Colaborativo 1 Algebra lineal UNAD

ALGEBRA LINEALGRUPO 74 LUIS ERNESTO VÁSQUEZ CC: 1.110'550.722 TUTORA: VIVIAN YANETH ALVAREZ UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍA ECBTI 30/09/2014 INTRODUCCION Con el siguiente trabajo pretendemos lograr el apoderamiento y adueñamiento de los conceptos obtenidos del material disponible de este curso y que mediante la solución práctica de los ejercicios y problemas planteados dentro del mismo sobre matrices, vectores y determinantes. Queremos lograr el desarrollo de habilidades como de competencias en los contenidos, métodos y conceptos estudiados en las unidades. Resolver el siguiente problema. Un helicóptero vuela 220 km rumbo al oeste desde la zona A hasta la zona B y después 150 km en la dirección de 60 grados al noroeste de la zona B hasta la zona C. a) En línea recta. que tan lejos está la zona C de la zona A. b) Respecto de la zona A ¿en qué dirección está la zona C? Solución: Hallamos la distancia de BX resolviendo: BX cos 60   150 BX  150 cos 60  BX  150(0. DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD 1.87) CY  130 Km . graficando la situación presentada.5) BX  75 Km Hallamos la distancia de R en X: RX  BX  220 Km RX  75Km  220 Km RX  295 Km Hallamos la distancia de C en Y: CY Sen60   150 CY  150  Sen60  CY  150(0. Con el teorema de Pitágoras hallamos la distancia entre A y C R 2  CY   RX  2 2 R 2  130 Km  295 Km 2 2 R 2  16900 Km 2  87025 Km 2 R 2  103925 Km 2 R  103925 Km 2 R  322. las dos compañías. 4 ME malta.70° al noroeste. 2. 12 ME agua. En 4 semanas. necesitan las siguientes cantidades de materia prima de levadura. Álvarez y McGinnis. McGinnis: 6 ME levadura. .37 km de distancia de la zona A en una dirección de 24. 12 ME agua.46   arctg (0.70 0 La zona C se encuentra a 322. resolviendo: CY Tg  RX 130 Km Tg  295 Km Tg  0. malta y agua (unidades de cantidad: ME): 1ª semana: Alvarez: 8 ME levadura.46)   24.37 Km Hallamos la distancia de C según A. 3 ME malta. 6 ME malta. 4 ME agua 3ª semana: Alvarez: 7 ME levadura. Actividades  Representa los datos para saber el consumo de las dos compañías. . 8 ME malta. 5 ME malta.2ª semana: Alvarez: 10 ME levadura.A. y Malt S.) Cuál de los dos proveedores es mejor? ALFA Ltda. 5 ME agua. Solución: Teniendo en cuenta que: X = Semana 1 A = Levadura Y = Semana 2 B = Malta Z = Semana 3 C = Agua La representación gráfica para cada compañía quedaría organizada mediante tablas como se representa a continuación. 0 ME malta. 5 ME agua McGinnis: 9 ME levadura.A. 5 ME agua McGinnis: 7 ME levadura.  Compara los consumos respondiendo la siguiente pregunta: ¿Qué cantidad de materia prima se necesita para ambas compañías en cada semana? ¿Cuál es la diferencia de consumo de ambas compañías en cada semana?  ¿Cuánto es el consumo de materia prima por semana para 7 compañías como Álvarez. Levadura 50 55 Malta 136 127 Agua 80 79  Halla a la inversa de la matriz de consumo de la compañía McGinnis por Gauss Jordán y luego por Determinantes y compara los resultados adquiridos. Malt S. suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que la compañía Álvarez?  Consideremos que la Compañía Álvarez recibe materia prima de dos proveedores (ALFA Ltda. -Alvarez X Y Z A 8 10 7 B 4 6 8 C 12 5 5 -McGinnis X Y Z A 6 9 7 B 3 5 0 C 12 4 5 Para determinar la cantidad de materia prima se necesita que para ambas compañía en cada semana se realice una suma de matrices donde la empresa Alvarez es la matriz A y la empresa McGinnis es la matriz B A B  8 10 7  6 9 7 4 6 8   3 5 0  12 5 5 12 4 5  86 10  9 7  7  43 6  5 8  0   12  12 5  4 5  5  14 19 14  7 11 8    24 9 10 . 8 7   4  12  72  28   84  .Se determina la diferencia de consumo de ambas compañías por semana mediante la resta entre la matriz A y la matriz B A B  8 10 7  6 9 7 4 6 8   3 5 0  12 5 5 12 4 5  86 10  9 7  7  43 6  5 8  0   12  12 5  4 5  5   2 1 0 1 1 8   0 1 0 Para determinar el consumo de 7 compañías como a Alvarez por semana multiplicamos la primera columna de la matriz A por el numero 7.  8 10 7  8 10 7 1 0 0   A   4 6 8   4 6 8 0 1 0 12 5 5 12 5 5 0 0 1 Dividimos la fila 1 sobre 8. 1 10 8 7 8 18 0 0    0 1 36 8  1 2 1 0  0  10  44 8  12 8 0 1 .  1 10 8 7 8 1 8 0 0    4 6 8 0 1 0  12 5 5 0 0 1 Restamos la fila 2 de la fila 1 multiplicando por 4 y el resto de la fila 3 y de la fila 1 multiplicada por 12.Matriz inversa de la compañía Alvarez por Gauss Jordan. Sumamos la fila 3 de la 2 y multiplicada por 10 1 10 8 7 8 1 8 0 0    0 1 36 8  1 2 1 0  0 0 316 8  22 8 10 1 . Dividimos la fila 3 por 316/8. 1 10 8 7 8 18 0 0     0 1 36 8  1 2 1 0  0 0 1  22 316 80 316 316 8 Restamos la fila 2 de la 3 pero multiplicada por 36/8. 1 10 8 0 81 1264  35 158  553 2    0 1 0  59 316  11 79  711 4  0 0 1  22 316 80 316 316 8  Resto la fila 1 de la fila 2 multiplicada por 10/8. 1 10 8 7 8 1 8 0 0     0 1 0  59 316  11 79  711 4  0 0 1  22 316 80 316 316 8  Restamos la fila 1 de la fila 3 multiplicada por 7/8. 1 0 0 47 158 35 632  1638 8    0 1 0  59 316  11 79  711 4  0 0 1  22 316 80 316 316 8  Finalmente hallamos la determinante 8(6x5-5x8)-4(10x5-5x7)+12(10x8-6x7) = 316 . 1200 kg del B Y 3200 del C. PROBLEMAS DE APLICACIÓN (SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Si hay disponibles 1600 kg del A. Una unidad III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A. 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible? Resolver el problema a través de Gauss Jordan para hallar el valor de las variables establecidas Solución: Determinamos de la siguiente manera: X = Fertilizante tipo I Y = Fertilizante tipo II Z = Fertilizante tipo III Como cada tipo de fertilizante tiene una cantidad de compuestos A. Y 50 kg del C. RECTAS Y PLANOS) 1. 10 x  20 y  50 z  1600 30 x  30 y  0 z  1200 60 x  50 y  50 z  3200 . Una unidad del tipo II requiere20 kg del A. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. B y C entonces tenemos: A B C X 10 30 60 Y 20 30 50 Z 50 0 50 Componentes:  Del A se tienen 1600  Del B se tienen 1200  Del C se tienen 3200 Sistema de ecuaciones. 30 kg del B. 1 2 5 160    0 1 5 120   0  70  250  6400    De la fila 1 restamos la fila 2 multiplicandola por 2 y la fila 3 le restamos la fila 3 multiplicada por -70.  1 2 5 160     30 30 0 1200   60 50 50 3200    De la fila 2 restamos la fila 2 multiplicando por 30 y de la fila 3 restamos la fila 1 multiplicada por 60.  1 2  5  80    0 1 5 120   0 0 100 2000    Dividimos la fila por 100. 1 2 5 160     0  30  150  3600   0  70  250  6400    Dividimos la fila 2 por -30. .Reescribimos en forma de matriz y resolvemos por el método de gauss.  10 20 50 1600     30 30 0 1200   60 50 50 3200    Dividimos la primera fila por 10. Las ecuaciones simétricas para una recta cualquiera son: x  x1 y  y1 z  z1   a b c Ahora debemos encontrar las constantes a.  1 0 0 20     0 1 0 20   0 0 1 20    Lo que nos dé por el resultado que dé cada tipo de fertilizante se deben fabricar 20 unidades para consumir la totalidad de los compuestos.2.3).2. De la ecuación de la recta que pasa por el punto (1.1). Y y Z. -1.  1 2  5  80     0 1 5 120  0 0 1 20   De la fila 1 restamos la fila 3 multiplicada por -5 y de la fila 2 restamos la fila 3 multiplicada por 5.3).1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(-2. 2. Solución: Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(-2.0. c y para encontrarlas debemos definir un vector dado por los puntos dados V  PQ Y este vector AB está dado por la diferencia de B menos A en X. B(1.0. b.    V  AB  1  (2)  i  2  0 j  3  1 k .1) y B(1. . 1) Con la ecuación de la recta paralela podemos determinar que : A=3 B=2 C=2 Y con esto hallamos el vector director que nos permitirá hallar la ecuación de la recta solicitada. 1) y B(1. -1. 0.2.3) x 1 y  2 z  3   3 2 2 Tendiendo la ecuación de la recta paralela podemos hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1.    V  AB  1  2 i  2  0 j  3  1 k    V  AB  3 i  2 j  2 k Podemos definir que: a3 b2 c2 Con los anteriores valores la ecuación simétrica de la recta que contiene los puntos A(-2. 1   3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que contiene a los puntos P=(7.1.2. x  x1  at y  y1  bt z  z1  ct Las ecuaciones simétricas para una recta cualquiera son : x  x1 y  y1 z  z1   a b c Ahora debemos encontrar las constantes a. -1.3).2 x  1  3 y  1  2 z  1  2 Despejamos  y de esta forma hallamos la ecuación de la recta solicitada x 1 y 1 z 1   3 2 2 3. x. 5.1) y Q= (-1. Solución: Ecuaciones paramétricas que definen una recta cualquiera. z   1. y. c y para encontrarlas debemos definir un vector dado por los puntos dados V  PQ . b.    V  PQ   1  7 i  5   1 j  3  1 k    V  PQ  8 i  6 j  2 k Por lo tanto podemos definir que: a  8 b6 c2 Con los anteriores valores las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene los puntos P=(7. Y y Z. Encuentre la ecuación general del plano que contiene a los puntos P=(- 8.1) y Q= (-1. -5. Q=(5.Y este vector PQ esta dado por la diferencia de Q menos P en X. -1.3) : x  1  8t y  5  6t z  3  2t Las ecuaciones simétricas son: x 1 y  5 z  3   8 6 2 4. 5.5.0). -4.-8) y R= (-3.1) Solución: . Para calcular la ecuación del plano podemos utilizar la fórmula: x  x1 y  y1 z  z1 x2  x1 y 2  y1 z 2  z1  0 x3  x1 y3  y1 z1  z1 Reemplazamos los valores de los puntos dados: x   8 y 5 z 0 5   8  4  5  8  0  0  3   8  5  5 1  0 x 8 y 5 z 0 58 9 8  0  3  8  10 1 x 8 y 5 z 0 13 9 8  0 5  10 1 Resolviendo el determinante por producto cruz y aplicando la ley de los cofactores tenemos la ecuación del plano. ( x  8)((9)  1   8  (10))  ( y  5)(13  1   8  5)  ( z  0)(13  (10)  (9)  5)  0 ( x  8)(9  80)  ( y  5)(13  40)  ( z  0)(130  45)  0 ( x  8)(89)  ( y  5)(53)  ( z  0)(85)  0  89 x  712  (53 y  265)  (85 z )  0  89 x  712  53 y  265  85 z  0  89 x  53 y  85 z  447  0 . multiplicamos por -1 al plano 1 y se lo sumamos al plano 2 (1)   1   2  x  5 y  8z    2 x  5 y  7 z   10  9  x  5 y  8 z  2 x  5 y  7 z  1  3x  z  1  3x  1  z  3x  1  z   1  z  x 3 1 z x 3 . los puntos de intersección entre dos planos es una recta. 5. Para hallar X en función de Z. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos :  1  x  5 y  8z  10  2  2 x  5 y  7 z  9 Solución: Teniendo los planos  1  x  5 y  8 z  10  2  2 x  5 y  7 z  9 Debemos hallar los puntos de intersección entre ellos. La ecuación simétrica de una recta está definida como: x a y b z c   a1 a2 a3 Para determinar la ecuación simétrica que me define los puntos de intersección. vamos a encontrar X en función de Y y X en función de Z con las ecuaciones de los planos dados. como sabemos. entonces vamos a hallar la ecuación simétrica de esa recta que por teoría define los puntos de intersección de dos planos. multiplicamos por -7 al plano 1 y se lo sumamos al plano 2 multiplicado por 8.Para hallar X en función de Y. (7)   1  (8)  7x  5 y  8z   8 2 x  5 y  7 z   70  72  7 x  35 y  72 z    16 x  40 y  72 z   2  7 x  35 y  72 z  16 x  40 y  72 z  2  23 x  5 y  2  23 x  2  5 y 2  5y x  23 Ahora igualamos para obtener la ecuación simétrica de la recta que forma la intersección de los dos planos dados 1 z 2  5y x  3  23 . 2) + k2(-3. Donde v1 = (-1. 2. …. Dado el conjunto V = {v1. y) (x. 0. v2 = (0. PROBLEMAS DE APLICACIÓN (ESPACIOS VECTORIALES) 1. v3} definido en R4. Solución Dado un conjunto de vectores S={ V1. V2. -3. 2) + k2(-3. Solución Según la definición cualquier conjunto contenido en un determinado especio vectorial se considera conjunto generador si todo vector se puede considerar una combinación lineal del conjunto original. -2)} V = (x. -2) S = {(5. 2. 1. 2. -2). -2) V = k1(5. (-3. 2). -2) Se puede demostrar que S es generador de R2 ya que cualquier vector en dichos espacios se puede escribir como combinación lineal. v3 = (2. 2) U2 = (-3. Demuestre que S genera a R2. 1.5). u2} U1 = (5. 1). y) = k1(5. Dado el conjunto S = {u1. -2). Determinar si los vectores de V son linealmente independientes.1) y u2 = (-3. Por lo tanto: S = { u1. v2. Vk } en un espacio vectorial V se dice que S es linealmente independiente si la ecuación C1V1 + C2V2 + … + CkVk = 0 . u2} donde u1 = (5. 1).2.0)  C1  0C 2  2C 3  0 2C1  C 2  0C 3  0  3C1  2C 2  C 3  0 5C1  C 2  2C 3  0 Planteamos la matriz y realizamos e lim inación por el método de Gauss  Jordan 1 0 2 0 2 1 0 0   3 2 1 0   5 1 2 0 A la fila 1 la dividimos por -1 1 0 2 0 2 1 0 0   3 2 1 0   5 1 2 0 .3.1) V 3  (2.2)  (0.0.1. (0.5) V 2  (0.2) por lo tan to V  {(1.2.2)} Planteamos la ecuasión vectorial C1V 1  C 2V 2  C 3V 3  0 Como demos det er min ar que tenga una solución trivial .Por lo tanto V  {V 1.3.3. (2. entonces comenzamos a resolver C1(1.1.2.1.0.0.5)  C 2(0.1)  C 3(2.1.0.2.2.V 3} Donde V 1  (1.5).1.1.0.2.V 2. a la fila 3 le sumo la fila 1 multiplicada por 3 y a la fila 4 le sumo la fila 1 multiplicada por -5 la matriz reducida quedaría 1 0  2 0 0 1 4 0  0 2  5 0   0 1 8 0 Para poder tener una solución debemos seguir reduciendo la matriz entonces hacemos nuevamente las siguientes operaciones: a la fila 3 le sumo la fila 2 multiplicada por -2 y a la fila 4 le sumo la fila 2 multiplicado por -1 1 0 2 0 0 1 4 0  0 0  13 0   0 0 4 0 A la fila 3 la divido por -13 1 0 2 0 0 1 4 0  0 0 1 0   0 0 4 0 A la fila 4 le sumo la fila 3 multiplicada por -4 1 0 2 0 0 1 4 0  0 0 1 0   0 0 0 0 A la fila 2 le sumo la fila 3 multiplicada por -4 y a la fila 1 le sumo la fila 3 multiplicada por 2 .Si a la fila 2 le sumo la fila 1 multiplicado por -2. Dada la matriz 1 1 5 3 2 4   2 5 1 Hallar el rango de dicha matriz. 1 0 0 0 0 1 0 0  0 0 1 0   0 0 0 0 Con lo anterior se deduce que C1 = 0 C2 = 0 C3 = 0 Por lo tanto C1V1 + C2V2 + C3V3 = 0 es una solución trivial por lo que se pudo de demostrar que los vectores V son linealmente independientes 3. Solución 1 1 5 3 2 4   2 5 1 A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 y a la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 . 1 1 5  0  1  11   0 3  9  Dividimos la fila 2 por -1 1 1 5  0 1 11    0 3  9 A la fila 1 le restamos la fila 2 y a la fila 3 le restamos la fila 2 multiplicada por 3 1 0  6  0 1 11    0 0  42 Dividimos la fila 3 por -42 1 0  6 0 1 11    0 0 1  A la fila 1 le restamos la fila 3 multiplicada por -6 y a la fila 2 le restamos la fila 3 multiplicada por 11 1 0 0 0 1 0   0 0 1 . 9 ˆj es una combinación lineal de u y v ? Justifique su respuesta. Dados los vectores u = -6iˆ + 9 ˆj y v = -iˆ + 9 ˆj es correcto afirmar que el vector w = -11iˆ . Solución: La forma de comprobar que W es una combinación lineal de U y de V es hallando escalares tales que C1U  C2V  W Para esto hallamos la matriz y la reducimos por el método de gauss – jordan  6  1  11 9    9  9  Dividimos la primera fila por -6 1 1 6 11 6 9 9   9    De la fila 2 restamos la fila 1 multiplicada por 9 1 1 6 11 6   0 45 6  153 6   Dividimos la fila 2 por 45/6 1 1 6 11 6  0 1   153 45   De la fila 1restamos la fila 2 multiplicada por 1/6 . Al simplificar la matriz nos muestra que hay 3 fila no nulas por lo que se determina que el rango de la matriz es de 3. 4. .1 0 108 45  0 1   153 45   Como se puede comprobar que el sistema es consistente se puede afirmar que el vector W es una combinación lineal de los vectores U y V. CONCLUCIONES  Es importante comprender los conceptos básicos tanto teóricos como prácticos de las matrices.  El uso de Algoritmos es muy importante ya que en esto se basa el método de Gauss que sirve para determinar la solución de un sistema de ecuaciones lineales o encontrar diferentes tipos de matrices. . vectores y determinantes ya que estos son la base para la adecuada solución y análisis y solución de problemas.  El conocer y saber aplicar la regla de Cramer para poder dar solución a los sistemas de ecuaciones lineales como determinantes. (25 de 07 de 2011).f.) (Julio. Youtube. Obtenido de http://es.youtube. s. Obtenido de http://en.youtube.).). BIBLIOGRAFIA (Wikipedia.f.org/wiki/Regla_de_Cramer Wikipedia. Obtenido de Algebra lineal Séptima edición. (16 de 08 de 2009).f.php?id=178 Wikipedia. s. 2011) (Julio. (s. Youtube.) (Wikipedia.) Julio. G. 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