II.Matemáticas Financieras Objetivo IN42A Que los alumnos sean capaces de manejar elementos de matemáticas financieras y comprender el valor del dinero en el tiempo. Contenidos IN42A Valor del dinero en el tiempo Valor Actual y Valor Futuro Valor Actual Neto Anualidades, perpetuidades Interés simple, interés compuesto Tasas reales, nominales, efecto de la inflación. Bibliografía IN42A Fundamentos de Financiación Empresarial, Quinta Edición, Brealey y Myers. Capítulos 2 y 3. 000 0 Hoy 1 En un año t: tiempo .000 0 Hoy 1 En un año t: tiempo vs $100.Ejemplo 1: ¿Qué es preferible? IN42A $100. .. .IN42A Valor del Dinero en el Tiempo “Un peso hoy vale más que un peso mañana”.. ¿Por qué?... IN42A Valor del Dinero en el Tiempo “Un peso hoy vale más que un peso mañana”. PRIMER PRINCIPIO FINANCIERO: PORQUE UN $ HOY PUEDE INVERTIRSE PARA COMENZAR A GANAR INTERESES INMEDIATAMENTE . una persona que tiene $100.000 hoy.IN42A Valor del Dinero en el Tiempo Dicho de otra manera. estará dispuesta a invertir esa cantidad (y dejar de consumir hoy) siempre que al cabo de un período reciba los $100. .000 más un premio que compense su sacrificio (tasa de rentabilidad). utilizaremos r como la tasa que representa el costo de oportunidad o tasa de descuento. .Introducción al Costo de Oportunidad IN42A Para efectos de este capítulo. como la rentabilidad a la que se renuncia al invertir en el proyecto en lugar de invertir en una alternativa. que podríamos interpretarlo. Supongamos que cuenta hoy con un capital inicial = C0 y r es la rentabilidad al cabo de un período.Valor Futuro IN42A Es el valor alcanzado por un capital al final del período analizado. t=0 t=1 VF1(C)= C0 (1+r) . ¿Cuál sería el valor en t=1 de C? C0 C1 r C1=C0+C0*r=C0 (1+r) Luego. entonces: t=0 t=1 VA= C1 * 1/ (1+r) Donde 1/(1+r) corresponde al factor de descuento o actualización . Supongamos que recibirá una cantidad C1 al cabo de un año y r es la rentabilidad del mercado.Valor Actual IN42A Es el valor alcanzado por un capital al inicio del período analizado. ¿Qué cantidad HOY sería equivalente a C1? C0 r C1 Sabemos que C1= X(1+r) Sea X=Valor Actual =VA. IN42A Valor del Dinero en el Tiempo VALOR FUTURO t=0 t=1 capitalizar VALOR ACTUAL t=0 t=1 actualizar o descontar . Valor Actual IN42A Para calcular el VA. descontamos los cobros futuros esperados a la tasa de rentabilidad ofrecida por alternativas de inversión comparables (r). Nota: También se le conoce como Valor Presente VA = VF * factor de descuento . VF y VA con n>1 IN42A Ct/(1+r)t Ct/(1+r) VA /// 1/(1+r) Ct Ct(1+r) VF /// (1+r) Ct(1+r)n-1 . .VA con n>1 IN42A ¿Qué pasa con el VA si tenemos n períodos? Ct.rt C1.r1 0 1 t PROPIEDAD 1: VA (A +B)= VA(A) + VA(B) Entonces tenemos: VA(C 1 ) C1 * FD1 C1 * 1 (1 r1 ) VA(C t ) C t * FD t C t * 1 Ct (1 rt ) * (1 rt )..(1 rt ) (1 rt ) t Cn..rn n . por lo que r1=r2=…=r n Ci VA i ( 1 r ) i 1 ....VA con n>1 IN42A Luego. sumando los valores actuales queda: VA C1 Ct ... (1 r1 ) (1 rt )t n Ci VA i ( 1 r ) i 1 i Simplificando... .. supondremos que no tenemos estructura de tasas temporal. entonces las fórmula se reduce a: n Ci VA i ( 1 r ) i 1 .VA con n>1 IN42A Si los flujos son iguales durante todos los períodos. y corresponde a la medida de valor neto en el momento actual de los flujos de caja futuros. Definiremos entonces: n Ci VAN i i 0 (1 r ) También se le conoce como Valor Presente Neto.Valor Actual Neto IN42A Si tenemos varios flujos futuros. . necesitamos una métrica única para comparar el valor. El concepto de Valor Actual Neto aparece como una respuesta a esta necesidad. Valor Actual Neto IN42A Ejemplo: Usted alternativas: enfrenta dos • 1 Proyecto Inmobiliario (sup: libre de riesgo) $200 0 1 $700 2 $300 3 -$1000 • Bonos del Gobierno 0 $60 1 -$1000 $60 2 $1060 3 . inmob)= $64 Van(b. porque tiene un mayor VAN .Valor Actual Neto IN42A Para poder comparar ambas alternativas de inversión. Luego: VAN(p. gob) =$0 Por lo tanto preferiremos el proyecto inmobiliario frente a invertir en los bonos del gobierno. Supongamos r=6%. debemos resumir ambos flujos a un solo valor. como tasa de descuento. Si existe un buen mercado para un activo el valor será exactamente su precio de mercado. edificios) Activos intangibles (contratos de gestión. bonos) Objetivo de la decisión de inversión es encontrar activos cuyo valor supere su costo.Sobre la inversión IN42A Las empresas invierten en distintos activos reales Los activos pueden ser de diferentes tipos: Activos tangibles o físicos (maquinaria. . Dado lo anterior surge la necesidad de valorar adecuadamente los activos. Patentes) Activos financieros (acciones. Sobre el riesgo IN42A No todas las inversiones tienen el mismo riesgo. Ejemplos: Bonos del tesoro Construcción de oficinas Perforación de un pozo de petróleo En principio a mayor riesgo mayor es la rentabilidad exigida Más adelante se discutirá el problema del riesgo y como éste afecta el valor de los activos. . Veamos el caso de la deuda perpetua con un pago anual de C 8 0 C C C C C Considerando una tasa r.Perpetuidades IN42A Corresponde a un flujo constante que se paga hasta el infinito. se tiene que: C C VA r . 8 C1 C2 Ct 0 Donde: C2=C1(1+g) C3=C2(1+g)=C1(1+g)2 Ct=C1(1+g) t-1 Entonces: (sup r>g) C1 VA (r g) .Perpetuidades con crecimiento IN42A Supongamos que los flujos crecen a una tasa g. Por ejemplo. como préstamos. . créditos hipotecarios. la posibilidad de realizar compras en un cierto número de cuotas versus precio contado (valor actual) que ofrecen las casas comerciales. versus pagar el valor actual de dichas alternativas. etc.Anualidades IN42A En la práctica existen numerosos casos en que nos enfrentamos a la alternativas de pagar o ahorrar con cuotas iguales. contratar deudas. comprar instrumentos de mercado que ofrecen periodicidades de pago.. ahorrar periódicamente sumas fijas de dinero y su valor capitalizado. compañías de seguros. valores de arriendos. etc. Anualidades IN42A Activo que produce cada año una suma fija durante un determinado número de años C 1 1 VA C n r r(1 r) . 120 120 1.000 0 S= 1.Capital Inicial Ganancia ó Interés = Ganancia ó Interés = 1.000 .120 4 8 12 n=12 meses Ganancia ó Interés = Monto . i =12% anual P= 1.Interés Simple IN42A Es el que se calcula sobre un capital que permanece invariable o constante en el tiempo y el interés ganado (o pagado) se acumula sólo al término de esta transacción. IN42A Interés Simple Supongamos que C0=$100 y r=10% C1 C0 C0 * r C2 C1 C0 * r Notemos que sólo calculamos intereses sobre el principal C 2 C 0 C0 * r C0 * r C0 2 * C 0 * r Cn C 0 n * C0 * r Cn C0 (1 n * r ) . C2 = C0 (1+r) + r*(C0 (1+r) )= = 121 C2 = C0 (1+r) (1+r) = C0 (1+r)2 Para n períodos: Cn = Cn-1 + r * Cn-1 ==> Cn = C0 * (1 + r)n r 0 r 1 r r 2 3 .Interés Compuesto IN42A Interés Compuesto: Significa que el interés ganado sobre el capital invertido se añade al principal. De otra forma se asume reinversión de los intereses en periodos intermedios. Supongamos que C0 = $100 y r = 10% C1 = C0 + r * C0 = C0 (1+r) =110 C2 = C1 + r * C1 Intereses sobre capital más intereses. Se gana interés sobre el interés. 525. r = 5% y n = 40 años: • Interés Simple ==> Cn = $ 300 • Interés Compuesto ==> Cn = $ 704 (2. Co = 100.05 veces) Co = 100.35 veces) Co = 100.Interés Simple vs Interés compuesto IN42A Veamos que se obtiene para un período más largo y diferentes tasas de interés. r = 10% y n = 40 años: • Interés Simple ==> Cn = $ 500 • Interés Compuesto ==> Cn = $ 4.35 (28.27 veces) . r = 15% y n = 40 años: • Interés Simple ==> Cn = $ 700 • Interés Compuesto ==> Cn = $ 26.786.93 (9. Interés Compuesto .Intervalos IN42A Interés Compuesto versus Simple 350 300 Dólares 250 200 150 compuesto s ré te in n o c Crecimiento @10% Descontando 100 50 0 0 1 2 3 Interés Simple 4 5 6 Años 7 8 9 10 11 Interés Compuesto @10% 12 . Inflación IN42A La inflación es el aumento sostenido y generalizado del nivel de precios. . Si existe inflación los pesos de hoy no comprarán las mismas cosas que en un año más. Que las papas suban un 10% significa necesariamente que hubo inflación? La respuesta es no ya que la inflación se mide a través de índices (IPC en Chile) que miden la evolución de los precios de una canasta promedio de bienes y servicios. no significa que todos los bienes y servicios de esta canasta varíe en el mismo porcentaje. Por lo tanto la variación del IPC mide la tasa de inflación. Por otro lado el IPC no es el precio de la canasta. los 1. suponga además que el IPC es de 6% a lo largo del año.06=1. Con esto podemos ver que está el valor NOMINAL.Inflación IN42A Ejemplo: Supongamos que un depósito bancario por 1.100 dólares podrán adquirir 1.100/1.100 dólares al final del año. En segundo término.74 dólares hoy.037. está el valor REAL que corresponde a los 1037. Al final de año. que serían en este caso los 1100 dólares. .74 dólares. . Esto es. conservando el poder adquisitivo del dinero. Esto significa que al cabo de un año el dinero debiera tener el mismo poder adquisitivo que el dinero que invertí. El ejemplo clásico es el de las tasas en UF + X% o tasas reflejadas como IPC + X%. existe un incremento en el monto a pagar (o cobrar).Tasa de interés real IN42A Una tasa de interés real es aquella que denota un aumento del poder adquisitivo. sin ajustar la moneda por inflación. Así la tasa de interés nominal no necesariamente significa un incremento en el poder adquisitivo. El ejemplo típico son los depósitos en pesos a 30 días de los bancos o los créditos en pesos. .Tasa de interés nominal IN42A Una tasa de interés nominal es aquella que denota un crecimiento en el monto de dinero. Tasa de interés real v/s nominal IN42A La fórmula general para convertir flujos de caja nominales futuros en flujos de caja reales es: FLUJO DE CAJA REAL = FLUJO DE CAJA NOMINAL (1 + TASA DE INFLACIÓN)t . Entonces con esto podemos decir que en realidad el Banco está ofreciendo una tasa real esperada de 3. pues se tiene sólo la estimación de la inflación. Ej: Un Banco le ofrece un 10% de interés. se sabe que la inflación podría llegar al 6% al final del año.Tasa de interés real v/s nominal IN42A Así surge la “Igualdad de Fisher”: (1 + rnominal) = (1 + rreal) * (1 + ) donde: Cabe = inflación esperada notar que la tasa nominal es cierta y la real es esperada.774 % . . Tasa de interés real v/s nominal IN42A Relación de paridad entre tasas para economías abiertas: (1+rreal) = (1+ Libor + s)(1+e) /(1+ ) Donde y r ya definidos Libor: Tasa de interés interbancaria de Londres s: Spread (depende del riesgo país) e: variación esperada del tipo de cambio . IN42A Interés real y nominal aplicado a VF Si la tasa es nominal VF= VP ( 1 + rnominal )n / ( 1 + π )n Si la tasa es real VF = VP ( 1 + rreal )n . 1 Tasas reales/nominales is = [ ( 1 + ic ) n .1 ] / n Para transformar entre tasas de interés compuestas expresadas en diferentes periodos: (1 + ranual)=(1+rmensual)12 Tasas simples/compuestas De aquí en adelante usaremos sólo interés compuesto (real o nominal). .Conversión de Tasas IN42A rnominal=(1 + rreal)*(1 + π) . ya que es el habitualmente utilizado. esta familia cancelará todos los gastos de la universidad al comenzar el año) . (Nota: suponga que esta familia hará el primer depósito apenas Ud. El banco le ofrece un crédito hipotecario por el 75% del valor. a 10 años plazo. Un matrimonio joven. Suponiendo que el niño ingresará a la universidad al cumplir los 18 años. De igual forma. a ser pagada en tres años. le entregue el resultado y que realizará todos los depósitos una vez al año. el matrimonio estima que se requerirán 150 UF anualmente para cubrir todos los gastos de la educación durante 5 años. con una tasa anual de 8%. ¿Cuánto va a cancelar como dividendo mensual? 2. con un hijo que acaba de cumplir hoy 9 años. Si la tasa de interés real para los depósitos es de 6% anual. al comenzar el año. pretende ahorrar para financiar la educación universitaria del niño. Usted quiere comprar un departamento que cuesta UF3.Ejemplos IN42A 1.000 UF. ¿Cuál es el valor que habría que pagar? 3. Considere una deuda al 12% anual por un monto de 1. determine el ahorro anual que debe realizar esta familia hasta el momento de matricular al hijo en la universidad.600. Al cabo de 5 años.Ejemplos IN42A 4. Una empresaria necesita para las actividades de su negocio un furgón.000.000. La tasa de descuento es 1% mensual. Para obtenerlo tiene dos alternativas: Comprarlo: a un precio de $6. (No considere depreciación) ¿cuál alternativa le conviene más? 5. en cuotas mensuales de $100.000 Arrendarlo. los cuales tienen una tasa de 8% anual.000. podría venderlo a un precio de $2. el que decide invertirlo en certificados del gobierno a 15 años. ¿cuál es el valor final de su inversión? . Un ingeniero recibe por un trabajo US$10.500. El furgón tiene una vida útil de 5 años.000. Si la inflación permanece con una tasa de 6%.