Simulación Matemática, M.Sc Carlos Suárez Políticas del Curso Examen Lecciones Deberes Talleres Caso 50 20 10 10 10 Texto Guía Simulación y Análisis de Modelos Estocásticos, Azarang, García Duna, Mc Graw Hill Métodos de Generación de Números Aleatorios Generación de Números “Aleatorios” Uniformes Números Aleatorios Uniformes La utilidad de generar números aleatorios uniformes [0,1] radica en el hecho que nos permite generar números aleatorios que pertenecen a otro tipo de distribución de probabilidad. Resultado proviene de : Teorema: Si X es una variable aleatoria con una función de distribución F(x), entonces la variable aleatoria U= F(X) tiene una distribución Uniforme [0,1] Métodos 1. Congruencial Multiplicativo 2. Congruencial Mixto Congruencial Multiplicativo xn a * xn 1 x0 : módulo m semilla a, m enteros positivos Número " aleatorio": xn / m m: Número primo grande Congruencial Mixto xn (a * xn 1 c) módulo m x0 : semilla a, m, c enteros positivos Número " aleatorio": xn / m m: Número primo grande Generación en Lenguajes de Programación La mayoría de lenguajes incorporan rutinas para general números aleatorios entre 0 y 1 Para Basic. RANDOMIZE U=RND m: Número primo grande Métodos de Generación para Variables No Uniformes 1. 2. 3. 4. Transformada Inversa Método de Convolución Aceptación y Rechazo Método Directo Método de la Transformada Inversa Ventaja: Sencillez Desventaja: Cuando determinar la función inversa es muy difícil. Método de la Transformada Inversa – Distribuciones Discretas j 0,1,2.... p j P( X x j ) p j j u : Número x0 x 1 X : xj si si si AleatorioU (0,1) u p0 p0 u p0 p1 j 1 p i 1 i j i 1 u pi Ejemplo Considere el puesto de venta de un artículo, cuyo precio de venta este $8 y el costo de producción es de $4. La demanda por hora está dada por: Dem 1 2 3 4 5 6 7 8 Prob 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 Simule este problema durante 50 horas y obtenga la tabla de frecuencias de utilidad por hora. Estructura General de un Simulador de Eventos Discretos Reloj de la simulación. Incremento del tiempo de simulación(rutina o parte del programa principal. Generación de eventos. Generación de variables aleatorias Programa Principal Generador de reportes Distribución Exponencial Nos da un modelo adecuado para la distribución de tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson. Variable Aleatoria: Tiempo que tarda hasta producirse el hecho de interés. Se usa en teoría de confiabilidad de equipos f ( x) e x 0 x0 x0 Distribución Exponencial F ( x) P( X x) 1 e 1 x ln(1 u ) u U (0,1) 1 Media x0 0 x x0 Ejemplo La llegada de vehículos a las instalaciones de Nestlé para realizar el proceso de cuadre diario de sus ventas sigue una tasa de llegada de Poisson de 8 vehículos por hora. El horario de liquidación es de 14:00 a 19:00. Simular la operación para este lapso de tiempo. Ejemplo Una compañía produce automóviles deportivos a razón de 10 unidades por año. Cada automóvil está garantizado por un período de m años. El costo de producir un automóvil con una vida promedio de m años es de: C_m=5+4m+0.2m^2. El tiempo que transcurre para que un automóvil falle sigue una distribución de probabilidad exponencial con media de m años. Cada Falla que ocurra durante el periodo de garantía le cuesta a la compañía $6.67. Simule con m=4 y m=6 y determine cuál de las dos políticas es mejor. Ejemplo La manufactura de un equipo electrónico consta de 3 operaciones básicas, el tiempo para la primera operación es de 15 minutos exactamente, la duración de la segunda operación tiene una distribución exponencial con media de 12 minutos, finalmente el tiempo de la tercera etapa se distribuye uniformemente entre 15 y 22 minutos. Simule el proceso durante 50 ocasiones y determine el valor esperado y la varianza del tiempo de producción por pieza Ejemplo Llegan piezas a un taladro cada 3 minutos con una distribución exponencial. El tiempo de proceso es constante y depende de la dureza de las piezas de acuerdo con la ecuación tiempo = dureza/100. El 30% de las piezas tiene una dureza de 150, el 40% tiene una dureza de 180 y el resto de 215. El taladro tiene fallas cada 15 horas con distribución exponencial. Simule el sistema durante un mes y determine la utilización del taladro y el tiempo en el sistema incluyendo la espera y el proceso. Taller1: Centro de Salud El centro de salud administra una vacuna contra la polio. Los padres y niños se organizan en una sola fila para recibir atención y el servicios se presta una vez por semana. En ese día las llegadas siguen una distribución de Poisson con media 30niños/hora. El director sabe que la mayoría de los padres tienen que ausentarse de su trabajo para llevar a los niños a vacunarse por lo que se desea limitar el tiempo de permanencia en el centro a no más de 10 minutos. Si una sola enfermera es capaz de vacunar a una tasa Poisson de 20 niños/hora, Cuántas enfermeras se necesitarían? Taller 2: Atención Clientes Llegan dos tipos de clientes a un almacén. Los que desean el servicio 1 y los que desean el servicio 2. La tasa de llegada de los clientes tipo 1 sigue una distribución uniforme (10,15) min/cliente. La tasa del tipo II sigue una distribución constante de 15min/cliente. Solamente hay un empleado atendiendo. El tiempo en atender a los tipo 1 es una exponencial de 25min/cliente, mientras que el tiempo de servicio del segundo es una uniforme de 30 a 40 min. Simule y obtenga el tiempo promedio de espera de cada tipo de cliente Taller 3: Producción Una planta produce 50 productos al día aun costo de $1000/und y los vende en un centro comercial aun precio de venta de $3000 cada uno. Los productos que no se venden se deben tirar al final del día. Sin embargo aun no se dispone del permiso municipal para tratar a los desechos de esta forma. Por lo que si es descubierto se impondrá una multa de $30.000 Taller3: Producción Demand 10 a 20 25 30 50 70 100 Prob 0.2 0.4 0.1 0.1 0.005 0.005 0.1 La probabilidad de que la policía descubra a la empresa arrojando los desechos sin ningún tratamiento es del 25%. Haciendo 3 réplicas de una semana cada una calcule: a) Número promedio de productos no surtidos. b) Número promedio de productos a eliminar. c) Utilidad promedio por día d) Si el tratamiento de los desechos cuesta $20000 por semana, conviene contratarlo? Ejercicio Una tienda vende dos tipos de camisas: VCD y MCHSTS. El tiempo entre llegadas es de 4min/cliente con distribución exponencial. Es un local con un solo empleado. El 25% de los clientes que entra no compra y utilizan al empleado durante 1.5 minutos. El 50% compran una camisa VCD y la tienda tiene una utilidad de $22.5, el restante compra la otra camisa y tienen una utilidad de $70, el tiempo que se requiere para cerrar la venta sigue una distribución exponencial con media de 7 minutos. La tienda abre 4 horas al día y como política tiene que el empleado siga atendiendo a todos los clientes que se encuentren dentro del local. Ejercicio Simule las actividades durante 100 días y obtenga: a) La hora promedio en que el empleado se va a su casa. b) El valor estimado de las utilidades diarias. c) Tiempo promedio que un cliente tiene que esperar antes de ser atendido Ejercicio Un almacén tiene una capacidad de 1000 metros cúbicos. Esos cartones vienen en 3 tamaños. Pequeño(1 metro cúbico), mediano(2 metros cúbicos), y largo(3 metros cúbicos). Los cartones arriban con la siguiente tasa: pequeños cada 10+-10 minutos, medianos cada 15 minutos exactamente y largos cada 8+-8 minutos. Cuánto tiempo en promedio tomará llenar el almacén. Ejecute 10 réplicas. %Utilización Abel, Bruno y Carlos representan tres mecánicos que realizan un mismo servicio en un tecnicentro. Los autos llegan cada 5+-5 minutos, el tiempo de servicio de cada uno es de 10+-6 minutos. Los clientes serán atendidos por el primero que se desocupe. Simular para 200 vehículos y cuál sería el % estimado de ocupación de cada empleado. Sistemas de Colas. 1. 2. 3. 4. En resumen, cuando se cumplen los supuestos teóricos: La fuente del sistema es infinita. El sistema está en un estado estable. Los clientes que llegan se unen a la cola. Clientes que llegan a la cola permanecen en la misma hasta que sean servidos. Cuando no se cumplen los diferentes supuestos, o se tienen otras características adicionales es preferible utilizar la simulación, en lugar de plantear un modelo matemático que contemple todas las características de la situación a abstraer. Generación Números aleatorios Distribución Normal Para generar números aleatorios normales usamos método de convolución (Suma números aleatorios con otra distribución) Ni 12 r 6 i 1 i Distribución Normal Órdenes son recibidas para 4 tipos de partes. El tiempo entre arribos de las órdenes está exponencialmente distribuida con una media de 10 minutos. La tabla que se muestra a continuación muestra la proporción de las partes por tipo y el tiempo de servicio requerido para cada orden. Tipo %Tipo Tiempo Servicio A 40 N(6,3) B 30 N(9,3) C 20 N(12,4) D 10 N(15,5) Distribución Normal Órdenes tipo A y B son empacadas y enviadas inmediatamente, las C y D deben pasar por una inspección de 10+-5 minutos previo a ser despachadas. Qué proporción de órdenes toma menos de 15 minutos?, y la proporción de menos de 25 minutos es? Simular primero para 8 horas, y luego para 40 horas, alguna diferencia en las proporciones? Sistemas de Inventario. Similar al caso anterior, en caso de tener los supuestos teóricos podemos recurrir a los modelos matemáticos clásicos de Investigación de Operaciones.(Demanda constante o conocida, tiempos de respuesta de proveedores determinísticos etc). Caso contrario, un algoritmo que nos permita recrear todas las alternativas(considerando su aleatoriedad), nos permitirá tomar decisiones de manera oportuna. Sistemas de Inventario. Tenemos la estructura básica de un algoritmo para determinar el sistema de inventario. F(c): Distribución de probabilidad de llegada de clientes al sistema. s: Punto de Reorden. S: Inventario deseado luego de realizar una orden. x: Nivel actual de inventario. Si el nivel de inventario es x, y no hay una orden de pedido pendiente ordenamos S-x. c(y): Costo de ordenar una solicitud. H: costo de mantenimiento de un artículo. Sistemas de Inventario. T: Variable de tiempo. x: Cantidad de inventario actual en el sistema. y: Cantidad pedida Acumuladores C: Total de costos de los pedidos hasta t H: Costos de manejo de inventario hasta t R: Cantidad de ingresos obtenidos hasta t Los eventos serán la llegada de un cliente o pedido y los tiempos asociados. t0: Tiempo de llegada del siguiente cliente. t1: Tiempo de entrega de un pedido, si no hay un pedido pendiente entonces t1= Infinito Sistemas de Inventario. De forma similar a cómo manejamos el tiempo en los sistemas de colas, la actualización de los tiempos se realiza considerando el mínimo de los tiempos de eventos por ocurrir o si se tiene una lógica secuencial diaria por ejemplo, hay que considerar en qué día se realiza algún evento de interés. Caso Inventario Asumiendo que tenemos: Demanda y tiempo de entrega probabilístico Costos de operación conocidos. Inventario inicial. 260 días laborables al año. Determinar nivel óptimo de reorden y cantidad óptima a ordenar Caso Inventario, Variante Asumiendo que tenemos los mismos supuestos del caso anterior. Pero en este caso los clientes nos pueden esperar, y ese tiempo de espera tiene su respectiva penalización y un tiempo aleatorio. Simulación de Montecarlo Técnica que nos permite obtener estimar el comportamiento de una función de variables aleatorias. Dicha función puede representar: Proyectos de Inversión. Duración de Proyectos.(Cuando aplicar un método determinístico no es factible). Cualquier decisión basada en una función de variables aleatorias. Simulación de Montecarlo Pasos 1. Definir la función de interés en base a la cual deseamos tomar decisiones. 2. Identificar las variables aleatorias presentes en la función. 3. Mediante muestreo determinar alguna función de probabilidad para cada variable. 4. En cada iteración reemplazar los valores generados en la función, y obtener un valor “al azar de la misma”. 5. Analizar el comportamiento “aleatorio” de la función Ejemplo Introducción de Producto al Mercado Costo de Mano de Obra por Unidad Costo Probabilidad 10000 0.1 13000 0.3 16000 0.3 19000 0.2 22000 0.1 Costo de componentes por unidad: Uniforme(25000,35000) Demanda N(10000,400) Ejemplo Precio de venta: 70000 Costos fijos:240000 Es conveniente introducir el producto al mercado? Qué sucede si los esfuerzos del departamento de mercadeo afirman que cada 90 días, el promedio de venta de los artículos subirá en 350 unidades? Cuánto debería esperar la empresa en promedio para no perder dinero? Duración de Un Proyecto Duración de Un Proyecto Promodel Software de Simulación de Eventos Discretos. Nos permite simplificar la lógica de programación necesaria para contruir un simulador por medio de lenguajes de uso general. Básicamente enfocado a: ◦ Servicios dentro de una instalación. ◦ Procesos Productivos Promodel-Elementos Básicos Localizaciones, etapas del proceso productivo o de servicio.( Inspección de calidad, tornos, hornos, embalaje etc) Entidades, elementos que son procesados en las localizaciones.(Materia Prima, producto terminado etc.) Recursos, elementos empleados para manipular o procesar las entidades. (Montacargas, operarios etc.) Promodel-Elementos Básicos Arrivos, aquí manejamos la lógica de las llegadas(tiempo entre llegadas, el lugar al que llegan dentro del proceso a modelar etc.) Procesamiento, mediante esta opción podemos manejar la secuencia de nuestros procesos, y cómo las entidades fluyen a través del sistema. Reportes, principales indicadores, como el tiempo del sistema, utilización, entidades atendidas se presentan de forma automática. Promodel-Ejemplo Una máquina cuenta con un sistema automatizado de carga y descarga de piezas. A la máquina llegan piezas con diferentes características cada 5 minutos, con distribución exponencial. La prensa tarda 4 minutos, también con distribución exponencial, en terminar su trabajo. Asumiendo que no tenemos limitantes de capacidad simular el sistema durante 100 días. Promodel-Sistema con más de un proceso A un sistema arriban 2 tipos de piezas. La primera es un engrane que llega a una estación de rectificado donde se procesa por 3+-1 minutos, la distribución asociada a las llegadas del engrane a la fila de la rectificadora es una distribución normal con tiempo promedio de 13 minutos y desviación estándar de 2 minutos. La segunda pieza es una placa de metal que llega a una prensa con una distribución de probabilidad exponencial de 12 minutos. La prensa procesa la placa cada 3 minutos con distribución exponencial. Al terminar sus procesos iniciales Promodel-Sistema con más de un proceso Los elementos pasan a una estación de limpieza, que permite lavar 2 piezas a la vez de manera independiente, este proceso es constante y tarda 10 minutos. Finalmente las piezas son empacadas en una estación que cuenta con dos operadores, cada uno de los cuales empaca un engrane en 5+-1 minuto y una placa en 7+-2 minutos. Se sabe que los tiempos de transporte entre las estaciones es de 3 minutos con distribución exponencial. Promodel-Sistema con más de un proceso Se dispone de un espacio para 30 piezas antes de la prensa y 30 antes de la rectificadora. Asuma que cada día de trabajo es de 8 horas. Simule el sistema por 40 días. En primer lugar realice un esquema del sistema. Promodel-Ejercicio Clase A un operario de limpieza le entregan cada hora 60 piezas simultáneamente. El tiempo de limpieza es de 50 segundos/pieza. Simule el proceso anterior durante 500 horas para determinar: a) Utilización del operario. b) Tiempo promedio de permanencia de las piezas en el sistema c) Tiempo de permanencia antes de ser limpiadas. Recursos Elementos del modelo empleados para procesar entidades. Tienen una disponibilidad limitada, son de dos tipos: Estáticos, No se desplazan dentro del sistema, principalmente utilizados para ayudar en la realización de una tarea dentro de una localización. También pueden utilizarse para mover entidades entre localizaciones, tomando en cuenta que ese desplazamiento no es relevante en el modelo. Recursos Dinámicos, Se desplazan a través de una ruta en el sistema (Path Network). Ejm: montacargas o grúas para transportar elementos entre estaciones o localizaciones. Instrucciones para manejo de recursos Get, permite capturar un recurso, opcionalmente especificando prioridades. Free. Libera un recurso previamente capturado con GET. Ejm. Supongamos que tenemos una planta con dos procesos en serie, A y B, el tiempo del proceso A es de 3 min/pieza, y el de fresado es de 2.7 minutos pieza. Para trabajar en los procesos se ha contratado una persona. Recursos Las piezas a ser procesadas, esperan antes de cada proceso en almacenes 1 y 2 respectivamente. La tasa de entrada es de 10 piezas por hora. Simular durante 16 horas. Obs: el recurso fue definido como estático, en caso de requerir uno dinámico, debemos especificar en la columna Specs. Paradas en los equipos Representan: fallas, mantenimientos programados etc. La localización puede quedar fuera de servicio por : Tiempo de simulación(clock). Tiempo de uso(usage) Número de entidades procesadas(entity) Cambio de entidad a procesar (Set up) Un recurso queda fuera de servicio por el tiempo de uso, o el reloj de la simulación. Edición de parámetros de Paradas Frecuencia, tiempo entre paradas. First Time, tiempo en el cual ocurre el primer paro, sino se coloca tomara por defecto especificado en la frecuencia. Prioridad, prioridad relativa que tendrá la detención de la localización, Si el paro ocurre una vez la entidad abandona la localización colocamos 99, caso contrario, es decir se permite interrumpir el proceso de la entidad 999. Edición de parámetros de Paradas Scheduled, si el paro es programado o no. Los programados permiten deducir estos tiempos para el cálculo de las estadísticas. List, en caso de haber varias unidades del mismo recurso, permite especificar cual es la afectada. Node, para el caso de recursos dinámicos, permite especificar el nodo dentro la ruta donde se detendrá el recurso hasta reanudar la operación. Edición de parámetros de Paradas Logic, configurar eventos que ocurren durante el paro. List, en caso de haber varias unidades del mismo recurso, permite especificar cual es la afectada. Disable, desactivar el paro, no es necesario eliminarlo. Ejemplo paradas Para el caso anterior supongamos que la máquina del proceso A, tiene un tiempo entre fallas exponencial de 400 minutos, y para su reparación se necesita un especialista. El tiempo de reparación es de 10+-3 minutos con distribución uniforme. El trabajador u operario de las máquinas trabaja 5 minutos(distribución exponencial), cada 120 minutos de trabajo. Simular durante 24 horas. Reglas de Ruteo Processing-Rule Condiciones a cumplir para que una entidad sea transmitida o enviada a otra localización. First Available, Selecciona la primera localización que tenga capacidad disponible. By Turn, Rota la selección entre las localizaciones disponibles. If Join Request.- Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso de unión(necesita instrucción JOIN) Reglas de Ruteo Un proceso de Manufactura consta de dos equipos de proceso en paralelo, y un almacén donde las piezas esperan a ser procesadas. Tiempos de proceso son 12 y 15 minutos respectivamente. La tasa de entrada es de 6 piezas por hora, con distribución Poisson. Ahora si deseamos que el 40% de las entidades sean procesadas por la máquina 2 Agrupamiento de Entidades Acum(cantidad).- retrasa el proceso, hasta que una cantidad del mismo tipo de entidades se haya acumulado. Luego de lo cual todas continuarán SEPARADAMENTE. Si la definimos con parámetro ALL, entidades de diferente tipo se acumularán. Las entidades no se consolidan.(Ejemplo) Agrupamiento de Entidades Group (Cantidad) as NombreEntidad.Agrupa de manera temporal entidades|de un mismo tipo. Si se usa la palabra ALL puede agrupar entidades de diferente tipo. Se las separa cuando sea conveniente mediante UNGROUP. Ejemplo Dos localizaciones, almacén de llegada donde se agrupan 5 piezas en un lote. Luego se separan y tal actividad dura 10MINUTOS Agrupamiento de Entidades Combine (Cantidad) as NombreEntidad.Unión definitiva de entidades del mismo tipo. Ya no se podrán separar Join.- Ensambla entidades de cierto tipo a la entidad actual. Las entidades a ensamblar provienen de otra localización. Una vez ensambladas pierden sus atributos, y se debe usar la regla de ruteo IF JOIN REQUEST. Ejemplo Asumamos que un trabajador empaca cajas de 25 unidades de un determinado producto. El tiempo de empaque es exponencial de 1 minuto. Las tasas de entrada por hora son constantes, 1500 en el caso de las piezas y de 60 en el de las cajas.(JOIN) Agrupamiento de Entidades Load (Cantidad) in (tiempo).- Agrupa entidades de diferente tipo a la entidad actual, las mismas que conservan sus atributos. Las entidades se redirigen mediante IF LOAD REQUEST y se separan mediante UNLOAD Agrupamiento de Entidades Ejemplo Un proceso requiere mover material en contenedores de un lugar a otro. Cada contenedor debe llevar 5 piezas. El tiempo para cargar el contenedor es de 1 minuto. Los contenedores se mueven a través de una banda transportadora en 30 segundos. Al final de este paso, las entidades son separadas y continúan cada una por su camino. División de Entidades Split (Cantidad) as Nuevaentidad. Divide una entidad en varias entidades. Estas entidades mantienen los atributos de la entidad original. Ejemplo. A una máquina llegan rollos a una tasa de 5 por hora. El proceso de cortado es de 30 segundos, y de cada rollo se obtienen 10 láminas las cuales se envían al siguiente proceso mediante una banda.de transporte. Direccionamiento de Entidades Route (Número) .- Envía la entidad hacia el proceso indicado por número. Ejemplo. Simular el proceso de separación de una entidad. 20% de las piezas son de tipo 1, 50% de tipo 2 y el resto de tipo 3. El tiempo de transporte es de 3 minutos en las bandas de entrada y 3 minutos en las de salida Transporte Entre Estaciones Pasos: 1. Definir la ruta y sus propiedades en Path Network. 2. Especificar el Recurso a utilizar para el transporte y asociarlo a la ruta. 3. En Processing, capturar el recurso mediante GET, usar el recurso mediante MOVE WITH y liberarlo mediante FREE. Transporte Entre Estaciones Ejemplo Al inicio del día entran 100 cajas de 200kg cada una, que deben ser transportadas hacia una estación de inspección, donde un operario revisa el producto en 5 min con distribución exponencial. Debido al peso de las cajas se debe utilizar un montacargas para realizar el trabajo. El tiempo de transporte es de 2 a 3 minutos con distribución uniforme. Uso de Condicionales Una tienda de aparatos electrónicos vende dos tipos de computadoras: A y B. El tiempo entre llegadas es exponencial con media de 45 minutos/cliente. Solo tiene un empleado para atender los clientes(FIFO). El 25% de los clientes que entran no realizan ninguna compra pero utilizan al empleado durante 15 minutos exactamente, el 50% de los clientes compran una tipo A y el tiempo de atención es uniforme entre 31 y 36 inutos, 25% restante entra a la tienda y compra la tipo B. Para este caso el tiempo de Uso de Condicionales Atención sigue una distribución exponencial con media de 70 minutos. Simule durante 8 horas. Determine utilización del empleado y tiempo promedio hasta ser atendido. Ejercicio1-Taller A la operación de empacado de bolsas de detergente entran bolsas a una velocidad de 20 por minuto. Cuando las bolsas entran al sistema son colocadas en una banda que las transporta hasta la mesa de un operario de empaque. El tiempo de transporte en la banda es de 20 segundo/bolsa. Una vez que la bolsa llega al final de la banda, cae por gravedad hacia una mesa donde se va acumulando con otras. Un operario toma las bolsas de la mesa y las introduce en una caja Ejercicio1-Taller con capacidad de 30 unidades; el tiempo que le lleva al operario tomar una bolsa y colocarla dentro de la caja es de 1 segundo/bolsa. Una vez que la caja se llena, el operario la lleva al almacén de cajas; allí la deja y recoge una caja vacía para repetir el procedimiento de llenado. El tiempo que le toma en llevar la caja llena y traer una vacía sigue una distribución exponencial con media de 3 minutos. Ejercicio1-Taller Simule el sistema anterior en ProModel, para obtener la gráfica del número de bolsas en la mesa, el número promedio de bolsas y el tiempo promedio de espera en la mesa a lo largo del tiempo. Ejercicio2-Taller A un sistema de producción de la empresa Guayaquil S.A. llegan piezas de tipo 1, cada 5+3minutos y piezas tipo 2 cada 3+-2 minutos. Las piezas tipo 1 pasan por limpieza en un tiempo de 8+-3 minutos; al salir 25% deben limpiarse de nuevo, y el 75% restante sale del sistema para su venta. Las piezas tipo 2 pasan primero por verificación en un tiempo 9+-3 minutos, y después por limpieza en un tiempode 3+-1 minuto. Al salir el 5% deben limpiarse de nuevo y el 95% restante sale del sistema para Ejercicio2-Taller Su venta. Simule el sistema durante 1 mes y determine cuántas piezas se produjeron con cada tipo.