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CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOSTEMA 6 DIELÉCTRICOS Y CAPACITANCIA Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez Ciclo Ene ± Abr 2010 San Cristóbal, RD TABLA DE CONTENIDO 1. NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS 2. CONDICIONES DE FRONTERA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS 3. CAPACITANCIA 4. EJEMPLOS DE CAPACITANCIA 5. CAPACITANCIA DE UNA LÍNEA DE DOS HILOS NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS Preliminar La presencia de un campo eléctrico en un material aislante desplaza las cargas [¨d] formando grupos de dipolos eléctricos. Este efecto se mide por medio de la constante dieléctrica o permitividad relativa. El desplazamiento de carga es el principio de almacenamiento de carga en los capacitores. Un dieléctrico se puede considerar como un arreglo de dipolos microscópicos compuestos por cargas positivas y negativas cuyos centros no coinciden perfectamente. 1 Las cargas de estos dipolos no son libres, por tanto, no contribuyen a la corriente de conducción. Las mismas sólo pueden cambiar su posición ligeramente por efecto de campos eléctricos externos, y se les conoce como cargas ligadas. Todos los dieléctricos (sólidos, líquidos o gases) tienen la capacidad de almacenar energía, cambiando las posiciones relativas a las cargas positivas y negativas ligadas, en contra de las fuerzas moleculares y atómicas. NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS (CONT.) Polarización en Dieléctricos Moléculas Polares: presentan un desplazamiento permanente entre el centro de gravedad de un par de cargas que actúa como dipolo, y los dipolos restantes. Con estas moléculas se verifica lo siguiente: 2 Orientación dipolos sin el efecto de un campo eléctrico ń Aleatoria. Orientación dipolos con el efecto de un campo eléctrico ń Alineados en la misma dirección. Moléculas No Polares: no presentan arreglos dipolares sino hasta que se aplica un campo. En ambos tipos de dipolos, la nube de electrones presenta una distribución de carga que se puede describir por su momento dipolar, en la forma: d p Q = Carga ligada + de las que formanel dipolo. Vector que se dirige desde la carga ² a la + Vector Momento Dipolar. NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS (CONT.) Polarización en Dieléctricos (Cont.) La formación de n dipolos en un volumen ¨v debidos al campo eléctrico, presenta un momento dipolar total : Si los p i están alineados en la misma dirección, p total es significativo. Si los p i están alineados en forma aleatoria, p total es aproximadamente cero. 3 ¯ ¯ = = = = + + + N i i i total N i i i n n Q Q Q Q Q 1 1 2 2 1 1 d p d d d d La Polarización se define como el momento dipolar por unidad de volumen, esto es: [C/m 2 ] Suponiendo que se tiene un material dieléctrico cuyas moléculas son no polares, es decir, p i =0, entonces: P=0 en el interior del material. v Q N i i i v ( ! § ! p ( 1 0 lim d P NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS (CONT.) Polarización en Dieléctricos (Cont.) Consideremos un elemento de superficie ¨S en el interior de un dieléctrico en el cual está presente un campo eléctrico E. 4 En la parte b observamos moléculas no polares formando momentos dipolares p y polarización P. En este caso existe una transferencia neta de cargas ligadas a través de ¨S. Como existen n moléculas/m 3 , la carga total que cruza ¨S hacia arriba es : Considerando la notación de Polarización, se tiene: S d( ! ( ! ( nQ S d nQ Q ligadas U cos d d P nQ dv Q v v n = A = ¦ A 0 1 S P ( ! ( ligadas Q NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS (CONT.) Polarización en Dieléctricos (Cont.) Si evaluamos la expresión : en una superficie cerrada, con ¨S hacia fuera, se tiene: De la Ley de Gauss: 5 S P ( ! ( ligadas Q ¦ ! S ligadas d Q S P ¦ ¦ = = = S vol v Encerrada Total dv d Q V ] S D Observando estas expresiones, y recordando que la Carga Total Encerrada [Q T ] =Q LIBRES + Q LIGADAS. Despejando y sustituyendo, se tiene: En términos generales: ¦ + = = = S Ligadas Total Libres d Q Q Q Q Q S P E 0 I P E D ! 0 I Aplica a un material polarizable. NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS (CONT.) Polarización en Dieléctricos (Cont.) Cargas y Densidades Volumétricas aplicables: 6 ¦ ¦ ¦ = = = v t Encerrada Total v v Libres v l Ligadas dv Q dv Q dv Q V V V ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ = \ = + \ ÷ = + = = \ ÷ = = = \ ÷ = = S vol v v Libres S vol t t Encerrada Total S vol l l Ligadas dv d Q dv d Q dv d Q V I V I V I V V V D P E S P E E S D P S P 0 0 0 Aplicando el Teorema de la Divergencia, se verifican las siguientes relaciones equivalentes divergentes: NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS (CONT.) Polarización en Dieléctricos (Cont.) La polarización se puede expresar en función de E, tomando en cuenta que la misma depende del tipo de material y considerando su limitación a los materiales isotrópicos [las mismas propiedades en todas las direcciones] en donde E y P varían linealmente. Esta relación es: X e es la suceptibilidad eléctrica del material, y es adimensional. Dado que , entonces: 7 E P 0 I e X = P E D ! 0 I E D E E D 0 0 I I I ! ! e e 1 0 Resulta : La expresión : 1+X e se conoce como permitividad relativa o constante dieléctrica, y es adimensional, esto es: En el caso del vacío y materiales no dieléctricos (como metales), dž r =1. E D E D E D I I I I I I I ! ! ! ! 0 0 0 1 r r e NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS (CONT.) 8 En la práctica los dieléctricos no son ideales, y cuando el campo eléctrico es muy grande, arrebatan electrones a las moléculas hasta que se convierten en conductores, en este caso ha ocurrido una ń disrupción dieléctrica. La resistencia dieléctrica es el campo eléctrico máximo que un dieléctrico puede tolerar o soportar sin disrupción. Cápsulas « 9 D6.1 Cierta placa de material dieléctrico tiene una constante dieléctrica relativa de 3.8 y una densidad de flujo eléctrico uniforme de 8 nC/m 2 . Si el material no tiene pérdidas, encontrar: (a) |E| (b) |P| (c) Número promedio de dipolos por m 3 si el momento promedio del dipolo es de 10 -29 C.m. NATURALEZA DE LOS MATERIALES DIELÉCTRICOS (CONT.) Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) 238 V/m b) 5.89 nC/m 2 c) 5.89 x 10 20 m -3 10 Considere la frontera entre dos dieléctricos perfectos con dž 1 y dž 2 , como se muestra en la figura: 1. Evaluamos la componente tangencial de E a través de la trayectoria cerrada, mediante: CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS ¦ = 0 L E d Cont. 1 « Resultando : Para este escenario se ha supuesto que ¨h ń 0, reduciendo la contribución normal, y por tanto, limitando el análisis a la superficie. 0 2 tan 1 tan ! ( ( w E w E 2 tan 1 tan E E = Componente continua a través de la frontera. 11 2. Evaluamos la componente tangencial de D a través de la misma trayectoria: Como , entonces: 3. Ahora evaluamos las condiciones de frontera a las componentes normales, aplicando la Ley de Gauss, esto es: CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.) E D 0 I = 2 2 tan 1 1 tan I I D D = 2 1 2 tan 1 tan I I = D D Componente discontinua a través de la frontera. s N N s N N D D S Q S D S D V V = A = A = A A 2 1 2 1 Cont. 3« Debido a que el análisis se realiza para un dieléctrico perfecto, no hay cargas libres en la interfase, por tanto: y en el caso del campo: 2 1 N N D D ! Componente Continua 2 2 1 1 N N E E I I ! Componente Discontinua 12 Análisis de Refracción en la Interfase Dieléctrica En la siguiente figura se analiza la refracción de D en la interfase dieléctrica. Para el caso mostrado, dž 1 > dž 2 , E 1 y E 2 están dirigidos a lo largo de D 1 y D 2 , con D 1 >D 2 y E 1 < E 2 . CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.) En la frontera se cumple que: Por tanto: (1) Por otro lado: Verificando que: (2) 2 1 N N D D = 2 2 1 1 cos cos U U D D ! 2 1 2 tan 1 tan I I = D D 2 1 2 2 1 1 2 tan 1 tan sin sin I I U U = = D D D D 1 1 2 2 2 1 sin sin U I U I D D ! 13 Análisis de Refracción en la Interfase Dieléctrica (Cont.) Dividiendo (2) entre (1), se tiene: De la ecuación (1) : CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.) Elevando al cuadrado la expresión anterior, se tiene: Multiplicando por 1, se verifica: Reacomodando: 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 tan tan tan tan cos sin cos sin I I U U U I U I U U I U U I = = = D D D D 2 1 1 2 cos cos U U ! D D 2 2 1 2 2 1 2 cos cos U U = ¦ ¦ ¦ D D ? A 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 cos sin cos cos U U U U ! ¦ ¦ ¦ D D ¦ ¦ ¦ ! ¦ ¦ ¦ 2 2 2 2 1 2 2 1 2 cos sin 1 cos U U U D D Sigue 14 Análisis de Refracción en la Interfase Dieléctrica (Cont.) Distribuyendo y reacomodando: Sustituyendo: CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.) Se tiene: Por tanto, la magnitud de la densidad de flujo es: 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 cos cos sin cos U U U U + = ¦ ¦ ¦ D D 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 sin tan tan cos sin sin cos cos sin cos U U U U U U U U U U ! ¦ ¦ ¦ ! ¦ ¦ ¦ D D D D 1 2 1 2 2 1 2 1 tan tan ; tan tan I I U U I I U U ! ! 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 sin cos U I I U ¦ ¦ ¦ ! ¦ ¦ ¦ D D 1 2 2 1 2 1 2 1 2 sin cos U I I U ¦ ¦ ¦ + = D D Sigue 15 Análisis de Refracción en la Interfase Dieléctrica (Cont.) En el caso de la magnitud del Campo Eléctrico, partimos de la expresión (2): Reacomodando y después elevando al cuadrado: CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.) Multiplicando por uno: Reacomodando y distribuyendo: 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 sin sin sin sin U U I U I U I E E D E D D = = = Sigue 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 sin sin sin sin U U U U = ¦ ¦ ¦ = E E E E ? A 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 cos sin sin sin U U U U ! ¦ ¦ ¦ E E ¦ ¦ ¦ + = ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ + = ¦ ¦ ¦ 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 sin cos sin sin sin cos 1 sin U U U U U U U E E E E 16 Análisis de Refracción en la Interfase Dieléctrica (Cont.) Incorporando Artificio y reacomodando: Como: CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.) ¦ ¦ ¦ + = ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ + = ¦ ¦ ¦ 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin sin U U U U U U U U U U U U E E E E 1 2 1 2 2 1 2 1 tan tan ; tan tan I I U U I I U U ! ! 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 21 1 1 2 2 1 2 cos sin cos tan tan sin U I I U U U U U ¦ ¦ ¦ + ! ¦ ¦ ¦ + ! ¦ ¦ ¦ E E E E Por tanto: Resultando: 1 2 2 2 1 1 2 1 2 cos sin U I I U ¦ ¦ ¦ ! E E 17 CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.) D6.2 Sea la región z<0 compuesta por un material dieléctrico uniforme cuya dž r =3.2, mientras que la región z>0 está caracterizada por dž r =2. Sea D 1 =-30a x +50a y +70a z nC/m 2 , encontrar : (a) D N1 (b) D T1 (c) D T1 (d) D 1 (e) lj 1 (f) P 1 Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) 70 nC/m 2 b) -30a x +50a y nC/m 2 c) 58.3 nC/m 2 d) 91.1 nC/m 2 e) 39.8° f) -20.6a x +34.4a y + +48.1a z nC/m 2 18 CONDICIONES DE FRONTERA PARA MATERIALES DIELÉCTRICOS PERFECTOS (CONT.) D6.3 Continuar el problema anterior, encontrando: (a) D N2 (b) D T2 (c) D 2 (d) P 2 (e) lj 2 Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) 70a z nC/m 2 b) -18.75a x +31.25a y nC/m 2 c) -18.75a x +31.25a y + 70a z nC/m 2 d) -9.38a x +15.63a y + 35a z nC/m 2 e) 27.5° 19 Capacitancia Consideremos dos conductores cargados con cargas opuestas, M 1 y M 2 , rodeados por un dieléctrico uniforme. No existen otras cargas presentes, por tanto la carga total es cero. CAPACITANCIA Algunos detalles : 1. M 2 lleva la carga positiva. 2. El flujo eléctrico se dirige de M 2 a M 1 . 3. El transporte de una carga positiva desde M 1 hasta M 2 implica la realización de un trabajo. 4. Consideremos la diferencia de potencial entre M 2 y M 1 como V o . 20 Capacitancia (Cont.) Definición: La capacitancia C del Capacitor es la razón de la magnitud de la carga en una de las placas a la diferencia de potencial entre ellas, es decir: [F, C/V] La supresión del signo negativo que precede a : De debe a que lo que nos interesa es el valor absoluto de V. CAPACITANCIA (CONT.) ¦ ¦ ! ! L E S E d d V Q C I 0 ¦ = L E d V La obtención de C implica : 1. Presuponer Q y calcular V en términos de Q ń implica Ley de Gauss. 2. Presuponer V y se calcula Q en términos de V ń implica ecuación de Laplace. Cápsula: Los valores comunes de capacitancia son fracciones muy pequeñas de un farad, y consecuentemente es más práctico utilizar unidades como: ǍF, nF, pF. 21 Capacitancia Capacitor Placas Paralelas Sean dos planos conductores paralelos infinitos, con una separación d entre ellos. El conductor inferior se localiza en z=0 y el superior en z=d, como se muestra en la siguiente figura: Una carga superficial +ǒ s se encuentra en un conductor y -ǒ s en el otro. CAPACITANCIA (CONT.) Recordemos que en este escenario se produce un campo eléctrico uniforme igual a: Como D se dirige hacia arriba, la carga del plano inferior es positiva, resultando que: Por otro lado, la diferencia de potencial entre los planos es: z S a E I V ! S z N D D V ! ! d dz d V s d s I V I V ! ! ! ¦ ¦ 0 L E 22 Capacitancia Capacitor Placas Paralelas (Cont.) La carga total es infinita en cualesquiera de los planos infinitos. Suponiendo que los planos tienen una superficie S, cuya dimensión lineal es mayor a la distancia d, entonces se puede considerar una distribución de carga uniforme en todos los puntos alejados de la orilla (carga insignificante en esta región). CAPACITANCIA (CONT.) Esto es: También: Por tanto: d S V Q C d V S Q s s I I V V = = = = d S Ed ES Ed DS V Q C ES DS S Q s I I I V = = = = = = = d S C I = La capacitancia es independiente del potencial y de la carga total porque es constante. 23 D6.4 Encontrar la permitividad relativa de un material dieléctrico utilizado en un capacitor de placas paralelas si: (a) S=0.12 m 2 , d=80 Ǎm, V 0 =12 V y el capacitor contiene 1ǍJ de energía. (b) La densidad de energía almacenada es de 100 J/m 3 , V 0 =200 V y d=45 Ǎm. (c) E=200 kV/m, ǒ s =20 Ǎm/m 2 y d=100 Ǎm. Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) 1.05 b) 1.14 c) 11.3 CAPACITANCIA (CONT.) 24 Capacitancia Cable Coaxial Capacitancia Capacitor Esférico VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA ¹ º ¸ © ª ¨ ! ! ¹ º ¸ © ª ¨ ! ! a b L C L Q a b V V Q C L L ln 2 ln 2 TI V TI V ¹ ¹ º ¸ © © ª ¨ = = ¹ ¹ º ¸ © © ª ¨ = = b a b a ab r r r V Q C r r Q V r Q E 1 1 4 1 1 4 4 2 TI TI TI Si la esfera exterior es de radio infinito [r b ń], se obtiene la capacitancia de un conductor, esto es: r r C a TI TI 4 4 = = 25 D6.5 Demostrar capacitancia equivalente en un capacitor de placas paralelas con 2 dieléctricos e interfase común : (a) paralela a las placas conductoras (b) Normal a las placas conductoras Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) Capacitancia equiv. en serie. b) Capacitancia equiv. en paralelo. VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) 26 D6.6 Determinar la capacitancia de: (a) Un cable coaxial 35B/U de 1 pie de longitud, que tiene un conductor interno de 0.1045 pulgadas de diámetro interno, un dieléctrico de polietileno (dž r =2.26) y un conductor externo con diámetro interno de 0.680 pulgadas. (b) Una esfera conductora de 2.5 mm de diámetro cubierta con una capa de polietileno de 2 mm de espesor rodeada por una esfera conductora de radio igual a 4.5 mm. (c) Dos placas conductoras metálicas de 1 por 4 cm con un espesor despreciable, entre las cuales existen tres capas de dieléctrico, cada una de 1 por 4 cm y 0.1 mm de espesor, con constantes dieléctricas de 1.5, 2.5 y 6. Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) 20.5 pF b) 1.41 pF c) 28.7 pF VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) 27 Capacitancia Línea 2 Hilos Comencemos analizando dos líneas de carga de longitud infinita, como se muestra en el siguiente gráfico: Una línea de carga pasa por x=a y la otra por x=-a. Ambas descansan en el plano xz. VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) El potencial de una sola de las líneas cuya referencia cero se ubica en un punto de radio R o, es: Campos de potencial combinados: HaciendoR 10 =R 20 localizamos la referencia cero a igual distancia de cada línea (superficie plano x=0), se tiene: ¹ º ¸ © ª ¨ = R R V o L ln 2TI V 1 20 2 10 2 20 1 10 ln 2 ln ln 2 R R R R R R R R V L L TI V TI V ! ¹ ¹ º ¸ © © ª ¨ ! 1 2 ln 2 R R V L TI V ! 28 Capacitancia Línea 2 Hilos (Cont.) Expresando R 1 y R 2 en función de las coordenadas x e y, se tiene: Supongamos una superficie equipotencial V=V 1 y que el parámetro adimensional K 1 =f(V 1 ). Sea el artificio K 1 : De manera que: VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 4 ln 2 y a x y a x y a x y a x V L L + + + = + + + = TI V TI V L V e K V TI / 4 1 1 = 2 2 2 2 1 y a x y a x K + + + = 29 Capacitancia Línea 2 Hilos (Cont.) Multiplicando y agrupando se verifica: Completando cuadrado: Puesto que la superficie equipotencial V=V 1 no depende de z (cilindro) y corta al plano xy en un círculo de radio b, se expresa: Centro x=h, y=0: VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) 0 1 1 2 2 2 1 1 2 ! a y K K ax x 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 ¹ ¹ º ¸ © © ª ¨ ! ¹ ¹ º ¸ © © ª ¨ K K a y K K a x 1 2 1 1 ! K K a b 1 1 1 1 ! K K a h 30 Capacitancia Línea 2 Hilos (Cont.) Considere un plano conductor a potencial cero ubicado en x=0 y un cilindro de radio b con potencial V 0 con su eje situado a una distancia h del plano. En este caso se tiene: Recordando que el potencial del cilindro V 0 es: Despejando: VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) b b h h K b h a 2 2 1 2 2 + = = L V e K V TI / 2 1 0 ! 1 0 ln 4 K V L TI V = Para una longitud L en la dirección z, la capacitancia entre el cilindro y el plano es: ¹ º ¸ © ª ¨ ! ¦ ¦ ¦ ¦ ! ! ! ! b h L C b b h h L C K L K L V L C L 1 2 2 1 1 0 cosh 2 ln 2 ln 2 ln 4 TI TI TI TI V 31 Ejercicio El círculo de la figura siguiente muestra un sección transversal de un cilindro de radio de 5 m que se encuentra a un potencial de 100 V en el vacío, con su eje a 13 m de distancia de un plano con potencial cero. Así, b=5, h=13, V 0 =100. VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) Solución 1. Primero se localiza la línea de carga equivalente: 2. Se determina el valor del parámetro de potencial K 1 : 3. Se determina la densidad de carga lineal: b h a 12 5 13 2 2 2 2 = = = 25 5 5 5 13 13 1 2 2 2 2 1 = = = = K b b h h K m nC K V L L / 46 . 3 25 ln 100 10 854 . 8 4 ln 4 12 1 0 ! v ! ! V T TI V 32 Solución « 4. Se determina la capacitancia entre el cilindro y el plano: 5. Ahora identifiquemos la superficie equipotencial cilíndrica localizada a 50V, con sus nuevos parámetros K 1 , h y b. Primero: Nuevo radio VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) 5. Cont« pF b h C / 6 . 34 5 13 cosh 10 854 . 8 2 cosh 2 1 12 1 = ¹ º ¸ © ª ¨ v = ¹ º ¸ © ª ¨ = T TI 5 9 12 1 10 46 . 3 / 50 10 854 . 8 4 / 4 1 = = = v v T V TI e e K L V m K K a b 42 . 13 1 5 5 12 2 1 2 1 1 ! v ! ! m K K a h 18 1 5 1 5 12 1 1 1 1 = + = + = 32 Solución « 6. Recordemos que el campo eléctrico corresponde a menos gradiente de potencial: Desarrollamos y determinamos la densidad de flujo eléctrico: VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) 7. Evaluando D x en x=h-b, y=0 obtenemos la densidad de carga superficial máxima: ¦ ¦ ¦ ! 2 2 2 2 ln 4 y a x y a x L TI V E ¦ ¦ ¦ + + + + + + = = ¦ ¦ ¦ + + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 y a x y a x y a x y a x y a x y a x y a x y a x y x y x L y x y x L a a a a E D a a a a E T V I TI V ¦ ¦ ¦ ! ! ! ! 2 2 max , 0 , , max , 2 a b h a b h a b h a b h D L S y b h x x S T V V V ¦ ¦ ¦ + + v = 2 2 9 max , 12 5 13 12 5 13 12 5 13 12 5 13 2 10 36 . 3 T V S 2 max , / 165 . 0 m nC S = V 33 Solución « 8. Evaluando la densidad de carga superficial mínima, se tiene: 9. Comparando ambas densidades, se verifica que: VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) 10. Determinando la capacitancia para b<<h, se tiene: 2 min , 2 2 9 min , 0 , , min , / 073 . 0 6 12 5 13 30 12 5 13 2 10 46 . 3 m nC D S S y b h x x S = ¦ ¦ ¦ + + + v = = = + = V T V V min , max , 25 . 2 S S V V ! h b b h L C b h b b h h ¦ ¦ ¦ ! ¦ ¦ ¦ ! ¦ ¦ ¦ ¦ + 2 ln 2 2 ln ln 2 2 TI 34 D6.6 Un cilindro conductor de radio igual a 1 cm y a un potencial de 20V se ubica paralelamente a un plano conductor que está a potencial cero. El plano está a 5 cm de distancia del eje del cilindro. Si los conductores se encuentran inmersos en un dieléctrico perfecto cuya dž r =4.5, encontrar: (a) La capacitancia por unidad de longitud entre el cilindro y el plano. (b) Densidad de carga superficial máxima en el cilindro. Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: a) 109.2 pF/m b) 42.6 nC/m VARIOS EJEMPLOS DE CAPACITANCIA (CONT.) GRACIAS POR SU ATENCIÓN GRACIAS POR SU ATENCIÓN
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