Guías Modulares de EstudioCálculo integral Semana 1: La integral La Integral. • Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. • Dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función . , F(x) tal que • lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada: 1 Integración directa • En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. • Ejemplo: – – • Calcular la integral . En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto: Ejemplo: – – – Calcular la integral . Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del problema es . se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. donde las integrales no son triviales. .Integración por sustitución • El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos. Integración por descomposición • Este método se basa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales: – Primera propiedad de las integrales • La integral de una suma (respectivamente diferencia) de funciones. es igual a la suma (respectivamente diferencia) de las integrales de las funciones: • Esto es: • Demostración: . Integración por descomposición • Segunda propiedad de las integrales – La integral del producto de una constante por una función. – Demostración: . – Es decir. es igual al producto de la constante por la integral de la función. Ejercicios – Integración por descomposición . Ejercicios – Integración por descomposición . el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a. b] en el que. Dado el intervalo [a. b].La integral definida • • La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. para cada uno de sus puntos x. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a. b] se denota como: . se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir. [a. se puede «sacar» la constante de la integral). Cuando la función f (x) es mayor que cero. Dados tres puntos tales que a < b < c. es igual a cero. entonces se cumple que (integración a trozos): Para todo punto x del intervalo [a. su integral es positiva. Al permutar los límites de una integral.• • • • • • • • Propiedades de la integral definida La integral definida cumple las siguientes propiedades: Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto. si la función es menor que cero. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x). ésta cambia de signo. se verifica que: . su integral es negativa. a]. Semana 2: La integral . Ejercicios – Integral definida . para no inducir a confusión.Función Integral • Considerando una función f continua en [a. función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a. Esta función. recibe el nombre de función integral o. es posible definir una función matemática de la forma: • donde. b]. se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. simbolizada habitualmente por F (x). . F (x) nos da el área. b] y un valor x Î [a. b]. también. dada una función f (x). su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que: • A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a. denominado regla de Barrow: Se busca primero una función F (x) que verifique que F’ (x) = f (x).Teorema fundamental de cálculo integral • La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral. Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b). que establece que. El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por: • • • . b]. Primer teorema . Segundo teorema . Semana 3 y 4: Aplicación de la integral definida . . ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presentan en la integral definida.La integral definida • La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales. La integral definida . La integral definida . La integral definida . Cálculo de áreas . Cálculo de áreas . Cálculo de áreas . Ejemplo 1 . . Ejemplo 2 . Área comprendida entre dos curvas . Área comprendida entre dos curvas . Área comprendida entre dos curvas . Ejemplo 3 . Ejemplo 3 . Sólidos de revolución . Sólidos de revolución . Sólidos de revolución . Sólidos de revolución . Ejemplo . Ejemplo . cr/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesintegral/html/aplicaciones-integral.com/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3 %A1lculo_integral • http://www. Francisco Vega: Cálculo integral.wikia.pdf . • http://www.com/es/matematika/matematika_04700.hiru.html • http://matematica.itcr.Bibliografía • Ludwing Salazar. Hugo Bahena. 2007.cidse.ac. Publicaciones Cultural.