CO130714 Mecanica Fluidos Conferencias

UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOSCONFERENCIAS DE CLASE i UNIVERSIDAD DEL CAUCA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE (Documento de trabajo, segunda versión) Ing. M.Sc. María Elvira Guevara Álvarez Departamento de Hidráulica Popayán, julio de 2013 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE ii 1 INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS ................................ 1.1 1.1 Historia ................................................................................................... 1.1 1.2 Estados de la materia ............................................................................ 1.4 1.3 Tipos de fluidos ...................................................................................... 1.5 1.4 Unidades y dimensiones ........................................................................ 1.7 1.5 Masa, peso, fuerza ................................................................................. 1.8 1.6 Temperatura y calor ............................................................................... 1.9 1.7 Propiedades básicas de los fluidos ...................................................... 1.10 1.7.1 Densidad (µ) ........................................................................................ 1.10 1.7.2 Peso específico (¸) ............................................................................... 1.11 1.7.3 Densidad relativa (µ r ) o (D r ) .................................................................. 1.12 1.7.4 Peso específico relativo o gravedad específica (GS) ........................... 1.12 1.7.5 Presión de vapor y cavitación .............................................................. 1.12 1.7.6 Viscosidad y esfuerzo cortante............................................................. 1.13 1.7.7 Viscosidad dinámica (µ) ....................................................................... 1.14 1.7.8 Viscosidad cinemática (v) .................................................................... 1.14 1.7.9 Tensión superficial y capilaridad .......................................................... 1.15 1.7.10 Conductividad térmica .......................................................................... 1.16 1.7.11 Módulo de elasticidad volumétrico y compresibilidad (Ev) .................... 1.17 1.7.12 Velocidad del sonido (Vs) ..................................................................... 1.17 1.8 Comportamiento de los gases .............................................................. 1.18 1.8.1 Ley de Boyle-Mariotte (1662) ............................................................... 1.19 1.8.2 Ley de Gay-Lussac (1802) ................................................................... 1.19 1.8.3 Ley de Charles (1787) .......................................................................... 1.19 1.8.4 Ley universal de los gases ................................................................... 1.20 1.8.5 Ley de Avogadro .................................................................................. 1.21 1.8.6 Ecuación para cada gas ....................................................................... 1.21 1.8.7 Módulo de elasticidad volumétrico para gases ..................................... 1.23 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE iii 1.8.8 Velocidad del sonido ............................................................................ 1.23 1.8.9 Densidad y peso específico de un gas ................................................. 1.24 1.9 Ejercicios propiedades de los fluidos ................................................... 1.24 1.10 Bibliografía ........................................................................................... 1.27 1.11 Ecuaciones básicas ............................................................................. 1.28 2 ESTÁTICA DE FLUIDOS ....................................................................... 2.1 2.1 Propiedades básicas .............................................................................. 2.1 2.2 Presión ................................................................................................... 2.6 2.2.1 Presión atmosférica ............................................................................... 2.7 2.2.2 Presión relativa o manométrica .............................................................. 2.7 2.2.3 Presión absoluta .................................................................................... 2.7 2.2.4 Unidades de medida .............................................................................. 2.7 2.2.5 Instrumentos de medida ......................................................................... 2.8 2.3 Conceptos básicos de estática ............................................................. 2.12 2.3.1 Momento de inercia .............................................................................. 2.12 2.3.2 Momento de fuerza respecto a un punto fijo......................................... 2.12 2.3.3 Centro de gravedad ............................................................................. 2.13 2.3.4 Centro de presiones ............................................................................. 2.13 2.3.5 Centro de masas .................................................................................. 2.13 2.3.6 Equilibrio .............................................................................................. 2.14 2.4 Fuerzas sobre superficies planas ......................................................... 2.14 2.4.1 Tanques abiertos y presurizados ......................................................... 2.16 2.4.2 Fuerzas sobre superficies planas horizontales ..................................... 2.17 2.4.3 Fuerzas sobre superficies planas verticales ......................................... 2.17 2.4.4 Fuerzas sobre superficies planas inclinadas libres ............................... 2.19 2.4.5 Fuerzas sobre superficies planas verticales o inclinadas sumergidas .. 2.21 2.4.6 Aplicaciones de fuerzas sobre superficies planas ................................ 2.23 2.5 Fuerzas sobre superficies curvas ......................................................... 2.25 2.5.1 Fuerza horizontal ................................................................................. 2.26 2.5.2 Fuerza vertical ..................................................................................... 2.26 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE iv 2.5.3 Fuerza resultante ................................................................................. 2.26 2.6 Principio de Arquímedes ...................................................................... 2.28 2.7 Flotabilidad y estabilidad ...................................................................... 2.28 2.7.1 Flotabilidad........................................................................................... 2.28 2.7.2 Flotación de un cuerpo sumergido ....................................................... 2.29 2.7.3 Flotación de un cuerpo flotante ............................................................ 2.30 2.7.4 Procedimiento para resolver problemas de flotabilidad ........................ 2.31 2.7.5 Estabilidad ........................................................................................... 2.32 2.7.6 Procedimiento para la evaluación de la estabilidad de cuerpos flotantes ………………………………………………………………………………..2.32 2.8 Ejercicios sobre estática....................................................................... 2.33 2.9 Bibliografía ........................................................................................... 2.36 3 CINEMÁTICA DE FLUIDOS .................................................................. 3.1 3.1 Conceptos básicos ................................................................................. 3.1 3.1.1 Senda .................................................................................................... 3.1 3.1.2 Trayectoria ............................................................................................. 3.1 3.1.3 Línea de corriente (LC) .......................................................................... 3.1 3.1.4 Traza ...................................................................................................... 3.2 3.1.5 Tubo de corriente ................................................................................... 3.2 3.1.6 Volumen de control (¬C) ........................................................................ 3.3 3.1.7 Superficie de control (SC) ...................................................................... 3.3 3.1.8 Sistema .................................................................................................. 3.3 3.1.9 Descripción del movimiento de un fluido ................................................ 3.4 3.2 Tipos de flujo .......................................................................................... 3.4 3.2.1 Según el fluido ....................................................................................... 3.4 3.2.2 Según las fuerzas predominantes .......................................................... 3.5 3.2.3 Según la densidad ................................................................................. 3.6 3.2.4 Según la viscosidad ............................................................................... 3.6 3.2.5 Según el régimen del flujo ...................................................................... 3.7 3.2.6 Según el espacio.................................................................................. 3.10 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE v 3.2.7 Según el tiempo ................................................................................... 3.11 3.2.8 Flujo espacialmente variado ................................................................. 3.13 3.2.9 Flujo unidimensional, bidimensional y tridimensional ........................... 3.13 3.2.10 Flujo potencial ...................................................................................... 3.14 3.2.11 Otras clasificaciones ............................................................................ 3.15 3.3 Aplicaciones ......................................................................................... 3.15 3.4 Materiales para las conducciones ........................................................ 3.16 4 DINÁMICA DE FLUIDOS ....................................................................... 4.1 4.1 Principios Fundamentales de la Mecánica de Fluidos ............................ 4.1 4.1.1 Conservación de la masa ....................................................................... 4.2 4.1.2 Conservación de la energía ................................................................... 4.5 4.1.3 Conservación de la cantidad de movimiento o momentum................... 4.10 4.2 Aplicaciones de los principios básicos.................................................. 4.12 4.3 Comparación entre las ecuaciones de Energía y Momentum ............... 4.14 4.4 Energía específica ............................................................................... 4.16 4.5 Función momentum o fuerza específica ............................................... 4.17 4.6 El salto hidráulico ................................................................................. 4.19 4.6.1 Aplicaciones del salto hidráulico ........................................................... 4.19 4.6.2 Ecuación del salto hidráulico para canales rectangulares y pendiente horizontal .......................................................................................................... 4.19 4.7 Ejercicios de aplicación de los principios básicos de la mecánica de fluidos ………………………………………………………………………………..4.21 4.8 Representación gráfica de la energía hidráulica (H) ............................. 4.24 4.8.1 Energía hidráulica total de un fluido en reposo ..................................... 4.24 4.8.2 Energía hidráulica en conductos a presión ........................................... 4.24 4.8.3 Energía hidráulica en conductos a flujo libre ........................................ 4.25 4.9 Líneas de energía ................................................................................ 4.25 4.9.1 Cálculo de las cotas de energía ........................................................... 4.26 4.10 Representación gráfica de las lineas de energía .................................. 4.27 4.11 Gradientes de Energía ......................................................................... 4.28 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE vi 4.11.1 Gradiente hidráulico (I = S f ) ................................................................. 4.28 4.11.2 Gradiente piezométrico (GP) ................................................................ 4.28 4.12 Paralelo entre el régimen de flujo laminar y el turbulento ..................... 4.29 4.12.1 Flujo uniforme con régimen laminar ..................................................... 4.29 4.12.2 Flujo uniforme con régimen turbulento ................................................. 4.31 4.13 Esfuerzo cortante ................................................................................. 4.37 4.14 Velocidad media .................................................................................. 4.37 4.15 Expresiones para el factor de resistencia C ......................................... 4.38 4.15.1 Ecuación de Manning (1889) ............................................................... 4.38 4.15.2 Ecuación logarítmica ............................................................................ 4.39 4.15.3 Ecuación de Darcy-Weisbach (1857) ................................................. 4.39 4.16 Flujo libre uniforme ............................................................................... 4.43 4.16.1 Características ..................................................................................... 4.43 4.16.2 Elementos geométricos de la sección transversal de un canal ............ 4.44 4.16.3 Ecuación de caudal .............................................................................. 4.46 4.17 Conductos con flujo a presión .............................................................. 4.48 4.17.1 Pérdidas de energía ............................................................................. 4.48 4.17.2 Pérdidas de energía por fricción ........................................................... 4.49 4.17.3 Pérdidas locales de energía ................................................................. 4.51 4.18 Sistemas de tuberías ........................................................................... 4.52 4.19 Ecuaciones básicas ............................................................................. 4.55 4.20 Ejercicios sobre flujo libre uniforme ...................................................... 4.56 4.21 Ejercicios sobre flujo a presión ............................................................. 4.56 4.22 Bibliografía ........................................................................................... 4.59 5 MÁQUINAS HIDRÁULICAS .................................................................. 5.1 5.1 Turbinas hidráulicas ............................................................................... 5.2 5.1.1 Tipos de turbinas.................................................................................... 5.2 5.1.2 Potencia de la turbina ............................................................................ 5.5 5.1.3 Altura dinámica de la turbina H E ............................................................. 5.6 5.2 Bombas hidráulicas ................................................................................ 5.7 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE vii 5.2.1 Tipos de bombas.................................................................................... 5.8 5.2.2 Bombas centrífugas ............................................................................... 5.8 5.2.3 Esquemas de instalación de las bombas centrífugas ............................. 5.9 5.2.4 Curvas características de las bombas .................................................. 5.10 5.2.5 Potencia de la bomba .......................................................................... 5.13 5.2.6 Altura dinámica de la bomba (H E ) ........................................................ 5.13 5.3 Unidades de potencia .......................................................................... 5.14 5.4 Cavitación ............................................................................................ 5.14 5.4.1 Cabeza Neta de Succión Positiva ........................................................ 5.15 5.5 Leyes de afinidad de las bombas ......................................................... 5.17 5.5.1 Ley 1. Diámetro del impulsor (D) constante.......................................... 5.17 5.5.2 Ley 2. Velocidad del eje (N) constante ................................................ 5.17 5.6 Velocidad específica ............................................................................ 5.18 5.7 Ejemplos sobre máquinas hidráulicas .................................................. 5.19 5.8 Bibliografía ........................................................................................... 5.19 6 MEDIDORES DE CAUDAL Y VELOCIDAD .......................................... 6.1 6.1 Vertederos ............................................................................................. 6.1 6.1.1 Tipos de vertederos ............................................................................... 6.2 6.1.2 Ecuación general de patronamiento ....................................................... 6.5 6.2 Orificios y boquillas ................................................................................ 6.5 6.2.1 Ecuaciones para orificios y boquillas ...................................................... 6.6 6.2.2 Coeficientes de flujo ............................................................................... 6.6 6.2.3 Cálculo del caudal de un orificio ............................................................. 6.7 6.2.4 Determinación del coeficiente de velocidad C v ....................................... 6.7 6.2.5 Cálculo de la pérdida de carga (hp) ....................................................... 6.8 6.2.6 Ecuación de patronamiento .................................................................... 6.9 6.3 Venturímetros ........................................................................................ 6.9 6.3.1 Ecuación del venturímetro .................................................................... 6.10 6.3.2 Ecuación de patronamiento .................................................................. 6.11 6.4 Bibliografía ........................................................................................... 6.11 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE viii 7 SEMEJANZA HIDRÁULICA Y ANÁLISIS DIMENSIONAL ................... 7.1 7.1 Semejanza hidráulica ............................................................................. 7.2 7.1.1 Similitud Geométrica .............................................................................. 7.2 7.1.2 Similitud Cinemática ............................................................................... 7.3 7.1.3 Similitud Dinámica .................................................................................. 7.5 7.2 Análisis Dimensional .............................................................................. 7.7 7.2.1 Numero de Reynolds ............................................................................. 7.7 7.2.2 Número de Froude ................................................................................. 7.8 7.2.3 Número de Mach.................................................................................... 7.9 7.2.4 Número de Cauchy .............................................................................. 7.10 7.2.5 Número de Weber ................................................................................ 7.10 7.2.6 Número de Euler .................................................................................. 7.10 7.3 Características del flujo y relaciones de escala para semejanza .......... 7.11 7.4 Bibliografía ........................................................................................... 7.11 8 EJEMPLOS DE EXÁMENES FINALES ................................................. 8.1 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.1 1 INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS La Mecánica de Fluidos, es la parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos. La Mecánica de Fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la meteorología, las construcciones navales, la oceanografía, las ingenierías química, civil, ambiental, mecánica e industrial. En mecánica de fluidos la hipótesis fundamental es suponer que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a ésta, sin considerar que tanto los gases como los líquidos son materia compuesta por moléculas libres que colisionan unas con otras y con las paredes de los objetos sólidos que la contienen. Por lo anterior, la hipótesis de continuidad permite considerar a los fluidos como medios continuos, esto es, medios para los cuales propiedades tales como la densidad, la presión y la velocidad están bien definidas en cada punto del espacio. Además, estas cantidades se consideran como funciones continuas del espacio y del tiempo. La Mecánica de Fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la Estática de Fluidos, o Hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la Dinámica de Fluidos, que trata de los fluidos en movimiento. El término de Hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La Aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de la compresibilidad. El conocer y entender los principios básicos de la Mecánica de Fluidos es esencial en el análisis y diseño de cualquier sistema en el cual el fluido es el elemento de trabajo. Hoy en día, el diseño de virtualmente todos los medios de transporte, requiere la aplicación de esta ciencia. Entre éstos se incluyen tanto los aviones como las máquinas terrestres, barcos, submarinos y típicamente automóviles y el flujo de fluidos en conductos abiertos y cerrados. El diseño de sistemas de propulsión para vuelos espaciales y cohetes está basado en los principios de la Mecánica de Fluidos. 1.1 Historia Históricamente, el hombre ha necesitado y utilizado los fluidos y aún sin los desarrollos analíticos necesarios, construyó grandes obras de ingeniería hidráulica tales como los acueductos romanos, canales de navegación e irrigación. Podría decirse que con anterioridad al siglo XVI, el desarrollo de la Mecánica de Fluidos fue netamente empírico. Exceptuando las ideas de Arquímedes sobre flotación en el siglo UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.2 III a.C., es hasta Leonardo D´Vinci en el siglo XVI cuando se inicia el estudio analítico de la Mecánica de los Fluidos. D´Vinci estudió entre otras cosas, las leyes de flotación de las aves, principios del flujo de fluidos para transportar agua en un canal cercano a Milán y principios de navegación aérea y marítima. Posterior a D´Vinci y entre los siglos XVII y XVIII, se presentó un rápido desarrollo teórico y matemático que llevo al crecimiento en el conocimiento de las leyes fundamentales, con el aporte de Galileo, Torricelli, Pascal, Newton, Pitot, Bernoulli, Euler, D´Alambert, Chezy y Lagrange entre otros. Estos 5 últimos elaboraron una síntesis hidrodinámica perfecta, pero con resultados diversos en la realidad, lo que llevó al desprendimiento en el siglo XIX de una rama experimental con modelos físicos que con los descubrimientos de Navier, Stokes, Reynolds, Froude y otros, complementaron adecuadamente el fenómeno físico y los resultados experimentales. El siglo XX se caracterizó por la combinación del conocimiento experimental y teórico para lograr el desarrollo práctico de la Mecánica de Fluidos y su aplicación en áreas como la Hidráulica. En este siglo destacaron personajes como Prandtl, Moody, von Karman, Nikuradse, Colebbrook y White. Podría pensarse que el siglo XXI se va a caracterizar por el desarrollo de modelos computacionales que lleven a facilitar la representación matemática del comportamiento de los fluidos. Tabla 1.1 Desarrollo histórico de la mecánica de fluidos y la hidráulica. Nombre Aporte a la Ciencia Arquímedes. Grecia. 287-212 a. C. Tornillo sin fin. Principios de la hidrostática y de la flotación. Frontinus, Sextus Julios. Italia. 40-103 a.C Tratados sobre el acueducto romano Marco Vitruvio Polione. Italia. I aC. Rueda hidráulica vitruviana o rueda de tazas Leonardo da Vinci. Italia. 1452-1519 Ecuación de continuidad. Pionero en ideas sobre construcción de puentes, barcos, aviones y máquinas hidráulicas. Simon Stevin. Bélgica. 1548 -1620 Estática e hidrostática de los fluidos. Supervisión diques marítimos. Galileo Galilei. Italia. 1564-1642 Método de experimentación científica. Flotación de los cuerpos. Toricelli, Evangelista. Italia. 1608- 1647 Salida de agua por un orificio. Relación entre la altura y la presión atmosférica. Pascal, Blaise. Francia. 1623-1662 Transmisión de presiones. Prensa hidráulica. Chrisitan Huygens. Holandés. 1629- 1695 Conservación de las fuerzas vivas (antecedente del principio de la conservación de la energía) Newton, Isaac. Inglaterra. 1642-1727 Estudio de movimiento de los fluidos. Ley de la viscosidad dinámica. Pitot, Henry. Francia. 1695-1771 Medida de velocidad de los fluidos. Bernoulli, Daniel. Suiza. 1700-1782 Teorema de Bernoulli. Conservación de la energía. Euler, Leonhard. Suiza 1707-Rusia 1783 Desarrollo matemático de la hidrodinámica. Ecuaciones diferenciales del fluido perfecto. Formulación del teorema de Bernoulli. Número de Euler que relaciona las fuerzas de presión con las de inercia. D’Alembert J. Francia 1717-1783 Ecuación diferencial de continuidad. Chézy, Antonio. Francia. 1718-1798 Formula de Chézy para la velocidad media de la corriente en un canal. Borda, Jean Charles. Francia 1733- 1799 Hidrodinámica, náutica Lagrange, Joseph Louis. Italia 1736- Francia 1813 Función potencial y función de corriente Venturi, Giovanni Battista. Italia. 1746- 1822 Flujo en contracciones y expansiones. Laplace, Pierre-Simon. Francia 1749- 1827 Matemático, astrónomo y físico. Teoría de las probabilidades Navier, Louis Marie Henri. Ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes del comportamiento de los fluidos reales o UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.3 Francia.1785-1836 viscosos. Desarrollo de la hidrodinámica. Cauchy, Augustin Louis de Francia 1789-1857 Propagación de las ondas en la superficie de los líquidos. Método de las características. Coriolis Gaspar Francia. 1792-1843 Fuerza de Coriolis, coeficientes de velocidad Hagen, Gotthilf H. L. Alemania 1797 – 1884 Experimentos en régimen de flujo laminar Poiseuille, Jean Louis Francia. 1797-1869 Experimentos con flujo de la sangre humana. Flujo laminar de fluidos incompresibles, uniformes y viscosos. Saint Venant A. J. C. B. Francia. 1797-1886 Mecánica, elasticidad, hidrostática e hidrodinámica. Demostración de las ecuaciones de Navier- Stokes. Darcy, Henry. Francia. 1803-1858 Pérdidas en tuberías. Postuló el concepto de capa límite. Flujo en medios porosos. Weisbach, Julius. Alemania. 1806- 1871 Fórmula de resistencia en tubería. Vertederos Bourdon, Eugene. Francia. 1808 – 1884. Instrumento para medición de presiones. Froude, William Gran Bretaña. 1810-1879 Flujos subcrítico y supercrítico. Número de Froude que relaciona las fuerzas de inercia con las de gravedad. Ley de semejanza. Navegación. Manning, Robert. Irlanda. 1816-1897 Coeficientes de fricción en canales. Ganguillet E. O. Suiza 1818 – 1894 Pérdidas de energía en flujo libre. Kutter W. R. Suiza. 1818-1888 Pérdidas de energía en flujo libre. Stokes, George Gabriel. Irlanda 1819- Inglaterra 1903 Ecuaciones diferenciales de Navier-Stokes del comportamiento de los fluidos reales o viscosos. Bazin. H. E. Francia. 1829-1917 Vertederos. Coeficiente de fricción en canales. Mach, Ernest Austria. 1838-1916 Principios del supersonido. Número de Mach que relaciona la velocidad de un objeto con la velocidad del sonido. Pelton Lester Allen EUA (1829-1908) Turbina hidráulica Reynolds, Osborne. Irlanda 1842-1912 Régimen de flujo: laminar y turbulento. Número de Reynolds que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas debidas a la viscosidad. Boussinesq V. J. Francia 1842–1929 Vórtices, ondas, movimiento de los fluidos. George Howard Darwin. 1845-1912. Mareas, flujo en rotación Joukowski. Rusia. 1847-1921 Aerodinámica. Golpe de ariete. Abertura de compuertas. Strouhal, Vincenz. Alemania. 1850- 1922 Vorticidad. El número de Strouhal relaciona la oscilación del flujo con la velocidad media. Buckingham, Edgar. EUA. 1867-1940 Análisis dimensional (1914). Weber, Moritz. 1871-1951 Leyes de similitud. El número de Weber relaciona las fuerzas de inercia con la tensión superficial. Prandtl, Ludwing. Alemania. 1875- 1953 Desarrollo teoría de capa límite (1904). Moody, Lewis Ferry. EUA. 1880-1953 Factores de fricción en tuberías. Diagrama de Moody (1944). Kárman, von Theodor. Hungría 1881 – Alemania 1963 Longitud de mezcla. Constante de Kárman. Blasius, Paul Richard Heinrich. Alemania. 1883-1970 Solución analítica de las ecuaciones de capa límite. Alumno de Prandtl. Coeficiente de fricción. Nikuradse, Johan. Alemania 1894- 1979 Experimentos de rugosidad. White Cedric. Gran Bretaña. 1898- Pérdidas de energía. Colebrook Cyril. Gran Bretaña 1910 Pérdidas de energía. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.4 1.2 Estados de la materia La materia puede existir en diversas formas de agregación de las partículas, permitiendo así distinguir los diferentes estados de la materia, Sólido, Fluido y Plasma; los Fluidos, se pueden a su vez, subdividir entre Líquido y Gaseoso. Estos diferentes estados se pueden identificar por la separación molecular y la facilidad del movimiento, Figura 1.1. Los sólidos presentan una separación molecular pequeña, por lo que las fuerzas de cohesión intermoleculares son muy altas ofreciendo resistencia a cualquier cambio de forma, por tanto el volumen y la forma son rígidos. A nivel microscópico el estado líquido se caracteriza porque la distancia entre las moléculas es sensiblemente inferior a la de los gases. Mientras que en un gas la distancia intermolecular media es igual o mayor que diez veces el tamaño de la molécula, en un líquido viene a ser del mismo orden de magnitud que el diámetro molecular, y sólo un poco mayor que en los sólidos. Eso explica que la densidad de los líquidos sea, salvo algunas excepciones, sólo algo inferior a la de los sólidos. En estado líquido, la materia cede a las fuerzas tendientes a cambiar su forma porque sus moléculas pueden moverse libremente unas respecto de otras. Los líquidos, sin embargo, presentan una atracción molecular suficiente para resistirse a las fuerzas que tienden a cambiar su volumen. Son poco compresibles. En pequeños volúmenes los líquidos tienden a adoptar la forma esférica pero en grandes volúmenes adoptan una superficie libre aproximadamente horizontal. Los gases, en los que las moléculas están muy dispersas y se mueven libremente, no ofrecen ninguna resistencia a los cambios de forma y muy poca a los cambios de volumen. Como resultado, un gas no confinado tiende a difundirse indefinidamente, aumentando su volumen y disminuyendo su densidad. Son altamente compresibles. El plasma es considerado como el cuarto estado de la materia, pues su presencia en el universo es muy abundante. Se trata de una masa gaseosa fuertemente ionizada en la cual, como consecuencia de temperaturas extremadamente elevadas, los átomos se han visto despojados de su envoltura de electrones, y coexisten con los núcleos atómicos en un estado de agitación intensa. Las estrellas, durante una parte importante de su vida, están constituidas por grandes masas de plasma. Debido a la violencia de los choques entre núcleos, en tales condiciones se producen reacciones de síntesis de núcleos nuevos con una considerable liberación de energía. El Sol es esencialmente una enorme esfera de plasma. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.5 Separación molecular: Pequeña Mediana Grande Muy grande Cambio de volumen: Nulo Nulo Grande Muy grande Cambio de forma: Nulo Grande Grande Muy grande Densidad: Alta Media Baja Muy baja Figura 1.1. Separación molecular en los diferentes estados de la materia. Desde otro punto de vista, los estados presentan un comportamiento diferente a los esfuerzo, así los sólidos admiten esfuerzos de tensión, compresión y corte, provocando deformaciones elásticas y posteriormente rotura (Figura 1.2); los fluidos admiten esfuerzo de tensión y compresión, pero ante el corte se deforman infinitamente haciéndolo fluir. Figura 1.2. Comportamiento de los sólidos y los fluidos ante esfuerzos. 1.3 Tipos de fluidos Los fluidos se pueden clasificar de varias formas: ideales, reales, Newtonianos, no Newtonianos. - Fluidos ideales El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción se considera el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes: 1. Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido. 2. Pérdidas de energía iguales a cero. 3. Flujo estacionario o permanente. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo. 4. Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo. 5. Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.6 - Fluidos reales También, los fluidos se pueden clasificar según el comportamiento que presenten al relacionar la tasa de deformación (dV/dy) con la resistencia ofrecida por el fluido, tal como se indica en la Figura 3. Los Fluidos Newtonianos tienen viscosidad constante en el tiempo; presentan una relación lineal entre el esfuerzo y la tasa de deformación con intercepto en el origen; estos fluidos se deforman ante cualquier esfuerzo dando lugar al movimiento. Reciben este nombre puesto que pueden ser modelados con la Ley de Viscosidad de Newton; la viscosidad dinámica es la pendiente de línea y es constante ante los cambios de esfuerzo. Ejemplo: aire, agua, gasolina, vino, algunos aceites, etc. Aquellos fluidos que presentan un comportamiento no lineal, estudiados por la Reología, son llamados Fluidos No Newtonianos, que pueden a su vez subdividirse en otros a saber: - Plástico ideal (Bingham). Difiere de los fluidos newtonianos, porque requiere de un esfuerzo inicial para comenzarse a deformar, pero la viscosidad es constante. Por ejemplo, mostaza, mayonesa, pasta dental, pintura, asfalto, chocolate, sedimento de agua residual, etc. - Adelgazante por corte (pseudoplásticos). No requiere de esfuerzos iniciales para comenzar el movimiento, pero la viscosidad es variable; a medida que aumenta el esfuerzo cortante la viscosidad (pendiente de la línea) disminuye, es decir ofrece menor resistencia al movimiento. Ejemplo: plasma, sangre, polietileno, suspensión acuosa de arcilla, mezcla de pulpa de papel y agua. - Espesante por corte (dilatantes). Contrario a la situación anterior, al aumentar el esfuerzo cortante la viscosidad aumenta ofrece mayor resistencia al movimiento, es decir se espesa. Ejemplo, almidón en agua. Figura 1.3. Curva esfuerzo-deformación de Fluidos Newtonianos y No Newtonianos Para fluidos Newtonianos se cumple: F Fl lu ui id do o i id de ea al l dy dV µ t = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.7 t: esfuerzo cortante o tensión tangencial, debido a la fricción ejercida entre el fluido y el conducto µ: viscosidad absoluta o dinámica del fluido dV/dy: tasa de variación de la velocidad con la altura 1.4 Unidades y dimensiones Para el correcto entendimiento y utilización de los conceptos de la mecánica de fluidos es útil tener claridad sobre las unidades básicas de mayor utilización. Tabla 1.2. Unidades y dimensiones básicas. Cantidad Dimensiones Sistema SI Sistema CGS Sistema inglés Equivalencia SI - Singlés Longitud L m cm ft 1 ft=0.3048 m Masa m kg g Slug slug=14.6 kg Tiempo t s s s Temperatura absoluta T Kelvin Kelvin R (Rankine) ( ) 5 K R491.7273 9 = ÷ + Temperatura ordinaria T C (Celsius) C (Celsius) F (Fahrenheit) ( ) 5 C F 32 9 = ÷ K = C +273 Tabla 1.3. Prefijos. Mayores unidad Menores unidad 10³ Kilo 10 -3 mili 10 6 Mega 10 -6 micra 10 9 Giga 10 -9 nano 10 12 Tera 10 -12 pico Tabla 1.4. Unidades derivadas. Cantidad Dimensiones Sistema Internacional Sistema CGS Sistema inglés F = ma (Fuerza) mL/t² N (Newton)= Kg.m/s² Dina = g.cm/s² Lbf (Libra fuerza) = slug.ft/s² t Esfuerzo cortante p Presión t =F/A tangencial p=F/A normal m/(Lt²) Pa (Pascal) =N/m² mmHg bar Dina/cm² psi = Lbf/pul² pulHg Trabajo, energía E= F*L m.L²/t² J (Joule) =N.m =kg.m²/s² Ergio = dina.m = g.cm²/s² Lbf.ft = 1.3546 J P (Potencia), P=E/t=F*V mL²/t³ W (Watio) = J/s= kg.m²/s³ Ergio/s = gr.cm²/s HP=550.46 Lbf.ft/s HP =745.7 W CV=735.5 W UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.8 1.5 Masa, peso, fuerza Masa es una medida de la cantidad de materia de un objeto y se mide con una balanza; peso es una medida de la fuerza gravitatoria que actúa sobre el objeto y se puede medir con un dinamómetro. Es frecuente la confusión entre los conceptos de masa y peso, en algunas ocasiones considerándolos sinónimos. Sin embargo, la masa, cantidad de materia que contiene un cuerpo, será la misma independiente de la localización o planeta donde se encuentre el cuerpo, mientras que peso hace relación a la fuerza gravitacional ejercida sobre la cantidad de materia por la aceleración de la gravedad. Al cambiar la fuerza de gravedad de un cuerpo celeste cambiará inmediatamente el peso, mientras que la masa permanecerá constante. La relación entre peso y masa se puede expresar matemáticamente a partir de la segunda ley de Newton así: . W mg = |F| W: fuerza gravitacional o peso m: masa g: aceleración debida a la fuerza de la gravedad Un Kilogramo-Fuerza es aquella fuerza que aplicada a la masa de un kilogramo le produce una aceleración de 9.81 m/s² en la tierra, es decir: 1kg-f=kg*9.81m/s²=9.81N 1N = 1 Kg-m/s 2 Ej, g Venus = 8.9 m/s 2 g Sol = 274.0 m/s 2 g Luna = 1.62 m/s 2 g Júpiter = 22.88 m/s 2 g Mercurio = 2.78 m/s 2 La fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales. La fuerza se puede definir a partir de la derivada temporal del momento lineal: Si la masa permanece constante, se puede escribir: ( ) dt mV d F = dt dV m F = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.9 F = ma |F| F = fuerza m: masa V: velocidad t : tiempo a: aceleración La masa es una cantidad escalar y mientras que el peso, la fuerza y aceleración son cantidades vectoriales. 1.6 Temperatura y calor La temperatura es una medida del promedio de la energía cinética que tienen los cuerpos. Es importante aclarar que la temperatura NO es una medida del calor. La medición de la temperatura está asociada al grado de agitación térmica de las moléculas, por tal razón, el estado de cero movimiento de las moléculas es llamado cero absoluto, y no puede existir una temperatura inferior a ésta. Sin embargo, existen otras escalas de medición acorde al punto de ebullición y fusión del agua a nivel del mar. Cuando dos sistemas están a la misma temperatura, se dice que están en equilibrio térmico y no se producirá transferencia de calor. Cuando existe una diferencia de temperatura, el calor tiende a transferirse del sistema de mayor temperatura al de menor temperatura hasta alcanzar el equilibrio térmico. Multitud de propiedades físicas de los materiales o las sustancias dependen de la temperatura, como por ejemplo su estado (gaseoso, líquido, sólido, plasma...), la densidad, la solubilidad, la presión de vapor o la conductividad eléctrica. Así mismo, determina la velocidad a la que tienen lugar las reacciones químicas. Se sabe que cuando se calienta un objeto su temperatura aumenta. A menudo se piensa que calor y temperatura son lo mismo. Sin embargo, este no es el caso. El calor y la temperatura están relacionadas entre si, pero son conceptos diferentes. El calor es la energía total del movimiento molecular en una sustancia, mientras temperatura es una medida de la energía molecular media. El calor depende de la velocidad de las partículas, su número, su tamaño y su tipo. La temperatura no es energía y no depende del tamaño, del número o del tipo. Por ejemplo, la temperatura de un vaso pequeño de agua puede ser la misma que la temperatura de un cubo grande de agua, pero el cubo tiene más calor porque tiene más agua y por lo tanto más energía térmica total. dt dV a = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.10 Figura 1.4. Escalas de temperatura. ( ) 5 K R491.7273 9 = ÷ + ( ) 5 C F 32 9 = ÷ K = C + 273.15 1.7 Propiedades básicas de los fluidos Para identificar y modelar adecuadamente los fluidos existen algunas propiedades que los diferencian entre sí. 1.7.1 Densidad (µ) Es la masa (m) contenida en una unidad de volumen (¬). Ante incrementos de temperatura el volumen aumenta mientras que la masa permanece constante, por tal razón la densidad disminuye. Situación contraria cuando la temperatura disminuye. El agua presenta una particularidad puesto que la temperatura de máxima densidad del agua pura es 3.98 ºC, temperatura a la cual la densidad del agua vale 1000 kg/m³. A otra temperatura el valor de densidad es menor, inclusive para temperaturas menores, como se ve en la siguiente figura. ¬ = m µ [m/L 3 ] UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.11 Figura 1.5. Relación densidad del agua vs. temperatura. Tabla 1.5. Densidad de líquidos y sólidos. SÓLIDOS Sustancia Densidad (Kg/m 3 ) Sustancia Densidad (Kg/m 3 ) Acero 7,700-7,900 Oro 19,310 Aluminio 2,700 Plata 10,500 Cinc 7,150 Platino 21,460 Cobre 8,930 Plomo 11,350 Cromo 7,150 Silicio 2,300 Hierro 7,880 Titanio 4,500 Magnesio 1,760 Vanadio 6,020 Níquel 8,900 Volframio 1,340 Concreto simple 2,300 Concreto reforzado 2,400 LÍQUIDOS Sustancia Densidad (Kg/m 3 ) Sustancia Densidad (Kg/m 3 ) Aceite 800-900 Bromo 3,120 Ácido sulfúrico 1,830 Gasolina 680-720 Agua 1,000 Glicerina 1,260 Agua de mar 1,010-1,030 Mercurio 13,550 Alcohol etílico 790 Tolueno 866 1.7.2 Peso específico (¸) Es la fuerza gravitacional ejercida sobre la masa contenida en una unidad de volumen. La relación con la temperatura sigue la misma tendencia que con la densidad. g mg W µ ¸ = ¬ = ¬ = 3.98 °C [F/L 3 ] UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.12 1.7.3 Densidad relativa (µ r ) o (D r ) Es frecuente indicar la proporción entre la densidad de un fluido y la densidad de un fluido patrón; usualmente se utiliza el agua (H 2 O) como líquido patrón. 1.7.4 Peso específico relativo o gravedad específica (GS) 1.7.5 Presión de vapor y cavitación Todos los líquidos tienen cierta tendencia a vaporizarse (cambio de estado líquido a gaseoso), debido a sus vibraciones térmicas naturales. Si en un recipiente en que se pueda generar el vacío, a temperatura constante, se introduce un líquido, las moléculas de la superficie que tengan mayor energía, tenderán a cambiar de estado y a vaporizarse hasta saturar por completo el espacio vacío. En el estado de saturación las moléculas en estado gaseoso chocan con las paredes del recipiente perdiendo energía y cayendo al líquido (condensación); este proceso se presenta hasta que haya un equilibrio entre la velocidad de vaporización y condensación. En este punto las moléculas en estado gaseoso transmiten una presión al recipiente, que es la presión de vapor para la temperatura a la que se encuentra el líquido. En otras palabras, la presión de vapor es la presión que hay que ejercer para que un líquido pase al estado gaseoso a una temperatura dada. En general, a mayor temperatura, mayor presión de vapor. Tabla 1.6. Propiedades físicas de algunos fluidos (Munson B. et al., 1994). Fluido T (ºC) Densidad µ (Kg/m 3 ) Peso especifico ¸ (kN/m 3 ) Viscosidad dinámica µ (N-s/m 2 ) Viscosidad cinemática v (m 2 /s) Tensión superficial a o (N/m) Presión de vapor Pv [N/m 2 (abs)] Mercurio 20.0 13600 133.00 1.57E-3 1.15E-7 4.66E-1 1.60E-1 Agua de Mar 15.6 1030 10.10 1.20E-3 1.17E-6 7.34E-2 1.77E+3 Agua Dulce 15.6 999 9.80 1.12E-3 1.12E-6 7.34E-2 1.77E+3 O H f r 2 µ µ µ = r O H f O H f g g GS µ µ µ ¸ ¸ = = = 2 2 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.13 Figura 1.6. Esquematización del proceso de vaporización de un líquido en contacto con el vacío. La cavitación ocurre cuando en un sistema de flujo, la presión del fluido es igual o menor que la presión de vapor p v , permitiendo la formación de burbujas, que al ser transportadas por el fluido a un punto de presión más alta son aplastadas, colapsando o presentando el fenómeno de implosión o rompimiento de las burbujas, erosionando la superficie que contiene el fluido. Es fenómeno muy importante en bombas, turbinas y cualquier tipo de maquinaría hidráulica donde se presenten altas temperaturas o bajas presiones o velocidades altas. 1.7.6 Viscosidad y esfuerzo cortante La viscosidad es la oposición que ejerce un fluido para su desplazamiento. Figura 1.7. Variación de la velocidad por efecto de la resistencia del fluido, asociada a la viscosidad. En la figura anterior se observa que las láminas adyacentes presentan velocidades disminuidas, esto es por efecto de la viscosidad, así se desarrolla un perfil de velocidad al interior del fluido y las partículas viajarán con velocidades diferentes. Ante el esfuerzo aplicado debido a la fuerza F se presenta una deformación infinita (movimiento), por lo tanto el esfuerzo debe relacionarse con una variación de la deformación, permitiendo establecer para fluidos laminares la Ley de Newton que relaciona el esfuerzo t y la variación de la deformación relativa dV/dy. dV dy t µ = Ley de viscosidad de Newtone [F/L 2 ] A F = t UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.14 t: esfuerzo cortante debido a la fricción ejercida por el fluido y el conducto µ: viscosidad absoluta o dinámica del fluido dV/dy: tasa de variación de la velocidad con la altura F: fuerza A: área tangencial a la fuerza Para todo fluido real existe la viscosidad por tal razón siempre que hay movimiento hay rozamiento o fricción. Para un fluido en reposo no hay variación de la velocidad, pues ésta es nula por lo tanto no existe fricción. 1.7.7 Viscosidad dinámica (µ) 2 F F A L L dV dy FdV Ady t µ µ == ¬= ¬ /t L | | 2 1 . . 10. F t L Pas Poise Pas µ ÷ ( ( ¬ ( ( ¸¸ ( ¸ ¸ = ¬= La viscosidad dinámica resulta de la cohesión molecular y del intercambio de momentum molecular entre las capas fluidas. Por tanto variará con la temperatura y su variación será diferente si el fluido es un líquido o un gas, así: - En fluidos líquidos, al incrementarse la temperatura se debilitan las fuerzas de cohesión intermoleculares ocasionando una consecuente disminución de la viscosidad dinámica, o sea que a mayor temperatura menor viscosidad. - En fluidos gaseosos, al incrementarse la temperatura se presenta mayor actividad molecular y por ende mayores choques entre las moléculas, así el intercambio de momentum molecular será mayor y por ende la viscosidad dinámica también aumentará. o sea que a mayor temperatura mayor viscosidad. La viscosidad no depende de la presión, por tanto, la fricción en los líquidos es diferente a los cuerpos sólidos donde la fuerza de fricción está relacionada con la fuerza normal (debida a la presión) que se opone al movimiento. 1.7.8 Viscosidad cinemática (v) La viscosidad cinemática afecta que tan rápido un esfuerzo cortante aplicado en la superficie de un fluido penetra en su interior. . . ² ³ ³ kg N s Pas m kg kg m m µ v µ ( ( ( ( =¬ ¬ ¬ ( ( ( ( ¸ ¸ ¸ ¸ .m ² s 1 m . ² s kg 4 6 ² ³ ² ² ² stokes10 centistokes10 1 m s m m mmm s s s v ÷ ÷ ( ( ( ( ¬= ( ( ¸¸ ( ( ¸ ¸ = ¬ = = [L 2 /t] UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.15 Figura 1.8. Relación de la viscosidad y temperatura para fluidos líquidos y gaseosos. 1.7.9 Tensión superficial y capilaridad En física, se denomina tensión superficial al fenómeno por el cual la superficie de un líquido tiende a comportarse como si fuera una delgada película elástica. Este efecto permite a algunos insectos, como el zapatero (Hydrometra stagnorum), desplazarse por la superficie del agua sin hundirse. La tensión superficial (una manifestación de las fuerzas intermoleculares en los líquidos), junto a las fuerzas que se dan entre los líquidos y las superficies sólidas que entran en contacto con ellos, da lugar a la capilaridad, por ejemplo, el ascenso del agua por capilaridad en un medio poroso, ej. Presas, muros, etc. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.16 Figura 1.9. Tensión superficial. WIKIPEDIA, 2013. h: altura capilar [L] o: tensión superficial [F/L] u: ángulo de contacto ¸: peso específico del fluido [F/L 3 ] r: radio del tubo [L] Tensión superficial para el agua = 7.34 * 10 -2 N/m 1.7.10 Conductividad térmica La conductividad térmica es una propiedad física de los materiales que mide la capacidad de conducción de calor. En otras palabras la conductividad térmica es también la capacidad de una sustancia de transferir el movimiento cinético de sus moléculas a sus propias moléculas adyacentes o a otras substancias con las que está en contacto. La inversa de la conductividad térmica es la resistividad térmica, que es la capacidad de los materiales para oponerse al paso del calor. La tabla que se muestra a continuación se refiere a la capacidad de ciertos materiales para transmitir el calor. El coeficiente de conductividad térmica (λ) caracteriza la cantidad de calor necesario por m 2 , para que atravesando durante la unidad de tiempo, 1 m de material homogéneo obtenga una diferencia de 1 °C de temperatura entre las dos caras. La conductividad térmica se expresa en unidades de W/(m·K), (J/(s· m· °C)). Es una propiedad intrínseca de cada material que varía en función de la temperatura a la que se efectúa la medida, por lo que suelen hacerse las mediciones a 300 K con el objeto de poder comparar unos elementos con otros. Es un mecanismo molecular de transferencia r h ¸ u o cos 2 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.17 de calor que ocurre por la excitación de las moléculas. Se presenta en todos los estados de la materia pero predomina en los sólidos. Tabla 1.7. Conductividad térmica. Material λ Watt/mK Material λ Watt/mK Material λ Watt/mK Acero 47-58 Corcho 0.03-0.04 Mercurio 83.7 Agua 0.58 Estaño 64.0 Mica 0.35 Aire 0.02 Fibra de vidrio 0.03-0.07 Níquel 52.3 Alcohol 0.16 Glicerina 0.29 Oro 308.2 Alpaca 29.1 Hierro 80.2 Parafina 0.21 Aluminio 209.3 Ladrillo 0.80 Plata 406.1-418.7 Amianto 0.04 Ladrillo refractario 0.47-1.05 Plomo 35.0 Bronce 116-186 Latón 81-116 Vidrio 0.6-1.0 Zinc 106-140 Litio 301.2 Cobre 372.1-385.2 Madera 0.13 tierra húmeda 0.8 Diamante 2300 1.7.11 Módulo de elasticidad volumétrico y compresibilidad (Ev) El módulo de elasticidad volumétrico de un material mide su resistencia a compresión uniforme y por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar una disminución de volumen dada. Ev: módulo de elasticidad volumétrico o módulo de compresibilidad [F/L 2 ] p: presión ¬ : volumen ∂p/∂¬: denota la derivada parcial de la presión con respecto al volumen. El inverso del módulo volumétrico o módulo de compresibilidad indica la compresibilidad de un material. En sólidos se llama módulo de Young (E). E PVC = 2.63 10 8 Kgf/m 2 E Hierro = 1.28 10 10 Kgf/m 2 E: módulo de Young Para agua a 20 °C: Ev = 2.23 10 8 Kgf/m 2 1.7.12 Velocidad del sonido (Vs) La velocidad del sonido es la velocidad de propagación de las ondas sonoras, un tipo de ondas mecánicas longitudinales producidas por variaciones de presión del medio. Estas ¬ ÷¬ = o op Ev µ E Vs = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.18 variaciones de presión (captadas por el oído humano) producen en el cerebro la percepción del sonido. El sonido no se transporta por el vacío porque no hay átomos a través de las cuales transmitirse. La velocidad del sonido varía dependiendo del medio a través del cual viajen las ondas sonoras y varía ante los cambios de temperatura del medio. Esto se debe a que un aumento de la temperatura se traduce en que aumenta la frecuencia con que se producen las interacciones entre las partículas que transportan la vibración y este aumento de actividad hace que aumente la velocidad. El concepto tiene aplicación en fenómenos como el golpe de ariete, la fabricación de sonares para detectar bancos de peces y superficies como el fondo del mar, ríos y lagos. En sólidos la velocidad del sonido está dada por: E: módulo de Young [F/L 2 ] En líquidos la velocidad del sonido Vs está dada por: Ev: módulo de compresibilidad o módulo de elasticidad volumétrico Por ejemplo, sobre una superficie nevada el sonido es capaz de desplazarse atravesando grandes distancias. Esto es posible gracias a las refracciones producidas bajo la nieve, que no es un medio uniforme. Cada capa de nieve tiene una temperatura diferente. Las más profundas, donde no llega el sol, están más frías que las superficiales. En estas capas más frías próximas al suelo, el sonido se propaga con menor velocidad. En general, la velocidad del sonido es mayor en los sólidos que en los líquidos y en los líquidos es mayor que en los gases. - La velocidad del sonido en el aire (a 15 °C) es de 340 m/s (1,224 km/h) - En el aire, a 0 °C, el sonido viaja a una velocidad de 331 m/s y si sube en 1 °C la temperatura, la velocidad del sonido aumenta en 0.6 m/s. - En el agua (a 25 ºC) es de 1,493 m/s. - En la madera es de 3,900 m/s. - En el acero es de 5,100 m/s. - En el hormigón es de 4,000 m/s. - En el vacío la velocidad del sonido es cero. El concepto tiene aplicación en sonares para determinar por ejemplo, la posición del nivel del agua y del fondo en ríos y en el mar. 1.8 Comportamiento de los gases El comportamiento de los gases sigue tres leyes principales que relacionan temperatura, presión y volumen: µ Ev Vs = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.19 1.8.1 Ley de Boyle-Mariotte (1662) A temperatura constante, el volumen de un gas es inversamente proporcional a la presión que soporta: Para temperatura constante, Figura 1.10. Ley de Boyle-Mariotte. Wikipedia, 2013. 1.8.2 Ley de Gay-Lussac (1802) Afirma que el volumen de un gas, a presión constante, es directamente proporcional a la temperatura absoluta Para presión constante 2 2 1 1 T T ¬ = ¬ Figura 1.11. Ley de Gay-Lussac. Wikipedia, 2013. 1.8.3 Ley de Charles (1787) Sostiene que, a volumen constante, la presión de un gas es directamente proporcional a la temperatura absoluta del sistema: Para volumen constante 2 2 1 1 T p T p = 2 2 1 1 constante ¬ = ¬ ¬ = ¬ p p p UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.20 Figura 1.12. Ley de Charles. Wikipedia, 2013. 1.8.4 Ley universal de los gases De las tres leyes anteriores se deduce la ley universal de los gases: constante 2 2 2 1 1 1 = ¬ ¬ ¬ = ¬ T p T p T p La constante de proporcionalidad depende de la cantidad de sustancia gaseosa considerada. Cuando esta circunstancia se introduce en la ecuación anterior resulta la expresión de la ley de los gases ideales más usada: p: presión absoluta ¬: volumen n: número de moles de la muestra gaseosa considerada R u : constante de los gases perfectos o constante universal (F*L/mol*T) T : temperatura absoluta R u =8.3145 J/(molK) R u =0.082 (lt*atm/mol*K) T nR p u = ¬ K) * Pa)/(mol * m 31 8 3 ( . R u = nT p R u ¬ = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.21 a) b) c) Figura 1.13. Globos con volumen de un mol de gas bajo diferentes condiciones. Wikipedia, 2013. Temperatura y presión media ¬ volumen medio Temperatura alta y presión baja ¬ volumen alto Temperatura baja y presión alta ¬ volumen bajo La constante universal de los gases ideales es una constante física que relaciona entre sí diversas funciones de estado termodinámicas, estableciendo esencialmente una relación entre la energía, la temperatura y la cantidad de materia. En su forma más particular, la constante se emplea en la relación de la cantidad de materia en un gas ideal, medida en número de moles (n), con la presión (p), el volumen (¬) y la temperatura (T), a través de la ecuación de estado de los gases ideales: 1.8.5 Ley de Avogadro La Ley de Avogadro fue expuesta por Amedeo Avogadro en 1811 y complementaba a las de Boyle Mariotte, Charles y Gay-Lussac. Asegura que en un proceso a presión y temperatura constante (isobaro e isotermo), el volumen de cualquier gas es proporcional al número de moles presente, de tal modo que: (T, p ctes.) 2 2 1 1 n n ¬ = ¬ 1.8.6 Ecuación para cada gas La ecuación se puede particularizar para cada gas introduciendo su peso molecular P m : m = nP m T nR p u = ¬ m m u P P T nR p = ¬ m u P T mR p = ¬ m u P R R = ´ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.22 R´ : constante para cada gas [(F*L)/(m*T)] Solo para aire, Otra expresión muy usada en ingeniería usando el concepto de densidad es: R = R´/g R: constante para cada gas [L/T] Solo para aire, R = 29.3 m/K ¬ s : volumen específico o volumen en la unidad de peso T mR p ´ = ¬ RT p s = ¬ ¸ 1 = ¬ s T R p ´ ¬ = ¬ µ T gR pg ´ µ = T R g pg ´ = µ T R pg ´ = ¸ RT p = ¸ K) * )/(kg m * (N 9 286. ´ R = W s ¬ = ¬ g m µ ¸ µ = ¬ = mT p ´ R ¬ = T p R s ¬ = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.23 1.8.7 Módulo de elasticidad volumétrico para gases Ev¬ 1 = ¬ 1 p 2 Por tanto, Ev = p condiciones isotérmicas (proceso con temperatura constante) Ev = kp condiciones adiabáticas (proceso sin intercambio de calor con el entorno) k: constante adiabática 1.8.8 Velocidad del sonido La ecuación de la velocidad del sonido en gases con condiciones adiabáticas es: La ecuación de la velocidad del sonido en gases con condiciones isotérmicas es: g = 9.8 (m/s 2 ) R: contante del gas [m/K] T: temperatura [K] gRT Vs = ¬ ÷¬ = o op Ev p Ev o o ÷¬ = ¬ } } ÷¬ = ¬ ¬ ¬ 2 1 2 1 p p p Ev o o µ Ev Vs = } } ÷¬ = ¬ ¬ 2 1 0 0 p p Ev o o µ kp Vs = RT p s = ¬ µ ¸ µ RT k kRT Vs s = ¬ = kgRT Vs = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.24 1.8.9 Densidad y peso específico de un gas La ecuación de estado puede ser expresada, para gases perfectos, en términos de la densidad o peso específico, considerando R la constante de gas en ingeniería, así p: presión absoluta del gas R: constante del gas en ingeniería, variable para cada gas [L/T] T: temperatura absoluta del gas ¬ s : volumen específico µ: densidad del gas ¸: peso específico del gas Algunos valores para la constante del gas en ingeniería R’ se reportan en la tabla siguiente: Tabla 1.8. Densidades y pesos específicos de los gases. Gas Peso específico (N/m 3 ) Densidad (kg/m 3 ) Constante R (m/K) Constante R´ (J/kgK) Aire 11.8181 1.2 29.3 286.8 Amoniaco 7.0406 49.2 Anhídrido carbónico 18.0102 19.2 Metano 6.5374 53.0 518.1 Nitrógeno 11.4100 30.3 296.5 Oxígeno 13.0444 26.6 259.9 Anhídrido sulfuroso 26.6381 13.0 1.9 Ejercicios propiedades de los fluidos 1. Calcule el peso de un recipiente de aceite si posee una masa de 825 kg. Use sistema MKS y SIU. Mott, R. L. Pearson Educación. 1996. 2. Encuentre el peso de un galón de mercurio cuya masa es de 3.51 slugs. Use sistema MKS y SIU. Mott, R. L. Pearson Educación. 1996. 3. Calcular el peso específico y la densidad del metano a 38 C y 8.5 kgf/cm 2 de presión absoluta en sistema MKS y SIU. Schaum McGraw-Hill 1984. 4. Si 6 m 3 de un aceite pesan 5080 kgf, calcular el peso específico, la densidad y la densidad relativa, en sistema MKS y SIU. Schaum McGraw-Hill 1984. gRT p = µ RT p s = ¬ RT p s = ¬ = 1 ¸ ( ¸ ( ¸ 3 L F ( ¸ ( ¸ 3 L m UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.25 5. Un objeto pesa 400 N en la superficie de la tierra. Determine la masa del objeto y su peso cuando se localiza en otro planeta cuya aceleración de la gravedad es de 4.0 p/s 2 . Munson, B. R., Young D. F. y Okiishi, T. H. John Wiley & Sons, 1990. 6. El agua hierve a 90 ºC a una cierta altitud. Cuál es el valor de presión atmosférica a esta altitud?. Munson, B. R., Young D. F. y Okiishi, T. H. John Wiley & Sons, 1990. A qué presión atmosférica habría problemas de cavitación? Cuál sería aprox. la altitud? 7. A partir del concepto de fluido Newtoniano, derive las unidades de la viscosidad dinámica y cinemática, en MKS y SIU. 8. El eje de un cargador tiene 12 cm de diámetro y se desplaza con un a velocidad de 20 cm/s sobre un cojinete de 35 cm de largo que presenta una holgura de 0.075 mm cuando se le aplica una fuerza de 50 kgf. Calcular cual es la posible viscosidad del fluido. 9. Un cilindro de acero con peso específico de 6.5 Kgf/m 3 mide 35 cm de largo y 12 cm de diámetro. Cae debido a su propio peso con una velocidad de 18 m/s por el interior de un tubo de diámetro ligeramente mayor. Entre el cilindro y el tubo hay aceite con una viscosidad dinámica de 1.3 E-3 Kgf-s/m 2 . Calcular la holgura y de separación entre cilindro y tubo. 10. Determinar la variación de volumen de 1 m 3 de agua a 27 ºC al aumentar la presión en 21 kgf/cm 2 . Schaum McGraw-Hill 1984. 11. Cuál es el módulo de elasticidad volumétrico del agua si el volumen era de 30 dm 3 a una presión de 35 kgf/cm 2 y para 29.7 dm 3 la presión es de 250 kgf/cm 2 , en sistema MKS y SIU. Schaum McGraw-Hill 1984. 12. Determinar la constante del gas R y su densidad si el volumen específico de cierto gas es de 0.71 m 3 /Kgf a una presión de 2.1 kgf/cm 2 y 32 ºC, en sistema MKS y SIU. Schaum McGraw-Hill 1984. 13. El gas metano confinado en un recipiente está sometido a una presión absoluta de 8.5 kgf/cm 2 a 38 ºC. Calcule su densidad y peso específico. 14. Un cilindro contiene 356 dm 3 de aire a 49 ºC y una presión absoluta de 2.8 kgf/cm 2 . Se comprime el aire hasta 70 dm 3 . 14.1 Suponiendo condiciones isotérmicas, cuál es la presión en el nuevo volumen y cuál el módulo de elasticidad volumétrico. 14.2 Suponiendo condiciones adiabáticas, cuál es la presión final, la temperatura final y el módulo de elasticidad volumétrico, en sistema MKS y SIU. Schaum McGraw-Hill 1984. 15. Una cantidad de agua a 10 ºC dentro de un tubo de vidrio limpio de 2 mm de diámetro llega hasta una altura de 35 mm. Cuál es la altura estática verdadera?. Franzini J. B. Y Finnemore E. J. McGraw-Hill. 1999. 16. Determinar las presiones relativa y absoluta para una superficie sumergida a 6.0 m de profundidad en una masa de agua, en sistema MKS y SIU. Schaum McGraw-Hill 1984. La lectura en un barómetro es de 75.6 cm de mercurio. 17. Determinar las presiones relativa y absoluta para una superficie sumergida a 6.0 m de profundidad en una masa de aceite de densidad relativa 0.75, en sistema MKS y SIU. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.26 Schaum McGraw-Hill 1984. La lectura en un barómetro es de 75.6 cm de mercurio. Analice su respuesta comparando con el resultado anterior. 18. A qué profundidad de un aceite de densidad relativa 0.75, se producirá una presión de 2.8 kgf/cm 2 ? A cuál si el líquido es agua? Schaum McGraw-Hill 1984. 19. Si la presión manométrica en un punto de una conducción es de 10 bares y en otro es de 5 kgf/cm 2 , cuál es la pérdida de presión en mca y en SIU?. 20. Verifique las dimensiones de energía, presión y potencia, basándose en que las de fuerza son mL/T 2 . A: Por favor, responda claramente: Defina una fluido Newtoniano ________________________________________________ _____________________________________________________________________ De ejemplos de fluidos no Newtonianos __________________________________ En un gas a temperatura constante se cumple que el volumen es ____________________ proporcional a la presión. Escriba una ecuación que represente lo anterior (Punto 3) _____________________ La compresibilidad de un fluido está relacionado con el módulo de _______________ La cavitación se presenta cuando ____________________________________________ En un fluido en reposo, la suma de la altura de posición más la de presión es_________________ para cualquier punto. A mayor elevación __________________ presión Una presión manométrica que esté por debajo de la atmosférica tiene signo _______ Un instrumento que sirve para medir el peso es _____________________ Una aplicación de la velocidad del sonido en ingeniería es _____________________ La velocidad del sonido en sólidos es ____________________ que en fluidos El peso específico del agua a 20 ºC es _______ kN/m 3 1kgf = __________ N Las dimensiones de un Newton son: ______________________ Las unidades de presión en sistema internacional de unidades son: _______________ 1 N/m 2 = _____ Pa; 1 kg/cm 2 = ______ mca; 1 bar = ____ atmósfera = _____ kgf/cm 2 Para fluidos Newtonianos se cumple que τ = ___________________ y su significado es que el esfuerzo cortante es ___________________________________________ La presión total en la base de un tanque lleno de fluido es igual a __________________________________________ _______________________y la presión en la superficie del fluido es igual a _____________________________ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.27 Dos expresiones para el peso de un cuerpo son W = y, W = Dos expresiones para la presión de un fluido son: p = y, p = Escriba el significado de cada parámetro en las dos preguntas anteriores 2. Determine si es falso o verdadero F V El volumen específico de los gases aumenta con incrementos en la temperatura. F V En un fluido ante decrementos en la presión se producen incrementos en el volumen. F V La viscosidad dinámica siempre disminuye con la temperatura. F V La pintura es un ejemplo de fluidos newtonianos F V El centro de presiones se localiza más profundo que el centro de gravedad de una superficie plana inclinada F V La presión de vapor de un líquido a cierta temperatura es igual a la presión atmosférica cuando éste empieza a hervir F V Los manómetros registran la presión relativa F V La presión en el fondo del mar siempre es igual en todas partes F V Kgf/m 3 es una unidad de potencia F V La temperatura es una medida del calor F V El esfuerzo cortante se presenta en fluidos en reposo 1.10 Bibliografía MUNSON, YOUNG, OKIISHI. Fundamentos de Mecánica de Fluidos, John Wiley Sons Limusa. 1994. UNIVERSIDAD DEL CAUCA (2010). Manual del Laboratorio de Hidráulica. WIKIPEDIA, 2013. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 1.28 1.11 Ecuaciones básicas MECÁNICA DE FLUIDOS ECUACIONES BÁSICAS (propiedades de los fluidos) dy dV A F µ t = = tangencial g W µ ¸ = ¬ = mg W = ¬ = m µ µu µ = ma F = W w ' ' GS µ µ ¸ ¸ µ ¸ = = = = t d V = ¬ ÷¬ = d dp E A Q V = normal A F p = y p ¸ = ¸ 1 = ¬ s abs p E = 2 2 1 1 ¬ = ¬ p p GASES Si volumen constante Si temperatura constante Si presión constante 2 2 1 1 T T ¬ = ¬ 2 2 1 1 T p T p = Condiciones isotérmicas Condiciones adiabáticas k k p p 2 2 1 1 ¬ = ¬ k k p p T T 1 1 2 1 2 ÷ = abs kp E = r cos h ¸ u o 2 = T R p s abs ´ = ¬ A h F c ¸ = nRT p abs = ¬ Pa)/(Kmol) m ( 31 . 8 3 = R µ E c = Presión absoluta = presión manométrica + presión atmosférica UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.1 2 ESTÁTICA DE FLUIDOS La estática de fluidos es una rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en estado de reposo; es decir; sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición. 2.1 Propiedades básicas a) En fluidos en reposo, solamente existen fuerzas normales de presión. No existen esfuerzos cortantes. t = 0 V = 0 t: esfuerzo cortante V: velocidad A F F A Figura 2.1. Fuerza normal a la superficie. F: fuerza p: presión relativa o manométrica A: área de la superficie normal a la fuerza b) Aplicación: tanques, depósitos, embalses, canales con pendiente baja. fuerzas sobre presas, sobre compuertas, sobre paredes de tanques, etc. Figura 2.2. Ejemplos de aplicación de fuerzas en estática. c) La superficie del fluido en reposo se asimila a un plano horizontal, pero realmente para grandes volúmenes de líquidos, es una superficie normal a la dirección de la gravedad y se aproxima a una superficie esférica concéntrica con la tierra. A F p = dA dF p = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.2 g Figura 2.3. Fuerza de la gravedad apuntando hacia el centro de la tierra. d) La presión en cualquier punto de un fluido en reposo es igual en todas las direcciones. p x = p y = p z o o o x z y u ol o F3 F2 F1 F1y F1x o u A C B Figura 2.4. Presión constante en todas las direcciones. Para equilibrio: ∑F x = 0 ∑F y = 0 ∑F z = 0 ∑F x = 0 Del triángulo ABC ¬ l y cos o o 0 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.3 ∑F y = 0 Despreciando el efecto de la gravedad e) La variación de la presión relativa con la posición vertical es: , de donde se deduce: p = ¸y. u sen F F y 1 1 = z * x * p sen * z * l * p o o u o o 3 1 = u sen F F y 1 1 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.4 W F1z F2z F1y F2y F1x F2x oz ox oy Figura 2.5. Fuerzas actuantes en un diferencial de volumen de fluido. Las fuerzas que actúan son: W: peso en el interior del fluido W = mg µ = m/¬ W = µg¬ = ¸¬ F: fuerzas externas Para equilibrio: ∑F x = 0 ∑F y = 0 ∑F z = 0 o x o z UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.5 y = h = altura de presión = altura hidrostática f) A mayor elevación dentro de un fluido en reposo, menor presión. Esta es la presión relativa, también llamada manométrica, pues sobre todo el conjunto actúa la presión atmosférica. p = 0 Presión atmosférica P.R. h 1 2 p =¸ h p abs = ¸h + p atm Figura 2.6. Variación de la presión con la altura. p: presión relativa o manométrica p abs : presión absoluta o presión total p atm : presión atmosférica Gas p 1 1 2 Liquido h p.abs = h+ p + p atm p.abs = h+p. atm ¸ ¸ 1 1 2 b) Figura 2.7. Presión absoluta. a) Tanque presurizado. b) Tanque abierto. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.6 g) Para un fluido incompresible en reposo, la suma de la elevación y la altura de presión es igual para todo punto. P. R. Plano de referencia Figura 2.8. Suma de la elevación y presión constante para cada punto. z : elevación con relación a un plano p/¸: presión h) Ley de Pascal: todos los puntos en un cuerpo continuo de fluido en reposo, de densidad constante y que se encuentren a la misma profundidad bajo la superficie de un líquido, están sometidos a la misma presión. h p p 1 2 p = p = p = p = h 1 2 h p 3 p 4 3 4 ¸ Figura 2.9. Presión constante para puntos a igual nivel. 2.2 Presión La presión es una magnitud física vectorial que mide la fuerza en la dirección perpendicular por unidad de superficie y sirve para caracterizar cómo se aplica una determinada fuerza resultante sobre una superficie. Las ecuaciones básicas son: y p ¸ = A h F c ¸ = ma F = A F p = Z1 Z2 P2/¸ Z3 P3/¸ H UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.7 2.2.1 Presión atmosférica La presión atmosférica es la fuerza que el peso de la columna de aire por encima del punto de medición ejerce por unidad de área La variación de la presión con la altura es mucho mayor que la variación horizontal, de modo que para hacer comparables mediciones en lugares distintos, hay que referirlas a un nivel común (usualmente el nivel del mar). 2.2.2 Presión relativa o manométrica Se debe a la fuerza ejercida por el fluido normalmente sobre las paredes de una superficie con relación a la presión atmosférica. Puede tener signo positivo o negativo. p: presión F: fuerza que actúa normal al área A: área normal 2.2.3 Presión absoluta Presión absoluta = presión relativa + presión atmosférica. Siempre debe ser positiva. 2.2.4 Unidades de medida Figura 2.10. Unidades y escalas para la medición de presión. Enciclopedia Microsoft® Encarta® 98 © 1993-1997. Unidades comunes de medida son: 1 Pa = 1 N/m 2 1 bar = 1 atmósfera = 1 kg/cm 2 = 10.33 mca 1 psi = 0.7 mca mca: metros de columna de agua A F p = y p ¸ = ( ¸ ( ¸ 2 L F UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.8 2.2.5 Instrumentos de medida Existen muchas formas de medir la presión en un fluido y la mayoría de los medidores miden la presión de un fluido con relación a la presión atmosférica local. Entre ellos están; - Tubos piezométricos - Manómetros simples - Manómetros diferenciales - Manómetros metálicos - Transductores de presión - Tubos piezométricos Son tubos transparentes de cristal o plástico, rectos o con codo de 90º, de diámetro entre 1 cm y 3 cm y de longitud adecuada para que el líquido pueda subir sin llegar a rebosarse. Para reducir los errores por tensión capilar y evitar corrección por menisco, el diámetro del tubo debe ser como mínimo de 1.2 cm. El agujero de conexión entre el tubo piezométrico y el de la tubería debe ser pequeño, preferiblemente no mayor de 3 mm de diámetro, para evitar la influencia de la tensión superficial. El tubo se conecta al recipiente en que se quiere medir la presión y se utiliza para apreciar presiones relativas o manométricas pequeñas y positivas. La altura del líquido en el tubo da directamente el valor de la altura de presión. Figura 2.11. Piezómetro para medir la presión de líquidos solamente. Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999). - Manómetro simple El manómetro simple o manómetro de mercurio en U, es un dispositivo más conveniente para la medición de presiones que el piezómetro común ya que este último no permite medir presiones altas y ni se puede utilizar con gases. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.9 Figura 2.12. Manómetro de extremo abierto para medir presiones relativas de líquidos o gases. Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999). a) b) Figura 2.13. a) y b). Manómetros para medir vacíos. Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999). Aunque el mercurio se utiliza habitualmente como el fluido de medida en el manómetro simple, se pueden utilizar también otros líquidos (tetracloruro de carbono, por ejemplo). Cuando la densidad relativa del fluido manométrico se acerca a la del fluido cuya presión se pretende medir, la lectura aumenta para una presión cualquiera aumentando de esta manera la precisión del aparato, siempre y cuando se conozcan exactamente las densidades relativas. - Manómetros diferenciales Se usan cuando interesa medir solamente la diferencia entre dos presiones. En este caso la densidad del fluido de medida es mayor que la del fluido cuya diferencia de presión se pretende medir. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.10 a) b) Figura 2.14. a) Manómetro diferencial para medir diferencia de presión de líquidos y gases. b) Manómetro diferencial para medir diferencia de presión de líquidos solamente. Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999). - Manómetros metálicos Miden la presión relativa o el vacío respecto a la atmosférica. Como la mayoría de los medidores de presión, miden la diferencia entre la presión del fluido y la presión atmosférica local, por lo que hay que sumar esta última al valor indicado por el manómetro para hallar la presión absoluta. Una lectura negativa del manómetro corresponde a un vacío parcial. Como ejemplo se tiene el Bourdon, llamado así en honor al inventor francés Eugène Bourdon, en donde la presión atmosférica actúa en el exterior y la presión del líquido a medir actúa en el interior de un tubo curvado de sección elíptica, que cambiará su curvatura al cambiar la presión dentro del tubo. El extremo móvil del tubo gira la manecilla de un cuadrante mediante un mecanismo de unión articulado. La combinación de un manómetro de presión y de vacío se denomina manómetro compuesto el cual se muestra en la siguiente figura. . a) b) Figura 2.15. a) Manómetro de Bourdon. b) Manómetro compuesto. Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999). UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.11 La presión indicada por el manómetro es la de su punto central geométrico, por lo que si el tubo de conexión se llena completamente de fluido de la misma densidad como el del punto A de la figura anterior, se tiene: p A = lectura del manómetro + ¸z Un manómetro de vacío, o la porción de presión negativa de un manómetro compuesto se obtiene de la siguiente forma: p A = lectura del manómetro - ¸z El material que constituye el tubo de Bourdon limita los valores que pueda medir el manómetro así: Si se construye de bronce puede medir hasta 200 kgf/cm 2 , de acero hasta 900 kgf/cm 2 , de acero inoxidable 3,500 kgf/cm 2 . - Transductores de presión "Un transductor es un dispositivo que transfiere energía (en cualquier forma) de un sistema a otro. El manómetro de Bourdon, por ejemplo, es un transductor mecánico por el hecho de tener un elemento elástico que convierte la energía del sistema de presión en un desplazamiento en el sistema mecánico de medida. Un transductor de presión eléctrico convierte el desplazamiento de un sistema mecánico (normalmente un diafragma de metal) en una señal eléctrica, bien activamente si genera su propio potencial eléctrico de salida, bien pasivamente si requiere un potencial eléctrico de entrada que modifica como función del desplazamiento mecánico". Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999). Figura 2.16. Transductor de presión de extensiómetro eléctrico con registrador de cinta. Franzini J. B. y Finnemore E. J. (1999). Una banda extensiométrica se pega a un diafragma de forma que al cambiar la presión, cambia la deflexión del diafragma, que a su vez cambia el potencial eléctrico de salida, que se puede relacionar con la presión mediante una calibración correcta. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.12 2.3 Conceptos básicos de estática La fuerza F es una magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad, o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles. La fuerza debida a la presión actúa normalmente a la superficie. La presión relativa p es una magnitud escalar que relaciona la fuerza con la superficie sobre la cual actúa. 2.3.1 Momento de inercia El momento o de inercia o inercia rotacional, Ic, es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia indica la resistencia de un cuerpo a rotar respecto de un eje determinado. Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae Menos resistencia a rotar Más resistencia a rotar < I > I Figura 2.17. Momento de inercia. 2.3.2 Momento de fuerza respecto a un punto fijo Se llama sencillamente momento o torque, o torca o par, a la magnitud dada por el producto vectorial de una fuerza por un vector director (también llamado radio vector o brazo). Se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de Unidades resulta Newton-metro y se la puede nombrar como newton- metro o newtómetro. El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.13 qué medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar la rotación del cuerpo con respecto a éste. El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo o masa sobre el cual se aplica. F b A Figura 2.18. Momento de fuerza. M A = F*b M A : momento de fuerza con relación al punto A F : fuerza b: brazo 2.3.3 Centro de gravedad El centro de gravedad (Cg) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo (dicho punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar situado fuera de él. En el caso de una esfera hueca, el CG está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo). 2.3.4 Centro de presiones El centro de presiones (Cp) es el punto en el cual se ejercen las líneas de acción de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido en un líquido, o sea que es el punto donde se asume que actúa la fuerza resultante para tener el mismo efecto que la fuerza del fluido distribuida sobre todo el área del cuerpo. 2.3.5 Centro de masas El centro de masas (Cm) es el punto donde, para ciertos efectos, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.14 Figura 2.19. Centro de masas. En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. 2.3.6 Equilibrio Un sistema está en equilibrio mecánico cuando la suma de fuerzas y momentos, sobre cada partícula del sistema es cero. Además, un sistema está en equilibrio mecánico si su posición en el espacio de configuración es un punto en el que el gradiente de energía potencial es cero. Una partícula o un sólido rígido esta en equilibrio de traslación cuando: la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero. Un sólido rígido esta en equilibrio de rotación, si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero. Las condiciones básicas de equilibrio son dos: a) El resultado de la suma de fuerzas es nulo. b) El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo. 2.4 Fuerzas sobre superficies planas Para calcular la fuerza sobre una superficie plana es necesario calcular la magnitud de la fuerza resultante sobre el área y la localización del centro de presión. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.15 Las ecuaciones básicas son: La fuerza F es una magnitud vectorial que puede definirse como toda acción o influencia capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad, o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban en reposo. La fuerza debida a la presión del fluido actúa normalmente a la superficie y se asume concentrada en el centro de presión. La presión relativa p, es una magnitud escalar que relaciona la fuerza con la superficie sobre la cual actúa. Varía desde cero en la superficie del líquido hasta un valor máximo en el fondo siguiendo una distribución lineal. La presión actúa normalmente al área A del cuerpo. p = 0 p = ¸h Figura 2.20. Prisma de presión para fluidos líquidos. Cuando se trata de gases, la presión se transmite a través de los fluidos líquidos y tiene una distribución uniforme a lo largo de toda la altura y sobre el fondo. Cg Cp Pgas F Figura 2.21. Prisma de presión para los gases. El centro de presión del área C p es el punto en donde se asume que actúa la fuerza resultante para tener el mismo efecto que la fuerza distribuida en toda el área sobre la que actúa. El centro de presión es diferente al centro de gravedad del área o centro de pA F = h p ¸ = A A UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.16 gravedad del cuerpo sólido. El centro de presión está siempre por debajo del centroide de un área que está inclinada con respecto a la horizontal. El centro de gravedad C g es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales del cuerpo. No siempre corresponden a un punto material del cuerpo. 2.4.1 Tanques abiertos y presurizados h2 p atm 2 1 p man= h2 p gage=0 ¸ 1 2 a p. man = h +p. man 2 2 1 b 1 2 h1 h2 + p. gage = p. man = 0 p (-) 1 IWS ¸ h2 h1 p. man = h - p. man 2 2 1 ¸ IWS a) b) Figura 2.22. a) Tanques abierto. b) Tanques presurizados. Cuando el tanque es presurizado, la presión ejercida por un gas medida con un manómetro se puede remplazar por una altura equivalente del fluido líquido, que se llama Imaginary Water Surface –IWS-. Si la presión manométrica es positiva se marca hacia arriba del nivel del fluido líquido, y si es negativa, se marca hacia abajo. Este concepto del IWS solo aplica para el cálculo de fuerzas sumergidas o sobre el fondo de un tanque. p 1 Figura 2.23. Aplicaciones del IWS. ( ) 2 1 2 h h p + = ¸ ( ) 1 2 2 h h p ÷ = ¸ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.17 2.4.2 Fuerzas sobre superficies planas horizontales En este caso, la fuerza se concentra en el centro de la superficie. F = pA = ¸hA h Cg Figura 2.24. Diagrama de presiones sobre el fondo de un tanque. 2.4.3 Fuerzas sobre superficies planas verticales Cg Cp h hc hp F h/3 1 m p = h 2 ¸ p =0 1 p= h L ¸ h p= h ¸ Figura 2.25. Diagrama de presiones sobre superficies planas verticales y rectangulares. Cg Cp h F P= h ¸ Figura 2.26. Diagrama de presiones sobre superficies planas verticales de cualquier forma. Se calcula la magnitud de la fuerza, se localiza el centro de presión y se muestra la fuerza resultante actuando en el centro de presión y normalmente a la superficie plana. Los cálculos se hacen con las siguientes ecuaciones: A hc hp A A A A A UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.18 La presión relativa varía desde cero en la superficie a un valor máximo en el fondo, siguiendo una distribución lineal. La fuerza que ejerce el fluido sobre la pared tiende a tumbarla o a romperla. h c : profundidad vertical de fluido medida desde la superficie libre hasta el centroide del área. h p : distancia vertical desde la superficie libre del fluido hasta al centro de presión del área. I c : momento de inercia del área alrededor de su eje centroidal. Es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación respecto al eje de giro, o sea que es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. 2.4.3.1 Aplicaciones - Fuerza sobre compuertas. Figura 2.27. Fuerzas sobre compuertas. A h F c ¸ = A h I h h c c c p + = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.19 - Fuerzas sobre paredes de tanques abiertos y presurizados Cg Cp Cg F liq Gas Liquido p liq. p gas F gas Cg Cp Cg Cp Cg Gas Liquido 1 Liquido 2 p liq. p liq. p gas 2 1 Cg 1 21 21 22 31 31 F liq F liq F gas 1,1 2 Fliq1,2 Figura 2.28. Fuerzas sobre tanques presurizados. 2.4.4 Fuerzas sobre superficies planas inclinadas libres a) Cálculo de la fuerza por ecuación general para superficies de cualquier forma. o o Cg Cp C A h B d d c p hc F y cp A A d Figura 2.29. Fuerzas sobre superficies inclinadas. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.20 La fuerza resultante siempre actúa normalmente a la superficie sólida y su valor y posición se calcula con las siguientes ecuaciones: d c : distancia desde la superficie libre del fluido al centroide del área, medida a lo largo del ángulo de inclinación del área. d p : distancia desde la superficie libre del fluido hasta el centro de presión del área, medida a lo largo del ángulo de inclinación del área. b) Cálculo de la fuerza resultante por descomposición de fuerzas para superficies rectangulares La fuerza resultante siempre actúa normalmente a la superficie sólida pero se puede descomponer en F x y en F y . p = 0 p = ¸h Figura 2.30. Descomposición de fuerzas para superficies inclinadas libres. 2 2 V H F F F + = A h F c ¸ = A d I d d c c c p + = área del forma cualquier para general ecuación A h F c H ¸ = r rectangula es área del forma la cuando solo 2 2 2 L h hL h A h F c H ¸ ¸ ¸ = | . | \ | = = F H F V inclinada superficie la de encima por fluido del W F V = ¬ = ¸ d p F L h c C g A h h p UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.21 2.4.5 Fuerzas sobre superficies planas verticales o inclinadas sumergidas a) Cálculo de la fuerza por ecuación general para superficies de cualquier forma A A u u d c d p Cg Cp F R hp hc h S Figura 2.31. Elementos de las superficies sumergidas. o h h hc 2 1 h Cg Cp D d c d p F Fx Fy h h ¸ ¸ 2 1 Figura 2.32. Prisma de presiones sobre una superficie sumergida. b) Cálculo de la fuerza resultante por descomposición de fuerzas para superficies rectangulares La fuerza resultante siempre actúa normalmente a la superficie sólida pero se puede descomponer en F x y en F y . UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.22 o h h ¸ h1 ¸ h 2 Fv h 1 2 b Figura 2.33. Descomposición de fuerzas para superficies inclinadas sumergidas. El procedimiento general para calcular la fuerza sobre una superficie plana vertical o inclinada sumergida de cualquier forma es el siguiente: 1. Identifique el punto en el que el ángulo de inclinación del área de interés intersecta el nivel de la superficie del fluido. Esto puede requerir la extensión de la superficie inclinada. Señale este punto con la letra S. 2. Dibuje el diagrama de presiones. 3. Localice el centroide C g del área a partir de su geometría. 4. Determine h c como la distancia vertical desde el nivel de la superficie libre hasta el centroide del área. 5. Determine d c como la distancia inclinada desde el nivel de la superficie libre hasta el centroide del área. Ésta es la distancia desde S hasta el centroide. 6. Calcule el área total A, vertical o inclinada, sobre la cual se va a determinar la fuerza. 7. Calcule la fuerza resultante por la ecuación general F=¸ h c A 8. Calcule el momento de inercia I c dependiendo de la forma de la superficie y alrededor de su eje centroidal. 9. Calcule la localización del centro de presión d p para superficies inclinadas o h p para superficies verticales. A h I h h c c c p + = A d I d d c c c p + = área del forma cualquier para general ecuación A h F c H ¸ = 2 2 V H F F F + = inclinada superficie la de encima por fluido del W F V = ¬ = ¸ ( ) r rectangula es área del forma la cuando solo 2 1 2 2 1 L h h h h A h F c H ÷ | . | \ | + = = ¸ ¸ F H h p C g h c F d p L l A UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.23 10. Haga un diagrama de la fuerza F que actúa en el centro de presión, perpendicularmente al área. 11. Dibuje en el diagrama de presiones las dimensiones d c y d p para superficies inclinadas o h c y h p para superficies verticales, a partir de una línea de referencia que pase por el punto S. - Nomenclatura: F: fuerza resultante actuando normalmente sobre el área vertical o inclinada, debida a la presión de fluido. u : ángulo de inclinación del área con relación a la horizontal. h c : profundidad de fluido desde la superficie libre hasta el centroide del área. h p : distancia vertical desde la superficie libre del fluido hasta al centro de presión del área. d c : distancia existente desde la superficie libre del fluido al centroide del área, medida a lo largo del ángulo de inclinación del área. d p : distancia desde la superficie libre del fluido hasta el centro de presión del área, medida a lo largo del ángulo de inclinación del área. B, H: dimensiones del área si es rectangular. A: área total sobre la que actúa la fuerza. Ic: momento de inercia del área alrededor de su eje centroidal. Es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación respecto al eje de giro, o sea que es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Centro de gravedad: es el punto en donde el peso total de un cuerpo es atraído hacia el centro de la tierra. Centroide: centro de simetría de una figura geométrica. Centro de presión: punto en el que actúan las fuerzas que ejercen presión sobre un cuerpo sumergido en un líquido. 2.4.6 Aplicaciones de fuerzas sobre superficies planas Cálculo de la estabilidad de presas sordas y vertedoras. Figura 2.34. Vista frontal de una presa. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.24 Figura 2.35. Fuerzas sobre presas no vertedoras. Figura 2.36. Fuerzas sobre presas vertedoras. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.25 2.5 Fuerzas sobre superficies curvas El objetivo es determinar las fuerzas horizontal y vertical y la resultante F, ejercidas por el fluido sobre la superficie curva, lo que equivale a las fuerzas que la superficie curva ejerce como reacción a las fuerzas debidas a la presión del fluido. Figura 2.37. Fuerzas sobre superficies curvas. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.26 2.5.1 Fuerza horizontal La componente horizontal de la fuerza debida a las presiones ejercidas sobre una superficie curva, es igual a la fuerza resultante sobre la proyección de la superficie curva en un plano vertical. La resultante de las fuerzas horizontales sobre una superficie curva cerrada sumergida es nula. 2.5.2 Fuerza vertical La componente vertical de la fuerza ejercida por la superficie curva sobre el fluido se encuentra sumando las fuerzas que actúan en la dirección vertical. Únicamente el peso del fluido actúa hacia abajo y el peso de la superficie en consideración. La componente vertical de la fuerza total hidrostática es igual al peso del prisma del líquido que tiene como base inferior la superficie curvada y como base superior la proyección del área sobre el plano horizontal en la superficie del líquido. 2.5.3 Fuerza resultante La línea de acción de la fuerza resultante siempre actúa a través del centro de curvatura de la superficie curva, ya que cada uno de los vectores de fuerza individual debido a la presión del fluido, está perpendicularmente a la frontera. La fuerza resultante actúa formando un ángulo |, con respecto de la horizontal y se le puede calcular por medio de las ecuaciones siguientes: La fuerza resultante actúa perpendicularmente a la superficie curva y pasa por el punto de intercepción de las fuerzas horizontal y vertical. Resumen del procedimiento para calcular la fuerza en una superficie curva sumergida 1. Aislar el volumen del fluido que está por encima de la superficie curva. 2. Realizar los diagramas de presiones. 3. Calcular el peso del volumen del fluido por encima de la superficie curva. 2 2 V H F F F + = ( ) H V F / F tan 1 ÷ = | ¬ = ¸ W UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.27 A´: área del fluido por encima de la superficie curva L: longitud normal al área La magnitud de la componente vertical de la fuerza resultante es igual al peso del volumen aislado por encima de la superficie curva. Actúa en línea con el centroide del volumen aislado. Fv = W 4. Dibujar una proyección de la superficie curva en un plano vertical y determine su altura, representada con s. 5. Calcular la profundidad del centroide del área proyectada h c . 6. Calcular la magnitud de la componente horizontal de la fuerza resultante F H = ¸h c A. A: área proyectada de la superficie curva sobre una vertical. 7. Calcular la profundidad h p de la línea de acción de la componente horizontal de la fuerza. 8. Calcular la fuerza resultante. 9. Calcular el ángulo de inclinación de la fuerza resultante con respecto de la horizontal. 10. Muestre la fuerza resultante que actúa sobre la superficie curva en la dirección de tal forma que su línea de acción pase por el centro de curvatura de la superficie. Centro de curvatura L ´ A = ¬ A h I h h c c c p + = 2 2 V H F F F + = ( ) H V F / F tan 1 ÷ = | UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.28 Figura 2.38. Posición de la resultante sobre superficies curvas. 2.5.3.1 Aplicaciones Determinación de las presiones de prueba y servicio en una tubería. P D L=1.0 e e FH R 1/2 tuberia Figura 2.39. Fuerza sobre paredes de tuberías. 2.6 Principio de Arquímedes Toda superficie curva cerrada sumergida experimenta un empuje (E) de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del líquido desalojado. E W Figura 2.40. Principio de Arquímedes. 2.7 Flotabilidad y estabilidad 2.7.1 Flotabilidad La flotabilidad es la tendencia de un fluido para ejercer una fuerza de apoyo sobre un cuerpo colocado en él. Un cuerpo que se encuentre en un fluido, ya sea flotando o sumergido, es empujado hacia arriba por una fuerza igual al peso del fluido desplazado. Esta es la fuerza boyante (o flotante), que actúa verticalmente hacia arriba a través del centroide del volumen desplazado y se le puede definir de manera matemática mediante el principio de UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.29 Arquímedes, según se presenta a continuación: F B = ¸ f ¬ d . El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través del centro de gravedad. Cuando un cuerpo flota libremente, desplaza un volumen suficiente de fluido para equilibrar justo su propio peso. El análisis de problemas que tratan sobre flotabilidad requiere la aplicación de la ecuación del· equilibrio estático en la dirección vertical, . La flotabilidad neutral se presenta cuando un cuerpo permanece en una posición dada en dondequiera que esté sumergido en el fluido. Un cuerpo cuyo peso específico promedio sea igual al del fluido será neutralmente flotante. 2.7.2 Flotación de un cuerpo sumergido d C ¬ = ¬ B A C D Figura 2.41. Fuerzas actuantes sobre un cuerpo sumergido. F Y : componente vertical de la fuerza del fluido sobre la superficie ABC↓. F Y ’ : componente vertical de la fuerza del fluido sobre la superficie ADC↑. F B : fuerza de flotación W c : peso del cuerpo F B = F Y ’ – F Y ABCDA ABCEFA ADCEFA B W W W F = ÷ = ABCDA f B F ¬ = ¸ d f B F ¬ = ¸ ¸ f : peso específico del fluido ¬ d : volumen desplazado W C = F B ¬ El cuerpo se encuentra en equilibrio. W C > F B ¬ El cuerpo se hunde. F E F H1 F H2 Wc F B F e F Y ‘ F Y UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.30 W C < F B ¬ El cuerpo flota. - Diagrama de cuerpo libre F Y W c F Y ’ Para equilibrio: F y = 0 F B = F Y ’ – F Y W C = F B C c c W ¬ = ¸ d f B F ¬ = ¸ d f C C ¬ = ¬ ¸ ¸ Si d C ¬ = ¬ ¬ f C ¸ ¸ = ¬ las densidades o pesos específicos del cuerpo y del fluido son iguales y el cuerpo está en equilibrio. De lo contrario, flota o se hunde, hasta que las densidades o pesos específicos del cuerpo sólido y del volumen desplazado sean iguales. Por otro lado: agua el en cuerpo - aire el en cuerpo W W F B = 2.7.3 Flotación de un cuerpo flotante d C ¬ = ¬ F Y B A C W c D F Y’ F B Figura 2.42. Fuerzas sobre un cuerpo flotante. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.31 W C < F B ¬ El cuerpo flota. d C ¬ > ¬ d f C C ¬ < ¬ ¸ ¸ f C ¸ ¸ < - Diagrama de cuerpo libre W c F Y ’ Para equilibrio: ∑F y = 0 F B = F Y ’ = W c d f B c c c F W ¬ = = ¬ = ¸ ¸ También: W AGUA = W AIRE - F B ¬ F B = W Aire - W Agua ¬ igual que en cuerpos sumergidos. NOTAS: - La resultante de las fuerzas horizontales sobre una superficie cerrada sumergida es nula. - Para equilibrio, W C y F B deben ser; iguales, colineales y opuestos. - W C actúa en el centro de gravedad del cuerpo. - F B actúa en el centroide del cuerpo desplazado. La presión atmosférica se transmite a través del fluido y se ejerce para todo el cuerpo y por lo tanto su efecto es nulo Aplicación: el hidrómetro usado para medir densidad relativa de los fluidos. 2.7.4 Procedimiento para resolver problemas de flotabilidad 1. Determine el objetivo de la solución del problema. 2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del objeto que se encuentre en el fluido 3. Muestre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo incluyendo su peso, la fuerza boyante y las fuerzas externas. Si la dirección de alguna fuerza no se conoce, suponga la dirección más probable. 4. Escriba la ecuación del equilibrio estático en la dirección vertical. ∑F y = 0 5. Resuelva la ecuación para la fuerza, peso, volumen o peso específico. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.32 2.7.5 Estabilidad La estabilidad se refiere a la capacidad de un cuerpo para regresar a su posición original después de haber sido inclinado con respecto a un eje horizontal. La condición para la estabilidad de cuerpos flotantes es diferente de la de los cuerpos que se encuentran completamente sumergidos. La condición para la estabilidad de cuerpos completamente sumergidos en un fluido es que el centro de gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de flotabilidad. El centro de flotabilidad de un cuerpo se encuentra en el centroide del volumen del fluido desplazado, y es a través de este punto como actúa la fuerza boyante en dirección vertical. El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través del centro de gravedad. Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedad está por debajo del metacentro. El metacentro (m c ) es el punto de intercepción del eje vertical de un cuerpo cuando se encuentra en posición de equilibrio y la recta vertical que pasa por la nueva posición del centro de flotabilidad (c b ) cuando el cuerpo está inclinado. 2.7.6 Procedimiento para la evaluación de la estabilidad de cuerpos flotantes 1. Determine la posición del cuerpo flotante, utilizando los principios de la flotabilidad. 2. Localice el centro de flotabilidad, c b , y calcule la distancia desde algún plano de referencia a c b ; llámela y cb Normalmente, el fondo del objeto se toma como el plano de referencia. 3. Localice el centro de gravedad, c g , y calcule Y cg medida desde el mismo plano de referencia. 4. Determine la forma del área en la superficie del fluido (planta) y calcule el menor momento de inercia, I, para la sección horizontal del cuerpo. 5. Calcule el volumen desplazado, ¬ d 6. Calcule la distancia del metacentro al centro de flotabilidad MB = I/¬ d . 7. Calcule la distancia desde el plano de referencia al metacentro (y mc ) Si y mc > Y cg el cuerpo es: Si y mc < Y cg el cuerpo es: UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.33 2.8 Ejercicios sobre estática Un recipiente cerrado contiene aire a presión y aceite con gravedad específica de 0.9. Un manómetro en U usa mercurio y está conectado al tanque como se ilustra. Si h1 = 0.9 m, h2 = 0.15 m y h3 = 0.25m, determine la lectura manométrica en Pa y en psi. Manómetro = pressure gage Aceite Agua Mercurio 2. Un tanque consta de una serie de cilindros con diámetros de 0.3 m, 0.25 m y 0.15 m. Calcule la altura en el manómetro. γ aceite = 8.9 kN/m 3 γ gliserina = 12.4 kN/m 3 Un manómetro diferencial de mercurio está conectado a la tubería en A que contiene gasolina (SG = 0.68) y a la B que contiene agua. Si la presión en A es de 20 kPa y la altura h es de 88 cm, determine la presión en B en mH 2 0 y analice su respuesta. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.34 8 KPa 2.0 m Aire 4.0 m 6.0 m gasolina 8.0 m La figura ilustra un tanque que contiene gasolina sobre el que actúa una presión del aire de 8 kPa. Realice el diagrama de presiones, determine la resultante de la fuerza sobre la pared frontal del tanque de 8.0 m de ancho y 7.0 m de longitud y su posición con respecto al fondo. Calcule la fuerza sobre el fondo del tanque. Cuál sería la posición de la superficie imaginaria de la gasolina ? Realice el diagrama de presiones, calcule las fuerzas debidas al empuje hidrostático y la posición de la resultante con relación al punto de apoyo del muro para cada uno de los siguientes dos casos. ¿En dónde debe aplicarse la fuerza y de qué magnitud sería para que el muro no se mueva en cada caso? a) b) Agua dulce Agua dulce 6.0 m Agua de mar 6.0 m Agua de mar 1.5 m 1.5 m A A 7.0 m 2.0 m Aire 2.0m Alcohol etílico 4.0 m 4.0 m 3.0 m A Compuerta 1.5m P 1.8m 60º La figura ilustra un tanque que contiene alcohol etílico sobre el que actúa una presión del aire de 30 kPa. Determine la resultante de la fuerza sobre cada pared del tanque y sobre el fondo. Una compuerta rectangular tiene una altura de 1.8 m y un ancho de 1.5 m y está localizada en la pared inclinada de un tanque. La compuerta gira por su extremo superior A. Si el peso de la compuerta es de 200 libraf y despreciando la fricción, determine la fuerza resultante debido al agua, su punto de aplicación y la fuerza P que mantiene en posición a la compuerta. Realice un diagrama claro ilustrando todas las fuerzas. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.35 1.0 m Suelo permeable A b = 9.0 m B 2. La presa para contener agua para riegos está diseñada para ser construida en concreto sobre una fundación permeable. Si el ancho de la base es de 9.0 m, determine las fuerzas del agua sobre la base, la cara aguas arriba y la cara aguas abajo de la presa. Indique todas las fuerzas y su punto de aplicación en un esquema claro 10.0 m 6.0 m u h 0.7 m 1.3 m A A cable B El bloque de madera A tiene sección cuadrada con 0.7 m de lado y 1.3 m de largo y pesa 2.4 kN. El bloque de concreto B con peso específico de 23.6 kN/m 3 está unido al bloque A por medio de un cable que permite mantenerlo en la posición indicada. Determine el volumen y el peso del bloque B cuando todo el sistema está en agua dulce. Realice un esquema de cuerpo libre indicando todas las fuerzas. Encuentre el peso específico de la madera. L = 2.0 m Un cilindro de 1.0 m de diámetro sumergido en agua se conecta con una compuerta rectangular de 2.0 m de largo a través del sistema de polea que se ilustra en la figura. La compuerta está por abrirse alrededor del punto B cuando la profundidad del agua h es de 2.5 m. Determine el valor del peso del cilindro W cuando la compuerta está a punto de abrirse si se desprecia la fricción y el peso de la co3mpuerta. Realice un diagrama de cuerpo libre indicando todas las fuerzas. Agua Cilindro B A qué profundidad h se hundirá un tronco de 2.4 m de diámetro y 4.5 m de longitud si está en agua dulce y la densidad relativa de la madera es de 0.425. (Serie Schaum) UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.36 P H Compuerta La figura muestra un bloque de madera de 2 pies de espesor con gravedad específica de 0.6 que está sumergido en aceite con gravedad específica de 0.8. El bloque tiene pegada en la base una lámina de acero de 2 pies de espesor y peso específico de 169 lb/pie 3 . Determine la fuerza requerida en libras y en Newtons y su posición para mantener el bloque en la posición mostrada. Realice el diagrama de cuerpo libre indicando la posición de todas las fuerzas. ft = feet = pies Agua r= 2.0 m Una compuerta de 5.4 m de largo que sirve para evacuar el fluido contenido en un tanque tiene la forma de un cuarto de círculo y se mueve alrededor de la bisagra situada en H. Calcule la fuerza del fluido resultante sobre la compuerta y el valor de la fuerza P necesaria para mantener la compuerta en su lugar. Realice un diagrama indicando todas las fuerzas y su posición. Encuentre la resultante y la posición de la fuerza del agua sobre la superficie circular que se ilustra en la figura. Ilustre por donde pasa la fuerza resultante? Radio = 6.0 m Centro 3.0 m 2.9 Bibliografía Enciclopedia Microsoft® Encarta® 98 © 1993-1997. FRANZINI, J. B. y FINNEMORE, E. John. Mecánica de Fluidos con Aplicaciones en Ingeniería. Mc Graw Hill. Novena ed. España. 1999. MOTT , R. L. Mecánica de Fluidos Aplicada. Pearson Prentice Hall. Cuarta edición. 1996 MUNSON, YOUNG, OKIISHI. Fundamentos de Mecánica de Fluidos, John Wiley Sons Limusa. 1994. UNIVERSIDAD DEL CAUCA. 2010. Manual del Laboratorio de Hidráulica. WIKIPEDIA, 2013. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 2.37 - Ejemplo Un tanque con agua tiene una compuerta rectangular de 4.0 pies de alto y 2.0 pies de largo que pesa 2,000.0 lbf y gira alrededor del punto A de un eje horizontal localizado a 10.0 pies bajo el nivel del agua. ¸ = 9,800.0 N/m 3 . Dibuje el diagrama de presiones y de fuerzas. Cuál es la posición de la fuerza resultante?. Cuál es el valor de la fuerza P para mantener la compuerta en posición? - Solución C 4 h c 3 10.0 p F 10¸ A d p d c 13.2¸ Cg 2.0 p h Cp W n B W t 4.0 p P α W No está a escala Tag(α) = 4/3 ¬ α = 53.13° h = 16/5 = 3.2 p A = 8 p 2 h c = 10.0+3.2/2 = 11.6 p F =62.4*11.6*8.0 = 5790.72 lbf d c = 11.6/sen(53.13°) = 14.5 p I c = BH 3 /12 = 2.0*4.0 3 /12 = 10.67 p 4 d p = 14.59 p W n = 2,000.0*cos(53.13°) = 1,200.0 lbf AC = 10.0/sen(53.13°) = 12.5 p F r = 5,790.72+1,200.0 = 6,990.72 lbf F r *b = F*b 1 +W n *b 2 6,990.72*b = 5,790.72*(14.59-12.50) + 1,200.0*2.0 b = 2.07 p P *b = F*b 1 +W n *b 2 P*4.0 = 5,790.72*(14.59-12.50) + 1,200.0*2.0 P =3,625.0 lbf UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.1 3 CINEMÁTICA DE FLUIDOS La cinemática de fluidos estudia la velocidad y aceleración de los fluidos y sus distribuciones en el espacio, sin tener en cuenta la fuerza o la energía que pudieran estar implicadas. 3.1 Conceptos básicos 3.1.1 Senda Una senda es la trayectoria seguida por una partícula individual durante un período de tiempo. Si una cámara tomase una exposición prolongada de un flujo en el que hubiera una partícula coloreada de fluido, la fotografía mostraría la trayectoria seguida por la partícula. Ésta sería su senda. La senda indica la dirección de la velocidad de la partícula en instantes sucesivos de tiempo. 3.1.2 Trayectoria La trayectoria de la partícula, es el camino que recorre una partícula de fluido en su movimiento. La trayectoria de una serie de partículas es una línea de corriente. Una partícula se mueve siempre tangente a la línea de corriente. 3.1.3 Línea de corriente (LC) La línea de corriente indica la dirección media de una serie de partículas en el mismo instante de tiempo. Si una cámara tomase una exposición muy corta de un flujo donde hubiera un número grande de partículas, cada partícula marcaría un recorrido corto que indicaría su velocidad durante ese breve intervalo. Los vectores de velocidad media son tangentes a las líneas de corriente en cada punto. Figura 3.1. Líneas de corriente. WIKIPEDIA, 2013. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.2 Sendas y líneas de corriente son idénticas en el flujo estacionario o permanente de un fluido en que no hay componentes de velocidad que fluctúan. Semejante flujo puede ser el de un fluido ideal sin fricción o el de un fluido tan viscoso que se mueve tan lentamente que no se forman remolinos. Este último es el flujo laminar, dentro del cual las capas de fluido se deslizan suavemente, una sobre la otra. En el flujo turbulento, sin embargo, las sendas y líneas de corriente no coinciden, siendo las sendas muy irregulares mientras que las líneas de corriente son en todas partes tangentes a la velocidad media temporal local. En la Mecánica de Fluidos experimental se suele inyectar un tinte u otro trazador en el flujo para trazar el movimiento de las partículas de fluido. Si el flujo es laminar, el resultado es una cinta de color. A ésta se le denomina línea de traza o línea de filamento o línea de corriente. Representa una imagen instantánea de la posición de todas las partículas del flujo que han pasado por un punto dado (es decir, el punto de inyección). Al utilizar las técnicas de trazador de fluido es importante elegir un trazador con características físicas (sobre todo la densidad) iguales a las del fluido observado. Por tanto, el humo que sube de un cigarro, aunque da la impresión de ser una línea de corriente, no representa correctamente el movimiento del aire del ambiente en la habitación debido a que es menos denso que el aire, por lo que asciende más rápidamente. 3.1.4 Traza La traza es la huella que deja el colorante o el humo en un fluido. Para estudiar experimentalmente el movimiento de un fluido, con frecuencia se inyecta en él un colorante o humo. En el movimiento permanente, la traza coincide con la línea de corriente y con la trayectoria de las partículas. 3.1.5 Tubo de corriente El tubo de corriente es un tubo imaginario o real cuya pared lateral está formado por líneas de corriente. En flujo permanente el tubo está fijo en el espacio y no puede haber paso de fluido a través de sus paredes, porque el vector velocidad no tiene componente normal a la superficie del tubo. Así en una tubería de agua de 250 mm, un tubo de corriente puede ser un cilindro circular imaginario de 100 mm. y concéntrico con el eje de la tubería, o también la tubería misma de 250 mm, que por definición de línea de corriente está formada también por líneas de corriente. Figura 3.2. Tubo de corriente. WIKIPEDIA, 2013. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.3 3.1.6 Volumen de control (¬C) El concepto de un diagrama de equilibrio, como se utilizó en la Estática de Fluidos suele ser inadecuado para el análisis de fluidos en movimiento. En su lugar se halla frecuentemente que los conceptos de sistema, superficie y volumen de control son útiles en el análisis de la Mecánica de Fluidos. El volumen de control se refiere a una región en el espacio y es útil en el análisis de situaciones donde ocurre flujo dentro y fuera del espacio. El tamaño y forma del volumen de control son totalmente arbitrarios, pero con frecuencia se hacen coincidir con fronteras sólidas en partes; en otras partes se dibujan normales a las direcciones de flujo para simplificar. Por superposición de una velocidad uniforme sobre un sistema y sus alrededores, a veces se puede encontrar una situación conveniente para la aplicación del volumen de control. Figura 3.3. Volumen de control. WIKIPEDIA, 2013. 3.1.7 Superficie de control (SC) La superficie de control es la frontera del volumen de control. Las fronteras de un sistema forman una superficie cerrada que puede variar con el tiempo de manera que contenga la misma masa durante cambios en su condición. Por ejemplo: 1 Kg de gas puede estar confinado en un cilindro y comprimirse por el movimiento de un pistón. La frontera del sistema que coincide con el extremo del pistón se mueve entonces con el pistón. El sistema puede contener una masa infinitesimal o una finita grande de fluidez y sólidos a voluntad del investigador. 3.1.8 Sistema Un sistema fluido se refiere a una masa específica de fluido que se encuentra dentro de contornos definidos por una superficie cerrada. La forma del sistema y por tanto sus contornos pueden cambiar con el tiempo, como cuando un líquido fluye a través de un estrechamiento o cuando un gas se comprime; así como un fluido se mueve y se deforma, así el sistema que lo contiene se mueve y se deforma. El tamaño y la forma de un sistema es completamente opcional. ¬C SC SC UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.4 En contraste, un volumen de control se refiere a una zona fija en el espacio que no se mueve y no cambia de forma. Se suele elegir como una zona en la que entra y sale el flujo. Sus contornos cerrados se denominan superficie de control. De nuevo, el tamaño y la forma del volumen de control es completamente opcional, aunque los contornos se eligen a menudo para hacerlos coincidir con algún contorno sólido u otro contorno natural del flujo. En realidad, la superficie de control puede estar en movimiento por el espacio con respecto a algún sistema de referencia absoluto; ésto será aceptable siempre que el movimiento esté limitado a una traslación a velocidad constante. 3.1.9 Descripción del movimiento de un fluido A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista: Descripción Lagrangiana: una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que se busca unas funciones que den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Descripción Euleriana: una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante un valor para las propiedades o magnitudes fluidas sin importar la partícula fluida que en dicho instante ocupa ese punto, que no está ligada a las partículas fluidas sino a los puntos del espacio ocupados por el fluido. En esta descripción, el valor de una propiedad en un punto y en un instante determinado es el de la partícula fluida que ocupa dicho punto en ese instante. La descripción Euleriana es la usada comúnmente, puesto que en la mayoría de casos y aplicaciones es más útil. Usualmente se usa esta descripción para la obtención de las ecuaciones generales de la mecánica de fluidos. 3.2 Tipos de flujo Existen varios criterios para clasificar los tipos de flujo, algunos de los cuales se presentan a continuación. 3.2.1 Según el fluido - Flujo de fluido ideal Se supone que semejante fluido no tiene viscosidad. Esta situación idealizada no existe; no obstante, se dan casos de problemas de ingeniería donde la suposición de un fluido ideal ayuda a resolverlos. Por ejemplo, en el caso de un fluido ideal que fluye dentro de un conducto recto, todas las partículas se mueven en líneas paralelas a igual velocidad. En el flujo de un fluido ideal no existen esfuerzos cortantes ni pérdidas de energía. - Pérdidas de energía = 0 - Viscosidad del fluido = 0 - Esfuerzo cortante = 0 - Velocidad = constante UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.5 - Flujo de fluido real Cuando se hace referencia al flujo de un fluido real, los efectos de la viscosidad se introducen en el problema. Se desarrollan esfuerzos cortantes entre partículas del fluido vecinas cuando están moviéndose a velocidades distintas y existen pérdidas de energía. En el flujo de un fluido real, la velocidad adyacente a la pared tendrá un valor de 0 pero se incrementará rápidamente dentro de una distancia corta desde la pared y producirá un perfil de velocidades. - Pérdidas de energía = 0 - Viscosidad del fluido = 0 - Esfuerzo cortante = 0 - Velocidad variable 3.2.2 Según las fuerzas predominantes - Flujo libre El movimiento del fluido se realiza por conductos abiertos o cerrados parcialmente llenos, de forma que existe una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. El movimiento se realiza gracias a la fuerza de la gravedad. El flujo libre tiene lugar en la naturaleza en ríos y arroyos y en forma artificial en canales de conducción de fluidos, acueductos, alcantarillados, drenajes, etc. Piezómetro Superficie del agua y y=p/¸ Solera del canal Canal Plano de referencia Figura 3.4, Flujo libre. - Flujo a presión El movimiento del agua se realiza por conductos cerrados sobre los que el fluido ejerce una presión distinta a la atmosférica. El movimiento se debe principalmente a la acción de la presión del fluido. Ejemplos son los sistemas de distribución de agua potable y los conductos forzados que conducen el agua a las centrales hidroeléctricas. El flujo de gases siempre ocurre bajo presión. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.6 Presión relativa = p/¸ Tubos piezométricos Eje de la tubería Plano de referencia Figura 3.5. Flujo a presión. 3.2.3 Según la densidad - Flujo de un fluido incompresible o compresible Un flujo se puede clasificar también como el flujo de un fluido incompresible o compresible. Debido a que los líquidos son relativamente incompresibles, se suelen tratar como fluidos totalmente incompresibles. Bajo condiciones particulares en donde haya poca variación en la presión, el flujo de los gases se puede considerar también como incompresible, aunque generalmente deben tenerse en cuenta los efectos de la compresibilidad del gas. El flujo es incompresible si la densidad es constante o si los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables. En caso contrario, el flujo es compresible. Los líquidos y gases a bajas temperaturas se consideran incompresibles. En la práctica, se contempla que el flujo es compresible solo en casos especiales como el del golpe de ariete en tuberías y en el flujo de gases en que la densidad es una función de la presión absoluta y de la temperatura absoluta. - Flujo de fluido homogéneo y estratificado La variación de la densidad del flujo hace que se clasifique como homogéneo o estratificado. Si en todas las dimensiones espaciales la densidad del flujo es constante, se dice que el flujo es homogéneo, pero si la densidad varía en cualquier dirección el flujo es estratificado, como es el caso de grandes embalses o cuando hay cambios de temperatura. El flujo del agua en un río se considera homogéneo incluso en el caso de recibir descargas contaminadas ya que la turbulencia hace que se dé la mezcla muy rápidamente. El agua en un embalse presenta velocidad baja y si tiene gran profundidad puede estar estratificada con calidades diferentes a distintas profundidades. 3.2.4 Según la viscosidad - Flujo irrotacional y rotacional El flujo irrotacional se presenta en fluidos ideales en que no existen viscosidad (µ = 0) ni esfuerzos cortantes, no pueden transmitirse pares y no tienen lugar movimientos rotacionales de las partículas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad. Por lo UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.7 tanto, el flujo irrotacional equivale a decir que la vorticidad es cero y un ejemplo es el flujo uniforme. En el caso de flujos rotacionales (µ = 0), la velocidad de cada partícula varía en proporción directa del centro de rotación y por lo tanto existe vorticidad. Por ejemplo, se puede presentar vorticidad a la entrada de una bocatoma o de una tubería. 3.2.5 Según el régimen del flujo Osborne Reynolds demostró en 1883 que había dos tipos claramente diferentes de régimen de flujo: régimen de flujo laminar y régimen de flujo turbulento; entre ellos se encuentra el régimen de flujo de transición. Para ello, inyectó un hilo de líquido coloreado, que tenía la misma densidad que el agua, en la entrada de un tubo grande de vidrio a través del cual fluía agua desde un depósito. Una válvula en el extremo de descarga le permitía variar el flujo. Cuando la velocidad dentro del tubo era pequeña, este líquido de color se veía como una línea recta a lo largo de todo el tubo, mostrando por tanto que las partículas del agua se movían en líneas rectas paralelas. Cuando la velocidad del agua se iba incrementando gradualmente al abrir la válvula cada vez más, había un punto en que cambiaba el flujo. La línea empezaba a ondularse al principio, y luego a una distancia corta de la entrada se rompía en numerosos vórtices después de los cuales el color se dispersaba uniformemente de tal modo que no se podía distinguir ninguna línea de corriente. Observaciones posteriores han mostrado que en el último tipo de flujo las velocidades están sujetas a fluctuaciones irregulares continuamente. - Régimen de flujo laminar (RFL) El régimen de flujo laminar se presenta si las fuerzas viscosas (FV) son muy fuertes con relación a las fuerzas inerciales (FI). Esto se presenta cuando el gradiente de velocidad es muy bajo de forma que la fuerza viscosa es grande y las partículas de fluido se desplazan pero no tienden a rotar por lo que las partículas siguen trayectorias definidas. Este tipo de flujo también se denomina de líneas de corriente o viscoso. El significado de estos términos es que el fluido parece moverse debido al deslizamiento de láminas de espesor infinitesimal sobre láminas adyacentes, con el movimiento relativo de partículas de fluido ocurriendo a una escala molecular; las partículas se mueven sobre trayectorias o líneas de corriente definidas y observables, y además el flujo es característico de un fluido viscoso o de un fluido en que la viscosidad juega un papel significativo. Ej.: miel, pintura. FV > FI t : esfuerzo cortante A: área y: distancia desde las paredes del conducto a un punto dentro del fluido s. Newtoniano fluidos para válida , A dy dV A FV µ t = = dt dV g W dt dV m ma FI = = = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.8 µ: viscosidad dinámica V: velocidad de flujo a: aceleración del flujo m: masa del fluido W: peso del fluido El movimiento de las partículas líquidas se realiza en forma ordenada sin entrecortarse las líneas de corriente. - Régimen de flujo turbulento (RFT) Se presenta si las fuerzas viscosas son débiles con relación a las fuerzas inerciales. Al aumentar el gradiente de velocidad se incrementa el intercambio de momentum molecular entre las partículas del flujo, la viscosidad pierde su efecto, las partículas tienden a rotar y debido a ésto, cambian de trayectoria chocando entre sí. Las partículas del fluido con régimen laminar se mueven ordenadamente siguiendo trayectorias definidas, pero al aumentar la velocidad las partículas del fluido chocan entre sí y se desvían siguiendo trayectorias irregulares y muy desordenadas, que no son suaves ni fijas y que constituyen el régimen de flujo turbulento. Ej, agua, aire, vino, algunos aceites. El flujo de agua en las aplicaciones prácticas de la ingeniería presenta generalmente régimen turbulento. Se observa fácilmente en ríos y en la atmósfera. Las partículas del flujo se mueven continuamente tanto en dirección como en magnitud. Las fluctuaciones de velocidad van acompañadas por fluctuaciones de presión, por lo que los manómetros o piezómetros conectados a una tubería en que fluye un fluido suelen mostrar pulsaciones. En este tipo de flujo, una partícula concreta seguirá una trayectoria muy irregular y errática, no habiendo dos partículas que tengan movimientos idénticos ni siquiera similares. Por tanto, un tratamiento matemático rígido del flujo turbulento es imposible, siendo preciso emplear técnicas estadísticas de evaluación. - Flujo con régimen de transición La transición de flujo con régimen laminar a turbulento es gradual y se llama de transición. Se presenta cuando el filamento del fluido comienza a hacerse inestable. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.9 Figura 3.6. Tipos de régimen de flujo. - Número de Reynolds Osborne Reynolds de la Universidad de Cambridge (Inglaterra) realizó sus experimentos para establecer el régimen de flujo en tuberías entre 1880 y 1884. El número de Reynolds representa la preponderancia de las fuerzas viscosas con relación a las fuerzas de inercia y permite clasificar el régimen de flujo. u VL Re = Re: número de Reynolds L: longitud característica, usualmente se da en función del radio hidráulico, pero, según el objeto del estudio, puede ser el tamaño del sedimento en un río o el ancho de la pila de un puente. u : viscosidad cinemática [u = 10 -6 m 2 /s para agua a 20 °C] Si se usa como longitud característica el radio hidráulico, el número de Reynolds es u VR Re = y los valores límites son: Régimen de flujo laminar (RFL) Re < 500 Régimen de flujo turbulento (RFT) Re > 1000* Régimen de flujo transicional 500 < Re < 1000* Debe aclararse que en experimentos se ha demostrado que el régimen de flujo puede cambiar de laminar a turbulento con valores entre 500 y 12500 cuando se ha trabajado con el radio hidráulico como longitud característica, por lo que algunos aceptan los siguientes límites: Régimen de flujo laminar (RFL) Re < 500 Régimen de flujo turbulento (RFT) Re > 12500* Régimen de flujo transicional 500 < Re < 12500* Régimen de flujo turbulento Régimen de flujo transicional Régimen de flujo laminar UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.10 * El límite superior no está definido. Si se usa como longitud característica un valor de cuatro veces el radio hidráulico, (L = 4R), se obtiene u VR Re 4 = . En la práctica, se aceptan los siguientes límites: Régimen de flujo laminar (RFL) Re < 2000 Régimen de flujo turbulento (RFT) Re > 4000* Régimen de flujo transicional 2000 < Re < 4000* P A R = A: área mojada P: perímetro mojado Para conductos circulares de diámetro interno D, el radio hidráulico es igual a D/4. 4 4 2 D D D P A R = = = t t 3.2.6 Según el espacio - Flujo uniforme Cuando el tamaño y la forma de la sección transversal son constantes a lo largo del conducto, se presenta flujo uniforme, en el cual los parámetros hidráulicos del flujo (velocidad del agua) permanecen constantes a lo largo del conducto para un caudal constante. 0 = x V o o 0 = x Q o o 0 = x A o o Se considera uniforme el flujo de líquidos en tuberías o canales de sección constante y gran longitud. Figura 3.7. Flujo uniforme. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.11 - Flujo variado Los parámetros hidráulicos del flujo varían a lo largo del conducto para un caudal constante. 0 = x V o o 0 = x A o o Por ejemplo, controles en los canales como compuertas, presas, cambios de pendiente, hacen que el flujo sea variado. En conductos a presión, el flujo es variado cuando hay cambios de sección transversal y presencia de controles como válvulas. El flujo puede ser gradualmente variado o rápidamente variado y éstos a su vez pueden ser acelerado o retardado. Figura 3.8. Flujo libre variado. Figura 3.9. Flujo a presión variado. Adaptada de Sotelo A., G. 1982. 3.2.7 Según el tiempo - Flujo permanente o estacionario o estable Los parámetros hidráulicos del flujo permanecen constantes en el tiempo o sea que la velocidad de las partículas que ocupan un punto dado es la misma para cada instante. 0 = t V o o 0 = t p o o 0 = t Q o o UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.12 La mayoría de los problemas prácticos implican condiciones permanentes del flujo, como por ejemplo, el transporte de líquidos bajo condiciones constantes de altura de carga ya sea en flujo libre o a presión. El flujo permanente puede ser uniforme o variado. Un ejemplo se presenta cuando fluye agua desde un tanque que tiene nivel del fluido constante. Figura 3.10. Tanque con carga de fluido constante. - Flujo no permanente o no estacionario o inestable Los parámetros hidráulicos del flujo varían en el tiempo. El flujo no permanente es siempre variado ya que el flujo no permanente uniforme prácticamente no existe en la naturaleza. 0 = t V o o 0 = t p o o Ejemplos de flujo variado no permanente son la salida de agua por el orificio de un depósito bajo carga variable y la creciente en un río. También, el golpe de ariete en tuberías a presión y las olas y las mareas en flujo libre. Figura 3.11. Tanque con carga del fluido variable. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.13 GVF: flujo gradualmente variado RVF: flujo rápidamente variaod Figura 3.12. Flujo variado no permanente. Chow, V. T. 1982. 3.2.8 Flujo espacialmente variado El caudal varía a lo largo de la conducción pero permanece constante en el tiempo. 0 = x Q o o Figura 3.13. Flujo espacialmente variado. a) Sumidero con descarga completa. b) Sumidero con descarga parcial. Chow, V. T. 1982. 3.2.9 Flujo unidimensional, bidimensional y tridimensional El flujo unidimensional tiene lugar cuando la dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos. El análisis como flujo unidimensional es aceptable cuando se toma como única dimensión la línea de corriente central del flujo y pueden considerarse como despreciables las variaciones de las velocidades y aceleraciones en direcciones normales a dicha línea de corriente. En estos casos se consideran como representativos del flujo los valores medios de la velocidad, la presión y la elevación, despreciando las variaciones menores. El flujo de un fluido real no puede ser completamente unidimensional debido al efecto de la viscosidad, ya que la velocidad en una frontera sólida es igual a cero, pero es variable para otros puntos, pero si se trabaja con valores medios en cada sección se puede considerar unidimensional. Por ejemplo y en la práctica, el flujo en tuberías y canales de conducción de fluidos se analiza mediante principios de UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.14 flujo unidimensional, incluso en casos de curvas en que la geometría es tridimensional y la velocidad varía en las secciones rectas del conducto. El flujo bidimensional tiene características idénticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo componentes en dirección perpendicular a dichos planos, o bien ellas permanecen constantes. Es decir, que el flujo tiene gradiente de velocidad o de presión (o tiene ambos) solamente en dos direcciones. El flujo es tridimensional cuando sus características varían en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen en las tres direcciones; este es el caso más general del flujo pero el de más difícil análisis. 3.2.10 Flujo potencial En flujo potencial las líneas de corriente y de potencia son ortogonales y al sistema se le llama usualmente red de flujo. El análisis de flujo con potencial permite tener un conocimiento más preciso de la distribución de velocidades y presiones, a lo largo de las superficies de frontera de un flujo o de una sección transversal del mismo. El análisis de flujo bi y tridimensional, basado en la existencia de un potencial de velocidades, proporciona una aproximación más real de la mayor parte de las soluciones, las cuales pueden también ser aplicadas al flujo a través de medios porosos, como es el caso de un suelo. En flujo potencial se cumple la ecuación de Laplace. 0 2 2 2 2 2 2 = c c + c c + c c z y x | | | | = función potencia El análisis está basado en la existencia de un modelo matemático llamado flujo con potencial, en que existe una función escalar | (x, y, z) tal que la velocidad en cada punto sea igual al negativo del gradiente de la función potencia |. z V , y V , x V z y x c c ÷ = c c ÷ = c c ÷ = | | | La existencia de flujo potencial está limitada a los casos de flujo irrotacional, pero no impone restricciones en cuanto a las propiedades del fluido. Puede existir un flujo con potencial aunque éste sea compresible o viscoso (no permanente o permanente) pero la mayoría de los planteamientos se restringen al flujo incompresible y no viscoso. - Red de flujo Las líneas de corriente y la distribución de velocidades en el caso del flujo bidimensional estacionario de un fluido ideal se puede estudiar mediante una red de flujo, que es un entramado de líneas de corriente y líneas normales (perpendiculares) UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.15 Figura 3.14. Ejemplos de red de flujo. 3.2.11 Otras clasificaciones Otras clasificaciones del flujo incluyen: flujo subsónico o supersónico; convergente o divergente; perturbado, isotérmico (a temperatura constante), adiabático (sin transferencia de calor) e isentrópico (adiabático sin fricción). En una situación dada distintos tipos de flujo pueden ocurrir simultáneamente. Por ejemplo, el flujo de un líquido en una tubería se suele considerar como flujo unidimensional, incompresible de un fluido real que puede ser estacionario o no estacionario, laminar o turbulento, uniforme o variado. 3.3 Aplicaciones Clasificar los tipos de flujo para los siguientes casos: UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 3.16 Figura 3.15. Tipos de flujo en conductos a presión. Figura 3.16. Tipos de flujo en conductos libres. Chow, V. T. 3.4 Materiales para las conducciones - Materiales para las conducciones con flujo a presión: Hierro fundido (HF) Hierro galvanizado (HG) Asbesto cemento (AC) Cobre PVC (Policloruro de Vinilo) CPVC para agua caliente Hierro dúctil (HD); acero Fibra de vidrio = glass reinforced pipe (GRP) Polipropileno (PPR) PF+UAD (polímeros) PEAD (polietileno de alta densidad) - Materiales para las conducciones con flujo libre: Suelos Concreto Mampostería de piedra pegada Ladrillo Colchonetas de gaviones Colchacretos Vegetación UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.1 4 DINÁMICA DE FLUIDOS La dinámica de fluidos es una rama de la Mecánica de los Medios Continuos que aproxima la estructura de los fluidos moleculares a un medio continuo para describir el comportamiento de gases y líquidos. La dinámica tiene numerosas aplicaciones: distribución de fluidos para acueductos, oleoductos, centrales hidroeléctricas, centrales nucleares, riegos, refrigeración de equipos industriales, construcción de puertos y presas, fabricación de barcos, turbinas, bombas, calefacción, control ambiental, recreación, etc. Tiene dos ramas muy importantes que son: - Hidrodinámica - Aerodinámica Para resolver problemas de hidrodinámica se consideran normalmente tres aproximaciones importantes: - Que el fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases. - Se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que se supone que un líquido es óptimo para fluir y esta pérdida es mucho menor comparándola con la inercia de su movimiento. - Se supone usualmente que el flujo de los líquidos es en régimen estable o estacionario, es decir, que la velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo. En general, el término de Hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La otra rama importante es la Aerodinámica, o dinámica de gases, que se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de la compresibilidad. 4.1 Principios Fundamentales de la Mecánica de Fluidos Las ecuaciones que representan los principios fundamentales de la Mecánica de Fluidos se pueden expresar en forma integral y diferencial. Al conjunto de ecuaciones en su forma diferencial se les conoce como las ecuaciones de Navier-Stokes. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.2 Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales para conservación del momentum son: | | . | \ | c c + c c + c c + c c = | | . | \ | c c + c c + c c + c c ÷ z u w y u v x u u t u z u y u x u x p g x µ µ µ 2 2 2 2 2 2 | | . | \ | c c + c c + c c + c c = | | . | \ | c c + c c + c c + c c ÷ z v w y v v x v u t v z v y v x v y p g y µ µ µ 2 2 2 2 2 2 | | . | \ | c c + c c + c c + c c = | | . | \ | c c + c c + c c + c c ÷ z u w y u v x u u t u z u y u x u z p g z µ µ µ 2 2 2 2 2 2 dt dx u = dt dy v = dt dx w = Estas ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales de segundo orden y no tienen solución analítica general hasta el momento actual. Son ecuaciones difíciles de resolver por lo que toca recurrir a simplificaciones que ayuden a la solución de problemas de tipo práctico. A continuación se presentan los tres principios básicos para analizar el flujo de fluidos y las ecuaciones integrales que de ellos se derivan: - Conservación de la masa. - Conservación de la energía. - Conservación del momentum. 4.1.1 Conservación de la masa A partir del principio de conservación de la masa se establece la ecuación de continuidad para una vena líquida. Aunque la continuidad es un concepto altamente intuitivo, los primeros investigadores tardaron mucho tiempo en formalizarlo. Pioneros en este esfuerzo fueron Hero (o Herón) de Alejandría (alrededor del año 100 d. e.), un científico griego, Leonardo da Vinci (1452- 1519) y Benedetto Castelli (1577-1643), un alumno de Galileo. Puesto que el tubo de corriente está acotado en todos sus lados por las líneas de corriente y dado que no puede existir una velocidad neta normal a las líneas de corriente, ningún fluido puede salir o entrar dentro del tubo de corriente (velocidad siempre tangente a las líneas de corriente) excepto en sus extremos. El volumen fijo entre las dos secciones finales es un volumen de control. Si no se aumenta ni se quita fluido en el volumen de control, la masa de fluido debe ser la misma entre dos o más puntos a lo largo del conducto, por lo tanto caudal que entra = caudal que sale y a su vez el fluido que pasa por un punto debe ser igual al fluido que pasa por otro punto. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.3 Figura 4.1. Tubo de corriente. La ecuación integral de continuidad se puede escribir así: ( ) constante = + ¬ = } } SC VC VdA d dt d dt masa d µ µ El término de la izquierda es la tasa de cambio de la masa del sistema que debe ser 0 ya que la masa del sistema es constante, por lo que la anterior ecuación se puede escribir así: } } ¬ ÷ = CV CS d dt d dA . V µ µ La anterior ecuación significa que la tasa neta de flujo de masa desde el volumen de control es igual a la tasa de decremento de masa dentro del volumen de control. En su forma práctical la ecuación de continuidad para una vena líquida, se puede escribir para flujo de masa constante así: mN m m m Q Q Q Q .... 3 2 1 = = Esta ecuación indica que el caudal es igual a la magnitud de la velocidad media multiplicada por el flujo normal a la dirección del vector velocidad. Q m = µQ Q = VA N N N A V .... A V A V A V µ µ µ µ = = = = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 Si el fluido es incompresible, la densidad es constante y por lo tanto: N N A V .... A V A V A V = = = = 3 3 2 2 1 1 Q: caudal V: velocidad media del flujo A: área de la sección transversal del flujo Q 1 = Q 2 = Q 3 = …. = Q N Q = VA = V 1 A 1 = V 2 A 2 =...... V N A N UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.4 Esta ecuación también podría usarse para gases a baja velocidad, ej. menor de 100 m/s. 4.1.1.1 Cantidad de flujo por unidad de tiempo La cantidad de fluido que fluye por unidad de tiempo a través de cualquier sección se denomina cantidad de flujo o simplemente flujo. Se puede expresar de tres formas diferentes: flujo volumétrico o caudal, flujo de masa, flujo de peso. - Flujo volumétrico o caudal Volumen que pasa por una sección transversal en la unidad de tiempo, m 3 /s. t Q ¬ = (L 3 /t) - Flujo de masa Cantidad de flujo de masa que pasa por una sección transversal en la unidad de tiempo, Kg/s. Q m = µQ (m/t) t Q m ¬ = µ µQ = µVA = µ 1 V 1 A 1 = µ 2 V 2 A 2 =...... µ N V N A N - Flujo de peso Cantidad de flujo de peso que pasa por una sección transversal en la unidad de tiempo, KN/s. Q p = ¸Q (F/t) t Q p ¬ = ¸ ¸Q = ¸VA = = ¸ 1 V 1 A 1 = ¸ 2 V 2 A 2 =...... ¸ N V N A N Para densidad y peso específico constante, como es el caso de los fluidos líquidos, se tiene: Q = VA = V 1 A 1 = V 2 A 2 =...... V N A N Q: caudal V: velocidad media del flujo A: área de la sección transversal del flujo Para gases se trabaja en funsión del caudal másico o del caudal de peso. Q m1 = Q m2 Q p1 = Q p2 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.5 En forma más general, la ecuación de caudal se expresa de la siguiente manera, considerando que la velocidad media puede variar de punto a punto en la sección transversal: } = A vdA Q 0 v : velocidad media en un punto dA: área del flujo con velocidad v A: área total del flujo La integral se puede remplazar por una sumatoria así: i N i i N i i a v q Q ¿ ¿ = = = = 1 1 ¿ = = n i i a A 1 A Q V = 1 2 3 4 N i Figura 4.2. Sección transversal de un cauce dividida en franjas. v i = velocidad media en cada franja a i = área de cada franja q i = caudal que pasa por cada franja - Ejemplo Aire a 100 °F está sometido a una presión absoluta de 40 psia y fluye dentro de un conducto de ventilación de 10” de diámetro a una velocidad media de 30 pie/s. Halle el caudal, el flujo másico y el flujo de peso. 4.1.2 Conservación de la energía A partir del principio de conservación de la energía se establece la ecuación de la energía que tiene en cuenta las pérdidas de energía que se producen por el desplazamiento de un fluido de un punto a otro a lo largo de un conducto. Leonhard Euler (1707-1783) escribió la ecuación diferencial de la energía que después presentó Bernoulli en su forma integral. v i a i UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.6 0 = + + VdV dp gdz µ Al dividir por la fuerza debida a la aceleración de la gravedad e integrar, se tiene: Daniel Bernoulli (1700-1782) propuso la siguiente ecuación de tipo práctico que representa el movimiento de fluidos ideales a lo largo de un conducto, o sea que se restringe a fluidos no viscosos con flujo permanente, incompresible y sin transferencia de energía. La generalización de la ecuación de Bernoulli para fluidos reales incluye las pérdidas de energía. La siguiente ecuación de la energía es aplicable a fluidos ideales, reales, compresibles, incompresibles, flujo permanente y siguiendo una línea de corriente. Se aplica en término de presiones relativas o absolutas con idénticos resultados. A V a v A V dA v N i i i 3 1 3 3 3 ¿ } = ~ = o Z = energía potencial por unidad de peso o cabeza de posición p/¸ = energía de presión por unidad de peso o cabeza de presión g V 2 2 = energía cinética por unidad de peso o cabeza de velocidad o = coeficiente de variación de la velocidad en la sección transversal o coeficiente de Coriolis H E = altura dinámica o cabeza de energía externa suministrada o retirada por una máquina I = energía interna térmica por unidad de peso. Si no hay transferencia de energía térmica I 1 - I 2 = 0 Q c = energía introducida en el flujo por una fuente externa de calor por unidad de peso. Si el conducto está bien aislado y si temperatura externa e interna son iguales, Q c = 0 (L) g V p Z g V p Z 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = + + ¸ ¸ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 I g V p Z Q I H g V p Z c E + + + = + + ± + + o ¸ o ¸ 0 = + + } } } g VdV dp dz ¸ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.7 Si en la ecuación anterior se sustituye ) 2 1 ( 1 2 ÷ ¿ = ÷ ÷ hp Q I I c y se asume o = 1.0, se tiene: ¿hp = pérdidas por unidad de peso entre dos puntos Figura 4.3. Representación gráfica de los componentes de la energía hidráulica total en un conducto a presión. Azevedo N., J. M. y Acosta A., G., 1975. H 1 ± H E = H 2 + ¿hp (1-2) ¿hp (1-2) = H 1 ± H E - H 2 H 1 = Z 1 + p 1 /¸ 1 + o 1 g V 2 1 2 H 2 = Z 2 + p 2 /¸ 2 + o 2 g V 2 2 2 H 1 = cabeza de energía total en el punto 1 H 2 = cabeza de energía total en el punto 2 H E = altura dinámica o cabeza de energía externa suministrada o retirada por una máquina. Por ejemplo, suministrada por una bomba o retirada por una turbina. Para régimen de flujo turbulento en tuberías o es igual a 1.0 para una distribución uniforme de velocidades. Usualmente, o varía entre 1.02 y 1.15. ( ) ¿ ÷ + + + = ± + + 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 hp g V p Z H g V p Z E ¸ ¸ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.8 Para régimen de flujo turbulento y libre o puede variar entre 1.1 y 2.0. En la mayoría de los cálculos se toma o = 1.0 lo que no introduce serios errores en los resultados ya que la cabeza de velocidad representa usualmente un pequeño porcentaje de la energía total. Para régimen de flujo laminar o = 2.0. ¿hp = ¿h f + ¿h l - ¿h f = sumatoria de pérdidas por fricción o En régimen de flujo laminar: son debidas al contacto entre el fluido y la frontera sólida del conducto. o En régimen de flujo turbulento: son debidas al contacto entre el fluido y la frontera sólida del conducto y al contacto entre partículas de agua. Constituyen usualmente las pérdidas mayores de energía. - ¿h l = sumatoria de pérdidas locales Son producidas por aditamentos o accesorios que cambian la dirección o geometría del conducto. Constituyen usualmente las pérdidas menores de energía. 4.1.2.1 Energía Hidráulica La energía hidráulica es la capacidad que tiene una masa de agua para realizar un trabajo que consiste en el desplazamiento del fluido a lo largo de un conducto. Para ésto es necesario contar con un potencial hidráulico que puede estar dado por un desnivel topográfico, un tanque de carga o por una motobomba. Los tipos de Energía Hidráulica son tres: - Energía de posición por unidad de peso o cabeza de posición - Energía de presión por unidad de peso o cabeza de presión - Energía cinética por unidad de peso o cabeza de velocidad a) Energía de posición por unidad de peso o cabeza de posición (Ep) Es la energía que posee un fluido debido a su posición con relación a un determinado nivel o plano de referencia. T = Trabajo realizado para que el fluido con peso W se mueva una distancia Z T = WZ Ep = T/W W = peso del fluido Z Z = desplazamiento Ep = energía de posición por unidad de peso PR Ep = Z [m] Figura 4.4. Energía de posición por unidad de peso. W UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.9 b) Energía de presión por unidad de peso o cabeza de presión o altura piezométrica (Epr) Es debida a la fuerza que actúa sobre el área transversal de un conducto. La energía de presión se representa por la altura de la columna líquida que está por encima del punto considerado, ya sea que se mida con un piezómetro o con un manómetro. p/¸ Figura 4.5. Energía de presión por unidad de peso. p = F/A T = F L T = pAL T = p¬ ¬ = W/¸ p = presión F = fuerza A = área ¬ = volumen ¸ = peso específico del fluido T = pW/¸ Epr = T/W Epr =p/¸ [m] c) Energía cinética por unidad de peso o cabeza de velocidad (Ec) Es la energía que posee el agua en virtud del movimiento con una velocidad V. Representa la altura a la que subiría un líquido si es lanzado verticalmente con una velocidad V. V 2 /2g Figura 4.6. Energía cinética por unidad de peso. Está dada por la siguiente ecuación: 2 2 1 total ci néti ca Energía mV = m = W/g A F L W V g W Ec 2 2 1 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.10 g V Ec 2 2 = [m] 4.1.3 Conservación de la cantidad de movimiento o momentum A partir del principio de conservación de la cantidad de movimiento o momentum se establece la ecuación de fuerzas. De acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton se tiene que el cambio de momentum por unidad de tiempo en el cuerpo de un fluido es igual a la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el volumen de control del cuerpo del fluido. Se aplica para un volumen de control limitado por superficies de control. Figura 4.7. Representación gráfica de las fuerzas actuantes en un volumen de control en flujo libre. ma F = V Q V t m t V m F m A = A A = A A = Q Q m µ = ) V V ( Q ) V ( Q F 1 2 ÷ = A = µ µ Considerando que la distribución de velocidad no es constante en la sección transversal del conducto, se introduce el coeficiente |. ) V V ( Q ) V ( Q F 1 2 ÷ = A = | µ | µ (F) UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.11 A V a v A V dA v i N i i 2 1 2 2 2 ¿ } = ~ = | En general, momentum = µQβV De acuerdo con la segunda ley de movimiento de Newton se tiene que el cambio de momentum por unidad de tiempo en el cuerpo de un fluido es igual a la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el volumen de control del fluido. ( ) V Q F | µ A = ¿ = momentum que sale del ¬C – momentum que entra al ¬C Las ecuaciones en los sentidos x, y y z se pueden escribir así: ( ) x n i x V Q F | µ A = ¿ =1 ( ) y n i y V Q F | µ A = ¿ =1 ( ) z n i z V Q F | µ A = ¿ =1 Por ejemplo en sentido x, si la densidad es constante y si β vale 1.0, se tiene: ( ) x x x x cx x x V Q V Q F Wsen F F 1 1 2 2 2 1 ÷ = ÷ ± ÷ µ u ¿ = n i i F 1 = sumatoria de fuerzas externas que actúan sobre el volumen de control del fluido QV |µ = momentum del flujo que pasa a través de la sección de un cauce por unidad de tiempo, según principios de mecánica. A QV |µ = cambio de cantidad de movimiento por unidad de tiempo entre dos secciones transversales F 1 = fuerza externa debida a la presión hidrostática y al esfuerzo cortante (fricción) que se aplica sobre el volumen de control desde aguas arriba; Flujo libre: F 1 = ¸h c1 A 1 Flujo a presión: F 1 = p 1 A 1 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.12 Chorro libre (fluido en contacto con la atmósfera): p 1 = 0 ¬ F 1 = 0 F 2 = fuerza externa debida a la presión hidrostática y al esfuerzo cortante (fricción) que se aplica sobre el volumen de control desde aguas abajo; Flujo libre: F 2 = ¸h c2 A 2 Flujo a presión: F 2 = p 2 A 2 Chorro libre (fluido en contacto con la atmósfera): p 2 = 0 ¬ F 2 = 0 W = peso contenido en el volumen de control, habitualmente se desprecia u = ángulo de inclinación de la solera del canal F c = fuerza debida a la fricción entre el fluido y la frontera sólida o fuerza sobre un cuerpo externo, por ejemplo presas, compuertas, codos, bifurcaciones, álabes de ruedas, etc).No está dibujada en la figura pues no existe cuerpo externo | = coeficiente de Momentum o coeficiente de Boussinesq que corrige a la velocidad µ = densidad del fluido AV = variación de la velocidad entre dos puntos V 1 = velocidad a la entrada del volumen de control V 2 = velocidad a la salida del volumen de control En la práctica, | = 1.33 para flujo laminar en tuberías y | = 1.01 a 1.07 para flujo turbulento en tuberías. En flujo libre | varía entre 1.03 y 1.33. En la mayoría de los casos puede considerarse igual a la unidad. 4.2 Aplicaciones de los principios básicos Cálculo de fuerzas en condiciones dinámicas sobre presas, compuertas, codos, bifurcaciones, álabes de ruedas, anclajes de tuberías, etc. Figura 4.8. Fuerza sobre compuertas. ¬C UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.13 Figura 4.9. Fuerzas sobre presas. Figura 4.10. Resalto hidráulico. Chorro libre. p = 0. F = 0 Figura 4.11. Cambios de dirección en yees. Interior de tubería. p = 0. F = 0 ¬C ¬C ¬C UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.14 Figura 4.12. Cambios de dirección en codos. Figura 4.13. Álabes de turbinas. 4.3 Comparación entre las ecuaciones de Energía y Momentum Se puede mostrar que la ecuación del Momentum es similar a la ecuación de la Energía cuando se aplica a ciertos problemas de flujo. Sin embargo, y hablando teóricamente, las dos ecuaciones no solamente tienen origen diferente sino que utilizan coeficientes de distribución de velocidad (o y |) diferentes, aunque éstos son casi iguales, también trabajan con unidades diferentes y además ¬C ¬C UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.15 incluyen diferentes significados de las pérdidas de fricción. La ecuación de la energía se aplica siguiendo una línea de corriente, en tanto que la de momentum aplica para un volumen de control. La similitud entre las aplicaciones de los principios de la energía y del momentum puede ser confusa. Una clara comprensión de las diferencias básicas en su constitución, es importante, a pesar del hecho de que en muchas oportunidades los dos principios producirán prácticamente idénticos resultados. La distinción inherente entre los dos principios radica en el hecho de que la energía por unidad de peso es una cantidad escalar (Lineal) mientras que el momentum es un vector cantidad (Fuerza). La ecuación de la energía contiene un término para las pérdidas internas, mientras que la ecuación del momentum contiene un término para las resistencias externas. En la ecuación de la energía, el término de pérdidas por fricción h f mide la energía interna disipada en la entera masa del fluido en el tramo, mientras que el término de fuerzas sobre el cuerpo F c en la ecuación de Momentum, mide las pérdidas debidas a las fuerzas externas ejercidas por el fluido en las paredes del conducto. Ignorando la pequeña diferencia entre los coeficientes o y |, parece que, en flujo gradualmente variado, las pérdidas de energía internas son prácticamente idénticas con las pérdidas debidas a las fuerzas externas. En el flujo uniforme, el ritmo con el que las fuerzas de superficie están haciendo trabajo es igual al ritmo de la disipación de energía. En tal caso, entonces, una distinción entre h f y F c no existe excepto en la definición. Muchos problemas prácticos de ingeniería se pueden resolver aplicando el principio de conservación de la masa y el de conservación de la energía o el de conservación de la masa y el de conservación del momentum. Hay casos en que se deben aplicar los tres, como es cuando se requiere saber las fuerzas que actúan sobre estructuras como presas, compuertas, codos, bifurcaciones y álabes de turbinas. En general, el principio de la energía ofrece una explicación más simple y más clara que la que ofrece el principio del momentum. Pero el principio de momentum tiene ciertas ventajas en su aplicación a los problemas de flujo rápidamente variado, que incluyen grandes cambios de la energía interna, tales como el problema del salto hidráulico. Si la ecuación de la energía se aplica a tales problemas, la pérdida desconocida de la energía interna representada por h f es indeterminada y la omisión de este término podría dar lugar a errores considerables. Otro caso es cuando se considera la hidráulica en la zona de puentes. Tanto la ecuación de la energía como la del momentum modelan bien si predominan las pérdidas por fricción y el puente causa pequeña obstrucción al flujo. La ecuación del momemtum modela mejor cuando tanto las pérdidas por la pila y por fricción son predominantes, aunque cualquier método podría usarse. La ecuación del momentum es más aplicable si las pilas son el principal causante de pérdidas de energía y de los cambios en la superficie del agua. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.16 Tabla 4.1. Comparación de las ecuaciones de energía y momentum. Concepto Ecuación de la energía Ecuación de momentum Origen Bernoulli Newton Aplica Línea de corriente Volumen de control Cantidad Escalar Vectorial Unidades Líneas Fuerza Coeficientes de distribución de velocidad α β Pérdidas Internas Externas 4.4 Energía específica Energía específica es la energía por unidad de peso del líquido en movimiento con relación a la solera del canal. Este concepto sobre aplica para flujo libre. g V p E 2 2 o ¸ + = y h p = = ¸ baja pendiente de canal y libre flujo En E: energía específica h: altura piezométrica d: profundidad medida perpendicularmente a la solera desde la superficie del agua y: profundidad de la lámina del líquido medida verticalmente o: coeficiente de velocidad o de Coriollis V: velocidad media del flujo g: aceleración de la gravedad Figura 4.14. Componentes de la energía específica para canales de baja pendiente. Manual Laboratorio de Hidráulica, 2003. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.17 Para flujo libre o puede variar entre 1.1 y 2.0. En la mayoría de los cálculos se toma o = 1.0 lo que no introduce serios errores en los resultados ya que la cabeza de velocidad representa usualmente un pequeño porcentaje de la energía total. Además, si se consideran canales de baja pendiente, se tiene: g V y E 2 2 + = Cuando se grafica el tirante del flujo y contra E se produce una curva de energía específica que tiene dos ramas. Una rama se aproxima asintóticamente al eje horizontal y la otra se extiende indefinidamente hacia arriba y a la derecha asintóticamente a un eje inclinado 45°. En esta curva se observa que para un mismo valor de energía específica existen dos posibles tirantes del flujo y que para la energía mínima existe una única profundidad llamada profundidad crítica, que separa el ramal superior de flujo subcrítico o lento o tranquilo, del ramal inferior de flujo supercrítico o rápido. Estos tirantes, que se muestran en la figura, se denominan los tirantes conjugados o alternos. Figura 4.15. Representación gráfica de la energía específica. UNICAUCA, 2010. 4.5 Función momentum o fuerza específica Dentro del volumen de control definido en la Figura 4.7, hay una pérdida desconocida de energía y/o fuerza actuante sobre el flujo entre las secciones 1 y 2; el resultado es un cambio en la cantidad de movimiento lineal de flujo. En muchos casos, este cambio en la cantidad de movimiento se asocia con un cambio en el tirante del flujo como es el salto hidráulico. La aplicación de la segunda ley de Newton - en una forma unidimensional - para un volumen de control es: ( ) 1 2 2 1 V V Q F F F c ÷ = ÷ ÷ µ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.18 La anterior ecuación supone: Caudal constante El ángulo de inclinación de la solera u es pequeño, por tanto sen u = 0 y cos u = 1 - | 1 = | 2 = 1 - ¿f f = 0 Considerando que la fuerza debida a la presión hidrostática a la entrada y a la salida del volumen de control está dada por las siguientes ecuaciones: la ecuación de momentum se transforma en: ( ) 1 2 2 c2 1 c1 V V Q g F A h A h c ÷ = ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ h c1 y h c2 = distancias a los centroides de las respectivas áreas hidráulicas A 1 y A 2 , medido desde la superficie libre. Al sustituir V 1 = Q/A 1 y V 2 = Q/A 2 y después reagrupar, se obtiene: | | . | \ | + ÷ | | . | \ | + = 2 2 2 2 1 1 1 2 A h gA Q A h gA Q F c c c ¸ o, 2 1 M M F c ÷ = ¸ A h gA Q M c + = 2 M = función "momentum" o fuerza específica para cualquier forma de canal (L 3 ) Cuando se grafica el tirante del flujo y contra M se produce una curva de momentum que tiene dos ramas. El tramo de abajo AC se aproxima asintóticamente al eje horizontal cuando el tramo superior BC se extiende indefinidamente hacia arriba y a la derecha. Así, en analogía con el concepto de energía específica y para un valor dado de M, la curva M-y determina dos posibles tirantes del flujo. Estos tirantes, que se muestran en la figura, se denominan los tirantes conjugados o alternos. Para la función momentum mínima también corresponde una única profundidad llamada profundidad crítica, que separa el ramal superior de flujo subcrítico o lento o tranquilo, del ramal inferior de flujo supercrítico o rápido. 2 2 2 1 1 c 1 h A F A h F c ¸ ¸ = = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.19 Figura 4.16. Curva de momentum. French H. R. 1988. 4.6 El salto hidráulico El salto hidráulico es la sobre-elevación brusca del nivel del agua debido a un cambio de pendiente de supercrítica o fuerte a subcrítica o suave, lo que lleva a un aumento en la profundidad y a una disminución de la velocidad en el sentido del flujo. Es un ejemplo de flujo rápidamente variado y fue investigado experimentalmente por el científico italiano Bidone en 1818. Los primeros experimentos fueron realizados en París y reportados en 1819. La teoría del salto hidráulico se desarrolló inicialmente para canales horizontales o con poca inclinación por lo que la componente del peso del agua en la dirección de la corriente tiene poco efecto. 4.6.1 Aplicaciones del salto hidráulico • Disipar la energía del agua al pie de vertederos, canales y otras estructuras hidráulicas para prevenir socavación. • Recuperar o ganar nivel del agua hacia aguas abajo de un canal y poder mantener niveles adecuados para suministro de agua con diferentes fines. • Incrementar peso sobre la solera de la estructura y así reducir las fuerzas de subpresión. • Hacer mezclas químicas en plantas de tratamiento de agua. • Aireación del agua. • Remover bolsas de aire de las líneas de abastecimiento de agua y prevenir bloqueos por aire. 4.6.2 Ecuación del salto hidráulico para canales rectangulares y pendiente horizontal Como se expuso anteriormente, el salto hidráulico es un gran disipador de energía. Sin embargo, esta energía es difícil de calcular, por lo que las ecuaciones para el salto se derivan de aplicar los principios de conservación de la masa y de la conservación del momemtum. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.20 Retomando ecuaciones anteriormente vistas con β = 1.0, se tiene: | | . | \ | + ÷ | | . | \ | + = 2 2 2 2 1 1 1 2 A h gA Q A h gA Q F c c c ¸ 2 1 M M F c ÷ = ¸ A h gA Q M c + = 2 Si el salto ocurre en un canal con fondo horizontal y F c = 0, se tiene que M 1 = M 2 y se obtiene la siguiente expresión general de la cual se pueden obtener las profundidades conjugadas para cualquier forma de canal: | | . | \ | + = | | . | \ | + = = 2 2 2 2 1 1 1 2 0 A h gA Q A h gA Q F c c c ¸ La anterior ecuación para canales rectangulares se transforma así: b 2 1 M M F c ÷ = ¸ q = caudal unitario Q = caudal total M = función momentum para canales rectangulares (m 2 ) b = ancho de la solera del canal b Q q = 2 2 2 y gy q M + = | | . | \ | + ÷ | | . | \ | + = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 y gy q y gy q F c ¸ 2 2 2 2 c 2 2 2 2 2 1 1 c 1 1 1 1 1 y h , y b A , A V Q y h , y b A , A V Q = = = = = = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.21 F c = fuerza sobre el cuerpo En el salto hidráulico no hay cuerpo que se oponga al movimiento, por lo que haciendo la fuerza sobre el cuerpo F c = 0, se pueden derivar las profundidades conjugadas o alternas del salto hidráulico, que para canales de forma rectangular con pendiente horizontal son las siguientes: Reagrupando, En el salto hidráulico se cumple: M 1 = M 2 E 1 = E 2 Para presas y compuertas se cumple: M 1 = M 2 E 1 = E 2 4.7 Ejercicios de aplicación de los principios básicos de la mecánica de fluidos 1.1 El flujo de peso es igual a Q p = _______ 1.2 Las ecuaciones que representan el flujo variado no permanente son: ______________ 1.3 El flujo irrotacional se caracteriza por: ______________________________________ 1.4 El régimen de flujo es turbulento cuando la velocidad es ____________ y la viscosidad es ____ 1.5 Si el número de Reynolds es 15,000 el régimen de flujo es _____________________ 1.6 Los componentes de energía en la ecuación de la energía se dan en unidades lineales porque __________________________________________________________________ 1.7 El flujo es uniforme cuando los parámetros del flujo son _______________________ 1.8 El flujo es homogéneo cuando la densidad del fluido es ________________________ 1.9 La ecuación de continuidad se deriva del principio de conservación de ____________ 1.10 Los coeficientes de corrección de velocidad o y | tienen en cuenta ______________ 1.11 Cite seis diferencias entre el régimen de flujo laminar y el turbulento _____________ 1.12 Qué es el resalto hidráulico y para qué sirve? 1.13 La ecuación del salto hidráulico se deriva del principio _______________________ 1.14 Las ecuaciones más generales de la mecánica de fluidos fueron propuestas por : ( ) 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 y y y y g q ÷ = | | . | \ | ÷ | | . | \ | ÷ + = 1 8 1 2 3 2 2 2 1 gy q y y | | . | \ | ÷ + = 1 8 1 2 3 1 2 1 2 gy q y y UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.22 0.6 m 0.3 m 30º 4.2 m Una tubería de 60 cm de diámetro transporta un caudal de 900 l/s de aceite con densidad relativa de 0.85. La tubería tiene un codo de 90° en el plano horizontal que produce una pérdida de 1.1 m de aceite. Si la presión relativa a la entrada es de 3 kg/cm 2 (294 KN/m 2 ), cuál es la fuerza resultante ejercida por el fluido sobre el codo? (Serie Schaum) Una tubería de 60 cm de diámetro transporta un caudal de 900 l/s de aceite con densidad relativa de 0.85. La tubería está conectada a un cono reductor de 0.30 m de diámetro. Si la presión a la entrada del reductor es de 2.8 kg/cm 2 (274.4 KN/m 2 ), cuál es la fuerza producida por el aceite sobre el cono reductor si se desprecian las pérdidas de carga? (Serie Schaum) Un chorro libre de agua con un diámetro inicial de 5 cm choca con el álabe representado en la figura. Si el ángulo es de 30º y la velocidad inicial es de 30 m/s pero debido a las pérdidas por fricción la velocidad final es de 28 m/s. Encuentre la fuerza resultante sobre el álabe si el sistema está en un plano horizontal. (Franzini y Finnemore). Un flujo de agua pasa por una presa vertedora que genera aguas arriba una carga de 4.2 m y 0.7 m aguas abajo, determine la fuerza horizontal resultante por metro de vertedero. Cuál será la fuerza resultante en condiciones estáticas si la carga de agua sobre el vertedero es de 1.0 m? (Franzini y Finnemore). (1) (2) 7. Aceite SAE 30 es descargado a la atmósfera tal como se ilustra en la figura. La sección (1) tiene diámetro de 0.075 m y velocidad de 7.5 m/s y la sección reducida (2) tiene diámetro de 0.025 m. El coeficiente de pérdida en la reducción es de 0.4 con base en la velocidad en (2). Determine la fuerza ejercida por la contracción sobre el flujo. 2. En un sistema de aire acondicionado, el aire fluye sin ganancias ni pérdidas de calor a través de una tubería horizontal de diámetro uniforme. Las presiones absolutas son de 150 psi en una sección (1) y de 120 psi en una sección (2) y las temperaturas son de 70º F y de 50 ºF, respectivamente. La velocidad del aire es de 80 pies/s en (1). Si es un gas perfecto, encuentre la pérdida de energía en el sistema. Franzini J. B. y Frimmore, E. J. 1999. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.23 Anhídrido carbónico circula por la tubería con diámetro constante que se ilustra. Asuma que se encuentra en un plano horizontal. Altura del lugar: 300 msnm. R = 19.2 m/K Encontrar las pérdidas de energía. Encontrar las fuerzas sobre el codo. Convención: + mca 97 9 1000 300 2 1 33 10 a atmosféric Presión . * , . = ÷ = 2 2 cm Kgf 965 0 mca 33 10 cm Kgf 1 mca 97 9 a atmosféric Presión . , . = = Sector p 2 cm Kg p abs 2 cm Kg 2 m Kg D(cm) A(m 2 ) V(m) T(°C) A 1.4 2.365 2,365*10 4 7.5 44,1786 4.5 32 B 2.1 3.065 3,065*10 4 7.5 44,1786 21 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.24 4.8 Representación gráfica de la energía hidráulica (H) 4.8.1 Energía hidráulica total de un fluido en reposo Plano de referencia Figura 4.17. Energía hidráulica en un tanque en reposo. ¸ ¸ 3 3 2 2 1 P Z P Z Z H + = + = = H = H 1 = H 2 = H 3 Como se observa, la energía hidráulica total es constante en cualquier punto de un fluido en reposo. La energía cinética se considera despreciable en depósitos como tanques, embalses o lagos, que tengan sección transversal muy grande con relación a la del conducto y si el nivel del agua permanece constante. 4.8.2 Energía hidráulica en conductos a presión CAT = Z + P/¸ + V 2 /2g V 2 /2g CP = Z + P/¸ P/¸ Cota clave H Cota eje = Z Z Cota batea P.R. Figura 4.18. Energía hidráulica en flujo a presión. Z1 Z2 P2/¸ Z3 P3/¸ H UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.25 4.8.3 Energía hidráulica en conductos a flujo libre CAT = Z + y + V 2 /2g V 2 /2g Superficie libre del agua CP = Z + y H y = P/¸ Z Cota solera del canal = Z PR Figura 4.19. Energía hidráulica en flujo libre. 4.9 Líneas de energía Son líneas que permiten visualizar los componentes de la energía hidráulica de un fluido en movimiento a lo largo de un conducto. Si se determinan las cotas de alturas totales relativas o efectivas CAT y las cotas de alturas piezométricas relativas o efectivas CP y se unen mediante líneas rectas se obtienen la línea de alturas totales LAT, y la línea de alturas piezométricas LP, respectivamente. Para graficar las líneas de energía se debe elegir un plano de referencia PR que usualmente se hace coincidir con un punto bajo del sistema de conducción. - Línea estática relativa LE o plano de carga efectivo Línea horizontal que parte del nivel superior del fluido en el tanque de carga. - Línea de alturas piezométricas relativa o línea de presión LP ¬ CP Es la línea que une las alturas hasta donde llega el fluido en los piezómetros e indica la cabeza de presión en cada punto. a) Está por debajo de la LAT una diferencia vertical igual a la cabeza de velocidad en cada punto g V 2 2 . b) En tramos rectos con flujo uniforme es paralela a la LAT. c) La LP puede ascender o descender en el sentido del flujo. Es descendente en la mayoría de los casos pues la energía de presión se va perdiendo, pero asciende cuando se pasa de una velocidad mayor a una menor o sea cuando hay una ampliación en la conducción. En condiciones estáticas es horizontal. d) Las presiones relativas pueden ser positivas o negativas, pero deben ser positivas para un óptimo funcionamiento de la conducción. e) Puede pasar por debajo de la conducción cuando las presiones relativas son negativas. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.26 - Línea de alturas totales relativa o línea de energía LAT ¬ CAT Es la línea que une los puntos de energía total e indica la energía total en cada punto por unidad de peso. La LAT no poder ser horizontal ni ascender en sentido del flujo. Siempre desciende en el sentido del flujo. Las líneas de alturas totales y piezométrica no tienen una pendiente constante debido a la existencia de resistencias locales al flujo, como por ejemplo cambios en la sección del conducto. En los tramos con flujo uniforme, las LAT y LP son paralelas. Las líneas de energía se pueden expresar también en forma absoluta al sumar el valor de la presión atmosférica del lugar. - Plano de referencia Para analizar las energías, se debe elegir un plano de referencia que habitualmente coincide con un punto bajo del sistema. 4.9.1 Cálculo de las cotas de energía - En el tanque de carga Cota nivel = CAT 0 = CP 0 = Cz 0 - Para un punto n de la conducción CPR = cota plano de referencia CP = cota de un punto sobre la línea piezométrica CAT = cota de un punto sobre la línea de alturas totales o línea de energía n 0 0 n ÷ ¿ ÷ = hp CAT CAT g V CAT CP 2 2 n n n ÷ = Ceje CP p ÷ = n n ¸ g V p z CPR CAT 2 2 n n n n + + + = ¸ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.27 4.10 Representación gráfica de las lineas de energía Figura 4.20. Esquemas de línea pizométrica y plano estático. Figura 4.21. Esquemas de línea piezométrica, línea de energía y plano estático. Plano de carga estático o efectivo o relativo Plano de carga estático o efectivo o relativo UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.28 4.11 Gradientes de Energía Representan la variación de la energía hidráulica por unidad de peso con relación a la longitud real del conducto. 4.11.1 Gradiente hidráulico (I = S f ) Es la variación de la energía total respecto a la longitud del conducto, o sea, la pérdida por fricción por unidad de longitud real del conducto en un tramo recto. Al gradiente hidráulico también se le conoce como: gradiente de energía, pendiente de alturas totales y pendiente de fricción. S f = I = oH/L = (H 1 - H 2 ) / L h f = pérdidas por fricción L = longitud real del tramo El gradiente siempre será positivo en sentido del flujo porque H 1 > H 2 al existir siempre una pérdida de energía. 4.11.2 Gradiente piezométrico (GP) Representa la variación de la línea piezométrica con respecto a la longitud real del conducto en un tramo recto. Los gradientes hidráulico y piezómetrico son iguales cuando el flujo es uniforme. Pueden ser positivos o negativos en el sentido del flujo considerando que el término Z + P/¸, puede aumentar o disminuir en el sentido del flujo. Usualmente el gradiente piezométrico es positivo porque la presión va disminuyendo en el sentido del flujo, pero como se dijo anteriormente, en una ampliación del conducto la presión aumenta y en consecuencia el gradiente piezométrico será negativo. ( ) ( ) L / p Z / p Z GP ¸ ¸ 2 2 1 1 + ÷ + = L h I S f f = = g V p Z H 2 2 + + = ¸ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.29 4.12 Paralelo entre el régimen de flujo laminar y el turbulento 4.12.1 Flujo uniforme con régimen laminar El flujo laminar se presenta si las fuerzas viscosas (FV) son muy fuertes con relación a las fuerzas inerciales (FI). Esto sucede cuando el gradiente de velocidad es muy bajo, de forma que la fuerza viscosa es grande y las partículas de fluido se desplazan pero no tienden a rotar por lo que las partículas siguen trayectorias definidas. Ejemplos de fluidos que se comportan con régimen laminar son pinturas, miel y la sangre en algunas venas y arterias. FV > FI t = esfuerzo cortante A = área y = distancia desde las paredes del conducto a un punto dentro del fluido µ = viscosidad dinámica V = velocidad de flujo a = aceleración del flujo m = masa del fluido W = peso del fluido El RFL presentando las siguientes características: - El movimiento de las partículas líquidas se realiza en forma ordenada sin entrecortarse las líneas de corriente, Figura 4.22. Trayectoria del flujo en régimen laminar. - Número de Reynolds menor de 2000. - Existe rozamiento entre el fluido y las paredes del conducto pero no entre las partículas del fluido. - No hay intercambio de energía entre las líneas de corriente. s. Newtoniano fluidos para válida , A dy dV A FV µ t = = dt dV g W dt dV m ma FI = = = u VR Re 4 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.30 - Se presenta para flujos con velocidades bajas y viscosidades altas. - La pérdida de carga por fricción unitaria es proporcional a la velocidad del flujo elevada a la primera potencia, tal como se demuestra a continuación: h f = S f *L f = 64/Re Ecuación de Hagen-Poiseuille (1846) h f : pérdida por fricción S f : gradiente hidráulico L : longitud real del conducto f: factor de fricción D: diámetro interno del conducto V: velocidad media del fluido u: viscosidad cinemática La anterior ecuación la dedujeron experimentalmente Darcy y Weisbach y otros hacia el año 1850. Posteriormente, esta ecuación se pudo demostrar a partir de bases teóricas. Para régimen de flujo laminar, el médico francés Poiseuille (1799-1869) y el ingeniero alemán G. Hagen (1794-1884), en investigaciones realizadas simultáneamente, dedujeron la siguiente expresión para f. - La distribución vertical de la velocidad a través de la sección del conducto sigue una ley de variación parabólica. y D Figura 4.23. Distribución parabólica de velocidad en régimen de flujo laminar. Si y = 0, se tiene que V y = 0 Si y = D/2, se tiene que u 16 2 D gS V f y = y es la velocidad máxima. | | . | \ | ÷ = | | . | \ | ÷ = 4 4 4 2 2 y yR gS y Dy gS V f f y u u g V D L f h f 2 2 = 2 32 gD LV hf u = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.31 - Velocidad media La velocidad media es la mitad de la velocidad máxima. - El esfuerzo cortante es proporcional al gradiente de velocidad Newton dedujo la relación existente entre el esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad a través de la sección transversal del conducto. Si y = 0, se tiene que f RS ¸ t = Si y = D/2 0 = t t y : esfuerzo cortante en un punto y del fluido en la conducción t : esfuerzo cortante y: distancia desde las paredes del conducto a un punto dentro del fluido µ: viscosidad dinámica V : velocidad de flujo f RS ¸ t = y D y t f RS ¸ t = Figura 4.24. Variación lineal del esfuerzo cortante a través de la sección transversal de un conducto en régimen laminar. 4.12.2 Flujo uniforme con régimen turbulento El flujo turbulento se presenta si las fuerzas viscosas (FV) son débiles con relación a las fuerzas inerciales (FI). Al aumentar el gradiente de velocidad se incrementa el intercambio de momentum molecular entre las partículas del flujo, la viscosidad pierde su efecto, las partículas tienden a rotar y debido a esto, cambian de trayectoria chocando entre si. FV < FI | . | \ | ÷ = 2 4 y D S f y ¸ t presión a circular Tubería 2 2 u R gS V f = libre Flujo 3 2 u R gS V f = dy dV µ t = máxima V V 2 1 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.32 El flujo de agua y de gases en las aplicaciones prácticas de la ingeniería presenta generalmente régimen turbulento. Se observa fácilmente en ríos y en la atmósfera. El movimiento de las partículas del fluido se realiza siguiendo trayectorias muy irregulares o desordenadas, presentando las siguientes características: Figura 4.25. Trayectoria del flujo en régimen turbulento. - Número de Reynolds mayor de 4000. - Las líneas de corriente se entremezclan presentando transferencia de energía entre las partículas líquidas. - Existe fricción entre el fluido y la pared del conducto y entre partículas del fluido. - Se presenta para flujos con velocidades altas y viscosidades bajas. - La distribución de la velocidad a través de la sección del conducto sigue una ley de variación logarítmica. Por ejemplo, | . | \ | = a y V V y 15 log 7 . 5 * - Para un mismo punto dentro de la sección del conducto, existen pulsaciones de la velocidad. Esto implica que las componentes de velocidad están continuamente fluctuando lo que indica que el flujo sería no permanente. Sin embargo, en promedio en el tiempo, se puede asumir para efectos prácticos un valor medio de la velocidad a lo largo de una línea de corriente. Figura 4.26. Componentes de la velocidad del flujo turbulento en un conducto cilíndrico. Sotelo A. G. 1982. u VR Re 4 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.33 Como se observa, la distribución de velocidad en régimen de flujo turbulento es más uniforme que en régimen laminar puesto que partículas con velocidad baja cerca de la pared son transportadas hacia el centro del conducto a zonas de mas alta velocidad y viceversa, por lo que velocidades bajas se mezclan con velocidades altas dando velocidades más uniformes en la masa del fluido. Figura 4.27. Fluctuaciones turbulentas de la velocidad. Sotelo A. G. 1982. La distribución no uniforme de la velocidad con relación al tiempo en régimen turbulento indica flujo no permanente, tal como se observa en las anteriores figuras. Sin embargo, si se consideran los valores medios en el tiempo, tomando la velocidad en un punto para intervalos largos, entonces se puede trabajar con velocidad constante. - La pérdida de carga por fricción unitaria es proporcional a la velocidad de flujo elevada a una potencia entre 1.7 y 2, tal como se ve en las ecuaciones de Darcy- Weisbach, Hazen-Williams, logarítmica, que se discutirán mas adelante. - El esfuerzo cortante para un punto a una distancia y de las paredes del conducto está influenciado por la resistencia por fricción que ofrece el conducto y que existe entre las partículas fluidas de la mezcla. Se considera que el esfuerzo cortante debido a la mezcla de las partículas se distribuye a través de la sección del conducto de la misma forma que la longitud de mezcla y que el efecto de la fricción entre fluido y conducto se distribuye de la misma forma que en régimen laminar. f RS ¸ t = y D + = y t c + t m = t Figura 4.28. Variación lineal del esfuerzo cortante a través de la sección transversal de un conducto en régimen turbulento. f RS ¸ t = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.34 t c : esfuerzo cortante debido a la resistencia por fricción que ofrece el conducto t m :esfuerzo cortante debido a la resistencia por fricción al mezclarse las partículas del fluido El esfuerzo cortante es proporcional al gradiente de velocidad elevado al cuadrado. Prandtl dedujo la ley que relacionaba el esfuerzo cortante y la velocidad a través de la sección recta. 4.12.2.1 Longitud de mezcla La longitud de mezcla es un parámetro proporcional a la turbulencia del fluido que causa la mezcla de las partículas y fue investigada por Prandtl y su alumno T. Von –Karman hacia 1925. LM = Ky LM: longitud de mezcla K: constante universal de turbulencia, (Prandtl, von Karman) = 0.4 Y: distancia de la partícula desde las paredes del conducto La longitud de mezcla se define como la distancia que tiene que viajar un paquete de moléculas típico para perder su momentum extra cuando se mueve de una capa con una velocidad a otra con diferente velocidad media. 4.12.2.2 Teoría de capa límite La teoría de capa límite fue planteada a comienzos del siglo XX por el alemán Prandtl y revolucionó en su momento la aeronáutica, la ingeniería naval y la mecánica de fluidos. Prandtl junto con otros investigadores descubrieron que cuando el flujo es turbulento existe cerca de las paredes de un conducto una pequeñísima sub-capa que tiene régimen laminar. Esta teoría de capa límite encuentra su aplicación en fluidos poco viscosos como el agua o el aire que tienen régimen de flujo turbulento. La capa límite es la zona afectada por el esfuerzo cortante que se genera cuando un fluido en movimiento interactúa con una pared sólida. Al pasar el fluido de un depósito de gran tamaño en donde la velocidad es muy baja o nula, a un conducto cerrado, la velocidad va aumentando desde cero cerca de las paredes hasta un máximo en la zona central, haciendo que las partículas se empiecen a entremezclar ocasionando que el flujo se vaya volviendo turbulento hasta llegar a la turbulencia completa. La Figura siguiente explica el proceso: ( ) 2 2 | | . | \ | = dy dV LM Y µ t UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.35 Corona exterior Laminar Turbulenta Figura 4.29. Desarrollo de la capa límite. Cano, G. R. 1985. En una sección 0-0 antes de la entrada al tubo la distribución de velocidad es constante e igual a v o . Al acercarse el flujo a la sección 1-1 de entrada al tubo, las partículas de fluido en contacto con las paredes del tubo tienen velocidad v o que va aumentando hasta una velocidad máxima v 1 en la zona central. En la sección 5-5 se tiene una corona exterior de fluido de espesor o que se llama capa límite. En esta capa límite la velocidad es variable desde cero en las paredes del tubo a v 1 en su límite interior; esta velocidad se conserva en un núcleo circular central. v 1 se hace mayor a v o debido al retardo del flujo en la corona exterior. El flujo es laminar en la zona inicial del tubo tanto en la corona exterior y en el núcleo central debido a que las velocidades son bajas. Esta situación ocurre dentro del tubo entre las secciones 1-1 y 2-2. De la sección 2-2 en adelante la velocidad máxima dentro de la capa límite es suficientemente alta y se produce flujo turbulento dentro de la capa límite. El espesor de la capa límite aumenta hasta llegar a su valor máximo en la sección 3-3. A partir de esta sección desaparece el núcleo central de velocidad constante v 1, la capa límite cubre toda la sección del tubo con un espesor igual al radio del conducto y se está en una zona de turbulencia completa. Debido a que la velocidad es muy baja en la proximidad de las paredes del conducto se desarrolla una pequeña capa de flujo laminar de espesor o o llamada sub-capa laminar. Esta es una capa de espesor muy pequeño (µ, mm) y en ella se sienten mucho los efectos de la viscosidad del fluido y del rozamiento. Régimen turbulento Espesor de la sub-capa o 0 laminar viscosa Conducto Figura 4.30. Flujo turbulento y sub-capa laminar viscosa. Capa límite laminar Capa límite turbulenta Núcleo central UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.36 Figura 4.31. Ejemplos de régimen de flujo. 4.12.2.3 Comportamiento hidráulico del conducto El concepto de sub-capa laminar permite explicar el efecto de la rugosidad sobre las paredes del conducto ya que la existencia de la sub-capa laminar y el efecto de la rugosidad influencian el comportamiento hidráulico de los conductos tal como se ilustra a continuación: o o c c o o o 0 > c c > o 0 Conducto hidráulicamente liso Conducto hidráulicamente rugoso Figura 4.32. Comportamiento hidráulico del conducto. Cuando la rugosidad absoluta es apreciablemente menor que el espesor de la sub-capa laminar los remolinos y vórtices causados por las irregularidades se anulan por efecto de la viscosidad. En este caso la rugosidad no afecta la formación de la turbulencia y se dice que la superficie del material actúa como hidráulicamente lisa. Cuando la rugosidad absoluta es apreciablemente mayor que el espesor de la sub-capa laminar los remolinos y vórtices causados por las irregularidades destruyen la sub-capa laminar generando turbulencia apreciable y se dice que la superficie del material actúa como hidráulicamente rugosa. En teoría, se pueden usar los siguientes rangos para decidir si un conducto es hidráulicamente liso o rugoso: c > 6.1o 0 CHR c < 0.305o 0 CHL 0.305o 0 < c < 6.1o 0 Transición c : rugosidad absoluta del conducto o 0 : espesor de la sub-capa laminar * V . u o 6 11 0 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.37 V*: velocidad cortante Un conducto del mismo material puede tener comportamiento hidráulico diferente dependiendo del fluido que transporta. Por ejemplo, una tubería en concreto puede ser hidráulicamente lisa si el fluido es muy viscoso, pero hidráulicamente rugosa si el fluido es agua. 4.13 Esfuerzo cortante Al desplazarse una masa líquida por un conducto se originan esfuerzos tangenciales que se oponen al movimiento debido a la influencia de las rugosidades, de la viscosidad del fluido y la turbulencia del flujo. El esfuerzo cortante es mayor en contacto con la superficie y menor hacia el interior del fluido. Sf: gradiente hidráulico h f : pérdidas por fricción L: longitud real del conducto Un fluido es una sustancia que se deforma continuamente al ser sometida a un esfuerzo cortante (esfuerzo tangencial) no importa cuán pequeño sea. 4.14 Velocidad media La velocidad media del conducto se puede medir (molinetes, tubos de Pitot, etc.) o calcular por medio de ecuaciones. Las ecuaciones empíricas para calcular la velocidad media de una corriente son función de un coeficiente de resistencia que tiene en cuenta diversas variables hidráulicas entre las que se pueden mencionar: velocidad media, geometría del conducto, radio hidráulico, rugosidad del material del conducto, viscosidad f f gRS RS * V = = µ ¸ µ t = * V f RS ¸ t = f RS ¸ t = L h S f f = tangencial A F = t UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.38 del fluido y muchos otros factores. La mayoría de las fórmulas prácticas de flujo se pueden expresar mediante la siguiente ecuación general: y f x S CR V = V: velocidad media C : factor de la resistencia al flujo R : radio hidráulico f S : pendiente de la línea de energía x, y: exponentes El ingeniero francés Antonio Chezy desarrolló en 1769 la siguiente expresión general, que es válida hasta nuestros días, (Chow, V, T. 1982): f RS C V = La anterior expresión fue originalmente de carácter empírico pero posteriormente se pudo demostrar mediante bases teóricas. 4.15 Expresiones para el factor de resistencia C Muchos intentos se han hecho hasta nuestros días para dar expresiones al coeficiente C de Chezy, algunas de las cuales se indican a continuación. 4.15.1 Ecuación de Manning (1889) El ingeniero irlandés Robert Manning presentó una ecuación original que sufrió alguna modificación hasta llegar a su presentación actual, válida solo en régimen de flujo turbulento. Para sistema de unidades técnico, internacional o M.K.S. n: coeficiente de rugosidad. La ecuación con el coeficiente de rugosidad de Manning, usada en combinación con la de Chézy toma la siguiente forma para sistema de unidades M.K.S, técnico o internacional: | | /s m ....... 1 1/2 6 1/ R n C = | | | s / S R n A Q s / m [ S R n V / / / / 3 2 1 0 3 2 2 1 0 3 2 m 1 = = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.39 4.15.2 Ecuación logarítmica Esta fórmula tiene en cuenta el comportamiento hidráulico del conducto, ya sea liso o rugoso, lo cual depende de la relación entre las rugosidades absolutas del lecho c y el espesor de la sub-capa laminar viscosa, o 0 . Es válida solo en régimen de flujo turbulento. a = o 0 / 7 si el conducto es hidráulicamente liso (CHL) a = c /2 si el conducto es hidráulicamente rugoso (CHR) a = c /2 + o 0 / 7 ecuación general que no desprecia ni el componente de la rugosidad del conducto ni la viscosidad del fluido. En teoría se pueden usar los siguientes rangos para decidir si un conducto es hidráulicamente liso o rugoso: c > 6.1o 0 CHR c < 0.305o 0 CHL 0.305o 0 < c < 6.1o 0 Transición V*: velocidad cortante 4.15.3 Ecuación de Darcy-Weisbach (1857) Es la ecuación más general pues es válida para régimen de flujo laminar y turbulento. | . | \ | = a R Log g . C 6 75 5 * V . u o 6 11 0 = µ t = * V f RS ¸ t = f gRS . u o 6 11 0 = µ ¸ f RS * V = | | Tuberías /s m ..... 6 18 1/2 | . | \ | = a R Log C | | Canales /s m 7 6 18 1/2 | . | \ | = a R . log C unidades de sistema cualquier 8 f g C = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.40 f: factor de fricción [adimencional] g: aceleración de la gravedad Esta ecuación fue deducida experimentalmente por Henry Darcy, ingeniero francés del siglo XIX y por Julius Weisbach, científico e ingeniero alemán de la misma época. Weisbach propuso el uso del coeficiente adimensional f y Darcy llevó a cabo numerosos experimentos con flujo de agua. Esta ecuación tiene fundamentación física y proporciona una base racional para el análisis y cálculo de las pérdidas por fricción ocurridas durante el movimiento de los fluidos en tuberías. Se puede derivar teóricamente a partir del análisis dimensional en el cual se involucran todas las variables relevantes. Ecuaciones para el cálculo del factor de fricción f se presentan a continuación. 4.15.3.1 Factor de fricción para régimen de flujo laminar f = 64/Re (ecuación de Hagen- Poiseuille, 1846) Re = número de Reynolds u = viscosidad cinemática del fluido 4.15.3.2 Factor de fricción para régimen de flujo turbulento f se puede obtener a partir de varias ecuaciones considerando conductos con comportamiento hidráulicamente liso o rugoso, tales como las propuestas por Blasiuss, Nikuradse, Prandtl, von Karman, Colebrook y White, y otros. - Blasiuss (1911) P. R. H. Blasiuss, alumno de Prandtl, en 1911, encontró empíricamente que para conductos con comportamiento hidráulicamente liso en la zona de transición o turbulenta, la expresión de f era solo función de Re. - Nikuradse (1933) El ingeniero alemán Johann Nikuradse, en 1933, hizo una serie de experimentos en los cuales usó tubos de diferentes diámetros en cuyo interior pegó arenas de granulometría uniforme de manera que obtuvo varias relaciones c/D (rugosidad relativa) perfectamente determinadas. En cada uno de los tubos varió el caudal de forma que obtuvo un amplio rango de números de Reynolds, con flujos que cubrían el rango desde laminar hasta u VR Re 4 = 25 0 316 0 . Re . f = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.41 turbulento y comportamiento hidráulicamente rugoso. Sus resultados los resumió en forma gráfica. o o c c o o o o > c c > o o Conducto hidráulicamente liso Conducto hidráulicamente rugoso Figura 4.33. Conductos con rugosidad artificial. Experimentos de Nikuradse. Por ejemplo, una misma tubería de concreto, puede tener un comportamiento hidráulico liso para flujos lentos de fluidos viscosos como el aceite que tienen un espesor grande de la subcapa laminar viscosa, pero puede tener comportamiento hidráulicamente rugoso para flujos más rápidos con fluidos de baja viscosidad como el agua. Algunas de las ecuaciones que se dedujeron de su trabajo se presentan a continuación. - Para tubos rugosos en la zona turbulenta: c = rugosidad absoluta promedia de acuerdo al material del conducto. Se obtiene de tablas o se puede determinar experimentalmente. - Para tubos lisos en la zona de transición o turbulenta: - Prandtl y von Karman (1920 - 1930) Prandtl y su alumno Theodore von Karman, entre 1920 y 1930 se basaron en la teoría de la longitud de mezcla, que ha probado ser muy exacta, y sus investigaciones los llevaron a ecuaciones como las siguientes para calcular el factor de fricción f en tubería reales. c Figura 4.34. Conductos con rugosidad real. - Conducto hidráulicamente liso: | . | \ | = D / . log f c 71 3 2 1 | | . | \ | = 51 2 2 1 . f Re log f 8 0 2 1 . f Re log f ÷ = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.42 - Conducto hidráulicamente rugoso: Para los casos en los cuales el flujo estaba en la zona de transición, Prandtl y von Karman no pudieron deducir una ecuación que describiera el factor de fricción f encontrando que era una función complicada de c/D y Re. El establecimiento de una ecuación definitiva tuvo que esperar los trabajos de los investigadores ingleses Colebrook y White. - Colebrook-White (1939) Dos investigadores ingleses C. F. Colebrook y H. White trabajaron especialmente el flujo en la zona transicional (1939). Se basaron en estudios de Nikuradse, Prandtl, von Karman y establecieron la siguiente ecuación de tipo general aplicable para tubos circulares lisos o rugosos en la zona de transición o turbulenta y con Re > 4000. La anterior ecuación se ha popularizado más para el caso de flujo a presión pero es igualmente aplicable para flujo libre con algunas modificaciones como las propuestas por F. M. Henderson (1966, Pp. 95) y que se reflejan en la siguiente ecuación en función del radio hidráulico, la rugosidad k s y Re: | | . | \ | + ÷ = = f Re . R k log f g C s 5 2 12 2 1 8 Esta ecuación tiene el problema de que no es explícita para el factor de fricción f por lo cual se debe utilizar algún método numérico para resolver la anterior ecuación. c = k s = rugosidad absoluta Si el conducto es hidráulicamente liso se puede despreciar el efecto de la rugosidad absoluta del conducto y si el conducto es hidráulicamente rugoso se puede despreciar el efecto de la viscosidad del fluido que está contenido en el número de Reynolds. - Moody (1944) El ingeniero norteamericano Lewis F. Moody realizó a principios de la década de 1944 varios experimentos para investigar las pérdidas por fricción en tuberías reales y no como había hecho Nikuradse con tuberías de rugosidad artificial, para lo que se basó en los resultados obtenidos por este investigador y por C. F. Colebrook. Sus resultados los resumió en el ampliamente conocido diagrama universal de Moody. | . | \ | + ÷ = = 71 3 51 2 2 1 8 . D / f Re . log f g C c 14 1 2 1 . D log f + = c UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.43 - Swamee y Jain La siguiente ecuación da aproximadamente el valor de f según propusieron Swamee y Jain para tuberías circulares completamente llenas. 2 9 . 0 Re 74 . 5 7 . 3 ln 325 . 1 ( ¸ ( ¸ | . | \ | + = D f c 4.16 Flujo libre uniforme Se denomina flujo libre uniforme al movimiento que se presenta cuando las fuerzas de fricción generadas entre el fluido y la superficie sólida se equilibran con la componente del peso del agua en la dirección del flujo, manteniendo la velocidad constante. Ejemplos de flujo libre uniforme son los ríos, quebrada, alcantarillados y en general, sistemas de drenaje naturales o artificiales. Al conducto artificial por el cual circula el flujo libre se le llama canal. V 2 /2g constante Superficie libre del agua LP H y = P/¸ constante Z Fondo o solera del canal PR Figura 4.35. Flujo libre uniforme. 4.16.1 Características La ecuación general de energía es: Si se considera que el canal tiene pendiente baja y coeficiente de variación de velocidad o = 1.0, la ecuación de energía se puede escribir así: ( ) ¿ ÷ + + + = + + 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 hp g V p Z g V p Z o ¸ o ¸ ( ) ¿ ÷ + + + = + + 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 hp g V y Z g V y Z UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.44 En tramos rectos con flujo libre y uniforme, se tienen las siguientes características: - Paras sección transversal constante, la profundidad de la lámina de agua y la velocidad son constantes a lo largo del canal y las líneas correspondientes a la solera del canal, superficie libre y alturas totales son paralelas y sus pendientes iguales. - El gradiente de energía es igual al gradiente piezométrico y a la pendiente de la solera del canal. GP = S f = S 0 GP : gradiente piezométrico S f : gradiente hidráulico = gradiente de energía = pendiente de la línea de alturas totales S o : pendiente de la solera del canal - Las pérdidas de carga por fricción para un tramo dado son iguales al decremento en la cota de la solera: z h f A = . - Para pendientes pequeñas de la solera, S o < 10% o 6°, la altura piezométrica es igual a la profundidad del agua medida verticalmente o medida normalmente a la solera. p/¸ ~ h ~ y 4.16.2 Elementos geométricos de la sección transversal de un canal La forma de los canales puede ser irregular, prismática simétrica o prismática asimétrica. Los canales artificiales pueden ser no revestidos o revestidos con diversos materiales, Guevara M. E. y Lemos R, 1986. B V y Figura 4.36. Sección transversal de un cauce irregular. ( ) ¿ ÷ + = 2 1 2 1 f h Z Z UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.45 B V 1 1 y z 1 z 2 b Figura 4.37. Sección transversal de un cauce prismático de forma trapezoidal. Las secciones transversales más comunes de canales suelen ser rectangulares, triangulares, trapezoidales, circulares y parabólicas. h b TRAPECIAL z z 1 1 TRIANGULAR z 1 z 1 h b RECTANGULAR h SEMICIRCULAR h PARABOLICA Figura 4.38. Formas comunes de canales prismáticos. Los siguientes son los elementos geométricos básicos desde el punto de vista hidráulico y: tirante del flujo = profundidad del agua medida verticalmente para canales de pendiente baja V: nivel del agua Es la elevación de la superficie libre del agua relativa a un plano de referencia. Si el plano de referencia se toma en el punto más bajo del canal, coinciden el nivel del agua y el tirante del flujo. A: área hidráulica Es el área de la sección transversal del flujo, tomada normalmente a la dirección del flujo. P: perímetro mojado Es la longitud de la línea que es interfase entre el fluido y el contorno del canal. R: radio hidráulico y y y y UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.46 Es la relación entre el área hidráulica y el perímetro mojado. B: T = ancho superficial Es el ancho de la sección del canal en la superficie libre del agua. z: talud de la pared lateral del canal En canales rectangulares z = 0. En canales trapezoidales o triangulares simétricos, z 1 = z 2 = z b = ancho de la solera del canal b = 0 en canales triangulares 4.16.3 Ecuación de caudal El caudal se encuentra a partir de la ecuación de continuidad. Q =VA El ingeniero francés Antonio Chezy desarrolló en 1769 la siguiente expresión general, que es válida hasta nuestros días, (Chow, V, T. 1982): f RS C V = Si el flujo es uniforme, S o = S f y se tiene: 0 RS C V = Q: caudal A: área mojada V: velocidad media C: coeficiente de resistencia al flujo de Chézy R: radio hidráulico S f : gradiente hidráulico S o : pendiente de la solera del canal La anterior expresión fue originalmente de carácter empírico pero posteriormente se pudo demostrar mediante bases teóricas. - Régimen de flujo laminar y turbulento La expresión de C más usada es la de Darcy-Weisbach por ser de carácter general, la que se usa con la ecuación para el factor de fricción modificada de la de Colebrook – White. f: factor de fricción [adimencional] g: aceleración de la gravedad unidades de sistema cualquier 8 f g C = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.47 - Régimen de flujo turbulento El factor de fricción se encuentra con la ecuación modificada de Colebrook-White. | | . | \ | + ÷ = = f Re . R k log f g C s 5 2 12 2 1 8 k s : rugosidad absoluta Re: número de Reynolds Si el conducto es hidráulicamente liso se puede despreciar el efecto de la rugosidad absoluta del conducto y si el conducto es hidráulicamente rugoso se puede despreciar el efecto de la viscosidad del fluido que está contenido en el número de Reynolds. - Régimen de flujo laminar El factor de fricción se encuentra con la ecuación de Hagen-Poiseuille. - Régimen de flujo turbulento De las muchas expresiones para el coeficiente C de Chezy, la de Manning es la que más se usa cuando el régimen de flujo es turbulento. El ingeniero irlandés Robert Manning presentó una ecuación original que sufrió alguna modificación hasta llegar a su presentación actual. Para sistema de unidades técnico, internacional o M.K.S. n = coeficiente de rugosidad del lecho. La ecuación con el coeficiente de rugosidad de Manning, usada en combinación con la de Chézy toma la siguiente forma para sistema de unidades M.K.S, técnico o internacional: La fórmula se desarrolló de siete formas diferentes, basadas en datos experimentales de Bazin y posteriormente verificada por 170 observaciones. Debido a su simplicidad de forma y a los resultados satisfactorios que arroja para aplicaciones prácticas, la fórmula de | | /s m ....... 1 1/2 6 1/ R n C = | | | /s m m/s [ 1 3 2 / 1 0 3 / 2 2 / 1 0 3 / 2 S R n A Q S R n V = = Re f 64 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.48 Manning se ha hecho la más usada de todas las fórmulas para flujo uniforme para cálculos de escurrimiento en canales. La más grande dificultad radica en la estimación de n pues no hay un método exacto para seleccionarlo. El valor de n es muy variable y depende de una cantidad de factores: rugosidad de la superficie, vegetación, irregularidades del cauce, alineamiento del canal, depósitos y socavaciones, obstrucciones, tamaño y forma del canal, nivel y caudal, cambio estacional, material suspendido y transporte del fondo. Para estimar el valor de n hay cinco caminos: a) comprender los factores que afectan el valor de n y así adquirir un conocimiento básico del problema y reducir el ancho campo de suposiciones; b) consultar un cuadro de valores típicos de n para canales de varios tipos; c) examinar y hacerse familiar con la apariencia de algunos canales típicos cuyos coeficientes de rugosidad son conocidos y están registrados en fotos, por ejemplo; d) determinar el valor de n a través de un procedimiento analítico basado en la distribución teórica de la velocidad en la sección transversal de un canal y sobre los datos de medidas de velocidad o de rugosidad; e) uso de ecuaciones empíricas. (Moreno A. y Castro F. 2003). 4.17 Conductos con flujo a presión 4.17.1 Pérdidas de energía Al desplazarse el fluido de un punto a otro del conducto, la energía total va disminuyendo debido a la fricción ocasionada por el movimiento del fluido en una conducción, o por pérdidas locales provocadas por piezas especiales y demás características de una instalación, tales como curvas, válvulas, piezas de derivación, reducción o aumento de diámetro, etc. Cuando se trata de conductos cerrados, el único tipo de energía que puede perderse por razón del movimiento del fluido es la energía de presión, ya que la energía cinética debe permanecer constante si el área es constante para caudal constante, y la energía de posición solo depende de los desniveles topográficos, tal como se ilustra en la siguiente figura. Figura 4.39. Pérdidas de energía por fricción. Azevedo N., J. M. y Acosta A., G. 1975. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.49 Figura 4.40. Pérdida local de energía en una ampliación. Adaptada de Sotelo A., G. 1982. 4.17.2 Pérdidas de energía por fricción Al desplazarse una masa líquida por un conducto se originan esfuerzos tangenciales que se oponen al movimiento debido a la influencia de las rugosidades, de la viscosidad del fluido y la turbulencia del flujo. Las pérdidas por fricción se presentan a lo largo de su longitud debido a: - En régimen de flujo turbulento: mezcla entre las partículas del fluido y rozamiento entre fluido y las fronteras sólidas del conducto que confinan a la vena líquida. - En régimen de flujo laminar: rozamiento entre fluido y las fronteras sólidas del conducto que confinan a la vena líquida. No existe mezcla de las partículas. Existe un gran número de fórmulas para el cálculo de tuberías con flujo turbulento las cuales se han desarrollado con el objetivo de representar en forma matemática la resistencia al flujo a lo largo de un conducto. Esta resistencia al flujo comprende las fuerzas viscosas y las de fricción. La escogencia de una u otra fórmula dependerá de varios factores pero es esencial tener un buen conocimiento sobre sus fundamentos teóricos. La energía que el fluido gasta en vencer la resistencia al flujo es la pérdida por fricción y está dada por la siguiente ecuación general: h f = S f L h f : pérdida de energía por fricción S f : gradiente hidráulico L: longitud real de la conducción El gradiente hidráulico es función del caudal, diámetro efectivo y de un coeficiente de resistencia al flujo que tiene en cuenta entre otros factores, la viscosidad del fluido y las UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.50 rugosidades en el interior del conducto, como se observa a partir de la ecuación general de Chezy (1775). V: velocidad del flujo C: coeficiente de resistencia al flujo según Darcy-Weisbach lleva a: R: radio hidráulico D: diámetro interno del conducto (efectivo) La expresión de C más usada es la de Darcy-Weisbach por ser de carácter general, la que se usa con la ecuación para el factor de fricción de Colebrook – White. f: factor de fricción [adimencional] g: aceleración de la gravedad Al combinar las ecuaciones anteriores se llega a la expresión general de pérdidas por fricción de Darcy-Weisbach, que se usa junto con la de Colebrook-White para encontrar el factor de fricción f. - Régimen de flujo turbulento El factor de fricción se encuentra con la ecuación de Colebrook-White c: rugosidad absoluta Re: número de Reynolds f RS C V = D C V S f 2 2 4 = g V D fL h f 2 2 = unidades de sistema cualquier 8 f g C = | | . | \ | + ÷ = 71 3 51 2 2 1 . D / f Re . log f c 4 D R = R C V S f 2 2 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.51 Si el conducto es hidráulicamente liso se puede despreciar el efecto de la rugosidad absoluta del conducto y si el conducto es hidráulicamente rugoso se puede despreciar el efecto de la viscosidad del fluido que está contenido en el número de Reynolds. - Régimen de flujo laminar El factor de fricción se encuentra con la ecuación de Hagen-Poiseuille. 4.17.3 Pérdidas locales de energía Se presentan en puntos fijos del conducto por cambios de forma, dimensiones de la sección recta, dirección del flujo o por presencia de controles. En estos casos ocurre una alteración al flujo normal de los filetes líquidos, debido al efecto de separación o turbulencias inducidas en el movimiento al presentarse obstáculos o cambios bruscos en la tubería, produciendo mezcla de las partículas y fricción entre ellas. Son usualmente las pérdidas menores en una conducción, pero no siempre. 4.17.3.1 Método del coeficiente de resistencia K Como la turbulencia es función directa de la velocidad, se ha planteado y comprobado experimentalmente que la energía empleada en vencer las resistencias locales es directamente proporcional a la energía cinética del fluido denominada pérdida local. K = coeficiente sin dimensiones que depende de las condiciones particulares del aditamento, del número de Reynolds y de la rugosidad del tubo. V = velocidad media de flujo en el conducto en la sección especificada 4.17.3.2 Tipos de pérdidas locales Los accesorios de una conducción son los elementos que sirven para acoplar las tuberías y darles el alineamiento requerido como codos, tes, cruces, reducciones, ampliaciones, válvulas. - Entrada a la tubería La pérdida se produce debido a la contracción que realiza la vena líquida al entrar del tanque a la tubería. El paso del fluido desde el depósito hasta el conducto puede ser de diferentes formas: o Entrada normal o Entrada de borda g V K h l 2 2 = Re f 64 = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.52 o Entrada en ángulo o Entrada redondeada - Salida de la tubería Es la pérdida que se produce por el paso del fluido desde la conducción hacia un depósito o a la atmósfera libremente. En el primer caso o sea cuando el fluido sale a un depósito, cualquiera que sea la forma de empate entre el conducto y el depósito, se pierde prácticamente toda la energía cinética (K = 1). Cuando el fluido sale libremente a la atmósfera sin cambiar la sección del conducto, no existe ninguna pérdida de carga (K = 0). - Cambios en las dimensiones del conducto Generalmente, en el diseño de la red de conducción se tienen tramos con diferente sección transversal cuya unión da origen a ensanchamientos o contracciones, las cuales dependiendo del tipo de tubería pueden ser bruscas o suaves, siendo estas últimas las que producen menor pérdida de carga. - Cambios de dirección El cambio en el alineamiento de la conducción, aunque ocasionalmente puede ser de tipo brusco, es más común hacerlo suavemente mediante curvas de radio amplio o por medio de codos que pueden ser de radio corto o radio largo. En ambos casos, el cambio de dirección debe especificarse por el ángulo de deflexión del alineamiento y por el radio de curvatura cuando sea el caso. Los codos comerciales se consiguen para los siguientes ángulos de deflexión: 90°, 45°, 22.5°, 11.25°. Además, existen comercialmente Tees, y eventualmente Yees y Cruces. - Válvulas o Válvulas de regulación: regulan el caudal del sistema aumentando o disminuyendo la resistencia que presentan al paso del fluido. Existen válvulas de compuerta, válvulas de bola; válvula mariposa o lenteja. o Válvulas de retención: permiten el flujo en una sola dirección. Se emplean en caso que se requiera impedir el flujo en una determinada dirección. Entre estas están: las válvulas cheque y las de globo. o Válvulas especiales: cumplen diferentes propósitos que aseguran el buen funcionamiento del sistema y pueden ser: válvulas de alivio, válvulas reguladoras de presión, válvulas reductoras de presión, válvulas ventosa. 4.18 Sistemas de tuberías - Sencillo - En serie - En paralelo - Abierto En este curso básico de Mecánica de Fluidos se estudiarán únicamente los conductos sencillos. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.53 Figura 4.41. Sistema de tubería simple. Sotelo A.,G.1982. Figura 4.42. Sistema de tubería en serie. Sotelo A.,G.1982. Figura 4.43. Sistema de tubería abierto o ramificado. Sotelo A.,G. 1982. d1, L1, Q1 E hp(1-2) 2 1 A d1, L1, Q1 A d2, L2, Q2 d3, L3, Q3 B Aire a presión A B C M Q1 L1, D1 L2, D2 Q2 L3 D3 Q3 KV UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.54 Figura 4.44. Sistema de tubería mixto: en paralelo y en serie. Sotelo A.,G.1982. d1, L1, Q1 d2, L2, Q2 d3, L3, Q3 d4 L4 Q4 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.55 4.19 Ecuaciones básicas Q p = γQ = γVA = = γ 1 V 1 A 1 = γ 2 V 2 A 2 =...... γ N V N A N ) 1 1 2 2 ( 2 1 1 2 x x x x x V Q V Q c F Wsen F F µ µ u ÷ = ÷ ± ÷ h f = S f *L P = ¸QH E ( ) ¿ ÷ + + + = ± + + 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 hp g V p Z H g V p Z M o ¸ o ¸ f RS ¸ t = P / A R = f RS C V = g V p Z H 2 2 + + = ¸ g V K h l 2 2 = g V y E 2 2 + = A h gA Q M c + = 2 L h S f f = 2 2 2 y gy q M + = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.56 4.20 Ejercicios sobre flujo libre uniforme 1. El canal triangular que se muestra en la figura está revestida en concreto con terminado liso, tiene una pendiente longitudinal del 4/100 y se ha diseñado para transportar un caudal de 80 l/s de aceite Sae 30. Determine la profundidad del flujo en el canal. Terreno natural y 3. A un ingeniero de la firma consultora ABC se le ha pedido determinar el caudal de agua que transporta un canal de forma rectangular revestido en concreto con terminado ordinario, con pendiente del terreno del 3.5/1000, ancho del fondo de 3.0 m y altura del agua de 0.8 m. Determine además el esfuerzo cortante y el coeficiente de resistencia al flujo de Chezy. 4.21 Ejercicios sobre flujo a presión 1. Ilustre en el siguiente esquema, en forma clara y completa, las líneas de energía (estática, piezométrica y de alturas totales) indicando las pérdidas parciales de energía y la total. A Válvula de compuerta semiabierta 5 1 2. Gliserina fluye por un canal de forma rectangular en concreto con ancho de solera de 15.0 m profundidad del fluido de 0.6 m y pendiente del 0.2 %. Usando el coeficiente de resistencia al flujo de Darcy-Weisbach determine el caudal transportado. Puede usar en este caso el coeficiente de resistencia dado por Manning? UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.57 2. Ilustre en el siguiente esquema, en forma clara y completa, todas las líneas de energía indicando las pérdidas parciales de energía y la total A Válvula de compuerta semiabierta Chorro libre 3. La tubería de acero soldado con rugosidad relativa de 0.05 mm, que se muestra en el esquema, transporta agua a 20 °C, tiene un diámetro interno de 0.15 m. Considere todas las pérdidas de energía, incluyendo entre otros codos de 45° radio corto unión lisa, válvula de compuerta abierta, entrada normal. T = 20 ˚C. Calcular el caudal que transporta la tubería. Cuál es la presión en el punto B? 1200 A B 1150.00 1120.0 C 10.0 49.5 21.21 212.13 10.00 Longitud horizontal (m) Sin escala Analice qué pasa con el nivel del agua en el tanque C si se usa un material de tubería mas liso que el acero? 4. Cuál será la altura de ascenso del chorro que sale por la tubería que se ilustra para un caudal de 2.0 m 3 /s, si tiene un diámetro final de 0.2 m? UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.58 5. Calcule el ascenso del chorro y el caudal a la salida de la tubería en hierro fundido de 1” (2.5 cm) de diámetro interno para las siguientes condiciones: (2.0) 5.1 Fluido ideal 5.2 Petróleo viscoso con viscosidad cinemática de 4.2 * 10 -5 m 2 /s. 5.3 Determine el esfuerzo cortante y el coeficiente de rugosidad de Chezy. Nota: las respuestas son muy sensibles a las cifras significativas por lo que trabaje con cuatro decimales. 2.0 m A Válvula de compuerta abierta 10.0 m Codos de radio corto y extremo roscado 0.2 m 20.0 m 6. Favor, conteste en forma clara y precisa 6.1 Escriba cuatro diferencias entre las ecuaciones de la energía y la de cantidad de movimiento o momentum _________________________________________ __________________________________________________________________ 6.2 La teoría de capa límite fue propuesta por _________y tiene aplicación en régimen de flujo_____________ 6.4 En flujo a presión, la disipación o pérdida de energía es mayor cuando el diámetro es 6.5 A mayores pérdidas de energía el gradiente hidráulico es _________________ 6.6 La ecuación del salto hidráulico se deriva del principio de _______________________ 6.7 A mayor separación del flujo, menor pérdida de energía F V 6.8 La línea de alturas totales puede ascender en el sentido del flujo F V 6.9 La distancia entre la línea estática y la línea de alturas totales corresponde a: ____ 6.10 La distancia entre la línea de alturas totales y la línea piezométrica corresponde a: _ 6.11 En flujo a presión, la disipación o pérdida de energía es mayor cuando el diámetro es 6.12 En régimen de flujo laminar el factor de fricción depende de: __________________ 6.13 A mayores pérdidas de energía el gradiente hidráulico es _________________ 6.14 A mayor separación del flujo, mayor pérdida de energía F V 6.15 La línea de alturas totales puede ascender en el sentido del flujo F V 6.16 La línea piezométrcia asciende cuando hay disminución del diámetro de la tubería F V 6.17 La CPi = Cejei + Vi 2 /2g F V UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 4.59 4.22 Bibliografía AZEVEDO N., J. M. Y ACOSTA A., G., Manual de Hidráulica. Sexta edición. Harla, S. A. de C. V. México. 1975. CHOW, V. T., Hidráulica de los Canales Abiertos. Primera edición, Editorial Diana. México. 1982. FRENCH. R. H. Hidráulica de Canales Abiertos. Mc Graw Hill. México. 1988. FRANZINI, J. B. y FINNEMORE, E. John. Mecánica de Fluidos con Aplicaciones en Ingeniería. Mc Graw Hill. Novena edición. Madrid, España. 1999. MATAIX Claudio. Mecánica de Fluídos y Máquinas Hidráulicas. Harla. Segunda edición. MOTT Robert L. Mecánica de Fluidos Aplicada. Pearson Prentice Hall. Cuarta edición. 1996. MUNSON, YOUNG, OKIISHI. Fundamentos de Mecánica de Fluidos, John Wiley Sons Limusa. 1999. POTTER C. Merle, WIGGERT David C. Mecánica de fluidos. Editorial Thomson. Tercera edición. 2003. SCHAUM, Mecánica de Fluidos e Hidráulica. Editorial McGrawHill. Tercera Edición. SOTELO AVILA Gilberto. Hidráulica Fundamental. STREETER Víctor. Mecánica de los Fluidos. Editorial McGrawHill. Novena Edición. VENNARD, J. STREET, R. Elementos de Mecánica de Fluidos. Editorial CECSA. 1985. Página WEB Departamento de Hidráulica: http:/www.unicauca.edu.co/~hdulica. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.1 5 MÁQUINAS HIDRÁULICAS Una máquina hidráulica trabaja con fluidos incompresibles o que se comportan como tal porque su densidad en el interior del sistema no sufre variaciones importantes y sirven para transformar energía hidráulica en mecánica o viceversa. Convencionalmente, se especifica para los gases un límite de 100 mbar para el cambio de presión; de modo que si este límite es inferior, la máquina puede considerarse hidráulica. Dentro de las máquinas hidráulicas el fluido experimenta un proceso adiabático, es decir no existe intercambio de calor con el entorno En general, hay dos tipos de máquinas hidráulicas: bombas y turbinas. Energía hidráulica Energía hidráulica Figura 5.1. Turbinas y bombas. Gardea, V. H. 1992. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.2 5.1 Turbinas hidráulicas Una turbina hidráulica es una máquina hidráulica, que aprovecha la energía hidráulica de un fluido que pasa a través de una rueda hidráulica, para producir energía mecánica mediante un movimiento de rotación de un eje, que mueve directamente una máquina o generador que transforma la energía mecánica en eléctrica. Las primeras turbinas datan de los años 3000 a.C. en que ruedas hidráulicas transferían energía mecánica a molinos de trigo en Egipto, India, Siria y China. En el siglo XVIII, Bernoulli y Euler explicaron el mecanismo de transmisión de energía en forma matemática. 5.1.1 Tipos de turbinas 5.1.1.1 De acuerdo con el cambio de presión en el rodete o al grado de reacción Pueden ser de dos tipos: - Turbinas de acción o impulso Son aquellas en las que el fluido de trabajo no sufre un cambio de presión importante en su paso a través de rodete. En estas turbinas el agua es dirigida al rodete por medio de chiflones o eyectores. La energía que recibe la turbina es la que hay a la salida de la tubería. Están sometidas a presión atmosférica. Ejemplo típico son las ruedas Pelton. - Turbinas de reacción Son aquellas en las que el fluido de trabajo si sufre un cambio de presión importante en su paso a través de rodete. El sistema está sometido a presión diferente de la atmosférica. La turbina se aloja en una cámara hermética o caracol en donde las presiones cambian por el paso del agua por el rodete. Ejemplos típicos son las ruedas Francis y Kaplan. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.3 b) Reacción Figura 5.2. Clasificación general de las turbinas. Gardea, V. H. 1992. 5.1.1.2 De acuerdo al diseño del rodete Esta clasificación es la más usada y según el rodete pueden ser: - Pelton - Francis - Kaplan El uso de uno u otro tipo de estas turbinas está en función del caudal y de la altura del salto disponible. Turbina Pelton: impulso. El agua es dirigida al rodete por medio de chiflones o eyectores. La energía que recibe la turbina es la que hay a la salida de la tubería. Están sometidas a la presión atmosférica. La Pelton se usa para cabezas altas ( ~ 150 m – 2000 m) y bajos caudales (~ 30 m 3 /s). Francis y Kaplan: reacción. El sistema está sometido a presión diferente que la atmosférica. La turbina se aloja en una cámara hermética en donde las presiones cambian por el paso del agua por el rodete o caracol. La Francis tiene los álabes fijos y se usa para cabezas intermedias (~ 25 m – 380 m) y caudales intermedios (~ 200 m 3 /s); la Kaplan tiene los álabes móviles y se usa para caudales altos (500 m 3 /s) y cabezas bajas (menos de 80 m). Impulso UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.4 a) Turbina Pelton. b) Turbina Francis. c) Turbina Kaplan. Figura 5.3. Tipos clásicos de turbinas. Gardea, V. H. 1992. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.5 Figura 5.4. Esquema para selección de turbinas. Wikipedia, 2013. 5.1.2 Potencia de la turbina La potencia retirada por la máquina del fluido es: E p R H Q P = E R QH P ¸ = En general, el fluido suministra a la turbina más potencia pero realmente la turbina suministra menos debido a las pérdidas de energía principalmente por fricción. T R T P P q = R T P P = turbina q La potencia total de la bomba para una eficiencia dada, resulta del caudal y de la altura dinámica total para el líquido transportado: UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.6 T E T QH P q ¸ = P R = potencia transmitida por el fluido a la turbina o sea la potencia retirada por la máquina del fluido. Es la potencia requerida para la que se debe comprar la turbina. Q p : caudal de peso P T : potencia de salida del motor de la turbina. Es la potencia que efectivamente es suministrada por la turbina para mover el eje de un generador, por ejemplo, KW. ¸ : peso específico del líquido transportado, KN/m 3 . Q: caudal, m 3 /s. H E : altura dinámica total. Es la energía por unidad de peso o altura (cabeza) de energía transmitida por el fluido a la turbina = altura neta = energía por unidad de peso retirada por la turbina del fluido, m. q T : eficiencia de la turbina < 1.0 (decimal). 5.1.3 Altura dinámica de la turbina H E 5.1.3.1 Turbinas de reacción La altura dinámica de la turbina se obtiene de la ecuación de la energía para el caso de turbinas de reacción localizadas en la conducción. Turbinas de impulso La cabeza de energía H E neta corresponde a la cabeza de velocidad a la salida de la tubería. La potencia para turbinas de impulso puede ser neta o bruta, según que se trabaje con la cabeza de energía neta o bruta incluyendo o no las pérdidas de energía en la conducción. T neta E T QH P q ¸ = neta g V H s Eneta 2 2 = V s : velocidad del flujo a la salida de la tubería T E T QH P q ¸ bruta bruta = ( ) ¿ ÷ + + + = ÷ + + 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 hp g V p Z H g V p Z E ¸ ¸ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.7 ¿ + = p s Ebruta h g V H 2 2 tubería la en energía de pérdidas = ¿ p h bruta neta tubería E E H H = q R T P P = turbina q 5.2 Bombas hidráulicas Una bomba hidráulica es una máquina generadora que transforma la energía (generalmente energía mecánica) con la que es accionada, en energía hidráulica del fluido incompresible que mueve. El fluido incompresible puede ser líquido o una mezcla de líquidos y sólidos como puede ser hormigón antes de fraguar, pasta de papel, agua y sedimentos productos de un dragado. Al incrementar la energía del fluido, se aumenta su presión, o su velocidad o su altura, todas ellas relacionadas según el principio de Bernoulli. En general, una bomba se utiliza para incrementar la presión de un líquido añadiendo energía al sistema hidráulico, para mover el fluido de una zona de menor presión o altitud a otra de mayor presión o altitud. Usualmente el término bomba, se refiere a las máquinas de fluido que transfieren energía, o bombean fluidos incompresibles y por lo tanto no alteran la densidad de su fluido de trabajo, a diferencia de otras máquinas como son los compresores, cuyo campo de aplicación es la neumática y no la hidráulica. También, es común encontrar el término bomba para referirse a máquinas que bombean otro tipo de fluidos, así como lo son las bombas de vacío o las bombas de aire. Adaptado de Wikipedia. Su origen se remonta al tornillo de Arquímedes en Grecia hacia los años 250 a.C. Posteriormente, en el siglo VI, se desarrollaron los molinos de viento. En Europa, en el siglo XVIII, Bernoulli (1730) y Euler (1750), hicieron grandes avances. Euler explicó el mecanismo de transmisión matemáticamente, de energía hidráulica a energía mecánica, e introdujo el concepto de cavitación. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.8 5.2.1 Tipos de bombas 5.2.1.1 Centrífugas o radiales Son las más conocidas y a veces las únicas existentes en el mercado. Se caracterizan por hacer uso de la fuerza centrífuga para impulsar el agua, razón por la cual ésta sale de la bomba en forma perpendicular al eje del rodete. Este tipo de bombas proporciona un flujo de agua suave y uniforme y se adapta para trabajos a alta velocidad como los motores eléctricos. Son apropiadas para elevar caudales pequeños a grandes alturas. 5.2.1.2 Bombas axiales o helicoidales No hacen uso de la fuerza centrífuga sino que mueven el agua en forma similar como lo hace un ventilador para mover el aire, el agua sale en forma paralela al eje de rotación del impulsor. Son especialmente indicadas para elevar grandes caudales (11 m 3 /seg) a baja altura (hasta 6 mca.). 5.2.1.3 Bombas de flujo mixto Aprovechan las ventajas de las bombas helicoidales (sencillez y poco peso) y se modifica la forma de los álabes dándole una forma tal que le imparten al agua una cierta fuerza centrífuga. Alcanzan su mejor rendimiento con caudales entre 30 y 3,000 lt/seg y alturas de 3 a 18 mca. 5.2.2 Bombas centrífugas En una bomba centrífuga el motor hace girar un eje en el cual va montado el impulsor que está encerrado en la carcasa. El agua ingresa a la bomba por el centro de la misma y al girar el rotor le imprime velocidad que al salir de la bomba se transforma en cabeza de presión. Figura 5.5. Esquema típico de bombas centrífugas. Gardea, V. H. 1992. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.9 5.2.3 Esquemas de instalación de las bombas centrífugas La instalación de las bombas puede ser con cabeza de succión positiva o negativa. Cabeza de succión positiva b) Cabeza de succión negativa Figura 5.6. Esquemas básicos de instalación de bombas centrífugas. Gardea, V. H. 1992. H ET : altura estática total H ES : altura estática en la succión H ED : altura estática en la descarga ∑hp s : sumatoria de pérdidas en la succión ∑hp d : sumatoria de pérdidas en la descarga H E : altura dinámica total, o altura de energía o energía por unidad de peso transmitida por la bomba al fluido, m. z 1 : cabeza de posición en el nivel del agua en el tanque de carga z 2 : cabeza de posición en el nivel del agua en el tanque de descarga z s : cabeza de posición en la succión ¿ ¿ + + ÷ = d p ps E h h Z Z H 1 2 ¿ ¿ + + = d p ps ET E h h H H Para cabeza de succión positiva ¿ ¿ + + ÷ = d p ps ES ED E h h H H H Para cabeza de succión negativa ¿ ¿ + + + = d p ps ES ED E h h H H H 1 2 3 s E E 1 2 s 3 Z 2 Z s Z 2 Z s Z 1 Z 1 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.10 Cabeza de succión negativa H ET = H ES + H ED Cabeza de succión positiva H ET = H ED - H ES 5.2.4 Curvas características de las bombas Las curvas de las bombas son gráficos que relacionan la cabeza de presión, la potencia, el caudal y el rendimiento de las mismas. 5.2.4.1 Curva Altura de presión - Caudal En esta curva se representa en las ordenadas la presión total que genera la bomba y en el eje de las abscisas el caudal. Las unidades de presión generalmente son metros de columna de agua y las de caudal lt/seg. Esta curva tiene pendiente negativa, indicando la relación inversa que existe entre presión y caudal. Estas curvas se presentan para diferentes diámetros de impulsor o diferentes revoluciones por minuto. 5.2.4.2 Curva Caudal - Potencia Esta curva relaciona el caudal elevado con la potencia que consume la bomba. La menor potencia se consume con el gasto mínimo o nulo, lo que significa cerrar la válvula de salida. En grandes equipos de bombeo, para disminuir el consumo de energía los equipos parten con las válvulas cerradas, abriéndolas de a poco. 5.2.4.3 Curvas de Rendimiento - Caudal Las curvas de rendimiento normalmente se trazan sobre las curvas de caudal o potencia. Esta curva es muy importante ya que a mayor eficiencia significa menor consumo de combustible para conseguir un mismo efecto. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.11 Figura 5.7. Ejemplo de curvas características de las bombas. Google. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.12 D Bomba D D" 0 1 P1 2 Vt 3 4 Línea de energía Línea de cargas Piezométricas 2 Vt 2g Ehr Vc 2 V4 2g 2 Vt 2g 1 Ehr 0 H b Líneas de energía Figura 5.8. Lineas de energía en conducción de agua impulsada por una bomba y descargando a la atmósfera. Sotelo A.,G. 1982. Figura 5.9. Instalación típica de una bomba centrífuga. Mataix, C. 1982. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.13 5.2.5 Potencia de la bomba La potencia requerida por la bomba es: B A B P P q = La potencia efectivamente adicionada por la bomba al fluido P A es menor que la potencia suministrada por el fabricante P B pues en el proceso se producen perdidas (fricción del líquido principalmente), por lo que solo parte de la energía es transferida al fluido. E p A H Q P = B A B P P = q E A QH P ¸ = La potencia total de la bomba para una eficiencia dada, resulta del caudal y de la altura dinámica total para el líquido transportado: B E B QH P q ¸ = P B : potencia requerida por la bomba (puesta en la bomba por el fabricante), KW. P A : potencia realmente transmitida por la bomba al fluido. Q P : caudal de peso H E : altura dinámica total, o altura de energía o energía por unidad de peso transmitida por la bomba al fluido, m. q B : eficiencia de la bomba (decimal) < 1.0. ¸ : peso específico del líquido transportado, KN/m 3 . Q : caudal, m 3 /s. 5.2.6 Altura dinámica de la bomba (H E ) La altura de energía que la bomba adiciona a un sistema o altura dinámica total, se obtiene a partir de la ecuación de la energía. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.14 ¿ ¿ + + + + = + + + pd ps E h h g V p Z H g V p Z 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ¸ ¸ H E : altura dinámica total o altura de energía que la bomba adiciona al sistema Z : cabeza de posición = energía de posición por unidad de peso p/¸ : cabeza de presión = energía de presión por unidad de peso ¸ : peso específico del líquido transportado. V 2 /2g : cabeza de velocidad = energía cinética por unidad de peso ¿h ps : pérdidas de carga en la succión. ¿h pd : pérdidas de carga en la descarga. 5.3 Unidades de potencia 1 KW = 1000 W 1 HP = 745.7 W 1 W = N-m/s 5.4 Cavitación La cavitación es un problema que se presenta cuando ocurren bajas presiones en una conducción, al punto que llegan a ser menores que la presión de vapor del agua, ocasionando que el fluido líquido pase al estado gaseoso formándose burbujas de vapor, que si llegan a zonas de altas presiones, implotan produciendo picaduras en los materiales que constituyen las paredes de canales, bombas y turbinas. Este problema se presenta por ejemplo en bombas, cuando la presión absoluta a la entrada del impulsor es menor que la presión de vapor del agua, por lo que para evitar que haya problemas de cavitación, se debe garantizar que la presión absoluta a la entrada de la bomba sea mayor que la presión de vapor del fluido a una temperatura dada. ¸ ¸ V S abs p p > ¸ ¸ ¸ V atm p p p S > + succión la en relativa presión = ¸ S p vapor de presión = ¸ v p UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.15 local a atmosféric presión = ¸ atm p Una forma de evitar cavitación es colocando la bomba por debajo de la toma (cabeza de succión positiva), caso en que se facilita que la presión absoluta mínima en la succión sea mayor que la presión de vapor. También, se puede controlar cavitación aumentando la presión a la entrada de la bomba para lo que se pueden bajar las pérdidas de energía en la succión, por ejemplo aumentando el diámetro, disminuyendo la velocidad y acortando la longitud de la tubería en la succión. Usualmente el diámetro de la succión es mayor que el diámetro de la descarga. 5.4.1 Cabeza Neta de Succión Positiva Cuando se seleccionan bombas, hay necesidad de tener en cuenta la cabeza neta de succión positiva (NPSH) para garantizar que no se produzca el fenómeno de la cavitación el cual genera burbujas al interior del sistema y lo deteriora. Para evitar la cavitación, se debe cumplir: NPSH D >NPSH R NPSH D : NPSH disponible en el sistema NPSH R : NPSH requerida, dada por el fabricante g V h H p NPSH s ps ES atm D 2 - 2 ¿ ÷ ± = ¸ ¸ atm p : presión atmosférica local H ES : altura estática de succión. Se usa el signo negativo si la cabeza estática de succión es negativa y viceversa ¿h ps : pérdidas totales en la succión ¸ V p : presión de vapor. Se determina por ecuación o de tablas g V s 2 2 : cabeza de velocidad en la succión g : aceleración debida a la fuerza de la gravedad UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.16 - Cabeza de succión negativa Tomando la ecuación de la energía en término de presiones absolutas entre un punto 1 en el tanque de carga y un punto s antes de la bomba, se tiene: ¿ + + + = + + ps s abs s s atm h g V p Z g V p Z 2 2 2 2 1 1 ¸ ¸ ¿ + + + = ps s abs s ES atm h g V p H p 2 2 ¸ ¸ ¿ ÷ ÷ ÷ = ps s ES atm abs s h g V H p p 2 2 ¸ ¸ Para evitar cavitación, ¸ ¸ v abs s p p > o lo que es lo mismo, requerida ps S ES v atm disponible NPSH h g V H p p NPSH > ÷ ÷ ÷ ÷ = ¿ 2 2 ¸ ¸ requerida v absS disponible NPSH p p NPSH > ÷ = ¸ ¸ - Cabeza de succión positiva Tomando la ecuación de la energía entre un punto 1 en el tanque de carga y un punto s antes de la bomba, se tiene: ¿ + + + = + + ps s abs s s atm h g V p Z g V p Z 2 2 2 2 1 1 ¸ ¸ ¿ + + = + ps s abs s ES atm h g V p H p 2 2 ¸ ¸ ¿ ÷ ÷ + = ps s ES atm abs s h g V H p p 2 2 ¸ ¸ UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.17 Para evitar cavitación, ¸ ¸ v abs s p p > o lo que es lo mismo, requerida ps S ES v atm disponible NPSH h g V H p p NPSH > ÷ ÷ + ÷ = ¿ 2 2 ¸ ¸ requerida v sabs disponible NPSH p p NPSH > ÷ = ¸ ¸ 5.5 Leyes de afinidad de las bombas Un cambio en el tamaño del diámetro del impulsor o de la velocidad del eje afecta al flujo volumétrico o a la velocidad al primer orden; la presión estática al segundo orden; y la potencia eléctrica del motor de la bomba al tercer orden (WIKIPEDIA, 2012). 5.5.1 Ley 1. Diámetro del impulsor (D) constante Ley 1a. El flujo es proporcional a la velocidad del eje: Ley 1b. La presión estática es proporcional al cuadrado de la velocidad del eje: Ley 1c. La potencia eléctrica absorbida por el motor de la bomba es proporcional al cubo de la velocidad del eje: 5.5.2 Ley 2. Velocidad del eje (N) constante Ley 2a. El flujo es proporcional al diámetro del impulsor: Ley 2b. La presión estática es proporcional al cuadrado del diámetro del impulsor: UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.18 Ley 2c. La potencia eléctrica absorbida por el motor de la bomba es proporcional al cubo del diámetro del impulsor: : caudal o flujo volumétrico ( GPM o l/s) : diámetro del impulsor (pulgadas o mm) : velocidad del eje (rpm) : presión estática de la bomba (pies o m) P : potencia absorbida por el motor de la bomba (W) Esta ley presupone que la eficiencia de la bomba o ventilador permanece constante, es decir, . Tratándose de bombas, las leyes funcionan bien en los casos en que el diámetro del impulsor sea constante y la velocidad sea variable (Ley 1), pero se ajustan menos a la realidad cuando se trata de los casos en que la velocidad sea constante y el diámetro del impulsor sea variable (Ley 2). 5.6 Velocidad específica La velocidad específica es un número que ampliamente define la geometría del impulsor y la operación de una bomba centrífuga, independiente de su tamaño. Las bombas centrífugas son producidas en un amplio rango de diseños hidráulicos y un criterio para su selección está basado en la velocidad específica, designada como N S . 75 0 5 0 . . s H NQ N = N s = velocidad específica H: presión estática de la bomba (pies o m) Q: caudal o flujo volumétrico ( GPM o l/s) : velocidad del eje (rpm) UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 5.19 5.7 Ejemplos sobre máquinas hidráulicas La bomba de la figura tiene una potencia dada por el fabricante de 3.85 HP para un caudal de 500 gal/min de aceite con peso específico de 56.0 lbf/pie 3 . Determine la altura de ascenso de la bomba, su potencia y su eficiencia cuando se instala en el sistema que se ilustra a continuación. 0.15 m 0.10 m 0.52 m Líquido manométrico Gs = 13.54 B Agua almacenada a 20 ºC en un depósito sale por tubería a presión en PVC de 6” (150 mm) de diámetro interno diseñada para transportar un caudal de 0.09 m 3 /s, tal como se indica en la figura. Considere todas las pérdidas de energía, incluyendo entre otras codos de 45 radio corto extremo roscado, longitud real tubería igual a 500 m. (1) 2.0 m Depósito ? m (2) P.R. 1” = 2.54 cm válvula compuerta abierta Reducción brusca a 2” K= 0.4 con base en V2 a) Realice el despiece de accesorios b) Cuál debe ser el nivel del agua en el depósito? c) Cuál es el gradiente hidráulico del sistema, el coeficiente C de Chezy y el comportamiento hidráulico del conducto? d) Cuál es la potencia neta y la potencia bruta que el fluido le suministra a una turbina situada a la salida? e) Si la eficiencia dada por el fabricante de la turbina es de 0.9, cuál es la potencia suministrada por la turbina? f) Calcule la fuerza sobre la pared y el fondo del depósito si la base es cuadrada de 5.0 m de lado. 3.0 m 27.0 m 4.1 Determine el caudal de agua que transporta el sistema con tubería de hierro fundido, ilustrado en la figura si no existiera bomba. 4.2 Si este caudal se considera muy pequeño y se quiere incrementar al doble por medio de una bomba, cuál sería la potencia adicionada al fluido por la bomba?. 4.3 Si la eficiencia es de 0.9 cuál es la potencia requerida? 4.4 Dibuje la línea piezométrica Considere todas las pérdidas de energía. Asuma que el factor de fricción en el caso 4.2 es igual al de la primera situación. 1.5 m 0.09 m 5.8 Bibliografía GARDEA, H. (1992). Aprovechamientos Hidroeléctricos y de Bombeo. Editorial Trillas. México. Primera Edición. MATAIX Claudio. Mecánica de Fluídos y Máquinas Hidráulicas. Harla. Segunda edición. WIKIPEDIA UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.1 6 MEDIDORES DE CAUDAL Y VELOCIDAD Un medidor de caudal es un instrumento para la medición de caudal o gasto volumétrico de un fluido o para la medición del gasto másico. También suelen llamarse caudalímetros, medidores de flujo o flujómetros. Entre los medidores más comúnmente usados están los siguientes: - Medidores volumétricos - Medidores gravimétricos - Medidores de hélice como los molinetes o correntómetros - Medidores de área variable como los rotámetros. - Medidores diferenciales como las toberas, diafragmas y los venturímetros. A continuación se trata sobre algunos de estos medidores. 6.1 Vertederos Un vertedero es un muro o una barrera que se interpone al flujo, causando sobre- elevación del nivel de la lámina aguas arriba y disminución aguas abajo. Las principales funciones de los vertederos son: o Control de nivel en embalses, canales, depósitos, estanques, etc. o Aforo o medición de caudales. o Elevar el nivel del agua. o Evacuación de crecientes o derivación de un determinado caudal. Figura 6.1. Vertedero de cresta delgada. UNICAUCA, 2010. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.2 6.1.1 Tipos de vertederos Existen muchas formas para clasificar los vertederos: según la forma, grado de contracción, el ancho de la cresta. a) Vertedero de pared delgada rectangular sin contracciones Figura 6.2. Vertedero de pared delgada sin contracciones. UNICAUCA, 2010. Es uno de los más usados en la práctica y su ecuación general es: 2 3 2 2 2 3 2 | | . | \ | + = g V H L C g Q d Q : caudal teórico C d : coeficiente de descarga, cuyos valores característicos deben estar entre 0.55 y 0.65. L: longitud del vertedero H: carga hidráulica sobre la cresta V: velocidad de llegada al vertedero g: aceleración debida a la fuerza de la gravedad Despreciando la influencia de la velocidad de llegada al vertedor, la ecuación anterior se simplifica de la siguiente forma: 2 3 2 3 2 LH C g Q d = b) Vertederos de pared delgada rectangular con contracciones En la figura siguiente se presenta un esquema con las diferentes posibilidades de un vertedero rectangular, con o sin contracciones. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.3 Figura 6.3. Vertederos con y sin contracciones. UNICAUCA, 2010. Para esta situación, la longitud efectiva del vertedero es L’. 2 3 ' 2 3 2 H L C g Q d = El efecto de la contracción se tiene en cuenta restando a la longitud total de la cresta del vertedero L, el número de contracciones multiplicada por 0.1H. ) 1 . 0 ( ´ H n L L ÷ = L´: : longitud contraída de la lámina de agua en el vertedero L : longitud real del vertedero n : número de contracciones laterales Reemplazando las dos ecuaciones anteriores se obtiene: 2 3 ) 1 . 0 ( 2 3 2 H nH L C g Q d ÷ = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.4 c) Vertederos triangulares Figura 6.4. Vertedero triangular. UNICAUCA, 2010. Cuando los caudales son pequeños es conveniente aforar usando vertederos en forma de V puesto que para pequeñas variaciones de caudal la variación en la lectura de la carga hidráulica H es más representativa. 2 5 2 tan 2 15 8 H g C Q d | . | \ | = | Si | = 90° ÷ 2 5 4 . 1 H Q = , en sistema M.K.S d) Vertederos trapezoidales Este vertedero ha sido diseñado con el fin de disminuir el efecto de las contracciones que se presentan en un vertedero rectangular contraído. Figura 6.5. Vertedero trapezoidal. UNICAUCA, 2010. u tan 2 15 8 2 3 2 2 5 2 2 3 1 H g C LH g C Q d d + = C d1 : coeficiente de descarga para el vertedero rectangular con contracciones C d2 : coeficiente de descarga para el vertedero triangular L : longitud de la cresta. u : ángulo de inclinación de los lados respecto a la vertical m : inclinación lateral La ecuación anterior puede transformarse así: Valores característicos de C d ÁNGULO | C d 15° 0.52-0.75 30° 0.59-0.72 45° 0.59-0.69 60° 0.50-0.54 90° 0.50-0.60 UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.5 2 3 2 1 tan 5 4 2 3 2 LH C L H C g Q d d ( ¸ ( ¸ + = u Cuando la inclinación de los taludes laterales es de 4V:1H, el vertedero recibe el nombre de Cipolleti en honor a su inventor. La geometría de este vertedero ha sido obtenida de manera que las ampliaciones laterales compensen el caudal disminuido por las contracciones de un vertedero rectangular con iguales longitud de cresta y carga de agua. e) Vertederos de cresta delgada, ancha y perfil Creager a) b) c) Figura 6.6. a) Cresta delgada. b) Cresta gruesa. c) Perfil Creager. UNICAUCA, 2010. 6.1.2 Ecuación general de patronamiento m KH Q = Q: caudal K: constante de patronamiento H: carga de agua m: exponente que depende del tipo de vertedero 6.2 Orificios y boquillas Los orificios y boquillas, entre otros usos, sirven para medir el caudal que sale de un recipiente o pasa a través de una tubería. a) Orificio b) Boquilla Figura 6.7. Esquema para diferenciar entre a) Orificio y b) Boquilla. UNICAUCA, 2010. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.6 6.2.1 Ecuaciones para orificios y boquillas Aplicando la ecuación de energía entre 1 y 2, en la Figura 6.8, se tiene: ( ) ¿ ÷ + + + = + + 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 hp g V P Z g V P Z ¸ ¸ Para el caso de un estanque libre la velocidad y presión relativa son nulas (V 1 =0, P 1 =0), si el chorro en 2 está en contacto con la atmósfera P 2 =0, y despreciando pérdidas hp, se tiene que la velocidad teórica en 2 es: gH V g V H Z Z t 2 2 2 2 2 1 = ¬ = = ÷ Figura 6.8. Orificio de pared delgada biselada. UNICAUCA, 2010. El caudal teórico se obtiene asi: Q t = V t A 0 Q t = caudal teórico V t = velocidad teórica A 0 = área del orificio Para obtener el caudal real se aplican una serie de coeficientes tal como se ve a continuación. 6.2.2 Coeficientes de flujo - Coeficiente de descarga Cd Es la relación entre el caudal real que pasa a través del dispositivo y el caudal teórico. 0 Re * * A V A V Q Q C t ch R Teórico al d = = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.7 gH A Q C gH A C Q d d 2 2 0 0 = ÷ = Q : caudal V R : velocidad real A ch : área del chorro o real V t : velocidad teórica A 0 : área del orificio o dispositivo H : carga hidráulica Este coeficiente C d no es constante, varía según el dispositivo y el Número de Reynolds, haciéndose constante para flujo turbulento (Re>10 5 ) como se observa. También es función del coeficiente de velocidad C v y el coeficiente de contracción C c . - Coeficiente de velocidad Cv Es la relación entre la velocidad media real en la sección recta de la corriente (chorro) y la velocidad media ideal que se tendría sin rozamiento. t R v V V C = - Coeficiente de contracción Cc Es la relación entre el área de la sección recta contraída de una corriente (chorro) y el área del orificio a través del cual fluye. 0 A A C ch c = c v d C C C = 6.2.3 Cálculo del caudal de un orificio Para determinar el caudal real en un orificio se debe considerar la velocidad real y el área real, por tal razón se deben considerar los coeficientes de velocidad C v y contracción C c . 0 * * * A C A A V C V A V Q c ch r t v r r r r = = = = t d r t c v r V A C Q V A C C Q * * * * * 0 0 = ¬ = gH A C Q d r 2 * * 0 = 6.2.4 Determinación del coeficiente de velocidad C v Si se desprecia la resistencia del aire, se puede calcular la velocidad real del chorro en función de las coordenadas rectangulares de su trayectoria X, Y. Al despreciar la UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.8 resistencia del aire, la velocidad horizontal del chorro en cualquier punto de su trayectoria permanece constante y será: t X V h = V h : velocidad horizontal. X : distancia horizontal del punto a partir de la sección de máxima contracción. t : tiempo que tarda la partícula en desplazarse. La distancia vertical Y recorrida por la partícula bajo la acción de la gravedad en el mismo tiempo t y sin velocidad inicial es: g Y t gt Y 2 2 1 2 = = Reemplazando y teniendo en cuenta que V h = V r. g Y X V YH X YH X V V C V C V r t r v t v r 2 2 4 * = = = = = Teniendo en cuenta que gH V t 2 = , se obtiene: YH X C v 2 = Haciendo varias observaciones, para cada caudal se miden H, X y Y, se calcula el C v correspondiente. Si la variación de C v no es muy grande, se puede tomar el valor promedio como constante para el orificio. 6.2.5 Cálculo de la pérdida de carga (hp) Estableciendo la ecuación de la energía entre (1) y (2) hp g V H Z Z hp g V P Z g V P Z + = = ÷ + + + = + + 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ¸ ¸ y despejando las pérdidas hp g V H hp 2 2 2 ÷ = UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.9 pero H es función de V y C v , así g V C H y C gH V gH V V V C v v T R v 2 * 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = reemplazando en la ecuación de pérdidas ( ) 2 2 1 * v v C H H C H hp ÷ = ÷ = finalmente, g V K C g V hp o v 2 1 1 2 2 2 2 2 2 = | | . | \ | ÷ = Donde el coeficiente de pérdida por orificio K o está dado por: 1 1 2 ÷ = v o C K 6.2.6 Ecuación de patronamiento El caudal que pasa a través de un orificio o una boquilla de cualquier tipo, está dado por la siguiente ecuación general de patronamiento: m KH Q = Q : caudal K : constante característica del orificio o de la boquilla H : carga hidráulica medida desde la superficie hasta el centro del orificio m : exponente, usualmente 0.5. 6.3 Venturímetros Son medidores de caudal que se instalan en una tubería y constan de tres partes: 1. La entrada de forma cónica convergente, entre secciones (1) y (2). 2. La garganta de forma cilíndrica. 3. El difusor de forma cónica divergente. Figura 6.9. Medidor diferencial, tipo Vénturi. Modificada de Vennard & Street, 1985. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.10 6.3.1 Ecuación del venturímetro Si se aplica la ecuación de energía, sin considerar las pérdidas de carga, entre una sección (1) a la entrada del venturímetro y otra sección (2) en la garganta del venturímetro, como se aprecia en la figura anterior se tiene: g V P Z g V P Z 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = + + ¸ ¸ Z 1, Z 2 : cota del eje de la sección (1) y (2) respectivamente. P 1 /¸ , P 2 /¸ : cabeza de presión en la sección (1) y (2) respectivamente. V 1 , V 2 : velocidad en la sección (1) y (2) respectivamente. Para una tubería horizontal: g V h g V h 2 2 2 2 2 2 1 1 + = + ( ) h g h h g V V A = ÷ = ÷ 2 2 2 1 2 1 2 2 h 1 = Z 1 + P 1 / ¸ : cota piezométrica en la sección (1). h 2 = Z 2 + P 2 /¸ : cota piezométrica en la sección (2). Ah = h 1 – h 2 : diferencia de presiones entre la entrada y la garganta. Por continuidad: 2 2 1 1 V A V A = 1 2 2 1 A V A V = reemplazando la ecuación y despejando para V 2 se tiene: 2 1 2 2 1 2 | | . | \ | ÷ A = = A A h g V V T El caudal teórico está dado por: h g A A A V A Q T T A | | . | \ | ÷ = = 2 1 2 1 2 2 2 Las expresiones fueron derivadas para el caso de un fluido ideal, sin fricción; sin embargo, debido a los efectos de fricción y por la consecuente pérdida de carga, la velocidad real será menor y por ende el caudal real será también menor. Para considerar este efecto se utiliza el coeficiente de velocidad C v , determinado experimentalmente, así la velocidad real en la sección (2) es: UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 6.11 2 1 2 2 1 2 | | . | \ | ÷ A = = A A h . g C V C V v v R El caudal real estará dado por: h g A A A C V A Q v R R A | | . | \ | ÷ = = 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 | | . | \ | ÷ = A A C C v d h g A C Q d R A = 2 2 6.3.2 Ecuación de patronamiento El caudal que pasa a través de un orificio o una boquilla de cualquier tipo, está dado por la siguiente ecuación general de patronamiento: Q = KAH m Q : caudal K : constante característica del venturímetro AH : diferencia de carga hidráulica medida entre la entrada y la garganta del venturímetro m : exponente, usualmente 0.5 6.4 Bibliografía UNICAUCA, 2010. Manual Laboratorio de Hidráulica. Colombia. VENNARD, J. STREET, R. Elementos de Mecánica de Fluidos. Editorial CECSA. 1985 Página WEB Departamento de Hidráulica: http:/www.unicauca.edu.co/~hdulica. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.1 7 SEMEJANZA HIDRÁULICA Y ANÁLISIS DIMENSIONAL Considerando la complejidad de explicar los fenómenos de la naturaleza mediante modelos matemáticos, el estudio de los problemas de la Hidráulica y la Aeronáutica mediante modelos físicos a escala, se empezó a realizar desde el siglo XIX. Las leyes de semejanza y el análisis dimensional permiten realizar experimentos con fluidos como el agua o el aire y luego aplicar los resultados a un fluido con el que no es tan fácil trabajar como el hidrógeno, el vapor o el aceite. En hidráulica y en Aeronáutica, se pueden obtener resultados valiosos a bajo costo, mediante pruebas realizadas con modelos a pequeña escala que reflejan el comportamiento del prototipo real. Si utilizamos solamente la teoría, suele ser imposible determinar todos los datos esenciales para un flujo dado, por lo que a menudo es preciso depender de estudios experimentales. El número de pruebas que hace falta realizar se puede reducir significativamente por el uso sistemático del análisis dimensional y las leyes de semejanza, ya que estas técnicas permiten que los datos experimentales se apliquen a casos distintos de los observados. Ejemplos en donde se pueden usar los modelos incluyen: - Barcos en canales hidrodinámicos. - Aviones en túneles de viento. - Golpe de ariete en tuberías. - Problemas de erosión y sedimentación en ríos. - Dispersión de contaminantes. - Cálculo del coeficiente de descarga (C d ) de una gran estructura de medida, tal como un vertedero de excesos. - Desarrollo de un método efectivo para disipación de energía a la salida de una estructura hidráulica. - La reducción de la pérdida de energía a la entrada de una estructura o en la sección de transición. - Desarrollo de un vertedero eficiente y económico para un embalse. - Determinación de un tiempo promedio de viaje en una estructura de control de temperatura en una planta de enfriamiento. - Determinación de la mejor sección transversal, localización y dimensiones de varios componentes de una estructura. - Determinación del comportamiento dinámico de la flotación. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.2 7.1 Semejanza hidráulica En hidráulica, el término modelo corresponde a un sistema que simula un objeto real llamado prototipo, que mediante la entrada de cierta información se procesa y se presenta para emplearse en el diseño y operación de obras de ingeniería. Un modelo físico a escala reducida es una representación a escala del objeto real o prototipo y cumple ciertas condiciones matemáticas definidas. La similitud entre modelos físicos y prototipos, puede ser definida en tres formas: a) Similitud geométrica b) Similitud cinemática c) Similitud dinámica Figura 7.1. Relaciones de escala geométrica, cinemática y dinámica. FRANZINI, J. B. y FINNEMORE, E. J., 1999. 7.1.1 Similitud Geométrica Implica similitud de forma. El modelo es una reducción geométrica del prototipo y cumple en mantener una escala fija para todas las longitudes homólogas entre éste y el prototipo. Las cantidades físicas son tres: a) Longitud (L) UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.3 b) Área (A) c) Volumen (¬) m p r L L L = m p r L L A 2 2 = m p r L L 3 3 = ¬ L r : relación de longitud A r : relación de área ¬ r : relación de volumen p : prototipo m : modelo 2 prototipo Área p L = 3 prototipo Volumen p L = 7.1.2 Similitud Cinemática Implica similitud en movimiento. Involucra las escalas de longitud, tiempo, velocidad y aceleración. t L V = ¬ p p p t L V = ¬ m m m t L V = ¬ m p r V V V = ¬ r r r t L V = V L t = ¬ p p p V L t = ¬ m m m V L t = ¬ m p r t t t = ¬ r r r V L t = 2 t L a = ¬ 2 p p p t L a = ¬ 2 m m m t L a = ¬ m p r a a a = ¬ 2 r r r t L a = ¬ r r r L V a 2 = V: velocidad t: tiempo a: aceleración Q: caudal V r : relación de velocidad t r : relación de tiempo a r : relación de aceleración UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.4 - Ejemplo Un modelo de canal abierto, geométricamente similar, es construido con una escala de 5:1. 5 1 5 = = = m p r L L L Si en el modelo se mide un Q m = 0.2 m 3 /s. Determinar el Q p del prototipo considerando que la relación de tiempo t r = 1. Solución La razón de velocidad: m m p p m p r t / L t / L V V V = = Asumiendo que tiempos en el modelo y en el prototipo son iguales, se tiene: 5 = = m p r L L V La razón de área es: 25 1 5 2 2 2 2 = = = m p r L L A La razón de caudal es: 125 25 5 = = = = = * A V A V A V Q Q Q r r m m p p m p r Por lo tanto, la descarga correspondiente en el prototipo es: Q p = 125 Q m = 125 * 0.2 = 25 m 3 /s - Ejemplo Un modelo a escala 10:1 es construido para estudiar el movimiento del flujo en un sistema de enfriamiento. Si el caudal de diseño de la planta de poder es de 200 m 3 /s y el modelo puede tener un Q m máx. de 0.1 m 3 /s. Determinar la razón de tiempo t r . Solución UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.5 10 1 10 = = = m p r L L L 2000 1 0 200 = = = . Q Q Q m p r Q r = 200 / 0.1 = 2000 100 1 10 2 2 2 2 = = = m p r L L A r r r r m m p p m m p p m p r t A L A t / L t / L A V A V Q Q Q 1 = = = = r t * * 1 100 10 2000 == t r = 0.5 O sea que t m = 2 (t p ) Una unidad de período de tiempo medida en el modelo equivale a dos períodos de tiempo en el prototipo. 7.1.3 Similitud Dinámica Implica que haya similitud geométrica, cinemática y de fuerzas. m P F F F E = Haciendo sumatoria de fuerzas: te resul F F F F F F T E P G tan = + + + + = ¿ u F: fuerza F G : fuerza debida a la gravedad F p : fuerza debida a la presión F u : fuerza debida a la viscosidad del fluido F E : fuerza debida a la elasticidad F T : fuerza debida a la tensión superficial Si la resultante de la suma de todas la fuerzas da cero, entonces el sistema está en equilibrio. En otro caso, el elemento se acelera de acuerdo con la Ley de Newton; este sistema de fuerzas en desequilibrio se puede transformar en un sistema en equilibrio UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.6 añadiendo una fuerza de inercia F I que es igual y opuesta a la resultante de las fuerzas existentes. 0 = + + + + + I T E P G F F F F F F u F I : fuerza debida a la inercia Estas fuerzas pueden expresarse en los términos más simples como se indica a continuación: Gravedad: g L mg F G 3 µ = = Presión: 2 ) ( ) ( L p A p F P A = A = Viscosidad: A F v t = ; VL L L V A dy dv F v µ µ µ = = = 2 ) ( ) ( Elasticidad: 2 L E A E F v p E = = , relacionada con la velocidad del sonido: µ v s E V = Tensión superficial: L F T o = Inercia: 2 2 2 4 2 3 L V t L t L L ma F T µ µ µ = = = = En muchos problemas de flujo algunas de estas fuerzas están ausentes o son despreciables. Por ejemplo, para la figura anterior, solo existen F G , F p , F u y F I , por lo que la semejanza dinámica será: r Ip m p Pm Pp GP GP F F F F F F F F F = = = = Im v v Estas relaciones se pueden expresar también como: m G I P G I F F F F | | . | \ | = | | . | \ | m P I p P I F F F F | | . | \ | = | | . | \ | m I P I F F F F | | . | \ | = | | . | \ | v v De las anteriores expresiones se observa que si hay cuatro fuerzas, habrá tres magnitudes independientes que deberán satisfacerse; si hay tres fuerzas, habrá dos expresiones independientes. Las anteriores magnitudes son adimensionales y se usan para resolver problemas de mecánica de fluidos mediante el análisis dimensional. - Ejemplo Una bomba con potencia igual a 59680 W (80 HP) se utiliza para subir el agua a un tanque de almacenamiento y distribución de un acueducto. El modelo construido para UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.7 estudiar el sistema tiene una escala 8:1. Si la razón de velocidad es de 2:1, determinar la potencia requerida por el modelo de bomba. Solución: 8 1 8 = = = m p r L L L 2 = = = = r r m m p p m p r t L t / L t / L V V V 4 2 8 2 = = = r r L t El mismo fluido es usado tanto en el modelo como en el prototipo, por lo tanto la relación de densidades ρ r = 1. y la relación de inercia F r será: 256 4 8 1 2 4 2 4 = = = * t L F r r r r µ 512 4 8 256 = = = * t L F P r r r r La potencia requerida por el modelo es: W 6 116 512 59680 . P P P r p m = = = 7.2 Análisis Dimensional El análisis dimensional busca establecer las relaciones básicas de varias cantidades físicas involucradas en el comportamiento estático y dinámico del flujo de un fluido en una estructura o máquina. 7.2.1 Numero de Reynolds En el flujo de un fluido a través de un conducto a presión, la gravedad no afecta a la configuración del flujo. Además, como no hay superficies libres del líquido, es obvio que la UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.8 capilaridad no tiene importancia práctica. Por tanto, las fuerzas significativas son la inercia y la fricción del fluido debido a la viscosidad. Esto también es cierto para un avión moviéndose a velocidades en que la compresibilidad del aire no es apreciable. Además, en el caso de un submarino suficientemente sumergido para no generar olas en la superficie, las únicas fuerzas involucradas son las de fricción y la de inercia. Considerando la relación de fuerzas de inercia a fuerzas viscosas el parámetro obtenido se denomina el número de Reynolds, o Re, en honor del irlandés Osborne Reynolds (1842-1912). Para cualquier sistema coherente de unidades el número de Reynolds es adimensional. Para dos sistemas formados por modelo y prototipo, si van a ser dinámicamente equivalentes en cuanto a las fuerzas de inercia y viscosidad, deben tener el mismo valor de Re. v µ µ µ µ v LV LV LV V L F F Re I = = = = 2 2 p p m m v LV Re Re v LV | . | \ | = = = | . | \ | - Ejemplo Si el número de Reynolds de un modelo y de sus prototipos es el mismo, halle una expresión para V r , t r y a r . Solución p p p m m v V L v V L Re = = r r r m p p m m p r L L L L V V V | . | \ | = = = = v v v v r r r r L V L t | | . | \ | = = v 2 r r r r L t V a | | . | \ | = = 3 2 v 7.2.2 Número de Froude Si solamente se tienen en cuenta las fuerzas de inercia y de gravedad, se obtiene una relación denominada el número de Froude, o Fr en honor del inglés William Froude (1810-1879) y es el número usado para modelación de problemas del flujo de agua en canales abiertos, la acción de las olas causadas por un barco, las fuerzas de la corriente UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.9 sobre las pilas de un puente, el flujo sobre un vertedero y en general problemas de flujo libre. Para cualquier sistema coherente de unidades el número de Froude es adimensional. gL V L g V L F F Fr G I 2 3 2 2 = = = µ µ gL V Fr = Para dos sistemas formados por modelo y prototipo, si van a ser dinámicamente equivalentes en cuanto a las fuerzas de inercia y de gravedad, deben tener el mismo valor de Fr. p p m m gL V Fr Fr gL V | | . | \ | = = = | | . | \ | Las relaciones de escala lineal para la semejanza basada en el número de Froude, considerando g y Fr iguales, son: r m p r L V V V = = , r r r m p r L V L t t t = = = y 1 = = r r r t V a Dado que la velocidad varía como r L , y el área de la sección transversal como 2 r L , se deduce para la misma g y el mismo Fr: 2 5 / r m p r L Q Q Q = = 7.2.3 Número de Mach Cuando la compresibilidad es importante, es necesario considerar la relación entre inercia y las fuerzas elásticas. El número de Mach, o Ma, debe su nombre al austriaco Ernest Mach (1838-1916) y se define como la raíz cuadrada de esta relación, entonces tenemos: S v v E I V V E V L E L V F F Ma = = | | . | \ | = = µ µ 2 1 2 2 2 V s = velocidad del sonido M a < 1 flujo subsónico M a = flujo sónico M a > 1 flujo supersónico M a >>>> 1 flujo hipersónico UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.10 7.2.4 Número de Cauchy El cuadrado del número de Mach es igual al número de Cauchy que deb su nombre al francés Agustín Cauchy (1789-1857). Ca =Ma 2 7.2.5 Número de Weber En algunos casos de flujo, la tensión superficial puede tener importancia pero normalmente es despreciable. La relación entre las fuerzas de inercia y la tensión superficial es L L V o µ 2 2 , cuya raíz cuadrada se conoce como número de Weber, que se llama así en honor de Moritz Weber (1871-1951). L V W e µ o = 7.2.6 Número de Euler Una magnitud a dimensional asociada a la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de presión se conoce como el número de Euler en honor al suizo Leonhard Euler (1707-1783). Se expresa: | | . | \ | A = | | . | \ | A = = ¸ µ p g V p V F F Eu p I 2 2 También se obtiene de esta ecuación el coeficiente de presión: 2 2 1 V p C P µ A = Este se convierte a su vez en una magnitud adimensional de nominada el número de cavitación: 2 2 1 V p p Ca v µ ÷ = En ambas expresiones las presiones deben ser absolutas. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 7.11 7.3 Características del flujo y relaciones de escala para semejanza Tabla 7.1. relación de la magnitud en el prototipo a la magnitud en el modelo). FRANZINI, J. B. y FINNEMORE, E. J., 1999. Características Dimensión Relación de escala para la ley de Reynolds Froude Mach Geométrica Longitud Área Volumen L L 2 L 3 L r L 2 r L 3 r L r L 2 r L 3 r L r L 2 r L 3 r Cinemática Tiempo Velocidad Aceleración Caudal t t L 2 t L 3 t L r L | | . | \ | µ µ 2 r L | | . | \ | µ µ r L | | . | \ | 3 2 2 µ µ r L | | . | \ | µ µ r g L | | . | \ | ÷ 2 1 2 1 r g L | | . | \ | 2 1 2 1 r g r g L | | . | \ | 2 1 2 5 r v E L | | . | \ | µ r v E | | . | \ | µ r v L E | | . | \ | µ r v E L | | . | \ | µ 2 Dinámica Masa Fuerza Presión Impulso y cantidad de Movimiento Energía y trabajo Potencia m 2 t mL L t m 2 t mL 2 2 t mL 3 2 t mL ( ) r L µ 3 r | | . | \ | µ µ 2 r | | . | \ | µ µ 2 ( ) r L µ 2 r L | | . | \ | µ µ 2 r L | | . | \ | 2 3 µ µ ( ) r L µ 3 ( ) r g L µ 3 ( ) r g Lµ r g L | | . | \ | µ 2 7 ( ) r g L µ 4 r g L | | . | \ | 3 2 7 µ ( ) r L µ 3 ( ) r v E L 2 ( ) r v E r v E L | | . | \ | 2 1 2 1 3 µ ( ) r v E L 3 r v E L | | | . | \ | µ 2 3 2 7.4 Bibliografía FRANZINI, J. B. y FINNEMORE, E. John. Mecánica de Fluidos con Aplicaciones en Ingeniería. Mc Graw Hill. Novena edición. Madrid, España. 1999. UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 8.1 8 EJEMPLOS DE EXÁMENES FINALES P 3.0 m Compuerta 1.5 m A 2.0 m 45º 1.0 m 1.0 m 24.0 m Suelo impermeable A b = 10.0 m B 3.0 m 27.0 m (1) (2) Gasolina 1. Una compuerta rectangular tiene como dimensiones altura de 2.0 m, largo de 1.5 m y está localizada en la pared inclinada de un tanque que contiene gasolina. La compuerta gira por su extremo superior A. Si el peso de la compuerta es de 4.5 kN y despreciando las fuerzas debidas a la fricción, determine la fuerza resultante debido a la gasolina, su punto de aplicación y la fuerza P para mantenerla cerrada. Realice un diagrama claro ilustrando todas las fuerzas. (1.0) 2. La presa para contener agua para riegos está diseñada para ser construida en concreto con peso específico de 23.5 kN/m 3 sobre una fundación impermeable. Si el ancho de la base es de 10 m, determine si la presa se voltea alrededor del punto B. (0.6) h 4.1 Determine el caudal de agua que transporta el sistema con tubería de hierro fundido, ilustrado en la figura si no existiera bomba. 4.2 Si este caudal se considera muy pequeño y se quiere incrementar al doble por medio de una bomba, cuál sería la potencia adicionada al fluido por la bomba?. 4.3 Si la eficiencia es de 0.9 cuál es la potencia requerida? 4.4 Dibuje la línea piezométrica Considere todas las pérdidas de energía. Asuma que el factor de fricción en el caso 4.2 es igual al de la primera situación. (1.9) 1.5 m 0.09 m 3. Dibuje claramente la línea piezométrica para el siguiente caso. (0.5) 7. Aceite SAE 30 es descargado a la atmósfera tal como se ilustra en la figura. La sección (1) tiene diámetro de 0.075 m y velocidad de 7.5 m/s y la sección reducida (2) tiene diámetro de 0.025 m. El coeficiente de pérdida en la reducción es de 0.4 con base en la velocidad en (2). Determine la fuerza ejercida por la contracción sobre el flujo. (1.0) Bomba UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 8.2 1. Realice un esquema cualitativo claro y completo de las líneas de energía (estática, piezométrica y de alturas totales indicando las pérdidas parciales de energía y la total. (1.0) A Válvula de compuerta semiabierta 3.0 m 4. Para el codo de la figura que se encuentra en un plano horizontal, escriba las ecuaciones de cantidad de movimiento. (0.4) 5. Cuál será la altura de ascenso del chorro que sale por la tubería que se ilustra para un caudal de 2.0 m 3 /s, si tiene un diámetro final de 0.2 m? (0.3) 6 6. . D De et te er rm mi in na ar r l la a c co on ns st ta an nt te e d de el l g ga as s R R y y s su u d de en ns si id da ad d s si i e el l v vo ol lu um me en n e es sp pe ec cí íf fi ic co o d de e c ci ie er rt to o g ga as s e es s d de e 0 0. .7 71 1 m m 3 3 / /s s a a u un na a p pr re es si ió ón n d de e 2 2. .1 1 k kg gf f/ /c cm m 2 2 y y 3 32 2 º ºC C, , e en n s si is st te em ma a i in nt te er rn na ac ci io on na al l d de e u un ni id da ad de es s. . ( (0 0. .3 3) ) 2. La bomba que se ilustra lleva un caudal de 230 l/s de agua del recipiente inferior al superior. La longitud de succión es de 10.0 m y la de descarga es de 40.0 m. Ambos conductos son de acero soldado de 0.15 m de diámetro interno. 2.1 Calcule la potencia transmitida por la bomba al agua. 2.2 Habrá problemas de cavitación si el sistema está construido en Popayán? 2.3 Calcule las fuerzas resultantes sobre la pared y el fondo del tanque de succión. Considere todas las pérdidas de energía. (2.2) 12.0 m 3.0 m 2.0 m 3. Gliserina fluye por un canal de forma rectangular en concreto con ancho de solera de 15.0 m profundidad del fluido de 0.6 m y pendiente del 0.2 %. Usando el coeficiente de resistencia al flujo de Darcy-Weisbach determine el caudal transportado. Puede usar en este caso el coeficiente de resistencia dado por Manning? (0.8) UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 8.3 1. Por favor, conteste en forma clara y precisa (0.5) 1.1 En un gas a temperatura constante se cumple que el volumen es _____________________ proporcional a la presión. 1.2 En un fluido en reposo, la suma de la altura de posición más la de presión es________________ para cualquier punto. 1.3 En un tanque se cumple que a mayor elevación __________________ presión 1.4 Para aumentar la presión en un conducto el diámetro debe ________________________ 1.5 La distancia que existe entre el plano de carga efectivo y la línea de alturas totales es igual a ___________________ 1.0 m Suelo permeable A b = 9.0 m B 4. Agua almacenada a 20 ºC en un depósito sale por tubería a presión en PVC de 6” (150 mm) de diámetro interno diseñada para transportar un caudal de 0.09 m 3 /s, como indica en la figura. Considere todas las pérdidas de energía y puede asumir que el conducto es hidráulicamente liso. Codos de 45 radio corto extremo roscado, longitud real tubería de 600.0 m. (2.0) (1) 1000.00 Depósito h = ? m P.R. 1” = 2.5 cm (2) Válvula compuerta abierta Reducción brusca de 6” a 2” (50 mm) K reducción =0.37 con V2 4.1 Cuál debe ser el nivel del agua en la descarga? 4.2 Cuál es el gradiente hidráulico del sistema? 4.3 Cuáles son las potencias neta y bruta que el fluido le suministra a una turbina tipo Pelton situada a la salida y cuál es la eficiencia de la tubería ? 4.4 Cuál es la potencia neta que la turbina suministra si su eficiencia es del 0.8? 5. Un canal rectangular en concreto con terminado ordinario transporta un caudal de 0.3 m3/s de aceite Sae 30. La estructura tiene una base de 0.8 m y una profundidad del flujo de 0.5 m. Cuánto vale el coeficiente de resistencia al flujo de Chezy? Qué pendiente debe dársele al canal? (1.0) 2. La presa para contener agua para riegos está diseñada para ser construida en concreto sobre una fundación permeable. Si el ancho de la base es de 9.0 m, determine las fuerzas del agua sobre la base, la cara aguas arriba y la cara aguas abajo de la presa. Indique todas las fuerzas y su punto de aplicación en un esquema claro (1.0) 10.0 m 6.0 m 3. Se bombea un fluido entre dos tanques A y B. En el sistema se ilustra la línea de energía o de alturas totales. Explique en qué sentido se bombea el fluido, de A a B o de B a A. (0.5) Línea de energía UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 8.4 1. Por favor, conteste en forma clara y precisa (1.0) 1 En un gas a temperatura constante se cumple que el volumen es _____________________ proporcional a la presión. 2 El módulo de elasticidad volumétrico está relacionado con la ______________________________ de un fluido. 3 Presiones muy bajas en los fluidos, del orden de la presión del vapor, están relacionados con problemas de ____________________ 4 En un fluido en reposo, la suma de la altura de posición más la de presión es_________________ para cualquier punto. 5 La superficie de un fluido líquido en un tanque tiende a ser un plano ______________________ 6 A mayor elevación __________________ presión 7 Una presión manométrica que esté por debajo de la atmosférica tiene signo ___________________ 8 La viscosidad se refiere a la oposición que ofrece un fluido para _____________________ 9 Las unidades de presión en sistema internacional de unidades son: _______________ 10 Para fluidos Newtonianos se cumple que τ =_____________________________y su significado es que el esfuerzo cortante es _______________________________________________________________________________________________ 24.0 m 3.0 m Suelo permeable A b = 9.0 m B 3. Aplicando la ecuación de la energía, establezca la ecuación para caudal real que sale por un orificio construido en la pared de un tanque. (0.5) 5. Una tubería con comportamiento hidráulicamente rugoso tiene 150 m de longitud, diámetro interno de 0.20 m y transporta un caudal de 50 l/s. Si el coeficiente de fricción f es de 0.02, la pérdida por fricción es_____________, el coeficiente de velocidad de Chezy es __________________ y la rugosidad absoluta es _________________ (0.6) 2. La presa para contener agua para riegos está diseñada para ser construida en concreto con peso específico de 23.5 kN/m 3 sobre una fundación permeable. Si el ancho de la base es de 9.0 m, determine la máxima altura del agua para que la presa no se voltee alrededor del punto B. Cuál será el borde libre? Indique todas las fuerzas en un esquema claro (1.5) h 4. El Venturímetro que se ilustra en la figura tiene un coeficiente de descarga de 0.9. Determine el caudal de agua que transporta en m 3 /s y en l/s. in = inche = pulgada = 2.54 cm (0.7) 6. Gliserina fluye por un canal de forma rectangular en concreto con ancho de solera de 15.0 m profundidad del fluido de 0.6 m y pendiente del 0.2 %. Usando el coeficiente de resistencia al flujo de Darcy-Weisbach determine el caudal transportado. Puede usar en este caso el coeficiente de resistencia dado por Manning? (0.7) UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 8.5 1. Encuentre la magnitud y el punto de aplicación de la fuerza sobre la compuerta circular de 1.6 m de diámetro localizada en la pared del tanque que se ilustra. (0.6) 2.0 m A d I d d c c c p + = 120º 3. Un canal rectangular en concreto con terminado ordinario y pendiente del 0.13% transporta un caudal de 0.3 m 3 /s de aceite Sae 30. La estructura tiene una base de 0.8 m. Calcule la profundidad del flujo y el coeficiente de resistencia al flujo de Chezy? (1.0) 4. Cuál es la altura de ascenso del chorro que sale por un tubo con velocidad igual a 2.5 m/s. (0.4) 5. La bomba instalada tal como se muestra en la figura, tiene una potencia dada por el fabricante de 2,870.0 vatios para un caudal de 1,892.7 l/min de un fluido con peso específico 8,796.0 N/m 3 . a) Determine la altura de ascenso de la bomba H E , la potencia generada y su eficiencia q. (1.0) (1) (2) 6.1 A mayor elevación, la presión es _____________________ 6.2 Los dos ejemplos de fluidos más comunes con régimen de flujo turbulento son: _________________________________ 6.3Los tres tipos básicos de energía hidráulica son: __________________________________________________________ 6.4 La ecuación de momentum tiene unidades de ____________________________________________________________ 6.5 Escriba la ecuación de flujo permanente y variado ____________________________________________________ 6.6 El flujo es homogéneo cuando la densidad del fluido es ______________________________________________ 6.7 El centro de presión es el punto en donde se concentran _________________________________________________ 6.8 Escriba tres características del flujo libre uniforme ______________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ Aceite Aluminio 2. La figura muestra un bloque de madera de 2 pies de espesor con gravedad específica de 0.6 que está sumergido en aceite con gravedad específica de 0.8. El bloque tiene pegada en la base una lámina de acero de 2 pies de espesor y peso específico de 169 lb/pie 3 . Determine la fuerza requerida en libras y en Newtons y su posición para mantener el bloque en la posición mostrada. Realice el esquema de cuerpo libre indicando la posición de todas las fuerzas. (1.0) ft = feet = pies UNIVERSIDAD DEL CAUCA MECÁNICA DE FLUIDOS CONFERENCIAS DE CLASE 8.6 1 1) ) E Es sc cr ri ib ba a e el l s si ig gn ni if fi ic ca ad do o d de e l la as s a al lt tu ur ra as s r re ep pr re es se en nt ta ad da as s c co on n i in nc có óg gn ni it ta a e en n e el l s si ig gu ui ie en nt te e e es sq qu ue em ma a d de e u un n s si is st te em ma a d de e b bo om mb be eo o c co on n c ca ar rg ga a d de e s su uc cc ci ió ón n p po os si it ti iv va a. . ( (0 0. .5 5) ) 3. Encuentre la magnitud y el punto de aplicación de la fuerza sobre la compuerta circular de 1.6 m de diámetro localizada en la pared del tanque que se ilustra. (0.6) 2.0 m A d I d d c c c p + = 120º 4. Cuál es la altura de ascenso del chorro que sale por un tubo con velocidad igual a 2.5 m/s? (0.4) Gage B A Water Oil Air 1.8 m 5.4 m ? ? ? ? ? 2. La compuerta AB tiene 1.2 m de largo y está articulada en A. La lectura manométrica en el depósito presurizado de la izquierda que contiene agua es de – 0.15 kgf/cm 2 . El depósito de la derecha contiene aceite con gravedad específica de 0.75. Cuál es el valor de la fuerza a aplicar en B para que la compuerta se mantenga en posición y en qué dirección debe actuar? (1.5)