se denomina proposición molecular conjuntiva.FUNCIONES VERITATIVAS Y TABLAS DE LA VERDAD Definición tabular de los operadores lógicos De la conjunción Una fórmula conjuntiva ‘p ∧ q’ es verdadera si y sólo si ‘p’ es verdadera y ‘q’ también es verdadera. Wittgenstein en su obra más importante el Tractatus Logico-Philosophicus. Este método ha de permitir mostrar en orden todas las combinaciones posibles de los valores de las 110 . Justamente. hace que ‘c)’ sea una función de verdad de ‘a)’ y ‘b)’. empleando para el valor verdadero la abreviatura V y para el valor falso la abreviatura F. La parte de la izquierda se llama margen (M) y la parte de la derecha se denomina cuerpo (C): MS CS Margen (M) Cuerpo (C ) MI MS: MI : CI Margen Superior Margen Inferior CS : CI : Cuerpo Superior Cuerpo Inferior Paso 2.variables ‘p’ y ‘q’ y luego establecer la verdad de la fórmula conjuntiva ‘p ∧ q’. Paso 4. Se calcula el número de arreglos posibles de los valores de las variables aplicando la fórmula 2n. Se dibuja una cruz con el brazo derecho más largo que el izquierdo. En donde ‘n’ es una variable numérica cuyo valor depende del número de variables proposicionales que tenga la fórmula que se ha de tabular y ‘2’ 111 . El proceso de construcción de la Tabla de Verdad de una fórmula conjuntiva se realiza observando fielmente los siguientes pasos: Paso 1. Se escribe en la parte inferior del margen (MI). todas las combinaciones o arreglos posibles de los valores de las variables. Se escribe en la parte superior del margen (MS) las variables ‘p’ y ‘q’ y en la parte superior del cuerpo (CS) la fórmula conjuntiva ‘p ∧ q’ que se ha de tabular: Variables p q p∧ q Fórmula conjuntiva Paso 3. y en columna. el número de arreglos será: Si n = 2. Se escribe en la primera columna de valores la mitad de valores verdaderos y la mitad de valores falsos. En la segunda columna. hasta completar los cuatro arreglos: p Arreglo 1 Arreglo 2 Arreglo 3 Arreglo 4 p∧ q q V V V F F V F F Columna de valores Paso 6. también la mitad de valores verdaderos y la mitad de valores falsos. Se escribe. La nueva columna de valores obtenida se llama matriz de la conjunción.una constante que hace referencia a los dos valores V y F que puede asumir cualquier proposición atómica. en la parte inferior del cuerpo (CI) y debajo del operador conjuntivo. En este caso específico el número de variables es 2. cuya tabla es la siguiente: p q V V F F V F V F p ∧ q V F F F Matriz de la conjunción 112 . Luego. entonces 2 2 = 4 Paso 5. los valores que asume la fórmula conjuntiva. pero en relación con los valores verdaderos y falsos de la primera columna. Ejemplo: a) Eduardo es profesor. Y es falsa cuando ambas son falsas. aplicando la definición del operador disyuntivo inclusivo. Y ‘c)’ es verdadera siempre que una de las proposiciones componentes o bien ambas sean verdaderas.De la disyunción inclusiva Una fórmula disyuntiva inclusiva ‘p ∨ q’ es falsa si y sólo si ‘p’ es falsa y ‘q’ también es falsa. hasta el paso 5. Luego. Fórmula de ‘c)’: p ∨ q Para construir la tabla de verdad de la disyunción inclusiva es necesario proceder exactamente de la misma manera como procedimos en el caso de la conjunción. en armonía con lo estipulado en el paso 6. Esta nueva proposición se llama proposición molecular disyuntiva inclusiva. b) Eduardo es alumno. Enlazando ‘a)’ y ‘b)’ mediante la conjunción disyuntiva ‘o’ obtenemos una nueva: c) Eduardo es profesor o Eduardo es alumno. obtenemos la matriz de la disyunción inclusiva: p q p∨ q V V F F V F V F V V V F Matriz de la disyunción inclusiva o débil 113 . En los demás casos la fórmula ‘p ∨ q’ es verdadera. Y ‘c)’ es verdadera siempre que ambas proposiciones componentes no sean verdaderas o falsas al mismo tiempo. Ejemplo: a) Jorge está vivo. Fórmula de ‘c)’: p q Aplicando la definición del operador disyuntivo exclusivo. En los demás casos es falsa. Esta nueva proposición se llama proposición disyuntiva ex clusiva.De la disyunción exclusiva Una fórmula disyuntiva exclusiva ‘p q’ es verdadera si y sólo si las variables ‘p’ y ‘q’ no tienen el mismo valor. en consonancia con lo establecido en el paso 6 obtenemos la matriz de la disyunción exclusiva: p q V V F F V F V F p q F V V F Matriz de la disyunción exclusiva o fuerte 114 . no pueden ser ambas verdaderas. Enlazando ‘a)’ y ‘b)’ mediante la conjunción disyuntiva 'o' obtenemos una nueva: c) Jorge está vivo o Jorge está muerto. es decir. b) Jorge está muerto. La verdad de una de las proposiciones componentes excluye la verdad de la otra. En efecto. es decir. En los demás casos es verdadera. Enlazando ‘a)’ y ‘b)’ mediante la conjunción condicional compuesta 'si. excepto cuando la proposición que desempeña el papel de antecedente es verdadera y la proposición que hace las veces de consecuente es falsa: No es posible que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. entonces la Óptica es la parte de la Física que estudia la luz.. 115 . Ejemplo: a) El polinomio tiene tres términos. lo que dice el antecedente es diferente a lo que dice el consecuente. entonces' obtenemos una nueva: c) Si el polinomio tiene tres términos.Del condicional Una fórmula condicional ‘p → q’ es falsa si su antecedente ‘p’ es verdadero y su consecuente ‘q’ es falso. hay ejemplos de proposiciones condicionales verdaderas en que entre el antecedente y el consecuente no existe ninguna relación de atingencia. no obstante que entre el antecedente y el consecuente no existe ninguna relación de atingencia. Esta nueva proposición se llama proposición condicional. Y ‘c)’ es verdadera en cualquier caso. La verdad de una proposición condicional no depende de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y del consecuente.. b) El polinomio se llama trinomio.. sería el siguiente: d) Si Galileo descubrió que los cuerpos caen con aceleración constante. entonces se llama trinomio. Ejemplo de una proposición condicional verdadera. Ejemplo: a) Enrique ingresará a la universidad. En los demás casos es falsa. en correspondencia con lo estipulado en el paso 6 obtenemos la matriz del condicional: p q V V F F V F V F p → q V F V V Matriz del condicional Del bicondicional Una fórmula bicondicional ‘p q’ es verdadera si y sólo si las variables ‘p’ y ‘q’ tienen el mismo valor. Esta nueva proposición se llama proposición bicondicional. Y se llama así porque establece dos condicionales. es decir. b) Enrique aprueba el examen de admisión.Fórmula de ‘c)’: p → q Aplicando la definición del operador condicional. está constituida por dos proposiciones condicionales de sentido inverso: 116 . Enlazando ‘a)’ y ‘b)‘ mediante la conjunción bicondicional compuesta ‘si y sólo si’ obtenemos una nueva: c) Enrique ingresará a la universidad si y sólo si aprueba el examen de admisión. Justamente debido a que el operador negativo tiene como función transformar el valor verdadero en falso y viceversa se llama operador inversor. Ejemplo: a) El ciclotrón sirve para acelerar electrones. en armonía con lo establecido en el Paso 6 obtenemos la matriz del bicondicional: p q V V F F V F V F p q V F F V Matriz del bicondicional De la negación Una fórmula negativa ‘~ p’ es verdadera si y sólo si la variable ‘p’ es falsa y ‘~ p‘ es falsa si y sólo si ‘p’ es verdadera. entonces ingresó a la universidad’. Igualmente. Lo que significa que la verdad o falsedad de una proposición exige necesariamente la verdad o la falsedad de la otra: Fórmula de ‘c)’: p q Aplicando la definición del operador bicondicional. La proposición bicondicional establece que si el antecedente es verdadero entonces el consecuente tiene que ser verdadero.d) ‘Si Enrique ingresó a la universidad. si el consecuente es verdadero. entonces aprobó el examen de admisión’ y ‘si Enrique aprobó el examen de admisión. entonces el antecedente tiene que ser verdadero. 117 . Fórmula de ‘b)’: ~ p Aplicando la definición del operador negativo.. Esta nueva proposición se llama proposición negativa.Introduciendo el adverbio negativo ‘no’ en ‘f1)’ obtenemos una nueva: b) El ciclotrón no sirve para acelerar electrones. en correspondencia con lo prescrito en los pasos 4. ni’ obtenemos una nueva: c) Ni Arequipa es un puerto ni Puno es un desierto. 118 . Ejemplo: a) Arequipa es un puerto b) Puno es un desierto Enlazando ‘a)’ y ‘b)’ mediante la partícula ‘ni. obtenemos la matriz de la negación: P ~ P V F F V Matriz de la negación De la negación conjunta Una fórmula negativa conjunta ‘p ↓ q’ es verdadera si y sólo si ‘p’ es falsa y ‘q’ también es falsa. 5 y 6.. En todos los demás casos es falsa. y es falsa en los demás casos. b) Gabriel García Márquez es peruano Enlazando ‘a)’ y ‘b)’ mediante la expresión ‘no o no’ obtenemos una nueva: c) Mario Vargas Llosa no es argentino o Gabriel García Márquez no es peruano. 119 . Y ‘c)’ es verdadera siempre que sus dos componentes sean falsas.Esta nueva proposición se llama proposición negativa conjunta. En todos los demás casos es verdadera. Ejemplo: a) Mario Vargas Llosa es argentino. Fórmula de ‘c)’: p ↓ q Aplicando la definición del operador de la negación conjunta y en consonancia con lo establecido en el paso 6 obtenemos la matriz de la negación conjunta: p q p ↓ q VV VF FV FF F F F V Matriz de la negación conjunta De la negación alterna Una fórmula negativa alterna ‘p | q’ es falsa si y sólo si ‘p’ es verdadera y ‘q’ también es verdadera. fórmulas que contienen dos o más operadores distintos o dos o más veces el mismo operador.Esta nueva proposición se llama proposición negativa alterna. en los demás casos es verdadera. Dada la fórmula molecular compleja se establece la jerarquía entre sus operadores a través de los signos de agrupación: ~[(p ∨ q)∧ ( ~ q →~p)] 120 . Y ‘c)’ es falsa siempre que sus dos componentes sean verdaderos. es decir. Para definir tabularmente fórmulas moleculares complejas se deben observar los siguientes pasos: Paso 1. Definición tabular de fórmulas moleculares complejas Las fórmulas moleculares definidas anteriormente a través de la tabla de la verdad son elementales en la medida en que contienen un solo operador y dos variables. Fórmula de ‘c)’: p | q Aplicando la definición del operador de la negación alterna y en consonancia con lo establecido en el paso 6 obtenemos la matriz de la negación alterna: p q p | q VV VF FV FF F V V V Matriz de la negación alterna. En adelante trabajaremos con fórmulas moleculares complejas. La matriz 3 del lado izquierdo se ha obtenido aplicando la definición del operador disyuntivo inclusivo a los valores de ‘p’ y ‘q’. 121 . la matriz principal que corresponde a la del operador de mayor jerarquía aplicando la definición correspondiente a las matrices de los operadores que la siguen en jerarquía: p q V V V F F V F F 3 2 4 3 4 ~ [(p∨ q)∧ (~ q →~ p)] F V F V VVV VV F F VV F F F V F V F FV VF FV VF V FV F FV VVF VVF La matriz principal. como podrá observarse. La matriz 2 se obtuvo aplicando la definición del operador conjuntivo a los valores de las matrices 3. La matriz 4 del lado izquierdo se ha obtenido aplicando la definición del operador negativo a los valores de ‘q’ y la matriz 4 del lado derecho. La matriz 3 del lado derecho se ha obtenido aplicando la definición del operador condicional a los valores de las matrices 4. Se construye.Paso 2. Se construye las matrices secundarias que corresponden a las de los operadores de menor jerarquía aplicando sus respectivas definiciones: p ~[(p∨ q)∧ (~q→~ p)] q V V V F F V F F VVV VVF F VV F F F V F V F FVV FV VF F FV FVVVF VFVVF Paso 3. aplicando la definición del operador negativo a los valores de ‘p’. se ha obtenido aplicando la definición del operador negativo a los valores de la matriz 2. finalmente. consistentes y contradictorias. atendiendo a su matriz principal.Otro ejemplo: Definir tabularm ente la fórm u la:[(p→ q) ∧ (q → r)] → (p → r) p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F [(p→ q)∧ (q→ r)]→ (p→ r) V V F F V V V V V F F F V F V V V F V V V F V V V V V V V V V V V F V F V V V V Clasificación de las fórmulas moleculares por su matriz principal Las tablas de verdad nos permiten clasificar a las fórmulas moleculares. Ejemplo: p q V V V F F V F F [(p → q) ∧ ~q] → ~ p V F V V F F F V F V F V V V V V F F V V FMT 122 . llamadas también leyes lógicas. en tautológicas. Las fórmulas moleculares tautológicas (FMT). son aquellas en que los valores de su matriz principal son todos verdaderos. denominadas también fórmulas inconsistentes. Ejemplo: p q V V V F F V F F [ ~ ( p ∨ q ) ∧ ~ p] F F F V V V V F F F F F F V V V (q → p) V V F F V V F V FMC Fórmulas moleculares contradictorias (FM⊥ ). Ejemplos: p q ~ V V V F F V F F F F F F [(p∧ q)→ ~ (~q ∨ ~ p)] V F F F V V F V F V V F F V F V F F V F V V V V FM⊥ Implicación y equivalencia de fórmulas Implicación de fórmulas Una fórmula ‘A’ implica a ‘B’ si y sólo si unidas en forma condicional. son aquellas en que algunos de los valores de su matriz principal son verdaderos y algunos son falsos. ‘A’ como antecedente y ‘B’ como consecuente. su matriz 123 . son aquellas en que los valores de su matriz principal son todos falsos.Fórmulas moleculares consistentes (FMC). Notación: A → B: se lee ‘A’ implica a ‘B’ A B: se lee ‘A’ no implica a ‘B’ Ejemplos: Si las matrices de las siguientes fórmulas son: A: VVFF B. si: 1) “La conjunción de las negaciones de A y C implica a la negación de la negación conjunta de B y D”. se dice que ‘A’ no implica a ‘B’. ( ~A F F V V ∧ F F F F ~ C) → ~ (B ↓ D) V V V V FF V V V VFF F V V VFF F V V V FV FMT Respuesta: α → β 124 . b) Se evalúa la fórmula mediante la tabla de verdad. mediante la tabla de verdad.resulta tautológica. c) Si su matriz es tautológica se dice que ‘A’ implica a ‘B’. si su matriz es consistente o contradictoria. Procedimiento: a) Se expresa simbólicamente el enunciado. VVVF C: FFVV D: FFFV Determine. si es consistente o contradictoria. se dice que ‘A’ no implica a ‘B’. se dice que ‘A’ y ‘B’ no son equivalentes. Notación: A A B: se lee ‘A’ es equivalente a ‘B’ B: se lee ‘A’ no es equivalente a ‘B’ Ejemplos: a) “La negación de la negación alterna de las negaciones de A y D es equivalente al condicional de B y la negación de C” ~( F F V F ~ A F F V V | V V F V ~ D) V V V F Respuesta: α (B V V V F → V V F V ~ C) V V F F β 125 . si sus matrices son diferentes.2) “El bicondicional de la negación de A y la disyunción débil de C y D implica a la negación de la disyunción débil de B y la negación de A” [ ~ A (C ∨ D)] F V F F F F V F F F V V V V F V V V V V → F F F F ~ F F F F (B ∨ ~ A) VVF VVF VVV FVV FMI Respuesta: α β Equivalencia de fórmulas Dos fórmulas ‘A’ y ‘B’ son equivalentes si y sólo si sus matrices son iguales. b) “La negación de la conjunción de las negaciones de C y D es equivalente a la negación conjunta del condicional de A y B y la disyunción débil de C y B” ~ ( ~ C ∧ ~ D) F V V V F V V V V F F V V F F F [( A V V F F Respuesta: α → V V V V B) ↓ (C ∨ B)] V F F F F V F F F F V F V V F F F V V V β Cuestionario N. ¿cuándo es verdadera y cuándo es falsa? 8. ¿Cuándo una fórmula ‘A’ implica a una fórmula ‘B’. Una fórmula condicional. y cuándo no? 15. ¿Cuándo es verdadera una fórmula disyuntiva exclusiva? 5. ¿En qué caso una fórmula bicondicional es verdadera? 7. ¿Qué pasos son necesarios seguir a fin de definir tabularmente fórmulas moleculares complejas? 12. ¿A qué se denominan fórmulas moleculares complejas? 11. ¿Cuándo una fórmula conjuntiva es verdadera? 3. ¿Cuándo es falsa una fórmula negativa alterna? 10. ¿Qué característica presenta la matriz principal de cada una de las fórmulas moleculares posibles? 14. y cuándo no? 126 . ¿cuándo es falsa? 6. ¿Cómo se calcula el número de arreglos posibles de los valores veritativos de las variables? 2. Una fórmula negativa. ¿En qué caso es falsa una fórmula disyuntiva inclusiva? 4. ¿Cuándo es verdadera una fórmula negativa conjunta? 9. ¿Cuándo una fórmula ‘A’ es equivalente a una fórmula ‘B’. ¿Cómo se clasifican las fórmulas moleculares atendiendo a su matriz principal? 13.º 7 1. c) La conjunción de las negaciones de A y B implica a la negación del bicondicional de C y D. Mediante la tabla de la verdad determine si las siguientes fórmulas son tautológicas. Implicación de fórmulas: Si A: FVFF B: FVVF C: VVVF D: FFFV Determine mediante la tabla de verdad si: a) La negación del bicondicional de A y B implica a la negación alterna de C y D. b) La negación de la disyunción débil de C y D implica a la negación conjunta de A y B.~ [ p → ~( q ∧ ~ p)] ↓ [ ~ (p ∨ q) → ~p] i) [ ( ~ p → ~ q) ∧ ( ~ q → ~ r)] → ( ~ p → ~ r) j) ~{[(p → q) ∧ ( q → r)] → (~ r → ~ p)} 2. 127 .º 10 Fórmulas moleculares y tablas de verdad 1. consistentes o contradictorias: a) ~ (p ↓ ~ p) b) (~ p → p) ↓ p c) ~ [ p → ( ~ p ∧ p)] d) ~ ( ~ p p) → ~ ( ~ p ∨ p) e) (p ∧ p) [ p ∨ ( ~ q q)] f) ~ (p → q) ∨ ~ ( ~q → ~ p) g) ~ [(p q) ~ ( ~ q ∧ q)] h). d) La disyunción fuerte de A y C implica a la negación de la negación alterna de las negaciones de B y D.Ejercicio N. e) La negación conjunta de C y la disyunción débil de A y D implica a la negación del condicional de A y B. 128 . i) La negación de la conjunción de A y el bicondicional de C y D implica a la disyunción fuerte de la negación de B y el condicional de A y D.f) El bicondicional de las negaciones de B y D implica a la negación alterna de la negación de A y la conjunción de las negaciones de C y B. e) La negación alterna de la negación de C y la disyunción débil de A y D es equivalente a la negación del condicional de las negaciones de A y B. d) La conjunción de las negaciones de A y C es equivalente a la negación de la negación alterna de las negaciones de B y D. b) La negación de la disyunción fuerte de las negaciones de C y D es equivalente a la negación conjunta de las negaciones de A y B. j) La negación del bicondicional de la conjunción de A y B y el condicional de las negaciones de C y D implica a la negación de la negación alterna de A y la disyunción débil de las negaciones de A y D. g) La conjunción de la disyunción débil de A y C y la disyunción fuerte de B y D implica a la negación alterna de A y D. c) La disyunción débil de las negaciones de A y B es equivalente a la negación del bicondicional de las negaciones de C y D. 3. Equivalencia de fórmulas: Si A: VVFV B: VVVF C: VVFF D: FFFV Determine mediante la tabla de verdad si: a) La negación del bicondicional de las negaciones de A y B es equivalente a la negación alterna de C y D. h) La negación conjunta de A y D implica al bicondicional de la conjunción de C y B y la negación alterna de A y la negación de D. el método de la deducción natural y el analógico son ejemplos de métodos sintácticos. 129 . es decir. El método de la tabla de verdad y el método abreviado son ejemplos de métodos semánticos. i) La negación del condicional de A y el bicondicional de C y D es equivalente a la disyunción débil de la negación de B y la conjunción de las negaciones de A y D. Los métodos sintácticos consisten en transformaciones puramente lógicas a partir de ciertas reglas de inferencia. j) La negación del bicondicional de la conjunción de A y B y el condicional de las negaciones de C y D es equivalente a la negación de la negación alterna de A y la disyunción débil de las negaciones de A y D. En lo que sigue procederemos al análisis de inferencias. La lógica es una ciencia formal que estudia la validez de las inferencias. ANÁLISIS DE INFERENCIAS La lógica es fundamentalmente una teoría de la inferencia. Para decidir su validez la lógica cuenta con procedimientos de varios tipos. h) La negación alterna de las negaciones de A y D es equivalente al bicondicional de la conjunción de las negaciones de C y B y la negación conjunta de las negaciones de A y D. g) La conjunción de la disyunción débil de las negaciones de A y C y la disyunción fuerte de B y D es equivalente a la negación alterna de las negaciones de A y D. es análisis formal de inferencias. determinaremos su corrección o incorrección a través de los métodos tanto semánticos como sintácticos.f) El condicional de las negaciones de B y D es equivalente a la negación alterna de la negación de A y la negación conjunta de las negaciones de C y B. La forma normal conjuntiva. Los métodos semánticos vinculan la noción de ‘validez’ con la de ‘verdad’. Estos procedimientos o métodos pueden agruparse en dos clases: métodos sintácticos y métodos semánticos. Se explicita su forma lógica. si la fórmula es consistente o contradictoria. entonces la inferencia es válida. Si el triángulo tiene dos lados iguales. Si efectuada la evaluación la fórmula condicional es tautológica. En consecuencia. El triángulo no se llama isósceles. una inferencia es válida. Paso 2. si y sólo si al ser formalizada y evaluada su fórmula condicional es una tautología. no tiene dos lados iguales. Se construye una fórmula condicional que tenga como antecedente a las premisas unidas por el operador conjuntivo y como consecuente a la conclusión. el triángulo no tiene dos lados iguales. 2. Luego. Se ordena la inferencia. Ejemplos: a) El triángulo se llama isósceles si tiene dos lados iguales. Procedimiento: Paso 1. Se evalúa la fórmula condicional mediante la tabla de verdad. entonces el triángulo se llama isósceles. pero sólo en el caso de que su forma lógica haya sido alterada en el lenguaje natural. expresando simbólicamente sus premisas y conclusión. es invalida si la fórmula condicional es consistente o contradictoria. Paso 5. mediante la tabla de verdad. observando el esquema: premisas-conclusión. entonces no es válida. Paso 3. Paso 4. 130 . En efecto. Se halla su fórmula.Análisis de inferencias a través de la tabla de verdad La tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento decisorio porque a través de la aplicación mecánica de un conjunto finito de reglas permite decidir la validez o invalidez de las inferencias. No se llama isósceles. Forma lógica: 1. p → 2.Fórmula: p: el triángulo tiene dos lados iguales. el triángulo se llama isósceles. bien los preceptos de la idea absoluta. Forma lógica: 1. b) El pueblo es una masa pasiva que sigue bien las ideas de un gran hombre. 1. Sigue los preceptos de la idea absoluta. 131 . Por lo tanto no sigue las ideas de un gran hombre. ~ q ∴~ p q Fórmula condicional: [(p→ q)∧ ~q] → ~p Evaluación: p q V V F F V F V F [(p→q)∧ ~q]→ ~p V F V V F F F V F V F V V V V V F F V V FMT Respuesta: La inferencia analizada es válida porque su fórmula condicional es una tautología. q. El pueblo es una masa pasiva que sigue las ideas de un gran hombre o el pueblo es una masa pasiva que sigue los preceptos de la idea absoluta. Fórmula: p: el pueblo es una masa pasiva que sigue las ideas de un gran hombre. el pueblo es una masa pasiva que no sigue las ideas de un gran hombre. Luego. 1. q ∴~ p Fórmula condicional: [(p∨ q)∧ q]→ ~p Evaluación: p q V V V F F V F F [(p ∨ q)∧ q] → ~p V V V F V F V F V F V F F V V V F F V V FMC Respuesta: La inferencia analizada no es válida porque su fórmula condicional es consistente. 132 . El pueblo es una masa pasiva que sigue los preceptos de la idea absoluta. no hay lenguaje formalizado.p ∨ q 2. c) Sin variables ni operadores no hay lenguaje formalizado. Ocurre que no hay variables ni operadores. q: el pueblo es una masa pasiva que sigue los preceptos de la idea absoluta. Luego.2. 133 . entonces no hay lenguaje formalizado. Luego.Forma lógica: 1. 1. ~ p ∧ ~ q ∴ ~r Fórmula condicional: {[( ~ p ∧ ~ q ) → ~ r ] ∧ ( ~ p ∧ ~ q ) } → ~ r Evaluación: p q r {[(~p∧ ~q) → ~r]∧ (~p ∧ ~q)}→ ~ r V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F F F F F V V V V F F F F F V F V F F F F V V V V V V V V V V F V F V F V F V F V F F F F F F F V F F F F F F V V V V V V V V V V F V F V F V F V FMT Respuesta: La inferencia es válida pues su fórmula es tautológica. Si no variables y no hay operadores. no hay lenguaje formalizado. 2. Fórmula: p: hay variables. q: hay operadores. ( ~ p ∧ ~ q ) → ~ r 2. r: hay lenguaje formalizado. No hay variables y no hay operadores. q: Pedro es propietario de los medios de producción social. r: Pedro emplea trabajo asalariado. Luego. Es burgués y propietario de los medios de producción social. Si Pedro es burgués. Pedro emplea trabajo asalariado. Fórmula: p: Pedro es burgués. p → ( q ∧ r ) 2. Forma lógica: 1. p ∧ q ∴r Fórmula condicional: {[p→ (q ∧ r)]∧ (p ∧ q)}→ r Evaluación: p q r V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F {[ p → ( q ∧ r ) ] ∧ ( p ∧ q ) } → r V F F F V V V V V F F F V F F F V F F F F F F F V V F F F F F F V V V V V V V V FMT 134 . entonces Pedro es propietario de los medios de producción social y Pedro emplea trabajo asalariado. Pedro emplea trabajo asalariado. Luego. 2. es propietario de los medios de producción social y emplea trabajo asalariado.d) Si Pedro es burgués. Pedro es burgués y Pedro es propietario de los medios de producción social. 1. los actos del Presidente de la República son nulos. Forma lógica: 1. no son nulos.Respuesta: La inferencia es válida porque su fórmula es tautológica. entonces los actos del Presidente de la República no son nulos. pues no tienen refrendación ministerial. 1. Son nulos. ~ p ∴q Fórmula condicional: [(p→ ~q)∧ ~p]→ q 135 . e) Los actos del Presidente de la República son nulos a menos que tengan refrendación ministerial. no tienen refrendación ministerial. q: los actos del Presidente de la República son nulos. p → ~ q 2. Luego. son nulos. Ordenando la inferencia: Si los actos del Presidente de la República tienen refrendación ministerial. Si los actos del presidente de la República tienen refrendación ministerial. Los actos del Presidente de la República no tienen refrendación ministerial. 2. Fórmula: p: los actos del Presidente de la República tienen refrendación ministerial. Por tanto. se usa el método abreviado o de invalidez. Análisis de inferencias por el método abreviado Cuando el número de variables pasa de tres se torna engorroso el método de la tabla de verdad. El método consiste en lo siguiente: si de alguna manera es posible asignar valores veritativos a las fórmulas atómicas constituyentes de suerte que resulte verdadero el antecedente y falso el consecuente se demostrará que la inferencia es inválida. Desde luego. en cambio en el método abreviado se comienza por la cifra tabular y por el operador de mayor jerarquía y se avanza hacia el de menor jerarquía terminando en las variables. en relación con la cual. tratándose de una inferencia su fórmula será siempre condicional o implicativa y. que resulta mucho más corto si bien se encuentra estrechamente vinculado con el de la tabla de verdad. 136 . sabemos que es falsa si y sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente es falso. El procedimiento es inverso pues en tanto que en la tabla de verdad se comienza por las variables y por el operador de menor jerarquía avanzando hacia el de mayor jerarquía cuyo valor queda determinado por la matriz principal o cifra tabular. Para superar este inconveniente.Evaluación: p q V V F F V F V F [(p →~q)∧ ~p] → q F V V V F V F V F F V V F F V V V V V F FMC Respuesta: La inferencia no es válida ya que su fórmula es consistente. Luego. b) Se determinan los valores de las variables del consecuente de manera que expresen la falsedad de éste. si eres fiscal. si no se verifica la hipótesis. Ejemplo 1 Sea la inferencia: ‘Si eres fiscal. en consecuencia. eres abogado. la inferencia correspondiente será inválida. eres abogado. a) Se supone V (verdadero) el antecedente y F (falso) el consecuente: V F [( p → q ) ∧ ( r → q) ] → ( p → r) b) Se determina el valor de las variables del consecuente: V F [( p → q ) ∧ ( r → q) ] → ( p → r) V F F 137 . Si eres profesional. eres profesional’ Fórmula: [( p → q ) ∧ ( r → q) ] → ( p → r) Procedimiento. la inferencia correspondiente será válida.Procedimiento: a) Se supone verdadero el antecedente y falso el consecuente. d) Si se verifica la hipótesis. c) Se trasladan estos valores al antecedente y se designan los valores de las demás variables tratando de hacer verdadero el antecedente. en consecuencia. la fórmula será tautológica. la fórmula es no tautológica. lo que demuestra que la fórmula es tautológica. las dos premisas han asumido el valor de verdad y todo el antecedente ha tomado el valor de verdad con lo que queda verificada la hipótesis siendo. se ha falseado todo el antecedente. por lo tanto. se llega a lo siguiente: V F [( p → q ) ∧ ( q → r) ] → ( p → r) V VV F V F F V V F F Donde puede comprobarse que al falsear el consecuente se ha falseado una premisa y. Fórmula: [( p → q ) ∧ ( q → r) ] → ( p → r) Procedimiento: Realizados los pasos hasta c). válida. es decir. Ejemplo 2 Sea la inferencia: ‘Si eres cardiólogo. eres médico. falseando una premisa. eres colegiado.c) Se trasladan estos valores al antecedente y se asignan los valores a las demás variables: V F [( p → q ) ∧ ( r → q) ] → ( p → r) V VV V FVV F VF F d) Habiendo asignado el valor de ‘V’ a la variable ‘q’. Este método también puede explicarse así: V F [( p → q ) ∧ ( q → r) ] → ( p → r) V V V/F V F V F VF F 138 . Si eres médico. es decir. eres colegiado’. la inferencia correspondiente. Luego. la fórmula no tautológica. la inferencia correspondiente inválida. si eres cardiólogo. Este método es muy práctico aunque limitado a la confrontación con una lista previa de reglas conocidas. antes de efectuar el análisis de inferencias por este método presentaremos la lista de las principales reglas de la lógica proposicional y las leyes correspondientes. Paso 3. Se explicita su forma lógica. lo que demuestra que la fórmula es tautológica. Análisis de inferencias mediante el método analógico Este método consiste en comparar la forma o estructura de la inferencia que se quiere analizar con otra lógicamente válida. una inferencia es válida si y sólo si tiene la forma de una ley lógica. Consecuentemente. la inferencia es válida. es decir. Su estudio es tarea fundamental de la lógica de proposiciones. Procedimiento: Paso 1. si una inferencia tiene la apa- 139 . Se halla la fórmula. lo que es contradictorio. En efecto. Falseando el consecuente se llega a una contradicción en el antecedente. Paso 2. pero si la fórmula obtenida atenta contra una de ellas entonces la inferencia no es válida. haciendo verdadero el antecedente. Se confronta la fórmula obtenida con las reglas de inferencia conocidas. presupone el empleo de ciertas reglas de la lógica proposicional. En efecto. en cambio. puesto que ellas constituyen un poderoso instrumento para el análisis de inferencias. la variable ‘q’ asume dos valores. Si la fórmula coincide con una de estas reglas podemos inferir inequívocamente que la inferencia original es válida. Leyes de la lógica proposicional Las leyes lógicas son tautologías o formas lógicamente verdaderas. Son fórmulas verdaderas independientemente de los valores que asumen sus variables proposicionales componentes.Es decir. A diferencia de las leyes —que son expresiones del cálculo lógico. Formulación lógica: Es falso que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo. 140 . Formulación lógica: Una proposición o es verdadera o es falsa. a) El principio de identidad Formulación ontológica: Toda cosa es idéntica a sí misma. Formulación lógica: Toda proposición es verdadera si y sólo si ella misma es verdadera. es decir.riencia de ser lógicamente válida. No existe una posibilidad intermedia. es decir. expresiones del lenguaje lógico—. prescripciones que nos permiten pasar correctamente de una o más premisas a una conclusión. el de no-contradicción y el del tercio excluido. las reglas lógicas son expresiones metalógicas. Fórmula: p p o también p → p b) El principio de no-contradicción Formulación ontológica: Es imposible que una cosa sea y no sea al mismo tiempo y bajo el mismo respecto. pero que al ser formalizada su estructura lógica no es la de una ley lógica o tautología entonces se dice que es una inferencia no válida o falacia. Los tres principios lógicos fundamentales conocidos por los filósofos y lógicos tradicionales fueron: el de identidad. Fórmula:~ ( p ∧ ~ p ) c) El principio del tercio excluido Formulación ontológica: Una cosa o bien tiene una propiedad o bien no la tiene y no hay una tercera posibilidad. 1. Igualmente. sostiene que estos tres principios son insuficientes para probar la validez de todas las inferencias. A → B 2. además de los valores verdadero y falso. Para la lógica moderna ninguna ley lógica tiene una situación de privilegio. La lógica moderna ha cuestionado tales atributos. Todas las tautologías tienen igual jerarquía. 1. A ∴B Ley del Modus Ponens (MP) [ ( p → q ) ∧ p] → q 2) Regla del Modus Tollens (MT): A partir de una fórmula condicional y de la negación de su consecuente. universalmente verdaderos y constituían la base de toda inferencia válida. ha rechazado el criterio de evidencia. por ser éste un criterio eminentemente psicológico. se obtiene la negación del antecedente. un tercer valor.Fórmula:p ∨ ~ p Estos principios lógicos fundamentales gozaban de una situación de privilegio. En efecto. tales como: eran evidentes. ha precisado que el principio del tercio excluido no es universalmente verdadero. ~ B ∴~A Ley del Modus Tollens (MT) [( p → q ) ∧ ~ q ] → ~ p 141 . aun dentro de los límites de la lógica proposicional. Principales reglas y leyes de la lógica proposicional 1) Regla del Modus Ponens (MP): A partir de una fórmula condicional y de su antecedente. puesto que los lógicos desde la antigüedad los consideraban dotados de ciertos atributos. Por ejemplo. A → B 2. no es válido en las llamadas lógicas polivalentes en donde se admite. Finalmente. se obtiene su consecuente. 3) Regla del Silogismo Hipotético (SH): A partir de dos fórmulas condicionales. A ∨ B 2. ~ A ∴B b) 1. A ∨ C ∴B ∨ D Ley del Dilema Constructivo (DC) { [(p → q) ∧ (r → s) ] ∧ (p ∨ r)} → (q ∨ s) 6) Regla del Dilema Destructivo (DD): A partir de dos fórmulas condicionales y de la disyunción de las negaciones de sus consecuentes. se obtiene la otra componente. donde el consecuente de la primera es el antecedente de la segunda. se obtiene la disyunción de las negaciones de sus antecedentes. a) 1. C → D 3. A → B 2. A → B 2. B → C ∴A→C Ley del Silogismo Hipotético (SH) [( p → q ) ∧ ( q → r ) ] → ( p → r ) 4) Regla del Silogismo Disyuntivo (SD): A partir de una fórmula disyuntiva y de la negación de una de sus componentes. ~ B ∴A Ley del Silogismo Disyuntivo (SD) [(p∨ q)∧ ~ p ] →q [(p∨ q)∧ ~q]→ p 5) Regla del Dilema Constructivo (DC): A partir de dos fórmulas condicionales y de la disyunción de sus antecedentes se obtiene la disyunción de sus consecuentes. se obtiene una condicional formada por el antecedente de la primera y el consecuente de la segunda. 1. 142 . 1. A ∨ B 2. ) (p∧ q)→q ( p ∧ q)→p 8) Regla de la Conjunción (Conj. a) 1. A ∧ B ∴B b) 1. A Ley de la Conjunción (Conj. la misma dirección y sentido. 1. En consecuencia son iguales.): A partir de dos fórmulas se obtiene la conjunción de ambas. A → B Ley del Dilema Destructivo (DD) 2. A ∴ A∨ B Ley de la Adición (Ad. B ( p ∧ q)→( p ∧ q) ∴A∧ B 9) Regla de la Adición (Ad. Forma lógica: 1.) 2. Si dos vectores tienen la misma magnitud y dos vectores tienen la misma dirección y dos vectores tienen el mismo sentido.): A partir de la conjunción de dos fórmulas se obtiene una de ellas.1. 143 . A ∧ B ∴A Ley de Simplificación (Simp.): A partir de una fórmula se obtiene la disyunción de esa fórmula con cualquier otra. C → D {[( p → q ) ∧ ( r → s )] ∧ ( ~ q ∨~ s ) }→ ( ~ p ∨ ~ r) 3.) p → ( p ∨ q) Ejemplos de análisis de inferencias a través del método analógico: a) Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud la misma dirección y sentido. 1. entonces dos vectores son iguales. ~ B ∨ ~ D ∴~A∨ ~C 7) Regla de la Simplificación (Simp. Tienen la misma magnitud. q: dos vectores tienen la misma dirección. s: dos vectores son iguales. Luego. la cinemática estudia el movimiento. ( p ∧ q ∧ r ) → s 2.2. 1. dos vectores son iguales. Forma lógica: 1. p ∧ q ∧ r ∴s que coincide con la estructura válida del Modus Ponens: A → B A ∴B Respuesta: La inferencia es válida por MP b) Tanto la dinámica como la cinemática estudian el movimiento. Luego. Fórmula: p: dos vectores tienen la misma magnitud. Dos vectores tienen la misma magnitud y dos vectores tienen la misma dirección y dos vectores tienen el mismo sentido. la cinemática estudia al movimiento. Por tanto. r: dos vectores tienen el mismo sentido. La dinámica estudia al movimiento y la cinemática estudia el movimiento. p ∧ q ∴q 144 . Fórmula: p: La dinámica estudia el movimiento q: La cinemática estudia el movimiento 1. Y 3 es diferente de 4 si 3 es menor que 4. Luego. Forma lógica: 1. 145 . Luego. En consecuencia. La expresión algebraica no es prima. ~ r ∴~(p ∧ q) que coincide con la estructura válida del Modus Tollens: A→B ~B ∴~A Respuesta: La inferencia es válida por MT d) 3 es menor que 4 si 4 es mayor que 3. Fórmula: p: Una expresión algebraica es divisible por sí misma q: Una expresión algebraica es divisible por la unidad r: Una expresión algebraica es prima 1. No es prima. entonces la expresión algebraica es prima. 2. es falso que la expresión algebraica sea divisible por ella misma y la expresión algebraica sea divisible por la unidad. c) Una expresión algebraica no es prima a menos que sea divisible por ella misma y por la unidad. es falso que sea divisible por ella misma y por la unidad.que coincide con la estructura válida de la Simplificación: A∧ B ∴B Respuesta: La inferencia es válida por Simp. Si una expresión algebraica es divisible por ella misma y una expresión algebraica es divisible por la unidad. 4 es mayor que 3 si 3 es diferente de 4. ( p ∧ q ) → r 2. Si Enrique es congresista. entonces 3 es menor que 4. entonces 3 es diferente de 4. q → r ∴ r → p que no coincide con la estructura válida del Silogismo Hipotético: A→B B→C ∴A→C Respuesta: La inferencia no es válida porque atenta contra SH e) Enrique representa a la Nación y no está sujeto a mandato imperativo porque es congresista. Si 4 es mayor que 3. 2. entonces 4 es mayor que 3. 2. p → q 2. Enrique es congresista. Fórmula: p: 4 es mayor que 3 q: 3 es menor que 4 r: 3 es diferente de 4 1. 146 . Enrique representa a la Nación y Enrique no está sujeto a mandato imperativo. Forma lógica: 1. Luego. si 3 es diferente de 4. Luego. Si 3 es menor que 4. entonces Enrique representa a la Nación y Enrique no está sujeto a mandato imperativo. Luego es congresista. Representa a la Nación y no está sujeto a mandato imperativo.Forma lógica: 1. crítico y trascendente. Si el conocimiento es selectivo y el conocimiento es metódico y el conocimiento es explicativo. el conocimiento es filosófico. Es selectivo.Fórmula: p: Enrique es congresista q: Enrique representa a la Nación r: Enrique está sujeto a mandato imperativo 1. El conocimiento es selectivo y el conocimiento es metódico y el conocimiento es explicativo o el conocimiento es problemático y el conocimiento es crítico y el conocimiento es trascendente. el conocimiento es científico o es filosófico. Si el conocimiento es problemático y el conocimiento es crítico y el conocimiento es trascendente. el conocimiento es científico o el conocimiento es filosófico. entonces el conocimiento es científico. crítico y trascendente. entonces el conocimiento es filosófico. metódico y explicativo. el conocimiento es científico. Forma lógica: 1. Luego. En consecuencia. Si es problemático. 147 . p → ( q ∧ ~ r ) 2. 2. metódico y explicativo o es problemático. 3. q ∧ ~ r ∴p que no coincide con la estructura válida del Modus Ponens: A→B A ∴B Respuesta: La inferencia no es válida porque atenta contra MP f) Si es selectivo. De Morgan (De M) a) ~ (p ∧ q) ( ~ p ∨ ~ q) b) ~ (p ∨ q) ( ~p ∧ ~ q) c) (p ∧ q) ~ (~ p ∨ ~ q) d) (p ∨ q) ~ (~ p ∧ ~ q ) 148 . el conocimiento es trascendente. ( p ∧ q ∧ r ) ∨ ( t ∧ u ∧ v ) ∴s ∨ w que coincide con la estructura válida del Dilema Constructivo. ( p ∧ q ∧ r ) → s 2. w: el conocimiento es filosófico. 1. Doble Negación (DN) ~~p p 3. A→B C→D A∨C ∴ B∨D Respuesta: La inferencia es válida por DC Equivalencias tautológicas 1. ( t ∧ u ∧ v ) → w 3. v. q: el conocimiento es metódico r: el conocimiento es explicativo s: el conocimiento es científico t: el conocimiento es problemático u: el conocimiento es crítico.Fórmula: p: el conocimiento es selectivo. Tautología (Tau) a) (p ∧ p) p b) (p ∨ p) p 2. ) a) [p ∧ (q ∨ r)] [ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] b) [p ∨ (q ∧ r)] [ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] c) [p → (q ∧ r)] [(p → q) ∧ (p → r)] d) [p → (q ∨ r)] [(p → q) ∨ (p → r)] 7. NA) (p | q) (~ p ∨ ~ q) 149 .4. Definición de Negación Alterna (Def. Definición de Implicación Material (Impl.) a) ( p ∧ q) (q ∧ p) b) (p ∨ q) (q ∨ p) c) (p q) (q p) d) (p q) (q p) e) (p ↓ q ) ( q ↓ p) f) (p | q) (q|p) 5. Conmutación (Conm. DE) (p q) [( p ∨ q) ∧ ( ~ p ∨ ~ q ) ] 10. Definición de Disyunción Exclusiva (Def.) a) [ p ∧ (q ∧ r) ] [ (p ∧ q) ∧ r) ] b) [p ∨ (q ∨ r) ] [ (p ∨ q) ∨ r) ] c) [p (q r)] [(p q) r] 6. Definición de Negación Conjunta (Def.) a) (p q) [( p → q) ∧ (q → p)] b) (p q) [(p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q)] 9. Definición de Equivalencia Material (Equiv.) a) (p → q) (~ p ∨ q) b) (p → q) ~ (p ∧ ~ q) 8. NC) (p ↓ q) (~ p ∧ ~ q) 11. Distribución (Dist. Asociación (Asoc. 12. ¿En qué consisten los métodos semánticos y cuáles se pueden señalar? 150 . Absorción (Abs.) a) [ p ∧ (p ∨ q)] p b) [ p ∨ (p ∧ q)] p c) [p ∧ (~ p ∨ q) ] (p ∧ q) d) [p ∨ (~ p ∧ q) ] (p ∨ q) 16.º 8 1.) a) (p → q) (~ q → ~ p) b) (p q) (~q ~ p) 13.) a) p [p ∧ (q ∨ ~ q)] b) p [p ∨ ( q ∧ ~ q)] c) (p → q) [p (p ∧ q)] d) (p → q) [q (p ∨ q) ] 15. Reglas de Equivalencia: R1) (T ∧ C) C R2) (T ∨ C) T R3) (T ∧ T) T R4) (T ∨ T) T R5) (⊥ ∧ C) ⊥ R6) (⊥ ∨ C) C R7) (⊥ ∧ ⊥ ) ⊥ R8) (⊥ ∨ ⊥ ) ⊥ Donde: T= Tautología ⊥= Contradiccón C= Consistencia Cuestionario N. Exportación (Exp.) [(p ∧ q) → r) [ p → ( q → r) ] 14. Transposición (Trans. ¿En qué consisten los métodos sintácticos y cuáles son ejemplos de éstos? 2. Expansión (Expan. ¿Qué diferencia existe entre leyes lógicas y reglas lógicas? 9. Luego. Se puede pescar anchoveta. ¿Por qué se dice que la tabla de verdad es un procedimiento algorítmico? 4. e) Si el mar peruano se calienta excesivamente. El mar peruano no se calienta excesivamente. c) Si hay veda. entonces no habrá buena actividad pesquera. ¿En qué consiste el método abreviado? 7. En consecuencia. Luego. ¿cuándo es ésta válida? 5. ¿Cuál es el procedimiento a seguir en la aplicación de la tabla de verdad? 6. Por tanto. En consecuencia. ¿Cuáles son las principales reglas y cuáles las principales leyes de la lógica proposicional? Enúncielas. las aguas del mar peruano se enfrían excesivamente. No se puede pescar anchoveta. se ha levantado la veda. cuál es su formulación ontológica y cuál su formulación lógica? 10. 151 . No habrá buena actividad pesquera. no se puede pescar atún. Si se aplica el procedimiento de la tabla de verdad a una inferencia. no habrá buena actividad pesquera. Ejercicio N. ¿Cuáles son los tres principios lógicos fundamentales. entonces no se podrá pescar atún.3. Determine mediante la tabla de verdad si las siguientes inferencias son válidas o inválidas: a) Si se levanta la veda. Hay veda. entoces se podrá pescar anchoveta. b) Si no se levanta la veda. no se levantó la veda. ¿En qué consiste el método analógico de análisis de inferencias y cuál es su procedimiento? 8.º 11 Análisis de inferencias mediante la tabla de verdad. entoces no se podrá pescar anchoveta. el método abreviado y el método analógico 1. d) Si las aguas del mar peruano se enfrían excesivamente. habrá buena actividad pesquera. Por tanto.f) Si hay especulación con el tipo de cambio. j) Si se produjo la tragedia de Mesa Redonda. entonces no hay especulación con el tipo de cambio. h) Si no se incrementa la cotización del dólar ni devalúa el nuevo sol. entonces la DICSCAMEC cometió irregularidades al entregar autorizaciones a comerciantes y no fiscalizó la comercialización de los pirotécnicos. es falso que se haya incrementado la cotización del dólar y devaluado el nuevo sol. Ocurre que no se puede pescar anchoveta ni atún. hay especulación con el tipo de cambio. Mediante el método abreviado diga si las siguientes fórmulas son tautológicas o no: a) [( p → q ) → ( p → r ) ] → [p → (q → r)] b) {p ∧ [(q ∧ p) → ~ r ]} → (r → ~ q) c) {[ p → (q ∨ ~ r) ] ∧ r} → (~ p ∨ ~ q) d) {[ p ∨ (q → ~ r) ] ∧ r} → (p ∨ ~ q) e) {[ (p → q) ∧ (r → s)] ∧ (~ q ∨ ~ s)} → (~ p ∨ ~ r) f) (p ∧ q) → [(~ p r) ∨ (~ q ~ r)] g) [(~ r q) ∧ ~ (p r) ] → (p → q) h) [(p → ~ r) → (r → s)] → ~ [(s q) ∧ ~ p] 152 . las aguas del mar peruano se han enfriado excesivamente. la DICSCAMEC cometió irregularidades al entregar autorizaciones a comerciantes y no fiscalizó la comercialización de los pirotécnicos. Se produjo la tragedia de Mesa Redonda. Hay especulación con el tipo de cambio. Luego. g) Si se incrementa la cotización del dólar y devalúa el nuevo sol. En consecuencia. Por tanto. i) Si las aguas del mar peruano se enfrían excesivamente. Se ha incrementado la cotización del dólar y devaluado el nuevo sol. Por tanto. no se podrá pescar anchoveta ni atún. se incrementa la cotización del dólar y devalúa el nuevo sol. No hay especulación con el tipo de cambio. hay especulación con el tipo de cambio. 2. se incrementará la cotización del dólar y devaluará el nuevo sol. entonces no se podrá pescar anchoveta ni atún. En consecuencia. entonces debe investigarse las causas y sancionar a los responsa- 153 .i){[( p ∨ q) → ~ r] ∧ (~ r → s)} → [(p ∨ q) → s ] j) [(p → (q ∨ r) ] → [( s q) ∨ (~ s r)] 3. Las aguas del mar peruano se han calentado o enfriado excesivamente. no se puede pescar anchoveta ni atún. Por tanto. dejó diez millones de dólares en pérdidas materiales. Por tanto. las aguas del mar peruano se han enfriado o calentado excesivamente. En consecuencia. Luego. No se puede pescar anchoveta ni atún. La DICSCAMEC no entregó autorizaciones a comerciantes y denunció ante la fiscalía la comercialización ilegal de los pirotécnicos. no cometió irregularidades y no será declarada en reorganización por el Ministerio del Interior. más de doscientos cincuenta heridos y setecientos locales devastados. entoces cometió irregularidades y será declarada en reorganización por el Ministerio del Interior. Determine mediante el método abreviado si las siguientes inferencias son válidas o inválidas: a) Si se produjo la tragedia de Mesa Redonda. entonces las aguas del mar peruano se han enfriado o calentado excesivamente. d) Si no se puede pescar anchoveta ni atún. La DICSCAMEC cometió irregularidades al entregar autorizaciones a comerciantes y al no denunciar ante la fiscalía la comercialización ilegal de los pirotécnicos. f) Si la tragedia de Mesa Redonda dejó centenares de muertos. c) Si la DICSCAMEC entregó autorizaciones a comerciantes y no denunció ante la fiscalía la comercialización ilegal de los pirotécnicos. se produjo la tragedia de Mesa Redonda. e) La tragedia de Mesa Redonda dejó cerca de trescientos muertos. doscientos desaparecidos. b) Si las aguas del mar peruano se enfrían o calientan excesivamente. entonces la DICSCAMEC cometió irregularidades al entregar autorizaciones a comerciantes y al no denunciar ante la fiscalía la comercialización ilegal de los pirotécnicos. socialista e hija de un militar constitucionalista. sin embargo los especialistas en la materia podrán solicitar una autorización a la DICSCAMEC para realizar espectáculos pirotécnicos. k) Si dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva. j) Si el Presidente de Chile designa como ministra de defensa a una mujer. entonces rompe la tradición machista de sus fuerzas armadas. médica y madre de tres hijos. el signo de la desigualdad cambia o no cambia. i) Si el Presidente de Chile designa como ministra de defensa a una mujer. el signo de la desigualad cambia. médica y madre de tres hijos. el 154 . Luego. h) La venta de artefactos pirotécnicos será prohibida al público. entonces será bien recibida por los peruanos esta designación. no se podrá importar artículos pirotécnicos detonantes y las personas que ocasionen lesiones graves por el uso de estos artículos serán sancionadas con penas privativas de libertad de hasta quince años. l) Si dos miembros de una misma desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva. se tendrá que invertir entre diez y veinte millones de dólares para la recuperación del área afectada de Mesa Redonda. Por tanto. La tragedia de Mesa Redonda dejó centenares de muertos y heridos. En consecuencia. Luego. el Presidente de Chile ha designado como ministra de defensa a una mujer. Los peruanos han recibido bien esta designación. El Presidente de Chile designó como ministra de defensa a una mujer. debe investigarse las causas y sancionar a los responsables. g) La tragedia de Mesa Redonda dejó diez millones de dólares en pérdidas materiales y se incautaron doscientas toneladas de material pirotécnico. socialista e hija de un militar constitucionalista. En consecuencia. el signo de la desigualdad no cambia. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa. rompió la tradición machista de sus fuerzas armadas. el signo de la desigualdad no varía.bles. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una misma potencia positiva. Por tanto. ( s ∨ t ) ↓ ( ~ s ∧ ~ r ) (Conj. m) Dos polígonos son iguales si y sólo si tienen respectivamente iguales todos sus lados e iguales los ángulos comprendidos entre los lados respectivamente iguales. ( p ∨ q ∨ r ) ∧ ( ~ p ∨ ~ q ∨ ~ r ) (Simp. ñ) Las bacterias son organismos microscópicos y causa de enfermedades graves en el hombre o no son organismos microscópicos ni causa de enfermedades graves en el hombre. Luego las bacterias son organismos microscópicos si y sólo si son causa de enfermedades graves en el hombre 4. se llaman bacilos. ( p ∧ q ) → ( r | ~ s ) 2. ( ~ p ∨ ~ q ) → ( p → q ) 2. ~ s → ( p ∨ q ∨ r ) 3. ( p ∧ q ∧ r ) ∨ ~ s (DC) e) 1.) 155 . tienen respectivamente iguales todos sus lados. la vitamina A no es hidrosoluble ni antihemorrágica si es requerida por el hombre. aplicando las reglas lógicas que se indica: a) 1.) c) 1. ~ ( ~ p → ~ q ) | ~ r (Ad. n) O la vitamina A no es requerida por el hombre o es requerida por otros vertebrados. Luego. Dos polígonos son iguales. p ∧ q (MP) d) 1. ( p ∧ q ∧ r ) → ~ t 2.signo de la desigualdad varía. Si las bacterias tienen forma de bastoncillos. p → ( q ∧ r ) 2. Escribe la conclusión correcta a partir de las siguientes premisas. Luego el signo de la desigualdad varía o no varía.) b) 1. La vitamina A no es hidrosoluble o se almacenan en el hígado. ( r | ~ s ) → ( ~ p ∨ ~ q ) (SH) f) 1. En consecuencia. entonces no puede postular a la Presidencia de la República. ( ~ s → ~ r ) → ~ ( ~ p ∧ ~ q ) 2. entonces todo elemento de A es también elemento de B. entonces puede postular a la Presidencia de la República y si un miembro de las Fuerzas Armadas no ha pasado a la situación de retiro. [ p ∨ ( r → s ) ] → [ ( p ↓ q ) → ~ t ] 3. Los hidrocarburos son compuestos orgánicos. 156 .) f) Si los hidrocarburos son compuestos orgánicos. q ∨ ~ [ (p ↓ q) → ~ t ] (DD) 5.) c) La vitamina C se encuentra en los jugos de frutas cítricas y la vitamina K es antihemorrágica. A es un subconjunto de B. En consecuencia. r ∧ s (SD) j) 1. (Simp. entonces contienen carbono e hidrógeno. entonces es la base de la formación de los tejidos orgánicos. ~ p ∧ ~ q (MT) i) 1. ~ p → ~ q 2.g) 1. aplicando las reglas lógicas que se indica: a) Si A es un subconjunto de B. Escribe la conclusión correcta a partir de las siguientes premisas. ~ ( r → s ) (MT) h) 1. (MP) g) Si ha ocurrido una transformación en la estructura molecular de una sustancia. (MP) b) La Corriente del Niño eleva la temperatura ambiental de la costa norte del Perú. (Simp. Luego. (Ad. ( p → q ) ∨ ~ ( r ∧ s ) 2. entonces se ha producido una reacción química. Luego. Luego. Luego.) d) Si la célula es la unidad básica de la materia viva. En consecuencia. ~ ( p → q ) → ( r → s ) 2. Pero es falso que la célula sea la base de la formación de los tejidos y órganos. (MT) e) Si un ministro de Estado no ha cesado en el cargo. (SH) h) Si el Congreso se reúne en legislatura ordinaria. Luego. Luego. entonces no hay vida. el Primer Vicepresidente se encarga del despacho. En consecuencia. 157 . habrá desocupación. En consecuencia. (SD) j) Si no hay carbono y no hay oxígeno y no hay nitrógeno y no hay hidrógeno. c) De elevarse los impuestos. No está facultado para optar por la nacionalidad peruana. eres víctima de sofocaciones intermitentes. Luego. Por tanto. Determine la validez o invalidez de las siguientes inferencias a través del método analógico: a) Si el Presidente de la República sale del territorio nacional. tienes inflamados los bronquios. Si el Congreso se reúne en legislatura extraordinaria. o no eres víctima de sofocaciones intermitentes o no tienes inflamados los bronquios. El carbón vegetal no se obtiene calcinando los huesos en recipientes cerrados. es falso que tenga dos años de matrimonio y de domicilio en el Perú. El Congreso no ha sido convocado por el presidente del Congreso o no ha sido convocado a pedido del Presidente de la República. d) Si padeces de asma. Luego. Hay vida.Si se ha producido una reacción química. b) El cónyuge extranjero está facultado para optar por la nacionalidad peruana si tiene dos años de matrimonio y de domicilio en el Perú. Habrá desocupación si hay déficit. entonces ha ocurrido un fenómeno químico. entonces ha sido convocado a pedido del Presidente de la República. (MT) 6. O padeces de asma o no padeces de bronquios. (DD) i) El carbón vegetal se obtiene por la combustión incompleta de la leña o calcinando los huesos en recipientes cerrados. el Primer Vicepresidente se encarga del despacho. Luego. de elevarse los impuestos. entonces ha sido convocado por su presidente. El Presidente de la República sale del territorio nacional. habrá déficit. Si padeces de bronquios. Ocurre que es falso que manifiestas aversión o repugnancia al trato humano. En consecuencia. h) Frege es matemático y lógico alemán y Russell es filósofo y lógico inglés. no eres un misántropo. Luego.) (NA) . Euclides es un sabio alejandrino. Por tanto. Luego.) (Impl. no eres megalómano.e) Eres un melómano si tienes afición desmedida por la música. Centran la reflexión filosófica en el problema de la existencia humana. f) Eres un misántropo si manifiestas aversión o repugnancia al trato humano. g) O Euclides es un sabio alejandrino o Lobachevski y Riemann son matemáticos. es falso que Lobachevski y Riemann sean matemáticos. no eres megalómano si tienes afición desmedida por la música. Luego.) (NC) b) ~ p ∨ ~ q a) b) c) d) (De M) (Conm. Frege es matemático. j) Heidegger y Sartre son filósofos existencialistas si centran la reflexión filosófica en el problema de la existencia humana. permite decidir mecánicamente la validez o invalidez de las inferencias. Si eres melómano. La tabla de verdad es un algoritmo. son filósofos existencialistas.) (Impl. 7. Escriba el equivalente de las siguientes fórmulas aplicando las equivalencias tautológicas que se sugieren: 158 a) ~ p ∧ ~q a) b) c) d) (De M) (Conm. Luego. i) La tabla de verdad no es un algoritmo a menos que permita decidir mecánicamente la validez o invalidez de las inferencias. ~ p ∧ (~ q ∨ ~ r) a) b) c) d) e) (Conm.) (De M) (Dist.) (DN) (Expan.) (NC) (Impl.) (Tau.) (Trans.) (Expan.) (DN) f) ~ p ↓ ~ q a) b) c) d) (NC) (Conm.) 159 .) d) ~ p a) b) c) d) ~q (Equiv.) (Expan.) g) ~ p  ~ q a) b) c) d) (NA) (Conm.c) ~ p → ~ q a) b) c) d) (Impl.) (DN) (Expan.) (Tau) e) ~ p a) b) c) d) ~q (DE) (Conm.) h).) (Conm.) (Trans. ) c) (De M) d) (Dist.) e) (Abs.) (Impl.) (NA) (Impl.) (De M) (NC) k) ~ [(p a) b) c) d) e) ~ (~ p ∧ ~ q) q) ∨ (r  s)] ∧ ~ t (Conm.) j) ~ (p → q) a) b) c) d) e) (Equiv.) b) (Dist.) c) (De M) d) (Impl.) e) (NC) m) p ∧ q ∧ r ∧ ( ~ p ∨ ~ q ∨ ~ r) a) (Conm.) (De M) (DE) (NA) (NC) l) (p ∨ q ∨ r) ∧ ( ~ p ∨ ~ q ∨ ~ r) a) (Asoc.) b) (Asoc.i) ~ p ∨ ( ~ q ∧ ~ r) a) b) c) d) e) (Conm.) (Conm.) (De M) (Dist.) 160 . ) b) (De M) c) (Abs.) e) (NA) 8.) ñ) [ ( p v q) ∧ ~ q] → [ ~ p ∨ ( r s )] a) (Impl.) b) (Asoc.) e) (Abs.) d) (Dist. Aplique las leyes de absorción (Abs.) a las siguientes fórmulas: a) p ∧ (q ∨ p) b) p ∨ (r ∧ p) c) (p ∧ q) ∨ (p ∨ s) d) (~ p ∧ q ∧ r) ∧ (t ∨ q ∨ ~ s) e) (p ∨ ~ q) ∧ (~ r ∧ s ∧ q) f)) (~ p ∨ q ∨ r) ∨ (r ∧ s ∧ t) g) (p ∧ q) ∨ (~ r ∨ ~ p) h) (~ p ∨ ~ q ∨ ~ r) ∨ (q ∧ ~ s) i) p ∧ (t ∨ ~ r ∨ ~ s ∨ ~ p) ∧ s ∧ (~ t ∨ ~ p) j) ~ p ∨ ~ r ∨ (s ∧ r ∧ p) EL MÉTODO DE LA DEDUCCIÓN NATURAL La deducción natural como un método sintáctico y no algorítmico El método de la deducción natural fue propuesto en 1934 por el investigador Gerhard Gentzen.n) (p ∧ q ∧ r ∧ p) ∨ ~ p ∨ ~ q ∨ ~ r ∨ ~ p a) (Conm.) c) (De M) d) (Dist. Desde entonces se conocen diversas variantes de él que algunos textos de lógica presentan como 161 . para evaluar una inferencia. Entre la última premisa y la conclusión se escribe una barra separatoria ‘/’ seguida del símbolo ‘∴’ que se lee ‘luego’ o ‘por lo tanto’. Paso 3. Procedimiento: De acuerdo al método de la deducción natural.reglas para construir derivaciones. para mostrar que la conclusión de una inferencia se sigue lógicamente de las premisas. Es no algorítmico porque el número de pasos no puede prescribirse previamente en su totalidad. siempre que sea factible. Su eficiencia va de acuerdo a la capacidad natural o adquirida del que lo aplica. Es sintáctico porque procede sólo por transformaciones de las fórmulas aplicando a las premisas una serie de reglas o leyes lógicas previamente adoptadas. Pertenece al grupo de los métodos sintácticos. el proceso derivativo consta de los siguientes pasos: Paso 1. Dada una inferencia cualquiera. Se asigna a cada proposición atómica su correspondiente variable. y dentro de éstos a los no algorítmicos. Se procede a ejecutar las derivaciones tomando como punto de partida cualquiera de las premisas. Paso 2. es preciso indicar las reglas de inferencias válidas elementales que conducen de las premisas a la conclusión. Se simbolizan las premisas y la conclusión disponiendo aquéllas en forma vertical y escribiendo la conclusión a continuación de la última premisa en el mismo renglón. deducciones o pruebas formales. es decir. 162 . e indicando a la derecha en forma abreviada de qué premisas y mediante qué ley o regla se ha obtenido la nueva expresión. 3. La exportación no se incrementa. 4. Luego. entonces habrá abundante harina de pescado. Luego. La exportación no se incrementa. O hay abundancia de peces o será preciso recurrir a otras actividades. habrá abundante harina de pescado. b) Se halla su fórmula: se determinan las variables y se expresan simbólicamente las premisas y la conclusión p: hay abundancia de peces q: hay abundancia de harina de pescado r: se incrementa la exportación s: será preciso recurrir a otras actividades 1. entonces se incrementa la exportación 3. será preciso recurrir a otras actividades.Modalidades de la deducción natural Prueba directa (PD) Sea la inferencia siguiente: Si hay abundancia de peces. Si hay abundante harina de pescado. 4. a) Se halla su forma lógica: 1. O hay abundancia de peces o será preciso recurrir a otras actividades. Si hay abundancia de peces. 2. será preciso recurrir a otras actividades. p→q q→r ~r p ∨ s / ∴s 163 . Si hay abundante harina de pescado. se incrementa la exportación. 2. 3) MT (1. se realizan las derivaciones hasta obtener el consecuente de la conclusión. s SD (4. comenzar las derivaciones por la primera premisa. s MT (2.6) Habiéndose obtenido la conclusión.c) Se efectúan las derivaciones 5. 164 .5) SD (4. En cambio. siempre que ello sea posible. se puede partir de la segunda premisa comparándola con la tercera. En efecto. luego. en el segundo procedimiento se ha empleado dos veces el MT y luego el SD. En el ejemplo propuesto. ~ q 6. y.2) 6. aplicando a este nuevo conjunto de premisas las reglas o leyes lógicas ya conocidas. puede afirmarse que la inferencia original es correcta o válida.3) 7. de la manera siguiente: 5. MT y SD. ni siempre es posible.6) En el primer proceso se ha utilizado SH. se puede comenzar por cualquier otra. La prueba condicional (PC) La prueba condicional (PC) es una modalidad dentro del método de la deducción natural y se aplica en los casos en que una inferencia tenga conclusión condicional o implicativa. No es necesario. ~ p MT (5. Para saber si una conclusión de este tipo se deriva de las premisas dadas se agrega el antecedente de la conclusión a las premisas. ~ p 7. p → r SH (1. siendo la conclusión una fórmula condicional o implicativa necesariamente tendrá antecedente y consecuente. Procedimiento Dado el caso de que la conclusión de una inferencia sea una fórmula condicional o implicativa: Paso 1. Se une implicativamente la premisa adicional con el último paso logrado volviendo la demostración a la izquierda. Ejemplo: a) Sea la forma inferencial siguiente: 1. Paso 2. ~ q → t PC (5.8) d) Se unen implicativamente la premisa adicional con el último paso logrado 10. p → q 4.s → r 2. ~ q PA (antecedente de la conclusión) c) Se efectúan las derivaciones 6.9) 165 . s 8. Se toma primeramente su antecedente y se introduce como una nueva premisa (PA: premisa adicional).7) MP(4. t MT (3. Paso 3. r 9.6) MP (1. r → t /∴~ q → t b) Se introduce la premisa adicional 5. s ∨ p 3. Se efectúan las derivaciones corriendo la demostración algunos lugares hacia la derecha hasta hallar el consecuente de la conclusión. a la posición original.5) SD (2. ~ p 7. b) Se efectúan las derivaciones corriendo la demostración varios lugares hacia la derecha hasta encontrar una contradicción. volviendo la demostración a la izquierda. Introducción a la lógica. es decir. . El sentido de esta demostración se puede entender fácilmente si se recuerda que por el modus tollens (MT) se puede deducir la negación del antecedente de una implicación cuando se niega el consecuente. c) Se une en forma condicional o implicativa la premisa adicional con la contradicción hallada. Es decir. pp. Procedimiento Dada una inferencia cualquiera: a) Se niega la conclusión y se introduce como una nueva premisa (PA: premisa adicional). 1981. se supone la falsedad del consecuente para llegar a la falsedad del antecedente. de aquí su nombre de reducción al absurdo. d) Se establece la conclusión deseada como una inferencia lógicamente deducida de las premisas originales. Amaru Editores. a través de la regla de la prueba condicional (PC). cuando se sabe que el consecuente es falso. aplicando la regla de la prueba por la reducción al absurdo (PRA):2 8 [p → (q ∧ ~ q)] → ~ p 28 166 REA RAVELLO. Bernardo. Consiste en introducir como premisa adicional la negación de la conclusión para llegar a encontrar una contradicción en las premisas. mostrando de esta manera que la conclusión se halla implicada en las premisas (demostración indirecta). a la posición original. Lima. Resulta de la fusión de la regla de la prueba condicional y de la noción de contradicción.La prueba por la reducción al absurdo (PRA) Ésta es otra modalidad dentro del método de la deducción natural. 44-52. De este modo.4) MP (2. ~ p → r / ∴ r b) Se introduce la premisa adicional 4. ~ r → (p ∧ ~ p) PC (4.8) (contradicción) d) Se aplica la regla de la PC 10.9) e) Se aplica la regla de la PRA (10) 11. se infiere la conclusión del conjunto original de premisas. ~ (p ∧ q ) 2. ~ r → q 3. encontrada la contradicción. p ∧ ~p MT (3.Ejemplo a) Sea la forma inferencial siguiente: 1.6) Conj. p 6. ~ p ∨ ~ q 8. r PRA (10) En la práctica se puede suprimir el paso 10. ubicándola hacia la izquierda. ~ r PA (premisa adicional = negación de la conclusión) c) Se efectúan las derivaciones 5.4) De M(1) SD (7. q 7. 167 . debajo de las premisas originales. (5. ~ p 9. ¿En qué consiste la prueba directa? 7. p → q 2.º 9 1. ¿Por qué el método de la deducción natural no es considerado algorítmico? 4. p c) 1. s 5. ¿A qué se denomina método de la deducción natural? 5. s → p 3. ¿Quién propuso el método de la deducción natural? 2. ¿ Por qué el método de la deducción natural es sintáctico? 3. r ∨ s 2.º 12 El método de la deducción natural 1.¿En qué modalidades de la deducción natural se emplea la premisa adicional? 8.~ r / ∴p 4. p 4. ~ s → p / ∴s 168 . r → q 3. q b) 1.Cuestionario N. ¿Por qué se dice que la prueba por la reducción al absurdo es una demostración indirecta? Ejercicio N. (q → ~ p) ∧ (p → r) 2. ¿En qué consiste la prueba por reducción al absurdo? 10. ¿En qué casos se recurre al uso de la prueba condicional? 9. p ∧ r /∴q 3. ¿Qué modalidades presenta la deducción natural? 6. Justifique las siguientes demostraciones mediante el método de la deducción natural: a) 1. ~ (r → s) / ∴ ~ x 6. r ∧ s 3. p → q 2. q → r 169 . ~ t 8. ~ p 10. ~ p v ~ p 9. p ∨ q 2. ~ (p → q) 7. r 8. (p → q) → (r → s) 2. s d) 1. x → (u → w) 5. r f) 1. t ∨ ~ (u → w) 3. (p → q) ∨ ~ t 4. p → q 6. s 5.4. p 6. p ∨ ~ s / ∴ r ∧ q 4. p → r 5. ~ p → r 3. p → ~ p 8. p → q 2. ~ q / ∴r 4. q → ~ p 7. r ∧ q g) 1. ~ (u → w) 9. q 7. ~ x e) 1. ~ p 5. ~ p ∧ ~ s 10. (p ∧ q) → [p → (r ∧ s)] 2. ~ (q → r) / ∴~ y ∨ ~ z 7. r ∨ s j) 1. p → (r ∧ s) 5. p ∧ q 4. ~ s i) 1. p h) 1. ~ s 9. ~ w ∨ ~ x 12. ~ y ∨ ~ z 170 . (p ∧ q) ∧ t / ∴ r ∨ s 3. (y → w) ∧ (z → x) 6. ~ p 6. ~ q 6. p ∨ ~ r 4. p → (q → r) 2. ~ r 5.3. r 8. p 6. s ∧ ~ r / ∴p 4. ~ r → ~ s 3. q / ∴~ s 5. s → (q → r) 3. p → ~ q 2. r ∧ s 7. (~ t → ~ w) ∧ (~ u → ~ x) 5. (~ p ∧ ~ s) → (~ t ∨ ~ u) 4. ~ r 7. ~ p 8. ~ t ∨ ~ u 11. s → (t → u) 10. (s → p) ∧ (t → q) / ∴s → ~ t 4. s → p 10. ~ r 7. ~ (~ p ∧ q) 6. r → ~ r 3. ( p ∨ ~ q) ∨ r 9. p / ∴s → x 5. s → ~ t l) 1. p → (q → r) 2. (~ p ∧ s) ∧ ~ (~ p ∧ q) / ∴~ p ∧ r 3. t → q 12. ~ p ∧ r m) 1. ~ ( p ∨ q) 10. ~ p → ~ q 7. s → ~ q 11. ~ p ∧ ~ q 9.k) 1. p ∨ ~ q 6. (p ∨ ~ q) → [(∨ → w) → x ] 3. s → x 171 . ~ r ∨ ~ r 6. ~ q → ~ t 13. p → [(t → u) → x ] 4. ~ p ∧ s 4. ~ p 5. r ∧ s 11. (p ∧ q) → r 5. ~ (p ∧ q) 8. [(p ∨ ~ q) ∨ r ] → [s → (t → u) ] 2. r 12. (t → u) → x 8. ~ q 8. p →~ q 9. (∨ → w) → x 7. (p ∨ q) ∨ (r ∧ s) 2. ~ p ∨ (r ∧ s) /∴ ~ p 172 . t → (r → s) 3. ~ q 8. Demuestre por la prueba directa (PD) a) 1.n) 1 q → (r → s) 2. ~ p → q 2. ~ w ∨ ~ x 14. ~ q ∧ ~ t 10. ~ s ∨ (q → r) 3. ~ t 9. (~ v → ~ x) ∧ ( ~ w → ~ y) 5. ~ p ∧ ~ s 12. ~ y ∨ ~ z 2. y → w 7. ~ u ∨ ~ z ñ) 1. ~ (~ p ∧ ~ s) ∨ (~ t ∨ ~ u) 4. ~ t → ~ w 5. ~ x ∨ ~ y 12. ~ p 10. ~ (q → r) / ∴~ y ∨ ~ z 9. ~ (r → s) / ∴ ~ u ∨ ~ z 7. ~ u → ~ x 6. (~q ∧ ~ t) → ( ~ v ∨ ~ w) 4. ~ v ∨ ~ w 11. ~ (p ∨ r) /∴ q b) 1. z → x 8. ~ s 11. ~ t ∨ ~ u 13. ~ p ∨ (q → r) 2. q ∧ ~ s 2. (u → x) ∧ (z → y) 6. c) 1. ~ (p ∨ q) ∨ r 2. ~ t → s 4. s ∨ t / ∴ r f) 1. s / ∴ ~ p h) 1. (p ∨ q) → (r ∧ s) 2. q ∨ ~ s /∴ ~ (r ∨ s) e) 1. r → ~ s 3. s → p 3. p ∨ (t → ~ t) 3. ~ (p ∧ q) ∨ r 2. p 2. ~ t ∨ ~ r 2. ~ r /∴~ t ∨ ~ w k) 1. p ∧ s 3. w → ~s /∴~ w g) 1. ~ r → s 3. p → ~ r 4. t → q 4. q /∴ r ∨ t d) 1. p q /∴~ p ∧ ~ q j) 1. ~ (~ p ∨ q) 2. (s ∧ q) → r 3. ~ (~ p ∨ ~ q) 2. p → (q → ~ p) 2. p → (q ∧ r) /∴ p r 173 . p → ~ (q → r) 2. r ∨ ~ q / ∴ ~ s i) 1. ~ q → ~ s 3. p → q / ∴ q ∨ (s ∨ r) 3. s → p 3. ~ t ∨ q 4. p → (q → r) 2. ~ (p ∨ q) ∨ ~ r 2. ~ (~ p ∨ s) 3. p 3. p → (q → r) 2. r ∨ ( s ∧ t ) / ∴~ q → (t ∧ s) d) 1. ~ r ∨ s 2. p ∧ q / ∴r → ~ s 174 . r → s 2.l) 1. Demuestre mediante la prueba condicional (PC): a)1. ~ p ∨ ~ t 3. p → ~ t 3. ~ s / ∴ r ∨ ~ t m) 1. ~ (r ∨ s) ∨ t 2. s ∨ t / ∴r → q b) 1. (p ∨ q) → (r ∨ s) 2. ~ s / ∴ r ñ) 1. (r ∧ s) → t 2. q / ∴ r n) 1. (~ p ∨ ~ q) → s 3. p ∨ r 3. ~ p → s / ∴r → s c) 1. ~ r / ∴ p → (~ q ∧ ~ s ∧ r) 175 . ~ q Ú ~ r 3. r → s 2. t → (s ∧ r) / ∴ t → ~ (p ∨ q) j) 1. r → ~ q /∴ (p ∧ q ) → (s ∧ t) k) 1. p → q / ∴ ~ q → (s ∨ r) l) 1. ~ r → t 3. s ∨ p/∴~ ( r ∧ s) → t g) 1. r ∨ ~ s 3. s → ~ p 2. p → t 3. s → q /∴ ~ (p ∨ r) → t i) 1. p → ~ q 2. ~ r ∨ s 3. ~ q → r /∴ ~ p → (s ∨ ~ t) f) 1. t → ~ q 3. ~ r ∧ ~ s /∴ p → ~ q m) 1. ~ s → ~ q / ∴ ( t ∨ ~ s) → r h) 1.e) 1. p ∨ r 3. q → p 2. t ∨ s 3. s ∨ ~ p 4. (p ∧ q) → (r ∨ s) 2. ~ p 2. ~ r → s 2. ~ p → ~ q 2. ~ (~ r ∧ ~ q) 2. ~ q / ∴~ r c) 1. ~ r ∨ s 2. s → ~ p 3. r → t 2. (t ∨ q) → p 4. ~ r ∨ p 3. r ∨ ~ s / ∴ ~ t → ~ p ñ) 1. (p → ~ s) → ~ t 4. q ∨ ~s 3. ~ (p | q) → ~ q 3. s → q 3. s ∨ t 4. Demuestre mediante la prueba por la reducción al absurdo (PRA): a)1. ~ p → q 2. q → ~ r / ∴p d) 1. ~ r ∨ t /∴~ r b) 1. q → ~ r 3. s ∨ p /∴~ (r ∧ s) → t 4. ~ p ∨ q 2. ~ (~ p ∧ ~ q) 2. ~ p 2. r ∨ s / ∴ p 176 . p → q 2. p ∨ r 3. ~ r → t 3.n) 1. ~ p ∨ ~ q 2. ~ q ∧ ~ r / ∴ ~ s e) 1. ~ q → r /∴~ (p | q) → (s ∨ ~ t) o) 1. ~ (t ∨ r) / ∴~ p i) 1. ~ t / ∴~ (t ∨ s) j) 1. ~ r / ∴t m) 1. p ∧ r / ∴ ~ y ∧ z 177 .f) 1. (t → ~ y) ∧ (~ x → z) 4. ~ s → r 3. s → ~ r 3.( w ∧ r) ~s 2. ~ r → ~ s / ∴ r k) 1. s → ~ r / ∴~ (p ∧ s) g) 1. z ∨ ~ s 4. p → ( q → r) 2. q → t / ∴~ r ∨ t h) 1. r → ~ z 2. (p → ~ q) ∧ (q → r) 2. (p → ~ q) ∧ (r → s) 2. (~ q → t) ∧ (s → ~ x) 3. ~ s → w 3. p → (s → t) 3. ~ p ∨ ~ s 2. q → ~ p 3. (t ∨ s) → r 3. p → ( q ∨ r) 2. r → p 3. p ∧ (q ∨ s) 4. ~ s → q / ∴s l) 1. ~ s → q 2. es conveniente ir a ver televisión. a) Si la policía patrulla las calles. ~ t / ∴ ~ (p ∨ r) ñ) 1. (p → q) ∧ (r → s) 2. Por lo tanto. entonces la encontrará algún día. b) Si Pablo Castel vive obsesionado con María Iribarne. Raskolnikov no tendrá ninguna coartada. Si las tiendas están cerradas o no hay vigilancia policial. deberá comprar muebles.n) 1. c) Si Raskolnikov fue visto saliendo de la casa de la usurera o dejó algún indicio allí. Pero o bien hay delincuentes al acecho o sujetos ebrios fomentando el desorden. Luego. Luego. ~ r → p / ∴ r ∨ ~ q 5. si compra el departamento. entonces. entonces Petrovich le seguirá el rastro y lo acusará de asesinato. entonces deberá comprar muebles. Raskolnikov no tendrá ninguna coartada. p → (q → r) 2. Si Juan consigue el préstamo. Es el caso que Pablo Castel vive obsesionado con María Iribarne. Si Pablo Castel encuentra a María Iribarne entablará una conversación con ella. d) Las tiendas estás cerradas y no hay vigilancia policial. Luego. entonces es mala idea salir a comprar. entonces es conveniente ir a ver televisión. hay sujetos ebrios fomentando el desorden. (q ∨ s) → t 3. Demuestre la validez de las siguientes inferencias mediante el método de la deducción natural. Pablo Castel entablará una conversación con Maria Iribarne. La policía patrulla las calles. entonces no hay delincuentes al acecho. Raskolnikov fue visto saliendo de la casa de la usurera o dejó algún indicio allí. e) Si Juan consigue el préstamo. Si Petrovich le sigue el rastro y lo acusa de asesinato. Si es mala idea salir a comprar. Luego. 178 . si Juan consigue el préstamo. entonces se comprará un departamento. la gente acude masivamente a la playa. veremos televisión. si no estabas en tu casa. entonces clasifica al mundial. ganará un buen sueldo. no se dedica a la pintura y no administra los negocios de su padre. k) O no fuiste al cine o te quedaste dormido durante la proyección de la película. entonces irán entusiasmados al concierto. Si te visito por la noche. entonces los cultores del Rock podrán apreciar un buen espectáculo cultural. Hay más sed que de costumbre porque hace calor. entonces su mamá se alegrará. Si no estabas en tu casa. j) Si Carlos Santana y Joe Satriani vienen al Perú. Luego. No es el caso que los niños pidan gaseosas. Por lo tanto. entonces los niños piden gaseosas o la gente acude masivamente a la playa. En consecuencia. entonces fuiste al cine. te quedaste dormido durante la proyección de la película. entonces los cultores del Rock irán entusiasmados al concierto. l) Te visitaré por la tarde o por la noche. i) Si hace calor. Si Carlos Santana viene al Perú. Pero es el caso que Perú gana o empata. entonces será un gran artista. habrá realizado sus sueños. entonces hay más sed que de costumbre. Perú clasifica al mundial. Si te visito por la tarde. ambas viajan al extranjero. saldremos a pasear. saldremos a pasear o veremos televisión. y si Elvira consigue trabajo su papá celebrará. Luego. 179 . Luego. entonces ambas viajan al extranjero.f) Si Fiorella ingresa a la universidad. g) Si Perú gana o empata el partido. Pero Andrés no realizará sus sueños. Pero si no es el caso que Fiorella ingresa a la universidad y Elvira consigue trabajo. Sucede que la mamá de Fiorella no se alegra y el papá de Elvira no celebra. Si hace calor y la gente acude masivamente a la playa. si Joe Satriani viene al Perú. y si se dedica a administrar los negocios de su padre. h) Si Andrés se dedica a la pintura. Luego. Por consiguiente. los cultores del Rock podrán apreciar un buen espectáculo cultural. entonces la gente acude masivamente a la playa. Si Andrés llega a ser un gran artista o a ganar un buen sueldo. cuyo carácter es sintáctico ya que sólo se toman en cuenta las relaciones de los símbolos entre sí. la fórmula condicional ‘p → q’ puede reducirse a la negación de la conjunción ‘~ (p ∧ ~ q)’ o a la disyuntiva ’~ p ∨ q’. Sucede que ningún integrante del plantel está lesionado. Por lo tanto. n) Si el equipo de atletismo se está preparando adecuadamente entonces estará en condiciones de asistir a las próximas olimpiadas. Se llaman formas normales a aquellas fórmulas constituidas únicamente por conjunciones ‘∧’. disyunciones ‘∨’ y negaciones ‘~’ que sólo afectan a variables. Por lo tanto.m) Si Daniel no toca la guitarra. Pero o el equipo no cuenta con un plantel competente o uno de sus integrantes está lesionado. La transformación de unas fórmulas en otras da origen a un verdadero cálculo lógico de acuerdo a reglas precisas que permiten pasar de formas complicadas a formas simples. que son sus equivalentes. llamado de las formas normales. De aquí nace un nuevo procedimiento decisorio. entonces la tendrá que tocar Henry. FORMAS NORMALES Concepto de formas normales Es importante anotar que unas fórmulas pueden reducirse a otras. Por ejemplo. no se ha producido el fenómeno del niño. Y si Henry toca la guitarra. Pero Antonio no abandonó el grupo. Pero no se producen lluvias torrenciales o huaycos. Antonio abandonará el grupo. el equipo de atletismo no se está preparando adecuadamente. Las formas normales son fórmulas 180 . Y estará en condiciones de asistir a las próximas olimpiadas si y sólo si el equipo cuenta con un plantel competente. Por lo tanto. Daniel toca la guitarra. ñ) Cuando se produce el fenómeno del niño se generan lluvias torrenciales y huaycos. moleculares compuestas por conjunciones o disyunciones básicas. o por conjunciones de disyunciones básicas. a) Forma normal conjuntiva (FNC) es la fórmula constituida por disyunciones básicas como ‘p ∨ q ∨ r ∨ ~ r’. cuyos elementos son variables negadas o sin negar. b) Forma normal disyuntiva (FND) es la fórmula constituida por conjunciones básicas como ‘p ∧ q ∧ r ∧ ~ r’. con lo que se obtendría una contradicción del tipo: ‘p ∧ ~ p’ 181 . o por disyunciones de conjunciones básicas como ‘(p ∧ q ∧ r) ∨ ( ~ r ∧ s ∧ t )’. como ‘(p ∨ q ∨ r) ∧ (~ r ∨ s ∨ t)’. entonces es posible que una misma variable aparezca afirmada y negada dentro de la misma fórmula. estando la fórmula básica compuesta por conjunciones o disyunciones de variables. Ejemplos de conjunciones básicas: a) p ∧ p b) ~ p ∧ ~ q c) p ∧ ~ q ∧ r d) ~ p ∧ ~ q ∧ ~ r ∧ ~ s Ejemplos de disyunciones básicas: a) p ∨ q b) p ∨ ~ q c) ~ p ∨ q ∨ r d) ~ p ∨ ~ q ∨ ~ r ∨ ~ s Clases de formas normales Las formas normales son de dos clases: conjuntivas y disyuntivas. Como es fácil advertir. pueden darse estos dos casos: a) Si la fórmula básica está compuesta por conjunciones. ) ~ [ (~ p ∨ q) ∧ p] ∨ q 182 . e) Se aplica el siguiente criterio: La FNC es tautología si y sólo si todas y cada una de sus disyunciones básicas contienen la tautología del tercio excluido.b) Si la fórmula básica está compuesta por disyunciones. con lo que se obtendría una tautología del tipo: ‘p ∨ ~ p’ La presencia o ausencia de una contradicción o de una tautología constituye el criterio para determinar la validez o invalidez de una fórmula o inferencia. d) Se aplican las leyes de distribución. b) Se eliminan las negaciones que afectan a operadores mediante las leyes de De Morgan (De M) c) Se suprimen las dobles negaciones aplicando la ley del mismo nombre. Procedimiento para determinar el carácter tautológico de cualquier fórmula mediante la forma normal conjuntiva (FNC): a) Se eliminan todos los operadores diádicos que no sean conjunciones y disyunciones mediante la aplicación de sus respectivas definiciones. Ejemplo 1 Sea la siguiente fórmula: [(p → q) ∧ p] → q a) Se eliminan los operadores condicionales aplicando Implicación material (Imp. absorción y tautología cuando fuera necesario. entonces puede suceder que una misma variable se repita con diferente signo dentro de la misma fórmula. la fórmula es tautológica.b) Se elimina la negación que está delante del corchete aplicando De Morgan (De M) ~ (~ p ∨ q) ∨ ~ p ∨ q c) Se elimina la negación que está delante del paréntesis mediante De Morgan (De M) (p ∧ ~ q) ∨ ~ p ∨ q d) Se aplica la ley de distribución para obtener la FNC: (p ∨ ~ p ∨ q) ∧ ( ~ q ∨ ~ p ∨ q) Respuesta: Habiendo tercio excluido en las dos disyunciones básicas resultantes. Ejemplo 2 Sea ahora la fórmula siguiente: [(p → q) ∧ q] → p a) Se eliminan los operadores condicionales mediante Implicación material (Imp.) ~ [ (~ p ∨ q) ∧ q] ∨ p b) Se elimina la negación que está delante del corchete aplicando De Morgan (De M) ~ (~ p ∨ q) ∨ ~ q ∨ p c) Se elimina la negación que está delante del paréntesis mediante De Morgan (De M) (p ∧ ~ q) ∨ ~ q ∨ p d) Se aplica la ley de distribución para obtener la FNC: (p ∨ ~ q ∨ p) ∧ ( ~ q ∨ ~ q ∨ p) 183 . Procedimiento para determinar el carácter tautológico de cualquier fórmula mediante la forma normal disyuntiva (FND): Para hallar la forma normal disyuntiva (FND) de una fórmula proposicional cualquiera se procede de la siguiente manera: a) Se niega la fórmula proposicional propuesta.): ~{~ (~ p ∨ q) ∧ p] ∨ q } c) Se cancela la negación que está delante de la llave aplicando De Morgan (De. M): (~ p ∨ q) ∧ p ∧ ~ q 184 . la fórmula no es tautológica. b) Se realizan los mismos pasos que el procedimiento anterior. c) Se aplica el siguiente criterio: La FND es tautológica si y sólo si todas y cada una de las conjunciones básicas contienen una contradicción.Respuesta: no habiendo tercio excluido en las disyunciones básicas resultantes. Se entiende que esta FND sea contradictoria desde el momento que se parte de la negación de la fórmula proposicional originaria. Ejemplo 1 Sea la misma fórmula del ‘Ejemplo 1’ anterior: [(p → q) ∧ p] → q a) Se niega toda la fórmula: ~ {[(p → q) ∧ p] → q} b) Se eliminan los operadores condicionales aplicando Implicación Material (Imp. Leyes de absorción (Abs.) Cuando la aplicación de la ley de distribución se hace engorrosa por presentarse dos o más fórmulas entre paréntesis. la fórmula no es tautológica.d) Se aplica la ley de la distribución para obtener la FND: (~ p ∧ p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ p ∧ ~ q) Respuesta: habiendo contradicción en las dos conjunciones básicas resultantes. entonces es preciso valerse de las leyes de absorción que simplifican el procedimiento.) ~{~[(~ p ∨ q) ∧ q] ∨ p } c) Se cancela la negación que está delante de la llave mediante De Morgan (De. Ejemplo 2 Sea la misma fórmula del ‘Ejemplo 2’ anterior: [(p → q) ∧ q] → q a) Se niega toda la fórmula. ~ {[(p → q) ∧ q] → p} b) Se eliminan los operadores condicionales mediante la Implicación material (Imp. Son las cuatro siguientes: 185 . M) (~ p ∨ q) ∧ q ∧ ~ p d) Se aplica la ley de la distribución para obtener la FND: (~ p ∧ q ∧ ~ p) ∨ (q ∧ q ∧ ~ p) Respuesta: no habiendo contradicción en las dos conjunciones básicas resultantes. la fórmula es tautológica. Criterio: a) Si una variable del miembro absorbente se repite con el mismo signo en la disyunción básica. En las fórmulas disyuntivas: Miembro absorbente: una variable o una disyunción básica. se absorbe esta variable de la disyunción básica. d) Si una variable del miembro absorbente se repite con diferente signo en la conjunción básica. 186 . se absorbe esta variable de la conjunción básica.Fórmulas conjuntivas: a) [p ∧ (p ∨ q)] p b) [p ∧ (~ p ∨ q)] (p ∧ q) Fórmulas disyuntivas: c) [p ∨ (p ∧ q)] p d) [p ∨ (~ p ∧ q)] (p ∨ q) En cada uno de estas fórmulas es preciso distinguir dos miembros: uno absorbente y otro que se absorbe. b) Si una variable del miembro absorbente se repite con diferente signo en la disyunción básica. Criterio: c) Si una variable del miembro absorbente se repite con el mismo signo en la conjunción básica. En las fórmulas conjuntivas: Miembro absorbente: una variable o conjunción básica. Miembro que se absorbe: una conjunción básica. Miembro que se absorbe: una disyunción básica. se absorbe toda la disyunción básica. se absorbe toda la conjunción básica. (~ p ∨ q) ∧ (~ q ∨ p) ∧ ~ r Imp. (p q) → r 2. (2) 4. (4) Usando la ley de absorción en lugar de la distribución obtendremos: 5. M (3) 5. ~ p ∧ ~ q ∧ ~ r Abs. (p q) → r 2. (4) 187 . (5) El paso de 5 a 6 puede hacerse mediante la ley de absorción de la manera siguiente: 6. ~ (~ p ∨ q) ∨ ~ (~ q ∨ p) ∨ r De. (2) 4.(~ p ∧ ~ q ∧ ~ r) ∨ ( ~ p ∧ p ∧ ~ r) ∨ (q ∧ ~ q ∧ ~ r) ∨ (q ∧ p ∧ ~ r) Dist. (5) No habiendo tercio excluido en la disyunción básica.Ejemplo 3 Determine mediante la forma normal conjuntiva (FNC) el ca rácter tautológico de la siguiente fórmula mediante la ley de la absorción: Modelo de FNC: 1. [(p → q) ∧ (q → p)] → r Equiv. (1) 3. ~ {[(p → q) ∧ (q → p) ] → r} Equiv. (p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ ~ p ∨ r) ∧ (~ q ∨ q ∨ r) ∧ (~ q ∨ ~ p ∨ r) Dist. (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) ∨ r De. ~[(p q) → r] Negación de la fórmula del paso ‘1’ 3. la fórmula original no es tautológica. M (4) 6. Modelo de FND 1. ~ [(~ p ∨ q) ∧ (~ q ∨ p)] ∨ r Imp. p ∨ q ∨ r Abs. (3) 5. tiene una enorme importancia. disyunción inclusiva y negación. El común denominador de ambas reducciones está en que por medio de ellas se puede definir la negación. la fórmula original no es tautológica. porque muestra que desde el punto de vista más general de la estructura del pensamiento. puede expresar todas las demás. en 1919. La posibilidad de poder reducir todas las funciones de verdad posibles a una sola. Igualmente. en el que sólo intervienen la conjunción y la negación. mostró que el mismo resultado se podría lograr por medio del operador de la negación conjunta. como en el caso del teorema de Post. Matemática porque permite descubrir relaciones interesantes entre las diversas funciones. No obstante la reducción puede ser aún mayor ya que todas las funciones de verdad posibles pueden ser expresadas mediante dos. la unión de las proposiciones se realiza de acuerdo a una sola pauta muy simple. Pero también es posible encontrar una sola función de verdad que. lo que permite a su vez realizar una simplificación extraordinaria de los cálculos. sin la ayuda de la negación. que es la estructura de la lógica proposicional. tanto matemática como filosófica. que es posible reducir todas las funciones de verdad posibles al operador de la negación alterna o de incompatibilidad. Sheffer mostró. Aunque ambos se traducen de manera poco natural al lenguaje ordinario. Filosófica. 188 . valiéndose del descubrimiento de Sheffer.No habiendo contradicción en la disyunción básica. REDUCTIBILIDAD DE FÓRMULAS Simplificación de la lógica proposicional Las formas normales han mostrado que las 16 funciones de verdad posibles se pueden reducir a tres: conjunción. son especialmente productivos en los usos teóricos y tecnológicos de la lógica proposicional. sin la ayuda de ninguna otra. el lógico inglés Nicod. En efecto. 189 . simplicidad no es sinónimo de brevedad.29 Reductibilidad de fórmulas a la negación conjunta a) ~ p = df. [(p ↓ p) ↓ q] ↓ [(p ↓ p) ↓ q ] e) (p q) = df. p | (q | q) MIRÓ QUESADA CANTUARIAS. (p | p) | (q | q) df. Lógica. (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) c) (p ∨ q) = df. 29-31.El ideal de simplicidad en el campo de la lógica supone el empleo de un reducido número de operadores que. como estamos viendo. (p ↓ p) b) (p ∧ q) = df. (p | p) df. Sin embargo. [ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) ] ↓ [ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) ] Reductibilidad de fórmulas a la negación alterna a) ~ p = b) (p ∧ q) = c) (p ∨ q) = d) (p → q) = 29 df. pero rebasa el marco del presente trabajo. Lima. pues una fórmula sumamente simple puede no ser la más breve. (p ↓ q) ↓ (p ↓ q) d) (p → q) = df. IPEM. Lo que esto significa en relación con las posibilidades del conocimiento es enorme. [(p ↓ p) ↓ q ] ↓ [(q ↓ q) ↓ p ] f) (p q) = df. en el caso de Sheffer y Nicod. el pensamiento en su estructura más general —que consiste de conexiones de proposiciones no analizadas— tiene como elemento último una sola forma. Si se logra demostrar que esta posibilidad de reducción radical se aplica a cualquier número de variables se habrá demostrado que el pensamiento tiene una estructura general muy simple y que avanza por repeticiones de una misma forma. pp.{[ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) ] ↓ (p ↓ q)} ↓ {[ (p ↓ p) ↓ (q ↓ q) ] ↓ (p ↓ q)} g) (p | q) = df. Francisco. se limita a uno solo. (p | q) | (p | q) df. Es decir. 1970. e) (p f) (p q) = q) = g) (p | q) = df. ¿Qué es una forma normal conjuntiva? 6. Desde la perspectiva matemática. [ (p | p) | (q | q) ] | [ (p | p) | (q | q) ] Cuestionario N. ¿Cuántas clases de formas normales existen? 5. ¿En qué caso se aplican las leyes de absorción? 10. ¿Por qué las formas normales poseen un carácter sintáctico? 4. En relación con la filosofía. ¿Qué son las formas normales? 2. ¿Por qué las formas normales constituyen un procedimiento decisorio? 3. ¿Qué es una forma normal disyuntiva? 8. ¿En qué ámbitos son especialmente productivos los lenguajes propuestos por Sheffer y Nicod? 13. ¿Cómo se prueba el carácter tautológico de una fórmula a través de la forma normal disyuntiva? 9. ¿cuál es la importancia de la reductibilidad de fórmulas? 15. ¿qué han mostrado las formas normales? 11. ¿en qué radica la importancia de la reductibilidad de fórmulas? 14. ¿La simplicidad de una fórmula implica necesariamente su brevedad? ¿Por qué? 190 .º 10 1.{[ (p | p) | (q | q) ] | (p | q)} | {[ (p | p) | (q | q) ] | (p | q)} df. En cuanto a las dieciséis funciones de verdad. ¿Cómo se prueba el carácter tautológico de una fórmula a través de la forma normal conjuntiva? 7. ¿En qué consisten los descubrimientos de Sheffer y Nicod en cuanto a reductibilidad de fórmulas? 12. (p | q) | [(p | p) | (q | q) ] df. Diga si las siguientes fórmulas son tautológicas o no mediante la forma normal conjuntiva (FNC): a) p → (p ∨ q) b) p → ( ~ p ∨ q) c) (p ∧ q) → q d) (p ∧ q) → ~ q e) (p ∧ q) → (p ∧ q) f) (p ∧ q) → ~ (p ∧ q) g) ~ [p → (p ∨ q)] h) [ (p ∨ q) ∧ ~ p] → q 191 . Halle la forma normal de las siguientes fórmulas y clasifíquelas en forma normal conjuntiva (FNC) o forma normal disyuntiva (FND).º 13 Análisis de inferencias mediante Las formas normales 1. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ñ) ~p→~q ~p ~q ~p ~q ~ p ↓ ~q ~ p|~ q ~ (p ∧ q) ~ (p ∨ q) ~ ( p → q) ~(p q) ~(p q) ~ (p ∧ q) ↓ ~ ( r ∧ s) ~ ( p ∧ q) | ~ ( r ∧ s) (p → q) ↓ ( r → s) ~ (p → q) | ~ ( r → s) ~ [ (p → q) ∨ ( r → s)] 2.Ejercicio N. la tabla de verdad y la forma normal conjuntiva son algoritmos. el triángulo no tiene dos lados desiguales. 192 . Luego. {[(p → q) ∧ ( r → s) ] ∧ ~ ( q ∨ s)} → ~ ( p ∨ r) 3. Por lo tanto. Ocurre que el mayor lado no se opone al mayor ángulo. Diga si las siguientes fórmulas son tautológicas o no mediante la forma normal disyuntiva (FND): a) p → ( q ∨ p) b) ~ p → (p ∨ ~ q) c) ~ (p ∨ q) → ~ q d) (p ∧ q) → ~p e) (p ∧ q) → ~ ( ~ p ∨ ~ q) f) [(p → q ) ∧ q] → p g) [(p → q) ∧ ~ p ] → ~ q h) [ (p → q) ∧ ( q → r) ] → ( r → p) i) { [ ( p → q) ∧ ( r → s)] ∧ (p ∨ r)} → ( q ∨ s) j) {[(p ∧ q) → ~ r] ∧ r} → ~ (p ∧ q) 4.i) [(p → q) ∧ ( q → r)] → (p → r) j). La tabla de verdad es un algoritmo. En consecuencia. d) Si manifiestas aversión o repugnancia al trato humano. es falso que seas un misántropo. entonces el mayor lado se opone el mayor ángulo. eres un misántropo. c). La forma normal conjuntiva es también un algoritmo. Pero es falso que manifiestes aversión o repugnancia al trato humano. Determine la validez o invalidez de las siguientes inferencias mediante la forma normal conjuntiva (FNC): a) La tabla de verdad es un algoritmo si y sólo si permite decidir mecánicamente la validez de una inferencia. En consecuencia. La tabla de verdad es un algoritmo. b) Si un triángulo tiene dos lados desiguales. permite decidir mecánicamente la validez de una inferencia. k) Las fuerzas Armadas y las Fuerzas Policiales no son deliberantes porque están subordinadas al Poder Constitucional. Luego. f) Si el cónyuge extranjero tiene dos años de matrimonio y de domicilio en el Perú. entonces está facultado para optar por la nacionalidad peruana. Luego. eres víctima de sofocaciones intermitentes o tienes inflamados los bronquios. Por tanto. Luego. no son deliberantes. Por tanto. 193 . g) Los leones son carnívoros o herbívoros. i) Dos radicales son semejantes si tienen igual índice e igual radicando. El trigo o la cebada son plantas gramíneas. Si la cebada es una planta gramínea sirve para la elaboración de la cerveza. j) El Presidente de la República está facultado para disolver el Congreso si éste ha censurado o negado confianza a tres Consejos de Ministros. tienen igual índice e igual radicando. no son herbívoros. tienes inflamados los bronquios. Los leones son carnívoros. En consecuencia. es falso que tenga dos años de matrimonio y de domicilio en el Perú. m) O Pasteur es el fundador de la bacteriología moderna o es el creador de la teoría microbiana del origen de las enfermedades.e) Tarski es un lógico matemático polaco. Padeces de asma o de bronquitis. un número es divisible por dos si no termina en cinco. Por tanto. no es el fundador de la bacteriología moderna n) Si el trigo es una planta gramínea sirve para la alimentación del hombre. Las Fuerzas Armadas y las Fuerzas Policiales están subordinadas al Poder Constitucional. Si padeces de bronquitis. En consecuencia. eres víctima de sofocaciones intermitentes. Ocurre que los dos radicales son semejantes. El Congreso ha censurado o negado confianza a tres Consejos de Ministros. el Presidente de la República está facultado para disolverlo. h) Si padeces de asma. Tarski es un lógico matemático polaco o Newton formuló la ley de la gravitación universal. Luego. Un número es divisible por cinco si termina en cero o en cinco. l) Un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par. Pero el cónyuge extranjero no está facultado para optar por la nacionalidad peruana. pero no ambas cosas a la vez. Luego. el trigo sirve para la alimentación del hombre o la cebada para la elaboración de la cerveza. Reduzca las siguientes fórmulas a la negación alterna: a) ~ p ∧ ~ q b) ~ p ∨ ~ q c) ~ p → ~ q d) ~ p ~q e) ~ p ~q f) ~ p ↓ ~ q g) ~ (p ∧ ~ q) h) ~ (p ∨ ~ q) i) (~ p ∧ ~ q) ∨ ~ r j) (~ p ∧ ~ q) → ~ r 194 . Reduzca las siguientes fórmulas a la negación conjunta: a) ~ p ∧ ~ q b) ~ p ∨ ~ q c) ~ p → ~ q d) ~ p ~q e) ~ p ~q f) ~ p  ~ q g) ~ (p ∧ ~ q) h) ~ (p ∨ ~ q) j) (~ p ∧ ~ q) ∨ ~ r k) (~ p ∧ ~ q) → ~ r 2. ñ) La suma de dos ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a cuatro rectas. Ejercicio N. En consecuencia.º 14 Reductibilidad de fórmulas 1. la suma de dos ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a cuatro rectas o las bisectrices de todos los ángulos de un polígono regular concurren en un mismo punto. hecho por el astrónomo Francés Leverrier en el siglo diecinueve. cuya solución.LA LÓGICA PROPOSICIONAL Y LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS El isomorfismo entre la lógica proposicional y los circuitos eléctricos La presencia de la lógica matemática en la solución de problemas científicos y tecnológicos es manifiesta. La construcción de las computadoras electrónicas se basa en la construcción de circuitos electrónicos y ésta es posible mediante la aplicación de las leyes de la lógica proposicional. el matemático e ingeniero norteamericano Claudio Shannon —uno de los diseñadores de las modernas computadoras— descubrió. Pero tanto las explicaciones como las predicciones de la ciencia se hacen por medio de inferencias o deducciones. En efecto. el conocimiento científico tiene dos características fundamentales: es explicativo y predictivo. Gracias a este descubrimiento se ha desarrollado una teoría sistemática de los circuitos eléctricos y ésta ha hecho posible resolver cualquier problema concerniente a la construcción y 195 . es un ejemplo de explicación y predicción en la ciencia. es decir. La aplicación de la lógica proposicional a los circuitos eléctricos es posible en virtud del isomorfismo existente entre ambas. Estas dos características de la ciencia hacen que ella permita entender o comprender el fenómeno y aumentar nuestros conocimientos. Por ejemplo. es un ejemplo de aplicación de las leyes lógicas al fenómeno que se quiere comprender. Una de las grandes creaciones de la tecnología contemporánea es. en 1936. presuponen la aplicación de las leyes lógicas. En efecto. es decir. ellas suponen la presencia de la lógica. habría demorado siglos. sin ellas. Por tanto. sin duda alguna. el invento de las computadoras electrónicas. el descubrimiento del planeta Neptuno. el isomorfismo (igualdad de formas básicas) existente entre la lógica de proposiciones y la teoría de los circuitos eléctricos. máquinas electrónicas del tratamiento de la información que han permitido resolver una serie de problemas. Esto quiere decir que el circuito en serie se comporta exactamente igual que una conjunción. es decir. es decir. tome el valor de ‘0’ para que la corriente se interrumpa. la disyunción y la negación. entonces el isomorfismo es total. asuman el valor de ‘1’. Tipos fundamentales de circuitos Para construir una computadora electrónica es preciso construir determinados circuitos eléctricos. Basta que se abra uno de ellos. Para establecer el isomorfismo entre ambas teorías es necesario considerar sólo tres funciones lógicas: la conjunción.funcionamiento de estos circuitos básicos de las computadoras electrónicas. En este caso para que la corriente pase y se encienda el foco es necesario que los conmutadores A y B estén cerrados. Estos circuitos pueden reducirse a dos fundamentales: circuito en serie y circuito en paralelo. es decir son dos funciones isomórficas tal como puede observarse en el siguiente diseño del circuito en serie: 196 . dispuestos de tal manera que uno queda detrás del otro. Como a través de esas tres funciones básicas se puede definir las demás funciones lógicas. El circuito en serie El circuito en serie es un circuito con los conmutadores A y B. Basta que uno de los conmutadores esté abierto para que la corriente se interrumpa y no pueda encenderse el foco. el diseño del circuito en serie nos muestra que éste se comporta exactamente igual que una conjunción. en el lenguaje lógico este circuito se expresa a través de la fórmula conjuntiva: ‘p ∧ q’ 197 . Asimismo. B) 1 1 0 0 1 0 0 0 p q p ∧ q VV V VF F FV F F F F El circuito en serie y la conjunción son dos funciones isomórficas. asumen el valor 0. Por lo tanto. es necesario que los conmutadores A y B estén cerrados. si los conmutadores A y B están cerrados asumen el valor 1. para que la corriente pase y se encienda el foco. si los conmutadores A y B están abiertos. Finalmente. B) 1 0 1 0 1 0 0 0 Luz 0 0 0 Batería A 1 1 0 0 B f (A.Diseño del circuito en serie Conmutador A Conmutador B 1 1 f ( A. en cambio. En consecuencia. para que la corriente pase y se encienda el foco basta que uno de los conmutadores éste cerrado. es decir. tal como puede apreciarse en el siguiente diseño del circuito en paralelo. En este caso. B) 0 1 Conmutador B 1 1 1 Luz 0 0 1 0 Batería A 1 1 0 0 B f ( A . dispuestos de tal manera que uno queda al lado del otro. Esto quiere decir que el circuito en paralelo se comporta exactamente igual que una disyunción. Conmutador A 1 1 0 f (A. 198 .El circuito en paralelo El circuito en paralelo es un circuito con dos conmutadores A y B. son dos funciones isomórficas. B) 1 1 0 1 1 1 0 0 p V V F F q p ∨ q V V F V V V F F El circuito en paralelo y la disyunción son dos funciones isomórficas. Para que la corriente se interrumpa es necesario que los dos conmutadores estén abiertos. para que la corriente pase y se encienda el foco es suficiente que uno de los dos conmutadores éste cerrado. entonces asumen el valor 0.) a) ( p b) ( p q) q) [ ( p → q) ∧ ( q → p) ] [ ( p ∧ q) ∨ ( ~ p ∧ ~ q) 199 . entonces asumen el valor 1. De Morgan (De M) a) ~ (p ∧ q ) b) ~ (p ∨ q) ( ~ p ∨ ~ q) ( ~ p ∧ ~ q) 2. si los conmutadores A y B están cerrados. en primer lugar.) a) (p → q) b) (p → q ) ( ~ p ∨ q) ~ ( p ∧ ~ q) 3. Solamente en el caso de que los dos conmutadores estén abiertos la corriente se interrumpe y el foco no se enciende. el diseño del circuito en paralelo nos muestra que éste se comporta exactamente igual que una disyunción. finalmente. en segundo lugar. Equivalencias tautológicas empleadas en la construcción y simplificación de circuitos: 1. expresar estos circuitos a través de fórmulas moleculares y. Asimismo. mientras que si A y B están abiertos. simplificar los circuitos aplicando las reglas lógicas estudiadas. Por tanto. construir circuitos para fórmulas conjuntivas o disyuntivas. traducción y simplificación de circuitos Sobre la base de estas consideraciones es posible. Finalmente. Implicación material (Imp. en el lenguaje lógico este circuito se expresa a través de la fórmula disyuntiva: ‘p ∨ q’ Construcción.En consecuencia. Equivalencia material (Equiv. ( ~ p ∨ ~ q ∨ ~ r) ∧ ( p ∨ q ∨ r ) De M (1) Circuito: 200 A’ A B’ B C’ C .) a) [ p ∧ ( q ∨ r) ] b) [ p ∨ ( q ∧ r )] [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r)] [ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )] 5. Absorción (Abs.4. ~ (p ∧ q ∧ r ) ∧ ~ ( ~ p ∧ ~ q ∧ ~ r) 2. Distribución (Distr.) a) (p ∧ p ) b) ( p ∨ p ) p p 6. Tautología (Tau.) a) [ p ∧ ( p ∨ q)] b) [ p ∨ ( p ∧ q)] c) [ p ∧ ( ~ p ∨ q)] d) [ p ∨ ( ~ p ∧ q) p p (p ∧ q) ( p ∨ q) A) Ejemplos de traducción de fórmulas a circuitos: a) Fórmula: 1. ~ ( ~ p ∨ ~ q) ∨ [ (r ∨ s) ∧ ( ~ s ∨ r) ] ∨ (p ∧ ~ q) 2. p ∨ ~ [~ q ∨ ~ ( r ∨ ~ s )] ∨ ~ ( q ∨ r) Imp (1) 3. p ∨ [ q ∧ ( r ∨ ~ s) ] ∨ ( ~ q ∧ ~ r) De M (2) Circuito: A C B D’ B’ C’ 201 .b) Fórmula: 1. (p ∧ q) ∨ [( r ∨ s) ∧ ( ~ s ∨ r )] ∨ (p ∧ ~ q) De M (1) Circuito: A B C D’ D C A B’ c) Fórmula: 1. ~ p → ~ [ ~ q ∨ ~ ( r ∨ ~ s ) ] ∨ ~ ( q ∨ r) 2. 2. (1) De M (2) De M (3) Circuito: A B 202 A’ B’ . 3. ~(p q) ~[( p ∨ q) ∧ ( ~ p ∨~ q)] ~ (p ∨ q) ∨ ~ (~ p ∨ ~ q) ( ~ p ∧ ~ q) ∨ ( p ∧ q) DE (1) De M (2) De M(3) Circuito: A’ A B’ B e) Fórmula: 1. 2.d) Fórmula: 1. ~ (~ p ~ q) ~ [(~ p ∧ ~ q) ∨ (p ∧ q)] ~ (~ p ∧ ~ q) ∧ ~ (p ∧ q) (p ∨ q) ∧ (~ p ∨ ~ q) Equiv. 4. 4. 3. B) Ejemplos de traducción de circuitos a fórmulas: a) Circuito: C A B D F E Fórmula: p ∧ q ∧ ( r ∨ s ∨ t) ∧ w b) Circuito: A B’ C D’ D C B A’ Fórmula: (p ∧ ~ q) ∨ [ ( r ∨ s) ∧ ( ~ s ∨ r)] ∨ (q ∧ ~ p) 203 . c) Circuito: B A C C’ B’ A C’ Fórmula: [ p ∧ (q ∨ r)] ∨ [~ q ∧ (~ r ∨ p) ] ∨ ~ r d) Circuito: C’ A B’ B B C A’ C’ A’ 204 . Formula: [ p ∧ (~ r ∨ ~ q)] ∨ [ r ∧ ~ p ∧ (q ∨ ~ r ∨ ~ p)] ∧ q e) Circuito: D C E A B A C’ B’ E’ Formula: p ∧ q ∧ [ r ∧ ( s ∨ t)] ∨ [ ~ r ∧ ( p ∨ ~ q) ] ∨ ~ t C) Ejemplos de simplificación de circuitos: a) Circuito: A B B C C’ Fórmula: p ∨ (q ∧ r) ∨ ( q ∧ ~ r) 205 . (4) . p ∨ (q ∧ r) ∨ ( q ~ r) p ∨ [(q ∨ q) ∧ (q ∨ ~ r ) ∧ ( r ∨ q) ∧ ( r ∨ ~ r)] p ∨ [ q ∧ (q ∨ ~ r) ∧ (r ∨ q) ∧ (r ∨ ~ r) ] p ∨ [q ∧ ( r ∨ ~ r)] p∨ q R.1. (3) R.Simplificación de la fórmula: 1. (1) Tau. 5. 2. 3. 1.: (T ∧ Q) Q T: tautología Q: fórmula cualquiera Circuito simplificado: A B b) Circuito: D A’ A B C B’ C’ 206 Dist. 4. (2) Abs. Fórmula: p ∧ q ∧ r ∧ ( s ∨ ~ p ∨ ~ q ∨ ~ r) Simplificación de la fórmula: 1. p ∨ [( q ∨ r ) ∧ ( ~ r ∨ q)] ∨ q ∨ ~ p Abs. p ∨ ~ p R. (1) 3. (2) 207 .2. (1) Circuito simplificado: A B C D c) Circuito: A B C’ C B A’ B B’ A’ Fórmula: p ∨ [ (q ∨ r ) ∧ ( ~ r ∨ q) ] ∨ ( ~ p ∧ q) ∨ ( ~ q ∧ ~ p) Simplificación de la fórmula: 1. p ∨ [(q ∨ r) ∧ (~ r ∨ q)] ∨ ( ~ p ∧ q ∨ ( ~ q ∧ ~ p) 2. p ∧ q ∧ r ∧ s Abs. p ∧ q ∧ r ∧ ( s ∨ ~ p ∨ ~ q ~ r) 2. (1) Abs. 3. (2) Abs. : (T ∨ Q) T T : tautología Q : fórmula cualquiera Circuito simplificado: A A’ d) Circuito A B A’ C C’ A B A’ C Fórmula: p ∨ q ∨ [(r ∨ p ) ∧ (~ r ∨ q ) ∧ ~ p] ∨ (~ p ∧ r) Simplificación de la fórmula: 1. 208 p ∨ q ∨ [( r ∨ p) ∧ (~ r ∨ q ) ∧ ~p] ∨ ( ~ p ∧ r) p ∨ q ∨ ( r ∧ q ∧ ~ p) ∨ ( ~ p ∧ r) p ∨ q ∨ (~ p ∧ r) p ∨q∨ r Abs.R. 2. 4. (3) .2. p ∨ (p ∧ r) ∨ (q ∧ p) ∨ ( q ∧ r) Tau. 2. : (T ∧ Q) Q T : tautología Q : fórmula cualquiera 5. 1. (1) (p ∨ q) ∧ ( p ∨ q ∨ ~ p) ∧ ( p ∨ r) ∧ (p ∨ r ∨ ~ p) Tau. 4. 3. (3) R. 1.Circuito simplificado: A B C e) Circuito: A B B C C A A’ A A’ Fórmula: p ∨ [ ( q ∨ p) ∧ ( q ∨ ~ p) ∧ ( r ∨ ~ p) ∧ (r ∨ ~ p)] Simplificación de la fórmula: p ∨ [(q ∨ p ) ∧ ( q ∨ ~ p) ∧ ( r ∨ p) ∧ ( r ∨ ~ p)] ( p ∨ q ∨ p) ∧ ( p ∨ q ∨ ~ p) ∧ (p ∨ r ∨ p) ∧ (p ∨ r ∨ ~ p) Dist. (2) (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r) R. (p ∧ p) ∨ ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ p) ∨ (q ∧ r) Dist. (4) 6. (6) 1. 209 . p ∨ ( q ∧ r) Abs. (5) 7. ¿ En qué consiste el circuito en paralelo? 10. ¿Por qué es relevante la presencia de la lógica matemática en la solución de problemas científicos y tecnológicos? 2. ¿En qué consiste el isomorfismo entre la lógica proposicional y los circuitos eléctricos? 4. ¿Cuál fue el descubrimiento del matemático norteamericano Claudio Shannon? 3.Circuito simplificado: A B C CUESTIONARIO N. ¿Qué funciones lógica es necesario considerar para establecer el isomorfismo entre la lógica matemática y los circuitos eléctricos? 6. ¿En qué consiste el circuito en serie? 8. ¿Por qué la conjunción y el circuito en serie son dos funciones isomórficas? 9.º 11 1. ¿Por qué el circuito en paralelo y la disyunción son dos funciones isomórficas? 210 . ¿Qué tipos de circuitos eléctricos existen? 7. ¿Cuál es la aplicación de la teoría de los circuitos eléctricos en el campo de la informática? 5. Traduzca a fórmulas los siguientes circuitos: a) A B 211 .º 15 La lógica proposicional y los circuitos eléctricos 1.Ejercicio N. Construya un circuito para cada una de las siguientes fórmulas: a) p ∨ (q ∧ r) b) p ∨ (q ∨ r) c) (p ∧ q) ∨ ( r ∧ s) d) (p ∨ q) ∧ ( r ∨ s) e) (p ∧ q ∧ r) ∨ ( ~ p ∧ ~ q ∧ ~ r) f) (p ∨ q ∨ r ) ∧ (~ p ∨ ~ q ∨ ~r) g) ~ [(p ∧ q) ∨ (r ∧ s)] h) ~ [(p ∨ q) ∨ (r ∧ s)] i) ~ [(p ∧ q) ∨ ~ (~ p ∧ ~ q)] j) ~ [~ (p ∨ q ) ∧ ~ (~ p ∨ ~ q)] k) (p ∨ q) → (r ∧ s) l) (p → q) ∧ ( r → s) m) ~ [(p → q) → (r → s)] n) ~ p ~q o) ~ p ↓ ~ q p) ( p ∧ q) | (r ∧ s) q) ~ (p ∧ q) ↓ ~ (r ∧ s) r) ~ [(p → q) ↓ ( r → s)] s) [(p ↓ p) ↓ (q ↓ q)] ↓ [(p ↓ p) ↓ ( q ↓ q)] t) [( p | p ) | ( q |q)] | [(p | p) |(q | q)] 2. b) A B c) A B C D d) A B D 212 C . e) A B A’ B’ C D f) A A’ B B’ C C’ g) A B C D C D C’ D’ E F h) A B A’ B’ C C’ D D’ 213 . i) A B’ B A’ C D j) C A D A’ B B’ k) A B C C’ E D D’ F l) A B A’ B’ C D C’ D’ E E’ F 214 . m) A B C A’ B’ C’ D E F D’ E’ F’ A’ B’ n) A B C D E F ñ) A’ B’ C D E F D’ E’ F’ E’ A’ B’ A B 215 . C) Simplifique los siguientes circuitos: a) A A’ C B C b) A B B c) D A’ A B C B’ C’ d) 216 A’ B A’ B A’ B’ A’ B’ . e) A B’ C A B C’ A B’ C A’ B C f) C A A B B C’ C’ C C g) A B B’ A’ B’ C A A’ h) A’ B’ A A C’ B B A’ 217 . i) C C D A B A C’ C’ j) B C’ A A B B B C’ k) B A C’ A’ B A A’ C’ 218 . l) A B B A’ A B’ A B’ B A’ m) A’ B’ A A B A’ B B’ A’ A n) A B A’ B’ C A B B A’ 219 . puesto que son afirmaciones acerca de lo que puede hacerse con fórmulas del sistema. El conjunto de los axiomas más la definición de enunciado o fórmula del sistema y el conjunto de las reglas para la obtención de teoremas a partir de los axiomas (reglas de transformación) constituyen la base primitiva del sistema. Suele distinguirse entre sistemas axiomáticos formalizados y no formalizados. Las fórmulas aceptadas sin demostración se llaman axiomas o postulados. composición de axiomas para formar otras fórmulas. Lo característico del sistema axiomático consiste en disponer de un conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostración y a partir de los cuales se obtienen todas las demás afirmaciones de la teoría. Igualmente. desde los tiempos de la geometría euclidiana. la forma típica de presentar el cálculo o lenguaje formalizado. así también los predicados no primitivos.UNA PRESENTACIÓN AXIOMÁTICA DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL El sistema axiomático El sistema axiomático es. La diferencia principal entre unos y otros consiste en que los formalizados presentan explícitamente todas las reglas de transformación. no conte- 220 . El nombre de ‘reglas de transformación’ está justificado porque las operaciones mediante las cuales se obtienen teoremas a partir de los axiomas consisten en transformaciones de éstos. mientras que los otros no lo hacen. del mismo modo que los teoremas se obtienen de los axiomas. Finalmente. un enunciado que diga que tal o cual fórmula es un axioma será metalingüístico respecto del lenguaje al que pertenezca dicho axioma. En un sistema axiomático formalizado el conjunto de los axiomas y el de las reglas de transformación son ambos efectivos. Como es natural las reglas de transformación y de formación de fórmulas o enunciados son metalingüísticas respecto de las fórmulas del sistema. como sustituciones de unas variables por otras. las cuales se llaman teoremas. Introducción a la lógica y al análisis formal. Una demostración en un sistema axiomático es una sucesión finita de fórmulas cada una de las cuales es o bien un axioma o bien una fórmula obtenida inmediatamente de un axioma por la aplicación de una regla de transformación. en sentido amplio. Idea de demostración Un sistema axiomático se constituye para establecer con precisión la fundamentación de los teoremas de una teoría en sus axiomas y la demostración como el modo formal de fundamentar. q. y. El modo de hacerlo se especifica mediante reglas de definición. Ariel. pp. ∨. entonces P ∨ Q también lo es. Barcelona. Un teorema es. r. s 2. Operadores: ~. ‘[ ]’. Signos de agrupación: ‘( )’. Russell/Whitehead I. ‘{ }’ II. 30 Toda variable proposicional es una fórmula bien formada (fbf). Éstas son todas las reglas de formación del sistema. 3. 103-104.30 Sistema axiomático de Principia Mathematica.nidos en los axiomas. es cualquier fórmula fundamentada del sistema. una fórmula de cualquiera de las dos clases últimamente citadas. 3. Manuel. Variables proposicionales: p. 2. Si P y Q son fbfs. o bien una fórmula obtenida de otra u otras de los dos géneros anteriores mediante una aplicación de las reglas de transformación. 1969. se obtienen en el sistema a partir de las nociones primitivas. 4. Si P es una fbf. SACRISTÁN. 221 . en sentido estricto. Reglas de formación: 1. entonces ~P también lo es. Símbolos primitivos 1. contenidas en los axiomas. ) En una fórmula cualquiera toda variable proposicional puede ser sustituida por cualquier fbf. 1 Ax 2 Ax 3 Ax 4 (p ∨ p) → p q → (p ∨ q) (p ∨ q) → (q ∨ p) (q → r) → [(p ∨ q) → (p ∨ r)] Ejemplos de demostración de teoremas 1. 2) 3. 1) 2. 3) P → Q = def.1. q → ( ~ p ∨ q) 3. V. ~ P ∨ Q P ∧ Q = def.) Si P es una fórmula derivable del sistema y también lo es la fórmula P → Q. siempre que la sustitución se verifique en todos los lugares en que dicha variable aparezca. Demuestre los siguientes teoremas: Teorema 1 q → (p → q) 1. Reglas de transformación: 1. Definición 1 (Def. 1 ~ p/p (1) Def.III. entonces Q es otra fórmula derivable. 2 R. 1(2) .2. 2. Definición 3 (Def. Regla de sustitución (R. q → (p ∨ q) 2. Definiciones: 1. Definición 2 (Def. Axiomas: Ax. (P→ Q) ∧ (Q → P) IV. q → (p → q) 222 Ax. ~ (~ P ∨ ~ Q) P Q = def. Regla de separación (R. ( p ∨ p) → p 2. p/ s (2) 223 . (q ∨ p) → (p ∨ q) Ax.1 q/ r. (~ p ∨ ~ q) → ( ~ q ∨ ~ p) R. ( q → r) → [ ( p ∨ q) → (p ∨ r)] Ax. ( q → r) → [ (p → q) → (p → r)] Def. 2.1 r/ p.6) Teorema 6 (q ∨ p) → (p ∨ q) 1.2 [(p ∨ p) → p]→{[p → (p ∨ p)] → (p → p)} R. 3. p→p ( q → r) → [(p → q) → (p → r)] T.1 p/q (5) p→p R.3) q → (p ∨ q) Ax. 1 ~ p/p (1) Def. 4 2.1 (2) Teorema 3 (p → ~ p) → ~ p 1. (p ∨ q) → (q ∨ p) Ax.2 (2. 1 (2) (p → ~ q) → (q → ~ p) 1. (p → ~ q) → (q → ~ p) Def. 5.1 ~ p/p (1) 3. 3 R. (r ∨ s) → ( s ∨ r) 3. (p → ~ p) → ~ p Teorema 4 Ax. 6. 1 (2) Teorema 5 1. 3 2.1 [ ( p → (p ∨ p)] → (p → p) R.Teorema 2 (q → r) → [(p → q) → (p → r)] 1. ~ q/q (1) 3.1 ~p/p. 2 p → (p ∨ p) R. 7. 4. (p ∨ q) → (q ∨ p) 2. (q → r) → [( ~ p ∨ q) → ( ~ p ∨ r)] R.1 p ∨ p/q p/r (1) (p ∨ p) → p Ax. s /q (1) R.2 (4. (~ p ∨ ~ p) → ~ p 3. 1 R. 1 ~ p/p (1) Def. (p ∨ ~ p) → ( p ∨ ~ ~ ~ p) R.1 ~ p/p (1) Def. ~ ~ ~ p/r (1) 3. 1 (2) p→~~p 1.5 R.6) 224 .2 (5. ~ p → ~ p 3.8 R. ~ p → ~ ~ ~ p R.4) 6.9 4. ~ p ∨ ~ ~ p 3. ~ p ∨ p T. p ∨ ~ p T. p ∨ ~ p Teorema 9 T. p → p 2. 1 (2) Teorema 10 p∨ ~~~p 1.Teorema 7 ~p∨p 1.1 ~ p/p (3) 5.1~ p/q.2 (2. (q → r) [(p ∨ q) → ( p ∨ r)] Ax.8 7. (~ p → ~ ~ ~ p) → [(p ∨ ~ p) → (p ∨ ~ ~ ~ p)] R.5 Def. p ∨ ~ p 2. 1(1) Teorema 8 p∨~p 1. p → ~ ~ p T. p → ~ ~ p T. 4 2. p → p 2. p ∨ ~ ~ ~ p R. ¿Qué símbolos primitivos.Cuestionario N. Demuestre los siguientes teoremas: a) Teorema 11 ~ ~ p → p b) Teorema 12 (~ p → p) → p c) Teorema 13 ~ (p ∧ q) → (~ p ∨ ~ q) d) Teorema 14 (~ p ∨ ~ q) → ~ ( p ∧ q) e) Teorema 15 ~ (p ∧ ~ p) f) Teorema 16 (p → q) → (~ q → ~ p) 225 . ¿Cuál es la finalidad con que se constituye un sistema axiomático? 7. ¿Qué es el sistema axiomático? 2. En el contexto de un sistema axiomático. ¿A qué se denominan axiomas? 3.º 16 Demostración de teoremas de la lógica proposicional 1. ¿Cuál es la diferencia principal entre los sistemas axiomáticos formalizados y aquellos que no son tales? 5.º 12 1. ¿Cuáles son las reglas de transformación y los axiomas que se consideran en PM? Ejercicio N. ¿Cuál es la base primitiva del sistema axiomático? 4. ¿Por qué las reglas de transformación y formación de fórmulas son consideradas metalingüísticas? 6. reglas de formación y definiciones contiene el sistema axiomático de PM? 10. ¿Qué es un teorema? 9. ¿qué es una demostración? 8. 226 g) Teorema 17 (~ q → ~ p) → (p → q) h) Teorema 18 (~ p → q) → (~ q → p) i) Teorema 19 p → (p ∨ p) j) Teorema 20 p → (q → p) . Segunda parte LÓGICA DE PREDICADOS 227 . no es posible decidir con dichos métodos la validez de esta sencilla inferencia: Todos los peruanos son sudamericanos Todos los ayacuchanos son peruanos Luego. Así. sin embargo. tendríamos: p q ∴r (p ∧ q) → r La inferencia propuesta es intuitivamente válida. por ejemplo. todos los ayacuchanos son sudamericanos. Examinando atentamente la estructura de la inferencia llegamos a la evidencia que su validez depende no sólo de las relaciones existentes entre 229 .Idea de la lógica de predicados Los métodos empleados en la lógica de proposiciones resultan insuficientes para examinar otros tipos de inferencias. esta fórmula “p” y “q” implica “r” es inválida porque es posible hacer verdaderas las premisas y falsa la conclusión. Expresando simbólicamente las premisas y la conclusión de la inferencia. ‘cuñado’. 245.. ‘león’ u otros que son sustantivos comunes. La situación se acentúa más con palabras como ‘hermano’. se ocupa esta segunda parte de la lógica llamada lógica de los predicados. En estos casos. son predicados gramaticales y también predicados lógicos de una posición o de un argumento. Hay semejanza entre los predicados del lenguaje natural y los predicados lógicos. los predicados son ‘. en el sentido de que se afirman de sólo un nombre como ‘Juan es veloz’.. en el sentido de que palabras que denotan propiedades o cualidades como ‘rojo’.. Lógica.. . elementos conocidos tradicionalmente con el nombre de términos. ‘.. cuñado de. p... ‘caliente’.. cabeza de.’. 1997. ‘Juan es hermano de Magda’ o ‘Elena es cuñada de Rosa’. ‘peruano’. ‘cabeza’ que el lenguaje de la lógica de predicados interpreta como predicados de dos posiciones o predicados relacionales en el sentido de que se aplican a dos nombres como.. La diferencia que hemos señalado antes se produce con términos como ‘gato’..sus proposiciones. llamada también lógica cuantificacional. hermano de. Luis.’. ‘veloz’. sino también de las relaciones existentes entre los elementos de sus proposiciones.. Lógicamente los llamaremos argumentos y predicados respectivamente.’. de acuerdo a este esquema: Raúl canta Predicado Argumento 31 230 PISCOYA HERMOZA.31 La lógica de predicados. de manera general. Facultad de Educación de la UNMSM. ‘. etc.. pero que en lógica en ningún caso son nombres. basado en el análisis de la estructura interna de las proposiciones atómicas. De este nuevo tipo de inferencia.. Lima. comienza distinguiendo dos clases de términos: los que representan individuos (gramaticalmente “sujetos”) y los que representan propiedades (gramaticalmente “predicados”). sino predicados. por ejemplo. . Ejemplo: Manuel Kant es filósofo. Las proposiciones que intervienen en este nuevo tipo de inferencia son atómico-predicativas. Sintaxis de la lógica de predicados Los símbolos que introduce la lógica de predicados son: • Variables individuales. Ejemplo: Todos los geriatras son médicos. que representan individuos determinados. representados por los términos “todos” y “algunos”.): cuantificador universal ( ∃ .. H… • Cuantificadores. Se usan estas letras mayúsculas: F.. b. los cuantificadores. hacen referencia a la totalidad o a una parte de los miembros de un conjunto. d.El predicado determina al argumento y es considerado por la lógica de predicados como una nota o característica del sujeto. que representan predicados indeterminados. Ejemplo: Algunos musulmanes son talibanes. de acuerdo a la cantidad del sujeto. G. La cantidad del sujeto en estas proposiciones introduce nuevos elementos. Se emplean las últimas letras minúsculas del alfabeto: x. c. los cuantificadores son de dos tipos: ( ∀ . c) Particulares: el sujeto es una parcialidad de individuos.): cuantificador existencial 231 .. que representan individuos indeterminados. y. Estos nuevos elementos determinan cuantitativamente a sus argumentos. Se utilizan las primeras letras minúsculas del alfabeto: a.. Pudiendo ser la generalización universal o particular. Consecuentemente. • Constantes individuales.. z. b) Universales: el sujeto es una totalidad de individuos. • Variables predicativas. pueden clasificarse en: a) Singulares: el sujeto es un individuo. Cada variable predicativa seguida de una o más constantes individuales es una proposición atómica. Ejemplos: a) Fa ∧ Gb b) Fa → (Gb ∨ Hc) c) Fa ∧ Gb ∧ Hc R.4. Cada proposición atómica afectada al menos por un operador es una proposición molecular. y entonces estamos en el ámbito de la lógica de predicados de primer orden. La lógica cuantificacional aquí desarrollada es de primer orden. o bien.Los símbolos “ ∀ ” y “ ∃ ” se llaman cuantificadores. Reglas de formación de fórmulas bien formadas R. Ejemplos: a) Fx ∧ Gy b) Fx → (Gy ∨ Hz) c) Fx ∧ Gy ∧ Hz 232 . Ejemplos: a) Fa b) Gab c) Habc R. Cada variable predicativa seguida de una o más variables individuales es una función proposicional atómica. en el contexto de la lógica de predicados de segundo orden.2. En el espacio vacío que le sigue dentro del paréntesis se colocan o bien variables individuales como ( ∀ x) y ( ∃ x). pues los cuantificadores sólo contienen variables individuales. variables predicativas como ( ∀ F) y ( ∃ F) situándonos. Cada función proposicional atómica afectada al menos por un operador es una función proposicional molecular. con esto. Ejemplos: a) Fx b) Gxy c) Hxyz R.3.1. Si cuantificamos las variables libres de una función proposicional obtenemos una proposición. Son variables libres las variables que no son afectadas por algún cuantificador. Son fórmulas abiertas las fórmulas que contienen al menos una variable libre. Ejemplos: a) ( ∃ x) Fx b) ( ∃ x ) ( ∃ y ) (Fx ∧ Gy) c) ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ∀ z ) [(Fx → Gy) ∨ Hz] R.10. Ejemplos: a) Fx b) ( ∀ x) ( ∀ y) ( ∀ z) (Fx → Gy) ∨ Hz c) Fx ∧ ( ∃ y) ( ∃ z) (Gy ∧ Hz) R.9.5. Ejemplos: a) ( ∃ x) Fx b) ( ∃ x) ( ∃ y) (Fx ∧ Gy) c) ( ∀ x) ( ∀ y) ( ∀ z) [(Fx → Gy) ∨ Hz] R.8. Ejemplos: a) Fx: Fa b) Gxy: Gab c) Hxyz: Habc 233 . Si sustituimos las variables libres de una función proposicional por constantes individuales obtenemos una proposición. Ejemplos: a) Fx b) (Fx → Gy) ∨ Hz c) Fx ∧ (Gy ∧ Hz) R.R. Ejemplos: a) Fx: ( ∀ x) Fx b) (Fx → Gy) ∨ Hz: ( ∀ x) ( ∃ y) ( ∀ z) [((Fx → Gy) ∨ Hz] c) Fx ∧ (Gy ∧ Hz): ( ∃ x) ( ∃ y) ( ∃ z) [Fx ∧ (Gy ∧ Hz)] R.7.6. Son variables ligadas las variables afectadas por algún cuantificador. Son fórmulas cerradas las fórmulas que no contienen variables libres. 13. En la lógica de predicados de primer orden se cuantifican sólo las variables individuales. En la lógica de predicados de segundo orden se cuantifican también las variables predicativas. Ejemplos: a) ( ∃ x) ( ∃ y) Fxy b) ( ∃ x) ( ∃ y) (Fx ∧ Gy) c) ( ∀ x) ( ∀ y) ( ∀ z) [(Fx → Gy) ∨ Hz] R. Ejemplos: a) ( ∃ x) Fx b) ( ∃ y) (Fy ∧ Gy) c) ( ∀ z) [(Fz → Gz) ∨ Hz] R.11. se usa cualquier letra mayúscula para los predicados y cualquier letra minúscula para las constantes individuales. Son fórmulas predicativas monádicas las que contienen una sola variable individual.R. Ejemplos: a) David es abogado: Ad b) David y Goliat no son médicos: ~ Md ∧ ~ Mg c) Es falso que David y Goliat sean filósofos: ~ (Fd ∧ Fg) d) David y Goliat son hermanos: Hdg 234 . por razones operativas.14.12. Son fórmulas predicativas poliádicas las que contienen dos o más variables individuales. Ejemplos: a) ( ∃ F) ( ∃ x) ( ∃ y) Fx b) ( ∃ G) ( ∃ x) ( ∃ y) (Fx ∧ Gy) c) ( ∀ x) ( ∀ y) ( ∀ H) ( ∀ z) [(Fx → Gy) ∨ Hz] Formalización de proposiciones singulares Una proposición predicativa se simboliza funcionalmente invirtiendo el orden de sus elementos y. Ejemplos: a) ( ∃ x) Fx b) ( ∃ x) ( ∃ y) (Fx ∧ Gy) c) ( ∀ x) ( ∃ y) ( ∀ z) [(Fx → Gy) ∨ Hz] R. e) Lima es la capital del Perú: Clp f) Lima está entre Áncash e Ica: Elai Todas estas fórmulas. Formalización de funciones proposicionales Las siguientes expresiones ‘x es inteligente’ e ‘y es sabio’. representan proposiciones pues sus argumentos o sujetos están simbolizados por constantes que significan individuos determinados. Transformación de funciones en proposiciones: Hay dos maneras de transformar funciones en proposiciones. sino que también puede intervenir cualquier otra variable individual como “y”. Para ampliar su significación a más individuos se le anteponen los cuantificadores. casi proposiciones ya que sus argumentos están representados por variables que significan individuos indeterminados. de la ‘a)’ hasta la ‘f)’. pues. es decir. Cuantificación: Una función proposicional expresa simbólicamente la forma de una proposición individual. como se ha visto anteriormente: 235 . No es. consecuentemente se pueden calificar de verdaderas o falsas. Así se tiene: Px : x es periodista ( ∃ x) Px : algunos x son periodistas ( ∀ x) Px : todos los x son periodistas La variable que constituye el cuantificador es precisamente la variable que se desea cuantificar. de manera que no pueden ser calificadas de verdaderas ni de falsas. son funciones proposicionales. que se simbolizan respectivamente ‘Ix’ y ‘Sy’. necesario que siempre se escriba “x”. “z”. su expresión simbólica es la siguiente: Proposiciones Todo x enseña : Ningún x enseña : Algún x enseña : Algún x no enseña : Fórmulas ( ∀ x) Ex ( ∀ x) ~ Ex ( ∃ x) Ex ( ∃ x) ~Ex Equivalencia de proposiciones cuantificadas: Las relaciones entre las proposiciones cuantificadas aparecen claramente si las colocamos en el cuadro tradicional: 236 . tanto universales como existenciales. Ejemplo: • Fx (función proposicional) • Fa (proposición) b) Anteponiendo un cuantificador a la función.a) Sustituyendo la variable individual por una constante individual. pueden ser afirmativas o negativas. Formalización de proposiciones cuantificadas Como las proposiciones cuantificadas. Ejemplo: • Fx (función proposicional) • ( ∃ x) Fx (proposición) • ( ∀ x) Fx (proposición) Está claro que al anteponer un cuantificador a la función se ha especificado cuantitativamente el dominio de la variable individual de manera que las expresiones resultantes pueden ser calificadas de verdaderas o falsas ya que tienen un significado determinado. ( ∀ x) Fx ( ∀ x) ~ Fx S CO RIA NT O T RA DIC DIC T OR RA IAS NT O C ( ∃ x) Fx ( ∃ x) ~ Fx sabemos que la verdad de una de ellas se sigue la falsedad de su contradictoria. si se niega cualquiera de éstas se obtiene una equivalencia. a) ( ∀ x) Fx b) ( ∃ x) Fx c) ( ∀ x) ~ Fx d) ( ∃ x) ~ Fx ~ ( ∃ x) ~ Fx ~ ( ∀ x) ~ Fx ~ ( ∃ x) Fx ~ ( ∀ x) Fx Ejemplos: a) Todos son probos equivale a es falso que algunos no sean probos b) Algunos son probos equivale a es falso que ninguno sea probo c) Ninguno es probo equivale a es falso que algunos sean probos d) Algunos no son probos equivale a es falsoque todos sean probos 237 . Reglas de equivalencia entre cuantificadores (Intercambio de cuantificadores: IC) Para intercambiar cuantificadores se suple uno con otro teniendo cuidado de cambiar de signo tanto el cuantificador como a la función predicativa. Luego. Proposición universal afirmativa (A) La proposición Todos los limeños son peruanos puede representarse funcionalmente Para todo x. Por ejemplo. la fórmula resultante es: ( ∀ x) (Lx → Px) 238 . si x es limeño. las siguientes proposiciones a) La noticia es sensacional y el público aplaude p q b) Si la función tiene éxito. el promotor se alegra p q se representarán así: a) Sn ∧ Ap b) Ef → Ap Formalización de las proposiciones categóricas Estamos ahora en condiciones de proponer para las proposiciones tradicionales una expresión simbólica más ágil (usada ya por Aristóteles) que permita adaptarlas a los nuevos procedimientos decisorios.Formalización de proposiciones complejas Habiendo establecido la representación funcional de las proposiciones atómicas es posible ahora conectarlas con los operadores de la lógica proposicional para formar con ellas proposiciones moleculares. entonces x es peruano ( ∀ x) Lx → Px es decir. x es juez y x no es corrupto ( ∃ x) Jx ∧ ~ Cx es decir.Proposición universal negativa (E) La proposición Ningún congresista es adolescente Se representa funcionalmente Para todo x. la fórmula resultante es: ( ∀ x) (Cx → ~ Ax) Proposición particular afirmativa ( I ) La proposición Algunos universitarios son sanmarquinos se representa funcionalmente Existe por lo menos un x tal que. si x es congresista. entonces x no es adolescente ( ∀ x) Cx → ~ Ax es decir. x es universitario y x es sanmarquino ( ∃ x) Ux ∧ Sx es decir. la fórmula es: ( ∃ x) (Jx ∧ ~ Cx) 239 . la fórmula es: ( ∃ x) (Ux ∧ Sx) Proposición particular negativa (0) La proposición Algunos jueces no son corruptos se representa funcionalmente Existe por lo menos un x tal que. Ejemplos: • ( ∀ x) (Fx → Gx) • ( ∃ x) [(Fx ∨ Gx) ∧ Hx] 240 . Ejemplos: • ( ∀ x) Fx • ( ∀ x) Fx → Gx en ambos casos el alcance sólo llega a Fx b) Si un cuantificador va delante de signos de agrupación su alcance se extiende a toda la expresión encerrada dentro de ellos.Formalización del cuadro de Boecio en el lenguaje de predicados Ahora el cuadro de Boecio queda conformado de la siguiente manera: ( ∀ x) (Fx→Gx) ( ∀ x) (Fx → ~Gx) IAS CO OR T NT RA DIC DIC TO RA RIA NT CO S ( ∃ x)(Fx ∧ Gx) ( ∃ x) (Fx ∧ ~ Gx) Alcance de los cuantificadores Conviene determinar algunos criterios para indicar el área de influencia de un cuantificador: a) Si un cuantificador no va seguido de un signo de agrupación su alcance llega hasta la variable correspondiente a la primera letra de predicado a su derecha. no están bajo el alcance de un cuantificador. en este caso. Igualmente. b) Variables ligadas. están bajo el alcance de un cuantificador. una fórmula cerrada de la forma ‘( ∀ x) ( ∃ y) Fxy’. Finalmente. que es el operador de mayor jerarquía. ‘Fxy’ es una función proposicional. el cuantificador universal. pero si le anteponemos un cuantificador para cada una de sus variables obtenemos una proposición. ‘c)’ es una fórmula cerrada pues las dos incidencias de ‘x’ están ligadas al cuantificador existencial. sus dos variables están libres del alcance de un cuantificador. ‘b)’ es una fórmula abierta pues la primera incidencia de ‘y’ es libre.Variables libres y ligadas Se distinguen dos clases de variables: a) Variables libres. Fórmulas abiertas y fórmulas cerradas Una fórmula se llama abierta si exhibe al menos una variable libre. Otros ejemplos: a) ( ∀ x) (Fx ∨ Gx) b) ( ∀ x) Fxy ∨ ( ∃ y) Gxy c) ( ∃ x) (Fxa ∨ Gx) ‘a)’ es una fórmula cerrada pues las dos incidencias de ‘x’ están ligadas al cuantificador universal que es el operador de mayor jerarquía. y a la letra ‘a’ no se le puede aplicar un cuantificador porque no es una variable sino una constante individual. sólo liga la primera incidencia de ‘x’. consecuentemente es una fórmula abierta. esto es. esto es. 241 . Una fórmula se denomina cerrada si no exhibe ninguna variable libre y es interpretable como una proposición. toda fórmula abierta es una función proposicional. Igualmente la segunda incidencia de ‘x’ también es libre porque el segundo cuantificador no liga a ‘x’ y el primer cuantificador tiene alcance sólo hasta antes de ‘∨’. no es interpretable como proposición. Leyes de oposición aristotélica Con la nueva simbolización del cuadro de oposición se pueden determinar claramente las leyes de oposición con el simple recurso de negar la contradictoria resultando las siguientes equivalencias: a) ( ∀ x) (Fx → Gx) b) ( ∀ x) (Fx → ~Gx) c) ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) d) ( ∃ x) (Fx ∧ ~ Gx) ~ ( ∃ x) (Fx ∧ ~ Gx) ~ ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) ~ ( ∀ x) (Fx → ~Gx) ~ ( ∀ x) (Fx → Gx) Demostración de la validez de las leyes de la oposición aristotélica Se demuestra la validez de las leyes de oposición verificando si la primera fórmula de la equivalencia es reducible a una fórmula isoforma a la segunda. En relación con la primera ley tenemos: a) ( ∀ x)(Fx → Gx) 1. 242 . (2) Confirmada la reducibilidad queda verificada la equivalencia y por consiguiente la validez de la ley. ~ ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) ~ ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) IC (1) Impl. (2) Verificada la reducibilidad se concluye la validez de la ley. Tomemos ahora la segunda ley: b) ( ∀ x) (Fx → ~ Gx) 1. ~ ( ∃ x) (Fx ∧ ~ Gx) ~ ( ∃ x)(Fx ∧ ~ Gx) IC (1) Impl. ~ ( ∃ x) ~ (Fx → ~ Gx) 3. ~ ( ∃ x) ~ (Fx → Gx) 3. ( ∀ x) (Fx → ~ Gx) 2. ( ∀ x) (Fx → Gx) 2. (2) Verificada la reducibilidad se concluye la validez de la ley.La tercera ley queda demostrada como sigue: c) ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) 1. En gracia a la brevedad sólo señalaremos las siguientes: a) Los enunciados en la lógica antigua eran categóricos. ~ ( ∀ x) ~ (Fx ∧ ~ Gx) 3. ahora no se puede realizar tal inferencia. ahora no es posible hacerlo. la validez de la ley. ( ∃ x) (Fx ∧ ~ Gx) 2. ~ ( ∀ x) ~ (Fx ∧ Gx) 3. c) De la verdad de una universal se infería la falsedad de su contraria. ahora se presentan como condicionales. Por último en relación con la cuarta ley tenemos: d) ( ∃ x) (Fx ∧ ~ Gx) 1. Consecuencias del nuevo enfoque de las leyes de la oposición aristotélica El nuevo enfoque de la oposición aristotélica nos lleva a varias conclusiones. (2) Confirmada la reducibilidad queda verificada la equivalencia y. ~ ( ∀ x) (Fx → Gx) ~ ( ∀ x) (Fx → Gx) IC (1) Imp. ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) 2. ~ ( ∀ x) (Fx → ~ Gx) ~ ( ∀ x) (Fx → ~ Gx) IC (1) Imp. d) Sólo conserva su validez la inferencia entre contradictorias. como se ha observado en la formulación de las leyes de oposición. por consiguiente. 243 . pues ambas pueden ser verdaderas. b) De la verdad de una universal se infería la verdad de su correspondiente particular. el sujeto se llama término menor y se le representa con la letra S. pero sí en las dos premisas. pero sí en las premisas) 244 .El silogismo categórico El silogismo categórico es un tipo de inferencia que consta de tres proposiciones categóricas y de tres términos. La conclusión de un silogismo es una proposición categórica que contiene dos de sus tres términos: el predicado se llama término mayor y se le representa con la letra mayúscula P. La premisa que contiene el término mayor se llama premisa mayor y la que contiene el término menor se denomina premisa menor. algunos abogados no son adolescentes S P S: Término menor (Sujeto de la conclusión) P: Término mayor (Predicado de la conclusión) M:Término medio (No aparece en la conclusión. se llama término medio y se le representa con la letra M. Las dos primeras proposiciones se denominan premisas y la última se denomina conclusión. El término que no aparece en la conclusión. Ejemplo: Ningún adolescente es congresista P PREMISA MAYOR M Premisas Algunos abogados son congresistas S Conclusión PREMISA MENOR M Luego. • En la segunda figura el término medio es predicado en ambas premisas. • En la tercera figura el término medio es sujeto en ambas premisas. • En la cuarta figura el término medio es predicado en la mayor y sujeto en la menor. la primera designa la premisa mayor. en el modo AIO la premisa mayor es una A. Los silogismos pueden tener cuatro figuras diferentes y ser esquematizadas de la siguiente manera: Primera figura Segunda figura Tercera figura Cuarta figura MP PM MP PM SM SM MS MS SP SP SP SP • En la primera figura el término medio es sujeto en la premisa mayor y predicado en la menor. Se representa cada modo por tres letras mayúsculas. Así. La forma de un silogismo categórico puede describirse de manera completa indicando su figura y su modo. Las figuras del silogismo designan la posición del término medio en las premisas. Así.Los modos y las figuras del silogismo categórico Los modos del silogismo hacen referencia al orden y al tipo de proposiciones categóricas que contiene. la segunda la premisa menor y la tercera la conclusión. un silogismo de la tercera figura y el modo EIO (3-EIO) tendrá la siguiente forma: Tercera Figura Modo Forma M P E Ningún M es P M S I Algunos M son S S P O Algunos S no son P 245 . la menor es una I y la conclusión es una O. AII 2. Si coincide con una de las formas válidas el silogismo es válido. Se determina su figura y su modo. en virtud de su forma válida.EIO La validez de un silogismo depende exclusivamente de su forma y es completamente independiente de su contenido. Así. Se halla la forma lógica del silogismo.AEE 1. sea cual fuere aquello de lo que trata.EIO 2.EIO 1. Ningún triángulo es circular.AEE 3.EIO 3-OAO 4. Paso 3.EAE 2.EAE 3.IAI 1.AOO 3. cualquier silogismo de la forma 1. 2. algunas figuras no son circulares 246 .AAA 2. Análisis de silogismos mediante el método analógico Analizar un silogismo mediante el método analógico significa determinar su validez comparando la forma de un silogismo que se desea analizar con otra lógicamente válida. Algunos triángulos son figuras Luego. Se confronta la fórmula obtenida con las formas válidas del silogismo. Procedimiento: Paso 1.IAI 4. Paso 2. no es válido.Formas válidas de silogismos De los 19 silogismos válidos de acuerdo con las reglas de Aristóteles sólo 15 son lógicamente válidos a la luz de los métodos de la lógica moderna: Primera Figura Segunda Figura Tercera Figura Cuarta Figura 1. Ejemplos: a) 1.AII 4.AAA es válido. si no coincide. EIO a 5 ) El silogismo es válido. ningún deportista es planeta 247 . Algunos M son S Luego. 2. Todos los M son P 2. Todos los S son M Luego.a 1 ) Forma lógica: 1. c) 1. Ningún astro es deportista Luego. Todos los estudiantes son jóvenes. Ningún M es P 2. puesto que su forma lógica es válida. Todos los planetas son astros 2. Todos los universitarios son estudiantes. todos los universitarios son jóvenes b1 ) Forma lógica 1. Luego. algunos S no son P a 2 ) Modo: EIO a 3 ) Figura: Tercera (3) a 4 ) Forma lógica válida: 3. todos los S son M b2 ) Modo: AAA b3 ) Figura: primera (1) b4 ) Forma lógica válida: 1-AAA b5 ) El silogismo es válido porque su forma lógica es válida. b) 1. Todos los P son M 2. d1 ) Forma lógica: 1. 248 . Todos los P son M 2. Algunos animales no son cuadrúpedos. Algunos S no son M Luego. algunos S no son P d2 ) Modo: AOO d3 ) Figura: Segunda (2) d4 ) Forma lógica válida: 2-AOO d5 ) El silogismo es válido. pues su forma lógica es válida. d) 1. algunos animales no son felinos.c1 ) Forma Lógica: 1. 2. Ningún M es S Luego. Todos los felinos son cuadrúpedos.AEE c5 ) El silogismo es válido ya que su forma lógica es válida. ningún S es P c2 ) Modo: AEE c3 ) Figura: Cuarta (4) c4 ) Forma lógica válida: 4. Luego. ¿En qué consisten las cuatro leyes de intercambio de cuantificadores? 9. ¿Cuál es la estructura del silogismo categórico? 16. ¿De qué se ocupa la lógica de predicados? 2. ¿Qué es preciso tomar en cuenta al momento de aplicar las reglas de equivalencia entre cuantificadores? 10. ¿En qué consiste el análisis de silogismos mediante la analogía lógica y cuál es el procedimiento a seguir? 249 . Teniendo en cuenta la cantidad del sujeto. ¿Cómo se denominan y cómo se representan los términos de las proposiciones que conforman un silogismo? 17. ¿Cuál es la expresión simbólica de las proposiciones una vez cuantificadas? 8.º 13 1. 19. ¿Cuántas clases de variables existen? 12. ¿Qué son los modos del silogismo? 18. y en qué consiste cada una de ellas? 7. ¿Qué son las figuras del silogismo? Esquematícelas y descríbalas. ¿Cuáles son las consecuencias del nuevo enfoque de la oposición aristotélica? 14. ¿A qué se denomina silogismo categórico? 15. ¿Cómo se demuestran las leyes de oposición aristotélica? Demuestre cada una de ellas. ¿Qué clase de términos distingue la lógica de predicados? 3. 5. 13. ¿cómo se clasifican las proposiciones que conforman las inferencias estudiadas por la lógica de predicados? 4. ¿Cuáles son las quince formas válidas de silogismos categóricos? 20. ¿Cómo se simboliza una proposición predicativa? Ponga ejemplos. Simbolice el cuadro de oposición de Boecio. ¿Cuáles son los símbolos usados en el ámbito de la lógica de predicados? Refiérase brevemente a cada uno de ellos. 11.Cuestionario N. ¿Cuántas maneras de transformar una función proposicional en proposición existen. 6. Ejemplificación universal (EU) ( ∀ x) Fx Fw Permite prescindir durante la derivación del cuantificador universal. Son las siguientes: Reglas de eliminación y reintroducción de cuantificadores 1.3. Ejemplificación existencial (EE) ( ∃ x) Fx Fw Permite prescindir durante la derivación del cuantificador existencial. 250 . Generalización universal (GU) Fw ( ∀ x) Fx Autoriza a añadir el cuantificador universal a un enunciado condicional.1. 1.EL MÉTODO DE LA DEDUCCIÓN NATURAL CON FÓRMULAS CUANTIFICADAS Antes de exponer el método de la deducción natural con fórmulas cuantificadas es preciso introducir cuatro reglas adicionales. 1.2. Análisis de silogismos mediante el método de la deducción natural Procedimiento: Por convención designaremos a los tres términos del silogismo con las letras mayúsculas F.4. c) Se aplican las leyes de derivación. Generalización existencial (GE) Fw ( ∃ x) Fx Autoriza a añadir el cuantificador existencial a un enunciado conjuntivo. la variable original. d) Se restituye el cuantificador a la fórmula resultante aplicando las reglas de generalización reintroduciendo.1. b) Se suprimen los cuantificadores mediante las reglas de ejemplificación teniendo cuidado de cambiar la variable por un símbolo de individuo. 251 . de este modo. G y H de la siguiente manera: Término menor : F Término mayor : G Término medio : H Luego se dan los siguientes pasos: a) Se simbolizan los silogismos y se disponen las premisas tal como se hace en el método de la deducción natural. se le aplica la regla de GU restituyéndole la variable 6. ( ∀ x) (Fx → Gx) GU (5) Respuesta: El silogismo es válido. algunos civiles son crueles a) Se simboliza el silogismo 1. Fw → Hw EU (2) c) Se aplican las leyes de derivación 5. ( ∀ x) (Hx→ Gx) 2. ( ∀ x) (Fx → Hx)/ ∴ ( ∀ x) (Fx → Gx) b) Se suprimen los cuantificadores 3. ( ∀ x) (Hx → Gx) 2. Hw → Gw EU(1) 4. Ejemplo 2 Sea el silogismo: Todos lo tiranos son crueles Algunos civiles son tiranos Luego.Ejemplo 1 Sea el silogismo: Todos los felinos son mamíferos Todos los tigres son felinos Luego. ( ∀ x) (Fx ∧ Hx) / ∴ ( x) (Fx ∧ Gx) 252 . todos los tigres son mamíferos a) Se simboliza el silogismo 1. Fw → Gw SH (4.3) d) Siendo condicional el enunciado resultante. Análisis de inferencias asilogísticas mediante el método de la deducción natural En la inferencia silogística sólo se han cuantificado proposiciones atómicas. En este caso las inferencias se complican y nos salimos ya de los moldes tradicionales. proposiciones en las que intervienen las conjunciones. (4) 8. Fw ∧ Hw EE (2) c) Se aplican las leyes de derivación 5. 6) d) Siendo conjuntivo el enunciado resultante se le aplica la regla de GE restituyéndole la variable 9. Hw→ Gx EU (1) 4. (4) 6. es decir. Fw ∧ Gw Conj. las iniciales de los términos que entren en la inferencia. (7. sino de inferencias no silogísticas o asilogísticas. Pero también es posible cuantificar proposiciones moleculares. Gw MP (3.b) Se suprimen los cuantificadores 3. Fw Simp. de allí la sencillez de este tipo de inferencias. tenemos que hablar ahora. Procedimiento: Por convención utilizaremos diversas constantes predicativas eligiendo. Hw Simp. siempre que sea posible. ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) GE (8) Respuesta: El silogismo es válido. Por consiguiente. 5) 7. 253 . no de inferencias silogísticas. ( ∀ x) [Lx → (Rx ∧ Ex)] 2.8) GE (9) Respuesta: La inferencia es válida. Rw ∧ Ew 7. Rw ∧ Fw 10. Luego. 3. Lw → (Rw ∧ Ew) 4. Algunos lógicos son filósofos.Luego se simbolizan las proposiciones. Lw ∧ Fw 5. se ordenan en la forma conocida y se procede a las derivaciones.5) Simp. (6) Simp (4) Conj. 254 . Ejemplo 1 Sea la inferencia: Todos los lógicos son reflexivos y estudiosos. algunas personas reflexivas son filósofos. ( ∃ x) (Lx ∧ Fx) / ∴ ( ∃ x) (Rx ∧ Fx) c) Se ejecutan las derivaciones. ( ∃ x) (Rx ∧ Fx) EU(1) EE (2) Simp. (7. Fw 9. Rw 8. Todos los lógicos son reflexivos y estudiosos Algunos lógicos son filósofos Luego. (4) MP (3. Lw 6. algunas personas reflexivas son filósofos a) Se determinan las funciones predicativas Lx: Rx: Ex: Fx: x es lógico x es reflexivo x es estudioso x es filósofo b) Se simboliza la inferencia 1. Ejemplo 2 Sea la inferencia: Todos los hombres son mortales. Todos los hombres son mortales Alejandro es hombre Luego. ( ∀ x) (Hx → Mx) 2. Alejandro es hombre. Ha / ∴ Ma c) Se ejecutan las derivaciones 3. Alejandro es mortal. En consecuencia. Alejandro es mortal a) Se determinan las funciones predicativas Hx: x es hombre Mx: x es mortal Ha: a es hombre Ma: a es mortal b) Se simboliza la inferencia 1. Ma MP(2.3) Respuesta: La inferencia es válida. Ha → Ma EU(1) 4. 255 . hay cosas que no son materiales. Nada es extenso Por consiguiente. 1. Si todo es material. Por consiguiente. Pero nada es extenso. hay cosas que no son materiales 256 .Ejemplo 3 Sea la inferencia: Todo es espacial o no es material.Todo es espacial o no es material Luego. no hay cosas que no sean espaciales y sean materiales a) Se determinan las funciones predicativas Ex: x es espacial Mx: x es material b) Se simboliza la inferencia 1. no hay cosas que no sean espaciales y sean materiales. entonces hay cosas extensas. Ejemplo 4 Sea la inferencia: Si todo es material. entonces hay cosas extensas 2. ~ ( ∃ x) ~ (Ex ∨ ~ Mx) 3. 1 . ~ ( ∃ x) (~ Ex ∧ Mx) IC (1) De M (2) Respuesta: La inferencia es válida. Luego. ( ∀ x) (Ex ∨ ~ Mx) /∴~ ( ∃ x) ( ~ Ex ∧ Mx) c) Se ejecutan las derivaciones 2. ~ ( ∀ x) Mx 5. Todo es fácil Luego. 3. No hay cosas que no sean agradables 3. entonces Martha no estudiará 2. Ejemplo 5 Sea la inferencia: Si todo es fácil y agradable. ( ∀ x) ~ Ex / ∴ ( ∃ x) ~ Mx c) Se ejecutan las derivaciones. Mx: x es material Ex: x es extensa b) Se simboliza la inferencia. entonces Martha no estudiará.3) IC (4) Respuesta: La inferencia es válida. 1.a) Se determinan las funciones predicativas. Si todo es fácil y agradable. Todo es fácil. ~ ( ∃ x) Ex 4. No hay cosas que no sean agradables. 1. María no estudiará. ( ∀ x) Mx → ( ∃ x) Ex 2. Luego. ( ∃ x) ~ Mx IC (2) MT (1. Martha no estudiará a) Se determinan las funciones predicativas Fx: x es fácil Ax: x es agradable Em: m estudia 257 . C (5) MP (1. A partir de la disyunción de funciones proposicionales cuantificadas universalmente se infiere la cuantificación universal de la disyunción de dichas funciones proposicionales. 4) Dist. ( ∀ x) Fx ∧ ( ∀ x) Ax 6. ( ∀ x) (Fx ∧ Ax) → ~ Em 2. ( ∀ x)Ax 5. ~ Em IC (2) Conj. ( ∀ x) (Fx ∧ Ax) 7. El cuantificador existencial es distributivo con respecto a la disyunción. ( ∀ x) (Fx ∧ Gx) ( ∀ x) Fx ∧ ( ∀ x)Gx 2.b) Se simboliza la inferencia 1. El cuantificador universal es distributivo con respecto a la conjunción. (3. ( ∀ x) Fx /∴~ Em c) Se ejecutan las derivaciones 4. 6) Respuesta: La inferencia es válida. [ ( ∀ x) Fx ∨ ( ∀ x) Gx] → ( ∀ x) (Fx ∨ Gx) 258 . Distribución de cuantificadores 1. ( ∃ x) (Fx ∨ Gx) ( ∃ x) Fx ∨ ( ∃ x)Gx Igualmente para futuras demostraciones es conveniente tener en cuenta dos implicaciones: 3. ~ ( ∃ x) ~ Ax 3. entonces Fernando hará el trabajo. No es cierto que haya cosas que no sean simples y haya cosas que no sean fáciles Por lo tanto. Fernando hará el trabajo. ( ∀ x) (Sx ∨ Fx) 6. Si todo es simple o fácil. 5) Respuesta: La inferencia es válida. ( ∀ x) Sx ∨ ( ∀ x) Fx 5. Por lo tanto. a) Se determinan las funciones predicativas. 259 . ~ ( ∃ x) ~ Sx ∨ ~ ( ∃ x) ~ Fx 4. 1. entonces Fernando hará el trabajo. 1. 2. ( ∀ x) (Sx ∨ Fx) → Hf 2. ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) → [ ( ∃ x) Fx ∧ ( ∃ x) Gx] Ejemplo 6 Si todo es simple o fácil. No es cierto que haya cosas que no sean simples y haya cosas que no sean fáciles. 3. Fernando hará el trabajo. ~ [( ∃ x) ~ Sx ∧ ( ∃ x) ~ Fx] /∴ Hf c) Se ejecutan las derivaciones. Sx: x es simple Fx: x es fácil Hf: f hace el trabajo b) Se simboliza la inferencia. A partir de la cuantificación existencial de la conjunción de funciones proposicionales se infiere la conjunción de la cuantificación existencial de los conjuntivos. C (4) MP (1.4. Hf De M (2) IC (3) Dist. Todos los cuervos son negros y tienen pico En consecuencia. (1) Dist. esto es. predicados que se aplican a un único individuo ya sea constante o variable. ( ∀ x) [Cx → (Nx ∧ Px) ] / ∴ ( ∀ x) (Cx → Nx) ∧ ( ∀ x) (Cx → Px) c) Se ejecutan las derivaciones. Cx: x es cuervo Nx: x es negro Px: x tiene pico b) Se simboliza la inferencia. 1. ( ∀ x) [(Cx → Nx) ∧ (Cx → Px) ] 5. Ejemplos: 260 . Formalización de predicados poliádicos Los predicados considerados anteriormente eran predicados monádicos. todos los cuervos son negros y todos los cuervos tienen pico. hay otros predicados llamados poliádicos o relacionales. 1.Ejemplo 7 Todos los cuervos son negros y tienen pico. aquellos que involucran a dos o más individuos. ( ∀ x) [(~ Cx ∨ Nx) ∧ (~ Cx ∨ Px) ] 4. esta última libre o ligada. 2. En consecuencia. (3) Dist. ( ∀ x) [~ Cx ∨ (Nx ∧ Px) ] 3. a) Se determinan las funciones predicativas. (2) Impl. C (4) Respuesta: La inferencia es válida. todos los cuervos son negros y todos los cuervos tienen pico. es decir. Sin embargo. ( ∀ x) (Cx → Nx) ∧ ( ∀ x) (Cx → Px) Impl. Los predicados poliádicos se expresan simbólicamente con las mismas letras que los predicados monádicos y los individuos se representan igualmente por medio de constantes o variables. ‘c)’. j) Esperanza. f) César presenta a Raúl a Susana. ‘a)’ es un predicado diádico. Laura y Marisol intercambian ideas. Ricardo y Daniel juegan juntos. h) Eduardo lee El Quijote a sus amigos. Ejemplos: a) Felipe es mayor que Angélica: Mfa (M: ser mayor que. y n-ádicos los predicados que involucran a más de cuatro individuos. ‘g)’ y ‘h)’ son predicados triádicos. Asimismo. d) La Tierra gira alrededor del Sol. ‘f)’. g) Raúl viajará de Lima a Ica.a) Oscar admira a Vilma. e) Asia es más poblada que Europa. Diana. ‘d)’ y ‘e)’ son predicados diádicos. a: Angélica. Luis. Consecuentemente. ‘Estar entre’ es un predicado que involucra a tres individuos: Lima. ‘b)’ es un predicado triádico. ‘i)’ y ‘j)’ son predicados tetrádicos. f: Felipe. Finalmente. i) Alberto. f: Felipe) c) César ama a Raquel: Acr d) César no ama a Raquel: ~ Acr 261 . Por tanto. ‘Admirar a’ es un predicado que involucra a dos individuos: Oscar y Vilma. c) Silvia cuida a sus hijos. Áncash e Ica. b) Lima está entre Áncash e Ica. Igualmente. según corresponda. a: Angélica) b) Angélica es mayor que Felipe: Maf (M: ser mayor que. en cambio. Si. En atención a esto si todas las variables caen bajo el alcance de un cuantificador representarán una proposición general. Ejemplos: a) Todos admiran a Valentín ( ∀ x) Axv b) Alan admira a alguien ( ∃ x) Aax c) Todos los filósofos admiran a Platón ( ∀ x) (Fx → Axp) d) Daniel aprende de algún profesor ( ∃ x) (Px ∧ Adx) e) Todos aman u odian a Barrabás ( ∀ x) (Axb ∨ Oxb) 262 . tal como se señaló anteriormente.e) Ernesto es más joven que David y Tarcila es más joven que Rocío: Jed ∧ Jtr Formalización de funciones proposicionales y proposiciones generales con predicados poliádicos Las expresiones que contienen por lo menos una variable libre son funciones proposicionales. hay por lo menos una variable libre será una función proposicional. Ejemplos: a) Liliana ama a x Alx b) Fulano visitó a mengano Vxy c) x > a Mxa d) x > y Mxy Las variables de funciones proposicionales con predicados poliádicos pueden ser cuantificadas. ¿Qué permite la regla de la ejemplificación universal? 3. ¿Qué posibilita la regla de la generalización universal? 263 .º 14 1. los gatos huyen de los perros ( ∀ x){ Px → ( ∀ y) [ Gy → (Lxy → Hyx)]} l) Si Áncash está al norte de Lima. algo está al norte de Lima Nal → ( ∃ x) Nxl Cuestionario N. ¿Qué prescribe la regla de la ejemplificación existencial? 4. ¿Qué reglas permiten eliminar y reintroducir cuantificadores en el método de la deducción natural con fórmulas cuantificadas? 2. Ejemplos: a) Todo causa a todo ( ∀ x) ( ∀ y) Cxy b) Todo es causado por todo ( ∀ x) ( ∀ y) Cyx c) Todo se vincula con algo ( ∀ x) ( ∃ y) Vxy d) Algo se vincula con todo ( ∃ x) ( ∀ y) Vxy e) Algo se vincula con alguna cosa ( ∃ x) ( ∃ y) Vxy f) Todos los estudiantes aprenden de alguien ( ∀ x) [Ex → ( ∃ y) Axy] g) Todos los estudiantes aprenden de algún profesor ( ∀ x) [Ex → ( ∃ y) (Py ∧ Axy)] h) Algunos perros ladran a todos los niños ( ∃ x) [Px ∧ ( ∀ y) (Ny → Lxy)] i) Todos los maestros quieren a sus alumnos ( ∀ x) [Mx → ( ∀ y) (Ayx → Qxy)] j) Ninguna ciudad descuida su patrimonio cultural ( ∀ x) [Cx → ( ∀ y) (Pyx → ~ Dxy)] k) Si los perros ladran a los gatos.Otras proposiciones generales contienen cuantificación múltiple. ¿Qué permite la regla de la generalización existencial? 6. Diga ¿cuáles son proposiciones y cuáles funciones proposicionales? ¿Por qué? a) Fa b) Gab c) Fa ∧ Gx d) ( ∀ x) Fx ∨ Gx e) ( ∀ x) ( ∀ y) (Fx Gy) f) Fx ∧ ~ Gx g) ( ∀ x) (Fx ~ Gy) h) Fa → ( ∀ x) Gx ∨ Hx i) ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) → Fa j) ( ∃ x) ( ∃ y) (Fx ∧ Gy ∧ Hz) k) Fab l) ( ∃ y) Fxy m) ( ∃ y) Fy → ( ∀ x) Fx n) ( ∀ x) ( ∀ y) Fxy → Gxy ñ) Fx ∧ ~ Gx 264 .5. ¿En qué consisten las reglas de distribución de cuantificadores? 9. ¿Qué diferencia existe entre predicados monádicos y predicado poliádicos? 10. ¿Cuáles son los pasos a seguir al momento de efectuar el análisis de silogismos mediante el método de la deducción natural? 7. ¿Qué son las inferencias asilogísticas y cuál es el procedimiento para analizarlas mediante el método de la deducción natural? 8. ¿Cómo se formalizan las funciones proposicionales y proposiciones generales con predicados poliádicos? Ejercicio N.º 17 Proposiciones y funciones proposicionales 1. Formalice las siguientes proposiciones singulares: a) Pedro es abogado. j) Pedro es bígamo. g) Copenhague es la capital de Dinamarca y Helsinki. f) Pedro obsequió La ciudad y los perros a Daniel. b) Pedro y Daniel son ingenieros. e) Pedro es poeta y literato. 265 . h) Francia está entre España y Alemania. i) Daniel prefiere a Silvia que a Carmen. Convierta en proposición cada una de las siguientes funciones proposicionales: a) Fx b) Fx Gx c) Fx ∧ ~ Ga d) ( ∃ x) (Fx ∨ Gy) e) ( ∀ x) ( ∀ y) [Fx → (Gx ∧ Hz)] f) ( ∀ x) ( ∀ y) Fxy Gxy g) ( ∃ x) ( x + y = z) h) Fx → ( ∃ x) (Fx ∧ Gy) i) ( ∀ x) ( ∃ y) [( Fx ∧ Gy) → Fxyz] j) Fx ∧ ~ Ga ∧ ~ Hy k) Fax l) ( ∃ y) Fxy m) ( ∃ y) Fy → Fx n) ( ∀ x) ( ∀ y) Fxy → Gxy ñ) Fx ∧ Gx Ejercicio N. c) Es falso que Pedro y Daniel sean filósofos.º 18 Formalización de proposiciones mediante el lenguaje de la lógica de predicados 1.2. de Finlandia. d) Pedro y Daniel son condiscípulos. pero no es atrevida. l) No todos los peruanos son tacneños. n) Ni siquiera un metal es un ser vivo. c) Ningún tímido es atrevido. ñ) Pedro admira a Rosa y a Virginia. e) Algunos estudiantes universitarios son serios y tímidos. h) Algunos médicos ayacuchanos son protestantes. Formalice las siguientes proposiciones predicativas poliádicas: a) Ningún estudiante universitario es autista. 2. k) Existe al menos un médico que no es otorrinolaringólogo. 266 . n) Ni Pedro ni Daniel son escépticos. e) Ningún sacerdote católico es inmoral. i) Algunos dipsómanos son apolíticos. f) Ningún religioso es avaro o usurero. m) Cualquier pez es vertebrado. g) Algunos musulmanes son talibanes. l) Daniel es hermano de Ramiro y Benjamín. son deportistas. m) Pedro es tan honesto como Daniel. i) Ningún tímido no es circunspecto. h) Algunos estudiantes universitarios que no son serios. c) Todos los estudiantes universitarios son rebeldes. ñ) No existe un solo peruano que no sea sudamericano. d) Ningún adolescente es congresista.k) Daniel se suicidó. j) Casi todos los descorteses no son universitarios. f) Raquel es bonita. b) Todos los injustos son deshonestos. b) Algunas estudiantes universitarias son melómanas. d) Algunas tímidas no son bonitas. Formalice las siguientes proposiciones categóricas: a) Todos los penalistas son abogados. g) No todas las tímidas son bonitas. 3. w)Los atrevidos salen a bailar sólo con atrevidas. v) Solamente atrevidos salen a bailar con atrevidas. Ejercicio N. r) Algunos tímidos salen a bailar con estudiantes universitarias. y) Raúl sale a bailar con una estudiante universitaria.j) Algunos estudiantes universitarios que son deportistas no son tímidos. aplicando las reglas de intercambio de cuantificadores (IC): a) ~ ( ∀ x) (Fx → Gx) b) ( ∃ x) ~ Fx c) ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) d) ~ ( ∀ x) (Fx → Gx) 267 . n) Ningún estudiante universitario es aficionado al rock y a la salsa simultáneamente. q) Algunos estudiantes universitarios sólo salen a bailar con estudiantes universitarias. u) Algunos atrevidos salen a bailar con estudiantes universitarias aficionadas al rock. m)Algunos estudiantes universitarios son aficionados al rock y a la salsa. x) Raúl sale a bailar con tímidas solamente si son bonitas. p) Silvia no sale a bailar con ningún tímido. t) Tanto estudiantes universitarios como estudiantes secundarios salen a bailar con Silvia.º 19 Equivalencia de fórmulas 1. o) Todo tímido sale a bailar con alguna estudiante universitaria. k) Todas las tímidas que son deportistas son bonitas. Escriba el equivalente de las siguientes fórmulas. l) Cualquiera que es deportista es atleta o veloz. ñ) Hay algunos estudiantes universitarios que son aficionados al rock pero no a la salsa. s) Algunos estudiantes universitarios no salen a bailar con estudiantes universitarias. e) ( ∃ x) ~ (Fx) f) ( ∀ x) (Fx → ~ Gx) g) ~ ( ∀ x) ~Fx h) ~ ( ∃ x) ~ Fx i) ~ ( ∀ x) ~ (Fx → ~ Gx) j) ~ ( ∃ x) ~ (Fx ∧ ~ Gx) k) ~ ( ∀ x) [(Fx ∧ Gx) → Hx] l) ~ ( ∀ x) ~[(Fx ∨ Gx) → ~ Hx] m) ~ ( ∀ x) ~ [(Fx → Gx ) ∧ Hx] n) ~ ( ∃ x) ~ [ (Fx → Gx) ∧ ~ Hx] ñ) ~ ( ∀ x) [(Fx ∧ ~ Gx) → (~ Fx ∨ ~ Hx)] 2. c) Ningún peruano es chileno. ñ) Todos los americanos no son europeos. b) Algunos políticos son deshonestos. Escriba el equivalente de las siguientes proposiciones categóricas aplicando las reglas de las proposiciones contradictorias: a) Ningún hombre es inmortal. j) Algunos desleales no son irresponsables. e) Todos los universitarios son estudiantes. l) Nadie que sea idealista es materialista. f) Es falso que ningún apolítico sea irresponsable. g) Es falso que algunos congresistas sean adolescentes. 268 . i) Es falso que todos los congresistas sean limeños. n) Muchos apolíticos son insensatos. k) Cada uno de los quiteños no es peruano. d) Algunos artistas no son pintores. h) Es falso que algunos congresistas no sean peruanos. m) No todos los congresitas son poetas. IAI d) 2 . Algunas bolsas son canastas. b) Algunos peruanos son guitarristas. Ningún parlamentario es adolescente. algunos sudamericanos son guitarristas. Determine la validez o invalidez de los siguientes silogismos mediante el Método Analógico (empleando las formas válidas de silogismos). Luego.OAO h) 3 .AII m) 1 .AEE l) 4 .EAE b) 1 .AEE e) 2 .º 20 Modos y figuras silogísticos 1.AII n) 2 .AII i) 3 . Luego.Ejercicio N.IAI k) 4 . d) Todos los diputados son parlamentarios. Dados la figura y el modo.EAE ñ) 3 . Luego.AAA g) 3 .EIO c) 1 . Todos los peruanos son sudamericanos. Luego. a) Ningún hombre es perfecto. c) Ninguna canasta es de papel. Todos los peruanos son hombres. ningún adolescente es diputado.AOO f) 2 . algunas bolsas no son de papel. ningún peruano es perfecto. construya el silogismo correspondiente: a) 1 .IAI Ejercicio N.EAE j) 4 .º 21 Análisis de silogismos mediante el método analógico 1. 269 . e) Todos los médicos son impacientes. Algunos médicos son sordos. Luego, algunos sordos son impacientes. f) Algunos silogismos son válidos. Ninguna oración es un silogismo. Luego, algunas oraciones no son válidas g) Ningún triángulo es circular. Algunos triángulos son figuras. Luego, algunas figuras no son circulares. h) Todos los aretes son de plata. Algunos objetos de plata son joyas. Luego, algunas joyas son aretes. i) Todos los planetas son astros. Ningún astro es deportista. Luego, ningún deportista es planeta. j) Ningún alférez es comandante. Todos los comandantes son militares. Luego, algunos militares no son alfereces. k) Todos los estudiantes son jóvenes. Todos los universitarios son estudiantes. Luego, todos los universitarios son jóvenes. l) Todos los filósofos son cultos. Algunos científicos son cultos. Luego, algunos científicos son cultos. m)Algunos reptiles son peligrosos. Todos los lagartos son reptiles. Luego, algunos lagartos son peligrosos. n) Ningún animal es planta. Todo hombre es animal. Luego, ningún hombre es planta. ñ) Ningún animal es piedra. Alguna substancia es animal. Luego, alguna substancia no es piedra. Ejercicio N.º 22 Análisis de silogismos mediante el método de la deducción natural con fórmulas cuantificadas 1. Demuestre la validez de las siguientes inferencias silogísticas mediante el método de la deducción natural con fórmulas cuantificadas: a) 1. ( ∀ x) (Mx→Px) 2. ( ∀ x) (Sx → Mx) /∴ ( ∀ x) (Sx → Px) 270 b) 1. ( ∀ x) (Mx → ~ Px) 2. ( ∀ x) (Sx → Mx) / ∴ ( ∀ x) (Sx → ~ Px) c) 1. ( ∀ x) (Mx → Px) 2. ( ∃ x) (Sx ∧ Mx) / ∴ ( ∃ x) (Sx ∧ Px) d) 1. ( ∀ x) (Mx → ~ Px) 2. ( ∃ x) (Sx ∧ Mx) /∴ ( ∃ x) (Sx ∧ ~ Px) e) 1. ( ∀ x) (Px → ~ Mx) 2. ( ∀ x) (Sx → Mx) / ∴ ( ∀ x) (Sx → ~ Px) f) 1. ( ∀ x) (Px → Mx) 2. ( ∀ x) (Sx → ~ Mx) / ∴ ( ∀ x) (Sx → ~ Px) g) 1. ( ∀ x) (Px → ~ Mx) 2. ( ∃ x) (Sx ∧ Mx) / ∴ ( ∃ x) (Sx ∧ ~ Px) h) 1. ( ∀ x) (Px → Mx) 2. ( ∃ x) (Sx ∧ ~ Mx) / ∴ ( ∃ x) (Sx ∧ ~ Px) i) 1. ( ∃ x) (Mx ∧ Px) 2. ( ∀ x) (Mx → Sx) / ∴ ( ∃ x) (Sx ∧ Px) j) 1. ( ∀ x) (Mx → Px) 2. ( ∃ x) (Mx ∧ Sx) / ∴ ( ∃ x) (Sx ∧ Px) k) 1. ( ∃ x) (Mx ∧ ~Px) 2. ( ∀ x) (Mx → Sx) / ∴ ( ∃ x) (Sx ∧ ~ Px) l) 1. ( ∀ x) (Mx → ~ Px) 2. ( ∃ x) (Mx ∧ Sx) / ∴ ( ∃ x) (Sx ∧ ~ Px) m) 1. ( ∀ x) (Px → Mx) 2. ( ∀ x) (Mx → ~ Sx) / ∴ ( ∀ x) (Sx → ~ Px) 271 n) 1. ( ∃ x) (Px ∧ Mx) 2. ( ∀ x) (Mx → Sx) / ∴ ( ∃ x) (Sx ∧ Px) ñ) 1. ( ∀ x) (Px → ~ Mx) 2. ( ∃ x) (Mx ∧ Sx) / ∴ ( ∃ x) (Sx ∧ ~ Px) Ejercicio N.º 23 Demostración de formas de inferencia válidas mediante el método de la deducción natural con fórmulas cuantificadas 1. Demuestre por la prueba directa (PD) a) 1. ( ∀ x) Fx → ( ∃ x)Gx 2. ( ∀ x) ~ Gx / ∴ ( ∃ x) ~ Fx b) 1. ( ∀ x) (Fx → Gx) / ∴~ ( ∃ x) (Fx ∧ ~ Gx) c) 1. ~ ( ∃ x) (Fx ∧ ~ Gx) /∴ ( ∀ x) (Fx → Gx) d) 1. ( ∀ x) (Fx ∧ Gx) → ~ Ha 2. ~ ( ∃ x) ~ Gx 3. ( ∀ x) Fx /∴~ Ha e) 1. ( ∀ x) (Fx ∨ Gx) → Ha 2. ~ [ ( ∃ x) ~ Fx ∧ ( ∃ x) ~ Gx ] /∴ Ha f) 1.( ∀ x) [Fx → (Gx ∧ Hx)] /∴ ( ∀ x) ( Fx → Gx) ∧ ( ∀ x) (Fx → Hx) g) 1. ( ∀ x) (Fx → Gx) 2. Fa /∴ Ga h) 1. ( ∀ x) (Fx → Gx) 2. ( ∀ x) (Gx → Hx) /∴ ( ∀ x) ( Fx → Hx) 272 i) 1. ( ∃ x) (Fx ∧ Gx) 2. ( ∀ x) (Gx → Hx) /∴ ( ∃ x) ( Fx ∧ Hx) j) 1.( ∀ x) [(Fx ∧ ~ Gx) → ~ Hx] 2. ( ∀ x) (Ix → Fx) 3. ( ∀ x) ( Ix ∧ Hx) /∴ ( ∃ x) Gx k) 1. ( ∀ x) ( Fx ∧ Gx) /∴ ( ∀ x) Fx l) 1. ( ∀ x) [Fx → (Gx ∧ Hx)] 2. ( ∃ x) (~ Gx ∧ Ix) /∴ ( ∃ x) ~Fx m) 1. ( ∃ x) [Fx ∧ (~ Gx ∨ Hx)] 2. ( ∀ x) [(Gx ∧ ~ Hx) ∨ Ix ] /∴ ( ∃ x) Ix n) 1. ~ ( ∃ x)[ ~ (Sx ∧ ~ Px) → ~ Rx] 2. ( ∀ x) ~ (Rx ∧ Px) /∴ ( ∀ x) ~ Sx ñ) 1. ~ ( ∃ x) ~ (Ax ∨ ~ Rx) 2. ( ∀ x) [(Gx ∧ ~ Ux) ∨ Mx ] 3. ( ∀ x) ( ~ Ux → ~ Ax) 4. ( ∃ x) [ Ix ∧ ~ (Mx ∨ Nx)] 5. ( ∀ x) ( ~ Tx → Rx) / ∴ ( ∃ x) (Tx ∧ ~ Ux) 2. Demuestre por la prueba condicional (PC) a) 1. ( ∀ x) (Kx → Lx) 2. ( ∀ x) [(Kx ∧ Lx) → Mx] /∴ ( ∀ x) (Kx → Mx) b) 1. ( ∀ x) [(Fx ∨ Sx) → (Ix ∧ Wx] /∴ ( ∀ x) (Fx → Ix) c) 1. ( ∀ x) [(Ax ∨ Bx) → (Cx ∧ Dx] 2. ( ∀ x) {(Cx ∨ Ex) → [(Fx ∨ Gx) → Hx]} /∴ ( ∀ x)[ Ax → (Fx → Hx)] 273 d) 1. ( ∀ x) [(Mx ∧ Ox) → Rx] 2. ( ∀ x) ( ~ Ox ∨ Ex) 3. ( ∀ x) ( ~ Ex ∨ ~ Rx) /∴ ( ∀ x) [Ox → (Ex ∧ ~ Mx)] e) 1. ( ∀ x) (Nx → Ox) 2. ( ∀ x) (Px → Ox) /∴ ( ∀ x) [(Nx ∨ Px) → Ox] f) 1. ( ∀ x) [Sx → (Tx → Ux)] 2. ( ∀ x) [Ux → (Vx ∧ Wx)] /∴ ( ∀ x) [Sx → (Tx → Vx)] g) 1. ( ∀ x) (Cx → Dx) 2. ( ∃ x) (Ex → ~ Dx) /∴ ( ∃ x) (Ex → ~ Cx) h) 1. ( ∀ x) (Ix → Jx) 2. ( ∃ x) (Ix ∧ ~ Jx) /∴ ( ∀ x) (Jx → Ix) i) 1. ( ∀ x) (Hx → Mx) /∴ Hs → ( ∃ x) (Hx ∧ Mx) j) 1. ( ∀ x) (Hx → Fx) 2. ( ∀ x) ( ~ Gx → ~ Fx) /∴ ( ∀ x) (Hx → Gx) 274 Bibliografía AGAZZI, Evandro, La lógica simbólica, Barcelona, Herder, 1967. ALCHOURRÓN, Carlos E. et al., Lógica, Madrid, Trotta, 1995. BLANCHÉ, Robert, Introducción a la lógica contemporánea, Buenos Aires, Carlos Lohlé, 1963. BOCHÉNSKI, I. M., Historia de la lógica formal, Madrid, Gredos, 1966. BUNGE, Mario, Epistemología, La Habana, Ciencias Sociales, 1982. COPI, Irving, Lógica simbólica, Méjico, Compañía Editorial Continental, 2000. COPI, Irving y Carl COHEN, Introducción a la lógica, Méjico, Limusa, 1995. DEAÑO, Alfredo, Introducción a la lógica formal, Madrid, Alianza Editorial, 1975. FERRATER MORA, José, Qué es la lógica, Buenos Aires, Columba, 1965. . Diccionario de Filosofía, Barcelona, Ariel, tomo III , 1994. GADAMER, H. 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Ecuación de segundo grado. Ecuación polinómica 53 1.6. Ecuaciones racionales e irracionales reducibles a ecuaciones de primer y segundo grado 63 1.7. Aplicaciones de ecuaciones de primer y segundo grado 73 1.8. Logaritmos 83 1.9. Aplicaciones de las exponenciales y logaritmos al interés compuesto 89 1.10. Sistema de ecuaciones de dos variables 96 1.11. Intervalos e inecuaciones de primer grado 106 1.12. Inecuaciones polinomiales y racionales 121 Unidad 2: Matrices 132 ʹǤͳǤϐ×Ǥ 2.2. Aplicaciones de operaciones con matrices ͳ͵ʹ 2.3. Sistema de ecuaciones lineales. Determinantes y la regla de Cramer 154 2.4. Sistema de ecuaciones lineales. Método de reducción de matrices 161 2.5. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales 170 147 Funciones 230 ͶǤʹǤ ϐ ʹͶͳ ͶǤͶǤϐ ʹ͸ͺ ͶǤ͵Ǥϐ ͶǤͷǤ×ϐ ʹͷͶ ʹͺͶ 4. Optimización 313 4. Operaciones con funciones 341 4.11.10. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 409 5. Razón de cambio promedio y variación porcentual 320 4.12. Función logarítmica 398 5.4.3.6. Aplicaciones de la función inversa y la relación implícita 380 Unidad 5: Función exponencial y logarítmica 386 5. Aplicaciones: Elasticidad. Ecuación de la recta 184 3. Función polinomial 304 4.5. Programación lineal 216 Unidad 4: Funciones reales de variable real 230 4. Función cuadrática 293 4.7. Función inversa. Aplicaciones de funciones polinomiales. Función exponencial 386 5.9. Desigualdades en dos variables 202 3. Composición de funciones 349 4.1.1.13. precio de la demanda 330 4.͵ǣ ϐ ͳ͹͹ 3.2.14. Aplicaciones de funciones exponenciales 415 Respuestas 427 ϐÀ ͶͺͲ .15. Sistema de coordenadas rectangulares 177 3. Relación implícita 368 4.3.8.2. Aplicaciones de las operaciones con funciones 361 4.4. Aplicaciones de rectas 195 3.1. sino que plantea una solución y esta es que el alumno sea un participante activo de ǡ ϐϐÀ Aplicadas (UPC). ϐ es el reto más importante con el que los profesores deben actualmente lidiar. los autores ponen en práctica la innovadora idea que tienen para hacer que los alumnos participen de manera activa en el desarrollo de las clases. ¿Por qué los alumnos ϐǫ los docentes han tratado de responder desde hace mucho tiempo. a través de una metodología participativa. Este libro no espera dar respuesta a esta pregunta. han sido capaces de atraer la atención de los alumnos en la resolución de problemas de matemática. En este libro. Todos los profesores que han dictado el curso de Matemática Básica para Administración × estudiantes de las carreras de Administración y. Sin duda ǡ fuera de la UPC.Prólogo Matemática básica para administradores es un libro que se enfoca en desarrollar una forma diferente de enseñar el curso inicial de Matemática a los futuros administradores. Los profesores Agustín Curo y Mihály Martínez han logrado plasmar en este libro toda su experiencia en la docencia universitaria y —con el apoyo de todos aquellos profesores que de una u otra forma colaboraron con la maduración del curso que se dicta en la UPC— han logrado redondear un × esperados. Fernando Sotelo Director del Área de Ciencias Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 7 . El presente libro es una prueba de lo importante que es hacer participar al estudiante en su Ǥ Àǡ ± ǡ ×À±Ó ϐ ÓǦǤ Matemática básica para administradores es un libro que brindará a los estudiantes una herramienta muy positiva para incrementar los resultados que puedan lograr en el curso. referidas a ×Ǥǡ× ϐǡǡϐ función lineal se pueden apreciar visualmente sus diferentes características. etc. utilidades. La riqueza de estos problemas se basa en poder aplicar la matemática a situaciones reales en las cuales se entrelacen Àǡǡ×ϐǡ dominio de la matemática. el cálculo algebraico y geométrico. Una de las piezas fundamentales de nuestra obra es la base teórica sobre la que descansa cada Ǥ ǡ ǡ ϐ obtención de resultados. impuestos. el porqué de las operaciones realizadas. de la discriminación de soluciones. Los problemas de modelación planteados utilizan conceptos estudiados en los cursos de las carreras de Administración y Negocios. concluyendo con las funciones exponenciales y logarítmicas. La modelación de problemas de situaciones reales en el ámbito de administración es también Ǥǡ naturaleza abstracta. y la modelación y resolución de problemas de situaciones del contexto real en el ámbito de administración. Los contenidos que la conforman son los que normalmente se desarrollan en un primer curso para los estudiantes de Administración y Negocios. 8 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . debido a su amplitud. transitando por el álgebra elemental y las matrices. a situaciones del contexto real. ingresos. el análisis de los errores cometidos. oferta. En este libro se presentan ±ϐ××ϐǡ ×ǡ aprehensión de la información en cada tema tratado. À partes muy marcadas e importantes: la base teórica. para así evitar cálculos engorrosos. Entre ellos destacan los conceptos de costos.Introducción ͳǤͳĆęĊėĎĆđĊĘĞčĊėėĆĒĎĊēęĆĘĉĊęėĆćĆďĔ básica. hasta las funciones reales de variable real. etcétera. sobre todo. permite encontrar ×ǡ aspecto geométrico genera otro tipo de habilidades sumamente importantes. y van desde una introducción a la lógica de proposiciones y análisis de argumentos. Los Ǥ ǡ desarrollen diferentes tipos de razonamientos que involucren el conocimiento de otros conceptos. El cálculo algebraico. de la interpretación de resultados. elasticidad. ïǡÀ×Ǧ práctica que le permita entender los conceptos sobre los que se fundamenta cada tema y aplicar lo aprendido a sus análisis administrativos. Otra parte elemental de nuestra obra es la referida al cálculo algebraico y al geométrico. demanda. . ǡǡ ± ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 9 . Raúl Chávez Aquino. la regla de Cramer solo resuelve cierto tipo de sistemas de ecuaciones lineales mientras que el método de eliminación Gauss resuelve todos estos sistemas. en la medida de lo posible. en algunos temas se ha creído conveniente ×Ǥǡ la regla de Cramer se presenta antes del desarrollo de sistemas de ecuaciones lineales (SEA) por el método de la eliminación de Gauss. y en la resolución y ×ǣ Giovanna Arce Cortez. Características pedagógicas En cada sección se ha tratado de incorporar. Esto tiene una explicación. que es el modelo MATE: motivación. Mónica Luz Cabrera Ortega. Reconocimientos Deseamos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes profesores con quienes compartimos el dictado del curso de Matemática Básica (ADM) de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas en estos últimos años y que aportaron con sus comentarios. es también consecuencia de los diálogos y críticas constructivas de los docentes del curso de Matemática Básica para administradores de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. Todo esto permitió desarrollar un libro de matemática que escapa del tradicional libro teórico y aplicativo. En las ϐ×ǡ×ǡ ǡϐǡ ± ϐ Ǥ ϐǤǤ ×Ǣǡ Ǥǡ ǡǡ×Ǥ En la mayor parte de la obra. Hoy damos vida a este libro que pretende llegar más allá en materia de enseñanza. La forma como se presentan los contenidos de cada tema y el modo de guiar a los lectores en × ǡ ǡ reuniones constantes de discusión e intercambio de ideas de los autores. Por otro lado. críticas constructivas. y las reglas básicas de inferencia lógica para utilizarlas adecuadamente a entender la lectura de un problema. transferencia y evaluación. adquisición. sin embargo. se ha tratado de cerrar un bloque con una sección de aplicaciones. Luis Leoncio Barboza Carape. el modelo pedagógico de la Universidad. analizar argumentos y hacer conclusiones válidas a partir de ciertas premisas.ēęėĔĉĚĈĈĎŘē Muchos de los temas aquí desarrollados siguen una secuencia lógica que se puede encontrar en cualquier otro texto de la misma naturaleza. así como de los materiales de clase desarrollados por ellos y por los autores. se han incorporado al inicio algunos aspectos fundamentales de la lógica que ayudarán al estudiante a entender los conectivos lógicos más usados y sus valores de verdad para obtener proposiciones equivalentes. Óscar Reynaga Alarcón. Mario Saúl Tiza Domínguez. director del Área de Ciencias de la ǡϐǡǡ los colegas profesores a tiempo completo de Matemática del Área de Ciencias por su apoyo. Renzo Patricio Mere Donayre. Jorge Humberto Prado Linares. Hortensia Mamani Cosco. Alberto Uchasara Quispe. Un agradecimiento muy especial a los profesores Gloria Angélica Elena Espinoza Colán de Herrera y Juan Guillermo Herrera García. Fernando Damián Montesinos Andreses. Luis Demetrio Fernández Basaldua. Jorge Luis Guzmán Aguilar. por sus contribuciones en esta obra. Erick Jozsef Pozsgai Hernani. Johnny Alberto Malaver Ortega. Juan de Dios Saavedra Farfán. Queremos agradecer también a nuestros revisores Marie Cosette Girón Suazo. Claudio Felipe Ríos Ibarra. Magna Julia Guerrero Celis. Juan Guillermo Herrera García. Armando Alfredo Novoa Allagual. Finalmente. al profesor Jorge Luis Guzmán Aguilar por su importante aporte en las secciones de Lógica y al profesor Erick Jozsef Pozsgai Hernani por su revisión minuciosa y sugerencias detalladas.ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ Colán de Herrera. Ángel Felipe Soto Valdivia. quienes desde un inicio estuvieron apoyándonos y colaborando de manera muy estrecha disponiendo de su valioso tiempo. Erick Jozsef Pozsgai Hernani y Héctor Viale Tudela. 10 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . queremos agradecer a Fernando Sotelo Raffo. Carlos Eleodoro Valencia Segura. Cecilia Lina Vidal Castro y Edwin Villogas Hinostroza. Nelly Kau Kau. Jairo Yamil Esquivel Ortiz. Marie Cosette Girón Suazo. Aldrín Ethel Peña Lizano. David Sáenz López. David Alberto Maldonado Carrasco. Jorge Raul Silva Santisteban Chero. Eduardo Ortiz Chauca. ¡Feliz aniversario! c. se realiza enfatizando en la parte algebraica de ×ϐǤ ϐ× Ǥǡǣ Ȉ No es cierto que voy a la biblioteca o a la cafetería. Lógica proposicional × ïǤ ϐǡ×ǡǡǡ±Ǥ Ejemplo 1 a. d. ϐ×ï ×Ǥ c. En las escasas oportunidades en que se desarrolla. ×ϐǡ falso. los conectivos y sus valores de verdad. Ǭǫ× proposiciones. Hoy estudio para el examen de Matemática y escucho música instrumental. ϐ×ïÓʹͲͳͳ͵ΨǤ b. Prohibido fumar en clase. La tolerancia para ingresar al aula de clase en la universidad es de 15 minutos.1. ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 11 . y las proposiciones equivalentes. f. La economía se divide en microeconomía y macroeconomía. b. ǬÀǫ e. Ejemplo 2 a. Ȉ No voy a la biblioteca o no voy a la cafetería.Unidad 1: Introducción a la lógica ͳǤͳĆęĊėĎĆđĊĘĞčĊėėĆĒĎĊēęĆĘĉĊęėĆćĆďĔ El estudio de la lógica de proposiciones ha venido a menos en estos últimos tiempos. pero no ambos a la vez. Esta proposición es falsa. 1. La UPC tiene más de 15 000 estudiantes. d. Ǭǫ b. Dios es misericordioso. Ejemplo 3 Indique con un check los enunciados que sean proposiciones: a. e. g. Toda ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales. A quien madruga Dios le ayuda. entonces hay exceso de oferta. h. La captura del terrorista Abimael Guzmán fue en el año 2000. En un monopolio. Voy a la biblioteca o a la cafetería.ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ e. d. . f. Prohibido fumar en lugares públicos como este. f. c. los precios de los artículos suben. Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio. Esta proposición es falsa. están formadas por dos proposiciones simples. la segunda: «Voy a la biblioteca» o 12 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . Voy a la biblioteca o a la cafetería. ya que expresan una sola idea. ϐ×ïÓʹͲͳͳ͵ΨǤ b. A estas proposiciones se les puede simbolizar así: pǣϐ×ïÓʹͲͳͳ͵Ψ qǣϐ×ï ×Ǥ r: La economía se divide en microeconomía y macroeconomía.ͷǡͶΨʹͲͳͳǦʹͲͳʹǤ i. o. no se pueden separar en dos proposiciones. y. la primera: «Hoy estudio para el examen de Matemática» y «hoy escucho música instrumental».. son simples. ϐ×ï ×Ǥ c. es decir. Hoy estudio para el examen de Matemática y escucho música instrumental. ǡǣ a. llamados conectivos o conectores. llamadas componentes de la proposición compuesta. Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio... Se les denota con las letras minúsculas p. etcétera. entonces…. Una proposición compuesta es aquella que está formada por dos o más proposiciones simples. r. ǡǣ a. La economía se divide en microeconomía y macroeconomía. etcétera. q. b. entonces hay exceso de oferta. si. c. Las proposiciones simples son aquellas que tienen un solo componente. Estas proposiciones simples están unidas o relacionadas por no. A la verdad (V) o falsedad (F) de la proposición se le llama valor de verdad. separadas por el conector y. ēĎĉĆĉͳȁ. entonces → Bicondicional Si y solo si ↔ ϐ Cambia el valor de verdad de una proposición simple. Conectivos lógicos ϐ×ǡÀ×ǡ los cuales se muestran en la tabla: Proposición Conectivo Símbolo No ~ y ∧ Disyunción inclusiva (Débil) o ∨ Disyunción exclusiva (Fuerte) o… o ɧ Negación × Condicional Si …. porque no se pueden separar en dos proposiciones simples. Indica que se deben dar las dos proposiciones. pero no lo son. tal es el caso de la siguiente proposición: Alicia y Juan son hermanos. La negación de una proposición verdadera es falsa y la negación de una proposición falsa es verdadera. existen proposiciones que dan la impresión de ser compuestas. Ahora considere la proposición «El promedio ponderado de mis cursos es mayor que 15».ēęėĔĉĚĈĈĎŘēĆđĆđŘČĎĈĆ «voy a la cafetería». o «No es cierto que el promedio ponderado de mis cursos es mayor que 15». Indica en las proposiciones una relación de causa – efecto. separadas por el conector o. así: «El promedio ponderado de mis cursos no es mayor que 15». ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 13 . Indica que se debe dar una de ellas pero no ambas proposiciones a la vez. Indica que se debe dar una de ellas o ambas proposiciones a la vez. Indica que se da una relación de causa-efecto y viceversa. entonces «hay exceso de oferta». La negación se obtiene intercalando la palabra no o anteponiendo la expresión no es cierto que en la proposición. Formalización de proposiciones lógicas ϐ× enlazan formando fórmulas organizadas con signos de agrupación. la tercera: Si «el precio del producto es mayor al precio de equilibrio». Sin embargo. separadas por el conector entonces. O voy a la biblioteca o voy a la cafetería. Voy a la biblioteca o voy la cafetería. c. Voy a la biblioteca y voy a la cafetería. f. Formalice las siguientes proposiciones: p ∨ q a. e. No voy a la biblioteca. Proposición Término Formalización No p Es falso que p Es absurdo que p ~p p pero q p aunque q p sin embargo q p∧q Disyunción inclusiva (Débil) p a menos que q p salvo que q p excepto q p∨q Disyunción exclusiva (Fuerte) Opoq p o solamente q p o únicamente q p∆q Condicional p entonces q Si p. Si voy a la biblioteca. ×ǡ± conectivos equivalentes a los mencionados anteriormente. d.ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ Ejemplo 4 Sean las proposiciones: p: Voy a la biblioteca. entonces voy a la cafetería. b. Voy a la biblioteca si y solo si voy a la cafetería. q: Voy a la cafetería. q p implica q p por lo tanto q pϐq q si p q porque p q es necesaria para p p→q Bicondicional p si y solo si q p siempre y cuando q p equivale a q p↔q Negación × 14 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . ēĎĉĆĉͳȁ. Subió el precio de las verduras porque subió la gasolina. No es cierto que hoy es martes y hay reunión de coordinación de curso. ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 15 . ϐǤ d. Simbolizando cada proposición simple se tiene: p: La utilidad marginal es positiva.ēęėĔĉĚĈĈĎŘēĆđĆđŘČĎĈĆ Ejemplo 5 Formalice las siguientes proposiciones: a. f. Formalización: p ∧ q b. La utilidad marginal es positiva. c. Cuando aumenta el precio de un bien. pero disminuye conforme aumenta el consumo. e. El costo promedio disminuye salvo que el nivel de producción no aumente. disminuye la cantidad demandada del mismo. q: La utilidad marginal disminuye conforme aumenta el consumo. se determinan los valores de verdad de las proposiciones compuestas. Si voy a la clase o solamente a la biblioteca. No es cierto que suba el precio del pan porque suba el precio de la gasolina. implica que no iré al cine. h.ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ g. determine el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta: (∼ p ∨ ∼q) ∆ (∼ r → q) 16 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . salvo que el gobierno ϐ×Ǥ Valores de verdad de las proposiciones Sobre la base de los valores de verdad de las proposiciones simples. p q p ∧ q p ∨ q p → q p ∆ q p ↔ q V V V V V F V V F F V F V F F V F V V V F F F F F V F V Ejemplo 6 Dadas las proposiciones p. q y r falsas. ǡǤ i. ēĎĉĆĉͳȁ. ( ∼ p ∧ q ) es V. Ejemplo 8 Halle el valor de verdad de las proposiciones p. si se sabe que la siguiente proposición es verdadera: (∼p∨q)∨ (∼r→∼p) Ejemplo 10 Considere la siguiente proposición: «Si la demanda de un bien aumenta. Por lo tanto: Ȉ Si la proposición ( p ∨ r ) → ∼ ( ∼ p ∧ q ) es F. ∼ p es V y q es V. Así p es F. salvo que si la crisis económica continúa. si se sabe que es falsa la siguiente proposición compuesta: (p ∨ r) → ∼(∼ p ∧ q) ϐǡ→. entonces ( p ∨ r ) es V y ∼ ( ∼ p ∧ q ) es F. q y r. entonces el precio del bien aumentará. q y r. q es V y r es V. Ȉ Como ( p ∨ r ) es V. Ȉ Luego. por lo tanto.ēęėĔĉĚĈĈĎŘēĆđĆđŘČĎĈĆ Ejemplo 7 Para hallar el valor de verdad de las proposiciones p. entonces habrá más pobreza». donde p es F. q y r. si se sabe que la siguiente proposición compuesta es falsa: p ∧ ∼ [ ( r ↔ ∼ p) ∨ ∼ q ] Ejemplo 9 Halle el valor de verdad de las proposiciones p. Ȉ En conclusión. p es F. ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 17 . se tiene que r es V. b. Ǭ×ïǫ 18 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . c. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición si la demanda del bien no aumenta y no hay más ǫ d. Formalice la proposición compuesta. Analice el valor de verdad de la proposición.ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ a. asumiendo que todas las proposiciones simples son verdaderas. ēĎĉĆĉͳȁ. Halle el valor de verdad de las proposiciones p. Ǥ El que tengamos un amplio intercambio comercial con Europa conlleva a que nos afecte su ϐǤ k. i. La familia promueve el bienestar. aunque también la prosperidad de todos sus miembros. q. Estados Unidos y México son países fronterizos.ēęėĔĉĚĈĈĎŘēĆđĆđŘČĎĈĆ Ejercicios 1. h. Ǥ 2. Ǭϐ×ȏȋ∼ p ∨ ∼ q ) ∧ p] → ∼qǫ 6. Considere la siguiente proposición: ǼÀǡÀϐǤ ǡ×ǡÀǽǤ a. 3 + 5 > 7 d. . sabiendo que: a. Alemania y China son potencias económicas. r y s. e. triunfarás. [(r ∨ p) ∧ ∼ q ] → p es falsa b. c. El pisco es peruano. f. b. Es falso que Arequipa sea un país y Cuzco su capital. halle el valor de verdad de [( p ∨ ∼ q ) → (∼ p ∨ q )] 4. a. En la medida que estudies. (∼ p ∧ ∼ q ) → ( p ∧ ∼ r ) b. Si (∼ p ∧ ∼ q ) es verdadera. Si la carne de avestruz es cara. Es falso que si la importación afecta la inversión interna. Suponga que p y r son falsas y q es verdadera. ( p → ∼ q ) ∧ ( p → r ) 3.1 1. l. Seré un profesional de éxito porque estudio en esta universidad. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. g. ( p → ∼ q ) →( ∼ p ∧ ∼ r ) c. su crianza no tiene razón de ser. ±ǤǡϐÀ formalice. (s ∧ p) ∨ [(p → q) ∨ ∼ r] es falsa 5. el crecimiento poblacional afectará al PBI. Prohibido fumar en lugares públicos como este. m. ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 19 . Si la proposición compuesta es verdadera. y el primer antecedente y el segundo consecuente son falsos. la población no incrementa sus ingresos y que las demás ǤǬ×ǫ c. halle los posibles valores de verdad de las demás proposiciones simples. Suponga que el salario mínimo no aumenta. ϐ×Ǥ b. ǡǬ±ǫǬϐǫ En esta sección se observarán algunas reglas básicas de inferencia lógica que permitirán analizar argumentos y hacer inferencias válidas. cada uno. 20 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . entonces me caso contigo». ϔ A menudo se encuentran enunciados con palabras o expresiones que indican cantidad. Análisis de argumentos Suponga la siguiente situación: Óǡ À ×ǡ seguramente. Le hice la siguiente promesa: «Si me suben el sueldo. ǡ ×ǣ ϐÀǤ × ÀÀǣǼϐÀǽǡǣ ǼϐÀǽǤ ǡ×ϐϐ ×ϐϐǤ Proposiciones equivalentes Dos proposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad para todas las situaciones posibles. ningunoϐexiste. Las palabras todos. algunos. Si p y q son las proposiciones equivalentes. para aumentarme el sueldo. se simboliza p ≅ q.2. Ella. feliz ǡǤǡǡǣǼ subieron el sueldo».ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ 1. o lo que es lo mismo decir: «Existen algunos estudiantes de Ciencias que no son extrovertidos». hay al menos unoϐǤ ǡ×ǣǤ negación se escribiría así: «No todos los estudiantes de Ciencias son extrovertidos». ēĎĉĆĉͳȁ. se tienen las siguientes equivalencias: i. Formalizando: p: La crisis económica continúa. ∼ ( p ∧ q ) ≅ ∼ p ∨ ∼ q Ejemplo 3 Escriba de manera equivalente las siguientes proposiciones: a. ∼ ( p ∨ q ) ≅ ∼ p ∧ ∼ q iii. ∼ ( p ∧ q ) ≅ ∼ p ∨ ∼ q p q V ∼(p ∨ q) ∼p ∧ ∼q p q V V V V F V F F V F V F F F F ∼(p ∧ q) ∼p ∨ ∼q Resumiendo. entonces habrá más pobreza. q: Habrá más pobreza. p →q ≅ ∼q→∼p ii. p q p → q ∼q → ∼p V V V F V F V F F V F F F V V F V V F F F V V V Ejemplo 2 Determine que: a.ēęėĔĉĚĈĈĎŘēĆđĆđŘČĎĈĆ Ejemplo 1 Se demuestra que p → q ≅ ∼ q → ∼ p utilizando la tabla de verdad. ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 21 . ∼ ( p ∨ q ) ≅ ∼ p ∧ ∼ q b. Si la crisis económica continúa. Cuando se razona a partir de las premisas de un argumento para obtener una conclusión. Entonces. Entonces. No es cierto que voy a la biblioteca o a la cafetería. entonces la crisis económica no continúa». etcétera). reglas. 22 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . b. b. se pretende que el argumento sea válido. Se tiene que ∼ ( p ∨ q ) ≅ ∼ p ∧ ∼ q. Inferencia lógica ×ǡ (leyes. suposiciones. disminuye la cantidad demandada del mismo.ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ Se tiene que p → q ≅ ∼ q → ∼ p. Cuando aumenta el precio de un bien. q: Voy a la cafetería. Formalizando: p: Voy a la biblioteca. escribimos de manera equivalente: «Si no habrá más pobreza. Hoy no es martes y no hay reunión de coordinación del curso. ϐǤ c. Ejemplo 4 Escriba de manera equivalente las siguientes proposiciones: a. escribimos de manera equivalente: «No voy a la biblioteca ni a la cafetería». se llega a una proposición llamada conclusión. ēĎĉĆĉͳȁ. 2. la población demandará más de los bienes. El sábado hay examen. A continuación. ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 23 . Modus ponendo ponens (MPP) p → q p ∴q ǡǣ Si el Estado incrementa los sueldos. Un argumento no válido es una falacia. b.ēęėĔĉĚĈĈĎŘēĆđĆđŘČĎĈĆ ǤȋÀ ×ǡȌǤ a. Cuando la conclusión y las premisas son verdaderas. ∴ No me caso contigo. se escribe la concusión válida q «La población demandará más de los bienes». No me subieron el sueldo. Si me suben el sueldo. Para determinar una conclusión válida. llamadas reglas de inferencia. 1. Modus tollendo tollens (MTT) p → q ∼q ∴∼p ǡǣ Si me suben el sueldo. No me caso contigo. ∴ Hoy empiezo a estudiar. Las premisas pueden escribirse simbólicamente: p → q p Según la regla MPP. Si el sábado hay examen. entonces hoy empiezo a estudiar. me caso contigo. El Estado incrementa los sueldos. un argumento es válido. se formalizarán las premisas. Sea p «El Estado incrementa los sueldos» y sea q «La población demandará más de los bienes». se describen algunas formas de razonamiento más comúnmente empleadas. me caso contigo. Las premisas pueden escribirse simbólicamente: p → q q→ r Según la regla SHP. Para determinar una conclusión válida. Silogismo hipotético puro (SHP) p → q q→ r ∴ p → r ǡǣ Si aumenta el sueldo. Silogismo disyuntivo (SD) p ∨ q p ∨ q ∼p ∼q ∴q ∴p ǡǣ Voy a la biblioteca o a la cafetería. se incrementa la demanda. Sea p «Voy a la biblioteca» y sea q «Voy a la cafetería». Si se incrementa la demanda. Las premisas pueden escribirse simbólicamente: p ∨ q ∼p 24 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . 3. Las premisas pueden escribirse simbólicamente: p → q ∼q Según la regla MTT. se formalizarán las premisas. Sea p «Me suben el sueldo» y sea q «Me caso contigo». se escribe la concusión válida p → r «Si aumenta el sueldo. suben los precios. se formalizarán las premisas.ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ Para determinar una conclusión válida. No voy a la biblioteca. sea q «Se incrementa la demanda» y sea r «Suben los precios». se formalizarán las premisas. se escribe la conclusión válida ∼ p «No me suben el sueldo». Para determinar una conclusión válida. Sea p «Aumenta el sueldo». suben los precios». 4. ēĎĉĆĉͳȁ. ϐ×Ǥ×Ǥ lo tanto… ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 25 . No se devalúa el nuevo sol. En consecuencia… d. La demanda no aumenta. por lo tanto… Sea p «El maestro eleva la calidad de la enseñanza». Si se eleva la cotización del dólar. Por lo tanto… c.ēęėĔĉĚĈĈĎŘēĆđĆđŘČĎĈĆ Según la regla SD. entonces se genera el progreso que el Perú necesita. se escribe la conclusión válida q «Voy a la cafetería». se escribe la conclusión válida q «Se genera el progreso que el Perú necesita». se devalúa el nuevo sol. Los precios se elevan siempre que la demanda aumenta. Las premisas pueden escribirse simbólicamente: p → q p ∴q Según la regla MPP. El maestro eleva la calidad de la enseñanza. Sea q «Se genera el progreso que el Perú necesita». Ejemplo 5 Proporcione una conclusión válida para las siguientes premisas: a. Si el maestro eleva la calidad de la enseñanza. b. atenderá la clase. Por lo tanto… h.ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ e. ǡ±ϐǤ×±ϐǤǥ f. Por lo tanto… 26 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . ×ïïǡϐǤï ϐǡǤ×ïǤ Por lo tanto… Sea p «La selección de fútbol de Perú gana todos sus partidos». No guarda su teléfono celular. estudias para los exámenes. Eres un estudiante responsable. Si eres un estudiante responsable. Cuando estudias para los exámenes. Sea qǼïϐǽǤ Sea rǼ×ǽǤ Las premisas pueden escribirse simbólicamente: p → q q→ r p ∴ r Según la combinación de las reglas MPP y SHP. apruebas el curso de Lógica. se escribe la conclusión válida rǼ ×ǽǤ g. No será separado del aula a menos que guarde su teléfono celular. Si no es separado del aula. ēĎĉĆĉͳȁ. ēęėĔĉĚĈĈĎŘēĆđĆđŘČĎĈĆ i. ǡ ϐ×Ǥ ǡǤϐ×Ǥǥ ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 27 . La información debe ser fácilmente recuperable porque se guarda para futuras referencias. 2. b. No es cierto que hoy devuelvo los libros y me condonan la multa. e. Nelly es servicial y Gloria. 5. c. Cada estudiante trae sus apuntes de clase. d. Ǥ ǡǡǡ× argumento. amable. Juan no recibió un depósito de remuneraciones. esta debe ser guardada para futuras referencias. b.2 1. entonces se opone al pensamiento de Pedro. José realizó una transferencia de fondo. Si se realizan transferencias de fondos. Si subió el precio del pan. c. el gobierno ϐ×Ǥǥ 8. Ocurre que Juan gana utilidades. Escriba la negación de las siguientes proposiciones: a. g. entonces la transacción se verá afectada por el ITF.. En consecuencia… 28 ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ . Ǥ f. Algunos textos del sílabo son de consulta. José va a la reunión o no le suben el sueldo. Ni Juan ni David son egoístas. Si Noé promueve el negocio. Por lo tanto… 6. Luego… 7. Todas las clases de Lógica son interesantes.ČĚĘęŃēĚėĔĚćĆĘĞĎčġđĞĆėęŃēĊğĎėĆěĆđȁĆęĊĒġęĎĈĆćġĘĎĈĆĕĆėĆĆĉĒĎēĎĘęėĆĉĔėĊĘ Ejercicios 1. Por lo tanto. Ni las políticas de Estado son malas. b. Escriba la negación de las siguientes proposiciones: a. Escriba una proposición equivalente a las siguientes: a. Ana aprueba el curso y Luis no pierde su empleo. Cierta información no es fácilmente recuperable. Juan no gana utilidades porque no arriesga en su inversión. Subió el precio del pan porque subió el precio de la gasolina. ni el costo social es alto. Raúl triunfa o se retira del torneo.. Existen calculadoras solares. c. 3. h. Se encuentran exonerados de ITF los depósitos en las cuentas de ahorro si el depósito es de remuneraciones. Cuando la información es relevante. 4. ēĎĉĆĉͳȁ. Sube el precio del pan porque subió el precio de la gasolina. No es posible que la inseguridad en las carreteras se incremente y las primas de los seguros vehiculares disminuyan. Si el alumno es un ente receptor y acumulador de conocimientos. Si la demanda crece. entonces el alumno se convierte en un ente receptor y acumulador de conocimiento. Por lo tanto… 10. entonces las compañías se expanden. Pero la inseguridad en las carreteras se incrementa. entonces no será libre de expresar su opinión. Si el alumno es memorista y predomina la exposición del docente. Las compañías no se expanden o los ǤǤ Por lo tanto… 11. Sube el precio de la gasolina o el ϐ×Ǥϐ×Ǥǥ 12. Por lo tanto… ēĎěĊėĘĎĉĆĉĊėĚĆēĆĉĊĎĊēĈĎĆĘĕđĎĈĆĉĆĘ 29 .ēęėĔĉĚĈĈĎŘēĆđĆđŘČĎĈĆ 9. 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