Clase 03 Invope II

21/04/2015Investigación de Operaciones II Ing. Enrique M. Avendaño Delgado [email protected] Unidad 1 PROGRAMACION DINÁMICA Ing. Enrique M. Avendaño Delgado [email protected] 1 Cada galón de leche se vende en las tres tiendas de la cadena en $2/galón.40 1 0.21/04/2015 PDP La Programación Dinámica . Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Demanda diaria (galones) Probabilidad 1 0. la cadena Safeco Supermarker compró 6 galones de leche de una lechería local. A estos problemas se les conoce como problemas de Programación Dinámica Probabilística (PDP). Infortunadamente para Safeco. Utilice la PDP para determinar cómo Safeco debe asignar los 6 galones de leche entre las tres tiendas.50 2 0. Enrique Avendaño Delgado Ejemplo 1: Por un precio de un $1/galón. Enrique Avendaño Delgado 2 .30 3 0.00 3 0.10 3 0. La lechería debe comprar de nuevo en 0.30 Ing. la demanda para cada una de las tres tiendas de la cadena es incierta.40 2 0. El objetivo por lo general es minimizar el costo esperado obtenido en un determinado horizonte de tiempo. Safeco quiere asignar los 6 galones de leche a las tres tiendas para maximizar la ganancia diaria neta esperada (ingresos menos costos) obtenida de la leche.40 1 0. Los datos pasados indican que la demanda diaria en cada tienda es como se ilustra en la tabla. se utiliza para resolver problemas en los que el costo del período actual o el estado del siguiente período son aleatorios. Ing.60 2 0.50/galón la leche que se queda al final del día. 3 cuando se asignan x-gt galones a estas tiendas. Luego.f3(6). Para calcular la asignación óptima de leche a las tiendas. De la ecuación que.21/04/2015 Ejemplo 1: Solución: Con excepción del hecho de que la demanda es incierta. f2(1).3 será la suma del ingreso esperado obtenido de la tienda t si gt galones se asignan a la tienda t más el ingreso máximo esperado que se puede obtener de las tienda t+1.…. Variables: rt(gt) : ingreso esperado obtenido de gt galones asignados a la tienda t ft(x) : ingreso esperado máximo obtenido de x galones asignados a las tiendas t. f3(1). Enrique Avendaño Delgado 3 . 1.…. debido a que para cualquier elección de gt (el número de galones asignados a la tienda t). se empieza por calcular f3(0). t+1. 3. Los costos de diarios de Safeco son siempre $ 6. …. se determina f1(6). f2(6). Ing. se ve que : f3(x) = r3(x) Para t = 1 y 2 podría escribirse: ft  x   max rt  gt   ft 1  x  gt  gt  Donde gt es: (0. …. t+2. se utiliza la ecuación para calcular f2(0). concentremos la atención en el problema de distribuir la leche para maximizar el ingreso diario esperado obtenido de los 6 galones. Por último.…. Enrique Avendaño Delgado Ejemplo 1: Solución: Para la tienda 3: El ingreso esperado para obtenido de asignar x galones de leche a la tienda 3. Ing. t+1.x).…. el ingreso esperado obtenido de la tienda t.00. 40 0.40 0.3 P(I2 = 6) = 0.3 $4 P(I3 = 6) = 0. C fracasen es de: 0.5 P(I3 = 9) = 0. (Un 19.4 P(I3 = 8) = 0.60 0. Por medio de la PDP determine una asignación de inversión que maximiza el VPN esperado obtenido de las tres inversiones Inversión (Millones) Proy 1 Proy 2 Proy 3 Probabilidad $1 P(I1 = 2) = 0.4 P(I2 = 5) = 0.4 P(I2 = 6) = 0.6 P(I3 = 5) = 0.4 P(I3 = 6) = 0.2 P(I3 = 4) = 0.192. Según la asignación a los equipos.6 P(I1 = 4) = 0.2 P(I1 = 9) = 0.80 respectivamente. Enrique Avendaño Delgado 4 .1 $2 P(I1 = 4) = 0.4 P(I3 = 7) = 0.2 $2 P(I3 = 4) = 0.1 $4 P(I1 = 7) = 0.2 $3 P(I1 = 6) = 0.40.6)(0.8) = 0.4 $4 P(I2 = 3) = 0.3 P(I1 = 5) = 0.2 $3 P(I2 = 4) = 0.20 0. B. Así.2 $3 P(I3 = 5) = 0.4 Ing.5 P(I2 = 2) = 0. Sea I.3 P(I3 = 7) = 0.4 P(I1 = 7) = 0.4 $1 P(I2 = 1) = 0. como se ilustra en la tabla (una inversión cero en un proyecto siempre gana un VPN cero). La distribución de probabilidades del valor presente neto obtenido de cada proyecto depende de cuánto se invierta en cada proyecto.3 $1 P(I3 = 0) = 0. 0. La distribución de I.3 P(I2 = 9) = 0.4 P(I2 = 8) = 0.15 0.4 P(I2 = 4) = 0.20 0.3 P(I1 = 8) = 0. la probabilidad de que los 3 equipos fracasen es de: (0.5 P(I1 = 10) = 0. la variable aleatoria que denota el valor presente neto obtenido de cada proyecto depende de cuánto se invierta en cada proyecto.3 P(I2 = 8) = 0.2%). Se estima que en las circunstancias actuales la probabilidad de que los equipos A. la probabilidad de fracaso cambia según lo indicado en la tabla siguiente: # de científicos adicionales asignados 0 1 2 Probabilidad de fracaso de los equipos A B C 0.21/04/2015 Ejemplo 2: Suponga que $4 millones están disponibles para invertir en tres proyectos. la variable aleatoria que denota el valor presente neto que obtiene el proyecto t.60 y 0.5 P(I1 = 6) = 0.4 P(I1 = 10) = 0. El objetivo es minimizar la probabilidad de fracaso de los 3 equipos.1 P(I3 = 8) = 0. Sea I.1 $2 P(I2 = 3) = 0.80 0. Enrique Avendaño Delgado Ejemplo 3: Un proyecto de investigación sobre cierto problema de ingeniería tiene 3 equipos de investigadores que buscan resolver el problema desde 3 puntos de vista diferentes.30 Ing. se asignaran al proyecto 2 nuevos científicos de alto nivel. depende de la cantidad de dinero invertido en el proyecto t.40)(0.50 0. y por ello. donde c(0)=0 y para x>0. Vende cada sudadera en 8 dólares. Enrique Avendaño Delgado 5 . Tiene las mismas probabilidades de vender 200 o 400 sudaderas en cada juego. determine una política de pedidos que maximice las ganancias esperadas obtenidas durante los próximos tres juegos de la temporada. el inventario al final de cada periodo no puede exceder 3 unidades. estima un costo de retención de 2 dólares (debido al costo de oportunidad del capital invertido en las sudaderas.21/04/2015 Ejemplo 3: Chip Bilton vende sudaderas en los juegos de fútbol de la universidad estatal. Chip puede almacenar a lo sumo 400 sudaderas. paga 500 dólares más 5 dólares por cada sudadera que pide. Suponga que las sudaderas sobrantes tienen un valor de 6 dólares. se incurre en un costo de producción c(x). Ing. Después que ocurre la producción. Por cada sudadera que no vende al final de un juego. Después de cada juego. Enrique Avendaño Delgado Ejemplo 5: Considere el siguiente problema de inventario de tres periodos. La producción durante cada período está limitada a lo sumo a 4 unidades. la empresa tiene 1 unidad de inventario. así como los costos de almacenamiento). La demanda de cada período tiene las mismas probabilidades de que sean 1 o 2 unidades. Se requieren que toda la demanda se satisfaga a tiempo. Ing. Al comienzo de cada periodo. Durante un período en el que se producen x unidades. Utilice la programación dinámica para determinar la política de producción que minimiza el costo neto esperado en que se incurre durante los tres periodos. una empresa debe determinar cuántas unidades debe producir durante el periodo actual. Después de satisfacer la demanda del período actual de la producción e inventario actuales. Suponiendo que el número de sudaderas que pide Chip debe ser un múltiplo de 100. Cualquier inventario disponible al final del periodo se puede vender en 2 dólares por unidad. y se estima un costo de retención de 1 dólar por unidad. Como resultado de la capacidad limitada . se evalúa el inventario de fin de período de la empresa. se observa la demanda aleatoria del período. c(x)=3+2x. Cada vez que Chip hace un pedido. Al comienzo del período 1. son la suma de los costos esperado en que se incurre durante los períodos t+1. la demanda durante el período t será 1 unidad.…. Por consiguiente. Para asegurar que se satisface la demanda del período 3. De manera similar para asegurar el inventario final de tres períodos no excede 3 unidades. los costos esperado en que se incurre durante los períodos t. t+2. Como antes.5(i  x 1)  0. el costo esperado durante el mes t será c(x) + (1/2)(i+x-1) + (1/2)(i+x-2). t+2.5 de que el costo de retención del período 3 sea i+x-1.3 será ft+1(i+x-2).3 se calcula como sigue. 2.3 será (1/2) ft+1(i+x-1) + (1/2) ft+1(i+x-2). el costo neto durante el período 3 es: Costo de Producción esperado + Costo de retención esperado – Costo de Salvamento esperado Si se producen x unidades. En esta situación. 2. 2. se debe tener que i+x-1<=3. el costo de producción esperado es c(x) y hay una probabilidad de 0.t+2.3.5 de que sea i+x-2.…3. t+2. La mitad del tiempo. Con esto se podría escribir para t=1.21/04/2015 Solución: Se define ft(i) como es costo neto mínimo esperado en que se incurre durante los periodos 1.5(2)(i  x 1)  0. t+2. si se producen x unidades durante el mes t. hay una probabilidad 0.5 de que el inventario al comienzo del período t+1 sea i+x-2.2 𝑓𝑡 𝑖 = 𝑚𝑖𝑛 𝑐 𝑥 + 1 2 𝑖+𝑥−1 + 1 2 𝑖+𝑥−2 + 1 1 𝑓 𝑖+𝑥−1 + 𝑓 𝑖+𝑥−2 2 𝑡+1 2 𝑡+1 Donde x debe se un miembro de (0. f3 (i)  min c( x)  0. el costo esperado en que se incurre durante los períodos t+1. 2 y 3 cuando el inventario al comienzo del período t es i unidades. En este caso. el costo esperado durante los períodos t+1. se deduce que. Enrique Avendaño Delgado 6 . Sí durante el mes t se producen x unidades. De manera similar. 3 y 4) y x debe satisfacer: Inventario Final: i+x-1<=3 Satisfacer la demanda: i+x>=2 De la ecuación f3(i).5(2)(i  x  2) Donde x debe se un miembro de (0. t+1.5(i  x  2)  0. En resumen.…. (Observe que durante los períodos 1 y 2 no se recibe valor de salvamento). se debe tener: i+x>=2. los costos esperados en que se incurre durante los períodos t+1. Un razonamiento similar muestra que el valor de salvamento esperado (un costo negativo) al final del período 3 será: (1/2)2(i+x-1) + (1/2)2(i+x-2) = 2i+2x-3.…. se puede derivar la relación recursiva para ft(i) al observar que para cualquier nivel de producción x del mes t. el costo esperado durante los períodos t+1. el costo de retención del período 3 será: (1/2)(i+x-1) + (1/2)(i+x-2) = i + x -3/2. Enrique Avendaño Delgado Solución: Para t=1. 1. Ing. y el inventario al comienzo del período t+1 será i+x-1.…3 (suponiendo que actuamos de manera óptima durante estos períodos) es ft+1(i+x-1). 1. 3 y 4) y x debe satisfacer: Satisfacer la demanda: i+x>=2 Inventario Final: i+x-1<=3 Ing. y una probabilidad de 0.…. debido a que si se producen x unidades durante el período 3. Enrique Avendaño Delgado Cálculos para5: f2(i) Ejemplo Satisfacer la demanda: i+x>=2 Inventario Final: i+x-1<=3 i x C(x) Costo de retención esperada (i+x-3/2) Costo futuro esperado (1/2)f3(i+x-1) + (1/2)f3(i+x-2) Costo total esperado Períodos 2 y3 f2(i) X2(i) 3 0 0 3/2 3 1 5 5/2 2 7/2* -1 13/2 f2(3)=7/2 X2(3)=0 2 0 0 ½ 11/2 6* 2 1 5 3/2 2 17/2 2 2 7 5/2 -1 17/2 1 1 5 ½ 11/2 11 1 2 7 3/2 2 21/2* 1 3 9 5/2 -1 21/2* 0 2 7 ½ 11/2 13 0 3 9 3/2 2 25/2* 0 4 11 5/2 -1 25/2* f2(2)=6 X2(2)=0 f2(1)=21/2 X2(1)=2 X2(1)=3 f2(0)=25/2 X2(0)=3 X2(1)=4 Ing. Enrique Avendaño Delgado 7 .21/04/2015 Ejemplo 2: Satisfacer la demanda: i+x>=2 Cálculos para f3(i) Inventario Final: i+x-1<=3 i x C(x) Costo de retención esperada (i+x-3/2) Valor de salvamento esperado (2i+2x-3) Costo total esperado f3(i) X3(i) 3 0 0 3/2 3 -3/2* 3 1 5 5/2 5 5/2 f3(3)=-3/2 X3(3)=0 2 0 0 ½ 1 -1/2* 2 1 5 3/2 3 7/2 2 2 7 5/2 5 9/2 1 1 5 ½ 1 9/2* 1 2 7 3/2 3 11/2 1 3 9 5/2 5 13/2 0 2 7 ½ 1 13/2* 0 3 9 3/2 3 15/2 0 4 11 5/2 5 17/2 f3(2)=-1/2 X3(2)=0 f3(1)=9/2 X3(1)=1 f3(0)=13/2 X3(0)=2 Ing. Plan de Producción: Mes Unid 1 3 2 0 3 2 Ing. se determina el programa óptimo de producción si tanto la demanda del período 1 y como la del período 2 son dos unidades. Puesto que xt(1) = 3. no es posible determinar el nivel de producción del período 3 hasta que se observa la demanda del período 2. Sin embargo. el período 3 comienza con 2-2 = 0 unidades disponibles. así que se deben producir x2(2) = 0 unidades. Después que se satisface la demanda de dos unidades del período 2. Por consiguiente. También. Enrique Avendaño Delgado 8 . no se puede Se empieza por determinar el nivel de producción del período 2 hasta que se observa la demanda del período 1. Enrique Avendaño Delgado Ejemplo 5:producir xt(1) = 3 unidades durante el período 1. durante el período 1 se producirán 3 unidades.21/04/2015 Ejemplo Cálculos para5: f1(i) Satisfacer la demanda: i+x>=2 i x C(x) 1 1 1 2 1 3 Inventario Final: i+x-1<=3 Costo de retención esperada (i+x-3/2) Costo futuro esperado (1/2)f2(i+x-1) + (1/2)f2(i+x-2) Costo total esperado Períodos 2 y3 f2(i) X2(i) 5 ½ 7 3/2 23/2 17 33/4 67/4 f1(2)=65/4 X1(1)=3 9 5/2 19/4 65/4* Ing. Para ilustrar la idea. durante el período 3 se producirán x3(0) = 2 unidades. Entonces el período 2 comenzará con un inventario de 1 + 3 – 2 = 2 unidades. 1. p4 = 0. p2 = 0. se hace girar una rueda con marcas de n números consecutivos: 1 a n. La probabilidad de detenerse en el número i es p1 = 0. 2. Las alternativas en cada etapa incluyen hacer girar la rueda una vez más o terminar el juego.3. El jugador paga $5 para hacer un máximo de cuatro giros. m 2. Suponiendo que el juego se repite (hasta con m giros cada vez) una cantidad razonablemente grande de veces. en su periferia. propone una estrategia óptima para el jugador. El estado j del sistema en la etapa i se representa con uno de los números de 1 a n que se haya obtenido en el último giro. . Un jugador paga $x por el privilegio de hacer girar la rueda un máximo de m giros. La probabilidad de que la rueda se detenga en el número i después de un giro es pi. p3 = 0. Determine la estrategia óptima para cada uno de los cuatro giros.2.15 y p5 = 0. Ing. i = 1.. La recompensa para el jugador es el doble de la cantidad obtenida en el último giro. 3. Enrique Avendaño Delgado 9 ... La etapa i se representa con el giro i.25. Ing. Enrique Avendaño Delgado Ejemplo 3 En una variación del juego de la ruleta rusa.21/04/2015 Ejemplo 3 Suponga que el perímetro de la rueda de la ruleta rusa está marcado con los números 1 a 5. y el ingreso neto esperado correspondiente. Se puede formular el problema como un modelo de programación dinámica con las siguientes definiciones: 1. f1(0). fm+1=(j)=2j. Por tanto.21/04/2015 Ejemplo 3 . porque acaba de comenzar el juego. Ing. 𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑝𝑘 𝑓𝑖+1 𝑘 . f1(0)=p1f2(1)+p2f2(2)+ … +pnf2(n). En consecuencia. 3.Solución Sea: fi(j) = Ingreso máximo esperado cuando el juego está en la etapa (el giro) i y el resultado del último giro fue j En este caso se tiene que: 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑖 = 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑗 𝑑𝑒𝑙 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑛 2𝑗. y dado que el juego cuesta $x. … . Después del último giro (i = m). el juego debe terminar independientemente del resultado j del m-ésimo giro. Enrique Avendaño Delgado 10 . produciendo m + 1 etapas de cómputo. Como f1(0) es el ingreso esperado por los m giros. Los cálculos recursivos comienzan con fm+1 y terminan con . el ingreso neto es f1(0)-x. la ecuación recursiva se puede escribir como sigue: 𝑓𝑚+1 𝑗 = 2𝑗 𝐹𝑖𝑛: 2𝑗. 𝑚 𝑘 𝑘=1 La lógica de la ecuación recursiva es que en el primer giro (i = 1). el estado del sistema es j= 0. Enrique Avendaño Delgado Solución: Etapa 5 f5(j)=2j Resultado j del giro 4 Solución óptimo f5(j) Decisión 1 2 Terminar 2 4 Terminar 3 6 Terminar 4 8 Terminar 5 10 Terminar Ing. 𝑓𝑖 𝑗 =máx 𝑛 𝑓1 0 = 𝑝𝑘 𝑓2 𝑘 𝐺𝑖𝑟𝑜: 𝑛 𝑘+1 𝑝𝑘 𝑓𝑖+1 𝑖 = 2. 𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛ú𝑎 𝑒𝑙 𝑗𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑘=1 Entonces. 2*6 + 0.15 10 Terminar Ing.15 6.15 6.25*5 + 0. 0.15*8 + 0. 6. 0.15*8 + 0.15 Girar 3 6 6.15 6.1*10 } f4(j)=máx {2j. p1f4(1) + p2f4(2) + p3f4(3) + p4f4(4) + p5f4(5) } f3(j)=máx {2j. 5} Ingreso esperado Solución óptimo Resultado j del giro 3 Terminar Girar f4(j) Decisión 1 2 5 5 Girar 2 4 5 5 Girar 3 6 5 6 Terminar 4 8 5 8 Terminar 5 10 5 10 Terminar Ing. p1f5(1) + p2f5(2) + p3f5(3) + p4f5(4) + p5f5(5) } f4(j)=máx {2j.3*5 + 0.15 Girar 2 4 6.2*6 + 0.1*10 } f3(j)=máx {2j.25*4 + 0. Enrique Avendaño Delgado 11 . Enrique Avendaño Delgado Solución: Etapa 3 f3(j)=máx {2j.15 Girar 4 8 6.15} Ingreso esperado Solución óptimo Resultado j del giro 2 Terminar Girar f3(j) Decisión 1 2 6.21/04/2015 Solución: Etapa 4 f4(j)=máx {2j.15 8 Terminar 5 10 6.3*2 + 0. 15 + 0.1*10 } f2(j)=máx {2j.31 Ing. girar 2 Continuar si el giro 1 produce 1. 6. Si no. De acuerdo con los cuadros anteriores. Enrique Avendaño Delgado 12 .8125 8 Terminar 5 10 6. Si no.25*6.8125 Girar 3 6 6.8125 6.2*6.15 + 0.8125 Girar 4 8 6.15*8 + 0.8125 + 0.25*6.8125 Girar 2 4 6. 0. Si no.31 .15 + 0.8125} Ingreso esperado Solución óptimo Resultado j del giro 2 Terminar Girar f3(j) Decisión 1 2 6. terminar el juego 4 Continuar si el giro 3 produce 1 o 2. 2 o 3.3*6.8125 + 0. p1f3(1) + p2f3(2) + p3f3(3) + p4f3(4) + p5f3(5) } f2(j)=máx {2j. terminar el juego Ingreso neto esperado = $7.1*10 f2(0)= 7.8125 10 Terminar Ing.3*6.8125 + 0.$5. Enrique Avendaño Delgado Solución: Etapa 1 f2(0)= p1f2(1) + p2f2(2) + p3f2(3) + p4f2(4) + p5f2(5) f2(0)= 0.8125 6. la solución óptima es Giro Núm Estrategia óptima 1 Comienza el juego. terminar el juego 3 Continuar si el giro 2 produce 1. 2 o 3.00 = $2.15*8 + 0.21/04/2015 Solución: Etapa 2 f2(j)=máx {2j.8125 6.2*6.31 La única opción disponible al iniciar el juego es girar. 35 3 0.60 3 0.20 3 0.10 4 0.25 10 2 0.23 50 2 3 Ing. Enrique Avendaño Delgado 13 .50 12 2 0.35 15 2 0. espera invertir 5 millones de dólares. Utilice un PDP para elaborar una estrategia de perforación de pozos petroleros. La demanda para las tres tiendas de la cadena de pollerías es incierta y los pollos que sobran al final del día lo puede vender a una chanchería local a 5 soles/pollo.42 4 0.55 18 1 0.30 Ing.40 2 0.40 1 0.78 5 3 0.30 2 0. Pretende perforar en tres lugares en busca de petróleo. Pozo Inversión Probabilidad Rentabilidad 1 1 0.35 15 3 0.40 1 0. la probabilidad de encontrar petróleo es Pt y la rentabilidad se muestran en la tabla adjunta.21/04/2015 Ejemplo 6: Petrolium inc. Cada pollo a la brasa lo vende en las tres tiendas de la cadena en 18 soles/pollo. compra diariamente 8 pollos para distribuirlos en sus 3 tiendas. Utilice la PDP para determinar cómo La Taberna debe asignar los 8 pollos entre las tres tiendas y así maximizar sus ganancias Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Demanda diaria (Pollos) Probabilidad 1 0.48 35 3 0. Enrique Avendaño Delgado Ejemplo 7: Una cadena de tiendas de pollerías La Taberna de Trujillo.50 2 0.35 4 0.47 20 1 0. así como los costos de almacenamiento). Suponga que las sudaderas sobrantes puede venderlas en 3 dólares. Tiene la mismas probabilidades de vende 200 o 400 sudaderas en cada juego.21/04/2015 Ejemplo 8: Carlos Tapia vende sudaderas en los juegos de fútbol de la universidad Privada del Norte. Cada vez que Tapia hace un pedido. Vende cada sudadera a 8 dólares. Enrique Avendaño Delgado 14 . determine una política de pedidos que maximice las ganancias esperadas obtenidas durante los tres primeros juegos de la temporada. Tapia puede almacenar a lo sumo 400 sudaderas. Después de cada juego. estima un costo de retención de 2 dólares (debido al costo de oportunidad del capital invertido en sudaderas. Suponiendo que el número de sudaderas que pide Tapia debe ser un múltiplo de 100. Por cada sudadera que no venda al final del juego. Ing. paga 500 dólares más 5 dólares por cada sudadera que pide. Documents Similar To Clase 03 Invope IISkip carouselcarousel previouscarousel nextCap01 - Programación DinámicaTarea2 Gp Dp80484111-Sol-EnteraPROG DINPROBAB 2014 Modo de CompatibilidadPROGRAMACION DINÁMICA PROBABILISTAEjercicios Investigacion de OperacionesEjemplo de Programacion Dinamica ProbabilisticaTeoria de Programacion DinamicaMore From MarianelaAzabacheCastroSkip carouselcarousel previouscarousel nextantecedentes.docxMoche Por Sectores-campiñaantecedentes.docxantecedentes.docxProyecto Creatividad e InnovacionBARRIOS_JHOSELYN_PROPUESTA_MEJORA_ALMACENAMIENTO_PORTUARIO (1).pdfLa Politica - Exposicion de GeopoliticaDesafiosHistoria CriticaFooter MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsLegalTermsPrivacyCopyrightSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaSign up to vote on this titleUsefulNot usefulYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK