UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA “VIBRACIONES” SEXTO SEMESTRE PARALELO: “B” INTEGRANTES: Saquinga Guachamboza Edisson Daniel Tema: Clasificación de las Vibraciones Fecha: Martes 5 de Abril del 2016 No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema. fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional. en: Sin amortiguamiento. Con amortiguamiento. VIBRACIONES LIBRES SIN AMORTIGUAMIENTO La ecuación diferencial del movimiento es mx”+kx=0. Identifican el campo de aplicación de los diversos tipos de vibraciones existentes III. TEMA: CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES OBJETIVOS: a) Objetivo general Obtener conocimientos básicos de los tipos de vibraciones y sus aplicaciones mediante una consulta teórica b) Objetivos específicos Aprender de acerca de los tipos de vibraciones que se pueden encontrar en diversas maquinas presentes en nuestro medio. Conocer de acuerdo a que parámetro están clasificados los tipos de vibraciones. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema. es decir. siendo sus raíces imaginarias conjugadas r=± m i . con sus respectivos ejemplos. su ecuación característica es mr 2 √ k +k=0. además de las fuerzas o momentos internos.I. II. Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o excitaciones directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo. MARCO TEORICO Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o acciones exteriores directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo. Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse. dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio. La solución general es de la forma x=a sin ( wn t+φ ) Ec 01 . 2 k 2 1 x + x =Cte= k a2 2 2 2 Ec 04 APLICACIÓN La aplicación se puede encontrar en el conocido movimiento armónico simple. un ejemplo más aproximado sería una persona saltando sobre una cama elástica. en el cual tenemos una masa y un resorte. un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar. con las condiciones iniciales. VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO En todos los movimientos oscilantes reales. cuyas raíces son: r= −c ± 2m √( c 2 k − 2m m ) Se presentan tres casos posibles Ec 05 . La ecuación diferencial que describe el movimiento es mx”+cx”+kx=0. Este movimiento se denomina amortiguado y se caracteriza porque tanto la amplitud como la energía mecánica disminuyen con el tiempo. la ecuación característica es mr2+cr+k=0. de forma que dejado libremente a sí mismo. la suma de la energía cinética y el potencial elástico es constante e igual a la energía total comunicada inicialmente al sistema. en cada caso particular. Sin embargo es una idealización porque es imposible que no existan elementos disipadores. es decir. se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fricción o rozamiento. El primero actúa como un almacenador de energía cinética y el segundo como almacenador de energía potencial que en efecto al no haber elementos disipativos es periódica y perpetua.Donde a (amplitud) y ϕ (fase inicial) son constantes que se pueden determinar. por lo que se verifica la ecuación: m . La frecuencia natural de la vibración y el periodo son w n= √ k m T =2 π Ec 02 √ k m Ec 03 En este tipo de vibraciones se cumple el principio de la conservación de la energía mecánica. cuanto mayor es el amortiguamiento. simplemente vuelve a la posición de equilibrio. amortiguada pero no armónica. es de la forma x=C 1 e r t +C 1 er t 1 1 Ec 07 donde C1 y C2 son las constantes de integración.Amortiguamiento subcritico . amortiguada pero no armónica.. el valor crítico es la menor cantidad de amortiguamiento para que el sistema no oscile. o próximo al crítico. El sistema no oscila. En muchas aplicaciones prácticas se utiliza un amortiguamiento crítico.Amortiguamiento critico: 2 c k = ≫ c=2 √ km=ccr 2 4m m Ec 08 La raíz de la ecuación característica es doble e igual a r= −c cr 2m Ec 09 La solución. para evitar vibraciones y conseguir que el sistema alcance el equilibrio rápidamente.amortiguamiento supercrítico: c2 k > ≫ c> 2 √ km 4 m2 m Ec 06 Las raíces r1 y r2 son reales y distintas.. c. Es decir. La solución de esta ecuación. más tiempo tarda el sistema en alcanzar la posición de equilibrio. es de la forma x=e −c cr t 2m (C 1+ C 2t ) Ec 10 El sistema vuelve a la posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación.a. El amortiguamiento crítico tiene una importancia especial porque separa los movimientos aperiódicos (no oscilatorios) de los oscilatorios amortiguados. b.. se tiene ' 2 ) ( )( ) 2 2 2 2 wn k c k c c c 2 w ' n= − = 1− =w 1− ≫ + =1 n 2 m 4 m2 m 4 km wn c cr c cr 2 ( ) ( Ec 16 Relación que permite la determinación del coeficiente de amortiguamiento para unas frecuencias dadas a priori o medidas experimentalmente. que se puede expresar en función del periodo T correspondiente a la vibración no amortiguada a través de la relación T'= 2π = w 'n T √ 1− c c cr 2 ( ) Ec 15 Elevando al cuadrado la expresión de la frecuencia de la vibración amortiguada.2 c k < ≫ c< 2 √ km 2 4m m Ec 11 Las raíces son imaginarias conjugadas e iguales a r= √ −c k c 2 −c ± − i= ± w ' ni 2m m 2m 2m ( ) Ec 12 Y la frecuencia de la vibración amortiguada es w n= √ k c − m 2m 2 ( ) Ec 13 La forma −c t x=ae 2 m sin ( w ' n t+ φ ) Ec 14 Esta solución es aproximadamente armónica. Denominando factor de amortiguación f= c c cr 2 2 obtiene de la ecuación de una elipse f +Ω =1 . y factor de frecuencias w 'n Ω= wn se . existe una cierta periodicidad en el movimiento con intervalos temporales medidos por el pseudoperiodo T '. es decir. 1 m . La ecuación diferencial del movimiento. de forma que la suma de la energía cinética.2 k 2 x + x + c ∫ x ' 2 dt=Cte 2 2 0 Ec 17 los dos primeros términos disminuyen con el tiempo y la energía disipada tiende a alcanzar el valor máximo.En las vibraciones amortiguadas. el potencial elástico y la energía disipada en forma de calor. la amplitud permanece constante con el tiempo. Si la energía se proporciona al mismo ritmo que se disipa. Si se introduce energía en el sistema a un ritmo mayor del que se disipa. teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico. la energía aumenta con el tiempo.” VIBRACIONES FORZADAS SIN AMORTIGUAMIENTO Para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema. APLICACION “La vibraciones amortiguadas se puede encontrar en los péndulos o en los resortes ya que con el paso del tiempo estos dejan de oscilar y a esto se le considera amortiguador. lo que se manifiesta por un aumento de la amplitud del movimiento. pero si el de la energía total. se mantiene constante. por ser un movimiento aperiódico no se cumple el principio de conservación de la energía mecánica. debido a la existencia de amortiguamiento. es decir. existe transformación de energía mecánica en calorífica. La ecuación característica es conjugadas r=± √ k i m y mr 2+ k=0 . cuando esto se lleva a cabo se dice que la vibración es forzada. las raíces de esta ecuación son imaginarias Ec 19 . es m x ' ' + kx=F=F0 cos wt Ec 18 donde F0 es la amplitud y ω la frecuencia de la fuerza excitadora. La solución general de la ecuación diferencial se obtiene añadiendo a la solución general de la homogénea una solución particular de la completa (cx= x h+ xp). uno de frecuencia natural ωn y otro de frecuencia de la fuerza exterior ω. la amplitud del segundo depende de la proximidad de ambas frecuencias a través de la expresión denominada factor de resonancia: p= 1 A = 2 x est w 1− 2 wn Ec 23 BATIMIENTO. en el caso particular en que ω n = ω + ∆ω . . Una característica muy significativa del movimiento oscilatorio tiene lugar cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias particulares. es decir. La amplitud del primero depende de las condiciones iniciales y se anula para unos valores particulares. ésta crece hasta un máximo y disminuye hasta que se anula.la solución general de la homogénea es x h=a sin ( wn t +φ ) Ex 20 La solución particular de la completa es x p= A cos wt Ec 21 Así. x= F0 wn Δw sin t sin wn t k Δw 2 Ec 24 Se trata de un movimiento armónico de frecuencia ω n y de amplitud también armónica. la solución general tiene por expresión: F0 k x=a cos ( wn t+ φ ) + cos wt w2 1− 2 wn Ec 22 En todo sistema no amortiguado y forzado armónicamente. repitiendo este ciclo de forma periódica. Fenómeno producido cuando la frecuencia natural del sistema ( ) ω n toma un valor muy próximo a la frecuencia de la fuerza exterior (ω) . Para perturbación inicial nula x0=x’0= 0 se obtiene. RESONANCIA. el movimiento resultante se compone de la suma de dos armónicos. la solución general se obtiene añadiendo a la solución de la ecuación diferencial de la homogénea una solución particular de la completa (x= x h+ xp). F = F0 = senwt. Este riesgo se produce incluso con fuerzas excitadoras muy pequeñas ya que depende de las características del material sometido a vibración.para cada sistema dado. Se supone amortiguamiento inferior al crítico para que resulte una vibración. etc. teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico. se produce la resonancia. cuando ∆ω → 0. la ecuación que rige dicho fenómeno es. x= F0 w t sin w n t 2k Ec 25 Expresión que corresponde a un movimiento armónico de frecuencia ω n y cuya amplitud tiende a infinito cuando t → ∞ . produciéndose cambios de configuración de los sistemas mecánicos que alcanzan amplitudes notables. en las bombas hidráulicas. Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es igual a la frecuencia natural del sistema (ω = ωn). Que están sometidos a una frecuencia de rotación de acuerdo a su diseño. APLICACIÓN Este tipo de vibraciones se puede encontrar por lo general en la maquinas rotatorias como por ejemplo en las turbinas. ocasionan un fallo estructural del material sometido a esfuerzos de rotura: efectos resonantes. resultando −c t x=ae 2 m sin ( w ' n t+ φ ) + A sin ( wt −Θ ) Ec 27 . y generalmente. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO La ecuación diferencial del movimiento. es de la forma m x ' ' + c x ' + kx=F Ec 26 La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial homogénea es mr 2+ cr +k =0 . es decir. en la que el primer término (Xh). Existe diversos parámetros en los cuales se puede realizar una clasificación.pdf . cada caso en particular. se reduce a un valor despreciable. http://ocw. CONCLUCIONES Al realizar la consulta teórica de los tipos de vibraciones se pudo identificar sus tipos y la diversidad de máquinas en las que se puede encontrar los diferentes tipos de vibraciones. una solución transitoria. IV. amplitud A constante y desfase Θ cuyas expresiones son: F0 cw tan Θ= 2 k −m w 2 Ec 28 A= m wn √[ 2 2 ( )] ( w 1− wn + 2 c w ccr w n 2 ) Ec 29 APLICACIÓN Este tipo de vibración podemos encontrar en el sistema masa resorte con amortiguación en la cuan se aplica una fuerza externa excitadora. en la que el sistema oscila con frecuencia w.pdf 3.tav. V. RECOMENDACIONES Otorgar más tiempo para realizar los trabajos ya que es complicado realizar los trabajos de un día al otro. sin embargo para este caso se ha considerado una clasificación de vibraciones causadas por un movimiento libre y por un movimiento forzado. al cabo de un tiempo generalmente breve.net/transductores/vibraciones-mecanicas. http://es. Al comprender los tipos de vibraciones se puede dar cuenta que su aplicación es amplia para cada tipo de vibración en diversos aparatos o maquinas que puedan generar movimiento.slideshare. Es importante considerar todos los parámetros para identificar correctamente el tipo de vibración presente en cada sistema a estudiar.esta solución consta de dos partes.net/dimasjimenezrivero/vibraciones-mecanicas 2. http://www. Plantear las ecuaciones de cálculo tomando él cuenta las consideraciones de VI. BIBLIOGRAFIA: 1.upm/VIBRACIONESMECANICAS. y la solución estacionaria (Xp).