INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I IV.MODELOS DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN MODELO DE TRANSPORTE El modelo de transporte es una clase especial de problemas de programación lineal. Trata la situación en la cual se envía un producto desde un grupo de puntos de origen (por ejemplo fábricas) a un grupo de puntos de destino (por ejemplo almacenes). El objetivo es determinar las cantidades enviadas desde cada punto de origen, hasta cada punto de destino, que minimicen el costo total del envío, al mismo tiempo que satisfagan tanto los limitaciones de la oferta como los requerimientos de la demanda. Destino 1 Origen 1 2 3 . . . m Demanda (Requerimientos) C11 C21 C31 . . . Cm1 C12 C 22 C 32 . . . C m2 C 13 C 23 C 33 . . . C m3 . . . . . . . . . . . . . . . C 1n C 2n C 3n . . . C mn 2 3 . . . n Oferta (Disponibilidad) a1 a2 a3 . . . am d1 d2 d3 dn 4.1 FORMULACIÓN EN PROGRAMACIÓN LINEAL m n j =1 Costo Total = Min Z = ∑ ∑ i =1 n CijΧij s.a. ∑ j =1 m Χij = a i , para i = 1, 2, 3,…., m Xij = d j , para j = 1, 2, 3,…., n ∑ i =1 UES \ FIA \ EII \ IOP115, MOP115 1 En caso contrario. n.. si la demanda es mayor que la oferta...... 2.Esta forma es equivalente a escribir Min Z = C11X11 + C12X12 + C13X13 + .. 3.… + C3n X3n +…........ si la oferta es mayor que la demanda.... Cij = El costo unitario de transporte desde el origen “i” hasta el destino “j”.… + C2n X2n + C31X31 + C32X32 + C33X33 + . . 3..... donde j = 1.. + Cm1Xm1 + Cm2Xm2 + Cm3Xm3 + . + Xmn = a m X11 + X 21 +…+ X31 +...... + Xm3 = d 3 X1n + X 2n +…+ X3n + ... A esto se le llama modelo balanceado........ donde i = 1... + X2n X31 + X 32 +…+ X33 +.… + C1n X1n + C21X21 + C22X22 + C23X23 + .... Xij = Unidades a transportar desde el origen “i” hasta el destino “j”... REQUERIMIENTOS ai . . dj ... + X1n X21 + X 22 +…+ X23 +. MOP115 2 . + Xmn = d n Xij ≥ 0 TERMINOLOGÍA m = Puntos de origen n = Puntos de destino ai = Número de unidades disponibles en cada origen “i”...…+ Cmn Xmn sujeta a X11 + X 12 +… + X13 +.... 2.. + X3n = a1 = a2 = a3 Xm1 + X m2 +…+ Xm3 +.. + Xm1 = d1 X12 + X 22 +…+ X32 + .. ... se agregará un origen ficticio...... + Xm2 = d 2 X13 + X 23 +…+ X33 + ... Cij son números enteros ∑ a = ∑ d =∑ i j X ij La suma de las ofertas debe ser igual a la suma de las demandas.. m dj = Número de unidades requeridas en cada destino “j”.. se agregará un destino ficticio....... UES \ FIA \ EII \ IOP115.... .. Determine una solución básica inicial (SBI) factible a través de cualquiera de los siguientes métodos: Esquina Noroeste.2 PASOS PARA SOLUCIONAR UN PROBLEMA DE TRANSPORTE (Introducción) 1.TABLA SIMPLEX DE TRANSPORTE 1 1 C11 X11 C21 X21 C31 X31 .1 variables básicas siempre que Xij > 0 Existen variables básicas iguales a cero cuando el problema tiene solución degenerada. n C1n X1n C2n X2n C3n X3n .. Prueba de Optimidad: Cuando todos los costos netos asociados a las variables no básicas sean no negativos (caso de minimización).. Inicialización... MOP115 3 ... ir a paso 3. Costo Mínimo.. X12 C22 X23 C33 2 C12 X13 C23 3 C13 .. . X32 .. Cmn Xmn dn am D3 La tabla símplex de transporte tiene otras propiedades como las siguientes: o o o o o Existen valores de Xij > 0 si Xij es una variable básica Existen valores de Xij = 0 si Xij es una variable no básica Existen m + n restricciones funcionales Existen m + n . .. m Demanda .. a2 3 . . a3 .. UES \ FIA \ EII \ IOP115... 4..... 2. Aproximación de Vogel. X22 C32 X33 . se ha llegado a la solución óptima. Oferta a1 2 . Cm1 Xm1 d1 Xm2 d2 Cm2 Xm3 Cm3 . En caso contrario....... 4. ESQUINA NOROESTE Realiza la máxima asignación permisible de oferta y demanda en la celda superior izquierda de la tabla de transporte y luego se desplaza a la derecha o hacia abajo hasta completar todas las unidades de oferta y demanda. culminando en la celda inferior derecha de la tabla. Determine una variable de salida a partir de las variables básicas c.3. aplique el método del costo mínimo. Cuando sólo quede una fila o una columna remanente. COSTO MÍNIMO Realiza la máxima asignación permisible de oferta y demanda en la celda de menor costo de la tabla. 2. sólo una de ellas se puede tachar en la misma operación.3 MÉTODOS DE INICIALIZACIÓN 1. c. Obtenga la nueva solución y regrese al paso 2 hasta que se cumpla. En caso de empate. Escoja la celda de menor costo para asignar. El proceso termina cuando solamente queda una fila o una columna sin tachar. elija aquella en la que se pueda hacer la mayor asignación. d. b. MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL (MAV) a. Proceso Iterativo a. El proceso se repite hasta que sólo quede una fila o una columna sin tachar. Cuando una fila y una columna se satisfacen simultáneamente. permanece reservada para hacerle la asignación hasta el final. se elimina la fila o columna en que se satisfaga la oferta o demanda. MOP115 4 . Escoja la fila o la columna con la mayor diferencia. 3. escoger la celda en donde se pueda hacer la mayor asignación. La que se deja sin tachar. Obtenga la diferencia positiva para cada fila y cada columna entre el costo unitario menor y el siguiente de las celdas remanentes (celdas en las que aún se pueden asignar unidades de oferta y demanda) de la tabla. En los casos de empates en costos más bajos. sólo una de ellas se puede tachar. UES \ FIA \ EII \ IOP115. Determine una variable de entrada a partir de las variables no básicas b. Cuando una fila y una columna se satisfacen simultáneamente. m. por millón de kwh. con capacidades de 25. MOP115 5 .) de la venta de corriente eléctrica a las diferentes ciudades. esta red no está conectada a la ciudad 3. 40 y 30 millones de kilowatts-hora (kwh). por millón de kwh. suministran electricidad a tres ciudades cuyas demandas máximas son 30. Sin embargo. la compañía debe comprar electricidad adicional de otra red. El costo en unidades monetarias (u. UES \ FIA \ EII \ IOP115.m. utilizando los métodos Esquina Noroeste. Aproximación de Vogel. a un precio de 1000 u. Para satisfacer el exceso de demanda. es como sigue: Ciudad 1 1 Planta 2 3 600 320 500 2 700 300 480 3 400 350 450 Durante el mes de agosto se incrementa en un 20% la demanda en cada una de las tres ciudades.Ejemplos Encuentre las soluciones básicas iniciales de los siguientes modelos de transporte. Encuentre la solución básica inicial a través de los tres métodos para determinar el plan de distribución más económico desde el punto de vista de la compañía eléctrica. Ejemplo 1 3 6 4 20 5 2 3 40 7 3 6 30 5 5 2 30 30 50 40 Ejemplo 2 10 12 0 5 0 7 14 15 20 9 16 15 11 20 18 10 15 25 5 Ejemplo 3 Tres plantas generadoras de energía eléctrica. 35 y 25 millones de kwh. Costo Mínimo. 4. Se deben formar esas ecuaciones para encontrar los valores de Ui y Vj 2.4 SOLUCIÓN ÓPTIMA DE UN PROBLEMA DE TRANSPORTE.Ui . en tanto que se elimina una de las rutas que esté siendo usada actualmente.4. UES \ FIA \ EII \ IOP115. existirán también m+n-1 ecuaciones asociadas a estas variables. Como existen m+n-1 variables básicas. Este cambio de ruta se hace de modo que la solución se conserve factible y mejore el valor de la función objetivo.1 MÉTODO DE MULTIPLICADORES El método de multiplicadores es un procedimiento secuencial que se utiliza para encontrar la solución óptima de un problema de transporte a partir de una solución básica inicial factible. 3. Encontrar los demás valores de Ui y Vj __ 4.4. Asociar los multiplicadores Ui y Vj con la fila i y la columna j respectivamente de la tabla de transporte. los multiplicadores deben satisfacer la ecuación: Cij = Ui + Vj Donde Cij = Costo de transporte unitario asociado a cada Variable Básica.2 PASOS PARA APLICAR EL MÉTODO DE MULTIPLICADORES 1. 4. Suponer un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores.4. Calcular el costo neto asociado a cada variable no básica (Cij) utilizando la ecuación: __ Cij = Cij . Por lo general se busca el Ui de la fila o el Vj de la columna que contenga el mayor número de variables básicas y se hace Ui = 0 ó Vj = 0.Vj para cada variable no básica Xij. En cada paso se intenta en este procedimiento enviar artículos por las rutas que no se hayan usado en la solución factible en curso. MOP115 6 . Para cada variable básica actual Xij. En caso de empate se selecciona la que tenga el mayor costo unitario. En caso de empate se selecciona la que tenga el menor costo unitario. Proceso iterativo: a. c. Luego se colocan signos (+) y (-) en forma alterna de las esquinas del circuito debido a que si por ejemplo la variable que entra se incrementa en una unidad. De lo contrario. se ha llegado al óptimo. Determinar una variable de entrada si no se cumple que los costos netos sean mayores o iguales que cero para todas las variables no básicas. El circuito puede recorrerse en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario. conservando la no negatividad. Utilizando el método de multiplicadores. todas la variables básicas de esquina del circuito deben ajustarse restando o sumando esa cantidad a fin de mantener los requerimientos de oferta y demanda. continuar con el paso 3. Costo Mínimo. El circuito empieza y termina en esa variable.4. UES \ FIA \ EII \ IOP115. Se construye un circuito o ciclo cerrado para la variable de entrada. MOP115 7 . Esto es debido a que la variable de salida se elige de entre las variables del circuito que disminuyen cuando la variable de entrada aumenta. Obtener una solución básica inicial por alguno de los métodos conocidos: Esquina Noroeste. Aproximación de Vogel.3 PASOS PARA OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA DE UN PROBLEMA DE TRANSPORTE PASO 1. b. excepto la celda asociada a la variable que entra. aplicar la Condición de Optimidad: Cuando todos los costos netos asociados a las variables no básicas sean no negativos (Caso de Minimización). La variable de entrada será la que tenga el costo neto más negativo. Regresar al paso 2. PASO 3. PASO 2. Determinar una variable de salida. Este consta de los segmentos sucesivos horizontales y verticales conectados. Obtener la nueva solución realizando los cambios señalados en el circuito. La variable de salida se encontrará en aquella casilla con signo (-) y que tenga la menor asignación. cuyas esquinas deben ser celdas que contengan variables básicas.4. con el fin de establecer el plan de distribución más económico desde el punto de vista de la compañía eléctrica. Formule el problema como uno de transporte. esta red no está conectada a la ciudad 3. m. se pide: a) La solución básica inicial a través del método especificado en cada uno. por millón de kwh. la compañía debe comprar electricidad adicional de otra red. Ejemplo 1 (SBI por Costo Mínimo) 3 6 4 20 5 2 3 40 7 3 6 30 5 5 2 30 30 50 40 Ejemplo 2 (SBI por Esquina Noroeste) 10 12 0 5 0 7 14 15 20 9 16 15 11 20 18 10 15 25 5 Ejemplo 3 (SBI por Vogel) Tres plantas generadoras de energía eléctrica.Ejemplos Para los modelos de transporte que se presentan a continuación. UES \ FIA \ EII \ IOP115... Sin embargo. a un precio de 1000 u. Ciudad 1 1 Planta 2 3 600 320 500 30 2 700 300 480 35 3 400 350 450 25 25 40 30 Durante el mes de agosto se incrementa en un 20% la demanda en cada una de las tres ciudades. Para satisfacer el exceso de demanda. b) La solución óptima a través del método de multiplicadores. MOP115 8 . . . . . El objetivo es asignar m trabajos (o trabajadores) a n máquinas (o tareas) en una forma de uno a uno (un trabajo por máquina) al menor costo total. Cmn 1 1 2 3 . . Los trabajos son los orígenes y las máquinas los destinos. . m Demanda (Requerimientos) C11 C21 C31 . . . . FORMA GENERAL DEL MODELO Máquinas Trabajos 1 2 3 . . Cm2 1 C13 C23 C33 . . . . C1n C2n C3n . . . n Oferta (Disponibilidad) 1 1 1 . . . El costo de asignar el trabajo i a la máquina j es Cij. el elemento Cij correspondiente será igual a “M”. . . . Cm1 1 C12 C22 C32 . . Cm3 1 . . . MOP115 9 . es decir un costo muy grande.MODELO DE ASIGNACIÓN El modelo de asignación es un caso especial del modelo de transporte. La oferta disponible en cada origen es 1 y la demanda requerida en cada destino es también 1. . 1 Si m < n se agregarán (n-m) trabajos ficticios (generalmente con Cij iguales a cero) Si m > n se agregarán (m-n) máquinas ficticias (generalmente con Cij iguales a cero) UES \ FIA \ EII \ IOP115. . . . Si un trabajo no puede asignarse a una máquina. . . ∑ j =1 m Χij = 1 . los valores iguales a cero por fila están ubicados en columnas diferentes. para i = 1. 4.. 3. En caso contrario ir a paso 4... m Χij = 1 . Seleccionar el menor elemento no tachado. Si en la nueva matriz formada hay columnas que no tengan ningún elemento igual a cero. la asignación es factible y óptima. restarlo de todos los no tachados y sumarlo a todos los elementos situados en la intersección de dos líneas para obtener una nueva matriz. UES \ FIA \ EII \ IOP115.. Formar una matriz de costos a partir de la original restando el menor elemento de cada fila de los elementos correspondientes para generar valores iguales a cero en cada fila. 3. si el i-ésimo trabajo se asigna a la j-ésima máquina Xij = 0. Si en la nueva matriz generada. n ∑ i =1 4.5 FORMULACIÓN EN PROGRAMACIÓN LINEAL m n j =1 Costo Total = Min Z = ∑∑ i =1 n CijΧij s. Trazar un número mínimo de líneas a través de algunas de las filas y columnas de tal forma que se tachen todos los ceros. Regresar al paso 3 hasta que se cumpla.6 METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN 1. En caso contrario ir a paso 3.…. 2.a. 2. 2. si el i-ésimo trabajo no se asigna a la j-ésima máquina 4. para j = 1. 3. restar el menor elemento de cada una de ellas de los elementos correspondientes.. MOP115 10 .El modelo se puede expresar matemáticamente así: 1. 5. Ejemplo 1 Máquinas 1 1 Trabajos 2 3 5 14 15 1 2 7 10 13 1 3 9 12 16 1 1 1 1 Ejemplo 2 1 1 2 3 4 1 9 4 8 1 2 4 7 5 7 1 3 6 10 11 8 1 4 3 9 7 5 1 1 1 1 1 Ejemplo 3 1 1 2 3 4 3 9 10 9 1 2 6 1 8 2 1 3 5 4 2 6 1 4 4 7 4 6 1 1 1 1 1 UES \ FIA \ EII \ IOP115.Ejemplos. MOP115 11 . Resuelva los siguientes modelos de asignación.