INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICADESCRIPTIVA MSc IH, Ps. Pablo Pérez Díaz ¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA? Se preocupa de describir las características de un grupo dado (muestra) No pretende analizar la relación entre las variables No pretende obtener análisis o conclusiones a partir de los datos Se fundamenta en el uso de las frecuencias, medidas de posición y dispersión Recurre también usualmente a las representaciones gráficas como una forma de representar las características de la población en estudio. ¿QUÉ ES UNA VARIABLE EN ESTADÍSTICA? Una variable describe una característica o atributo de la población de estudio Se pueden identificar varios tipos de variables Una forma de categorizarlas es en cuantitativas (escala o intervalo) y cualitativas (norminal u ordinal) Otra forma de conceptualizar lo mismo es decir que existen las variables continuas y las discretas en estadística. Por variable continua se entiende una variable que puede tomar cualquier valor entre dos puntos, mientras que la discreta está limitada. EJEMPLOS DE TIPOS DE VARIABLES Continua: La temperatura en grados Celsius Continua: Las calificaciones de un curso Continua: El peso de una persona (cuando pensamos en kilos y gramos al mismo tiempo) Discreta: Número de piernas que tiene la persona Discreta: Número de alumnos que tengo en la clase Discreta: Número de computadores en el laboratorio Uach Discreta: Sexo de los estudiantes del curso . REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LAS VARIABLES Un gráfico consta de dos ejes: Eje X: Eje de las abscisas (comúnmente conocida como la variable independiente) Eje Y: Eje de las ordenadas (comúnmente conocida como la variable dependiente) Tal que Y = F(X) Un eje de coordenadas cuenta con cuatro cuadrantes que ordenaremos desde izquierda a derecha partiendo por la zona superior. hasta llegar a la zona inferior derecha . (pie chart) De dispersión De áreas De caja De tallo y hoja (Stemplots) . pastel.TIPOS DE GRÁFICOS Histograma De barras De polígono de frecuencia De líneas (Temporales por ejemplo) De sectores. torta. Muestra: Representa una fracción de la población que queremos estudiar y que seleccionaremos. de la cual extraeremos una muestra intencionada (no necesariamente representativa) de los estudiantes de la escuela de Psicología que cursan primer año. .DIFERENCIA ENTRE POBLACIÓN Y MUESTRA Población: Representa a la totalidad de personas que queremos estudiar. ya sea de forma representativa o no de acuerdo a los objetivos y alcances de nuestra investigación Ejemplos de poblaciones: Estudiantes de la Universidad Austral de Chile. lo que también se conoce como frecuencia de clase.DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Permiten agrupar los datos en categorías. . Podemos distinguir básicamente tres tipos de frecuencia: 1) La absoluta: (la cantidad para cada clase) 2) La relativa: (% de la clase) 3) La acumulada: (la frecuencia total de todos los valores menores que el límite real). Es el patrón de variación que presentan las observaciones de una variable cuantitativa. Un aspecto importante para poder entender como se distribuyen las observaciones de una variable y poder por ende. Un Outlier es una observación que se aleja significativamente del resto de las observaciones. . CENTRO y AMPLITUD. anómalo).DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS . identificar a aquello que se aleja de lo esperable es el concepto de OUTLIER (Valor errático. .Se puede identificar el patrón general de la distribución a través de su: FORMA. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS . DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS . LA DISTRIBUCIÓN NORMAL . EJEMPLOS DE TIPOS DE GRÁFICOS Histograma: . EJEMPLOS DE TIPOS DE GRÁFICOS Polígono de frecuencias: . EJEMPLOS DE TIPOS DE GRÁFICOS Gráfico de barras: . EJEMPLOS DE TIPOS DE GRÁFICOS Gráfico de sectores (pie chart): . EJEMPLOS DE TIPOS DE GRÁFICOS Gráficos de dispersión: . EJEMPLOS DE TIPOS DE GRÁFICOS Gráficos de líneas: . EJEMPLOS DE TIPOS DE GRÁFICOS Gráfico de caja: . GRÁFICO DE TALLO Y HOJA 2 2 5 3 4 5 4 1 1 6 5 4 4 9 6 0 6 7 9 Número de home runs que anotó Babe Ruth en cada uno de los años desde 1920 a 1934 . EJEMPLOS DE TIPOS DE GRÁFICOS Gráfico de áreas: . Dividir el rango en número conveniente de intervalos de clase del mismo tamaño (número que usualmente oscila entre 5 y 15). Ejemplo: Rango de Home runs de Babe Ruth = 60-22: 38 3.Identificar el límite inferior y el límite superior del total de observaciones de la variable de estudio.CÓMO ELABORAR UNA TABLA DE FRECUENCIAS 1. Determinar el número de observaciones que corresponden para cada Intervalo de clase . 2. Sesgada (Skewed) a la izquierda (sesgo negativo): .OTROS TIPOS DE DISTRIBUCIÓN O CURVAS DE FRECUENCIA . OTROS TIPOS DE DISTRIBUCIÓN O CURVAS DE FRECUENCIA .Sesgada (Skewed) a la derecha (sesgo positivo): . donde K=0).Es un descriptor de la forma de una distribución. reflejando el grado de agrupación de las observaciones o de dispersión que éstas tengan.CURTOSIS (KURTOSIS) . donde K>0) 2) Platicúrtica (Agrupamiento bajo o achatado.Tenemos tres tipos de curtosis que se pueden presentar en una distribución: 1) Leptocúrtica (Agrupamiento alto o alargado. donde K<0) 3) Mesocúrtica (Agrupamiento medio. ni tan bajo ni tan alto. tomando como referencia la curva normal. que se corresponde a la curtosis que presenta la distribución normal por defecto. . . CURTOSIS (KURTOSIS) . OTROS TIPOS DE DISTRIBUCIÓN O CURVAS DE FRECUENCIA Bimodal: . OTROS TIPOS DE DISTRIBUCIÓN O CURVAS DE FRECUENCIA Multimodal: . podemos dividir a estas de acuerdo a : 1) Su representación: ABSOLUTA/RELATIVA 2) Su ligazón con la frecuencia de los otras observaciones: SIMPLE/ACUMULADA 3) Su complejidad en relación con el tamaño muestral: DATOS NO AGRUPADOS/DATOS AGRUPADOS (por intervalo de clase) .TABLAS DE FRECUENCIAS Si establecemos un análisis más detallado de los tipos de frecuencias. TABLAS DE FRECUENCIAS 1) Frecuencia absoluta simple : ni 2) Frecuencia absoluta acumulada: Ni 3) Frecuencia relativa simple: fi 4) Frecuencia relativa acumulada: Fi * Entenderemos de aquí en adelante que en términos formales por Xi estaremos considerando a una observación de la base de datos. . TABLAS DE FRECUENCIAS Frecuencia absoluta simple (ni): Número de veces que se repite un valor o intervalo de clase en nuestra muestra . .TABLAS DE FRECUENCIAS Frecuencia absoluta acumulada (Ni): Es la suma de las frecuencias absolutas ≤ al valor considerado. TABLAS DE FRECUENCIAS Frecuencia relativa simple (fi) : Resultado de la división entre la frecuencia absoluta del valor o intervalo de clase y el número total de observaciones de la muestra. Puede representarse porcentualmente. . .TABLAS DE FRECUENCIAS Frecuencia relativa acumulada (Fi): Es la división entre la frecuencia absoluta acumulada del valor o intervalo de clase y el número total de observaciones de la muestra. Puede representarse porcentualmente. 6 0.TABLAS DE FRECUENCIAS 1 1 1 2 2 3 4 5 5 5 Valor 1 2 3 4 5 Total ni 3 2 1 1 3 10 NI 3 5 6 7 10 1Lograr el objetivo Resguardar la 2 ética 3Sistematizar el proceso 4Ninguna de las anteriores Todas las 5 anteriores fi 0.3 0.7 1 Más del 60% de la muestra prefiere lograr el objetivo o bien intentar cumplir con todas las condiciones .5 0.3 0.1 0.3 1 Fi 0.2 0.1 0. 1429 0.71 0.1429 0.14 7.64 0.14 7.14 0.43 0.0714 1.0714 0.14 7.1429 0.TABLAS DE FRECUENCIAS Número de HomeRuns 22 25 34 35 41 46 47 49 54 59 60 Total ni 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 14 NI 1 2 3 4 6 8 9 10 12 13 14 fi 0.07 0.0714 0.93 1.21 0.0714 0.28 0.29 7.0714 0.86 0.29 14.29 7.0714 0.00 fi% 7.0714 0.14 7.14 99.99 Fi 0.57 0.14 7.14 14.14 14.0714 0.00 Fi% 7 14 21 28 43 57 64 71 86 93 100 . 10 0.27 0.09 0.TABLAS DE FRECUENCIAS Puntuaciones de estrés ni 10-11.9 14 8-9.00 Fi% 9 36 66 88 98 100 .98 1.9 34 2-3.88 0.9 3 Total 151 NI 14 55 99 133 148 151 fi 0.02 1.09 0.36 0.66 0.9 15 0-1.29 0.23 0.9 41 6-7.9 44 4-5.00 fi% 9 27 29 23 10 100 Fi 0. TABLAS DE FRECUENCIAS . 7 3.5 75.TABLAS DE FRECUENCIAS (EN SPSS) nota3 Válidos Frecuencia Porcentaje Porcentaje válido Porcentaje acumulado 2.0 5.6 4.30 12 11.00 1 . “Porcentaje” a frecuencia relativa simple y “Porcentaje acumulado” a frecuencia relativa acumulada.4 5.1 11.5 18.0 100.20 12 11.1 11.7 5.00 2 1. .5 43.9 3.0 Total 108 100.1 4. “Frecuencia” a ni.9 100.3 32.70 9 8.9 1.1 87.9 1.9 .9 .3 8.5 24.1 7.0 Tip: En SPSS.9 .50 20 18. “Válidos” representa a las observaciones.50 4 3.00 47 43.9 5.1 98.00 1 .9 3. TABLAS DE FRECUENCIAS (EN PSPP) Tip: Ídem que en SPSS. con la única diferencia que en vez de hablar de “Válidos”. PSPP plantea como “Valores” a las observaciones de la muestra. . De barras .De polígono de frecuencia .Histograma . torta. (pie chart) .De caja .ELABORACIÓN DE REPRESENTACIONES GRÁFICAS Recordemos: .De dispersión .De áreas . pastel.De sectores.De líneas (Temporales por ejemplo) .De tallo y hoja (Stemplots) . reflejar la diferencia de un valor o categoría por sobre otro (s). En caso de que un gráfico no sea comprensible. es probable que su construcción haya sido deficiente 3) Debe incluir siempre título y una descripción simple de las variables de estudio 4) Debe ser fiel al objetivo para el cual es diseñado. Ej: describir. 5) Debe adecuarse a las normas de gráficos establecidas por la APA . comparar.ELABORACIÓN DE REPRESENTACIONES GRÁFICAS Reglas generales: 1) Debe corresponder a las variables de estudio 2) Debe ser auto-explicativo. Excel interpretará el tipo de variables con las que estamos trabajando y nos recomendará opciones gráficos que sean adecuadas para estas variables. . luego ir a “gráficos” o “gráficos recomendados” dentro de esta misma etiqueta.EN EXCEL 1) Seleccionar los datos que van a utilizar y que corresponde a la base de datos y la frecuencia absoluta simple 2) Seleccionar la etiqueta “Insertar”. 3) En gráficos recomendados. EN EXCEL 4) En base a nuestros objetivos de investigación seleccionaremos aquel que nos permita representar más claramente las características de la muestra estudiada. Valores como variable discreta o continua. Porcentaje. 5) Iremos haciendo todos los cambios que consideramos que le brinden mayor claridad a nuestra representación gráfica (Ej: Título. Diseño) 6) En Excel contamos con diversas opciones gráficas que nos permitirán modificar nuestra representación a un nivel bastante avanzado. leyenda. Límite inferior y superior de la variable. . Color. seleccionaremos las variables de estudio y luego iremos seleccionaremos GRÁFICOS. FRECUENCIAS. Comenzar a construirlo desde la etiqueta ANALIZAR o bien desde la etiqueta GRÁFICOS 1) En ANALIZAR. ofreciéndonos la posibilidad de que los valores del gráficos estén expresados como Frecuencias o como Porcentajes. dese este menú SPSS nos ofrece la posibilidad de elaborar gráficos de BARRA.EN SPSS Tenemos tres opciones desde SPSS. . luego iremos a ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS. DE SECTORES E HISTOGRAMA. deberá definir las etiquetas de valor correspondientes a cada categoría. tenemos dos opciones nuevamente.EN SPSS 2) En GRÁFICOS. Pulse Aceptar para definir el gráfico. nos aparece la primera advertencia antes de generar los gráficos: Antes de utilizar este cuadro de diálogo. Pulse Definir propiedades de variables para establecer el nivel de medida o definir las etiquetas de valor de las variables del gráfico. . si el gráfico contiene variables categóricas. Si seguimos la primera opción. Además. debe establecer correctamente el nivel de medida de cada una de las variables del gráfico. La primera es “Generador de gráficos” y la segunda es “cuadro de diálogos antiguo”. EN SPSS 3) En ANALIZAR. EXPLORAR. DE TALLO Y HOJAS E HISTOGRAMAS. Cabe destacar que en la etiqueta Estadísticos. podemos seleccionar el intervalo de confianza que vamos a utilizar en nuestra investigación. seleccionaremos las variables de criterio (dependientes). . la (s) independientes en factores y luego iremos seleccionaremos GRÁFICOS. dese este menú SPSS nos ofrece la posibilidad de elaborar gráficos de CAJA. además de poder obtener estimadores robustos centrales. luego iremos a ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS. pudiendo ejecutar los gráficos con pruebas de normalidad (Kolmogorov-Smirnov o Shapiro-Wilks) y/o pruebas de homogeneidad de las varianzas (homocedasticidad). valores atípicos y percentiles. Se recomienda obtener en la visualización tanto Estadísticos como gráficos (ambos). La tercera opción representa una primera aproximación hacia la estadística inferencial ya que por primera vez se definen las variables como dependientes o independientes. está dada principalmente porque en la segunda tenemos que escoger a priori el tipo de gráfico que utilizaremos.EN SPSS La diferencia entre ambas opciones. . de dispersión. mientras que en la primera seleccionamos las variables y luego el tipo de gráficos que queremos utilizar. etc. histogramas. de caja. habiendo variantes de los distintos tipos de gráficos de barras. EN PSPP Acá tenemos solo dos opciones: 1) Al igual que en SPSS, vamos a ANALIZAR, luego iremos a ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, FRECUENCIAS, seleccionamos las variables de estudio y luego iremos a GRÁFICAS. Desde este menú, también tendremos tres opciones gráficas: BARRAS, DE SECTORES E HISTOGRAMA, ofreciéndonos la posibilidad de que los valores del gráficos estén expresados como Frecuencias o como Porcentajes, además de poder seleccionar los valores mínimos, máximos y de poder tomar una decisión en relación a los valores perdidos. EN PSPP 2) La segunda opción en PSPP tiene que ver con la posibilidad de elaboración de sintaxis gráficas. Esto implica que elaboraremos un comando a través del cual nuestro gráfico se creará. Para esto debemos seguir los siguientes pasos: ARCHIVO, NUEVO, SINTAXIS, introducimos la sintaxis y luego seleccionamos EJECUTAR. Esta opción también está presente en SPSS y recibe el mismo nombre: SINTAXIS. EXAMINE /VARIABLES= (Colocar el nombre de la variable) /PLOT = (Colocar el tipo de gráfico deseado con mayúsculas de acuerdo a su nombre en inglés) MEDIDAS DESCRIPTIVAS - MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O CENTRALIZACIÓN - MEDIDAS DE POSICIÓN O CUANTILES - MEDIDAS DE DISPERSIÓN - MEDIDAS DE FORMA - MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN GEOMÉTRICA.MODA . CUADRÁTICA) . ARMÓNICA.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .PROMEDIO O MEDIA (ARITMÉTICA.MEDIANA . Marca de clase: promedio entre el límite superior y el límite inferior del intervalo de clase. .MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA Se obtiene mediante: Datos no agrupados Datos agrupados Donde Xm será la marca de clase del intervalo de clase y ni la frecuencia absoluta simple de este. Puede carecer de utilizar para variables categóricas/cualitativas .Suele verse fácilmente influida o sesgada en su interpretación por los valores extremos .Es de fácil comprensión Desventajas: .MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA Ventajas: .Es la medida de tendencia central más utilizada . Consumo promedio: un pan por persona”. Usted se come dos.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Nicanor Parra (2013): “Hay dos panes. . Yo ninguno. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PROMEDIO O MEDIA ARMÓNICA Marca de clase: promedio aritmético entre el límite superior y el límite inferior del intervalo de clase. . Recordemos que la ∑ (sumatoria) de ni es igual a N. Se obtiene mediante: Datos no agrupados Datos agrupados Donde “y” será la marca de clase de cada intervalo de clase y ni (fi) la frecuencia absoluta simple de este. Es más sensible que la media aritmética a la presencia de valores muy pequeños en comparación con el resto de las observaciones.Presenta menor grado de sesgo o influencia por valores muy altos de la escala .MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PROMEDIO O MEDIA ARMÓNICA Ventaja: . .Puede arrojar mayor grado de representatividad que la media aritmética Desventaja: . Recordemos que la ∑ de ni es igual a N.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PROMEDIO O MEDIA GEOMÉTRICA Marca de clase: promedio aritmético entre el límite superior y el límite inferior del intervalo de clase. Se obtiene mediante: Datos no agrupados Datos agrupados Donde “y” será la marca de clase de cada intervalo de clase y ni (fi) la frecuencia absoluta simple de este. . Presenta menor grado de sesgo o influencia a los valores extremos que la media aritmética .Es de difícil cálculo y comprensión . permite evaluar mejor la temporalidad. Desventajas: . debido a que por su estructura.Es útil en Economía. mayores a 0 para ser ejecutada .MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PROMEDIO O MEDIA GEOMÉTRICA Ventajas: .Necesita valores positivos. Esto queda expresado de la siguiente forma: H ≤ Hg ≤ X .MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL REGLA ENTRE LAS MEDIAS O PROMEDIOS: Siempre la media aritmética será mayor o igual que la media armónica y esta a su vez será mayor o igual que la geométrica. ai: Amplitud del intervalo de la mediana Datos agrupados Primero debemos saber el resultado de la fórmula (N/2) para luego ubicar este valor en la tabla de frecuencias absolutas (Ni) en el intervalo que se aproxime a su valor superior (En resumen: Ni > N/2) .MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIANA Datos no agrupados Li-1: Límite inferior del Intervalo donde se encuentra la mediana Ni-1: Ni (Frecuencia absoluta acumulada) del intervalo de clase anterior al de la mediana. pudiendo haber 1 o más modas (recuerden que puede ser unimodal. Fi+1 corresponde al valor de la ni que toma el intervalo que sigue . bimodal o multimodal) 2) Para datos agrupados se calcula de la siguiente forma: Donde “fi” será la frecuencia absoluta simple (ni) del intervalo. Recordemos que ai es la amplitud de este.MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MODA Se obtiene mediante: 1) El valor más frecuente de las observaciones cuando son datos no agrupados. CUARTIL (Q) .DECIL (D) . Reciben como nomenclatura la letra q para identificarlos.QUINTIL (K) .PERCENTIL (P) .MEDIDAS DE POSICIÓN (CUANTILES) Cuantiles: Son valores que toma la variable y que permiten dividirla con el fin de ordenarla de menor a mayor en relación a las frecuencias de la distribución. Hay 4 tipos de cuantiles: . D3. Q2(50% = p50 = Me). Q3(75%). No se recomienda para distribuciones con observaciones pequeñas (inferiores a 100). P1 a P99 . abarcando un 10% de la distribución cada uno de ellos.CUARTIL (Q): Dividen a la distribución en cuatro grupos iguales. . K4(≥60%) y K5(≥ 80). D6… D10. D5 (50% = p50 = Me).PERCENTIL (P): Dividen a la distribución en 100 partes iguales. K3(≥40%). Q1(25%). D2. K1(<20%).DECIL (D): Dividen a la distribución en grupos iguales. K2(≥20%). .MEDIDAS DE POSICIÓN (CUANTILES) .QUINTIL (K): Dividen a la distribución en cinco grupos iguales. cada uno de ellos abarcando un 20% de ella. cada uno abarcando un 25% de ella. . D1. D4. 25 (1/4*N) Q2: N*0.01 P5: N*0.2(2/10N) D4:N*0.MEDIDAS DE POSICIÓN (CUANTILES) Cálculo de cuartiles: Q1: N*0.1(1/10N) D2: N*0. D1: N*0. P1: N*0.50 (1/2*N) Q3: N*0.75 (3/4*N) Cálculo de Deciles: Depende del decil.45 P83: N*0.5(5/10N) … D3:N*0.4(4/10N) D5:N*0.3 (3/10N) Cálculo de percentiles: Depende del percentil.98 .05 P45: N*0.83 P98: N*0. 25: 3.55: 7. Luego el valor de NI que contiene a 1. D2 y P55 Número de HomeRuns 22 25 34 35 41 46 47 49 54 59 60 ni 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 NI 1 2 3 4 6 8 9 10 12 13 14 Q1:14*0.5. quintil o percentil que busquemos.10: 1.7. Luego el valor de NI que contiene a 7. P55:14*0. decil. Acá está el percentil 55. Ejemplo: Búsqueda de Q1. D2:14*0.MEDIDAS DE POSICIÓN (CUANTILES) En todos los casos lo que tenemos que buscar es el Ni ≥ que el cálculo del cuartil.4 es 2 que equivale al valor 25 homeruns de la variable criterio. .7 es 8 que equivale al valor 46 homeruns de la variable criterio. Luego el valor de NI que contiene a 3. Acá está el primer cuartil.4.5 es 4 que equivale al valor 35 homeruns de la variable criterio. Acá está el decil 2. entonces lo que haremos es obtener el promedio entre el valor que toma la variable para esa Ni y el valor que toma para Ni+1. decil. el valor (xi) que toma la siguiente frecuencia. Esto lo haremos de igual forma que lo hacemos cuando encontramos el mismo valor repetido al centro de nuestra distribución en la mediana para datos no agrupados. Recordemos: . percentil o quintil coincida con el valor que toma la Ni.MEDIDAS DE POSICIÓN (CUANTILES) En caso de que el valor que obtengamos de nuestro cálculo de cuartil. es decir. Puntuaciones de estrés ni 10-11. con la diferencia que cambiaremos el N/2 por la fórmula del cuantil que deseemos calcular.MEDIDAS DE POSICIÓN (CUANTILES) En bases de datos agrupados. haremos algo parecido que lo que hicimos con la mediana para datos agrupados.9 15 0-1.9 34 2-3.9 44 4-5.9 14 8-9.9 41 6-7.9 3 Total 151 NI 14 55 99 133 148 151 . TIPIFICACIÓN DE VARIABLES (DISTRIBUCIÓN Z) ./ɣ) DE PEARSON .RANGO SEMI-INTERCUARTÍLICO .COEFICIENTE DE VARIACIÓN (C.DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO A LA MEDIANA .AMPLITUD/RANGO/RECORRIDO (ES LO MISMO) .DESVIACIÓN ABSOLUTA RESPECTO AL PROMEDIO .DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA .V.MEDIDAS DE DISPERSIÓN .VARIANZA . MEDIDAS DE FORMA .ASIMETRÍA (TRES MÉTODOS): COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON (AP) COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER (ɣ1) COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE BOWLEY (AB) .CURTOSIS (K): COEFICIENTE DE APUNTAMIENTO DE FISHER (ɣ2) . MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN .
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