InventarioFrancis Balbontín Escorza Definición de inventario Es una cantidad almacena de materiales que se utilizan para facilitar la producción y así satisfacer las demandas del consumidor. Por lo general los inventarios incluyen materias primas, productos en proceso y productos terminados. El inventario es una de las funciones más importantes de producción ya que se invierte gran cantidad de dinero y nos afecta en el servicio al cliente. Materias Primas Productos Terminado s Producto s en proceso Producto s en proceso Producto s en proceso Proveedores Clientes Proceso Productivo Tasa de Demanda Tasa de oferta Nivel de Inventario Objetivo de los inventarios La función principal es independizar y desacoplar las distintas fases del proceso productivo. El Inventario de materias primas desconecta a un fabricante de sus proveedores; el inventario de productos en proceso desacopla las muchas etapas de la manufactura y el inventario terminado desacopla al fabricante de sus clientes. Materias Primas Primera etapa de producto en proceso Segunda etapa de producto en proceso Productos terminado s Tasa de Oferta del proveedor Materiales de baja calidad Desperdicios Desperdicios Tasa de demanda del consumidor Tasa de Uso de la materia prima Tasa de salida de la primera etapa Tasa de Salida de la segunda etapa Razones para mantener inventario 1.-Protección contra incertidumbre: Inventario de productos terminados: ante un cambio en la demanda, mediante el inventario podemos evitar un cambio en la producción, de tal forma de poder desacoplar producción con la demanda. Inventario de materias primas: absorbe la incertidumbre del tiempo de entrega de nuestros proveedores Inventario de procesos: sirve para eventuales fallas en las máquinas, mantención no planificada, operarios poco confiables. Al bajar nuestro nivel de incertidumbre bajamos el nivel de inventario. 2.- Para permitir compras y producciones bajo condiciones económicas ventajosas: Con frecuencia es más económico producir materiales en lotes. En este caso, un lote puede producirse en un periodo corto y entonces no se realiza ninguna producción adicional hasta que el lote esta casi agotado, esto hace posible prorratear el costo de uso de maquinaria de producción en un número grande de artículos. También permite el uso del mismo equipo productivo para diferentes productos. Se presenta una situación similar en la compra de materia prima, debido a que puede haber descuento por lote y costos por transporte a veces es más económico al comprar en grandes cantidades, aún cuando parte de ellas se conservan en inventario para su uso posterior. El inventario resultante de las compras o de la producción de material en lote recibe el nombre de inventario de ciclo, dado que los lotes se producen o compran en forma cíclica. 3.-Cubrir cambios anticipados en oferta o demanda: Hay varios tipos de situaciones donde los cambios en la demanda o la oferta pueden ser anticipados. Un caso es aquel donde el precio o disponibilidad de materia prima están expuestas al cambio, por ejemplo: cuando existe una negociación, la empresa se provee produciendo más ante una eventual huelga. Otra fuente de anticipación es una promoción planeada de mercado donde una gran cantidad de artículos terminados puedan almacenarse antes de la venta. En Ambos casos aumenta su inventario. 4.-Para mantener el Tránsito: Los inventarios en tránsito consisten en materiales que están en camino de un punto a otro. A estos inventarios los afectan las decisiones de la ubicación de la planta productiva y la selección de la forma de transporte. Hablando técnicamente, los inventarios que se mueven entre etapas de producción, incluso dentro de una planta pueden también clasificarse como inventarios en tránsito. Tipos de Inventarios Demanda Independiente Esta determinada por las condiciones del mercado fuera del control de operaciones (independiente de la producción). Tiene filosofía de reposición. Demanda tiempo Productos terminados Partes de repuestos Demanda Dependiente Relacionada con la demanda de otro artículo, no la determina el mercado, depende de las operaciones (producción); de nosotros como empresa; generalmente es preparada en lotes. Se requiere una partida cuando se hace un lote y después no se requiere partes hasta que se procesa otro lote. Tiene filosofía de requerimiento. Demanda Productos en procesos Materias Primas Tiempo Costos de Inventario 1.-Costo del Artículo: Es el costo de comprar o producir los artículos individuales del inventario, este puede ser menor si se hace un descuento por lote. 2.-Costo de ordenar los pedidos o preparación: No depende de la cantidad de artículos que vamos a producir, se le aplica al lote, por ejemplo: costo de transporte, costo de administración (papeleo), costo de recepción (papeleo dentro de la empresa). 3.-Costo de inexistencia: Pérdida de venta, pérdida de imagen, negocio futuros, más costos extraordinarios (horas extras). 4.-Costos de inventarios o conservación: Costo de almacenamiento: permanencia de los artículos en el inventario Costo de Capital: costo de oportunidad, dinero, deterioro que no se puede usar en otra cosa dentro de la empresa. Costo de obsolescencia: existencias que resultan invertibles, por cambios en los gustos de los consumidores. Costos por deterioro y pérdida. Modelo de lote económico Modelo de compras sin déficit (Wilson) Supuestos 1.- La demanda es constante, recurrente y conocida sin variación aleatoria y continua por tiempo indefinido. 2.-El tiempo de entrega es constante y conocido, siempre es un número fijo de días. 3.-No se permiten inexistencias dado que la demanda y el tiempo de entrega son constantes, se puede determinar con exactitud el momento de hacer una compra de materiales para evitar inexistencias. 4.-El material se adquiere o produce en lotes o grupos y el lote se coloca al inventario de una sola vez 5.-Se usa una estructura de costos especifica de la siguiente manera: El costo unitario del artículo es constante. No existen rebajas por grandes compras. El costo de mantenimiento depende linealmente del nivel promedio de inventario. Existe un costo fijo de orden o colocación para cada lote que es independiente del número de artículos en el mismo. EL artículo es un producto singular, no existe interacción con otros productos. Bajo estas suposiciones el nivel de inventario en el tiempo se muestra en la figura 1. La figura muestra un perfecto patrón de diente de sierra debido a que la demanda es constante y los artículos son adquiridos en tamaños fijos de lote. tiempo Intervalo de Orden Ordenes se reciben en forma Instantánea Nivel promedio de inventario t t t E n E x i s t e n c i a Q = T a m a ñ o d e l l o t e 2 Q Cálculo lote económico Variables: D: Tasa de demanda anual (unidad/año) S: Costo de ordenar un pedido ($/ orden) C: Costo unitario del artículo ($/unidad) i: Tasa de interés anual por mantener inventario (%, año) CT= Q: Tamaño del lote (unidad) H: Costo de mantener una unidad en inventario R: Punto de reoreden Costo total de comprar anual Costo total de mantener el inventario durante un año + Costo de Comprar Anual: N° de ordenes anuales * costo de ordenar Q D órdenes º = de N Costo de compra anual = S Q D * $ ( ) año Costo de mantener el inventario durante un año = Tasa anual por mantener inventario Costo Unitario Inventario Promedio durante el año * * Costo de conservar una unidad en inventario por un año Costo de mantener inventario durante un año = 2 * * Q C i Inventario Promedio: 2 Mínimo Inventario Máximo+ Inventario En esta ecuación el inventario es , un máximo de Q unidades es mantenido con forme llega un lote, la cantidad mínima que se mantiene es cero unidades, dado que la existencia es usada a una tasa constante el inventario promedio es 2 Q 2 Q 2 D S Q CT i c Q × = + × × Por lo tanto EoQ Costo Total Costo Mínimo Tamaño del lote Q Costo de Compra de Pedido Costo de Inventario 2 Q i C × × S D Q × C o s t o A n u a l ( $ / a ñ o ) ( C T ) 2 S D Q i C Q × + × × Conforme Q Aumenta, la componente del costo de compra disminuye debido a que se colocan menos pedidos al año Sin embargo al mismo tiempo la componente del costo de inventario aumenta debido a que se conserva más inventario promedio. Entonces los costos de compra y de mantener el inventario se compensan, uno disminuye, en tanto el otro aumenta. Debido a esto la función de costo total tiene un mínimo, el cual se encuentra de la siguiente forma: Encontrar el valor de Q que minimiza el costo total 2 D S Q CT i c Q × = + × × 2 ( ) 1 0 2 d CT D S i c dQ Q × = = ÷ + × × 2 2 D S i c Q × × = 2 2 D S Q i c × × = × * 2 D S Q i c × × = × Ec 1 La ecuación 1 minimiza el costo de operación del inventario. Limitaciones de Wilson 1.-Se supone que la demanda es constante, mientras en muchas situaciones reales la demanda varía sustancialmente. 2.-Se supone el costo unitario constante, pero en la práctica con frecuencia, existen descuentos en la compra por grandes cantidades. 3.-Se supone que el material en el lote llega completo, pero en algunos casos el material se coloca dentro del inventario en forma continua, conforme se reduce. 4.-Se asume un solo producto, pero algunas veces se compran múltiples artículos a un solo proveedor y todos se embarcan al mismo tiempo. 5.-Se supone el costo de ordenar es constante y este se puede reducir (JIT). Entrega Uniforme de lote ó Modelo de lote con tasa de producción finita Se relaja el supuesto de reaprovisionamiento instantáneo. En algunos casos no se coloca el lote entregado en el inventario a un tiempo sino se hace gradualmente. Un ejemplo es un fabricante que forma el inventario a una tasa de producción constante, otro ejemplo es un detallista (distribuidor) que recibe el lote en varios embarques durante un periodo. El efecto de esa condición de entrada en el inventario se presenta en la figura 2. tiempo Q Tasa = D Tasa = p - D t p t d I n v e n t a r i o d i s p o n i b l e Q D El nivel de inventario se alcanza en forma gradual conforme ocurren tanto la producción como el consumo, entonces el nivel de inventario se agota si únicamente toma lugar el consumo. El efecto de entrada gradual es reducir el nivel de inventario máximo y promedio respecto del obtenido en el caso de Wilson. Supóngase que se producen unidades a un ritmo de p unidades al año y se consumen a un ritmo de D unidades al año donde p >D. Cálculo del modelo entrega uniforme de lote P: tasa de producción anual tp: tiempo en el cual el inventario aumenta a una tasa (P-D) td: Tiempo durante el cual el inventario solo se consume : Tiempo de demora en consumir el lote Q Q D Costo total de comprar anual Costo total de mantener el inventario durante un año + CT: Nivel promedio de inventario El inventario máximo nunca llega a Q, sino que es algo menor, por lo tanto el inventario promedio no será Entonces el inventario máximo será ( Q máx) 2 Q max p Q p D t ÷ = Pero el tiempo que se requiere para producir un lote es: p Q t p = Sustituyendo max Q p D Q p ÷ = max ( ) Q Q p D p = ÷ Finalmente max (1 ) D Q Q p = ÷ El inventario promedio es entonces: . . .Pr 2 Inv Máximo Inv Mínimo Inv omedio + = (1 ) 0 2 D Q p ÷ + = . Pr (1 ) 2 Q D Inv omedio p = ÷ (1 ) 2 D S Q D CT i c Q p × = + × × × ÷ Al minimizar CT (derivo e igualo a cero) obtengo Q óptimo: 2 (1 ) S D Q D i c p - × × = × ÷ Modelo del lote Económico con Ordenes Pendientes Se relaja de la inexistencia de órdenes pendientes (déficit). El costo de déficit es proporcional tanto al número de unidades en déficit (B) como a la longitud del período de déficit (t D ). Sea: B= costo de déficit durante un año D B Q ti ) ( ÷ = D Q T = D B tD = Así: Inventario promedio sin déficit ( ) ( ) Q B Q T B Q ti 2 2 1 2 ÷ = ÷ = Nivel promedio de déficit: Q Bt T B D 2 2 1 2 = El costo total anual será: ( ) Q B Q H Q D S CT B B Q 2 2 2 2 + + = ÷ Los valores óptimos de Q y B se pueden obtener del sistema de ecuaciones: ( ) 0 = c c Q CT ( ) 0 = c c B CT b b H H SD Q + = * 2 * b>0 | . | \ | + | . | \ | = = + B H H B SD B Q B H H 2 1 2 1 * * * 2 Tamaño del Lote Económico para múltiples ítems Una situación frecuente de aplicaciones industriales de tamaño del lote económico es cuando se utiliza una pieza de equipo para procesar varios ítems en forma cíclica, también se denomina “preparaciones mayores y menores de máquina”. Para simplificar se considera que cada ítem es producido en cada ciclo, todos los ciclos son iguales y se utilizan los mismos equipos para producir ítems. Sea: S i = costo fijo de preparación para el producto i o costo de ordenamiento N = número de órdenes o de ciclos P i = tasa de producción de i o tasa de reposición H i = costo de mantener inventario del producto i El costo anual de inventarios es: ¿ ¿ = = ÷ + = m i m i i i i i P D D N S N CT i H 1 1 ) 1 ( 2 1 Por tanto el número de ciclos óptimos es: | | . | \ | ÷ ¿ ¿ = ¬ = c c i i i N CT S Pi Di D H N 2 ) 1 ( 2 1 * 0 El tamaño óptimo del lote es: N D Qi Q CT i = ¬ = c c 0 Es razonable requerir que N* sea un entero, si esto no ocurre se debe chequear los enteros de corte y elegir aquel que minimice el costo total. Es importante asegurarse que el tiempo de ciclo es lo suficiente como para permitir la puesta a punto y la producción del lote de cada ítem. El tamaño óptimo del lote es: N D Qi Q CT i = ¬ = c c 0 Modelo Rompimiento de Precios Los proveedores con frecuencia ofrecen descuentos en órdenes grandes. Estos se pueden dar en diferentes cantidades de compra y se pueden aplicar a toda la orden o únicamente al incremento adquirido. Supondremos que los descuentos de precios se aplican a toda la orden, por ejemplo: El precio unitario puede ser de $2 (unid) por la compra de 1 a 99 unidades y de $1.5 (unid) para 100 unidades o más; el costo de compra de 99 unidades es de $198 y para 100 unidades es de $150. Para resolver el problema de la cantidad económica de pedido el procedimiento es: Se calcula primero [EOQ (Wilson)] el lote económico para cada precio diferente de compra. Algunos lotes económicos no pueden ser confiables en virtud de que el lote económico cae fuera del rango (unidades) del precio utilizado para calcularlo. Los lotes económicos no confiables se eliminan para consideraciones adicionales. Para cada lote económico confiable se calcula el costo total (costo de compra + costo de operación inv.) para cada nivel de precio de escala. El lote económico confiable o el precio de ruptura que resulta en el costo total más bajo se selecciona como la cantidad de orden En este modelo la idea es buscar si el aumento en el nivel de inventario esta compensado por la reducción de precios. Por ejemplo: D = 1000 (unidades/año) “tasa de demanda anual” i = 20% anual “tasa de interés” S = $ 10 orden “costo de ordenar un pedido” “costo unitario” C1= $5 por unidad, de 1 a 199 unidades C2 = $ 4.5 por unidad, de 200 a 499 unidades C3 = $4.25 por unidad, de 500 unidades en adelante 1.-Se calcula lote económico a los tres valores Ci: * 2 D S Q i c × × = × 1 2 10 1000 141 0.2 5 Q - × × = = × (1-199) Confiable 2 2 10 1000 149 0.2 4.5 Q - × × = = × (200-499) No Confiable 3 2 10 1000 153 0.2 4.25 Q - × × = = × (500 ó más) No Confiable Q 2 y Q 3 , No son confiables y no se utilizan más. 2.- 3.-Calcular CT para confiables (Q1 =141), para los otros dos utilizamos el punto de ruptura Q2 = 200; Q3 = 500. 2 D S Q CT i c c D Q × = + × × + × Agrega a esta ecuación de costo dado el costo anual de comprar CD, se vera afectado por el descuento 1 1000 10 141 0.2 5 5 1000 5141 141 2 CT × = + × × + × = 2 1000 10 200 0.2 4.5 4.5 1000 4640 200 2 CT × = + × × + × = 3 1000 10 500 0.2 4.25 4.25 1000 4482 500 2 CT × = + × × + × = 4.-Dado que el costo anual CT (500) es mas bajo, se debe ordenar 500 unidades, es decir 2 veces al año. Q CT CT 1 = 5141 CT 2 = 4640 CT 3 = 4482 141 149 153 200 500 Inventario Probabilística 1.-Sistema de revisión continua (SRC) Q: La demanda D y el tiempo de entrega L varían aleatoriamente y se supone el abastecimiento global, cuando el inventario decrece hasta el punto de reorden R, se coloca un pedido por una cantidad fija Q, como el tiempo de entrega y la demanda varían la cantidad que se tiene en el momento que se recibe la orden también varía. Sin duda pueden ocurrir faltantes como se muestra en el período L2. Si se aumenta el punto de reorden se reduce la posibilidad de faltante pero el costo de conservación aumenta. Chequea continuamente los niveles de inventarios (todo el tiempo) La figura 1 muestra este sistema Q Q Q R 1 R 2 R 3 L 1 L 2 L 3 tiempo Cantidad que se tiene R = punto de reorden El reto es encontrar el mejor intercambio entre el riesgo de faltante y el aumento en el costo de conservación; lograr esto depende de que se conozcan o no los costos de faltante, el caso en que no se conocen es más sencillo y se considerará. Cuando No se conoce el costo por Faltante Es necesario calcular la cantidad fija de reorden como el punto de reorden. Para encontrar la cantidad de reorden se utiliza el modelo básico Q* (Wilson), los faltantes se ignoran y se supone que la incertidumbre en la demanda es despreciable, con la demanda promedio. Donde: Q = Tamaño del lote económico en unidades D = Demanda promedio en unidades por año S = costo de ordenar, por orden C = Costo por unidad i = Porcentaje de conservación por unidad por año 2 D S Q i c × × = × ¿Cómo encontrar el punto de reorden? No existe una manera óptima de encontrar R óptimo cuando no se conocen los costos faltantes. En su lugar se usan los conceptos de inventario de seguridad y nivel de servicio para hacer un juicio sobre un riesgo de faltante aceptable. También se toma en cuenta el hecho de la posibilidad de quedar sin artículos en almacén, existe sólo esta posibilidad durante el tiempo de entrega. Para entender esto considérese la figura 1, cuando el nivel de inventario esta arriba del punto de reorden, como antes de colocar el pedido R1, no hay posibilidad de quedar sin existencias, cuando el nivel baja al punto de reorden, se coloca un pedido y comienza el período de entrega. Solo durante estos períodos “L1, L2 y L3” existen posibilidades de faltante, entonces para determinar el punto de reorden solo es necesario conocer la distribución de demanda durante el período de entrega. Esto se llama Demanda del tiempo de entrega. R = punto de reorden p m d L = × s Z o = × Figura 2: “Distribución de la demanda del punto de entrega” Donde: promedio entrega de Tiempo L promedio diaria Demanada = = p d En la figura 2 se muestra la demanda del tiempo de entrega; se muestra una distribución normal centrada en la demanda promedio del tiempo de entrega Si el tiempo de reorden se iguala a la demanda diaria del tiempo de entrega, el inventario que se tiene en el momento de recibir una orden será cero en promedio, pero la mitad de las veces será más que cero y la mitad de las veces será menos que cero, es decir habrá faltantes. Como una posibilidad de quedar sin existencias de 50% es muy alta se debe agregar un inventario de seguridad “s”, el efecto del inventario de seguridad se muestra en la figura 3, el punto de reorden se incrementa para dar mejor protección contra los faltantes durante el periodo de entrega. Figura 3: Q Q Q L 1 L 2 L 3 tiempo Cantidad que se tiene R = punto de reorden p d L × s = Inventario de Seguridad R m s = + p m d L = × s Z o = × Donde: R = Punto de reorden m = Demanda promedio del tiempo de entrega s = Inventario de seguridad Z = nivel de servicio o = Desviación estándar. Porcentajes de demanda con distribución Normal Z Nivel de servicio (%) Inexistencia (%) 0 50.0 50.0 0.5 69.1 30.9 1.0 84.1 15.9 1.1 86.4 13.6 1.2 88.5 11.5 1.3 90.3 9.7 1.4 91.9 8.1 1.5 93.3 6.7 1.6 94.5 5.5 1.7 95.5 4.5 1.8 96.4 3.6 1.9 97.1 2.9 2.0 97.7 2.3 2.1 98.2 1.8 2.2 98.6 1.4 2.3 98.9 1.1 2.4 99.2 0.6 2.5 99.4 0.6 2.6 99.6 0.5 2.7 99.6 0.4 2.8 99.7 0.3 2.9 99.8 0.2 3.0 99.9 0.1 Tabla 1: Tabla del porcentaje de demanda con distribución normal, con esta tabla es posible determinar Z y el punto de reorden. Un ejemplo puede ayudar a comprender algunas de estas ideas. Supóngase que se esta administrando un almacén que distribuye un cierto tipo de desayunos a distribuidores menores. Este alimento tiene las siguientes características: Demanda promedio = 200 cajas al día Tiempo de entrega = 4 días de reabastecimiento por parte del proveedor Desviación estándar de la demanda diaria = 150 cajas Nivel de servicio deseado = 95% S = $ 20 por orden i = 20% al año C = $10 por solicitud Supóngase que se utilizará un sistema de revisión continua y también que el almacena abre 5 días a la semana, 50 semanas al año o 250 días al año. Entonces la demanda promedio anual = 250 (200) = 50.000 cajas al año. La cantidad económica del pedido es: 6 2 20 250 200 10 1000 10 0.20 Q cajas × × × = = = × La demanda promedio durante el tiempo de entrega es de 200 cajas al día durante 4 días; por lo tanto, m = 4(200) = 800 cajas. La desviación estándar de la demanda durante el tiempo de entrega es El nivel del 95% requiere de un factor de seguridad de z = 1.65 (ver tabla) Entonces se tiene 1295 300 * 65 . 1 800 * = + = + = o z m R La regla de decisión del sistema Q es colocar una orden por 1000 cajas todas las veces que la posición de existencias caiga a 1295 cajas. En promedio, se colocaran 50 órdenes al año y habrá un promedio de 5 días de trabajo entre órdenes. El tiempo real entre órdenes variara, sin embargo, dependiendo de la demanda. Para completar este ejemplo, en el párrafo siguiente se simula la operación de la regla de decisión del sistema Q. Aquí se generaron una serie de demandas aleatorias sobre la base de un promedio de 200 cajas al día y una desviación estándar de 150 cajas al día. Se supone que se tienen 1100 unidades disponibles al inicio de la simulación y ninguna orden por recibir. Se coloca una orden por 1000 cajas todas las veces que la posición de existencias alcance las 1295 unidades. La posición de existencia se revisa cada día, como se hace con la demanda, para una posible orden. El resultado es que las órdenes se colocan en periodos 1, 7, 10 y 15. El nivel de inventario más bajo es de 285 unidades al inicio del día 10. Será una buena práctica verificar los números que aparecen en el apartado. 4 150 300 unidades × = Ejemplo de un sistema Q* Día Demanda Disponible al inicio del periodo Pedido al inicio del periodo Inventario del periodo Cantidad ordenada Cantidad Recibida 1 111 1100 ------ 1100 1000 ----- 2 217 989 1000 1989 ----- ----- 3 334 772 1000 1772 ----- ----- 4 124 438 1000 1438 ----- ----- 5 0 1314 ----- 1314 ----- 1000 6 371 1314 ----- 1314 ----- ----- 7 135 943 ----- 943 1000 ----- 8 208 808 1000 1808 ---- ----- 9 315 600 1000 1600 ---- ----- 10 0 285 1000 1285 1000 ----- 11 440 1285 1000 2285 ---- 1000 12 127 845 1000 1845 ----- ----- 13 315 718 1000 1718 ---- ---- 14 114 1403 ----- 1403 ---- 1000 15 241 1289 ----- 1289 1000 ---- 16 140 1048 1000 2048 ---- ---- Tabal 1:Para esta tabla se ha utilizado Q = 1000 y R = 1295 Sistema de revisión periódica En algunos casos la posición de existencias de producto terminado se revisa periódicamente más que en forma continua. Supóngase que un proveedor únicamente aceptará órdenes y hará entregas en intervalos periódicos, por ejemplo, cada 2 semanas, conforme su vehículo repartidor regresa de sus recorridos a su tienda. En este caso, la posición de existencia se revisa cada dos semanas y pide una orden si se requiere material. En esta sección se supone que la posición de existencias se revisa periódicamente y que la demanda es aleatoria. Todas las suposiciones EOQ (Wilson) de la sección, siguen siendo aplicables, excepto la demanda constante y las no existencias. En un sistema de revisión periódica, la posición de existencia se revisa a intervalos fijos cuando se realiza la verificación, la posición de existencia es rebautizada como un nivel objetivo de inventario. El nivel objetivo se fija para cubrir la demanda hasta la siguiente revisión periódica más el tiempo de entrega del embarque. Se ordena una cantidad variables dependiendo de cuanto se necesita para colocar la posición de existencia en el objetivo. El sistema de revisión periódica con frecuencia recibe el nombre de sistema P de control de inventario, el sistema de intervalo-orden-fijo, el sistema de periodo-orden-fijo, o simplemente el sistema periódico. Una definición formar de la regla del sistema P es la siguiente: Revisar la posición de existencia (o material disponible más el material en camino) en intervalos periódicos fijos P. después de cada revisión se ordena una cantidad igual al inventario objetivo T menos la posición de existencia. Una grafica de la operación de este sistema se presenta a continuación, la posición de existencia cae de una forma irregular hasta que se llega el momento fijo de una revisión. En ese instante se ordena una cantidad para colocar la posición de existencia en el nivel objetivo. La orden llega posteriormente, después de un tiempo de entrega L; entonces el ciclo de utilización, reorden y recepción de materiales se repite. L Tiempo I n v e n t a r i o D i s p o n i b l e Q 1 Q 2 Q 3 L L Q 1 Q2 2 Q 3 P P P El sistema P funciona de un manera totalmente diferente al sistema Q debido a que (1) no tiene un punto de reorden sino un inventario objetivo; (2) no tienen una cantidad económica del pedido, sino que la cantidad varia de acuerdo a la demanda; y (3) en el sistema P el inventario de compra es fijo, no la cantidad de la misma. El sistema P se determina completamente por los dos parámetros, P y T. Una aproximación al valor óptimo de P se puede realizar mediante la utilización de la formula EOQ en la ecuación. Dado que P es el tiempo entre órdenes, esta relacionado con la EOQ de la siguiente forma: Q P D = Entonces, sustituyendo la formula EOQ por Q, se tiene: 1 2 2 Q D S S P D D i C i C D × × × = = = × × × La ecuación Anterior proporciona un inventario de revisión aproximadamente óptimo P. El nivel de inventario objetivo se puede establecer de acuerdo a un nivel de servicio especificado. En este caso el inventario objetivo se fija lo suficientemente alto para cubrir la demanda durante el tiempo de entrega más el periodo de revisión. Se requiere este tiempo de previsión debido a que el material en almacén no será reabastecido sino hasta el siguiente periodo de revisión y a dicho material le tomará el tiempo de entrega para llegar. Para alcanzar el nivel de servicio especificado, la demanda debe ser satisfecha por todo el tiempo P+L en el nivel promedio más un inventario de seguridad. Entonces se tiene: ' ' T m s = + Donde: T = nivel de inventario objetivo m’ = demanda promedio durante P + L s’ = inventario de seguridad El inventario de seguridad debe ser lo suficientemente elevado para asegurar el nivel deseado de servicio. Para el inventario de seguridad, se tiene: ' ' s z o = × Donde: = la desviación estándar durante P + L z = factor de seguridad ' o Al controlar Z, se puede controlar el inventario objetivo y el nivel de servicio resultante. Para ejemplificar, se utilizara el ejemplo de los desayunos (ejemplo anterior). Debe recordarse que el EOQ fue de 1000 cajas y la demanda diaria de 200 cajas. El intervalo óptimo de revisión es entonces: 1000 5 200 Q P días D = = = La formula para el inventario objetivo es ' ' T m zo = + En este caso, m’ es la demanda promedio durante P + L =5 + 4 = 9. Entonces se tiene: m’ = 9(200) = 1800. La desviación estándar es para el periodo P + L = 9 días. Entonces se tiene donde 150 es la desviación estándar diaria y 9 es el número de días. Por lo tanto ' 9 150 450 o = × = 1800 450 T z = + × Para un nivel de servicio del 95% se necesita z = 1.65, entonces. 1800 1.65 450 2542 T = + × = La regla de decisión del sistema P es revisar la posición de existencia cada 5 días y ordenar para un objetivo de 2542 cajas. Es interesante observar, en este punto, que el sistema P requiere 1.65(450) = 742 unidades de inventario de seguridad, mientras que el mismo nivel de servicio lo proporciona el sistema Q con únicamente 1.65 (300) = 495 unidades de inventario de seguridad. Un sistema P siempre requiere más inventario de seguridad que un sistema Q para el mismo nivel de servicio. Esto se debe a que el sistema P debe proporcionar la satisfacción de la demanda durante un tiempo P +L, mientras que el sistema Q debe protegerse contra inexistencias únicamente durante el tiempo L. Este ejemplo se completa con la tabla 2, en la cual se utilizan las mismas cifras de la demanda que en la tabla 1. Aquí sin embargo la revisión es periódica en lugar de continua. Se realiza una revisión en los períodos 1, 6, 11 y 16, esto es cada 5 períodos. Las cantidades ordenadas son de 1442, 786, 1029 y1237. Mientras que el período de revisión es fijo, la cantidad ordenada no lo es. El uso de los sistemas P y Q en la práctica En la Industria, ambos sistemas P y Q así como sus modificaciones se encuentran en pleno uso para la administración de inventarios con demanda independiente. La selección de entre estos dos sistemas no es una cosa simple y puede ser realizada de acuerdo a la práctica gerencial así como a aspectos económicos. Existen, sin embargo, algunas condiciones bajo las cuales se pueden preferir el sistema P más que el sistema Q: 1.-El sistema P debe utilizarse cuando e deben colocar y/o entregar pedidos en intervalos específicos. Un ejemplo es la orden y la entrega semanales de productos enlatados a una tienda de abarrotes. 2.-El sistema P debe utilizarse cuando se ordenan artículos múltiples al mismo proveedor y que deben entregarse en el mismo embarque. En este caso el proveedor preferirá la inclusión de los artículos en una sola orden. Un ejemplo son los diferentes colores de pintura que pueden ser adquiridos de un proveedor de pinturas. El proveedor entregara entonces en tiempos fijos en lugar de hacer entregas de los diferentes colores de pinturas en tiempos diferentes. 3.-El sistema P debe utilizarse para artículos pocos caros que no se pueden conservas en registros perpetuos de inventario. Un ejemplo son las tuercas o tornillos que se utilizan en un proceso de manufactura. En este caso, las gavetas se pueden llenar diariamente o semanalmente. El tamaño de la gaveta determina el inventario objetivo y esta se llena hasta el nivel objetivo a intervalos fijos de tiempo. No se necesitan conservar registro de cada salida y entrada en el inventario. En suma, el sistema P proporciona la ventaja de reabastecimiento programado y la conservación de nuevos registros. Sin embargo, requiere de un inventario de seguridad algo más grande que el sistema Q, tal como se mostró en el ejemplo anterior. Debido a este inventario de seguridad más grande, con frecuencia el sistema Q se utiliza para artículos de alto valor donde se desea conservar baja la inversión en el inventario de existencia de seguridad. Por lo tanto, la selección entre los sistemas Q y P debe realizarse teniendo como base el tiempo de reposición, el tipo del sistema y conservación de registro y costo del artículo. Día Demanda Disponible al inicio del periodo Pedido al inicio del periodo Inventario del periodo Cantidad ordenada Cantidad Recibida 1 111 1100 ------ 1100 1442 ----- 2 217 989 1442 2431 ----- ----- 3 334 772 1442 2214 ----- ----- 4 124 438 1442 1880 ----- ----- 5 0 1756 ----- 1756 ----- 1442 6 371 1756 ----- 1756 786 ----- 7 135 1385 786 2171 ----- ----- 8 208 1250 786 2036 ---- ----- 9 315 1042 786 1828 ---- ----- 10 0 1513 ----- 1513 ----- 786 11 440 1513 ----- 1513 1029 ---- 12 127 1073 1029 2102 ----- ----- 13 315 946 1029 1975 ---- ---- 14 114 631 1029 1660 ---- ----- 15 241 1546 ----- 1546 ----- 1029 16 140 1305 ------ 1305 1237 ---- Tabla 2: Para esta tabla se utilizaron P = 5 y T = 2542 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. Planeación de las necesidades de los materiales. El sistema de planeación de materiales, es un sistema con mira hacia el futuro que se hace la pregunta siguiente: ¿qué es lo que se necesitará en el futuro?, ¿qué cantidad y cuando? reemplazando a los sistemas reactivos de inventarios que se preguntan: ¿qué es lo que debo de hacer ahora?. Este sistema de planeación es más complejo de manejar que los sistemas de inventarios reactivos, pero ofrece numerosas ventajas, pues reduce el inventario así como sus costos porque maneja el número de solo aquellos artículos y componentes que se necesitan para la producción (ni más ni menos). También disminuyen los retrasos en el procesamiento de las órdenes de trabajo porque al mirar hacia el futuro se asegura que los materiales estén disponibles para cuando se necesiten. Al establecer fechas realistas para la terminación de las órdenes de trabajo, logra que los trabajos sean hechos a tiempo. Las promesas de cumplimiento de una fecha se cumplan y los tiempos de producción se acortan. Las empresas suelen usar sistemas reactivos de control de inventarios (punto de reorden, cantidad económica de pedido), pero recientemente se ha descubierto que los sistemas de planeación de las necesidades de los materiales, tales como el sistema de planeación de los requerimientos de materiales (MRP), son mejores para los sistemas reactivos, sobre todo para artículos con demanda dependiente (conociendo la demanda del articulo, se conoce la demanda de los componentes del mismo), pues al conocer la demanda se va a conocer aproximadamente cuantos materiales serán necesarios para la producción, omitiendo las grandes existencias de seguridad. Objetivos del MRP. Objetivos del MRP. El MRP es un sistema para planear y programar los requerimientos de los materiales en el tiempo para las operaciones de producción y tiene los siguientes objetivos: Disminución de inventarios: El MRP determina cuantos componentes de cada uno se necesitan y cuando hay que llevar a cabo el plan maestro. Permite que el gerente adquiera el componente a medida que se necesita, por lo tanto, evita los costos de almacenamiento continuo y la reserva excesiva de existencias en el inventario. Disminución de los tiempos de espera en la producción y en la entrega. El MRP identifica cuales de los muchos materiales y componentes necesita, su disponibilidad, y que acciones son necesarias para cumplir con los tiempos limites de entrega. El coordinar las decisiones sobre inventarios, compras y producción resulta de gran utilidad para evitar las demoras en la producción. Concede prioridad a las actividades de producción, fijando fechas limite a los pedidos del cliente. Obligaciones realistas: Las promesas de entrega realistas pueden reforzar la satisfacción del cliente. Al emplear el MRP el departamento de producción puede darle al departamento de mercadotecnia la información oportuna sobre los probables tiempos de entrega a los clientes en perspectiva. Las órdenes de un nuevo cliente potencial pueden añadirse al sistema para mostrarle al administrador como se puede manejar la carga total revisada con la capacidad existente. El resultado puede ser una fecha de entrega más realista. Incremento en la eficiencia: El MRP proporciona una coordinación mas estrecha entre los departamentos y los centros de trabajo a medida que la integración del producto avanza a través de ellos. Por consiguiente, la producción puede seguir con menos personal directo, tales como expedientes de materiales, y con menos interrupciones no planeadas en la producción, porque con la base de MRP es tener todos los componentes disponibles en tiempos adecuadamente programados. La información proporcionada por el MRP estimula la eficiencia en la producción Componentes del sistema de MRP. La siguiente figura muestra los componentes básicos de un sistema MRP. Existen tres elementos fundamentales en el sistema MRP: un programa maestro de producción, un archivo del estado legal del inventario y un archivo de las listas de materiales para la estructura del producto. Usando estas tres fuentes de información del MRP proporciona tres tipos de resultados de información sobre cada uno de los componentes del producto que son: requerimientos para emitir órdenes, nueva programación de órdenes y órdenes planeadas. Programa maestro de producción Lógica de procesamiento de la MRP Archivo de las listas de materiales Archivo del estado legal del inventario Reprogramación de las órdenes Ordenes planeadas (futuras) requerimientos para emitir la orden Sistema de planeación de requerimientos de materiales Programa maestro de producción (MPS): el MPS se inicia a partir de los pedidos de los clientes de la empresa o de pronósticos de la demanda al inicio del MRP; llega a ser un insumo del sistema. Diseñado para satisfacer la demanda del mercado, el MPS identifica las cantidades de cada uno de los productos terminados y cuándo es necesario producirlo durante cada periodo futuro dentro del horizonte de planeación de producción. Las ordenes de reemplazo de componentes a los clientes también son consideradas como artículos finales en el MPS. Por tanto, el MPS proporciona la información focal para el sistema MRP; en ultima instancia, controla las acciones recomendadas por el sistema MRP en el ritmo de adquisición de los materiales y en la integración de los subcomponentes, los que se engranan para cumplir con el programa de la producción del MPS. Lista de materiales (BOM): la BOM identifica como se manufactura cada uno de los productos terminados, especificando todos los artículos subcomponentes, su secuencia de integración, su cantidad en cada una de las unidades terminadas y cuales líneas de producción realizan la secuencia de integración en las instalaciones. Esta información se obtiene de los documentos de diseño del producto, del análisis de flujo de trabajo y de otra documentación estándar de manufactura e ingeniería industrial. La información más importante que proporciona la lista de materiales a la MRP es la estructura del producto, que muestra la división del producto terminado en sus componentes más básicos. Al identificar con precisión los niveles en la estructura del producto, se muestran con claridad las relaciones entre los elementos componentes en todos los productos terminados. Cada elemento en la estructura del producto tiene un numero único de identificación. Por consiguiente conociendo el programa maestro para los productos terminados, el MRP puede programar y ubicar las ordenes en el tiempo para la obtención correcta de los elementos componentes de menores niveles en la estructura del producto. Archivo del estado legal de inventario: el sistema debe de contener un archivo totalmente actualizado del estado legal del inventario de cada uno de los artículos en la estructura del producto. Este archivo proporciona la información precisa sobre la disponibilidad de cada artículo controlado por el MRP. El sistema amplia esta información para mantener una contabilidad precisa de todas las transacciones en el inventario. El archivo del estado legal del inventario contiene número de identificación, cantidad disponible, nivel de existencias de seguridad, cantidad asignada y el tiempo de espera de adquisición de cada uno de los artículos. El tiempo necesario para adquirir un artículo, una vez que se ha iniciado su fabricación, se toma en cuenta al decidir cuando colocar el pedido para ese artículo. Lógica de procesamiento del MRP: la lógica de procesamiento del MRP acepta el programa maestro y determina los programas componentes para los artículos de menores niveles sucesivos a lo largo de las estructuras del producto. Calcula para cada uno de los periodos de tiempo cuantos de cada articulo se necesitan (requerimientos en conjunto), cuantas unidades del inventario existente se encuentran ya disponibles, la cantidad neta que se debe de planear al recibir las nuevas entregas (recepción de ordenes planeadas) y cuando deben de colocarse las ordenes para los nuevos embarques (colocación de ordenes planeadas), de manera que los materiales lleguen exactamente cuando se necesitan este procesamiento de datos continua hasta que se han determinado los requerimientos para todos los artículos que serán utilizados para cumplir con el programa maestro de producción. Información para la gerencia derivada del MRP: como resultado del MRP se obtiene un informe semejante al siguiente, para cada articulo de la estructura de producto: Informe del MRP para un artículo Se m 1 Sem 2 Sem 3 Sem 4 Sem 5 Sem 6 Sem 7 Sem 8 requerimientos en conjunto 400 500 Recepciones programadas Disponible para el periodo siguiente 50 50 50 50 requerimientos netos 350 500 Recepción de ordenes planeadas 350 500 Liberación de ordenes planeadas 350 500 El informe muestra que se requieren 400 unidades de este articulo (requerimientos en conjunto) en la semana 4 y 500 en la semana 8. Ningún pedido excepcional fue previamente colocado, por lo que no se tienen programadas unidades de este articulo para recepción en este momento. Existen, sin embargo, 50 unidades no comprometidas del artículo, disponibles en la actualidad en el inventario, las que se destinaran para satisfacer los requerimientos en la semana 4 por consiguiente, los requerimientos netos son de 350 unidades para la semana 4 y de 500 unidades para la semana 8, como este artículo tiene un tiempo de espera de tres semanas para su adquisición, el primer pedido debe de ser colocado (liberado) en la semana 1 y el segundo pedido en la semana 5. Este informe identifica claramente que acciones de adquisición se requieren para mantener la producción dentro del programa. También, proporciona a los proveedores un aviso por adelantado de los pedidos que le serán hechos en el futuro. Terminología Seleccionada del sistema y sus registros componentes Asignado: Cantidad disponible de un artículo cuyo destino o uso ha sido comprometido y no se encuentra disponible para hacer frente a futuros requerimientos. Requerimientos en conjunto: Cantidad global de un artículo que se necesita al final de cada periodo futuro para satisfacer los niveles planeado de producción. La producción planeada para los productos terminados se obtiene del programa maestro de producción. La producción planeada para los artículos de menores niveles se obtiene del sistema MRP. Recepciones programadas: Cantidad de un articulo que debe de recibirse al principio del periodo de los proveedores como resultado de la colocación de las órdenes (órdenes abiertas). Disponible: Cantidad de un articulo esperada para tenerse a la mano (disponible) al final de un periodo, para satisfacer los requerimientos que se presentan en periodos futuros. Incluye las recepciones programadas además de recepciones de órdenes planeadas, menos los requerimientos en conjunto del periodo, más la cantidad disponible del periodo anterior. Requerimientos netos: cantidad neta de un artículo que debe de ser adquirida para cumplir con la producción programada de ese periodo. Se calcula como: requerimientos en conjunto menos recepciones programadas para el periodo, menos la cantidad disponible del periodo anterior. Recepciones de ordenes planeadas: cantidad de un articulo que esta planeada para ser ordenada de manera que se reciba es ese tiempo para satisfacer los requerimientos del periodo. La orden aun no ha sido colocada. Liberación de ordenes planeadas: Cantidad de un articulo que esta planeado para ser ordenado y el tiempo planeado para colocar esta orden, lo que dará como resultado que la orden se reciba cuando se necesite. La recepción de la orden planeada, es compensada en el tiempo por el tiempo de espera del articulo. Cuando esta orden es colocada (liberada) se convierte en una recepción programada y desaparece de las recepciones de ordenes planeadas y de la liberación de las ordenes planeadas. Procedimiento de computación del MRP El procedimiento de computación del MRP utiliza la información de los recursos para calcular los registros actuales para cada componente y artículos, tal como se ilustra en el ejemplo siguiente. Una empresa fabrica sillas para cocina. Su silla más sencilla, el modelo H, tiene como componente dos marcos, uno para el asiento y las patas delanteras y otro para el respaldo y las patas traseras. Para ensamblar el asiento a las patas delanteras un trabajador necesita cuatro remaches (ver figura). De la misma manera, para ensamblar el respaldo y las patas traseras, el trabajador requiere de cuatro remaches más. Los dos marcos subensamblados (F y G) se juntan el uno con el otro con cuatro remaches cuando los dos subemsambles se combinan, el ensamble de la silla esta terminado Procedimiento de computación del MRP. El procedimiento de computación del MRP utiliza la información de los recursos para calcular los registros actuales para cada componente y articulo, tal como se ilustra en el ejemplo siguiente: Ejemplo: Una empresa fabrica sillas para cocina. El modelo H, tiene como componentes dos marcos, uno para el asiento y las patas delanteras y otro para el respaldo y las patas traseras. Para ensamblar el asiento a las patas delanteras, un trabajador necesita cuatro remaches. De la misma manera, para ensamblar el respaldo y las patas traseras, el trabajador requiere de cuatro remaches más. Los dos marcos subensamblados (F y G) se juntan el uno con el otro con cuatro remaches. Cuando los dos subensamblados se combinan el ensamblado de la silla esta terminado. La siguiente figura muestra la manera en que se realiza el ensamblado de la silla modelo H. La siguiente figura muestra el árbol de estructura del producto e información sobre los componentes, la cual incluye la identificación de los artículos, requerimientos para el artículo principal, tiempo de espera y descripción. H LT = 1 Silla Terminada F(1) LT = 2 Subensamble del respaldo/patas traseras G(1) LT = 2 Subensamble del asiento/patas delanteras E(4) LT = 1 Remache A(1) LT = 4 Marco para Asiento/patas delanteras E(4) LT = 1 Remache C(1) LT = 2 Asiento B(1) LT = 4 Marco para respaldo/patas traseras E(4) LT = 1 Remache D(1) LT = 2 Respaldo RMa RMc RMb RMd Identificación del artículo Tiempo de espera (semanas) Descripción del artículo Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Árbol de estructura del producto La silla terminada, articulo H es el componente de nivel superior; este incluye los componentes del nivel 1 con los que dependen de H, estos incluyen (nivel 0) a los artículos E, F y G. Los artículos A, B, C, D y E son los componentes individuales en el nivel 2, finalmente en el nivel mas bajo (nivel 3) los artículos son las materias primas (MP) para los componentes del nivel 2. La siguiente figura nos muestra un plan de requerimientos de materiales para un embarque de 500 sillas en 8n semanas, y 50 de cada uno de los artículos A y D en tres semanas para reemplazar y reparar sillas en el campo. Recepciones programadas 50 unidades de C la semana 3. H 0 1 100 50 0 Requerimientos en conjunto 500 Recepciones programadas Disponible 50 50 50 50 50 50 50 50 0 Requerimientos netos 450 Recepción de ordenes planeadas 450 Liberación de ordenes planeadas 450 Identificación del articulo Código de Menor nivel Tiempo de espera A la mano (disponi ble) Existencias de seguridad asigna do SEMANAS 1 2 3 4 5 6 7 8 Tabla plan de requerimientos de material G 1 2 200 30 60 Requerimientos en conjunto 450 Recepciones programadas Dispo nible 110 110 110 110 110 110 110 0 Requerimientos netos 340 Recepción de ordenes planeadas 340 Liberación de ordenes planeadas 340 Identificación del articulo Código de Menor nivel Tiempo de espera A la mano (disponi ble) Existencias de seguridad asigna do SEMANAS 1 2 3 4 5 6 7 8 Identificación del articulo Código de Menor nivel Tiempo de espera A la mano (disponi ble) Existencias de seguridad asigna do SEMANAS 1 2 3 4 5 6 7 8 F 1 2 52 30 20 Requerimientos en conjunto 450 Recepciones programadas Disponible 2 2 2 2 2 2 2 0 Requerimientos netos 448 Recepción de ordenes planeadas 448 Liberación de ordenes planeadas 448 Identificación del articulo Código de Menor nivel Tiempo de espera A la mano (disponi ble) Existencias de seguridad asigna do SEMANAS 1 2 3 4 5 6 7 8 A 2 4 50 20 30 Requerimientos en conjunto 50 448 Recepciones programadas 50 Partes para reemplazar y reparar desde el campo Disponib le 0 0 0 0 0 0 Requerimientos netos 0 448 Recepción de ordenes planeadas 448 Liberación de ordenes planeadas 448 De F Identificación del articulo Código de Menor nivel Tiempo de espera A la mano (disponi ble) Existencias de seguridad asigna do SEMANAS 1 2 3 4 5 6 7 8 C 2 2 60 20 30 Requerimientos en conjunto 50 448 Recepciones programadas 50 Disponible 10 10 10 10 10 0 Requerimientos netos 0 438 Recepción de ordenes planeadas 438 Liberación de ordenes planeadas 438 Identificación del articulo Código de Menor nivel Tiempo de espera A la mano (disponi ble) Existencias de seguridad asigna do SEMANAS 1 2 3 4 5 6 7 8 B 2 4 150 20 30 Requerimientos en conjunto 340 De G Recepciones programadas Disponib le 100 100 100 100 100 0 Requerimientos netos 240 Recepción de ordenes planeadas 240 Liberación de ordenes planeadas 240 Identificación del articulo Código de Menor nivel Tiempo de espera A la mano (disponi ble) Existencias de seguridad asigna do SEMANAS 1 2 3 4 5 6 7 8 D 2 2 52 20 30 Requerimientos en conjunto 50 340 De G Recepciones programadas Partes para reemplazar y reparar desde el campo Disponible 2 2 2 0 0 Requerimientos netos 48 340 Recepción de ordenes planeadas 48 340 Liberación de ordenes planeadas 48 340 Identificación del articulo Código de Menor nivel Tiempo de espera A la mano (disponi ble) Existencias de seguridad asigna do SEMANAS 1 2 3 4 5 6 7 8 E 2 1 500 300 150 Requerimientos en conjunto 3152 1800 De H X 4 Recepciones programadas De G X 4 + F X 4 Disponible 50 50 50 50 50 0 Requerimientos netos 3102 1800 Recepción de ordenes planeadas 3102 1800 Liberación de ordenes planeadas 3102 1800 Se ve que 100 unidades de sillas H terminadas se encuentren disponibles antes de la semana 1. Sin embargo, se requieren existencias de seguridad de 50 para una demanda inesperada. Por tanto, el disponible neto para satisfacer un requerimiento de 500 en ocho semanas es de 50. De manera semejante, se tienen a la mano 200 unidades de G, pero 30 unidades son para las existencias de seguridad y 60 unidades ya fueron asignadas a otras ordenes de trabajo. Por tanto, se encuentran disponibles 110 unidades para la asignación posterior.